UNIVERZITET U BEOGRADU
FIZIKI FAKULTET
Doc. dr Stevan Stojadinovi
ZBIRKA ZADATAKA
IZ
AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
BEOGRAD, 2008.
SADRAJ
1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE............................................................................1
2. PRENOSNA FUNKCIJA
SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA........................................................18
3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .......................................................76
4. METOD PROSTORA STANJA..................................................................................90
5. TANOST I STABILNOST
SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .....................................................115
6. LITERATURA...........................................................................................................138
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
1
1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima:
[ ] ==0
stdte)t(f)t(fL)s(F (1)
[ ] dse)s(Fj2
1)s(FL)t(fj
j
st1 +
== (2)
gde su:
L operator direktne Laplasove transformacije 1L operator inverzne Laplasove transformacije
s = + j kompleksna promenjiva Laplasove transformacije F(s) kompleksni lik funkcije )t(f
f(t) original funkcije )s(F
Integral (1) predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju
f(t) u kompleksnu funkciju F(s), dok integral (2) predstavlja inverznu Laplasovu
transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t).
Egzistencija integrala (1) zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti . Laplasova transformacija funkcije f(t) postoji samo za o> . Veliina o naziva se apcisa apsolutne konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost .consto == koja obezbeuje konvergenciju integrala funkcije f(t):
0 Laplasova transformacija je:
[ ])s(s
e1L t +=
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
3
4. Prostoperiodine sinusne i kosinusne funkcije
Za sinusnu funkciju Laplasova transformacija je:
[ ]
220
t)sj(t)sj(0
sttj
0
sttjtjtj
sjs1
js1
j21
sje
sje
j21
dtej2
edtej2
ej2
ej2
eL)tsin(L
+=
+=
=
==
=
+
Za kosinusnu funkciju Laplasova transformacija je:
[ ] 22tjtj
ss
2e
2eL)tcos(L +=
+=
1.2. Osobine direktne Laplasove transformacije
1. Teorema linearnosti
[ ] )s(Fa)s(Fa)t(fa)t(faL 22112211 +=+ , ( 21 a,a R) 2. Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje)
=
+
+
=
=
n
1k
)1k(knnn
n)0(fs)s(Fs)t(f
dtdL
)0(f)s(sF)t(fdtdL
3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje)
[ ]s
)s(Fdt)t(fL
s
dt)t(f
s)s(Fdt)t(fL
t
0
0
=
+=
+
4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje)
[ ][ ] )s(F
dsd)1()t(ftL
)s(Fdsd)t(tfL
n
nnn =
=
5. Kompleksno integraljenje
=
s
ds)s(Ft
)t(fL
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
4
6. Teorema kanjenja (realna translacija)
[ ] )s(Fe)at(fL as= , a > 0 7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija)
[ ] )s(F)t(feL t += 8. Teorema slinosti
[ ]
=asF
a1)at(fL
9. Teorema o poetnoj vrednosti
=
s0t)s(sFlim)t(flim
10. Teorema o konanoj vrednosti
0st
)s(sFlim)t(flim
=
11. Konvolucija originala
Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom
=t
021 d)(f)t(f)t(f
tada je:
[ ] )s(F)s(F)t(fL)s(F 21== 12. Parsevalova teorema
=0
j
j
2 ds)s(F)s(Fj2
1dt)t(f
1.3. Nalaenje inverzne Laplasove transformacije
Inverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (2). Integraljenje se vri du
prave =)s(Re izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim sluajevima od interesa u automatskom upravljanju funkcija F(s) se moe prikazati u obliku
racionalne razlomljene funkcije:
011n
1nn
n
011m
1mm
m
asa...sasabsb...sbsb
)s(Q)s(P)s(F ++++
+++== (4)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
5
gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri emu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak
stepenu polinoma u imenitelju )nm( . Nule polinom P(s) i Q(s) nazivaju se nule i polovi funkcije F(s). Poto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno
nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima.
Tada se inverzna Laplasova transformacija moe nai razvojem funkcije F(s) u parcijalne
razlomke (Heaviside ov razvoj) ili primenom Koijeve teoreme ostataka. U mnogim
sluajevima inverzna Laplasova transformacija moe se nai u tablicama Laplasovih
transformacionih parova.
1.2.1. Metoda parcijalnih razlomaka
Funkcija (4) moe se napisati u obloku:
)ss()ss)(ss(A)s(P
)s(Q)s(P)s(F
n21 == (5)
Mogui su sledei sluajevi:
a) koreni su meusobno razliiti:
Funkcija F(s) moe se tada prikazati u obliku:
=
=+++=n
1k k
k
n
n
2
2
1
1ss
Kss
Kss
Kss
K)s(F (6)
gde su K1, K2, Kn konstantni koeficijenti. Mnoenjem jednaine (6) sa )ss( k i prelaenjem na graninu vrednost dobija se:
)s(Q)s(P)ss(lim
ssK)ss(lim k
ss
n
1k k
kk
ss kk= = (7)
odnosno:
ksskk )s(Q
)s(P)ss(K
=
= (8)
Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) odreuje se na taj nain to se za svaki
lan parcijalnog razlomka (6) odredi inverzna transformacija:
==
=
=n
1k
tsk
n
1k k
k1 keKss
KL)t(f (9)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
6
Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su
kkk js += i kk*k1k jss ==+ . Tada se funkcija (6) moe prikazati u obliku:
)s(Q)s(P
ssK
ssK
)s(Q)ss)(ss()s(P)s(F
1*k
1k
k
k
1*kk
++==+ (10)
Za koeficijente Kk i Kk+1 dobija se:
)s(Q2j)s(P
)s(Q)ss()s(P
)s(Q)s(P)ss(K
k1k
k
k1*kk
k
sskk
k==
=
= (11)
)s(Q2j)s(P
)s(Q)ss()s(P
)s(Q)s(P)ss(K *
k1k
*k
*k1k
*k
*k
ss
*k1k
*k
==
==
+ (12)
Kompleksni koeficijenti Kk i Kk+1 su konjugovani:
kjkkkk eKjyxK
=+= kj
kkk*k1k eKjyxKK
+ ===
gde je k
kk x
yarctg= .
Pri nalaenju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) lanovi zbira sa
kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je:
)tcos(eK2eeKeeKss
Kss
KL kkt
k)t(jt
k)t(jt
k*k
*k
k
k1 kkkkkkk +=+=
+++
b) koreni su viestruki
Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (5) ponavljaju, ona se moe napisati u
obliku:
n21 m
nm
2m
1 )ss()ss()ss(A)s(P
)s(Q)s(P)s(F == (13)
Svaki koren sk multipliciteta mk moe se napisati u obliku:
= +
=+++k
k
k
kk
m
1j1jm
k
kj
k
km1m
k
2km
k
1k
)ss(
Kss
K
)ss(K
)ss(K (14)
odnosno za celu funkciju F(s) dobija se:
= +=
= kk
m
1j1jm
k
kjn
1k )ss(
K)s(F (15)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
7
Koeficijenti korena sk odreuju se tako to se jednaina (15) pomnoi sa kmk )ss( i stavi kss = : [ ] [ ] 1kss1mkkm2k3kk2k1kssmk K)ss(K)ss(K)ss(KK)s(F)ss( kkkkk =++++= ==
Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graninu vrednost, i smenom kss = , dobija se:
[ ] 2kss2mkkmkk3k2kss
mk K)ss(K)1m()ss(K2K)s(F)ss(ds
dk
k
k
k
k =+++=
==
Za nalaenje opteg koeficijenta kjK diferenciranje treba produiti do (mk-1 )-og izvoda, a
zatim staviti kss = . Tada je:
k
k
ss
mk1j
1j
kj )s(F)ss(dsd
)!1j(1K
=
= , j = 1,2, mk (16)
Sa poznatim koeficijentima Kkj, inverzna transformacija funkcije (13) postaje:
tsjmm
1j k
kjn
1k
kkk
et)!jm(
K)t(f
== = (17)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
8
TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIONIH PAROVA
No F(s) f(t) , t 0 1 1 )t( 2
ns1 , ,...3,2,1n =
!
)1n(t 1n
3 n)s(
1+
t1n
e)1n(
t !
