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Apresentação sobre as técnicas Arch e Garch de séries temporais com aplicações no mercado financeiro.
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ARCH e GARCH
Alysson Ramos Artuso
INTRODUÇÃO
Modelo não-linear no que se refere à variância, introduzido por Engle (1982).
Muito usado para séries financeiras.
Variância condicional do retorno volatilidade.
NOTAÇÃO
Pt preço de um ativo financeiro no instante t
Xt retorno logarítmico no instante t.
μt = E(Xt | Ft-1)
ht = V(Xt | Ft-1)
Ft-1 é a informação até o instante t-1 que consideramos ser {Xt-1, ..., X1}
1
lnt
tt P
PX
MODELOS NÃO-LINEARES
Xt = g(at-1, at-2,…) + ath(at-1, at-2,…)com at supostos i.i.d.
g(.) representa a média condicional h2(.) representa a variância condicional Se g(.) for não-linear o modelo é não-linear
na média Se h2(.) for não-linear o modelo é não-linear
na variância
EXEMPLOS
Exemplo 1:é um modelo não-linear na média, pois
e h(.) = 1
Exemplo 2: é um modelo não-linear na variância, pois g(.) = 0
e
21 ttt aaX
21(.) tag
21 ttt XaX
21(.) tXh
MODELOS ARCH
Modelo auto-regressivo com heteroscedasticidade condicional (AutoRegressive Condicional Heterocedasticity)
O objetivo era estimar a variância da inflação A idéia básica é que o retorno Xt é não-
correlacionado serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende de retornos passados por meio de uma função quadrática.
Agrupamento da volatilidade
ARCH(r) – DEFINIÇÃO
onde εt é uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância um;
α0 > 0, αi ≥ 0, i > 0
2222
2110 ... rtrttt
ttt
XXXh
hX
ARCH (1)
com α0 > 0, α1 ≥ 0
Média: E(Xt) = 0
Variância: V(Xt) = E(Xt2) = α0 + α1 E(Xt-1
2)
Se o processo for estacionário de segunda ordem:
2110
tt
ttt
Xh
hX
1
0
1)(
tXV
ARCH (1)
Autocovariância: γX(k) = 0, k ≥ 1
Curtose maior que 3 caudas longas
Xt é uma seqüência de variáveis aleatórias não correlacionadas (ruído branco) com média zero e variância
1
0
1)(
tXV
ARCH (1)
Xt2 = htεt
2
Xt2 – ht = htεt
2 – ht
Xt2 – (α0 + α1 Xt-1
2) = ht (εt2 – 1)
Xt2 = (α0 + α1 Xt-1
2) + ht (εt2 – 1)
Xt2 = (α0 + α1 Xt-1
2) + vt
temos um modelo AR(1) para Xt2, mas com
erros não-gaussianos.
TRABALHANDO COM ARCH
Se houver correlação serial na série, ajusta-se um modelo ARMA para removê-la. Nesse caso teremos:
sendo at ~ ARCH (r)
tt aBXB )()( 0
TRABALHANDO COM ARCH
Para verificar se a série apresenta heteroscedasticidade condicional, aplica-se os seguintes testes:
– Teste de Box-Pierce-Ljung para Xt2
– Teste de Multiplicadores de Lagrange de Engel (ML)
TRABALHANDO COM ARCH
Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método da máxima verossimilhança condicional.
A verificação do modelo é feita pelo cálculo da estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt padronizada.
Os programas EViews, SPLUS (módulo S+FinMetrics), PcGIVE e RATS, entre outros, podem ser usados para se trabalhar com modelos ARCH e GARCH.
EXEMPLO
Ajuste um modelo ARCH (1) aos retornos diários (Yt) da série A9 – Petrobrás do livro do Morretin e Toloi (2004). A série pode ser conseguida em http://www.ime.usp.br/pam
Essa série possui observações da ação Petrobrás PN do período de 03/01/1995 até 27/12/2000.
EXEMPLO
Aparente estacionariedade Média em torno de zero Agrupamento de volatilidades (crise do México; crise
da Ásia; moratória russa; desvalorização do Real; queda da Nasdaq)
EXEMPLO
1º passo: ajustar um modelo ARMA (p, q) à série de retornos para eliminar a correlação serial entre as observações.
No EViews 6:
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
ttttt XYYYY 931 0802,00510,00982,0
EXEMPLO
View/ARMA Structure
View/Residual Tests/Correlogram-Q-statistics
View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test
EXEMPLO
2º passo: verificar se os resíduos do modelo apresentam heteroscedasticidade condicional e modelar um ARCH.
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
3º passo: verificar o modelo (estatística de Ljung-Box; teste ML).
23
22
21
1
2708,02373,01938,0004,0
,1604,0
tttt
tttttt
XXXh
hXXYY
EXEMPLO
Estimativa do desvio padrão condicional:
MODELOS GARCH
Generalização do modelo ARCH sugerida por Bollerslev (1986)
Assim como um modelo ARMA pode ser mais parcimonioso que um modelo AR ou MA puro, um modelo GARCH pode apresentar menos parâmetros que um modelo ARCH.
GARCH(r,s) – DEFINIÇÃO
onde εt i.i.d. (0,1)
α0 > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0
, q = max (r,s)
s
jjtj
r
iitit
ttt
hXh
hX
11
20
q
iii
1
1)(
GARCH (r,s)
E(Xt) = 0
Volatilidades altas são precedidas de retornos ou volatilidades grandes.
As caudas de Xt são mais longas do que as da curva gaussiana.
q
iii
tXE
1
02
)(1
)(
GARCH (1,1)
com α0 > 0, α1 ≥ 0, β1 < 1, α1 + β1 < 1
112110
ttt
ttt
hXh
hX
GARCH (1,1)
Assim temos um modelo ARMA para Xt2, mas vt não
é, em geral, um processo i.i.d.
1121110
2 )( tttt vvXX
TRABALHANDO COM GARCH
A identificação da ordem do modelo GARCH é usualmente difícil.
Modelos de ordem baixa, como (1,1), (1,2) ou (2,1).
Escolha baseada em critérios como o AIC, BIC, valores de assimetria e curtose, da log-verossimilhança ou de uma função perda.
TRABALHANDO COM GARCH
Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método de máxima verossimilhança condicional.
A verificação do modelo é feita pelo cálculo da estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt padronizada.
EXEMPLO
Vamos ajustar um modelo AR(1) - GARCH (1,1) aos retornos diários (Yt) da Petrobrás de 14/10/1998 a 22/09/2008 supondo εt ~ N(0,1).
112110
11 ,
ttt
tttttt
hXh
hXXYY
EXEMPLO
121
1
8334,01384,000003,0
,131726,0
ttt
tttttt
hXh
hXXYY
EXEMPLO
Estimativa do desvio padrão condicional: