UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA
CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA - ÊNFASE ELETROTÉCNICA
JAKSON BÖTTCHER ARGENTA
HEBER ANDRADE GONÇALVES
UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER PARA A ANÁLISE
E SÍNTESE DE SINAIS DE VARIAÇÕES MOMENTÂNEAS E TEMPORÁRIAS
TIPO AFUNDAMENTO DE TENSÃO
CURITIBA
2007
2
JAKSON BÖTTCHER ARGENTA
HEBER ANDRADE GONÇALVES
UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER PARA A ANÁLISE
E SÍNTESE DE SINAIS DE VARIAÇÕES MOMENTÂNEAS E TEMPORÁRIAS
TIPO AFUNDAMENTO DE TENSÃO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado na
disciplina de Projeto Final II do curso de
Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica.
Orientador: Prof. Dr. Walter D. Cruz Sanchez
CURITIBA
2007
3
JAKSON BÖTTCHER ARGENTA
HEBER ANDRADE GONÇALVES
UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER PARA A ANÁLISE
E SÍNTESE DE SINAIS DE VARIAÇÕES MOMENTÂNEAS E TEMPORÁRIAS
TIPO AFUNDAMENTO DE TENSÃO
Este Projeto Final de Graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial para obtenção
do tıtulo de Engenheiro Eletricista pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Curitiba, 13 de Novembro de 2007.
______________________________ Prof. Esp. Paulo Sérgio Walenia
Coordenador de Curso Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica
______________________________ Prof. Dr. Ivan Eidt Colling
Coordenador de Projeto Final de Graduação Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica
______________________________ Prof. Dr. Walter D. Cruz Sanchez
Professor Orientador
______________________________ Prof. M.Sc. Celso Fabrício de Melo Júnior
______________________________ Prof. Dr. Eduardo de Freitas Rocha Loures
______________________________ Prof. Dr. Joaquim Eloir Rocha
4
RESUMO
Com a evolução da eletrônica, aumento no nível de exigência dos consumidores e o
desenvolvimento dos sistemas produtivos surgiu um foco crescente na qualidade da energia
elétrica. Essa tendência é reforçada pelo recente lançamento para consulta pública de um
documento da ANEEL que pretende formalizar para o Brasil os parâmetros de exigência para
a energia gerada e fornecida. Para avaliar, acompanhar e poder tomar ações corretivas é
necessário medir, e para medir é necessário que os equipamentos de medição estejam
habilitados a obter com boa acurácia os sinais que representam as grandezas elétricas. Com
intuito de aprofundar-se no conhecimento das ferramentas de processamento de sinais
largamente utilizadas por equipamentos digitais de medição que possuem base nas
Transformadas de Fourier foram reunidos nesse trabalho uma base teórica resumida e
consistente e a aplicação pratica através de simulações com variações temporárias e
momentâneas de tensão. A evolução das simulações foi conduzida de forma a entender as
ferramentas de processamento através da análise de diversos sinais com diferentes parâmetros
conhecidos e posterior utilização da ferramenta de melhor desempenho para síntese de sinais
com parâmetros desconhecidos. Os resultados são apresentados de forma visual gráfica e
aliados a tabelas com indicadores de desempenho permitem obter importantes conclusões
sobre o comportamento das ferramentas utilizadas.
Palavras Chave: Transformada de Fourier, Processamento de Sinais, Qualidade de Energia,
Afundamento de Tensão, Espectro.
5
LISTA DE SÍMBOLOS
][],[],[],[ knykxnynx − , – Representação de sinais no tempo discreto;
)(),(),(),( ττ −tyxtytx – Representação de sinais no tempo contínuo;
)(txd – Representação de um sinal no tempo contínuo do sinal de tempo discreto;
)()( jwXtx → - Transformada de Fourier de x(t);
)(tp - Trem de impulsos representando taxa de amostragem;
Sw - Freqüência de amostragem;
][nTx - Amostras de um sinal contínuo;
h[n] – Sinal resultante da convolução de um sinal discreto e um sinal janela;
w[n] – Sinal janela;
ω - Freqüência angular;
Rw - Função janela tipo Retangular;
Tw - Função janela tipo Triangular;
Bw - Função janela tipo Bartlett;
Hw - Função janela tipo Hamming e/ou Hanning;
BMw - Função janela tipo Blackman;
n – Número de amostras ou largura de uma janela;
M – Relação de largura de uma janela (n-1);
T – Período;
[ ]nx~ - Seqüência periódica;
[ ]nek - Série de exponenciais complexas;
k – Número inteiro;
[ ]kX~
- Coeficientes da série de Fourier;
)(~ ωjeX - Transformada de Fourier de uma série de Fourier;
[ ]np~ - Trem de impulsos discreto;
[ ]kX - Transformada discreta de Fourier;
)( kj
n eXω - Transforma discreta de Fourier de Curto Tempo;
6
LISTA DE TABELAS, GRÁFICOS E FIGURAS
Gráfico 10.1 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 1
Gráfico 10.2 – Período x Tamanho da Janela - Teste 1
Gráfico 10.3 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 1
Gráfico 10.4 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 1
Gráfico 10.5 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 5
Gráfico 10.6 – Período x Tamanho da Janela - Teste 5
Gráfico 10.7 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 5
Gráfico 10.8 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 5
Gráfico 10.9 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 21
Gráfico 10.10 – Período x Tamanho da Janela - Teste 21
Gráfico 10.11 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 21
Gráfico 10.12 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 21
Gráfico 10.13 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 23
Gráfico 10.14 – Período x Tamanho da Janela - Teste 23
Gráfico 10.15 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 23
Gráfico 10.16 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 23
Tabela 2.1 - Classificação das Variações de Tensão de Curta Duração (AGENCIA
NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA, 2006).
Tabela 8.1 – Lista de sinais obtidos em simulação no LACTEC
Tabela 8.2 – Resumos dos ensaios realizados na UTFPR
Tabela 9.1 – Sinais escolhidos para o processamento
Tabela 10.1 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21
Tabela 10.2 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 1 Janela Hanning
Tabela 10.3 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 1 Janela Retangular
Tabela 10.4 – Desempenho STDFT Janela de Hanning – Teste 1
7
Tabela 10.5 – Desempenho STDFT Janela de Retangular – Teste 1
Tabela 10.6 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 5 Janela Hamming
Tabela 10.7 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 5 Janela Blackman
Tabela 10.8 – Desempenho STDFT Janela de Hamming – Teste 5
Tabela 10.9 – Desempenho STDFT Janela de Blackman – Teste 5
Tabela 10.10 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21 Janela Hanning
Tabela 10.11 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21 Janela Retangular
Tabela 10.12 – Desempenho STDFT Janela de Hanning – Teste 21
Tabela 10.13 – Desempenho STDFT Janela de Retangular – Teste 21
Tabela 10.14 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 23 Janela Hamming
Tabela 10.15 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 23 Janela Blackman
Tabela 10.16 – Desempenho STDFT Janela de Hamming – Teste 23
Tabela 10.17 – Desempenho STDFT Janela de Blackman – Teste 23
Figura 2.1 – Exemplo de uma forma de onda indicando um afundamento de tensão
(BOLLEN, p.284, 2006).
Figura 3.1– (a) Sinal no Tempo Contínuo (b) Representação de x(t) como um sinal de tempo
discreto x[n] (HAYKIN, 2001, p.35).
Figura 3.2 – (a) Sinal no Tempo Contínuo Amostrado (b) Sinal no tempo contínuo original (c)
Trem de impulsos (HAYKIN, 2001, p 284).
Figura 3.3 – Etapas básicas para processamento digital de um sinal contínuo
(OPPENHEIM, 1999).
Figura 3.4 – (a) Resposta ideal de módulo de uma função janela. (b) Resposta real de módulo
de uma função janela (DINIZ, 2004, p. 211).
Figura 3.5 – Janelas comumente utilizadas (OPPENHEIM, 1999, p. 469).
Figura 4.1 – Seqüência Periódica com período N = 10. (OPPENHEIM, 1999, p. 545)
Figura 4.2 – Módulo e Fase dos coeficientes da serie de Fourier da seqüência
(OPPENHEIM, 1999, p. 545).
Figura 4.3 – Seqüência Periódica [ ]nx~ formada através da repetição da seqüência finita x[n],
periodicamente. (OPPENHEIM, 1999, p. 553)
8
Figura 4.4 – Módulo e Fase de um período da Transformada de Fourier da seqüência da figura
4.1 (OPPENHEIM, 1999, p. 554)
Figura 4.5 – Sobreposição das figuras 4.2 e 4.4 ilustrando os coeficientes da serie discreta de
Fourier de uma seqüência periódica como amostras da transformada de Fourier em um
período (OPPENHEIM, 1999, p. 555).
Figura 5.1 – Passos para processamento na análise de Fourier para o tempo discreto de um
sinal no tempo contínuo (OPPENHEIM, 1999, p. 694).
Figura 5.2 – Ilustra a Transformada de Fourier de um sistema (OPPENHEIM, 1999, p. 695).
Figura 8.1 – Fluxograma para obtenção dos sinais no Lactec
Figura 8.2 – Resposta de simulação visualizada em software específico do oscilógrafo
Figura 8.3 – Simulação do Circuito utilizado no laboratório da UTFPR
Figura 8.4 – Fluxograma para obtenção dos sinais no laboratório da UTFPR
Figura 8.5 – Afundamento de tensão obtido no laboratório da UTFPR
Figura 10.1 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Retangular
Figura 10.2 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hanning
Figura 10.3 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hamming
Figura 10.4 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Blackman
Figura 10.5 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1
Figura 10.6 – Tridimensional – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1
Figura 10.7 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1
Figura 10.8 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1
Figura 10.9 – Tridimensional – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1
Figura 10.10 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1
Figura 10.11 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5
Figura 10.12 – Tridimensional – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5
Figura 10.13 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5
Figura 10.14 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5
Figura 10.15 – Tridimensional – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5
9
Figura 10.16 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5
Figura 10.17 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hanning melhor desempenho Teste 21
Figura 10.18 – Tridimensional – Janela Hanning melhor desempenho Teste 21
Figura 10.19 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hanning melhor desempenho Teste 21
Figura 10.20–Plano Amplitude x Freqüência– Janela Retangular melhor desempenho Teste 21
Figura 10.21 – Tridimensional – Janela Retangular melhor desempenho Teste 21
Figura 10.22 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Retangular melhor desempenho Teste 21
Figura 10.23– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Hamming melhor desempenho Teste 23
Figura 10.24 – Tridimensional – Janela Hamming melhor desempenho Teste 23
Figura 10.25 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hamming melhor desempenho Teste 23
Figura 10.26– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman melhor desempenho Teste 23
Figura 10.27 – Tridimensional – Janela Blackman melhor desempenho Teste 23
Figura 10.28 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman melhor desempenho Teste 23
Figura 10.29– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0002
Figura 10.30 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0002
Figura 10.31 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0002
Figura 10.32 – Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0003
Figura 10.33 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0003
Figura 10.34 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0003
Figura 10.35 – Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0004
Figura 10.36 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0004
Figura 10.37 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0004
10
LISTA DE ABREVIATURAS
DFT – Discrete Fourier Transformer (Transformada Discreta de Fourier)
STDFT – Short Time Discrete Fourier Transformer (Transformada Discreta de Fourier Curto
Tempo)
Hz – Hertz - Unidade de medição de freqüência
p.u. – Sistema por unidade
ANEEL - Agencia Nacional de Energia Elétrica
PRODIST - Procedimentos de Distribuição da Agencia Nacional de Energia Elétrica
11
SUMÁRIO
1. Introdução .......................................................................................................................14
1.1. Problema .....................................................................................................................14
1.2. Justificativa .................................................................................................................15
1.3. Objetivos......................................................................................................................15
1.3.1. Objetivo Geral ..........................................................................................................15
1.3.2. Objetivos Específicos ...............................................................................................16
1.4. Método de Pesquisa ....................................................................................................16
1.5. Estrutura do Trabalho ...............................................................................................17
2. Qualidade de Energia.....................................................................................................17
2.1. O que é Qualidade de Energia Elétrica? ..................................................................18
2.2. Distorções na Qualidade da Energia.........................................................................19
2.2.1. Transitórios...............................................................................................................19
2.2.2. Variações de Tensão de Longa Duração ..................................................................20
2.2.3. Desequilíbrio de Tensão ...........................................................................................21
2.2.4. Distorções na Forma de Onda ..................................................................................21
2.2.5. Flutuações de Tensão................................................................................................21
2.2.6. Variações de Freqüência Elétrica .............................................................................22
2.2.7. Variações de Tensão de Curta Duração....................................................................22
3. Teoria de Processamento de Sinais ...............................................................................25
3.1. Introdução a Sinais.....................................................................................................25
3.2. Teoria da Amostragem...............................................................................................27
3.2.1. Subamostragem e Superamostragem........................................................................29
3.3. Teoria de Janelas ........................................................................................................29
3.4. Teoria da Convolução ................................................................................................32
4. Transformadas de Fourier.............................................................................................33
4.1. A Série Discreta de Fourier .......................................................................................33
4.2. A Transformada de Fourier de Sinais Periódicos ...................................................36
4.3. Representação de Fourier para Seqüências de Duração Finita: A Transformada
Discreta de Fourier .................................................................................................................41
4.4. A Transformada Rápida de Fourier .........................................................................43
5. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier ..............................44
12
5.1. Introdução ...................................................................................................................44
5.2. Passos para Processamento de Sinais Utilizando Transformada Discreta de
Fourier .....................................................................................................................................44
6. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo .47
7. Desenvolvimentos dos Algoritmos das Transformadas Discretas de Fourier ..........49
7.1. Escolha do Programa para o Processamento de Sinais: Matlab............................49
7.2. Concepção e Desenvolvimento dos Algoritmos........................................................49
7.2.1. DFT ou Transformada Discreta de Fourier ..............................................................50
7.2.2. STDFT ou Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo ..............................55
8. Aquisição de Dados Experimentais de Afundamentos de Tensão de Curta Duração
Momentâneos e Temporários ................................................................................................60
8.1. Metodologia Adotada para Aquisição de Dados de Afundamentos de Tensão em
Laboratório .............................................................................................................................60
8.1.1 Coleta de Dados no Laboratório de Alta Tensão do Instituto de Tecnologia para o
Desenvolvimento – LACTEC ..................................................................................................60
8.1.2 Coleta de Dados em Laboratório na Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
UTFPR 63
9. Uso dos Algoritmos das Transformadas Discretas de Fourier no Processamento dos
Afundamentos de Tensão de Curta Duração .......................................................................66
9.1. Critérios para Seleção dos Sinais Processados para Análise e Síntese ..................66
9.1.1. Seleção de Sinais para Análise .................................................................................66
9.1.2. Seleção de Sinais para Síntese..................................................................................67
9.2. Parametrização e Critérios Qualitativos para Análise ...........................................67
9.2.1 Parâmetros para Processamento Utilizando a DFT ..................................................68
9.2.2 Parâmetros para Processamento Utilizando a STDFT .............................................69
9.3. Parametrização e Critérios Qualitativos para Síntese ............................................69
10. Resultados Processados e Avaliação dos Espectros.................................................70
10.1 Resultados de Processamento de Análise Utilizando a DFT ..................................70
10.1.1 Processamento de Análise do sinal Teste 21 através da DFT ..................................70
10.2 Resultado de Processamento de Análise Utilizando a STDFT ...............................74
10.2.1 Processamento de Análise do Sinal Teste 1 através da STDFT...............................74
10.2.2 Processamento de Análise do Sinal Teste 5 através da STDFT...............................82
10.2.3 Processamento de Análise do Sinal Teste 21 através da STDFT .............................90
10.2.4 Processamento de Análise do Sinal Teste 23 através da STDFT .............................98
13
10.3 Resultado de Processamento de Síntese Utilizando a STDFT..............................106
10.3.1 Processamento de Síntese do sinal TEK0002 através da STDFT ..........................106
10.3.2 Processamento de Síntese do sinal TEK0003 através da STDFT ..........................109
10.3.3 Processamento de Síntese do sinal TEK0004 através da STDFT ..........................111
11. Conclusão ..................................................................................................................113
Referências Bibliográficas ...................................................................................................115
ANEXOS ...............................................................................................................................116
1. Introdução
Seguindo a evolução da história da utilização da energia elétrica, percebemos nas
últimas décadas uma crescente preocupação com a qualidade da energia disponibilizada tanto
a consumidores residenciais como industriais. Preocupação justificada pela crescente
utilização de equipamentos sensíveis às variações na condição da energia elétrica, dos quais
depende a maioria dos sistemas produtivos atuais bem como a manutenção do modo de vida
contemporâneo (DUGAN, 1996).
