Nolan Jara J. FCE-UNAC
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VECTORES
Definición de puntos en un espacio de n dimensiones. Se define un punto en el espacio
de n dimensiones como la n-upla de números reales 1 2 1 2( , ,......, ); , ,......,n nx x x x x x R ;se
denota con una P a dicha n-upla. Es decir: 1 2 1 2( , ,......, ); , ,......,n nP x x x x x x R ;se
designa a los números reales nxxx ,......,, 21 como las coordenadas del punto P.
Ahora vamos a definir como sumar puntos. Si P y Q son puntos por ejemplo:
),......,,);,......,,( 2121 nn yyyQxxxP se define entonces:
RyxyxyxQP nn ),......,,( 2211
Si c es cualquier número, se define ),......,,( 21 ncxcxcxcP
VECTORES EN EL ESPACIO 3
3( )R o V : Dos puntos: ),,(),,( 11110000 zyxPyzyxP
determinan un segmento de recta que podría ser recorrido en dos sentidos uno de P0 a P1 y
otro de P1 a P0 llamados vectores aya .
0 1
0
a P P
P P1 Definido como 0 1 1 0a P P P P
0 1 1 0 0 1( )a P P P P P P
0 1
0
a P P
P P1
Donde: 0 1 1 0 1 2 3( ) ( , , )a P P P P a a a tal que:
013
012
011
zza
yya
xxa
Los números 321 ,, aaa se llaman, componentes del vector 0 1a P P donde: ),,( 0000 zyxP
es el punto inicial del vector ),,(; 1111 zyxPa es el punto final del vector a .
Cuando el punto inicial es el origen de coordenadas, un vector OP P recibe el nombre de
radio vector.
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IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores 1 2 3( , , )a PQ a a a y 1 2 3( , , )b RS b b b
Son iguales, si y solo si sus respectivas componentes son iguales, es decir:
332211 ,, babababa
OPERACIONES CON VECTORES.- dados los vectores ),,();,,( 321321 bbbbaaaa
Entonces:
1º) ),,( 332211 babababa
2º) )(),,( 332211 bababababa
3º) ),,( 321 rararaar producto de un vector por un escalar r
VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si y solo si uno de ellos es el
múltiplo escalar del otro. Es decir:
; ; ,a b a r b o b t a r t R
MODULO DE UN VECTOR: Si 0 1a P P entonces:
aaaazzyyxxPPd 2
3
2
2
2
1
2
01
2
01
2
0110 )()()(),(
El modulo del vector ),,( 321 aaaa se denota y define como:
2 2 2
1 2 3a a a a
PROPIEDADES:
Sean rbbbbaaaa ),,,();,,( 321321 ; entonces:
i) )0,0,0(0;0 aaa
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ii) r a r a
iii) baba desigualdad triangular
VECTOR UNITARIO: Un vector de moduelo o longitud igual a 1 se llama vector
unitario. Dado un vector a .
El vector unitario
a
au tiene el mismo sentido que el vector a
El vector unitario a
u
a
tiene sentido opuesto que el vector a
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: (o PRODUCTO INTERNO): El
producto escalar de ),,(),,( 321321 bbbbyaaaa se denota y define como:
332211 .... babababa
PROPIEDADES: Sean cba ,, vectores en ry3 entonces:
1º) abba ..
2º) ).().( abrbar
3º) cabacba ..).(
4º) 00. aaa
5º)
2
. aaa
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b
b
baaoy
b2
.Pr
6º) baaaba .2
222
7º) c ) b . a ( ) c . b ( a
Ortogonalidad de vectores: Dos vectores ),,(),,( 321321 bbbbyaaaa
Son ortogonales por definición si: baba o también.
0.baba
222
bababa
Proyección Ortogonal y Componente: se llama proyección ortogonal de a sobre b , al
Vector:
2
.Pr
b
a boy a b
b ; 0b
a
b
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Se llama componente de a sobre b al número real:
0;.
b
b
baaComp
b
Obs. Como b
b
baaoy
b2
.Pr =
b
b
b
ba .
1º Prb b
boy a comp a
b
2º Prb b
oy a comp a
ANGULOS ENTRE VECTORES.
Dado los vectores a y b que forman un ángulo , entonces
a
b
.cos
a b
a b
VECTORES UNITARIOS FUNDAMENTALES.