4 1n
n
)s(s
++ =
!!!n
0k
k2
kt t
)k()kn()(ne
5 )s)(s(
1++
tt ee
6 )s)(s(
as o++
+
toto e)a(e)a(
7 2
o
)s(as+
+ [ ] to e1t)a( +
8 )s)(s)(s(
1+++ ))((
e))((
e))((
e ttt
++
9 2s)s(
1+ 2
t 1te
+
10 )s)(s)(s(
as o+++
+ ))((
e)a())((
e)a())((
e)a( tot
ot
o
++
11
s)s(as
2o
++
t2oo
2o e)
at
a(
a
+
12 22s
1+ )tsin(
1
13 22s
1 )t(sh
1
14 22s
s+
)tcos(
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
9
15 22s
s
)t(ch
16 22)s(
1++ )tsin(e
1 t
17 22)s(
s++
+ )tcos(e t
18 ])s)[(s(
122 +++ )tsin(e)(
1)(
e t2222
t
+++
= arctg
19 ])s)[(s(
as22
o
++++ )tsin(e
)()a(1
)(e)a( t
22
22o
22
to +
++
++
= arctga
arctgo
20 ase )at( 21
se as
)at(U
22 2
as
se
)at(U)at(
23
+
se as )at(Ue
)at(
24 2
as
)s(e+
)at(Ue)at(
)at(
25
)s)(s(e as
++
)at(Uee)at()at(
26
se1 as )at(U)t(U
27
see bsas )bt(U)at(U
28 2
as
ase)as( + )at(U)aa
1t(
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
10
1.1) Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije:
( ) )t(Ut3sin2t2cosete)t(f t t +=
Reenje:
[ ] [ ] [ ] [ ]
9s6
4)1s(1s
)1s(1
9s32
4)1s(1s
1s1
dsd
t3sinL2t2coseLteL)t(fL)s(F
22222
t t
++++++=+++
++
+=
=+== (1.1.1)
1.2) Koristei integral konvolucije odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s)(1s(
1)s(F ++=
Reenje:
Prenosna funkcija se moe napisati u obliku:
)s(F)s(F)s(F 21= (1.2.1) gde su:
1s1)s(F1 += (1.2.2)
2s1)s(F2 += (1.2.3)
Tada je:
[ ] )t(Ue)s(FL)t(f t111 == (1.2.4) [ ] )t(Ue)s(FL)t(f 2t 212 == (1.2.5)
Koritei integral konvolucije dobija se:
[ ] ( ) )t(Ue1edeedeed)(f)t(f)s(FL)t(f t tt0
t
o
t
0
t2 )-(t 21
1 ===== (1.2.6)
1.3) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)1s)(5s(
7s)s(F ++=
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
11
Reenje:
Primenom Heaviside ovog razvoja prenosna funkcija se moe napisati u obliku:
1sK
5sK
)1s)(5s(7s)s(F 21 ++=+
+= (1.3.1)
Koeficijenti K1 i K2 su:
[ ] 21s7s)s(F)5s(K 5s5s1 =+
+== == (1.3.2)
[ ] 15s7s)s(F)1s(K 1s1s2 =
+=+= == (1.3.3) Tada je:
1s1
5s2)s(F += (1.3.4)
[ ] ( ) )t(Uee2)s(FL)t(f tt51 == (1.3.5)
1.4) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s)(1s(s
1s)s(F2
+++=
Reenje:
2sK
1sK
sK
)2s)(1s(s1s)s(F 321
2
++++=+++= (1.4.1)
[ ]21
)2s)(1s(1s)s(sFK
0s
2
0s1 =
+++==
== (1.4.2)
[ ] 2)2s(s
1s)s(F)1s(K1s
2
1s2 =
++=+=
== (1.4.3)
[ ]25
)1s(s1s)s(F)2s(K
2s
2
2s3 =
++=+=
== (1.4.4)
2s1
25
1s2
s1
21)s(F +++= (1.4.5)
[ ] )t(Ue25e2
21)s(FL)t(f t2t1
+== (1.4.6)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
12
1.5) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s2s(s
2s)s(F 2 +++=
Reenje:
[ ][ ] )j1(sK
)j1(sK
sK
)j1(s )j1(ss2s
)2s2s(s2s)s(F 3212 +++=+
+=+++= (1.5.1)
[ ][ ] 1)j1(s )j1(s2sK
0s1 =
++=
= (1.5.2)
[ ] 21
)j1(ss2sK
j1s2 =
+=
+= (1.5.3)
[ ] 21
)j1(ss2sK
j1s3 =
++=
= (1.5.4)
)j1(s1
21
)j1(s1
21
s1)s(F += (1.5.5)
[ ] [ ]( ) )t(Utcose1)t(U
2eee1
)t(Uee21)t(U)s(FL)t(f
tjtjt
t
t)j1(t)j1(1
+
=
+=
=+== (1.5.6)
1.6) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)1s)(8s4s(
7s3s)s(F 22
+++++=
Reenje:
[ ][ ]1s
K)j22(s
K)j22(s
K
)1s()j22(s )j22(s7s3s
)1s)(8s4s(7s3s)s(F
321
2
2
2
++++++=
=++++++=+++
++= (1.6.1)
[ ] 2jj22s
2
j22s1 e41j
41
)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K
+=+= ==
+++++=+= (1.6.2)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
13
[ ] 2jj22s
2
j22s2 e41j
41
)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K
== ==
++++=++= (1.6.3)
[ ] 18s4s7s3s)s(F)1s(K
1s2
2
2s3 =
++++=+=
== (1.6.4)
1s1
j22se
j22se
41)s(F
2j
2j
++
++++=
(1.6.5)
[ ]
)t(Uet2sine21)t(Ue
2t2cose
21
)t(Ue2eee
21
)t(Ue)t(Ueeee41)s(FL)t(f
tt2tt2
t)
2t2(j)
2t2(j
t2
tt)j22(2jt)j22(2
j1
+=
+
+=
=
++=
=+
+==
++
+
(1.6.6)
1.7) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s()1s(
s4s3)s(F 22
+=
Reenje:
2sK
1sK
)1s(K
)2s()1s(s4s3)s(F 2122
112
2
+++=+= (1.7.1)
[ ]31
2ss4s3)s(F)1s(K
1s
2
1s2
11 =
+==
== (1.7.2)
( )9
14)2s(
)s4s3()2s)(s83(
2ss4s3
dsd)s(F)1s(
dsdK
1s2
21s
2
1s
212
=
++=
=
+=
=
=
== (1.7.3)
[ ]922
)1s(s4s3)s(F)2s(K
2s2
2
2s2 =
=+=
== (1.7.4)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
14
)2s(922
)1s(914
)1s(31)s(F 2 += (1.7.5)
[ ] )t(Ue922e
914te
31)s(FL)t(f t2tt1
== (1.7.6)
1.8) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
23s)1s(1)s(F +=
Reenje:
sK
sK
1sK
)1s(K
)1s(K
s)1s(1)s(F 222
21132
123
1123 +++++++=+= (1.8.1)
[ ] 1s1)s(F)1s(K
1s21s
311 =
=+=
== (1.8.2)
( ) 2s2
s1
dsd)s(F)1s(
dsdK
1s3
1s2
1s
312 =
=
=
+=
=== (1.8.3)
( ) 3s6
21
s2
dsd
21)s(F)1s(
dsd
21K
1s4
1s3
1s
32
2
13 =
=
=
+=
=== (1.8.4)
[ ] 1)1s(
1)s(FsK0s
30s2
21 =
+== ==
(1.8.5)
( ) 3)1s(
3)1s(
1dsd)s(Fs
dsdK
0s4
0s3
0s
222 =
+=
+=
====
(1.8.6)
s3
s1
1s3
)1s(2
)1s(1)s(F 223 ++++++= (1.8.7)
[ ] )t(U3te3te2et21)s(FL)t(f ttt21
+++== (1.8.8)
1.9) Primenom Laplasovih transformacija reiti diferencijalnu jednainu:
)t(Ut)t(y9dt
)t(dy6dt
)t(yd 32
2=+
Poznato je: 0)t(y 0t == , 0dt)t(dy
0t =+= .
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
15
Reenje:
Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednaina postaje:
[ ] 40t0t0t2 s6)s(Y9)t(y)s(sY6dt )t(dy)t(sy)s(Ys =++ +=+=+= (1.9.1) odnosno, posle smenjivanja brojnih vrednosti za poetne uslove, dobija se:
3sK
)3s(K
sK
sK
sK
sK
)3s(s6
)9s6s(s6)s(Y 222
2114213
312
411
2424 +++++==+= (1.9.2)
gde su:
[ ]32
)3s(6)s(YsK
0s20s
411 =
== ==
( )94
)3s(12
)3s(6
dsd)s(Ys
dsdK
0s3
0s2
0s
412 =
=
=
====
( )92
)3s(36
21
)3s(12
dsd
21)s(Ys
dsd
!21K
0s4
0s3
0s
42
2
13 =
=
=
=
===
( )818
)3s(144
61
)3s(36
dsd
61)s(Ys
dsd
!31K
0s5
0s4
0s
43
3
14 =
=
=
=
===
[ ]272
s6)s(Y)3s(K
3s43s
221 =
==
==
( )818
s24
s6
dsd)s(Y)3s(
dsdK
3s5
3s4
3s
222 =
=
=
=
===
Tada jednaina (1.9.2) postaje:
3s1
818
)3s(1
272
s1
818
s1
92
s1
94
s1
32)s(Y
2234 ++++= (1.9.3)
Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se reenje diferencijalne jednaine:
)t(Ue818te
272
818t
92t
92t
91
)t(Ue818te
272
818t
92
!2t
94
!3t
32)t(y
t3t323
t3t323
++++=
=
++++=
(1.9.4)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
16
1.10) Primenom Laplasovih transformacija nai zakon kretanja sistema sa slike 1.10. Poznato
je: M = 25kg, B = 75Nsm1, K = 50Nm1, Fo = 12.5N, = 4s1, x t=0+ = 0, 10t ms2dtdx += = .
