VALOR DEL DINERO EN EL
TIEMPO IIngeniería Económica
Primavera 2015
Temario
• Valor del dinero en el tiempo
• Concepto de interés
• Tasas de interés
• Interés simple
• Interés compuesto
• Monto o valor futuro
• El dinero tendrá el mismo valor a lo largo del tiempo?
• La respuesta es un no en absoluto
• Una cantidad de dinero (hoy ) vale más que la misma cantidad en el futuro
$ 1,000.oo pesos que recibes hoy vale más que la misma cantidad en el futuro
• Sin son invertidos en un negocio, en una cuenta bancaria, en otros, pueden tener una ganancia que llamamos Interés
• El dinero tiene un poder de adquisición que se deteriora a medida que transcurre el tiempo y esto es debido a la inflación
Valor del dinero
• El valor real del dinero es el número de bienes que pueden ser comprados
por una cantidad determinada, mientras que el valor nominal del dinero es el
número impreso en el billete o moneda, mismo que no cambia al pasar el
tiempo.
• En presencia de la inflación, mientras el dinero conserva su valor nominal, en
términos reales el dinero va perdiendo valor con el tiempo.
• El problema ahora es saber como cambiar el valor nominal del dinero en el
tiempo para que se mantenga su valor real.
Esta relación entre el tiempo, el interés y el poder de
compra del dinero se conoce con el valor del
dinero en el tiempo
El concepto más importante de la matemática financiera y de la ingeniería
económica es : el valor del dinero en el tiempo
Debido a ellos dos o más cantidades de dinero que se colocan en distintas fechas no se
pueden sumar o restar. Por ejemplo
Si tengo una deuda de $ 20,000 .00 dentro de tres meses y $ 50,000.00 dentro de 6
meses del mismo acreedor, no puedo decir que si quisiera pagar esta deuda en este
momento el total de la deuda deberá entregar el total $ 70,000.00 ya que si lo hace no
estaría considerando el valor del dinero en el tiempo.
Cuando una persona usa un bien que no le pertenece, debe pagar por lo general una
renta por su uso.
En el caso del dinero se trata de un bien que se puede comprar, vender y por supuesto
prestar.
Cuando se pide dinero prestado se debe ´pagar una renta por su uso. En este caso la
renta recibe el nombre de interés, intereses o rédito.
El interés se define como el dinero que se paga por el uso de
dinero ajeno
El interés es el rendimiento que se tiene cuando se invierte el
dinero en forma productiva
El interés se simboliza mediante la letra I
MONTO O VALOR FUTURO (1)
F = P + I
Se define como la suma del capital más el interés ganado y se expresa
mediante la letra F
Donde:
P = Capital o Principal es la cantidad de dinero que se toma en préstamo o
se invierte
I = Interés o rédito
Los intereses y la tasa de interés
• Los intereses son los pesos o la cantidad de dinero que está dispuesta a
pagar aquella persona que pide un préstamo (prestatario) por hacer uso del
dinero del prestamista
• Un inversionista deposita su dinero en instituciones financieras con la promesa de que se le
devolverá una cantidad mayor, cantidad que estará basada en una tasa de interés
• En el caso de un préstamo se devuelve una cantidad mayor a la prestada, la diferencia
entre ellas son los intereses que está dispuesto a pagar el prestatario
• La tasa de interés es el porcentaje que se paga por peso invertido o prestado
en un periodo determinado
La tasa de interés indica el costo que representa obtener el dinero en préstamo y se expresa
como un porcentaje del capital por unidad de tiempo.
Por lo general la unidad de tiempo que se utiliza para expresar las tasa de interés es de un
año. Sin embargo, también suele expresarse en unidades de tiempo menores.
