Vertiefungskurs aus ABWL:
Finanzwirtschaft
Wintersemester 2004 / 2005
400 026 / 6Mag. Katarina Kocian
Nr. 2
Motivation
• Investitionsrechnung– Heutige Anschaffungszahlungen
– Zukünftige Rückflüsse, deren Höhe heute nicht mit Sicherheit bekannt ist
• Kapitalwertkriterium, mit Kapitalkosten k
T
tT
Tt
t
k
R
k
CAK
000 )1()1(
Summe künftiger CF‘s
Anschaffungs-auszahlungen
in t = 0
Restwert
in t = T
Nr. 3
Motivation
• Berücksichtigung von Risiko
– Risikoangepasster Kapitalkostensatz
– Sicherheitsäquivalent
RPrk
hlagRisikoabscCECCEQ tt )()(
Nr. 4
Fragestellungen:
• Wie groß ist der erwartete Vermögenszuwachs bzw. welche Rendite kann erwartet werden?
• Wie riskant ist die Veranlagung?
• Wie groß ist die Chance, dass die erwartete Rendite tatsächlich erzielt wird?
• Wieviel und in welche riskante Investitionsmöglichkeiten soll veranlagt werden?
• Welche Prämien dürfen für die Übernahme von Risiko erwartet werden?
Rendite, Risiko und die Risikoeinstellung von Investoren
Portefeuilletheorie
Moderne Kapitalmarkttheorie
Möglichkeiten der Beantwortung durch:
Nr. 5
Inhalt und Gliederung
1. Portfoliotheorie und moderne Kapitalmarkttheorie
1.1. Renditen, Risiko und Risikoeinstellung von Investoren1.2. Portfoliotheorie1.3. Capital Asset Pricing Model (CAPM)
2. Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsrechnung
3. Bewertung mittels Netto-, Brutto- und APV-Methode
Nr. 6
Messung von Vermögensänderungen
• Absolut: Wert des Vermögens am Ende des Veranlagungszeitraumes abzüglich dem Wert am Anfang des VeranlagungszeitraumesFrage: Zuwachs/Minderung in wie vielen Geldeinheiten?
Vt ... Vermögen zum Zeitpunkt t
ΔVt > 0 .. Vermögenszuwachs; ΔVt < 0 .. Vermögensminderung
• Relativ:Prozentueller Zuwachs des Vermögens im VeranlagungszeitraumFrage: Rendite?
• oder
ttt VVV 1
11
1
t
t
t
ttt V
V
V
VVr 1
1
t
tt V
Vr
Nr. 7
Zusammenhang zw. Anfangs- und Endvermögen
• Periodenspezifische Rendite rt
• Anfangsvermögen Vo
• Endvermögen VT
)1(...)1()1( 210 TtttT rrrVV
Oder Kurzschreibweise:
T
ttT rVV
10 )1(
Nr. 8
Diskrete und stetige Renditen I.
diskret )1(1 11
dttt
t
tdt rVV
V
Vr
stetigs
trtt
t
tst eVV
V
Vr
1
1
ln
)1ln(
1
dt
st
rdt
rr
ers
t
Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:
1.
2.
Nr. 9
Diskrete und stetige Renditen II.
• Diskrete Renditen sind Renditen über eine gewisse zeitlich abgegrenzte Periode
• Stetige (=kontinuierliche) Renditen gehen von einer Verzinsung zu jedem Zeitpunkt aus
Anzahl der Zinsperioden Länge der Zinsperioden 0
• Beispiel 1: Berechnen Sie die diskreten und stetigen Renditen aus Sicht eines europäischen und US-amerikanischen Investors:
Wechselkurs: 19.9.2003 18.9.2003EUR/USD 0,8790 0,8896
11 1
1ln , ln
t
tUSDt
t
tEURt S
Sr
S
SrRenditen
Nr. 10
Wertpapierrenditen
• Fall 1: es erfolgen keine zwischenzeitigen Zahlungen:
mit Pt,i ... Preis des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t
mit rt,i ... Rendite des i-ten Wertpapiers zum
Zeitpunkt t(vor Steuern und Transaktionskosten)
• Fall 2: es kommt zu zwischenzeitigen Zahlungen:
Beispielsweise Dividendenzahlungen Divt,i -> Kursabschlag: exD
... Preis des i-ten Wertpapiers zu t exD:
... Preis des i-ten Wertpapiers zu t cumD:
Rendite:
-P
Pr
t
tt,i 1
1
cumit
exit
P
P
,
,
1111
-P
NRP r -
P
DivPr
,it-
t,iex
t,it,i
,it-
t,iex
t,it,i
... Allgemein für Nebenrechte
Nr. 11
Kursabschläge
• exD ... Dividendenzahlungen– Üblicherweise Bardividenden– Dividendenaktien
• exBR ... Bezugsrechte– Ordentl. Kapitalerhöhung gegen Bareinlagen– Trennung der Altaktie in Bezugsrecht und Altaktie exBR
• exBA ... Berichtigungsaktien– Auch Aufstockungs- oder Zusatzaktien genannt– Umwandlung von Rücklagen in dividendenberechtigtes
Grundkapital– Sinnvoll bei zu starker Rücklagenbildung, sodass der
Aktienkurs zu teuer wirkt – Aktiensplitt
Nr. 12
Beispiel 2:
a) Keine Nebenrechte
b) Dividendenzahlung in Höhe von 12 GE in [t,t+1]
c) In [t,t+1] notierte Bezugsrecht BR = 3
d) In [t,t+1] wurden Berichtigungsaktien im Verhältnis 5:1 ausgegeben
%151400
4601
1,
t
tit V
Vr
Zeit (in Jahren) Kurs
t 400
t + 1 460
%181400
124601
1,
t
ttit V
NRVr
%75,151400
34601
1,
t
ttit V
NRVr
%381400
4605
1460
11
,
t
ttit V
NRVr
Nr. 13
Durchschnittliche Renditen I.
Wiederveranlagungsprämisse
Veränderlicher Kapitaleinsatz
• Geometrische Durchschnittsrenditen
TT
ttT rVrVV )1()1( 0
10
1)1(
1)1(...)1()1(
1
21
T
T
tt
TT
rr
rrrr
bzw.
Nr. 14
Durchschnittliche Renditen II.
• Arithmetische Durchschnittsrenditen
T
r
T
rrrr
T
tt
T
121 ...