Reenje:
Diferencijalna jednaina kretanja sistema sa slike 1.10 je:
tsinF)t(Kxdt
)t(dxBdt
)t(xdM o22
=++ (1.10.1)
Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednaina (1.10.1) postaje:
[ ]22
o
0t0t0t2
sMF
)s(XMK)t(x)s(sX
MB
dt)t(dx)t(sx)s(Xs
+=
=++
+=+=+= (1.10.2)
Posle smenjivanja brojnih vrednosti i poetnih uslova dobija se:
16s34s2)s(X)2s)(1s()s(X)2s3s( 2
22
++=++=++ (1.10.3)
odnosno:
j4sK
j4sK
2sK
1sK
)16s)(2s)(1s(34s2)s(X 43212
2
++++++=++++= (1.10.4)
Konstante K1, K2, K3 i K4 su:
[ ]1736)s(X)1s(K
1s1=+= =
[ ]1021)s(X)2s(K
2s2=+= =
[ ]5440e)s(X)j4s(K
j
j4s3
= ==
[ ]5440e)s(X)j4s(K
j
j4s4
= =+=
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
17
gde je: 67arctg= . Tada je:
j4s1
5440e
j4s1
5440e
2s1
1021
1s1
1736)s(X
jj
+++++=+
(1.10.5)
Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se:
[ ] )t(Uee55401)t(Ue
1021)t(Ue
1736)t(x )t4(j)t4(jt2t + ++= (1.10.6)
odnosno:
)t(U)t4cos(027.0e1021e
1736
)t(U2
ee13601)t(Ue
1021)t(Ue
1736)t(x
t2t
)jt4(j)t4(jt2t
+=
=
++=
+
(1.10.7)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
18
2. PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Sistem automatskog upravljanja je aktivna mrea sainjena od pasivnih i aktivnih
komponenata razliite prirode (elektrine, mehanike, termike, pneumatske, hidrauline
itd.). Dinamiko ponaanje pojedinih komponenata sistema automatskog upravljanja opisuje
se integro diferencijalnim jednainama. Dinamiko ponaanje sistema sa jednom ulaznom
promenjivom x(t) i jednom izlaznom promenjivom y(t) dato je linearnom diferencijalnom
jednainom sa konstantnim koeficijentima:
011n
1n
1nn
n
n011m
1m
1mm
m
m bdtdyb
dtdxb
dtdxba
dtdya
dtdya
dtdya ++++=++++
(1)
Prelaskom u Laplasov domen, pod uslovom da su svi poetni uslovi nula, jednaina (1)
postaje:
)s(X)bsbsbsb()s(Y)asasasa( 011n
1nn
n011m
1mm
m ++++=++++ (2) Prenosna funkcija sistema je:
)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(
Kasasasa
bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G
m21
n21
011m
1mm
m
011n
1nn
n
=++++
++++==
(3)
Kod fiziki ostvarljivih sistema stepen polinoma u brojitelju manji je od stepena polinoma
u imenitelju n < m. Nule polinoma u brojitelju su nule prenosne funkcije, a nule polinoma u imenitelju su polovi prenosne funkcije.
Prenosna funkcija linearnog sistema automatskog upravljanja obino se moe prikazati u
obliku:
011k
1kk
kD
IP sscscsc
1)sKs
KK()s(X)s(Y)s(G +++++==
(4)
gde su:
KP proporcionalna konstanta sistema
KI integralna konstanta sistema
KD diferencijalna konstanta sistema
Vrednost koeficijenta ck 0 odreuju red sistema.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
19
2.1. Algebra prenosnih funkcija
Algebra prenosnih funkcija predstavlja skup pravila koja omoguavaju da se nae
prenosna funkcija sloenog sistema automatskog upravljanja ako su poznate prenosne
funkcije njegovih komponenata. U strukturnom blok dijagramu promenjive sistema
predstavljene su linijskim segmentima, a funkcije prenosa izmeu pojedinih promenjivih
blokovima (Slika 1).
2.1.1. Pravila algebre prenosnih funkcija
1) Redna veza
2) Paralelna veza
3) Povratna sprega
4) Premetanje bloka iz direktnog kola
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
20
5) Premetanje bloka iz povratnog kola
6) Pomeranje povratne sprege ispred bloka
7) Pomeranje povratne sprege iza bloka
8) Pomeranje diskriminatora ispred bloka
9) Pomeranje diskriminatora iza bloka
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
21
2.2. Graf toka signala
Graf toka signala je drugi nain predstavljanja prenosnih funkcija sloenog sistema
automatskog upravljanja. U grafu toka signala promenjive sistema predstavljaju se vorovima
grafa, a funkcije prenosa orijentisanim granama (Slika 2).
2.2.1. Ekvivalentne transformacije grafa toka signala
1) Redna veza
2) Paralelna veza
3) Povratna sprega
4) Eliminacija petlje
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
22
2.1) Odrediti signal na izlazu blok dijagrama sa slike 2.1.
Reenje:
Primenom principa superpozicije dobija se:
0XX0XX0XX 213132 YYYY ====== ++= (2.1.1) Za X2 = X3 = 0 strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 32Y == je:
12121
210XX XHHGG1
GGY
32 === (2.1.2)
Za 0XX 31 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 31Y == je:
22121
20XX XHHGG1
GY
31 === (2.1.3)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
23
Za 0XX 21 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 21Y == je:
32121
1210XX XHHGG1
HGGY
21 === (2.1.4)
Izlazni signal Y je:
2121
3121221210XX0XX0XX HHGG1
XHGGXGXGGYYYY213132
++=++= ====== (2.1.5)
2.2) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa
slike 2.2.
Reenje:
Primenom pravila za paralelnu vezu na blokove G4 i G5 strukturni blok dijagrama sa
slike 2.2.1 je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
24
Pomeranjem diskriminatora iza bloka G1 strukturni blok dijagram sa slike 2.2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.2 postaje:
Primenom pravila rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.3
postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
25
2.3) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa
slike 2.3.
Reenje:
Pomeranjem povratne sprege iza bloka G3 strukturni blok dijagram sa slike 2.3 postaje:
Korienjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa
slike 2.3.1 postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
26
2.4) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blok dijagram sa
slike 2.4 i odrediti prenosnu funkciju. Dobijeni rezultat analitiki proveriti.
Reenje:
Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4 postaje:
Pomeranjem povratne sprege iza bloka G2 strukturni blok dijagram sa slike 2.4.1 postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
27
Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4.2
postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu dobija se prenosna funkcija kola slike 2.4.3:
1
34521
1
21
G1)GG)(GG1(G
1
G1GG
)s(G
+++
+= (2.4.1)
Analitiki se dobijeni rezultat moe dobiti na sledei nain. Sa slike 2.4 se vidi da je:
22XGY = (2.4.2)
[ ]3341
12 X)GG(XG1
GX += (2.4.3)
2522522523 X)GG1(XGGXYGXX +=+=+= (2.4.4) Iz jednaina (2.4.3) i (2.4.4) dobija se:
XG1
GG1
)GG)(GG1(G1X
1
1
1
345212 +=
+++ (2.4.5)
Iz jednaina (2.4.2) i (2.4.5) dobija se prenosna funkcija kola sa slike 2.4:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
28
1
34521
1
21
G1)GG)(GG1(G
1
G1GG
)s(X)s(Y)s(G
+++
+== (2.4.6)
2.5) Nai prenosnu funkciju sistema iji je graf toka signala dat na slici 2.5.
Reenje:
Koristei ekvivalentne transformacije za paralelnu vezu i povratnu spregu graf toka
signala sa slike 2.5 postaje:
Koristei ekvivalentne transformacije za rednu vezu i povratnu spregu graf toka signala sa
slike 2.5.1 postaje:
Koristei ekvivalentne transformacije za rednu vezu graf toka signala sa slike 2.5.2
postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
29
2.6) Na slici 2.6 prikazan je strukturni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.
Formirati graf toka signala. Primenom Mejsonovog pravila izraunati prenosnu funkciju
sistema.
Reenje:
Na slici 2.6.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.6.
