אורנים מכללת

מתקדמים ללימודים הפקולטה

סמינריונית יישומית גמר עבודת

.M.Ed לתואר הלימודים מחובות כחלק מוגשת

להוראת המתמטיקה והמדעים בבית הספר העל יסודי בתוכנית

השעשועיםמתמטיקה בגן

את עולם המשלבת מתמטיקה ב מקוונתיחידת לימוד פיתוח

עם מתקניהמושגים המתמטיים שנלמדו בכיתה

השכונתי, באמצעות פתרון בעיה השעשועים-גן

מיועד לתלמיד חטיבה עליונה וחטיבת ביניים.

,ברויאר עליזה מגישה

054197819. ת.ז

ד"ר מירה טנצר בהנחיית

2015, פברואר

תודות

עניינים תוכן

1 ......................................................................................................................................................... תקציר

1 ........................................................................................................................................................... מבוא

3 ...................................................................................................................................... ספרות סקירת 1

3 ....................................................................................... (DEEPER LEARNING) משמעותית למידה 1.1

5 ..................................... מתמטי מודל בעזרת יום-היום מחיי בעיות כפתרון "מתמטית אוריינות" טיפוח " 1.2

7 .............................................................. :אוריינות בעיות פתרון לצורך הנדרשות מרכזיות מיומנויות 1.3

7 ............................................. .סימבוליות מערכות מספר בין המקשרת מתמטית כאוריינות גרפים בניית 1.4

9 ......................................................................................... מאוריינות כחלק טכנולוגיות מיומנויות 1.5

10 ................................................................................................................ החקר בדרך למידה 1.6

10 .............................................................................. עצמית מסוגלות ותחושת המוטיבציה חשיבות 1.7

11 ............................................... הקונסטרוקטיביסטית הגישה – במתמטיקה בלמידה התלמיד מעורבות 1.8

12 ............................................................... מתמטי מודל באמצעות חשיבה של גבוהות לרמות חשיפה 1.9

13 .........................................................................................."השעשועים בגן מתמטיקה" הלימוד יחידת 2

13 ............................................................................................... הלימוד יחידת תופעל בו ההקשר 2.1

14 .................................................................................................... הרעיון תמצית - כללי תיאור 2.2

14 ............................................................................................ :היחידה משתמשת בהן טכנולוגיות 2.3

15 ............................................................................................................... :הלימוד יחידת רצף 2.4

16 ................................................................... הלימוד יחידת משתמשת בהם מתמטיים מושגים פירוט 2.5

16 ...................................................................................................................... :למידה תוצרי 2.6

17 ........................................................ "יםהשעשוע בגן מתמטיקה" הלימוד יחידת של ההוראה מטרות 2.7

18 .................................................................................. "השעשועים בגן מתמטיקה" היחידה מבנה 2.8

21 ................................................"השעשועים בגן מתמטיקה" הלימוד ביחידת השיעורים של מפורט תיאור 3

21 ................................................................................. (:1-2 שיעור) והדגמה רקע – ליחידה מבוא 3.1

23 .................................................................... (:3 שיעור) לחקר מתקן ובחירת השעשועים בגן סיור 3.2

24 .............................. (4 שיעור) הווידאו ניתוח תכנת עם עבודה באמצעות מתמטיים מושגים וחקר חידוד 3.3

27 ............................................................................... (5 שיעור) טבלאי בייצוג התנועה נתוני ביטוי 3.4

28 ...................................................................................... (6 שיעור) בגרפים התנועה נתוני ביטוי 3.5

30 .............................................................................................(:7 שיעור) המתמטי המודל הסקת 3.6

32 ..................................................................... (8 שיעור) למציאות המתמטי מהמודל מסקנות הסקת 3.7

33 ......................................................................................................... (9 שיעור) מסכם שיעור 3.8

34 ................................................................................... אחרות אוכלוסיות עבור הלימוד ליחידת התאמות 4

34 ............................................................................................................. הביניים חטיבת עבור 4.1

34 ...................................................................................................................... 'י כיתות עבור 4.2

34 ............................................................................................................. ב"י ,א"י כיתות עבור 4.3

34 ..................................................... (מתקדמות כיתות) השגיאה פונקציית עם הכירות :10-11 שיעור 4.4

35 ................................................................................................................ העבודה ביצוע על רפלקציה 5

36 ............................................................................................................................................... ביבליוגרפיה

1 .............................................................................................................................................. נספחים 6

1 ..................................................................................................................... הבית דף – נספח 6.1

1 ........................................................................................................... התוצרים תלקיט – נספח 6.2

2 .......................................................................................... חקר שאלות – תוצרים תלקיט– נספח 6.3

3 .................................................................................... גיאומטרי סרטוט – תוצרים תלקיט– נספח 6.4

4 ....................................................................................... עקבות תרשים – תוצרים תלקיט –נספח 6.5

T. ................................................................................. 5 של כפונקציה X – תוצרים תלקיט – נספח 6.6

T. ................................................................................. 5 של כפונקציה Y – תוצרים תלקיט - נספח 6.7

7 ............................................................................................... לנדנדה 'בנג בין השוואה – 3נספח 6.8

7 ................................................................................................. .השעשועים בגן מדידות – נספח 6.9

8 .............................................................................................. 1 שיעור – לתלמיד הנחיות - נספח 6.10

8 .................................................................................... 3 שיעור לקראת – לתלמיד הנחיות - נספח 6.11

9 ............................................................................................................. המדידות חידון – נספח 6.12

10 .......................................................................................................... הפונקציה חידון - נספח 6.13

11 ............................................................................................................... תנועה חידון– נספח 6.14

רשימת איורים

4 .................................................... (2013) ואברום אבני פי על 2020 משמעותית למידה - 1 איור

5 ............................................................. הלימוד ביחידת המשמעותית הלמידה תהליך 2 איור

6 .......................................... מתמטיים למוגים המציאות תרגום - המתמטיזציה תהליך 3 איור

16 ....................................... כיתה/גיל לפי בעבודה השלבים את המפרט זרימה תרשים - 4 איור

t ........................................................................... 5 של כפונקציה x תוצרים תלקיט - 5 איור

t ........................................................................... 6 של כפונקציה y תוצרים טתלקי - 6 איור

1

תקציר

כמו למידה 21-של המאה הבתחום הדעת מתמטיקה המשלבת מטרות על לימוד יחידת

למידת חקר, רמות חשיבה גבוהות, משמעותית, טיפוח אוריינות מתמטית, ראיה מערכתית,

, הבנויה משמונה , מקוונתרלוונטיות לעולם התלמיד, לכדי יחידת לימוד אחת, טכנולוגיה

. לרשות שעשועיםבגן ה 1תנועהפונקציית שהוא חקר אחד סביב נושא מרכזי מערכי שיעור

מראה את התוצרים המצופים, נותן ,מעין "עוזר אישי" שמדריךמחשב, התלמיד עומד אתר

היחידה מיועדת לאוכלוסיית תלמידים מכיתה ז' עד י"ב כאשר דוגמאות, חידונים ועוד.

ההבדלים הם בשימוש בידע מתמטי שקיים אצל התלמיד. תהליך החקר של בנית המודל

המתמטי נשאר לכל הרמות ומתבסס על השלבים שאלות החקר, איסוף נתונים גולמיים משטח

ודל, כאשר לתלמיד יש תובנות גן השעשועים, עיבודם, ובניית מודל מתמטי. לאחר בניית המ

חדשות הנובעות מהחקר המתמטי, יחידת הלימוד מאתגרת את התלמיד ומבקשת הצעה

לשדרוג או שיפור של מתקן השעשועים הנובעים מתוך המודל המתמטי. דוגמה שהיחידה

גם תתקן בנג'י. יחידת הלימוד משלבסטנדרטית מגן השעשועים למנותנת היא שדרוג נדנדה

ה לצורך חקר התנועה.פיזיק

מבוא

מקצוע ות המבטלות את הצורך בלימוד לא אחת אני שומעת מתלמידי טענכמורה,

. מםלעולת רלוונטי המתמטיקה אינתחושתם הלש ,תלמידיםול של כתסמתמטיקה ומבטאות ה

מופשט נעשה באופןבכיתה מתמטיקה הלימוד שטענות כגון אלה, מכיוון יש מן הצדק ביתכן ש

לתלמיד יש התנגדות טבעית למתמטיקה , תוצאה מכךכ .הקשר לעולמות רואה א ווהתלמיד אינ

. בעיני בעולם המתמטי "להתנהל"כיצד שיטותאו כליםולהפנים ש ורכמתאמץ לאינו והוא

הלומדים תלמידים . מניסיוני, בעיה זו בולטת במיוחד בקרב זר ומאייםהתלמיד העולם המתמטי

במסגרת העבודה הנוכחית שמוצגת לימוד יחידת ה. במתמטיקה ידות לימודיח בהיקף של שלוש

מנסה להתמודד עם קושי שבו המתמטיקה נתפסת אצל התלמיד כלא רלוונטית לחייו ועל כן היא

גורמת לו להיותבכל מקום, ו מצויהמיותרת. יחידת הלימוד מדגימה לתלמיד שהמתמטיקה

מודע לנוכחות שלה.

מיועדת ו שיעורים( 8-)כבמתמטיקה מכילה תכנים מתכנית הלימודים לימוד היחידת

)י', י"א, י"ב(. עליונה וחטיבה )ז',ח',ט( ידי חטיבת בינייםתלמל

החומר המתמטי הוא "חוק הפונקציה", מעבר ייצוגים מטבלאי לגרפי –עבור כיתות ז',ח'

פרשנות מילולית של הגרף, שילוב צורות גיאומטריות, קנה מידה.

א חקירת פונקציית מקום וזמן, פונקציה ריבועית החומר המתמטי היתוספת –עבור כיתות ט'

שנובעת מתוך המודל המתמטי )אחד מתנאי השפה )גרף: פרבולה(, בנית תרחיש של סיטואציה

משתנה או אחד מהפרמטרים מקבל תחום ערכים שונה מזה שנמדד(.

)על החומר של ט'(. מתווסף החומר של המעגל –עבור כיתות י'

מתווסף חומר של וקטורים, פונקציה מחזורית, תנועה הרמונית, –עבור כיתות י"א, י"ב

1 זמן"-לעיתים מכנים את הפונקציה "מקום

2

פונקציית השגיאה, חומרים רלוונטיים מפיזיקה )כמו ניתוח כוחות(. –סטטיסטיקה

. את תכנית הלימודיםים תואמכל החומרים

בתוך העולם הפיזי תר בדרך כלל מן העין, הנס ,הרובד המתמטיוגילוי חקרהדגש ביחידה זו הוא

שעשועיםהגן . לצורך כך, נבחרה סביבת למידה של באופן חוויתיהסובב את התלמיד וזאת

מרחבאל לל הכיתה מחמתמטיקה ה. "הוצאת" לימוד נגיש לתלמיד בכל שעות היוםה ,השכונתי

,להיות פעיל בלמידהגן שעשועים מאפשרת לתלמיד תוך מתמטיים במושגים גילויו המציאות

על קבל תובנות חדשות ואולי אף ל ,לבנות קשרים חדשים בין עולמו הפנימי למושגים מתמטיים

. בכיתה נומושגים שטרם נדו

יחד עם זאת, במידה ואין גן שעשועים נגיש, ניתן ליישם את היחידה על סירטון וידאו מוקלט

יתוח התנועה. חלופה אחרת יכולה להיות מראש וצילומי מתקנים מוכנים שעליהם יתבצע נ

יציאה של הכיתה לסיור בגן שעשועים )כדוגמת לונה פארק( ושם לבצע את הצילומים.

מתוך סיטואציה מודל מתמטי בניית חקר של יחידת הלימוד מעבירה את התלמיד תהליך

החקר הם תהליךמרכזיים ב םשלבי בגן השעשועים. נדנדהעל תנועת ילדשל מציאותית

( איסוף נתונים מהשטח 3( שאילת שאלות חקר; )2ראיה מערכתית של כל תהליך החקר; ) (1)

למשל לאיסוף נתוני התנועה פרמטרים מרכזייםהגדרת ( 5( תרשימים ; )4)מדידות, צילומים(; )

;הפונקציה הגדרתתחום *קנה מידה, *נקודה המייצגת את אובייקט התנועה, *מערכת הצירים, *

יםהנובע גרפיםהונתונים הפרשנות (7) ;טבלאותב םשמירתוהתנועה נתונידגימה ואיסוף ( 6)

המתארת מתוך הגרף פונקציה )ייצוג אלגברי( הסקת בניית המודל המתמטי על ידי ( 8) ;הםמ

,𝑥)המעקב אובייקטהתנועה האופקית, האנכית ומיקום בקירוב את 𝑦) ( ;9 ) הסקת מסקנות

המציאות כמו למשל איך לעשות נדנדה שתנוע במסלול יותר ארוך ותגיע מהמודל המתמטי על

המשתמשת באותו מודל סיטואציה שונה, יותר לגובה או הצעות לשיפור המתקן או הקלטת

ואף לתלמיד לכיתות הגבוהות בחטיבה העליונה .מתמטי שנחקר )לדוגמה זריקת כדור לגובה(

ההפרשים סכום ריבועי בשיטת שוב שגיאת המודל ( חי10) -בחטיבת הביניים שרוצה להתקדם

. שיפור בפונקציית המודל כך שריבוע ההפרשים יהיה מינימלי( 11) ;המודל לדגימותבין

בכל שלב, גן השעשועים נגיש לתלמיד והוא יכול לבצע הקלטות של סיטואציות נוספות על מנת

להיות יותר משוכנע במודל.

הרצון לשנות את דימוי המתמטיקה ו עולם המציאות ובין טיתהמתמהתאוריה גשר ביןהצורך ל

של המתמטיקה את הרלוונטיותזו אשר ממחישה תח יחידת פאותי להובילו הם ש בעיני התלמיד

אלא כר שהמתמטיקה אינה רק תרגול לפני בחינה, . אני מאמינה היום יומית למציאות

יכולתשינוי היחס למתמטיקה בקרב תלמידים יספק להם יליצירתיות, דמיון וחשיבה, וכ

הצלחותלמוטיבציה, עלייה בשיוביל ל דבר ,יותר עם משימות מתמטיות ההתמודדות טוב

ולהנאה.

מדיית פיזיקה, טכנולוגיה: משלבת תחומים כמו גיאומטריה, פונקציות, יחידת הלימוד

. טיקהמתמל עולם התלמידבין תגשרמובכך טלפון נייד ,מחשב

עבור לאחרונה של העבודה תואמות את אלו של משרד החינוך כפי שפורסמו עלה-מטרות

על ידי חיבור – מתמטית אוריינותפיתוח * :, והםג(2014יסודי )משרד החינוך, -החינוך העל

;לעולם התלמיד תירלוונטל*גם הפיכתה המתמטיקה לסיטואציה מציאותית ובעקבות כך

התנסות * ;וכל שלביתהליך החקר על מעורבות התלמיד בעל ידי - משמעותיתלמידה קידום*

3

אביטל ושטלוורס, ) זהסינתואנליזה כגון חשיפה לרמות חשיבה גבוהות למידת חקר, המאפשרת ב

1968 ;Bloom, 1956); *פתרון בעיה המשלבת תהליך מובנה של על ידי תפיסה מערכתית קידום

על ידי ועל ידי עבודה עם הטלפון לצורך הקלטה – שימוש בטכנולוגיה* ;תחומים ונושאיםמספר

ומתוך כל זה בנית ם גרפי ם וסרטוטנתוניהניתוח איסוף נתונים, עבודה עם מדיית המחשב לצורך

ע"י –; *שיפור מיומנות בנית גרפים;*העלאת מוטיבציה ותחושת מסוגלות מודל מתמטי

תהליך מוגדר וברור מהם התוצרים שלו. *חשיפה התמודדות עם בעיית חקר כאשר כל לב ב

התלמיד מסיק מתוך הנתונים מתוך המודל המתמטי שבנה מה –לרמות גבוהות של חשיבה

תהיה ההתנהגות של המתקן כאשר משנים את אחד הפרמטרים המרכזיים, או משנים את אחד

מתנאי השפה. באופן כזה הוא יוצר דבר חדש, זוהי למעשה יצירה.

ספרות סקירת 1

(Deeper learning) למידה משמעותית 1.1

–מבטא את המטרה העומדת בבסיס כל תהליך חינוכי "למידה משמעותית"המושג

"שטחית" ללמידה בין למידההמרכזיים ההבדלים שמר אצל הלומד לאורך זמן. ויי בנהייהידע ש

,מלא שותףהוא בלמידה משמעותית הלומד . הלמידה תהליךאופיו של ב קשורים"משמעותית"

, רלוונטית לעולמו, ומשתלבת בתובנות וידע קודםחווייתיתהלמידה והלמידה, באחריות הנושא

.(;Skemp, 2006 ; Novak & Bob, 1984 1968שטלוורס, ו)אביטל שלו

, "מעורבות", "ערך": זמנית-בו המתקיימים רכיבים שלושה על מושתתת משמעותית למידה

ומעשירה את למידה מאתגרת, מעוררת סקרנות,: ערך: )א(. (2013, החינוך משרד) "רלוונטיות"

באחריות הלומד אקטיבי בתהליך הלמידה ונושא: מעורבותהלומד בתובנות חדשות; )ב(.