Son aquellos vectores unitarios que tienen la misma dirección que los ejes de coordenadas
X, Y, Z y son: )1,0,0(;)0,1,0(;)0,0,1( kji
Observacion. todo vector ),,( 321 aaaa puede expresarse como una combinación
lineal de los vectores unitarios kji ,,
Es decir: kajaiaaaaa 321321 ),,(
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i
EJERCICIOS
1) Si ),,( 321 aaaa y )2
5,8,
2
3(2 22 aa
ab hallar bya
2) Sean P = (1, -1, 3) y Q = (2,4,1) probar que: QCPQ , donde C = Q – P
Si A = (4, -2, 5) y B = (5, 3, 3) probar que: ABPQ
3) En cada uno de los siguientes casos determinar que vectores AByPQ son paralelos, si:
iii) P = (1, -1, 5) ; Q = (-2, 3, 4) ; A = (3, 1, 1) ; B = (-3, 9, -17)
iv) P = (2, 3, -4) ; Q = (-1, 3, 5) ; A = (-2, 3, -1) ; B = (-11, 3, -28)
4) Que parejas de vectores son perpendiculares entre si:
i) (1, -1, 1) y (2, 1, 5)
ii) (1, -1, 1) y (2, 3, 1)
iii) (-5, 2, 7) y (3, -1, 2)
iv) ( , 2, 1) y (2, - , 1)
5) Encuentre los vectores ortogonales a: )2,0,0()1,1,1( bya
6) Sean )2,1,1()3,2,1( bya hallar aproyaproyacompbbb 3
;;
7) Determinar el coseno de los ángulos del triángulo cuyos vértices son:
i) (2, -1, 1) ; (1, -3, -5) ; (3, -4, -4)
ii) (3, 1, 1) ; (-1, 2, 1) ; (2, -2, 5).
Hallar el perímetro de dichos triángulos.
8) Si 3,a b R probar que:
Y
a2
X
a 3 k
k
a 1 i
j j
Z
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i) 2222
22 bababa
ii) bababa .4
22
9) Sean cba ,, tres vectores distintos al vector cero. Si caba .. , probar mediante un
ejemplo que no necesariamente se tiene que cb .
10) Expresar el vector a como la suma de un vector paralelo al vector b y un vector
ortogonal a b ; si a = (2, 1, -1) y b = (1, 4, -2)
11) Si las diagonales de un paralelogramo miden 1474 y , respectivamente y uno de
los lados mide 14 ; hallar la medida del otro lado.
12) Hallar los vectores bya ortogonales entre si y ortogonales a )3,1,1(v , tales que
sus primeras componentes sean iguales y sus terceros componentes de igual magnitud; pero
de signo contrario.
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PRODUCTO VECTORIAL.
Dado los vectores 3
1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )a a a a y b b b b R se define el vector bxa ,
como:
321
321
bbb
aaa
kji
bxa
21
21
31
31
32
32,,
bb
aa
bb
aa
bb
aabxa
Es el producto vectorial de bya
PROPIEDADES.
3,a b y c R Se tiene:
1) bbxaabxa ;
2) kixjkjxikxkjxjixi ;;0
jjxijixkijxkikxj ;;;
bxa
b
a
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X
3) 0bxaba
4) axbbxa
5) cxabxacbxa )(
6) )()()( brxabxarbxar
7) cbabcacxbxa ).().()(
8) 3;0 aaxa
9) En general: cbxacxbxa )()(
10) 2
222
).( bababxa …Identidad de Lagrange
11) 0;Senbabxa
Interpretación geométrica
a
bxa
bxa b
h
Y
Z
)1,0,0(k
)0,1,0(j
)0,0,1(i
P T
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Senbh
A(P) = bxaSenbaha
A(P) = bxa Area del paralelogramo P determinado por los vectores bya
2)(
bxa
TA Área del triángulo T generado por los vectores bya
Observación. Tres puntos A, B, C en 3R son colíndales si y solo si los vectores ACyAB
Son paralelos.
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR.
Se define el triple producto escalar o producto mixto de los vectores. 3, ,a b y c R Como:
321
321
321
).(
ccc
bbb
aaa
cxbacba
PROPIEDADES
1º) acbbaccba
2º) baxccbxacxba ).().()(.
3º) aCompcxbcxbacbacxb
).(
B
C
A
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INTERPRETACION GEOMETRICA
cxb
cxbaacomphhcxbPpV
cxb
).(;)(
cxb
cxbacxbPpV
).()(
cbacxbaPpV ).()(
Volumen del paralelepípedo generado por los vectores 3,a b y c R
2)(
cba
PtV Volumen del prisma triangular.
6)(
cba
TtV Volumen del tetraedro.