Si la tasa de interés se da sólo como un porcentaje, sin especificar la unidad de tiempo, se
sobreentiende que se trata de una tasa anual
La tasa de interés se simboliza mediante la letra i
Ejemplo 3
¿qué significa una tasa de interés de
a) 25%
b) 1.8 % mensual
Solución
a) Quiere decir 25% anual y que por cada $ 100 prestados, el deudor debe pagar $25 de
interés al final de cada año, hasta que pague el capital que solicitó en préstamo
b) Significa que por cada $ 100 pesos que recibió, debe pagar $ 1.80 de interés al final de
cada mes, hasta que devuelva el capital que solicitó en préstamo
La TIIE (tasa de interés interbancaria de equilibrio) es la tasa de interés que
corresponde al punto de equilibrio entre las tasas pasivas y activas y se determina
a partir de la información que sobre el tema los bancos presentan al Banco de
México (Banxico). Las tasas de interés activas son las que las instituciones
bancarias cobran por los distintos tipos de crédito a los usuarios que los solicitan;
las tasa de interés pasivas son aquellas que las instituciones bancarias pagan a
ahorradores e inversionistas
La TIIE, introducida por el banco de México en 1995, es una tasa de interés a
distintos plazos (28 días es el plazo más común) que se utiliza como tasa de
referencia en transacciones e instrumentos financieros. Se calcula diariamente con
cotizaciones que proporcionan a las 12:00 PM, hora de la Ciudad de México, no
menos de seis bancos, las tasas sometidas son los precios reales a los cuales las
instituciones bancarias están dispuesta a prestar o pedir al Banco de México. Éste
usa una fórmula con las tasas sometidas, que da como resultado una tasa
equilibrada
BANCO DE MÉXICO
El Banco de México (en
español: Banco de
México), abreviado BdeM
o Banxico, es el banco
central, la autoridad
monetaria y prestamista
de última instancia. El
Banco de México es
autónomo en el ejercicio
de sus funciones, y su
principal objetivo es lograr
la estabilidad del poder
adquisitivo de la moneda
nacionalhttp://www.banxico.org.mx/
http://www.banxico.gob.mx/sistema-
financiero/index.html#IG
El CPP (costo porcentual promedio de captación) es la tasa de referencia que fija el
Banco de México desde agosto de 1975, que promedia el costo del dinero en el sistema
financiero mexicano y que se publica en el Diario Oficial de la Federación (DOF) entre los
días 21 y 25 de cada mes.
Con el fin de reflejar la existencia de nuevos instrumentos en el mercado financiero
mexicano, el Banco de México inicio el 13 de febrero de 1996 el cálculo mensual del costo
de captación a plazo (CCP). Con esta variable se determina mensualmente cuál es el costo
promedio ponderado en que incurrieron las instituciones de banca múltiple que operan el
país por la captación de recursos en moneda nacional provenientes del público en general,
en sus diversos instrumentos a plazo de un día o más. Se publica entre los días 20 y 25 de
cada mes en el DOF y se refiere al costo del mes inmediato anterior al de su publicación en
los principales diarios de circulación nacional.
http://www.cetesdirecto.com/servlet/cetes/inicio
CETES
Los Cetes (Certificados de
Tesorería de la Federación) son
títulos de crédito al portador
denominados en moneda
nacional, emitidos por el
Gobierno Federal, en muchas
ocasiones, la tasa de interés de
los Cetes a 28 días se utiliza
como tasa de referencia.
Mexibor es una tasa de interés interbancaria de referencia mexicana que se determina
diariamente con base en cotizaciones que proporcionan 12 bancos mexicanos,
calculada y difundida por Reuters de México. Esta es una tasa privada en la que no
participa en Gobierno
Mexibor fue aprobada por el Banco de México el 26 de julio de 2002 para utilizarla como
tasa de referencia oficial para celebrar operaciones pasivas y activas que opera a plazos
de 1, 3, 6, 9 y 12 meses y de forma continua
http://www.banxico.org.mx/SieInternet/consult
arDirectorioInternetAction.do?accion=consulta
rCuadro&idCuadro=CF113§or=18&locale
=es
http://mx.reuters.com/
Cuando se tienen dos números que expresan un porcentaje, la diferencia entre ambos
recibe el nombre de puntos porcentuales. Por ejemplo, en el caso de la tasa de interés que
se paga por usar la tarjeta de crédito
Las tasas de interés que utilizan en sus cálculos las instituciones financieras y las
empresas comerciales se determinan en la mayoría de los casos, sumando puntos
porcentuales a las tasas de referencia
Ejemplo 4.
Suponga que la tasa de interés aplicable a los clientes que compran a crédito en cierta
tienda departamental es igual a TIIE más 25 puntos porcentuales. Si la TIIE es de 7.32%,
calcule la tasa de interés aplicable.