Mejsonovo pravilo omoguava da se odredi prenosna funkcija od proizvoljnog vora X
tipa izvora (vor tipa izvora je vor iz koga grane samo izviru) do proizvoljnog vora Y tipa
ponora (vor tipa ponora je vor u koga grane samo poniru) i definisano je izrazom:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
30
)s(
)s()s(P
)s(X)s(Y)s(G
n
1iii
=== (2.6.1)
gde su:
n broj direktnih putanja izmeu vorova od izvora do posmatranog ponora (direktna putanja
je niz sukcesivno povezanih i u istom smeru orijentisanih grana koje spajaju navedene
vorove i du kojih se svaki vor pojavljuje samo jedanput);
Pi pojaanje i te direktne putanje, koje se formira kao proizvod pojaanja grana koje
sainjavaju putanju;
- determinanta grafa toka signala (karakteristina funkcija grafa) koja je definisana relacijom:
++== +j j
3j2jk j j
1jjk1k PPP1P)1(1 (2.6.2)
gde su:
j
1jP zbir krunih pojaanja svih zatvorenih putanja grafa;
j
2jP zbir svih proizoda krunih pojaanja od po dve zatvorene putanje koje se meusobno
ne dodiruju;
j
3jP zbir svih proizoda krunih pojaanja od po tri zatvorene putanje koje se meusobno
ne dodiruju;
j
4jP , j
5jP , - definisane su na analogan nain;
i je koja se dobija primenom jednaine (2.6.2), ali samo za zatvorene putanje koja ne dodiruju i tu direktnu putanju;
Graf toka signala sa slike 2.6.1 ima:
Dve direktne putanje sa pojaanjima:
P1 = G1G2G3 , P2 = G4;
etiri zatvorene putanje krunih pojaanja:
P11 = G1G5, P21 = G4G5G6G7, P31 = G2G6, P41 = G3G7;
Putanje P11 i P41 meusobno se ne dodiruju, pa je proizvod krunih pojaanja ovih putanja:
P12 = P11P41 = G1G3G5G7,
Determinata grafa toka signala je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
31
753173627654511241312111 GGGGGGGGGGGGGG1P)PPPP(1 +=++++= Direktna putanja P1 dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je 1 = 1. Direktna putanja P2 ne dodiruje zatvorenu putanju P31 i 2 = 1 P31 = 1 G2G6. Prenosna funkcija sistema na osnovu jednaine (2.6.1) je:
75317362765451
624321
2211
GGGGGGGGGGGGGG1)GG1(GGGG
)s()s()s(P)s()s(P
)s(X)s(Y)s(G
++=
=+==
(2.6.3)
2.7) Za multivarijabilni sistem sa dva ulaza i dva izlaza iji je strukturni blok dijagram
prikazan na slici 2.7 formirati graf toka signala i odrediti Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) primenom
Mejsonovog pravila.
Reenje:
Na slici 2.7.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.7.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
32
Poto je graf linearan, funkcije Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) se mogu odrediti superpozicijom.
Kruna pojaanja zatvorenih putanja su:
P11= G1G3, P21= G4G5, P31= G4G5G6, P41= G1G2G4G7. Proizvodi krunih pojaanja od po dve krune putanje koje se ne dodiruju meusobno su:
P12= P11P21=G1G3G4G5 i P22= P11P31=G1G3G4G5G6 Determinanta grafa toka signala je:
65431543174216545431 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1 +++++= Od ulaza X1 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 31
11 GGP = , koja ne
dodiruje zatvorene putanje P21 i P31 Tada je:
65454312111 GGGGG1)PP(1 ++=+=
Od ulaza X2 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 43212
1 GGGGP = , koja dodiruje sve zatvorene putanje zatvorene putanje i 121 = . Superpozicijom se dobija da je:
+++=
+= 2432116545431221
211
11
11
211XGGGGX)GGGGG1(GGXPXP)X,X(Y
Od ulaza X1 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 7654112 GGGGGP = , koja
dodiruje sve zatvorene putanje i 112 = . Od ulaza X2 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 654
22 GGGP = , koja ne
dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:
311122 GG1P1 +==
Superpozicijom se dobija da je:
++=
+= 231654176541222
221
12
12
212X)GG1(GGGXGGGGGXPXP)X,X(Y
Zavisnost izlaznih veliina Y1 i Y2 od ulaznih veliina X1 i X2 moe se prikazati u
matrinom obliku:
+
++
=
2
1
3165476541
43216545431
2
1
X
X
)GG1(GGGGGGGG
GGGG)GGGGG1(GG
Y
Y (2.7.1)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
33
2.8) Za kolo sa slike 2.8 formirati graf toka signala i primenom Mejsonovog pravila odrediti
prenosnu funkciju.
Reenje:
Na osnovu slike 2.8 mogu se napisati sledee jednaine:
)]s(U)s(U[sC)s(I 211 = (2.8.1) )]s(I)s(I[R)s(U 212 = (2.8.2)
)]s(U)s(U[sC)s(I 322 = (2.8.3) )]s(I)s(I[R)s(U 323 = (2.8.4)
)]s(U)s(U[sC)s(I 433 = (2.8.5) )s(RI)s(U 34 = (2.8.6)
Na osnovu jednaina od (2.8.1) do (2.8.6) moe se formirati graf toka signala za kolo sa
slike 2.8.
Od )s(U1 do )s(U4 postoji samo jedna direktna putanja pojaanja:
3331 CRsP = (2.8.7)
Postoje ukupno 5 zatvorenih putanja istih krunih pojaanja sRC. Tada je: =
j1j sRC5P (2.8.8)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
34
=j
2222j CRs6P (2.8.9)
=j
3333j CRsP (2.8.10)
Na osnovu jednaina (2.8.8), (2.8.9) i (2.8.10) sledi da je:
+++=+=j j
2223333j2j
j1j sRC5CRs6CRs1PPP1)s( (2.8.11)
Ne postoji ni jedna zatvorena putanja koja se ne dodiruje se sa direktnom putanjom i 1=1 . Prenosna funkcija kola sa slike 2.8 je:
sRC5CRs6CRs1CRs
)s()s()s(P
)s(U)s(U)s(G 222333
33311
1
4
+++=== (2.8.12)
2.9) Za nelinearni sistem automatskog upravljanja koji je opisan diferencijalnom jednainom:
)t(xdt
)t(dx2)t(y)t(ydt
)t(dy)t(ydt
)t(yd 232
2+=++
napraviti linearni model u okolini take ravnotenog stanja )2,6()y,x( QQ = . Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.
Reenje:
Linearni model se dobija Tejlorovim razvojem prvog reda jednaine u okolini take
ravnotenog stanja:
[ ] yyfx
xf)y,x(f)t(y),t(xf
Q
Q
Q
Q
yyxx
yyxxQQ
++
==
== (2.9.1)
Za xx)t(x Q += i yy)t(y Q += , dobija se: [ ]
dt)t(ydy
dt)t(dy)t(y Q
(2.9.2) 3Q
2Q
3 y)t(yy3)t(y += (2.9.3) 2QQ
2 x)t(xx2)t(x += (2.9.4) [ ] [ ]
[ ] 2QQ
Q3Q
2QQ2
2
x)t(xx2dt
)t(xd2
y)t(yy)t(yy3dt
)t(ydydt
)t(yd
++=
=+++
(2.9.5)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
35
odnosno:
[ ] [ ] [ ] )t(x62dt
)t(xd2)t(y11dt
)t(yd2dt
)t(yd2
2+=++ (2.9.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije na jednainu (2.9.6) dobija se prenosna
funkcija linearizovanog modela:
11s2s62s2
)s(X)s(Y)s(G 2 ++
+== (2.9.7)
2.10) Rezervoar konstantne povrine poprenog preseka A sa slike 2.10 prazni se po zakonu
hK)t(q2 = , gde je h visina nivoa tenosti u rezervoaru, a K konstanta. Odrediti zakon promene visine nivoa tenosti u rezervoaru. Napraviti linearni model u okolini nominalne
visine hQ. Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.
Reenje:
Zapremina tenosti u rezervoaru je:
)t(hAV = (2.10.1) Zakon promene zapremine je:
)t(hK)t(q)t(q)t(qdt
)t(dhAdt
)t(dV121 === (2.10.2)
Zakon promene visine nivoa tenosti u rezervoaru je:
)t(qA1)t(h
AK
dt)t(dh
1+= (2.10.3)
Za )t(hh)t(h Q += i ),t(qq)t(q 1Q11 += linearni model postaje: [ ] )t(q
A1q
A1)t(h
h1
A2Kh
AK
dt)t(hd
1Q1Q
Q ++= (2.10.4)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
36
odnosno:
[ ] )t(qA1)t(h
h1
A2K
dt)t(hd
1Q
=+ (2.10.5)
Primenom direktne Laplasove transformacije na jednainu (2.10.5) dobija se prenosna
funkcija linearizovanog modela:
Q
1hA2
Ks
A1
)s(Q)s(H)s(G
+=
= (2.10.6)
2.11) Serijsko RLC kolo i analogni mehaniki sistemi, translacioni i rotacioni, prikazani su
na slici 2.11. Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovih
sistema i odrediti analogne fizike promenjive i parametre.
Reenje:
a) Primenom Kirhofovog zakona o naponima na serijsko RLC kolo dobija se:
++=++= dt)t(iC1dt )t(diL)t(Ri)t(u)t(u)t(u)t(u CLR (2.11.1) Kako je
dt)t(dq)t(i = , jednaina (2.11.1) postaje:
)t(qC1
dt)t(dqR
dt)t(qdL)t(u 2
2++= (2.11.2)
b) Primenom zakona dinamike na translacioni mehaniki sistem dobija se:
)t(f)t(f)t(f)t(f MBK ++= (2.11.3) gde su:
== dt)t(vK)t(Kx)t(fK
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
37
)t(Bvdt
)t(dxB)t(fB ==
dt)t(dvM
dt)t(xdM)t(f 2
2
M ==
jednaina (2.11.3) postaje:
++= dt)t(vK)t(Bvdt )t(dvM)t(f (2.11.4) )t(Kx
dt)t(dxB
dt)t(xdM)t(f 2
2++= (2.11.5)
Poreenjem jednaina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednainama (2.11.4) i (2.11.5) vidi se da su
matamatiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RLC kola i analognog translacionog
mehanikog sistema identini, i analogne fizike promenjive i parametri su:
)t(x)t(q)t(v)t(i)t(f)t(u
K1C
BRML
Na slici 2.11.1.a prikazani su simboli za masu M, elastinost K, trenje B i silu f(t), a na
slici 2.11.1.b analogna mehanika mrea translacionog mehanikog sistema.
c) Primenom zakona dinamike na rotacioni mehaniki sistem dobija se:
)t(M)t(M)t(M)t(M JBK ++= (2.11.6) gde su:
== dt)t(K)t(K)t(MK )t(B
dt)t(dB)t(MB ==
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
38
dt)t(dM
dt)t(dJ)t(M 2
2
J==
jednaina (2.11.6) postaje:
++= dt)t(K)t(Bdt )t(dJ)t(M (2.11.7) )t(K
dt)t(dB
dt)t(dJ)t(M 2
2++= (2.11.8)
Poreenjem jednaina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednainama (2.11.7) i (2.11.8) vidi se da su
matamatiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RLC kola i analognog rotacionog
mehanikog sistema identini, i analogne fizike promenjive i parametri su:
)t()t(q)t()t(i
)t(M)t(u
K1C
BRJL
Na slici 2.11.2.a prikazani su simboli za moment inercije J, elastinost K, trenje B i
moment sile M(t), a na slici 2.11.2.b analogna mehanika mrea rotacionog mehanikog
sistema .