Practica de vectores en V3
1) Sean a = ( 2,-2,1 ) y b = (3,0,-4) hallar c en V3 tal que sea ortogonal a a y a b
2) Sean a = ( 2,-1,2 ) y b = (-2,2,1) hallar c en V3 tal que sea ortogonal a a y a b y
// c// = 3
3) Sea a = (1,-2,2 ) hallar b en V3 tal que sus componentes satisfagan la ecuación
2x+2y+z=0 y que se verifique // a // = // a + b // = // b //
4) Sean a y b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45o ,// a // = 3 hallar // b //
tal que ( a – b ) sea ortogonal a a.
cxb
bxa
aoycxb
Pr
a
b
c
h Paralelepípedo
Pp
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5) Un paralelepípedo tiene un vértice en A=(1,2,3), siendo B,C y D sus vértices
adyacentes. Además se conoce que : AB = (a,0,2) , AC=(3,3,3) y AD=(0,4,4)
¿cual es el vértice opuesto a A?
6) Si las diagonales de un paralelogramo miden 22 86 y , respectivamente, y uno
de los lados mide 22 , hallar la medida del otro lado.
7) Sean a = (-3,4,1 ) y b = (3, 2 ,5) hallar c en V3 tal que sea ortogonal a (0,1,0) ,
a.c=6, compbc =1.
8) Si las diagonales de un paralelogramo son los vectores d = (2,4,6 ) y e = (-2,4,2 )
hallar el area de dicho paralelogramo.
9) Sean a = (3,5,2 ) y b = (-4,0,3) tal que a = u + v , siendo u // b y v ortogonal a b.
Hallar u y v.
10) Sean a,b y c 3 vectores unitarios en V3 tal que a.b = b.c = 0, hallar c.
11) Sea a = (-2,1,-1 ) hallar b en V3 tal que sus componentes satisfagan la ecuación
3x+4y-2z=0 y que se verifique // b // = 1, a.b=0.
12) Sean los vectores a y b tales que // a // = 3 , // b // = 7 y a.b = -4 .Hallar a + b
sabiendo que tiene la misma dirección pero sentido opuesto al vector ( -3/2,-5/2,-2).
13) Sea el cuadrado ABCD con una diagonal AC. Si A=(3,2,1) (4,3,0)AB
proy AC y
la tercera componente de D es 1, hallar los otros vértices del cuadrado.
14) Sean a y b dos vectores de longitudes // a // = 3 , // b // = 5 y que forman un ángulo
de 60o.Hallar proya(2a –b) , a = ( 1,2,2 ).
15) Sean a = (1,-2,3 ) y b =( 3,1,2 )hallar todos los vectores c en V3 tal que c es
ortogonal a b , c = r a + tb,r,t enR // c // = 2 42 .
16) Dos vectores a y b de R3 forman un ángulo de 60
o y tiene longitudes // a // = 2 ,
// b // = 4. Hallar el ángulo formado por los vectores (a+b) y (a-b).
17) Hallar comp2b
a , si a + b + c = 0 y // a // = 3 , // b // =6 , // c // = 7.
18) Dados los vectores a = ( 1,2,3) , b =(2,1,-3) y c = ( 3,-4,2). Hallar los vectores de
modulo 139 paralelos al vector proyac + proybc. Con los vectores a , b y c es
posible formar un paralelepípedo de volumen V. Hallar el volumen del
paralelepípedo que se puede formar con los vectores ( -b+2.a) , ( 2.a+b) , ( a + 3.c).
19) Hallar los vectores a y b = ( -5,15,t) tal que proya(a+b) = (12,2,4) ,
proya(a-b) = ( 24,4,8).
20) Sean a=(-1,2,3) , b=(0,1,2) y c=(2,3,1) hallar : axb, bxc , (axb)xc , ax(bxc) , axc
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LA RECTA
Dado el punto P0 = (x0,y0,z0) y un vector 1 2 3( , , )a a a a cualquiera, entonces definimos el
conjunto siguiente: 3
0( , , ) / a ; RL P x y z R P P t t , al cual llamaremos recta en el
espacio tridimensional R3 .
1) El conjunto de puntos
0 a ;P P t t R
Representa la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P0 y sigue la dirección del
vector ; o . . // a a i e L a
2) De la ecuación vectorial de la recta L: P = Po + t a , t R se obtiene que
0 1
0 1 0 2 0 3 0 2
0 3
( , , ) ( , , ) ;
x x ta
x y z x ta y ta z ta y y ta t R
z z ta
0 1
0 2
0 3
;
x x ta
y y ta t R
z z ta
Representan las ecuaciones parametricas de la recta L, con punto de paso P0=(x0, yo, z0) y
vector direccional 1 2 3( , , )a a a a
3) Si a1, a2, a3 0 de las ecuaciones parametricas de la recta de L despejando t se obtiene
que.