Arithmetisches Mittel
Durchschnittlich entnommene bzw. eingezahlte Rendite
Konstanter Kapitaleinsatz
Nr. 15
Durchschnittliche Renditen III.• Arithmetisch vs. Geometrisch
Geometrisches Mittel < Arithmetisches Mittel
Identisch NUR bei konstanten periodischen Renditen
• Beispiel 3:
Zeit (in Jahren) Kurst = 0 100t = 1 50t = 2 100
Nr. 16
Durchschnittliche Renditen IV.• Arithmetisch vs. Geometrisch / Diskret vs. Stetig
Beispiel 4:
Zeit (in Jahren) Kurst = 0 100t = 1 120t = 2 125
t = 3 115t = 4 119
a) Diskrete Renditen• Summe 4 Jahre
• Arithmetisch
• Geometrisch
b) Stetige Renditen• Summe 4 Jahre
• Arithmetisch
• Geometrisch
Nr. 17
Durchschnittliche Renditen IV. Annualisierung durchschnittlicher Renditen
• Fall 1: Arithmetische Durchschnittsrendite ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite)
Beispiel 5:
Zeit (in Halbjahren) Kurst = 0 100t = 1 120t = 2 126
Diskrete Durchschnittsrenditen? Geometrisch/Arithmetisch? Annualisiert?
• Fall 2: Arithmetische und geometrische Durchschnittsrendite mit Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite)
mrmr
1)1(* mmrr
Nr. 18
Ex-ante vs. ex-post Betrachtung
• Ex-post Betrachtung:– Vergangenheitsorientiert– Historische Renditen– Performance-Messung
• Ex-ante Betrachtung:– Zukunftsorientiert– Szenariotechnik– Prognose von Renditen– Ausgangspunkt: Investor kennt folgende Informationen:
• Umweltzustände zi (i = 1,2,...,n)
• Zustandsabhängige Renditen r(zi)
• Eintrittswahrscheinlichkeiten für alle Zustände zi, p(zi)
-> Risikosituation
Nr. 19
Ex-ante Betrachtung
• Erwartete Rendite– Renditen werden als Zufallsvariable interpretiert
– Erwartungswert der zustandsabhängigen Renditen
– Berechnung der Aktie j:
Beispiel 6:
zi r(zi) p(zi)
Boom 30% 20%Normal 12% 60%Rezession -5% 20%
P0 = 100
i
iijj zpzrrE )()()(
• Erwarteter Kurs
)](1[)( 01 jjj rEPPE
Nr. 20
Ex-post Betrachtung• Risiko
– Anlageentscheidungen basieren idR nicht nur auf erwarteten Renditen– Risikomaß: wünschenswerte Eigenschaften
• größere Abweichungen müssen stärker ins Gewicht fallen• Positive und negative Abweichungen dürfen sich nicht aufheben
– Varianz σ(rj)² : Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate• Streuungsmaß, Schwankungsbreite der Renditen• Standardabweichung σ(rj): Volatilität, Gesamtrisiko• Historisch: ex-post Betrachtung:• Heteroskedastizität: Varianz ist im Zeitablauf nicht konstant
2
1,
1
2,
2 1
1
1)(
n
ttj
n
ttjj r
nr
nr
Beispiel 7:
Monat 0 1 2 3 4 5
Kurs 100 120 125 120 130 128
Varianz? Volatilität?
Nr. 21
Ex-ante Betrachtung
• Risiko– Varianz σ(rj)² : Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate
• ex-ante Betrachtung:
mit und
222 )()()()( jjjj rErErVarr
n
iiijj zpzrrE
1
)()()(
n
iiijj zpzrrE
1
22 )()()(
Beispiel 8:
Zustand,zi r(zi) p(zi)
Boom 30% 20%Normal 12% 60%Rezession -5% 20%
a) Varianz?b) Volatilität?
Nr. 22
Renditen und ihre Verteilungen I.
• Annahme, das (stetige) Aktienrenditen normalverteilt sind:
Wiederholung Normalverteilung:• Symmetrisch um den Erwartungswert μ• Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz (Schwankungsbreite)• Erwartungswert und Standardabweichung σ beschreiben die
Normalverteilung vollständig• Die Fläche unter der Kurve ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit (in
Tabellen festgehalten)• Empirisch nicht exakt erfüllt, aber für Aktien eine brauchbare Approximation
),( 2Nr
Nr. 23
Renditen und ihre Verteilungen II.
• StandardisierungIst r N(μ, σ) verteilt, so ist die (standardisierte) Zufallsvariable:
Dichtefunktion Verteilungsfunktion
r
2/2
2
1)( xex
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x z dzex 2/2
2
1)(
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Nr. 24
Anwendungsbereich
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite kleiner ist als rx
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer ist als ry -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
)(1)()( yyrrP y
yr
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite zwischen rx und ry liegt?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
)()()()()( xyrrPrrPrrrP xyyx
xr yr
xr
)()( xrrP x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Nr. 25
Wichtige Kennzahlen und Begriffe in der Praxis
• Value-at-Risk = Geldbetrag, der mit bestimmter Wahrscheinlichkeit maximal verloren wird
• Shortfall-Risk = Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse Rendite unterschritten wird
• Tests:
Nr. 26
Anwendung
• Beispiel 9:
Die Rendite einer Aktie sei normalverteilt mit N (0,15;0,22).
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Rendite– über 10% p.a.– unter 10% p.a.– zwischen 5 und 10% p.a. liegt?
oder
– Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens erzielt?– Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% nicht überschritten?
Nr. 27
Portfoliotheorie
• Bisher: Ein Wertpapier– Veranlagung in Aktie 1
• Erwartete Rendite von E(r1) bei Risiko von σ(r1)
– Veranlagung in Aktie 2• Erwartete Rendite von E(r2) bei Risiko von σ(r2)
• Jetzt: Veranlagung in Aktie 1 und 2– Erwartete Portfoliorendite von E(rp)
– bei einem Portfoliorisiko von σ(rp)
Frage: Welche Portfoliorendite kann ein Investor erwarten? bzw. Welches Risiko geht er ein?
Nr. 28
Der Vater der modernen Portfoliotheorie
Nr. 29
Erwartete Portfoliorendite I.
