Teoria de colas

UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTUNEZ DE

MAYOLO”

TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA

Docente: Econ. ROMEL ROJAS MELGAREJO

Investigación de Operaciones Económicas II

Departamento Académico de Economía

y Contabilidad


INTRODUCCIÓN

Las colas o las líneas de espera son parte de nuestra vida diaria.

Muchos hemos tenido que esperar en fila: para pagos de matrícula de un semestre académico o para ser atendidos en el salón de belleza.

El sistema se congestiona y hay que esperar, pero otras se desalientan por el tamaño de la fila y se marchan.

Es al ingeniero danés, A. K. Erlang, a quien se le atribuye haber sido el creador de la teoría de colas, (teoría de líneas de espera o modelos de líneas de espera) a principios del siglo XX, que estudio el congestionamiento y tiempos de espera que ocurrían al efectuar las llamadas telefónicas, llegando a muchos de los resultados que actualmente utilizamos.

Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo


INTRODUCCIÓN

La teoría de colas es el estudio de los procesos de espera en diferentes circunstancias. Usa modelos de colas para presentar los diversos tipos de sistemas de colas (sistemas que significan hacer cola de algún tipo) que pueden surgir en la practica.

Los modelos de colas se ayudan de formulas y relaciones matemáticas para determinar las características de operación (medidas de desempeño) de una línea de espera.

También se le conoce como sistemas de procesamiento:, pues incluye fábricas donde los trabajos se mueven en varias etapas durante el proceso de fabricación, o dependencias en donde el manejo de documentación lo realizan varios individuos, grupos o comités. En dicho caso se forman "redes de colas“.



INTRODUCCIÓNLas características de operación (medidas de desempeño) de interés, incluyen:1. La probabilidad de que no haya unidades o (clientes) en el

sistema.2. El numero promedio o esperado de unidades (clientes) en la

línea de espera. 3. El numero promedio de unidades (clientes) en el sistema.4. El tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la línea de

espera.5. El tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema.6. La probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que

esperar para que le atiendan.7. La probabilidad de que haya “n” unidades (clientes) en el

sistema.Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo


OBJETIVO DE LA TEORÍA DE COLAS

La teoría de colas o líneas de espera, procura el estudio riguroso

del fenómeno de la espera organizada de clientes para la obtención

de un servicio que presta un servidor.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio

proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el

cliente no llega en un horario fijo; es decir, no se sabe con exactitud

en que momento llegarán los clientes. Así, como también el tiempo

de servicio no tiene una duración fija.

Contar con esta información permitirá tomar decisiones que

equilibren los noveles de servicio contra el costo de proporcionar el

servicio.



ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA

La teoría de colas o líneas de espera, procura el estudio riguroso

del fenómeno de la espera organizada de clientes para la obtención

de un servicio que presta un servidor.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio

proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el

cliente no llega en un horario fijo; es decir, no se sabe con exactitud

en que momento llegarán los clientes. Así, como también el tiempo

de servicio no tiene una duración fija.

Contar con esta información permitirá tomar decisiones que

equilibren los noveles de servicio contra el costo de proporcionar el

servicio.



EJEMPLO DE SISTEMAS DE LÍNEA DE ESPERA

Naturaleza de las unidades

Naturaleza del ServicioNaturaleza de las

Estaciones

Clientes Venta de un artículo Vendedores

Barcos Descarga Muelles

Aviones Aterrizaje Pistas

Llamadas telefónicas Conversaciones Circuitos

Llegada de automóviles Aduanas Agentes

Mensajes Desciframiento Descifradores

Máquinas en reparación Reparación Mecánicos

Incendios Extinción Carros de Bomberos

Pedidos en ejecución Confección o reparación Talleres

Correo Mecanografía Secretarias

Clientes Entrega contra inventario Inventarios

Vehículos Paso en un cruce Semáforos




Para ilustrar las características básicas de un modelo de líneas de espera, veamos el siguiente caso de estudio:

El restaurante de comida rápida Burger Dome vende hamburguesas, sencillas con queso, papas fritas; así como refrescos y malteadas, y diversos postres. Aunque los administradores desean dar un servicio inmediato a todos los clientes, en ocasiones llegan más de los que el personal puede atender. Por ello, los clientes hacen cola para colocar y recibir sus pedidos.