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
Representa la ecuación simétrica de la recta L, con punto de paso P0= (x0, y0, z0) y vector
direccional 1 2 3( , , )a a a a
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4) Si 1 2 3( , , )a a a a es el vector direccional de la recta L, entonces a los números a1, a2 y a3
se les llama números directores de la recta L.
5) Un punto Q pertenecerá a la recta L = 0 ; P P t a t R
Si y solo si 0P Q // a es decir
0 a 0P Q x .
6) Dos rectas L1 y L2 son iguales si y solo si L1 L2 y L2 L1
Paralelismo y ortogonalidad de rectas.
Definición. Dos rectas 1 o 2 o: P P r a , r y : Q Q t b , tL R L R son
paralelas si los vectores direccionales a y b lo son. Es decir
1 2// a // bL L .
Observación: Si dos rectas L1 y L2 en el espacio son paralelos; entonces, coincidan (L1 = L2)
o su intersección es nula )( 21 LL .
Observación: Si dos rectas L1 y L2 en el espacio no son paralelas, entonces su intersección es
un punto I o L1 L 2. En este ultimo caso se dice que las rectas L1 y L2 se cruzan en el
espacio una forma de reconocer cuando dos rectas L1 y L2 no paralelas se cruzan o se
interceptan en el espacio tridimensional está basada en lo siguiente.
Dadas las rectas no paralelas 1 0 2 0 a ;t R y b ;r R L P P t L Q Q r ,
construimos el vector 0 P Q c , entonces:
1°) Las rectas L1 y L2 se intersectan si y solo sí a b c 0 y
2°) Las rectas L1 y L2 se cruzan si y solo sí a b c 0 .
Definición. Dos rectas 1 0 2 0 a ;t R y b ;r R L P P t L Q Q r son
ortogonales, se denota por 21 LL , si los vectores direccionales a y b lo son. Es decir
1 2 a bL L
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ANGULO ENTRE RECTAS.
Dadas las rectas 1 0 2 0 a ;t R y b ;r R L P P t L Q Q r el ángulo entre
las rectas L1 y L2 esta dado por el ángulo que forman sus vectores direccionales es decir
1 2
.( , ) ( , ) cos
a bL L a b
a b
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Dado un punto 1 1 1( , , )Q x y z L y una recta 0 a;L P P t t R la distancia del punto
Q a la recta L esta dada por:
0// a //( , )
P Q xd Q L
a
EJERCICIOS
1) Los vértices de un triangulo están dados por los puntos A = (1, 2, 3); B = (0, 2, 1) y
C = (-1, -2, -4). Hallar el área y el perímetro del triángulo.
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 = (3, 1, -2) e intersecta y es
perpendicular a la recta 1211 zyxL
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 = (1, 4, 0) y es perpendicular a las
rectas:
tz
ty
tx
L
1
4
3
:1
2
1:
3
12
6
4:2 z
yxL
4) Hallar la distancia del punto A = (3, 2, 1) ; a la recta que pasa por los puntos
P0 = (3, 1, -2) y P1 = (-3, -6, -3)
5) Sean L1 : P = (1, 0, -1) + t (1, 1, 0) ; t L2 : Q = (0, 0, 1) + r (1, 0, 0) ; r .
Hallar la ecuación de la recta L que es perpendicular a L1 y L2 y las intersecta.
6) Determine la ecuación de la recta que intersecta a las rectas
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L1 : P = (1, -1, 1) + t (1, 0, -1) ; t L2 : Q = (1, 0, 0) + r (-1, 1, 1) ; r en
los puntos A y B, respectivamente, de tal manera que la longitud del segmento AB
sea mínima.
7) Una recta pasa por el punto A = (1, 1, 1) y forma ángulos de 60º y 30º con los ejes X
y Y respectivamente. Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.
8) Hallar la ecuación de una recta para por el punto A = (1, 0, 0) y corta a las rectas
L1 : P = (5, 0, -1) + t (1, 1, 1) ; t L2 : Q = (-1, 2, 2) + s (-2, 1, 0) ; s
9) Una recta pasa por el punto A = (-2, 1, 3), es perpendicular e intersecta a la recta
L1 : P = (2, 2, 1) + t (1, 0, -1) ; t . Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.
10) ¿Qué valor debe tener k para que los puntos (2, 1, 1); (4, 2, 3) y (-2, k/2, 3k/2) sean
colineales.
11) Hallar el área del cuadrilátero cuyas vértices son los puntos: (4, 0, 1); (5, 1, 3); (3, 2,
5); (2, 1, 3).