Esta preocupação está refletida, por exemplo, no módulo 8 dos Procedimentos de
Distribuição (PRODIST) de Fevereiro de 2006 da Agencia Nacional de Energia Elétrica,
ANEEL, que dentre outros “define a terminologia, caracteriza os fenômenos e estabelece os
parâmetros e valores de referência relativos à conformidade de tensão em regime permanente
e às perturbações na forma de onda de tensão” (AGÊNCIA NACIONAL DE ENERGIA
ELÉTRICA, 2007, p. 3).
Na busca pela adequação às necessidades e normas estabelecidas faz-se necessário
conhecer os fenômenos e variáveis que influenciam nas características da energia elétrica. Por
exemplo, a leitura de uma forma de onda de uma fonte de tensão senoidal com parâmetros de
amplitude e freqüência por um osciloscópio. Assim, recai sobre equipamentos de medição e
monitoramento uma grande responsabilidade, a de retratar da forma mais real possível todas
as características da grandeza monitorada. Sendo de extrema importância este retrato para o
estudo e síntese de problemas que poderão influenciar a qualidade de energia elétrica.
A interpretação correta dos resultados obtidos por um equipamento que se propõe a
monitorar os sinais elétricos está diretamente ligada com o entendimento da metodologia
utilizada pelo equipamento. Diferentes métodos de cálculo e parametrização resultarão em
diferentes respostas e consequentemente diferentes interpretações. Conhecer os algoritmos
utilizados para o processamento dos sinais, bem como as diferentes respostas obtidas em cada
tipo de parametrização é imprescindível quando se trata de monitorar através de equipamentos
de medição da qualidade da energia elétrica.
1.1. Problema
Os equipamentos de medição de grandezas elétricas têm a atribuição de captar um
sinal elétrico específico e representá-lo, discriminando ao máximo suas características, de
15
forma que seja possível a leitura, entendimento e tomada de decisão para ações preventivas e
corretivas.
As grandezas elétricas representadas na forma de tensão e de corrente são sinais
contínuos ao longo do tempo, contudo esses sinais não podem ser processados com o uso
direto da tecnologia computacional (DINIZ, 2004). Faz-se necessária a transformação do sinal
contínuo em um equivalente discreto ou digital de forma que possibilite análise e
processamento computacional (HAYKIN, 2001). A Transformada Discreta de Fourier (DFT)
e sua variação Transformada Discreta de Fourier Curto Tempo (STDFT) são as ferramentas
mais eficazes para executar esse processamento (COHEN, 1995).
Há necessidade de compreender a DFT no que tange a: elaboração de algoritmos,
número de amostras, velocidade de execução, intervalo de tempo do sinal amostrado (janela)
e aplicação (sinais estacionários ou não estacionários), espera-se que através da simulação
com os algoritmos das transformadas de Fourier seja possível obter os sinais resultantes de
variações de tensão de curta duração e comparar os espectros obtidos em cada transformada.
1.2. Justificativa
A simulação e o entendimento dos métodos utilizados pelos equipamentos de
medição (especificamente analisadores de energia e potência) para detectar as variações de
tensão é importante como base para interpretação e posterior utilização dos dados obtidos
através desses instrumentos. Esse entendimento abre caminho também para outros projetos
técnicos que proponham a utilização desses equipamentos como ferramentas para obtenção de
dados.
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo Geral
Analisar e sintetizar sinais de variações de tensão não estacionários de curta duração
tipo afundamento de tensão, utilizando a Transformada Discreta de Fourier através de
simulação computacional de dados de variações de tensão obtidos experimentalmente.
16
1.3.2. Objetivos Específicos
- Conhecer fundamento de teoria de qualidade de energia;
- Conhecer fundamentos de teoria de processamento analógico/digital de sinais;
- Conhecer fundamentos da teoria de variações de Tensão de Curta Duração;
- Entender a Transformada Discreta de Fourier e suas aplicações;
- Entender a Transformada de Fourier de Curto Tempo e suas aplicações;
- Conhecer a aplicação toolbox de processamento de sinais do software MATLAB;
- Programação em C++ de algoritmos da transformada de Fourier (rápida e de curto tempo);
- Levantar dados experimentais de diversos tipos de sinais de variação de tensão através de
equipamento simulador e / ou circuito equivalente;
- Processar dados dos sinais obtidos;
- Representar no tempo/freqüência os sinais;
- Comparar amostras de sinais com a Transformada Discreta e a Transformada de Curto
Tempo;
- Levantar espectros dos sinais de tensão;
- Interpretar espectros dos sinais de tensão.
1.4. Método de Pesquisa
A pesquisa a ser realizada para o trabalho proposto será constituída das seguintes
etapas:
- Pesquisa teórica em literatura específica sobre qualidade de energia, processamento de
sinais, Transformadas de Fourier e variações de tensão.
- Desenvolvimento de algoritmos para a simulação das Transformadas de Fourier.
- Contato com a indústria privada para permitir a utilização de uma fonte geradora de
variações de tensão.
- Montagem de um sistema que permita a comunicação e transferência de dados entre
equipamentos de medição e de processamento de dados.
- Coleta de dados em laboratório com equipamento de simulação de variações de tensão.
17
- Comparação ponto a ponto de espectros de sinais obtidos em diferentes algoritmos de
processamento de sinais de tensão amostrados.
1.5. Estrutura do Trabalho
1. Introdução
2. Fundamentação teórica de qualidade de energia
3. Fundamentação teórica de sinais e processamento de sinais
4. Fundamentação teórica de Série e Transformada Discreta de Fourier
5. Procedimentos de geração, medição e transferência de dados experimentais de
variações de tensão
6. Processamento dos dados experimentais
7. Elaboração de algoritmos para simulação das Transformadas de Fourier
8. Resultados das simulações
9. Análises dos espectros dos resultados das simulações
10. Comparação entre os espectros obtidos pelas diferentes Transformadas
2. Qualidade de Energia
Por muito tempo a percepção da maioria dos consumidores de Energia Elétrica foi
de que ao pagar a conta de energia estariam pagando por um serviço prestado pela
concessionária. A qualidade desse serviço seria medida e julgada por esses consumidores em
termos de continuidade do serviço, sendo a interrupção motivo de descontentamento. Essa
percepção está mudando a medida de que outros indicadores de qualidade de energia vêm
adquirindo maior importância e muitos consumidores já entendem Energia Elétrica como um
produto que assim como qualquer outro precisa estar dentro de padrões de qualidade,
confiabilidade e segurança.
Distúrbios tais como variações momentâneas de tensão, interferências
eletromagnéticas e harmônicas, entre outros, têm forte influência no funcionamento e
produtividade das soluções eletrônicas. Seja nas residenciais dos pequenos consumidores ou
em grandes plantas industriais a chamada “era da eletrônica” trouxe profundas mudanças no
perfil das máquinas e dos equipamentos. Sistemas antes predominantemente resistivos ou
18
eletromecânicos robustos perderam espaço para sistemas eletrônicos muito mais sensíveis à
energia de baixa qualidade. Para esses novos sistemas pequenas variações podem muitas
vezes ter conseqüências mais graves do que interrupções. Em paralelo com a mudança no
perfil dos sistemas elétricos temos outras mudanças importantes que contribuem para o
quadro de crescente ênfase na melhoria da qualidade da energia elétrica.
A evolução dos sistemas produtivos com filosofias do tipo “fazer mais com menos”
exige que a capacidade produtiva dos recursos seja maximizada, tornando a indisponibilidade
ou mau funcionamento uma falha grave. A qualidade da energia fornecida pode ser
determinante para a produtividade e consequentemente para a sobrevivência dos negócios no
atual ambiente de forte competitividade do mundo globalizado.
Embalado na competição entre os muitos fornecedores temos a evolução do nível de
exigência dos consumidores que entendem e exercem o direito de escolher pelo que lhes
apresente a melhor relação custo benefício. Com a criação do mercado livre de energia
elétrica em 1995, que vem a cada ano aumentando o número dos chamados consumidores
livres, o direito de escolha ganhou real significado e os fornecedores de energia elétrica antes
absolutos passaram a preocupar-se com a possibilidade de perderem seus clientes para outras
empresas do sistema interligado.
Com o cenário descrito podemos entender que o produto energia elétrica encontrará
pela frente exigências crescentes e que necessitará de esforços de melhoria constante na sua
qualidade.
2.1. O que é Qualidade de Energia Elétrica?
Não existe uma única e absoluta definição para qualidade de energia. Existem
padrões e normas para definir os parâmetros considerados adequados para a energia elétrica
fornecida, mas além desses parâmetros pode-se entender que uma medida da qualidade da
energia é o desempenho e a produtividade das máquinas e equipamentos do usuário final.
Portanto temos um conceito dinâmico e necessariamente em constante revisão. A evolução
tecnológica dos equipamentos precisa ser seguida de perto pela evolução da energia elétrica
que lhes será fornecida.
Em uma análise final, energia elétrica de alta qualidade é aquela que supre
plenamente as necessidades dos consumidores, necessidades essas que devem estar bem
alinhadas com as normas e regulamentações vigentes.
19
No módulo 8 dos Procedimentos de Distribuição - PRODIST de Fevereiro de 2006
(revisado em agosto 2006) da Agência Nacional de Energia Elétrica, ANEEL, pode-se
encontrar uma referência atual para os padrões nacionais de Qualidade de Energia Elétrica e
no item 2.2 desse documento temos a seguinte definição:
“O termo conformidade de tensão elétrica se refere à comparação da tensão medida
no ponto de conexão em relação aos níveis de tensão especificados como adequados,
precários e críticos.”
Conhecer as especificações, medir e alinhar os parâmetros e verificar
constantemente os resultados é o caminho da qualidade.
2.2. Distorções na Qualidade da Energia
As possibilidades de distorções da qualidade da energia elétrica são inúmeras, mas
a seguir serão destacadas as principais distorções que são reconhecidas pela comunidade de
estudiosos em Qualidade de Energia (DUGAN, 1996):
2.2.1. Transitórios
O termo transitório é utilizado em análises de variações de tensão em sistemas para
descrever um evento indesejável, mas de natureza momentânea. Pode-se ter noção de um
transitório amortecido em circuitos RLC. O termo transitório pode criar interpretações erradas
sobre sua natureza por sua definição geral se aproximar à de outros fenômenos como
variações momentâneas de tensão. Pela sua potencial ambigüidade no campo da qualidade de
energia evita-se utilizar o termo transitório a menos que venha com definição mais específica
sobre o fenômeno a que se refere (DUGAN, 1996). Um exemplo de transitório pode ser
observado na figura 2.1.
20
Figura 2.1 – Exemplo de uma forma de onda indicando um afundamento de tensão
(BOLLEN, p.284, 2006).
2.2.2. Variações de Tensão de Longa Duração
Variações de tensão de longa duração abrangem variações na tensão eficaz com
duração de mais de 1 minuto. Essas variações podem ser denominadas sobretensões e
subtensões e não são resultado de faltas no sistema, mas sim de variações de carga através de
operações de chaveamento. Podem-se ter também nessa categoria as interrupções totais.
Sobretensão é um acréscimo superior a 110% na tensão eficaz alternada com
duração maior que 1 minuto. Essas variações são usualmente resultados da retirada de uma
grande carga do sistema ou entrada de um banco de capacitores. Seleção equivocada de tap de
transformador pode resultar também em uma sobretensão no sistema.
Subtensão é um decréscimo inferior a 90% na tensão eficaz alternada com duração
maior que 1 minuto. Os fenômenos que podem ocasioná-la são os opostos da sobretensão.
Entrada de uma grande carga no sistema ou saída de um banco de capacitores. Circuitos
sobrecarregados podem causar subtensão também (DUGAN, 1996).
Interrupções totais são quando a tensão cai à zero por um período maior que 1
minuto.
21
2.2.3. Desequilíbrio de Tensão
Desequilíbrio de tensão é algumas vezes definido como o máximo desvio da média de
tensão ou corrente trifásica dividida pela média de tensão ou corrente trifásica, expresso em
percentual. Pode ser definido também utilizando os componentes simétricos positivo e
negativo da tensão. Nesse caso tem-se a divisão do valor eficaz da componente negativa da
tensão pelo valor eficaz da componente positiva da tensão, também expresso em percentual.
Causas para o desequilíbrio de tensão podem ser a entrada de uma carga monofásica
em um circuito trifásico ou a abertura de um fusível em uma fase de um circuito trifásico
(DUGAN, 1996).
2.2.4. Distorções na Forma de Onda
Distorção na forma de onda é definido como um desvio estacionário com relação ao
sinal ideal caracterizado principalmente pelo espectro do desvio.
São cinco os tipos primários de distorções da onda de tensão:
- dc offset: Presença de uma tensão ou corrente contínua em um sistema de tensão
alternada.
- Harmônicos: Tensões ou correntes senoidais com freqüências múltiplas inteiras da
freqüência de operação do sistema elétrico (50 ou 60 Hz).
- Interharmônicos: Tensões ou correntes com freqüências não múltiplas inteiras da
freqüência de operação do sistema elétrico (50 ou 60 Hz).
- Fendas: Perturbação periódica causada pela operação normal de dispositivos de
eletrônica de potência quando a corrente é comutada de uma fase para outra.
- Ruídos: Sinais elétricos indesejados com freqüências inferiores a 200 kHz
sobrepostos ao sinal principal do sistema elétrico (DUGAN, 1996).
2.2.5. Flutuações de Tensão
Flutuações de tensão são variações aleatórias, repetitivas ou esporádicas da tensão
com magnitudes que normalmente não excedem os limites entre 0,9 e 1,1 p.u.