A la gerencia de Burger Dome les preocupa que los métodos que emplean actualmente para atender a sus clientes dan como resultado tiempos de espera excesivos. La gerencia desea estudiar la línea de espera para determinar el método más adecuado para reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.



LÍNEA DE ESPERA DE CANAL UNICO:

En la operación actual de Burger Dome, un empleado recibe el

pedido, determina su costo total, recibe el dinero del cliente y

después surte el pedido. Una vez cubierto el pedido del primer

cliente, el empleado recibe el pedido del que sigue en la cola. Esta

operación es un ejemplo de una línea de espera de canal único. Así,

cada cliente que entra al restaurant Burger Dome debe pasar por un

canal - una estación de toma y entrega de pedidos – para hacer el

pedido, pagar el importe y recibir la comida. Cuando llegan más

clientes de los que es posible atender en forma inmediata, se forma

una fila y esperan a que esté disponible la estación que recibe y

surte los pedidos.




LÍNEA DE ESPERA DE CANAL UNICO:

En la figura siguiente se muestra un diagrama de la línea de espera de un solo canal para el caso de estudio de Burger Dome:


Línea de espera

Toma y entrega de

pedidos

Despachador

Sistema de línea de espera

Llegada de clientes

El cliente se retira luegoque le entregan su pedido



DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS O ARRIBOS:

Definir el proceso de las llegadas a una línea de espera implica

determinar la distribución de probabilidad del número de

arribos en un determinado lapso de tiempo. Generalmente,

las llegadas ocurren de manera aleatoria e independiente de

otras y no es posible pronosticar el momento en que ocurrirá

una.

En estos casos, los científicos de la administración han

encontrado que la distribución de probabilidad de poisson

ofrece una buena descripción del patrón de llegadas.





La función de probabilidad de Poisson, da la probabilidad de «x» llegadas en un periodo de tiempo especifico. La función de probabilidad es la siguiente:

Donde:x = numero de llegadas en el periodo de tiempo.l = numero medio de llegadas por periodo de tiempo.e = 2.71828

El numero medio de llegadas por periodo de tiempo «l» se llama tasa de llegadas.

𝑷 (𝒙 )=λ𝒙 𝒆− λ

𝒙 !;𝒄𝒐𝒏𝒙=𝟎 ,𝟏 ,𝟐 ,……





Suponga que Burger Dome analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de arribos es de 45 clientes por hora. Para un periodo de 1 minuto la tasa de llegadas seria λ = (45 clientes /60 minutos) = 0.75 clientes por minuto. Por tanto, se puede utilizar la función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de «x» llegadas durante un periodo de 1 minuto:

Por tanto, las probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas por minuto son las siguientes:

P(0)= 0.4724; P(1)= 0.3543; P(2)= 0.1329





Vemos que la probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo

de un minuto es de 0.4724 y la probabilidad de que haya 2 llegadas

en un periodo de tiempo de un minuto es de 0.1329.

Los modelos de líneas de espera que se presentaran mas adelante

utilizan la distribución de Poisson para describir las llegadas de

clientes a Burger Dome. En la práctica se debe registrar el número

real de llegadas por periodo durante varios días o semanas y

comparar la distribución de frecuencia del numero observado de

llegadas con la distribución de probabilidad de Poisson, para

determinar si ésta da una aproximación razonable de la distribución

de las llegadas.




DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO:

El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez iniciado el servicio. En Burger Dome, el tiempo de servicio se inicia cuando un cliente comienza a hacer su pedido con el empleado y continua hasta que lo recibe. Los tiempos de servicio rara vez son constantes. Los investigadores determinaron que se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual a un tiempo de duración «t»

.m = numero medio de clientes que pueden ser atendidos por periodo de tiempo. «m» se llama tasa de servicio.




DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO:

Suponga que Burger Dome analizó el proceso de toma y entrega de pedidos y encontró que un empleado puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora. Basada en un minuto, la tasa de servicio seria m = 60 clientes/ 60 minutos = 1 cliente por minuto. Por tanto, se puede utilizar la función de probabilidad exponencial para calcular la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un «t»:

Por tanto, tenemos que:



DISCIPLINA EN LA LÍNEA DE ESPERA:

Al describir un sistema de línea de espera debemos definir la manera en que los clientes que esperan se ordenan para ser atendidos. De este modo tenemos:

Primero en entrar, primero en salir (FIFO - PEPS) o primero en llegar, primero en ser servido (FCFS - PLPS): los clientes son atendidos en el orden en que van llegando. (clientes de bancos).

Ultimo en entrar, primero en salir (LIFO - UEPS) o último en llegar, primero en ser servido (LIFS - ULPS): el cliente que ha llegado último es el primero en ser atendido. Ejemplo: procesos de producción donde los productos llegan a una estación de trabajo y son apilados uno encima de otro.




DISCIPLINA EN LA LÍNEA DE ESPERA:

Selección de prioridad (disciplinas de prioridad en espera):

Proceso de llegadas en que a cada cliente se le da una

prioridad y de acuerdo a ésta es seleccionado para el

servicio.

Servicio en orden aleatorio (SEOA) Cuando el orden en

que llegan los clientes no tiene efecto sobre el orden en

que se les sirve. Por ejemplo, al abordar un ómnibus, la

suerte de la selección determina con frecuencia al

siguiente cliente que es atendido.




OPERACIÓN CONSTANTE EN ESTADO ESTABLE:

Para el caso de Burger Dome, cuando el restaurant abre en la

mañana, no hay clientes en el restaurant. Gradualmente, la

actividad se incrementa hasta un estado de forma constante,

normal o estable.

El período de comienzo o principio se conoce como período

transitorio, el mismo que finaliza cuando el sistema alcanza la

operación de estado estable o normal.

Los modelos de línea de espera describen las características de

operación en estado estable o constante (normal) de una línea de

espera.




MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO

EXPONENCIALES


Presentamos un conjunto de formulas matemáticas que se utilizan

para determinar las características de operación constante de una

línea de espera de canal único. Estas son apropiadas si:

Las llegadas siguen una distribución de probabilidad poisson, y

Los tiempos de servicio llevan una distribución de probabilidad

exponencial.

Estos supuestos son validos para el problema de Burger Dome visto,

demostraremos como empleamos las formulas para determinar las

características de operación de Burger Dome, y por tanto, aportan

información útil para la toma de decisiones.



LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:

Sean:

l = numero medio de llegadas por periodo de tiempo (tasa de llegadas).

m = numero medio de servicios por periodo de tiempo (tasa de servicios).

Para que el sistema alcance una condición de estado estable, la tasa de servicio promedio «m» debe ser mayor que la tasa de llegadas promedio «l». Si éste no fuera el caso, la cola del sistema continuaría creciendo debido a que, en promedio, llegarían más clientes que los que pueden ser atendidos por unidad de tiempo.




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el

sistema:

2. Numero promedio de unidades (clientes) en la línea de espera:

3. Numero promedio de unidades (clientes) en el sistema:




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:4. Tiempo promedio que la unidad (cliente) pasa en la línea de

espera.

5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que esperar a ser atendida:




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema.

La ecuación «6» muestra que la relación de « /l m» da la probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por que la instalación de servicio esta ocupada. Entonces, « /l m» se conoce como factor de uso de la instalación de servicio.

Las ecuaciones «1» y «7» requieren que el valor de «m>l», o dicho de otro modo « / <1l m ». Si no se da esta condición, la línea de espera crecerá sin limite por que la instalación de servicio no tiene suficiente capacidad para atender a los clientes que llegan.




