Лекция 10

Автокорреляция

Автокорреляция

1. Природа проблемы автокорреляции

2. Последствия автокорреляции

3. Средства диагностики автокорреляции

4. Средства для решения проблемы

I. Регрессионная модель линейна по параметрам (коэффициентам), корректно специфицирована, и содержит аддитивный случайный член.

II. Случайный член имеет нулевое среднее.

III. Все объясняющие переменные не коррелированны со случайным членом.

IV. Наблюдаемые значения случайного члена не коррелированны друг с другом. V. Случайный член имеет постоянную дисперсию

VI. Ни одна из объясняющих переменных не является строгой линейной функцией других объясняющих переменных.

VII. Случайный член распределен нормально (необязательное, но часто используемое условие).

Нарушение одного из условий Гаусса-Маркова

IV. Наблюдаемые значения случайного члена не коррелированны друг с другом.

)(0)( jirEji

Формальное выражение нарушенного условия

автокор р ел яц и япер вогопор яд ка

автокор р ел яц и явтор огопор яд ка

автокор р ел яц и явы сш и х

пор яд ков

Чистаяавтокорреляция

(вы зы вается зави си м ость юсл уч ай ного ч л ена от пр ош л ы х знач ени й )

Ложнаяавтокорреляция

(вы зы вается непр ави л ь нойспец и ф и кац и ей м од ел и )

Автокорреляция

Виды автокорреляции

ttt u1 – случайный член рассматриваемого уравнения регрессии; –коэффициент автокорреляции первого порядка;u – случайный член, не подверженный автокорреляции.

11

Автокорреляция первого порядка

ttt u4 – случайный член рассматриваемого уравнения регрессии; –коэффициент сезонной автокорреляции;u – случайный член, не подверженный автокорреляции.

Сезонная автокорреляция

tttt u 2211 – случайный член рассматриваемого уравнения регрессии;

21, –коэффициенты автокорреляции;

u – случайный член, не подверженный автокорреляции.

Автокорреляция второго порядка

Классический случайный член регрессии

Положительная автокорреляция

ttt u 10

Случайный член при положительной автокорреляции

Отрицательная автокорреляция

ttt u 10

Случайный член при отрицательной автокорреляции

Ложная автокорреляция(автокорреляция, вызванная ошибочной спецификацией)

tttt XXY 22110 *

110 ttt XY

)( 22*

ttt Xf

tX 2 сама является автокоррелированной переменной

значение мало по сравнению с величиной tX22.

Ложная автокорреляция при неверной спецификации

Ложная автокорреляция как результат

неправильного выбора функциональной формы

ttt XY 110 lnln *110 ttt XY

Ложная автокорреляция при неверном выборе функции

Последствия автокорреляции1. Истинная автокорреляция не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии.

2. Положительная автокорреляция (наиболее важный для экономики случай) приводит к увеличению дисперсии оценки коэффициентов. (более сложные случаи, в том числе лаговые переменные, рассматриваются далее).

3. Автокорреляция вызывает занижение оценок стандартных ошибок коэффициентов.

Проявления и последствия автокорреляции

Эксперимент Монте-Карло для анализа последствий автокорреляцииcreate(u) 20

genr x=@trend(1)

genr u=nrnd

smpl 1 1

genr eps=u

for %1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

smpl %1 %1

genr eps=u+0.95*eps(-1)

next

smpl 1 20

genr y=4+.9*x+eps

Моделирование автокорреляции

Статистика Дарбина-Уотсона предназначена для обнаружения автокорреляции первого порядка. Она основана на изучении остатков уравнения регрессии.

1.Статистика Дарбина-Уотсона не предназначена для обнаружение других видов автокорреляции (второго порядка, сезонной автокорреляции) и не обнаруживает ее.

2. В модели регрессии должно быть использовано уравнение с постоянным членом. Для регрессии без постоянного члена применение статистики Дарбина-Уотсона некорректно.

3. Лаговая зависимая переменная не используется в качестве независимой.

Обнаружение автокорреляции. Тест Дарбина-Уотсона

Расчет d-статистики Дарбина-Уотсона

T

t

T

tt

e

ee

d

1

2

2

21)(

где T – число наблюдений (обычно – временных периодов). e – остатки уравнения регрессии.

Расчет статистики Дарбина-Уотсона

Границы для d-статистики.1 . К р а й н и й с л у ч а й п о л о ж и т е л ь н о й а в т о к о р р е л я ц и и :

1 tt ee с л е д о в а т е л ь н о 01 tt ee , и з н а ч и т 0d.2 . К р а й н и й с л у ч а й о т р и ц а т е л ь н о й а в т о к о р р е л я ц и и :

1 tt ee с л е д о в а т е л ь н о ttt eee 21 , п о д с т а в л я я э т о в ы р а ж е н и е в

ф о р м у л у д л я d п о л у ч и м 4/)2(1

2

2

2 T

t

T

t eed

3 . С л у ч а й о т с у т с т в и я а в т о к о р р е л я ц и и . В о з в о д я в к в а д р а тв ы р а ж е н и е в ч и с л и т е л е д л я d , и п р и р а в н и в а я а в т о к о р р е л я ц и о н н ы йч л е н к н у л ю , п о л у ч и м

2/)(/)2(1

2

2

21

2

2

1

2

2

21

21

2

2

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

tt

T

t eeeeeeeed

Границы статистики Дарбина-Уотсона

Таким образом 40 d , причем, 2d , особенно значенияблизкие к нулю, указывают на положительную автокорреляцию,

2d , особенно значения близкие к 4, указывают наотрицательную автокорреляцию, а значения, близкие к 2 – на

отсутствие автокорреляции.

