Larson matematicas 2_capitulo_muestra

Sección 5.2 integrales impropias con límites de integración infinitos 201

5

201

Integrales impropias

La imagen, obtenida con el telescopio espacial Hubble de la naSa, de una nebulosa planetaria llamada “nebulosa del ojo del gato” es sólo una muestra de lo que se podría ver si se pudiera viajar a través del espacio. ¿Sería posible propulsar una nave espacial a una distancia ilimitada fuera de la superficie de la Tierra? ¿Por qué?

1dx = 2

1

0 x

1dx = 2

4

1 x

1dx = ∞

∞

4 x

De los estudios de cálculo realizados hasta hora, se sabe que una integral definida tiene límites finitos de integración y un integrando continuo. en el capítulo 5 se estudiarán las integrales impropias. Las integrales impropias tienen un límite infinito de integración por lo menos o tienen un integrando con una discontinuidad infinita. Se verá que las integrales impropias convergen o divergen.

P. Harrington y K.J.Borkowski (University of Maryland) y naSa

(05) Larson 05-1.indd 201 24/1/09 11:26:01

202 caPíTULo 5 integrales impropias

Sección 5.1 Definición de integral impropia

La definición de una integral definida

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

requiere que el intervalo [a, b] sea finito. además, el teorema fundamental del cálculo por el que se han estado evaluando las integrales definidas, requiere que ƒ sea continuo en [a, b]. en esta sección se estudiará un procedimiento para evaluar integrales que normalmente no satisfacen estos requisitos porque cualquiera de los dos límites de integración son infinitos, o ƒ tiene un número finito de discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b]. Las integrales que poseen estas características son las integrales impropias.

Integrales impropias con límites de integración infinitos

notar que en una función se dice que ƒ tiene una discontinuidad infinita en c si, por la derecha o izquierda,

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

Para tener una idea de cómo evaluar una integral impropia, considerar la integral

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

la cual puede interpretarse como el área de la región sombreada mostrada en la figura 5.1. Tomando el límite como b → ∞ produce

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la gráfica de ƒ(x) 1/x2 y el eje x (a la derecha de x 1).

Definición de integrales impropias con límites de integración infinitos

1. Si ƒ es continuo en el intervalo [a, ∞), entonces

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

2. Si ƒ es continuo en el intervalo (∞, b], entonces

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

3. Si ƒ es continuo en el intervalo (∞, ∞), entonces

o

1 dxx2 lím

b→ b

1 dxx2 lím

b→ 1

1b 1.

b

1 dxx2

1x

b

1

1b

1 1 1b

límx→c

fx .límx→c

fx

b

a

f x dx

fx dx c

fx dx

c

fx dx

b

fx dx líma→

b

a

fx dx.

a

fx dx límb→

b

a

fx dx.

donde c es cualquier número real (ver ejercicio 110).

en los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite existe, en caso contrario, la integral impropia diverge. en el tercer caso, la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha divergen.

432

2

1

1x

1dx

x2

b

1 x2

b

1f(x) =

b → ∞

y

La región no acotada tiene un área de 1Figura 5.1

Sección 5.2

(05) Larson 05-1.indd 202 24/1/09 11:26:11

Evaluar

1

límb→

eb 1

límb→

exb

0

0 ex dx lím

b→ b

0 ex dx

0

1x2 1

dx

0 ex dx

límb→

ln b 0

límb→

ln xb

1

1 dxx

límb→

b

1 dxx

1 dxx

.

2

límb→

arctan b

límb→

arctan xb

0

0

1x2 1

dx límb→

b

0

1x2 1

dx

Evaluar

1

límb→

eb 1

límb→

exb

0

0 ex dx lím

b→ b

0 ex dx

0

1x2 1

dx

0 ex dx

límb→

ln b 0

límb→

ln xb

1

1 dxx

límb→

b

1 dxx

1 dxx

.

2

límb→

arctan b

límb→

arctan xb

0

0

1x2 1

dx límb→

b

0

1x2 1

dx

EJEMPLO 1 Una integral impropia divergente

evaluar Evaluar

1

límb→

eb 1

límb→

exb

0

0 ex dx lím

b→ b

0 ex dx

0

1x2 1

dx

0 ex dx

límb→

ln b 0

límb→

ln xb

1

1 dxx

límb→

b

1 dxx

1 dxx

.