הנושא הנלמד מדבר אל עולמו של הילד וקשור למציאות שלו. :רלוונטיות)ג(. ללמידה;

של למידה מתוך בעיה והסתכלות מערכתית יהיתרונותממצאי מחקר מצביעים על

הסיבות המרכזיות לכך . (Venville, Wallance, Rennie, & Malone, 2000) הקשורה למציאות

תחומי דעת; מחייבות את התלמיד לפרק את הבעיה הן שבעיות מציאותיות מאופיינות בשילוב

ביישום והתאמת הידע גמישות מחשבתית מהתלמיד ; נדרשת ותוצרים המורכבת לתתי משימות

המחייבת ראיה מערכתית כוללתולבעיה; התמודדות עם בעיה לא מוכרת והתאורטי הקיים אצל

. תכנון זמנים ותהליך עבודה מתפתח

לתלמיד התנסות חווייתית שמקשרת בין זמנת משפותחה במסגרת עבודה זו יחידת הלימוד

שאים מעולם המתמטיקה והפיזיקה. הפעילויות הפיזיות שחווה במתקני השעשועים לבין נו

תהליך לימוד כזה מעודד את התלמיד להפעיל את האינטואיציות הטבעיות שלו בחשיבה על

בזכות הנגישות לגן .המודל המתמטי ולאמת את המודל המתמטי על ידי מדידות בשטח

מחוץ השעשועים במשך כל שעות היום, יוכל התלמיד לבדוק ולחקור רעיונות באופן עצמאי, גם

ערך, מעורבות, – של למידה משמעותית שלושת המרכיביםו הקונבנציונליותלשעות הלימוד

.הנוכחיתעבודה יחידה המוצעת בקיימים בו זמנית ב –רלוונטיות

מורכבת מהלומד והלמידה כ 2020הגדירו את הלמידה המשמעותית ( 2013)אבני ואברום

האישי, –שלושה ממדים או מעגלים הוא על(. הדגש 1 איוראותם חווית הלמידה ) תכשמאחד

פעילות עצמאית של הלומד מתייחסת ל (P-Personal) הלמידה האישיתהחברתי והגלובאלי: )א(

ים, במסגרת למידה ההולמת את צרכיו, סגנונו כוללת היבטים אישיים קוגניטיביים ורגשיו

4

הלימוד הנוכחית מחזקת את הלמידה האישית בכך שהיא מספקת "עוזר אישי" יחידת .ויכולותיו

בדמות אתר היחידה שעוזר ומדגים לתלמיד כל שלב ושלב בתהליך החקר ובבניית התוצרים.

קשרים בין העולם הסובב כחלק מהתהליך, התלמיד מתנסה בבניית סיטואציית חקר שבונה ה

למידה חברתית )ב( ; אותו אל עולם המתמטיקה שמתבטא בפונקציות, גרפים ומושגים מופשטים

(S-Social) למידה עם עמיתים במטרה להבנות ידע ויצירת תוצרי למידה משמעותיים פירושה

מיועדת לעבודה ושיתוף עם עמיתים בכך שעבודת החקר הנוכחית הלימוד יחידת ובעלי ערך.

אני ובסוף בחשיפה לקהילה בערב הורים; )ג( מתבצעת בזוגות ואחר כך בהצגת מסקנות לכיתה

"מתמטיקה בגן יחידת הלימוד . למידה בהקשר גלובלי –(W-World)והעולם הגלובלי

בכלי תוכנה גלובליים מיישמת את הלמידה בהקשר הגלובלי בכך שהיא משתמשתהשעשועים"

מקהילת הפיזיקה העולמית ותוכן העבודה יכול להיות משותף. בשלב זה, היחידה אינה מתמקדת

בהקשר הגלובלי.

(2013על פי אבני ואברום ) 2020למידה משמעותית - 1 איור

"מתמטיקה בגן השעשועים" הוא מעגלי: הוא מתחיל הלמידה שמיושם ביחידת הלימוד תהליך

באמצעות משיך בבניית המודל המתמטי )התיאוריה( בבחינת אירוע ומתקן הפועל במציאות, מ

מגבש מסקנות המבוססות על הבנת המודל, וחוזר למציאות על ידי הצעת מודל תהליך חקר,

. (2 איור) משופר ובחינתו

5

תהליך הלמידה המשמעותית ביחידת הלימוד 2 איור

יום בעזרת מודל מתמטי-היום מחיי טיפוח "אוריינות מתמטית" כפתרון בעיות " 1.2

התפקיד שממלאת הפרט לזהות ולהבין את "יכולתכמוגדרת "תאוריינות מתמטי"

שעונות בדרכיםשיפוטים מבוססים, להשתמש במתמטיקה ולעסוק בה שותהמתמטיקה בעולם, לע

)האקדמיה הלאומית הישראלית "וחושבדרישות בחייו של הפרט כאזרח מועיל, מתעניין על

זוכה יכולת האוריינות האחרון בעשור . ;OECD, 2009 (OECD-PISA, 2012 ;2012למדעים,

. PISAהבינלאומי המבחן ה שלבנייה בבסיס עומדת והיא בעולם רבות בארצות מיוחדת לב שומתלת

יישומיות על הדגש הוא פורמלי מתמטי מֶידע המתמטית האוריינות את המבדיל העיקרי המאפיין

יכולת לדעת מתי וכיצד להשתמש , הבנה רחבה של מושגים מתמטייםוכפועל יוצא המתמטיקה

. בנוסף, האוריינות המתמטית שמה על סדר ויכולת הסקת מסקנות ,מיומנויות אנליטיות ,בהם

)האקדמיה הלאומית הישראלית . המודרני ת המודעות לתפקידי המתמטיקה בעולםהיום א

,Department of Education, 2003; Qualification and Corriculum Authority ;2012למדעים,

תפיסה זו של תפקיד המתמטיקה, באה כהמשך לסטנדרטים וליעדים של הוראת המתמטיקה (2005

ובהתאמה (MCTM, 1989) למתמטיקה המורים של הלאומית המועצהכפי שפורסמו על ידי

""מתמטיזציה. (2013)פירון, למאפייני הלמידה המשמעותית כפי שהגדיר לאחרונה משרד החינוך

בעזרת מודל יום-היום מחיי בעיות לפתור כדי תלמידהבו משתמש ש תהליךל שםהוא ( 3 איור)

הן מבצע התלמידש מתמטיותבמקרה שלנו, הפעולות ה. (PISA, 2009 OECD-PISA, 2012 ; ) מתמטי

הגדרת גוף תלת ממדי כנקודה מופשטת צירים,מערכת כמומושגים מתמטיים מופשטים תרגום המציאות ל

זמן , הגדרת תחום חסרת ממדים שמייצגת את תנועת הגוף האמתי ועליה מתבצע איסוף וניתוח הנתונים

המתמטי, הצירים נקבעים על פי משתני טבלת הערכים, בעולם המציאות, בעולם .כתחום הגדרת הפונקציה

. מערכת הצירים קבועה

–מציאות תנועת גו

-תאוריה מודל מתמטי

תהליך חקר

תרחיש שיפורתנועת גו

תובנות מהמודלושינוי פרמטרים

השלכות למציאות

6

תרגום המציאות למוגים מתמטיים -תהליך המתמטיזציה 3 איור

בנוסף, התלמיד עובר מייצוגים טבלאיים לייצוגים גרפיים ומילוליים ומסיק את הייצוג האלגברי של

טרפולציה והסקת מסקנות על המציאות.סאק לצורכיונקציה הפ

בונה שהתלמיד בכך מתמטית אוריינותשל טיפוח עקרונות ההנוכחית מיישמת את העבודה

.מהמודל המתמטי על המציאותנדרש להסיק ו ,מודל מתמטי מתוך סיטואציה מהמציאות

המציאות מיוצגת על ידי מתקן בגן השעשועים, והמודל המתמטי מיוצג על ידי

המתארים בקירוב את התנועה המתבצעת על מתקן פונקציה, גרפים ומושגים מתמטיים

ידי על לתיאור ניתן הנדנדה מתקן של המתמטי המודל, לדוגמה השעשועים.

על או', ט כיתה של הלימוד בתכני הנכלל נושא, ריבועית פונקציה של קירוב

. ב"י לכיתה הלימוד בתכני הנכלל נושא, הרמונית תנועה המתארת פונקציה ידי

הוא לה המתאים המתמטי שהמודל(, סחרחרת) הקרוסלה היא נוספת דוגמה

מקום או'(, י כיתה) מעגל'(, י כיתה) מחזורית/מעגלית תנועה של פונקציה

(. ב"י כיתה) וקטורים/גיאומטרי

חשיפת הידע . התלמידבידע המתמטי הקיים אצל ההמודל המתמטי המתאים תלויבחירת

ידי -הקיים היא תנאי הכרחי ללמידה על פי הגישה הקונסטרוקטיביסטית ולהבניית ידע חדש על

התלמיד )ר' בהמשך(.

חידוד םבעבודה לצורך טיפוח אוריינות מתמטית ה מיםשמיושפים נוס נותקרוע

לסיטואציה )ואם הוא לא מוכר מתאים ה מושגהזיהוי מתמטיים על ידי מושגים

מתמטיזציה

נקודתיגוף שאינו -ילדה מתנדנדת

משמשת בייצוג גרפי ומציאת טבלת ערכיםבסיס נתונים לדגימות-טבלת נתונים חוקיות

נקודה דמיונית שמייצגת את התנועה

תחום הגדרת הפונקציהקטע מהסרט שעליו נעשה ניתוח הנתונים

קבועה -מערכת צירים .0משמש לציון גובה ,x ,ציר אופקי

משמש כציר סימטריה ,y ,ציר אנכי

. הגרףנקבעת בהתאם למשתני -מערכת צירים , (זמן, גובה)אם בחרנו במשתנים , לדוגמה

t,האופקי ישמש את משתנה הזמן הציר . yאת הגובהוהציר האנכי

קיים רק בעולם המתמטי–מעברי ייצוגים

7

ומתי תוך ידיעה באיזה אופן למושגים אחרים ישורוקו (הגדרתולתלמיד,

מתוך המודל מסקנות הסקתיכולת מתקיים. בהם הואהגדרת תחומים ו וב להשתמש

שיעורי כל שלאורך מכיוון המתמטיקה ביום יום ילתפקיד מודעותלמציאות ו

היחידה התלמיד עוסק בבעיה הלקוחה ממציאות חייו.

נדרשות לצורך פתרון בעיות אוריינות:מרכזיות המיומנויות 1.3

הכירות עם שיטות וכלים מתאימם: (1)

שהתלמיד יהיה מסוגל לבנות כדי (Lampert, 1990) ולמפרט( 2000)סלומון, פי סלומון על

/מיומנויות כלים/עלינו, המורים, ללמדו שיטותמודל מתמטי מתוך סיטואציה מהמציאות,

המאפשרים התמודדות מסוג זה.

-בתוכנותביחידה זה בחרתי להתמקד בכלים ובשיטות המתבססים על *שימוש

- מידע ארגון, *המיועדת לניתוח וידאו Trackerעל ידי עבודה עם תוכנת

,𝑥)על ידי בנית טבלאות ערכים השומרות את דגימות המשתנים 𝑦, 𝑡) ו-

על ידי ניתוח ופרשנות של טבלאות הערכים, לצורך גרפים –נתונים ניתוח*

ולקירוב לפונקציה המודל המתמטי עליה התלמיד מבצע ניתוח והסקת מסקנות.

" גמישות קוגניטיבית" (2)

שלולהשתמש במאגרי הידע היא יכולת של הפרט (Spiro, 2002)" גמישות קוגניטיבית"

הבעיה החדשה כולל יכולת לגבש בצורה גמישה, מודולארית ומסתגלת לדרישות של

.(2006המר, -עשת ו; 2014; מכון מופ"ת, 2010חייט, ; 2010עמי , -)בןאסטרטגית פתרון

צריך התלמידכך שבמפותחת "גמישות הקוגניטיבית"-בעבודה זו מיומנות ה

ליישם ידע מתמטי תאורטי שלמד בתהליך של פתרון בעיה חדשה שלא נתקל בה

אתסיק , להאת הפרמטרים הקריטיים של המודלחלק מזה עליו "לזקק" בעבר.

ציר כמו שרכש והידע המתמטי נתוני הגלםמתוך וזאת הפונקציהחוק

אסטרטגיה , כולל יכולת לגבש הסימטריה, נקודת קדקוד, תחומי ירידה/עליה

)רייז, כיצד למצוא את חוק הפונקציה ובעצם להשתמש בשיטת 'היפוך' השאלה

.מתמטי כללמקבל נתונים גולמיים ומהם בונה שבה התלמיד(2006

.בניית גרפים כאוריינות מתמטית המקשרת בין מספר מערכות סימבוליות 1.1

לי, ,קאפחמבולי מתמטי. במסגרת יחידת הלימוד הנוכחית התלמיד נדרש לבנות גרף כייצוג סי

( 2014אצל קאפח ;Shulte,1984; Sutherland, 1993 Lee & Soper,1987) שולטוסופר,

הגרף הוא כלי עבודה - ופרשנותו הן מיומנויות חשובות בעידן המידע גרף יית נבש יםטוענ

המאפשר ארגון מידע, התלמיד משתמש במערכת סימבולית אחת כדי להרחיב את ההבנה על

הגרף מאפשר לתאר יחסים בין משתנים ותופעות. וכן לית אחרתובמערכת סימ

כדי להבין )מערכת סימבולית אחת( ת נתונים במקרה שלנו, התלמיד משתמש בטבל

יםובונה ייצוגומסיק )מערכת סימבולית שניה( ה מנמ יםהנובע את הגרפים

על פי .וטבלת הנתונים על סמך הגרפים (מערכת סימבולית שלישית) יםאלגברי

8

(2014קאפח )

שילוב ביניהן מאפשרייצוגים אלגבריים וייצוגים גרפיים הם שתי שיטות סימבוליות שונות, ש

את התפיסה המתמטית של פונקציה או גרף. לצורך בנית גרף נדרשות מיומנויות של לבנות

, איזה פרמטר מתאים ההולמת את הנתונים, כמו למשל בחירת תצוגה מתאימה, איסוף נתונים

של הגרף ומציאת פרשנותהגרף על מערכת הצירים, יכולת סרטוט ;yואיזה לציר xלציר

הקשורות הפעולות את למיין נהוג(. 2014קאפח, בתוך Shulte,1984פונקציה קרובה לגרף )

( Interpretation) פרשנות .(Leinhardt & Zaslavsky , 1990) בנייהול פרשנותלגרפים ל

)כמו תופעהשניתן לייצג ההבנ, לדוגמא, הגרף של והמשמעות הייצוג הבנת של לפעולה מתייחסת

של לפעולה מתייחסת( Construction) גרף בנייתו. צירים מערכת פני על גרפית בדרך (זמןגובה/

יה ינטשלתלמידים יש מחקרים מראים . נתונים סמך על נקודות רטוטס או ויזואלי תיאור יצירת

הפשטה, וקושי עם בודדות במקום בתמונה הכוללת בנקודותבצורת הגרף, התמקדות קיבעון ל

.(2014)קאפח, של הגרפים

& Lee( וחוקרים נוספים 2014את הגישה של קאפח )מת מיישיחידת הלימוד

Soper,1987 Shulte,1984; Sutherland, 1993; התלמיד. (2014אצל קאפח

הנובעים הגרפים את להבין כדי( אחת סימבולית מערכת) נתונים בטבלת משתמש

מערכת) אלגבריים ייצוגים ובונה ומסיק( שניה סימבולית מערכת) ממנה

"עלות שלב" בהבנת -כדי ל. הנתונים וטבלת הגרפים סמך על( שלישית סימבולית

כמתאר , ללמד את התלמיד להתייחס לגרף החוקרים מציעים, הייצוג הגרפי

וידאו, ועל הלצורך כך, צולם מצב קונקרטי בסרטון –קונקרטי מצבשל תופעה

ידי שימוש בתוכנת ניתוח וידאו, ניתן לראות בו זמנית מספר גרפים, כשכל

ל זאת גרף מתאר תופעה שונה הקשורה בהתנהגות הדדית של שני משתנים, וכ

יחידת הלימוד (, 2014גישה של קאפח )על פי הה למה שנראה בסרטון. בהתאמ

כאשר לכל צמד משתנים יש –טבלת נתונים ספציפית לגרףאת הקשר בין המדגיש

של הגרף, משמעות המופשטתטבלת נתונים, גרף, ופרשנות. הקושי הספציפי של ה

פים מטופל על ידי פרשנות מילולית שהתלמיד נותן לכל אחד משלושת הגר

שבו הפונקציה תחום נקודות התחלה וסיוםהאפשריים. בנוסף, התלמיד קובע

מקיימות את הנמצאות על הגרף נקודות -דגש מתמטי נוסף. היכולה להשתנות

)פונקציה( ייצוג אלגברי מקורב הסקתלצורך כך, יש פעילות של -משוואתו

לנקודות הנמצאות על הסרטוט.

