Download pdf - x y z x y x y x y x y rz z y z s t x y z s t x y z s t xjesusr/pdfs/AL/zzz/rm.pdf · Hallar los gramos de oro y plata de ... Calcular el valor de A,B,C,D. 7) Resolver el sistema de

Algebra Lineal y GeometrıaGrupo A

Curso 2009/10

Sistemas de ecuaciones lineales

NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad.

1) Resolver los tres sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en R siguientes:

3x! 2y = 66x + 6y = 102

x + y ! 2z = 92x! y + 4z = 42x! y + 6z = !1

2x! 4y + 7z = 312x + 3y + 5z = 11x! 5y + 6z = 29

2)(*) Discutir los dos sistemas siguientes en funcion del parametro m y de los parame-tros r y s respectivamente:

x + 2y + z = 1!x + 2z = 3

3x + 2y + mz = 1

3x + y + rz = 0x! y ! z = 0

sx + y + z = 0x + sy ! z = 0

3)Resolver, si es posible, los sistemas lineales siguientes:

x + 2y + 2z ! s + 3t = 0x + 2y + 3z + s + t = 0

3x + 6y + 8z + s + 5t = 0

3x2 ! 6x3 ! 4x4 ! 3x5 = !5!x1 + 3x2 ! 10x3 ! 4x4 ! 4x5 = !22x1 ! 6x2 + 20x3 + 2x4 + 8x5 = !8

Problemas relacionados con la vida cotidiana y las ciencias:

3) Hieron, rey de Siracusa, habıa dado a un platero 7465 gramos de oro para haceruna corona que querıa ofrecer a Jupiter. Para conocer si el orfebre habıa reemplazado oropor plata le pidio a Arquımedes que lo averiguara sin estropear la corona. Arquımedesmetio la corona en agua y perdio 467 gramos de su peso (es decir, el agua desalojadapeso 467 gramos). Se sabe que el oro pierde en el agua 52 milesimas de su peso y que laplata pierde 95 milesimas. Hallar los gramos de oro y plata de la corona real.

4)Podemos mezclar, bajo condiciones controladas, tolueno C7H8 y acido nıtricoHNO3 para producir trinitolueno (TNT) C7H5O6N3 y agua. Determinar en que pro-porcion deben mezclarse estos componentes, es decir, ajustar la correspondiente reacconquımica:

!C7H8 + "HNO3 " #C7H5O6N3 + $H2O

Indicar que ocurre si reemplazamos el agua, H2O por agua oxigenada, H2O2.

5)Un excursionista comprueba, tras recorrer 7 km en la primera hora, que mante-niendo ese ritmo, llegarıa con una hora de retraso al tren que pretende tomar. Acelera elpaso y durante el resto del camino recorre 10 km cada hora, por lo que llega con mediahora de adelanto a la estacion.¿ Cuanto tiempo estuvo andando? ¿Que distancia recorrio?

Problemas que relacionan Algebra y Geometrıa

6)Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuacion del plano de R3 que pasa por los puntos(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0). Calcular el valor de A,B,C, D.

7) Resolver el sistema de ecuaciones siguiente e interpretarlo como la interseccionde dos rectas en el plano R2:

x + y = 23x! y = 2

8) La misma cuestion del problema 6) para la circunferencia de R2, x2 + y2 +2ax+2by = c, que pasa por los puntos (0, 0), (2, 0), (1, 1). Calcular el valor de a, b, c.

Otros problemas

9)(*) Si la suma de tres numeros reales es el doble de la suma del primero y eltercero y el primero menos el segundo es el triple del tercero, probar que alguno de lostres numeros tiene que ser cero. ¿Cuantas ternas de numeros hay que cumplan estascondiciones?

10)(*) Sean x, y dos numeros reales. Si verifican las dos condiciones

x2 + y2 = 9;x2 ! 8y2 = 1

, utilizar ecuaciones lineales para calcular los valores que pueden tomar x e y.


Curso 2009/10

Matrices. Transformaciones elementales


12) Identificar las transformaciones elementales aplicadas a la matriz identidad parallegar a las matrices siguientes:

1 0 00 1 0−2 0 1

;

0 0 10 1 01 0 0

;

1 0 00 2 00 0 1

13) Para las siguientes matrices se pide: calcular su forma normal de Hermite por

filas y su rango:

A =

1 2 34 5 67 8 9

;B =

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

;C =

0 1 21 0 32 3 0

D =

2 1 3 −22 −1 5 21 1 1 1

;E =

1 2 3 3 10 62 1 0 0 2 32 2 2 1 5 5−1 1 3 2 5 2

14) Discutir y resolver, utilizando matrices, los sistemas siguientes:

−x + z = −22x− y + z = 1

−3x + 2y − 2z = −1x− 2y + 3z = −2

5x + 2y + 6z = −1

x2 + 2x3 − x4 = 1x1 + 2x3 − 2x4 = 1−x1 + x2 + x4 = −2

x− y + z = 13x + z = 3

5x− 2y + 3z = 5

15) Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace14 anos la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel

momento, que dentro de 10 anos la edad de la madre sera la suma de las edades que loshijos tendran entonces y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, elhijo menor tendra 42 anos.

16) (*) Un comerciante de telas vende cada metro un 30, 2% mas caro que el precioal que lo compra. Desea aumentar sus ganacias sin incrementar los precios para lo cualdecide emplear un falso metro para medir la tela delante de sus clientes. Indicar cuantoha de medir este falso metro para que sus ganancias pasen a ser del 40%

17) Sea un triangulo del plano R2 cuyos vertices son los puntos (1, 2), (0, 0), (3, 0).Encontrar tres sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas cuya solucion sea unicay coincida en cada uno de ellos con uno de los vertices del triangulo.

18) (*) Aplicar el Teorema de Rouche - Frobenius para discutir los sistemas:

x + my + z = 1mx + y + (m− 1)z = m

x + y + z = m + 1

x + y − z = 12x + 3y + az = 3x + ay + 3z = 2


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Operaciones con matrices


19) Resolver la ecuacion matricial:

(1 13 3

) (xy

)=

(1 xy −1

) (32

)

20) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

2A + B =(

1 2 2−2 1 0

);

A− 3B =(−4 −3 −2−1 0 −1

)

21) Calcular el rango de la matriz

1 i 12i (1 + i) (−i)0 (3 + i) 3i

22) Explicar por que en general (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 y (A − B)(A + B) 6=A2 −B2

23) Una matriz se llama idempotente si A2 = A. Probar que la matriz siguiente esidempotente:

A =

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

24) Calcular A2, A3, A4, siendo

A =

1 1 10 1 10 0 1

Lo mismo para

B =

1 0 01 1 01 1 1

25) Probar que la suma de matrices simetricas es simetrica. Demostrar que el

producto no lo es en general.

26)(*) Dada una matriz cuadrada A, demostrar que A+At es una matriz simetrica.Probar que toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matrizsimetrica y otra antisimetrica.