12) Sean los vectores ).,,1()2,1,1();,1,1( rrcyrrbrra Halar r para
que cyba, sean linealmente independientes.
13) Dados los vectores (2-t, -2, 3); (1, 1-t, 1) y (1, 3, -1-t). ¿Qué valor debe tener t para
que los vectores sean linealmente independientes? ¿ y para que sean linealmente
dependiente?.
14) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 5, 1) y que es perpendicular e
intersecta a L : P = (1, -1, 1) + t (3, 1, 2) ; t .
15) Los puntos medios de los lados de un triángulo son: M1 = (2, 3, 3); M2 = (4, 4, 4) y
M3 = (3, 3, 2) ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al lado en que esta M1
y pasa por el vértice opuesto a dicho lado?
16) Una recta L1 pasa por los puntos (2, 1, -1); (5, 1, 3) y otra recta L2 pasa por el punto
(-4, 2, -6) y corta perpendicular a L1. Hallar la ecuación de L2 .
17) Hallar una recta L que intercepte a las rectas: L1 : (2, 1, -1) + s (3, 4, 0) y
L2 : (1, 1, 2) + t (- 4, 3, 0) , formando un ángulo 2TgArc con cada una de
ellos.
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-17-
18) Los números directores de dos rectas L1 y L2 son (-1, 6, 7) y (3, 2, - 4),
respectivamente. El ángulo formado por L1 y una recta L es 60º. Hallar los números
directores de L, si se sabe que es perpendicular a L2 .
19) Desde el punto (3, 6, 7) se traza una perpendicular a la recta L : (1, 1, -2) + t (2, -1, 3)
¿ A que distancia del punto (4, 4, 7) se halla dicha perpendicular?
20) Dos rectas tienen vectores direccionales (4, 0, 3) y (-3, 11 , 4), respectivamente.
Su intersección es (3, 2, 1). ¿ Cuál es la recta L3 que pasas por P = 1/5, (31, 10, 17) y
determinan con L1 y L2 un triángulo de área 6u2 ?.
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EL PLANO
Dado dos vectores bya no paralelos en 3R y un punto ),,( 0000 zyxP , se define el plano
P, que pasa por P0 y esta determinado por bya , como el conjunto de puntos:
P 3
0 ( , , ) / ; ,P x y z R P P r a t b r t R
Observaciones:
1) El conjunto P 3
0/ ; ,P R P P r a t b r t R representa la ecuación vectorial de
un plano P que pasa por P0 y es paralelo a los vectores bya ; (P a ; P b ).
2) Sean ),,(;),,( 321321 bbbbaaaa vectores que determinan el plano P ;
),,( 0000 zyxP el punto de paso del plano P y ),,( zyxP un punto cualquiera
del plano P ; de la ecuación vectorial del plano 0 ; ,P P r a t b r t R … P
Se obtiene: ),,(),,(),,(),,( 321321000 bbbtaaarzyxzyx
330
220
110
tbrazz
tbrayy
tbraxx
3) Dado un plano P 3
0 / ; ,P R P P r a t b r t R , el cual es paralelo a los
vectores bya , vemos que existen una infinidad de vectores ortogonales a dicho plano
y en consecuencias ortogonales a los vectores bya . Dichos vectores son paralelos al
vector bxa .
4) Cualquier vector no nulo ortogonal al plano P y en consecuencia ortogonal a los
vectores bya , se llama vector normal al plano P.
Luego, un vector normal al plano será bxa .
representa la ecuación paramétrica del plano P que
pasa por ),,( 0000 zyxP y es paralelo a los
vectores ),,(),,( 321321 bbbbyaaaa .
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-19-
5) Si P0 es un punto fijo (conocido) del plano P y P otro punto cualquiera (desconocido)
del plano P, entonces el vector PP0es ortogonal al vector normal bxan // ;
(conocido).
Luego: 0 0( ) 0 .( ) 0...n P P n P P P es la ecuación normal del plano P que pasa
por ),,( 0000 zyxP y con vector normal n .
6) P P 0( ). 0P P n
7) De la ecuación normal del plano P : 0.( ). 0n P P se deduce que
0. .P n P n ……(1)
donde 0 .P n d ; sean ),,();,,(),,,( 0000 zyxPzyxPcban en (1)
dczbyax ….. P
Es llamada ecuación general del plano P con vector normal ),,( cban
PARALELEISMO, ORTOGONALIDAD DE PLANOS: Sean los planos
P1 : 0).( 01 PPn y P2 : 0).( 02 QQn ; entonces:
1) P1 P2 1 2n n
2) P1 P2 21 nn
OBSERVACIONES:
1) P1 P2 P1 = P2 ó P1 P2 =
2) Si P1 no es paralelo a P2 P1 P2 = L (su intersección es una recta).