מדיית תוך שימוש בתוכנות מחשב מחזקת את מיומנות בניית הגרףהנוכחית יחידת הלימוד

עם כל הוספה של נקודת נתוני התנועה מאפשרת ייצוג גרפי )סרטוט( שלהמחשב

כל הנקודותתמונת הגרף מת כיצד נבניאפשר לתלמיד לראות תבכך מדגימה.

התמקד בצורת הגרף, בתכונות שלו ובתיאור התופעה שהגרף מייצג )במקרהול

מכיוון שטבלת הנתונים מכילה שלושה בודדות.השלנו תנועה( ולא בנקודות

,𝑥)טורים 𝑦, 𝑡)ניתן ליצור מהם שלושה זוגות של משתנים , (𝑦, 𝑡), (𝑥, 𝑡), (𝑥, 𝑦) .

שלושת הגרפים האפשריים קר את ותלמיד חהגרף. לשרטט ומכל זוג משתנים

וצורתוהגרף משמעותקובעת את המשתנים )התלוי והבלתי תלוי( ורואה שבחירת

. " של צורת הגרףתפיסה מקובעתהיה לתלמיד "תלא כך ושלושת הגרפים שונים זה מזה.

שלר מילולי ואיתעל ידי מיושמים הפשטה ופרשנות של הגרףחיזוק מיומנויות

9

מול סרטון הוידאו.מתבצע הפרשנות על ידי התלמיד ואימות כל אחד מהגרפים

;x 𝑦(𝑥)כפונקציה של yבחירת משתנים יכולה להיות: במקרה שלנו (𝑥, 𝑦)

;t :𝑥(𝑡)כפונקציה של x ;שמשמעו שיעורי מיקום הנדנדה (𝑡, 𝑥) שמשמעו מרחק

;t :𝑦(𝑡)כפונקציה של הזמן t; yבנקודת זמן y-אופקי מציר ה (𝑡, 𝑦) שמשמעו

.tגובה הנדנדה בנקודת זמן

מאוריינותמיומנויות טכנולוגיות כחלק 1.1

משרד ) 21-המאה ההכרחית של בוגר ההיא אחת מהמיומנויות מיומנות השימוש בטכנולוגיה

מדובר ביכולת אישית . PISA, 2009 ; (P21 organization ; 2000סלומון, ;א 2014החינוך,

אבני & בתוך (Frailon & Ailner, 2011לצורך חקר, יצירה ותקשורת להשתמש במחשב

. (2013אברום,

מדיית המחשב באמצעותביחידת הלימוד השימוש בטכנולוגיה בא לידי ביטוי

ניתוח וידאו, איסוף נתונים לטבלאות והצגת עבודה לצורךמשמשת ככלי ש

ביצוע לצורך טלפון החכםב התלמידים משתמשיםבנוסף, .הנתונים בגרפים

ומקום והופכת את חווית הטכנולוגיה מנגישה את המידע וכל זמן וידאו. ההקלטת

הלמידה לאישית ואוטונומית. בזכות הגיוון והאפשרויות שמציעה הלמידה הדיגיטלית,

מתאפשר ללומד להיות מעורב אישית, תוך מחויבות ואחריות, בתכנון למידתו, להיות שותף

, באופי התוצרים, בתיעוד הלמידה, מעקב אחר בהצבת המטרות )שאלות החקר, במקרה שלנו(

קדמות )על פי התוצרים(, משוב עצמי של תהליך הלמידה וחתירה מתמדת לשיפור.הת

שמנחה את התלמיד בכל שלבי עבודת החקר במסגרת יחידת הלימוד פותח אתר אינטרנט

רעיונות וכלים לגבי עבודת החקר לשאובומציג דוגמה לתהליך חקר, ממנו התלמיד יכול

ויכולותיהם גם מעבר ו להתקדם על פי רצונם האישית שלו. כתוצאה מכך, תלמידים יוכל

מנגישה את החומר הנלמד בכל הסביבה האינטרנטית .או לרמה הנדרשת רמת הכיתהל

ומאפשרת . (2013אברום, ו)אבני התלמידמקום ובכל זמן, ובקצב אישי של

, קושי"דיפדוף" הלוך וחזור בנקודות ראייה כוללת של תהליך מובנה,

התלמיד אישית של סקרנות ו לרמת הכיתה, ביטוי לרעיונותהתקדמות מעבר

תהליך החקר בנוי צעד ומאפשרת משימות מסקרנות ומגוונות.בתהליך החקר,

כול לגלוש צעד ומתבסס על מינימום ידע מתמטי קיים ובכל שלב התלמיד י

איכותיים כגון ספרים, סרטונים, חומרי למידה מגוון רב של בעזרת ידע באינטרנט ולהשלים פערי

המעוררים את המוטיבציה ללמוד בהנחיה אתרי אינטרנט הרצאות, חידונים, שאלונים, קבוצות דיון,

.מתאימה של המורה

לתוצר הלימודי יש חשיבות חיונית למשמעות הלמידה. הסביבה הדיגיטלית , תוצרי הלמידה

שתמש בתוכנות מתקדמות לניתוח נתונים להמידע, ה לארגן את, לערוךעצב, למאפשרת ללומד

שניתן לשיתוף בין עמיתים ללמידה. הסביבה הדיגיטלית התוצרים באופן ולשמור את

לעקוב בקלות אחר התוצרים שהוגשו, לתת משובים בזמן אמת, לכתוב למורהמאפשרת

)אבני & אברום, שאלונים ומבחנים מקוונים, ולהתייחס לחלק מהתוצרים כהערכה מעצבת

2013).

10

בדרך החקר למידה 1.1

של בהכרתו מוטמע פירושה תהליך המתרחש בקוגניציה של התלמיד שבסופולמידת החקר

עקרונות בין, לפרטי כללי בין הבחנות עם, היררכי היטב באופן , בנוימבוססחדש ידע התלמיד

מתאפיינת בלמידה לעומק . למידת החקר "ידע הבניית"תהליך זה נקרא וכדומה. לדוגמאות

של נושא מסוים תוך הפעלת כישורי חשיבה, יצירתיות, ניתוח וקבלת תובנות חדשות בנושא

הנתון. היא בנויה משלבים של העלאת שאלות החקר, ביצוע מדידות/ניסוי, איסוף, ניתוח

מתוך המידע. "ידע הבניית"כלומר ועיבוד הנתונים, הסקת מסקנות ותובנות הנובעות מהמידע

כרוכה בטיפול במידע זולמידה . (2006)נוסבוים, 'וכו לדוגמאות עקרונות בין, למקרי מהותי

תוצר האישידיגיטלי שכולל איתור מידע, עיבודו והפקת תוצרי מידע. חשיבות רבה מושמת על

תכנון, אפיון, מיפוי מידע, זיהוי מושגים של הלומד. לשם כך על התלמיד להשתמש בכלים של

)אבני & )ואולי אף הגדרתם(, תיעוד, כתיבה, הסקת מסקנות, הגדרת קריטריונים וכדומה

OECD-PISA, 2012;; 2000; סלומון, 2014; משרד החינוך, 2010כנסת ישראל, ;2013אברום,

Novak & Bob, 1984 (Skemp, 2006 ;. את עקרונות למידת החקר עבודה זו מיישמת

והגישה הקונסטרוקטיביסטית בכך שהיא מדריכה את הלומד כיצד לשאול שאלות

גזרות שאלות החקר נמדה כולה. כלומר, חקר והן "מתניעות" את העבו

הידע. הבניית איסוף הנתונים ועיבודםצילומים נדרשים, מדידות בשטח, ה

ידי צירוף -ידי התלמיד על מתבצעת על החדש, שהוא תובנות מהמודל המתמטי,

כל זאת מאורגן בתוך המיידעים שאסף ועיבד ושילובם בידע הקיים אצלו.

התלמיד כחלק מרכזי בעבודה. בנהאותו האישי שתלקיט התוצרים

כאחת ממטרותיה החשובות של מוצגת למידת החקר הראשונות 60-מאז שנות ההיסטורית,

מפעילה ו "בדרך הגילוי" או "בדרך החקר"ת זו דוגלת . גישת הוראבארה"ב הוראת המדעים

בתהליך הופכת אותו לשחקן פעיל ובכך מובנה על ידי הלומד, שהידע החדשכך את הלומד

וכאן המקום לקשור את שיטת החקר לגישה הקונסטרוקטיביסטית שבה הלומד . הלמידה

פירושים לו ובהפיכת המידע פעיל באיסוף הידע ובארגונו ועיבודו, בקישורו לידע קודם ובמתן

. (2006)נוסבוים, ניתן לומר שלמידת חקר היא קונסטרוקטיביסטית כלומר לידע.

אצל קשיים קוגניטיביים הצביעה על , שחקרה את שיטת לימוד החקר, ענת זהרפרופסור

רלוונטיות, חוסר הבחנה בין כמו בידוד משתנים, השערות לא תלמידים הלומדים בשיטה זו

אצל התלמיד אסטרטגיות על מנת לטפל בקשיים אליו, על המורה להבנות תאוריה לראיות.

.(2006)נוסבוים, ללמידת חקר חשיבה מתאימות

עצמיתחשיבות המוטיבציה ותחושת מסוגלות 1.1

ות, מאפיינים המגדירים דדוקטיביו ותתמציתי, מתאפיינת בדיוקהשפה המתמטית

תלמידים בעלי לעיתים קרובות את הקשיים שיש לחלק מן התלמידים ואת לקויות הלמידה.

ם, ירידה יגשיזרים ונשנים, מה שמוביל לקשיים רלקויות למידה צוברים כישלונות חו או קשיים

; Ames, 1990 2001, עשור וקפלן ;2001עשור, ;2011)הרפז, במוטיבציה והעדר תחושת מסוגלות

בעשורים האחרונים התפתחו תאוריות מבוססות מחקרים שמטרתן הבנת המניעים . (;

ד כאלה שבוחרים להתנהג הספר, במיוח-והתהליכים מאחורי התנהגותם של תלמידים בבית

המתאפיינת במוקד התיאוריות הללו נמצאת המוטיבציה ללמידה .פטימליבאופן שאינו או

11

והצורך , יצירתיות וזמן בהיעדר תגמול חיצוני , השקעת מאמץביחוד לאחר כישלון בהתמדה

.(; Ames, 1990 2001קפלן, ועשור ;2001עשור, ;2011)הרפז, לטפח אותה על מנת לקדם למידה

תפקיד גן . (OECD-PISA, 2012) מוטיבציה היא תנאי הכרחי ללמידה 2012-ח פיזה מ"על פי דו

ביחידת הלימוד, מעבר לרלוונטיות לחיי התלמיד, הוא לשמש כסביבת למידה מהנה, השעשועים

אלה תורמות לתחושת המסוגלות, כלומר בסביבה כזו המשימות .מעניינתומסקרנת, מאתגרת

לטפח מאפשרות כך עבור התלמידים, ובמידי ות או קלות לא קש ןוההן, שניתן ללמוד מ ותמשימ

.(2001)עשור, בקרב התלמידים בציהטימו

1993) שפותחה על ידי בנדורה, (Social-Learning)על פי תאורית "הלמידה החברתית"

,Bandura ,1991) ( ונחקרה על ידי שונק2001בתוך: קפלן ועשור, Schunk ,בתוך: קפלן ועשור

הצלחה וכישלון. תחושת המסוגלות של אדם מתפתחת כתוצאה מחוויות קודמות של ( 2001

תלמיד המאמין שאינו מסוגל לבצע את המשימה, יהיה עסוק בתחושה של חוסר אונים וברגשות

.(Ames, 1990) שליליים במקום להתמודד עם המשימה

הגדיר Maehr & Simmonds, 2012) ;2001קפלן, ועשור בתוך: ,(Maehr, 1984מאהר

ות ואמצעים. המוטיבציה מורכבת משלושה את המוטיבציה כבחירה בין אלטרנטיבות של מטר

ממדים:

התלמיד בוחר את יחידת הלימוד הנדונהב ;בחירת האלטרנטיבה – כיוון (1)

נע מתוך סקרנות לפצח את מּווכך המתקן שעליו תתבצע הפעילות

.הפעילות

ביחידת הלימוד התלמיד מתקדם ;כמה מאמץ מושקע )מעט, הרבה( – צמהוע (2)

וברעיונות שלו, שנבנים שלב אחר שלב. ובראותו את בתוצרים אישיים

התמונה הכוללת, ירצה להשקיע הרבה מאמץ כדי לגלות יותר תובנות

. על הסובב אותו

כמה התלמיד מתאמץ להבין את החומר ולשלב עד מעורבות במשימה, ה – איכות (3)

בעבודה זו, התוצרים הם אישיים ולכן התלמיד .הידע הקייםאותו בתוך

מעורב. אין באפשרותו להתקדם בשלבי העבודה מבלי להשלים את בהכרח

. התוצרים אחד אחרי השני

שהלימוד יהיה איכותי , בשמחה, הרי רגשית מהנה בחוויהככל שהלמידה מעוגנת בתהליך,

אף יסכים להתאמץ, להתעמק ולנסות ללמוד גם מושגים ורעיונות והתלמיד יחפוץ ללמוד יותר.

מכך הוא צובר הצלחות . כתוצאה (2013אבני & אברום, ; 2014"ת, אוחזר ל)שרמן, יותר קשים

שמעלות את תחושת המסוגלות והמוטיבציה. מכאן החשיבות לשלב הנאה בפעילויות

המתמטיות.

בעבודה זו, התלמיד מודע ליעד שאליו הוא רוצה להגיע, ולכן עם השלמת כל

כל שלב, בשלו. האישית ת שלב בתלקיט התוצרים, הוא יכול לאמוד את ההתקדמו

מדרבן אותו כל זאת תלמיד צובר הצלחה אישית ומקבל משוב עצמי ומהמורה, ה

.ללמידה ולהתעמקות

הגישה הקונסטרוקטיביסטית – במתמטיקה מעורבות התלמיד בלמידה 1.1

12

פעילות מתמטית בגן השעשועים מביאה את התלמיד ללמידה חווייתית מהנה שבה

כפועל . חברתיתוגופנית, קוגניטיבית , כמו אינטליגנציה אינטליגנציות בו זמניתנדרשות מספר

מערבת את התלמיד בתהליך הלמידה על פי היכולות והקצב שלו. מכך, פעילות כזו יוצא

למידה חווייתית היא לב ליבה של הלמידה המשמעותית, זוהי התרחשות בעלת ענין הכרוכה

ישי וחברתי ללומד ומעוררת בו תובנות חדשות, תחושת במעורבות אישית, שיוצרת ערך א

. בחוויית הלימוד באים לידי ביטוי רבדים שונים של האישיות ובהם התפתחות, צמיחה והעצמה

מעורבות זו מתקשרת עם למידה משמעותית . (2013)אבני & אברום, רגש, קוגניציה נפש ומודעות

את הידע בונה ;תהליך הלמידהומחוייב ל פעילבגישה הקונסטרוקטיביסטית אשר בה התלמיד

שטלוורס, ו)אביטל קודם לידע רגונו, עיבודו, וקישורו איסוף מידע חדש, אהחדש בעצמו על ידי

. (Nesher, 1986 Skemp, 2006;;2000סלומון, ;2007דוד, ;2013אבני & אברום, ;1968

עשויה להוות סביבה המקדמת למידה בגישה מתוקשבת סביבה נוסף על כך,

בהישגי לשיפור בסיס היאש ,תלמיד-מותאמת הוראהמאפשרת כיוון שהיאקונסטרוקטיביסטית

)כנסת ישראל, תלמידה בהישגי לשיפור בסיס היאש תלמיד מותאמת הוראה מאפשרתהתלמיד

ההתקדמות באופן כזה שתלמיד בזמן ובקצב הלמידה המתוקשבת מאפשרת גמישות .(2010

הנמצא מעל לממוצע בכיתה, מתקדם יותר ולא משועמם, בעוד שהתלמיד שנמצא מתחת לממוצע

בכיתה, אינו מעכב את הכיתה ויכול לתרגל לאורך זמן את החומר. ובלי קשר לרמה בכיתה, לכל

)אבני & אברום, העמקה בחומר על ידי חיפוש חומרים מתמטיים באינטרנטתלמיד יש הזדמנות ל

2013).