2

límb→

arctan b

límb→

arctan xb

0

0

1x2 1

dx límb→

b

0

1x2 1

dx

Solución

Tomar el límite como b → ∞.

aplicar la regla log.

aplicar el teorema fundamental del cálculo.

evaluar el límite.

Ver figura 5.2

noTa intentar comparar las regiones mostradas en las figuras 5.1 y 5.2. ellas parecen similares, sin embargo, la región en la figura 5.1 tiene un área finita de 1 y la región en la figura 5.2 tiene un área infinita.

EJEMPLO 2 Integrales impropias convergentes

evaluar cada integral impropia.

a) b)

Solución

a) b)

Ver figura 5.3 Ver figura 5.4

Evaluar

1

límb→

eb 1

límb→

exb

0

0 ex dx lím

b→ b

0 ex dx

0

1x2 1

dx

0 ex dx

límb→

ln b 0

límb→

ln xb

1

1 dxx

límb→

b

1 dxx

1 dxx

.

2

límb→

arctan b

límb→

arctan xb

0

0

1x2 1

dx límb→

b

0

1x2 1

dx

2

1

321x

1

Diverge(área infinita)

xy =

y

2

1

321x

y = e−x

y

2

1

321x

1

x2 + 1y =

y

Esta región no acotada tiene un área infinitaFigura 5.2

El área de la región no acotada es 1Figura 5.3

El área de la región no acotada es π / 2Figura 5.4

Sección 5.2 integrales impropias con límites de integración infinitos 203

(05) Larson 05-1.indd 203 24/1/09 11:26:25


en el ejemplo siguiente, notar cómo la regla de L’Hôpital puede usarse para evaluar una integral impropia.

EJEMPLO 3 Usando la regla de L’Hôpital con una integral impropia

evaluar Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C

1 xex dx ex1 x ex dx

1 1 xex dx.

Solución Usar la integración por partes, con dv ex dx y u (1 x).

ahora, aplicar la definición de una integral impropia.

Por último, usando la regla de L’Hôpital en el límite derecho produce

Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C


1 1 xex dx.

concluir que

Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C


1 1 xex dx.

Ver figura 5.5.

EJEMPLO 4 Límites superior e inferior de integración infinitos

evaluar

Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C


1 1 xex dx.

Solución notar que el integrando es continuo en (∞, ∞). Para evaluar la integral, se puede descomponer en dos partes, eligiendo c 0 como un valor conveniente.

Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C


1 1 xex dx.Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C


1 1 xex dx.

Ver figura 5.6.

Evaluar

Evaluar

2

4 0

2

4

límb→

4 arctan eb lím

b→ arctan eb

4 lím

b→ arctan ex

0

b lím

b→ arctan ex

b

0

ex

1 e2x dx 0

ex

1 e2x dx

0

ex

1 e2x dx

ex

1 e2x dx.

1 1 xex dx

1e.

límb→

beb lím

b→ 1eb 0

límb→

beb

1e

1 1 xex dx lím

b→ xex

b

1

xex C

ex xex ex C


1 1 xex dx.

x

−0.03

−0.06

−0.09

−0.12

−0.15

y = (1 − x)e−x

42 8

y

2−1−2 1x

ex

1 + e2xy =

y

12

El área de la región no acotada es |1/e|Figura 5.5

El área de la región no acotada es π / 2Figura 5.6

(05) Larson 05-1.indd 204 24/1/09 11:26:40

Integrales impropias con discontinuidades infinitas

el segundo tipo básico de integral impropia es uno que tiene una discontinuidad infinita en o entre los límites de integración. estas integrales también se conocen como integrales de tipo ii o de segunda clase.

Definición de integrales impropias con discontinuidades infinitas

1. Si ƒ es continuo en el intervalo [a, b) y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces

millas-toneladas

pies-libra 6.984 1011

60 000

límb→

240 000 000

b

240 000 0004 000

límb→

240 000 000

x b

4 000

W

4 000 240 000 000

x2 dx

b

a

f x dx c

a

fx dx b

c

fx dx.

b

a

f x dx límc→a

b

c

fx dx.

b

a

f x dx límc→b

c

a

fx dx.