27) Para la matriz cuadrada de orden 3 de numeros complejos

A =

4 2 2i2 1 i2i i −1

pruebese por induccion que Ak = 4k−1A

28) Consideramos las matrices

A =(

1 −1 22 1 3

)y

B =

1 00 −12 1

Averiguar si existe alguna matriz no nula, X, tal que XA = BXt


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Matrices regulares


29) Demostrar que la matriz inversa de A es B:

A =

1 2 32 3 43 4 6

;B =

−2 0 10 3 −21 −2 1

30) Calcular el cuadrado de:

A =13

1 2 22 −2 12 1 −2

Indicar cual es la inversa de A

31) Probar que si A es una matriz idempotente (A2 = A) entonces tambien lo esB = I −A y ademas AB = BA = 0

32) Demostrar que la matriz A =(

2 11 2

)verifica una ecuacion del tipo A2 +αA+

βI = 0 calculando para ello los valores de α y β. Utilizar este resultado para calcular lainversa de A.

33) Determinar cuales de las matrices siguientes son regulares y calcular la inversade las que lo sean:

1 0 0 10 1 1 00 0 1 00 1 0 1

;

1 2 3 45 6 7 8−1 −2 −3 −4−5 −6 −7 −8

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

34) Dadas las matrices A,B y C, comprobar que AB = AC y concluir que dichaigualdad no implica necesariamente que B = C. Razonar por que A tiene que ser singular.

A =

1 −3 22 1 −34 −3 −1

B =

1 4 1 02 1 1 11 −2 1 2

C =

2 1 −1 −23 −2 −1 −12 −5 −1 0

35) (*) Demostrar las siguientes propiedades para una matriz regular A de orden ny elementos reales:

1. (A−1)−1) = A2. (rA)−1 = 1

r A−1 para cada r 6= 0, numero real3. (Ap)−1 = (A−1)p, siendo p un numero entero positivo

36) Una matriz cuadrada A, de orden n, es idempotente si verifica A2 = A. Razonarque una matriz idempotente que no sea la identidad no puede ser regular.

37) (*) Sean las matrices

A =

−1 0 10 2 0−3 0 3

;B =

−1 0 −10 2 0−3 0 3

Se pide

a ) Calcular la forma de Hermite por columnas de Bb ) Encontrar una matriz regular Q tal que

QA =

1 0 −10 1 00 0 0

c ) Indicar razonadamente si A y B son equivalentes


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Determinantes


38) Calcular los determinantes siguientes:

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 5 1−4 1 0 −12 1 −1 11 0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 12 123 12342 23 234 23413 34 341 34124 41 412 4123

∣∣∣∣∣∣∣39)(*) Calcular los determinantes de Vandermonde:

V3 =

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣

Vn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 · · · 1a1 a2 a3 · · · an

a12 a2

2 a32 · · · an

2

......

.... . .

...a1

n−1 a2n−1 a3

n−1 · · · ann−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(Indicacion: resolver el primer caso y luego aplicar induccion).

40) Calcular el determinante de la matriz

An =

1 n n · · · n nn 2 n · · · n nn n 3 · · · n n...

......

. . ....

...n n n · · · n− 1 nn n n · · · n n

41) Calcular, utilizando determinantes, el rango de la matriz siguiente en funcionde los valores del parametro a: a 1 1 2

2 a a2 12 1 1 2

42) Resolver los sistemas siguientes mediante la regla de Cramer o la regla de Cramergeneralizada :

a) = 3x +4y = 6−x +7y = 0

b) =x +y +z = 6x +y −z = 02x −y +z = 0

c) =x1 −x2 +x3 +4x4 = 62x1 +3x2 −x3 −11x4 = −7

x2 +x3 +x4 = 1

d) =x +y +z = 3x −y +z = 12x +az = b

43) Calcular para cada x ∈ C el rango de la matrixx −1 x 0 x0 x x 0 −11 x 1 x 00 1 x x 0

44)(*) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones segun los valores de a:

x + 3y − az = 4−ax + y + az = 0

−x + 2ay = a + 22x− y − 2z = 0


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Espacios vectoriales. Bases


45) Dados los vectores v1, v2, . . . , vn linealmente independientes, probar que tambienlo son los vectores

u1 = v1

u2 = v1 + v2

. . .

un = v1 + v2 + . . . + vn

46) En el espacio vectorial V sobre el cuerpo de los numeros reales se consideranlos conjuntos: V1 formado por todas las combinaciones lineales de x1, x2, . . . , xn; V2

formado por todas las combinaciones lineales de x1, x2, . . . , xn, y; V3 formado por todaslas combinaciones lineales de x1, x2, . . . , xn, z, donde x1, x2, . . . , xn, y, z son vectores deV . Sabiendo que z /∈ V1 y z ∈ V2, probar que y ∈ V3.

47) Sean u, v, w tres vectores linealmente independientes. Mostrar que u + v, u −v, u− 2v + w son linealmente independientes.

48) (*) Sean u1, u2, u3yu4 cuatro vectores distintos de Kn tales que los conjuntos

{u1, u2, u3}; {u1, u2, u4}; {u1, u3, u4}; {u2, u3, u4}

son linealmente independientes. Razonar si se puede asegurar que {u1, u2, u3, u4} eslinealmente independiente tambien.

49) Los vectores e1, e2, . . . , en y x vienen dados por sus coordenadas en cierta base.Comprobar en cada caso que {e1, e2, . . . , en} es una base y hallar las coordenadas delvector x en dicha base:

1.e1 = (2, 1,−3), e2 = (3, 2,−5), e3 = (1,−1, 1);x = (6, 2, 7)

2.

e1 = (1, 2,−1,−2), e2 = (2, 3, 0,−1), e3 = (1, 3,−1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1);x = (7, 14,−1, 2)

Dar tambien las matrices del cambio de base.

50) Contestar verdadero o falso a las siguientes cuestiones:

1. Todo espacio vectorial de dimension finita tiene un numero finito de bases

2. Si {u1, u2, . . . , un} son vectores linealmente independientes en un espacio vectorialde dimension n entonces constituyen una base.

3. Si {v1, v2, v3, v4} es un conjunto de vectores linealmente independientes de V ,entonces el conjunto {v1, v1+v2, v1+v2+v3, v1+2v2+7v3+25v4} es tambien linealmenteindependiente.

51) (*) Sea P2(x) el espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada x concoeficientes en un cuerpo K y grado menor o igual que 2. Si a, b, c son tres escalarescualesquiera de K, indicar razonadamente si los polinomios

1 + ax + a2x2, 1 + bx + b2x2, 1 + cx + c2x2

son linealmente independientes segun los valores de a, b, c.

Generalizar el resultado obtenido para n + 1 polinomios del mismo tipo y de gradon.

52) (*) En el espacio vectorial sobre R de las funciones de R en R, estudiar si lasfunciones senx, cosx, 3 + senx, 2 + cosx son linealmente independientes.

Lo mismo para las funciones cosx, sen(x + π/4), sen2x

(Indicacion: evaluar las funciones en valores de x adecuados)


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Subespacios vectoriales


53) Sea V = R3. Estudiar si son o no subespacios vectoriales los conjuntos si-guientes:

1. {(a, a, a)/a ∈ R}

2. {(a, b, 0)/a, b ∈ R}

3. {(a, b, c)/a + b + c = 0, a, b, c ∈ R}

4. {(a, b, c)/a2 + b2 + c2 = 1, a, b, c ∈ R}

54) Indicar cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios del espacio vectorialde todas las funciones de R en R:

1. Las funciones tales que f(0) = 0

2. Las funciones tales que f(0) es un entero

3. Las funciones polinomicas de grado n

4. Las funciones polinomicas de grado menor o igual que n

55) (*) Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para que la union de dossubespacios vectoriales sea un subespacio vectorial es que uno de ellos este contenido enel otro.