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DE BURGER DOME:




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:La ecuación - - puede usarse para determinar la probabilidad de que haya cualquier numero de clientes en el sistema. De este modo, obtenemos la información de probabilidad de la siguiente tabla:

N° de clientes

Probabilidad

0 0.2500

1 0.1875

2 0.1406

3 0.1055

4 0.0791

5 0.0593

7 o mas 0.1335

Muestra la distribución de probabilidad para el N° de clientes que se encuentran en el sistema. Permite responder: ¿Cuál es la probabilidad de que no haya más de tres clientes en el sistema? En este caso, la respuesta de 0.6836 que se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla (para n = 0, 1, 2, 3).




Resultados sobre la operación de línea de espera de Burger Dome:

1. Los clientes esperan en promedio de 3 minutos antes de que empiecen a hacer un pedido, lo que parece mucho tiempo para un negocio basado en el servicio rápido.

2. El N° promedio de clientes en la cola es de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan, indican que se debe hacer algo para mejorar la operación de la línea de espera.

3. La probabilidad de que 7 o mas clientes estén en el sistema de Burger Dome a la vez es 0.1335, lo cual indica una probabilidad bastante alta de que la empresa afrontara algunas líneas de espera largas si sigue empleando la operación de un solo canal.




MEJORA DE LA OPERACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA :

Los modelos de líneas de espera indican con frecuencia cuando es necesario mejorar sus características de operación. No obstante la decisión dependerá de las ideas y creatividad del analista.

Los analistas a menudo se enfocan en formas de mejorar la tasa de servicios. En general la tasa de servicios mejora con uno o ambos de las siguientes cambios:

1. Incrementar la tasa de servicio por medio de un cambio de diseño creativo o una nueva tecnología.

2. Agregar uno o mas canales de servicio de modo que mas clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo.



MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO

EXPONENCIALES

Se compone de 2 o mas canales de servicio y se suponen idénticos en función de capacidad de servicio.

Con proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa promedio de «l » clientes por unidad de tiempo.

Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita.

Un proceso de servicio que consiste en «k» servidores o canales idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial con promedio de «m» clientes por unidad de tiempo.



MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO

EXPONENCIALES

Línea de espera

Sistema de línea de espera

Llegada de clientes

El cliente se retira luego

que le entregan su

pedidoCanal 2

Canal 1

Despachador A

Despachador A



LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

A continuación veremos las fórmulas para determinar las

características de operación constante de una línea de espera de

múltiples canales. Estas formulas son apropiadas siempre que se

cumplan las siguientes condiciones:

Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.

El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de

probabilidad exponencial.

La tasa de servicios «m» es la misma para cada canal.

Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego se

dirigen al primer canal abierto para que las atienda.



CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:Las siguientes formulas se emplean para encontrar las características de operación de líneas de espera de múltiples canales; donde:

l = Tasa de llegadas del sistema.

m = Tasa de servicios de cada canal.

k = numero de canales.

1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el sistema:







4. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la línea de espera.




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:


7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema.





Como «m» es la tasa de servicio de cada canal, «km» es la del

sistema de múltiples canales. En forma similar que para el modelo

de líneas de espera de canal único, las formulas de las

características de operación de líneas de espera de múltiples

canales se aplica solo en situaciones en las que la tasa de servicios

del sistema es mayor que su tasa de llegadas. Es decir, si: «k m > l».

Algunas expresiones de las características de operación de líneas de

espera de múltiples canales son mas complejas que sus

contrapartes de canal único. Sin embargo la ecuación «1» y «7»

dan la misma información que la provista por el modelo de canal

único.




Suponga que la gerencia evalúa abrir una estación de procesamiento de pedidos de modo que dos clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo.