לגן יציאה מהכיתה יחידה זו מקיימת את הלימוד החוויתי על ידי

ולכן התלמיד יכול להיות מעורב השעשועים, אינה תלויה בשעות בית הספר,

– אינטליגנציות מיישמת ריבויהפנאי שלו, מגוונת ו בלמידה גם בשעות

. מכיוון שהתוצרים הם אישיים, התלמיד חייב פיזית, קוגניטיבית, חברתית

. מעורב בלמידהפעיל ולהיות

באמצעות מודל מתמטילרמות גבוהות של חשיבה החשיפ 1.1

רמות חשיבה גבוהות של תמפתחהמוצעת במסגרת העבודה הנוכחית יחידת הלימוד

בלום הטקסנומיה של על פי "הערכה" -ו ," )הסקת מסקנות(סינטזה( ו"אנליזה"ניתוח" )

(Bloom, 1956) המתבססת על ,(1968)אביטל ושטלוורס, והגדרת רמות החשיבה במתמטיקה

י המרכיבים המרכזיים של זיהומאופיינת ב" אנליזהרמת חשיבה " .בלוםהטקסונומיה של

. ;Bloom, 1956) 1968)אביטל & שטלוורס, אלה חלקים היחס בין והבנתבעיה ה

מזקק את התלמיד רמת חשיב "אנליזה" באה לידי ביטוי בכך ש ,שלנובמקרה

)לעיתים רלוונטיים מתמטיים מושגיםמשתנים קריטיים, מזהה הזההעובדות, מ

ים קשרהמסוגל לנסח מילולית את מתקן וביש שאפילו מושגים חדשים לו(

. בין המושגיםההדדיים והיחסים

שלא ומבנה דגם של באופן והרכבתםחלקי מידע של צירוףמאופיינת ב "סינתזה"רמת החשיבה

התלמיד ביחידה הנוכחית, . ;Bloom, 1956) 1968)אביטל & שטלוורס, לכן קודם קיים היה

ידע חדש והוא המודל המתמטי. ידע זה אינו מופיע בספרים או בונה

באינטרנט, אלא יצירה פרטית של התלמיד והוא נבנה מתוך פיסות ידע קטנות

שנצברו בשלב האנליזה.

13

המאופיין בכך שאוסף הנתונים המעובדים, משלב , הסינתזה, בא שלב האנליזה ילאחר שלב

ובעות מהמכלול, בדומה למבנה שנבנה מבלוקים. במקרה האנליזה, נבנים מחדש לכדי תובנות שנ

תובנות ואתיחד ו נבנה מתוך אוסף הנתונים המעובדים, המודל המתמטישל יחידת הלימוד,

מתוך המודל הסקת מסקנות רמת הפעילות מכוונת את התלמיד ל, הנובעות מהמודל

מתבקש לתאר תובנות התלמיד מה, גהמתמטי ובדיקתן אל מול עולם המציאות. לדו

חדשות שנובעות מהמודל ולא היו ידועות קודם לכן, למיין בין פרמטרים

שיפור ל הצעהנקודות כשל במתקן וקריטיים לפרמטרים פחות משמעותיים, זיהוי

.הןעל מנת לטפל בהמתקן

המאופיין בכך שהתלמיד מגדיר קריטריון הערכה ", הערכהיחד עם שלב הסינתזה, מגיע שלב "

ו מחווה דעה מנומקת הנובע מתוך הנתונים המתמטיים שאותם עיבד לכדי המודל לגבי המתקן א

, ביחידת הלימודשהוא מציע, מהן נקודות התורפה שלו ובאיזה אופן הוא משדרג את הקיים.

משקף את המודל המתמטי שנבנהעד כמה התלמיד מתבקש לנסח קריטריון לפיו ניתן לאמוד

נוכחות , על פי מחקרים .רמות של הכיתות הגבוהות של החטיבה העליונה(המדידות )זה מתבצע ב

מזמנת חומרי מדיה מגוונים כדוגמת סרטוני אנימציה, הרצאות, הסביבה האינטרנטית

)פטנקין, ומעלה את רמות החשיבה התלמידים בקרב קוגניטיביות יכולות פיתוחים מעודדש

חשיבה, ורחוקה קרובה( טרנספר) העברה, חקר-למידה מבוססת, מידע וארגון עיבוד: כגון, (1994

.מודלים מחשבתיים ופיתוח ביקורתית יצירתית

העבודה הנוכחית נבנתה יחידת לימוד מבוססת תקשוב )אתר אינטרנט( במסגרת

לבת כלים י"ב. יחידת הלימוד מש-"מתמטיקה בגן השעשועים" המיועדת לתלמידי כיתות ז'

טכנולוגיים, מדיה מגוונים ולמידה מחוץ לכתה. הלימוד מתבסס על העקרונות של למידת חקר,

ומטרתה לטפח , העצמת התלמיד, הענקת תחושת מסוגלות למידה בגישה קונסטרוקטיביסטית

אוריינות מתמטית, לעודד מוטיבציה ללמידת מתמטיקה על ידי חיזוק הרלוונטיות לעולם

ילה, היחידה מועברת לתלמידים מצטיינים במתמטיקה ובמדעים מכיתה ז'. על פי בתח. התלמיד

התגובה והתוצאות של ההתנסות תישקל אפשרות להעביר את היחידה ללומדים נוספים. בתום

היחידה יועבר שאלון עמדות בין התלמידים הדן בחשיבות המתמטיקה והמדעים בחיי שיעורי

היום יום.

שבו יושמה יחידת הלימוד וכן מבנה היחידה על כל מרכיביה ותכניה.להלן יתוארו ההקשר

יחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים" 2

הלימודת יחיד תופעל בו ההקשר 2.1

ממלכתי אזורי חילוני רגיל של החינוך שבו תועבר יחידת הלימוד הואבית הספר

הטרוגנית, מורכבת מילדי קיבוצים, מושבים תלמידיםהאוכלוסיית . בצפון הארץ ההתיישבותי

מעטים ,נמוךסוציואקונומי באים מרקע הספר-תביתלמידי . בנותובנים ועירוניים, וכוללת

.קשיי יוםאנשים ורבים מתוכם מההורים משכילים,

וחטיבת ביניים )כיתות תלמידי חטיבה עליונה,אוכלוסיית היעד של יחידת הלימוד היא

תכנים של ל להתאיםגם יחידת הלימוד יכולה .במתמטיקה דות לימודייח 3 -ומתאימה לי"ב( -ז'

. והתלמיד יכול להתקדם בה בהתאם לרמתו האישית יחידות לימוד 5

הקשר היחידה לתכנית הלימודים נעוץ בבחירת המתקן שאותו חוקרים. במקרה של הנדנדה או

14

"קרוסלה" זה יהיה "מעגל" ולכיתות גבוהות יותר זריקת כדור, זו תהיה פרבולה, במקרה של

יתאימו נושאים כמו "תנועה הרמונית", "תנועת קפיץ", "וקטורים" ועוד.

משלבת גם פיסיקהאך תחום הדעת מתמטיקה, עיקר ביחידת הלימוד עוסקת באמנם

החטיבה העליונה. של לימודיםה תתכניבנושאים הכלולים ב

תמצית הרעיון -תיאור כללי 2.2

והוראה יחידה מקוונתשילוב של היא ,יחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים"

ניתוח בעיה מתמטית דרך תהליך מיומנות של מטרתה המרכזית ללמד את התלמיד . פרונטלית

מהן נגזרות תתי משימות שחקר בדמות שאלות מובנה שמתחיל בראיה כוללת של המשימה

השעשועים תלויה במתקן אינה מוכתבת או ידועה מראש אלא המשימה המתמטית ותוצרים.

שהתלמיד בוחר לנתח. עליו לצלם את השימוש והתנועה במתקן ומתוך קובץ הווידאו שנוצר

המתאר את התופעה שצולמה. להסיק מודל מתמטי

תכנון כמו ,ללא המודל המתמטי לגבשתובנות חדשות שלא ניתן היה כחלק מהתהליך, נוצרות

, או הצעה ועיםשמתקן בנג'י על בסיס רעיון הנדנדה בגן השעתכנן ניתן ללדוגמה ,למתקן שיפור

. אותו מודל מתמטיהמתבססים על יםאחראו סיטואציה למתקן

החלפת דעות, סביבת הלימוד המתוקשבת תכלול גם כלים אינטראקטיביים שיאפשרו

תלמידים 2-3ות או בקבוצות קטנות )מומלץ שהעבודה תהיה בזוג .העלאת רעיונות, והתייעצויות

, והוא מקבל אינטרנטי" ענן"מוקצה אזור זיכרון בלתלמיד שמשתתף ביחידת הלימוד, בקבוצה(.

קבצי התוצרים עד להשלמת חסון פירטי המידע כמו גם את אהמיועדת ל( directoryמחיצה )

התלקיט.

חקר ומציג את שאלות ולדיון בהגדרת הדיסציפלינרי מוקדש להדגמת הנושא מבוא של היחידה

מתוך הסיטואציה המוקלטת, נלמדים נושאים תלקיט התוצרים הנדרש מהעבודה. בהמשך,

. ועוד צירים", תחום הגדרה"מערכת ""פונקציה", "פרבולה", ומושגים מתמטיים כמו

יחקור לבחור מתקן אותויכול ותלקיט התוצרים הנדרש, התלמיד תהליך הדוגמהה ביילאחר צפ

אם התלמיד . זה המורה מלווה את התלמיד בתהליך .גבש שאלות חקר שקשורות באותו מתקןלו

להקליט לבצע מדידות בשטח, בהמשך,מתקשה בבחירת מתקן, אפשר שיחקור "זריקת כדור".

תפקיד המורה, לתמוך ולייעץ חקר התנועה ובניית המודל המתמטי. סיטואציה, ולהתחיל ב

התלבטויות שצצות תוך כדי עבודה.בבעיות טכניות וב

2" ניתן לצפייה בכתובתגן השעשועיםמתמטיקה באתר הלימוד "

zamathonplaygroundhttps://sites.google.com/site/ali/

3הביתדף –נספח -ב דף הבית ותפריט האתר מוצגים

ות בהן משתמשת היחידה: טכנולוגי 2.3

2 https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/

3קישור מן הטקסט )לטובת קובץ דיגיטלי של העבודה(, -להלן יוצגו תכנים מן האתר בנספחים וכן באמצעות היפר

קישור על ידי הכתובת בהערות שוליים, וייצוג וויזואלי בנספחים.

15

שבו נשתמש כדי להקליט סיטואציה –טלפון נייד

גם באמצעות הטלפון הנייד.היחידה זמין ונגיש -אתר

ה חינמיתבתוכנ תנעזריחידת הלימוד -תוכנה לניתוח וידאו "Tracker" המאפשרת

, שמירת דגימות בטבלת נתונים, הצגת גרף, חישוב הפרש בין פונקצייתניתוח וידאו

לחשב את פונקציית )נדרש כדי לדגימות מהסיטואציה המוקלטתהמודל המתמטי

.(השגיאה

כלי לתגובות והחלפת דעות בין הרשומים ליחדה. –בלוג

או כלי ניתוח נתונים בעזרת אקסל(data tool בהמצוי-tracker)

.שימוש בתכנת גיאוגברה לצורך סרטוט גיאומטרי של הסיטואציה

: יחידת הלימוד רצ 2.1

ראיה ותחילתשמתפתח שיעורים רצף בנויה כ"מתמטיקה בגן השעשועים" יחידת הלימוד

המגדירות שאלות חקראיפיון אודותשיח במליאה תלקיט התוצרים, דרךכוללת של המשימה

גלם נתוניואיסוף צילומיםבשטח, מדידותנגזרות משמשות כנקודת מוצא שממנה את הבעיה ו

בשלב הבא יש לנתח את הנתונים, להציגם בייצוגים שונים )גרפי, טבלאי, להמשך העבודה.

מילולי( ולהסיק מהו המודל המתמטי הרלוונטי, כולל ייצוג אלגברי של פונקציית התנועה.

להסיק לגבי פונקציית השגיאה של המודל ומציאת מינימום.יוכלו מתקדמים יותר תלמידים

אותו ב תהמשתמשהשלב האחרון הוא הצעה לשיפור המתקן או חשיבה על סיטואציה אחרת

. מודל מתמטי

השלבים השונים של יחידת הלימוד לפי כיתה/גיל מוצגים באופן מפורט בתרשים הזרימה

(. אין מניעה שתלמיד מקבוצה צעירה יתקדם מעבר לחומר שגיאה! מקור ההפניה לא נמצא.)

. הנלמד, ולהיפך, תלמיד מקבוצה בוגרת שיש לו פערים יכול להתקדם על פי רמתו

16

כיתה גיל לפי בעבודה השלבים את המפרט זרימה תרשים - 1 איור

יחידת הלימוד בהם משתמשת מושגים מתמטייםפירוט 2.1

ידע קודםכנדרש מספר שיעור מושגההכירות עם

לא בכל בשיעורים "מודל מתמטי"

, "מערכת צירים", "תחום הגדרה"

, "מחזוריות", "משתנה""פונקציה",

"סימטריה"

כן, היחידה מניחה החל משיעור שני

מוכרים שמושגים אלו

לתלמיד

החל משיעור רביעי "גרף", "פונקציה"

: למידה תוצרי 2.1

עמידה ביעדים של יחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים" היא הגשה במחשב של תלקיט

במהלך שיעורי היחידה, יבנה התלקיט ב"ענן". רצוי שהעבודה תתבצע בזוגות, ולכל זוג התוצרים.

כן

(1-2שיעור )רקע והדגמה

,צילומיםמדידות בשטח

גן שעשועים בסביבה

הגדרת מושגים

לא

תלקיטתוצרים

,שאלות חקר,מדידות

,סרטונים,צילומים

סרטוטגאומטרי

חידון מדידות

,הגדרת מושגיםשיקולים לתחום

,הגדרהתנאי התחלה

יתכנו מושגים חדשים לתלמיד .לפי הידע המתמטי של התלמיד**

תרשים עקבות

מעברי ייצוגיםגרפי, טבלאי

פרשנות מילולית

סיום ח ,ז

,דגימות,גרפים

פרשנות

פרבולה מודל

תלקיטתוצרים

,גרף משולב,תובנות מהמודל

תרחיש

תרחישהסקת תובנות

מהמודל למציאותהצגה בכיתה ולהורים

המורה מספק נתונים

לחקרצילומים נדרשים

סיוםב"י,א"י ,י ,ט

ט

מעגל מודל

A∙sin(xt+C) מודל

,כוחות, וקטורים

שגיאת המודל

י

א י

ב י

17

יועתקו התוצרים. לכולם תהיה גישת קריאה ויכולת תגובה על תלמידים תהיה מחיצה שאליה

התוצרים.

בתכנון כובשאלות החקר המש אותו עובר התלמיד החלתהליך המתעדים את תוצרי הלמידה

ובשלב הגלם מדידות נדרשות, איסוף נתוני גלם מהשטח כולל צילומים, ניתוח ועיבוד נתוני

י )פונקציה(, תובנות מהמודל המתמטי, הצעות לשיפר האחרון הסקת מסקנות בדמות ייצוג אלגבר

וכדומה.

תוצריםתלקיט דוגמאות לתוצרים דיגיטליים ניתן לראות בדף תלקיט –נספח ובנספח אתרב 4

התוצרים

של יחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים" ההוראה מטרות 2.1

מבוססות על העקרונות 5של יחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים" מטרות העל .א

פדגוגיים כפי שנדונו ברקע התיאורטי ומפורטות להלן.-הדידקטיים

הסיטואציה המוקלטת –במתמטיקה התמודדות עם בעיות חדשותהקניית יכולת .1

מייצרת התמודדות עם סוג בעיות חדש, המחייב שילוב של כל הידע המתמטי הקיים.

נוצרות תובנות חדשות על העולם - לחיים האמתיים רלוונטימקצוע –מתמטיקה .2

הפיזי כתוצאה מהמודל המתמטי.

בגלל שהיחידה משתמשת –במתימטיקה המסוגלות והמוטיבציההגברת תחושת .3

במדיית המחשב וקיים אתר שמנחה את הלומד בכל שלב, נוצרת גמישות והתאמה

ועל ידי של יחידת הלימוד לקצב של הלומד, ומתאפשר לו לדפדף בחומר ככל שנדרש.

כך להתגבר על המשימות/החידונים הנדרשים ולייצר חווית הצלחה ומשובים מיידים

היוצרים חווית הצלחה שבעקבותיה תחושת מסוגלות גבוהה יותר ועליה

במוטיבציה.

מושגים לכאורה ידועים, כמו מערכת צירים, מקבלים –מתמטיים מושגים חידוד .4

ציה הפיזית לתיאור המודל.העמקה ונחיצות כאשר עוברים מהסיטוא

העבודה עם תוכנת ניתוח הווידאו, ממחישה את –התנסות מתוך זיקוק רעיון .5

מערכת צירים, גרף, טבלת ערכים, פונקציה, -המושגים המתמטיים המופשטים

תלות בין משתנים. זה נעשה על ידי מציאת התאמה ושילוב המושג המתמטי

זה המופשט הופך ממשי. ההתנסות המופשט בסיטואציה המוקלטת. באופן כ

מתרחשת כאשר התלמיד עצמו בונה את המושגים ומבין את נחיצותם.