Poreenjem analognih mehanikih mrea sa serijskim RLC kolom moe se izvesti
sledee pravilo: Mehanikim elementima u paralelnoj vezi odgovaraju analogni elektrini
elementi vezani serijski, a mehanikim elementima u serijskoj vezi odgovaraju analogni
elektrini elementi vezani paralelno.
2.12) Na slici 2.12 prikazan je translacioni mehaniki sistem sa dva stepena slobode.
Koristei analogiju koja postoji izmeu elektrinih i mehanikih elemenata formirati
mehaniku i analognu elektrinu mreu. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui da
je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
39
Reenje:
Masa M2, opruga K2 i prigunica B2 vre isti pomeraj x2(t). Zato su ovi elementi
mehaniki u paralelnoj vezi, a u analognoj elektrinoj mrei u serijskoj vezi. Opruga K1
izloena je pomeraju x1(t) x2(t) i zato je mehaniki serijski elemenat, a u analognoj
elektrinoj mrei paralelan. Masa M1 i prigunica B1 vre isti pomeraj x1(t) i ovi elementi su
mehaniki u paralelnoj vezi, a u analognoj elektrinoj mrei u serijskoj vezi. Na slici 2.12.1
prikazane su mehanika mrea (a) i analogna elektrina mrea (b) sistema sa slike 2.12.
Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.12.1.b dobija se:
)t(f)t(xK)t(xKdt
)t(dxB
dt)t(xd
M 21111
121
2
1 =++ (2.12.1)
0)t(x)KK(dt
)t(xB
dt)t(xd
M)t(xK 2212
222
2
211 =++++ (2.12.2)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednaine (2.12.1) i (2.12.2) postaju:
( ) )s(F)s(XK)s(XKsBMs 2111112 =++ (2.12.3) ( ) 0)s(XKKsBMs)s(XK 22122211 =++++ (2.12.4)
Iz jednaine (2.12.4) sledi da je prenosna funkcija translacionog mehanikog sistema:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
40
21222
1
1
2
KKsBMsK
)s(X)s(X
)s(G +++== (2.12.5)
2.13) Elektrina mrea diferencijalnog tipa i analogna mehanika mrea prikazane su na
slici 2.13. Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovih mrea,
izvesti prenosnu funkciju sistema i odrediti analogne fizike promenjive i parametre.
Reenje:
a) Za elektrinu mreu sa slike 2.13.a vai:
)t(u)t(u)t(u 2C1 += (2.13.1) )t(i)t(i)t(i 21 += (2.13.2)
Jednaina (2.13.2) moe se napisati u obliku:
dt)t(duC
R)t(u
R)t(u C
1
C
2
2 += (2.13.3)
Iz jednaine (2.13.1) sledi da je:
)t(u)t(u)t(u 21C = (2.13.4) Iz jednaina (2.13.3) i (2.13.4) dobija se:
[ ]dt
)t(u)t(udCR
)t(u)t(uR
)t(u 211
21
2
2 += (2.13.5)
odnosno:
)t(uR1
dt)t(duC)t(u
R1
R1
dt)t(duC 1
1
12
21
2 +=
++ (2.13.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.13.6) postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
41
)s(UR1)s(sCU)s(U
R1
R1)s(sCU 1
112
212 +=
++ (2.13.7)
Prenosna funkcija elektrine mree sa slike 2.13.a je:
21
21
1
21
2
21
1
1
2
RRRRsC1
sCR1RR
R
R1
R1sC
R1sC
)s(U)s(U)s(G
++++=
++
+== (2.13.8)
b) Za mehaniku mreu sa slike 2.13.b. vai:
[ ] )t(xK)t(x)t(xKdt
)t(dxdt
)t(dxB 2221121 =+
(2.13.9)
odnosno:
( ) )t(xKdt
)t(dxB)t(xKKdt
)t(dxB 1112212 +=++ (2.13.10) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.13.10) postaje:
( ) ( ) )s(XKsB)s(XKKsB 11221 +=++ (2.13.11) Prenosna funkcija mehanike mree sa slike 2.13.b je:
21
1
21
1
21
1
1
2
KKBs1
KBs1
KKK
KKsBKsB
)s(X)s(X)s(G
++
++=++
+== (2.13.12)
Iz jednaina (2.13.8) i (2.13.12) sledi da su analogne fizike promenjive i parametri:
11 K
1R
)t(x)t(u
22 K
1R
BC
2.14) Za rotacioni mehaniki sistem sa tri stepena slobode sa slike 2.14 napisati diferencijalne
jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovog sistema. Formirati mehaniku i analognu
elektrinu mreu. Izraunati prenosnu funkciju sistema uzimajui da je 1(t) ulazna promenjiva, a 3(t) izlazna promenjiva.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
42
Reenje:
Primenom zakona dinamike za rotaciono kretanje na kolo sa slike 2.14 dobijaju se
diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje sistema:
[ ] )t(M)t()t(K 211 = (2.14.1) [ ] [ ] 0)t()t(K
dt)t()t(dB
dt)t(dB
dt)t(dJ 121323212
22
1 =+++ (2.14.2)
[ ] 0)t(Kdt
)t()t(dBdt
)t(dBdt
)t(dJ 322333223
2
2 =+++ (2.14.3)
Na slici 2.14.1 prikazana je mehanika mrea (a) i analogna elektrina mrea (b) sistem.
Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.14.1.b dobija se:
[ ] )s(M)s()s(K 211 = (2.14.4)
( )[ ] 0)s(sB)s(KBBsJs)s(K 3321311211 =++++ (2.14.5)
( )[ ] 0)s(KBBsJs)s(sB 31311223 =++++ (2.14.6) Reavanjem ovog sistema jednaina Kramerovim pravilom dobija se:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
43
( )( )
( )( ) ( )( )[ ]23223222131122322
23
313112
1
1
BsKBBsJsKBBsJs)s(M
KBBsJssB0sBKBBsJs00K)s(M
++++++=
=+++
+++
=
(2.14.7)
( ) 313
13112
1
11
3 BsK)s(M0sB00KBBsJsK
)s(MKK=
+++
= (2.14.8)
Prenosna funkcija rotacionog mehanikog sistema sa slike 2.14 je:
( )( ) ( )( )[ ]2322322213112 311313 BsKBBsJsKBBsJsBsK
)s()s(
)s(G++++++
==
= (2.14.9)
2.15) Na rotacioni mehaniki sistem na slici 2.15 dejstvuje mehaniki momenat M(t).
Prenosni odnos reduktora odreen je brojem zubaca n1 i n2. J1 i J2 su momenti inercije
zamajaca ija su obrtna kretanja izloena viskoznom trenju koeficijenata trenja B1 i B2.
Koeficijenat torzione elastinosti osovine iji je ugaoni pomeraj 1(t) je K1. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui da je M(t) ulazna promenjiva sistema, a ugaoni pomeraj
2(t) izlazna promenjiva sistema.
Reenje:
Diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje sistema sa slike 2.15 su:
)t(M)t(M)t(Kdt
)t(dB
dt)t(d
J 1111
121
2
1 =++ (2.15.1)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
44
)t(Mdt
)t(dB
dt)t(d
J 22
222
2
2 =+ (2.15.2)
gde je M1(t) otporni moment, a M2(t) pokretaki moment predat reduktoru.