56) Extender el conjunto S = {(1, 1,−1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 2, 1, 1)} para formar unabase R4

57) En R4 se considera E = L((4,−2, 1, 7), (1, 0, 2, 4)). Dado el vector (−1, 2, 5, x),calcular el valor de x para que este vector pertenezca a E.

58) Sea V un espacio vectorial de dimension 3 sobre R y sea B = {e1, e2, e3} unabase de V . Se pide:

1. Calcular una base de V que contenga al vector x = e1 − e2 + e3

Dados los vectores y1 = e1 − e2 e y2 = e2 + e3, hallar un tercer vector y3 de maneraque {y1, y2, y3} formen una base de V y x tenga coordenadas (1, 1, 1) en esta base.

59) (*) Consideremos el espacio vectorial de los polinomios en una indeterminadacon coeficientes reales y grado menor o igual que 3 y en el la base {1, x, x2, x3}

1. Escribir las ecuaciones del cambio de base (en alguno de los dos sentidos) entrela anterior y la formada por los polinomios {1, (x− 1), (x− 1)2, (x− 1)3}

2. Calcular la dimension y dar una base del subespacio generado por p(x) = x2− 2xy sus sucesivas derivadas.

60) Se considera la matriz

A =(

2 11 1

)1. Probar que el conjunto de matrices que conmutan con A es un subespacio vectorial

del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 y elementos en R.

2. Calcular la dimension y una base de dicho subespacio vectorial.

61) Calcular la dimension del siguiente subespacio de R4 en funcion de los parame-tros que aparecen:

U = L((1, a, 0,−a), (0, 1, 1, a), (−1, 0, a, 0), (2, a + 1,−a + 1, 0))

62) Determinar los valores de los parametros λ y µ para que las matrices de elementosreales cuadradas de orden 2(

λ µ0 0

);(

0 λµ 0

);(

0 0λ µ

);(

µ 00 λ

)1. generen un subespacio de dimension 3

2. sean linealmente independientes

3. generen un subespacio de dimension 1

4. Sean base del espacio de matrices cuadradas de orden 2 y elementos reales

63)(*) Sea el espacio vectorial sobre K, K2, cuando K = Z/(2) y la suma y elproducto son los habituales en Kn. Determinar todas sus bases y todos sus subespaciosvectoriales. Lo mismo para K3.


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Subespacios vectoriales - Segunda parte


64) En R3 se consideran los vectores u = (1, 2, 1), v = (1, 3, 2), x = (1, 1, 0), y =(3, 8, 5). Probar que L(u, v) = L(x, y)

65) Calcular las dimensiones de los siguientes subespacios de R3:

W1 = {(x1, x2, x3)/x1 + x2 + x3 = 0}

W2 = L((1, 1, 1), (1, 1, 0), (−1,−1, 1))

W3 = {(x1, x2, x3)/x1 + x2 = 0; 2x1 + 2x2 = 0}

66) Sea U el subespacio de R3 dado en ecuaciones cartesianas:

U ≡ {x + y + z = 0 : z = 0}

Encontrar un subespacio V de R3 tal que U ∩ V = {0} y U + V viene dado por laecuacion x + y + z = 0. Justificar la respuesta.

67) Sea u1, u2, . . . , un una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Probarque

V = L(u1)⊕ . . .⊕ L(un)

y que para todo r ≤ n,

L(u1, . . . , ur)⊕ L(ur+1, . . . , un) = V

68) Sea V = R4, Bc, su base canonica y sean los subespacios

U = L((1, 2, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (2, 2, 1, 0))

yW = {(x1, x2, x3, x4)/x1 − x3 = x2 = 0}

Se pide:

a ) Una base y dimension de U y de W respectivamente.b ) Ecuaciones parametricas y cartesianas de U y de W .c ) Una base de U ∩W y de U + W .d ) Ampliar una base de U a una de R4.e ) Una base de R4/U y coordenadas de la clase (1, 0, 0, 0) + U respecto de dicha

base.

69) Dados los subespacios W y W ′ de R4:

W = {(a, b, c, d)/b + c + d = 0

W ′ = {(a, b, c, d)/a + b = 0; c = 2d)}

Calcular sus dimensiones y dar bases de W,W ′,W ∩W ′ y W + W ′

70) Sean U y W dos subespacios vectoriales distintos de dimension 2 en un espaciovectorial de dimension 3. Probar que U ∩W tiene dimension 1.

71) Sean los subespacios U y W de R3 tales que unas ecuaciones parametricas deU son:

x = λ + γ; y = µ + γ; z = λ + µ + 2γ

y una ecuacion implıcita de W es x− y + 2z = 0. Se pide:

1. Bases de U,W,U ∩W,U + W .

2. Unas ecuaciones implıcitas de U ∩W

3. Una base de un subespacio suplementario de U + W

4. Coordenadas de (2, 3, 5) respecto de la base de U + W obtenida en el apartadoanterior.

72) Se considera el subespacio de R5 generado por

(0, 2,−1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1), (0, 1, 1,−2, 1)

Obtener un subespacio complementario.

73) Sea V = R5 y W = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5|x4 = x5 = 0}. Indicar cuales sonlos elementos de V/W . Hallar una base y la dimension de V/W .

74) Sea V = C4, y los dos subespacios vectoriales de V ,

W = L((1, 2, 3, 4), (2, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 3))

yW ′ = L((1, 0,−1, 2), (2, 3, 0, 1)).

Hallar una base y la dimension de V/W y de V/W ′. Describir las clases de equivalenciaen ambos casos.

75) En R3 se consideran los subespacios U = L((2, 0,−1), (1, 2, 0), (0, 4, 1)) y W ={(x, y, z)|x = 0, y+z = 0}. Calcular bases de los espacios R3/U, R3/W, R3/(U∩W) yR3/(U + W). Hallar las coordenadas de (−1, 2, 1) + U en la base obtenida para R3/U.

76) Dados los subespacios del espacio de las matrices reales 2× 2, V1 y V2,

V1 = {(

a b−b a

), a, b ∈ R}

, y

V2 = {(

c de −c

), c, d, e ∈ R}

, calcular la dimension y una base de los subespacios V1, V2, V1 ∩ V2, V1 + V2.

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Espacios vectoriales euclıdeos


77) Calcular la matriz de Gram del producto escalar usual de R3 respecto de labase B = {(1, 1, 2), (3, 1, 1), (−2,−1, 2)}

78) Probar que si uy v son dos vectores de un espacio vectorial euclıdeo tales que‖u‖ = ‖v‖, entonces los vectores u + v y u − v son ortogonales.