2. Si ƒ es continuo en el intervalo (a, b] y tiene una discontinuidad infinita en a, entonces

millas-toneladas


60 000

límb→

240 000 000

b

240 000 0004 000

límb→

240 000 000

x b

4 000

W

4 000 240 000 000

x2 dx

b

a

f x dx c

a

fx dx b

c

fx dx.

b

a

f x dx límc→a

b

c

fx dx.

b

a

f x dx límc→b

c

a

fx dx.

3. Si ƒ es continuo en el intervalo [a, b], excepto para algún c en (a, b) en que ƒ tiene una discontinuidad infinita, entonces

millas-toneladas


60 000

límb→

240 000 000

b

240 000 0004 000

límb→

240 000 000

x b

4 000

W

4 000 240 000 000

x2 dx

b

a

f x dx c

a

fx dx b

c

fx dx.

b

a

f x dx límc→a

b

c

fx dx.

b

a

f x dx límc→b

c

a

fx dx.

en los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite existe, de otra forma, la integral impropia diverge. en el tercer caso, la integral impropia en la iz-quierda diverge si alguna de las integrales impropias a la derecha diverge.

EJEMPLO 5 Una integral impropia con una discontinuidad infinita

evaluar Evaluar

Evaluar

Evaluar

2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.

2

1 dxx3 0

1 dxx3 2

0 dxx3.

2

1 dxx3.

.

límb→0

18

1

2b2 2

0 dxx3 lím

b→0

12x2

2

b

2

0 dxx3.

32

límb→0

32

1 b23

1

0 x13 dx lím

b→0 x23

231

b

1

0 dx3x

.

Solución el integrando tiene una discontinuidad infinita en x 0, como se muestra en la figura 5.7. Se puede evaluar esta integral como se muestra abajo.

EJEMPLO 6 Una integral impropia divergente

evaluar

Evaluar

Evaluar

Evaluar

2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.

2

1 dxx3 0

1 dxx3 2

0 dxx3.

2

1 dxx3.

.

límb→0

18

1

2b2 2

0 dxx3 lím

b→0

12x2

2

b

2

0 dxx3.

32

límb→0

32

1 b23

1

0 x13 dx lím

b→0 x23

231

b

1

0 dx3x

.

Sección 5.3

Evaluar

Evaluar

Evaluar

2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.

2

1 dxx3 0

1 dxx3 2

0 dxx3.

2

1 dxx3.

.

límb→0

18

1

2b2 2

0 dxx3 lím

b→0

12x2

2

b

2

0 dxx3.

32

límb→0

32

1 b23

1

0 x13 dx lím

b→0 x23

231

b

1

0 dx3x

.

21

2

1

x

13y =

(1, 1)

x

y

Discontinuidad infinita en x 0Figura 5.7

Sección 5.3 integrales impropias con discontinuidades infinitas 205

(05) Larson 05-1.indd 205 24/1/09 11:26:54


2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.2

1 1x3 dx

Solución Porque el integrando tiene una discontinuidad infinita en x 0, se puede es-cribir

así pues, se puede concluir que la integral impropia diverge.

EJEMPLO 7 Una integral impropia con una discontinuidad interior

evaluar

Evaluar

Evaluar

Evaluar

2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.

2

1 dxx3 0

1 dxx3 2

0 dxx3.

2

1 dxx3.

.

límb→0

18

1

2b2 2

0 dxx3 lím

b→0

12x2

2

b

2

0 dxx3.

32

límb→0

32

1 b23

1

0 x13 dx lím

b→0 x23

231

b

1

0 dx3x

.

Solución esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto interior x 0, como se muestra en la figura 5.8. así, se puede escribir

Evaluar

Evaluar

Evaluar

2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.

2

1 dxx3 0

1 dxx3 2

0 dxx3.

2

1 dxx3.

.

límb→0

18

1

2b2 2

0 dxx3 lím

b→0

12x2

2

b

2

0 dxx3.