22
2.2.6. Variações de Freqüência Elétrica
Variações de freqüência elétrica são definidas como um desvio da freqüência
fundamental de operação do sistema elétrico (50 ou 60 Hz). Essas variações estão diretamente
relacionadas com a velocidade de rotação dos geradores do sistema. Variações suaves de
freqüência ocorrem quando há um desequilíbrio entre a carga e a geração no sistema elétrico.
A magnitude e o tempo das variações dependerão das características da carga e do tempo de
resposta dos controles do sistema a variações de carga (DUGAN, 1996).
2.2.7. Variações de Tensão de Curta Duração
O objeto principal de estudo deste projeto são as variações de Tensão de Curta
Duração, portanto a seguir serão descritas com detalhes as definições, características,
metodologias de medição e particularidades desse tipo de distúrbio da qualidade de energia. O
pleno entendimento desse fenômeno é indispensável para o aproveitamento máximo do
conteúdo e conclusões do projeto.
As variações de tensão de curta duração são causadas por faltas, a entrada de uma
grande carga que requer altas correntes de partida, ou perdas de conexão intermitentes nos
cabos de energia. Dependendo da localização da falta e das condições do sistema, a falta pode
causar um afundamento de tensão ou um pico de tensão, ou ainda uma perda total de tensão
(interrupção). A falta pode estar próxima ou não do ponto de interesse, porém nos dois casos
o impacto verificado na tensão durante a condição de falta é uma variação de tensão de curta
duração e se estenderá até a atuação dos dispositivos que isolam ou eliminam a falta
(DUGAN, 1996).
Dada à definição geral seguem abaixo especificações encontradas no PRODIST,
Módulo 8 de 30/08/2006 sobre as variações de tensão de curta duração itens 7.4 até 7.6.
23
Tabela 2.1 - Classificação das Variações de Tensão de Curta Duração (AGENCIA
NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA, 2006).
Item 7.4 Metodologia de Medição.
Item 7.4.1 Além dos parâmetros de duração e amplitude já definidos, a severidade
da variação de tensão de curta duração, medida entre fase e neutro, de determinado
barramento do sistema de distribuição é também caracterizada pela freqüência de ocorrência.
Esta corresponde à quantidade de vezes que cada combinação dos parâmetros duração e
amplitude ocorrem em determinado período de tempo, considerando no mínimo doze meses
consecutivos, ao longo do qual o barramento tenha sido monitorado.
Item 7.4.2 O indicador a ser utilizado para conhecimento do desempenho de um
determinado barramento do sistema de distribuição com relação as variação de tensão de curta
duração corresponde ao número de eventos agrupados por faixas de amplitude e de duração,
discretizados conforme critério estabelecido a partir de levantamento de medições.
24
Item 7.4.3 Num determinado ponto de monitoração, uma variação de tensão de
curta duração é caracterizada a partir da agregação dos parâmetros amplitude e duração de
cada evento fase-neutro. Assim sendo, eventos fase-neutro simultâneos são primeiramente
agregados compondo um mesmo evento no ponto de monitoração (agregação de fases).
Item 7.4.4 Os eventos consecutivos, em um período de três minutos, no mesmo
ponto, são agregados compondo um único evento (agregação temporal).
Item 7.4.5 O afundamento ou a elevação de tensão que representa o intervalo de um
minuto é o de menor ou de maior amplitude da tensão, respectivamente.
Item 7.4.6 A agregação de fases deve ser feita pelo critério de união das fases, ou
seja, a duração do evento é definida como o intervalo de tempo decorrido entre o instante em
que o primeiro dos eventos fase-neutro transpõe determinado limite e o instante em que o
último dos eventos fase-neutro volta a ultrapassar este limite.
Item 7.4.7 As seguintes formas alternativas de agregação de fases podem ser
utilizadas:
a) agregação por parâmetros críticos - a duração do evento é definida como a
máxima duração entre os três eventos fase-neutro e o valor de magnitude que mais se
distanciou da tensão de referência.
b) agregação pela fase crítica - a duração do evento é definida como a duração do
evento fase-neutro de amplitude crítica, ou seja, amplitude mínima para afundamento e
máxima para elevação.
Item 7.4.8 Afundamentos e elevações de tensão devem ser tratados separadamente.
Item 7.4.9 Nos medidores destinados ao levantamento das curvas de carga, que
compõem a medição permanente amostral, deverão ser apurados os valores da severidade da
variação de tensão de curta duração.
Item 7.5 Instrumentação.
25
Item 7.5.1 Os instrumentos de medição devem observar o atendimento aos
protocolos de medição e às normas técnicas vigentes.
Item 7.6 Valores de referência.
Item 7.6.1 Não são atribuídos padrões de desempenho a estes fenômenos.
Item 7.6.2 As distribuidoras devem acompanhar e disponibilizar, em bases anuais, o
desempenho das barras de distribuição monitoradas. Tais informações poderão servir como
referência de desempenho das barras de unidades consumidoras atendidas em Alta Tensão e
Média Tensão com cargas sensíveis a variações de tensão de curta duração.
3. Teoria de Processamento de Sinais
3.1. Introdução a Sinais
A percepção da natureza pode ser entendida com um conjunto de emissões e
captações de sinais. Por exemplo, a sensibilização dos sentidos humanos a uma tempestade,
nos quais sinais sonoros e visuais são captados e processados, caracterizando assim o evento
natural ao homem. Logo, pode-se definir o sinal como sendo uma função de única ou diversas
variáveis que detém informações a respeito da natureza provenientes de um evento físico
(HAYKIN, 2001).
Quando existir o interesse em captar e armazenar os sinais emitidos por um evento
qualquer, se faz necessário projetar um sistema para interagir com este evento. Isto pode ser
feito, por exemplo, através de um sistema composto por componentes como resistores,
capacitores, indutores, diodos, no qual o resultado será representado por sinais elétricos
analógicos. Todavia esta forma de representação inviabiliza sua utilização digital, ou seja, não
é possível realizar um tratamento computacional desde tipo de informação, pois um sistema
computacional é especialmente projetado para lidar com dados seqüenciais envolvendo
números, portanto, sinais discretos ou digitais. Muitos sinais tomados da natureza podem ser
totalmente representados por suas versões amostradas, que constituem sinais cujas amostras
coincidem com os sinais originais no tempo contínuo em determinados instantes de tempo. Se
26
x(t)
t
x[n]
t00
(a) (b)
puder saber quão rápido a informação relevante varia, podemos sempre amostrar a informação
no tempo contínuo e convertê-la em informação no tempo discreto.
Neste ponto é possível fazer uma distinção entre dois tipos de sinais: discretos e
analógicos, os quais se diferenciam pela forma como se comportam no decorrer do tempo.
Sinais analógicos são contínuos durante todo um tempo e sinais digitais são definidos em
instantes isolados de tempo. A figura 3.1 permite a visualização de um mesmo sinal,
representado de forma analógica e digital.
Logo o processamento digital dos sinais contínuos e seu posterior tratamento
computacional ocasionam satisfatórias vantagens, tais como:
Flexibilidade: uma máquina digital pode programar diversas operações de
processamento de sinais, fazendo alterações não físicas no equipamento, ou seja, apenas em
seu programa. Esta característica permite ainda que se possa obter maior quantidade de
resultados e conclusões a respeito do sinal estudado, tendo em vista a facilidade de executar
alterações no programa que ocasionem os resultados esperados. No caso de um sistema
analógico, qualquer alteração acarreta em mudanças físicas, tais como substituição de
componentes eletrônicos.
Repetitividade: um sistema digital é capaz de repetir diversas operações com
resultados iguais, enquanto um sistema analógico sofre típicas variações de parâmetros, que
podem surgir a partir de variações externas como tensão de alimentação e temperatura
ambiente.
Em resumo, confiabilidade, flexibilidade e conseqüente baixo custo são as
principais vantagens dos sistemas digitais em relação aos sistemas analógicos para
processamento de sinais. (HAYKIN, 2001; DINIZ, 2004).
Figura 3.1– (a) Sinal no Tempo Contínuo (b) Representação de x(t) como um sinal de tempo
discreto x[n] (HAYKIN, 2001, p.35).
27
3.2. Teoria da Amostragem
Um sinal x[n] no tempo discreto normalmente deve representar um sinal x(t) do
tempo contínuo. Este sinal é composto por diversas amostras coletadas do sinal contínuo:
][][ nTxnx = [3.1]
Para processar o sinal no tempo contínuo x(t) usando um sistema discreto, é
necessário primeiramente convertê-lo conforme a equação [3.1], processar digitalmente a
entrada no tempo discreto e então converter a saída no tempo discreto de volta ao domínio do
tempo contínuo. Para isso é necessário que se tenha capacidade de restaurar um sinal no
tempo contínuo a partir de suas amostras.
Observa-se agora a representação em tempo contínuo )(txd do sinal de tempo
discreto ][nx :
∑∞
−∞=
−=n
d nTtdnTxtx )(].[)( [3.2]
Neste caso pode-se reescrever a equação 3.2, como um produto de funções no
tempo:
)().()( tptxtxd = [3.3]
Onde )(tp é um trem de impulsos, representando a taxa de amostragem.
∑∞
−∞=
−=n
nTtdtp )()( [3.4]
A figura 3.2 mostra graficamente a representação de um sinal contínuo amostrado
(fig. 3.2a) como o produto do sinal de tempo contínuo original (fig. 3.2b) por um trem de
impulsos (fig. 3.2c).
28
p(t)x(t)
t t00
(b) (c)
xd(t)
t0
(a)
T 2T-T
Figura 3.2 – (a) Sinal no Tempo Contínuo Amostrado (b) Sinal no tempo contínuo original (c)
Trem de impulsos (HAYKIN, 2001, p 284).
A multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da
freqüência e da operação de convolução de )( jwX com cada um dos impulsos deslocados
obtêm-se, dado que T
wS
π2= :
∑∞
−∞=
−=K
sd kwwjXT
jwX ))((1
)( [3.5]
Uma análise qualitativa a respeito da teoria da amostragem diz que para que um
sinal contínuo possa ser eficazmente representado por sua representação discreta amostrada, o
intervalo entre as amostras deve ser tão pequeno que seja capaz de captar todas as variações
do sinal original. Assim, pode-se formalmente estabelecer a teoria da amostragem:
“Admitamos que )()( jwXtx → represente um sinal de faixa limitada, de forma
que 0)( =jwX para .|| mww > Se mS ww 2> , em que TwS /2π= é a freqüência de
amostragem, então )(tx é determinado de maneira única por suas amostras
,...2,10),( ±±=nnTx ” (HAYKIN, 2001; DINIZ, 2004).
Uma importante análise qualitativa do teorema da amostragem é o conhecimento do
efeito chamado aliasing, no qual há uma superposição do sinal original quando amostrado.
Neste caso o espectro do sinal amostrado deixa de ter uma correspondência biunívoca com o
do sinal de tempo contínuo original. Isto significa que não é possível usar o espectro do sinal
29
amostrado para analisar o sinal de tempo contínuo, tornando-se impossível reconstruir de
forma única o sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras. (HAYKIN, 2001)
3.2.1. Subamostragem e Superamostragem
Se há a necessidade de mudar a taxa efetiva de dados de uma amostragem já
executada, ou seja, um sinal contínuo já foi amostrado tornando-se assim um sinal no tempo
discreto, há a possibilidade de se lançar mão de procedimentos conhecidos como
subamostragem e superamostragem. Nesta linha, os conceitos de decimação e interpolação
também são importantes, no qual a interpolação (ação da superamostragem) é o aumento
efetivo de taxa de amostragem inserindo-se zeros entre as amostras e aplicando-se depois um
filtro passa-baixas, enquanto a decimação (ação da subamostragem) reduz a taxa de
amostragem, executada pela subamostragem de uma versão filtrada com passa-baixas do
sinal. (HAYKIN, 2001)
3.3. Teoria de Janelas
Apresentadas as etapas do processamento de um sinal contínuo tratado digitalmente,
como mostra a figura 3.3, é de suma importância à fase denominada implementação da janela.
Nesta etapa o sinal discretizado, ou seja, o sinal contínuo que foi amostrado passa por um
tratamento o qual busca tornar sua resposta em freqüência o mais real possível, conforme a
figura 3.4.
Conforme a equação [3.6], o sinal discretizado é convoluído com sinal da janela,
criando assim o sinal h[n]:
][].[][ nwnxnh = [3.6]
Analisando a figura 3.4 podemos concluir que uma boa janela é uma seqüência de
comprimento finito cuja resposta em freqüência quando convoluída com uma resposta na
freqüência ideal, produz a menor distorção possível. Essa mínima distorção ocorreria quando
a resposta na freqüência da janela tivesse uma forma próxima à de um impulso concentrado
em torno 0=ω , como representado na figura 3.4a. Neste caso ainda devemos encontrar uma
30
janela de comprimento finito cuja resposta em freqüência tenha a maior parte de sua energia
concentrada em torno de 0=ω . Além disso, a fim de evitar as oscilações na resposta de
módulo do filtro, os lobos laterais da resposta na freqüência da janela devem decair
rapidamente à medida que módulo de ω aumenta.
DFT do sinal Janeladoh[n]
Conversor
análogico - digitalFiltro Digital
X DFT
Sinal Contínuo x(t)
Sinal Filtrado Amostrado
x[n]
Janelamentow[n]
Figura 3.3 – Etapas básicas para processamento digital de um sinal contínuo
(OPPENHEIM, 1999).
Figura 3.4 – (a) Resposta ideal de módulo de uma função janela. (b) Resposta real de módulo de
uma função janela (DINIZ, 2004, p. 211).
O lóbulo principal ou lobo principal de uma janela é definido como a faixa de
freqüência entre o primeiro cruzamento por zero de sua resposta em freqüência nos dois lados
da origem. As regiões de transição individuais que se situam nos dois lados do lobo principal
são chamadas de lobos laterais. A largura do lobo principal e as amplitudes dos lobos laterais
fornecem medidas da extensão pela qual a resposta em freqüência se desvia de uma função
impulso, e consequentemente nos fornecem parâmetros qualitativos de um processamento
adequado de um sinal.
Sinal amostrado janelado
H[n]
31
Geralmente a função janela que origina os efeitos da aplicação da janela na prática
é como mostra a figura 3.4b. O efeito do lobo secundário é introduzir uma ondulação maior
próxima às extremidades da faixa. Logo, uma função janela deve possuir as seguintes
características para uma resposta de módulo:
- A razão da amplitude do lobo principal para a amplitude do lobo secundário tem
que ser tão grande quanto possível;
- A energia tem que decair rapidamente à medida que o módulo de ω aumenta.
Desta forma, diversas janelas foram implementadas visando atender as especificações citadas
anteriormente, dentre as quais se destacam: Retangular, Triangular, Bartlett, Hamming,
Hanning, Blackman, dentre outras. (HAYKIN, 2001; DINIZ, 2004; OPPENHEIM, 1999).