היחידה משלבת רמות חשיבה: – חשיבה מסדר גבוהלהקנות לתלמיד מיומנויות .6

יכולת תרגום, יישום, עבודה עם ריבוי מושגים מתמטיים בו זמנית -""הכללה)א(

דו בעבר. זה נעשה על ידי תרגום טבלת לצורך בנית מושגים חדשים שלא נלמ

הנתונים לייצוגים גרפים ושילוב המושגים מערכת צירים, פונקציה, תחום הגדרה,

פירוק לתת בעיות -"אנליזה")ב( קנה מידה, משתנה תלוי ומשתנה בלתי תלוי.

בנית המודל המתמטי מחייבת "לזקק" את המידע –והבחנה בין החשוב למשני

4 https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/portfolio/

5 https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/

18

תיאור הסיטואציה בכלים מתמטיים. כמו כן התלמיד מתבקש החשוב המאפשר

לזהות את הפרמטרים הקריטיים של הבעיה, כך ששינוי באחד מהם משנה את

היכולת לצרף ולארגן ולקשור רכיבים לכדי שלא -סינתזה"")ג( פונקציית התנועה.

זה נעשה בהסקת הפונקציה המתארת את התלות בין –היה ברור קודם לכן

המשתנים, וכן בהצעות לשיפור המתקן או בהצעת מתקן אחר המשתמש באותו מודל

מתמטי.

מאחר והיחידה עוסקת במכלול מושגים המשולבים ביחד, – שגויות תפישות איתור .7

ים תפיסה שגויה של מושג בודד תגרור אחריה קונפליקט עם העקביות של המושג

האחרים. ולכן התלמיד יכול לאתר את התפישה השגויה ולשאול את המורה או לתקן

אותה בהתאם למה שהוא צופה בסיטואציה.

מטרה זו מיושמת בארועים הבאים: )א( שלב שבו – הקשרים חדשים לידע קודםבנית .8

בשלב זה הוא בונה מתוך הגרף הקשרים –התלמיד מסיק חוקיות ותלות בין משתנים

דע הקודם שלו בנושא פונקציות; )ב( בשלב שבו הלומד מסיק מה תהיה השפעת השינוי לי

במשתנים קריטיים על הסיטואציה. כאן נכנסים הקשרים חדשים לנושא הפונקציות

ולגאומטריה; )ג( המושג "מודל מתמטי" הוא חדש לתלמיד ונבנה מתוך הקשרים למושגים

.ידועים קיימים

מטרה זו מתבטאת בעצם תכנון של תהליך פתרון וכן בהקשרים – ראיה מערכתיתהקניית .9

מתמטיקה, פיסיקה, טכנולוגיה )דיגיטלית –שניתן למצוא בין תכנים מתחומי דעת שונים

מתקנים(.-ועיצוב מוצרים

של יחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים" נגזרות מן התכנים אופרטיביות מטרות ההב.

בהקשרן למטרות העל. המתמטיים ומתוארות להלן

מערכת צירים: )א( התלמיד יהיה מסוגל להסביר את נחיצות מערכת צירים שנובעת מתוך .1

הצורך לרשום מיקום של נקודה; )ב( התלמיד יוכל לקבוע את מיקום הציר האנכי על פי

)ג( התלמיד יוכל לקבוע את מיקום הציר האופקי על פי שיקולים של ;שיקולי סימטריה

נוחות בחישובים או חישובי גובה; )ד( התלמיד יוכל לקבוע את מיקום ראשית הצירים

העל: -(, על פי נקודת המפגש בין הציר האנכי לציר האופקי. קישור למטרות (0,0) -)נקודת ה

(.1איתור תפישות שגויות )שיעור חידוד מושגים, הקשרים חדשים לידע קודם,

תחום הגדרה: )ה( התלמיד יוכל להגדיר תחום )התחלה .. סוף( שבו הפונקציה מוגדרת, .2

מתוך הצורך להגדיר מחזור תנועה שעליו יבצע את ניתוח הנתונים; קישור למטרת העל:

(.1חידוד מושגים )שיעור

יגזרו ערכי הנתונים הגולמיים; קנה מידה: )ו( התלמיד יוכל להגדיר קנה מידה שמימנו .3

(.1קישור למטרת העל: חידוד מושגים )שיעור

תכנון תהליך: )ז( התלמיד יהיה מסוגל להגדיר מראש תהליך ניתוח תנועה, בנוי משלבים; .4

(.2קישור למטרת העל: ראייה מערכתית )שיעור

מבנה היחידה "מתמטיקה בגן השעשועים" 2.1

19

כדוגמת 6יחידת הלימודל אתרבנות ליש ליחידת הלימוד כהכנה מוקדמת: הכנה מוקדמתא.

כמו כן נדרשת . שלו כשהמורה מוסיף הדגשים ומשימות שרלוונטיים לכתההאתר הנוכחי,

לצורך טעינת הסרטונים לתלמידים ולמורה )עם הרשאות כתיבה( בענן 7מקום משותףהקצאת

על לצורך הדגמה וכן , ותסיטואצימספר ת וידאו של ולאתר הקלטהעלות למומלץ המוקלטים.

הנחיות להתקנת מכיל האתר ים ללא מצלמה/טלפון יוכלו להשתמש בהקלטות אלו.מנת שתלמיד

.שבאתר( 8ההנחיות)ראה פרק תוכנת ניתוח וידאו והנחיות לעבודה עם התוכנה

, שבהם שיעורים תשעהמכילה רצף של כהשעשועים" "מתמטיקה בגן : היחידהיחידת הלימודב.

חומרי הלימוד . , שמבצע התלמידחקר של מתקן בגן השעשועיםמתבצעת למידה תוך כדי

השיעורים באופן ונות, מלווים את התלמיד לאורךהנחיה ופעילויות מקודפי –הדיגיטאליים

יכולה להיות )לא חייבת( לאתר היחידה. הגישה , דרך חידונים והעשרהאקטיבי וחווייתי

את הקוד יכין שיודבקו על גבי המתקנים השונים ועל גבי המחברות. , 9QR קוד באמצעות

. כחלק מהעבודההתלמיד

שלב ( הואלישיש)שיעור שעשועיםה בגן התלמידים של הפיזי הביקור: למידה מחוץ לכיתהג.

, וקישור בין יציאה משגרה ,חוויהשל מכניס אלמנט שכן הואהלמידה, בתהליך ביותר חשוב

לאיסוף נתונים מהשטח שהם שיעור זה מוקדש . ולמציאות התלמיד מתמטיקה לגן שעשועים

הקלטה ראשונית תתברר כלא מספיק טובה, הערה: יש סיכוי ש. מדידות, צילומים וסרטונים

תזוזות של הגורמת לכך שהתנועה לא סימטרית, זווית צילום סיבות לכך יכולות להיות,

יה יבשנ frames -שמספר האי סימון אובייקט העקיבה לפני הקלטת הווידאו, או בגלל המצלמה,

. (אינו קבוע

4 איורהיחידה בנויה מכתשה שיעורים. "מתמטיקה בגן השעשועים": רצף השיעורים ביחידהד.

:להלן תיאור תמציתי של השיעוריםמראה את סדר הנושאים והשיעורים על פי גיל/כיתה.

צפייה בסרטוני הבנג'י והנדנדה ובעקבותיו (: 1-2רקע והדגמה )שיעור –מבוא ליחידה .1

, דיוק גוף נקודתי, מדידותפונקציות, עה של גוף, דיון ראשוני במושגים תנועה, רישום תנו

מדידה, פונקציית השגיאה, מינימום ונגזרת, קישור לגיאומטריה ולאלגברה. מושגים אלה

כמו כן יוצג האתר "מתמטיקה בגן השעשועים" ותהליך .יידונו תוך כדי דיון במליאה

הלמידה הצפוי.

שעור זה מתמקד בפן הגיאומטרי של (: 3סיור בגן השעשועים ובחירת מתקן לחקר )שיעור .2

יבחרו את המתקן שאותו , התלמידים יסיירו בגן השעשועיםהמתקן הנבחר. לצורך כך

יזקקו את הפרמטרים (. ות, יאספו נתונים גולמיים )צילום + מדידהם רוצים לחקור

, כפי שנובע מהמדידות בשטח. צורות המתקןויבטאו סכמתית את מבנה המשמעותיים

, פרבולה, אליפסה, קשת, מעגלעיגול/גיאומטריות אופייניות לגן השעשועים הם

וכל זאת בהתאם למתקן הנבחר. , סוגי משולשיםמרובעים

6 https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/home

7 https://drive.google.com/folderview?id=0B4dYQ4paCcmPSXBwa3pPbXdrbjA&usp=sharing

8 https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/instructions

9 Code-QR הוא קוד מהיר דו-( ממדיCode esponseRuick Q ) שיקפיץ את התלמיד לדף הנחיה מקוון

שנבחר באתר שבו יש פעילות אקטיבית של התלמיד רלוונטית למתקן

20

דיון במליאה –( 4)שיעור הווידאו ניתוח עם עבודהחידוד מושגים מתמטיים באמצעות .3

השוואה בין, מידה קנהמהו , גדרה של פונקציהה מהו תחום: המתמטיים על המושגים

נקודת זיהוי, מודל המתמטימערכות צירים משתנות בבמציאות לעומת צירים מערכת

לאחר הדיון התלמיד מיישם את המושגים במודל אותו הוא בונה.. חסרת ממדים מעקב

דגימה ואיסוף התנועה של נקודת המעקב : (5)שיעור טבלאי ייצוגב התנועה ביטוי נתוני .4

זיהוי משתנים התלוי טבלת ערכים. פירוש מילולי של טבלאות הנתונים. מהסרטון לתוך

והבלתי תלוי

בניה של גרפים שונים בהתאם לבחירת הצירים (: 6ביטוי נתוני התנועה בגרפים )שיעור .5

,𝑥)) םייהתלו יםוהמשתנ (𝑡)המיוצגים על ידי המשתנה הבלתי תלוי 𝑦. פרשנות הגרפים

ואימות מול הסרטון.

בנוסף לייצוג הטבלאי ולגרפים התלמיד יסיק פונקציה :(7)שיעור המתמטי המודל הסקת .6

מחייב זה שלבקרובה ככל האפשר לאוסף הדגימות שנאסף בטבלאות הנתונים. אלגברית

להסיק ודעי תלמידה', ט בכיתות). התלמיד לרשת העומד המתמטי הידע בכל שימוש

מחזוריות פונקציות להסיק יוכל יותר גבוהות בכיתות. קווית או ריבועית פונקציה

A𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑡: כדוגמת + 𝐶) שנובעת השגיאה פונקציית את לחשבוכפעילות מאתגרת

. (לדגימה המתמטי המודל בין ההפרשים ריבועי מסכום

, הריבועית הפונקציה בהסקת אתמקד, ולכן' ט כיתה בני היא היעד אוכלוסיית זו בעבודה

.קרטזית צירים במערכת( x,y) המיקום בפונקציה, שלנו במקרה, ביטוי לידי שבאה

, לנבא ינסה התלמיד, זה בשיעור: (8)שיעור למציאות המתמטי מהמודל מסקנות הסקת .7

קריטיים של ה מהפרמטרים באחד שינוי השפעת תהיה מה המתמטי המודל פי על

, כיצד שינוי זה ישפיע על גודל התנודה, על 5המתקן. לדוגמה הגדלת גובה המתקן פי

מהירות הגוף שמתנדנד, על אורך חוט הנדנדה שצריך לקחת, על גודל המשקל שיוכל

גודל המשרעת, המחזוריות של התנועה, האם הוא יהיה בטיחותי. לשאת המתקן החדש,

את יציגו התלמידים שבו ההורים בשילוב אירוע ייזום המורה: (9)שיעור מסכם שיעור .8

ויצדיקו, המשופר הדגם את יציגו, המתקן של הכשל נקודות את יסבירו, שבנו המודל

.המתמטי המודל פי על מבוטא להיות צריך ההסבר .עדיף הוא במה וינמקו

21

ביחידת הלימוד "מתמטיקה בגן השעשועים" תיאור מפורט של השיעורים 3

(:1-2רקע והדגמה )שיעור –מבוא ליחידה 3.1

: תיאור כללי

שיעור זה משמש כפתיח ליחידת הלימוד, מטרתו העיקרית היא לסקרן, להפתיע ולקשור את

נדנדה תנועת ה אתבחרתי להשוות המתמטיקה לסיטואציות מוכרות מחיי היום יום. לצורך כך

את התלמיד לשאלות מהי ל"הוביל"בפארק שעשועים. באופן כזה בנג'יתנועת הלבגן השעשועים

? אילו צורות גיאומטריות מתחבאות בתוך את פונקציית התנועהכיצד מבטאים פונקציה?

סרטוט סכמתי של התנועה.התנועה?

מושגים מרכזיים

"פונקציה" , "פונקציית התנועה" )מקום, זמן(, רישום תנועת גוף באופן טבלאי וגרפי,

"מערכת צירים", "ציר סימטריה"

גיאומטריה: זווית, מעגל, משולש, מרובע.

מטרות אופרטיביות של השיעור:

כתלות בין שני – "פונקציהאת מושג "התאר בתום השיעור התלמיד יהיה מסוגל ל -

משתנים.

כתלות של – )תנועה( פונקציית מקום/זמן בתום השיעור התלמיד ידע לתאר את -

המשתנים מקום וזמן.

בתום השיעור התלמיד יהיה מסוגל לבטא "מקום" ביחס למערכת צירים. -

שבנדנדה.בתום השיעור התלמיד יזהה את הצורות הגיאומטריות -

יוכל לצייר סכמתית את התנועה שמתבצעת במתקן הנדנדה בתום השיעור התלמיד -

החוט, גובה הנדנדה, ציר סימטריה, )אורך את הפרמטריים המרכזייםלבטא אלגברית ו

.אורך המשרעת, זווית הפתיחה ביחס לציר הסימטריה

: , בעקבות שיעור המבואתוצרים בתלקיט של התלמיד

6.8 טבלת השוואה בין הנדנדה והבנג', ראה נספח -

חשיבה על המתקן המועדף, -

. שאלות חקר בנושא התנועה במתקן המועדף -

אילו מדידות בשטח נדרשות כדי שאפשר יהיה לענות על שאלות החקר. -

(6.12 חידון המדידות )ראה נספח -

: מחשב למורה, מקרן, אתר ההדגמה )דף הבית(.עזרים

(2-1תיאור מפורט )שיעור

22

.וסרטון הנדנדה סירטון הבנג'הדגמת : פתיח -1חלק

מילוי טבלת ההשוואה בין נדנדה לבנג': –2חלק

הנדנדה בין( 6.8 )נספח שוואה ההטבלת מקרין את המורה לאחר הקרנת הסרטונים,

והתלמידים ממלאים מידע אינטואיטיבי שיש ברשותם. בנוסף, הם מתבקשים לבנג'

בצעת בבנג'.את התנועה שמתבצעת בנדנדה ואת זו שמת סכמתילסרטט באופן

)זהו התוצר הראשון, רטוט( כל תלמיד שומר בתלקיט האישי שלוכולל הסאת הטבלה )

. נחזור אליו בהמשך(

דיון על מושגי יסוד: – 3חלק

)לכל מושג יסוד יש דף הסבר באתר, המורה פותח בשיח מתמטי במליאה על מושגי היסוד

כך שהתלמידים מקבלים מידע ויזואלי וכן מידע שמיעתי אודות המושגים(:

?11גוף נקודתי? מהו "כיצד נרשום "עקבות" גוף ?10תנועהמהי :שאלות מנחות

, הוספת שאלות חקר של הדוגמה מהאתר שאלות החקרהצגת , שאלת חקרמהי

שהתלמידים מעלים.

באילו נדרשות בשטח כדי לענות על שאלות החקרגיאומטריות מדידותאילו מורה:

, (6.9 , נספחחידון המדידות)ראה מכשירי מדידה נשתמש

? איך כל זה קשור למתמטיקה

שאלות חקר שקשורות בדוגמת הנדנדה: – 4ק חל

כמה זמן לוקח לעבור מצד לצד? בבנג' ובנדנדה -

כיצד ישתנה זמן מחזור התנועה אם בבנג' יהיה אדם אחד, שניים או שלושה? -

ובנדנדה? אם יהיה ילד גדול לעומת ילד קטן?

היכן עובר ציר הסימטריה של התנועה? -

מה תפקיד מערכת הצירים? -

מרחקים אנכיים הנדנדה/בנגי' עוברים ?אילו -

אילו מרחקים אופקיים הנדנדה/בנגי' עוברים ? -

מהו שטח הבטיחות שבו לא כדאי להיות כאשר יש מישהו שמתנדנד בנדנדה/בנגי' ? -

10 https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPVmxSU1pFaFNsVkU/view?usp=sharing

11 https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPNEdpbGxuX1YyNGs/view?usp=sharing

23

לכל שאלת חקר: – 5חלק

אילו מדידות נצטרך לעשות כדי לענות על השאלה? -

רגל, סטופר וכו(אילו עזרים נדרשים לביצוע המדידה בשטח )ס -

כיצד נבצע את המדידה בשטח ? -

באילו יחידות נשתמש ? )ס"מ/מטר, סמ"ר, שניות/אלפיות השנייה...( -

באיזה אופן נשתמש בידוע לנו במתמטיקה על מנת לבצע את המדידה באופן יעיל? -

הערה: המורה יראה דוגמה ואת השאר התלמיד ישלים בעצמו )בכיתה או בבית(.