• Ausgangspunkt– Aktuelle Preise der Aktien: P0,1 und P0,2
– Vermögen, das in Aktie 1 investiert wird: V0,1
– Vermögen, das in Aktie 2 investiert wird: V0,2
– Gesamtvermögen, das in Aktien investiert wird: V0 = V0,1 + V0,2
– Erwartete Rendite der Aktien E(r1) und E(r2)
– Annahme der beliebigen Teilbarkeit der Titel
Erwartetes Endvermögen VT zu t=T
))(1())(1()( 22,011,0 rEVrEVVE T
Aufgezinst mit1 + E(r1)
Aufgezinst mit1 + E(r2)
V0,1 Vermögen investiert in
Aktie 1 zu t=0
V0,2 Vermögen investiert in
Aktie 2 zu t=0
V0
Nr. 30
Beispiel 10:
E(r1) = 10 % p.a., E(r2) = 20 % p.a. und E(rP) = 17 % p.a.
Wie groß sind die Anteile x1 und x2 ?
Erwartete Portfoliorendite II.
Erwartetes Endvermögen VT zu t=T
))(1())(1()( 22,011,0 rEVrEVVE T
Aufgezinst mit1 + E(r1)
Aufgezinst mit1 + E(r2)
V0,1 Vermögen investiert in
Aktie 1 zu t=0
V0,2 Vermögen investiert in
Aktie 2 zu t=0
V0
Erwartete Portfoliorendite E(rp)
mit
)()()( 2211 rExrExrE p
12 1 xx
Nr. 31
Portfoliorisiko• Aktienrenditen können sich
– tendenziell gleichläufig– tendenziell gegenläufig– relativ unabhängig voneinander
entwickeln• gebräuchliches Beispiel
Nr. 32
Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt I.• Wichtige Kennzahlen in diesem Zusammenhang
– Kovarianz)()()(),( 212121 rErErrErrCov
– Korrelation: Standardisierung der Kovarianz, sodass die relative Abhängigkeit der Renditen voneinander nur Werte zwischen –1 bis +1 erreichen kann
)()(
),(),(
21
2121 rr
rrCovrr
– Interpretation• Korrelation = +1• Korrelation = 0• Korrelation = -1
Nr. 33
Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt II.
• Ermittlung des Portfoliorisikos
BABABBAAP xxrrCovxxrVar ),(2)( 2222
)()( PP rVarr
• Beispiel 11:
Aktie σ(rj) xj
A 15% p.a. 40%
B 20% p.a. 60%
ρ(rA,rB) = 0,25
Nr. 34
Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt III.
• Beispiel 12: Gemeinsame Betrachtung von E(rj), σ(rj)
Aktie E(rj) σ(rj)
A 8% p.a. 15% p.a.
B 14% p.a. 20% p.a.
– Stellen Sie den Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko graphisch dar, falls ρ(rA,rB) = 0,25. Beginnen Sie dabei bei einem Portfolio mit xA = 100% und reduzieren Sie schrittweise den Anteil von Aktie A im Portfolio bis eine 100%-ige Veranlagung in Aktie B erreicht ist.
– Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit ρ(rA,rB) = 1
– Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit immer kleineren Korrelationskoeffizienten bis ρ(rA,rB) = -1
Nr. 35
Anteilsbestimmung bei gegebenem Portfoliorisiko
mit xB = 1 – xA erhält man die quadratische Gleichung
BABABBAAP xxrrCovxxrVar ),(2)( 2222
02 cbxax AAa
cabbxA
2
42
Beispiel 13:
Aktie A ... σ(rA) = 15% p.a.
Aktie B ... σ(rB) = 20% p.a.
Wie groß sind die jeweiligen Anteile der Aktien am Gesamtportfolio, wenn die Portfoliovarianz 0,0208 beträgt und die Aktien eine Korrelation von 0,5 aufweisen?
Nr. 36
Zusammenfassend:
• Konsequenzen– Portfolio-Möglichkeitskurve
– Jede Portfoliorendite in [......] erreichbar
– Jedes Portfoliorisiko in [......] erreichbar
– zusätzlich sind Portfolios mit geringerem Risiko als .... erreichbar
– Minimum-Varianz-Portfolio
– Mehrere Kombinationen implizieren gleiches Portfoliorisiko
– Effiziente Portfolios, Effizienzkurve
Nr. 37
Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) I.• Portfolio mit kleinstmöglichen Risiko
• für spezielle Werte von ρ ist σ(rMVP) bekannt:
– bei ρ(rA,rB) = +1
– bei ρ(rA,rB) = -1Portfolio-Möglichkeitskurve
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0 0,05 0,1 0,15 0,2
Erwartetes Risiko
Erw
art
ete
Re
nd
ite
bei Korrelation von +1 bei Korrelation von -1
Aktie A
Aktie B
Nr. 38
Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II.
0)(
A
P
x
rVar
• Anteilsbestimmung, bei min Var(rP):Aufgrund von xB = 1 – xA können die Anteile des MVP durch Bildung der ersten Ableitung nach x1 und anschließendes Nullsetzen bestimmt werden.
Portfolio-Möglichkeitskurve
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21
Erwartetes Risiko
Erw
art
ete
Re
nd
ite
Aktie A
Aktie B
Extremwert = MVP
Nr. 39
Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II.
• Erwartete Rendite:
• Volatilität:
• Beispiel 14:
Aktie A B
E(rj) 8% p.a. 15% p.a.
σ(rj) 15% p.a. 25% p.a.
Die Renditen der beiden Aktien korrelieren im Ausmaß von +0,3.Bestimmen Sie die Zusammensetzung , Rendite und Risiko des MVP‘s.
MVPB
MVPABAB
MVPBA
MVPAMVP xxrrCovxxrVar ),(2)()()( 2222
MVPBB
MVPAAMVP xrExrErE )()()(
• Als Lösung erhält man:
),(2)()(
),()(1
BABA
BABMVP
rrCovrVarrVar
rrCovrVarx
MVPA
MVPB xx 1
Nr. 40
Modell - Annahmen
• Einperiodiges Kapitalanlagenmodell
• Annahmen zum Kapitalmarkt:– Weder Steuern noch Transaktionskosten– Wertpapiere sind beliebig teilbar– Renditen sind normalverteilt
• Annahmen über den Investor– Vollständige Konkurrenz– Investoren sind risikoavers und entscheiden rational– Investoren maximieren den erwarteten Nutzen des
Endvermögens– Subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Nr. 41
Erwartete Portfoliorendite
• 2 Wertpapiere
)()()()( 332211 rExrExrExrE p
1321 xxx
)()()( 2211 rExrExrE p
121 xx
• n Wertpapiere
N
jjjP xrErE
1
)()(
N
jjx
1
1
• 3 Wertpapiere
Nr. 42
Portfoliorisiko
• 2 Wertpapiere
• n Wertpapiere
121 xx
BABABBAAP xxrrCovxxrVar ),(2)( 2222
1321 xxxCBCB
CACA
BABA
CCBBAAP
xxrrCov
xxrrCov
xxrrCov
xxxrVar
),(2
),(2
),(2
)( 222222
N
j
N
kkjkjP xxrrCovr
1 1
2 ),()(
N
jjx
1
1
• 3 Wertpapiere
Nr. 43
Modelle
• Modell 1: Risikoaversion Minimierung des Portfoliorisikos bei gegebener erwarteter Portfoliorendite
N
j
N
kkjkjP
xxxrrCovr
1 1
2 ),()(min
Nebenbedingungen:
N
jPjj rExrE
1
)()(
N
jjx
1
1
Njx j ,....,1,0 für
Nr. 44
Modelle
• Modell 2: Rationalität Maximierung der erwarteten Portfoliorendite bei gegebenem Portfoliorisiko
)(),( 2
1 1P
N
j
N
kkjkj rxxrrCov
Nebenbedingungen:
N
jPjj
xrExrE
1
)()(max
N
jjx
1
1
Njx j ,....,1,0 für
Nr. 45
Anzahl der WP
Por
tfolio
risik
o
Begriff Risiko
• Naive Diversifikation:– Anteilsmäßig gleiches Investment in alle Titel (z.B. 50:50)
• Gesamtrisiko σ wird aufgeteilt in:– systematisches Risiko (nicht diversifizierbar)– unsystematisches Risiko (diversifizierbar)
• Diversifikations-effekt:
Nr. 46
Beispiel 15 mit 3 WP
j A B C
E(rj) p.a. 8% 15% 12%
Der Investor verfügt über ein Vermögen von 25 Mio. EUR.
Er investiert in Aktie A und B jeweils 10 Mio., den Rest in C.
• Wie hoch ist seine erwartete Rendite?
• Welches Risiko geht er ein?
CBAkjrrCov kj ,,,
15,0
018,02,0
003,0008,01,0
),(2
2
2
;
Nr. 47
Portfoliotheorie nach Black (1972)
• Annahmen wie bei Markowitz
• Aber: Leerverkäufe sind möglich, d.h. ohne Nicht-Negativitätsbedingungxi dürfen negativ werden!
Short-sellingKonsequenzen:
Portfolio-Möglichkeitskurve
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24
Erwartetes Risiko
Erw
arte
te R
end
ite
Aktie A
Aktie B
Nr. 48
Portfeuilletheorie nach Tobin (1958)
• Annahmen wie bei Markowitz / Black
• Zusätzlich besteht die Möglichkeit
– Kapital risikolos zu veranlagen
– Kapital risikolos zu borgen
• Vereinfachende Annahmen
Sollzinssatz = r = Habenzinssatz
• Anteil α wird risikolos veranlagt und Anteil 1 - α wird riskant
veranlagt
Nr. 49
Portfoliorendite / -risiko
• Portfoliorendite: bei riskanter Veranlagung in ein Portfolio X
• Portfoliorisiko: – Varianz und Kovarianz des risikolosen
FinanzierungstitelsVar(rj) = ? ; Cov(r,rj) = ?
– Volatilität des Portfolios X:
)()1()( Xp rErrE
)1()()( XP rr
Nr. 50
Zusammenhang zw. Rendite und Risiko
• ?? In welches Portfolio X soll investiert werden ??
)1()()( XP rr)(
)(1
X
P
r
r
)()(
)()( P
X
Xp r
r
rrErrE
Marktpreis je Risikoeinheit
)()(
)(11
)(
)(1)( X
X
P
X
Pp rE
r
rr
r
rrE
:eingesetzt für )()1()( Xp rErrE
Nr. 51
Modell nach Tobin I.
• Tobin Effizienzlinie
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21
Erwartetes Risiko
Erw
art
ete
Re
nd
ite
Aktie A
Aktie B
r
)()(
)()( P
M
Mp r
r
rrErrE
Tangentialportfolio M
)()1()( Mp rErrE
)1()()( MP rr
mit:
Mjj xx )1( :und
Nr. 52
Modell nach Tobin II.
Nichtlineares Optimierungsprogramm
Unter den Nebenbedingungen
)(
)(max
X
X
r
rrE
)(),( 2
1 1P
N
j
N
kkjkj rxxrrCov
N
jPjj rExrE
1
)()(
N
jjx
1
1 0; jx
Nr. 53
Ermittlung des Tangentialportfolios
• Durch Einsetzen von Hilfsvariablen wird das nichtlineare Programm in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt, wobei so viele Hilfsvariablen yk eingesetzt werden müssen, wie riskante Wertpapiere auf dem Markt existieren:
N
kjkkj NjrrEyrrCov
1
.,....,1)(),( für
N
kk
jMj
y
yx
1
• Voraussetzungen für das Einsetzen des linearen Gleichungssystems:– Leerverkäufe sind zulässig
Nr. 54
Beispiel 16
Ein risikoaverser Investor möchte ein Aktienportfolio aus Aktie A und B zusammenstellen. Die Renditen der Aktien sind normalverteilt mit folgenden Parametern (Angaben in % p.a.):
A B
E (rj) 8 15
10 20
• Ermitteln Sie das Minimum-Varianz-Portfolio, wenn die Korrelation zwischen beiden Aktien beträgt
• Der Investor hat zusätzlich die Möglichkeit, sein Kapital zu 7% p.a. risikolos zu veranlagen bzw. zu 7% p.a. einen Kredit aufzunehmen
– Wie ist die Zusammensetzung, die erwartete Rendite und das Risiko des Tangentialportfolios?
– Der Investor möchte eine erwartete Rendite in der Höhe von 12% p.a. erzielen. Welches Risiko muss er in diesem Fall eingehen?
– Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Rendite des Portfolios über 6% p.a.?– Tangentialportfolio ohne Leerverkaufsmöglichkeit?
)( jr
4,0AB
Nr. 55
Beispiel mit 3 WPj A B C
E(rj) p.a. 8% 15% 12%
risikoloser Zinssatz r = 7%1. Aufteilung Marktportfolio? Erwartete Marktrendite? Marktrisiko?