Considerando M como o comprimento de freqüência da janela, temos que:
Janela Retangular
≤≤
=contráriocaso
MnnwR ,0
0,1)( [3.7]
Janela Triangular
≤<−
≤≤
=
contráriocaso
MnM
M
n
MnM
n
nwT
,02
,.2
2
0,.2
)( [3.8]
Janela de Hamming
≤≤−
=
contráriocaso
MnM
n
nwH
,0
0),2
cos(.46,054,0)(
π
[3.9]
32
Janela de Hanning
≤≤−
=
contráriocaso
MnM
n
nwH
,0
0),2
cos(.5,05,0)(
π
[3.10]
Janela de Blackman
≤≤+−
=
contráriocaso
MnM
n
M
n
nwBm
,0
0),4
cos(08,0)2
cos(5,042,0)(
ππ
[3.11]
A figura 3.5 mostra a comparação da utilização das diferentes janelas.
Figura 3.5 – Janelas comumente utilizadas (OPPENHEIM, 1999, p. 469).
3.4. Teoria da Convolução
A resposta ao impulso caracteriza de maneira completa o comportamento de
qualquer sistema linear invariante no tempo. Isto quer dizer que podemos conhecer o
comportamento de um sistema se na sua entrada for aplicado um impulso e analisarmos sua
saída. Se a entrada qualquer em sistema linear for expressa como uma superposição
ponderada de impulsos deslocados no tempo, a saída será uma superposição ponderada da
resposta do sistema a cada impulso deslocado no tempo. Se o sistema também for invariante
no tempo, a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo será uma versão deslocada
33
no tempo da resposta do sistema a um impulso. Por isso, a saída de um sistema invariante no
tempo é dada por uma superposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo.
Esta superposição é chamada de soma de convolução para sistemas discretos, e, integral de
convolução para sistemas contínuos, ou, somente convolução. (HAYKIN, 2001)
Considere o produto de ][nx e ][ny . Logo, a convolução será:
∑∞
−∞=−=
kknykxnynx ][].[][*][ [3.12]
Considere o produto de )(tx e )(ty . Logo, a convolução será:
∫∞
−∞=
−=k
tyxtytx δτττ )()()(*)( [3.13]
4. Transformadas de Fourier
4.1. A Série Discreta de Fourier
Para correto entendimento e melhor interpretação da Transformada Discreta de
Fourier é necessário introduzir alguns conceitos da serie discreta que serão a base para o
entendimento da Transformada.
Considere a seqüência [ ]nx~ periódica com período N, de forma que
[ ] [ ]rNnxnx += ~~ para todo valor inteiro de r e n. Essa seqüência pode ser representada por
uma série de Fourier que corresponde à soma de exponenciais complexas harmonicamente
relacionadas, com freqüências que são inteiros múltiplos da freqüência fundamental ( )N/2π
associados com a seqüência periódica [ ]nx~ .
Essas exponenciais complexas têm a seguinte forma:
[ ] ( ) [ ]rNneene k
knNj
k +== π2 [4.1]
34
Em que k são um inteiro, e a representação da Série de Fourier tem a seguinte forma:
[ ] [ ] ( )∑=k
knNjekXN
nx π2~1~ [4.2]
Verifica-se que a série discreta de Fourier para qualquer sinal discreto de período N
requer apenas N exponenciais complexas harmonicamente relacionadas, portanto a
representação de da serie de Fourier de uma seqüência periódica será expressa conforme
segue:
[ ] [ ] ( )∑−
=
=1
0
2~1~N
k
knNjekX
Nnx
π [4.3]
Considerando que há ortogonalidade entre as exponenciais complexas os
coeficientes da série de Fourier [ ]kX~
da seqüência periódica [ ]nx~ serão:
[ ] [ ] ( )∑−
=
−=1
0
2~1~ T
n
knNjenx
NkX
π [4.4]
Nota-se que seqüência [ ]kX~
é periódica com período N.
A vantagem da interpretação dos coeficientes [ ]kX~
da série de Fourier de uma
seqüência periódica é que há, então, uma dualidade entre os domínios do tempo e da
freqüência para a representação de seqüências periódicas através da série de Fourier. As
equações [4.3] e [4.4] são as equações de análise e síntese e são a representação da série
discreta de Fourier.
4.1.1 Exemplo da Serie Discreta de Fourier Aplicada a um Trem Retangular de Pulsos
Para o exemplo, [ ]nx~ é a seqüência mostrada na Figura 4.1, com período N = 10.
35
Figura 4.1 – Seqüência Periódica com período N = 10. (OPPENHEIM, 1999, p. 545)
Utilizando a equação [4.4] temos:
[ ] ( )∑=
−=4
0
102~
n
knjekX
π [4.5]
Essa soma finita pode ser representa conforme segue:
[ ] ( ) ( )( )[ ]10
2~ 104
ksen
ksenekX
kj
π
ππ−= [4.6]
O módulo e a fase da seqüência periódica [ ]kX~
estão representadas na figura
abaixo:
Figura 4.2 – Módulo e Fase dos coeficientes da serie de Fourier da seqüência
(OPPENHEIM, 1999, p. 545).
36
Foi mostrando, portanto que qualquer seqüência periódica pode ser representada
como uma soma de exponenciais complexas. Os principais resultados estão resumidos nas
equações [4.3] e [4.4]. Como será mostrado a seguir essa teoria será a base para a
Transformada Discreta de Fourier, cujo foco são as seqüências finitas (OPPENHEIN, 1999).
4.2. A Transformada de Fourier de Sinais Periódicos
A Transformada de Fourier de um sinal periódico pode ser interpretada como um
trem de impulsos no domínio da freqüência com os valores dos impulsos sendo proporcionais
aos coeficientes da série discreta de Fourier da seqüência. Especificamente para uma função
[ ]nx~ periódica com período N e cujos coeficientes da serie discreta de Fourier são [ ]kX~
,
teremos que a transformada de Fourier de x[n] é definida como sendo o trem de impulsos
abaixo:
∑∞
−∞=
−=
k
j
N
kkX
NeX
πωδ
πω 2][
~2)(
~ [4.7]
Percebe-se que ( )ωjeX~
terá necessariamente o período de π2 já que [ ]kX~
é
periódica com período N e os impulsos são espaçados por múltiplos inteiros de Nπ2 , em
que N é inteiro. Para mostrar que ( )ωjeX~
como definido na equação [4.7] é uma
representação da transformada de Fourier da seqüência periódica [ ]nx~ , substituí-se a equação
[4.7] na equação da transformada de Fourier inversa,
( ) [ ]∫ ∑∫−
−
∞
−∞=
−
−
−=
επ
ε
ωεπ
ε
ωω ωπ
ωδπ
πω
π
2
0
2
0
2~2
2
1~2
1
k
njnjjde
N
kkX
NdeeX [4.8]
Em que ε está dentro dos limites ( )Nπε 20 << . Os limites de integração ε−0 e
επ −2 são convenientes, pois incluem o impulso em 0=ω e em πω 2= . Trocando a ordem
da integral e do somatório temos:
37
( ) [ ]
[ ] ( )∑
∫∑∫−
=
−
−
∞
−∞=
−
−
=
−=
1
0
2
2
0
2
0
~1
2~1~
2
1
N
k
knNj
nj
k
njj
ekXN
deN
kkX
NdeeX
π
επ
ε
ωεπ
ε
ωω ωπ
ωδωπ
[4.9]
O formato final da equação [4.9] somente é possível porque os impulsos
correspondentes a k=0,1,... (N-1) estão dentro do intervalo entre ε−0 e επ −2 .
Comparando a equação [4.9] e a equação [4.3] vê-se que o lado direito das
equações é exatamente igual e consequentemente a transformada inversa do trem de impulsos
da equação [4.7] é o sinal periódico [ ]nx~ . Apesar da representação da serie discreta de Fourier
ser adequada para a maioria dos casos, a transformada de Fourier mostrada na equação [4.7]
em alguns casos conduzirá a expressões mais simples e compactas, bem como possibilitará
análises simplificadas.
4.2.1 Exemplo da Transformada de Fourier de um Trem de Impulsos
Considerando o seguinte trem de impulsos:
[ ] [ ]∑∞
−∞=
−=r
rNnnp δ~ [4.10]
Sendo [ ]kP~
=1, para todo k, a transformada de Fourier de [ ]np~ é:
∑∞
−∞=
−=
k
j
N
k
NeP
πωδ
πω 22)(
~ [4.11]
O resultado do exemplo acima é a base para uma interpretação da utilidade da
relação entre um sinal periódico e um sinal finito. Considerando um sinal finito x[n] de forma
que x[n] = 0 exceto no intervalo 10 −≤≤ Nn , e considerando a convolução de x[n] com o
trem de impulsos periódico ][~ np do exemplo 4.2.1:
[ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−∗=∗=r
rNndnxnpnxnx ~][~ [4.12]
[ ]∑∞
−∞=
−=r
rNnx
38
A equação [4.12] mostra que [ ]nx~ consiste de uma seqüência de copias repetidas da
seqüência finita x[n]. A figura 4.3 ilustra a forma como uma seqüência periódica [ ]nx~ pode
ser formada a partir de uma seqüência finita x[n] através da equação [4.12].
x[n]
n
x[n]
0
0
Figura 4.3 – Seqüência Periódica [ ]nx~ formada através da repetição da seqüência finita x[n],
periodicamente. (OPPENHEIM, 1999, p. 553)
A transformada de Fourier de x[n] é ( )ωjeX~
, e a transformada de Fourier de [ ]nx~ é:
( ) ( ) ( )
( )
( )( )∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−=
=
k
kNj
k
j
jjj
N
keX
N
N
k
NeX
ePeXeX
πωδ
π
πωδ
π
π
ω
ωωω
22
22
~~
2
[4.13]
Comparando as equações [4.13] e [4.7] chega-se a seguinte conclusão:
[ ] ( )( ) ( ) ( )kN
jkNj eXeXkX πωωπ
22~
=== [4.14]
Portanto a seqüência periódica [ ]kX~
dos coeficientes da serie discreta de Fourier da
equação [4.4] podem ser interpretados como amostras igualmente espaçadas da transformada
de Fourier da seqüência finita obtida extraindo um período de [ ]nx~ .
39
−≤≤
=contráriocaso
Nnnxnx
,0
10],[~][ [4.15]
É possível verificar, por outro lado, que sendo x[n] = [ ]nx~ para 10 −≤≤ Nn e
x[n]=0 no caso contrário:
( ) [ ] [ ]∑ ∑−
=
−
=
−− ==1
0
1
0
~N
n
N
n
njnjjenxenxeX
ωωω [4.16]
Comparando [4.16] e [4.4] verifica-se novamente que:
[ ] ( ) ( )Nk
jeXkX πωω
2
~== [4.17]
Isso corresponde a retirar uma amostra da transformada de Fourier com N
freqüências igualmente espaçadas entre 0=ω e πω 2= com espaçamento entre freqüências
de Nπ2 .
4.2.2 Exemplo do relacionamento entre os coeficientes da serie de Fourier e a transformada de
Fourier de um período
Considerando novamente a seqüência [ ]nx~ do exemplo 4.1.1, que é mostrado na
figura 4.1. Um período de [ ]nx~ para a seqüência na figura 4.1 é:
≤≤
=contráriocaso
nnx
,0
40,1][ [4.18]
40
Figura 4.4 – Módulo e Fase de um período da Transformada de Fourier da seqüência da figura
4.1 (OPPENHEIM, 1999, p. 554)
A transformada de Fourier de um período de [ ]nx~ é dada por:
( ) ( )( )2
2524
0 ω
ωωωω
sen
seneeeX
j
n
njj −
=
− ==∑ [4.19]
A equação [4.17] também pode ser demonstrada através desse exemplo
substituindo-se 102 kπω = na equação [4.19], resultando:
[ ] ( ) ( )( )10
2~ 104
ksen
ksenekX
kj
π
ππ−= [4.20]
Veja que é idêntico ao resultado da equação [4.6]. O módulo e a fase de ( )ωjeX são
demonstrados no figura [4.4]. Nota-se que a fase é descontínua nas freqüências em que
( )ωjeX =0. Verifica-se que as seqüências mostradas nas figuras 4.2(a) e 4.2(b) correspondem
41
a amostras das seqüências das figuras 4.4(a) e 4.4(b) e foram sobrepostas na figura 4.5
(OPPENHEIM, 1999):
Figura 4.5 – Sobreposição das figuras 4.2 e 4.4 ilustrando os coeficientes da serie discreta de
Fourier de uma seqüência periódica como amostras da transformada de Fourier em um
período (OPPENHEIM, 1999, p. 555).
4.3. Representação de Fourier para Seqüências de Duração Finita: A
Transformada Discreta de Fourier
A Transformada Discreta de Fourier é uma seqüência finita de amostras,
igualmente espaçadas na freqüência da Transformada de Fourier de um sinal contínuo. Em
adição a sua importância como uma representação de Fourier para seqüências, a
Transformada Discreta de Fourier tem papel importante na implementação de diversos
algoritmos para processamento de sinais digitais. Isso porque existem diversos algoritmos
bastante eficientes para computação de Transformadas Discretas de Fourier.
42
Considerando uma seqüência finita x[n] composta de N amostras de forma que
x[n]=0 fora dos limites 10 −≤≤ Nn . Para cada seqüência finita, pode-se associar uma
seqüência periódica conforme abaixo:
∑∞
−∞=
−=r
rNnxnx ][][~ [4.21]
A seqüência finita x[n] pode ser extraída de [ ]nx~ conforme abaixo:
−≤≤
=contráriocaso
Nnnxnx
,0
10],[~][ [4.22]
No item 4.2 foi colocado que os coeficientes da serie discreta de Fourier de [ ]nx~
são amostras (espaçadas na freqüência de Nπ2 ) da transformada de Fourier de x[n]. Desde
que se assuma que x[n] é finita de tamanho N, não há sobreposição entre os termos [ ]rNnx −
para diferentes valores de r.
Como definido no item 4.1, a seqüência de coeficientes [ ]kX~
da série discreta de
Fourier de uma seqüência periódica [ ]nx~ é em si mesma uma seqüência periódica de período
N. Para manter a dualidade entre os domínios do tempo e da freqüência, escolhem-se os
coeficientes de Fourier associados a uma seqüência finita para ser a seqüência finita
correspondente a um período de [ ]kX~
. Essa seqüência finita, [ ]kX , será denominada
transformada discreta de Fourier. Portanto a transformada discreta de Fourier é relacionada
com os coeficientes da serie discreta de Fourier, [ ]kX~
, por:
−≤≤
=contráriocaso
NkkXkX
,0
10],[~
][ [4.23]
Genericamente as equações para análise e síntese são respectivamente descritas
conforme abaixo:
[ ] [ ] ( )∑−
=
=1
0
2N
n
knNjenxkX
π [4.24]
43
[ ] [ ] ( )∑−
=
−=1
0
21 N
k
knNjekX
Nnx
π [4.25]
Ao reformular as equações [4.3] e [4.4] na forma das equações [4.24] e [4.25] para
seqüências finitas não é eliminada a periodicidade. Assim como na serie discreta de Fourier, a
transformada discreta de Fourier [ ]kX é igual a amostras da transformada de Fourier
periódica ( )ωjeX , e se a equação [4.25] for avaliada para valores de n fora do intervalo
10 −≤≤ Nn , os resultados não serão zero, mas ao contrário uma extensão periódica de x[n].
Então a inerente periodicidade continua presente. Algumas vezes isso pode causar
dificuldades e algumas vezes pode ser explorado, mas ignorar o fato sempre trará problemas.