79) En un espacio vectorial euclıdeo de dimension 3, el producto escalar tiene pormatriz de Gram 1 1 1

1 2 21 2 3

respecto de una determinada base B. Sea U el subespacio de V que respecto de la baseB tiene ecuaciones cartesianas:

U = {(x, y, z)|x − y = x + z = 0}

Determinar el conjunto de vectores que son ortogonales a todos los vectores de U .(En las clases de teorıa se probara que dicho conjunto es un subespacio vectorial que escomplementario de U , se llama complemento ortogonal de U, U⊥).

80) En R4 con el producto escalar usual, se considera el subespacio

U = L((2, 1, 5,−1), (−1, 1, 2, 0))

Calcular una base de U⊥.

81) En un espacio vectorial euclıdeo V se consideran dos vectores unitarios, u, v,que forman un angulo de 60 grados. Calcular ‖2u + v‖

82) Sea un espacio vectorial euc lıdeo V de dimension 3. Calcular la matriz de Gramrespecto de una base B de V , del producto escalar dado por:

< x, y >= 2x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3 + x1y2 + x1y3 + x2y1 + x2y3 + x3y1 + x3y2

donde (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) son las coordenadas en la base B de x e y. Indicar razon-adamente si la base B es ortogonal respecto a este producto escalar (los vectores de Bortogonales dos a dos). En caso negativo calcular una base ortogonal a partir de B.

83) En R4, con el producto escalar usual, calcular una base ortonormal a partir delos vectores (1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0).

84) Hallar una base ortogonal del subespacio de R4 de ecuacion cartesiana 2x1 +4x2 − x3 + 3x4 = 0.

85) Sean x e y dos vectores de R3 cuyas coordenadas respecto de una base ortonor-mal B son x = (1, 1,−1), y = (1, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vectores que sonortogonales a ambos.

86) En R4 con el producto escalar usual se considera el subespacio U generado porlos vectores u1 = (1,−1, 1,−1), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (1,−1,−1,−1). Se pide:

1. Calcular el complemento ortogonal U⊥ de U dando una base y unas ecuacionescartesianas.

2. Hallar una base ortonormal de U

3. Hallar pU (x) y pU⊥(x) siendo x = (1, 1, 3, 4).

87) En R3 con el producto escalar usual,

1. Calcular la proyeccion ortogonal del vector v = (1, 2, 1) sobre el subespacioU = L((0, 1, 2), (1, 2, 3))

2. Si llamamos d(v, U) = min{‖v − u‖/u ∈ U}, indicar cuanto vale d(v, U) siendov, U los del apartado anterior.

88) Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y elproducto escalar

< p(x), q(x) >=∫ 1

0

p(x)q(x)dx

se pide:

1. Matriz de Gram respecto de la base {1, x}

2. Angulo que forman los polinomios x + 3 y 2x + 4

3. Calcular la proyeccion ortogonal de x + 3 sobre el subespacio U generado porx + 2

4. Calcular una base ortonormal a partir de la base {1, x}

89) En R4 con el producto escalar usual, calcular una base ortonormal a partir delos vectores

(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)


Curso 2009/10

Aplicaciones Lineales. Nucleo e imagen


Definicion: Dados dos K-espacios vectoriales, V y V ′, se dice que f : V → V ′ esuna aplicacion lineal si verifica:

1. f(u + v) = f(u) + f(v),∀u, v ∈ V

2. f(au) = af(u),∀u ∈ V, a ∈ K

90) Indicar razonadamente si las aplicaciones siguientes entre R3 y R2 son lineales:

f(x, y, z) = (x + 2, y + z)

f(x, y, z) = (z − x, 0)

f(x, y, z) = (x + y + z, x− yz)

91) Probar que: una aplicacion f : V → V ′ entre dos espacios vectoriales sobre uncuerpo K es lineal si y solo si

f(ax + by) = af(x) + bf(y),∀a, b ∈ K,∀x, y ∈ V

92) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea U un subespacio vectorialde V . Consideramos el espacio cociente V/U y la aplicacion π : V → V/U dada porπ(x) = x + U . Probar que es lineal.

93) Probar que la aplicacion siguiente (llamada homotecia vectorial) es lineal: Seaλ un escalar y V un espacio vectorial sobre K, hλ : V → V, hλ(u) = λu.

94) Dada una aplicacion lineal f : V → V ′,

a) probar que para cada subespacio vectorial U de V el conjunto f(U) = {f(u)/u ∈U} es un subespacio vectorial de V ′.

b)de igual forma, para cada subespacio W ′ de V ′, el conjunto f−1(W ′) = {u ∈U/f(u) ∈ W ′} es un subespacio vectorial de V .

95) Sea f : V → V ′ una aplicacion lineal, probar que:

1. f(0) = 0

2. f(−u) = −f(u)

3. f(a1u1 +a2u2 . . .+anun) = a1f(u1)+ . . .+anf(un).∀a1, . . . , an ∈ K,∀u1, . . . , un

96) Estudiar si las aplicaciones siguientes son lineales y en caso afirmativo calcularsu nucleo y su imagen y dar una base de cada uno de ellos:

f : R2 → R, f(x, y) = x2y2

f : R4 → R2, f(x1, x2, x3, x4) = (3x1 − 2x2 − x3 − 4x4, x1 + x2 − 2x3 − 3x4)

f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x + y, 0)

97) Se considera la aplicacion T : Mn(R) → Mn(R) dada por T (A) = A−At

1. Comprobar que T es una aplicacion lineal2. Calcular Ker(T ), Im(T ),Ker(T ) ∩ Im(T ) y Ker(T ) + Im(T )

98) Teorema de isomorfıa:

Sea f una aplicacion lineal entre dos K-espacios vectoriales, f : V → V ′. Con-sideramos la aplicacin π : V → V/Kerf dada por π(x) = x + Kerf y la aplicacioni : Imf → V ′ dada por i(y) = y. Sea tambien b : V/Kerf → Imf definida porb(x) = f(x). Probar:

a) π es un epimorfismob) i es un monomorfismoc) b es un isomorfismod) f = i ◦ π ◦ i (factorizacion canonica de f).

99) Sea f : Rn → Rn el endomorfismo definido por

f(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xk, 0, . . . , 0)

, donde k < n. Determinar el nucleo y la imagen de f .

100) Consideremos el conjunto de endomorfismos G = {I, Sx, Sy, S0}de R2 dadopor:

I(x, y) = (x, y)

Sx(x, y) = (x,−y)

Sy = (−x, y)

S0(x, y) = (−x,−y)

.

a) Probar que cada uno de los endomorfismos de G es biyectivo, es decir que sonautomorfismos.

b) Dar una interpretacion geometrica en el plano R2 de estas aplicaciones.c) Comprobar que la composicion de dos cualesquiera de los elementos de G es otro

elemento de G y demostrar que (G, ◦) es un grupo abeliano.


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Aplicaciones Lineales y matrices


101) Sea f : R2 → R3 una aplicacion lineal dada por

f(1, 0) = (2, 3, 0), f(0, 1) = (−1, 1, 1)

y sea g : R3 → R4 dada por

g(1, 0, 0) = (2,−1, 0, 0), g(0, 1, 0) = (3, 0, 1, 0), g(0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1)

Hallar la expresion matricial de f, g, g◦f respecto de las correspondientes bases canonicasde R2,R3,R4

102) Sea f el endomorfismo de R3 cuya matriz asociada respecto de la base B ={e1, e2, e3} es 3 2 −1

−2 −1 04 3 1

Probar que B′ = {e3, f(e3), f2(e3)} es base de R3 y calcular la matriz asociada a frespecto de dicha base.