3) 1 2
1 2
1 2
.( P1 ,P2 )= ( , )
n nn n Cos
n n
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DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.
Dado el punto ),,( 111 zyxQ P y el plano P : 0ax by cz d
1 1 1
2 2 2( , )
ax by cz dd Q P
a b c
OBSERVACIONES:
Sean 0 ; ;L P P t a t r P : 0)( 0QQn , entonces:
1) L//P an ;
2) L P an
3) ( L , P ) =
na
naSen
.
EJERCICIOS:
1) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica general del plano que pasa por los puntos
P0=(3, 1, 2); P1 = (1, -1, 2) y P2 = (2, 0, 3)
2) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P0 = (2, 3, -5); y es ortogonal al
segmento PQ donde P = (3, -2, 1) y Q = (1, 3, 0). Hallar también la ecuación del plano
que pasa por los puntos P0 , P, Q .
3) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L: P = (1, 2, 2) + t(0,3,1); t y el
punto Q0 = (2, -3, 8).
4) Hallar la distancia del punto Q0 = (2, -1, 3) a la recta 032: zyxL ;
012 zyx .
5) Encuentre la distancia entre los planos paralelos P1 : 0522 zyx P2 :
07663 zyx
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6) Hallar la ecuación del plano que pasa por el mundo de intersección de las
rectas )2,1,1()4,5,9(1 tL y )1,1,2()3,2,1(2 rL siendo la distancia del plano al
origen igual a .234u
COMBINACION LINEAL DE VECTORES
Definición.- Dados tres vectores no paralelos cyba, , diferentes del vector 0 se dice
que el vector d es una combinación lineal de cyba, , si existen números reales r,s y t
tales que ctbsard
INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES:
Los vectores cyba, , son linealmente independientes, si:
00 tsrctbsar
En caso contrario, se dice que cyba, , son linealmente dependientes.
Observaciones:
1. Dos vectores ba, son linealmente dependientes si son paralelos es decir: 0)( bxa
2. Tres vectores 3, cyba son linealmente dependientes si y solo si su triple escalar
es cero, (es decir, 0cba )
BASES: Se sabe que el conjunto de vectores )1,0,0();0,1,0();0,0,1( kjiS tiene,
entre otras, las siguientes propiedades:
i) S es un conjunto linealmente independiente, es decir los vectores kyji , son
linealmente independientes entre si.
ii) Cualquier vector 3
321 ),,( aaaa puede ser expresado como una combinación
lineal de vectores de S, (es decir kajaiaa 321)
Definición.- Un conjunto S de tres vectores en 3R , se llama base si posee las propiedades (i)
y (ii)
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Observaciones:
1) Cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes, es una base del espacio
vectorial tridimensional 3
2) La propiedad (ii) de la definición de base nos indica, en general, que cualquier vector
3a R puede expresarse como: 1 1 2 2 3 3 1 2 3; ,a v v v y son las nuevas
componentes del vector a en la nueva base formada por los vectores 321 ,, vyvv
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Espacios Vectoriales
Un conjunto V Provisto de las funciones: + y . es un espacio vectorial donde:
I) + : V x V V
VvuvuVxVvu ,,
II) . : VVxR
VuauaRxVua .,.,
Propiedades. S : Suma
VvuuvvuS , :1
VwvuwvuwvuS , , :2
uuuVVuS 00/0 :3
VuuuuVuVuS 0,0/!:4
P : Producto
VuRbauabubaP ,,:1
uuuRVuP .11./1!:2
D : Distribución
VvuRbavauavuaD ,,,:1
Ejemplos: 1) Sea V = R2 ¿ V es un espacio Vectorial?
Solución. 22 , RyxRV
Sean: Vyxu 11, ; RkVyxv ; , 22
i) 2211 ,, yxyxvu = Vyyxx 2121 ,
ii) k Vku ) ky , kx () y , x( 111 1
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de ( i ) y ( ii ) : V= R2 es un espacio vectorial V
2) ?e ¿02/, 2 vectorialespaciounsVyxRyxV Solución.
:;02,; 02,: 22221111 entoncesRkyxVyxvyxVyxuSean
i) 2211 , yxyxvu = 2121 , yyxx
02 2121 yyxxVvu .Demostración.
