Formule de Black (1985)
Taux forward
Valorisation des swaptions
Sensibilité des swaptions à la volatilité
Formule de Black (1985)
• Un peu de mathématique (pour finir ...)
• Considérons une variable
Avec enfin l’explication des
• Nous allons calculer :
• En sachant que :
Le changement de variable s’impose :
• Après changement de variable, on retombe sur :
Quelques calculs « élémentaires »
Et le retour au tableau …
On arrive donc à :
Et au moyen de calculs similaires, on obtient :
• Passage à la formule de Black et Scholes
Enfin tous ses éléments sont justifiés!
Lognormalité des taux
• Que signifie la lognormalité des taux ?
• Impact au niveau tendance ?
• Notion de volatilité ?
Retour au tableau et aux fichiers de calcul
Distribution des taux
Venons-en à l’option sur swap
• Certains bons d’Etat sont assortis de modalités optionnelles « put » ou « receveur ». Graphiquement :
Cas particulier étudié numériquement (se généralise aisément)
Échéances multiples
• Utilisation de la courbe de taux S(t) paramétrée selon O-U.
• Taux forward :
Valeur de l’option :
Facteur d’actualisation ou valeur de la rente unité
Présentation d’un exemple numérique
Retour aux fichiers de calculs
Représentation de la valeur des swaptions en fonction de la volatilité
Sensibilité à la valeur du taux net et dépassement du taux « forward »
Sensibilité/taux/volatilité
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
X = 0,03
X = 0,032
X = 0,034
X = 0,036
X = 0,038
X = 0,04
Sensibilité à la vitesse de croissance
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
lambda = 0,1
lambda = 0,25
lambda = 0,5
lambda = 0,75
lambda = 1
faibles vitesses
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
lambda = 0,1
lambda = 0,12
lambda = 0,14
lambda = 0,16
lambda = 0,18
lambda = 0,2
Conclusions
• Beauté des modèles mathématiques
• Adéquation aux réalités objectives
• Cas unique en mathématique
• Possibilité de maîtrise des concepts
• Gestion responsable
Merci de votre attention et de votre patience
Rendez-vous peut-être l’année prochaine pour une nouvelle série
de découvertes