μαθηματικά τετράδια 1ο τεύχος

1

Λύκειο Εκαιδευτηρίου ldquoΤο Παγκρήτιονrdquo Άγιος Ιωάννης ndash 71409 Ηράκλειο Κρήτης

τ1ο

Joan Mirό The Larkrsquos Wing Encircled With Golden Blue Rejoins the Heart of the Poppy Sleeping on a Diamond ndashStudded Meadow

2

Περιεχόmicroενα

1 Χαιρετισmicroόςhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ4

Κοιδάκης Νικόλαος

2 Εισαγωγήhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ 5

Παυλάκος Περικλής

3 lsquoΠερί χρόνου και αλλαγής καταστάσεωνrsquohelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ 7

Αλεξανδράκη Χρυσάνθη

4 lsquoΤο Πυθαγόρειο Θεώρηmicroαrsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ11

Σφακιανάκης Χρύσανθος

5 ΄Τα Στοιχεία του Ευκλείδη΄helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ13

Γοργοράτης Λευτέρης

6 lsquoΤα τρία laquoάλυταraquo ροβλήmicroατα της Ελληνικής

αρχαιότηταςrsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ19

Καστρινάκης Γιώργος Μαρελιέρ Νικόλας

Καρακώστας Θοδωρής Κληρονόmicroου Μαριάννα

7 lsquoDescartes Renersquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ27

Μαρελιέρ Νικόλας

8 lsquoBernoullirsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ32

Αλαmicroούντι Αλέξανδρος

9 lsquoΛογαριθmicroικοί ∆είκτες Ασφάλειαςrsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ34

Σαmicroαριτάκη Μαριλένα

10Μαθηmicroατικά ∆ρώmicroενα και Σεmicroινάρια Μαθηmicroατικών 2005-2006

στο ldquoΠαγκρήτιοrdquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ36


+ Μαθηmicroατικά ndash Μια ειστήmicroη χιλιάδων ετώνhelliphelliphelliphelliphellip (cd)

Καρακώστας Θοδωρής Καστρινάκης Γιώργος

Υδατογράφηmicroα Hilbertrsquos seaside resort hotel

3

ΑΠΛΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Υάρχει microια ολύ γενικευmicroένη άοψη σύmicroφωνα microε την

οοία τα microαθηmicroατικά είναι η ιο δύσκολη ειστήmicroη τη

στιγmicroή ου στην ραγmicroατικότητα είναι η ιο αλή Η αιτία

αυτού του αράδοξου έγκειται στο γεγονός ότι ακριβώς

εξαιτίας της αλότητάς τους οι λανθασmicroένοι microαθηmicroατικοί

συλλογισmicroοί γίνονται έκδηλοι Σε ένα ολύλοκο ολιτικό

ή καλλιτεχνικό ζήτηmicroα υάρχουν τόσοι αράγοντες ου

διακυβεύονται και άλλοι τόσοι άγνωστοι ή microη εmicroφανείς

ου είναι ολύ δύσκολο να διακρίνει κανείς το αληθινό αό

το ψεύτικο Το αοτέλεσmicroα είναι ότι ο κάθε ανόητος είναι

σε θέση να συζητάει για ολιτική και για τέχνη ndash και στrsquo

αλήθεια το κάνει- ενώ κοιτάζει τα microαθηmicroατικά αό

αόσταση ασφαλείας

Ernesto Sabato ldquo Άνθρωοι και Γρανάζιαrdquo

Υδατογράφηmicroα Ο Αρχιmicroήδης χειρίζεται τον διαβήτη

4

Χαιρετισmicroός Τα Μαθηmicroατικά συνυφασmicroένα microε τη σκέψη τη γλώσσα και τη

ζωή διαφοροποιούν τον άνθρωπο microέσα στο ζωικό κόσmicroο Συνεχής παράγων πολιτισmicroού και προόδου τροφοδοτούν τη

φλόγα που αναπτύσσει και ανανεώνει τον τεχνικό πολιτισmicroό Συνυφασmicroένα microε τη φιλοσοφία άνοιξαν ορίζοντες και έδωσαν

φως στην ανθρώπινη αντίληψη για να ευρύνει τα πεδία έρευνας και προόδου

Στο Παγκρήτιο Εκπαιδευτήριο από την πρώτη στιγmicroή δώσαmicroε προτεραιότητα στα Μαθηmicroατικά όχι microόνο στον τοmicroέα του microαθήmicroατος αλλά στην ιστορική συmicroβολή τους στους πολιτισmicroούς των λαών Προβληmicroατιστήκαmicroε για το φαινόmicroενο του φόβου των παιδιών στο microάθηmicroα των Μαθηmicroατικών και εφαρmicroόσαmicroε microεθόδους που θα βοηθήσουν το microαθητή να ξεπεράσει τους δισταγmicroούς του και να οικειοποιηθεί τη Μαθηmicroατική σκέψη και πράξη Είναι λοιπόν φυσικό να χαιρετίσουmicroε microε ιδιαίτερο ενδιαφέρον την προσπάθεια του καθηγητή Περικλή Παυλάκου και των microαθητών microας που δούλεψαν δηmicroιουργικά για microια προσέγγιση ελεύθερη πέρα από τα καθιερωmicroένα στη δουλειά των Μαθηmicroατικών Ο λόγος δεν είναι microόνο για τα ldquomicroαθηmicroατικά τετράδιαrdquo που έχετε στα χέρια σας Η αίθουσα Μαθηmicroατικών στο Λύκειό microας οι επιτυχίες στους διαγωνισmicroούς της Μαθηmicroατικής Εταιρίας οι εργασίες των microαθητών οι οmicroιλίες οι προβολές και τα Σεmicroινάρια Μαθηmicroατικών στο Λύκειό microας αποτελούν βήmicroατα ουσιαστικά στα δηmicroιουργικά ανοίγmicroατα του σχολείου microας και σrsquo αυτόν τον τοmicroέα

Ν Γ Κοιδάκης Γενικός ∆ιευθυντής του Εκαιδευτηρίου ldquoΤο Παγκρήτιονrdquo

5

Εισαγωγή Το τεύχος που κρατάτε στα χέρια

σας είναι microια microερική απεικόνιση των γεγονότων της microαθηmicroατικής ζωής του Λυκείου microας φέτος (microιάς και βιώmicroατα όπως η ευφορία του microαθητή όταν λύνει ένα microαθηmicroατικό πρόβληmicroα ή όπως η καταβαλλόmicroενη προσπάθειά του - για να αναφέρουmicroε δύο απλούστατα παραδείγmicroατα - δεν αποδίδονται πλήρως)

Όmicroως η γέννηση αυτού του τεύχους microπορεί να θεωρηθεί και microία αναγκαιότητα αφού για άλλη microια χρονιά υπήρξαν microαθηmicroατικά συmicroβάντα όπως διαγωνισmicroοί εργασίες οmicroιλίες προβολέςhellip

Είναι νοmicroίζω καιρός microέσα στον κυκεώνα πληροφοριών - αmicroφισβητήσιmicroης ποιότητας - που microας περικυκλώνει η καταγραφή των δηmicroιουργικών στιγmicroών της microαθηmicroατικής microας ζωής να λειτουργήσει ως ένα σηmicroείο αναφοράς για όλους όσους αγαπούν τα microαθηmicroατικά

Αν και η ύλη των microαθηmicroατικών στο λύκειο είναι microεγάλου εύρους και βάθους επιλέχθηκαν παράλληλα θέmicroατά της καθώς και θέmicroατα που επιτρέπουν την συνάφειά της Παρουσιάζονται λοιπόν κοmicromicroάτια της ιστορίας των microαθηmicroατικών (microε microια microικρή έmicroφαση στην ελληνιστική εποχή) δύο ldquoβιογραφίεςrdquo microία πρόταση για την χρήση των λογαρίθmicroων microια

Μαφάλντα του Quino

6

νύξη για τα παράδοξα και το άπειρο καθώς και microια microικρή ανασκόπηση των microαθηmicroατικών γεγονότων στο λύκειό microας την σχολική χρονιά 2005-2006 Υπάρχει επίσης ένα cd microε microια εργασία (σε Powerpoint) για τα microαθηmicroατικά

Σήmicroερα ίσως περισσότερο από άλλες φορές τα microαθηmicroατικά διαπερνούν και αγκαλιάζουν κάθε γεγονός της καθηmicroερινής ζωής (νοητικά αλλά και υλικά) και για αυτό τα microαθηmicroατικά τετράδια δεν περιορίζονται σε microια συγκεκριmicroένη microορφή ή δοmicroή (προς το παρόν) αλλά φιλοδοξούν να microετασχηmicroατιστούν σε microια ndash κατά το εφικτόν ndash πιστή αντανάκλαση της δηmicroιουργικής αγάπης των microαθητών και microαθητριών microας για την microαθηmicroατική επιστήmicroη Έτσι το 1ο τεύχος αφιερώνεται στους microαθητές και microαθήτριες της φετινής χρονιάς που microε οποιοδήποτε τρόπο συνέβαλλαν στην δηmicroιουργία του



7

lsquoΠερί χρόνου και αλλαγής καταστάσεωνrsquo

Αυτό είναι ένα κείmicroενο που microας microεταφέρει microαθηmicroατικές γνώσεις microέσω microιας ιστορίας microε πρωταγωνιστές ένα ζευγάρι Άνναmicroπελ -Αλέξανδρος και έναν lsquoΜάγοrsquo Ο τελευταίος διαπίστωσε ότι το ζευγάρι είχε microια φιλοσοφική διάθεση Έτσι αρχίζει τον microονόλογό του αναφέροντας ότι microερικοί microυστικιστές έχουν διατυπώσει την άποψη ότι ο χρόνος δεν είναι πραγmicroατικός Με αυτή την φράση τράβηξε το ενδιαφέρον του ζευγαριού Συνεχίζει ο Μάγος διαβάζοντας ένα απόσπασmicroα που ανακάλυψε από τον Κινέζο φιλόσοφο Τσουάνγκ Τσου Είχε κύριο θέmicroα την γέννηση της αρχής και στην συνέχεια για τον χρόνο Το ζευγάρι παραξενεύτηκε Παρόλο αυτά αυτός συνέχιζε λέγοντας ότι του θύmicroιζε την συνταγή του Smullyan για την αθανασία microε σκοπό να δει τις γνώσεις που έχουν και να ακούσει τις απόψεις τους Εφόσον δεν την είχαν ακουστά τους είπε ότι είναι πολύ απλή και ότι χρειάζεται να κάνουν δυο πράγmicroατα 1)Να λες πάντα την αλήθεια 2)Nα λες θα επαναλάβεις την πρόταση αυτή αύριο Έτσι ήθελε να αποδείξει ότι και αύριο θα είσαι ειλικρινής και έτσι θα την επαναλαmicroβάνεις κάθε microέρα ∆ιατυπωθήκαν διαφορετικές απόψεις Η Άνναmicroπελ ισχυρίζεται πως πρόκειται για ένα τέλειο σχέδιο και το πιο εφαρmicroόσιmicroο στην πράξη σχέδιο του κόσmicroου Αντίθετα ο Αλέξανδρος πρόσθεσε ότι του θύmicroισε το σχέδιο του Λευκού Ιππότη για την υπερπήδηση της αυλόπορτας Ο Μάγος απόρησε διότι δεν γνώριζε το σχέδιο αυτό γιατί οι γνώσεις του ήταν microόνο γύρω από την φιλοσοφία Παρουσίασε το σχέδιο αυτό microέσα από microια ιστορία όπου ένας άνθρωπος αναζητούσε την αθανασία και πήγε σε έναν σοφό της ανατολής Όmicroως όταν ο ενδιαφερόmicroενος άκουσε τον σοφό ρώτησε Πως microπορώ να ισχυριστώ ότι θα επαναλάβω την πρόταση αυτή όταν δεν γνωρίζω αν θα ζω αύριο Του απάντησε πως θέλει microια πρακτική λύση ενώ αυτός ασχολείται microονό microε την θεωρία Έπειτα θυmicroήθηκε όταν ήταν microικρός (ο Μάγος) ο θεός του παρουσίασε microια απόδειξη για το ότι είναι λογικά αδύνατο να πεθάνει κανείς Το ζευγάρι ζήτησε να την ακούσει Ξεκινάει microε microια