Izmeu pomeraja pre i posle redukcije postoji veza:
)t(n)t(n 2211 = (2.15.3) odnosno:
)t(N)t(nn)t( 22
1
21 == (2.15.4)
gde je 1
2nnN = . Oba zubanika moraju da izvre isti rad. Zato je:
)t()t(M)t()t(M 2211 = (2.15.5) Iz jednaina (2.15.4) i (2.15.5) se dobija odnos izmeu momenata pre i posle redukcije:
N)t(M)t(M 21 = (2.15.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:
( ) )s(M)s(M)s(KsBJs 111112 =++ (2.15.7) ( ) )s(M)s(sBJs 22222 =+ (2.15.8)
)s(N)s( 21 = (2.15.9)
N)s(M)s(M 21 = (2.15.10)
Iz ovih jednaina sledi da je prenosna funkcija sistema:
12
212
2122
2
KN)BBN(s)JJN(sN
)s(M)s(
)s(G ++++== (2.15.11)
2.16) Pneumatski sistem koji se sastoji od dovodne cevi i komore sa gasom pod pritiskom
prikazan je na slici 2.16. Sa Pi i Po oznaene su stacionarne vrednosti pritiska gasa u ulaznoj
cevi i komori, a sa pi(t) i po(t) male varijacije pritiska gasa u ulaznoj cevi i komori u odnosu
na vrednosti u stracionarnom stanju. Protok gasa q(t) direktno je proporcionalan razlici
pritisaka gasa pi(t) u dovodnoj cevi, kao ulazne promenjive, i pritiska gasa po(t) u komori, kao
izlazne promenjive sistema. Definisati pneumatsku otpornost R prigunog prstena i
pneumatski kapacitet C komore. Izraunati prenosnu funkciju pneumatskog ventila. Koristei
analogiju koja postoji izmeu elektrinih i pneumatskih elemenata, za dva kaskadno vezana
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
45
sistema sa slike 2.16, formirati analognu elektrinu mreu i izraunati funkciju prenosa
sistema.
Reenje:
Pneumatska otpornost R prstena definisana je relacijom:
)t(q)t(pR = (2.16.1)
Pneumatski kapacitet komore definisan je relacijom:
)t(qdt
)t(dpC = (2.16.2) Iz definicija za otpornost prstena R i kapacitet komore C dobija se:
)t(q)t(p)t(p
R oi= (2.16.3)
)t(qdt
)t(dpC o = (2.16.4) Iz jednaina (2.16.3) i (2.16.4) sledi da je:
)t(p)t(pdt
)t(dpRC io
o =+ (2.16.5) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.16.5) postaje:
)s(P)s(P)sRC1( io =+ (2.16.6) Prenosna funkcija pneumatskog sistema je:
sRC11
)s(P)s(P
)s(Gi
o+== (2.16.7)
Na slici 2.16.1 prikazana je ekvivaletna elektrina mrea pnematskog sistema sa
slike 2.16. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.16.1 dobija se:
)t(udt
)t(duRC)t(u)t(Ri)t(u)t(u)t(u CCCCR +=+=+= (2.16.8) gde je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
46
dt)t(duC)t(i C= (2.16.9)
Poreenjem jednaina (2.16.4) i (2.16.5) sa jednainama (2.16.8) i (2.16.9) vidi se da su
matematiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RC kola i analognog pneumatskog
sistema identini, i da su analogne fizike promenjive i parametri:
)t(q)t(i)t(p)t(u
CCRR
Na slici 2.16.2 prikazan je pneumatski sistem koji se sastoji od kaskadne veze dva
pneumatska sistema sa slike 2.16.
Analogna elektrina mrea pneumatskog sistema sa slike 2.16.2 prikazana je na
slici 2.16.3.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
47
Na osnovu slike 2.16.3 mogu se napisati sledee jednaine:
)t(qR)t(p)t(p 11i = (2.16.10) )t(qR)t(p)t(p 22o = (2.16.11)
)t(q)t(qdt
)t(dpC 211 = (2.16.12)
)t(qdt
)t(dpC 2
o2 = (2.16.13)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:
)s(QR)s(P)s(P 11i = (2.16.14) )s(Q)s(Q)s(PsC 211 = (2.16.15)
)s(QR)s(P)s(P 22o = (2.16.16) )s(Q)s(PsC 2o2 = (2.16.17)
Na osnovu jednaina od (2.16.14) do (2.16.17) moe se formirati graf toka signala za kolo
sa slike 2.16.3.
Od Pi(s) do Po(s) postoji samo jedna direktna putanja pojaanja:
212121 RRCCs
1)s(P =
Kruna pojaanja zatvorenih putanja su:
1111 RsC
1)s(P = , 21
21 RsC1)s(P = ,
2231 RsC
1)s(P = .
Krune putanje P11(s) i P31(s) se meusobno ne dodiruju. Tada je:
2121212 RRCCs
1)s(P =
Determinanta graf toka signala je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
48
21212
21212
111222
21212
222111
RRCCsRRCCsRsCRsCRsC1
RRCCs1
RsC1
RsC1
RsC11)s(
++++=
=++++=
Direktna putanja dodiruje sve zatvorene putanje. Zbog toga je 1 = 1. Prenosna funkcija sistema sa slike 2.16.2 je:
21212
111222
11
i
o
RRCCsRsCRsCRsC11P
)s(P)s(P
)s(G ++++=== (2.16.18)
2.17) Termiki sistem sa toplotnom izolacijom rezervoara prikazan je na slici 2.17. Smatrati
da nema akumulirane energije u izolatoru i da se tenost u rezervoaru idealno mea, odnosno
da su temperature tenosti u rezervoaru i tenosti na izlazu iste i da je toplotni kapacitet
metalnog grejaa G zanemarljivo mali. Promenjive sistema su:
1 temperatura hladne tenosti na ulazu rezervoara (oC); 2 temperatura zagrejane tenosti na izlazu rezervoara (oC); q toplotni protok koji obezbeuje greja (J/s);
q1 toplotni protok koji je posledica uticaja hladne tenosti na ulazu rezervoara (J/s);
q2 toplotni protok koji je posledica isticanja tople tenosti na izlazu rezervoara (J/s);
Definisati termiku otpornost i termiki kapacitet. Formirati strukturni blok dijagram i
izraunati prenosnu funkciju sistema, smatrajui temperaturu 1(t) i toplotni protok q(t) za ulazne promenjive, a temperaturu 2(t) za izlaznu promenjivu sistema. Toplotni protoci q1(t) i q2(t) su: )t(cn)t(q 11 = i )t(cn)t(q 22 = , gde je c specifini toplotni kapacitet tenosti, a n maseni protok tenosti.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
49
Reenje:
Termika otpornost R definisana je relacijom:
)t(q)t(R = (2.17.1)
Termiki kapacitet definisan je relacijom:
)t(qdt
)t(dC = (2.17.2) Iz definicije za termiku otpornost izolacije R moe se nai toplotni protok u jedinici
vremena kroz izolaciju:
R)t()t()t(q 12i
= (2.17.3) Iz definicije za termiki kapacitet C moe se nai toplotni protok u jedinici vremena kroz
tenost:
dt)t(dC)t(q 2T
= (2.17.4) Jednaina ravnotee toplotnog protoka tenosti u jedinici vremena je:
)t(q)t(q)t(q)t(q)t(q Ti21 ++=+ (2.17.5) odnosno:
dt)t(dC
R)t()t()t(cn)t(q)t(cn 21221
++=+ (2.17.6) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.17.5) postaje:
)s()cnR1()s(RQ)cnRsRC1)(s( 12 ++=++ (2.17.7) odnosno:
)s(cnRsRC1
cnR1)s(QcnRsRC1
R)s( 12 ++++++= (2.17.8)
Na osnovu jednaine (2.17.8) moe se formirati sledei strukturni blok dijagram sistema:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
50
2.18) Za hidraulini sistem sa slike 2.18 promenjive sistema su:
Q stacionarna vrednost ulaznog i izlaznog protoka fluida (m3 / s)
q1 mala varijacija protoka fluida na ulazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)
q2 mala varijacija protoka fluida na izlazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)
h mala varijacija nivoa fluida u odnosu na stacionarnu vrednost (m)
Definisati hidraulinu otpornost R ventila u sluaju laminarnog strujanja fluida i hidraulini
kapacitet C rezervoara. Izvesti prenosnu funkciju sistema. Koristei dobijene jednaine, za
dva kaskadno povezana sistema sa slike 2.18, formirati strukturni blok dijagram i njegovom
sukcesivnom redukcijom odrediti funkciju prenosa sistema.
Reenje:
Izmeu protoka fluida i nivoa fluida u rezervoaru, kod laminarnog kretanja, postoji veza:
)t(Kh)t(q = (2.18.1) Hidraulina otpornost ventila definisana je relacijom:
)t(q)t(h
K1
)t(dq)t(dhR === (2.18.2)
Na osnovu relacije (2.18.2) sledi da je hidraulina otpornost izlaznog ventila:
)t(q)t(hR
2= (2.18.3)
Hidraulini kapacitet rezervoara je:
R)t(h)t(q)t(q)t(q
dt)t(dhC 121 == (2.18.4)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.18.4) postaje:
)s(RQ)s(H)sRC1( 1=+ (2.18.5) Prenosna funkcija hidraulinog sistema sa slike 2.18 je:
sRC11
)s(QR
)s(H
)s(Q)s(Q)s(G
11
2+=== (2.18.6)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
51
Na slici 2.18.1 prikazana je ekvivaletna elektrina mrea kola sa slike 2.18.
Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.18.1 dobija se:
)t(i)t(idt
)t(duC 21
C =+ (2.18.7)
)t(i)t(u
R2
C= (2.18.8)
Poreenjem jednaina (2.18.3) i (2.18.4) sa jednainama (2.18.7) i (2.18.8) vidi se da su
matematiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RC kola i analognog hidraulinog
sistema sa slike 2.18 identini, i da su analogne fizike promenjive i parametri:
CCRR
)t(q)t(i
)t(h)t(uC
Na slici 2.18.2 prikazana je hidraulini sistem koji se sastoji od kaskadne veza dva
hidraulina sistema sistema sa slike 2.18.