1 . К р а й н и й с л у ч а й п о л о ж и т е л ь н о й а в т о к о р р е л я ц и и :

1 tt ee с л е д о в а т е л ь н о 01 tt ee , и з н а ч и т 0d.2 . К р а й н и й с л у ч а й о т р и ц а т е л ь н о й а в т о к о р р е л я ц и и :

1 tt ee с л е д о в а т е л ь н о ttt eee 21 , п о д с т а в л я я э т о в ы р а ж е н и е в

ф о р м у л у д л я d п о л у ч и м 4/)2(1

2

2

2 T

t

T

t eed

3 . С л у ч а й о т с у т с т в и я а в т о к о р р е л я ц и и . В о з в о д я в к в а д р а тв ы р а ж е н и е в ч и с л и т е л е д л я d , и п р и р а в н и в а я а в т о к о р р е л я ц и о н н ы йч л е н к н у л ю , п о л у ч и м

2/)(/)2(1

2

2

21

2

2

1

2

2

21

21

2

2

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

tt

T

t eeeeeeeed

Условие отсутствия автокорреляции

Практическое использование теста Дарбина-Уотсона. 0ˆ:0 H (н у л е в а я г и п о т е з а о т с у т с т в и я п о л о ж и т е л ь н о й

а в т о к о р р е л я ц и и )0ˆ: AH (а л ь т е р н а т и в н а я г и п о т е з а н а л и ч и я п о л о ж и т е л ь н о й

а в т о к о р р е л я ц и и ) .

Р е ш а ю щ е е п р а в и л о :Е с л и Ldd , т о г и п о т е з а 0H о т в е р г а е т с я .Е с л и Udd , т о г и п о т е з а 0H н е о т в е р г а е т с я .Е с л и UL ddd , т о с и т у а ц и я о с т а е т с я н е о п р е д е л е н н о й

( «т е м н а я з о н а » )

Тест Дарбина-Уотсона при положительной автокорреляции

Иллюстрация использования теста Дарбина-Уотсона.

Пример теста Дарбина-Уотсона

Для отрицательной автокорреляции

ситуация симметрична

0ˆ:0 H (н у л е в а я г и п о т е з а о т с у т с т в и я о т р и ц а т е л ь н о йа в т о к о р р е л я ц и и )

0ˆ: AH (а л ь т е р н а т и в н а я г и п о т е з а н а л и ч и я о т р и ц а т е л ь н о йа в т о к о р р е л я ц и и ) .

Р е ш а ю щ е е п р а в и л о :Е с л и Ldd 4 , т о г и п о т е з а 0H о т в е р г а е т с я .Е с л и Udd 4 , т о г и п о т е з а 0H н е о т в е р г а е т с я .Е с л и LU ddd 44 , т о с и т у а ц и я о с т а е т с я н е о п р е д е л е н н о й

( «т е м н а я з о н а » )

Тест Дарбина-Уотсона при отрицательной автокорреляции

h-статистика Дарбина

Если лаговая зависимая переменная используется в качестве объясняющей,

статистика Дарбина-Уотсона неприменима

tttt uYXY 121ˆ

)(1ˆ

1

tybnVar

nh

При отсутствии автокорреляции h~N(0;1)

Что делать, если тест Дарбина-Уотсона неприменим

Расчет h-статистики Дарбина

)1()5,01( 2

1

ty

nS

ndh

где d – статистика Дарбина-Уотсона, 2

1tyS – дисперсия

оценки коэффициента при лаговой переменной 1ty , n –число наблюдений.

Если d указывает на автокорреляцию, рассчитывать h-статистикуНЕ НУЖНО!!! (d смещена к 2)

Ограничения h-статистики Дарбина:1. Только одна лаговая переменная.

2. Только автокорреляция первого порядка.3. Иногда невозможно вычислить.

Практические применение h-статистики Дарбина

Обобщенный метод наименьших квадратов GLS

ttt XY 110ttt u 1

tttt uXY 1110

111101 ttt XY

ttttt uXXYY )( 1111001

ttt uXY 1*

1*

0*

Авторегрессионное преобразование

Практическое использование обобщенного метода

наименьших квадратов GLS1) считается регрессия и находятся остатки2) по остаткам находится оценка коэффициента автокорреляции

первого порядка3) оценка автокорреляции используется для пересчета данных и

цикл повторяется

Процесс останавливается, как только обеспечивается достаточнаясходимость (результаты перестают существенно улучшаться).

Практика авторегрессионного преобразования

LS LGFOOD C LGDPI LGPRFOOD AR(1)

Пример авторегрессионного преобразования

Пример использования обобщенного метода наименьших квадратов

Не следует применять обобщенный метод наименьших квадратов

автоматически. 1) значимый DW может указывать просто на ошибочную спецификацию2) Последствия автокорреляции иногда бывают незначительными. 3) Качество оценок может снизиться из-за уменьшения числа степеней свободы (нужно

оценивать лишний параметр).

Правила применения авторегрессионного преобразования

Конец лекции