8

ερώτηση lsquoΑν κάποιος πεθάνει πότε πεθαίνει Και αν πεθάνει κανείς είναι νεκρός η ζωντανός Απαντάει microε την φιλοσοφική άποψη πως δεν microπορεί να πεθάνει όσο βρίσκεται στην ζωή διότι τότε θα ήταν ταυτόχρονα ζωντανός και νεκρός που είναι αδύνατο Η δήλωση αυτή δηmicroιούργησε διάφορες απόψεις Παρόλο αυτά καταλήγει στην τελική ερώτηση Τι στιγmicroή ακριβώς που πεθαίνει ο άνθρωπος είναι ζωντανός η νεκρός Μετά από ώρας σκέψης η Άνναmicroπελ ρώτησε αν όλα αυτά έχουν σχέση microε τα παράδοξα του Ζήνωνα Με ενθουσιασmicroό απάντησε ναι ο Μάγος και τότε ο Αλέξανδρος ζήτησε να του τα πει Αρχίζει λοιπόν ΠΡΩΤΟ ΠΑΡΑ∆ΟΞΟ Παίρνουmicroε ένα σώmicroα που κινείται από το σηmicroείο Α στο σηmicroείο Β Όmicroως πριν φτάσει στο Β πρέπει να περάσει από το microέσο της ΑΒ το Α1 Η microετάβαση αυτή λέγεται πρώτο βήmicroα Όταν ολοκληρωθεί το πρώτο βήmicroα πρέπει να κινηθεί από το Α1 στο Α2 όπου Α2 το microέσο της Α1Β Η microετάβαση αυτή λέγεται δεύτερο βήmicroα Έτσι στην συνεχεία θα κινηθεί από το Α2 στο Α3 που είναι το microέσο της Α2Β Αυτό ονοmicroάζεται το τρίτο βήmicroα Α Α1 Α2 Α3 Β Το σώmicroα πρέπει να πραγmicroατοποιήσει άπειρα βήmicroατα για να φτάσει στο Β και αφού είναι αδύνατο να συmicroβεί σε ένα πεπερασmicroένο χρονικό διάστηmicroα δεν θα microπορεί να πάει από το Α στο Β Ενώ πριν το σώmicroα microεταβεί από το Α στο Β πρέπει να περάσει το microέσο Β1 Αλλά πριν φτάσει πρέπει να περάσει από το Β3 microέσο του ΑΒ2 Άρα το σώmicroα δεν θα κινηθεί Α Β3 Β2 Β1 Β ∆ΕΥΤΕΡΟ ΠΑΡΑ∆ΟΞΟ Αναφέρεται στον Αχιλλέα που προσπαθεί να ξεπεράσει microια χελώνα ∆ηλαδή οποτεδήποτε ο Αχιλλέας φτάνει στο σηmicroείο που βρισκόταν η χελώνα η τελευταία

9

δεν βρίσκεται πλέον εκεί Έτσι δεν θα ξεπεράσει ποτέ την χελώνα ( ο Αχιλλέας άρχισε όταν βρισκόταν 100 microετρά πιο πίσω) ΤΡΙΤΟ ΠΑΡΑ∆ΟΞΟ Το οποίο είναι και το πιο εξεζητηmicroένο και αναφέρεται σε ένα ιπτάmicroενο βέλος λέγοντας πως είναι αδύνατο να κινείται το βέλος κατά την διάρκεια κάποιας στιγmicroής διότι έχει διάρκεια microηδέν Έτσι το βέλος δεν microπορεί να βρίσκεται σε δυο διαφορετικά σηmicroεία την ιδία στιγmicroή Συνεπώς σε κάθε στιγmicroή το βέλος είναι ακίνητο άρα παραmicroένει ακίνητο στο συγκεκριmicroένο χρονικό διάστηmicroα ∆ικαιολογηmicroένα η Άνναmicroπελ δεν καταλαβαίνει και ο Μάγος προσπαθεί να την διευκολύνει Έπειτα ο Αλέξανδρος κάνει microια πρωτότυπη ερώτηση Ποια είναι τα σοφίσmicroατα Απαντάει λοιπόν ο Μάγος και εξηγεί ότι όταν κάτι είναι λάθος πρέπει να υπάρχει και ένα εσφαλmicroένο βήmicroα Έτσι όταν το συmicroπέρασmicroα είναι λανθασmicroένο και όλα τα προηγούmicroενα σωστά τότε το πρώτο λανθασmicroένο βήmicroα είναι το ίδιο το συmicroπέρασmicroα Συνέχισε microε την αναφορά του στον Ζήνωνα Ο Ζήνων υποστήριξε ότι κάποιος δεν microπορεί να εκτελέσει άπειρο αριθmicroό βηmicroάτων σε ένα ορισmicroένο χρονικό διάστηmicroα υπόθεση που είναι αδικαιολόγητη Παράδειγmicroα στα microαθηmicroατικά

bull 1+ frac12 + frac14 + 18 + 116 + 132 + + 12n + = 2 Η απειροσειρά αυτή ονοmicroάζεται συγκλίνουσα Που έδωσε το συmicroπέρασmicroα ότι το σώmicroα θα φτάσει στο Β

bull 1+ frac12 + 13 + frac14 + 15 + 1n+ Η απειροσειρά αυτή ονοmicroάζεται αποκλίνουσα (ξεπερνά οποιονδήποτε αριθmicroό) Όmicroως προσπαθεί πάλι να εξηγήσει ο Μάγος ότι για το τρίτο παράδοξο χρειάζονται αρκετές microαθηmicroατικές γνώσεις για την ανάλυση του Κάτι το οποίο δεν παρέχουν Η Άνναmicroπελ περιmicroένοντας την σειρά της είπε την γνώmicroη της παρόλο που συνέχιζε να microην καταλαβαίνει Ανέφερε (ο Μάγος) τον Νεύτωνα και τον Leibniz που όρισαν microε επακριβή τρόπο τι σηmicroαίνει για ένα σώmicroα να βρίσκεται σε κίνηση σε κάποια χρονική στιγmicroή και τι εννοούmicroε λέγοντας ότι η ταχύτητα του σώmicroατος είναι η τάδε η δείνα (εκείνη την στιγmicroή) Υστέρα πήρε τον

10

λόγο ο Αλέξανδρος ρωτώντας για τον συλλογισmicroό του θείου του για την αδυνατότητα της κίνησης Απάντησε υποστηρίζοντας ότι αν γενικευτεί microπορεί να αποδείξει ότι τίποτα δεν microεταβάλλεται Μολονότι είχε ολοκληρώσει έθεσε και άλλο ένα ερώτηmicroα σε σχέση microε τον χρόνο καταλήγοντας να ρωτήσει το ζευγάρι αν θα φύγει για κάποιο διάστηmicroα Ναι αποκριθήκαν αλλά συνεπαρmicroένοι microε όσα άκουσαν και διψασmicroένοι και για άλλες γνώσεις αποφάσισαν να microετακοmicroίσουν σε αυτό το microέρος Το επόmicroενο ζήτηmicroα θα είναι το ταξίδι στο άπειρο

ΤΕΛΟΣ Αλεξανδράκη Χρυσάνθη

11

laquo ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ raquo Το πυθαγόρειο θεώρηmicroα αποτελεί ένα πολύ σηmicroαντικό θεώρηmicroα Η ύπαρξη του θεωρήmicroατος microας δίνει την ευκαιρία να συγκρίνουmicroε τα microαθηmicroατικά στυλ και να δούmicroε τι απασχολούσε microερικούς από τους microαθηmicroατικούς των διαφόρων αρχαίων πολιτισmicroών Ο Πυθαγόρας έζησε το 570-500 πΧ περίπου Περιόδευσε στην Μ Ασία Αίγυπτο Βαβυλωνία και τελικά εγκαταστάθηκε στο νότιο τmicroήmicroα της Ιταλικής Χερσονήσου Ο Πυθαγόρας άνοιξε εκεί σχολή όπου κήρυττε τις ιδέες του απευθυνόmicroενος στις ανώτερες κοινωνικές τάξεις Μυστικιστικό σύmicroβολο της Πυθαγόρειας τάξης όπου εκεί απευθυνόταν στους microαθητές microε ιδιαίτερες ικανότητες ήταν η πεντάλφα Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι το θεmicroέλιο όλων ήταν ο αριθmicroός Ο αριθmicroός είναι το θεmicroέλιο κάθε φυσικής επιστήmicroης Οι αριθmicroοί είχαν και φιλοσοφικό και αποκαλυπτικό ρόλο Σε αυτούς αποδίδεται η αριθmicroητική ανάλυση της microουσικής και εδώ η τετρακτύς συmicroβόλιζε τις βασικές αναλογίες ανάmicroεσα στις ώρες αρχίζοντας από τον λόγο 12 για την οκτάβα Η όλη έννοια της αρmicroονίας των σφαιρών προέρχεται από αυτήν την αριθmicroολογία της microουσικής η οποία έmicroελλε να επηρεάσει το πλανητικό microοντέλο του Κέπλερ microετά από 2000 χρόνια Το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα το γνωστό microας από το σχολείο lsquolsquoγια ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των 2 microικρών πλευρών ισούται microε το τετράγωνο της microακρύτερης πλευράςrsquorsquo Είναι δυνατόν να σχηmicroατιστούν τέτοια τρίγωνα microε ακέραιες πλευρές Το πιο φηmicroισmicroένο είναι το τρίγωνο microε πλευρές microήκους 3 4 και 5 υπάρχει άπειρος αριθmicroός τέτοιων πυθαγορείων τριάδων όπως ονοmicroάζονται πχ οι 5 12 13 και 7 24 25 Ο Πυθαγόρας έmicroαθε την πρόταση από τους Αιγυπτίους όmicroως την απέδειξε κατά την παράδοση Το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα αποτελεί το πρώτο microεγάλο θεώρηmicroα της γεωmicroετρίας Πάνω στο θεώρηmicroα βασίστηκαν ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις

12

Οι Πυθαγόρειοι και το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα θα αποτελούν το σηmicroείο αναφοράς γιατί είναι microια επιστήmicroη και ολόκληρη η επιστήmicroη τους είναι τα microαθηmicroατικά και η θεωρία των αριθmicroών laquoη αριθmicroητικήraquo microε τη γεωmicroετρία Σφακιανάκης Χρύσανθος

Ευκλείδεια Αόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήmicroατος

13

Ευκλέιδης ερ 300 Χ

Εισαγωγή

Τα laquoΣτοιχεία του Ευκλείδηraquo είναι ένα αό τα σηmicroαντικότερα και

διαχρονικότερα ειστηmicroονικά έργα όλων των εοχών Για 2300 χρόνια χρησιmicroεύει ως το σταθερό κείmicroενο για τη διδασκαλία των βασικών Μαθηmicroατικών ndash κυρίως της Γεωmicroετρίας Αξιοσηmicroείωτο είναι το γεγονός ότι κανένα άλλο έργο ndash ειστηmicroονικό ή microη ndash δεν έχει αασχολήσει ερισσότερο τους εκδότες αό τα laquoΣτοιχείαraquo Έχει microεταφραστεί σε άρα ολλές γλώσσες και οι εκδόσεις του υολογίζεται ότι υερβαίνουν τις 2000() ο αριθmicroός των εκδόσεων του συναγωνίζεται τη laquoΘεία Κωmicroωδίαraquo του ∆άντη και microόλις υολείεται αυτών της Αγίας Γραφής

Το Περιεχόmicroενο των Στοιχείων

Το εριεχόmicroενο των laquoΣτοιχείων του Ευκλείδηraquo δεν είναι έργο microόνο του ίδιου και ασφαλώς δεν είναι έmicroνευση κάοιας συγκεκριmicroένης χρονικής στιγmicroής Στηρίζεται στο έργο όλων των microαθηmicroατικών και φιλοσόφων ου ροηγήθηκαν και είναι αοτέλεσmicroα microεγάλων ροσαθειών Πιο συγκεκριmicroένα η ρωτοτυία και η σηmicroαντικότητα του έργου αυτού έγκειται στο ότι ο Έλληνας microαθηmicroατικός συγκέντρωσε εεξεργάστηκε ndash ανέλυσε συmicroλήρωσε ιεράρχησε ndash και ταξινόmicroησε τα έργα των αραάνω και microάλιστα τα ενέταξε σε ένα νέο αξιοθαύmicroαστο microαθηmicroατικό σύστηmicroα ου ο ίδιος εινόησε Γεγονός ου τεκmicroηριώνει την ληρότητα και το εκτόισmicroα των laquoΣτοιχείωνraquo είναι ότι όταν στα τέλη του 19ου αιώνα οι γεωmicroέτρες θέλησαν να δηmicroιουργήσουν microια σύγχρονη αξιωmicroατική θεmicroελίωση της Γεωmicroετρίας ακολούθησαν ιστά τον Ευκλείδη και τους βασικούς ροσανατολισmicroούς του

14

Ο Ευκλείδης εκτός αό την αξιωmicroατική θεmicroελίωση της Γεωmicroετρίας ου εισήγαγε δηmicroιούργησε και microία microαθηmicroατική θεωρία microε δοmicroή ου είναι σήmicroερα σύγχρονη Καθιέρωσε έναν τρόο και microία διαδικασία αρουσίασης της ύλης microε γενικές αοδείξεις άψογες στις οοίες κάθε ρόταση τοοθετείται στην κατάλληλη θέση και ακολουθεί η εόmicroενη microε microία αυστηρώς λογικότατη microε τις λιγότερες δυνατές υοθέσεις χωρίς την αρεmicroβολή οοιουδήοτε άσχετου ή εριττού στοιχείου

Θα ρέει να διευκρινιστεί ότι τα laquoΣτοιχείαraquo δεν είναι ένα ανθολόγιο ρο Ευκλείδειων ροτάσεων Υάρχουν αξιόλογες γεωmicroετρικές ροτάσεις όως τα τρία ροβλήmicroατα της αρχαιότητας τα οοία είναι ο διλασιασmicroός του κύβου η τριχοτόmicroηση της γωνίας και ο τετραγωνισmicroός του κύκλου τα οοία δεν εριέχονται στο έργο

Η Μέθοδος του Ευκλείδη Στα έργα των αρχαίων Ελλήνων συναντώνται όλες σχεδόν οι microέθοδοι αόδειξης ου χρησιmicroοοιούνται σήmicroερα Μερικές αό αυτές είναι η microέθοδος της συνεαγωγής η συνθετική η αναλυτική η microέθοδος της εις άτοου ααγωγής καθώς και η microέθοδος της τέλειας εαγωγής Μια ακόmicroη microέθοδος είναι η αξιωmicroατική θεmicroελίωση Χαρακτηριστικό αράδειγmicroα της τελευταίας είναι τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη

Ο αρχαίος Έλληνας ειστήmicroονας κατέγραψε τις αρχικές έννοιες ndash ή αρχικούς όρους ndash των γεωmicroετρικών αντικειmicroένων όως είναι το σηmicroείο η ευθεία κλ Έειτα αντέγραψε τις βασικές τους ιδιότητες και καθιέρωσε τους ορισmicroούς τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες ∆ηmicroιούργησε έτσι microία microαθηmicroατική θεωρία στην οοία κάθε ρόταση microορεί να αοδειχθεί microε τη βοήθεια ορισmicroών των αιτηmicroάτων των κοινών εννοιών και των ροτάσεων ου έχουν ροηγουmicroένως αοδειχθεί

Αφού ορίσει το σηmicroείο την ευθεία τον κύκλο κλ ο Ευκλείδης αραθέτει τα έντε (5) αιτήmicroατα ndash microία έννοια ου υφίσταται και στα έργα του Αριστοτέλη και του Πλάτωνα ndash βάσει των οοίων αοδεικνύει την ύαρξη γεωmicroετρικών microεγεθών διατύωσε τις ιδιότητες ου έχουν καθώς και τις σχέσεις ου διέουν αυτά τα microεγέθη Το κάθε αίτηmicroα δεν είναι microια αλή αραδοχή αλλά συνεάγεται και την αοδοχή αλήθειας άλλων ροτάσεων ου ροκύτουν ως λογική συνέχεια αυτού

15

Τα αιτήmicroατα αυτά είναι τα εξής I Αό δύο σηmicroεία microόνο microία ευθεία γραmicromicroή διέρχεται

II Κάθε εερασmicroένη ευθεία ροεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραmicromicroα και ρος τα δύο άκρα της

III Με κάθε κέντρο και κάθε ακτίνα microορεί να γραφεί ένας κύκλος IV Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες microεταξύ τους V Αν microία ευθεία τέmicroνει δύο άλλες και σχηmicroατίζει τις εντός και εί τα

αυτά microέρη γωνίες ίσες να έχουν άθροισmicroα microικρότερο αό δύο ορθές τότε οι ευθείες όταν ροεκταθούν έrsquo άειρον θα συναντηθούν ρος το microέρος ου σχηmicroατίζονται οι microικρότερες των δύο ορθών γωνίες Το αίτηmicroα αυτό είναι γνωστό και ως αίτηmicroα αραλλήλων

Το έmicroτο και τελευταίο αίτηmicroα αασχόλησε τόσο τους αρχαίους όσο και τους νεότερους και τους σύγχρονους microαθηmicroατικούς Κι αυτό γιατί ολλοί ίστευαν ότι το αίτηmicroα αυτό ήταν ολύλοκο για αίτηmicroα και ότι θα microορούσε να αοδειχθεί microε βάση τα ροηγούmicroενα τέσσερα και εοmicroένως η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία θα microορούσε να θεmicroελιωθεί και χωρίς αυτό Ωστόσο ολλοί ροσάθησαν να το αοδείξουν χωρίς ειτυχία microεταξύ αυτών και ολύ σουδαίοι microαθηmicroατικοί Κάοιοι στην ροσάθειά τους να αοδείξουν το έmicroτο αίτηmicroα οδηγήθηκαν στη δηmicroιουργία microη Ευκλείδειων Γεωmicroετριών

Μοντέλα όου δεν ισχύει το 5ο Αίτηmicroα

16

Οι ροτάσεις ου διαmicroόρφωσε ο Ευκλείδης οι οοίες ηγάζουν αό τα 5 αιτήmicroατα 115 στον σε αριθmicroό είναι κατανεmicroηmicroένες ανάλογα microε το εριεχόmicroενό τους Η κάθε ρόταση στο έργο διαmicroορφώνεται ως εξής

∆ιατυώνεται

Εκτίθεται ndash αναλύονται τα δεδοmicroένα της ndash ανααρίσταται

Ειδέχεται τους ααραίτητους ροσδιορισmicroούς

Ακολουθείται αό microία κατασκευή όου είναι ααραίτητο

Αοδεικνύεται

Εξάγεται το συmicroέρασmicroα Σε κάοιες ροτάσεις δεν εριλαmicroβάνονται όλα τα αραάνω βήmicroατα εειδή δεν είναι ααραίτητο

∆οmicroή των laquoΣτοιχείωνraquo

Το έργο του Ευκλείδη χωρίζεται σε δεκατρία βιβλία Το εριεχόmicroενο του κάθε βιβλίου είναι σαφώς διαχωρισmicroένο αό αυτό των υολοίων χωρίς αυτό να σηmicroαίνει ότι τα αοδειχθέντα θεωρήmicroατα και ροτάσεις σε ένα βιβλίο δε θεωρούνται δεδοmicroένα στα εόmicroενα

Βιβλίο 1ο το ρώτο βιβλίο είναι το microόνο ου εριέχει αιτήmicroατα και κοινές έννοιες Πάνω σε αυτά τα δεδοmicroένα βασίζεται η αξιωmicroατική θεmicroελίωση της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Βιβλίο 2ο το δεύτερο βιβλίο είναι το microικρότερο των laquoΣτοιχείωνraquo αλλά είναι ολύ σηmicroαντικό microια και εισάγει τη γεωmicroετρική άλγεβρα των Ελλήνων και ορίζει ένα νέο γεωmicroετρικό σχήmicroα το γνώmicroονα ου έχει microεγάλη εφαρmicroογή για τη λύση γεωmicroετρικών ροτάσεων στην αρχαιότητα

Βιβλίο 3ο το τρίτο βιβλίο αναφέρεται στον κύκλο και τα στοιχεία του στις σχέσεις ευθείας και κύκλου και στις σχέσεις κύκλων microεταξύ τους

17

Βιβλίο 4ο το τέταρτο βιβλίο ραγmicroατεύεται την εγγραφή και εριγραφή σε κύκλο ευθυγράmicromicroων οχηmicroάτων καθώς και την κατασκευή κανονικών ολυγώνων microε λευρές 3 6 και 15

Βιβλίο 5ο ρόκειται για το σηmicroαντικότερο και ιο χρησιmicroοοιηmicroένο βιβλίο αό όλα τα βιβλία των laquoΣτοιχείωνraquo Η οmicroορφιά και η αξία του έγκειται στους ορισmicroούς ου εριέχει οι οοίοι είναι ευφυείς και καλοδιατυωmicroένοι

Βιβλίο 6ο το έκτο βιβλίο εριέχει ροτάσεις αναγκαίες για τη microελέτη των ασύmicromicroετρων αριθmicroών ου εξετάζονται στο 10ο βιβλίο

Βιβλίο 7ο στο έβδοmicroο βιβλίο ανατύσσεται η θεωρία των αναλογιών microε αριθmicroούς η οοία συνεχίζεται και ολοκληρώνεται στο ένατο βιβλίο

Βιβλίο 8ο το βιβλίο αυτό αναφέρεται σε σειρές αριθmicroών συνεχείς αναλογίες και στη Γεωmicroετρία των αριθmicroών

Βιβλίο 9ο το ένατο βιβλίο ραγmicroατεύεται τις συνεχείς αναλογίες και δίδεται ο ορισmicroός του τέλειου αριθmicroού

Βιβλίο 10ο το βιβλίο αυτό είναι το εκτενέστερο των laquoΣτοιχείωνraquo και εριέχει ληθώρα ροτάσεων ου αναφέρονται στα ασύmicroετρα microεγέθη

Βιβλίο 11ο το εντέκατο βιβλίο είναι το ρώτο αό τα τρία ου αοτελούν τη στερεοmicroετρία των laquoΣτοιχείωνraquo Αοτελείται αό ροτάσεις ου αναφέρονται στη Γεωmicroετρία του χώρου microε λίγες αναφορές στην ειεδοmicroετρία Το βιβλίο αυτό είναι το microόνο αό τα τρία ου εριέχει ορισmicroούς

Βιβλίο 12ο σε αυτό το βιβλίο εριλαmicroβάνονται ροτάσεις οι οοίες αναφέρονται στις σχέσεις των στερεών γεωmicroετρικών σχηmicroάτων σε είεδο και κυρίως σε χώρο

18

Βιβλίο 13ο το δέκατο τρίτο βιβλίο εριέχει ροτάσεις για την εγγραφή σε κύκλο κανονικών ολυγώνων ndash αοτελεί συmicroλήρωση του τέταρτου βιβλίου ndash και για την εγγραφή κανονικών ολυέδρων σε σφαίρα

Είλογος Θεωρούmicroε ότι τα laquoΣτοιχείαraquo όως αρουσιάζονται αό τον Ευκλείδη αοτελούν νευmicroατική και ολιτισmicroική κληρονοmicroιά όχι microόνο των Ελλήνων αλλά ολόκληρου του ευρωαϊκού και διεθνούς ειστηmicroονικού χώρου Εοmicroένως είναι υοχρέωση αλλά και ανάγκη να την αξιοοιήσουmicroε να την διαφυλάξουmicroε και να την αναδείξουmicroε

Βιβλιογραφία Κέντρο Έρευνας Ειστήmicroης και Εκαίδευσης Ευκλείδη laquoΣτοιχείαraquo Τόmicroος 1ος Η γεωmicroετρία του ειέδου Αθήνα 2001 Λευτέρης Γοργοράτης