Na osnovu definicije hidrauline otpornosti mogu se napisati sledee jednaine:
)t(q)t(h)t(hR 211
= (2.18.9)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
52
)t(q)t(hR
2
22 = (2.18.10)
Na osnovu definicije hidraulinog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledee
jednaine:
)t(q)t(qdt
)t(dhC 111 = (2.18.11)
)t(q)t(qdt
)t(dhC 222 = (2.18.12) Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:
)s(H)s(H)s(QR 211 = (2.18.13) )s(H)s(QR 222 = (2.18.14)
)s(Q)s(Q)s(HsC 111 = (2.18.15) )s(Q)s(Q)s(HsC 222 = (2.18.16)
Na osnovu prethodnih jednaina mogu se formirati sledei blok dijagrami koji su
prikazani na slici 2.18.3:
Na osnovu slike 2.18.3 moe se formirati strukturni blok dijagram sistema sa slike 2.18.4.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
53
Premetanjem povratne sprege iza bloka 2R
1 i diskriminatora isped bloka 1sC
1 , dijagram
sa slike 2.18.4. postaje:
Korienjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu blok dijagram sa slike 2.18.5
postaje:
Sa slike 2.18.7 se vidi da je prenosna funkcija sistema sa slike 2.18.2:
21212
212211
2122111
2
RRCCsRsCRsCRsC11
RsC)RsC1)(RsC1(1
)s(Q)s(Q)s(G
++++=
=+++== (2.18.17)
Analogna elektrina mrea hidraulinog sistema sa slike 2.18.2. prikazana je na
slici 2.18.8.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
54
Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.18.8 dobija se:
0)s(QsC
1)s(QsC
1sC1R)s(Q
sC1
2221
111
=
+++ (2.18.18)
0)s(QsC
1R)s(QsC
12
22
2=
++ (2.18.19)
Iz jednaina (2.18.18) i (2.18.19) dobija se prenosna funkcija:
21212
212211 RRCCsRsCRsCRsC11)s(G ++++= (2.18.20)
2.19) Na slici 2.19 prikazan je priguiva koji se koristi u sistemu regulacije. Odrediti
funkciju prenosa sistema ako je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.
Poznato je: A povrina klipa priguivaa, gustina fluida, K koeficijenat elastinosti opruge, R hidraulina otpornost. Promenjive sistema su: A[p2(t) p1(t)] sila pritiska koja
deluje na klip priguivaa, q(t) maseni protok fluida.
Reenje:
Iz definicije za hidraulinu otpornost ventila dobija se:
)t(q)t(p)t(p
R 12= (2.19.1)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
55
Iz uslova ravnotee sile koja deluje na klip priguivaa i sile napregnute opruge dobija se:
[ ] )t(KxA)t(p)t(p 212 = (2.19.2) Maseni protok q(t) moe se izraziti preko zapreminskog protoka
dt)t(dV)t(qV =
jednainom:
==dt
)t(dxdt
)t(dxA)t(q)t(q 21V (2.19.3)
Iz prethodnih jednaina dobija se:
)t(xARK
dt)t(dx
dt)t(dxA
R)t(p)t(p)t(q 22112 =
== (2.19.4)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.19.4) postaje:
[ ] )s(XARK)s(X)s(XAs 221 = (2.19.5)
Prenosna funkcija sistema je:
RAKs
s
RAsK1
1)s(X)s(X)s(G
221
2
+=
+== (2.19.6)
Na osnovu jednaine (2.19.6) moe se formirati strukturni blok dijagram sistema:
2.20) Realizacija proporcionalnog pneumatskog regulatora prikazan je na slici 2.20. Gas
konstantnog pritiska p1 uvodi se kroz priguni prsten konstantnog pneumatskog otpora u cev
na ijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle
prolaska gasa kroz priguni prsten dolazi do pada pritiska i izlazni pritisak p2(t) je manji od
pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja izmeu mlaznika i zazora menja se izlazni
pritisak. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui pritisak p2(t) za izlaznu promenjivu,
a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da izmeu izlaznog pritiska
p2(t) i pomeraja zazora vai linearna zavisnost.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
56
Reenje:
Kako je sistem linearan vai:
)t(Kx)t(p2 = (2.20.1) gde je K konstanta proporcionalnosti.
Veza izmeu pomeraja leptira x(t) i pomeraja zazora e(t) je:
)t(eba
b)t(x += (2.20.2) Iz jednaina (2.20.1) i (2.20.2) sledi da je:
)t(eba
Kb)t(p2 += (2.20.3) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.20.3) postaje:
)s(Eba
Kb)s(P2 += (2.20.4) Prenosna funkcija sistema je:
baKb
)s(E)s(P
)s(G 2 +== (2.20.5)
2.21) Realizacija proporcionalnog integralno diferencijalnog pneumatskog regulatora
prikazan je na slici 2.21. Gas konstantnog pritiska pi uvodi se kroz priguni prsten
konstantnog pneumatskog otpora u cev na ijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram
koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle prolaska gasa kroz priguni prsten dolazi do pada
pritiska i izlazni pritisak po(t) je manji od pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja
izmeu mlaznika i zazora menja se izlazni pritisak. Ova promena se kroz ventil konstantnog
pneumatskog otpora R1 prenosi na pritisak p1(t) u mehu 1 kapaciteta C1, a kroz ventil
konstantnog pneumatskog otpora R2 prenosi na pritisak p2(t) u mehu 2 kapaciteta C2, to
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
57
dovodi do rezultujeeg pomeraja x2(t) njihove zajednike povrine A. Ovaj pomeraj se preko
leptira prenosi na promenu rastojanja x1(t) zazora od mlaznika. Formirati strukturni blok
dijagram i odrediti parametre regulacije sistema uzimajui pritisak po(t) za izlaznu
promenjivu, a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da izmeu izlaznog
pritiska po(t) i pomeraja zazora vai linearna zavisnost.
Reenje:
Kakoje sistem linearan vai:
)t(Kx)t(p 1o = (2.21.1) gde je K konstanta proporcionalnosti.
Veza izmeu pomeraja leptira i pomeraja zazora moe se nai sa slike 2.21. Za male
pomeraje )t(x1 vai:
)t(x)t(xb
)t(eba
11 ++ (2.21.2)
)t(xa
)t(xba
12 + (2.21.3)
Iz jednaina (2.21.2) i (2.21.3) sledi da je:
)t(xba
a)t(eba
b)t(x 21 ++= (2.21.4) Iz definicija za otpornost ventila dobija se:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
58
)t(q)t(p)t(pR
1
1o1
= (2.21.5)
)t(q)t(p)t(pR
2
2o2
= (2.21.6)
Iz definicije za kapacitet komore dobija se:
)t(qdt
)t(dpC 111 = (2.21.7)
)t(qdt
)t(dpC 222 = (2.21.8)
Iz uslova ravnotee sile pritiska koja deluje na povrinu A meha [ ]A)t(p)t(p 12 i sile elastinosti meha )t(xK 2m , gde je Km koeficijenat elastinosti omotaa meha, sledi da je:
[ ] )t(xKA)t(p)t(p 2m12 = (2.21.9) Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:
)s(PK1)s(X o1 = (2.21.10)
)s(Xba
a)s(Eba
b)s(PK1)s(X 2o1 ++== (2.21.11)
1
1o1 R
)s(P)s(P)s(Q = (2.21.12)
2
2o2 R
)s(P)s(P)s(Q = (2.21.13)
1
1o111 R
)s(P)s(P)s(Q)s(PsC == (2.21.14)
odnosno:
)s(PCsR1
1)s(P o11
1 += (2.21.15)
2
2o222 R
)s(P)s(P)s(Q)s(PsC == (2.21.16)
odnosno:
)s(PCsR1
1)s(P o22
2 += (2.21.17)
[ ] )s(PCsR1
1CsR1
1KA)s(P)s(P
KA)s(X o
1122m12
m2
++== (2.21.18)
Iz jednaina (2.21.11) i (2.21.18) sledi da je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
59
)s(P)RsC1)(RsC1(
RsCRsCKA
baa)s(E
bab)s(P
K1
o2211
2211
mo ++
++= (2.21.19)
odnosno:
)s(Eba
Kb)s(P)RsC1)(RsC1(
RsCRsCKA
baKa1 o
2211
2211
m +=
++++ (2.21.20)
Prenosna funkcija sistema je:
)RsC1)(RsC1(RsCRsC
KA
baKa1
baKb
)s(E)s(P)s(G
2211
2211
m
o
++++
+== (2.21.21)
Na osnovu jednaine (2.21.21) moe se formirati strukturni blok dijagram sistema:
U normalnom reimu rada sistema vai: )RsC1)(RsC1(
RsCRsCKA
baKa1
2211
2211
m ++++ >>1, i
jednaina (2.21.21) postaje:
1211
2211moRsCRsC
)RsC1)(RsC1(aA
bK)s(E)s(P
)s(G ++= (2.21.22)
Ako se R1 i R2 podese tako da je R1>>R2, tada je R1C1>>R2C2. Jednaina (2.21.22) postaje:
+++=++ 22
11
22
11
m
11
2211m RsCRCRC
1RsC
1aA
bKRsC
)RsC1)(RsC1(aA
bK)s(G (2.21.23)
Kako je 0RCRC
11
22 , prenosna funkcija sistema je:
s1KsKK
s1s1k
RsC1RsC1
aAbK
)s(G IDPI
D11
22m ++=
++=
++ (2.21.24)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
60
gde su:
aAbKk m=
22D CR= diferencijalna vremenska konstanta sistema 11I CR= integralna vremenska konstanta sistema
bAaKK mP = proporcionalna konstanta regulatora
22m
DD CRaAbKkK == diferencijalna konstanta regulatora
11
m
II CR
1aA
bKkK == integralna konstanta regulatora
Iz jednaine (2.21.24) sledi da pod navedenim uslovima sistem sa slike 2.21 predstavlja
proporcionalno integralno diferencijalni regulator (PID) nultog reda.