00 0
22
222
2211
21212121
yxyx
yyxxyyxx
Vvu
ii)k 1111 ,, ykxkyxku
VukkyxkkykxnDemostracókykxVuk 0022: . 02 111111
V es un espacio vectorial
3) V = ? ¿ vectorialespaciounesVnxmordendematrices
Solución. Sean: A = Vamxnij
; B = Vbmxnij
;
i)A+ B = (aij) + (bij) = (Cij) v
ii) VA ijij a a
V es un espacio vectorial
Subespacios Vectoriales
Un subconjunto de un espacio vectorial V es un subespacio si es un espacio
vectorial con las operaciones restringidas de V (+ , .)
Proposición. Un subconjunto es un subespació vbua
Rbavu ,; ,
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Ejemplo. ¿Las soluciones del sistema homogéneo 0
0
dycx
byax
Constituyen un subespacio de R2?
Solución.
(*): 0
0
dycx
byax
0
0
y
x
dc
ba A = 0
y
xX …solución del sistema (*)
Sean X y Y dos soluciones del sistema (*) AX = 0 ; AY = 0
y si r , t A ( rX + tY ) = r ( AX ) + t ( AY )
= r ( 0 ) + t ( 0 )
=0
Entonces las soluciones del sistema (*) es un espacio vectorial. Por lo tanto las soluciones
del sistema (*) es un subespacio del espacio vectorial R².
Combinación Lineal (CL)
Se llama combinación lineal de Vvvv n,.......,, 21 a toda expresión de la forma
a1v1 + a2v2 + ……+ anvn ; a1 , a2 , …. , an
Observación: si Vvvv n ......., 21 nvvvCL ..........., 21 es un subespacio de V
Definición. Un espacio vectorial V es finitamente generado si un conjunto de vectores
Vvvv n......., 21 tal que nvvvCLV ..........., 21 .
Por ejemplo:
V = R2 es generado por los vectores (1,0) y (0,1)
1,00,1
,00,,
,/,2
yx
yxyx
RyRxyxRV
Esto es R² = CL {(1,0); (0,1)}
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Independencia Lineal Base y Dimensión
Sea V un espacio vectorial, se dice que los vectores 21 ,vv , …….. , nv V son
Linealmente Dependiente (LD) si Raaaescalares nn ....,,, 21 no todos nulos tal que
0....2211 nn vavava .
Definición. Los vectores sintesIndependieeLinealmentsonvvv n , ) LI ( ........, 21
0....2211 nn vavava Implica que: a1 = a2 =………..= an = 0.
Otra forma de expresar el mismo concepto es:
sintesindependieelinealmentsonvvv n ,,,, 21 y solo si. nvvv 0000 21
Definición (Base).Un subconjunto S = nvvv ,,, 21 V se llama base de V si:
i) S genera a V.
ii) S es linealmente independiente.
Definición (Dimensión). Dado el espacio vectorial V, se llama dimensión de V al número
de elementos de una base de V y se denota por dim (V).
Ejercicios:
1) Probar que: )1,2,1,0(),2,1,0,3();1,0,3,2();0,3,2,1(S es una base de 4.
2) Hallar una base de: P = {(x, y, z) 3/-3x+y-2z=0}
Solución. y = 3x + 2z entonces P = (x, y, z) = (x, 3x + 2z, z)
= (x + 0y + 0z, 3x + 0y + 2z, 0x + 0y + z)
(x, y, z)= x (1, 3, 0) + z(0, 2, 1) S = {(1, 3, 0), (0, 2, 1)} genera P
S es una base P si y solo sí (1, 3, 0) y (0, 2, 1) son linealmente independientes
Si y solo si r (1, 3 ,0) + t (0, 2, 1) = 0 r = t = 0
En Efecto : r (1, 3, 0) + t (0, 2, 1) = 0
(r, 3r, 0) + (0, 2t, t) = (0, 0, 0)
r = 0
3r + 2t = 0 r = t = 0
t = 0
(1, 3, 0) y (0, 2, 1) son linealmente Independientes
S es una base de P; P: espacio vectorial, dim (P) = 2
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3) Si L = {(x, y) R2/2x – y = 0} hallar una base de L
4) Probar que S = {(1, 2, 3, 0); (2, 3, 0, -1) ;(3, 0, -1, -2); (0, -1, -2, 1)} es una base de R4
Solución: S es una base de R4 si y solo si:
i) S debe generar a R4 = {(x, y, z, w)/x R, y R, z R, w R}; es decir
(x, y, z, w) = a (1, 2, 3, 0) + b (2, 3, 0, -1) + c (3, 0, -1, -2) + d (0, -1, -2, 1)
ii) )1,2,1,0(y )2,1,0,3(; )1,0,3,2( ; )0,3,2,1( 4321 vvvv
deben ser linealmente
independientes, es decir:
a 1v
+b 2v
+ c 3v
+ d 4v
= 0 a = b = c = d = 0. En efecto
a + 2b + 3c + 0d = 0
2a + 3b + 0c + d = 0
3a + 0b - c – 2d = 0
0a - b – 2c + d = 0
Transformación Lineal
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales, una transformación lineal de V en W es
una función : verificaque : WVT
a) VvuvTuTvuT ,)()()(
b) .,)( ) ( VvvTvT
Ejemplo. Sea yxyxyxTRRT ,32),(/: 22
Probar que T es una Transformación Lineal. Solución.
