Cálculo multivariable

1. http://alqua.org/documents/CAL2 Joaquin Retamosa Granado [email protected] http://nuc3.s.ucm.es Pablo M. Garca [email protected]://alqua.orgClculo multivariable versin 0.1 20/10/2007alqua,madeincommunity

2. 2007 Joaquin Retamosa Granado y Pablo M. Garca Corzo Este documento est bajo una licencia Atribucin-No Comercial-CompartirIgual de Creative Commons. Paraver una copia de esta licencia escriba una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco,California 94105, USA o visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/legalcode.en.Las partes del documento que mencionen una licencia distinta se rigen por los trminos de aqulla.CDU 531.5Area ClculoEditores Pablo M. Garca Corzo [email protected] de produccinalfeizar, v. 0.3 del diseo lvaro Tejero Cantero.compuesto con software libre 3. DedicadoA nuestros amigos y familia 4. ndice generalCopyleft IIndice general V1 Geometra y topologa de Rq11.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .11.2 El espacio eucldeo Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .2 1.2.1.Producto escalar y distancia eucldea . . . . . . . .. . . . . . . . .2 1.2.2.Bases ortogonales en Rq . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .7 1.2.3.Volumen de un sistema de vectores . . . . . . . . .. . . . . . . . . 131.3 Clasicacin de los subconjuntos de Rq . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19 1.3.1.Bolas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19 1.3.2.Intervalos en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3.Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Primera toma de contacto con las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Curvas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 29 1.5.1.Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2.Ecuaciones vectoriales y paramtricas de una curva . . . . . . . . . . 321.6 Supercies en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 35 1.6.1.Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6.2.Ecuaciones escalares de una supercie . . . . . . .. . . . . . . . . 371.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 38 1.7.1.Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 39 1.7.2.Coordenadas polares generalizadas . . . . . . . . .. . . . . . . . . 40 1.7.3.Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 41 1.7.4.Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 431.A Caracterizacin de regiones en el plano y el espacio . . . . . .. . . . . . . . . 44 1.A.a.Caracterizacin de regiones en el plano . . . . . . .. . . . . . . . . 45 1.A.b.Caracterizacin de regiones slidas en el espacio. . . . . . . . . 47Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Funciones reales escalares512.1 Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Representacin grca de funciones escalares . . . .. . . . . . . . . . . . . . 532.2.1. Grca de una funcin . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 532.2.2. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.3. Secciones de una grca . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 602.3 Lmites y continuidad de funciones escalares . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 622.4 Derivabilidad de una funcin escalar . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 722.4.1. Interpretacin geomtrica de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.A Representacin de supercies cudricas . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 822.A.a Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83V 5. VINDICE GENERAL2.A.b Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .852.A.c Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .882.A.d El Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .902.A.e El paraboloide elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .922.A.f El paraboloide hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .94 2.B Caracterizacin de regiones delimitadas por supercies cudricas . . . . . . . .96 2.C Algunos trucos para el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1002.C.a Lmites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.C.b Clculo de lmites en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 102 3 Diferenciabilidad de las funciones escalares 107 3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . 107 3.2 Denicin de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . 110 3.3 Propiedades de las funciones escalares diferenciables . . .. . . . . . . . . . . 113R 3.4 Propiedades del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119 3.5 Plano tangente y recta normal a una supercie . . . . . . .. . . . . . . . . . . 123 O 3.6 Algunos teoremas de las funciones diferenciables . .. . .. . . . . . . . . . . 1283.6.1.El teorema del valor medio . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1283.6.2.La regla de la cadena . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . 129D3.6.3.Diferenciacin implcita . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1343.6.4.Funciones continuamente diferenciables .A. . .. . . . . . . . . . . 1353.6.5.Desarrollo nito de Taylor . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 137 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 142R 4 Funciones vectoriales145 4.1 Denicin de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145R 4.2 Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.2.1.Lmites y continuidad de las funciones vectoriales. . . . . . . . . . 1474.2.2.Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . .. . . . . . . . . . 151BO 4.3 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3.1.Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1594.3.2.Representacin grca de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 1604.3.3.Gradiente, divergencia y rotacional de un campo . . . . . . . . . . . 1614.3.4.Interpretacin de la divergencia y el rotacional . .. . . . . . . . . . 1624.3.5.Algunas relaciones bsicas del operador . . . . . . . . . . . . . . 1654.3.6.Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166 4.4 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1684.4.1.Derivadas de una trayectoria . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1694.4.2.Curvas suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.5 Integrales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1774.5.1.Particin y medida de un arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.5.2.Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1784.5.3.Integrales de lnea y arco . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1804.5.4.Inuencia de la orientacin de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.5.5.Integrales de lnea de campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 185 4.A Curvatura y sistema intrnseco de una curva . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1884.A.a Denicin de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1894.A.b Triedro intrnseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 195Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 6. NDICE GENERALVII5 Extremos de las funciones escalares 1975.1 Denicin de extremo local o relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.2 Condicin necesaria de extremo local . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1995.3 Condicin suciente de extremo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 203 5.3.1.Desarrollo de Taylor alrededor de un punto crtico . . . . . . . . . . 203 5.3.2.La diferencial segunda como forma cuadrtica . . . . . . . . . . . . 204 5.3.3.Criterio de suciencia de la diferencial segunda . . . . . . . . . . . . 205 5.3.4.Criterio de la diferencial segunda en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.4 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2105.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 213Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219El proyecto libros abiertos de Alqua221Otros documentos libres 226RODARRBOClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 7. Tema 1Nociones sobre la geometra y topologa de Rq1.1 Introduccin Uno de los conceptos fundamentales de las matemticas es el nmero. Introducido en la an-tigedad, el concepto se ha ido generalizando y profundizando con el tiempo. El nmero esesencial en el desarrollo de diversas disciplinas como la Fsica, la Qumica, la Economa o laInformtica. Las magnitudes fsicas1 estn denidas por un valor numrico, un error (tambinnumrico) asociado a las limitaciones del proceso de medida y una unidad adecuada a su dimen-sin. Las matemticas estudian las magnitudes haciendo abstraccin de su naturaleza y de comohan sido medidas, es decir, no tienen en consideracin unidades o posibles errores. De forma ge-nrica consideraremos que los valores numricos carecen de dimensiones y en los pocos casosen que les asociemos una dimensin no utilizaremos un sistema de unidades concreto. El cero, los nmeros naturales N y sus opuestos constituyen el conjunto de los nmeros en-teros Z. Todas las razones de dos nmeros enteros p/q (con q = 0) dan lugar a los nmerosracionales que se denotan por Q. Los nmeros enteros son un subconjunto de los racionales,Z Q, ya que cualquier entero p se puede escribir como la razn p/1 de dos nmeros en-teros. Los nmeros fraccionarios se pueden representar por fracciones nitas o por fraccionesperidicas innitas; por ejemplo5 10= 2.5, = 3.333 . . .2 3 Existen adems nmeros en forma de fracciones indenidas aperidicas que se denominanirracionales. Ejemplos de estos nmeros sonn12, lm 1+. nnLa unin de mbos tipos de nmeros, racionales e irracionales, da lugar al conjunto de losnmeros reales R. Los nmeros reales estn ordenados: para cualquier par x e y se cumple unay slo una de las siguientes relaciones x < y, x = y, x > y. Otro hecho importante es que R puede representarse geomtricamente como una recta. Sellama recta real o eje nmerico a una recta innita en la que se han establecido: i) un origen quese denota habitualmente como O, ii) un sentido positivo (sealizado mediante una echa) y iii)una escala para medir longitudes. Normalmente la recta real se representa en posicin horizontaly se considera positivo el sentido izquierda-derecha. Cuando x es positivo se representa medianteun punto P situado a la derecha de O y a una distancia d(O, P ) = x. Si es negativo se lerepresenta por un punto Q situado a la izquierda de O y a una distancia d(O, P ) = x. El cerocorresponde al propio origen O. Por este mtodo cada nmero real x est representado por un punto P de la recta real. Diremosque el valor numrico x (incluyendo el signo) es la distancia orientada del punto P al origen.1Elegimos este ejemplo ya que el curso est orientado a los alumnos de la Licenciatura en Fsica. 1 8. 