2. Investor ist bereit ein Risiko von 10% p.a. einzugehen ...
Lösung allgemein:
CBAkjrrCov kj ,,,
15,0
018,02,0
003,0008,01,0
),(2
2
2
;
rrEyrVaryrrCovyrrCov
rrEyrrCovyrVaryrrCov
rrEyrrCovyrrCovyrVar
CCCBCBACA
BCCBBBABA
ACCABBAAA
)()(),(),(
)(),()(),(
)(),(),()(Hilfsvariablen
ermitteln
N
kk
jMj
y
yx
1
Anteile im Markt-PF
)()(
)()( P
M
Mp r
r
rrErrE
Risiko/Renditedes Investors
)()1()( Mp rErrE
)1()()( MP rrMjj xx )1(
PF Aufteilung
Nr. 56
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
• Bisher: Kapitalanlageverhalten privater Investoren
• Jetzt: Auswirkungen auf Gleichgewichtspreise bzw. Gleichgewichtsrenditen
• Annahmen– wie bisher
• Risikoaversion der Investoren (Erwartungswert, Varianz)• Rationalität und kompetitives Verhalten• Finanzierungstitel sind beliebig teilbar• Es existiert ein risikoloser Finanzierungstitel für Kredite sowie für
Veranlagung
– zusätzlich• Keine Kapitalmarktbeschränkungen• alle riskanten Titel werden gehandelt• Investoren haben die gleichen, d.h. homogene Erwartungen
Vol
lkom
men
er K
apita
lmar
kt
Nr. 57
Kapitalmarktgleichgewicht I.
• Alle Investoren halten effiziente Portfolios (Tobin):– je nach Nutzenfunktion (bzw. Grad der Risikoaversion) wird mehr
oder weniger risikolos veranlagt– der Rest wird riskant veranlagt– dabei wählen alle Investoren das gleiche riskante Portfolio
Marktportfolio M
– Separationstheorem
• Das Marktportfolio M ergibt sich aus der Summe der individuellen Portfolios -> M... Ist ein effizientes Portfolio
• Gesamtnachfrage = Gesamtangebot, das gilt für alle riskanten Finanzierungstitel sowie für den risikolosen Zinssatz.
• Leerverkäufe an riskanten Finanzierungstitel kann es im Gleichgewicht nicht geben.
Nr. 58
Kapitalmarktgleichgewicht II.
• Kommen neue Titel auf den Markt, so sind diese auch im Marktportfolio M enthalten, da das Risiko von M aufgrund des Diversifikationseffektes reduziert wird.
• Das Marktportfolio
– wird beschrieben durch die erwartete Marktrendite E(rM) und das
Marktrisiko σ(rM) und
– liegt auf der Tobin-Gerade (Kapitalmarktlinie oder Capital Market Line).
– λ wird oft auch als Marktpreis für das Risiko je Risikoeinheit bezeichnet.
)()(
)()( P
M
Mp r
r
rrErrE
Nr. 59
Herleitung I.
• Herleitung der erwarteten Rendite E(rj):– Portfolio H bestehe aus
• z Teilen des Titels j und • (1 - z) Teilen des Marktportfolios
)1(),(2)()1()()()( 22222 zzrrCovrzrzrVarr MjMjHH
)()1()()( MjH rEzrEzrE
CLM
M
M
HPF
zH
H
r
rrE
dz
rddz
rdE
)(
)()(
)(
..
0
– Im Punkt z = 0 (somit volle Veranlagung ins Marktportfolio) muss gelten:
• Steigung Rendite/Risiko-Funktion des Portfolios H muss der Steigung der CML gleichen
Nr. 60
Herleitung II.
• Nach Ableitung und Umformung ergibt sich die Grundrelation des Kapitalmarktmodells:
• Wird das systematische Risiko in Beziehung zum Marktrisiko gesetzt, so ergibt sich das normierte systematische Risiko.
),()(
)()(
2 MjM
Mj rrCov
r
rrErrE
• Das systematische Risiko wird beschrieben durch )(),( jMj rrr
)(
),(
)(
)(),(2
M
Mj
M
jMjj r
rrCov
r
rrr
oMarktrisik
Risiko chessystematis
Risikoprämie für syst. Risiko
Nr. 61
Herleitung III.
• Daraus ergibt sich die Kapitalmarktlinie des CAPM in Beta-Schreibweise
• Interpretation von βj:Ändert sich die erwartete Rendite des Marktportfolios um einen Prozentpunkt, ändert sich die erwartete Rendite des WP j um βj Prozentpunkte.
jMj rrErrE )()(
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0 0,5 1 1,5 2 2,5Beta
Erw
art
ete
Rendite
Kapitalmarktlinie (CLM)
)( MrE
Nr. 62
Konsequenzen für Gleichgewichtspreise I.
• Bewertung unter Risiko
• Risikoangepasste Kapitalkostensätze
jMj rrErrE )()(
)(1
)( ,1,0
j
jj rE
PEP
jM
jj rrEr
PEP
])([1
)( ,1,0
Nr. 63
Konsequenzen für Gleichgewichtspreise II.
• Nach Umformulierung alternative Darstellungsform mit Sicherheitsäquivalent
r
rPCovr
rrEPE
PMj
M
Mj
j
1
),()(
)()( ,12,1
,0
),()(
)()(
2 MjM
Mj rrCov
r
rrErrE
),()(
)(1
)(
2
,1,0
MjM
M
jj
rrCovr
rrEr
PEP
Risikoabschlag
r
PCEQP j
j
1
)( ,1,0
Nr. 64
Zusammenfassend
• Investor• Aktie j … Rendite
• Aktie j … Preis
)()(
)()( P
M
Mp r
r
rrErrE
Risiko/Rendite
des Investors
),()(
)()(
2 MjM
Mj rrCov
r
rrErrE
Gleichgew.-
Rendite j
jMj rrErrE )()(
Risikoprämie
Gleichgew.-Preis j
r
PCEQ
r
rPCovr
rrEPE
P jMj
M
Mj
j
1
)(
1
),()(
)()(
,1,12,1
,0
Risikoabschlag
Nr. 65
Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung
• Investitionsentscheidung bei Unsicherheit iSv Risiko– 1. Über Risikoprämien
T
tt
t
k
CEAK
100 )1(
)(
mitieRisikoprämrk
Alternativrendite, die z.B. am Kapitalmarkt für eine Investition mit gleichem systematischen Risiko erwartet werden kann.
-> Erwartete Rendite nach CAPM
...k jMj rrErrE )()(
Risikoprämie
Nr. 66
Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung
• Investitionsentscheidung bei Unsicherheit iSv Risiko– 1. Über Sicherheitsäquivalente
T
tt
t
r
CCEAK
100 )1(
)(
Mit
CE(Ct) … Sicherheitsäquivalent des erwarteten Cash-Flows
r … risikoloser Zinssatz
Nr. 67
Risikoprämie und Risikoabschlag
• Risikoprämie und Risikoabschlag können über das CAPM ermittelt werden
• Wesentliche Erkenntnis: Risikoprämien werden nur für systematisches Risiko bezahlt
• Annahme: Einjähriges Projekt– Risikoangepasster Kapitalkostensatz
– Sicherheitsäquivalent
Beide Varianten müssen im Gleichgewicht stets zum selben Ergebnis (Gleichgewichtspreis) führen.