32

límb→0

32

1 b23

1

0 x13 dx lím

b→0 x23

231

b

1

0 dx3x

.

Del ejemplo 6 se sabe que la segunda integral diverge. así, la integral impropia original también diverge.

noTa cuando se investiga si una integral es impropia o no, hay que averiguar si tiene discontinuidad infinita en un punto terminal o en un punto interior del intervalo de integración. Por ejemplo, si no se hubiera reconocido que la integral en el ejemplo 7 era impropia, se habría obtenido el resultado incorrecto.

evaluación incorrecta.

La integral en el próximo ejemplo es impropia por dos razones. Un límite de integra-ción es infinito, y el integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite exterior de integración.

EJEMPLO 8 Una integral doblemente impropia

evaluar Evaluar

2.

2 0

límb→1–

arcsen xb

0

s 1

0

dx1 x2

1

0

dx1 x2

.

1

01 x

1 x22

dx

s 1

0

1 y 2 dx

.

2

4 0 2

2 2

4

límb→0

2 arctan x1

b lím

c→ 2 arctan x

c

1

0

dxxx 1

1

0

dxxx 1

1

dxxx 1

0

dxxx 1

.

Evaluar

Evaluar

Evaluar

2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.

2

1 dxx3 0

1 dxx3 2

0 dxx3.

2

1 dxx3.

.

límb→0

18

1

2b2 2

0 dxx3 lím

b→0

12x2

2

b

2

0 dxx3.

32

límb→0

32

1 b23

1

0 x13 dx lím

b→0 x23

231

b

1

0 dx3x

.

1

1

2

2y = 1

x3

−1

−1

−2

x

y

La integral impropia 2

1 dxx3

12x2

2

1

18

12

38

.2

1 1x3 dx diverge

Figura 5.8

(05) Larson 05-1.indd 206 24/1/09 11:27:06

Solución Para evaluar esta integral, elegir un punto conveniente (por ejemplo, x 1) y escribir

Ver figura 5.9.

EJEMPLO 9 Una aplicación que involucra longitud de arco

Usar la fórmula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del círculo x2 y2 = 1 es 2π.

Solución Para simplificar el trabajo, considerar el cuarto de círculo dado por y 1 x2, y 1 x2, donde 0 ≤ x ≤ 1. La función y es derivable para cualquier x en este intervalo, excepto x 1. Por consiguiente, la longitud de arco del cuarto de círculo está dada por la integral impropia

esta integral es impropia porque tiene una discontinuidad infinita en x 1. así, se puede escribir

Por último, multiplicando por 4, concluir que la circunferencia del círculo es 4s 2π, como se muestra en la figura 5.10.

esta sección concluye con un teorema útil que describe la convergencia o divergencia de un tipo común de integral impropia. La prueba de este teorema se deja como ejercicio (ver ejercicio 49).

1

1

2

2

x

y = 1x(x + 1)

y

1

1

−1

−1x

1 − x2y =y

, 0 ≤ x ≤ 1

Evaluar

2.

2 0

límb→1–

arcsen xb

0

s 1

0

dx1 x2

1

0

dx1 x2

.

1

01 x

1 x22

dx

s 1

0

1 y 2 dx

.

2

4 0 2

2 2

4

límb→0

2 arctan x1

b lím

c→ 2 arctan x

c

1

0

dxxx 1

1

0

dxxx 1

1

dxxx 1

0

dxxx 1

.

Evaluar

2.

2 0

límb→1–

arcsen xb

0

s 1

0

dx1 x2

1

0

dx1 x2

.

1

01 x

1 x22

dx

s 1

0

1 y 2 dx

.

2

4 0 2

2 2

4

límb→0

2 arctan x1

b lím

c→ 2 arctan x

c

1

0

dxxx 1

1

0

dxxx 1

1

dxxx 1

0

dxxx 1

.

Evaluar

2.

2 0

límb→1–

arcsen xb

0

s 1

0

dx1 x2

1

0

dx1 x2

.

1

01 x

1 x22

dx

s 1

0

1 y 2 dx

.