:תלקיט התוצרים – 6חלק

המורה סוקר משימה אחר משימה מתלקיט המשימות )התוצרים( – תלקיט תוצריםהצגת

תוצר ותוצר. המטרה להדגים את התוצרים שהתלמיד צריך לעשות כחלק שבאתר, מסביר כל

על מנת שיראה את התמונה לתלמיד מכווןמהשתתפותו ביחידת הלימוד. התלקיט מהווה

הכוללת של היחידה.

תוכן תלקיט התוצרים נגיש באתר היחיד בכל עת והתלמיד יכול לעיין בו ולראות את הדוגמה

שבאתר.

3לקראת שיעור – 6.11 ראה נספח ות המשך, לעבודה עצמיתמשימ – 7חלק

(:3סיור בגן השעשועים ובחירת מתקן לחקר )שיעור 3.2

שעור זה מתמקד בפן הגיאומטרי של המתקן הנבחר. לצורך כך התלמידים -תיאור כללי ומטרות

שהם, יאספו נתונים גולמיים הם רוצים לחקוריבחרו את המתקן שאותו יסיירו בגן השעשועים,

דרש משאלות החקר( לפי הנ ,צילום סטטי )ללא תנועה( של המתקן ממספר זוויות )צד, חזית

(.12צילוםהכנות וטיפים לצילום סרטונים הכוללים תנועה במתקן )ראה ו

: לצורך סרטוט גאומטרי של המתקן, ולצורך תיאור התנועה בו.(6.8 )נספח 13מדידותביצוע

מושגים מרכזיים

"סימטריה""שטח", "קנה מידה", "אורך", "רוחב",

12

https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPOFFpMmF5aVpfRzg/view?pli=1 13

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/measurments

24

מטרות אופרטיביות של השיעור:

ויוכל למדוד של המתקן שבחר, ותגיאומטריצורות את ה זהות בתום השיעור התלמיד יוכל ל -

מעגל, קשת, . צורות גיאומטריות אופייניות בגן השעשועים הם עיגול/או לחשב היקף ושטח

.לסוגיהם )ישר/קהה/חד זווית שווה שוקיים, שווה צלעות אליפסה, מרובעים, משולשים

בחר ואת בתום השיעור התלמיד יוכל לצייר סכמתית את התנועה שמתבצעת במתקן ש -

הפרמטריים הגיאומטריים המרכזיים שבו.

בתום השיעור התלמיד יוכל לזהות את ציר הסימטריה ומחזוריות התנועה )אם קיימים -

במתקן הנבחר(

: גן השעשועים, אמצעי מדידה לתלמידים: סנטימטר, שעון עצר )בטלפון הנייד(, מצלמת עזרים

,45°מצויירות זוויות מרכזיות, וידאו )בטלפון הנייד(, מד זווית )שקף שעליו 90°.) )

:, בחירת המתקן(3)לשיעור תוצרים לתלקיט התלמיד

שאותו חוקריםבחירת המתקן -

ניסוח שאלות חקר -

צילומי צד, חזית של המתקן -

תיאור אילו מדידות התבצעו בשטח -

ציור סכמתי גיאומטרי של המתקן -

המתקן בתנועה, ללא ילד ועם ילד. נעשה על ידי התלמיד המתעד אתסרטון וידאו ש -

: ותהער

בתכנית המורה יכול)ה( להחליט מראש על המתקן שאותו חוקרים, בהתאם לחומר הנלמד (1)

, ולספק לכיתה סרטון מוכן. בכך "לחסוך" את זמן היציאה לגן השעשועים, הלימודים

יט ולהתקדם בחומר המתמטי. בכל מקרה בסיום השיעור התלמיד צריך להוסיף לתלק

התוצרים שאלות חקר משלו, מדידות רלוונטיות לשאלות החקר, סרטונים וצילומים

רלוונטיים, סרטוט גיאומטרי סכמתי של המתקן שהתלמיד עשה.

ליד הבית, מחוץ לשעות ויבצע את המדידות אפשרות נוספת היא שהתלמיד יצלם סרטון (2)

הפעילות בבית הספר.

תיאור גאומטרי סטטי )ללא תנועה( של המתקן. בכיתות נמוכות, המורה יכול להסתפק ב (3)

במקרה זה, התלמיד יבצע מדידות בשטח ויתאר את המתקן בסרטוט על דף, תוך עבודה

מידה" ושמירה על פרופורציות.-עם "קנה

(1)שיעור הווידאו ניתוח תכנת עם מושגים מתמטיים באמצעות עבודה וחקר חידוד 3.3

תיאור כללי ומטרות

תחום" עליו להגדיר את מזהה ומבטא מושגים מתמטיים בסרטון שהקליט. תלמיד הבשיעור זה

יכן ה, ולמה שתמשבחר להמידה" ה"קנה באיזה, הרלוונטי להקלטה שלו פונקציההשל "הגדרהה

25

אם התלמיד . ה שמבצעת את התנועהנקודויזהה , " למה צריך אותהציריםה מערכתימקם את "

באים לידי ביטוי. הםכיצד ניתוח של המושגים ונתקל באי הבנה הוא יכול לראות באתר

הכנות קודמות:

בשלב זה לתלמיד יש כבר את שאלות החקר, מדידות, סרטונים וצילומים. ומיומנות בסיסית

שרות של עבודה עם תוכנת ניתוח הווידאו. תלמידים שלא הספיקו להגיע עם התוצרים, יש אפ

להתייעץ עם המורה שינחה אותם כיצד להתקדם על מנת להגיע לשלב של השיעור הרביעי.

מושגים

"גוף נקודתי"", ציון נקודה על מערכת הצירים", "מערכת צירים" ,"קנה מידה" , "תחום הגדרה"

מטרות אופרטיביות של השיעור:

בתום השיעור התלמיד יהיה מסוגל להגדיר "תחום הגדרה" לפונקציה -

עיל למקם בתום השיעור התלמיד יהיה מסוגל להסביר למה צריך מערכת צירים, איפה י -

את נקודת הראשית.

ולמה הוא משמש."קנה מידה" השיעור התלמיד יהיה מסוגל להסביר מהובתום -

התלמיד ידע להסביר מהי פונקציית התנועה -

:, לצורך חידוד מושגיםתוצרים לתלקיט של התלמיד

:התלמיד יכתוב קובץ ובו יפרט ,לכל אחד מהמושגים

פונקציה, מהו תחום ההגדרה שנבחר, ומהם "תחום הגדרה" של המושג על הסבר -

השיקולים לבחירת תחום זה.

המושג "מערכת צירים", מדוע היא רלוונטית לתנועה, היכן למקם את על הסבר -

הראשית, ומהם השיקולים למיקום זה של הראשית.

"קנה מידה" כיצד משתמשים בו, ואיך הוא משתמש בו בהקשר המתקן המושג על הסבר -

השוואה בין המצב שבו קנה המידה מוגדר ולמצב שהוא לא מוגדר. טבלת הנחקר.

במתקן "תנועה" "גוף נקודתי", כיצד בחר אותו ומדוע הוא מייצג את ההסבר על המושג -

הנחקר.

.ומהספרות הערה: תלמידים מתעניינים יכולים להעמיק בחומרים מהאינטרנט

, אתר היחידה "מתמטיקה tracker -חדר מחשבים שבו לתלמיד יש מחשב עם תוכנת ה : עזרים

בגן השעשועים" , סרטון הקלטה )של התלמיד או של המורה(.

תיאור מפורט של מהלך השיעור

26

התלמיד לתוכנת ניתוח הווידאו. כל בידי שנעשה של סיטואציה טעינת סרטון הקלטה – 1חלק

תלמיד/קבוצה טוען את הסרטון האישי שלו. )רצוי לצרף גם סרטונים שנפסלו ולהסביר מדוע הם

לא מתאימים לניתוח הוידאו(.

על ידי התלמידים:מושגים הגדרת – 2חלק

"תחום הגדרהמושג: "

המורה מפתח שיח מתמטי במליאה עם שאלות מנחות שבסופו התלמידים מגדירים את

המושג "תחום הגדרה" של פונקציה באופן כללי, וכיצד "תחום ההגדרה" בא לידי ביטוי

בסרטון הסיטואציה שלהם. המורה מדגים על סיטואציית הנדנדה בעוד שהתלמיד מגדיר

דרה של הפונקציה שאותה הוא חוקר. את תחום ההג

הגדרת המושג "תחום הגדרה" כמו כן השיקולים לקביעת "תחום ההגדרה" הם חלק

מתלקיט התלמיד.

":קנה מידהחקר מושג: "

בין להשוות"קנה המידה", ומבקש מהתלמידים המורה מפתח דיון במליאה על נחיצות

המצב שבו קנה המידה לא מוגדר )ערכי מיקום נקודת המעקב מקבלים ערכים לא

מציאותיים( לעומת המצב שבו קנה המידה מוגדר )ערכי מיקום נקודת המעקב מקבלים

ערכים לא מציאותיים(.

ובלי קנה מידה הם חלק הגדרת המושג "קנה מידה" כמו כן השוואת ערכי הדגימות עם

מתלקיט התלמיד.

":מערכת ציריםחקר מושג "

בדיון במליאה, המורה מעלה את השאלה כיצד ניתן לבטא את מיקום של נקודת המעקב

)נקודה שמייצגת את מיקום הגוף(.

"מקום" של -שיח מתמטי במליאה שבסופו התלמידים מגיעים למסקנה שהמורה מפתח

נקודת מעקב הוא יחסי לנקודת ראשית הצירים ושיעורי נקודת המעקב הם המרחקים,

האופקי והאנכי, מהצירים שמצטלבים בנקודת הראשית.

חשיבות נוספת של מיקום נקודת הראשית היא בשיקול של נוחות עבודה בהמשך, כאשר

יפה היא לעבוד במספרים חיוביים ככל שניתן, ושהציר האנכי ימוקם כך שהתנועה השא

ביחס אליו. סימטריתתהיה

התלמיד מגדיר את מיקום מערכת הצירים והשיקולים שהביאו להחליט על מיקום זה

ומצרף אותם לתלקיט שלו.

27

גוף נקודתימושג:

המורה מפנה את תשומת לב התלמידים לדוגמת תנועת הנדנדה ומעורר את השאלה כיצד

הו עצם שאינו נקודתי ולכן לכל ניתן לעקוב אחר התנועה של הילדה המתנדנדת? שהרי ז

מתוך שיח מתמטי יש להגיע עם התלמידים נקודה בו יש מיקום שונה ומהירות שונה.

הגוף והנדנדה ביחד. ולהחליט להסכם שצריך להגדיר נקודה דמיונית אחת שמייצגת את

.עם מינימום שגיאהשל תנועה היכן למקם אותה על מנת לקבל עקיבה

ים דיים, מצופה מהתלמיד להשלים את תלקיט התוצרים האישי כפי כאשר המושגים ברור .לעילשמפורט

(1ביטוי נתוני התנועה בייצוג טבלאי )שיעור 3.1

תיאור כללי ומטרות

בכל יחידת זהו שלב שבו התלמיד משתמש בתוכנת ניתוח הווידאו כדי לדגום את נתוני התנועה

. על פי טבלת הערכים התלמיד לתוך טבלת ערכים דגימותהלאסוף את ו ( frame-ה )משך זמן

הפונקציה ומסביר מילולית את משמעות הערכים שבטבלה. משתנימזהה את

".תרשים עקבות, ""טבלת ערכיםשינוי מרחק כתלות בזמן, "משתנה", " –" פונקציה" : מושגים

ביות של השיעור:מטרות אופרטי

בתום השיעור התלמיד יוכל לזהות תלות בין משתנים -

בתום השיעור התלמיד יוכל למלא טבלת ערכים ולתת לה פירוש מילולי. -

:, לצורך ייצוג טבלאיתוצרים לתלקיט של התלמיד

תרשים עקבות -

טבלת ערכים -

פרשנות מילולית לערכים שבטבלה. -

משתנה, אילו ערכים הוא יכול לקבל, למה ?זיהוי המשתנים, פירוט מה תפקיד כל -

(6.13 חידון הפונקציה )נספח -

תלות עונה להגדרה של ההאם זיהוי התלויות האפשריות בין המשתנים השונים, -

"?פונקציה"

, אתר היחידה "מתמטיקה tracker -חדר מחשבים שבו לתלמיד יש מחשב עם תוכנת ה : עזרים

בגן השעשועים" , סרטון הקלטה )של התלמיד או של המורה(.

תיאור מפורט של מהלך השיעור

28

דרכים לייצג פונקציה – 1חלק

המורה מסביר ומדגים במליאה, בעזרת אתר היחידה "מתמטיקה בגן השעשועים", את

דגימת השונים הקיימים: טבלאי , גרפי, מילולי ואלגברי. וכן כיצד קשורה הייצוגים

הנקודות לייצוגים אלו.

בנית טבלת הערכים של פונקציית התנועה, כיצד נוצר גרף ומהו משתנה – 2חלק

ימות, בתוכנה, ומראה שככל שמתווספות הדג דגימת נקודותהמורה מדגים כיצד לבצע

באופן הדרגתי, הולכת ונבנית טבלת הערכים שאף אוטומטית מוצגת בגרפים מתאימים.

" של התנועה בסרטון שלו.תרשים עקבותכעבודה עצמית התלמיד עושה "

תלמידים מזהים את זוגות המשתנים האפשריים, דנים המורה פותח שיח מתמטי בו ה

בשאלה כיצד נוצר גרף, מהם צירים, מציעים פרשנות מילולית לכל גרף שנוצר כאשר

הפרשנות מאומתת על ידי הסרטון.

התלמיד בונה טבלת ערכים –עבודה עצמית – 3חלק

טבלת ערכים עבודה עצמית: התלמיד מבצע את דגימת הנקודות. כל דגימה מתווספת ל

,�𝑥(𝑡)של הפונקציות הנחקרות y(t), [𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)] ומוצגת בגרף, וכך התלמיד רואה ,

את ההשפעה של כל דגימה על התמונה הכוללת של פונקציית התנועה.

,𝑥התלמיד מזהה את זוגות המשתנים האפשריים מתוך סך המשתנים 𝑦, 𝑡 בטבלת

הנתונים, מסביר את תפקידו של כל משתנה, אילו ערכים הוא יכול לקבל.

התקדמות במשימות התלקיט –עבודה עצמית – 4חלק

, והמורה יועץ לעילשאר השיעור התלמיד מתקדם במשימות התלקיט כפי שהם רשומות

ועוזר בשאלות שצצות.

(1התנועה בגרפים )שיעור ביטוי נתוני 3.1

תיאור כללי ומטרות

בניה של גרפים שונים בהתאם לבחירת הצירים המיוצגים על הכירות עם המושג "מודל מתמטי",

,𝑥)והמשתנים התלויים ) (𝑡)ידי המשתנה הבלתי תלוי 𝑦.פרשנות הגרפים ואימות מול הסרטון .

יכול להיות אחרון ביחידת הלימוד מכיוון זהשיעור עבור כיתות ז', ח', לפי שיקול המורה,

שהנושאים הנוספים כמו הסקת ייצוג אלגברי ועל פי המודל האלגברי חיזוי מה היה קורה אילו

מסקנות אחד הפרמטרים היה מקבל ערכים שאינם קיימים בסיטואציה המוקלטת )כלומר הסקת

הם מתקדמים יותר ודורשים ידע מתמטי רחב יותר. מהמודל המתמטי(

יתכן והמורה יחוש שהכיתה מסוגלת, באופן אינטואיטיבי, לנבות תרחישים לפי הייצוג הגרפי

והפרשנות המילולית.

29

, "תלות בין משתנים", "צירים": "גרף", "מודל מתמטי"מושגים

מטרות אופרטיביות של השיעור:

בין מודל מתמטי למציאות מוקלטת. התלמיד יוכל לתאר את ההבדל -

התלמיד יוכל לעבור מייצוג טבלאי לייצוג גרפי. -

קשר בין צירי הגרף למשתני הפונקציהיהתלמיד -

התלמיד יזהה אילו גרפים אפשריים -

התלמיד יקשר את הגרף לתופעה פיזיקלית. -

:ייצוג גרפיתוצרים לתלקיט של התלמיד, לצורך

יפרש מילולית את המשמעות, הגרףסרטוט תלקיט את , התלמיד ישמור בעבור כל גרף -

גרף שמתקבל.כיצד התלות בין המשתנים מובילה ל, תופעת הגרף

באילו תחומים הפונקציה מוגדרת ? -

באיזה תחומים הפונקציה עולה / יורדת. -

, אתר היחידה "מתמטיקה tracker -חדר מחשבים שבו לתלמיד יש מחשב עם תוכנת ה : עזרים

השעשועים" , סרטון הקלטה )של התלמיד או של המורה(.בגן

תיאור מפורט של מהלך השיעור

הגדרת המושג "מודל מתמטי" בעזרת התלמידים – 1חלק

". המורה מטימודל מתהמורה פותח בשיח מתמטי ושואל שאלות מנחות לגבי מהו "

מדגים את ההבדלים בין הסיטואציה המציאותית למודל ומדגיש שבאמצעות המודל

במציאות. המערכת על מסקנות והסקת חיזוי, הערכות לבצעניתן

מעבר מייצוג טבלאי לייצוג גרפי – 2חלק

בייצוג גרפי. 5משיעור טבלת הערכים כחלק מהמודל התלמיד מבטא את

: עבור כל גרף

התלמיד ישמור בתלקיט את הגרף עצמו,

יפרש מילולית את המשמעות, מדוע זה הגרף שמתקבל.