Ao definir a transformada discreta de Fourier reconhece-se que os valores relevantes de x[n]
são apenas os que estão no intervalo 10 −≤≤ Nn pois x[n] é realmente zero fora do
intervalo, e os valores relevantes para [ ]kX são também os que estão dentro do intervalo
10 −≤≤ Nk , pois são os únicos valores necessários da equação [4.25] (OPPENHEIM, 1999).
4.4. A Transformada Rápida de Fourier
Como foi visto anteriormente a Transformada Discreta de Fourier tem um
importante papel na análise, representação e implementação de algoritmos de processamento
de sinais discretos. Tem especial importância o fato de existirem algoritmos bastante
eficientes para processamento computacional da transformada discreta de Fourier, o que
reforça a transformada discreta de Fourier como uma ferramenta importante em aplicações
práticas de sistemas em tempo discreto. O grupo de algoritmos eficientes referido é chamado
Transformada Rápida de Fourier.
Uma forma de medir a complexidade computacional de um sistema é contabilizar o
número de somas e multiplicações aritméticas. Nesses termos a classe de algoritmos da
transformada rápida de Fourier pode ser muitas vezes mais eficiente que outros algoritmos
concorrentes. A eficiência das transformadas rápidas de Fourier é tão alta que em muitos
casos a forma mais eficiente de implementar uma convolução é computar as transformadas
das seqüências a serem convoluídas, multiplicá-las e, então, computar a transformada inversa
da multiplicação das transformadas.
Para um entendimento mais claro toma-se como base uma avaliação direta das
equações das equações [4.24] e [4.25], apresentadas no final do item 4.3 . Sendo x[n] um
44
número complexo, são necessárias N multiplicações entre complexos e (N – 1) adições entre
complexos para computar cada valor da transformada discreta de Fourier quando se utiliza a
equação [4.24], por exemplo, para computação direta. Para computar todos os N valores serão
necessárias N2 multiplicações complexas e N(N – 1) adições complexas. Considerando que
X[k] será computado para N valores diferentes de k e que cada multiplicação complexa
representa 4 multiplicações reais e cada adição complexa representa duas adições reais, a
computação direta da transformada discreta de Fourier requer 4N2 multiplicações reais e
N(4N– 2) adições reais. Fica evidente que para o método direto o número de operações
aritméticas é tanto maior quanto for o número de valores para N.
Os algoritmos das transformadas rápidas de Fourier têm como princípio
fundamental decompor a transformada discreta de Fourier em seqüências N menores. Esse
princípio conduz a uma grande variedade de algoritmos, todos com significativos ganhos
computacionais (OPPENHEIM, 1999).
5. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier
5.1. Introdução
No capítulo 4 foi desenvolvida a Transformada Discreta de Fourier como uma
representação de sinais finitos. Por sua facilidade computacional com algoritmos eficientes a
transformada discreta de Fourier tem importante papel em aplicações em processamento de
sinais tais como análise espectral. Nesse capítulo será introduzida a análise de Fourier de
sinais utilizando a Transformada Discreta de Fourier (OPPENHEIM, 1999).
5.2. Passos para Processamento de Sinais Utilizando Transformada Discreta de
Fourier
Os passos básicos para aplicar a transformada discreta de Fourier em um sinal
contínuo no tempo estão indicados na figura 5.1:
45
Figura 5.1 – Passos para processamento na análise de Fourier para o tempo discreto de um
sinal no tempo contínuo (OPPENHEIM, 1999, p. 694).
Após a captura, tratamento através de filtros e conversão do tempo contínuo para o
discreto do sinal ( )txc tem-se a seqüência de amostras x[n] que é representada no domínio da
freqüência por uma réplica periódica e de freqüência normalizada.
( ) ∑∞
−∞=
+=
r
c
j
T
rj
TjX
TeX
πωω 21 [5.1]
A seguir a figura 5.2 ilustra em (a) a transformada de Fourier de um sinal no
contínuo no tempo, (b) a resposta em freqüência do filtro antialiasing, (c) a transformada de
Fourier da saída do filtro antialiasing, (d) a transformada de Fourier do sinal amostrado, (e) a
transformada de Fourier da janela, (f) transformada de Fourier do sinal através do segmento
da janela e amostras de freqüência obtidas utilizando as amostras da transformada discreta de
Fourier.
46
Figura 5.2 – Ilustra a Transformada de Fourier de um sistema (OPPENHEIM, 1999, p. 695).
Como indicado, a seqüência x[n] é multiplicada por uma janela finita w[n], já que o
sinal de entrada da transformada discreta de Fourier precisa ser finito. Essa multiplicação
produz uma seqüência finita [ ] [ ] [ ]nxnwnv = . O efeito no domínio da freqüência é uma
convolução periódica conforme segue:
( ) ( ) ( )( )∫−
−=
π
π
θωθω θπ
deWeXeVjjj
2
1 [5.2]
47
A operação final mostrada na figura 5.1 é determinar a transformada discreta de
Fourier. A transformada da seqüência multiplicada pela janela [ ] [ ] [ ]nxnwnv = é:
[ ] [ ] ( ) 1...,1,0,1
0
2 −==∑−
=
−NkenvkV
N
n
knNj π , [5.3]
Em que se assume que o tamanho da janela L é menor ou igual ao tamanho N da
transformada discreta de Fourier. [ ]kV , a transformada discreta de Fourier da seqüência finita
[ ]nv , corresponde a amostras igualmente espaçadas da transformada de Fourier de [ ]nv :
[ ] ( ) Nk
jeVkV πωω
2== [5.4]
A figura 5.2 (f) mostra também [ ]kV como as amostras de ( )ωjeV . Sendo o
espaçamento entre as freqüências da transformada discreta de Fourier Nπ2 , e o
relacionamento entra a freqüência variável normalizada no tempo discreto e a freqüência
variável no tempo contínuo é TΩ=ω , as freqüências da transformada discreta de Fourier
correspondem às freqüências no tempo contínuo conforme segue:
NT
kk
π2=Ω [5.5]
Muitos analisadores de espectro em tempo real são baseados nos princípios
expressos nas figuras 5.1 e 5.2 (OPPENHEIM, 1999).
6. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier de
Curto Tempo
Um dos principais interesses na análise de perturbações não estacionárias de tensão
e corrente é mensurar o conteúdo da freqüência do sinal como função do tempo. Como
exemplo pode-se estar interessado nos componentes no domínio da freqüência de um
transitório de chaveamento de um capacitor ou na distorção na tensão durante um
afundamento momentâneo de tensão. Para perturbações no sistema elétrico, descrever de
48
forma acurada amplitude e ângulo de fase passa a ser também uma função do tempo e requer
métodos não triviais, especialmente para o caso de eventos de curta duração.
Uma forma adequada de extrair as informações de eventos de curta duração em
sinais de tensão e corrente é aplicar uma decomposição tempo - freqüência em que se obtêm
os componentes do sinal no tempo. A Transformada Discreta de Fourier Curto Tempo é
utilizada para a decomposição no tempo – freqüência de sinais não estacionários, em que a
utilização da transformada de Fourier somente torna-se inadequada.
Para um sinal x[n] dado, a componente complexa na banda de freqüência k em um
instante de tempo n pode ser obtido através da Transformada Discreta de Curto de Tempo de
Fourier, conforme definição abaixo para k = 0,1,...,N-1:
∑ −−=
m
mjj
nkk emnwmxeX
ωω )()()( [6.1]
Onde Nkk /2πω = , sendo k um índice associado com a freqüência em radianos e N
o número de bandas de freqüência. w(n) é uma janela simétrica selecionada (ex. Janela de
Hamming) de tamanho L, sendo L menor ou igual a N. Uma Transformada Discreta de Curto
de Tempo de Fourier é usualmente implementada através da utilização de uma Transformada
Discreta de Fourier com uma janela deslizante conforme abaixo:
[ ] [ ])1()(...)1()2()0()1()1(...)1()0( −+−+−=− LwnxwLnxwLnxDFTNXXX Nnnn
[6.2]
Onde n denota o tempo, e DFTN denota os N-pontos da Transformada Discreta de
Fourier, normalmente utiliza-se L = NL. O sinal de saída dependente do tempo através do
deslizamento da janela base.
Concluímos que através da Transforma de Fourier de Curto Tempo, são obtidos os
espectros do sinal para diferentes deslocamentos no tempo t, segmentados pela janela w.
Tomando-se o quadrado do módulo da Transforma de Fourier de Curto Tempo, obtém-se uma
representação tempo e freqüência do sinal chamada de espectrograma. O espectrograma
mostra como a energia do sinal está distribuída conjuntamente em tempo e em freqüência. Ou
seja, através do espectrograma, o sinal representado originalmente em uma dimensão passa a
ser representado em duas dimensões: tempo e freqüência.
49
O espectrograma, ou qualquer outra representação tempo e freqüência quadrática é
tipicamente visualizado como uma imagem, onde a intensidade representa a energia e os eixos
x e y é o tempo e a freqüência, respectivamente. (BOLLEN, 2006).
7. Desenvolvimentos dos Algoritmos das Transformadas Discretas de
Fourier
7.1. Escolha do Programa para o Processamento de Sinais: Matlab
A escolha do programa computacional que deverá ser utilizado para a realização do
processamento dos sinais de afundamentos de tensão pelas transformadas discretas de Fourier
é de suma importância. Há uma grande quantidade de programas e linguagens de
programação que exerceriam de forma eficaz o trabalho do processamento, tais como C, C++,
Fortran, porém o programa Matlab foi escolhido como ideal.
O Matlab pratica a chamada linguagem Matlab, que possui uma grande quantidade
de funções técnicas e matemáticas pré-definidas, tornando a programação dos algoritmos mais
rápida e eficaz, no qual a preocupação da programação das funções matemáticas fica por
conta do programa, sendo assim possível focar no problema técnico.
O Matlab é uma linguagem interpretada, no qual o programa escrito não é
convertido em um arquivo executável. Ele é executado utilizando um outro programa, o
interpretador, que lê o código-fonte e o interpreta diretamente durante a sua execução.
Especificamente torna a programação de um algoritmo mais fácil, pois cada linha de comando
que é lançada no programa é avaliada. Neste caso o Matlab também propicia outra facilidade,
pois é possível escrever uma seqüência de linha de comandos numa plataforma de rascunho, e
posteriormente validá-las.
O programa também possui uma grande biblioteca de funções matemáticas de todos
os níveis, desde simples operações aritméticas até todas as ferramentas de cálculo, além de
funções gráficas bastantes úteis para a visualização de gráficos inclusive em três dimensões
(CHAPMAN, 2003).
7.2. Concepção e Desenvolvimento dos Algoritmos
Dois algoritmos foram desenvolvidos com a função de executar o processamento
dos sinais coletados experimentalmente que simulam um afundamento de tensão de curta
50
duração. Estes programas são equivalentes às Transformadas Discretas de Fourier e as
Transformadas Discretas de Fourier de Curto Tempo.
Serão descritos todas as etapas do desenvolvimento destes algoritmos, além de
comentários e observações técnicas e matemáticas cabíveis.
7.2.1. DFT ou Transformada Discreta de Fourier
O Matlab possui uma função pronta que executa a Transformada Discreta de
Fourier de um sinal amostrado, como segue. Considerando x uma representação de um sinal
discretizado no tempo, temos que a transformada discreta de Fourier será:
>> fft(x)
Todavia, buscando agregar maior quantidade de conhecimento possível, neste
trabalho a Transformada Discreta de Fourier foi reescrita a partir de sua definição em
programação Matlab, lançando-se mão apenas dos recursos matemáticos básicos já
disponíveis no programa, além das ferramentas gráficas.
Nesta etapa é bastante importante relembrar a equação [4.24] que define a DFT:
[ ] [ ] ( )∑−
=
=1
0
2N
n
knNjenxkX
π 1,...,2,1,0 −= Nk
Os índices superiores e inferiores no somatório refletem o fato que x[n]= 0 fora do
intervalo 10 −≤≤ Nn . Ainda, a seqüência foi igualmente espaçada Nk /2πω = , para
1,...,2,1,0 −= Nk .
De forma generalizada, a equação [4.24] pode ser reescrita da seguinte forma:
∑−
=
=1
0
][][N
n
kn
NWnxnX [7.1]
Onde:
Nj
N eW/2π−= [7.2]
51
Assim é possível visualizar que a DFT compreende N multiplicações complexas e
(N-1) adições complexas. Portanto os N valores do DFT possui um total de N2 multiplicações
complexas e N(N-1) adições complexas.
Logo, a DFT pode ser considerada como uma transformação linear de seqüências
X[k] (ELLIOTT; RAO, 1982).
Seja um vetor ][nx que represente os N pontos de uma seqüência de amostras e NW
da equação [7.2] a DTF poderá ser expressa da seguinte forma matricial:
][][ nnXDFT N xW== [7.3]
Matricialmente:
=
−−−−
−
−
)1)(1()1(21
)1(242
12
1
1
1
1 1 1 1
NN
N
N
N
N
N
N
NNN
N
NNN
N
WWW
WWW
WWW
L
MLMMM
L
L
L
W [7.4]
( )( )
( )
−
=
1
1
0
][
Nx
x
x
nM
x [7.5]
Esta operação com matrizes é equivalente à expansão do somatório da equação
[7.1], de k em k até N-1.
Esta forma matricial de visualização da DFT é um importante passo o
desenvolvimento dos algoritmos, pois é facilmente programável no programa Matlab.
A seguir serão descritos as etapas para a construção do programa da DFT no
Matlab. Ao final do passo-a-passo o programa será apresentado integralmente. As linhas de
programa do Matlab serão identificadas sempre precedidas pelo símbolo “>>”. Esta é a
notação utilizada pelo Matlab em seu editor interno de programas.
>>DFT.M
Funções pré-definidas no Matlab que limpam os conteúdos das variáveis no início
de cada processamento do programa:
52
>> clear all;
>> close all;
Comando pré-definido que executará a leitura do sinal a ser processado de um
arquivo tipo .csv. Os dados coletados serão apontados para uma variável matricial xn:
>> xn = csvread('Nome do Arquivo.csv');
Variável que armazenará qual será a primeira amostra do sinal coletado que será
processada. (n=1500, por exemplo):
>> P=1500;
Variável que armazenará qual será a última amostra do sinal coletado que será
processada (n=2000, por exemplo):
>> F=2000;
Variável que armazenará o tamanho do sinal a ser processado:
>> N=F-P+1;
Este comando pré-definido irá montar matriz dos coeficientes de potência do Wn
descritos na equação [7.4]:
>> [CC,CL] = meshgrid(0:N-1,0:N-1);
>> COEF=CC.*CL;
Montagem de Wn da equação [7.2]:
>> W=exp(-j*(2*pi)/N);
53
Variável que será a composição matricial de Wn elevado as potências COEF. Assim
fica completamente montada a equação matricial [7.4]:
>> WMAT=W.^COEF;
Formação da janela Retangular, conforme equação [3.7]:
>> WRECT=1;
Formação da janela de Hamming conforme equação [3.9]:
>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/N).*(1:N)));
Formação da janela de Hanning conforme equação [3.10]:
>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/N).*(1:N)));
Formação da janela de Blackman conforme equação [3.11]:
>> WBLAC=transp(0.42-
0.5*cos((2*pi/N).*(1:N))+0.08*cos((4*pi/N).*(1:N)));
Variáveis matriciais que indicam a operação ponto a ponto do sinal xn multiplicado
pela janela escolhida:
>> W1=xn(P:F).*WRECT;
>> W2=xn(P:F).*WHANN;
>> W3=xn(P:F).*WHAMM;
>> W4=xn(P:F).*W1;
54
Variável matricial que efetiva a multiplicação matricial das equações [7.4] e [7.5],
concluindo por fim a equação [7.3], que é a DFT do sinal xn janelado (janela de Hanning, por
exemplo):
>> DFT=WMAT*(WHANN);
Variável matricial que armazenará as amplitudes da DFT calculada. Para isso se usa
um comando pré-definido do Matlab:
>> DFTAMPLITUDE=20*log(abs(DFT));
Definição da freqüência:
>> f=((2*pi)/N).*(1:N);
Formação do gráfico amplitude x freqüência:
>> plot(f,DFTAMPLITUDE)
A seguir é possível visualizar o programa gerado no Matlab que implementa DFT
para sinais amostrados, resultando um espectro de freqüências.
