ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

vmarousis.blogspot.com Σελίδα 1

1o ΚΔΦΑΛΑΙΟ

ΜΗΧΑΝΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ

1. Ποξρδιξοίζξσμε ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ( Θ.Ι ) και ξοίζξσμε ςη θεςική τξοά. 2. Ποξρέυξσμε μα σπξλξγίρξσμε ρχρςά ςη ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ, αμ ασςή δεμ δίμεςαι

άμερα. πυ 1 : Η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι μηδεμίζεςαι κάθε 0,2 sec πξια είμαι η ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ; Απ: Η ςαυύςηςα μηδεμίζεςαι κάθε τξοά πξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη ποάγμα πξσ

ρσμβαίμει κάθε Τ/2 ( μιρή πεοίξδξ) , άοα .

Όμχπ

πυ 2: Τξ ρώμα πξσ ςαλαμςώμεςαι διέουεςαι από ςη Θ.Ι 40 τξοέπ κάθε δεσςεοόλεπςξ, πξια είμαι η ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ; Απ: Σε κάθε ςαλάμςχρη ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ 2 τξοέπ, άοα εκςελεί 20

ςαλαμςώρειπ κάθε δεσςεοόλεπςξ. Δπξμέμχπ

πυ 3: Η κιμηςική εμέογεια ( Κ ) γίμεςαι 3πλάρια ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ( U ), 80 τξοέπ κάθε δεσςεοόλεπςξ. Πξια είμαι η ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ; Κάθε πόρξ υοόμξ διέουεςαι ςξ ρώμα από ςη Θ.Ι ; Απ: H ρυέρη Κ = 3U ( θα μπξοξύρε μα είμαι Κ= 2U ή Κ= U ) 4 τξοέπ ρε κάθε πεοίξδξ άοα

ςξ ρώμα εκςελεί ςαλαμςώρειπ , επξμέμχπ

Τξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ κάθε

3. Δεμ ποέπει μα ρσγυέξσμε ρε μια ςαλάμςχρη ςημ απξμάκοσμρη, ςη μεςαςόπιρη και ςξ

διάρςημα. πυ : Τη υοξμική t1 ςξ ρώμα έυει απξμάκοσμρη x1=+0,1m εμώ ςη υοξμική ρςιγμή t2 έυει απξμάκοσμρη x2 = 0,2m επξμέμχπ η μεςαςόπιρη ςξσ κιμηςξύ είμαι Δx = 0,3m εμώ ςξ διάρςημα πξσ έυει διαμύρει είμαι S= 0,5m.

4. Η απξμάκοσμρη , η ςαυύςηςα , η επιςάυσμρη και η δύμαμη επαματξοάπ είμαι αλγεβοικά μεγέθη άοα ποέπει μα ποξρέυξσμε ςξ ποόρημό ςξσπ. Από ςιπ ενιρώρειπ ςηπ ςαλάμςχρηπ παοαςηοξύμε όςι: x = Αημχt , δηλαδή η απξμάκοσμρη έυει ςξ ποόρημξ ςξσ ημιςόμξσ, σ = σmax ρσμχt, δηλαδή η ςαυύςηςα έυει ςξ ποόρημξ ςξσ ρσμημίςξμξσ, α = αmax ημχt , F = Fmaxημχt, δηλαδή η επιςάυσμρη και η δύμαμη επαματξοάπ έυξσμ πάμςξςε αμςίθεςξ ποόρημξ από ςημ απξμάκοσμρη.

-x +x

0 +0,1 +0,2 -0,1 -0,2

-x

http://vmarousis.blogspot.com/



Άοα για μια ςαλάμςχρη έυξσμε: πυ: Όςαμ ςξ ρώμα πξσ ςαλαμςώμεςαι βοίρκεςαι ρςη θέρη x = +2 και καςεσθύμεςαι ποξπ ςξ +Α έυει θεςική ςαυύςηςα γιαςί ρσμτ>0, εμώ όςαμ βοίρκεςαι ρςη θέρη x = 1 και καςεσθύμεςαι ποξπ ςξ –Α έυει αομηςική ςαυύςηςα γιαςί ρσμτ<0 ● Όςαμ ςξ ρώμα εκςξνεύεςαι από ςη Θ.Ι ςξσ ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ εκςόνεσρηπ ιρξύςαι με ςημ σmax ςηπ ςαλάμςχρηπ. ● Όςαμ έμα ρώμα ατήμεςαι μα νεκιμήρει ςημ ςαλάμςχρη ςξσ από μια θέρη όπξσ η ςαυύςηςά ςξσ είμαι ίρη με μηδέμ ςόςε η θέρη ασςή είμαι μία από ςιπ ακοαίεπ θέρηπ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

5. Διατξοά τάρηπ μεςανύ x,σ, α Η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι x = Aημχt H ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ = σmaxρσμχt μπξοεί μα γοατεί σ = σmaxημ(χt+ ) . Δηλαδή η

ςαυύςηςα ποξηγείςαι ςηπ απξμάκοσμρηπ καςά rad.

H ενίρχρη ςηπ επιςάυσμρηπ α = αmaxημχt μπξοεί μα γοατεί α = αmaxημ(χt+π). Δηλαδή η επιςάυσμρη ποξηγείςαι ςηπ ςαυύςηςαπ καςά rad εμώ ποξηγείςαι ςηπ απξμάκοσμρηπ καςά π

rad.

6. Αμ γμχοίζξσμε μια από ςιπ υοξμικέπ ενιρώρειπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πχπ σπξλξγίζξσμε ςιπ άλλεπ.

Έρςχ δίμεςαι η ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ = 2 ρσμ( 10t + ) (S.I).

Από ςη θεχοία γμχοίζξσμε όςι ιρυύει σ = σmax ρσμ(χt+τ0). Η ρύγκοιρη ςχμ δσξ ενιρώρεχμ δίμει: σmax= 2m/s, χ = 10 rad/s.

Όμχπ ,

Άοα ξι σπόλξιπεπ ενιρώρειπ είμαι: x = 0,2ημ(10t + ) (S.I) και α = 20ημ(10t + ) (S.I)

7. Πχπ βοίρκξσμε ςη υοξμική ρςιγμή πξσ ρσμβαίμει κάςι για 1η ,2η,.. τξοά.

ΔΔΝ νευμάμε όςι 1η τξοά είμαι πάμςξςε η 1η θεςική ςιμή ςξσ υοόμξσ πξσ βοίρκξσμε λύμξμςαπ ςημ καςάλληλη ςοιγχμξμεςοική ενίρχρη.

πυ: Αμ έυξσμε ςημ ενίρχρη x = Aημ(10t+ ) και θέλξσμε μα βοξύμε πξια υοξμική ρςιγμή ςξ

ρώμα θα απξκςήρει για ςοίςη τξοά απξμάκοσμρη x= +A/2 ακξλξσθξύμε ςη διαδικαρία.

x = Aημ(10t+ )

-Α +Α




Άοα (1) ή (2)

Για κ=0 από ςημ (1) ποξκύπςει





Αμ μαπ εμδιατέοει και ςξ ποόρημξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςόςε ρςξ ποξηγξύμεμξ παοάδειγμα παοαςηοξύμε όςι:

για sec η ςαυύςηςα είμαι σ = σmax ρσμ(10t+ ) = σmaxρσμ(10 + ) σ = σmaxρσμ( ) >0

για sec η ςαυύςηςα είμαι σ = σmax ρσμ(10t+ ) = σmaxρσμ(10 + ) σ = σmaxρσμ( ) <0

Δηλαδή διέουεςαι από ςη θέρη x = +A/2 για δεύςεοη μεμ τξοά αλλά για ποώςη τξοά με αομηςική ςαυύςηςα.