באילו תחומים הפונקציה מוגדרת ?

באיזה תחומים הפונקציה עולה / יורדת.

עבודה עצמית של התלמיד בהתקדמות במשימות התלקיט – 3חלק

,לעילד מתקדם במשימות התלקיט כפי שהם רשומות בשאר השיעור התלמי

30

:(1המתמטי )שיעור המודל הסקת 3.1

תיאור כללי ומטרות

של פונקציה מקורבת לגרף "אלגברי ייצוג"בשלב זה התלמיד מסיק מתוך הדגימות והגרפים

שנוצר כתוצאה מהדגימות, שלב זה מחייב שימוש בכל הידע המתמטי העומד לרשת התלמיד.

בכיתות ט', לתלמיד יש את הידע להסיק את הפונקציה הריבועית )או הקווית(.

פונקציית יא בני כיתה ט' ולכן, אתמקד בהסקה של ייצוג לינארי )בעבודה זו אוכלוסיית היעד ה

ריבועית(. לכל אחד מהגרפים ניתן לבנות ייצוג פונקציה הקו הישר( או בהסקת ייצוג ריבועי )

אלגברי לינארי או ריבועי והבחירה תלויה בגודל השגיאה שנוצרת כאשר בוחרים באחד

מהקירובים. כמובן שככל שגודל השגיאה קטן כך הקירוב טוב יותר.

:הערות

ל להסיק פונקציות מחזוריות כדוגמת: בכיתות גבוהות יותר יוכA ∙ sin(𝑥𝑡 + 𝐶) כפעילות ו

לחשב את פונקציית השגיאה שנובעת מסכום ריבועי ההפרשים בין המודל המתמטי מאתגרת,

שלב זה מעשיר את התלמיד בשיטת הקירוב של סכום ריבועי ההפרשים, זוהי שיטה לדגימה.

באופן אינטואיטיבי.מקובלת לחישוב שגיאה, וכאן התלמיד נחשף אליה

שעדיין לא למדו מושגי יסוד כמו כיתות של חטיבת הביניים )ז',ח'(, שיעור זה אינו מיועד ל

פונקציה, תלות בין משתנים, ועוד.

במקרים שבהם אין לתלמיד את הידע המתמטי הנדרש כדי להסיק את הייצוג האלגברי, ניתן

ק מתכנת ניתוח הווידאו, על מנת להסיק שהוא חל data toolלהיעזר בכלי ניתוח הנתונים

. שלב זה מתאים לרמות של כיתות ואף לקבל את גודל השגיאה פונקציה מקורבת לדגימות

י"א י"ב ואף מעבר.

ה במודל""שגיא", "מודל מתמטי", ייצוג אלגברי: "מושגים

מטרות אופרטיביות של השיעור:

בתום השיעור התלמיד יוכל לזהות ייצוג אלגברי של פונקציה. -

ייקשר את הייצוגים השונים )טבלאי, גרפי, מילולי, אלגברי( בתום השיעור התלמיד -

למודל המתמטי.

יקבל מה יקרה אם אחד הפרמטרים בייצוג האלגברי בתום השיעור התלמיד יוכל לחזות -

ערכים שחורגים מאילו שיש בסיטואציה שצילם.

:הסקת המודל המתמטיתוצרים לתלקיט של התלמיד, לצורך

לכל זוג משתנים שעבורו נבנה גרף:

31

., כלומר פונקציה קווית קרובה ככל שניתן לגרף הדגימותלינארי אלגברי גייצו -

ת צירים.וגרף שבנוי מנקודות הדגימה על אותה מערכלינארי גרף של הייצוג ה -

ההבדל בניהם )סכום ריבוע ההפרשים( -

טוב הסבר מילולי מדוע יש הבדלים בין הגרפים, באילו תחומים המודל המתמטי מנבא

ובאילו תחומים הוא פחות טוב

מתי כדאי לבחור השתמש בקירוב לינארי?

, כלומר קירוב של פונקציה ריבועית לגרף הדגימות. ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית -

גרף של הייצוג הריבועי וגרף שבנוי מנקודות הדגימה על אותה מערכת צירים. -

ההבדל בניהם )סכום ריבוע ההפרשים( -

הסבר מילולי מדוע יש הבדלים בין הגרפים, באילו תחומים המודל המתמטי מנבא טוב -

ובאילו תחומים הוא פחות טוב.

כדאי לבחור השתמש בקירוב של פונקציה ריבועית?מתי -

: מחשב עם תוכנת ניתוח וידאו, מקרן, סרטון דוגמה להקלטה, אתר היחידה.עזרים

תיאור מפורט של מהלך השיעור

נחיצות הייצוג האלגברי: – בחלק הראשון של השיעור

באמצעות שאלות הייצוג האלגברי ומביא את התלמידים, נחיצותהמורה מעורר שיח מתמטי על

"מה בצע ניבוי ולהמתקן פיזיות של ההמגבלות מאפשר לשנות את זהמנחות, למסקנה שייצוג

ראה בסרטוט בדוגמת הנדנדה, המורה מ משנים את אחד הפרמטרים שלו.היה קורה אילו" היינו

ים את היינו מכפילים את הגודל הפיזי של הנדנדה פי שניים ומאריכ אילומה היה קורה על הלוח

החוט פי שניים, כאשר הזווית בין החוט לציר הסימטריה נשארת ללא שינוי.

כמובן שזו רק התחלה, כעת התלמיד מפליג עם הדמיון שלו על מנת לחשוב על תרחישים נוספים

)בסרטון שלו או בסרטון הנדנדה(. מכאן ההגעה לתרחיש הבנג'י קצרה מאוד.

כני:מוקדש לצד הט -חלק השני של השיעורה

משוער על מנת להגיע לייצוג האלגברי המורה מדגים כיצד משתמשים עם תוכנת ניתוח הווידאו

ית המיקום וכיצד מקבלים מהתוכנה את השגיאה ביחס לדגימות. כמובן שככל של פונקצי

שהשגיאה קטנה יותר כך המודל מנבא טוב יותר את התנועה.

:עבודה עצמית של התלמיד -החלק השלישי של השיעור

. מודל שלוהמתאים ל האלגבריהייצוג הסקת מבצע תהליך של בחלק זה )ואחר כך בבית( התלמיד

בתחילה התלמיד יבנה ייצוג אלגברי לינארי )קו ישר( על ידי העברת קו ישר הקרוב ככל הניתן

בהמשך ימות.יבוע ההפרשים בין הפונקציה הקווית לדגסכום רלנקודות הדגימה, וחישוב

התלמיד יבחר בקירוב של פונקציה ריבועית ויראה עד כמה היא קרובה לדגימות וישווה את

. לעילתוצרי התלמיד לפי הפירוט ההבדלים בשגיאה בין הניבוי הלינארי לניבוי הפרבולה

32

(1למציאות )שיעור המתמטי מהמודל מסקנות הסקת 3.1

כללי ומטרות תיאור

לאורך כל יחידת הלימוד מרחפת באוויר השאלה "למה עושים את העבודה של בנית המודל

המתמטי". בשיעור זה התלמיד מקבל את התשובה בכך שהוא קושר את התיאוריה שבנה )המודל

המתמטי( עם מציאות חדשה מתוך המודל )התרחיש(. בדרך זו התלמיד מוכיח לעצמו שניתן

לשדרג אותה. אף מטיקה על מנת להבין טוב יותר את המציאות מסביב ולהשתמש במת

האחרון לפני סיכום היחידה "מתמטיקה בגן השעשועים" ותפקידו לסגור מעגל עם השיעור זה

השיעור הראשון על ידי השוואה מחודשת בין הנדנדה לבנג' והפעם מתוך המשקפיים של המודל

בונים בעזרת המורה, ,יםהתלמיד (7שיעור בפותח ) הייצוג האלגברי. דרך (2 איורהמתמטי )ראה

על ידי שינוי בפרמטרים של המודל. המורה מדגים סוג של שינוי כזה תרחיש של סיטואציה חדשה

על הבנג' והנדנדה.

המורכב מגרפים, סרטוטים, של המתקן אותו הוא חוקר, לתלמיד יש מודל מתמטי זה, שלב ב

שינוי השפעת תהיה מה המתמטי המודל פי על, לנבא ינסה התלמידאוסף פונקציות אלגבריות.

, כיצד שינוי זה 5הקריטיים של המתקן. לדוגמה הגדלת גובה המתקן פי מהפרמטרים באחד

ישפיע על גודל התנודה, על מהירות הגוף שמתנדנד, על אורך חוט הנדנדה שצריך לקחת, על גודל

גודל המשרעת, המחזוריות של התנועה, האם הוא יהיה המשקל שיוכל לשאת המתקן החדש,

ועוד. בטיחותי

מאופיין ברמות החשיבה הגבוהות תלמידים(, והוא 2-3צות עבודה קטנות )שלב זה מתבצע בקבו

מכיוון שכולו מבוסס על הסקת מסקנות, סינתזה )בנית דבר חדש מתוך אוסף המיידעים ביותר

חלופי או שיפור או סיטואציה אחרת שבה המודל -הקבוצה מציעה מתקן הקיימים( והערכה.

לנדנדה יכולים להיות על ידי שינוי בפרמטר קריטי המתמטי זהה לזה של הנדנדה. שיפורים

היבט בשיגרום לנדנדה להתנדנד יותר זמן, יותר מהר, לכיוונים נוספים או מציאת נקודות כשל

הדגם משופר. מדוע מתמטית ינמקו ו בטיחותי. התלמידים יתכננו גיאומטרית דגם של השיפור

.בשיעור הסיכוםהשיפור לפני הכיתה ויציגו את

"פרמטר" "משתנה" "ייצוג אלגברי""מודל מתמטי", מושגים:

מטרות אופרטיביות של השיעור:

בתום השיעור, התלמיד יהיה מסוגל לנבא מה יקרה אם משנים ערך של פרמטר מסויים -

בייצוג האלגברי.

בתום השיעור התלמיד יהיה מסוגל לבנות תרחיש של שינוי פרמטר קריטי במתקן שבחר. -

33

:הסקה מהמודל למציאותתוצרים לתלקיט של התלמיד, לצורך

תיאור תרחיש שבו אחד הפרמטרים משתנה -

סירטוט -

ניבוי השינוי כתוצאה משינוי הפרמטרים. -

שונה?במה התרחיש מקיים את הסיטואציה המוקלטת, במה הוא -

מקרן ,trackerתכנת עם : מחשבעזרים

תיאור מפורט של מהלך השיעור

פותח בשיח מתמטי מחודש )סוגר מעגל עם המורה חוזר למקרה הבנג'י והנדנדה ולשיעור, כפתיח

השיעור הראשון( ושואל מה ההבדלים בין הבנג' לנדנדה. הפעם מזוית של המודל המתמטי.

משקפי המודל דרךלאחר הפתיח, השיעור מוקדש להשוואה בין הנדנדה לבנג' והפעם , בחלק השני

.הבנג' לנדנדהבר במליאה על התוצרים מאתר ההדגמה, ודנים בהבדלים שבין המורה עו המתמטי.

והתלמידים מציינים בטבלה את הפרמטרים המרכזיים ומה גודלם בשני המקרים. לדוגמה גובה,

התנועה וכו. אורך החוט, זמן מחזור

מתייחס לתוצרים מוקדש לעבודה עצמית של התלמיד שבה הוא של השיעור, לישיהשבחלק

ומנסה להסיק, מתוך המודל שלו, על מתקן דמיוני, מבוסס על המתקן שחקר, וכותב תרחיש שבנה

של "מה היה אילו" הייתי משנה פרמטר מסוים )מקטין או מגדיל...(. כיצד זה היה משפיע על

נועה במתקן.הת

כיוון אחר אפשרי הוא שהתלמיד יסיק על סיטואציה שונה )כמו זריקת כדור( שמשתמשת באותו

מודל מתמטי.

הערה: "הסקת תרחיש" דורשת חשיבה, שקט, וזמן מעבר לשיעור שיש בכיתה ולכן החלק

טואציה השלישי של השיעור ימשך גם בבית כאשר התלמיד דן עם חברו או מדמיין בינו לבינו סי

שבה יש שינוי בתנאי הבעיה או אחד מהמשתנים מקבל תחום ערכים שחורג ממה שנצפה

בסיטואציה.

(1מסכם )שיעור שיעור 3.1

זהו שיעור שבו התלמידים מציגים את המודל והתרחיש לפני ההורים או לפני הכיתה.

.תוצרי התלמידים: מחשב למורה, מקרן, עזרים

תיאור מפורט של מהלך השיעור

נקודות את יסבירו, שבנו המודל את יציגו התלמידים שבו ההורים בשילוב אירוע ייזום המורה

להיות צריך ההסבר. עדיף הוא במה וינמקו ויצדיקו, המשופר הדגם את יציגו, המתקן של הכשל

.המתמטי המודל פי על מבוטא

34

התאמות ליחידת הלימוד עבור אוכלוסיות אחרות 1

עבור חטיבת הביניים 1.1

מטבע הדברים, בכיתות אלו הידע המתמטי של התלמיד קטן יותר ולכן בקבוצות אלו כדאי לעבוד

על המודל המתמטי עד הייצוג האלגברי כי התלמידים עדיין לא למדו מהי פונקציה או מהו

פרמטר.

עבור כיתות י 1.2

ייצוג בחורבכיתות אלו התלמיד מכיר את מושג המעגל ופונקציה מחזורית ולכן הוא יכול ל

כאשר מדובר בתנועה מחזורית )כמו נדנדה, מאפשר דיוק רבש של פונקציה מחזוריתאלגברי

. קרוסלה(

האומר אם המודל קריטריון זה .על פי גודל השגיאהלטיב המודל התלמיד יוכל לנסח קריטריון

שב את המתמטי מנבא טוב את התנועה ובאילו תחומים הוא מנבא טוב יותר. לצורך כך עליו לח

סכום ריבועי ההפרשים של המודל מול הדגימות.

עבור כיתות י"א, י"ב 1.3

הכירות עם פונקציית השגיאה )כיתות מתקדמות(: 10-11שיעור 1.1

איורראה (7שיעור זה מתקיים לאחר הסקת הפונקציה האלגברית שמתארת את התנועה )שיעור

. השיעור שואל "עד כמה פונקציית המודל מדויקת?". השיעור מיועד לכיתות החטיבה העליונה 4

: הסקת מסקנות מהמודל על המציאות.8-המתקדמות, ולאחריו יש לחזור לשיעור

על מנת לענות על השאלה, התלמיד צריך:

אם השגיאה גבוהה מסף מסוים אז פונקציית המודל אינה להגדיר סף )=קריטריון( שאומר: .א

מיטבית בתיאור המודל. ואז לחפש פונקציה אחרת.

לבנות פונקציית שגיאה. .ב

האפשרות הרווחת היא על פי "סכום ריבועי ההפרשים" של הפונקציה האלגברית בהשוואה

לטבלאות הערכים )הדגימות( שנשמרו.

ר, מתאימה פונקציית שגיאה אחרת. התלמיד צריך לנמק : יתכן ולמקרה שהתלמיד חוקהערה

מדוע בחר להשתמש בפונקציית שגיאה זו, האם ניסה שיטות אחרות?

באופן טכני, כדי לחשב את השגיאה:

( התלמיד צריך להוריד את הערכים שנדגמו מתוכנת ניתוח הווידאו לגיליון אקסל,1)

את סכום ריבועי ההפרשים, ניתוח הווידאואו באמצעות תכנת ( לחשב באמצעות האקסל2)

35

באקסל(, גם ( לסרטט גרף של פונקציית השגיאה כנגד פונקציית המודל )ניתן לביצוע 3)

( לציין את השגיאה עצמה, מספר בודד.4)

שמירה בתלקיט:

מהו סף השגיאה הקביל? מדוע? -

סרטוט גרף: פונקציית השגיאה כנגד פונקציית המודל. -

מילולי: באילו תחומים המודל אינו מתאר במדויק את התנועה, מדוע?ניתוח -

רפלקציה על ביצוע העבודה 1

בתחילת התהליך, התמונה הייתה מעורפלת, או הרפתקה. תהליך חקרעבורי תהליך ביצוע העבודה היה

לא תאמו גם התוצרים. החומרים בספרות שקשורים לגן השעשועים היו מעטים ו א היה ברור וכךהיעד ל

את תכנית הלימודים של חטיבה עליונה וגם לא את החזון שלי לשילוב המתמטיקה עם עולם המציאות

ועולם מדעים כמו פיסיקה.