Σελίδα των Στοιχείων microε σηmicroειώσεις του Νεύτωνα

19

Τα τρία ldquoάλυταrdquo ροβλήmicroατα της Ελληνικής αρχαιότητας Τα τρία άλυτα microαθηmicroατικά ροβλήmicroατα Τα γνωστά αυτά microαθηmicroατικά προβλήmicroατα είναι 1 ∆ήλιο πρόβληmicroα 2 Τριχοτόmicroηση της γωνίας 3 Τετραγωνισmicroός κύκλου ∆εν είναι καθόλου συmicroπτωmicroατικό ότι και τα 3 παραπάνω αναφερόmicroενα προβλήmicroατα ανήκουν στο χώρο της γεωmicroετρίας καθώς η ειδική αυτή επιστήmicroη των microαθηmicroατικών είναι η κυρίως αποmicroακρυσmicroένη από τη φυσική πραγmicroατικότητα Ένα γεγονός που σχετίζεται microε την όλη ιστορία είναι ότι το Πυθαγόρειο θεώρηmicroα έχει διατυπωθεί πριν από τα στοιχεία του Ευκλείδη και έτσι δεν microπορούmicroε σήmicroερα όταν αναδροmicroικά (έστω το διερευνούmicroε) να κάνουmicroε επίκληση των όρων και των αξιωmicroάτων του Ευκλείδη πολύ δε περισσότερο του Hilbert Ένα από τα περίφηmicroα άλυτα προβλήmicroατα των microαθηmicroατικών της Αρχαίας Ελλάδας αφορά την κατασκευή ενός κύβου microε όγκο διπλάσιο από τον όγκο ενός δοσmicroένου κύβου Αν και το πρόβληmicroα είναι πολύ παλαιότερο οφείλει την ονοmicroασία του σε microια επιδηmicroία λοιmicroού στη ∆ήλο περίπου το 430 πΧ Το microαντείο έδωσε χρησmicroό στους ∆ήλιους ότι η επιδηmicroία θα σταmicroατούσε microόνο αν κατασκεύαζαν ένα κυβικό βωmicroό διπλάσιο σε microέγεθος από αυτόν που υπήρχε Οι ∆ήλιοι ζήτησαν την βοήθεια ακόmicroη και του Πλάτωνος για να λύσουν το πρόβληmicroα Η αδυναmicroία των αρχαίων να το λύσουν οφείλεται στο ότι το πρόβληmicroα δεν λύνεται microε κανόνα και διαβήτη γεγονός που έγινε πλήρως κατανοητό τον 19ο αιώνα Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε περίπου το έτος 460 πΧ ότι το πρόβληmicroα ανάγεται στο να βρεθούν δύο microέσοι ανάλογοι microεταξύ ενός ευθύγραmicromicroου τmicroήmicroατος και του διπλασίου του δηλαδή να βρεθούν χ ψ τέτοιοι ώστε

2

α χ ψ

χ ψ α= =

από την οποία προκύπτει 3x =2 3

a δηλαδή ένας κύβος διπλάσιος ενός δοσmicroένου κύβου

20

Γεωmicroετρική ερmicroηνεία των αναλογιών Αφού η λύση microε κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη όλες οι λύσεις που προτάθηκαν από τους Αρχαίους Έλληνες οδηγούσαν σε καmicroπύλες και επιφάνειες βαθmicroού microεγαλύτερου από 2 Μερικοί από αυτούς που ασχολήθηκαν microε το πρόβληmicroα ήταν ο Αρχύτας (5ος -4ος πΧ αιώνας) ο Εύδοξος ο Κνίδειος (4ος πΧ αιώνας) ο Μέναιχmicroος (4ος πΧ αιώνας) ο Νικοmicroήδης (3ος πΧ αιώνας) ο Ερατοσθένης (3ος -2ος πΧ αιώνας) ο ∆ιοκλής (2ος πΧ αιώνας) ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς (1ος microΧ αιώνας) και ο Πάππος (4ος microΧ αιώνας) Γιώργος Καστρινάκης Τριχοτόmicroηση γωνίας Η διαίρεση microιας γωνίας σε άλλες ίσες γωνίες Από πρακτική πλευρά microπορεί να θεωρηθεί ότι το πρόβληmicroα λύνεται εύκολα microε microια ανεκτή προσέγγιση αν χρησιmicroοποιηθούν τα κατάλληλα όργανα (γωνιόmicroετρο διαβήτης κανόνας κλπ) Όταν όmicroως αναζητήθηκε microια microαθηmicroατική λύση microε απόλυτη ακρίβεια το πρόβληmicroα έγινε δυσχερέστατο και παραmicroένει ακόmicroα άλυτο περισσότερες από 2 χιλιετίες όπως συmicroβαίνει και microε τα άλλα δύο προβλήmicroατα που έθεσαν οι αρχαίοι Έλληνες δηλαδή τον διπλασιασmicroό του κύβου και τον τετραγωνισmicroό του κύκλου Οι αρχαίοι Έλληνες microαθηmicroατικοί έλυσαν το πρόβληmicroα αλλά όχι microε τον τρόπο που επιθυmicroούσαν Στη γεωmicroετρία ήταν πολύ απαιτητικοί και δεν δέχονταν τη χρήση άλλων οργάνων εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη Οι αρχαίοι Έλληνες και αργότερα οι γεωmicroετρίες του 17ου αι κατόρθωσαν να προσδιορίσουν microε ακρίβεια το 13 microιας

21

γωνίας microε τη βοήθεια όmicroως αλγεβρικών και φανταστικών αριθmicroών Από τις λύσεις αυτές αξίζει να σηmicroειωθούν η περίφηmicroη τετραγωνίζουσα καmicroπύλη του ∆εινόστρατου το κογχοειδές του Νικόδηmicroου η έλικα του Ετιέν Πασκάλ Ακριβής λύση επιτυγχάνεται επίσης microε τη χάραξη διαφόρων κωνικών γραmicromicroών από την περιφέρεια Το ακατόρθωτο microιας ακριβούς λύσης αποδείχτηκε microε την εφαρmicroογή της microεγαλοφυούς θεωρίας του Εβαρίστ Γκαλουά πράγmicroατι το πρόβληmicroα καταλήγει σε microια εξίσωση 3ου βαθmicroού οι λύσεις της οποίας δεν είναι δυνατόν να υπολογιστούν microε τη χρησιmicroοποίηση microόνο τετραγωνικών ριζών (γιατί πρέπει να εξαχθούν κυβικές ρίζες) και αυτό σηmicroαίνει ότι είναι αδύνατη η καθαρή γεωmicroετρική λύση microόνο microε τον κανόνα και τον διαβήτη Νικόλας Μαρελιέρ Το αδύνατο της ειλυσεως των τριών κλασικών ροβληmicroάτων της αρχαιότητας Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων ένας αριθmicroός προβληmicroάτων απασχόλησαν εντονότατα τους γεωmicroέτρες 1Ο τετραγωνισmicroός του κύκλου 2 Ο διπλασιασmicroός του κύβου 3 Η τριχοτόmicroηση της γωνίας Η επίλυση των προβληmicroάτων αυτών δεν είχε επιτευχθεί για τον απλούστατο λόγο ότι αυτά τα προβλήmicroατα είναι αδύνατο να

Κογχοειδής του Νικοmicroήδη

Τριχοτόmicroηση

22

επιλυθούν microε τη χρήση microόνο του κανόνα και του διαβήτη Βεβαίως άτοmicroα που προσπαθούν να τα επιλύσουν δεν έχουν παύσει να υπάρχουν ακόmicroα και στις microέρες microας αν και στην συντριπτική τους πλειονότητα τα άτοmicroα αυτά δεν είναι lsquoεπαγγελmicroατίες microαθηmicroατικοίrsquo Είναι ουσιαστικό να τονίσουmicroε ότι το πρόβληmicroα συνίσταται στο να γίνουν οι παραπάνω κατασκευές microε τη χρήση microόνο του κανόνα και του διαβήτη Ο περιορισmicroός αυτός είναι θέmicroα παραδόσεως ∆ιάφορες λύσεις των προβληmicroάτων αυτών είχαν προταθεί κατά καιρούς λύσεις όmicroως οι οποίες δεν περιορίζονταν microόνο στη χρήση του κανόνα και του διαβήτη δηλαδή δεν συmicromicroορφώνονταν microε τους όρους της ακαδηmicroίας του Πλάτωνα Οι microόνες παραδεκτές κατασκευές είναι εκείνες που γίνονται microόνο microε τον κανόνα και τον διαβήτη Το ερώτηmicroα τελικά στο οποίο θέλουmicroε να απαντήσουmicroε είναι Ποια είναι τα γεωmicroετρικά προβλήmicroατα τα οποία microπορούν να λυθούν microε την βοήθεια microόνο του κανόνα και του διαβήτη Με τη χρήση της αναλυτικής γεωmicroετρίας microπορεί να αποδειχθεί ότι δεν είναι δυνατόν να εκτελέσουmicroε άλλες εκτός των ευθειών ή καmicroπυλών που έχουν αντιστοίχως εξισώσεις πρώτου και δευτέρου βαθmicroού Έτσι αν πχ δίδεται ένα ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microήκους α και ένα ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microήκους 1 είναι αδύνατο να κατασκευάσουmicroε microε τη χρήση microόνο του κανόνα και του διαβήτη τmicroήmicroατα microήκους ίσου microε sina loga Από το βιβλίο ltlt Ιστορία των microαθηmicroατικώνgtgt Αθήνα 2000 Του Νικόλαου Κ Αρτεmicroιάδη Θοδωρής Καρακώστας

Τετραγωνίζουσα του Ιία

23

ΤΑ ΤΡΙΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ Τα τρία προβλήmicroατα που απασχόλησαν τους αρχαίους Έλληνες microαθηmicroατικούς είναι γνωστά σε όλους α) ο τετραγωνισmicroός του κύκλου β) η τριχοτόmicroηση της γωνίας και γ) ο διπλασιασmicroός του κύβου Τα προβλήmicroατα αυτά θεωρούνταν άλυτα όχι γιατί δεν είχαν βρεθεί τρόποι λύσης τους (ακόmicroη και από τους ίδιους τους Έλληνες) αλλά διότι δεν είχε επιτευχθεί η λύση τους microόνο microε τη χρήση κανόνα (microη αριθmicroηmicroένου ) και διαβήτη και οι Έλληνες φιλόσοφοι δεν αποδέχονταν ως λύσεις κατασκευές που χρησιmicroοποιούσαν άλλες γραmicromicroές εκτός από τις δύο ldquoτέλειεςrdquo (την ευθεία και τον κύκλο) Ωστόσο το 19ο αιώνα αποδείχτηκε ότι οι τρεις αυτές κατασκευές είναι αδύνατο να πραγmicroατοποιηθούν microόνο microε τα επιτρεπτά για τους Έλληνες όργανα Ο Ιπποκράτης ο Χίος (460-380 πΧ) ήταν ο πρώτος που πέτυχε τον τετραγωνισmicroό των microηνίσκων (σχήmicroατα του ειέδου ου τα όρια τους αοτελούνται αό δύο τόξα διαφορετικών κύκλων) θεωρώντας ότι έτσι θα έφτανε στον τετραγωνισmicroό ολόκληρου του κύκλου Αυτό το κατάφερε αρχικά βρίσκοντας τρίγωνα ισεmicroβαδικά microε συγκεκριmicroένους microηνίσκους και καθώς κάθε τρίγωνο τετραγωνίζεται το ίδιο θα ίσχυε και για τους microηνίσκους αυτούς Στη συνέχεια χρησιmicroοποίησε πιο πολύπλοκα σχήmicroατα ( microε τραπέζια) και άλλα είδη microηνίσκων αλλά παρόλο που έφτασε πολύ κοντά δεν ήταν δυνατό να τετραγωνίσει τον κύκλο Έτσι περιορίστηκε στους microηνίσκους χρησιmicroοποιώντας πλέον ιδιότητες των κυκλικών τmicroηmicroάτων (σχήmicroατα του ειέδου ου δηmicroιουργούνται αό ένα τόξο ενός κύκλου και τη χορδή του) Ο διλασιασmicroός του κύβου Σύmicroφωνα microε ένα microύθο το πρόβληmicroα αυτό προέκυψε ύστερα από απαίτηση του Απόλλωνα να διπλασιαστεί σε όγκο ο κυβικός βωmicroός του ιερού του στη ∆ήλο χωρίς να αλλάξει το σχήmicroα του Φυσικά οι ∆ήλιοι απέτυχαν να εκπληρώσουν την επιθυmicroία του θεού τους και έτσι έmicroεινε η ονοmicroασία ∆ήλιο Πρόβληmicroα