2

4 0 2

2 2

4

límb→0

2 arctan x1

b lím

c→ 2 arctan x

c

1

0

dxxx 1

1

0

dxxx 1

1

dxxx 1

0

dxxx 1

.

El área de la región infinita es π.Figura 5.9

La circunferencia del círculo es 2πFigura 5.10


(05) Larson 05-1.indd 207 24/1/09 11:27:17


Teorema 5.1 Un tipo especial de integral impropia

EJEMPLO 10 Aplicación a un sólido de revolución

el sólido formado al girar (alrededor del eje x) la región no acotada que queda entre la gráfica de ƒ(x) 1/x y el eje x (x ≥ 1) se llama la trompeta de Gabriel. (Ver figura 5.11.) Mostrar que este sólido tiene un volumen finito y un área de superficie infinita.

Solución Usando el método de los discos y el teorema 5.1, determinar el volumen para ser

Teorema 5.1, p [ 2 > 1.

el área de la superficie está dada por

1 1x1

1x4 dx

1 1x dx

1 1x4 > 1

S 2

1 f x1 fx2 dx 2

1 1x1

1x4 dx.

12 1 .

V

1 1

x2

dx

1 dxxp

1p 1

, si p > 1

diverge, si p ≤ 1

Porque

1 1x1

1x4 dx

1 1x dx

1 1x4 > 1

S 2

1 f x1 fx2 dx 2

1 1x1

1x4 dx.

12 1 .

V

1 1

x2

dx

1 dxxp

1p 1

, si p > 1

diverge, si p ≤ 1

en el intervalo [1, ∞), y la integral impropia

1 1x1

1x4 dx

1 1x dx

1 1x4 > 1

S 2

1 f x1 fx2 dx 2

1 1x1

1x4 dx.

12 1 .

V

1 1

x2

dx

1 dxxp

1p 1

, si p > 1

diverge, si p ≤ 1

diverge, se puede concluir que la integral impropia

1 1x1

1x4 dx

1 1x dx

1 1x4 > 1

S 2

1 f x1 fx2 dx 2

1 1x1

1x4 dx.

12 1 .

V

1 1

x2

dx

1 dxxp

1p 1

, si p > 1

diverge, si p ≤ 1

también diverge. (Ver ejercicio 52.) así, el área de la superficie es infinita.

1 1x1

1x4 dx

1 1x dx

1 1x4 > 1

S 2

1 f x1 fx2 dx 2

1 1x1

1x4 dx.

12 1 .

V

1 1

x2

dx

1 dxxp

1p 1

, si p > 1

diverge, si p ≤ 1

1 1x1

1x4 dx

1 1x dx

1 1x4 > 1

S 2

1 f x1 fx2 dx 2

1 1x1

1x4 dx.

12 1 .

V

1 1

x2

dx

1 dxxp

1p 1

, si p > 1

diverge, si p ≤ 1

x5 6 7 8 9 10

1

−1

−1

f(x) = 1x

y

, x ≥ 1

La trompeta de Gabriel tiene un volumen finito y un área de superficie infinitaFigura 5.11

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para la investigación extensa de sólidos que tienen volúmenes finitos y áreas de superficie infinitas, leer el artículo “Su-persolids: Solids Having Finite Volume and infinite Surfaces”, por William P. Love, en Mathematics Teacher.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para aprender sobre otra función que tiene un volumen finito y un área de superficie infinita, leer el artículo “Gabriel’s Wedding cake”, por Julian F. Fleron, en The College Mathematics Journal.

(05) Larson 05-1.indd 208 24/1/09 11:27:30

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

En los ejercicios 1 a 4, decidir si la integral es impropia. Explicar el razonamiento.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 10, explicar por qué la integral es impropia y determinar si es divergente o convergente. Evaluar las que sean convergentes.

5.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

6.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

7.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

8.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

9.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

10.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

Redacción En los ejercicios 11 a 14, explicar por qué la eva-luación de la integral es incorrecta. Usar la integración en una calculadora para intentar evaluar la integral. Determinar si la calculadora da la respuesta correcta.

11.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

12.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

13.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

14.

