Gradientes Aritméticas Crecientes

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUILFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

ING. GESTIÓN EMPRESARIALTEMA:

GRADIENTES ARITMETICAS CRECIENTESINTEGRANTES:

MICHELLE CHILÁNANNABELL PILLAJOJAHILY SALGADOALISON QUISHPIDENISSE REYES

GRADIENTES ARITMETICAS

Son serie de pagos

periódicos, en los

cuales cada pago es

igual al anterior más

una cantidad

Esta cantidad puede

ser constante o

proporcional al pago

inmediatamente

anterior.

El monto en que varía

cada pago determina la

clase de gradiente

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UN GRADIENTE

*Todos los pagos se hacen a iguales intervalos detiempo.

*A todos los pagos se les aplica la misma tasa deinterés.

*El número de pagos es igual al número de periodos.

*Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales oanuales, etc.

*Las variaciones se empiezan a presentar a partir delsegundo pago.

CLASIFICACION

GR

AD

IEN

TES

ARITMETICA O LINEAL

GEOMETRICA O EXPONENCIAL

Gradiente Lineal o Aritmético

Se produce un incremento lineal en pago de cada

periodo.


𝑉𝑝 = 𝐴11 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛+𝐺

𝑖

(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−

𝑛

1 + 𝑖 𝑛

Valor Futuro Gradiente Aritmético

𝑉𝑓 = 𝐴11 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖+𝐺

𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖− 𝑛

VENCIDOSEs una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterioraumentada en una cantidad constante de dinero y se realiza al final delperiodo

VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE VENCIDO EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE

𝐴1 =𝑉𝑃 −

𝐺𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1𝑖 1 + 𝑖 𝑛 −

𝑛1 + 𝑖 𝑛

1 + 𝑖 𝑛 − 1𝑖 1 + 𝑖 𝑛


Valor Futuro Gradiente Aritmético

ANTICIPADOS

𝑉𝑝 = 𝐴11 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1+𝐺

𝑖

(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1−

𝑛

1 + 𝑖 𝑛−1

𝑉𝑓 = 𝐴11 + 𝑖 𝑛+1 − 1

𝑖+𝐺

𝑖

1 + 𝑖 𝑛+1 − 1

𝑖− 𝑛(1 + 𝑖)

Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual alanterior aumentado en una cantidad constante de dinero y que serealiza al comienzo del periodo.

VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE ANTICIPADO EN FUNCIÓN DEL PRESENTE

𝐴1 =𝑉𝑃 −

𝐺𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1 −

𝑛1 + 𝑖 𝑛−1

1 + 𝑖 𝑛 − 1𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1

GRADIENTES VENCIDOS (VALOR PRESENTE) Una deuda bancaria se está cancelando con 10 cuotas al final de cada mes, se

conoce que el valor de la primera cuota es de $200, la cual aumenta cada mesen $ 20 y la tasa de interés de financiación es del 10.5% interés anual concapitalización mensual. Calcular el valor inicial de la obligación.

DATOS

n = 10 Cuotas Mensuales

A1 = $ 200 Mensuales

i = 10.5% Anual

= 10/12 =0,875/100= 0,00875

G = $ 20 Mensuales Crecientes

VP = $ ?

PERIODO PAGO INTERES ABONO SALDO0 $ 2.751,48

1 $ 200,00 $ 24,08 $ 175,92 $ 2.575,56

2 $ 220,00 $ 22,54 $ 197,46 $ 2.378,09

3 $ 240,00 $ 20,81 $ 219,19 $ 2.158,90

4 $ 260,00 $ 18,89 $ 241,11 $ 1.917,79

5 $ 280,00 $ 16,78 $ 263,22 $ 1.654,57

6 $ 300,00 $ 14,48 $ 285,52 $ 1.369,05

7 $ 320,00 $ 11,98 $ 308,02 $ 1.061,03

8 $ 340,00 $ 9,28 $ 330,72 $ 730,31

9 $ 360,00 $ 6,39 $ 353,61 $ 376,70

10 $ 380,00 $ 3,30 $ 376,70 $ (0,00)

GRADIENTES VENCIDOS (VALOR PRIMERA CUOTA)La Sra. Liliana Herrera debe pagar $900 por la adquisición de una laptop.Cuál será el valor de la primera cuota que debe abonar la Sra. Herrera alfinal del mes considerando que la misma aumenta en $5 cada periodo yel tiempo de la deuda es de 1 año; cobrándole el 10% de interés anualcapitalizable mensualmente.