24

Ενώ ο διπλασιασmicroός του τετραγώνου δεν έχει καmicroία δυσκολία στην κατασκευή (το νέο τετράγωνο έχει πλευρά τη διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου) ο διπλασιασmicroός του κύβου είναι αρκετά πιο πολύπλοκος Και πάλι το όνοmicroα του Ιπποκράτη βρίσκεται ανάmicroεσα σε εκείνους που προσπάθησαν να κατασκευάσουν την ακmicroή του νέου κύβου Ο Ιπποκράτης έψαξε για εκείνη την αναλογία microεταξύ των ακmicroών του αρχικού και του ζητούmicroενου κύβου που θα έδινε την απάντηση αντίστοιχα microε τον τρόπο λύσης που εφαρmicroόζεται στο τετράγωνο Τελικά απέτυχε να λύσει το αρχικό πρόβληmicroα Γενικότερα όσοι Έλληνες δοκίmicroασαν να πραγmicroατοποιήσουν την κατασκευή αναγκάστηκαν να χρησιmicroοποιήσουν άλλες καmicroπύλες (εκτός του κύκλου και της ευθείας) και άλλα όργανα (εκτός του κανόνα και του διαβήτη) για να τα καταφέρουν Ενδεικτικά αναφέρουmicroε δύο φιλοσόφους που έδωσαν λύσεις του προβλήmicroατος α)Ο Μέναιχmicroος (350 πΧ περίπου) ο παιδαγωγός του Μ Αλεξάνδρου βρήκε την ακmicroή του ζητούmicroενου κύβου αλλά στη λύση του χρησιmicroοποίησε ldquoαπαγορευmicroένεςrdquo καmicroπύλες την υπερβολή και την παραβολή β)Ο Πλάτωνας (430-350 πΧ) χρησιmicroοποίησε συστήmicroατα ράβδων που microπορούσαν να ολισθαίνουν ή να στρέφονται η microία ως προς την άλλη όργανα που δεν υπάκουαν στον περιορισmicroό για αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη (Η λύση αυτή ανήκει στην κατηγορία των microηχανο-τεχνικών λύσεων)

Η λύση του Πλάτωνα

25

Η τριχοτόmicroηση της γωνίας Καθώς οι αρχαίοι Έλληνες κατασκεύαζαν τις διαφόρων microεγεθών γωνίες ξεκινώντας από λίγες βασικές [πχ τη γωνία ισοπλεύρου τριγώνου (60ο ) ή τη γωνία κανονικού πενταγώνου (108ο)] και προσθέτοντας αφαιρώντας ή διχοτοmicroώντας τις δοσmicroένες γωνίες έφτιαχναν τις υπόλοιπες το να microπορούν να τριχοτοmicroούν κάθε γωνία ήταν κάτι που τους ενδιέφερε άmicroεσα Βέβαια για ορισmicroένες γωνίες αυτό είναι αδύνατο microε τη χρήση κανόνα και διαβήτη Έτσι και πάλι οι λύσεις που δόθηκαν παραβίαζαν τους περιορισmicroούς Για παράδειγmicroα ο Αρχιmicroήδης (287-212 πΧ) έλυσε το πρόβληmicroα microε χρήση της νεύσης ενός οργάνου που τον βοήθησε να σχεδιάσει στο σχήmicroα του τις συνθήκες που του ήταν απαραίτητες για την κατασκευή Και εδώ πρόκειται για microια microηχανο-τεχνική λύση Επίσης ο Νικοmicroήδης (240 πΧ) έδωσε microια διαφορετική microηχανο-τεχνική λύση στηριζόmicroενος πάλι στη νεύση Μάλιστα οι δυο αυτές λύσεις αποτέλεσαν πηγή έmicroπνευσης ώστε οι Έλληνες να microελετήσουν microια νέα καmicroπύλη γνωστή microε το όνοmicroα laquoκογχοειδής καmicroπύλη του Νικοmicroήδηraquo Ο τετραγωνισmicroός του κύκλου Αν και τα δύο προηγούmicroενα προβλήmicroατα συνδέονται στενά microεταξύ τους (είτε ως προς τους τρόπους λύσης microε χρήση κωνικών τοmicroών είτε ως προς τις αλγεβρικές εκφράσεις τους είτε ως προς το γεγονός ότι οι αποδείξεις για την αδυναmicroία επίλυσής τους microε κανόνα και διαβήτη βασίζονται σε όmicroοιο τρόπο σκέψης) ο τετραγωνισmicroός του κύκλου είναι ένα πρόβληmicroα εντελώς διαφορετικής φύσης όπως

∆ιαβήτης τριχοτόmicroησης (Rufus Issaacs)

Αρχιmicroήδεια λύση

26

φάνηκε και από την εντελώς διαφορετική από τις δύο προηγούmicroενες απόδειξη για το αδύνατο της κατασκευής microε κανόνα και διαβήτη Ωστόσο ο ∆εινόστρατος (350 πΧ) αδερφός του Μέναιχmicroου κατάφερε να τετραγωνίσει τον κύκλο χρησιmicroοποιώντας την ίδια microέθοδο microε την οποία ο σοφιστής Ιππίας (420 πΧ) κατάφερε να τριχοτοmicroήσει τη γωνία Και οι δύο αυτές λύσεις επιτεύχθηκαν microε τη χρήση της τετραγωνίζουσας microιας ειδικής καmicroπύλης εmicroπνευστής της οποίας ήταν ο Ιππίας η οποία φυσικά ανήκε στα ldquoαθέmicroιτα microέσαrdquo

Ουσιαστικά τα τρία προβλήmicroατα της αρχαιότητας ldquoλύθηκανrdquo όταν τον 19ο αιώνα αποδείχτηκε ότι η κατασκευή τους microε κανόνα και διαβήτη δεν είναι δυνατή Για το διπλασιασmicroό του κύβου και την τριχοτόmicroηση της γωνίας οι αποδείξεις αυτές στηρίχτηκαν κυρίως στη θεωρία των τριτοβάθmicroιων εξισώσεων ενώ για τον τετραγωνισmicroό του κύκλου η απόδειξη σχετίζεται microε το γεγονός ότι ο αριθmicroός είναι υπερβατικός κάτι που αποδείχτηκε από το Γερmicroανό microαθηmicroατικό Lindemann στα 1882 Μαριάννα Κληρονόmicroου 13122005

Ο κυλιόmicroενος κύκλος

τετραγωνίζεται (Thomas Elsner)

27

Descartes Rene (Rene Descartes Λα E Τουρέν 1596 ndash Στοκχόλmicroη 1650) Γάλλος φιλόσοφος και microαθηmicroατικός Σπούδασε έως το 1612 στο κολέγιο των Ιησουιτών Λα Φλες Από την οικογένειά του προοριζόταν για το στρατιωτικό επάγγελmicroα στρατεύτηκε στην υπηρεσία του ηγεmicroόνα του Νάσαου και του εκλέκτορα της Βαυαρίας ταξίδεψε στην Ολλανδία Γερmicroανία Βοηmicroία και Ουγγαρία Αργότερα εγκατέλειψε τη στρατιωτική ζωή εγκαταστάθηκε στο Παρίσι και κατόπιν στην Ολλανδία όπου το φιλελεύθερο περιβάλλον ευνοούσε τις microελέτες Το 1637 δηmicroοσίευσε το έργο του Λόγος περί της microεθόδου (το 1641) στα λατινικά τους Στοχασmicroούς που προκάλεσαν σειρά κριτικών το 1644 δηmicroοσίευσε στα λατινικά τις Αρχές φιλοσοφίας Το 1649 παρέδωσε για δηmicroοσίευση τη ∆ιατριβή για τα πάθη της ψυχής και κατόπιν πήγε ύστερα από πρόσκληση της βασίλισσας Χριστίνας στη Σουηδία όπου τον άλλο χρόνο πέθανε Άφησε πολλά χειρόγραφα microεταξύ των οποίων είναι το ατέλειωτο έργο του Κανόνες για την καθοδήγηση του πνεύmicroατος Τα άπαντα του Descartes (παραπάνω αναφέρθηκαν τα κυριότερα έργα του) εκδόθηκαν microε τη φροντίδα των Adam και Tannery σε 12 τόmicroους στο Παρίσι microεταξύ 1897 και 1910 Το πρόβληmicroα της microεθόδου Ο λόγος περί της Μεθόδου έργο κατά ένα microέρος αυτοβιογραφικό είναι η περιγραφή της πορείας που ακολούθησε ο Descartes στην αναζήτηση της laquoαληθινής microεθόδου για να φτάσω στη γνώση όλων εκείνων που ο νους microου ήταν ικανός να γνωρίσειraquo Ο Descartes επεδίωκε να αντικαταστήσει microε τη νέα του microέθοδο το σύστηmicroα της παραδοσιακής λογικής που ήταν κατάλληλη κατά τη γνώmicroη του microάλλον να εξηγήσει σε άλλους τις έννοιές της παρά νrsquo αποκτήσει από αυτές νέες Η νέα microέθοδος έπρεπε να συνενώνει microέσα της τις αρετές της τυπικής λογικής και των microαθηmicroατικών αλλά να αποφεύγει τα ελαττώmicroατά τους και να συναρmicroόζεται microε τους τέσσερις βασικούς κανόνες Αρχικά να microην αποδέχεται ως αληθινό τίποτα που δεν φαίνεται άmicroεσα καθαρό και ολοφάνερο επιπλέον να αναλύει το αντικείmicroενο στα απλά στοιχεία του ακόmicroη να ανασυνθέτει την αρχική ενότητα ξεκινώντας από τα απλά στοιχεία και ανεβαίνοντας προοδευτικά στα πιο περίπλοκα τέλος να κάνει απαριθmicroήσεις τόσο πλήρεις και ανασκοπήσεις τόσο γενικές ώστε να είναι βέβαιο ότι τίποτα δεν έχει παραληφθεί Οι κανόνες αυτοί εκφράζουν στη σύνθεσή τους την ίδια microέθοδο που ο Descartes είχε περιγράψει στους Κανόνες (που γράφηκαν πιθανώς το 1628) Κοινή είναι η απαίτηση να συγκροτηθεί η microέθοδος της έρευνας microε πρότυπο τη microέθοδο των microαθηmicroατικών τη microόνη

28

απαλλαγmicroένη από αβεβαιότητες και σφάλmicroατα συνενώνοντας γιrsquo αυτό αmicroοιβαία εmicroπειρία και απαγωγή και περιορίζοντας την έρευνα στα αντικείmicroενα τα οποία προσφέρονται στη βέβαιη και αναmicroφισβήτητη γνώση Κοινή είναι ακόmicroα η ταύτιση της microεθόδου microε τη σειρά και τη διάταξη των στοιχείων και η απαίτηση για microια τελική επαλήθευση στηριγmicroένη στην απαρίθmicroηση Αν και εmicroπνέεται από τη microέθοδο των microαθηmicroατικών η microέθοδος υπερβαίνει κατά πολύ τη φιλοδοξία των microαθηmicroατικών και γίνεται έτσι microέθοδος της φιλοσοφίας που είναι laquoσπουδή της σοφίαςraquo και σύστηmicroα των ανθρώπινων γνώσεων Πέρα από τις ειδικές της ρήτρες η microορφοποίηση της microεθόδου αποτελεί ρήξη microε το παρελθόν γιατί υποκαθιστά την αρχή της αυθεντίας microε την αρχή του ολοφάνερου υποβάλλει σε κριτική τους τρόπους της σχολαστικής και πιστεύει στην πρακτική αξία της θεωρητικής γνώσης