Banco A Banco B Diferencia porcentual
34% 38% 4 puntos
Solución
La tasa de interés aplicable a los clientes se obtiene simplemente al sumar los puntos
porcentuales a la tasa de referencia. Esto es,
Tasa de interés = i = 7.32 + 25 = 32.32% anual
Un punto base es la centésima parte de un punto porcentual; por tanto, un punto
porcentual consta de 100 puntos base. Así, por ejemplo, si la tasa de interés de una
inversión aumentó de 9% anual a 9.75% anual, se dice que aumentó 0.75 puntos
porcentuales o 75 puntos base
Existen dos tipos de interés: simple y
compuesto
TRABAJO POR EQUIPOS
• SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
Interés Simple
Este tipo de interés se utiliza principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de
un año o menos.
El interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo
Suponga que se invertirán $100,000 a un plazo de 3 meses y a una tasa de interés simple
del 1.2% mensual. Con base en el significado de tasa de interés, el interés que se cobrará
por esta inversión será 1.2% de $ 100,000, por cada mes que transcurra, es decir,
1.2% de 100,000 = (0.012) (100,000) = $ 1,200 cada mes
Si en lugar de retirar cada mes el interés, se conviene en que éste se pagará al final del
plazo establecido, entonces el interés total que se cobrará al final de los 3 meses será
I= (1,200) (3) = $ 3,600
De lo anterior se deduce que el interés simple se puede calcular por medio de la
siguiente fórmula:
I = Pit (2)
Donde
I = es el interés simple que se paga o se recibe por un capital P y
t = es el tiempo transcurrido (plazo) durante el cual se utiliza o invierte el capital
i = es la tasa de interés
Al utilizar la ecuación (2) se debe de tener en cuenta lo siguiente:
1. En los cálculos, la tasa de interés no debe utilizarse en forma de porcentaje, sino en
forma de decimal. Para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre
100
2. La tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. Si
en un problema la unidad de tiempo asociada a la tasa de interés no coincide con la
unidad de tiempo que se utiliza en el plazo, uno de los dos, la tasa de interés o el
plazo, tienen que convertirse para que ambas unidades de tiempo coincidan. Así por
ejemplo, si en un problema el plazo se expresa en meses, la tasa de interés también
deberá ser mensual. Asimismo, es importante reiterar que si la tasa de interés se da
sin especificar explícitamente la unidad de tiempo, se trata de una tasa de interés
anual
MONTO O VALOR FUTURO
F = P + I (1)
INTERÉS SIMPLE
I = Pit (2)
Si la ecuación (2) se substituye en la (1) se obtiene una forma alterna de
calcular el monto o valor futuro de un capital P
F = P + I = P + Pit
Si se factoriza la expresión anterior obtenemos
F = P(1 + it) (3)
Suponga que hoy usted recibe un préstamo de $ 30,000 a 10 meses de plazo y con una
tasa de interés simple de 2.5 % mensual. El monto de la deuda será:
F= 30,000 [1+(.025)(10)] = 37,500
Por el capital que le prestaron usted debe pagar $ 37,500 dentro de 10 meses.
En este caso $ 37,500 es el monto o valor futuro de $ 30,000. Recíprocamente, se dice
que $30,000 es el valor presente o valor actual de $ 37,500. Esto significa que $ 30,000
hoy son equivalentes a $ 37,500 dentro de 10 meses a tasa de interés simple de 2.5%
mensual.
El valor presente simbolizado por VP, o simplemente P, de un monto o valor futuro F que
vence en fecha futura, es la cantidad de dinero que invertida hay a una tasa de interés
dada, producirá el monto F.
Obtener el valor presente de una cantidad equivale a responder esta pregunta ¿qué
cantidad invertida hoy a una tasa de interés y un tiempo dados, producirá un monto
conocido? El valor presente se calcula al despejar P de la ecuación (3)
VP = P = __F__
1 + it
Encuentre el valor presente de $ 26, 450 que vencen dentro de 6 meses, si la tasa de
interés es de 30%
VP = __F___
1 + it
Al sustituir,
VP = 26,450
1 + 0.30 (6)
12
= $ 23,000
Es decir $ 23,000 que se invierten hoy, durante 6 meses, a una tasa de interés de 30%
anual, se convierten en $ 26,450. también se dice que $ 23,000 son equivalentes a
$26,450 si el tiempo es de 6 meses y la tasa de interés es de 30% anual simple. Los $
23,000 no necesariamente corresponden al capital original, prestado o invertido:
simplemente es el valor del dinero 6 meses antes de su vencimiento.