103) Sea U el subespacio de R4 dado por las ecuaciones cartesianas:

x1 − 2x2 = 0; x1 + x3 + x4 = 0

1. Hallar un subespacio W de R4 de forma que U ⊕W = R4

2. Determinar un endomorfismo f de R4 de forma que Ker(f) = U e Imf = W

104) Sea f : R3 → R4 una aplicacion lineal que, respecto de ciertas bases, vienedada por la matriz

A =

1 a 2aa 1 a2a 2a 1

2a + 1 3a 2a + 1

en la que a es un parametro. Determinar que valor ha de tomar el parametro a para quese verifique dim(Imf) = 2

105) Sean V y V ′ R-espacios vectoriales de dimensiones 3 y 4 respectivamente,y sean B = {e1, e2, e3} una base de V y B′ = {u1, u2, u3, u4} una base de V ′. Seaf : V → V ′ la aplicacion lineal que verifica:

f(e1 + 2e2 + 3e3) = u1 + 3u2 + 5u3 + 3u4

f(e1 + e3) = u1 + u2 + u3 + u4

f(2e2 + 3e3) = 2u2 + 5u3 + 3u4

1. Calcular la matriz de f respecto de las bases B y B′

2. Calcular el nucleo de f e indicar si f es inyectiva

3. Dar una base de la imagen de f y razonar si f es sobreyectiva

106) Se considera la aplicacion lineal T : R3 → R4 que, con respecto de dos basesB = {e1, e2, e3}, B′ = {e′

1, e′2, e

′3, e

′4}, verifica

e1 + 2e2 − 3e3 ∈ Ker(T )

T (e2) = e′1 + e′

2 + e′4

T (3e3) = 3e′1 + e′

3

Calcular:

1. T (2, 1,−3)

2. Ker(T ) e Im(T )

3. Una base de R3/Ker(T )

107) Sea f : R3 → R3 la aplicacion lineal determinada por las condiciones:

1. Si U = {(x, y, z)/x + y + z = 0}, se tiene que f(u) = 5u para todo u ∈ U

2. f(0, 0,−1) = (10,−5, 3)

Se pide:

1. Calcular la matriz de f respecto de la base canonica

2. Ecuaciones, bases y dimension de Ker(f) e Im(f)

108)(*) De una aplicacion lineal f : R3 → R3 se sabe que, respecto a la basecanonica,

- lleva la recta x = 0 = z a la recta x + y = 0 = 2x + z = 0

- f(1, 1, 0) = (0, 1, 2); f(1,−1, 1) = (1,−1,−2)

1. Escribir la matriz asociada a f en la base canonica observando que no estacompletamente determinada por la informacion anterior.

2. Calcular bases del nucleo y la imagen de f . Razonar si dependen estos dossubespacios del parametro que aparece en la matriz.

109) Sean f y g dos endomorfismos de un K-espacio vectorial V .- Probar que si f ◦ g = 0 entonces Img ⊂ Kerf .- Si ademas g es sobreyectiva determinar f . Si ademas f es inyectiva, determinar g.- Dar un ejemplo en el que f ◦ g = 0,Img ⊂ Kerf y el contenido en el otro sentido

no se verifica.

110) Sea f : V → V un endomorfismo y sean B y B′ dos bases de V . Probar que:- La matriz de cambio de base de B a B′ coincide con la matriz de la aplicacion

identidad (f = Id)respecto a las bases B y B′.- Si B = {u1, . . . , un};B′ = {v1, . . . , vn} y f(ui) = vi para todo i = 1 . . . n, entonces

la matriz de f respecto a las bases B y B′ es la identidad, In.

111)

1. Razonar si existe alguna aplicacion lineal f : K1957 → K1957 cuya imagen coin-cida con su nucleo.

2. Razonar si existen una aplicacion lineal inyectiva f : V → V ′ y otra sobreyectivag : V ′ → V tales que Imf = Kerg, con dimV ′ = 357

112)(*) Sean a, b ∈ R, f : R3 → R3, aplicacion lineal dada, respecto a la basecanonica, por la matriz

A =

1 1 22 0 2a 1 3

y consideremos el vector u = (1− b, b, 1 + b)

1. Determinar a y b para que u ∈ Imf 6= R3. Obtener una base y unas ecuacionescartesianas y parametricas de Kerf e Imf

2. Encontrar un subespacio L ⊂ R3 de dimension mınima entre los que cumplenf(L) = Imf


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Espacio dual


113) Sea f : R4 → R3, aplicacion lineal tal que

f((1, 1, 1, 1)) = (0, 0, 0)

;f((1, 0, 0, 0)) = (1, 0, 0)

y dim Imf = 3.

a) Calcular la dimension de Kerf y dar unas ecuaciones cartesianas respecto de lasbases canonicas de R4 y R3.

b) Si f((0, 1, 0, 0)) = (0, 2, 1), probar que f((0, 0, 1, 0)) no puede ser una combinacionlineal de (1, 0, 0) y (0, 2, 1).

c) Probar que B = {(1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} es una base de R4

y determinar una aplicacion lineal f que cumpla las hipotesis iniciales y las de b). Darsu matriz respecto de la base B y la canonica de R3 y su matriz respecto de las doscanonicas.

d) Sea g : R3 → R la forma lineal dada por la matriz (respecto de las basescanonicas) ( 1 0 2 ). Consideramos la composicion g ◦ f , perteneciente al espacio dualde R4. Dar sus coordenadas respecto a la base dual de la canonica de R4 y una base delnucleo de g ◦ f .

e) Sea R4/Kerf , dar una base de este espacio vectorial y describir un isomorfismoentre el e Imf .

114) En R4 determinar la forma lineal que hace corresponder a los vectores v1 =(2, 1, 0,−1), v2 = (3, 2, 1, 0), v3 = (1, 1,−2, 0), v4 = (2, 3, 2, 1) los escalares 0, 5,−1, 6 re-spectivamente.

115) En un espacio vectorial V de dimension 3 y respecto de la base B = {e1, e2, e3}se consideran las formas lineales f1, f2, f3 definidas por

f1(x, y, z) = x− y; f2(x, y, z) = y − z; f3(x, y, z) = x + z

1. Comprobar que forman base del espacio vectorial V ∗ dual de V

2. Hallese la base de V de la cual es dual {f1, f2, f3}

116) Sea V un espacio vectorial real de dimension 3 y B{e1, e2, e3} una base. Seaf : V → R3 una aplicacion lineal

f(e1 + e2) = 1; f(e2 − e3) = 2; f(e3 − e1) = 3

Se pide:

1. Ecuacion de f en la base B de V

2. Coordenadas de f en la base B∗ dual de B.

117) En R4 se considera el subespacio U generado por los vectores

(1, 2, 0, 1), (2, 3, 1, 0), (3, 5, 1, 1)

Determinar el anulador de U .

118) Dados subespacios U y W de un espacio vectorial de dimension finita V probarque se verifica:

1. an(U + W ) = an(U) ∩ an(W )

2. an(U ∩W ) = an(U) + an/W )

119) Dadas f : R3 → R2 por f(e1) = u1 + u2, f(e2) = 2u1, f(e3) = u1 + 2u2 yφ : R2 → R por φ(u1) = 3, φ(u2) = 4, calcular f t(φ)

120)(*) Sea V un espacio vectorial de dimension 3. En la base B = {e1, e2, e3} lasformas lineales f1, f2, f3 tienen por matrices respectivamente

A1 ( 1 1 1 ) , A2 ( 1 1 0 ) , A3 = (−1 0 1 )

1. Comprobar que {f1, f2, f3} es una base del espacio dual de V .

2. Si g : V → R viene dada por

g(e1 + e2 − e3) = 1, g(−e1 + 2e2 − e3) = 1, g(−e1 + e2) = 1

calcular las coordenadas de g respecto de la base {f1, f2, f3}

121) (*) Sean las formas lineales φi : P3(R) → R, i = 1, 2, 3, 4 dadas por :

φ1(p(x)) = p(0), φ2(p(x)) = p′(0), φ3(p(x)) = p(1), φ4(p(x)) = p′(1)

1. Comprobar que B = {φ1, φ2, φ3, φ4} es una base del espacio (P3(R))∗

2. Calcular la base de P3(R) de la cual B es su dual

122)(*) Sean P3(R) y su dual. En este ultimo consideramos los siguientes subespa-cios:

1. U esta generado por las formas lineales E1 y E−1 definidas en cualquier polinomiop(x) ası : E1(p(x)) = p(1), E−1(p(x)) = p(−1)

2. W esta generado por D1(p(x)) = p′(0), D2(p(x)) = p′′(0), D3(p(x)) = p′′′(0)

Calcular la suma e interseccion de estos dos subespacios.


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Isometrıas


123) Sea R2 con el producto escalar usual y la aplicacion f : R2 → R2 dada,respecto a la base canonica, por la matriz(

1/2√

3/2√3/2 −1/2

)

a) Probar que es una isometrıa y clasificarla.

b) Calcular Vf

c) Calcular las imagenes de los vectores (1, 0), (0, 1), (√

3, 1)

d) Determinar el complemento ortogonal de la recta x −√

3y = 0 y probar quecoincide con V−f

124) Sea V un espacio vectorial euclıdeo de dimension 2. Sea B = {e1, e2} una baseortonormal de V . Consideremos V ′ = {v1, v2} la base dada por v1 = e1; v2 = e2 − e1.Sea f : V → V el endomorfismo dado por

f(v1) = v1 + v2; f(v2) = −2v1 − v2

Indicar razonadamente si f es una isometrıa. Clasificarla en caso afirmativo.

125) Calcular la matriz de la rotacion de angulo π/2 alrededor de la recta x = y = zen la base canonica.

126) En R2 determinar las isometrıas que verifican:

1. f ◦ f = I (rotaciones involutivas)

2. f ◦ f = −I (angulos rectos)

127) Sea R2 con el producto escalar usual la recta de ecuacion x−√

3y = 0.

a) Calcular el complemento ortogonal de dicha recta

b) Dar una ecuacion matricial de una isometrıa f de R2 que tenga a la recta delapartado a) como recta de vectores fijos respecto de la base canonica de R2

c) Calcular V−f .

d) Clasificar la isometrıa anterior.

128) Sea f : R3 → R3 la aplicacion lineal que respecto a la base canonica vienedada por

f(x, y, z) =13(−x + 2y + 2z, 2x− y + 2z, 2x + 2y − z)

Probar que es una isometrıa y describirla geometricamente.


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Diagonalizacion por semejanza


129) Probar que si A es una matriz cuadrada de orden 2, A = (aij) , entonces supolinomio caracterıstico es

p(λ) = λ2 − tr(A)λ + detA

Si A es cuadrada de orden 3, entonces

p(λ) = −λ3 + tr(A)λ2 − (α11 + α22 + α33)λ + det(A)

En general, si A tiene orden n, el termino independiente de su polinomio carac-terıstico es det(A) y el coeficiente de λn−1 es la traza de A.

130) Sean f y g endomorfismos de un espacio vectorial V . Demostrar que si v ∈ Ves vector propio para f y g entonces es vector propio para af (a es un escalar) y f + g.Si λ es el valor propio asociado a v respecto de f y µ respecto de g, indicar quienes sonlos valores propios respcto de af y f + g.

Demostrar, dando ejemplos, que si λ y µ son valores propios de f y g, λ + µ no esnecesariamente valor propio para f + g.

131) Probar que si λ y µ son valores propios de f distintos y v y w son vectorespropios asociados a ellos, respectivamente, entonces v + w no es vector propio de f

132) Probar que si todo vector de V es vector propio de un endomorfismo f , entoncesf es de la forma f(x) = ax para un cierto escalar a.

133) Hallar los valores y subespacios propios de la aplicacion lineal que consiste enla derivacion de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales.

134) Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial V de dimension finita. De-mostrar:

.- f es un isomorfismo si y solo si 0 no es autovalor de f .

.- λ es autovalor de f si y solo si −λ lo es de −f .

.- Si λ es autovalor de f entonces λ2 lo es de f2.

.- Si λ2 es autovalor de f2, entonces λ o −λ es autovalor de f .

.- Si f2 = f entonces los posibles autovalores de f son 0 y 1.

.- Si λ es un valor propio de f , y f es isomorfismo, entonces λ−1 es valor propio def−1.

.- Si f es diagonalizable, entonces fk = 0 si y solo si f = 0.

135) Sea la matriz

A =

−1 0 0 0a −1 0 0b d 1 0c e f 1

1. Determinar los valores propios de A2. Discutir las condiciones que deben cumplir a, b, c, d, e, f para que A sea diagona-

lizable.3. En las condiciones para que A sea diagonalizable, obtener los subespacios propios

asociados a los dos valores propios existentes.4. Calcular la matriz de paso a forma diagonal.

136) Dada la matriz 1 0 0 10 1 0 00 0 1 −21 0 −2 5

1. Probar que 1 es valor propio. Calcular sus multiplicidades algebraica y geometrica.

Dar una base del subespacio propio asociado a este valor propio.2. Estudiar si es diagonalizable y, en caso afirmativo, encontrar una matriz de paso

a forma diagonal, ası como una base de R4 formada por vectores propios

137) Se da la matriz

A =

1 α 00 α 02 0 3

1. Estudiar para que valores de α la matriz A es diagonalizable por semejanza2. Para α = 2, hallar P regular y D diagonal de forma que D = P−1AP

3. Para α = 2 y n ∈ N, calcular An

138) Probar que las matrices

A =

1 0 00 −1 10 0 −1

y

B =

1 0 00 −1 00 0 −1

no son semejantes pero tienen los mismos valores propios.