2 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ PXX0 Figura 1.1: La recta realLa relacin es biunvoca: dos puntos distintos caracterizan nmeros reales distintos. Y por ellolos trminos nmero real y punto del eje real son sinnimos y as los utilizaremos. En lo que sigue utilzaremos las siguientes propiedades de los nmeros reales, que aceptaremossin demostracin:R 1. Dados dos nmeros reales arbitrarios x < y, existen nmeros reales z, tanto racionalescomo irracionales, que verican que x < z < y.O 2. Todo nmero irracional se puede expresar con grado de precisin arbitrario mediantenmeros racionales.1.2 El espacio eucldeo RqD AR1.2.1 Producto escalar y distancia eucldea De forma anloga existe una correspondencia biunvoca entre los puntos de un plano y pares Rordenados de nmeros reales, que reciben el nombre de coordenadas del punto. Consideremosdos rectas perpendiculares situadas sobre el plano a las que llamaremos ejes coordenados X e BOY ; elegiremos su interseccin O como origen de coordenadas, deniremos sobre mbos ejesuna escala adecuada y asociaremos el origen de coordenadas con el par (0, 0). Dado un puntoP trazamos dos segmentos que pasan por l y son perpendiculares a los ejes. Sus interseccionescon los ejes denen dos puntos a los que corresponden valores numricos x0 e y0 , tal como semuestra en la gura 1.2. Los dos nmeros del par ordenado (x0 , y 0 ) se denominan coordenadascartesianas del punto P .y y0 Px x0Figura 1.2: Coordenadas cartesianas en el planoLos puntos en el espacio se caracterizan de forma similar mediante ternas de nmeros realesordenados. Elijamos tres rectas perpendiculares entre s, que se cortan en un punto del espacio.Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 9. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ 3Las tres rectas reciben el nombre de ejes coordenados X, Y y Z y su interseccin O el nombrede origen de coordenadas. Denimos una escala adecuada sobre los tres ejes coordenados yasociamos la terna (0, 0, 0) al origen de coordenadas. Dado un punto P procedemos como antes:trazamos segmentos que pasan por dicho punto y son perpendiculares a los ejes coordenados;sus intersecciones con dichos ejes denen tres puntos caracterizados por los nmeros x0 , y0 yz0 , que reciben el nombre de coordenadas cartesianas del punto P .La eleccin de los ejes X, Y y Z es arbitraria a excepcin de las dos reglas siguientes:R 1. Los tres ejes son perpendiculares entre s. O D A 2. Su sentido positivo queda establecido por los dedos pulgar, ndice y corazn de la manoderecha situada sobre la terna de ejes.RRBO$z$ $z_0$ bf P$y$$y_0$ $x_0$ $x$Figura 1.3: Coordenadas cartesianas en el espacioCuando se introduce el concepto de distancia eucldea entre dos puntos, la recta, el plano y elClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 10. 4TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQespacio son ejemplos particulares de lo que se llaman espacios eucldeosDenicin 1.1 (Espacio Eucldeo)El espacio eucldeo (q dimensional) Rq , con q N, es el conjunto formado portodas la sucesiones = (x1 , x2 , , xq ) de q nmeros reales.xUn elemento de Rq se denomina frecuentemente un punto en Rq ; R1 , R2 yR3 se denominan la recta, el plano y el espacio respectivamente. Los nmerosx1 , x2 , , xq son las coordenadas cartesianas de . RxLos elementos de Rq se denominan tambin vectores en Rq , ya que este espacio es Oun espacio vectorial con las operaciones usuales: + = (x + y , x + y , , x + y ), x y 1 1 2 2 q qD = (x1 , x2 , , xq ),xy por tanto tambin ser correcto denominar a los nmeros x1 , x2 , , xq compo-nentes del vector .xAEn este espacio se introducen los conceptos de producto escalar de dos vectoresRq , x yxi yi ,Ri=1y se denen la norma eucldea de un vector Rq x BO x , = x xx2 ,iiy la distancia entre dos elementos de Rqd , x y = yx(xi yi )2 iEn el caso particular de R la norma coincide con el valor absoluto, es decir, x =|x| y por tanto d (x, y) = |x y|.Dado que la norma y la distancia se denen de forma subsidiaria al producto escalar de dosCurso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 11. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ5elementos de Rq , todas sus propiedades sern consecuencia directa de las propiedades de ste.Teorema 1.1 (Propiedades del producto escalar)Si , 1 , 2 e , 1 , 2 son elementos del espacio Rq y R, entonces se x x xy y ycumple que: 1. Simetra: , = , , x y y x , = , = , , x y x y x y 2. Bilinealidad: , + = , + , , x y1 y2 x y1 x y2 , = , + , . x1 + x2 yx1 yx2 y 3. Positividad: , 0 y x x , = 0 sys = . x x x 0RDemostracin 1.1q q 1. , = x y i=1 xi yi = i=1yi xi = , , y x 2. En virtud de la propiedad precedente bastar con demostrar que OD , = , , x y x y , + = , + , , Ax y1 y2 x y1 x y2para completar la demostracin del punto 2. En efecto, Rqq , = x y xi yi = xi yi = , x y i=1i=1Rqqq , + = x y 1 2xi y2i = , 1 + , 2 BOy xi (y1i + y2i ) = xi y1i +x yx y i=1i=1i=1 , = q 2 3.x xi=1 xi , y la suma de un nmero nito de sumandos positivos o cero es siemprepositiva o nula; para que la suma sea cero todos y cada uno de los sumandos deben ser nulos.Las propiedades de la norma de un vector se deducen de forma trivial a partir de las ecuacionesenunciadas en el teorema 1.1Teorema 1.2 (Propiedades de la norma)Si , son elementos del espacio Rq y R, entonces x y 1. 0 y x = 0 sys = ,x x0 2. x = || , x 3. , . x y x y + + , 4. xyx yDemostracin 1.2Clculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 12. 6TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQDejando como ejercicio la demostracin de las dos primeras propiedades, nos centraremos en lasdos ltimas. 3. Si son nulos la igualdad se satisface de forma trivial. Supongamos que e son no x y x y = ); entoncesnulos y linealmente dependientes ( yxq q , = x yxi (xi ) = xi = 2 x2= /|| x .y i=1 i=1Por lo tanto , = , x y x ysi > 0, , = < x x y x yy , si < 0.x y y x Si, por el contrario, e son linealmente independientes, es decir, = 0 R, entoncesR0 < = , = 2 + 2 , , 22 2 x yx y xyx yx yEl miembro de la derecha dene una parbola en la variable ; para que dicha parbola no corte alOeje = 0 debe cumplirse que4 , 4 2x y 2 2 < 0, xyDde donde se deduce fcilmente que x < , < . As, cualquiera que y x y x ysea el caso la propiedad 3 es correcta. + 2 = + , + = 2 + 2 + 2 , 4. x y xx2y xy2yx + +2 = + 2. xy yxA x yyCalculando la raiz cuadrada positiva de esta relacin obtenemos inmediatamente la propiedad Renunciada en cuarto lugar.R Enunciamos a continuacin las propiedades fundamentales de la distancia eucldea, cuya de- BOmostracin dejamos como ejercicio para el lector Teorema 1.3 (Propiedades de la distancia eucldea) Bajo las mismas condiciones que en el teorema 1.2 se verica 1. d , 0 y d , = 0 sys = , x y x y xy2. d , = d x y , , y x , d 3. d x z , + d , . x y y zEjemplo 1.1 Demostremos que la funcin d1 , = |x1 y1 | + |x2 y2 |, denida en R2 , satisface todas las x ypropiedades de la distancia eucldea y que por tanto es una denicin alternativa de distancia en R2 (lageneralizacin a un nmero arbitrario de dimensiones es inmediata). 1. La positividad de d es evidente: d , = |x y | + |x y | 0. Adems 1 x y11 1 22 d1 , = 0 |x1 y1 | + |x2 y2 | = 0 x y |x1 y1 | = 0 x1 y1 = 0 x1 = y1 =. xy |x2 y2 | = 0 x2 y2 = 0 x2 = y2Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 13. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ7 2. d1 , = |x1 y1 | + |x2 y2 | = |y1 x1 | + |y2 x2 | = d1 , . x y y x 3. d1 , = |x1 y1 | + |x2 y2 | = |x1 z1 + z1 y1 | + |x2 z2 + z2 y2 |, y utilizando x yque |A + B| |A| + |B|, resultad1 , |x1 z1 | + |x2 z2 | + |z1 y1 | + |z2 y2 | = d1 , + d1 , . x y x z z y Una vez que el lector ha aceptado a d1 en el club de las distancias respetables podemos estudiarel aspecto de la circunferencia asociada a la nueva distancia. La denicin general de circunferencia deradio R (centrada en el origen de coordenadas) esC (x, y) R2 . d ( x, y , 0, 0 ) = R ,Ry particularizando para la distancia d1(x, y) R2 . |x| + |y| = R .CPor cuadrantes la expresin precedente se escribe como O DX 1. x > 0, y > 0. x + y = R y = R x. AR 2. x < 0, y > 0. x + y = R y = R + x.R 3. x < 0, y < 0. x y = R y = R x. YR 4. x > 0, y < 0. x y = R y = R + x. BO As, en cada cuadrante la circunferencia coincide con un segmento de recta. Uniendo los cuatro seg-mentos concluimos que la circunferencia es un polgono de cuatro lados perpendiculares entre s y queforman ngulos de 45 grados con los ejes. Figura 1.4: Esto tambin es una circunfernciaClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 14. 8 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ1.2.2 Bases ortogonales en RqEl siguiente teorema muestra que el ngulo interno que forman dos vectores del plano o delespacio est estrechamente ligado a su producto escalar Teorema 1.4 (ngulo entre dos vectores del espacio)Sean y dos vectores del plano o del espacio y [0, ] el ngulo interno que u vforman dichos vectores, entonces se cumple que , = u vu cos . vDemostracin 1.4RAcudimos a la trigonometra para demostrar este teo-z rema. Aplicando la ley de los cosenos al tringulo que tiene un vrtice en el origen de coordenadas y dos deO sus lados adyacentes denidos por los vectores y , u vb b a tal como se muestra en la gura, obtenemosD b a vu2= u2+ v22 u cos . v a yA y por la denicin de norma xR vu2= , u , v u v v 2 = , , v vv2= ,u Figura 1.5: Ley de los cosenosresulta R , = , + , 2 v u vu v v u uu cos .vBOAhora bien , = , + , 2 , , v u vu v v u u u vcon lo cual , + , 2 , = , + , 2 v v u u u v v v u u u cos ,vo lo que es lo mismo , = u vu cos . vSi los vectores y son no nulos podemos despejar u v , u vcos = . uvPara generalizar este resultado utilizamos que cualquiera que sea la dimensin del espacioeuclideo se cumple que (vese la demostracin 1.2 ) x < , < y x yx ,yy si los dos vectores son distintos del vector nulo tenemosCurso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 15. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ9 , x y1 1. xyTeniendo en cuenta que |cos()| 1 y el teorema 1.4 convenimos en denir el ngulo internoque forman dos vectores no nulos comoDenicin 1.2Sean y dos vectores no nulos de Rq ; se dene el agulo interno (agudo) que x yRforman estos dos vectores como , x ycos .x y O DDos vectores no nulos , Rq se dicen ortogonales si el ngulo interno que forman es x y A = /2, lo cual, segn la denicin precedente, implica que , = 0. x y RDenicin 1.3 (Base de Rq )Todo conjunto formado por q vectores de Rq linealmente independientes, Rb i , i = 1, 2, . . . , q , es una base de dicho espacio vectorial. Puede demostrar-se que cualquier vector Rq puede descomponerse de forma nica como unax BOcombinacin lineal de los vectores de la base, es decir q = + + = x i b i ,1b1 2b2q bqi=1donde 1 , 2 , . . . , q son nmeros reales. La combinacin lineal anterior se lla-ma descomposicin del vector segn la base y los nmeros i se denominan xcomponentes (o coordenadas) del vector en la base dada.xEl hecho de que el vector se dena mediante las componentes i (en la base dada) se denotahabitualmente como = ( , , , ) , x 1 2 qy no ser necesario precisar a qu base nos referimos siempre que esto no conduzca a ningnClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 16. 