De este modo, para el sistema se tiene para el sistema de k = 2 canales. Con una tasa de llegadas de l = 0.75 clientes por minuto y una tasa de servicios de m = 1 cliente por minuto por cada canal. Se obtienen las características de operación:








CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:Empleando las ecuaciones «7» determinamos la probabilidad de que haya «n» clientes en el sistema. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

N° de clientes

Probabilidad

0 0.4545

1 0.3409

2 0.1278

3 0.0479

4 0.0180

5 o mas 0.0109

Muestra la distribución de probabilidad para el N° de clientes que se encuentran en el sistema. Permite responder: ¿Cuál es la probabilidad de que no haya más de tres clientes en el sistema? En este caso, la respuesta de 0.6836 que se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla (para n = 0, 1, 2, 3).




Comparemos las características de operación constante del sistema de dos canales con las características de operación del sistema de canal único original de línea de espera de Burger Dome:

1. El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (tiempo de espera mas tiempo de servicio) se reduce de W=4 minutos a W=1.1636 minutos.

2. En N° promedio de clientes formados en la línea de espera se reduce de clientes a clientes.

3. El tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera se reduce de minutos a minutos.

4. La probabilidad e que un cliente tenga que esperar a que lo atiendan se reduce de a .




Las decisiones que implican el diseño de líneas de espera se

basaran, con frecuencia en una evaluación subjetiva de las

características de operación de las líneas de espera. Así, los modelos

vistos pueden usarse para determinar el numero de canales que

cumplirán las metas de desempeño de las línea de espera deseadas

establecidas por el gerente.

Por otro lado, es posible que un gerente desee identificar el costo

de operar el sistema de línea de espera y luego basar la decisión con

respecto al diseño del sistema en un costo de operación mínimo por

hora o día.

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA



Desarrollaremos un modelo de costo total de una línea de espera definido la notación que se utilizara:

= costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad.

= numero promedio de unidades en el sistema.

= costo del servicio por periodo de tiempo de cada canal.

= numero de canales.

= costo total por periodo de tiempo.

El costo total es la suma del costo de espera y el costo de servicio; es decir:




Las estimaciones del costo de espera y costo de servicio deben ser razonables. Para Burger Dome, el costo de espera seria el costo por minuto que un cliente espera para que lo atiendan. Este costo no es un costo directo para la empresa, pero obviarlo generaría y pérdida de clientes que se irían a otra parte; así, Burger Dome perderá ventas, y en realidad, incurrirá en costos.

El costo de servicio es el costo asociado con la operación de cada canal de servicio. En el caso de Burger Dome, este costo incluiría el salario y las prestaciones del despachador, y cualquier otro costo directo asociado con al operación del canal de servicio. Se estima que este costo para Burger Dome es de $7 por hora.

Asimismo, el costo por tiempo de espera de un cliente para Burger Dome es de $10 por hora.




Emplearemos el numero promedio de unidades en el sistema calculados anteriormente para obtener el costo total por hora de los sistemas de un canal y dos canales.

Sistema de canal único (L = 3 clientes):

Sistema de dos canales (L = 0.8727 clientes):

Por tanto, el sistema de dos canales opera de forma mas económica.





Nivel Óptimo de Servicio

Nivel de Servicio

Costo por ESPERA

Costo por SERVICIO

Costo

Costo Total

Mínimo

COSTO TOTAL

ESPERADO FORMA GENERAL DE

LAS CURVAS DE COSTO DE

ESPERA, COSTO DE SERVICIO Y COSTO TOTAL EN MODELOS DE LÍNEA DE

ESPERA



OTROS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERASe emplea una notación para clasificar la amplia variedad de modelos de líneas de espera diferentes, denominado notación de Kendall, que consta consta de 3 símbolos, como sigue:

A/B/k

Donde:

A = denota la distribución de probabilidad de las llegadas.

B = denota la distribución de probabilidad del tiempo de servicios.

k = denota el numero de canales.

En función de la letra que aparece en la posición «A» o «B», se pueden describir varios sistemas de líneas de espera. Así:

M Designa una distribución de probabilidad de Poisson de las llegadas, o una distribución de probabilidad exponencial del tiempo de servicio .



OTROS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA

Empleando la notación de Kendall, el modelo de líneas de espera de

canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicios

exponenciales se clasifica como modelo M/M/1.