Se llama flujo de efectivo a las entradas (ingresos) o salidas (gastos o egresos) de
dinero. Cuando el flujo de efectivo es un ingreso, sea una persona o una empresa, se
escribe con signo positivo. Si el flujo de efectivo es una salida, se escribe con signo
negativo.
Se llama flujo de efectivo neto a la diferencia entre las entradas menos las salidas que
se tienen en un periodo determinado.
El diagrama de flujo de efectivo también conocido como diagrama de tiempo
$32,700
0 1 2 3 4 5 6 meses
$ 30,000
18% anual de interés simple
La ingeniería económica basa sus cálculos en el tiempo monto y dirección de flujos de
efectivo
Los flujos de entrada de efectivo son las recepciones, ganancias, ingresos y ahorros
generados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo positivo o más indica un
flujo de entrada de efectivo
Los flujos de salida de efectivo son los costos, desembolsos, gastos e impuestos
ocasionado por los proyectos y actividades de negocios. Un signo negativo o menos indica
un flujo de salida de efectivo. Cuando un proyecto sólo implica costos, pude omitirse el
signo negativo para ciertas técnicas, como análisis beneficio/costo
Una vez que se han concluido las estimaciones (o determinadas para un proyecto
terminado) de entradas y salidas de efectivo, es posible determinar el
flujo neto de efectivo de cada periodo.
Flujo neto de efectivo = flujo de entradas de efectivo – flujos de
salida de efectivo
FNE = I - E
Donde FNE es el flujo efectivo neto, I son los ingresos y E son
los egresos
La convención del final del periodo implica la suposición de
que todos los flujos de entrada y de salida de efectivo ocurren
al final de un periodo de interés. Si varios ingresos y
desembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de interés
determinado, se da por supuesto que el flujo de efectivo neto
ocurre al final del periodo
Puntos de vista
32,700.00$
0 mes1 mes2 mes3 mes4 mes5 mes6
30,000.00$
18% anual de interés simple
0 1 2 3 4 5 6 meses
30,000.00$
0 mes1 mes2 mes3 mes4 mes5 mes6
32,700.00$
18% anual de interés simple
32,700
30,000
Suponga que el señor López desea ahorrar $1,800 cada quincena a partir de hoy. Si
efectúa 8 depósitos quincenales y retira el monto obtenido, que consisten en $ 14, 672.75,
una quincena después del último depósito, elaborar el diagrama de flujo de efectivo desde
el punto de vista del señor López
0 mes1 mes2 mes3 mes4 mes5 mes6 mes 7 mes8
-$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 $ 14,672.65
PRÁCTICA EN EXCEL
• Anexo hoja excel
Problemas
1. Una inversión inicial de $ 125,000 produce en un año un
monto de $ 135,400.00. Calcule el interés que gano el
inversionista en ese tiempo
2. Gustavo obtiene un préstamo de $ 55,000 y se
compromete a devolver al cabo de 8 meses, más $ 6.600
de intereses. ¿qué monto deberá pagar?
3. La tasa de interés aplicable a las personas que compran a
crédito en una tienda departamental es igual ala TIIE
vigente más 30 puntos porcentuales. Calcule la tasa de
interés aplicable.
4. La tasa de interés aplicable a los usuarios de tarjeta de
crédito es igual a la TIIE vigente a la fecha de corte más 22
puntos porcentuales. Calcule la TIIE.
5. Qué interés produce un préstamo de $ 18,700.00 a 13
meses de plazo, a una tasa de 25.6% de interés anual?
6. Una firma de consultoría en ingeniería invierte $ 45,000
dólares en un fondo de inversión que le garantiza un
rendimiento de 0.87% mensual. Cuánto recibirá la empresa
cada mes por concepto de intereses?
7. Cual es el valor presente de $ 23,400.00 que vencen dentro
de 10 meses, si la tasa de interés es de 1.86% mensual
8. Cuánto tiempo debe de transcurrir para que un capital de
6,000 pesos alcance un monto de 9,280, si la tasa de interés
es de 32%
9. Una fábrica de automóviles acaba de lanzar el nuevo auto
deportivo Arrow 310 que cuesta 54,300 dólares al contado. La
agencia que lo ende ofrece, por promoción, no pagarlo en su
totalidad hasta dentro de 4 meses. La misma campaña de
promoción ofrece un descuento de 5% a quienes pagan al
contado. De cuánto es el financiamiento.