Θεός και κόσmicroος Από εδώ ξεκινά η φιλοσοφική κατασκευή

του Descartes Αν είναι βέβαιη η ύπαρξη της σκεπτόmicroενης ουσίας τέτοια θα είναι η ύπαρξη των ιδεών που παρουσιάζονται στο υποκείmicroενο - η αmicroφιβολία υφίσταται microόνο για την ύπαρξη microιας πραγmicroατικότητας έξω-υποκειmicroενικής προς την οποία ανταποκρίνονται εκείνες οι ιδέες Αλλά microεταξύ αυτών υπάρχει και η ιδέα για έναν laquoΘεό ύψιστο αιώνιο άπειρο αναλλοίωτο παντογνώστη παντοδύναmicroο και γενικό δηmicroιουργό όλων των πραγmicroάτων που είναι έξω από αυτόνraquo- microια τέτοια ιδέα δεν microπορεί να πλάθεται από το ίδιο το υποκείmicroενο αλλά προϋποθέτει την ύπαρξη microιας άπειρης ουσίας laquoακόmicroα και όταν η ιδέα microιας ουσίας είναι microέσα microου από το γεγονός ότι είναι microια ουσία δε θα είχα γιrsquo αυτό την ιδέα microιας άπειρης ουσίας εγώ που είmicroαι ένα πεπερασmicroένο ον αν αυτή δεν είχε εmicroφυσηθεί microέσα microου από microια ουσία αληθινά άπειρηraquo Η ιδέα της τελειότητας του Θεού επιβάλλει την ιδέα της φιλαλήθειάς του η απόδειξη της ύπαρξης του Θεού είναι λοιπόν εγγύηση της ικανότητάς microας να διακρίνουmicroε το αληθινό από το λαθεmicroένο και αναιρεί την εγκυρότητα της αmicroφιβολίας από την οποία ξεκίνησε η έρευνα ∆ίπλα στην ύπαρξη της σκεπτόmicroενης ουσίας η βεβαιότητα της οποίας ήταν υπονοούmicroενη στο laquoσκέπτοmicroαιraquo microπορεί να

29

διαπιστωθεί η βεβαιότητα της σωmicroατικής ουσίας Ακόmicroα και ο έξω - υποκειmicroενικός κόσmicroος ανακτάται έτσι από τη βεβαιότητα Φυσική ψυχολογία και microαθηmicroατικά Βασική ιδιότητα (κατηγορούmicroενο) της σωmicroατικής ουσίας δηλαδή της ύλης είναι για τον Descartes η έκταση - είναι πράγmicroατι δυνατό να σκεφτούmicroε ένα σώmicroα χωρίς τις άλλες ιδιότητες αλλά δεν microπορούmicroε να το σκεφτούmicroε χωρίς έκταση Από εδώ ξεκινά ο microηχανισmicroός που χαρακτηρίζει την καρτεσιανή φυσική και ψυχολογία αρχή της ερmicroηνείας όλων των φυσικών φαινοmicroένων είναι η microηχανική κίνηση των microερών της ύλης Οι τρεις βασικοί νόmicroοι της φυσικής είναι η αρχή της αδράνειας η τάση των σωmicroάτων να κινούνται σε ευθεία γραmicromicroή η αρχή της διατήρησης της κίνησης - νόmicroοι που σέβονται το αναλλοίωτο του Θεού ο οποίος από αρχής δηmicroιούργησε τον κόσmicroο microε microια ποσότητα κίνησης και ηρεmicroίας που είναι προορισmicroένη να διατηρείται αναλλοίωτη Ο φυσικός κόσmicroος εννοείται από τον Descartes ως ένας microηχανισmicroός από τον οποίο αποκλείεται κάθε ιδέα σκοπού η αντίληψη του σκοπού προσιδιάζει στην ηθική ζωή Οι νόmicroοι που ρυθmicroίζουν το φυσικό σύmicroπαν εξηγούν επίσης τη φυτική και ζωική ζωή και το ίδιο το ανθρώπινο σώmicroα έχει τη δοmicroή του microηχανισmicroού Μόνο η παρουσία λογικής ψυχής και η αmicroοιβαία ενέργεια microεταξύ ψυχής και σώmicroατος - ενέργεια που προκύπτει από την ένωσή τους η οποία πραγmicroατοποιείται κατά τον Descartes στον εγκέφαλο και ακριβώς στον laquoκωνοειδή αδέναraquo - διακρίνει τον

Rene Descartes (1596-1650)

30

άνθρωπο από το υπόλοιπο ζωικό βασίλειο Εδώ βρίσκεται η ιδιαίτερη δυναmicroική της συναισθηmicroατικής ζωής του ανθρώπου ο οποίος microερίζεται microεταξύ των ενεργειών (που εξαρτώνται από τη βούληση) και των παθών ndashπου καθορίζονται αντίθετα από την ψυχική παρόρmicroησηndash των microηχανικών δυνάmicroεων που ενεργούν στο σώmicroα από εδώ ξεκινά επίσης η αναγκαιότητα κυριαρχίας πάνω στα πάθη ως ηθικό ιδανικό σωφροσύνης Η ψυχολογία του Descartes εκτίθεται στην πραγmicroατεία του για Τα Πάθη της ψυχής (Traite des passions de lrsquoame 1649) που περιέχουν διάσπαρτες σκέψεις ηθικού χαρακτήρα- αλλά οργανικά ηθική διδασκαλία δεν διατύπωσε ποτέ ο Descartes Αντίθετα άφησε πολλές microαρτυρίες της δραστηριότητάς του στις φυσικές επιστήmicroες υπήρξε συγγραφέας - microεταξύ άλλων - πραγmicroατειών για τη διοπτρική τα microετέωρα το φως Αλλά σε αυτόν οφείλεται κυρίως η σαφής διατύπωση microιας νέας microεθόδου γεωmicroετρικής έρευνας (αν και όχι αποκλειστικά δικής του) της microεθόδου των συντεταγmicroένων microε την οποία ένα γεωmicroετρικό πρόβληmicroα microετατρέπεται σε αλγεβρικό και αντίστροφα Ο Descartes εκφράζει τις ιδέες του στο έργο Η γεωmicroετρία (La geometrie 1637) που δηmicroοσιεύθηκε στο Λέιντεν Η βάση της microεθόδου στηρίζεται στη δυνατότητα να καθορίζεται ένα σηmicroείο του επιπέδου microε τη βοήθεια ενός διατεταγmicroένου ζεύγους πραγmicroατικών αριθmicroών (συντεταγmicroένων) και να θεωρείται microια επίπεδη καmicroπύλη ως τόπος των σηmicroείων οι συντεταγmicroένες των οποίων επαληθεύουν microια ορισmicroένη εξίσωση Έτσι ο Descartes microαζί microε τον microαθηmicroατικό Fermat είναι ο ιδρυτής της αναλυτικής γεωmicroετρίας Ο Descartes ασχολήθηκε επίσης microε τη microελέτη ειδικών καmicroπυλών microεταξύ των οποίων είναι οι ωοειδείς - που φέρουν το όνοmicroά του Στη microελέτη αυτών των καmicroπυλών οδηγήθηκε από προβλήmicroατα της οπτικής στην οποία πέτυχε βασικά αποτελέσmicroατα όπως την ακριβή διατύπωση του νόmicroου της διάθλασης Σπουδαίος είναι επίσης ο καρτεσιανός κανόνας στην άλγεβρα ο αριθmicroός των παραλλαγών προσήmicroου στην ακολουθία των συντελεστών αλγεβρικής εξίσωσης microε πραγmicroατικούς συντελεστές microε

31

έναν άγνωστο ισούται microε τον αριθmicroό των θετικών ριζών της εξίσωσης (υπολογίζοντας την κάθε microια microε την πολλαπλότητά της) ή τον υπερβαίνει κατά άρτιο αριθmicroό Το ίδιο αποτέλεσmicroα προκύπτει για τις τηρήσεις του προσήmicroου και για τις αρνητικές ρίζες Τύχη του καρτεσιανισmicroού Καταπολεmicroούmicroενη από τους θεολόγους και ειδικά τους Ιησουίτες και από τους αριστοτελικούς οι οποίοι έφτασαν να απαγορεύσουν τη διδασκαλία των έργων του Descartes στη Σορβόννη η καρτεσιανή φιλοσοφία διαδόθηκε ενώ ακόmicroη ζούσε ο δηmicroιουργός της κυρίως στην Ολλανδία και στη Γαλλία microεταξύ των Γιανσενιστών στη Γαλλία (microεταξύ αυτών οι Αντουάν Αρνώ και Πιερ Νικόλ) οι οποίοι προσπάθησαν να τη συmicroβιβάσουν microε την παράδοση του Αυγουστίνου Με πρόθεση να θεραπευθούν οι δυσχέρειες της καρτεσιανής διδασκαλίας ως προς τις σχέσεις microεταξύ ψυχής και σώmicroατος γεννήθηκε η λεγόmicroενη συmicroπτωσιαρχία (occasionalismus) εκπροσωπούmicroενη από τους Γκέλινξ και Μαλmicroπράνς Οι πολεmicroικές οι σχετικές microε τον καρτεσιανισmicroό διήρκεσαν πολύ χρόνο και σε αυτό το πλαίσιο τοποθετούνται πολλές από τις πιο εξέχουσες εκδηλώσεις στον επόmicroενο microισό αιώνα Συνεχή επιρροή είχε ο microηχανικισmicroός (που εισηγείται ο Descartes) στην επιστηmicroονική έρευνα


Καρτεσιανές

Συντεταγmicroένες

32

Ιδρυτής της οικογένειας Μπερνούλι είναι ο Ιωάννης Μπερνούλι

(Johann Bernoulli) και έζησε την περίοδο 1667-1748 Τα δύο παιδιά του είναι ο ∆ανιήλ Μπερνούλι (Daniel Bernoulli) και ο Νικόλαος ο ∆εύτερος Μπερνούλι (Nicolaus I I Bernoulli)Ένα επίσης πολύ γνωστό microέλος της οικογένειας Μπερνούλι είναι και ο Ιάκωβος Μπερνούλι (Jacob Bernoulli) αδερφός του Ιωάννη και σπουδαίος microαθηmicroατικός

Ο Ιάκωβος Μπερνούλι γεννηmicroένος στις 27 ∆εκεmicroβρίου του 1654 ήταν Σουηδός microαθηmicroατικός και επιστήmicroονας καθώς και ο γηραιότερος της οικογένειας Ιάκωβος συνάντησε τον Robert Boyle και τον Robert Hook σε ταξίδι του στην Αγγλία το 1676 και έκτοτε αφιέρωσε την ζωή του στην επιστήmicroη και στα microαθηmicroατικά Σπούδασε στο Πανεπιστήmicroιο της Μπασέλ και έγινε καθηγητής Μαθηmicroατικών το 1687

Είχε συναναστροφές microε τον Gottfried Leibniz και έmicroαθε αριθmicroητική και συνεργάστηκε microε τον αδερφό του Ιωάννη

Από τα καλύτερα συγγράmicromicroατα του ήταν το Ars Conjectandi (Η τέχνη της Εικασίας) ένα αριστουργηmicroατικό έργο στην θεωρία πιθανοτήτων ∆ηmicroοσιεύτηκε 8 χρόνια microετά το θάνατο του το 1714 από τον ανιψιό του τον Νικόλα Οι όροι umlΠείραmicroα Μπερνούλιuml και οι Αριθmicroοί Μπερνούλι ήταν αποτελέσmicroατα του Ιακώβου και ονοmicroάστηκαν έτσι προς τιmicroήν του

Το θεώρηmicroα πιθανοτήτων και στατιστικής του Μπερνούλι είναι microια κατανοmicroή πιθανοτήτων η οποία παίρνει αξία 1 microε πιθανότητα επιτυχίας p και αξία 0 microε πιθανότητα αποτυχίας q = 1-p

Οι αριθmicroοί Μπερνούλι είναι microια ακολουθία πραγmicroατικών αριθmicroών βαθιά συνδεδεmicroένα microε τη θεωρία Αριθmicroών Παρότι εύκολα υπολογίσιmicroοι δεν έχουν στοιχειώδη περιγραφή καθώς έχουν στενή σχέση microε τις τιmicroές της συνάρτησης zeta του Riemann στους αρνητικούς ακέραιους

33

Ο ∆ανιήλ Μπερνούλι γεννηmicroένος στις 8 Φεβρουαρίου του 1700 στην Γερmicroανία ήταν microαθηmicroατικός και αφιέρωσε το microεγαλύτερο microέρος της ζωής του στη Μπασέλ στη Σουηδία ∆ούλεψε microε τον Λεονάρντ umlΟιλερ (Leonhard Euler) τις εξισώσεις που φέρουν τα ονόmicroατά τους Η θεωρία Μπερνούλι είναι πολύ σηmicroαντική στην αεροδυναmicroική Χρησιmicroοποιείται για σταθερή αδιάκοπη ασυmicroπίεστη ροή κατά την αεροδυναmicroική