),()(
)(
])([
2 MCM
M
CM
rrCovr
rrEr
rrEr
rk
ieRisikopräm
),()(
)()(
)()(
2 MM
M rCCovr
rrECE
CECCE
hlagRisikoabsc
Nr. 68
Aufspaltung der Einzahlungsüberschüsse
• Hohes systematisches Risiko– Künft. Variable EZÜ nach Steuern
ttvt xcps )()1( ,
• Kein systematisches Risiko– Fixe Auszahlungen nach Steuern– Steuerersparnis infolge Abschreibung– Restwert nach Steuern
tfCs ,)1( tAfAs
)( TTT BWRsR
• Geringes systematisches Risiko– Zinszahlungen– Steuerersparnis infolge Kredit– Tilgungszahlungen
tZ'tZs
tY
httt RPr tensatz...Kapitalkos
Zinssatz rrisikolose ... tensatzKapitalkos r
gtttD RPrk , tensatz...Kapitalkos
Nr. 69
Ermittlung des Kapitalwertes von riskanten Investitionsprojekten I.
• Einsteigervariante:– Der Kapitalwert ergibt sich aus dem „fairen Preis für alle zukünftigen
Zahlungen“ (Bruttokapitalwert) abzüglich der sicheren Anfangsinvestition
Zahlungen" nzukünftige alle für Preis fairer"
00
000
AK
BKAK
0
'
0
0
000
PF
Zs
D
PAZ
PVAK
t
Zahlungen fixe MW
Kredit arnisSteuerersp MW
Tilgungen und -Zins MW
gen Auszahlunvar. MW
seUmsatzerlö MW
• Annahme: reine Eigenfinanzierung, somit sind die Marktwerte der Zins- und Tilgungen sowie die Steuerersparnis aufgrund Kredit gleich 0
Nr. 70
Ermittlung des Kapitalwertes von riskanten Investitionsprojekten II.
• Variable Einzahlungsüberschüsse nach Steuern– Schreibweise über Gamma
• Marktwert der variablen Einzahlungsüberschüsse (nach Steuern)
t
tv
p
c ,
tt
tttt
xps
xpsxpsEZÜ
)1()1(
)1()1(.var
00 )1()1( PVsPVZ
• Für den Kapitalwert folgt:
00
000
0000
)1()1(
UA
PFPVsA
PFPVZAK
Umsatz Var. Auszahlungen
Marktwert des EK bei reiner Eigenfinanzierung
Nr. 71
Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Umsatzerlöse I.
• Bei periodenspezifischen Zinssätzen und Marktrenditen
• Über Sicherheitsäquivalente:
),()(
)()(
,tMttttt
tttt
rxpCovxpE
xpExpCE
hlagRisikoabsc
• Retrograde Ermittlung von PV0:
T
tt
rt
tt
r
xpCEPV
1
1
0
1
)(
)(
)(
,2
,
tM
ttMt r
rrE
... mit
1
1
1
110
1
1
1
11
1
11
)(
11
)(
11
)(
0
r
PV
r
xpCEPV
r
PV
r
xpCEPV
r
PV
r
xpCEPV
PV
t
t
t
ttt
T
T
T
TTT
T
(Weil MW aller künftigen Umsatzerlöse)
Nr. 72
Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Umsatzerlöse II.
• Bei periodenspezifischen Zinssätzen und Marktrenditen
• Über (noch unbekannten) Kalkulationszinsfuß:
trtt in für ieRisikopräm
• Retrograde Ermittlung von PV0:
T
tt
rt
tt xpEPV
1
1
0
1
)(
1
1
1
110
1
1
1
11
1
11
)(
11
)(
11
)(
0
PVxpEPV
PVxpEPV
PVxpEPV
PV
t
t
t
ttt
T
T
T
TTT
T
(Weil MW aller künftigen Umsatzerlöse)
Nr. 73
Bestimmung der Risikoprämie für in t bzw. der periodenspezifischen Kapitalkostensätze für die Umsatzerlöse t
• Marktwerte PVt müssen bei beiden Vorgehensweisen (Risikoprämie vs. Sicherheitsäquivalent) gleich sein.
• Daher muss gelten:1
1
1
11
1
1
1
11
11
)(
11
)(
t
t
t
tt
t
t
t
tt
r
PV
r
xpCEPVxpE
• Die Risikoprämie erhält man aus:1
)()(
t
ttttt PV
xpCExpERP
• Bzw. den risikoangepassten Kapitalkostensatz aus:
1)(
1
t
tttt PV
PVxpE
Nr. 74
Ermittlung des Marktwertes aller künftigen fixen Zahlungen
• Da diese Zahlungen annahmegemäß keinem Risiko unterliegen, dann deren Diskontierung mit den periodenspezifischen risikolosen Zinssätzen erfolgen.
• Retrograde Ermittlung von PF0:
1
1
1
11,0
1
1
1
11,
,1
11
))1(
11
))1(
11
)(
1
))1(
0
r
PF
r
AfasCsPF
r
PF
r
AfasCsPF
r
PF
r
BWRsR
r
AfasCsPF
PF
f
t
t
t
ttft
T
T
T
TTT
T
TTfT
T
(Weil MW aller künftigen Zahlungen)
Nr. 75
Beispiel 18Zweiperiodiges Projekt mit A0 = 100 und folgenden zustandsabhängigen
Entwicklungen:
• Für t = 1:Zustand, zi P(zi) C(zi) rM(zi)A 30% 900 6%B 50% 1000 10%C 20% 1100 14%risikoloser Zinssatz 8% p.a.; fixe Auszahlungen 300
• Für t = 2:Zustand, zi P(zi) C(zi) rM(zi)A 20% 900 5%B 50% 1000 10%C 30% 1100 15%risikoloser Zinssatz 9% p.a.; fixe Auszahlungen 400
• Für t =1 und t = 2 gilt:– Verkaufspreis / Einheit: p1 = p2 = 1– = 0,5Lineare steuerrechtliche Abschreibung über 2 Jahre, der Steuersatz ist
für beide Perioden 40%, Restwert RT = 20
Nr. 76
Bewertung mit einem einheitlichen (risikoangepassten Kapitalkostensatz)
• Bis jetzt: Unterschiedlich riskante Zahlungen wurden mit unterschiedlichen Kapitalkostensätzen diskontiert.