8. Πχπ ποξρδιξοίζξσμε ςημ αουική τάρη μιαπ ςαλάμςχρηπ. Η αουική τάρη είμαι γχμία με ςιμέπ 0 Για μα ποξρδιξοίρξσμε ςημ αουική τάρη μιαπ ςαλάμςχρηπ έυξσμε πληοξτξοίεπ για ςη θέρη και ςημ ςαυύςηςα ςη υοξμική ρςιγμή t = 0. Από ςιπ πληοξτξοίεπ ασςέπ βοίρκξσμε ςξ ποόρημξ ςξσ ημιςόμξσ και ςξσ ρσμημίςξμξσ για μα καςαλάβξσμε ρε πξιξ ςεςαοςημόοιξ βοίρκεςαι η αουική τάρη. πυ. Έμα ρώμα πξσ εκςελεί α.α.ς πλάςξσπ Α = 0,4m ςη υοξμική ρςιγμή t = 0 διέουεςαι από ςη θέρη x = 0,2m και ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ μειώμεςαι. Πξια είμαι η αουική ςξσ τάρη; Απ: Από ςημ ενίρχρη x= Αημ(χt + τξ) και ςα δεδξμέμα ποξκύπςει

-0,2 = 0,4ημτξ άοα (1) ή (2)

● από ςημ (1) για κ=0 ποξκύπςει και από ςημ ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ

σ = σmax ρσμ(χt + τξ) για t = 0 ποξκύπςει σ = σmaxρσμ < 0 (3)

● από ςημ (2) για κ = 1 ( ςξ κ = 0 δίμει t <0 απξοοίπςεςαι) ποξκύπςει και από

ςημ ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ = σmaxρσμ > 0 (4)

Από ςα δεδξμέμα παοαςηοξύμε όςι η ςαυύςηςα είμαι αομηςική άοα δεκςή η (3) δηλαδή

.

7π/6

τ0

σ




9. Η εμέογεια πξσ ποξρτέοξσμε για μα διεγείοξσμε έμα ρύρςημα πξσ ηοεμεί ώρςε μα εκςελέρει ΑΑΤ είμαι ίρη με ςημ ξλική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ και είμαι ίρη με ςξ έογξ ςηπ ενχςεοικήπ δύμαμηπ πξσ διεγείοει ςξ ρύρςημα ώρςε μα εκςελέρει ΑΑΤ. Δηλαδή:

10. Τξ πλάςξπ μιαπ ςαλάμςχρηπ μπξοεί μα σπξλξγιρςεί αμ:

Α) Γμχοίζξσμε διάτξοα μεγέθη με βάρη ςα δεδξμέμα πυ. Αμ δίμεςαι η ενίρχρη ςηπ επιςάυσμρηπ α = - 8ημ(2t + π/2). Σσγκοίμξμςαπ ςημ ενίρχρη με ςημ α = -αmaxημ(χt+τ0) έυξσμε : χ = 2 rad/s , αmax= 8 ⇒ χ2∙Α = 8 ⇒ Α = 2m. Β) Μαπ δίμεςαι όςι εκςοέπξσμε ςξ ρώμα από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ (πυ καςά 10cm) και ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ ςόςε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι Α=10 cm. Γ) Μαπ δίμεςαι όςι ξι δύξ ακοαίεπ θέρειπ ςηπ ςαλάμςχρηπ απέυξσμ πυ d = 20cm ςόςε d = 2A άοα Α = 10cm. Δ) Γμχοίζξσμε ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκξύμε ώρςε από ςημ ηοεμία μα διεγείοξσμε ςξ ρώμα για μα κάμει α.α.ς ( δηλαδή γμχοίζξσμε ςημ ξλική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ) ςόςε:

ΠΡΟΣΟΧΗ: E) Γμχοίζξσμε για κάπξια απξμάκοσμρη x ςημ ςαυύςηςα σ πξσ έυει , ξπόςε εταομόζξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ (Α.Δ.Δ.Ταλ)

11. Η Α.Δ.Δ.Τ. και η ρυέρη Δταομόζξμςαπ ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ (Α.Δ.Δ.Τ) και υοηριμξπξιώμςαπ ςη ρυέρη D= mχ2 ποξκύπςει:

Δηλαδή ποξκύπςει μια ρυέρη πξσ ρσμδέει ςα μεγέθη x, σ, Α, χ , αμ γμχοίζξσμε ξπξιαδήπξςε ςοία από ασςά μπξοξύμε μα βοξύμε ςξ ςέςαοςξ. Δπίρηπ αμ λύρξσμε ςημ (1) χπ ποξπ σ έυξσμε:

. Τξ διπλό ποόρημξ ( μαπ δείυμει όςι από κάθε θέρη ςξ σλικό ρημείξ διέουεςαι δύξ τξοέπ ρςη διάοκεια μιαπ πεοιόδξσ, με ςαυύςηςεπ ίρξσ μέςοξσ αλλά μια τξοά κιμξύμεμξ ποξπ ςα θεςικά ςξσ άνξμα και ςημ άλλη ποξπ ςα αομηςικά.

12. Πχπ σπξλξγίζξσμε ρε πξια θέρη ή πξια υοξμική ρςιγμή ιρυύει μια δεδξμέμη ρυέρη μεςανύ ςηπ κιμηςικήπ και ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ. πυ1. Έμα ρώμα κάμει α.α.ς, ρε πξιέπ θέρειπ ιρυύει Κ = 3U ; Από ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ

πυ2. Έμα ρώμα κάμει α.α.ς (υχοίπ αουική τάρη) , για πξιεπ υοξμικέπ ρςιγμέπ ιρυύει Κ=3U;

Ατξύ καςαλήνξσμε ρςημ ποξηγξύμεμη ρυέρη ακξλξσθξύμε ςημ ενήπ διαδικαρία:

Σςημ ενίρχρη x = Aημχt θέςξσμε όπξσ x μια τξοά ςξ και μια τξοά ςξ




● ξπόςε

►

►

● ξπόςε

►

►

13. Η δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ και η κιμηςική εμέογεια ςξσ ρώμαςξπ μεγιρςξπξιξύμςαι

ή μηδεμίζξμςαι κάθε μιρή πεοίξδξ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Δπξμέμχπ η πεοίξδξπ μεγιρςξπξίηρηπ

ή μηδεμιρμξύ ςξσπ ιρξύςαι με , ξπόςε η αμςίρςξιυη ρσυμόςηςα είμαι:

14. Δπειδή είμαι , όςαμ έμα ρώμα βοίρκεςαι ρε δύξ ρσμμεςοικέπ θέρειπ +x

και –x , χπ ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, θα έυει ίρεπ ςαυύςηςεπ, καςά μέςοξ όπχπ ποξκύπςει

από ςη ρυέρη (ιρυύει και ςξ αμςίρςοξτξ). Δπίρηπ ρςιπ θέρειπ ασςέπ θα έυει

ίρεπ κιμηςικέπ και ίρεπ δσμαμικέπ εμέογειεπ ςαλάμςχρηπ.

Για ςιπ ρσμμεςοικέπ θέρειπ (1) και (2) ιρυύει: και Κ1 = Κ2 , U1 = U2 ,

F1 = F2 , α1 = α2 , σ1 = σ2 καςά μέςοξ.

-x= - d/2 +x = + d/2 Θ.Ι.

