Mesure du risque de marché d’un portefeuille d’actions (MASI)

Université CADY AYYADFaculté des Sciences et Techniques Marrakech

Ingénierie en Actuariat et FinanceModule : Gestion des risques financiers

Mesure du risque de marché d’unportefeuille d’actions (MASI)

VaR, Back-testing/Stress-testing et exigences en fonds propres

Présenté par :Fouad HAMDOUNI

Mohamed oualid BENABADJI

Presented toProfessor: Khadija AKDIM

November 30, 2015

1

Plan

Aperçu théoriqueRisque du marchéMéthodes de calcul de la VaRLes dérivés de la VaR

Mesure du risque de marché pour un portefeuille d’indice MASIÉlaboration des donnéesCalcul de la VaRComparaison des résultats obtenues

Back-test et Stress-testDéfinition du Back-testDéfinition du Stress-testTest de validitéImplémentation du Back-test

Exigences en fonds propresDéfinition des fonds propresMéthodologie de calcul des fonds propresImplémentation du calcul des fonds propres

Conclusion

| Ingénierie en Actuariat et Finance

1

Plan





Conclusion


1

Plan





Conclusion


1

Plan





Conclusion


1

Plan





Conclusion| Ingénierie en Actuariat et Finance

2

————-


2

Ce que nous détaillons maintenant






3

Comité Bâle

I Pilier I: L’exigence en fonds propres

I Le ratio de solvabilité

FPRM + RC + RO

≥ 8%

I Pilier II: La procédure de surveillance prudentielle

I Le Back-testingI Le Stress-testing

I Pilier III: La discipline de marché

I L’information est mise à la disposition du public sur les actifs


3

Comité Bâle

I Pilier I: L’exigence en fonds propresI Le ratio de solvabilité

FPRM + RC + RO

≥ 8%






3

Comité Bâle


FPRM + RC + RO

≥ 8%






3

Comité Bâle


FPRM + RC + RO

≥ 8%

I Pilier II: La procédure de surveillance prudentielleI Le Back-testing

I Le Stress-testingI Pilier III: La discipline de marché



3

Comité Bâle


FPRM + RC + RO

≥ 8%

I Pilier II: La procédure de surveillance prudentielleI Le Back-testingI Le Stress-testing




3

Comité Bâle


FPRM + RC + RO

≥ 8%





3

Comité Bâle


FPRM + RC + RO

≥ 8%


I Pilier III: La discipline de marchéI L’information est mise à la disposition du public sur les actifs


4

Risque du marché

Le risque de marché est le risque de perte qui peut résulter suite auxvariations et fluctuations des paramètres du marché tel que:

I Les taux d’intérêt

I Le cours d’actionsI Les cours de changeI Les prix des titres de propriété et de produits de baseI La volatilité des options correspondantes


4

Risque du marché


I Les taux d’intérêtI Le cours d’actions

I Les cours de changeI Les prix des titres de propriété et de produits de baseI La volatilité des options correspondantes


4

Risque du marché


I Les taux d’intérêtI Le cours d’actionsI Les cours de change

I Les prix des titres de propriété et de produits de baseI La volatilité des options correspondantes


4

Risque du marché


I Les taux d’intérêtI Le cours d’actionsI Les cours de changeI Les prix des titres de propriété et de produits de base

I La volatilité des options correspondantes


4

Risque du marché


I Les taux d’intérêtI Le cours d’actionsI Les cours de changeI Les prix des titres de propriété et de produits de baseI La volatilité des options correspondantes


5

Définition de la valeur à risque

La VaR se définit par la perte potentielle maximale qu’une banque ouune institution financière peut subir dans un intervalle de tempsdonné et avec un seuil de confiance donné.C’est donc une mesure global et probabilisé du risque de marché.

InterprétationEn d’autres termes la VaR répond à l’affirmation suivante : « Noussommes certains à X% que nous n’allons pas perdre plus d’unmontant égal à la VaR sur les N prochains jours ».


5

Définition de la valeur à risque

La VaR se définit par la perte potentielle maximale qu’une banque ouune institution financière peut subir dans un intervalle de tempsdonné et avec un seuil de confiance donné.C’est donc une mesure global et probabilisé du risque de marché.