• Jetziges Vorhaben: Diskontierung der unterschiedlich riskanten Zahlungen mit einem einheitlichen, risikoangepassten, periodenspezifischen Kapitalkostensatz,
• Zusammenfassung der zu berücksichtigenden Zahlungen– Für jede Periode t = 1,….., T.
– Für die letzte Periode t = T zusätzlich:
– In Summe also
t
ttftt AfasCsxpEs ,)1()()1)(1( Erw. EZÜ Fixe Zahlungen
)( TTT BWRsR
sonst
für
0
)(])([)(
TtBWRsRAfaCEsCE TTT
ttt
)( tOCFE
Nr. 77
Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Zahlungen
• Ermittlung des Marktwertes (reine Eigenfinanzierung!):
• Retrograde Ermittlung von PV0:
zierungEigenfinan reiner bei
EK das für tensatzKapitalkos ...t
1
1
1
10
1
1
1
1
1
11
)(
11
)(
11
)(
0
UOCFEU
U
r
OCFEU
UOCFEU
U
t
t
t
tt
T
T
T
TT
T
(Weil MW aller künftigen Zahlungen)
000 PFPVZU
!!!
Beide Lösungsvarianten müssen zum gleichen Ergebnis führen
ttt r oder ... und mit ungDiskontier
Nr. 78
Leverage Effekte
• Operating Leverage– Statische Betrachtung– Dynamische Betrachtung
• Financial Leverage– Statische Betrachtung– Dynamische Betrachtung
Nr. 79
Operating Leverage I.
• Statisch:Wie stark verändert sich der OCF, wenn sich der Umsatz um ein Prozent ändert
OCF
U
dU
dOCF
UdU
OCFdOCF
OL
OL
U Umsatzes des Änderung
OCF des Änderung
%
%
OCF
xcps
AfasCxcps
xcpsOL v
fv
v
)()1(
]))[(1(
)()1(
Nr. 80
Operating Leverage II.
• DynamischWie stark verändert sich der Wert einer rein eigenfinanzierten Unternehmung, wenn sich der Barwert der künftigen Umsatzerlöse um ein Prozent ändert
1
1
1
1
1
1
1
1
%
%
t
t
t
t
t
t
t
t
dynt
dynt
U
PV
dPV
dU
PVdPVUdU
OL
OL
eginnPeriondenb zu seUmsatzerlö künftigen
der Wertesdes Änderung
zierungEigenfinan reiner beiEK
des Wertesdes Änderung
111 ttt PFPVZU
Nr. 81
Operating Leverage III.
• DynamischZusammenhang:
ODER:Bewertung einer unverschuldeten Unternehmung mit einem
einheitlichen Kalkulationszinsfuss
1
1
1
11
1
1
1
)1()1(
t
t
t
ttdynt
t
tdynt
U
PF
U
PFUOL
U
PVsOL
tdyntt
dyntt rOLOL )1(
Nr. 82
Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung
(bei teilweise Fremdfinanzierung)
• Nettokapitalwert
• Bestandteile des Bruttokapitalwertes bei reiner Eigenfinanzierung
• Bestandteile des Bruttokapitalwertes bei teilweise Eigenfinanzierung
0t zu Zahlungen rzukünftige Marktwert
...0
000
BK
BKAK
00
0
0
00
UBK
PF
PAZ
PVBK
Zahlungen fixe MW
gen Auszahlunvar. MW -
öseUmsatzertl MW
0
0
0000
SEZ
D
PFPAZPVBK
Zinsaufw. .Steuerersp MW
lungenu.Tilg.Zah -Zins MW -
Nr. 83
Kapitalwert bei tlw. Fremdfinanzierung I.
• Kapitalkostensatz: Je nachdem, ob der Kredit risikolos oder nicht, wird ein unterschiedlicher Kapitalkostensatz herangezogen (kD,t = i oder r)
0000000 DSEZPFPAZPVABK
zierungFremdfinan tlw. beiEK d. MW
hlugenTilgungsza und -Zins MW
Projektes iertenfremfinanz tlw. d. MW
fw.inf.Zinsau arnisSteuerersp MW
gFinazierun-EK reiner beiEK des MW ...
mit
...
...
...
...
0
0
0
0
0
E
D
V
SEZ
U
0U
0V
0E
Nr. 84
Kapitalwert bei tlw. Fremdfinanzierung II.
• Marktwert der künftigen Steuerersparnis
T
1t
T
D
t
k
ZEsSEZ
1,
'
0
)1(
)(
• Marktwert der künftigen Zins- und Tilgungszahlungen
T
1t
T
D
tt
k
YZED
1,
0
)1(
)(
• Marktwert des EK bei tlw. Fremdfinanzierung
0000 DSEZUE
DSEZUE tttt
0V
Nr. 85
Fortsetzung Beispiel 18:
• Angaben bleiben gleich
• Zusätzlich: Kredit von 60 zur tlw. Fremdfinanzierung mit Ratentilgung ohne Freijahre und ohne Agio bzw. Disagio– Kredit sei risikolos, d.h. dass in allen Zuständen und allen
Perioden Zt und Yt gedeckt sind
– Kapitalkostensatz: r1 = 8% p.a. und r2 = 9% p.a.
Nr. 86
Financial Leverage I.
• Statisch:Wie stark verändert sich der NCF, wenn sich der Operating Cash Flow um ein Prozent ändert
NCF
OCF
dOCF
dNCF
OCFdOCFNCF
dNCF
FL
FL
OCF des Änderung
NCF des Änderung
%
%
NCF
OCF
ZsOCF
OCFFL
dOCF
dNCF
ZsOCFNCF
)1(
1
)1(
:somit
OCF nach g1.Ableitun
mit
Nr. 87
Financial Leverage II.