DATOS:

VP=$900

t= 1año*12= 12

i= 10%/12= 0,008333333

G= $5

PERIODO CUOTA INTERES ABONO SALDO

0 $ 900,00

1 $ 52,12 $ 7,50 $ 44,62 $ 855,38

2 $ 57,12 $ 7,13 $ 49,99 $ 805,39

3 $ 62,12 $ 6,71 $ 55,41 $ 749,98

4 $ 67,12 $ 6,25 $ 60,87 $ 689,11

5 $ 72,12 $ 5,74 $ 66,38 $ 622,74

6 $ 77,12 $ 5,19 $ 71,93 $ 550,81

7 $ 82,12 $ 4,59 $ 77,53 $ 473,28

8 $ 87,12 $ 3,94 $ 83,17 $ 390,11

9 $ 92,12 $ 3,25 $ 88,87 $ 301,24

10 $ 97,12 $ 2,51 $ 94,61 $ 206,63

11 $ 102,12 $ 1,72 $ 100,40 $ 106,23

12 $ 107,12 $ 0,89 $ 106,23 $ 0,00

Se desea conocer el valor de la cuota 8 aplicando la formula correspondiente sería de la siguiente manera:𝐶𝑁 = 𝐴1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝐺 => c8 = 52,12+(8-1)*5 => c8 = 87,12

El valor de maquinarias se está cancelando con 8 cuotas al inicio de cadasemestre, que aumentan cada mes en 25 y el valor de la primera cuota es de$950. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 8.4% interés anual,calcular el valor de la máquina.

GRADIENTES ANTICIPADOS (VALOR PRESENTE)

DATOS:

n = 8 semestres

A1 = $950

i = 8.4% Anual

= 8.4/2 =4.2%/100= 0,042

G = $ 25 Mensuales Crecientes

VP = $ ?

PERIODO PAGO INTERES ABONO SALDO

$ 7.181,36

1 $ 950,00 $ - $ 950,00 $ 6.231,36

2 $ 975,00 $ 261,72 $ 713,28 $ 5.518,08

3 $ 1.000,00 $ 231,76 $ 768,24 $ 4.749,84

4 $ 1.025,00 $ 199,49 $ 825,51 $ 3.924,33

5 $ 1.050,00 $ 164,82 $ 885,18 $ 3.039,15

6 $ 1.075,00 $ 127,64 $ 947,36 $ 2.091,80

7 $ 1.100,00 $ 87,86 $ 1.012,14 $ 1.079,65

8 $ 1.125,00 $ 45,35 $ 1.079,65 $ (0,00)

GRADIENTES ANTICIPADOS (PRIMERA CUOTA)Peter García cancela una deuda de $600 al inicio de cada periododurante 2 años en un banco que le cobra una tasa de interés del 11%anual capitalizable trimestralmente. Se desea conocer el valor delprimer pago, conociendo que el mismo que aumenta $20 cadaperíodo.