>>DFT.M
>> clear all;
>> close all;
>> xn = csvread('Nome do Arquivo.csv');
>> P=1500;
>> F=2000;
>> N=F-P+1;
>> [CC,CL] = meshgrid(0:N-1,0:N-1);
>> COEF=CC.*CL;
>> W=exp(-j*(2*pi)/N);
>> WMAT=W.^COEF;
55
>> WRECT=1;
>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/N).*(1:N)));
>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/N).*(1:N)));
>> WBLAC=transp(0.42-0.5*cos((2*pi/N).*(1:N))+0.08*cos((4*pi/N).*(1:N)));
>> W1=xn(P:F).*WRECT;
>> W2=xn(P:F).*WHANN;
>> W3=xn(P:F).*WHAMM;
>> W4=xn(P:F).*W1;
>> DFT=WMAT*(WHANN);
>> DFTAMPLITUDE=20*log(abs(DFT));
>> f=((2*pi)/N).*(1:N);
>> plot(f,DFTAMPLITUDE)
7.2.2. STDFT ou Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo
Neste caso o Matlab não possui uma função já acabada que executa a Transformada
Discreta de Fourier de Curto Tempo de um sinal amostrado e houve necessidade da
programação completa do algoritmo que executará o processamento do sinal.
Mais uma vez é bastante importante relembrar a equação [6.1] e [6.2] que define a
STDFT:
∑ −−=
m
mjj
nkk emnwmxeX
ωω )()()(
Onde Nkk /2πω = , sendo k um índice associado com a freqüência em radianos e N
o número de bandas de freqüência. w(n) é uma janela simétrica selecionada (ex. Janela de
Hamming) de tamanho L, sendo L menor ou igual a N. Uma Transformada Discreta de Curto
de Tempo de Fourier é usualmente implementada através da utilização de uma Transformada
Discreta de Fourier com uma janela deslizante conforme abaixo:
[ ] [ ])1()(...)1()2()0()1()1(...)1()0( −+−+−=− LwnxwLnxwLnxDFTNXXX Nnnn
O resultado deste processamento é a contabilização de magnitudes dentro de uma
faixa de freqüência, porém analisada a cada instante de tempo. O resultante é um gráfico cujos
eixos são a freqüência do sinal, a amplitude contida e o tempo.
56
A seguir serão descritas as etapas para a construção do programa da STDFT no
Matlab, porém as etapas coincidentes já discutidas na seção [7.2.1] quando da criação do
algoritmo da DFT não serão relembrados.
>> STDFT.M;
>> clear all;
>> close all;
Variável que armazenará o tamanho da janela deslizante (em número de amostras):
>> L=16;
>> [CC,CL] = meshgrid(0:L-1,0:L-1);
>> COEF=CC.*CL;
>> xn = csvread('Nome do Arquivo.csv');
Variável que armazenará o tamanho da amostra, ou seja, a quantidade de amostras
contida no sinal:
>> N=length(xn);
>> W=exp(-j*(2*pi)/L);
>> WMAT=W.^COEF;
Variáveis que armazenarão qual deverá ser o passo para o deslizamento da janela
escolhida. Para OVERLAP=0.5, por exemplo, após o primeiro processamento dos dados
contidos numa janela, a próxima janela irá processar novamente os 50% últimos dados já
processados anteriormente, juntamente agora com mais os 50% próximos dados.
>> OVERLAP=1;
>> R=L*OVERLAP;
57
Variáveis argumento para implementação de um loop for:
>> a=1;
>> b=1;
>> r=1;
>> l=L;
Criação do laço loop for que será o responsável pelo deslizamento da janela de
tamanho L, que desliza com passo R sobre um sinal de N amostras:
>> for l=L:R:N
>> WRECT=1;
>> W1=xn(r:l).*WRECT;
Esta variável matricial irá armazenar todas as Transformadas de Fourier calculadas
em cada janela. Para cada iteração, ou seja, para cada janela, as variáveis a e b serão
incrementadas, modificando a célula onde será armazenada a FTD do sinal janelado naquele
processamento. O índice 1 indica que a janela a ser utilizada é uma janela retangular, e assim
por diante, conforme o descrito na seção [7.2.1]:
>> CELSTDFT1a,b=WMAT*(W1);
>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/L).*(1:L)));
>> W2=xn(r:l).*WHANN;
>> CELSTDFT2a,b=WMAT*(W2);
>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/L).*(1:L)));
>> W3=xn(r:l).*WHAMM;
>> CELSTDFT3a,b=WMAT*(W3);
>> WBLAC=transp(0.42-
0.5*cos((2*pi/L).*(1:L))+0.08*cos((4*pi/L).*(1:L)));
58
>> W4=xn(r:l).*WBLAC;
>> CELSTDFT4a,b=WMAT*(W4);
Variáveis de incremento do laço for:
>> r=r+R;
>> b=b+1;
Fim do laço for:
>> end
Neste etapa há uma conversão de tipo de matriz, tornando a matriz STDFT uma
matriz unidimensional, visto que este é um requisito para o funcionamento adequado da
função utilizada para gerar o gráfico amplitudes x freqüência x tempo:
>> STDFT1=cell2mat(CELSTDFT1);
>> STDFT2=cell2mat(CELSTDFT2);
>> STDFT3=cell2mat(CELSTDFT3);
>> STDFT4=cell2mat(CELSTDFT4);
Formação do gráfico amplitude x freqüência x tempo (amostras):
>> mesh(20*log(abs(STDFT1)))
A seguir é possível visualizar o programa gerado no Matlab que implementa
STDFT para sinais amostrados, resultando um gráfico amplitude da STDFT x freqüência x
tempo (número de amostras):
>> STDFT.M;
>> clear all;
>> close all;
>> L=16;
59
>> [CC,CL] = meshgrid(0:L-1,0:L-1);
>> COEF=CC.*CL;
>> xn = csvread('Nome do Arquivo.csv');
>> N=length(xn);
>> W=exp(-j*(2*pi)/L);
>> WMAT=W.^COEF;
>> OVERLAP=1;
>> R=L*OVERLAP;
>> a=1;
>> b=1;
>> r=1;
>> l=L;
>> for l=L:R:N
>> WRECT=1;
>> W1=xn(r:l).*WRECT;
>> CELSTDFT1a,b=WMAT*(W1);
>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/L).*(1:L)));
>> W2=xn(r:l).*WHANN;
>> CELSTDFT2a,b=WMAT*(W2);
>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/L).*(1:L)));
>> W3=xn(r:l).*WHAMM;
>> CELSTDFT3a,b=WMAT*(W3);
>> WBLAC=transp(0.42-0.5*cos((2*pi/L).*(1:L))+0.08*cos((4*pi/L).*(1:L)));
>> W4=xn(r:l).*WBLAC;
>> CELSTDFT4a,b=WMAT*(W4);
>> r=r+R;
>> b=b+1;
>> end
>> STDFT1=cell2mat(CELSTDFT1);
>> STDFT2=cell2mat(CELSTDFT2);
>> STDFT3=cell2mat(CELSTDFT3);
>> STDFT4=cell2mat(CELSTDFT4);
>> mesh(20*log(abs(STDFT1)))
60
8. Aquisição de Dados Experimentais de Afundamentos de Tensão de
Curta Duração Momentâneos e Temporários
8.1. Metodologia Adotada para Aquisição de Dados de Afundamentos de Tensão
em Laboratório
Para a coleta dos dados experimentais que são base para as simulações procurou-se
obter a maior variedade possível de amostras de sinais de tensão que se enquadrassem nos
requisitos de afundamento momentâneo ou temporário. Procurou-se também obter dados de
fenômenos que fossem efetivamente gerados em um circuito elétrico real com algumas
características e parâmetros não controlados.
Para coletar dados que atendam aos requisitos descritos é importante que a fonte
geradora de sinais possibilite diversas parametrizações de forma a obter amostras com
diferentes características.
De forma a obter resultados que correspondessem aos requisitos citados foram
realizados experimentos em dois laboratórios diferentes com fontes geradoras de
características diferentes e metodologias distintas para aquisição de dados.
Como resultados finais foram obtidos 42 sinais amostrados com as seguintes
variações de características:
- Amplitudes de afundamento entre 0,1 e 0,9 p.u.;
- Variação dos tempos dos eventos entre 3 ciclos e 2 segundos;
- Afundamentos simétricos e assimétricos;
- Variação da taxa amostral entre 1 kHz e 20kHz;
- Variações instantâneas e suavizadas de tensão;
- Início das variações nos pontos zero, pico e 1/8 da onda senoidal.
8.1.1 Coleta de Dados no Laboratório de Alta Tensão do Instituto de Tecnologia para o
Desenvolvimento – LACTEC
61
Para obtenção de dados com variedade de parametrizações e características foi
utilizada uma fonte geradora de sinais de tensão do laboratório de alta tensão do LACTEC.
A fonte utilizada foi a fonte trifásica 4500L Harmonic Generator da California
Instruments com potencia de 5000 VA. Essa fonte possibilitou adquirir dados simulados
controlando os parâmetros amplitude, tempo, momento inicial, freqüência e taxa amostral do
sinal coletado. Para a medição do sinal de tensão simulado foi utilizado o Registrador
Oscilógrafo DL716 da Yokogawa que permite dentre outras funções, gravar e salvar em
arquivo dados de fenômenos de curta duração.
Para essa coleta de dados o principal objetivo foi de obter amostras com
características bastante variadas e com especificações conhecidas que estejam também dentro
da especificação de afundamento momentâneo e temporário, de forma a possibilitar posterior
analise de comportamento da resposta das ferramentas de processamento de sinais.
O processo para obtenção das amostras está descrito no fluxograma abaixo:
Figura 8.1 – Fluxograma para obtenção dos sinais no Lactec
A tabela abaixo apresenta um resumo das características dos sinais que foram
obtidos nas simulações:
Parametrização da fonte via interface
com PC
Geração do Sinal pela fonte 4500L
Aquisição do sinal no oscilógrafo
Yokogawa DL716
Geração de arquivo .csv com dados do sinal discretizado
62
Tabela 8.1 – Lista de sinais obtidos em simulação no LACTEC
Para obter os dados a fonte foi parametrizada com as variações de amplitude de
tensão a cada ciclo ao longo do tempo. Os dados obtidos foram salvos em arquivo com
extensão csv, que possibilita facilmente importar para computação dos algoritmos no Matlab.
Na figura abaixo se pode visualizar a resposta das simulações apresentada em software
específico do oscilógrafo:
63
Figura 8.2 – Resposta de simulação visualizada em software específico do oscilógrafo
8.1.2 Coleta de Dados em Laboratório na Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
UTFPR
Para obtenção de dados com características reais de um circuito elétrico foi
montado circuito simulador em laboratório da UTFPR. Nessa fase da coleta de dados não será
possível parametrizar o fenômeno com todas as variáveis como na fonte geradora 4500L do
LACTEC. Os sinais gerados terão parâmetros aleatórios, porém com características de tempo
e amplitude que os mantenha dentro da gama de variações definidas como momentâneas e
temporárias. Com essa coleta de dados é possível realizar a síntese dos sinais utilizando as
ferramentas de processamento desenvolvidas. Para geração dos dados nessa fase foi montado
o circuito elétrico abaixo:
64
Figura 8.3 – Simulação do Circuito utilizado no laboratório da UTFPR
O circuito da figura [8.3] foi utilizado para realizar a simulação de variações
momentâneas e temporárias de tensão. Trata-se de um circuito puramente resistivo com
medição da tensão de saída entre os pontos A e C. Quando é feito chaveamento entre os
pontos B e C a variação de carga produz uma variação na tensão medida na saída.
Os parâmetros que foram determinados para obter sinais com características
diferenciadas foram:
- Alteração do valor da resistência variável R para obter diversas amplitudes de
afundamentos de tensão;
- Alteração da velocidade de chaveamento para obter diferentes períodos de
afundamento de tensão. Através do chaveamento foram simuladas quedas instantâneas nos
níveis de tensão;
- Alteração progressiva da resistência variável para obter variações suaves de
tensão.
65
Portanto foi possível simular variações de tensão momentâneas e temporárias com
diversos níveis de amplitude e com alteração instantânea e suavizada.
O processo para obtenção das amostras está descrito no fluxograma abaixo:
Figura 8.4 – Fluxograma para obtenção dos sinais no laboratório da UTFPR
Os sinais obtidos no osciloscópio foram salvos em arquivo de extensão csv para
posterior importação para processamento nos algoritmos do Matlab. Abaixo exemplo de
resposta obtida no display do osciloscópio:
Figura 8.5 – Afundamento de tensão obtido no laboratório da UTFPR
Montagem do Circuito Elétrico
Geração do Sinal através de
chaveamento
Aquisição do sinal no osciloscópio
Tektronix TDS1001B
Geração de arquivo csv com dados do sinal discretizado
66
Um resumo de todos os sinais obtidos encontra-se na Tabela [8.2]:
Tabela 8.2 – Resumos dos ensaios realizados na UTFPR
9. Uso dos Algoritmos das Transformadas Discretas de Fourier no
Processamento dos Afundamentos de Tensão de Curta Duração
9.1. Critérios para Seleção dos Sinais Processados para Análise e Síntese
A coleta dos dados foi realizada conforme descrito na seção [8] de forma a obter
dois grupos distintos de sinais: Os sinais com variações de curto tempo com características
conhecidas e determinadas e os sinais com características não conhecidas.
O grupo de características conhecidas será utilizado para realizar a análise, que
implica aplicar sinal de entrada conhecido, portanto saída esperada também conhecida, e
avaliar as funções de transferência do sistema.
O grupo com características desconhecidas será utilizado para realizar a síntese, que
implica utilizar funções de transferência conhecidas para identificar as características do sinal
de saída e conseqüentemente do sinal de entrada.
