28/9/2009
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IA369P – Tópicos em Engenharia de Computação VI
Visualização de Informação: Algoritmos
Visualização de Tensores
Capítulo 7 do livro-texto Telea
IA369P – 2s2009 - Ting
Modelo Conceitual
VisualizaçãoImporta Filtra Mapeia Imageie
Introspecção
F
Amostras/Células Pontos Espaciais
Grandezas TensoriaisGrandezas EscalaresGrandezas Vetoriais
VF DD →
CoresLinhas de DireçãoGlifosHiperlinhas de Direção
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Escalares:
Vetores:
Tensores:Escalares (tensores de rank
0) + vetores (tensores de rank 1) + outros arranjos matriciais
de escalaresCores
Tipos de DadosTensores
RXf ⊂)(
dRXf ⊂)(
Generalização de “quantidades geométricas” em Rd
Difusão de líquido em distintas direções
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Tensores Covariantes Superfície parametrizada em (u,v) Superfície paramet rizada em (u’,v’)
'''
'''
'''
''
''
v
r
v
rG
v
r
u
rF
u
r
u
rE
dvv
rdu
u
rds
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
''
''
''
''''
''
v
v
u
vv
u
u
u
GF
FE
v
v
u
vv
u
u
u
GF
FE
t
∑∑= = ∂
∂∂∂=
d
j
d
ij
s
i
r
rsij x
x
x
xTT
1 1
v
r
v
rG
v
r
u
rF
u
r
u
rE
dvv
rdu
u
rds
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂=
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Tensores Contravariantes e Mistos
∑∑= = ∂
∂∂∂=
d
j
d
is
j
r
irsij
x
x
x
xTT
1 1
∑∑= = ∂
∂∂∂=
d
j
d
ij
s
r
ir
si
j x
x
x
xTT
1 1
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Tensor Métrico
u
r
∂∂
v
r
∂∂
222 2
)()(
dvv
r
v
rdudv
v
r
u
rdu
u
r
u
rds
dvv
rdu
u
rdv
v
rdu
u
rdsds
dvv
rdu
u
rds
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂=⋅
∂∂+
∂∂=
E F G
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Tensor de Curvatura
22
22
2
)()(
dvv
n
v
rdudv
v
n
u
rdu
u
n
u
rdnds
dvv
n
v
rdudv
v
r
u
ndudv
v
n
u
rdu
u
n
u
rdnds
dvv
ndu
u
ndv
v
rdu
u
rdnds
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−=⋅−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−=⋅−
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂−=⋅−
e f g
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Curvaturas
Curvatura máxima
Curvatura mínima
−=
gf
fe
GF
FE
hh
hh
2212
2111
Soluções : autovalores
� um autovetor
1λ
2λ
0))((
10
01det
21122211
2212
2111
=−−−
=
−
hhhh
hh
hh
λλ
λ
ssHrr λ=
iλ21,λλ
isr
ssHrr λ=
sr
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Tensor de Difusão
Células de Schwann
Difusão é o deslocamento de soluto por diferencial na concentração dos meios.
Feixe de fibras nervosas na substância branca do tecido nervoso dá uma direção preferencial para o movimento microscópico das moléculas de água sob variações de campos magnéticos. Coeficientes de difusão H anisotrópicos:•Alta mobilidade ao longo das fibras;•Baixa mobilidade na direção perpendicular.
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Tensor de Difusão
• Coeficientes de difusividade permite estimar a direção das fibras nervosas.
• Estes coeficientes são quantidades que não dependem do referencial.
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
hhh
hhh
hhh
H
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Tensor de Difusão
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
hhh
hhh
hhh
H
0
100
010
001
det =
−
λ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
hhh
hhh
hhh
máximo
mínimo
médio
321 λλλ ≥≥ � difusividade
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Análise de Componentes Principais• Decomposição de uma matriz de dados X de posto r
como soma de matrizes de posto igual a 1
hh ptptptX ''' 2211 +++= L
scores loadings
Scores: projeções das amostras na direção da componente principalLoadings: cossenos dos ângulos formados entre a componente principal e cada variável
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Exercícios1. Determina os autovalores e autovetores das seguintes
matrizes
−−
22
25
−−−−−
021
612
322
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Redução em Escalares
xxh xyhxzh yxh yyh yzh
zzhzyhzxh
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Tensor de Difusão• Difusividade radial:
• Difusividade média:
• Anisotropia Fracional:
– Caso linear
– Caso planar
– Caso esférico
• Anisotropia Relativa:
2/)( 32 λλ +
3/)( 321 λλλµ ++=
321 λλλ ≈>>
321 λλλ >>≈
321 λλλ ≈≈
)( 321
21
λλλλλ++
−=lc
)(
)(2
321
32
λλλλλ++
−=pc
)(
3
321
3
λλλλ
++=sc
23
22
21
3
1
2)(
2
3
λλλ
µλ
++
−= ∑ =i i
FA
321
3
1
2)(
2
3
λλλµλ
++
−= ∑ =i i
RA
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Redução em EscalaresDifusividade Média
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Redução em EscalaresMedidas de Anisotropia
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Redução em EscalaresCurvaturas Gaussiana e Média
Curvatura Gaussiana (K=k1k2) Curvatura Média (H=(k1+k2)/2)
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Redução em VetoresDireção de .1λ
Mapear em glifos “coloridos” x-->R; y � G; z � B
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Redução em VetoresLinhas de Direção
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Redução em VetoresLinhas de Direção
Interação para escolha de semente
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Redução em VetoresLinhas de Direção
Agrupamento de fibras paralelas
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Mapeamento em Glifos
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Mapeamento em Glifos
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Superquádricas
βφ
βφβφ
21
21
21
coscos
coscos
coscos
nnz
nny
nnx
Rz
Ry
Rx
=
=
=
∞≤≤
≤≤−≤≤−
21,0
,22
nn
πβππφπ
onde
1n
2n
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Superquádricas
pl ccxzy ≥=−++ ,01)( 222 ββααα
onde
γ
γ
β
α
)1(
)1(
l
p
c
c
−=
−=
pl cczyx <=−++ ,01)( 222 ββααα
onde
γ
γ
βα
)1(
)1(
p
l
c
c
−=
−=
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Mapeamento em Glifos
Elipsóide
Cubóide
Cilíndrico
Superquádricas
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Mapeamento em GlifosTensor de Estresse (Mecânico)
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Mapeamento em GlifosTensor de Estresse (Mecânico)
Fonte: http://www.sv.vt.edu/NCSA_WkShp/kriz/WkShp_kriz.html
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Mapeamento em GlifosTensor de Estresse (Mecânico)
Problemas: resolução espacial limitada, densidade
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Exercícios1. Como se reduz um tensor em um escalar para utilizar
a técnica de mapeamento deste último em atributos gráficos? Qual é o problema desta técnica apesar da simplicidade?
2. Como se reduz um tensor em um vetor para utilizar a técnica deste último em atributos gráficos? Quais são os problemas apresentados nesta redução?
3. Compare os quatro tipos de glifos apresentados para visualizar os tensores em termos de prover valor e direção das grandezas de interesse.
4. Compare o mapeamento em linhas de direção como o mapeamento em glifos em termos de prover informação direcional.
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Mapeamento em Hiperlinhas
Linhas de direção + glifos