• DynamischWie stark verändert sich der Wert des EK bei einer tlw. fremdfinanzierten Unternehmung, wenn sich der Barwert des EK einer rein eigenfinanzierten Unternehmung um ein Prozent ändert
1
1
1
1
1
1
1
1
%
%
t
t
t
t
t
t
t
t
dynt
dynt
E
U
dU
dE
UdUE
dE
FL
FL
zierungEigenfinan reiner bei eginnPeriondenb zu
EK des Wertesdes Änderung
zierungFremdfinan tlw. bei eginnPeriondenb zuEK
des Wertesdes Änderung
1
1
1,
'1
1
)1(
)(
t
tdynt
t
t
ttD
ttt
E
UFL
dU
dE
Dk
ZEsUE
somit
mit
Nr. 88
Financial Leverage III. – dynamischDarstellung als Abhängigkeit vom Verschuldungsgrad
• ft = Verhältnis des Wertes der zukünftigen Zinsaufwendungen zum Wert des FK
t
T
t tD
t
t D
kZE
f
1 1,
'1
)1()(
tttt
ttttt
DfsUE
DDfsUE
)1(
• Angestrebter Verschuldungsgrad t
tt V
Dv *
*1
*1
1
*1
*11
1)1(1
1
1
t
tt
dynt
t
ttdynt
v
vfsFL
v
vfsFL
Angestrebtes Zielverhältnis zwischen Wert des FK und
wert des EK zu Periodenbeginn
1
1
t
t
E
D
Nr. 89
Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskonierung
• Für teilweise fremdfinanzierte Projekte gilt:
0SEZUV tt
1,
1
1,
'11
11
)(
tG
t
tG
ttt k
V
k
ZsOCFEV
• Aufgelöst nach kG,t+1
tDttEttG kvkvk ,1,1, )1(
Nr. 90
Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher DiskontierungWACC Ansatz
• Für den risikoangepassten Kalkulationszinssatz kD,t+1 wird die
Effektivverzinsung des FK verwendet
ik tD ,
• Bei den Cash Flows wird die Steuerersparnis infolge Zinsaufwand ignoriert
)1()1( 1,1, sivkvk ttEttG
• Demnach gilt:
• Der Kapitalkostensatz ergibt sich aus:
1,
1
1,
1
11
)(
tG
t
tG
tt k
V
k
OCFEV
Nr. 91
Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskontierung
Modigliani-Miller-Approximation
• Bei den Cash Flows wird die Steuerersparnis infolge Zinsaufwand ignoriert
)1( *1, tttG vsk
• Der Kapitalkostensatz ergibt sich aus:
• Exakte Ergebnisse falls:
- Konstante risikolose Zinssätze rt = r
- Risikoloses, Ewiges Fremdkapital
Nr. 92
Bewertung mit einem einheitlichen (risikoangepassten) Kapitalkostensatz
• Bis jetzt: Unterschiedlich riskante Zahlungen wurden mit unterschiedlichen (risikoangepassten) Kapitalkostensätzen diskontiert.
• Jetziges Vorhaben: Diskontierung der unterschiedlich riskanten Zahlungen mit einem einheitlichen, risikoangepassten, periodenspezifischen Kapitalkostensatz,
• Zusammenfassung der zu berücksichtigenden Zahlungen– Für jede Periode t = 1,….., T.
– Für die letzte Periode t = T zusätzlich:
– In Summe also
tEk ,
)(
])()1[()1(
'
,
ttt
t
tftt
ZsYZ
Afas
CxpEs
)( TTT BWRsR
sonst
für
0
)()'()(
TtBWRsRYNCFEYNCFE TTT
tttt
)'( tt YNCFE
Nr. 93
Marktwert des EK und Diskontierung mit einheitlichem Kapitalkostensatz I.
• Retrograde Ermittlung von E0:
zierungFremdfinan teilweise bei
EK das für tensatzKapitalkos ...tEk ,
1,
1
1,
110
1,
1
1,
11
,,1
11
)(
11
)(
11
)(
0
EE
tE
t
tE
ttt
TE
T
TE
TTT
T
k
E
k
YNCFEE
k
E
k
YNCFEE
k
E
k
YNCFEE
E
Nr. 94
Marktwert des EK und Diskontierung mit einheitlichem Kapitalkostensatz II.
• Allgemein muss gelten:
1,
1
1,
11
11
)(
tE
t
tE
tt
E
ttt k
E
k
YNCFEDSEZU
t
• Aufgelöst nach kE,t+1 -> ergibt sich:
1
1
,,
,1
1
1
1,
)1(
111
t
tdynt
tDdyntt
dynttE
tDt
tt
t
ttE
E
UFL
kFLFLk
kE
U
E
Uk
mit
bzw.
Nr. 95
Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken I.
• Umsatz-Beta
tVZttMt
ttM
tMttttMt
t
tttttt
t
ttttt
tt
rrEr
PVr
rxpCovrrEr
PV
xpExpEr
PV
xpCExpEr
r
,,
1,2
,,
1
1
])([
1
)(
),(])([
])([)(
)()(
hlagRisikoabsc
ieRisikopräm
),()(
)(,
,2
,tMtt
tM
ttM rxpCovr
rrE
hlagRisikoabsc
Beta-Umsatz ...,tVZ
Nr. 96
Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken II.
• Projekt-Beta
tdyntt
dyntt rOLOL )1(
ersetzt durcht
tVZttMtt rrEr ,, ])([
Beta-Projekt ...,tIP
tIPttMtt
dynttVZttMtt
rrEr
OLrrEr
,,
,,
])([
])([
Nr. 97
Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken III.
• Equity-Beta
tDdyntt
dynttE kFLFLk ,, )1(
Beta-Equity ...,tE
tEttMttE
dynttVZ
dyntttMttE
rrErk
OLFLrrErk
,,,
,,,
])([
])([
ersetzt durcht
tdyntt
dyntt rOLOL )1(
Nr. 98
Zusammenfassung
tVZttMtt rrEr ,, ])([ Beta-Umsatz ...,tVZ
Beta-Projekt ...,tIP dynttVZtIP OL ,,
Beta-Equity ...,tE
tIPdynttE
dynttVZ
dynttE
FL
OLFL
,,
,,
Nr. 99
Empirische Ermittlung
• Schätzung historischer Equity-Betas auf Grund:– historischer Aktienrenditen
– und entsprechender historischer Indexstände
-> Normierte systematische Risiken des EK bei tlw. Fremdfinanzierung
dynE
A FL
0
0
1)1(1
v
vsFLdyn
• Ermittlung der Asset-Betas durch:
wobei der FL approximiert wird durch:
-> Normierte systematische Risiken des EK bei reiner Eigenfinanzierung
Nr. 100
Adjusted Present Value Methode (APV)
T
tt
t
TTTT
T
tt
t
i
ZEs
BWRsR
OCFE
AK
1
'
1
1
1
00
)1(
)(
)1(
)(
)1(
)(
E(OCF) -> nach Steuern
!! Ohne Berücksichtigung des Steuerersparnis aufgrund Kredit!!
Restwert nach Steuern
Steuerersparnis aufgrund Kredit