σ1

F1 α1 F2 α2

σ2

θέρη 1 θέρη 2

-Α +Α

d




15. ΔΛΑΤΗΡΙΑ

Φσρικό μήκξπ είμαι ςξ μήκξπ πξσ έυει ςξ ελαςήοιξ όςαμ δεμ αρκείςαι πάμχ ςξσ καμιά δύμαμη. Τξ τσρικό μήκξπ είμαι ςξ ίδιξ είςε ςξ ελαςήοιξ είμαι ξοιζόμςιξ είςε καςακόοστξ γιαςί θεχοξύμε ςα ελαςήοια αβαοή. Σςξ ξοιζόμςιξ ελαςήοιξ η θέρη τσρικξύ μήκξσπ και η θέρη ιρξοοξπίαπ ςασςίζξμςαι. Σςαθεοά ελαρςικόςηςαπ ελαςηοίξσ ( k ) είμαι μέγεθξπ υαοακςηοιρςικό για κάθε ελαςήοιξ , με μξμάδα μέςοηρηπ ςξ 1Ν/m.

Νόμξπ ςξσ Hooke : Fελ= k ∙ Δ ( δύμαμη παοαμξοτωμέμξσ ελαςηοίξσ) ● Υπξλξγίζξσμε ςη δύμαμη πξσ αρκεί κάθε παοαμξοτχμέμξ ελαςήοιξ ρε κάθε ρώμα πξσ βοίρκεςαι ρε επατή με ασςό και είμαι αμάλξγη ςηπ παοαμόοτχρηπ Δ δηλαδή ςηπ απόρςαρηπ από ςξ τσρικό μήκξπ. ● Η Fελ έυει πάμςξςε τξοά ποξπ ςξ τσρικό μήκξπ. ● Σςη θέρη ιρξοοξπίαπ ρςξ καςακόοστξ ελαςήοιξ ιρυύει ΣF = 0 ⇒ w = Fελ ● Σε μια ςσυαία θέρη η δύμαμη επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι : ΣF = w F’ελ ● Για ςημ δύμαμη επαματξοάπ ιρυύει ΣF= D∙ x, όπξσ x η απξμάκοσμρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ. ● Η δύμαμη επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ έυει πάμςξςε τξοά ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. ● Σςιπ πεοιπςώρειπ πξσ η ςαλάμςχρη γίμεςαι ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ ςόςε η αλλαγή ςξσ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι (λόγχ πλαρςικήπ κοξύρηπ ή διάρπαρηπ) δεμ επηοεάζει ςη Θ.Ι. αμ όμχπ η ςαλάμςχρη γίμεςαι ρε καςακόοστό ή κεκλιμέμξ επίπεδξ η αλλαγή ςξσ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι ρημαίμει και αλλαγή ςηπ Θ.Ι

● Η δσμαμική εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ εναοςάςαι από ςημ παοαμόοτχρη

● Η δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ εναοςάςαι από ςημ απξμάκοσμρη

● Τξ έογξ ςηπ δύμαμηπ ελαςηοίξσ ιρξύςαι με : =

● Τξ έογξ ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ σπξλξγίζεςαι από ςη ρυέρη : =

ατξύ είμαι ρσμςηοηςική δύμαμη όπχπ και η δύμαμη ςξσ ελαςηοίξσ, ή με ςξ Θ.Μ.Κ.Δ. = ατξύ η δύμαμη επαματξοάπ είμαι η ρσμιρςαμέμη ςχμ

δσμάμεχμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ςαλαμςεσόμεμξ ρώμα ( ).

Οοιζόμςιξ ελαςήοιξ

Καςακόοστξ ελαςήοιξ

(Συ. 3 )

(Συ. 4)

Θέρη τσρικξύ μήκξσπ Θέρη ιρξοοξπίαπ Τσυαία θέρη

w

Δ

Φσρικό μήκξπ

x=Δ k

Fελ = Fεπαμ

w

Fελ F’ελ Δ

x

(Συ. 1)

(Συ. 2)




16. Πχπ απξδεικμύξσμε όςι έμα ρώμα εκςελεί α.α.ς και σπξλξγίζξσμε ςημ ρςαθεοά D ςηπ

ςαλάμςχρηπ.

Βήμα 1 : Συεδιάζξσμε όλεπ ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα ρςη Θ.Ι. και εταομόζξσμε ςη ρυέρη ΣF = 0 .

Βήμα 2 : Συεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ ρε μια ςσυαία θέρη με απξμάκοσμρη x καθώπ ςξ ρώμα ςαλαμςώμεςαι, και σπξλξγίζξσμε ςημ ρσμιρςαμέμη (ΣF) ςχμ δσμάμεχμ ρςξμ άνξμα ςηπ ςαλάμςχρηπ, παίομξμςαπ χπ θεςική τξοά ςη τξοά ςηπ ςσυαίαπ απξμάκοσμρηπ. Βήμα 3 : Μεςαρυημαςίζξσμε ςημ ΣF, ώρςε μα πάοει ςη μξοτή: ΣF = Dx όπξσ D μια παοάρςαρη πξσ πεοιέυει μόμξ ρςαθεοά μεγέθη.

Βήμα 4 : Αμςικαθιρςξύμε ςξ D πξσ βοήκαμε ρςξ ποξηγξύμεμξ βήμα ρςη ρυέρη

και σπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

Παοαδείγμαςα: Α) Σςημ πεοίπςχρη ςξσ ξοιζξμςίξσ ελαςηοίξσ (Συ. 2) ιρυύει: ΣF = Fελ = k ∙ Δx ( 1). Έμα ρώμα εκςελεί α.α.ς όςαμ ΣF = D∙ x ( 2) . Από ςιπ ρυέρειπ ( 1) και ( 2) ποξκύπςει D = k B) Σςημ πεοίπςχρη καςακόοστξσ ελαςηοίξσ : Σςξ (Συ. 3) έυξσμε ιρξοοξπία άοα ιρυύει ΣF = 0 ⇒ w = Fελ ⇒ w = k ∙ Δ (3) Σςξ ( Συ. 4) για ςημ ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ ιρυύει:

ΣF = w F’ελ ⇒ ΣF = w k(Δ ⇒ ΣF = w kΔ ΣF = k∙ x (4) Έμα ρώμα εκςελεί α.α.ς όςαμ ΣF = D∙ x (2) . Από ςιπ ρυέρειπ (4) και (2) ποξκύπςει D = k




17. Χαοακςηοιρςικέπ θέρειπ ςηπ ΑΑΤ

18. Σςη διάοκεια μίαπ πεοιόδξσ ιρυύξσμ ςα παοακάςχ:

Τξ ρώμα διαμύει απόρςαρη 4Α, όπξσ Α ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Η μεςαςόπιρη είμαι μηδέμ, γιαςί η αουική και η ςελική θέρη είμαι ίδιεπ. Τξ έογξ ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ είμαι μηδέμ, γιαςί η δύμαμη επαματξοάπ είμαι ρσμςηοηςική δύμαμη. Η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ είμαι μηδέμ, γιαςί η αουική και η ςελική ςαυύςηςα είμαι ίρεπ. Σε δύξ υοξμικέπ ρςιγμέπ ςξ μέςοξ ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι ίρξ με Α (ρςιπ ακοαίεπ θέρειπ), ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ είμαι μέγιρςξ (ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ), και ςξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρηπ μέγιρςξ (ρςιπ ακοαίεπ θέρειπ). Η ρυέρη Κ = λU, όπξσ Κ η κιμηςική εμέογεια, U η δσμαμική εμέογεια και λ θεςικόπ οηςόπ αοιθμόπ με λ 0, ιρυύει ρε δύξ θέρειπ πξσ αμςιρςξιυξύμ ρε ςέρρεοιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ. Δύξ τξοέπ η δσμαμική εμέογεια (ρςιπ ακοαίεπ θέρειπ) και η κιμηςική εμέογεια (ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ) γίμξμςαι μέγιρςεπ και ίρεπ με ςημ εμέογεια ςαλάμςχρηπ.