9.1.1. Seleção de Sinais para Análise
Os critérios para a escolha dos sinais a serem processados seguiram a definição e
classificação dos Afundamentos de Tensão conforme o contido na Tabela [2.1], como segue:
67
- Tempo do Afundamento – Variação Momentânea (superior ou igual a um ciclo e
inferior ou inferior ou igual a três segundos) ou Variação Temporária (superior a três
segundos ou inferior ou igual a um minuto);
- Profundidade do Afundamento – Foram selecionados sinais que possuem os
valores limítrofes entre 0,1 p.u. e 0,9 p.u.
A partir destes critérios, de forma a obter uma amostra representativa dos
fenômenos possíveis, os seguintes sinais foram selecionados:
Tabela 9.1 – Sinais escolhidos para o processamento
Utilizando a Transformada de Discreta de Fourier, que possuí pequeno número de
variações para os parâmetros de entrada, foi realizado o processamento somente do sinal
Teste 21. No processamento utilizando a Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo
forma utilizados todos os sinais listados na Tabela [9.1].
9.1.2. Seleção de Sinais para Síntese
No caso dos sinais para síntese, por não serem conhecidas as amplitudes absolutas
dos afundamentos foram selecionados sinais com características visuais diferentes que
representassem uma amostra representativa dos sinais obtidos em laboratório. Dessa forma
foram selecionados os sinais TEK0002, TEK0003 e TEK0004 descritos na Tabela [8.2].
9.2. Parametrização e Critérios Qualitativos para Análise
O conceito de análise em uma abordagem de sinais e sistemas implica em utilizar
um sinal de entrada conhecido, portanto com uma saída idêntica e também conhecida, para
68
verificar o resultado obtido com as possíveis funções de transferência, no caso, as
Transformadas de Fourier Discreta e Discreta de Curto Tempo.
9.2.1 Parâmetros para Processamento Utilizando a DFT
No processamento para fins de análise através da Transformada Discreta de Fourier
foi utilizado o seguinte conjunto de parâmetros:
- Tamanho da janela: Trata-se da quantidade de amostras que são processadas em
cada janela. Foram utilizados os valores 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048;
- Tipo da janela: Os tipos de janela são as diversas funções que são convoluídas
com os sinais infinitos de forma de torná-los finitos e permitir o processamento. Foram
utilizadas no processamento as janelas de Hanning, Hamming, Retangular e Blackman;
- Localização da janela: Posição em que está alocada a janela dentro do sinal.
Define o grupo de amostras que será processado.
Os parâmetros de saída foram:
- Amplitude: Medida amplitude do afundamento em p.u. no espectro resultante;
- Lobo da Freqüência Principal: Medida a largura do lobo da freqüência principal
em número de amostras;
- Tempo de Processamento: Registrado o tempo total de cada processamento. Foi
utilizado o mesmo microcomputador com condições similares de capacidade em todos os
processamentos de forma a obter melhor confiabilidade dos resultados registrados.
Utilizando os parâmetros de saída foram elaborados indicadores que medem o nível
de erro (aderência) entre o sinal de saída e o sinal de entrada conforme descrito abaixo:
- Percentual de desvio entre amplitude real e a processada;
- Percentual de representatividade da largura do lobo principal em relação à largura
total do espectro de freqüência;
- Tempo total de processamento do sinal de saída.
69
9.2.2 Parâmetros para Processamento Utilizando a STDFT
Para o processamento dos sinais utilizando a Transformada Discreta de Fourier de
Curto Tempo a parametrização é similar à descrita para Transformada Discreta, mas com
acréscimo de parâmetros e indicadores relacionados ao domínio do tempo. Os parâmetros
similares aos da DFT serão apenas citados.
- Tamanho da janela;
- Tipo da janela;
- Overlap: Refere-se ao passo da janela deslizante e foram utilizados os valores de
0,125 (Passo de 12,5% com relação ao tamanho da janela), 0,5 (Passo de 50% com relação ao
tamanho da janela) e 1,0 (Passo de 100% com relação ao tamanho da janela).
Os parâmetros de saída do processamento foram:
- Amplitude;
- Lobo da Freqüência Principal;
- Tempo de Processamento;
- Período: Medido o tempo em número de amostras do afundamento.
Os indicadores de aderência da saída ao sinal de entrada foram:
- Percentual de desvio entre amplitude real e a processada;
- Percentual de desvio entre o tempo real do afundamento e o tempo processado;
- Percentual de representatividade da largura do lobo principal em relação a largura
total do espectro de freqüência;
- Tempo total de processamento do sinal de saída.
9.3. Parametrização e Critérios Qualitativos para Síntese
Para realizar a síntese dos sinais com parâmetros desconhecidos que foram obtidos
nos ensaios realizados em laboratório da UTFPR foi utilizada como função de transferência a
70
Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo que apresentou melhor desempenho em
todos os processamentos de análise. Os parâmetros são os seguintes:
- Janela Tipo Blackman;
- Largura da Janela 256 amostras;
- Overlap de 0,500;
- 167 amostras/ciclo.
10. Resultados Processados e Avaliação dos Espectros
Foram realizados 64 processamentos de análise utilizando a Transformada Discreta
de Fourier e 192 processamentos de análise utilizando a Transformada Discreta de Fourier de
Curto Tempo, totalizando 1 hora e 30 minutos de processamento para a DFT e 9 horas e 40
minutos para a STDFT. A seguir estarão descritos os resultados obtidos a cada etapa de
processamento para cada parâmetro e um indicador final consolidado de desempenho.
10.1 Resultados de Processamento de Análise Utilizando a DFT
Foi processada a amostra do sinal Teste 21, obtido no LACTEC utilizando quatro
janelas diferentes para análise do espectro obtido. Todo o processamento foi realizado no
mesmo microcomputador de forma a manter capacidade similar de processamento.
10.1.1 Processamento de Análise do sinal Teste 21 através da DFT
As características do sinal denominado Teste 21 são:
- Onda de tensão senoidal com freqüência de 60Hz;
- Número de amostras por ciclo é 18;
- Apresenta Afundamento Simétrico de 0,9 p.u.;
- O período total do afundamento é de 4.536 amostras.
71
A tabela abaixo contém o resumo dos resultados obtidos nos processamentos:
Tabela 10.1 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21
Analisando os dados obtidos verifica-se que a ausência da componente do tempo na
DFT impossibilita a correta avaliação e comparação dos resultados.
- A amplitude será uma média dos ciclos contidos na janela fixa, não apresentando
representação da variação temporal;
72
- A presença de alteração de amplitude ocasionada pelo afundamento somente será
verificada em alguns casos em que a janela esteja posicionada de forma a captar ciclos do
sinal nominal e ciclos do sinal com variação simultaneamente;
- A avaliação dos lobos de freqüência também fica limitada ao processamento da
janela fixa, portanto fornecendo informações sem variação temporal.
- O tempo de processamento da DFT crescerá exponencialmente com o aumento
da largura da janela N.
Por não atender ao requisito necessário de avaliação ao longo do tempo não cabe
avaliação comparativa dos resultados obtidos.
As figuras abaixo ilustram o espectro de freqüência obtido no processamento com a
DFT para janelas de largura 256 amostras:
Figura 10.1 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Retangular
73
Figura 10.2 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hanning
Figura 10.3 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hamming
74
Figura 10.4 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Blackman
10.2 Resultado de Processamento de Análise Utilizando a STDFT
Foram processadas quatro amostras de sinais discretizados com parâmetros
conhecidos para obter os resultados que serão apresentados a seguir. Todo o processamento
foi realizado no mesmo microcomputador de forma a manter capacidade similar de
processamento.
10.2.1 Processamento de Análise do Sinal Teste 1 através da STDFT
As características do sinal denominado Teste 1 são:
- Onda de Tensão senoidal com freqüência de 60Hz;
- Número de amostras por ciclo é 334;
- Apresenta Afundamento Simétrico de 0,1 p.u.;
75
- O período total do afundamento é de 36.406 amostras.
Este sinal foi processado utilizando as Janelas Retangular e Hanning e nas Tabelas
[10.2] e [10.3] estão resumidos os resultados que foram obtidos para esses processamentos.
Tabela 10.2 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 1 Janela Hanning
Tabela 10.3 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 1 Janela Retangular
76
Avaliando os dados obtidos com o processamento é possível verificar o
comportamento da Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo para as duas janelas
nessa simulação.
10.2.1.1 Aderência da Amplitude Simulada
- Quanto maior a janela menor o desvio percentual da amplitude processada;
- Não há diferença significativa de aderência para os diferentes overlaps;
- A janela retangular apresenta comportamento similar ao da janela de Hanning, mas com
desvio percentual menor para janelas menores.
Análise de Desempenho de Processamento
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
100.0%
120.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
sv
io %
Am
pli
tud
e
Ovp 0.125 Han
Ovp 0.500 Han
Ovp 1.000 Han
Ovp 0.125 Ret
Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.1 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 1
10.2.1.2 Aderência do Período de Afundamento Simulado
- Para janelas pequenas o ruído gerado na borda das janelas é significativo com
relação ao afundamento simulado de 0,9 p.u., portanto não é possível identificar o período do
afundamento;
- O nível de ruído é maior para a janela Retangular que apresenta erro máximo
antes da janela de Hanning;
- Overlaps menores, para ambas as janelas, apresentam menor nível de desvio.
77
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
100.0%
120.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
sv
io %
Pe
río
do
Ovp 0.125 Han
Ovp 0.500 Han
Ovp 1.000 Han
Ovp 0.125 Ret
Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.2 – Período x Tamanho da Janela - Teste 1
10.2.1.3 Aderência da Largura do Lobo de Freqüência Principal Simulado
- Quanto maior a janela, melhor é a resolução de informação da freqüência,
portanto, menor o desvio percentual do lobo da freqüência principal;
- Quanto menor o Overlap, menor o desvio percentual do lobo da freqüência
principal;
- A janela de Hanning por sua construção mais aproximada da forma de onda
senoidal gera menor desvio percentual do lobo da freqüência principal.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
sv
io %
Lo
bo
de
Fre
qu
en
cia
Ovp 0.125 Han
Ovp 0.500 Han
Ovp 1.000 Han
Ovp 0.125 Ret
Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.3 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 1
78
10.2.1.4 Tempo Total de Processamento
- Para as janelas maiores há um crescimento exponencial do tempo de
processamento;
- Overlaps menores apresentaram maior tempo de Processamento;
- Não há diferença significativa entre as janelas para os tempos de processamentos;
Análise de Desempenho Processamento
-
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
Te
mp
o d
e P
roc
es
sa
me
nto
Ovp 0.125 Han
Ovp 0.500 Han
Ovp 1.000 Han
Ovp 0.125 Ret
Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.4 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 1
10.2.1.5 Análise de Desempenho Total - Teste 1
Somando os índices de desvio de cada processamento mais o indicador de tempo de
processamento chega-se ao indicador final consolidado de desempenho da Transformada
Discreta de Curto Tempo com janelas de Hanning e Retangular para o Teste 1.
Tabela 10.4 – Desempenho STDFT Janela de Hanning – Teste 1
79
Tabela 10.5 – Desempenho STDFT Janela de Retangular – Teste 1
Para o caso do Teste 1 o melhor desempenho global ocorreu para a janela de
Hanning com overlap de 0,50 e largura de 512 amostras com índice acumulado de 0,13. O
melhor índice da janela Retangular foi de 0,40 para overlap de 0,50 e largura de 1024.
Abaixo os espectros de melhor desempenho para o Teste 1 que mostram amplitude
em Decibéis, freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.5 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1
80
Figura 10.6 – Tridimensional – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1
Figura 10.7 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1
81
Figura 10.8 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1
Figura 10.9 – Tridimensional – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1
82
Figura 10.10 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1
10.2.2 Processamento de Análise do Sinal Teste 5 através da STDFT
As características do sinal denominado Teste 5 são:
- Onda de Tensão senoidal com freqüência de 60Hz;
- Número de amostras por ciclo é 18;
- Apresenta Afundamento Simétrico de 0,1 p.u.;
- O período total do afundamento é de 4.536 amostras.
Este sinal foi processado utilizando as Janelas Hamming e Blackman e nas Tabelas
[10.6] e [10.7] estão resumidos os resultados que foram obtidos para esses processamentos.
83
Tabela 10.6 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 5 Janela Hamming
Tabela 10.7 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 5 Janela Blackman
Avaliando os dados obtidos com o processamento é possível verificar o
comportamento da Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo para as duas janelas
nessa simulação.
84
10.2.2.1 Aderência da Amplitude Simulada
- Quanto maior a janela menor o desvio percentual da amplitude processada;
- Não há diferença significativa de aderência para os diferentes overlaps;
- A janela Blackman apresenta desvio percentual alto com relação a janela de
Hamming para a janela de largura 16.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
sv
io %
Am
pli
tud
e
Ovp 0.125 Ham
Ovp 0.500 Ham
Ovp 1.000 Ham
Ovp 0.125 Bla
Ovp 0.500 Bla
Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.5 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 5
10.2.2.2 Aderência do Período de Afundamento Simulado
- Para a janela de 16 amostras o ruído gerado na borda das janelas é significativo
com relação ao afundamento simulado de 0,9 p.u., portanto não é possível para a maioria dos
processamentos identificar o período do afundamento;
- Para janelas maiores a precisão no ponto inicial e final do afundamento é menor,
portanto, o desvio percentual do período é maior para essas janelas;
- Os desvios percentuais das duas janelas são similares;
85
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
100.0%
120.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
sv
io %
Pe
río
do Ovp 0.125 Ham
Ovp 0.500 Ham
Ovp 1.000 Ham
Ovp 0.125 Bla
Ovp 0.500 Bla
Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.6 – Período x Tamanho da Janela - Teste 5
10.2.2.3 Aderência da Largura do Lobo de Freqüência Principal Simulado
- Quanto maior a janela, melhor é a resolução de informação da freqüência,
portanto, menor o desvio percentual do lobo da freqüência principal;
- Quanto menor o Overlap, menor o desvio percentual do lobo da freqüência
principal;
- Ambas as janelas apresentam comportamento similar, porém a janela de
Blackman por sua característica mais suavizada gera menor desvio percentual do lobo da
freqüência principal.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
sv
io %
Lo
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Ovp 0.500 Ham
Ovp 1.000 Ham
Ovp 0.125 Bla
Ovp 0.500 Bla
Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.7 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 5
86
10.2.2.4 Tempo Total de Processamento
- Para as janelas maiores há um crescimento exponencial do tempo de
processamento;
- Overlaps menores apresentaram maior tempo de Processamento;
- A janela de Blackman apresentou melhor tempo de processamento para janelas
maiores.
Análise de Desempenho Processamento
-
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
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Tamanho da Janela
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Ovp 0.500 Ham
Ovp 1.000 Ham
Ovp 0.125 Bla
Ovp 0.500 Bla
Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.8 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 5
10.2.2.5 Análise de Desempenho Total - Teste 5
Somando os índices de desvio de cada processamento mais o indicador de tempo de
processamento chega-se ao indicador final consolidado de desempenho da Transformada
Discreta de Curto Tempo com janelas de Hamming e Blackman para o Teste 5.
Tabela 10.8 – Desempenho STDFT Janela de Hamming – Teste 5
87
Tabela 10.9 – Desempenho STDFT Janela de Blackman – Teste 5
Para o caso do Teste 5 o melhor desempenho global ocorreu para a janela de
Blackman com overlap de 1,00 e largura de 256 amostras com índice acumulado de 0,07. O
melhor índice da janela de Hamming foi de 0,08 para overlap de 1,00 e largura de 256.