InterprétationEn d’autres termes la VaR répond à l’affirmation suivante : « Noussommes certains à X% que nous n’allons pas perdre plus d’unmontant égal à la VaR sur les N prochains jours ».


6

VaR univariée

Le calcul par la méthode univariée, on considère le portefeuillecomme un actif unique.On doit supposer que les Profit-Loss à la date t est une distributionnormale d’espérance µ et de variance σ2

on obtient:

VaRt = −µ− σφ−1(α)

I µ : l’espérance de rentabilité du portefeuille

I σ: la volatilité du portefeuille


6

VaR univariée

Le calcul par la méthode univariée, on considère le portefeuillecomme un actif unique.On doit supposer que les Profit-Loss à la date t est une distributionnormale d’espérance µ et de variance σ2

on obtient:

VaRt = −µ− σφ−1(α)

I µ : l’espérance de rentabilité du portefeuilleI σ: la volatilité du portefeuille


7

VaR multivariée

Le calcul par la méthode multivariée prend en compte la corrélationentre les actifs composants le portefeuille.

VaRp = ασpP0 = α√

xTσx

I X: vecteur des valeurs des actifs

I σ : la matrice de variance-covarianceI α : le seuil de confiance


7

VaR multivariée



xTσx

I X: vecteur des valeurs des actifsI σ : la matrice de variance-covariance

I α : le seuil de confiance


7

VaR multivariée



xTσx

I X: vecteur des valeurs des actifsI σ : la matrice de variance-covarianceI α : le seuil de confiance


8

Méthode historique

I La VaR historique est entièrement basée sur les variationshistoriques des facteurs de risque F(t).

I A partir de l’historique, nous construisons implicitement unedistribution empirique.


8

Méthode historique

I La VaR historique est entièrement basée sur les variationshistoriques des facteurs de risque F(t).

I A partir de l’historique, nous construisons implicitement unedistribution empirique.


9

Méthode de Monte Carlo

La méthode de calcul de la VaR Monte Carlo est utilisée en généralquand le portefeuille contient des produits dérivés.Le principe consiste à simuler un grand nombre N de trajectoirespossibles d’un actif financier donné.Pour obtenir la Value-at-Risk pour un niveau de confiance de(100− α)% , il suffit ensuite de sélectionner le α% ∗ N pire scénario.


10

Les dérivés de la VaR

La principale critique faite à l’encontre de la VaR est qu’elle n’est pasune mesure de risque additive. Par exemple, pour 2 portefeuilles P1et P2 l’axiome d’additivité n’est pas respecté; on a :

VaR(P1 + P2) 6= VaR(P1) + VaR(P2)

Une seconde critique de la VaR est due à sa définition même. C’estla mesure d’une perte maximale potentielle avec un certain niveau deconfiance. Une VaR à 95% ne donne aucune idée de l’ampleur de laperte au-delà du quantile fixé à 5%.On va donc définir des mesures complémentaires du risque de perte: la VaR conditionnelle (CVaR), la VaR incrémental (IVaR) et aussi laVaR stressée.


11

La VaR conditionnelle

Pour une variable aléatoire X, la VaR conditionnelle, notée CVaR, estdéfinie par :

CVaR = E[−X |X < −VaR(X )]

En d’autres termes, la VaR conditionnelle peut se définir commel’espérance de la perte lorsque cette perte dépasse la VaR.Puisque la VaR mesure la valeur qui sépare les (1− α)% de ladistribution, on cherche à se focaliser sur la queue de distribution dela perte, les α% restant, dont on ne connait ni la distribution, nil’espérance.Contrairement à la VaR, la CVaR est une mesure cohérente durisque qui respecte l’axiome d’additivité.


12

VaR incrémental

Un autre outil de la gestion du risque est la VaR incrémental, notéeIVaR, qui mesure l’effet sur la VaR d’une nouvelle transaction ou deson dénouement (adjonction ou retrait d’un actif au portefeuille).Soit P un portefeuille d’actifs et Ai le montant investi dans un nouvelactif i, alors la VaR incrémental peut être définit comme la différenceentre la nouvelle VaR et l’ancienne :

IVaR = VaRP+Ai − VaRP


13

La stressed VaR

DéfinitionLa SVaR est une VaR calculée sur une période stressée d’un an, auniveau de confiance de 99% à horizon 10 jours. L’objectif estd’évaluer les impacts de scénarios stressés sur le portefeuille et lesniveaux de marché actuels.