10 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ tipo de ambigedad. Denicin 1.4 (Bases ortogonales) Una base del espacio eucldeo Rq , b i , i = 1, 2, . . . , q , se dice que es ortogonalsi sus vectores son ortogonales entre s dos a dos, es decir b i , b j = 0, si 1 i = j q.Si adems se verica que 1, si i = j,b i , b j = i,j =0, si i = j, Rla base es ortonormal.ODe forma ms fundamental puede demostrarse que todo conjunto de vectores ortogonales entre s dos a dos es siempre un sistema linealmente independiente y que en todo espacio vectorial existen bases ortogonales. DA lo largo de este curso slo consideraremos bases de este tipo lo que nos permite aplicar una variedad de corolarios tiles. Sabemos que todo vector Rq admite una descomposicin x nica q A = R x j b j . j=1 R Multiplicando escalarmente la igualdad anterior por el vector b i resultaq , = 2BOx bi jb j , b i = i b i, j=1 por lo que podemos despejar la componente i , x bii = , i = 1, 2, . . . , q, 2 bi y utilizando la relacin entre el producto escalar de dos vectores y el ngulo que forman xb i cos i cos x i i = = ,2bi bi donde i es el ngulo agudo que forman el vector y el i-simo vector de la base. Si para otrox tiene lugar la descomposicin vector y q = yj b j , j=1 entonces el producto escalar de mbos vectores puede escribirse comoCurso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 17. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ 11qq qq , = 2x yi b i , j b j =i j b i, b j = i i bi . i=1j=1 i,j=1 i=1En particular la norma del vector se escribexq = 2 x 2ibi . i=1Si la base es ortonormal las expresiones anteriores se simplican bastante ya que todas lasnormas se reducen a la unidad, es decirq q xi = , b i , , = x y i i , =x2i .R i=1 i=1Denicin 1.5 (Proyeccin ortogonal) El vectorO D , x bi A P i = i b i = 2 b i,i = 1, 2, . . . , q,bi R se denomina proyeccin ortogonal del vector sobre el vector b i x R Para comprender el signicado del vector P iconsideremos, tal como se muestra en la gura, BO x xlos dos vectores y b i . Trazamos un segmen-to de recta que pasa por el extremo del vector xy que corta perpendicularmente a la recta denidapor el vector b i ; el segmento dirigido que partedel origen de coordenadas y termina en la interseccin es P i . No resulta muy difcil comprobar-i bi lo: el segmento dirigido en cuestin es paralelo al vector unitario b i / b i y tiene como longitud Pi(orientada) cos , esto es xiFigura 1.6: Proyeccion ortogonal cos bi x i = i b i = P i .bi Trabajaremos habitualmente con la base estndar, cuyos elementos se denotan por { i . i = e est dirigido segn el 1, 2, , q}. Se trata de vectores unitarios denidos de tal forma que e isentido positivo del i-simo eje de coordenadas. Los vectores de la base estndar forman pordenicin un sistema ortonormal, esto es, i , j = i,j . Cuando trabajemos en el plano o e een el espacio, los tres vectores de la base estndar 1 , 2 y 3 se denotarn frecuentemente e eeClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 18. 12 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ por los smbolos , y k respectivamente. Tambin es habitual en este caso denotar las coordenadas cartesianas de un punto por x, y, z en lugar de x1 , x2 , x3 .R O D A R Ejemplo 1.2 (ngulos directores de un vector) R BO Llamamos ngulos directores de un vector a los ngulos internos entre ste y los vectores b i de la base. Segn hemos visto en la seccin precedente la descomposicin de un vector en una base se puede expresar comoCurso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 19. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ 13 cos x cos x cos x = xi,2,,q, b1b2bqes decir, cos x ii = ,biy como por otra parte , x bi i =,2biresulta que , R x bi cos i = . xbiObviamente, si la base es ortonormal = x x1x2 x O cos , cos , , cos , q Dy , x bi A cos i = .x Utilizando estas expresiones obtendremos los ngulos directores del vector = (1, 2, 3), en la basex , , . La norma del vector se calcula como = 12 + 22 + 32 = 14. Prosiguiendo Restndar kxcon el clculo tenemosR , = 1 1 1x cos 1 = 1 = cos1 1.30 1414 , = 2 2 2BOx cos 1 = 1 = cos1 1.00 1414 , = 3 x k cos 1 = 3 1 = cos1 3 0.64 14141.2.3 Volumen de un sistema de vectoresComo paso previo a la denicin del (hiper)volumen subtendido por un cierto conjunto devectores de Rq debemos introducir el producto vectorial y el producto mixto.Denicin 1.6 (Producto vectorial en R3 ) Dados dos vectores = (a1 , a2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ), denimos su productoavectorial como el nuevo vector: i j k a2 a3 a a a a i 1 3 j + 1 2 k ab a1 a2 a3 = b2 b3 b1 b3 b1 b2b1 b2 b3Clculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 20. 14 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Conviene notar aqu que la primera identidad tiene un marcado caracter formal y slo adquiere sentido real cuando el determinante se desarrolla por la primera la.Teorema 1.5 (Propiedades del producto vectorial)El producto vectorial de dos vectores del plano o del espacio verica las siguientespropiedades: 1. b = b ; en consecuencia = 0 .aaa a 2. b = a sen , donde es el ngulo agudo que forman losa bdos vectores. Por lo tanto la norma del producto vectorial es igual al rea del paralelogramo subtendida por los vectores y b .a 3. ( ) b = ( b ) = ( b ).aaa 4. ( b + ) = b + .aca a cR a cac 5. ( + b ) = + b .c 6. ( b c ) = , b , b . Oaa c acD Demostracin 1.5Las propiedades 1, 3, 4 y 5 se deducen de forma directa a partir de las propiedades de los determi- A nantes; aconsejamos al lector que utilice sus conocimientos de lgebra (y cierta fuerza de voluntad) para demostrarlas. La demostracin de la ltima propiedad se plantea como problema al nal del captulo, con lo que nos contentaremos aqu con demostrar la propiedad nmero 2. R22 2R ab2=a2 a3+a1a3 + a1 a2 = (a2 b3 a3 b2 )2 + b2 b3 b1b3 b1 b2= (a2 + a2 + a2 )(b2 + b2 + b2 ) (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 (1.1) BO123123 2 2 2 2 2 sen2 = ab , ba = ab Como es el ngulo agudo formado por los dos vectores y sen 0 si [0, ] podemos escribir = ab a b sen .Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 21. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ15No resulta muy arduo convencerse de que el miembro de la derecha nos proporciona el rea del paralelogramo denido por los dos vectores. b Imaginemos tal como muestra la gura, los dos vectores reducidos al origen y completado el paralelogramo mediante otros dos vectores paralelosh a los originales. Si tomamos como base del paralelogramo al vector la altura del mismo vie-a a ne dada trivialmente por b sen con lo cual A = base altura = sen . a b Figura 1.7: rea de un paralelogramoRDenicin 1.7 (Producto mixto en R3 ) Dados tres vectores , b y del espacio, el nmero reala c , , a bcO D se llama producto mixto de , b y (en dicho orden). a cARTeorema 1.6 (Propiedades del producto mixto)Las propiedades bsicas del producto mixto de tres vectores del espacio =aR = (c , c , c ) son: (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) y c 1 2 3a1 a2 a3 BO 1. , = b b b . a bc123c1 c2 c3 2. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cclicas , = , = , . a bc b ca c ab 3. El producto mixto de tres vectores linealmente dependientes o coplanares es nulo, es decir + b , b = 0.aaDemostracin 1.61. La primera propiedad se demuestra de forma directa a partir de la denicin , = a bc ba1 + a2 + a3 k , 2 b3 b1 b3 + b1 b2 k c2 c3 c1c3 c1 c2 a1a2 a3 b2 b3bb3bb2= a1 a2 1 + a3 1 = b1b2 b3 c2 c3c1 c3c1 c2 c1c2 c3Clculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 22. 16 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ 2,3 Estas propiedades se deducen subsidiariamente de la primera utilizando determinantologa elemental. Ejemplo 1.3 Utilizaremos el producto mixto para demostrar que los vectores = (1, 4, 7), b = (2, 1, 4) y a = (0, 9, 18), son coplanares. Utilizando la forma determinantal del producto mixto tenemos c1 4 7 , = 2 1 4 = 0, a b c0 9 18 y de acuerdo con la tercera propiedad del producto mixto deducimos la coplanariedad de los vectores.R Teorema 1.7 (Volumen de un paraleleppedo) OEL producto mixto , b es, salvo un signo, igual al volumen del para- ac leleppedo construido sobre los tres vectores , b y , reducidos a un origena cDcomn.ASegn arma el teorema precedente, el volumen del paraleleppedo construido a partir de los tres vectores = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) y = (c1 , c2 , c3 ) viene dado por acR a1 a2 a3 V () = , a bc= b1 b2 b3 . R c1 c2 c3 BOCurso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 23. 1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ17Demostracin 1.7 Considrese el sistema formado por los tres vectores , y que parten de un mismo punto; dicho siste- b c a b c ma permite construir, tal como se muestra en la gura, un paraleleppedo. Los vectores b y forman la ba-c se del paraleleppedo cuyo rea es A = b . Siha c es el ngulo que forman los vectores a y b c (ortogonal a la base), la altura del paraleleppedo viene dada por h = |cos |. As el volumen se escribe ac b |cos | ,V () = Ah =b c a RFigura 1.8: Volumen de un paraleleppedo ODy aplicando la dencin del coseno del ngulo formado por dos vectores, resultaA , . V () = b c a cos =a bc RRLas deniciones de los productos vectorial y mixto en el espacio, se pueden generalizar sinBOgran dicultad al caso de un espacio de dimensin arbitrariaDenicin 1.8 (Producto vectorial en Rq )Dados q 1 vectores 1 , 2 , q1 pertenecientes a Rq (q 3) se dene su v v vproducto vectorial como e1 e2 eq v11 v12 v1q v 1 2v v q1v21 v22 v2q.. .. .. . .. .. . v(q1)1 v(q1)2 v(q1)qSe trata de una denicin formal cuyo signicado es el siguiente: el vector quedenominamos producto vectorial tiene por componentes los nmeros que resultande desarrollar el determinante anterior por su primera la.Tambin es este caso las propiedades ms importantes del producto vectorial general sonconsecuencia directa de las propiedades de los determinantes; en entre ellas destacaremos lasClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 24. 18TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ que se enuncian en el siguiente teorema Teorema 1.8 (Propiedades del producto vectorial en Rq )1. 1 i j = 1 j i ; v v vvv v en particular, el producto vectorial se anula cuando el mismo vector se repite dos o ms veces2. ( ) v1 v i v q1 = v 1vi .v q1 +v ui3. 1 ( i + i ) = 1 vu v v1v i Las dos ltimas propiedades se puden resumir en una sola que establece la linealidad del producto vectorial en cualquiera de sus argumentosR Denicin 1.9 (Producto mixto en Rq )ODados q vectores 1 , 2 , q pertenecientes a Rq (q 3) se dene su producto v v vmixto como el nmero Dv11 v12 v1qv21A v22 v2q , v1 v2vq . . . ... . . . ... v(q1)1 v(q1)2 v(q1)q R vq1 vq2 vqqRComo en los casos anteriores, las propiedades del producto mixto se obtienen de forma directa a partir de su denicin como un determinanteBO Teorema 1.9 (Propiedades del producto mixto en Rq )1. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cclicas de sus argumentos , = , v1 v2vq vq v1 v q1 .2. El producto mixto es lineal en todos y cada uno de sus argumentos, es decir , ( + ) = , v1 ui vi v1 ui , . + v1viCuando dos vectores del plano se reducen a un mismo punto denen un paralelogramo cuyo rea A podemos obtener utilizando la propiedad 1.5 (2); anlogamente tres vectores del espacio situados sobre el mismo origen denen un paraleleppedo cuyo volumen V viene dado por el teorema 1.7 . En Rq (q > 3), q vectores reducidos a un mismo punto denen un hiperparaleleppedo que contiene un cierto hipervolumen. De ahora en adelante para referirnos de forma indistinta al rea, al volumen o al hipervolumen de una regin utilizaremos la palabra medi-Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 25. 1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 19da , que denotaremos por la letra griega . En su momento deniremos de forma ms precisael concepto de medida de ciertas regiones de Rq ; de momento nos basta con saber que si q = 2,entonces = A, y si q = 3 entonces = V . Denicin 1.10 (Volumen de un hiperparaleleppedo)La medida del (hiper)paraleleppedo formado por los q vectores = (v , v , , v ) vii1 i2 iq i=1,2,...,q (con q 2) se dene como v11v12 v1q v21v22 v2q ()... . .. .... .. v(q1)1v(q1)2 v(q1)q vq1vq2 vqq RCuando q 3 el volumen puede reescribirse como un producto mixto () = , v1 v2 OvqDEjemplo 1.4 A Demostremos que el rea del paralelogramo construido sobre los dos vectores (a1 , a2 ) y (b1 , b2 )viene dada porRa1a2A () =b1b2Comenzaremos transformando los dos vectores en elementos de R3 aadiendo para ellol una terceraRcomponente nula, es decir BO (a , a , 0) , a1 2 b (b1 , b2 , 0) . Sabemos que el rea del paralelogramo es igual a la norma del producto vectorial de los dos vectores,es decir k A () = b =a , a1 a2 0 b1 b2 0y desarrollando el determinante por la primera la a1a2 a1a2 a1 a2A () = k =k =. b1b2b1b2 b1 b21.3 Clasicacin de los subconjuntos de RqClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 26. 20TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ 1.3.1 Bolas en RqLos intervalos unidimensionales, abiertos (a, b) o cerrados [a, b], tienen una gran importancia en el anlisis de la recta real R. En el espacio eucldeo Rq existen subconjuntos que juegan un papel similar al de los intervalos unidimensionales. Los ms importantes son las bolas y los intervalos generalizados en q dimensiones. A modo de ejemplo podemos decir que el concepto de bola nos permitir, en su momento, introducir de manera sencilla los lmites de funciones reales denidas en Rq . Por su parte, los intervalos juegan en la mayor parte de los textos de clculo un papel importante en la denicin de la integral de Riemann en ms de una dimensin. Denicin 1.11 (Bolas en Rq ) Se llama bola abierta de centro 0 Rq y radio > 0 al conjunto: x B 0 , = Rq . d 0 , < . R x x x x Anlogamente se denomina bola cerrada de centro 0 Rq y radio > 0 al xO conjunto:B 0 , = Rq . d 0 , .x x x xD Por ltimo se llama bola reducida de centro 0 Rq y radio > 0 a: x B 0 , = B { 0 } = Rq . 0 < d 0 , < . xx x Ax xRDe ahora en adelate, cuando se arme que una funcin posee determinada propiedad cerca del punto 0 o en la vecindad del punto 0 el lector deber interpretar que existe un radio x x positivo > 0 de tal suerte que en todos los puntos de la bola B 0 , se cumple la propiedad R x mencionada.La gura 1.9 representa tres ejemplos de bolas en el plano. En R2 es habitual denominar dis-BO cos (abiertos, cerrados y reducidos) a las bolas. En la recta real las bolas se reducen a simples intervalos unidimensionales. Introducimos en este ejemplo un convenio que emplearemos habitualmente en el futuro: los discos abiertos se representan mediante lneas discontinuas mientras que los cerrados vienen delimitados por lneas continuas.BB B / x B /x x0 B / B /x x0 B x Bx B / x B Bx x0 B /x BxFigura 1.9: Bolas en el planoCurso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 27. 1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ21Propiedades de las bolas A continuacin enumeraremos sin demostracin algunas de las propiedades ms importantesde este tipo de conjuntos; en lugar de una demostracin nos bastar con mostrar un grcojusticativo.1. Dados 0 , 0 Rq , ( 0 = 0 ), , > 0 . B 0 , B 0 , = x y x y x y x0 Ry0 O Figura 1.10: Propiedades de las bolas 1 D A2. Si 0 Rq y B 0 , , > 0 . B , B 0 , x x x x xRR x0 BOx Figura 1.11: Propiedades de las bolas 21.3.2 Intervalos en RqEl concepto de intervalo se puede generalizarbsin esfuerzo a un nmero cualquiera de dimen-siones de tal suerte que estos subconjuntos guar-den una fuerte similitud con los intervalos de la aClculo II, Grupos A y E en el planoFigura 1.12: IntervaloCurso 2007-2008 28. 22TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQrecta real. Utilizaremos la siguiente denicin Denicin 1.12 (Intervalos en Rq )1. Dados = (a1 , a2 , , aq ) , b = (b1 , b2 , , bq ), ambos pertenecientes aa Rq , se llama intervalo abierto al subconjunto: a I , b = Rq . ai < xi < bi i . xUn intervalo abierto en q dimensiones se puede expresar como el productocartesiano de q intervalos unidimensionales abiertos de la recta real, es decir I , b = (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (aq , bq ). aR2. Anlogamente se denomina intervalo cerrado al subconjunto: O a I , b = Rq . ai xi bi i , xoD I , b = [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [aq , bq ].aAR Ejemplo 1.5 (Primeros ejemplos de intervalos) R Veamos algunos ejemplos sencillos de intervalos en dos dimensiones:BO I ((2, 3), (4, 5)) = (2, 3) (4, 5) = (x, y) R2 . 2 < x < 4, 3 < y < 5 . I ((2, 3), (4, 5)) = [2, 3] [4, 5] = (x, y) R2 . 2 x 4, 3 y 5 . 1.3.3 Conjuntos abiertos, cerrados y compactosDespus de un cuatrimestre de Clculo los conceptos de intervalo abierto y cerrado sern familiares al lector. Es fundamental que generalicemos estos conceptos al caso de subconjuntos genricos de Rq . Nos limitaremos, no obstante, a las cuestiones ms bsicas que utilizaremos a lo largo del curso: d por hecho el lector que los conceptos que vamos a introducir ahora no son ms que la parte visible de un iceberg de conocimiento denominado topologa . Tendremos la oportunidad de comprobar que muchas propiedades de las funciones multivariable, enunciadas como teoremas, slo son vlidas en dominios abiertos; otras por el contrario requieren que el dominio sea cerrado.Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 29. 1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ23Denicin 1.13 (Puntos interiores, exteriores y frontera) Sean un conjunto Rq y su complementario Rq . Dado 0 Rq se dice x que: 1. 0 es un punto interior de si > 0 . B 0 , .x x 2. 0 es un punto exterior de si > 0 . B 0 , Rq .x x es un punto frontera de si > 0 se cumple simultneamente que 3. x0B , x0 = ,B , (Rq ) = . x0 RC OExterior DInterior A Frontera RFigura 1.13: Puntos interiores, exteriores y frontera R De la denicin anterior se deduce que todo punto exterior de es un punto interior de suBOcomplementario Rq . Es importante destacar que en la denicin de punto interior (exterior)de un conjunto basta con que exista una (sola) bola de radio > 0 que satisfaga la condicincorrespondiente para que el punto sea interior (exterior). Por el contrario la denicin de puntofrontera es mucho ms restrictiva; debe cumplirse que, cualquiera que sea el radio, la bola cen-trada en el punto 0 contenga de forma simultnea puntos pertecientes a y puntos que noxpertenecen a dicho conjunto.Denicin 1.14 (Puntos adherentes y de acumulacin) Sea un conjunto Rq y un punto 0 Rq , se dice que:x 1. 0 es un punto adherente de si > 0, B 0 , = .x x es un punto de acumulacin de si > 0, B , = . 2. x x 0 0Las deniciones de punto frontera, adherente y de acumulacin pueden confundirse ya quesus diferencias son sutiles. Un punto 0 es adherente al conjunto si toda bola centrada en 0x xcontiene puntos pertenecientes al conjunto; para que sea frontera debe contener adems puntosque no pertencen a . La distincin entre puntos adherentes y de acumulacin es an ms sutil.Todo punto 0 aislado es un punto adherente (y frontera), pero no lo es de acumulacin yaxque existen bolas centradas en l que slo contienen un punto de : el propio 0 xClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 30. 24 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Una vez clasicados los puntos de Rq en los tipos interior, exterior y frontera con respecto a un determinado conjunto, conviene denir los conceptos de interior, exterior y frontera de dicho conjunto. Denicin 1.15 (Interior, frontera y exterior de un conjunto)Dado un conjunto cualquiera Rq , se denen los siguientes conjuntos relacio-nados: 1. El interior de es el conjunto formado por todos los puntos interiores de, es decir = { Rq . es punto interior de }. x x 2. El exterior de es el conjunto Ex(C) formado por todos los puntos exteriores Rde , es decirO Ex() = { Rq . es punto exterior de }.x x 3. La frontera de es el conjunto formado por todos los puntos frontera deD, es decir x x A C = { Rq . es punto frontera de }. R Una denicin alternativa de Exterior de un conjunto es Ex() = Rq . Los conjuntos , Ex() y son una particin de Rq porque todo punto de Rq es necesariamente una y slo R una de las siguientes cosas: o punto interior de o punto exterior de o punto frontera de ; es imposible que sea simultneamente dos de ellas. De manera ms formal podemos enumerarBO algunas de las propiedades ms importantes de estos conjuntos como sigue Teorema 1.10 (Propiedades de los conjuntos Ex() y ), 1. Los conjuntos Ex() y son disjuntos., 2. R q = Ex() . (frontera incluida)C = C + C C C C Figura 1.14: Interior, frontera y adherenciaCurso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 31. 1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 25La demostracin de las propiedades anteriores se deja para los problemas del tema. Ahoradeniremos la adherencia de un conjunto y su conjunto derivado Denicin 1.16 (Adherencia y derivado de un conjunto) Dado un conjunto cualquiera Rq , denimos tambin los siguientes conjuntos:1. La adherencia de es el conjunto formado por todos los puntos de adherencia de .2. Se denomina conjunto derivado de al conjunto formado por todos los puntos de acumulacin de . Todos punto interior o frontera de un conjunto pertenece a la adherencia del mismo. Asimismolos puntos interiores son puntos de acumulacin del conjunto. Todo punto de acumulacin es unRpunto adherente; sin embargo existen puntos de adherencia que no son de acumulacin: stos sedenominan puntos aislados del conjunto. Teorema 1.11 (Propiedades de y ) OD La adherencia, frontera y derivado de un conjunto Rq verican que:1. = . A2. = .3. = Conjunto de puntos aislados de .R4. . REjemplo 1.6 BODado el siguiente conjunto de puntos del plano = (x1 , x2 ) R2 . x1 = n, n N ,obtenga el interior, la frontera y la adherencia del mismo. Tal como se observa en la denicin est formado por todos los puntos del plano excepto aquelloscuya primera coordenada es un nmero natural (x1 = 1, 2, ). No es dcil darse cuenta que sonprecisamente estos puntos los que constituyen la frontera de : en cualquier entorno de los mismoshay simultneamente puntos que pertencen y que no pertenecen a . El resto de los puntos de R2 , queconstituyen , forman el interior del conjunto ya que siempre podemos encontrar un entorno de losmismos que slo contiene puntos de . Por tanto conjunto e interior del conjunto coinciden en este caso.Adems, el conjunto no contiene puntos aislados por lo que adherencia y conjunto derivados coinciden.As = , = (x1 , x2 ) R2 . x1 = n N , = = R2 .Ejercicio:Dado el conjunto de puntos = (x1 , x2 ) R2 . x1 = 1/n, x2 = 1/m, n, m = 1, 2, . . . ,Clculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 32. 26 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ se propone como ejercicio que el lector encuentre sus puntos interiores, frontera, adherentes y de acumulacin. Finalmente, los conceptos de punto interior, exterior y frontera dan lugar a los de conjunto abierto y de conjunto cerrado, que son se exponen en la denicin 1.18 Denicin 1.17 (Conjuntos abiertos y cerrados) Un conjunto Rq es abierto si todos sus puntos son interiores y ninguno de sus puntos frontera le pertenece, es decir, si = . Por el contrario, un conjunto Rq se dice que es cerrado si tanto sus puntos interiores como sus puntos frontera le pertenecen, es decir, si = . R La gura lateral muestra dos conjuntos en elplano, uno abierto cuya frontera se representa me-Odiante una lnea a trazos, y otro cerrado delimitadopor una lnea continua. Se trata del convenio queCD Cestablecimos para representar discos en el plano,y que de ahora en adelante utilizaremos para re- Abiertopresentar conjuntos genricos del plano abiertos y ACerradocerrados.La distincin entre conjuntos abiertos y cerra- R dos es de gran importancia; por ejemplo las derivadas parciales (que estudiaremos ms adelante) slo pueden denirse en un punto interior del R Figura 1.15: Abierto y cerradodominio de denicin de una funcin. En consecuencia muchos teoremas y criterios, que se basan en el concepto o en las propiedades de lasBO derivadas parciales, slo son vlidos en conjuntos abiertos. El teorema 1.12 , que damos sin demostrarcin, enumera las propiedades bsicas de los conjuntos abiertos y cerrados en espacios eucldeos Teorema 1.12 (Propiedades bsicas de los abiertos y cerrados)1. Rq y son simultneamente conjuntos abiertos y cerrados.2. La unin de conjuntos abiertos (cerrados) es a su vez un conjunto abierto (cerrado).3. La interseccin de un nmero nito de abiertos (cerrados) es un conjunto abierto (cerrado).4. Para todo Rq , los conjuntos Ec() son abiertos, y los conjuntos , y son cerrados.5. Para todo Rq , es el menor cerrado que contiene a . Es decir, si es cerrado y , entonces .6. Un conjunto es cerrado si y slo si Rq es abierto.7. Un conjunto es cerrado si y slo si .Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 33. 1.4. PRIMERA TOMA DE CONTACTO CON LAS FUNCIONES REALES27Denicin* 1.18 (Conjuntos compactos y conexos) Un conjunto Rq se dice compacto si, adems de ser cerrado, cumple que , > 0 . B , .x x Un conjunto Rq se dice conexo si 1 , 2 C, existe (al menos) una x x curva que une dichos puntos y que est completamente contenida en . Tal como se muestra en la gura adjunta al p-rrafo, un conjunto compacto es un conjunto cerra- $rho $do que puede delimitarse mediante una bola de ra-dio nito; en realidad, si el conjunto es compacto $C$Rexisten innitas bolas de radio nito que contienenal conjunto. Ejemplos de conjuntos compactos sonel intervalo [a, b] de la recta real, cualquier disco $B$ Ode radio nito, etc. Por el contrario, la recta real,el plano o el espacio son ejemplos de conjuntos nocompactos. DFigura 1.16: Conjunto compactoA En esta gura presentamos dos subconjuntos delRplano: el de la izquierda es conexo ya que, dados dos puntos cualesquiera del mismo, siempre pode- x2 C x2mos encontrar una curva dentro del conjunto que Rva de un punto a otro; no sucede lo mismo en elconjunto de la derecha puesto que existen puntosBO x1que no se pueden conectar mediante ninguna cur-x1va que pertenezca integramente al conjunto. Conjunto Desconexo Conjunto ConexoEjercicio:Figura 1.17: Conjuntos conexo y discone-En todos los casos obtenga el interior, la frontera y la adherencia de los conjuntos propuestos; xoadems determine si el conjunto es abierto o cerrado, compacto y conexo: 1. = (x, y) R2 . 0 < x 1, 0 y 1 . 2. = (x, y, z) R3 . z x2 + y 2 .1.4 Primera toma de contacto con las funciones realesEn esta breve seccin introducimos por primera vez las funciones reales denidas en espacioseucldeos de dimesin superior a uno. Dados dos espacios eucldeos Rq y Rp , donde p y q sonnmeros naturales cualesquiera, podemos denir una funcin real como una regla que a todoClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 34. 28TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ punto (o vector) Rq le asocia un punto (o vector) Rp . De manera msx x formal : Rq Rp ; (x , x , , x ) ( x , x , , x ) , 1 21 2 qq donde el valor de la funcin se expresa en trminos de sus componentes como = ( ( x , x , , x ) ( x , x , , x ) , ( x , x , , x )) Rp . x 1 1 2 q 2 1 2 q p 1 2 q Algunas comentarios pertinentes son:El subconjunto donde la funcin toma valores se denomina dominio de denicin dela funcin . El conjunto de valores (numricos o vectoriales) que toma la funcin recibeel nombre de imagen de la misma.Si p = 1 la funcin se llama funcin escalar real de varias variables reales; es frecuenteRhablar simplemente de funciones reales de varias variables reales. En este caso la reglaasocia a cada punto de Rq un nmero real. Un caso particular de estas funciones son lasOque se han estudiado en el primer cuatrimestre (donde q = 1).Si p 2 la funcin recibe el nombre de funcin vectorial (de varias variables reales). DLas funciones i (x1 , x2 , , xq ) se denominan componentes de la funcin. Dadas dos funciones y podemos denir las siguientes funciones: A x x ( + )( ) = ( ) + ( ), xR ( )) ( x ( ), = x )( ) = ( ) ( ) = ( x q i ( ). x xi=1 i ( x ) xREn el caso de dos funciones escalares (p = 1) f y g se pueden denir ademsx xBO(f g)( ) = f ( )g( ), (f /g)( ) = f ( )/g( ).x xx x x x Ejemplo 1.7 Consideremos los siguientes ejemplos:Un alambre rectilneo se sita sobre el eje X del sistema de coordenadas del laboratorio y con suextremo izquierdo en x = 0. En este punto se coloca un mechero cuya llama calienta el alambre;transcurrido un tiempo prudencial se mide la temperatura del alambre a distintas distancias delorigen. Es razonable pensar en la temperatura del alambre como una funcin T de la coordenadax, esto esT : R R ; x T (x) , x 0.Repetimos el experimento anterior con una placa muy na. Elegimos un sistema de referenciacuyo origen coincida con el vrtice inferior izquierdo de la placa y tal que sus dos ejes X e Ycoincidan con dos de los lados de la placa. A continuacin se coloca el mismo mechero en elvrtice que hace las veces de origen de coordenadas y calentamos la placa durante un cierto tiempo.Midiendo la temperatura de la placa en distintos puntos (x, y) obtenemos una idea de como varasobre la placa. En este caso la temperatura es una funcin T de las coordenadas x e y, esto esT : R2 R ; (x, y) T ( x, y ) , x, y 0.Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 35. 1.5. CURVAS EN RQ29La posicin de una partcula (puntual) que se desplaza por el espacio nos proporciona un ejemplode funcin vectorial : R1 R2 ; t (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , r rque a cada valor del tiempo t le asocia el vector de posicin de la particula (con respecto a uncierto sistema de referencia).Otro ejemplo de funciones vectoriales lo proporcionan los campos electromagntico y gravitato-rio. Consideremos una carga elctrica Q que se encuentra situada en el origen de referencia queutilizamos en el laboratorio. El campo electrosttico generado por la misma es x + y + z k E : R3 R3 ; (x, y, z) E ( x, y, z ) = KQ 2, (x + y 2 + z 2 )3/2donde K es una constante que depende del sistema de unidades que estemos utilizando (K = 1 enel sistema C.G.S. y K = 1/40 en el M.K.S., siendo 0 la constante dielctrica del vacio).R O D1.5 Curvas en Rq AEl objeto de nuestro estudio inmediato son las curvas y supercies en el espacio eucldeo.Una vez elegido un sistema de referencia, las coordenadas de los puntos ubicados sobre unacurva o sobre una supercie no pueden ser arbitrarias, sino que deben obedecer correlaciones Rdeterminadas. Estas correlaciones se caracterizan mediante ecuaciones, escalares o vectoriales.Pasamos ahora a considerar de forma breve dichas ecuacionesR1.5.1 Rectas BO La recta es el tipo de curva ms sencillo que podemos encontrar en un espacio eucldeo. Ob-tendremos de manera simple algunas de las ecuaciones que la denen. Deduciremos primero laecuacin vectorial de una recta en R3 para generalizarla posteriormente a un nmero cualquierade dimensiones (q 2).Consideremos la recta L que pasa por el punto = x + y + z R3 y es paralela al r0 0 0 0k vector = (v 1 , v 2 , v 3 ). Tal como se muestra env y x + y + z k la gura cualquier punto L puede escribirse r a (x0 , y0 , z0 ) comox L = +, rr0 a x0v donde es el vector con origen en 0 y extremoa r . Ahora bien, en rx t R . = t , a v avy por lo tanto se verica la siguiente relacin Figura 1.18: Denicin de recta = + t , t R, r r0 vClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 36. 30 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ que recibe el nombre de ecuacin vectorial de la recta.En realidad, esta ecuacin es vlida cualquiera que sea el nmero de dimensiones con que trabajemos; la diferencia radica en que la descomposicin en coordenadas o componentes es distinta. Sea = (x1 , x2 , , xq ) un punto genrico de la recta, 0 = (x01 , x02 , , x0q ) y xx = (v , v , , v ) el punto y el vector que denen la recta; entonces v 1 2qDenicin 1.19 (Ecuacin vectorial de la recta) La relacin = + t , t R, x x0 v se denomina ecuacin vectorial de la recta L Rq que pasa por el punto 0 y x tiene como vector director a v RAl descomponer la ecuacin vectorial en componentes obtenemos una representacin alterna-O tiva de la recta. En efectoDenicin 1.20 D El sistema de ecuacionesAx1 = x01 + tv1 ; x2 = x02 + tv2 ; ; xq = x0q + tvq , t R, recibe el nombre de ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por 0 =R x (x01 , x02 , , x0q ) y tiene como vector director a = (v 1 , v 2 , , v q ). v RSupongamos que vi = 0 cualquiera que sea el valor del subndice y que depejamos t en todasBO y cada una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones paramtricas; entonces x1 x01 x2 x02 xq x0qt=== =.v1 v2 vq Estas igualdades denen q 1 ecuaciones independientes llamadas ecuaciones simtricas de la recta. En tres dimensiones se escriben comox x0 y y0 z z0 t===,abc donde a, b y c son en este caso las componentes del vector director de la recta.Ejercicio: Dejamos como ejercicio para el lector la obtencin de las ecuaciones simtricas si a = 0 y b, c = 0. Tomando como ejemplo el resultado de este ejercicio estamos en disposicin de dar el caso general, es decir, aquel en el que parte de las componentes del vector director son nulasCurso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 37. 1.5. CURVAS EN RQ 31Denicin 1.21Sea L Rq la recta que pasa por 0 = (x01 , x02 , , x0q ) y tiene como vector xdirector a = (v 1 , v 2 , , v q ), cuyas componentes cumplen que vi1 = vi2 = v. . . vin = 0 y vj1 , vj2 , . . . , vjm = 0, con n + m = q. Entonces, el sistema xj1 x0j1xj2 x0j2xjm x0jm= = ... =, vj1 vj2 vjm xi1 = x0i1; xi2 = x0i2; ... ; xin = x0in ,recibe el nombre de ecuaciones simtricas de la recta. R ODARR BOClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 38. 32TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Ejemplo 1.8 (Recta que pasa por dos puntos distintos)Por supuesto, las ecuaciones anteriores no agotan las formas en las que podemos caracterizar una recta en el espacio (ni en Rq en general). Una de ellas consiste en expresar la recta como la interseccin de dos planos, otra en proporciar las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta; en este ltimo caso es trivial adaptar las ecuaciones simtricas.Puesto que conocemos dos puntos y por los que x x0 1pasa la recta, podemos utilizar como vector director el seg-(x1 , y 1 , z 1 ) mento dirigido que tiene origen en uno de los puntos y ex-tremo en el otro; las componentes de tal vector se obtienen como sigue: = 1 0 = (x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ). v x xv Substituyendo este resultado en las ecuaciones simtricas,es decir, tomando a = x1 x0 , b = y1 y0 y c = z1 z0 ,resulta x x0y y0z z0(x0 , y 0 , z 0 )= = . x1 x0 y1 y0 z1 z0 R Figura 1.19: Recta que pasa por dos Para nalizar es conveniente realizar un par de comentarios, que el lector atento ya habrOpuntos tenido en cuenta:D1. A diferencia de las ecuaciones simtricas, las ecuaciones paramtricas y la ecuacin vectorial no slo denen la recta sino que la dotan de una orientacin, esto es, indican en qu orden se recorren los puntos de la misma. A medida que damos valores al parmetro t A recorremos la curva segn el sentido del vector director.2. Independientemente de las dimensiones del espacio eucldeo, una recta viene caracteri- R zada por un nico grado de libertad, es decir, basta un parmetro real para describir las coordenadas de todos los puntos de la recta.R 1.5.2 Ecuaciones vectoriales y paramtricas de una curvaBO Consideremos, para jar ideas, una funcin vectorial continua (t) = x (t) + y (t) + z (t) . t I R,r k cuyos valores son vectores de posicin que jan la posicin de distintos puntos P del espacio. Aunque no hemos denido la continuidad de una funcin vectorial, el lector con conocimientos sobre las funciones de una variable podr admitir sin dicultad que si la funcin es continua dos puntos P1 y P2 , correspondientes a valores t1 y t2 , se encontrarn tan prximos como se quiera sin ms que exigir que |t1 t2 | 1. Por tanto, es razonable armar que la imagen C = x + y + z k R3 . x = x(t), y = y(t), z = z(t), t I , de la funcin anterior dene una curva en el espacio, que denotamos C y que no posee saltos ni agujeros. En numerosas ocasiones se utiliza la notacin C : (t) = x (t) + y (t) + z (t) k , t I, r para sealar de forma simplicada que la curva C viene parametrizada por dicha funcin vectorial. Las ecuacionesx = x(t); y = y(t); z = z(t),Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 39. 1.5. CURVAS EN RQ 33 reciben el nombre de ecuaciones paramtricas de la curva C. Para convencernos de que existe una relacin muy estrecha entre funciones vectoriales y curvas en el espacio estudiaremos unos pocos ejemplos:Ejemplo 1.9 (Parametrizacin de la recta)Una recta es un caso especial de curva, quiz el ms simple de todos. Hemos visto que las ecuaciones paramericas de la recta L que pasa por el punto 0 = (x0 , y 0 , z 0 ) y tiene como vector director = x v (a, b, c) son x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct, y en forma vectorial L : r (t) = + t , t R. x0vEjemplo 1.10 (Parametrizacin de la circunferencia de radio unidad)Sea la funcin vectorial (t) = cos(t) + sen(t) + 0 , t [0, 2) . r kR De acuerdo con las ideas precedentes, la curva asociada tiene por ecuaciones paramtricasx = cos(t); y = sen(t); z = 0.O Dado que z = 0 podemos restringirnos al plano XY . Para determinar de qu curva se trata vamos a efectuar una representacin grca; elaboraremos una tabla con los valores de las coordenadas x e y de D los puntos de la curva correspondientes a diversos valores seleccionados de t.2 tx y zA3 41 4 0 1 00 21 1 0R 4 2 2 0 10 2 t=03 1 1Rt= 0 1 2 422 1 00 . . ..BO . . . . . ... 5 74La representacin en el plano de estos pocos4 puntos basta para darse cuenta de que es una cir-3 cunferencia de radio a = 1 (adems es una cir- 2 Figura 1.20: Funcin vectorial: Circunferenciacunferencia orientada porque recorremos la curva en sentido contrario a las agujas del reloj, segn vamos dando valores a t).Aun podemos obtener una vericacin adicional de que se trata de una circunferencia de radio unidad; en efecto x2 (t) + y 2 (t) = cos2 (t) + sen2 (t) = 1.Ejemplo 1.11 En este ejemplo deduciremos la forma de la funcin vectorial que caracterice la curva C interseccin del cilindro de radio 1 centrado sobre el eje Z (x2 + y 2 = 1) y el plano de ecuacin y + z = 2. La gura 4.6 muestra de forma esquemtica como se obtiene la curva C como interseccin de las dos supercies. Resulta patente que la proyeccin de C sobre el plano XY coincide con la base del cilindro, que denominaremos Cxy Segn el ejemplo precedente una circunferencia en el plano se parametriza como Cxy : (t) = cos(t) + sen(t) . t [0, 2) r Clculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 40. 34TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQRFigura 1.21: Interseccin plano-cilindro O La diferencia entre los puntos de C y de Cxy radica en el valor de la coordenada z; utilizando la ecuacin del plano podemos despejar z en funcin de y, con lo que obtenemos que z = 2 y. Ahora bien, sobreD C se cumple que y = sen(t), y por tanto las ecuaciones paramtricas de la curva sonA x = cos(t); y = sen(t); z = 2 sen(t), lo que da lugar a la siguiente funcin vectorialR C : (t) = cos(t) + sen(t) + 2_ sen(t) k , . t [0, 2).r R Conamos en que estos ejemplos hayan convencido al lector de que una curva en el espacio (o en el plano) puede caracterizarse mediante una funcin vectorial. Convenimos en dar unaBO denicin general de la siguiente formaDenicin 1.22 (Curva en el espacio eucldeo) Una curva C Rq es la imagen de una funcin vectorial, es decirC = Rq . x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t I ,x donde I es un intervalo de la recta real. De forma equivalente diremos que C est parametrizada por la funcin vectorial (t), y lo denotaremos como r C : (t) = x1 (t) 1 + x2 (t) 2 + + xq (t) q , t I, re ee o que sus ecuaciones paramtricas son C : x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) ,t I. Si las funciones xi (t) son continuas (si la funcin vectorial es continua) se dice que la curva C es continua.Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 41. 1.6. SUPERFICIES EN RQ35 Antes de dar por nalizado este apartado conviene realizar algunos comentarios sobre lo tra-tado aqu:En sentido estricto la denicin precedente introduce el concepto de curva hodgrafaasociada a la funcin (t). Es posible construir curvas ms generales a partir de la uninrde varias curvas de este tipo.La funcin vectorial no slo dene la curva como un lugar geomtrico formado por puntosde Rq , sino que la dota de una orientacin.Independientemente de cul sea la dimension del espacio eucldeo, las curvas estn de-nidas por un slo grado de libertad. R1.6 Supercies en RqO Una supercie S Rq puede denirse como el lugar geomtrico formado por los puntoscuyas coordenadas satisfacen determinada ecuacin de ligadura. Por lo tanto, dado que hacen Dfalta q coordenadas para caracterizar univocamente un punto en Rq , los puntos situados sobreuna supercie solo poseen q 1 coordenadas independientes. As, una supercie en Rq posee Aq 1 grados de libertad, y en particular, en el espacio slo posee dos grados de libertad.R1.6.1 Planos R El ejemplo de supercie ms sencillo es el plano. Existen diversas formas de caracterizar unplano Rq . Una de ellas consiste en dar un punto 0 perteneciente al plano y un vector xnortogonal al mismo. Trabajaremos primero el caso de un plano en R 3 , para luego generalizar las BOexpresiones obtenidas a un nmero superior de dimensiones. Dados = (x , y , z ) ,r0n0 0 0 = (n , n , n ), n x y z y un punto genrico = (x, y, z) se rx0 cumple quex ( 0 ) , r r nO es decir ( 0 ), = 0, r rn expresin que se denomina ecuacin vecto-Figura 1.22: Denicin de planorial del plano. Para obtener una ecuacin es-calar escribiremos explcitamente las componentes de los vectores, es decir (x x0 , y y0 , z z0 ), (nx , ny , nz ) = 0,Clculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 42. 36 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ con lo cual llegamos a nx (x x0 ) + ny (y y0 ) + nz (z z0 ) = 0, bien nx x + ny y + nz z + d = 0, con d = (nx x0 + ny y0 + nz z0 ). Cualquiera de estas ecuaciones representa la ligadura que deben satisfacer las coordenadas de los puntos situados sobre el plano. Como los punto del espacio estn caracterizados por tres coordenadas, la ecuacin del plano introduce una correlacin que reduce el nmero de coordenadas independientes a slo dos: es decir, tal como hemos comentado al principio de la seccin un plano en el espacio est caracterizado por dos grados de libertad. Ejemplo 1.12 (Otras ecuaciones del plano en R3 )R Sean y son dos vectores paralelos al plano de forma que su producto vectorial nos proporciona u v un vector normal al mismo, esto es O = . n u v En consecuencia la ecuacin vectorial del plano se podr escribir comoD , = 0, r r0 uv donde reconocemos en el miembro de la izquierda el producto mixto de los tres vectores 0 , y v A . Utilizando la descomposicin en componentes de los vectores y u vr r u R = (u , u , u ) , u 1 2 3 = (v , v , v ) , v 1 2 3R la ecuacin anterior puede reescribirse comoBO x x0y y0z z0 u1u2u3 = 0. v1v2v3 , y son coplanares y que por tanto Esta expresin reeja el hecho de que los tres vectores rr u v0 el volumen del paraleleppedo que denen es nulo.Otra forma de caracterizar un plano consiste en identicar tres puntos no colineales pertenecientes al mismo; supongamos, por jar ideas, que esos puntos sonr0 = (x0 , y 0 , z 0 ) ,r1 = (x1 , y 1 , z 1 ) ,r= (x2 , y 2 , z 2 ) . 2 Partiendo de ellos es posible construir dos vectores no colineales y paralelos el plano, es decir =u r 1 0r= (x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) , =v r r= (x2 x0 , y2 y0 , z2 z0 ) ,20 lo cual da lugar a la siguiente forma de la ecuacin del plano x x0y y0 z z0 x1 x0 y1 y0z1 z0 = 0, x2 x0 y2 y0z2 z0Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 43. 