139) Diagonalizar por semejanza ortogonal la matriz simetrica

A =

1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1


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Forma canonica de Jordan


140) Se considera la matriz

A =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

1. Diagonalizar la matriz A y determinar una matriz de paso a la forma diagonal2. Diagonalizar A2 y A−1

141) Sea A una matriz de orden n > 1 real, y supongamos que A es una matriz asoci-ada a un endomorfismo f : Rn → Rn respecto de cierta base β y que A es diagonalizable.Razonar brevemente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. Si todos los valores propios de A son no nulos, entonces f es un automorfismo2. A es simetrica3. La dimension del nucleo de f es exactamente la multiplicidad algebraica del valor

propio 04. Si existe un vector no nulo que se aplica por f en sı mismo, entonces 1 es un valor

propio

142) Probar por induccion que(a 10 a

)n

=(

an nan−1

0 an

)y calcular (

3 1−1 1

)10

143) Probar que si una matriz A cuadrada de orden 2 tiene un unico valor propioλ de multiplicidad algebraica 2, entonces (A− λI)2 = 0. Si el orden de la matriz es n,indicar cual serıa el resultado correspondiente y si es cierto.

144) Calcular la forma de Jordan y una matriz de paso para las matrices siguientes: 2 1 40 2 −10 0 3

1 0 2 −60 1 −1 30 0 1 30 0 0 2

−2 0 1

0 −1 0−1 0 0

145) De un endomorfismo f de K8 se sabe que el rango de f − 2I es mayor o igualque 6, el de (f − 2I)4 es 1 y el de (f − 2I)5 es 0. Demostrar que λ = 2 es el unicoautovalor de f y que su espacio maximo es todo K8. Calcular la forma de Jordan de f .

146) Calcular la forma de Jordan, segun los valores de a, de la matriz1 a 0 0a 1a 0

−1 + a −a a 01− a a −a 0

147) Calcular la forma de Jordan y una matriz de paso de la matriz1 1 0 02 2 −1 12 2 0 10 −1 0 1


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Forma de Jordan, complementos


148) Calcular la forma canonica de Jordan real de la matriz

A =

1 1 1 1 0 0−2 −1 0 −1 0 00 0 −1 −1 0 10 0 2 1 1 00 0 0 0 1 20 0 0 0 −1 −1

149) Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita.Probar que:

1. Si W1 y W2 son dos subespacios de V invariantes por f , entonces W1 ∩W2 yW1 + W2 son tambien subespacios invariantes por f .

2. Si W es un subespacio de V invariante por f y si f| es la restriccion de f aW , entonces hay una biyeccion entre los subespacios de V contenidos en W y que soninvariantes por f y los subespacios de W invariantes por f|.

3. Si W es un subespacio de V invariante por f , entonces se puede definir unendomorfismo f : V/W → V/W del modo siguiente: f(u + W ) = f(u) + W .

4. Los subespacios de V que contienen a W y que son invariantes por f estan enbiyeccion con los subespacios de V/W invariantes por f .

5. El polinomio caracterıstico de f es igual al producto de los polinomios carac-terısticos de f| y f .

150) Sea f un endomorfismo de C3 que tiene exactamente una recta invariante yun plano invariante. Demostrar que la recta esta contenida en el plano y que la matrizde Jordan de f es λ 0 0

1 λ 00 1 λ

151) Indicar razonadamente cuales son las posibles matrices de Jordan complejaspara los endomorfismos de R2 y de R3.

Indicar tambien cuantas rectas invariantes hay en cada caso y cuando sea posible,dar informacion sobre planos invariantes.

152) Teorema de Cayley - Hamilton: it Toda matriz cuadrada real o compleja,A, es anulada por su polinomio caracterıstico, es decir, pA(A) es la matriz nula. Tambientodo endomorfismo real o complejo, f , es anulado por su polinomio caracterıstico, pf (f)es el endomorfismo nulo.

Calcular A2,A3 y A−1 respectivamente utilizando el Teorema de Cayley - Hamiltoncuando

A =(

5 3−6 −4

);A =

1 0 10 1 −11 1 0

;A =

i 0 00 0 11 i 0

153) Polinomio mınimo:De entre los polinomios que anulan a una matriz cuadradade orden n, A, hay uno que tiene grado menor o igual que el resto, se llama polinomiomınimo de A. Analogamente se define el polinomio mınimo de un endomorfismo f . Sepuede demostrar que el polinomio mınimo es un divisor del polinomio caracterıstico y quelos autovalores de A son tambien raıces del polinomio mınimo aunque las multiplicidadesde esas raıces puedan ser menores que las del polinomio caracterıstico.

Calcular el polinomio mınimo de las matrices

A =

−1 0 26 1 60 0 1

;C =

2 1 −30 −1 03 1 −4


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Formas bilineales y cuadraticas


154) Sea V un espacio vectorial sobre K y sean ϕ y ψ dos formas lineales de V enK. Probar que la aplicacion f : V × V → K dada por f(x, y)) = ϕ(x)ψ(y) es una formabilineal.

155) Sea V un espacio vectorial real bidimensional y f : V ×V → R una aplicaciontal que f(x, y) = x1y1 − 2x1y2 + 3x2y2.

a) Probar que es una forma bilineal. Escribir f como suma de una forma bilinealsimetrica y otra antisimetrica.

b)Escribir la expresion analıtica de la forma cuadratica asociada y clasificarla.

156) Encontrar la matriz simetrica asociada a cada una de las siguientes formascuadraticas:

1. 2x2 + 3xy + 6y2

2. 8xy + 4y2

3. x2 + 2xy + 4xz + 3y2 + yz + 7z2

4. 4xy

Determinar la forma polar de cada una de estas formas cuadraticas

157) Probar que la matriz asociada a una forma cuadratica φ respecto de una baseB es diagonal si y solo si los vectores de la base B son conjugados dos a dos respecto deφ.

158) Sea V un K - espacio vectorial y f : V × V → K. Probar que f es formabilineal si y solo si para cada par de vectores u, v de V , la aplicacion fu : V → K definida

por fu(v) = f(u, v) y la aplicacion fv : V → K definida por fv(u) = f(u, v) son formaslineales.

159)Sea φ : V → K una forma cuadratica sobre el K - espacio vectorial V y seax un vector que verifica φ(x) 6= 0. Demostrar que el subespacio conjugado de x es unsubespacio complementario de L(x), es decir, L(x)⊕ L(x)c = V

160) Dadas las matrices A =(

1 11 1

)y B =

(−1 11 −1

), razonar si pueden

representar la misma forma cuadratica en distintas bases.