El modelo de líneas de espera con dos canales y llegadas Poisson,

con tiempos de servicios exponenciales se clasificaría como modelo

M/M/2.

D Designa que las llegadas o el tiempo de servicio es determinístico o constante.

G Designa que las llegadas o el tiempo de servicio tienen una distribución de probabilidad con una media y varianza conocidas.



MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE

SERVICIO ARBITRARIOS

Retomemos el modelo de líneas de espera de canal único con

llegadas Poisson. Sin embargo, ahora suponemos que la

distribución de los tiempos de servicios no es una distribución

de probabilidad exponencial. Así, empleando la notación

Kendall el modelo de línea de espera apropiado es un modelo

M/G/1; donde, «G» denota una distribución de probabilidad

general o no especifica.



CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/G/1:La notación empleada para describir las características de operación del modelo M/G/1 es:

l = Tasa de llegadas.

m = Tasa de servicios.

s = desviación estándar del tiempo de servicios.

Algunas de las características de operación constante del modelo M/G/1 es:


LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS










CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:


Observe que las relaciones de son las mismas que las relaciones

utilizadas para los modelos de línea de espera de canal único y de

dos canales.





VEAMOS UN EJEMPLO: Las ventas al detalle (menudeo) en Trujillo

Market son manejadas por un dependiente. Las llegadas de los

clientes son aleatorias y la tasa de llegadas es de 21 clientes por

hora o Un estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo de

servicio es de 2 minutos por cliente con una desviación estándar de

1.2 minutos. El tiempo medio de 2 minutos por cliente indica que el

dependiente tiene una tasa de servicio de Las características de

operación de este sistema de línea de espera M/G/1 son:






TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES:

Una línea de espera de canal único que asume llegadas aleatorias y tiempos de servicio constantes puede ocurrir en entornos de producción y manufactura donde los tiempos de servicio controlados por maquinas son constantes. El modelo M/D/1 describe esta línea de espera, donde «D» denota los tiempos de servicio determinísticos. Con el modelo M/D/1, el numero promedio de unidades en la línea de espera, se calcula con:

Con la condición de que




TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES:

Por tanto, la expresión para el numero promedio de unidades o

clientes en la línea de espera M/D/1 es:

Las otras expresiones o formulas presentadas con anterioridad para

el modelo M/G/1 se utilizan para determinar las características de

operación o medidas de desempeño adicionales del sistema M/D/1.




Una interesante variación de los modelos de línea de espera

analizados anteriormente, es aquel sistema en la que no se

permite esperar. Los clientes que llegan buscan ser atendidos

en uno de los varios canales de servicio. Si todos los canales

están ocupados, a los clientes que llegan se les impide el

acceso al sistema. Es decir, las llegadas que ocurren cuando el

sistema esta completo son bloqueadas y eliminadas del

sistema. Tales clientes pueden perderse o intentar retornar

mas tarde.

MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN

LÍNEA DE ESPERA



Este modelo especifico se basa en los siguientes supuestos:

1. El sistema tiene «k» canales.

2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa de llegadas «l».

3. El tiempo de servicio de cada canal puede tener cualquier distribución de probabilidad.

4. La tasa de servicio «m» es la misma para cada canal.

5. Una llegada entra al sistema solo si por lo menos un canal esta disponible. Una llegada que ocurre cuando todos los canales están ocupadas es bloqueada, es decir, se le niega el servicio y no se le permite entrar al sistema.

MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE

ESPERA



Con «G» que denota una distribución de probabilidad general o no especificada de tiempos de servicio, el modelo apropiado en este caso se conoce como el modelo M/G/k con «clientes bloqueados eliminados». La pregunta abordada en este caso es ¿cuántos canales o despachadores se deberán emplear?.

Este modelo es aplicable en sistemas de comunicación telefónicos u otros sistemas de comunicación donde las llegadas son las llamadas y los canales son el numero de líneas telefónicas o de comunicación disponibles. En un sistema así, las llamadas se hacen a un numero telefónico, con cada llamada automáticamente dirigida a un canal abierto, si es posible.