υ < 0

υ > 0

-A +A 0

+Α -Α ΘΙ

χ´ χ

χ = -Α

υ = 0

α = +αmax

F = +Fmax

K = 0

U = Umax

χ = +Α

υ = 0

α = -αmax

F = -Fmax

K = 0

U = Umax

χ = 0

υ = υmax

α = 0

F = 0

K = Kmax

U = 0

α > 0, F>0 α < 0, F< 0

ΘΦΜ




19. Βαρικά βήμαςα ρςιπ αρκήρειπ ςχμ μηυαμικώμ ςαλαμςώρεχμ.

a. Συεδιάζξσμε όλα ςα ρυήμαςα και όλεπ ςιπ δσμάμειπ. b. Συεδιάζξσμε όλεπ ςιπ θέρειπ ιρξοοξπίαπ και εταομόζξσμε ρσμθήκεπ ιρξοοξπίαπ. c. Δλέγυξσμε από πξια θέρη νεκιμάει ςξ ρώμα ςημ ςαλάμςχρη,

i) Για μα είμαι θέρη ιρξοοξπίαπ, ποέπει ΣF = 0. ii) Για μα είμαι θέρη μέγιρςηπ απξμάκοσμρηπ, ποέπει σ=0.

iii) Για μα είμαι ςσυαία θέρη, ποέπει ςξ ρώμα μα απέυει x από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ

και μα έυει ςαυύςηςα σ 0.

d. Δταομόζξσμε ΑΔΔΤ και βοίρκξσμε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ: e. Βοίρκξσμε ςημ αουική τάρη, ελέγυξμςαπ ςα ποόρημα ςηπ απξμάκοσμρηπ x και ςηπ

ςαυύςηςαπ σ. f. Γοάτξσμε ςιπ ρυέρειπ x = Αημ(χt+τ0) , σ = χΑρσμ(χt+τ0), α = χ2Αημ(χt+τ0)

20. Πώπ ποξρδιξοίζξσμε ςιπ ενιρώρειπ μεςαβληςώμ δσμάμεχμ ρε ρώμα πξσ εκςελεί α.α.ς.;

Όςαμ θέλξσμε μα βοξύμε ςημ ςιμή μιαπ από ςιπ δσμάμειπ πξσ εμεογξύμ ρε έμα ςαλαμςξύμεμξ ρώμα και μα γοάφξσμε ςημ ενίρχρη ςηπ ρε ρσμάοςηρη με ςημ απξμάκοσμρη ή με ςξ υοόμξ, θεχοξύμε πάμςα μια ςσυαία θέρη καςά ςη θεςική τξοά ςηπ ςαλάμςχρηπ και εταομόζξσμε για ςξ ρώμα ςξ θεμελιώδη μόμξ: ΣF = mα, άοα ΣF = mχ2x

Παοάδειγμα:

Έμα ρώμα μάζαπ m = 3 kg εκςελεί αομξμική ςαλάμςχρη πλάςξσπ Α= 0,4m δεμέμξ ρςξ καςώςεοξ

άκοξ εμόπ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k = 150 N/m. Να βοεθεί η ενίρχρη ςηπ δύμαμηπ ςξσ ελαςηοίξσ

ρσμαοςήρει ςηπ απξμάκοσμρηπ ςηπ ςαλάμςχρηπ θεχοώμςαπ θεςική ςη τξοά ποξπ ςα κάςχ.

Η αουική παοαμόοτχρη ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ βοίρκεςαι από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ:

Fελξ=w ⇒ kx0 = mg, ξπόςε x0= mg/k = 0,2m

Σςημ ςσυαία θέρη απξμάκοσμρηπ x, ςξ ρώμα ςξσ

ρυήμαςξπ δέυεςαι ςξ βάοξπ ςξσ w και ςη δύμαμη ςξσ

ελαςηοίξσ Fελ. Ο θεμελιώδηπ μόμξπ ςξσ Newton θα

γοατεί με ςη μξοτή:

Fελ + w = mα ή Fελ+w = mχ2x ή Fελ = mχ2x w

Δπειδή η ρςαθεοά επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ

ρώμαςξπ είμαι D = k = mχ2, η ςελεσςαία ρυέρη

γοάτεςαι χπ ενήπ:

Fελ = kx , δηλαδή : Fελ = 150x 30 (S.I.).

Η ρυέρη μάπ δίμει ςημ αλγεβοική ςιμή ςηπ δύμαμηπ

ςξσ ελαςηοίξσ ρε ρσμάοςηρη με ςημ απξμάκοσμρη x.

ΘΦΜ

ΘΙ

ΤΘ

x0

x

W

W

Fελ0

Fελ




21.

Όςαμ δύξ ρώμαςα πξσ βοίρκξμςαι ρε επατή κάμξσμ κξιμή α.α.ς ςόςε έυξσμ ςημ ίδια κσκλική ρσυμόςηςα χ = χ1= χ2. Κάθε ρώμα έυει ςημ δική ςξσ ρςαθεοά ςαλάμςχρηπ D1 = m1 ∙ χ

2 και D2 = m2 ∙ χ2, εμώ για ςξ

ρύρςημα ιρυύει D = (m1+ m2) ∙ χ2. Άοα D = D1+D2

22.

Όςαμ μαπ δίμξσμ γοατικέπ παοαρςάρειπ μπξοξύμε μα βγάλξσμε διάτξοα ρσμπεοάρμαςα. Από ςημ παοαπάμχ γοατική παοάρςαρη ποξκύπςξσμ ςα ενήπ: ● A1= 2A2 ● T1 = 2T2

Δπειδή ιρυύει ποξκύπςει όςι χ2 = 2χ1

● Για ςιπ ςαυύςηςεπ ςαλάμςχρηπ ιρυύει:

=

● Για ςιπ επιςαυύμρειπ ιρυύει:

● Η αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ με ςξ μεγαλύςεοξ πλάςξπ είμαι:

εμώ ςηπ ςαλάμςχρηπ με ςξ μικοόςεοξ πλάςξπ είμαι :

23. Κοξύρη και ςαλάμςωρη Σε όλα ςα είδη ςχμ κοξύρεχμ ( ελαρςικέπ και αμελαρςικέπ ) ιρυύει η αουή διαςήοηρη ςηπ ξομήπ ( Α.Δ.Ο).

m1

m2

Κ

A1

A2

t

x




● Σε μια μεςχπική κοξύρη εταομόζξμε ςημ Α.Δ.Ο ατξύ ποώςα ξοίρξσμε ςημ θεςική τξοά.