מקובלים בפיסיקה לעקיבה אחר תנועה כמו "רשם הזמן" לא מדידה כלימלכתחילה היה ברור לי ש

ובאמצעים כיתה כותלי המתרחשת מחוץ למתקן בגן השעשועים הת תנועבגלל ש וזאת עומדים לרשותי

עבודת החקר ש סיכוי רב שמדויקות ויאינן המדידות וכדומה. בכלים מסוג זה סרגל, סטופרידניים כמו

קושי זה של המדידה, חיפשתי עזרה במדיית המחשב וזו לא השיבה פני ריקם. שללא ישימה. בתהיה

וידאו בעל מספר וןרשם הזמן באמצעות סרט החינמית, שמחליפה את tracker -מצאתי את תכנת ה

בשנייה. כל פעימה ברשם הזמן שקולה לתמונה בסרטון הווידאו. מרגע זה התמונה framesקבוע של

והלא זוהי וזמן )שיעורי נקודה( מיקוםשל ערכית -חד-חדהתאמה התוכנה מאפשרתהחלה להתבהר.

זמן" או "תנועה". -בדיוק הגדרת הפונקציה "מקום

רומה עבורי היאהת

באופן אישי, אפשר להגיד שעברתי על בשרי תהליך של "חקר" במהלך כתיבת יחידת הלימוד. -

החקר מבחינתי הוא לקחת מקבץ של רעיונות אבסטרקטים כלליים כמו "אוריינות" או "למידה

משמעותית", "טכנולוגיה", "מדיה דיגיטלית" להגדיר אותם לעצמי, לשלב בניהם ולהוציא

ונות בסיסיים אותם אוכל ליישם ולתפור לתכנית הלימודים. כל זאת מתוך ראיית הקשיים עקר

בפתרון אותם קשיים.תוכנות, סרטונים המחשב ,של התלמידים ושילוב האינטרנט

בהמשך בכוונתי לכתוב אפליקציות בטלפון החכם המאפשרות למידה והתנסות מתמטית. -

ליתרונות *מודעות המתמטיקה לעולם התלמיד, *קישור בין באיכות ההוראה. זה כולל: -

, *פתיחות ומודעות לספרות שהטכנולוגיה מאפשרת מבחינת גיוון ושיפור חשיבה ברמות גבוהות

המקצועית, *הכירות עם הגישה הקונסטרוקטיביסטית, *חשיבה על שיעורים יצירתיים, *לערב

את התלמיד מתמטית.

36

ביבליוגרפיה

)תרגום: נ' .רעיונות אחדים למורים :יעדים בלימוד מתמטיקה(. 1968שטלוורס, ש'. )ואביטל, ש' חיפה: טכניון.הדר( -מושקוביץ

. טכנולוגיה מעצבת משמעות – 2020למידה משמעותית (. , ספטמבר2013אברום, ר'. )ואבני, ע',

-http://ianethics.com/wpאוחזר מתוך )מיזם "מתקוונים לאתיקה"(

content/uploads/2013/09/deeper-learning-2020-AI-.pdf

אוניברסיטת ת"א.-הוצאת רמות .חלופות בהערכת הישגים(. 1997בירנבוים, מ'. )

.9-15(, 31)מכון מופ"ת(. אבחון ליקויי למידה במתמטיקה. , נובמבר2008גבעון, ש'. )

ור הלמידה ולהעמקת הידע המתמטי. (. שימוש בשגיאות של תלמידים כמנוף לשיפ2007דוד, ח'. ) .81-93(, 31) על"ה

. )היזמה מה צריכים לדעת העוסקים בהוראת המתמטיקה בחינוך העל־יסודי? (.2012) , י'.רוזנברגלמחקר יישומי בחינוך האקדמיה הלאומית הישראלית למדעים, ירושלים( אוחזר מתוך

http://education.academy.ac.il :

]הודעה בבלוג[ .הד החינוך -. ציה מוטיבציה מוטיבציהמוטיב(. ספטמברב 08, 2011)הרפז, י'.

http://www.tapuz.co.il/blog/net/ViewEntry.aspx?EntryId=2131437אוחזר מתוך

-41(, 13)על"ה יסודי.-(. מיומנויות מתמטיות חדשות הנחוצות לבוגרי בית ספר על2010חייט, א'. )47.

, מתוך 2015 -. אוחזר ב21-התאמת מערכת החינוך למאה ה, 197פרוטוקול (. 2010כנסת ישראל. )

http://www.knesset.gov.il/protocols/data/html/chinuch/2010-04-26.html

.עמי, י-. בןמתוך חומר הרצאות בקורס: קוגניציה, תקשוב ולמידה(. 2010כץ דרוקר,ד ורוזן,ר. )

(. תהליכי רכישת מושגים מתמטיים באמצעות הגדרות ובאמצעות 1994וינר, ש'. )ו מאונטוויטן, מ', מתוך 2015 -אוחזר ב (10)הל"הדוגמאות אצל תלמידי בית ספר יסודי.

http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/Tochniyot_Limudim/Halach

aVemase/Sifriyot/DarkeyHoraa/TaalicheyRechishat.htm.

'ספר לתלמידים כיתה ט, חלק א -מתמטיקה משולבת (. 2013מכון ויצמן להוראת המדעים. ) (.1)כרך

מתוך אתר המתמטיקה 2015 -ב אוחזר .תכנית הלימודים החדשה לכיתות ז, ח, ט(. 2013מפמר. )של משרד החינוך:

http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/Mazkirut_Pedagogit/Matema

tika/ChativatBeinayim/

.מדיניות לקידום למידה משמעותית במערכת החינוך(. 2013משרד החינוך. )

אוחזר מתוך מרכז פיתוח תוכנית לימודים חדשה. -חטיבה עליונה (. 2014 09משרד החינוך. )למתמטיקה בחינוך העל יסודי : ארצי למורים

http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/Mazkirut_Pedagogit/Matema

tika/ChativaElyona/pituach.htm

37

מדיניות לקידום למידה משמעותית במערכת החינוך.(. 2014משרד החינוך. )

אוחזר .33גליון - רשתב ותיתמדיניות לקידום למידה משמע. (2014. )וידיסלבסקיו א', לונברגהממ"ים: 4מתוך

http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/Yesodi/Minhal/Yerchonim/

. אוחזר מתוך תכנית הלימודים במתמטיקה תוכנית הלימודים החדשהב(. 2014משרד החינוך. )

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/mavo.pdfלתלמידי ז', ח', ט.:

. )ע' זוהר, עורך( אוחזר מתוך אתגר מתמשך :למידה בדרך החקר (.2006נוסבוים, י'. )

http://stwww.weizmann.ac.il/tech-center/mot-net/kriat-beinaim/gilayon13/57-

62.pdf

חיפה, אוניברסיטת חיפה: זמורה ביתן. .טכנולוגיה וחינוך בעידן המידע(. 2000סלומון, ג'. )

.167-190, (20חינוך החשיבה)(. טיפוח מוטיבציה פנימית ללמידה בבית הספר. 2001עשור, א'. )

חינוך החשיבההלכה ומעשה. -(. מוטיבציה ללמידה בבית הספר 2001עשור, א', & קפלן, א'. )(20) ,13-35.

.עקרונות בעיצוב ובניתוח של סביבות למידה ממוחשבות (.2006עשת, י', & המר, ר'. ) אוניברסיטה הפתוחה.

.29-36, (11)על"ה(. השפעת השימוש במחשב על רמות חשיבה בגיאומטריה. 1994פטנקין, ד'. )

. )מ' תפיסות מוטעות בתהליך בנית גרפים מייצוגים שונים בסביבה ממוחשבת(. 2014קאפח, א'. )דעת( אוחזר מתוך טכנולוגיה וחינוך: והרצוג, עורך,

http://www.daat.ac.il/tikshuv/tfisot-2.doc

.152-162(, 20)חינוך החשיבה(. מוטיבציה: מה מורים צריכים לדעת. 2001קרול, א'. )

.איפיוני למידה וחשיבה של תלמידים "חלשים" במתמטיקה(. 2003קרסנטי , ר', & הרכבי, א'. ) מכון ויצמן למדע, מחלקה להוראת המדעים.

ל אביב: ספרית הפועלים .ת . חופש ללמוד(. 1973רוג'רס, ק'. )

על"ה, (. מתרגול אלגוריתמי להוראה הדורשת הבנה באמצעות 'היפוך' של שאלות. 2006רייז, ר'. )31, 22-32.

, אוחזר מתוך 11דפים .21-המיומנויות הנדרשות מבוגרי בתי הספר במאה ה(. 2014רימון, ע'. )פורטל תוכן בהוראה והכשרת מורים: -מס"ע

http://portal.macam.ac.il/DbImage.aspx?image=file&id=3194

, מתוך אתר משרד החינוך: 2014 06 20 -אוחזר ב .לומדים מתוך משחקשרמן, י'. )אין תאריך(.

http://cms.education.gov.il/NR/rdonlyres/18A4C783-6303-4E6D-B1E9-

7F87C8602434/106551/12.doc

Ames, C. (1990). Motivation: What teachers need to know. Teacher College Record,

91, 409-421.

Bandura, A. (1977,1986,1993). Self efficiacy.

38

Bloom. (1956). Taxonomy of educational objectives: Handbook I, The cognitive

domain. New York.

cabrillo. (n.d.). Video Analisys and Modeling Tool. Retrieved from Tracker:

https://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/

Cañas, A. J. (2004). Concept Maps: Theory, Methodology, Technology. (U. P.

Navarra, Editor) Retrieved from CmapTool: A Knowledge Modeling and

Sharing Environment.

Department of Education ( .2003 .) National Corriculum Statement, Grades 10-12 .9.

Gallenstein. (2011). Mathematics concept maps: assessing connections. Teaching

Children Mathematics, 17(7), 436-440.

Gallenstein, N. (2013). Concept mapping for learners of all ages. Journal for

Educators, Teachers and Trainers, 4(1), 59 – 72.

Hazan, D. (2000). Beyond Formulas in Mathematics and teaching: Dynamics of the

High School Algebra.

Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the

answer. American Educational Research Journal(27), 29-63.

Leinhardt, G., & Zaslavsky , O. (1990, 09). Functions, Graphs, and Graphing: Tasks,

Learning, and Teaching. Educational Research, 60(1), pp. 1-64.

Maehr, M., & Simmonds, P. (2012). Achievement Motivation: It May All Be About

Self, After All. Retrieved from

http://numerons.files.wordpress.com/2012/04/7achievement-motivation-it-

may-all-be-about-self-after-all.pdf

MCTM. (1989). Curriculum and Evaluation Standards.

NCTM, National Council of Teachers of Mathematics . (2004). Curriculum and

Evaluation Standards Report. Center for the Study of Mathematics

Curriculum.

Nesher, P. (1986). Are Mathematical understanding and algorithmic performance

related. For the Learning of Mathematics, 6(3), 2-8.

Novak, J. (2009, august). How People Learn. Retrieved from http://cmap.ihmc.us/:

http://cmap.ihmc.us/docs/HowPeopleLearn.html

Novak, J., & Cañas. (2009, sep). What is a Concept Map? Retrieved from

CmapTools: http://cmap.ihmc.us/docs/ConceptMap.html

Novak, J., & Bob, G. (1984). Learning how to learn. Cambridge University.

OECD. (2009). Key competencies in reading, mathematics and science.

39

OECD .2009השיגים באוריינות מתמטית במחקר פיזה (. 2009. )

OECD-PISA. (2012). What 15-year-olds know and what they can do with what they

know. Retrieved 06 29, 2014, from PISA:

http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/pisa-2012-results-overview.pdf

P21 organization. (n.d.). http://www.p21.org/. Retrieved from Partnership for 21 st

century skills: http://www.p21.org/index.php

Peterson, P. (1988). Teaching for higher order thinking in mathematics: The challenge

for the next decade. Perspectives on Research on Effective Mathematical

Learning, 1, 2-26.

PISA. (2009). Key competencies in reading, mathematics and science. OECD.

Qualification and Corriculum Authority ( .2005 .)Functional skills.

Skemp, R. (2006). Relational understanding and instrumental understanding.

Mathematics teaching in the middle school, 12(2), 12(2), 88-95.

Spiro, R. (2002). Pioneering a New Way of Learning in a Complex and Complicated

World. New Educator.

Sutherland, R. (1993). Consciousness of the unknown. For the Learning of

Mathematics, 13(1), pp. 43-46.

Venville, G., Wallance, J., Rennie, L., & Malone, J. (2000). Bringing the Boundaries

of Compartmentalized knowledge: student learning in an integrated

environment. Research in Science & Technological Education, 18(1), 23-35.

נספחים

1 נספח

נספחים 1

הביתד –נספח 1.1

צילום ד הבית של אתר האינטרנט - 1 נספח

/https://sites.google.com/site/alizamathonplaygroundקישור:

תלקיט התוצרים –נספח 1.2

נספחים

2 נספח

תקיט התוצרים - 2 נספח

שאלות חקר –תלקיט תוצרים –נספח 1.3

נספחים

3 נספח

חקר שאלות – התוצרים תלקיט - 3 נספח

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/portfolio/basic_questionsקישור:

סרטוט גיאומטרי – תוצריםתלקיט –נספח 1.1

נספחים

4 נספח

גיאומטרי סרטוט – התוצרים תלקיט - 1 נספח

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/portfolio/geometryקישור:

תרשים עקבות –תוצרים תלקיט –נספח 1.1

נספחים

5 נספח

קישור תרשים עקבות:

https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPaDBlTGd3ZnZWUkE/view?usp=sharing

.tכפונקציה של x –תלקיט תוצרים –נספח 1.1

tכפונקציה של xתלקיט תוצרים - 1 איור

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/portfolio/x_t

.tכפונקציה של y –תלקיט תוצרים -נספח 1.1

נספחים

6 נספח

tכפונקציה של yתלקיט תוצרים - 1 איור

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/portfolio/y_t

נספחים

7 נספח

השוואה בין בנג לנדנדה – 3נספח 1.1

Figure 1 - השוואה בין הנדנדה לבנגי

https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPQXBYaWlnNTM0Uk0/view?pli=1

מדידות בגן השעשועים. –נספח 1.1

נספחים

8 נספח

Figure 2 - מדידות בגן השעשועים

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/measurments

1שיעור – הנחיות לתלמיד -נספח 1.10

,עוזר אישי" בדמות אתר הנותן דוגמה לחקר פונקציה מסוג זה לעזרנו":

https://sites.google.com/site/alizamathonplayground/

בין תנועת הבנג'י לתנועת הנדנדה. מלאו את הטבלה כמיטב הבנתכם ושימרו לפניכם טבלת השוואה

:(לכתוב מעבר השוואות עוד להוסיף אפשר) במחיצת התלקיט

https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPQXBYaWlnNTM0Uk0/view?u

sp=sharing

3שיעור לקראת –הנחיות לתלמיד -נספח 1.11

נספחים

9 נספח

: למפגש הבא

,של תנועה בגן השעשועיםצלמו סרטון ווידאו (1)

.YouTube -העלו את הסרטון ל (2)

tracker תלקיט שלכם ונבחן באמצעות תוכנתבמהלך במפגש הבא תורידו את הסרטון למחיצת ה (3)

).אם ניתן להשתמש בסרטון לצורך ניתוח תנועה )או שעלכם לצלם שוב

:לצילום הסרטוןבקישור הוראות עבדו לפי (4)

https://drive.google.com/file/d/0B4dYQ4paCcmPdkFXaUV0bkxQX0U/view

חידון המדידות –נספח 1.12

נספחים

10 נספח

Figure 3 - חידון מדידות

< נתונים מהשטח-הבית מסלול ניווט באתר: דף

קישור לחידון המדידות:

https://docs.google.com/forms/d/1-45oIoIwqCmQB-oCt02P_2oMWizpreIAHxQHYHc_YYk/viewform?c=0&w=1

ידון הפונקציהח -נספח 1.13

נספחים

11 נספח

Figure 1 - חידון הפונקציה

מסלול ניווט באתר:

< משתנים וקשרים בניהם -דף הבית

קישור:

https://docs.google.com/forms/viewform?hl=iw&id=1JlpurzkBY23RTqI-eEKZ37CXodi9W2X0aQpT9MvPJ-Q

חידון תנועה–נספח 1.11

נספחים

12 נספח

Figure 1 - חידון התנועה

מסלול ניווט באתר:

x,y,t< פונקציית מיקום -< משתנים וקשרים בניהם -דף הבית

קישור:

https://docs.google.com/forms/d/1YlFnmgqcFcIWZhx7kZgkFiQwZUjO9XFrqXe95chL0pI/viewform?c=0&w=1