Cuando todos los canales están ocupados, las llamadas adicionales reciben un tono de ocupado y se niega el acceso al sistema.


ESPERA



CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DEL MODELO M/G/k CON CLIENTES BLOQUEADOS ELIMINADOS :

Se aborda el problema de seleccionar el mejor numero de canales al calcular la probabilidades constantes de que los canales «j» y «k» estarán ocupados. Estas probabilidades son:

Donde:


ESPERA

l = tasa de llegadas k = numero de canales

= m tasa de servicio de cada canal

= probabilidad de que «j» de los canales estén ocupados, con j=0, 1, 2, 3….k



CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DEL MODELO M/G/k CON CLIENTES BLOQUEADOS ELIMINADOS :

El valor de probabilidad mas importante es el cual es la probabilidad de que todos los «k» canales estén ocupados. En porcentaje, indica que el porcentaje de llegadas bloqueadas y a las que se les niega el acceso al sistema.

Otra característica de operación de interés es el numero promedio de unidades en el sistema: vera que este numero equivale al numero promedio de canales en uso. Con «L» como el numero promedio de unidades en el sistema, tenemos:


ESPERA



EJEMPLO: Microdata Software Inc. utiliza un sistema de ventas por teléfono para sus productos de software. Los posibles clientes hacen pedidos a Microdata por medio del numero telefónico 800 de la empresa. Suponga que las llamadas llegan a razón de l = 12 llamadas por hora. El tiempo requerido para procesar un pedido hecho por teléfono varia de forma considerable de un pedido a otro. Sin embargo, es posible que cada representante de ventas de Microdata atienda m = 6 llamadas por hora. En la actualidad, el numero telefónico 800 dispone de tres líneas internas, cada una operada por un representante de ventas distinto. Las llamadas recibidas en el numero 800 se transfieren automáticamente a una línea o canal abierto si esta disponible.


ESPERA



Si las tres líneas están ocupadas, los llamadores reciben una señal de ocupado. En el pasado la gerencia de Microdata suponía que los posibles clientes que recibían un tono de ocupado volverían a llamar. Sin embargo, estudios recientes sobre ventas por teléfono demostraron que un numero importante de estos ya no volvían a llamar. Estas llamadas pérdidas representan perdida de ingresos para la empresa, por lo que la gerencia pidió que se analizara el sistema de ventas por teléfono a fi de conocer el porcentaje de posibles clientes que obtenía señal de ocupado y no tenían acceso al sistema. La meta es contar con suficiente capacidad para atender al 90% de los posibles clientes. ¿Cuántas líneas telefónicas y cuantos representantes de ventas requiere Microdata?.


ESPERA



Calcularemos , la probabilidad de que las tres líneas actualmente disponibles estén en uso y que mas clientes no tengan acceso al sistema:

Con , aproximadamente el 21% de las llamadas, o poco mas de una de cinco llamadas, es bloqueada. Solo el 79% de las llamadas es atendida de inmediato por el sistema de tres líneas.


ESPERA



Calcularemos , la probabilidad de que cuatro líneas puedan estar disponibles y en uso; y por lo mismo, mas clientes no tengan acceso al sistema:

Con solo 9.52% de los posibles clientes bloqueados, el 90.48% de los posibles clientes lograra comunicarse con los representantes de ventas.


ESPERA



El numero promedio de llamadas en el sistema de cuatro líneas, y por tanto el numero de líneas y representantes de ventas que estarán ocupados es:

Aun cuando un promedio de menos de dos líneas estarán ocupadas, el sistema de cuatro líneas es necesario para tener la capacidad de atender por lo memos al 90% de los posibles clientes.