Wyx,y3x2Vy,x
WIRVIR:T 22
T es una Transformación Lineal si y solo sí
1. VvuvTuTvuT ,
2. VuIRuTuT ,
En efecto:
222222
1111112211
,32,
y ,32),()( ,y , :
yxyxyxTvT
yxyxyxTuTyxvyxusean
21212211 , ,, .1 yyxxTyxyxTvuT
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vTuTvuT
vTuT
yyTyxT
yyyxyxyx
yxyxyxyx
yyxxyyxx
)(
,,
,32,32
,3232
,32
2211
22221111
22112211
21212121
uT
yxT
yxyy
yxyx
yxT
yxTuT
11
1111
1111
11
11
,
,32
,32
,
, .2
LinealcionTransformaunaesT
yde
uTuT
21
Valores y Vectores Propios:
Dada una matriz A = [ajj]nxn; encontrar todos los números reales tal que la ecuación
matricial AX = X tenga soluciones X diferentes de la trivial (es decir no nulas); donde
X = [xjj]nx1 . Es decir : AX = X AX - IX = 0 (A - I)X = 0;
Luego AX = X (A - I) X = 0… (1)
La ecuación homogénea (1) tiene soluciones distintas de la trivial si solo si
0
a a
a -a
a a -
0
nnn21
2n2221
1n1211
na
a
a
IA
Observación:
1) ...0;... 0
1
10 aaaaPIA n
nn
n polinomio característico
2) ...0nPIA ecuación característica de A.
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3) A los valores de que satisfacen la ecuación característica 0IA se les llama
valores propios o característicos o auto valores de la matriz A.
4) A las soluciones X asociadas a cada valor propio (según (1)) se les llama vectores
propios o característicos o auto vectores correspondientes a dichos valores propios.
5) Asociado con cada valor propio se tiene un “conjunto de vectores propios”, de los cuales
nos interesan aquellos que son linealmente independientes ya que ellos generan un espacio
vectorial, y por lo tanto constituyen una base para dicho espacio vectorial.
PROPIEDADES: Sea A una matriz con valores propios i; entonces:
1) Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, son linealmente
independientes.
2) La transpuesta de A tiene los mismos valores propios que la matriz A.
3) La matriz KA tiene valores propios K i
4) Si A es una matriz no singular (|A| 0), entonces A-1
tienen los valores propios i-1
.
MATRICES SEMEJANTES: Dos matrices cuadradas A y B de orden n, son semejantes si
existe una matriz no singular P tal que:
B = P-1
AP
PROPIEDADES: Sean A y B matrices cuadradas de orden n, entonces:
1) Si A es semejante a B, entonces traz (A) = traz (B)
2) Si A es semejante a B, entonces |A|=|B|.
3) Si A es semejante a B y B semejante a C, entonces A es semejante a C.
Matriz Diagonalizable
Se dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz P no singular tal
que: P-1
AP = D; donde D es una matriz diagonal; y decimos que P diagonalaza a A y que A
es semejante a D.
TEOREMA: La matriz A de orden nxn es diagonalizable (y por lo tanto semejante a una
matriz diagonal), si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes.
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Construcción de la Matriz P que Diagonaliza a la Matriz A
1) Calcular los “n” valores propios de la matriz A de orden nxn)
2) Obtener los “n” vectores propios linealmente independientes (para asegurar que
exista P-1
).
3) Construir la matriz P (de orden nxn), teniendo presente que cada vector propio
encontrado en (2) es una matriz columna de P.
4) La matriz diagonal D tendrá sus elementos, (que en realidad son los valores propios,
en el mismo orden en que aparecen los vectores propios).
Ejemplo: Diagonalizar la matriz A, si fuera posible, donde:
1.
111
312
622
A 3,
210
121
012
A .2,
88
412A
4.
111
312
622
A 3,
210
121
012
A .2,
88
412A
7.
301
021
001
A 9,
466
353
331
A .8,
2-66
157
113
A
Nolan Jara J. FCE-UNAC
-31-
10. A =
2 42
422
225
A.11,
3 2 0
222
0 21