Vsebina

• Diskretni problemi• Grafi, drevesa• Osnovna pravila kombinatorike• Izbori• Porazdelitve• Metoda tirov• Pravilo vključitev in izključitev• Rodovne funkcije• Trdnjavski polinomi• Rekurzivne enačbe• ...

Rodovne funkcije

Rodovne funkcije - motivacija

• Ideja rodovne funkcije je koristna. Spomnimo se Newtonovega binomskega obrazca:

• Z njim lahko v preprosto funkcijo (1+x)n “zakodiramo” vrstico Pascalovega trikotnika.

kn

k

n xk

nx

0

)1(

Običajne rodovne funkcije

• Poljubnemu zaporedju števil: a = (a0,a1, ..., an, ...) priredimo vsoto: G(a, x) = G(x) = a0x0 + a1x1 + ...,+ anxn + ...

• Iz analize I vemo, da je mogoče dovolj pohlevno funkcijo G(x) razviti v Taylorjevo vrsto in tako z njo definiramo zaporedje števil.

• Funkciji G(a, x) pravimo (običajna) rodovna funkcija zaporedja a.

• Na tem mestu bomo pustili ob strani probleme obstoja, enoličnosti, konvergence, itd.

Rodovna funkcija za kombinacije s ponavljanjem

• Zaporedje kombinacij s ponavljanjem enega elementa reda r je preprosto: 1,1,1, ...., ustrezna rodovna funkcija je e(x) = 1/(1 – x).

• Po pravilu produkta lahko sklepamo, da je rodovna funkcija kombinacij s ponavljanjem n elementov enaka: e(x)n = 1/(1 - x)n

Naloga

• Koliko je kombinacij s ponavljanjem n elementov reda r, če se vsak element pojavi vsaj k-krat?

• Rodovna funkcija za en element: xk/(1-x).

• Rodovna funkcija za n elementov je (xk/(1-x))n = xkn/(1-x)n.

• r-ti člen v razvoju je C(r – (k -1)n – 1,n - 1)

Rodovna funkcija številskih razbitij

• Naj P(x) označuje neskončni produkt:– P(x) = (1/(1-x))(1/(1-x2))...(1/(1-xn)) ...

• Naloga:– Napiši prvih 10 členov potenčne vrste za P(x).

– Primerjaj jih s prvmi 10 členi zaporedja p(n), razbitij števila n.

• Mogoče je pokazati, da je P(x) rodovna funkcija zaporedja p(n).

Eksponentna rodovna funkcija

• Ob običajni rodovni funkciji so včasih koristne tudi drugačne rodovne funkcije.

• Zgled: funkcijo enx lahko razvijemo v vrsto: enx = 1 +n x/1! + n2 x2/2! + ... + nr xr/r! + ...

• Očitno lahko tako zakodiramo zaporedje variacij s ponavljanjem nr. Idejo lahko posplošimo. Namesto običajne rodovne funkcije G(a, x) vpeljemo eksponentno rodovno funkcijo E(a, x):

• G(a, x) = a0x0 + a1x1 + ...,+ anxn + ...• E(a, x) = a0x0/0!+ a1x1/1! + ...,+ anxn/n! + ...

Druge rodovne funkcije

• Znane so še nekatere druge rodovne funkcije: Dirichletova rodovna funkcija

• D(a, x) = a1/1x + a2/2x + ... + an/nx + ...

• Eulerjeva rodovna funkcija

• Eu(a, x, q) = a0 + a1x/(1-q) + ... + anxn/[(1-q)(1-q2)...(1-qn)] + ...

Fibonaccijevo zaporedje

• Leonardo iz Pise je na prelomu dvanajstega v trinajsto stoletje obravnaval naslednje zaporedje:

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V katerem je vsak člen vsota prejšnjih dveh členov. Formalno:

• F0 = F1 = 1

• Fn = Fn-1 + Fn-2

Rodovna funkcija za Fn

• Naj F(x) označuje ustrezno rodovno funkcijo. Z algebrsko telovadbo najdemo zvezo:

• F(x) = 1 + (x + x2) F(x), oziroma:• F(x) =1/(1 – x – x2). Z nastavkom:• 1/(1 – x – x2) = A/(1 – ax) + B/(1-bx) in z

upoštevanjem, da je 1/(1 – cx) = 1 + cx + c2x2 + ... lahko izračunamo A, B, a in b ter zapišemo neposredno:

• Fn = Aan + Bbn = (1/5)1/2)[((1 + 51/2)/2)n+1-((1-51/2)/2)n+1]

Zlati rez

• Naj označuje število = (1 + 51/2)/2 = 1.61803. Pravimo, da je razmerje zlatega reza. Število ima mnoge lepe lastnosti in ga pogosto, tako kot števila Fibonaccijevega zaporedja, najdemo v naravi.

• Naloga:– Dokaži, da je = + 1.

– Dokaži, da je = - 1.

– Dokaži, da je lim n Fn/Fn-1 = .

Catalanova števila

• Na koliko načinov lahko pravilno postavimo n parov oklepajev?

• () ... C1 = 1

• ()(),(()) ... C2= 2

• ...

• Privzamemo še C0 = 1 in dobimo zaporedje:

• 1, 1, 2, 5, ... Z rodovno funkcijo C(x).

Zveza in rodovna funkcija

• Velja karakteristična zveza:• Cn+1 = C0 Cn + C1 Cn-1 + ... + Cn-1 C1 + Cn C0, ki

skupaj z začetnim pogojem C0 = 1 zaporedje enolično določa. Za rodovno funkcijo velja:

• x C(x)2 – C(x) + 1 = 0, kar zadošča za izračun:• C(x) = (1 - (1 – 4x)1/2)/(2x)• Pri tem izberemo pravo vrednost (izmed obeh

možnih korenov kvadratne enačbe) na podlagi dejstva, da mora biti C(0) = C0 = 1.

Končni rezultat

• Ko rodovno funkcijo razvijemo v vrsto, npr. tako, da uporabimo posplošitev binomskega obrazca za potenco ½, dobimo Catalanova števila:

• 0,2

1

1

nn

n

nCn