ESPERA



Empleando la formula de «», calcularemos la probabilidad de que 0, 1, 2, 3,o 4 líneas estén ocupadas; cuyos resultados se resume en el siguiente cuadro:


ESPERA

Numero de líneas ocupadas

probabilidad

0 0.14291 0.28572 0.28573 0.19054 0.0952



Como vimos anteriormente, se puede emplear un análisis económico de las líneas de espera como guía para tomar decisiones de diseño del sistema. Para Microdata, el costo de la línea y el representante de ventas adicionales deberá ser relativamente fácil de establecer. Este costo puede balancearse contra el costo de llamadas bloqueadas. Con 9.52% de las llamadas bloqueadas y llamadas por hora, un día de 8 horas tendrá un promedio de 8(12)(0.0925) = 9.1 llamadas bloqueadas. Si Microdata puede estimar el costo de las posibles ventas perdidas, el costo de estas llamadas bloqueadas puede establecerse. El análisis económico basado en el costo del servicio y el costo de cada llamada bloqueada pueden ayudar a determinar el numero optimo de líneas para el sistema


ESPERA



El modelo de población con fuente finita se basa en los siguientes supuestos:

1. Las llegadas de cada unidad sigue una distribuían de probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas «l».

2. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad Exponencial, con tasa de servicio «m».

3. La población de unidades o clientes que buscan ser atendidas es finita.

Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población con fuente finita.

MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS



La tasa de llegadas del modelo M/M/1 con una población con

fuente finita se define en función de que tan frecuentemente

llega una unidad o busca que la atiendan. Esta situación difiere

de la de los casos modelos de línea de espera previos, en los

que «l» denotaba la tasa de llegadas del sistema. Con una

población con fuente finita, la tasa de llegadas del sistema

varia, según el número de unidades en el sistema.

Así, en lugar de ajustar con base en la tasa de llegadas

variable, en el modelo de población con fuente finita «l»

indica la tasa de llegadas de cada unidad.




CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN CON FUENTE FINITA:

Las siguientes formulas se emplean para determinar las características de operación constante del modelo M/M/1 con una población con fuente finita; donde:

l = Tasa de llegadas de cada unidad.

m = Tasa de servicios.

N = tamaño de la población.





CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN CON FUENTE FINITA:







CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN

CON FUENTE FINITA:

5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que

esperar a ser atendida:

7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema:




Una de las aplicaciones del modelo M/M/1 con población finita se conoce como problema de reparación de maquinarias. La población finita es un grupo de maquinas que solicita el servicio de reparación. Siempre que una maquina se descompone ocurre una llegada (nueva solicitud de reparación). Si una maquina se descompone antes de culminada la reparación de una primera, esta ultima inicia la línea de espera para el servicio de reparación. Otras maquinas que se descompongas prolongaran la línea de espera. Las maquinas, entonces, se reparan en el orden en que se descomponen. El modelo M/M/1 muestra que una persona o canal esta disponible para realizar el servicio de reparación. Así, cada maquina descompuesta debe ser reparada por la operación de canal único.




EJEMPLO: Kolkmeyer Factoring utiliza un grupo de seis maquinas idénticas, cada una funciona un promedio de 20 horas entre descomposturas ( por hora). Con las descomposturas ocurriendo al azar, se utiliza la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegadas de maquinas descompuestas. Una persona del departamento de mantenimiento proporciona el servicio de reparación de canal único para las seis maquinas. Los tiempos de servicios exponencialmente distribuidos tienen una media de dos horas por maquina ( maquinas por hora). Empleamos las formulas del modelo M/M/1 con población finita para calcular las características de operación de este sistema. Podemos calcular que el valor de (compruébelo).




Los cálculos de las demás características de operación son:

1. .

2. Con la formula calcule las probabilidades de que haya cualquier numero de maquinas en el sistema de reparación.




Según los resultados, una maquina descompuesta espera un

promedio de 1.2784 horas antes que se inicie el servicio y el hecho

de que mas del 50% de las maquinas descompuestas esperan el

servicio de reparación ( indica que puede que se requiera un

sistema de dos canales para mejorar el servicio de reparación de las

maquinas.

Los cálculos de las características de operación de una línea de

espera de población con fuente finita de múltiples canales son mas

complejos que los de un modelo de canal único. En este caso una

solución por computadora es virtualmente obligatorio.


MUCHAS GRACIAS



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