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

En los ejercicios 15 a 32, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si es convergente.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

En los ejercicios 33 a 48, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si converge, y veri-ficar los resultados con los obtenidos usando una caluladora para hacer la gráfica.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

Ejercicios 5.2, 5.3

x1

1

2

2

4

4

3

3

y

x1 2 4 5

10

20

40

30

50

y

x

1

2

2

y

x

2

2

y

x1

1

y

x−1

1

y

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2

1

1x ln x

dx

0

4xx 6

dx

3

1

2x 283 dx2

0

13x 1

dx

2

0

14 x2 dx4

2

1x2 4

dx

2

0

14 x2

dx4

2

2

xx2 4 dx

2

0 sec d2

0 tan d

e

0ln x2 dx1

0 x ln x dx

6

0

46 x

dx8

0

138 x

dx

4

0 8x dx1

0 1x2 dx

0 sen

x2

dx

0 cos x dx

0

ex

1 ex dx

0

1ex ex dx

0

x3

x2 12 dx

24 x2 dx

1 ln x

x dx

4

1xln x3 dx

a > 0

0 eax sen bx dx,

0 ex cos x dx

0 x 1ex dx

0 x2ex dx

0 xex2 dx0

xe2x dx

1

44x

dx

1

33x

dx

1

5x3 dx

1 1x2 dx

0 sec x dx 0

0 ex dx 0

2

2

2x 13 dx

891

1 1x2 dx 2

0

e2x dx

0 ex dx

2

0

1x 123 dx2

0

1x 12 dx

4

3

1x 332 dx4

0

1x

dx

1 lnx2 dx1

0

2x 5x2 5x 6

dx

3

1 dxx21

0

dx3x 2


(05) Larson 05-1.indd 209 24/1/09 11:28:16


En los ejercicios 49 y 50, determinar todos los valores de p para los que la integral impropia es convergente.

49. 50.

51. Usar la inducción matemática para verificar que la integralsiguienteconvergeparatodoenteropositivon.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1

y ln x < x ≤ 1y ex,

2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

52. Dadaslasfuncionescontinuasƒygtalesque0≤ƒ(x)≤g(x)enelintervalo[a,∞),demostrarlosiguiente.

a) Si ∞a g(x) dx converge, entonces ∞

a ƒ(x) dx converge.

b) Si ∞a ƒ(x) dx diverge, entonces ∞

a g(x) dx diverge.

En los ejercicios 53 a 62, usar los resultados de los ejercicios 49 a 52 para determinar si la integral impropia converge o diverge.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

Desarrollo de conceptos

63. Describir los diferentes tipos de integrales impropias.

64. Definir las condiciones de convergencia o divergencia al trabajar con integrales impropias.

65. explicar por qué

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

66. considerar la integral

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

Para determinar la convergencia o divergencia de la integral, ¿cuántas integrales impropias deben analizarse? ¿Qué debe ser verdadero en cada integral para que la integral dada converja?

Área En los ejercicios 67 a 70, encontrar el área no acotada de la región sombreada.

67.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

68.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

69. LabrujadeAgnesi: 70. LabrujadeAgnesi:

Área y volumen En los ejercicios 71 y 72, considerar la región que satisface las desigualdades. a) Encontrar el área de la región b) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje x. c) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje y.

71.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

72.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

73. Longitud de arco Dibujarlagráficadelhipocicloidedecuatrocúspides

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

yencontrarsuperímetro.

74. Longitud de arco Encontrarlalongituddearcodelagráficade

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

sobreelintervalo[0,4].

75. Área de una superficie Laregiónacotadapor

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

segiraalrededordelejeyparaformaruntoro.Encontrareláreadelasuperficiedeltoro.

76. Área de una superficie Encontrar el área de la superficieformadaalgirarlagráficadey2exenelintervalo[0,∞)alrededordelejex.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

−1−2−3 1

1

−1

2

3

y

x1 2 3 4

1

2

3

x

y

−1−2−3 1 2 3−1

−2

−3

2

3

y

x

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

x 22 y 2 1

y 16 x2

x 23 y 23 4

x ≥ 1y ≥ 0,y ≤1x2,x ≥ 0y ≥ 0,y ≤ ex,

y 8

x2 4y

1x2 1


2

1x ln x

dx

0 ex 2 dx

1

1x x 1

dx

2

13xx 1

dx

2

1x 1

dx

1

1x2 5

dx

0 x4ex dx

1 1x3 dx

1

0

13x

dx1

0 1x3 dx

0 xnex dx

1

0 1xp dx

1 1xp dx

3

0

10x2 2x

dx.