2.22) Realizacija diferencijalnog regulatora preko idealnih operacionih pojaavaa prikazana
je na slici 2.22. Odrediti prenosnu funkciju sistema i parametre regulacije uzimajui napon
u1(t) za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.
Reenje:
Prenosna funkcija kola sa slike 2.22 je:
)s(U)s(U)s(G
1
2= (2.22.1)
Sa slike 2.22 se vidi da je:
R)s(U
R2)s(U a1 = (2.22.2)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
61
R)s(U
)s(sCU2R
)s(U)s(U aa
ab += (2.22.3) Iz jednaina (2.22.2) i (2.22.3) sledi da je:
)s(U)sRC1()s(U 1b += (2.22.4) Izlazni operacioni pojaava igra ulogu sabiraa. Izlazni napon je:
)s(sRCU)s(U)s(U)s(U 1b12 == (2.22.5) Iz jednaine (2.22.5) sledi da je prenosna funkcija sistema:
sKsRC)s(G D == (2.22.6) gde je RCK D = diferencijalna konstanta regulatora
2.23) Elektronsko izvoenje proporcionalno diferencijalnog sistema prikazano je na slici
2.23. Izraunati prenosnu funkciju i formirati strukturni blok dijagram uzimajui napon u1(t)
za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.
Reenje:
Sa slike 2.23 se vidi da je:
[ ])t(u)t(uK)t(u 312 = (2.23.1) )t(u
dt)t(du
RCdt)t(iC1)t(Ri)t(u 3
32 +=+= (2.23.2)
gde je:
dt)t(duC)t(i 3= (2.23.3)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednaine (2.23.1) i (2.23.2) postaju:
[ ])s(U)s(UK)s(U 312 = (2.23.4) ( ) )s(UsRC1)s(U 32 += (2.23.5)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
62
Eliminacijom napona U3(s) iz jednaina (2.23.4) i (2.23.5) dobija se:
)s(KUsRC1K1)s(U 12 =
++ (2.23.6)
Prenosna funkcija sistema sa slike 2.23 je:
1KRCs1
sRC11K
K
sRC1K1
K)s(U)s(U)s(G
1
2
++++=
++== (2.23.7)
Na osnovu jednaine (2.23.7) moe se formirati sledei strukturni blok dijagram sistema:
2.24) Za jednosmerni motor sa optereenjem sa slike 2.24 izraunati:
a) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G
s
o= , kada se motor upravlja strujom u statoru
b) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G
r
o= , kada se motor upravlja strujom u rotoru
Rs i Ls su otpornost i induktivnost statorskog kola, a Rr i Lr otpornost i induktivnost namotaja
rotora. Jm i Bm su moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja osovine rotora, a Jo i Bo
moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja optereenja. Sa N je oznaen prenosni odnos
mehanikog reduktora.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
63
Reenje:
Pokretaki momenat motora je Mm(t) je:
)t(Mdt
)t(dBdt
)t(dJ)t(M *omm2m
2
mm ++= (2.24.1)
gde je )t(M*o momenat optereenja posmatran ispred mehanikog reduktora. Izmeu ugaonih
brzina i momenata optereenja pre i posle mehanike redukcije postoji veza:
dt)t(d
Ndt
)t(d om = (2.24.2)
+==
dt)t(dB
dt)t(dJ
N1)t(M
N1)t(M oo2
o2
oo*o (2.24.3)
Iz prethodnih jednaina dobija se:
+++=
dt)t(d
)BNB(dt
)t(d)JNJ(
N1)t(M om
2o2
o2
m2
om (2.24.4)
odnosno:
dt)t(dB
dt)t(dJ)t(NM)t(M o2
o2
m+== (2.24.5)
gde su:
m2
o JNJJ += ukupan momenat inercije sveden na osovinu motora
m2
o BNBB += ukupno viskozno trenje svedeno na osovinu motora M(t) momenat optereenja sveden na osovinu motora
Prema jednaini (2.24.5) sistem sa slike 2.24 moe se zameniti ekvivalentnim sistemom
prikazanim na slici 2.24.1.
Fluks proizveden strujom statora u prostoru izmeu namotaja statora i rotora je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
64
)t(iK)t( s1= (2.24.6) Pokretaki momenat motora Mm (t) je linearno zavisi od proizvoda izmeu fluksa )t( i struje rotora )t(ir , odnosno:
)t(i)t(iKK)t(i)t(K)t(M rs21r2m == (2.24.7) a) Ako se motor upravlja strujom statora, tada je struja rotora ir konstantna. Pokretaki
momenat motora je tada:
)s(IK)s(M ssm = (2.24.8) odnosno, prema jednaini (2.24.5)
)s(NIK)s(M ss= (2.24.9) Jednaine elektrine ravnotee ulaznog kola i mehanike ravnotee izlaznog kola su:
)s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.24.10) 0)s()BsJ(s)s(NIK oss =++ (2.24.11)
Jednaina (2.24.11) izraava mehaniku ravnoteu pokretakog momenta motora i
ekvivalentnog momenta optereenja na izlaznoj osovini motora. Prenosna funkcija sistema je:
)1s)(1s(sK
)BsJ)(RsL(sNK
)s(U)s()s(G
mess
s
s
o++=++=
= (2.24.12)
gde su:
)BNB(RNK
BRNKK
m2
os
s
s
s
+== pojaanje sistema
s
se R
L= elektrina vremenska konstanta sistema
m2
o
m2
om BNB
JNJBJ
++== mehanika vremenska konstanta sistema
b) Ako se motor upravlja strujom rotora, tada je struja statora is konstantna. Pokretaki
momenat motora je tada:
)s(IK)s(M remm = (2.24.13) odnosno, prema jednaini (2.24.5):
)s(NIK)s(M rem= (2.24.14) Za razliku od sluaja kada se motor upravlja strujom statora, kod koga se prenosi samo
uticaj od elektrinog ka mehanikom kolu, kod motora koji se upravlja strujom u rotoru,
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
65
postoji i uticaj mehanikog kola na elektrino preko elektromotorne sile um(t) koja se, usled
prisustva fluksa proizvedenog konstantnom strujom statora, pri obrtanju rotora indukuje u
rotorskom namotaju. Elektromotorna sila )t(um proporcionalna je ugaonoj brzini rotora:
)s(NsK)s(sK)s(U omemmem == (2.24.15) Jednaine ravnotee su:
)s(U)s(NsK)s(I)RsL( romerrr =++ (2.24.16) 0)s()BsJ(s)s(NIK orem =++ (2.24.17)
Prenosna funkcija sistema je:
)1s2s(sK
]NKK)BsJ)(RsL[(sNK
)s(U)s()s(G 222
meemrr
em
r
o
++=+++== (2.24.18)
gde su:
2meemm
2or
em
2meemr
em
NKK)BNB(RNK
NKKBRNK
K
++=
=+= pojaanje sistema
2meemm
2or
o2
or2
meemr
r
NKK)BNB(R)BNJ(L
NKKBRJL
+++=+= vremenska konstanta sistema
]NKK)BNB(R)[JNJ(L2
)JNJ(R)BNB(L
)NKKBR(JL2
JRBL
2meemm
2orm
2or
m2
orm2
or
2meemrr
rr
++++++=
=++=
koeficijenat priguenja
2.25) Jednosmerni motor upravljan Vard Leonardovom grupom prikazan je na slici 2.25.
Upravljaki napon us (t) prikljuen je na krajeve pobudnog kola generatora G iju osovinu
pokree pomoni motor (nije prikazan na slici) konstantnom ugaonom brzinom . Napon na krajevima generatora ug(t) prikljuen je na krajeve rotora upravljanog strujom u rotoru.
Napon na krajevima generatora direktno je proporcionalan struji u pobudnom kolu, tj.
)t(iK)t(u sgg = . J i B predstavljaju ekvivalentan moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja na izlaznoj osovini motora. Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajui us(t) za
ulaznu promenjivu, a )t(o izlaznu promenjivu sistema.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
66
Reenje:
Vard Leonardova grupa je skup maina koju ine generator G, motor M i pomoni
motor koji okree osovinu generatora konstantnom ugaonom brzinom. Jednaine elektrine
ravnotee sistema sa slike