Η αρχή Μπερνούλι δηλώνει πως στην υγρή ροή microια αύξηση ταχύτητας συνεπάγεται microιά ταυτόχρονη microείωση της πίεσης Αυτή η αρχή είναι microια απλοποίηση της εξίσωσης Μπερνούλι η οποία δηλώνει ότι το σύνολο όλων των microορφών ενέργειας σε microια υγρή ροή microέσα σε microια κλειστή διαδροmicroή είναι η ίδια σε οποιαδήποτε δύο σηmicroεία σε εκείνη τη διαδροmicroή Η αρχή αυτή πήρε το όνοmicroά της από τον Μπερνούλι αν και είχε κατανοηθεί από τον Leonhard Euler και από άλλους νωρίτερα


34

Λογαριθmicroικοί ∆είκτες Ασφάλειας ΓΕΝΙΚΑ Έστω 1neα rsaquo 0 θ rsaquo 0 ώστε να ισχύει αχ=θ Τότε λογάριθmicroος του θ microε βάση το α ονοmicroάζεται ο εκθέτης χ στον οποίο πρέπει να υψωθεί το α για να προκύψει το θ και συmicroβολίζεται log θ

χ log4=2(2sup2=4) Όταν λέmicroε απλά λογάριθmicroος του θ εννοούmicroε τον εκθέτη στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 10 για να προκύψει το θ δηλαδή η βάση α=10 δεν αναγράφεται

χ log100=2 (102=100) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟΣ ∆ΕΙΚΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Αν 1 στους χ ανθρώπους πεθαίνει το χρόνο από microια δραστηριότητα τότε ο δείκτης ασφαλείας είναι ο λογάριθmicroος του χ Άρα όσο ψηλότερος είναι ο δείκτης τόσο ασφαλέστερη είναι και η συγκεκριmicroένη δραστηριότητα ∆ηλαδή αύξηση του δείκτη κατά microια microονάδα συνεπάγεται ελάττωση του κινδύνου microε παράγοντα 10 Αλλιώςmicroπορούmicroε να ορίσουmicroε το δείκτη κινδύνου για τον οποίο ισχύει

10-(δείκτης ασφαλείας)=δείκτης κινδύνου Τότε όσο υψηλότερος είναι ο δείκτης τόσο πιο επικίνδυνη είναι η δραστηριότητα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ∆ε διαχωρίζεται η συχνότητα microε την οποία εmicroφανίζεται microια

δραστηριότητα από την πιθανότητα να είναι επικίνδυνη ∆ηλαδή microια πολύ επικίνδυνη δραστηριότητα microπορεί να συmicroβαίνει πολύ σπάνια και άρα να προκαλεί λίγους θανάτους κι εποmicroένως να έχει υψηλό δείκτη ασφαλείας Άρα το σωστό είναι να ορίζουmicroε ότι αν 1 στους y που είναι πιθανό να εmicroπλακούν microε microια συγκεκριmicroένη δραστηριότητα πεθαίνει εξαιτίας της τότε αυτός ο λογάριθmicroος του y είναι ο δείκτης ασφαλείας της δραστηριότητας

35

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν logylt4 τότε υπάρχουν περισσότερες από 1 στις 10000 πιθανότητες το χρόνο να προκληθεί θάνατος από τη δραστηριότητα ΠΡΟΤΑΣΗ Να τεθούν επόπτες που θα διερευνούν τις διάφορες στατιστικές που γίνονται ετησίως και θα προσδιορίζουν τους δείκτες ασφαλείας των δραστηριοτήτων Πχ( δα = δείκτης ασφαλείας ) 1 στους 5300 Αmicroερικανούς το χρόνο

δα=log5300=37(οδήγηση αυτοκινήτου) 1 στους 800 Αmicroερικανούς το χρόνο

δα=log800=29(ασθένειες από κάπνισmicroα) 1 στα 5000000 Αmicroερικανάκια το χρόνο

δα=log5000000=67(απαγωγή παιδιών) 1 στους 100 Αmicroερικανούς το χρόνο

δα=log100=2(ακροβασία σε τεντωmicroένο σύρmicroα) 1 στους 380 Αmicroερικανούς το χρόνο

δα=log380=26(καρδιακές και κυκλοφορικές παθήσεις) 1στους 96000Αmicroερικανούς το χρόνο

δα=log96000=5(ποδηλασία) 1 στους 2000000 Αmicroερικανούς το χρόνο

δα=log2000000=63(κεραυνός) 1στους 6000000Αmicroερικανούς το χρόνο

δαlog6000000=68(τσίmicroπηmicroα microέλισσας) ΑΚΟΜΑ

δα( ρωσικής ρουλέτας)=08δακαρκίνου=27 Μεταξύ 1900-1980

δα=27 - 37(γρίπη πνευmicroονία) δα=27-58(φυmicroατίωση)

δα=4(ανθρωποκτονία στις ΗΠΑ) δα=6-7(ανθρωποκτονία στη ΜΒρετανία)

[˝Αριθmicroοφοβία˝JAPaulos] Σαmicroαριτάκη Μαριλένα

36

Μαθηmicroατικά ∆ρώmicroενα και Σεmicroινάρια Μαθηmicroατικών το 2005-2006 στο ldquoΠαγκρήτιοrdquo Λύκειο

Μαθηmicroατικοί ∆ιαγωνισmicroοί

Όπως κάθε χρόνο έτσι και φέτος microαθητές και microαθήτριες του Λυκείου microας συmicromicroετείχαν στον Μαθηmicroατικό ∆ιαγωνισmicroό της ΕΜΕ (Ελληνικής Μαθηmicroατικής Εταιρίας) ο ldquoΘΑΛΗΣrdquo την 12η Νοέmicroβρη 2005 Αυτοί ήταν Κατεχάκης Νίκος Σφακιανάκης Χρύσανθος (Α Λυκείου) Βλατάκης Αναστάσης Γοργοράτης Λευτέρης Κριαράς Γιάννης (Β Λυκείου) Ανυφαντάκης Στέλιος Ασιρτάκης Γιώργος ∆ιαmicroαντόουλος ∆ιονύσης Κριαράς Στέλιος Μαρκουλάκης Γιάννης Νιώτης Μιχάλης Πααγρηγορίου Στέλιος Τσαγκαράκη Μαρία (Γ Λυκείου) Αν και είχαmicroε απουσίες την τελευταία στιγmicroή ιδίως από microαθητές της Γ Λυκείου (δικαιολογηmicroένα ίσως) ο Πααγρηγορίου Στέλιος προκρίθηκε στον ∆ιαγωνισmicroό και συmicromicroετείχε στον επόmicroενο Μαθηmicroατικό ∆ιαγωνισmicroό της ΕΜΕ ldquoΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣrdquo την 21η Γενάρη 2006

Είναι σηmicroαντικό το γεγονός ότι αυτά τα παιδιά απολαmicroβάνουν τα Μαθηmicroατικά όχι microόνο microέσα στα στενά πλαίσια της σχολικής ύλης αλλά και ως microία πρόκληση για ταξίδεmicroα σε άγνωστα microονοπάτια και προβληmicroατισmicroούς Τους αξίζουν λοιπόν συγχαρητήρια και ας τους ευχόmicroαστε πάντα να συmicromicroετέχουν microε ικανοποίηση και επιτυχία σε ότι αγαπούν

Ένα δίωρο διδασκαλίας Την πρώτη Πέmicroπτη του Μάρτη όπως κάθε Πέmicroπτη το Β1

είχε στο ηmicroερήσιο πρόγραmicromicroά του ένα συνεχόmicroενο δίωρο Μαθηmicroατικών (Άλγεβρα-ΓεωmicroετρίαΓενικής Παιδείας) Τα παιδιά είχαν πρόσφατα γράψει ένα διαγώνισmicroα στα εmicroβαδά και η αριθmicroητική πρόοδος είχε διδαχτεί την περασmicroένη εβδοmicroάδα

Ήταν microια καλή ευκαιρία να συνδεθούν (σε επίπεδο ουσίας) θέmicroατα της σχολικής τους ύλης αφενός microεταξύ τους και αφετέρου microε microία γενικότερη προσέγγιση των Μαθηmicroατικών σε σχέση microε την

37

ιστορία τους αλλά και τους στόχους τους Παρακάτω δίνεται microια microικρή περίληψη αυτών που συζητήσαmicroε εκείνη την ηmicroέρα

Ξεκινώντας την κουβέντα microας από τα καθηmicroερινά ενδιαφέροντα και ασχολίες της σύγχρονης καθηmicroερινής ζωής έγινε microια αντιπαραβολή microε τα αντίστοιχακοινοτήτων της Ελληνικής αρχαιότητας όπως των Πυθαγορείων στον Κρότωνα της Ιταλίας

Αναφερθήκαmicroε στις δοξασίες τους περί αριθmicroητικοποίησης του σύmicroπαντος και πως αυτές εξελίχθηκαν microέσα στη αρχαία Ελληνική σκέψη microέχρι τον Ευκλείδη και την θεmicroελίωση της Γεωmicroετρίας Φυσική συνέπεια λόγω της ύλης αλλά και λόγω της πρακτικής αναγκαιότητας microέτρησης των χώρων οδηγηθήκαmicroε στα εmicroβαδά και στο γιατί το σχολικό βιβλίο κλείνει το κεφάλαιο των εmicroβαδών microε τον τετραγωνισmicroό των πολυγώνων

Σειρά είχε το πρόβληmicroα εύρεσης εmicroβαδών καmicroπυλόγραmicromicroων σχηmicroάτων και το πρόβληmicroα τετραγωνισmicroού του κύκλου microε τις προσπάθειες των Ελλήνων να λύσουν το πρόβληmicroα Η διασαφήνιση του τι είναι κατασκευή στην Ευκλείδεια Γεωmicroετρία και η αναφορά στις λύσεις των Ελλήνων (microε microια άπειρη διαδικασία ή microε microη επιτρεπόmicroενες καmicroπύλες) ξεκαθάρισε ότι

ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται microε κανόνα και διαβήτη (εξηγώντας ότι κατασκευή microε κανόνα και διαβήτη σηmicroαίνει microια πεπερασmicroένη επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθmicroού πράγmicroα που δεν γίνεται για την εύρεση του αριθmicroού π όπως απέδειξε ο Lindemann το 1882) αλλά και ότι ο κύκλος τετραγωνίζεται microε ολλούς άλλους τρόους παρουσιάστηκε microάλιστα η λύση του κυλιόmicroενου κύκλου τονίζοντας την σηmicroασία της σχέσης υ2=χψ στο ορθογώνιο τρίγωνο Η ρώτη σελίδα της εργασίας

του Lindemann 1882

38

Επίσης αναφέρθηκε και η περίφηmicroη ιδέα της εξάντλησης του

Αρχιmicroήδη η οποία όπως ήταν αναmicroενόmicroενο microας οδήγησε στην αντίληψη του εmicroβαδού microέσω ολοκληρωmicroάτων (Να σηmicroειώσουmicroε ότι από την περσινή επίσκεψη της τάξης στην έκθεση Μαθηmicroατικού εποπτικού υλικού του Ιδρύmicroατος Μείζονος Ελληνισmicroού τα παιδιά είχαν εξοικειωθεί microε τη ιδέα αυτή και θυmicroήθηκαν αmicroέσως και την γεωmicroετρική κατασκευή αλλά και την παρουσίαση της ιδέας microέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή)

Στο σηmicroείο αυτό έγινε microια εισαγωγή στην έννοια του ολοκληρώmicroατος microιάς συνεχούς θετικής συνάρτησης σε ένα διάστηmicroα microέσω σχήmicroατος Εδώ χρησιmicroοποιήθηκε η άσκηση του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Β Λυκείου Β15 σελίδα 100 ως

εξής το άθροισmicroα 1 2 11

ν minus ν minus+ + + +

ν ν ν έγινε [ ]

1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε

την παράσταση microέσα στην αγκύλη άθροισmicroα όρων microιάς αριθmicroητικής προόδου Η δεύτερη παράσταση microπορεί επίσης να γίνει αντιληπτή και ως άθροισmicroα εmicroβαδών ορθογωνίων παραλληλογράmicromicroων microε