1

1 1x3 dx 0.

y

x−2−4−6 2 4 6

−2

−4

−6

4

6

(05) Larson 05-1.indd 210 24/1/09 11:28:50

Propulsión En los ejercicios 77 y 78, usar el peso del cohete para contestar cada pregunta. (Usar 4 000 millas como el radio de la Tierra y no considerar el efecto de la resistencia al aire.)

a) ¿Cuánto trabajo se requiere para propulsar el cohete a una distancia infinita fuera de la superficie de la Tierra?

b) ¿Qué tan lejos ha viajado el cohete cuando la mitad del trabajo total ha ocurrido?

77. Cohetede5toneladas 78. Cohetede10toneladas

Probabilidad Una función no negativa ƒ se llama función de densidad de probabilidad si

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

La probabilidad de que x quede entre a y b está dada por

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

El valor esperado de x está dado por

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

En los ejercicios 79 y 80, a) mostrar que la función no negativa es una función de densidad de probabilidad, b) encontrar P(0 ≤ x ≤ 4) y c) encontrar E(x).

79.

80.

Costo capitalizado En los ejercicios 81 y 82, encontrar el costo capitalizado C de un recurso a) para n 5 años, b) para n 10 años y c) para siempre. El costo capitalizado está dado por

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

donde C0 es la inversión original, t es el tiempo en años, r es el in-terés compuesto continuo del interés anual y c(t) es el costo anual de mantenimiento.

81. C0 = $650 000 82. C0 $650 000

c(t) $25 000 c(t) = $25 000(1 0.08t)

r 0.06 r 0.06

83. Teoría electromagnética el potencial magnético P en un punto en el eje de un circuito circular está dado por

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

donde N, I, r, k y c son las constantes. encontrar P.

84. Fuerza gravitacional Una varilla uniforme “semi-infinita” ocupa el eje x no negativo. La varilla tiene una densidad lineal δ la cual mide un segmento de longitud dx que tiene una masa de δ dx. Una partícula de masa m se localiza en el punto (a, 0). La fuerza gravitatoria F que la varilla ejerce en la masa está dada por

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

donde G es la constante gravitatoria. encontrar F.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 85 a 88, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falso.

85. Siƒescontinuoen[0,∞)y

f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,entonces

f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

converge.

86. Si ƒ es continuo en [0, ∞) y

f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

diverge, entonces

f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

87. Siƒ′escontinuoen[0,∞)y

f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

entonces

f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

88. Silagráficadeƒessimétricaconrespectoalorigenoalejey,entonces

f x dx0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

convergesiysólosi f x dx

0 f x dx

0 f x dx f 0.

límx→

f x 0,0,

límx→

f x 0.

0 f x dx

0 f x dxlím

x→ f x 0,

con-verge.

89. Redacción

a) Las integrales impropias

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

divergen y convergen, respectivamente. Describir las di-ferencias esenciales entre los integrandos que son causa del distinto comportamiento.

b) Dibujar una gráfica de la función y sen x/x sobre el in-tervalo (1, ∞). Usar el conocimiento de la integral definida para inferir si la integral

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

converge o no. Dar las razones de la respuesta. c) Usar una iteración de integración por partes en la integral

en el apartado b) para determinar su divergencia o con-vergencia.

90. Exploración Considerarlaintegral

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.

dondenesunenteropositivo.

a) ¿La integral es impropia? explicar. b) Usar una para hacer la gráfica del integrando para n 2,

4, 8 y 12. c) Utilizar las gráficas para aproximar la integral como

n → ∞. d) Usar un sistema algebraico de computadora para evaluar

la integral para los valores de n en el apartado b). Hacer una conjetura sobre el valor de la integral para cualquier entero positivo n. comparar los resultados con la respuesta en el apartado c).

y

2

0

41 tan xn dx

1 sen x

x dx

1 1x2 dx

1 1x dx

F

0

GM

a x2 dx

P 2 NIr

k

c

1

r2 x232 dx

r 0.06r 0.06

ct $25 0001 0.08tct $25 000

C0 $650 000C0 $650 000

C C0 n

0 ctert dt

f t 25e2t5, 0,

t ≥ 0t < 0

f t 17et7,0,

t ≥ 0 t < 0

Ex

t f t dt.