1.6. SUPERFICIES EN RQ37La generalizacin a una dimensin arbitraria q (con q > 2) no presenta ninguna dicultadespecial; la diferencia slo afecta a la descomposicin en componentes (coordenadas) de losvectores (puntos) involucrados Denicin 1.23Sea Rq un plano contenido en el espacio eucldeo de dimensin q; si 0 = x(x01 , x02 , , x0q ) es un punto perteneciente al plano y = (n1 , n2 , , nq ) unnvector normal al mismo, la ecuacin vectorial del plano es( 0 ), = 0, x xnque desarrollada en componentes da lugar a la siguiente ecuacin escalar R n1 (x1 x01 ) + n2 (x2 x02 ) + + nq (xq x0q ) = 0,con d = q i=1 ni x0i .On1 x1 + n2 x2 + + nq xq + d = 0,D Ejercicio:AConteste a las siguientes preguntas: (a) Cuntos vectores linealmente independientes denenun plano en Rq ? (b) Cuntos puntos son necesarios para denir un plano en Rq ? (c) EscribaRla ecuacin del plano en trminos de las coordenadas de dichos puntos.R1.6.2 Ecuaciones escalares de una supercie BO Denicin* 1.24 (Supercie en Rq )Una supercie S Rq es el lugar geomtrico de todos los puntos Rq quexsatisfacen una ecuacin de la forma f ( x1 , x2 , , xq ) = 0,donde f es una funcin escalar de q variables. Si la funcin es continua diremosque S es una supercie continuaa a Aunque el lector con conocimientos previos sobre funciones de una variable no debe tener problemas en este punto, solicitamos su indulgencia ya que no hemos denido an la continuidad de una funcin escalar. El lector impaciente puede saltar momentneamente al siguiente tema. La debilidad de la denicin 1.24 radica en que cualquier supercie embebida en Rq puedecaracterizarse mediante una ecuacin escalar, pero no toda ecuacin escalar dene una super-cie. Vemoslo en el siguiente ejemploEjemplo 1.13 (La esfera)En el prximo tema veremos la ecuacin general que caracteriza una cudrica en Rq . De momentoClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 44. 38TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ nos centraremos en la esfera. La esfera de radio a centrada en el origen de coordenadas de un sistema de referencia de R3 es el lugar geomtrico de todos los puntos (x, y, z) qua satisfacen la ligadurax2 + y 2 + z 2 = a2 . De forma anloga, en Rq la ecuacin de la esfera centrada en el origen viene dada porx2 + x2 + + x2 = a2 . 12q Sin embargo la ecuacin x2 + x2 + + x2 = a2 ,12q no admite soluciones en el campo de los nmeros reales y, por tanto, dene el conjunto vaco. Y la ecuacin x2 + x2 + + x2 = 0,12q R admite como solucin nica x1 = x2 = = xq = 0, es decir, el origen de coordenadas. En ningn caso aceptaramos como supercie el vaco o un punto aislado.OBajo ciertas condiciones la ecuacin f ( x1 , x2 , , xq ) = 0 dene implcitamente cualquiera de las coordenadas en funcin de las q 1 restantes; supongamos que es posible despejar laD ltima coordenada xq , de manera queA f ( x1 , x2 , , xq ) = 0 xq = g ( x1 , x2 , , xq1 ) . Entonces podemos denir la supercie S como el lugar geomtrico de todos los puntos Rq xR que satisfacen la ecuacinxq = g ( x1 , x2 , , xq1 ) . R Ejemplo 1.14 (La semiesfera en q dimensiones)BO Partiendo de la ecuacin de la esfera centrada en el origen y radio ax2 + y 2 + z 2 = a2 , y despejando la tercera coordenada como funcin de x e y, resultax2 + y 2 + z 2 = a2 z = a2 x2 y 2 . El signo positivo (negativo) delante del signo de la raiz dene la semiesfera de radio a superior (inferior). Cuando consideramos el espacio eucldeo general Rq tambin podemos despejar la ltima coordenada xq = a2 x2 x2 x2 , 12q1 de manera que los dos signos estn asociados a cada una de las semiesferas con xq 0 y xq 0. 1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3Cualquier punto de Rq est denido por una sucesin ordenada de q nmeros reales que llamamos sus coordenadas. Adems de las coordenadas que hemos dado en llamar cartesianas,Curso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 45. 1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 39existen otros sistemas de coordenadas que permiten caracterizar los puntos del espacio Rq . Noslimitaremos aqu a dar los sistemas ms habituales en el plano y en el espacio, que se muestranen la siguiente tabla EspacioSistema de coordenadas R2cartesianas (x, y)polares (r, )R3 cartesianas (x, y, z) cilndricas (r, , z) esfricas (r, , )Estos sistemas de coordenadas pueden ser muy tiles para resolver ciertos problemas en elplano y en el espacio, en particular para el clculo de integrales mltiples mediante un cambiode variables. R1.7.1 Coordenadas polares y O D yP (x0 , y0 )A y0P (x0 , y0 )y0R rR BO xxx0 x0 Figura 1.23: Coordenadas cartesianas y polares Tal como se muestra en la gura 1.23 las coordenadas polares de un punto, que denotaremospor (r, ), son la distancia del mismo al origen y el ngulo que forma su vector de posicincon el semieje X positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Para poder cubrirtodos los puntos del plano es necesario que r 0 y que [0, 2). La siguiente tabla muestralos intervalos genricos donde las coordenadas cartesianas y polares toman respectivamente susvalores Coordenadas Cartesianas Coordenadas polares x (, ) r [0, ) y (, ) [0, 2) Existe una correspondencia entre los dos tipos de coordenadas, es decir, podemos escribirlas coordenadas cartesianas de un punto en funcin de sus coordenadas polares y viceversa.Llamaremos relacin directa a la que proporciona los valores de x e y en funcin de los de r y. Esta relacin se obtiene por trigonometra elemental comoClculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 46. 40TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQx(r, ) = r cos , y(r, ) = r sen .El clculo de la relacin inversa, que da los valores de r y en funcin de los de x e y, esbastante ms delicado. De la relacin directa es evidente que r = x2 + y 2 y un razonamientorpido y poco cuidadoso nos lleva a que = arctan(y/x). Sin embargo esta expresin tienedos problemas: por un lado no est denida cuando x = 0, y por otro, la arcotangente es unafuncin multivaluada de modo que a un valor de su argumento le corresponden diversos valoresde la funcin . Eligiendo como rama de esta funcin la que asocia a su argumento un ngulo (/2, /2) encontramos que y arctan si x > 0, y 0, x arctan y + 2 si x > 0, y < 0, x arctan y + si x < 0,R r = x2 + y 2 , = x 2 si x = 0, y > 0,O 3 2si x = 0, y < 0, D si x = y = 0.Este resultado muestra claramente que la relacin entre las ooordenadas cartesianas y lasAcorrespondientes coordenadas polares de un punto no es una biyeccin: todos los puntos conr = 0 se aplican en (0, 0), independientemente del valor que tome . Dicho de otro modo, elngulo no est bien denido en el origen de coordenadas.RSe denomina cua polar2 a la regin del plano limitada por dos semirectas denidas por 1y 2 y por dos arcos de circunferencia con radios r1 y r2 (r2 > r1 ), tal como muestra la gura Radjunta. DenamosBO r1 + r2y r = ,2L2 = r2 (2 1 )r = r2 r1 , = 2 1 . L1 = r1 (2 1 ) r2 Cuando r y se hacen sucientemen- te pequeos la cua se asemeja a un recinto r1rectngular de lados r y r. Entonces, el rea de la cua puede aproximarse como 21xA rr.Figura 1.24: Elemento de rea en polaresEste resultado deviene exacto cuando los incrementos de coordenadas son innitesimales, demanera que podemos escribirA dA = rdrd,r dr, d.2Tambin se encuentra en la literatura el nombre de segmento de corona circularCurso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 47. 1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 411.7.2 Coordenadas polares generalizadasLa ecuacin de una circunferencia centrada en el origen y radio a se escribe de forma trivialen coordenadas polares como r = a ya quex2 + y 2 = a2 r 2 = a2 r = a.No sucede lo mismo con las elipses con centro en el origen y ejes paralelos a los de coordenadas.En efecto, si dada la ecuacin de la elipse de semiejes a y bx2 y 2+ 2 = 1,a2 befectuamos el cambio a coordenadas polares, obtenemos la expresin R r 2 cos2 r 2 sen2 + = 1, a2b2Oque no es ms sencilla que la expresin original. Ahora bien, es posible denir coordenadaspolares generalizadas que simpliquen realmente la ecuacin de la elipse. SeaDx(r, ) = ar cos , y(r, ) = br sen ,donde a y b son factores positivos que denominamos factores de dilatacin de los ejes coor-Adenados. Efectuando el cambio de coordenadas tenemosR22x 2 y 2x (r, ) y (r, )+ =1 += r 2 = 1,a b abRes decir, en el nuevo sistema de coordenadas la ecuacin de la elipse con semiejes a y b essimplemente r = 1.BO Ejercicio:Obtenga las relaciones inversas en este sistema de coordenadas polares. Representa r ladistancia de un punto genrico al origen?1.7.3 Coordenadas cilndricasLa relacin entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto del espacio y sus corres-pondientes coordenadas cilndricas (r, , z) est denida por las siguientes ecuacionesx(r, , z) = r cos , y(r, , z) = r sen , z(r, , z) = z.Clculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 48. 42 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQIntroducimos el signicado geomtrico de las nuevas coordenadas con ayuda de la -Z gura adjunta. Tal como se muestra, un pun- to P R3 queda perfectamente determinado r por la terna de nmeros reales r, y z, donde r es la distancia del punto al eje Z, es el ngulo que forma el vector de posicin de la proyeccin de P sobre el plano XY con el P semieje X positivo, medido en sentido antihorario y z es la tercera coordenada cartesia-Yna o cota.OEl lector ya habr apreciado la similitudrentre las coordenadas cilndricas en el espacio y las coordenadas polares en el plano. Dehecho podramos denirlas del siguiente mo-RXdo: dado un punto genrico (x, y, z) expre- samos x e y en trminos de las coordenadasO polares de (x, y) y completamos la caracteri- Figura 1.25: Coordenadas cilndricaszacin del punto mediante la cota z.Los intervalos genricos en los que las coor-D denadas de uno y otro sistema de coordenadas pueden tomar valores son x (, )A Coordenadas Cartesianas Coordenadas cilndricas r [0, ) y (, ) [0, 2)R z (, ) z (, )Con el n de minimizar esfuerzos explotaremos la relacin entre coordenadas polares y ci-R lndricas para la relacin inversa entre stas y las coordenadas cartesianas de un punto. Resulta sencillo deducir queBO r = r (x, y, z) =x2 + y 2 , = (x, y, z) = (x, y) ,pol donde el subndice pol indica que se trata de la misma funcin que aparece en el sistema de coordenadas polares.Las ecuaciones precedentes muestran que la relacin entre coordenadas cartesianas y cilndricas tampoco es una biyeccin, ya que todos los puntos de la forma (r, , z) = (0, , z) se aplican en un slo punto (x, y, z) = (0, 0, z), cualquiera que sea . Esto implica que el ngulo no est bien denido para los puntos del eje Z.Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 49. 1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 43La gura muestra una cua cilndrica caracteri-r1r2 zada por dos semiplanos radiales con 2 > 1 , dos z2 cilindros con radios r2 > r1 y dos planos z2 > z1 . Mediante un procedimiento similar al que segui- mos en coordenadas polares introducimos las can-z1 tidadesr1 + r2 r = , 2 r = r2 r1 , = 2 1 , z = z2 z1 . 