Valor Absoluto - Desigualdades No lineales
David J. Coronado1
1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar
Matematicas I
D. Coronado V Absoluto - Des No Lin
Contenido
1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
2 Desigualdades NO linealesDesigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
D. Coronado V Absoluto - Des No Lin
Contenido
1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
2 Desigualdades NO linealesDesigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
D. Coronado V Absoluto - Des No Lin
Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Contenido
1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
2 Desigualdades NO linealesDesigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
D. Coronado V Absoluto - Des No Lin
Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
El valor absoluto de x ∈ R, denotado por |x | se define como
|x | =
{x si x ≥ 0−x si x < 0
El valor absoluto es una distancia no dirigida. En particular, ladistancia de x al origen.De manera analoga, la expresion |x − a| es la distancia desde xhasta a.
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Teorema
Propiedades
1 |a · b| = |a| · |b|
2
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
3 |a + b| ≤ |a|+ |b| Desigualdad Triangular.
4 |a− b| ≥ ||a| − |b||
Otras propiedades son:
|x | < a ⇔ −a < x < a
|x | > a ⇔ x > a o x < −a
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Contenido
1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
2 Desigualdades NO linealesDesigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo
Resolver|x − 2| < 2
Solucion:
−2 < x − 2 < 2
0 < x < 4
⇒ S : (0, 4)
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver |3x − 5| ≥ 1.
Solucion:
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver |3x − 5| ≥ 1.
Solucion:
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver |3x − 5| ≥ 1.
Solucion:
|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver |3x − 5| ≥ 1.
Solucion:
|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1
4 = 5− 1 ≥ 3x43 ≥ x
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver |3x − 5| ≥ 1.
Solucion:
|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1
4 = 5− 1 ≥ 3x43 ≥ x
o3x ≥ 5 + 1 = 6x ≥ 6
3 = 2
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver |3x − 5| ≥ 1.
Solucion:
|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1
4 = 5− 1 ≥ 3x43 ≥ x
o3x ≥ 5 + 1 = 6x ≥ 6
3 = 2
Ası ⇒ S :(−∞, 4
3
]∪ [2,∞)
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Recordemos que√a es la raız cuadrada no negativa de a.
Decir√
16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√
16.Ası √
x2 = |x | y |x |2 = x2.
Esto nos permite afirmar que
|x | < |y | ⇔ x2 < y2.
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Recordemos que√a es la raız cuadrada no negativa de a.
Decir√
16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√
16.Ası √
x2 = |x | y |x |2 = x2.
Esto nos permite afirmar que
|x | < |y | ⇔ x2 < y2.
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Recordemos que√a es la raız cuadrada no negativa de a.
Decir√
16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√
16.Ası √
x2 = |x | y |x |2 = x2.
Esto nos permite afirmar que
|x | < |y | ⇔ x2 < y2.
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DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Resolver
1 |3x + 1| < 2|x − 6|
2
∣∣∣∣2 +5
x
∣∣∣∣ > 1
3 |2x + 3| ≤ 1
4 |2x + 4| − |x − 1| ≤ 4
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DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios
Soluciones
1 |3x + 1| < 2|x − 6| S : (−13, 115 )
2
∣∣∣∣2 +5
x
∣∣∣∣ > 1 S : (−∞,−5) ∪ (−53 , 0) ∪ (0,∞)
3 |2x + 3| ≤ 1 S : [−2,−1]
4 |2x + 4| − |x − 1| ≤ 4 S : [−9, 13 ]
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Para resolver las desigualdades no lineales estudiaremos algunostipos de desigualdades:
1 Desigualdades cuadraticas y de orden superior
2 Desigualdades racionales
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Contenido
1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
2 Desigualdades NO linealesDesigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
El primer tipo de desigualdad no lineal que estudiaremoscorresponde a desigualdades donde aparecen polinomios de gradodos (desigualdades cuadraticas) y polinomios de grado ≥ que dos(desigualdades de orden superior).En ambos casos, siempre debemos factorizar los polinomios yestudiar los signos en cada intervalo. Veamoslo con ejemplos.
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:
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Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales
Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Primer paso: Pasamos todos los terminos al lado izquierdo de ladesigualdad
x2 > 2x ⇒ x2 − 2x > 0
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Primer paso: Pasamos todos los terminos al lado izquierdo de ladesigualdad
x2 > 2x ⇒ x2 − 2x > 0
Segundo paso: Factorizamos
x2 > 2x ⇒ x2 − 2x > 0⇒ x(x − 2) > 0
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Tercer paso: Buscamos los intervalos de cambio de signo. Estos seconstruyen con las raıces del polinomio:
x(x − 2) = 0⇒ x1 = 0, x2 = 2
Los intervalos son (−∞, 0), (0, 2) y (2,∞)Escogemos un testigo (numero) de cada intervalo:
−1 ∈ (−∞, 0), 1 ∈ (0, 2) y 3 ∈ (2,∞)
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Cuarto paso: Hacemos una tabla:
(−∞, 0) (0, 2) (2,∞)
−1 1 3
x
x − 2
x(x − 2)
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Cuarto paso: evaluamos cada testigo en la expresion de la primeracolumna. El signo que da el resultado, lo colocamos en la casillacorrespondiente
(−∞, 0) (0, 2) (2,∞)
−1 1 3
x − + +
x − 2 − − +
x(x − 2)
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Cuarto paso: para la ultima fila, multiplicamos todos los signos decada columna:
(−∞, 0) (0, 2) (2,∞)
−1 1 3
x − + +
x − 2 − − +
x(x − 2) + − +
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad x2 > 2x
Solucion:Analizamos los resultados:
En los intervalos (−∞, 0) y (2,∞) se tiene que x2 − 2x > 0
En el intervalo (0, 2) se cumple x2 − 2x < 0
Por lo que la solucion es
Sol: (−∞, 0) ∪ (2,∞)
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0
Solucion:
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0
Solucion:
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0
Solucion:Primer paso: Factorizamos (ya todos los terminos estaban del ladoizaquierdo):
(x2 − 1)(2x + 4) < 0⇒ (x − 1)(x + 1)(2x + 4) < 0
Segundo paso: Buscamos las raıces
(x − 1)(x + 1)(2x + 4) = 0⇒ x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0
Solucion:Segundo paso: Buscamos las raıces
(x − 1)(x + 1)(2x + 4) = 0⇒ x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2
Tercer paso: Construımos los intervalos(−∞,−2), (−2,−1), (−1, 1), (1,∞)
Con testigos:−3 ∈ (−∞,−2), −1, 5 ∈ (−2,−1), 0 ∈ (−1, 1), 2 ∈ (1,∞)
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0
Solucion:Cuarto paso: Hacemos una tabla:
(−∞,−2) (−2,−1) (−1, 1) (1,∞)
−3 −1, 5 0 2
x − 1 − − − +
x + 1 − − + +
2x + 4 − + + +
(x − 1)(x + 1)(2x + 4) − + − +
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0
Solucion:Como la pregunta es ¿cuando el polinomio es negativo? la soluciones
Sol: (−∞,−2) ∪ (−2,−1)
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x − 1)(2− x) ≥ 1
Solucion:
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x − 1)(2− x) ≥ 1
Solucion:
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x − 1)(2− x) ≥ 1
Solucion:Paso 1: (x − 1)(2− x) ≥ 1⇒ (x − 1)(2− x)− 1 ≥ 0Paso 2: Resolvemos para factorizar
(x − 1)(2− x)− 1 ≥ 0
2x − x2 − 2 + x − 1 ≥ 0⇒ −x2 + 3x − 3 ≥ 0
Al aplicar la resolvente, notamos que no tiene raıces: no se puedefactorizar.
b2 − 4ac = 9− 4(−1)(−3)
= 9− 12 = −3 < 0
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver la desigualdad (x − 1)(2− x) ≥ 1
Solucion:En estos casos, existe un solo intervalo: (−∞,∞). Cualquier valorservira de testigo, tomemos x = 0.Al evaluar (no hacemos tabla ya que tendrıa una sola columna):
−x2 + 3x − 3⇒ −02 + 3 · 0− 3 = −3 < 0
Por lo tanto, la expresion −x2 + 3x − 3 siempre es negativa, lo cualimplica solucion vacıa
Sol: ∅
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
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1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto
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Desigualdades no lineales
En los casos en que aparezca una fraccion, procedemos de manerasimilar, recuerda que no puedes pasar multiplicando ni dividiendoninguna expresion donde aparezca la variable ya que no conoces elvalor de x ni si el resultado es positivo o negativa (no sabes si ladesigualdad cambia o no).Veamos los ejemplos
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x
Solucion:
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x
Solucion:
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x
Solucion:Paso 1: Todo a la izquierda
2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x⇒ 2x + 1
1− x− x + 3
1− x≤ 0
Paso 2: Simplificamos y factorizamos numerador y denominador:
2x + 1
1− x− x + 3
1− x≤ 0 ⇒ 2x + 1− (x + 3)
1− x≤ 0
⇒ x − 2
1− x≤ 0
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Ejemplo
Resolver2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x
Solucion:Paso 3: Ya factorizado, buscamos las raıces tanto del numerador ydenominador, estos valores determinaran los intervalos:
x − 2
1− x≤ 0⇒ x1 = 2, x2 = 1
Intervalos(−∞, 1), (1, 2), (2,∞)
Hacemos la tabla
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Desigualdades no lineales
Ejemplo
Resolver2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x
Solucion:Cuarto paso: La tabla:
(−∞, 1) (1, 2) (2,∞)
x − 2 − − +
1− x + − −x(x − 2) − + −
Como la respuesta no depende de los testigos escogidos, podemosomitir la fila correspondiente.
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Ejemplo
Resolver2x + 1
1− x≤ x + 3
1− x
Solucion:Por lo tanto la solucion es
Sol:(1, 2] ∪ [2,∞) = (1,∞)
Nota: En 2 el intervalo va cerrado por ser la desigualdad ≤. Pero enel 1 va abierto por ser la raız del denominador (siempre va abierto).
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Desigualdades no lineales
En general, no hace falta escribir los pasos, pero es importanteseguirlos
Pasar todo a la izquierda.
Factoriazar (el polinomio o el numerador y el denominador).Buscar raıces y definir intervalos.
Realizar la tabla.
Escribir la conclusion.
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Desigualdades no lineales
Ejercicios
Resolver
1x
x + 2< 0
22x + 1
1− x≤ x + 2
1− x3 x3 − 6x2 + 11x − 6 > 0
4
∣∣∣∣x − 1
2− x
∣∣∣∣ ≥ 1
5(x2 − 1)(2x + 4)
x(3− x)> 0
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Ejercicios
Soluciones
1x
x + 2< 0 S : (−2, 0)
22x + 1
1− x≤ x + 2
1− xS : R \ {1}
3 x3 − 6x2 + 11x − 6 > 0 S : (1, 2) ∪ (3,∞)
4
∣∣∣∣x − 1
2− x
∣∣∣∣ ≥ 1 S :[
32 , 2
)∪ (2,∞)
5(x2 − 1)(2x + 4)
x(3− x)> 0 S : (−∞,−2) ∪ (−1, 0) ∪ (1, 3)
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Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales
Desigualdades no lineales
Saludos.Si no logras resolver correctamente los problemas planteados, nodudes en notificarlo en el foro de la unidad.Estaremos pendientes.
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