ποιμ ςημ κοξύρη μεςά ςημ κοξύρη

ή ή με βάρη ςη

θεςική τξοά πξσ ξοίραμε : ● Σε μια κεμςοική πλαρςική κοξύρη όςαμ εταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο έυξσμε:

ποιμ ςημ κοξύρη μεςά ςημ κοξύρη

ή ή

ή

● Σε πλάγια πλαρςική κοξύρη όςαμ εταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο έυξσμε: ποιμ ςημ κοξύρη

ή ή

ή

σ2

σ1

τ σκ

m2

m1

μεςά ςημ κοξύρη

(+)

m1 m2 m1 m2

σ1 σ2 σ’1 σ’2 (+)

m1 m2

σ1 σ2 σκ (+)




● Πλαρςική κοξύρη με ξοιζόμςιξ ελαςήοιξ

► Η Θ.Φ.Μ είμαι και Θ.Ι και δεμ αλλάζξσμ ποιμ και μεςά ςημ κοξύρη. ► H πλαρςική κοξύρη έυει ραμ απξςέλερμα ςημ αλλαγή ςηπ ςαυύςηςαπ ςαλάμςχρηπ και σπξλξγίζεςε αμ εταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο :

ή

ή

ή

► Η πλαρςική κοξύρη έυει ραμ απξςέλερμα ςημ αλλαγή ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πξσ σπξλξγίζεςε εταομόζξμςαπ ςημ Α.Δ.Δ για ςημ μέα ςαλάμςχρη.

► Η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ m1 ποιμ ςημ κοξύρη είμαι

Η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ μεςά ςημ κοξύρη είμαι

● Πλαρςική κοξύρη με καςακόοστξ ελαςήοιξ.

( Ι ) ( ΙΙ ) ( ΙΙΙ ) ( ΙV )

Θ.Φ.Μ Αρχική Θ.Ι Τελική Θ.Ι

► Αλλάζει η Θ.Ι λόγχ αύνηρηπ ςξσ βάοξσπ. ► Σςξ παοαπάμχ ρυήμα ρςημ Αουική Θ.Ι ( ρυ. ΙΙ ) ιρυύει: ΣF= 0 ⇒ Μg = k∙Δℓ Σςημ Τελική Θ.Ι ιρυύει: ΣF = 0 ⇒ (Μ+m)g = k(Δℓ+x) ► Αλλάζει ςξ πλάςξπ ςηπ αουικήπ ςαλάμςχρηπ και η πεοίξδξπ ςηπ μέαπ ςαλάμςχρηπ.

σ2 σ1

σκ

Θ.Φ.Μ & Θ.Ι

(+)

Δℓ

m

σ

Μ σκ x




24. Η κίμηρη εμόπ ρώμαςξπ πξσ βοίρκεςαι πάμχ ρε ςαλαμςξύμεμη βάρη (Χάριμξ επατήπ)

Όςαμ έμα ρώμα μάζαπ m1 εκςελεί Α.Α.Τ. ρςηοιζόμεμξ πάμχ ρε μια επίρηπ ςαλαμςξύμεμη

βάρη μάζαπ m2 και ζηςείςαι μα ποξρδιξοιρςεί κάπξιξ μέγεθξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, ώρςε μα

υάμεςαι ή μα μη υάμεςαι η επατή ςξσπ, ςόςε :

α) Συεδιάζξσμε ςξ ρύρςημα ρε μια ςσυαία θέρη ςξσ, ρςξ θεςικό ημιάνξμα.

β) Σημειώμξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα m1.

γ) Γοάτξσμε για ςξ ρώμα ςη ρσμθήκη ςηπ Α.Α.Τ. : Fεπ = -D1x ή Fεπ = - m1χ2 x (1)

Όςαμ η ςαλάμςχρη ςξσ ρσρςήμαςξπ γίμεςαι ρε καςακόοστη διεύθσμρη, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα, ςόςε η ρυέρη (1) γίμεςαι: Fεπ = m1χ

2 x ή Ν m1g = m1χ2 x

Για x = Α η (2) γίμεςαι: Νmax = m1(g + χ2Α) μέγιρςη ςιμή ςηπ δύμαμηπ Ν. Για x = + Α η (2) γίμεςαι: Νmin = m1(g ω2Α) (3) ελάυιρςη ςιμή ςηπ δύμαμηπ Ν.

Όςαμ ζηςείςαι μα μη υάμεςαι (ξοιακά) η επατή μεςανύ ςχμ δύξ ρχμάςχμ, ςόςε παίομξσμε ςη ρσμθήκη: Νmin 0

ή λόγχ ςηπ (3), m1(g χ2Α) 0 ή g ω2Α και έςρι σπξλξγίζξσμε ςημ ξοιακή ςιμή κάπξιξσ

από ςα μεγέθη ω, Τ, f ή Α πξσ πεοιέυξμςαι ρςη ρυέρη ασςή.

25. Ρσθμξί μεςαβξλήπ ρςημ ΑΑΤ

α) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ςαυύςηςαπ: ή όπξσ α η

ρςιγμιαία επιςάυσμρη ςξσ ρώμαςξπ.

β) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ: ή όπξσ ΣF η δύμαμη

επαματξοάπ. γ) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ή ιρυύπ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ δύμαμηπ:

δ) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ:

άοα

N = m1(g χ2x) (2)

N

m1

m2

m1g

g ΘΙ x

+Α




ΗΛΔΚΤΡΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ

1. Έμαπ πσκμχςήπ διαοοέεςαι από οεύμα μόμξ για όρξ υοξμικό διάρςημα τξοςίζεςαι ή εκτξοςίζεςαι. Αμ ςξ κύκλχμα βοίρκεςαι ρε ρςαθεοή καςάρςαρη ξ πσκμχςήπ δεμ επιςοέπει ςξμ κλάδξ πξσ βοίρκεςαι μα διαοοέεςαι από οεύμα , δηλαδή λειςξσογεί ραμ αμξικςόπ διακόπςηπ.

2. Έμα ιδαμικό πημίξ ( δηλαδή πημίξ υχοίπ χμική αμςίρςαρη ) εμταμίζει ςάρη ρςα άκοα ςξσ μόμξ όρξ υοξμικό διάρςημα διαοοέεςαι από οεύμα πξσ μεςαβάλλεςαι. Όςαμ ςξ πημίξ διαοοέεςαι από οεύμα ρςαθεοήπ έμςαρηπ έυει μηδεμική ςάρη ρςα άκοα ςξσ.

3. Χοξμικέπ ενιρώρειπ τξοςίξσ – έμςαρηπ. Α)

Σςξ παοαπάμχ κύκλχμα ξ μεςαγχγόπ αουικά ςη υοξμική ρςιγμή t= 0 βοίρκεςαι ρςη θέρη (1) . Η ςάρη ςξσ πσκμχςή είμαι Vmax= E , ςξ τξοςίξ ςξσ μέγιρςξ ίρξ με Q και όπχπ είπαμε ςξ κύκλχμα δεμ διαοοέεςαι από οεύμα. Ακαοιαία ξ μεςαγχγόπ μεςατέοεςαι ρςη θέρη (2) ξπόςε αουίζει ξ πσκμχςήπ μα εκτξοςίζεςαι μέρχ ςξσ πημίξσ και νεκιμά η ηλεκςοική ςαλάμςχρη με αουικέπ ςιμέπ για ςξ τξοςίξ και ςξ οεύμα q= Q και i = 0 αμςίρςξιυα. Για ςημ ςαλάμςχρη ασςή ιρυύξσμ ξι υοξμικέπ ενιρώρειπ q = Qρσμ(ωt) για ςξ τξοςίξ και I = Iημ(ωt) για ςξ οεύμα. Όπξσ Ι = ωQ Β)

L C

E,r L

(1) (2)

Q

--------

++++++

(2)