Méthodologie

I Méthodologie identique à celle de la VaR (historique), mêmepérimètre d’application (positions).

I Les facteurs de risque (choix et modélisation) et lesapproximations de modèles sont identiques à ceux retenus pourla VaR.

I La méthode de détermination de la fenêtre stressée estnaturellement spécifique à la SVaR.


13

La stressed VaR


Méthodologie

I Méthodologie identique à celle de la VaR (historique), mêmepérimètre d’application (positions).




13

La stressed VaR


MéthodologieI Méthodologie identique à celle de la VaR (historique), même

périmètre d’application (positions).




13

La stressed VaR



périmètre d’application (positions).I Les facteurs de risque (choix et modélisation) et les

approximations de modèles sont identiques à ceux retenus pourla VaR.



13

La stressed VaR



périmètre d’application (positions).I Les facteurs de risque (choix et modélisation) et les

approximations de modèles sont identiques à ceux retenus pourla VaR.



14







15

Élaboration des donnéesCalcul des rendements

A partir des cours boursiers, on a calculé les rendements journaliersde chaque actif composant l’indice MASI.


16

Élaboration des donnéesLes valeurs actuelles

On aura besoin des valeurs actuelles de chaque actif, qui se calculefacilement en multipliant le nombre des titres et le prix.


17

Les valeurs du portefeuille

le calcul de la VaR se base sur les valeurs actuelles du portefeuillechaque jour, qui n’est que la somme des valeurs actuelles de chaqueactif pondéré par sa composition.


18

Test de normalité des rendements


19

Test de normalité des rendements

Paramètres RésultatsKurstosis 2,722884516Coefficient d’asymétrie 0,2937

D’après la figure précédente, on voit que la distribution desrendements de l’actif Attijariwafa bank a une allure d’une loi normalesymétrique de kurtosis 2,72 ( proche de 3) et un coefficientd’asymétrie de 0,29 ( proche de 0).Par conséquent, les rendementsde cet actif suivent une loi normale.On peut étudier de la même manière la distribution des autres actifs.


20

Calcul de la VaRInterface graphique


21

Méthode Univariée

Comme on avait expliqué au début de ce travail, la VaR univariéprend en compte l’hypothèse que le portefeuille est un unique actif.

L’investisseur doit accepter une perte maximale dans un horizon d’unjour qui représente 1,33% de la valeur du portefeuille.


22

Méthode Variance-Covariance

Dans le cas de la VaR multivariée, le calcul se fait en prenant enconsidération la corrélation entre les actifs composants le portefeuille.Alors avant le calcul de la VaR, on était dans l’obligation de calculer lamatrice de Variance-Covariance reliant les différents actifs de l’indice.


23

Méthode historique

Le calcul de la VaR historique se base sur les données historiquesdes valeurs actuelles du portefeuille. Cette dernière représente1,52% de la valeur totale du portefeuille.


24

Méthode de Monte Carlo

Comme vu précédemment dans cette présentation, la méthode deMonte Carlo se base sur la simulation numérique des valeurs duportefeuilles. Le résultat obtenu représente 1,28% de la valeur totaledu portefeuille.


25

Comparaison des résultats obtenues


26

Comparaison des résultats obtenues

On peut confirmer l’infériorité du résultat de la méthode multivariéepar rapport la méthode univariée qui peut être expliqué parl’utilisation de la corrélation entre les actifs (Principe de ladiversification). Tandis que pour le résultat de la méthode historiquequi présente la plus grande valeur peut s’expliquer par la constructionde la méthode en se basant sur des données historiques et uneinterpolation linéaire des valeurs du portefeuille actuelles obtenues.


27







28

Définition du Back-test

Le Back-test est un outil statistique qui a pour but de mesurerl’adéquation et la validité des modèles établis. Il se base sur lacomparaison entre la VaR calculée par le modèle que nous avonsélaboré et les profits et pertes subits sur une journée.