DATOS:

VP=$600

t= 2*4= 8

i= 11%/4=0,0275

G= $20

PERIODO CUOTA INTERES ABONO SALDO

0 $ 600,00

1 $ 15,16 $ 15,16 $ 584,84

2 $ 35,16 $ 16,08 $ 19,07 $ 565,77

3 $ 55,16 $ 15,56 $ 39,60 $ 526,17

4 $ 75,16 $ 14,47 $ 60,69 $ 465,48

5 $ 95,16 $ 12,80 $ 82,36 $ 383,12

6 $ 115,16 $ 10,54 $ 104,62 $ 278,50

7 $ 135,16 $ 7,66 $ 127,50 $ 151,00

8 $ 155,16 $ 4,15 $ 151,00 $ -

Se desea conocer el valor de la cuota 6 aplicando la formula correspondiente sería de la siguiente manera:𝐶𝑁 = 𝐴1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝐺 => c6 = 15,16+(6-1)*20 => c6 = 115,16

GRADIENTES ARITMETICOS VENCIDOS CON VALOR FUTURO EJEMPLO 1: Usted realiza depósitos al final de cada periodo, siendo el valor del primero de $ 500 aumentando cada mes en $ 10, durante 6 meses en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 8% anual capitalizable mensualmente. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

𝑓 = 𝐴1(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖+

𝐺

𝑖

(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖− 𝑛

𝑓 = 500(1 + 0.006666667 )6−1

0.006666667+

10

0.006666667

(1 + 0.006666667)6−1

0.006666667− 6

𝑓 = 500 6.100893345 + 1500 0.100893345

𝑓 = 3050,446673 + 151 , 3400175

𝒇 = 𝟑. 𝟐𝟎𝟏, 𝟕𝟗

Datos:A1 = $ 500 G = $ 10n = 6 meses i = 8% = 8%/12 = 0.006666666667

TABLA DE AMORTIZACION

EJEMPLO 2 Usted realiza depósitos trimestrales, siendo el valor del primer depósito de $ 300, aumentando cada bimestre en $ 9 durante 1 año, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% anual con capitalización bimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

𝑓 = 𝐴1(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖+

𝐺

𝑖

(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖− 𝑛

𝑓 = 300(1 + 0,01666667 )6−1

0,01666667+

9

0,01666667

(1 + 0,01666667 )6−1

0,01666667− 6

𝑓 = 300 6,255625452 + 539,9999989 0,255625452

𝑓 = 1.876,68 + 138,0377438

𝒇 = 𝟐. 𝟎𝟏𝟒, 𝟕𝟑

Datos:A1 = $ 300

G = $ 9n = 1 año = 6 cuotas i = 10%/6 = 0,0166666667


EJEMPLO 3 Un padre de familia decide realizar un ahorro en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% bimensual, en el cual hizo su primer depósito de $ 400 al final del periodo. Se requiere establecer cuál es el valor final del ahorro después de un año, si se efectúan aumentos de $ 10 en cada periodo.

𝑓 = 𝐴1(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖+

𝐺

𝑖

(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖− 𝑛

𝑓 = 400(1 + 0,011 )6−1

0,011+

10

0,011

(1 + 0,011 )6−1

0,011− 6

𝑓 = 400 6,167440053 + 909,0909091 0,167440053

𝑓 = 2466,976021 + 152,21823

𝒇 = 𝟐. 𝟔𝟏𝟗, 𝟏𝟗

DATOSTasa de interés: 1,1%Gradiente: 10Periodos: 12 meses = 6 cuotasCuota 1: 400


EJEMPLO 4 Usted realiza depósitos al final de cada trimestre de $ 450 el primero, que aumentan en $25 en cada periodo, durante un año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2.8% Trimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.

𝑓 = 𝐴1(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖+

𝐺

𝑖

(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑖− 𝑛

𝑓 = 450(1 + 0,028 )4−1

0,028+

25

0,028

(1 + 0,028 )4−1

0,028− 4

𝑓 = 450 4,171157952 + 892,8571429 0,171157952

𝑓 = 1877,021078 + 152,8196

𝒇 = 𝟐. 𝟎𝟐𝟗, 𝟖𝟒

Datos:A1 = $ 450G = $ 25 n = 1 Año = 4 Cuotas i = 2.8% = 2,8 /100 = 0.028


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Gradientes Aritméticas Crecientes