Abaixo os espectros de melhor desempenho para o Teste 5 que mostram amplitude
em Decibéis, freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.11 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5
88
Figura 10.12 – Tridimensional – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5
Figura 10.13 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5
89
Figura 10.14 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5
Figura 10.15 – Tridimensional – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5
90
Figura 10.16 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5
10.2.3 Processamento de Análise do Sinal Teste 21 através da STDFT
As características do sinal denominado Teste 21 são:
- Onda de Tensão senoidal com freqüência de 60Hz;
- Número de amostras por ciclo é 18;
- Apresenta Afundamento Simétrico de 0,9 p.u.;
- O período total do afundamento é de 4.536 amostras.
Este sinal foi processado utilizando as Janelas Retangular e Hanning e nas Tabelas
[10.10] e [10.11] estão resumidos os resultados que foram obtidos para esses processamentos.
91
Tabela 10.10 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21 Janela Hanning
Tabela 10.11 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21 Janela Retangular
Avaliando os dados obtidos com o processamento é possível verificar o
comportamento da Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo para as duas janelas
nessa simulação.
92
10.2.3.1 Aderência da Amplitude Simulada
- Quanto maior a janela menor o desvio percentual da amplitude processada;
- Para a janela Retangular há aumento no desvio percentual da amplitude
processada a medida que reduz-se o overlap;
- A janela Retangular apresenta desvio percentual maior do que a janela de
Hanning, exceto na janela de largura 16.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
1.0%
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
9.0%
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16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
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Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.9 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 21
10.2.3.2 Aderência do Período de Afundamento Simulado
- Para janelas maiores a precisão no ponto inicial e final do afundamento é menor,
portanto, o desvio percentual do período é maior para essas janelas;
- Os desvios percentuais das duas janelas são similares;
93
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
35.0%
40.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
De
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Ovp 0.125 Ret
Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.10 – Período x Tamanho da Janela - Teste 21
10.2.3.3 Aderência da Largura do Lobo de Freqüência Principal Simulado
- Quanto maior a janela, melhor é a resolução de informação da freqüência,
portanto, menor o desvio percentual do lobo da freqüência principal;
- Quanto menor o Overlap, menor o desvio percentual do lobo da freqüência
principal;
- Ambas as janelas apresentam comportamento similar, porém a janela de Hanning
por sua característica curva gera menor desvio percentual do lobo da freqüência principal para
janelas menores.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
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Ovp 0.500 Ret
Ovp 1.000 Ret
Gráfico 10.11 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 21
94
10.2.3.4 Tempo Total de Processamento
- Para as janelas maiores há um crescimento exponencial do tempo de
processamento;
- Overlaps menores apresentaram maior tempo de processamento;
- A janela de Hanning apresentou menor tempo de processamento.
Análise de Desempenho Processamento
-
20.00
40.00
60.00
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Gráfico 10.12 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 21
10.2.3.5 Análise de Desempenho Total - Teste 21
Somando os índices de desvio de cada processamento mais o indicador de tempo de
processamento chega-se ao indicador final consolidado de desempenho da Transformada
Discreta de Curto Tempo com janelas de Hanning e Retangular para o Teste 21.
Tabela 10.12 – Desempenho STDFT Janela de Hanning – Teste 21
95
Tabela 10.13 – Desempenho STDFT Janela de Retangular – Teste 21
Para o caso do Teste 21 o melhor desempenho global ocorreu para a janela de
Hanning com overlap de 0,500 e largura de 128 amostras com índice acumulado de 0,10. O
melhor índice da janela de Retangular foi de 0,14 para overlap de 0,500 e largura de 32.
Abaixo os espectros de melhor desempenho para o Teste 21 que mostram amplitude
em Decibéis, freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.17 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hanning melhor desempenho Teste 21
96
Figura 10.18 – Tridimensional – Janela Hanning melhor desempenho Teste 21
Figura 10.19 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hanning melhor desempenho Teste 21
97
Figura 10.20–Plano Amplitude x Freqüência– Janela Retangular melhor desempenho Teste 21
Figura 10.21 – Tridimensional – Janela Retangular melhor desempenho Teste 21
98
Figura 10.22 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Retangular melhor desempenho Teste 21
10.2.4 Processamento de Análise do Sinal Teste 23 através da STDFT
As características do sinal denominado Teste 23 são:
- Onda de Tensão senoidal com freqüência de 60Hz;
- Número de amostras por ciclo é 334;
- Apresenta Afundamento Simétrico de 0,1 p.u.;
- O período total do afundamento é de 36.406 amostras.
Este sinal foi processado utilizando as Janelas Hamming e Blackman e nas Tabelas
[10.14] e [10.15] estão resumidos os resultados que foram obtidos para esses processamentos.
99
Tabela 10.14 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 23 Janela Hamming
Tabela 10.15 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 23 Janela Blackman
Avaliando os dados obtidos com o processamento é possível verificar o
comportamento da Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo para as duas janelas
nessa simulação.
100
10.2.4.1 Aderência da Amplitude Simulada
- Quanto maior a janela menor o desvio percentual da amplitude processada;
- Não há diferença significativa de aderência para os diferentes overlaps;
- A janela de Hamming apresenta comportamento similar ao da janela de
Blackman, mas com desvio percentual menor para janelas menores.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
20.0%
40.0%
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Gráfico 10.13 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 23
10.2.4.2 Aderência do Período de Afundamento Simulado
- Para janelas maiores a precisão no ponto inicial e final do afundamento é menor,
portanto, o desvio percentual do período é maior para essas janelas;
- Para overlaps maiores o desvio percentual do período é maior;
101
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
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18.0%
20.0%
16 32 64 128 256 512 1024 2048
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Ovp 0.500 Bla
Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.14 – Período x Tamanho da Janela - Teste 23
10.2.4.3 Aderência da Largura do Lobo de Freqüência Principal Simulado
- Quanto maior a janela, melhor é a resolução de informação da freqüência,
portanto, menor o desvio percentual do lobo da freqüência principal;
- Ambas as janelas apresentam comportamento similar, porém a janela de
Blackman por sua característica mais suavizada gera menor desvio percentual do lobo da
freqüência principal para janelas menores.
Análise de Desempenho Processamento
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
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Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.15 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 23
102
10.2.4.4 Tempo Total de Processamento
- Para as janelas maiores há um crescimento exponencial do tempo de
processamento;
- Overlaps menores apresentaram maior tempo de Processamento;
- A janela de Blackman apresentou melhor tempo de processamento para janelas
maiores.
Análise de Desempenho Processamento
-
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
16 32 64 128 256 512 1024 2048
Tamanho da Janela
Te
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Ovp 0.500 Ham
Ovp 1.000 Ham
Ovp 0.125 Bla
Ovp 0.500 Bla
Ovp 1.000 Bla
Gráfico 10.16 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 23
10.2.4.5 Análise de Desempenho Total - Teste 23
Somando os índices de desvio de cada processamento mais o indicador de tempo de
processamento chega-se ao indicador final consolidado de desempenho da Transformada
Discreta de Curto Tempo com janelas de Hamming e Blackman para o Teste 23.
Tabela 10.16 – Desempenho STDFT Janela de Hamming – Teste 23
103
Tabela 10.17 – Desempenho STDFT Janela de Blackman – Teste 23
Para o caso do Teste 23 o melhor desempenho global ocorreu para a janela de
Blackman com overlap de 0,500 e largura de 512 amostras com índice acumulado de 0,12. O
melhor índice da janela de Hamming foi de 0,15 para overlap de 0,500 e largura de 512.
Abaixo os espectros de melhor desempenho para o Teste 23 que mostram amplitude
em Decibéis, freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.23– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Hamming melhor desempenho Teste 23
104
Figura 10.24 – Tridimensional – Janela Hamming melhor desempenho Teste 23
Figura 10.25 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hamming melhor desempenho Teste 23
105
Figura 10.26– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman melhor desempenho Teste 23
Figura 10.27 – Tridimensional – Janela Blackman melhor desempenho Teste 23
106
Figura 10.28 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman melhor desempenho Teste 23
10.3 Resultado de Processamento de Síntese Utilizando a STDFT
Foram processados utilizando STDFT com janela de Blackman de largura 256 e
overlap de 0,500 os sinais representativos da amostras total coletada em laboratório da
UTFPR denominados TEK0002, TEK0003 e TEK0004. Os resultados obtidos estão listados a
seguir.
10.3.1 Processamento de Síntese do sinal TEK0002 através da STDFT
Os parâmetros obtidos para o sinal processado com índice de incerteza obtido na
análise de sinais realizada anteriormente foram:
- Amplitude do afundamento de 0,3354 +/- 0,04%;
- Período do Afundamento de 768 amostras +/- 1,59%;
107
- Lobo de Freqüência Principal com 40 amostras +/- 3,52%;
Abaixo o espectro obtido para o TEK0002 que mostra amplitude em Decibéis,
freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.29– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0002
108
Figura 10.30 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0002
Figura 10.31 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0002
109
10.3.2 Processamento de Síntese do sinal TEK0003 através da STDFT
Os parâmetros obtidos para o sinal processado com índice de incerteza obtido na
análise de sinais realizada anteriormente foram:
- Amplitude do afundamento de 0,2511 +/- 0,04%;
- Período do Afundamento de 768 amostras +/- 1,59%;
- Lobo de Freqüência Principal com 26 amostras +/- 3,52%;
Abaixo o espectro obtido para o TEK0003 que mostra amplitude em Decibéis,
freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.32 – Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0003
110
Figura 10.33 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0003
Figura 10.34 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0003
111
10.3.3 Processamento de Síntese do sinal TEK0004 através da STDFT
Os parâmetros obtidos para o sinal processado com índice de incerteza obtido na
análise de sinais realizada anteriormente foram:
- Amplitude do afundamento de 0,6646 +/- 0,04%;
- Período do Afundamento de 1280 amostras +/- 1,59%;
- Lobo de Freqüência Principal com 27 amostras +/- 3,52%;
Abaixo o espectro obtido para o TEK0004 que mostra amplitude em Decibéis,
freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:
Figura 10.35 – Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0004
112
Figura 10.36 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0004
Figura 10.37 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0004
113
11. Conclusão
Este trabalho utilizou essencialmente dois tipos de Transformadas de Fourier:
Transformada de Fourier de Sinais Discretos e Transformada Discreta de Fourier de Curto
Tempo; e analisou dois tipos de distúrbios de tensão: Afundamento Temporário de Tensão e
Afundamento Momentâneo de Tensão.
Comparando os resultados qualitativos contidos nos capítulos [10.1] e [10.2], é
possível inferir que é bastante difícil processar um sinal tipo Afundamento Momentâneo ou
Temporário de Tensão usando a Transforma de Fourier simples, visto que a mesma possui
uma janela fixa e seria necessário posicioná-la exatamente sobre o afundamento de tensão no
momento que este ocorrer. Todavia, num sistema dinâmico não é possível prever quando o
distúrbio ocorrerá. Para resolver este impasse, precisaríamos de uma ferramenta que
percorresse o sinal ao longo o tempo, e é exatamente esta ação que Transformada de Fourier
de Curto Tempo executa.
Neste trabalho também há discussão sobre diversas configurações da Transformada
de Fourier de Curto Tempo, tais como tamanho de sua janela, passo de deslocamento e tipo da
janela, de modo que diversas amostras coletadas experimentalmente foram processadas e seus
resultados foram confrontados com suas características previamente conhecidas. No total
foram empregadas aproximadamente 11 horas no processamento de 5 tipos de sinais,
totalizando 256 processamentos.
Dos resultados obtidos pode-se observar que:
- Quanto maior a janela menor é o desvio percentual da amplitude processada, pois
janelas que contém menos de um ciclo, não identificarão a amplitude pico a pico do sinal;
- Não há diferença significativa no desvio percentual da amplitude para diferentes
valores de overlap, pois o deslocamento da janela é horizontal e não influencia grandezas com
variação vertical;
- Janelas pequenas geram maior nível de ruídos que aumentam o percentual de
desvio do período de afundamento simulado;
- Quanto maior a janela menor será a precisão dos pontos inicial e final do
afundamento, portanto o desvio percentual do período é maior;
114
- Para overlaps maiores o desvio percentual do período do afundamento é maior,
visto que quanto maior for o passo, menos será a capacidade de detecção de variações;
- Quanto maior for a janela, menor será o desvio percentual do lobo da freqüência
principal, pois janelas maiores apresentam melhor resolução de informação da freqüência;
- Quanto menor for o overlap, menor será o desvio percentual do lobo da freqüência
principal;
- Quanto mais próxima for a construção de uma janela da forma de onda senoidal,
menor será o desvio percentual do lobo da freqüência principal, no caso do sinal analisado ser
também uma onda senoidal;
- Para janelas maiores há um crescimento do tempo de processamento;
- Na medida em que crescem a largura das janelas, haverá um crescimento do
tempo de processamento;
- Overlaps menores apresentam maior tempo de processamento;
Numa avaliação final do desempenho da STDFT indica que para o processamento
dos sinais senoidais a Janela de Blackman apresentou melhores resultados, seguidas das
Janelas de Hamming, Janelas de Hanning, sendo a Janela Retangular aquela que apresentou
piores resultados.
No que diz respeito a largura das janelas, aquelas que continham mais de um ciclo e
cuja largura era menor que a largura do afundamento apresentaram melhores resultados.
Na mesma linha do estudo apresentado é possível desenvolver trabalhos futuros
para avaliação de desempenho de processamento de sinais com outras ferramentas de
processamento também de ampla utilização como as Transformadas Wavelet, por exemplo.
115
Referências Bibliográficas
AGÊNCIA NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA. Estabelece procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema Elétrico Nacional – PRODIST – Módulo 8 – Qualidade da Energia Elétrica. Disponível em <http://www.aneel.gov.br>. Acesso em: 18 março 2007. BRIGHAM, E. Oran. The Fast Fourier Transformer. 1. ed. New Jersey, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1974. BOLLEN, Math H. J.; GU, Irene Y.H. Signal Processing of Power Quality Disturbances. 1. ed. New Jersey, Ed. John Wiley & Songs, 2006. CHAPMAN, Stephen J. Programação em Matlab para Engenheiros. 1. ed., Ed. Thomson Learning, 2003. DINIZ, Paulo Sérgio Ramirez; SILVA, Eduardo A. Barros; NETTO, Sérgio Lima. Processamento Digital de Sinais. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2004. DUGAN, Roger C.; MCGRANAGHAN, Mark F.; BEATY, H. Wayne. Electrical Power Systems Quality. 1. ed. New York: Ed. McGraw-Hill, 1996. ELLIOTT, Douglas F.; RAO K. Ramamohan. Fast Transforms: Algorithms, Analyses, and Applications. 1. ed. New York, Ed. Academic Press, 1982. HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2001. HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2001. INGLE, Vinay. K.; PROAKIS, John G. Digital Signal Processing . 1. ed. Boston, Ed. PWS Publishing Company, 1997. OPPENHEIM, Alan V.; SCHAFER, Ronald W.; BUCK, John R. Discrete-Time Signal Processing . 1. ed. New Jersey, Ed. Simon & Schuster, 1996.