βάση 1

ν και διαφορετικών υψών (1 2 3hellipν) πράγmicroα που microας

οδήγησε στην αλγεβρική έννοια του πάνω και κάτω αθροίσmicroατος για την εύρεση ενός (ορισmicroένου) ολοκληρώmicroατος Εξηγήθηκε η έννοια της διαmicroέρισης ενός κλειστού διαστήmicroατος και ο ορισmicroός του εmicroβαδού ως ο αριθmicroός που είναι το κοινό όριο microιάς αύξουσας (κάτω αθροίσmicroατα) και microιάς φθίνουσας (πάνω αθροίσmicroατα) ακολουθίας

Τέλος χρησιmicroοποιώντας την έννοια του περίσσιου αλλά και αυτού που υπολείπεται παρατηρήσαmicroε ότι όπως στο σχήmicroα δίπλα η εύρεση ενός εmicroβαδού microπορεί να γίνεται microέσω της αφαίρεσης και όχι microέσω πρόσθεσης εmicroβαδών άλλων γνωστών χωρίων

39

Μια ροβολή

Στο τέλος του Μάρτη βρέθηκε microια ευκαιρία οι microαθητές και microαθήτριες της Β Λυκείου να απολαύσουν microια συλλογή Μαθηmicroατικών video βραβευmicroένων στο ∆ιεθνές Μαθηmicroατικό Συνέδριο του Βερολίνου το 1998 Η συλλογή αυτή διακρίθηκε σε παγκόσmicroιο επίπεδο για την microαθηmicroατική της σπουδαιότητα την τεχνική της αρτιότητα και την καλλιτεχνική της φαντασία Τα microαθηmicroατικά της θέmicroατα περιέχουν προβλήmicroατα τοπολογίας και γεωmicroετρίας οπτικοποιήσεις κλασικών ιδεών των Αρχιmicroήδη Ερατοσθένη Πυθαγόρα και Fibonacci θέmicroατα microαθηmicroατικών λυκείου καθώς και εφαρmicroογές σύγχρονων αριθmicroητικών

microεθόδων στις προσοmicroοιώσεις Παρακολουθήσαmicroε την ταινία στην Αγγλική

γλώσσα και στον λίγο χρόνο που microας έmicroεινε κάναmicroε σχόλια και παρατηρήσεις

Σεmicroινάρια Μαθηmicroατικών Πέmicroπτος χρόνος φέτος των Σεmicroιναρίων Έγιναν εννέα

συναντήσεις σαββατιάτικων απογευmicroάτων διάρκειας δύο ωρών περίπου κατά microέσο όρο η κάθε microία ( 2210 511 2611 1012 211 42 252 113 14) Στην πρώτη συνάντηση του 2006 κόψαmicroε και την πίττα microας και ο Θοδωρής βρίσκοντας το φλουρί απέκτησε και το lsquoΠειραχτήρι των Αριθmicroώνrsquo του Ετσενσmicroπέργκερ Στις φετινές συναντήσεις συmicromicroετείχαν οι

40

Κατεχάκης Νίκος Μαρκουλάκης Γιώργος Σφακιανάκης Χρύσανθος (Α Λυκείου) Βλατάκης Αναστάσης Γοργοράτης Λευτέρης Καρακώστας Θοδωρής Καστρινάκης Γιώργος Κληρονόmicroου Μαριάννα Κριαράς Γιάννης (Β Λυκείου) Νεονάκης Αλέξανδρος Μισαργοούλου Ειρήνη Πααγρηγορίου Στέλιος Φιλαλήθης Ευγένιος (Γ Λυκείου) Όλα τα παιδιά τιmicroήθηκαν microε έπαινο στο τέλος της χρονιάς για την συmicromicroετοχή τους στα σεmicroινάρια αυτά Ειδικά ο Ευγένιος ο Γιώργος ο Θοδωρής η Μαριάννα και ο Χρύσανθος απετέλεσαν έναν αξιέπαινο πυρήνα microαθητών και τα Μαθηmicroατικά Τετράδια τους οφείλουν πολλά για την γέννησή τους

Φέτος ασχοληθήκαmicroε microε δύο θέmicroατα Στις πρώτες τέσσερις συναντήσεις microελετήσαmicroε το Θεώρηmicroα του Pick ενώ στις πέντε επόmicroενες microελετήσαmicroε το Μικρό Θεώρηmicroα του Fermat Και τα δύο αυτά θέmicroατα έχουν άmicroεση σύνδεση microε την σχολική ύλη σε πολλούς τοmicroείς ενώ ταυτόχρονα διακρίνονται για την απλότητα την οmicroορφιά και την σπουδαιότητά τους Η πλήρης ανάπτυξη αυτών των θεmicroάτων απαιτεί τουλάχιστον άλλο ένα τεύχος του περιοδικού (αν και υπάρχει σκέψη για microια πλήρη καταγραφή των Σεmicroιναρίων σε έναν ανεξάρτητο τόmicroο) και έτσι παρακάτω αναφέρονται πλήρως τα Θεωρήmicroατα αλλά σκιαγραφούνται microόνο οι φετινές συναντήσεις

Θεώρηmicroα Pick Υπολογισmicroός εmicroβαδών πολυγωνικών χωρίων απλά και microη

απλά πολύγωνα lattice σηmicroεία και lattice πολύγωνα Θεώρηmicroα του Pick απόδειξη του Θεωρήmicroατος (Dale Varberg 1985) δεύτερη ερmicroηνεία του Θ Pick γωνίες lattice πολυγώνων εmicroβαδά lattice τριγώνων Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης δύο ακεραίων αναφορά στον Ευκλείδειο Αλγόριθmicroο εύρεσης του ΜΚ∆ λύση του ίδιου προβλήmicroατος microέσω ΘPick και εmicroβαδών

Το Θεώρηmicroα του Pick Το 1899 ο Georg Pick παρουσίασε το παρακάτω Θεώρηmicroα

Έστω L ένα αλό lattice ολύγωνο microε Ι αριθmicroό lattice-σηmicroείων στο εσωτερικό του Β αριθmicroό lattice-σηmicroείων στο

σύνορό του και (L) το εmicroβαδόν του Τότε ισχύει

Β(L)=Ι+ -1

2

41

Σηmicroειώνουmicroε ότι το συγκεκριmicroένο θέmicroα έδωσε την δυνατότητα να συνδεθούν φαινοmicroενικά διαφορετικά κοmicromicroάτια της σχολικής ύλης όπως εmicroβαδά στοιχειώδης θεωρία αριθmicroών τριγωνοmicroετρία αναλυτική γεωmicroετρία

Μικρό Θεώρηmicroα του Fermat ∆ιαίρεση ακεραίων κλάσεις υπολοίπων περιοδική

αναπαράσταση πρώτοι αριθmicroοί Χαρακτηριστική ιδιότητα πρώτων Θεmicroελιώδες Θεώρηmicroα της Αριθmicroητικής Θεώρηmicroα πρώτων microεταξύ τους αριθmicroών αp-βq=1 microε p q πρώτους microεταξύ τους (χρησιmicroοποιώντας Ευκλείδειο αλγόριθmicroο από τις προηγούmicroενες συναντήσεις) σπειρογράφος δεκαδικά αναπτύγmicroατα αριθmicroών της microορφής 1p microε p πρώτο περίοδος αλγεβρική έκφραση της περιόδου τύποι περιόδων περίοδος και υπόλοιπα απόδειξη ότι η περίοδος είναι διαιρέτης του p-1 οι ιδέες του Fermat και του Lagrance απόδειξη του ΜΘFermat

Το Μικρό Θεώρηmicroα του Fermat Αν n ακέραιος και p ρώτος τότε ο p διαιρεί τον np-n Το δεύτερο θέmicroα των φετινών συναντήσεων παρότι είναι ένα

βαθύ και σπουδαίο θεώρηmicroα και συνδέεται microε την βασική γνώση που αφορά τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθmicroούς προϋποθέτει ελάχιστα για την κατανόησή του


42

Βιβλιογραφία Αν και η παρακάτω βιβλιογραφία δεν είναι πλήρης ( κάποιες

εργασίες δεν αναφέρουν πηγές) τα παρακάτω βιβλία χρησιmicroοποιήθηκαν

Bunt Jones Bedient lsquoΟι Ίστορικές Ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηmicroατικώνrsquo (Αθήνα 1981) Mankiewicz R lsquoΗ Ιστορία των Μαθηmicroατικώνrsquo (Εκδόσεις Αλεξάνδρεια Αθήνα 2002) Ευκλείδη lsquoΣτοιχείαrsquo (Εκδόσεις ΚΕΕΠΕΚ Αθήνα 2001) Heath Th lsquoΙστορία των Ελληνικών Μαθηmicroατικώνrsquo Τόmicroος Ι (Εκδόσεις ΚΕΕΠΕΚ Αθήνα 2001) Davis Hersh lsquoΗ Μαθηmicroατική Εmicroπειρίαrsquo (Εκδόσεις Τροχαλία Αθήνα) Paulos JA lsquoΑριθmicroοφοβίαrsquo (Εκδόσεις Αλεξάνδρεια Αθήνα 1991) Nelsen R lsquoΑποδείξεις Χωρίς Λόγιαrsquo (Εκδόσεις Σαββάλας Αθήνα 1996) Smullyan R lsquoΟ Σατανάς Ο Cantor και το Άπειροrsquo (Εκδόσεις Κάτοπτρο Αθήνα 2003) Αρτεmicroιάδης Ν Ιστορία των Μαθηmicroατικώνrsquo (Εκδόσεις Ακαδηmicroίας Αθηνών Αθήνα 2000)

Υεύθυνος Ύλης Παυλάκος Περικλής Μαθηmicroατικός

Οι ρητοί είναι ισοληθικοί microε τους φυσικούς

43

Τα Μαθηmicroατικά Τετράδια είναι microια δηmicroιουργία των microαθητών και των microαθητριών του Λυκείου του Παγκρητίου την Άνοιξη του 2006

Paul Klee Χορεύουν αό Φόβο 1938

44

Κλέα Παυλάκου Πίνακας Μαθηmicroατικών 2006


2

Περιεχόmicroενα

1 Χαιρετισmicroόςhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ4

Κοιδάκης Νικόλαος

2 Εισαγωγήhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ 5


3 lsquoΠερί χρόνου και αλλαγής καταστάσεωνrsquohelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ 7

Αλεξανδράκη Χρυσάνθη

4 lsquoΤο Πυθαγόρειο Θεώρηmicroαrsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ11

Σφακιανάκης Χρύσανθος

5 ΄Τα Στοιχεία του Ευκλείδη΄helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ13

Γοργοράτης Λευτέρης

6 lsquoΤα τρία laquoάλυταraquo ροβλήmicroατα της Ελληνικής

αρχαιότηταςrsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ19

Καστρινάκης Γιώργος Μαρελιέρ Νικόλας

Καρακώστας Θοδωρής Κληρονόmicroου Μαριάννα

7 lsquoDescartes Renersquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ27


8 lsquoBernoullirsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ32


9 lsquoΛογαριθmicroικοί ∆είκτες Ασφάλειαςrsquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ34

Σαmicroαριτάκη Μαριλένα

10Μαθηmicroατικά ∆ρώmicroενα και Σεmicroινάρια Μαθηmicroατικών 2005-2006

στο ldquoΠαγκρήτιοrdquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipσελ36


+ Μαθηmicroατικά ndash Μια ειστήmicroη χιλιάδων ετώνhelliphelliphelliphelliphellip (cd)

Καρακώστας Θοδωρής Καστρινάκης Γιώργος

Υδατογράφηmicroα Hilbertrsquos seaside resort hotel

3

















4







5







6





7



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



3

















4







5







6





7



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



4







5







6





7



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



5







6





7



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



6





7



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



7



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



8


9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



9




10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



10



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



11


12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



12



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



13


Εισαγωγή





14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



14






15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



15







16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



16













17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



17










18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



18





19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



19


2

α χ ψ

χ ψ α= =



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



20


21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



21




22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



22



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



23


24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



24



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



25




26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



26





27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



27


28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



28




29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



29



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



30


31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



31





32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



32








33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



33




34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



34







35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



35














36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



36








37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



37







38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



38







1( 1) ( 2) 1ν + ν minus + ν minus + +

ν microε


βάση 1




39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



39

Μια ροβολή






40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



40








Β(L)=Ι+ -1

2

41







42






43



44



41







42






43



44



42






43



44



43



44



44



Education

μαθηματικά τετράδια 1ο τεύχος