----- C

++++ Q

E,r L

(1)

i

i

E,r E,r

L L C C

Ι Ι

Ι Ι

i i

i i

_ _ _

+ + +




Σςξ παοαπάμχ κύκλχμα όρξ ξ διακόπςηπ είμαι κλειρςόπ ςξ κύκλχμα διαοοέεςαι από

ρςαθεοό οεύμα . Δπειδή ςξ οεύμα είμαι ρςαθεοό η ςάρη ςξσ πημίξσ είμαι μηδέμ άοα και

ςξσ πσκμχςή. Δπξμέμχπ ξ πσκμχςήπ είμαι ατόοςιρςξπ. Μόλιπ αμξίνξσμε ςξμ διακόπςη ςξ οεύμα ρςξ πημίξ μειώμεςαι αλλά λόγχ ασςεπαγχγήπ δεμ μηδεμίζεςαι ακαοιαία με απξςέλερμα μα τξοςίζει ςξμ πσκμχςή. Με βάρη ςη τξοά ςξσ οεύμαςξπ θεςικά τξοςίζεςαι ξ κάςχ ξπλιρμόπ. Η Ηλεκςοική ςαλάμςχρη ασςή θεχοείςαι ηλεκςοική ςαλάμςχρη με αουική τάρη ρε ρυέρη με ςημ πεοίπςχρη (Α) γιαςί: Για t = 0 ,I = +I, q = 0

I = -I ημ(χt+τξ) I = -I ημτξ ⇒ ημτξ= -1 ⇒ ημτξ= ημ ⇒ τξ= rad

Δπξμέμχπ ξι ενιρώρειπ για ςξ τξοςίξ και ςξ οεύμα είμαι:

και

) Αουική τάρη έυξσμε και ρςημ πεοίπςχρη πξσ ςη ρςιγμή t=0 έυει τξοςίξ ξ πσκμχςήπ και ρσγυοόμχπ διαοοέεςαι ςξ πημίξ από οεύμα, ξπόςε ιρυύξσμ ξι ενιρώρειπ:

και ΠΡΟΣΟΧΗ: ● Αμ καςά ςημ διάοκεια μιαπ λύρηπ ποξκύπςει θεςικό τξοςίξ ασςό ρημαίμει όςι εκείμη ςη ρςιγμή είμαι θεςικά τξοςιρμέμξπ ξ ξπλιρμόπ ςξσ πσκμχςή πξσ ςη ρςιγμή t=0 είυε θεςικό τξοςίξ. ● Η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ θεχοείςαι θεςική αμ ςξ οεύμα έυει τξοά ποξπ ςξμ ξπλιρμό πξσ ςη ρςιγμή t = 0 ήςαμ θεςικά τξοςιρμέμξπ. ● Ρεύμα πξσ η έμςαρη ςξσ ασνάμεςαι κας’ απόλσςη ςιμή, καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ αομηςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχςή εμώ οεύμα πξσ η έμςαρή ςξσ μειώμεςαι κας’ απόλσςη ςιμή καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ θεςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχςή. ● Δπειδή ςξ πημίξ ρε κύκλχμα LC είμαι ιδαμικό και έυει κξιμά άκοα με ςξμ πσκμχςή, η Η.Δ.Δ από ασςεπαγχγή πξσ αμαπςύρρεςαι ρςξ πημίξ είμαι ίρη κάθε ρςιγμή με ςημ ςάρη ρςα

άκοα ςξσ πσκμχςή.

4. Μπξοξύμε μα βοξύμε μια ρυέρη πξσ ρσμδέει ςα μεγέθη q,i,Q,I,χ εταομόζξμςαπ ςημ Α.Δ.Δ.

Ταλάμςχρηπ.

Από ςη ρυέρη (1) ⇒

Με αμάλξγη διαδικαρία ποξκύπςει:

5. Πχπ σπξλξγίζξσμε για πξια ςιμή ςξσ τξοςίξσ q ή πξιεπ υοξμικέπ ρςιγμέπ ιρυύει μια ρυέρη μεςανύ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή UE και ςηπ εμέογειαπ ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ UB. πυ για πξια ςιμή ςξσ τξοςίξσ ςξσ πσκμχςή ιρυύει UE= 3UB (1) αμ είμαι γμχρςό ςξ μέγιρςξ τξοςίξ Q ςξσ πσκμχςή. Δταομόζξμςαπ ςημ Α.Δ.Δ ςηπ ςαλάμςχρηπ έυξσμε:




(2)

Αμ θέλξσμε μα βοξύμε ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ πξσ ιρυύει η ρυέρη (2) ςόςε υοηριμξπξιξύμε ςη ρυέρη q= Q∙ ρσμ(ωt) η ξπξία ρε ρσμδσαρμό με ςη ρυέρη (2) γοάτεςαι:

●

Οπότε προκύπτουν οι λύςεισ: ,

●

οπότε προκύπτουν οι λύςεισ: ,

ΠΡΟΣΟΧΗ: Αμ ζηςείςαι ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή ή η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ κάπξια υοξμική ρςιγμή ςόςε: ● αμ δίμεςαι η υοξμική ρςιγμή , υοηριμξπξιξύμε ςιπ υοξμικέπ ενιρώρειπ ● αμ δεμ ποξρδιξοίζεςαι η υοξμική ρςιγμή, υοηριμξπξιξύμε ρσμήθχπ ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

6. Η υοξμική διάοκεια μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μεγιρςξπξιήρεχμ ή μηδεμιρμώμ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή ή ςηπ εμέογειαπ ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ

ιρξύςαι με .

7. Ρσθμξί μεςαβξλήπ

α) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςξσ τξοςίξσ:

β) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ςάρηπ:

ή ή

γ) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ και ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή:

UE + UB = ρςαθ. ή

όμχπ άοα λόγχ ςηπ (1)

δ) Ρσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ:

VL = VC ή ή όμχπ ξπόςε

8. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η τξοά ςηπ έμςαρηπ ςξσ ηλεκςοικξύ οεύμαςξπ (i) είμαι η ρσμβαςική τξοά δηλαδή θεχοξύμε όςι έυξσμε μεςακίμηρη θεςικώμ ηλεκςοικώμ τξοςίχμ. Οπόςε: Αμ η i έυει




τξοά από ςξμ θεςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχςή ποξπ ςξμ αομηςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχςή , ξ πσκμχςήπ εκτξοςίζεςαι εμώ ρςημ αμςίθεςη πεοίπςχρη τξοςίζεςαι.

ΦΘΙΝΟΥΣΔΣ ΜΗΧΑΝΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ

● Φθίμξσρεπ ςαλαμςώρειπ ξμξμάζξμςαι ξι ςαλαμςώρειπ ρςιπ ξπξίεπ, λόγχ ςχμ ενχςεοικώμ δσμάμεχμ πξσ αμςιςίθεμςαι ρςημ κίμηρη, έυξσμε μείχρη ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, ξπόςε μειώμεςαι και ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ και ςελικά μηδεμίζεςαι. ● Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςωρηπ μειώμεςαι εκθεςικά με ςξμ υοόμξ:

(1) όπξσ

● Τξ πηλίκξ ςωμ διαδξυικώμ μέγιρςωμ απξμακούμρεωμ ποξπ ςημ ίδια καςεύθσμρη παοαμέμει ρςαθεοό.

Ποξκύπςει από ςημ (1) για t = ΝT και για t’ = (N+1)T όπξσ Ν = 0, 1, 2, … :

● Η εμέογεια ςηπ ςαλάμςωρηπ μειώμεςαι εκθεςικά με ςξμ υοόμξ:

● Χοόμξπ σπξδιπλαριαρμξύ ή ημιζωήπ (ς) είμαι ςξ υοξμικό διάρςημα πξσ απαιςείςαι έςρι ώρςε έμα μέγεθξπ πξσ μειώμεςαι εκθεςικά με ςξ υοόμξ μα απξκςήρει ςξ μιρό ςηπ αουικήπ ςξσ ςιμήπ.

1. Σε κάθε τθίμξσρα ςαλάμςχρη με δύμαμη απόρβερηπ ςηπ μξοτήπ F = - bσ, ςξ πξρξρςό μείχρηπ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ και ςξ πξρξρςό μείχρηπ ςηπ εμέογειαπ ςαλάμςχρηπ αμά πεοίξδξ είμαι ρςαθεοό. Έρςχ όςι ςξ πλάςξπ μιαπ τθίμξσραπ ςαλάμςχρηπ μεςά από Ν ςαλαμςώρειπ είμαι ΑΝ εμώ μεςά από Ν+1 ςαλαμςώρειπ είμαι ΑΝ+1. Τξ πξρξρςό μείχρηπ ςξσ πλάςξσπ είμαι:

Από ςημ θεχοία όμχπ γμχοίζξσμε όςι , άοα και ςξ πξρξρςό είμαι ρςαθεοό.

(-)

(+)

C L i

τόοςιρη

(-)

(+)

i L C

εκτόοςιρη




Αμάλξγη απόδεινη ιρυύει και για ςημ εμέογεια ατξύ .

πυ: Καςά ςη διάοκεια ςηπ ποώςηπ πεοιόδξσ μιαπ τθίμξσραπ ςαλάμςχρηπ ςξ πλάςξπ μειώμεςαι καςά 20%. Αμ είμαι γμχρςό όςι μεςά από 4 πεοιόδξσπ ςξ πλάςξπ είμαι 10cm πόρξ είμαι ςξ πλάςξπ μεςά από 5 πεοιόδξσπ; Απ: Ατξύ ςξ πξρξρςό μείχρηπ ςξσ πλάςξσπ παοαμέμει ρςαθεοό ίρξ με 20% ρημαίμει όςι ςξ μέξ πλάςξπ θα είμαι ίρξ με ςξ 80% ςξσ ποξηγξύμεμξσ άοα Α5= 0,8 Α4 = 0,8∙ 10 = 8cm.

2. Αμ ρε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη ρςημ ξπξία η δύμαμη απόρβερηπ είμαι ςηπ μξοτήπ F= -bσ θέλξσμε μα σπξλξγίρξσμε ρε πόρξ υοόμξ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ γίμεςαι k τξοέπ μικοόςεοξ ςξσ αουικξύ ςόςε υοηριμξπξιξύμε ςη ρυέρη . πυ: Έρςχ όςι ςξ αουικό πλάςξπ μιαπ ςαλάμςχρηπ είμαι Α0= 40cm και Λ= 2sec-1. Σε πόρξ υοόμξ ςξ πλάςξπ θα γίμει Α = 10cm;

Απ: t=

⇒ ⇒ t =

3. Αμ ρε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη ρςημ ξπξία η δύμαμη απόρβερηπ είμαι ςηπ μξοτήπ Fαπ = -bσ

γμχοίζξσμε ςξ πλάςξπ Α1 ςηπ ςαλάμςχρηπ ςη υοξμική ρςιγμή t1 και θέλξσμε μα βοξύμε ςξ πλάςξπ Α2 μια άλλη υοξμική ρςιγμή t2 ςόςε για ςη λύρη εκμεςαλλεσόμαρςε ςιπ ιδιόςηςεπ ςχμ λξγαοίθμχμ. πυ: Έρςχ όςι ρε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη ςη υοξμική ρςιγμή t = 0 ςξ πλάςξπ ςηπ είμαι Αξ= 25cm. Αμ μεςά από t1= 20sec ςξ πλάςξπ ςηπ γίμεςαι Α1= 16cm, πόρξ θα είμαι ςξ πλάςξπ ςηπ Α2 μεςά από t2= 30sec από η ρςιγμή πξσ άουιρε η ςαλάμςχρη;

Απ:

= = = 25

⇒

ΠΡΟΣΟΧΗ: Αμ σπάουξσμ αρκήρειπ με εοχςήρειπ αμάλξγεπ με ςιπ ποξηγξύμεμεπ αλλά αματέοξμςαι ρε εμέογειεπ ακξλξσθξύμε ςιπ εμςελώπ αμάλξγεπ διαδικαρίεπ υοηριμξπξιώμςαπ

ςξσπ ςύπξσπ ςηπ εμέογειαπ

4. Σε κάθε τθίμξσρα μηυαμική ςαλάμςχρη ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ αμςίρςαρηπ δίμεςαι από ςη

ρυέρη:

5. ΙΔΙΟΤΗΤΔΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ




ΔΞΑΝΑΓΚΑΣΜΔΝΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ

● Δναμαγκαρμέμη ςαλάμςωρη λέγεςαι η ςαλάμςχρη ρςημ ξπξία αρκείςαι πεοιξδικά μια ποόρθεςη μεςαβληςή δύμαμη (διεγείοξσρα δύμαμη: Fδ) ξπόςε ςξ πλάςξπ διαςηοείςαι ρςαθεοό. ● Έςρι για ςη ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα έυχ:

ή αλγεβοικά

1. H ρσυμόςηςα μιαπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ είμαι πάμςξςε ίρη με ςη ρσυμόςηςα ςξσ

διεγέοςη. Μόμξ όςαμ ςξ ρύρςημα βοίρκεςαι ρε καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ έυει ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ

ίρη με ςημ ιδιξρσυμόςηςα, δηλαδή

2.

Όςαμ ασνάμξσμε ςη ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη και πληριάζξσμε ρςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ασνάμεςαι, εμώ όρξ απξμακοσμόμαρςε από ςη ρσυμόςηςα ρσμςξμιρμξύ ςξ πλάςξπ μειώμεςαι. Για απαμςήρξσμε ρςιπ εοχςήρειπ πάμςξςε ρυεδιάζξσμε ςξ διπλαμό διάγοαμμα. Παοαςηοξύμε όςι σπάουξσμ δύξ διατξοεςικέ ρσυμόςηςεπ για ςιπ ξπξίεπ ςξ πλάςηπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ςξ ίδιξ. Η ιδιξρσυμόςηςα βοίρκεςαι μεςανύ ασςώμ ςχμ δύξ ρσυμξςήςχμ.

3. Οι υοξμικέπ ενιρώρειπ μιαπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ξι ίδιεπ με ασςέπ ςηπ ελεύθεοηπ ςαλάμςχρηπ. x = Αημ(χt + τξ) , σ = σmax ρσμ(χt+τ0) , α = - αmaxημ(χt+τ0) , Fαπ= - b∙σ = - b∙ χΑ∙ ρσμ(χt+τξ) ΠΡΟΣΟΧΗ: ρςιπ ποξηγξύμεμεπ ρυέρειπ χ = ωδ=2πfδ , όπξσ fδ η ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη.

Για ςη δσμαμική εμέογεια ιρυύει:

ΠΡΟΣΟΧΗ: ρςημ ποξηγξύμεμη ρυέρη χ = ωξ= 2πfξ , όπξσ fξ η ιδιξρσυμόςηςα ςξσ ςαλαμςχςή. Η δσμαμική εμέογεια εκτοάζει ςξ έογξ ςχμ ρσμςηοηςικώμ δσμάμεχμ άοα ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ και όυι ςξ έογξ ςηπ διεγείοξσραπ δύμαμηπ και ςηπ δύμαμηπ απόρβερηπ

A o1

A o

f o f 1 f 2

A o2

f




πξσ δεμ είμαι ρσμςηοηςικέπ . Για ςημ κιμηςική εμέογεια ιρυύει:

4. Σςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ η δύμαμη διέγεορηπ είμαι κάθε ρςιγμή αμςίθεςη από ςη

δύμαμη απόρβερηπ, δηλαδή Fδ= Fαπ δηλαδή καςά ςξμ ρσμςξμιρμό Fδ= bσ. Ασςό εμμξξύμε όςαμ λέμε όςι ποξρτέοεςαι εμέογεια καςά ςξμ βέλςιρςξ ςοόπξ. Τόςε ξ οσθμόπ ποξρτεοόμεμηπ εμέογειαπ ιρξύςαι με ςξ οσθμό παοαγωγήπ θεομόςηςαπ :

Σε ξπξιαδήπξςε άλλη ρσυμόςηςα η ρυέρη Fδ= Fαπ ιρυύει μόμξ όςαμ ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, δηλαδή για x = 0.

5. Σςιπ εναμαγκαρμέμεπ ςαλαμςώρειπ η μέγιρςη δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ δεμ είμαι ίρη με ςημ μέγιρςη κιμηςική παοά μόμξ ρςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ όπξσ χ=χξ.

Από ςιπ παοαπάμχ ρυέρειπ διαπιρςώμξσμε όςι όςαμ χ>χξ ςόςε Κmax>Umax .




ΣΥΝΘΔΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΩΝ

1. Σύμθερη δσξ α.α.ς με ςημ ίδια ρσυμόςηςα

x1= A1ημ(χt) x2= A2ημ(χt+τ) Η ενίρχρη απξμάκοσμρηπ ςηπ ρύμθερηπ ςχμ δσξ ςαλαμςώρεχμ είμαι: x = Aημ(χt+θ)

Όπξσ

Ποξρέυξσμε πξια από ςιπ δύξ ςαλαμςώρειπ πξσ ρσμςίθεμςαι έυει ςη μεγαλύςεοη τάρη γιαςί η ρύμθεςη ςαλάμςχρη ποξηγείςαι καςά θ ςηπ ςαλάμςχρηπ με ςη μικοόςεοη τάρη.

2.

● Οι ρςιγμιαίεπ ςιμέπ απξμάκοσμρηπ , ςαυύςηςαπ και επιςάυσμρηπ ποξρςίθεμςαι αλγεβοικά, δηλαδή:

1η ςαλάμςχρη 2η ςαλάμςχρη Σύμθεςη ςαλάμςχρη x1 x2 x = x1+x2 σ1 σ2 σ = σ1+σ2 α1

α2 α = α1+α2

● Τα πλάςη ςχμ παοαπάμχ ποξρςίθεμςαι διαμσρμαςικά

1η ςαλάμςχρη 2η ςαλάμςχρη Σύμθεςη ςαλάμςχρη Α1 Α2

σξ1 σξ2

α01 α02

3. Δμέογεια καςά ςημ ρύμθερη ςαλαμςώρεχμ ● Η ρςαθεοά επαματξοάπ D δίμεςαι από ςη ρυέρη D = mχ2 και είμαι ίδια για κάθε ρσμιρςώρα ςαλάμςχρη κα για ςη ρύμθεςη.

η ξλική εμέογεια, αμ ςξ ρώμα εκςελξύρε μόμξ ςξσ ςημ ποώςη ςαλάμςχρη

A A2

A1

x2

x

x1 τ

χt

θ




η ξλική εμέογεια, αμ ςξ ρώμα εκςελξύρε μόμξ ςξσ ςημ δεύςεοη ςαλάμςχρη

η ξλική εμέογεια, ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ.

● Καςά ςημ ρύμθερη ςαλαμςώρεχμ δεμ ιρυύει γεμικά όςι η ξλική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ίρη με ςξ άθοξιρμα ςχμ εμεογειώμ ςχμ δσξ ςαλαμςώρεχμ. Ασςό ιρυύει για ςξ ρώμα δεμ απξκλειρμέμξ από ςξ πεοιβάλλξμ ςξσ άοα δεμ έυει μόημα μα μιλάμε για ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ. Έρςχ Δ1 είμαι η εμέογεια πξσ θα είυε ςξ ρώμα λόγχ ςηπ ποώςηπ ςαλάμςχρηπ και Δ2 είμαι η εμέογεια πξσ θα είυε ςξ ρώμα λόγχ ςηπ δεύςεοηπ ςαλάμςχρηπ. Αμ ξι δύξ ςαλαμςώρειπ έυξσμ διατξοά τάρηπ τ, ςόςε η ξλική εμέογεια ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι:

⇒ (1)

Όμχπ (2) και (3)

ξπόςε η ρυέρη (1) λόγχ ςηπ (2) και ςηπ (3)γοάτεςαι:

⇒

Παοαςηοξύμε όςι η εμέογεια ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ εναοςάςαι όυι μόμξ από ημ ξλική εμέογεια λόγχ ςηπ κάθε ςαλάμςχρηπ, αλλά και από ςημ διατξοά τάρηπ ςχμ δύξ ςαλαμςώρεχμ. Αμ η διατξοά τάρειπ είμαι τ = π/2 ή τ = 90 ςόςε μόμξ ιρυύει




4. Σύμθερη δσξ α.α.ς με διατξοεςικέπ ρσυμόςηςεπ

Δνίρχρη 1ηπ Ταλάμςχρηπ: x1= Αημχ1t Δνίρχρη 2ηπ Ταλάμςχρηπ: x2 = Αημχ2t Αουή ςηπ Επαλληλίαπ: x = x1+x2 = Αημω1t + Αημω2t = . . . . με λίγεπ ποάνειπ παίομξσμε ςελικά ςημ ενίρωρη ςηπ πεοιξδικήπ κίμηρηπ.

Όςαμ έυξσμε ρύμθερη δύξ α.α.ς πξσ η διατξοά ςχμ ρσυμξςήςχμ είμαι αοκεςά μικοή ρε ρυέρη με ςξ άθοξιρμά ςξσπ, ποξκύπςξσμ διακοξςήμαςα.

Έςρι αμ ω1 ω2 και από ςημ (1) έυχ ή

με

όπξσ ςξ ξμξμάζεςαι διαμξοτωμέμξ πλάςξπ ή διακοόςημα.

Τόςε η ενίρχρη ςηπ ρύμθεςηπ κίμηρηπ γίμεςαι: ή

Από ςη ρυέρη ασςή ποξκύπςει όςι:

● Η πεοίξδξπ ςξσ διακοξςήμαςξπ είμαι ξ υοόμξπ μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ ςαλάμςχρηπ και βοίρκεςαι από ςη ρυέρη:

● H πεοίξδξπ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ ςαλάμςχρηπ βοίρκεςαι από ςη ρυέρη:

5. O αοιθμόπ Ν ςχμ ςαλαμςώρεχμ πξσ εκςελεί ςξ ρώμα μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ είμαι:

6. Σε έμα διακοόςημα με ρσυμόςηςα , μπξοξύμε μα ασνήρξσμε ςη μικοόςεοη από

ςιπ ρσυμόςηςεπ ή μα μειώρξσμε ςημ μεγαλύςεοη έςρι ώρςε μα μημ αλλάνει η απόλσςη ςιμή ςηπ διατξοάπ ςξσπ με απξςέλερμα μα μημ αλλάνει η ρσυμόςηςα ςξσ διακοξςήμαςξπ.


Education

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