ExempleUne VaR quotidienne avec un seuil de confiance de 1% donne leniveau de perte qui va être dépassé dans les conditions normales dumarché en moyenne une fois dans chaque 100 jours. Si le test est faitsur 1000 jours, un modèle de VaR surestimé montrera moins de 10exceptions, alors qu’un modèle de VaR sous-estimée donnera plusde 10 exceptions.


29

Définition du Stress-test

Le Comité de Bâle soumet également les banques à des tests devalidité de fonds propres en cas de crise économique.Cela signifie que la banque doit être en mesure de prouver que sesfonds propres sont suffisants pour supporter une crise économique.


30

Test de validité

Ce test utilise un intervalle de confiance de 99%, les P&L sontsupposés indépendants, on peut voir l’occurrence des dépassementscomme étant une séquence de T essais de Bernoulli, ainsi le nombrede dépassement N est une variable aléatoire qui suit une loibinomiale. La probabilité qu’un bon modèle génère x dépassementsdurant T jours en utilisant la fonction de probabilité de la loi binomialeest :

P(N = x) = CxT Px (1− P)T−x

P(N = x) est la probabilité d’obtenir au maximum le nombre dedépassements indiqué avec un taux de couverture effectif de 99%.


31

Back-test de la méthode univariée


32

Test de validité de la méthode univariée


33

Back-test de la méthode multivariée


34

Test de validité de la méthode multivariée


35

Back-test de la méthode historique


36

Test de validité de la méthode historique


37

Back-test de la méthode Monte Carlo


38

Test de validité de la méthode Monte Carlo


39







40

Définition des fonds propres

Les fonds propres réglementaires correspondent aux fonds propresque doivent détenir les établissements financiers en lien avecl’exigence réglementaire définie par le Comité de Bâle.


41

Approche interne

La quantification des risques est devenue l’une des principalespréoccupations des banques dans le but de déterminer les exigencesen fonds propres nécessaires pour se couvrir contre les aléas del’activité bancaire. Le calcul des exigences en fonds propresmoyennant l’approche standard consiste à imposer à toutétablissement bancaire une grille de mesure de type :

ExigencesFP = Position ∗ Pourcentage


42

Approche standard

Le Comité de Bâle recommande que les exigences en fonds propres(FP) d’une banque à une date particulière s’élèvent au montantmaximum entre, d’une part, la VaR du présent jour, et d’autre part, lamoyenne des VaR quotidiennes des 60 derniers jours ouvrés,multipliée par un facteur, appelé multiplicateur (avec un minimum 3 etun maximum de 4) déterminé par les autorités prudentielles (BankAl-Maghrib ) :

FP = max [VaRt ; (3 + complment)160

∑VaRt−i ]


43

Un coefficient multiplicateur sera attribué à chaque établissementbancaire en fonction de la qualité de son système de gestion desrisques, avec un minimum de 3, le cas échéant d’un facteurcomplémentaire variant entre 0 et 1, conformément au tableauci-après, en fonction du nombre des dépassements mis en évidencepar le contrôle ex-post (Back-testing).

Zone Nombres d’exceptions complémentVerte de 0 à 4 0Jaune de 5 à 9 entre 0.5 et 0.85Rouge plus de 10 1


44

Calcul des EFP pour la méthode univariée


45

Calcul des EFP pour la méthode multivariée


46

Calcul des EFP pour la méthode historique


47

Calcul des EFP pour la méthode Monte Carlo


48







49

Conclusion

I Toute institution financière doit respecter les accords de Bâle

I La mesure du risque de marché se fait par les différentesméthodes de la VaR (Univariée, Multivariée, Historique, MonteCarlo)

I Après la construction du modèle de calcul, il faut le valider parl’outil de Back-testing

I L’importance du calcul des exigences en fonds propres pour lesinstitutions financières


49

Conclusion

I Toute institution financière doit respecter les accords de BâleI La mesure du risque de marché se fait par les différentes

méthodes de la VaR (Univariée, Multivariée, Historique, MonteCarlo)




49

Conclusion






49

Conclusion






Thank you for yourattention!

Economy & Finance

Mesure du risque de marché d’un portefeuille d’actions (MASI)