161) Dada la familia de formas cuadraticas

fλ(x, y, z) = x2 + y2 + (λ+ 1)z2 + 2λyz + 2zx

se pide:

1. Matriz de la familia

2. Clasificar las formas cuadraticas segun los distintos valores del parametro λ

3. Para λ = 2 obtener el subespacio conjugado de U : {x = y = 0}

162) Consideremos la siguiente familia de formas cuadraticas en R3

Φa(x, y, z) = x2 + 4y2 + 2z2 + 2xy + 2axz

a ∈ R Se pide:

1. Matriz A asociada a Φa respecto de la base considerada

2. Hallar los valores de λ y µ para que el conjunto

{(1, 0, 0), (1, λ, 0), (−4a, a, µ)}

sea una base de vectores conjugados respecto de Φa si a 6= 0

3. Encontrar una matriz P regular tal que la matriz P tAP sea diagonal

4. Clasificar Φa segun los valores de a


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Espacio afın


163)En cada uno de los siguientes casos, dar las ecuaciones parametricas y un con-junto de puntos afinmente independientes que generen la variedad afın dada. Calculartambien la suma y la interseccion de ambos subespacios afines:

L1 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0;x1 − x2 + 2x4 = 1;−2x2 + x3 + x4 = 1

L2 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0;x1 − x2 + 2x4 = 0;−2x2 + x3 + x4 = 1

164) De dos variedades afines L1 y L2 de un espacio afın A sobre el espacio vectorialV se dice que son suplementarias si sus espacios de direccion son subespacios suplemen-tarios de V . Probar que si L1 = A1 + W1 y L2 = A2 + W2 entonces son suplementariassi, y solo si, L1 ∩ L2 consta de un solo punto y L1 + L2 = A

165) Sea A un espacio afın, calcular la mınima dimension de A para que dos va-riedades afines de dimensiones r y s respectivamente se corten en un punto.

166) Hallar el simetrico del punto C = (−2, 6, 2) respecto del plano π : 3x−5y+z = 1

167) En un plano afın sobre el cuerpo de los numeros reales se considera el sistemade referencia R = {O; {u1, u2}} y un segundo sistema de referencia R′ = {O′; {u′1, u′2}}donde u′1 = u1 − 2u2;u′2 = u1 − u2. Encontrar las formulas del cambio de referencia

168) En un espacio afın A de dimension 3 sobre R y respecto de un sistema dereferencia

R = {O; {u1, u2, u3}}

se consideran los puntos O′ = (1, 2, 1);A1 = (2, 3, 1);A2 = (2, 2, 2);A3 = (4, 3, 1). Sea

R′ = {O′, { ~O′A1, ~O′A2, ~O′A3}}

Hallar las ecuaciones del cambio de sistema de referencia.

169) Sea A un espacio afın de dimension 2 sobre R y sea R = {O; {e1, e2}} un sistemade referencia cartesiano. Sea R′ = {O′; {e′1, e′2}} otro sistema de referencia ligado con elanterior mediante:

~OO′ = 2e1 + 3e2; e′1 = e1 + 3e2; e′2 = −2e1 + 4e2

Hallar las ecuaciones del cambio de sistema de referencia y las coordenadas del puntoM = (4, 5)R respecto a R′

170) Sea A un espacio afın de dimension 4 sobre R. Hallar las ecuaciones parametri-cas y cartesianas de la variedad dada por el punto P y un sistema generador de su espaciode direccion:

P = (1, 0, 0, 1)

v1 = (1, 2,−1, 0), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (1,−1, 1,−1), v4 = (0, 3,−1, 1)

171) Hallar el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (1, 1, 0), con

r :x− 3

2=

y + 72

=z − 2

1

172) 1. En el espacio R3 consideramos dos variedades afines L1 y L2 que no secortan. Indicar que dimension tiene L1 + L2 en los casos siguientes:

a) dimL1 = 0; dimL2 = 2

b) dimL1 = 1; dimL2 = 2

c) dimL1 = 0; dimL2 = 0

2. En el espacio R3 consideramos dos variedades afines L1 y L2 tales que su inter-seccion se reduce a un punto. Indicar que dimension tiene L1 +L2 en los casos siguientes:

a) dimL1 = 0; dimL2 = 2

b) dimL1 = 1; dimL2 = 2

c) dimL1 = 0; dimL2 = 0

3. Comprobar que los planos siguientes son paralelos e indicar si son coincidentes:

π : x = λ + µ, y = −λ, z = µ

π′ : x + y − z = 0

4. La misma cuestion si:

π : x = 1 + λ + µ, y = −λ, z = µ

π′ : x + y − z = 0

5. Supongamos que L1 = A1 + W1 y L2 = A2 + W2 son dos variedades afinesperpendiculares. Indicar razonadamente si tienen que cortarse necesariamente, en casonegativo dar un contraejemplo.

6. Supongamos que L = A+W es una variedad afın y L⊥B la variedad perpendicular

a L por el punto B, que no esta en L. Indicar razonadamente si L ∩ L⊥B puede ser vacıa

173) En el espacio afın euclıdeo tridimensional, respecto de un sistema de referenciarectangular, se consideran las rectas

r : x =y − 1

3=

z − 47

y

s : x− 2 =y − 2

3=

z − 34

1. Comprobar que se cruzan

2. Calcular una recta perpendicular a ambas y que las corte a las dos.

3. Calcular la distancia entre r y s

174) Sea una recta r de R3 definida por las ecuaciones cartesianas ax+by+cz+d =0; a′x + b′y + c′z + d = 0. Se define el haz de planos de base r como el conjunto de losplanos de R3 que contienen a la recta r. Probar:

a ) Para cada plano del haz existen dos numeros reales, α y β tales que unaecuacion cartesiana de ese plano es

α(ax + by + cz + d) + β(a′x + b′y + c′z + d′) = 0

b ) Recıprocamente, todo plano de R3 cuya ecuacion cartesiana es combinacionlineal de las ecuaciones que definen r es un elemento del haz.

c ) Para todo punto P que no pertenece a la recta r, existe un unico plano delhaz que pasa por el.


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Aplicaciones afines y movimientos


175) Probar que la imagen de una variedad afın por una aplicacion afın es unavariedad afın de dimension menor o igual que la dada inicialmente. Indicar cual es susubespacio de direccion. Concluir que si f es inyectiva conserva la alineacion de puntos.

176) Sea f una aplicacion afın entre dos espacios afines A y A′. Probar que dosvariedades afines paralelas tienen por imagenes dos variedades afines paralelas.

177) Por analogıa con el problema 174 de la hoja anterior, definir haz de rectas deR2 y enunciar y probar los resultados correspondientes a los apartados a), b) y c) dedicho problema.

178) En R3 se consideran las rectas r : x1 = 1, x3 = 0; s : x1 = 0, x2 = 1 yt : x2 = 0, x3 = 1. Hallar la matriz de una aplicacion afın f : R3 → R3 tal quef(r) = s, f(s) = t, f(t) = r.

179) En el plano afın euclıdeo se pide:

a) Hallar las ecuaciones de la aplicacion afın f que asocia a cada punto su proyeccionortogonal sobre la recta y = 2x. Probar que los puntos fijos de f coinciden con Imf yque f2 = f .

b) Hallar las ecuaciones de la simetrıa respecto de esa recta.

180) Se consideran en R3 las rectas l1 : x = 0, y = −1; l2 : z = 0, y = 1.

a) Determinar cuantos movimientos f de R3 cumplen que f(l1) = l2 y f(l2) = l1.

b)Probar que todos ellos dejan fijo el origen de coordenadas.

c) Clasificar dichos movimientos.

181) Calcular las ecuaciones del movimiento helicoidal que consiste en la com-posicion de un giro de angulo π respecto de la recta x + y = 1, y + z = 0 seguido deuna traslacion de vector (1, 1, 1).

182) Razonar si existe algun movimiento en el plano R2 cuya restriccion a la rectar : x = 0 es una traslacion y que transforme el punto P = (1, 0) en el (0, 0). Deteminartodos los que cumplen estas condiciones.