2Cuando los incrementos de las variables son su- 1 cientemente pequeos la cua se asemeja a un paraleleppedo de lados r, r y z, de maneraR queFigura 1.26: Elemento de volumen en cilindricas V rrz.OEn el lmite en que los incrementos de r y se hacen innitesimales el resultado anterior esexacto y por lo tanto podemos escribir DV dV = rdrddz,r dr, d. AR1.7.4 Coordenadas esfricas Las coordenadas esfricas (r, , ) de un punto P R3 se denotan habitualmente con los Rcaracteres r, y . La coordenada r representa la distancia de P al origen de cordenadas, esel ngulo entre la proyeccin del vector de posicin de P sobre el plano XY y el semieje XBOpositivo, medido en sentido antihorario3 , y nalmente es el ngulo que forma dicho vector deposicin con el semieje Z positivo, medido en el sentido de las agujas del reloj.Z La gura muestra grcamente como se denen las tres coordenadas. Por razones prc-dticas introducimos la distancia d del punto al P (x, y, z) eje Z. Utilizando polares para representar los valores de x e y tenemosr x = d cos ; y = d sen . Y Por otro lado, utilizando trigonometra elemental resulta z = r cos ; d = r sen . XEntonces, 1.27: Coordenadasque nos permite escribir (x, y, z) en trminos de (r, , ) viene Figurala relacin directa esfricasdada por x(r, , ) = r cos sen , y(r, , ) = r sen sen , z(r, , ) = r cos .3Y por tanto tiene el mismo signicado que en coordenadas cilndricasClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 50. 44 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Para poder barrer todos el espacio debemos permitir que las coordenadas de los dos conjuntos tomen valores en los intervalos que se muestran a continuacinCoordenadas Cartesianas Coordenadas esfricasx (, )r [0, )y (, ) [0, 2)z (, ) (0, )El razonamiento que permite deducir la forma de la transformacin inversa es algo ms complicado. Teniendo en cuenta que r es la distancia entre un punto genrico y el origen de coordenadas, que el signicado de es el mismo que en coordenadas cilndricas y utilizando que z = r cos , no resulta complicado llegar a las siguientes ecuacionesr = r (x, y, z) =x2 + y 2 + x2 ,R = (x, y, z) = (x, y) , polz Oarc cossi (x, y, z) = (0, 0, 0) , = (x, y, z) =x2 + y2 + z2 si (x, y, z) = (0, 0, 0) .DLa transformacin inversa pone en evidencia que no estamos ante una biyeccin: los ngulos y no estn bien denidos en los puntos del eje Z y en particular en el origen de coordenadas; A en efecto, R(r, , z) = (r, , 0) (x, y, z) = (0, 0, r), (r, , z) = (r, , ) (x, y, z) = (0, 0, r), , . (r, , z) = (0, , ) (x, y, z) = (0, 0, 0),RBO Ejercicio: Se deja como ejercicio para el lector el clculo del volumen de una cua esfrica S 1.A Caracterizacin de regiones en el plano y el espacioEn los siguientes ejemplos mostramos como caracterizar algunas regiones del plano y del espacio utilizando coordenadas cartesianas, polares, cilndricas o esfricas. Consideraremos conjuntos conexos cuya frontera es siempre una curva continua y cerrada o una supercie continua y cerrada. En el espacio, los conjuntos de este tipo y que adems son compactos se denominan regiones slidas . Nos interesan especialmente los llamados conjuntos simples o que pueden descomponerse fcilmente en subcojuntos que s lo son. Un conjunto R2 se demonina simple si existe un sistema de coordenadas (c1 , c2 ) tal que (c1 , c2 ) R2 . c1 {1 , 1 } , c2 {2 (c1 ) , 2 (c1 )} , donde 1 y 1 son constantes, 2 (c1 ) y 2 (c1 ) son funciones continuas de la primera variable, y {a, b} representa tanto un intervalo abierto, como cerrado o semicerrado. De forma anloga diremos que R3 es simple si existe un sistema de coordenadas (c1 , c2 , c3 ) que permiten denirlo comoCurso 2007-2008Clculo II, Grupos A y E 51. 1.A. CARACTERIZACIN DE REGIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO 45 c1 {1 , 1 } (c , c , c ) R3 . c2 {2 (c1 ) , 2 (c1 )}, 1 2 3 c3 {3 (c1 , c2 ) , 3 (c1 , c2 )}con 1 y 1 constantes y 2 (3) y 2 (3) funciones continuas. En general cuando un conjunto simple se dene estableciendo de forma explcita los inter-valos en los que varan todas y cada unas de las coordenadas de sus puntos se dice que se hacaracterizado de forma simple4 . Conviene comentar que la dicultad para obtener este tipo decaracterizacin es casi siempre muy notable; slo en algunos casos (en la mayor parte de ellosse trata de regiones delimitadas por planos y supercies cudricas) podremos obtener caracteri-zaciones simples en trminos de funciones elementales.1.A.a Caracterizacin de regiones en el plano REntre stas se encuentran los intervalos compactos, los discos abiertos y cerrados, y toda unacoleccin de regiones de R2 delimitadas por curvas cudricas. En este ejemplo nos centraremosOen el disco, que por sencillez supondremos centrado en el origen de coordenadas.Ejemplo 1.15 (Disco cerrado de radio a centrado en el origen) D La denicin en coordenadas cartesianas del discocerrado de radio a y centrado en el origen es tan senci-Alla como y y=a2 x2 (x, y) R2 . x2 + y 2 a2 . R Utilizando esta denicin deduciremos los intervalos xen los que pueden tomar valores las coordenadas x eRy de los puntos pertenecientes al disco. De la guraresulta evidente que x [a, a]; por otra parte, loslmites de variacin de la ordenada y se obtienen de la BOdesigualdad que dene el disco y = a2 x2 x2 + y 2 a2 y 2 a2 x2 |y| a2 x2Figura 1.28: Disco en cartesianas y por tanto a2 x2 y a2 x2 . Como se coment al comienzo de la seccin, las deniciones de una regin (de Rq ) que establecen deforma explcita los intervalos en los que varan las coordenadas de sus puntos se denominan caracteriza-ciones simples. As la caracterizacin simple en coordenadas cartesianas de la regin problema es xy = (x, y) R2 . x [a, a], y a2 x2 , a2 x2,donde el subndice xy se utiliza para enfatizar que es una caracterizacin en coordenadas cartesianas.4No hace falta decir que slo un conjunto simple admite una denicin de este tipo, pero los conjuntos sim-ples se pueden denir mediante caracterizaciones diferentes, por ejemplo mediante una desigualdad de la formaf (c1 , c2 , c3 ) 0.Clculo II, Grupos A y ECurso 2007-2008 52. 46 TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Pasamos a describir la misma regin utilizando coor-denadas polares. En este sistema de coordenadas el dis-co cerrado de radio a y centrado en el origen se deney por la relacin r a. En consecuencia el ngulo no est limitado por ninguna condicin y puede tomarcualquier valor dentro del intervalo genrico [0, 2).r Por tanto, la caracterizacin simple del disco en estas x coordenadas polares es r = (r, ) R2 . r [0, a], [0, 2) Ejemplo 1.16 (El disco elptico de semiejes a y b)Figura 1.29: Disco en polares Como tal entendemos la regin del plano limitada por la elipse de semiejes a y b Rx 2 y 2 (x, y) R2 .+ 1 .a bO Procediendo como en el ejemplo precedente encontramos sin dicultad las caracterizaciones simples de esta regin en coordenadas cartesianas y polares. En el primer caso tenemosD xy = (x, y) R2 ; x [a, a], y b1 (x/a)2 , b 1 (x/b)2 , y utilizando coordenadas polares generalizadasAr = (r, ) R2 . r [0, 1], [0, 2) . R R Ejemplo 1.17 (El cuadrado de lado a)BOPor sencillez utilizaremos un cuadrado cuyo vr-tice inferior izquierdo coincida con el origen decoordenadas y cuyos lados sean paralelos a losP (a, a)ejes coordenados. El lector coincidir con noso-2tros en que la caracterizacin de esta regin encoordenadas cartesianas resulta particularmente f-cil 1 ax [0, a]xy (x, y) R2 ;y [0, a] Sin embargo, la caracterizacin simple en coorde- /4 nadas polares es muy complicada; de hecho, resulta del todo imposible a menos que dividamos a en dos subconjuntos 1 , 2 tal como se muestra en la gura. Admitiendo que la frontera entre 1 y 2 pertence al primero parece obvio que enFigura 1.30: Cuadrado de lado ael subconjunto 1 la cordenada angular vara como 0, . La gura tambin resulta til para 4 deducir el valor mximo que puede tomar la coordenada r. ste depende de , es decir r [0, R1 ()], y para deducir la cota R1 () nos jamos en queaR() cos = a R() =.cosCurso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 53. 1.A. CARACTERIZACIN DE REGIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO47Podemos vericar esta resultado dando algunos valores a ; as cuando = 0 R1 () = a y para = R1 () = 2a, lo que sugiere que dicha relacin es correcta. Por lo tanto la caracterizacin 4simple de 1 ser a1r = (r, ) R2 . r 0, , 0,cos4Procediendo de forma similar para 2 tenemos , ; r (0, R2 ()] , 4 2donde hemos excluido el origen (r = 0), que por hiptesis pertenece a 1 . Puesto que R2 ()sen = a adeducimos que R2 () = . Dando valores a para comprobar su validez tenemos: cuando =sen R2 () = 2a y si = R2 () = a, por lo que aceptamos dicha relacin como correcta. En42denitivaa 2r (r, ) R2 . r 0, , , .Rsen4 2OD1.A.b Caracterizacin de regiones slidas en el espacioAEjemplo 1.18 (Parametrizacin de una bola cerrada) Un ejemplo de regin slida en el espacio esR Zla bola; por jar ideas consideraremos el caso deuna bola cerrada de radio a y centrada en el ori-gen de coordenadas. De manera formal podemosRa denirla como el lugar geomtrico de los puntos Y(x, y, z) que satisfacen la ecuacin x2 +y 2 +z 2 Xa2 , es decir BO (x, y, z) R3 . x2 + y 2 + z 2 a2YComenzaremos buscando una caracterizacinsimple en coordenadas cartesianas; para ello es-a tudiamos la proyeccin de los puntos de la bolasobre el plano XY . Esta proyeccin se obtiene Ximponiendo que z = 0. Entonces la restriccinZ que dene la bola queda reducida a x2 + y 2 a2 ,desigualdad que caracteriza el disco cerrado deradio a y centrado en el origen (ver 1.28). Por tan-to las coordenadas x e y de los puntos de la bolasatisfacen Figura 1.31: Bola centrada en el origenx [a, a] y a2 x2 ,a2 x2 .Los lmites de la coordenada z podemos deducirlos de la desigualdad que dene la reginx2 + y 2 + z 2 a2 z 2 a2 x2 y 2 |z| a2 x2 y 2 , a2 x2 y 2 z a2 x2 y 2 ,con lo que la caracterizacin simple en cartesianas viene dada porClculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008 54. 48TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ x[a, a] xyz =(x, y, z) R3 .y a2 x2 , a2 x2 z a2 x2 y 2 , a2 x2 y 2 z r R O Figura 1.32: Bola en coordenadas cilndricasDLa caracterizacin simple en coordenadas cilindricas resulta ms sencilla si cabe; en efecto, como la proyeccin sobre el plano XY es un disco, los lmites de variacin de las coordenadas r y pueden A escribirse como [0, 2) y r [0, a]. Una vez jados estos lmites, los de z los deduciremos de la ecuacin de la bola x2 + y 2 + z 2 a2 . Ahora bien, en cilndricas r2 = x2 + y 2 , luego:Rr2 + z 2 a2 |z| a2 r 2 z a2 r 2 , a2 r 2 , y en consecuenciaR r [0, a] rz =(r, , z) R3 . [0, 2) BO z a2 r 2 , a2 r 2Por ltimo, en coordenadas esfricas la caracterizacin simple es inmediata: la desigualdad que dene en este sistema de coordenadas una bola cerrada es r a con y libres. Entonces r [0, a] r = (r, , ) R3 . [0, 2) [0, ] Ejemplo 1.19 (Parametrizacin de una bola elptica ) Sea el lugar geomtrico de todos los puntos del espacio que satisfacen x 2y 2z 2 =(x, y, z) R3 . ++1 , abc con a, b, c > 0. Se trata de la regin compacta del espacio delimitada por una elipse de semiejes a, b y c. Dejamos como ejercicio que el lector demuestre que la caracterizacin simple en cordenadas cartesianas es x[a, a] xyz = (x, y, z) R3 .y b 1 (x/a)2 , b1 (x/a)2 z c1 (x/a)2 (y/b)2 , c1 (x/a)2 (y/b)2 Curso 2007-2008 Clculo II, Grupos A y E 55. 1.A. PROBLEMAS 49La caracterizacin simple en coordenadas esfricas se simplica de manera apreciable introduciendoun sistema de coordenas esfricas modicado. Consideremos la siguiente transformacin de coordenadasx(r, , ) = ar cos sen , y(r, , ) = br sen sen ,z(r, , ) = cr cos ,con los tres factores de escala iguales a los

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Cálculo multivariable