Pa ≤ x ≤ b b

a f t dt.

f t dt 1.


(05) Larson 05-1.indd 211 24/1/09 11:29:13


91. Función gamma LafuncióngammaΓ(n)sedefinepor

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.

f t senh atf t cosh at

f t sen atf t cos at

f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

a) encontrar Γ(1), Γ(2) y Γ(3). b) Usar la integración por partes para mostrar que Γ(n 1)

nΓ(n). c) escribir Γ(n) usando notación factorial donde n es un

entero positivo.

92. Demostrarque

y 4 x2.

In n 1n 2In1,donde

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

Entoncesevaluarcadaintegral.

Transformada de Laplace Sea ƒ(t) una función definida para todos los valores positivos de t. La transformada de Laplace de f(t) se define por

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

si la integral impropia existe. Se usa la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones diferenciales. En los ejercicios 93 a 100, encontrar la transformada de Laplace de la función.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

101. Probabilidad normal Laalturamediadehombresestado-unidensesentre18y24añosdeedades70pulgadas,ylades-viaciónestándares3pulgadas.Unhombrede18a24añosdeedadeselegidoalazardeentrelapoblación.Laprobabili-daddequeseade6piesdealtoomáses

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

(Fuente: National Center for Health Statistics.)

a) Usar una calculadora para representar gráficamente el integrando. Usar la calculadora para verificar que el área entre el eje x y el integrando es 1.

b) Usar una computadora para aproximar P(72 ≤ x ∞).

c) aproximar 0.5 P(70 ≤ x ≤ 72) usando una calcu-ladora. Usar la gráfica en el apartado a) para explicar por qué este resultado es igual a la respuesta del aparta-do b).

102. a) Dibujarelsemicírculo y 4 x2.

In n 1n 2In1,

b) Explicarporqué

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

sinevaluarcualquierintegral.

103. ¿Paraquévalordeclaintegralconverge?

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

Evaluarlaintegralparaestevalordec.

104. ¿Paraquévalordeclaintegralconverge?

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

Evaluarlaintegralparaestevalordec.

105. Volumen Encontrarelvolumendelsólidogeneradoalgirarlaregiónacotadaporlagráficadeƒalrededordelejex.

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

106. Volumen Encontrarelvolumendelsólidogeneradoalgirarlaregiónnoacotadaquequedaentreylnxyelejey(y≥0)alrededordelejex.

u-Sustitución En los ejercicios 107 y 108, volver a escribir la integral impropia como una integral propia usando la u-sustitu-ción dada. Entonces usar la regla de los trapecios con n 5 para aproximar la integral.

107.

108.

109. a) Usar una calculadora para representar gráficamente lafunciónyex2

.

b) Mostrarque

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

110. Sea

f x dxconvergenteyseanayblosnúmerosreales

dondea≠b.Mostrarque

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

0est f t dt

0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

a)

b)

c)

a

f x dx

a

f x dx b

f x dx

b

f x dx.

0 ex2 dx 1

0

ln y dy.

u 1 x1

0

cos x1 x

dx,

u x1

0 sen xx

dx,

f x x ln x,0,

0 < x ≤ 2x 0

1 cx

x2 2

13x dx

0 1x2 1

c

x 1 dx

2

2

2 dx4 x2

2

2

4 x2 dx

P72 ≤ x <

72

1

32ex70218 dx.



f t eatf t t2

f t tf t 1

Fs

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0

x5

x2 16 dx

0

x3

x2 15 dx

0

xx2 14 dx

n ≥ 1.In

0

x2n1

x2 1n3 dx,

n > 0.n

0 xn1ex dx,

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Economy & Finance

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