Aljabar Matriks

Notasi: nxkijnxknxkijnxk )(yY,)(xX

Definisi:

k

1s

sjisijnxmkxmnxk

ijij

ijijij

ijijijnxknxk

yxc,CYX

kxcC,kX

yxcC,YX

,yxcC,YX,Y,X

Properties:

232221

131211

XXX

XXXX : tersekatMatriks

YXXYUmumnya

Ymatriks negatif X 0,XY

nol matriks 0 X,X00X

aYaXY)a(X

bXaXb)X(a

k(XY)X(kY)

XZYZX)Z(Y

(XY)ZX(YZ)

ZY)(XZ)(Y X

X Y Y X

k21

nxknkn2n1

2k2221

1k1211

nxk x,.....,x,x

x..xx

.....

.....

x..xx

x..xx

X

Putaran dan Kebalikan

Definisi Putaran: nxkijkxnjikxnnxk )(xX,)(xX'X',X Properties:

X'Y'(XY)'

X)'(X'

X'-Y'Y)'-(X

Y'X'Y)'(X

cX'(cX)'

Theorema:

kxkkxkkx1

1x1kx1

kxkkxknxk

)'xx()'xx(x

konstantac,)x'x(x

JHKlainnya JK diagunsur ,X)'(X'X)(X'X

Definisi Identitas:

1..00

.....

.....

0..10

0..01

I nx n

Definisi Kebalikan:

singular Xada tidak Y

singular-non X ada Y

X YI,YXXYbila X, dari kebalikan Y -1

Bila

Properties:

111-

1-1

1-1-1

XY(XY)kompatibel singular,-non Ydan X

)'X()(X' singular-non X

X)(X singular,nonXsingular-non X

AIAAI

simetrikmatrik disebut Xmatrix X,X'bila

:Simetrik Definisi

Akar ciri Matriks

Definisi:

lorthonorma x,....,x,xi1,x'xbila ,1nx ukuran orthogonal set vektor satu adalah x,....,x,x

xx'xx atau x vektor panjang

orthogonal XIXX',X

0y'xbila orthogonal y dan x

k21iik21

k

1i

2

ikx1

kxk

nx1nx1

Orthogonal Matriks

0xkarena 0λIA0xλI)-(A atau

ciri vektor adalah x dan xλxAbila adalah A ciriakar ,0x,Akxk

Definisi:

'' iiiikxkkxk

kxkkxk

ikxkkxk

x xλλ,AA'

ACC' ciriakar A ciriakar ICC' orthogonalC,A

i real/nyata λAA'

Properties:

Theorema:1,2...ki),D(λAPP'IPP'P, AA' ikxk

3

2

3

2

3

13

2

3

1

3

23

1

3

2

3

2

X

221

212

122

X

YXXY econformabl Ydan X Bila 3.

X'X 2.

Xt determinan adalah X 1.

:!!!Ingat!

Pangkat/Rank Matriks

Definisi:

linear bebas gvektor yanbanyaknya adalah r(X), X, matriksRank

)(linear bebas ,.....,, tsb,aada Bila tidak

) (linear bebask tida

x,.....,x,x0xak1,2,...,i0,a,x,.....,x,x

21i

k21

k

1i

iiik21

ndependentlinearly ixxx

dependentlinearly

k

r(Y)r(XY) r(X),r(XY)

zero-non diagonal elemenbanyaknya adalah r(D)

r(XQ)r(PX)r(X)0Q,0P,X

kr(X)jjk ada X,X

kX)r(X')r(X'r(X)kr(X)k,n ,X

kxknxnnxk

1

kxk

nxk

Properties:

Matriks Idempoten dan Teras/Trace

Definisi:

Properties:

AAAAbila idempoten A 2

kxk

Contoh:idempoten X'X)X(X'Hkr(X)k,n,X 1

nxk

Definisi:

k

1i

iikxk x tr(X)adalah X maka teras X

tr(YX)tr(XY)Y,X

tr(Y)-tr(X)Y)- tr(Xtr(Y),tr(X)Y) tr(XY,X

tr(X)c tr(cX)konstanta c,X

pxnnxp

kxkkxk

kxk

ji 0,AA 3.

AAA 2.

i,AA 1.

rrmaka benar dua salahmaka

1,2,....nI),r(Ar r,Ar

, iA'A kxk, matriks kumpulan A,....,A,A

ji 0,AA 3.

AAA 2.

i,AA 1.

benar 3-ke yangkanmengakibatbenar dua salahmaka

iA'A kxk, matriks kumpulan A,....,A,A

i DPA P'Pj)(i,AA AAbila dan

iA'A kxk, matriks kumpulan A,....,A,A

tr(A)r(A) kr(A) A,A' A,A

1 atau 0 λAA

ji

i

i

i

i

i

i

2

ii

i

i

I

i

i

iin21

ji

i

i

i

i

i

i

2

ii

iin21

iijji

iin21

2

i

2

Theorema: