Основы теории графов 11: гамильтоновы циклы

Основы теории графовосень 2013

Александр Дайняк

www.dainiak.com

http://www.dainiak.com/

Гамильтоновы циклы

• Гамильтонов цикл — через каждую вершину графа проходит ровно по одному разу

• Гамильтонов граф — граф, в котором есть гамильтонов цикл

Гамильтоновы циклы

• В отличие от эйлеровых циклов, пока нет ни хороших критериев гамильтоновости, ни быстрых алгоритмов построения г.ц.

• Есть некоторые достаточные условия существования гамильтоновых циклов.В основном, утверждения типа «если граф «достаточно плотный», то в нём есть г.ц.»

Теорема Хватала—Эрдёша

Теорема. (Erdős, Chvátal ’1972)Если 𝛼 𝐺 ≤ 𝜅 𝐺 , то граф 𝐺 гамильтонов.

Доказательство:Допустим, что 𝐺 негамильтонов и покажем, что в этом случае 𝛼 𝐺 > 𝜅 𝐺 .

Рассмотрим цикл 𝐶 в 𝐺, имеющий максимальную длину.

По предположению, 𝑉 𝐶 ≠ 𝑉 𝐺 .


Пусть 𝐵 ⊂ 𝐺— одна из компонент связности (возможно, единственная) графа 𝐺 − 𝐶 .

Так как 𝐺 связный, то есть рёбра между 𝐵 и 𝐶.

𝐵𝐶


Пусть 𝐶𝐵 — вершины 𝐶, смежные с 𝐵, и пусть 𝐶𝐵+— вершины

цикла 𝐶, «следующие» за вершинами из 𝐶𝐵 (в некоторой ориентации 𝐶).

𝐶𝐵

𝐶𝐵+

Удаление из 𝐺 всех вершин, входящих в 𝐶𝐵, нарушает связность 𝐺, поэтому

𝜅 𝐺 ≤ 𝐶𝐵 = 𝐶𝐵+


Вершины из 𝐶𝐵+ не смежны между собой, так как иначе цикл 𝐶 можно было бы

увеличить:

Также, между 𝐶𝐵+ и 𝐵 рёбер нет, иначе длину цикла можно увеличить:


Следовательно, если к 𝐶𝐵+ добавить любую вершину из 𝐵,

получится независимое множество размера 𝐶𝐵+ + 1 в 𝐺.

Отсюда𝛼 𝐺 > 𝐶𝐵

+ ≥ 𝜅 𝐺 ,

что и требовалось.

Теорема Асратяна—Хачатряна

Теорема. (А. С. Асратян, Н. К. Хачатрян ’1990)Пусть граф 𝐺 связен и пусть для любой тройки 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 𝐺 ,такой, что 𝑢𝑣, 𝑣𝑤 ∈ 𝑉 𝐺 и 𝑢𝑤 ∉ 𝑉 𝐺 выполнено неравенство

𝑑 𝑢 + 𝑑 𝑤 ≥ 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑣 ∪ 𝑁 𝑤 .

Тогда граф 𝐺 гамильтонов.

𝑢 𝑣 𝑤 𝑢, 𝑣, 𝑤 образуютпорождённую цепь в 𝐺


Для любой порождённой цепи 𝑢𝑣𝑤 выполнены неравенства

𝑁 𝑢 ∩ 𝑁 𝑤 = 𝑑 𝑢 + 𝑑 𝑤 − 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑤 ≥

≥ 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑣 ∪ 𝑁 𝑤 − 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑤 =

= 𝑁 𝑣 − 𝑁 𝑣 ∩ 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑤 = 𝑁 𝑣 ∖ 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑤 =

= 𝑁 𝑣 ∖ 𝑁 𝑢,𝑤

В переходе «≥» мы использовали условие теоремы, во всех остальных

переходах — теоретико-множественные простые свойства.


Для любой порождённой цепи 𝑢𝑣𝑤 имеем𝑁 𝑢 ∩ 𝑁 𝑤 ≥ 𝑁 𝑣 ∖ 𝑁 𝑢,𝑤

В частности, 𝑁 𝑢 ∩ 𝑁 𝑤 ≥ 𝑢,𝑤 = 2, следовательно в 𝐺 есть циклы.

Пусть 𝐶 —максимальный простой цикл в 𝐺.

Предположив, что 𝑉 𝐺 ∖ 𝑉 𝐶 ≠ ∅, придём к противоречию.


Пусть 𝑥 ∈ 𝑉 𝐺 − 𝐶 , и 𝑁 𝑥 ∪ 𝑉 𝐶 ≠ ∅.Зафиксируем некоторую ориентацию цикла 𝐶.

Положим 𝐶𝑥 ≔ 𝑉 𝐶 ∩ 𝑁 𝑥 , и пусть 𝐶𝑥+— множество

«последователей» вершин из 𝐶𝑥 на цикле 𝐶:

𝑥

𝐶

𝐶𝑥

𝐶𝑥+

𝐺

Из максимальности 𝐶 следует, что 𝐶𝑥 ∩ 𝐶𝑥+ = ∅.


Никакая пара вершин из 𝑥 ∪ 𝐶𝑥+ не смежна:

Если вершиныиз 𝐶𝑥+ смежны 𝑥 𝑥

Если 𝑥 смежна свершиной из 𝐶𝑥

+ 𝑥 𝑥


Никакая пара вершин из 𝑥 ∪ 𝐶𝑥+ не имеет общих соседей вне

цикла 𝐶:

Если сосед вне 𝐶 естьу 𝑥 и вершины из 𝐶𝑥

+

Если сосед вне 𝐶 естьу пары вершин из 𝐶𝑥

+

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥


Никакие две вершины из 𝑥 ∪ 𝐶𝑥+ не смежны, а значит,

порождённой цепью в 𝐺 является каждая тройка вершин 𝑥𝑦𝑦+, где 𝑦 ∈ 𝐶𝑥 и 𝑦+ ∈ 𝐶𝑥

+ (𝑦+— последователь 𝑦 на 𝐶).

Тогда 𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ ≥ 𝑁 𝑦 ∖ 𝑁 𝑥, 𝑦+ .

Так как 𝐶𝑥+ ∪ 𝑥 ∩ 𝑁 𝑥, 𝑦+ = ∅, то

𝑁 𝑦 ∖ 𝑁 𝑥, 𝑦+ ≥ 𝑁 𝑦 ∩ 𝐶𝑥+ ∪ 𝑥 = 𝑁 𝑦 ∩ 𝐶𝑥

+ + 1.

Отсюда 𝑁 𝑦 ∩ 𝐶𝑥+ ≤ 𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ − 1.


Итак, для каждой тройки вида 𝑥𝑦𝑦+ имеем𝑁 𝑦 ∩ 𝐶𝑥

+ ≤ 𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ − 1.

Пусть 𝐶𝑥 , 𝐶𝑥+ — число рёбер 𝐺, соединяющих вершины из 𝐶𝑥 и

𝐶𝑥+. Получаем

𝐶𝑥 , 𝐶𝑥+ =

𝑦∈𝐶𝑥

𝑁 𝑦 ∩ 𝐶𝑥+ ≤

𝑦∈𝐶𝑥

𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ − 1 =

= − 𝐶𝑥 +

𝑦∈𝐶𝑥

𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+


Никакие две вершины из 𝑥 ∪ 𝐶𝑥+ не имеют общих соседей вне 𝐶,

поэтому𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ = 𝐶𝑥 ∩ 𝑁 𝑦

+

Отсюда

𝐶𝑥 , 𝐶𝑥+ ≤ − 𝐶𝑥 +

𝑦∈𝐶𝑥

𝑁 𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ =

= − 𝐶𝑥 +

𝑦∈𝐶𝑥

𝐶𝑥 ∩ 𝑁 𝑦+ = − 𝐶𝑥 + 𝐶𝑥 , 𝐶𝑥

+

—противоречие.

Теоремы Дирака и Оре

Теорема. (Асратян, Хачатрян ’1990)Если граф 𝐺 связен и для любой порождённой цепи 𝑢𝑣𝑤выполнено неравенство

𝑑 𝑢 + 𝑑 𝑤 ≥ 𝑁 𝑢 ∪ 𝑁 𝑣 ∪ 𝑁 𝑤 ,то граф 𝐺 гамильтонов.

Следствие. (Ore ’1960)Если для любых несмежных 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝐺 выполнено неравенство 𝑑 𝑢 + 𝑑 𝑣 ≥ 𝐺 , то граф 𝐺 гамильтонов.

Следствие. (Dirac ’1952)Если 𝛿 𝐺 ≥ 𝐺 2, то граф 𝐺 гамильтонов.

Гамильтоновы последовательности

Степенной последовательностью графа 𝐺 называется набор чисел 𝑑 𝑣 𝑣∈𝑉 𝐺 , упорядоченный по возрастанию.

Последовательность чисел 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛 называется гамильтоновой, если гамильтоновым является любой граф 𝐺, такой, что его степенная последовательность 𝑑𝑖 𝑖=1

𝑛 удовлетворяет условиям 𝑑1 ≥ 𝑎1, … , 𝑑𝑛 ≥ 𝑎𝑛.

Теорема Хватала

Теорема. (Chvátal ’1972)Последовательность 0 < 𝑎1 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛 < 𝑛 гамильтонова, если и только если для каждого 𝑘 ∈ 1, 𝑛 2 выполнено условие:

𝑎𝑘 ≤ 𝑘 ⇒ 𝑎𝑛−𝑘 ≥ 𝑛 − 𝑘.

Необходимость условий Хватала

Доказательство необходимости:Допустим, для некоторого 𝑘 < 𝑛 2 условия нарушены, то есть 𝑎𝑘 ≤𝑘 и 𝑎𝑛−𝑘 ≤ 𝑛 − 𝑘 − 1.

Построим негамильтонов граф 𝐺 со следующей степенной последовательностью:

• 𝑑1 = ⋯ = 𝑑𝑘 ≔ 𝑘

• 𝑑𝑘+1 = ⋯ = 𝑑𝑛−𝑘 ≔ 𝑛 − 𝑘 − 1

• 𝑑𝑛−𝑘+1 = ⋯ = 𝑑𝑛 ≔ 𝑛 − 1

(Очевидно, ∀𝑖 𝑑𝑖 ≥ 𝑎𝑖.)

Необходимость условий Хватала

Негамильтонов граф 𝐺:

• 𝑑1 = ⋯ = 𝑑𝑘 ≔ 𝑘

• 𝑑𝑘+1 = ⋯ = 𝑑𝑛−𝑘 ≔ 𝑛 − 𝑘 − 1

• 𝑑𝑛−𝑘+1 = ⋯ = 𝑑𝑛 ≔ 𝑛 − 1

Полный двудольный подграф на вершинах 𝑣1, … , 𝑣𝑘; 𝑣𝑛−𝑘+1, … , 𝑣𝑛, клика на вершинах 𝑣𝑘+1, … , 𝑣𝑛.

Никакой простой цикл в 𝐺 не может содержать одновременно вершины 𝑣1, … , 𝑣𝑘; 𝑣𝑛−𝑘+1, … , 𝑣𝑛 и 𝑣𝑘+1.

𝑣𝑘

𝑣1

⋮

𝑣𝑛

𝑣𝑛−𝑘+1

⋮

𝑣𝑛−𝑘

𝑣𝑘+1

⋮

Достаточность условий Хватала

Допустим, что нашёлся негамильтонов граф, удовлетворяющий условиям Хватала:

∀𝑘 < 𝑛2𝑑𝑘 ≤ 𝑘 ⇒ 𝑑𝑛−𝑘 ≥ 𝑛 − 𝑘

Добавление рёбер в граф не нарушает условий Хватала. Будем добавлять в наш граф рёбра, пока не получим граф 𝐺, такой, что

• 𝐺 удовлетворяет условиям Хватала,

• 𝐺 негамильтонов,

• 𝐺 + 𝑥𝑦 гамильтонов для любых 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 𝐺 , таких, что 𝑥𝑦 ≠𝐸 𝐺 .


Выберем в 𝐺 пару несмежных вершин 𝑥, 𝑦, таких, что 𝑑 𝑥 ≤ 𝑑 𝑦и что сумма 𝑑 𝑥 + 𝑑 𝑦 максимально возможная.

В 𝐺 есть гамильтонов путь из 𝑥 в 𝑦:

Вершина 𝑦 не может быть смежна с «левыми соседями» вершин из 𝑁 𝑥 , иначе в 𝐺 был бы гамильтонов цикл.Поэтому 𝑑 𝑦 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑑 𝑥 , то есть 𝑑 𝑥 + 𝑑 𝑦 < 𝑛.

𝑥 𝑣1 𝑣𝑖 𝑣𝑖+1 𝑦⋯ ⋯


Положим 𝑘 ≔ 𝑑 𝑥 < 𝑛 2.

Так как 𝑉 𝐺 ∖ 𝑁 𝑦 ≥ 𝑑 𝑥 = 𝑘 и 𝑑 𝑥 + 𝑑 𝑦 максимальна, то

𝑣 ∈ 𝑉 𝐺 ∣ 𝑑 𝑣 ≤ 𝑘 ≥ 𝑘.

Значит, в степенной последовательности графа 𝐺 имеем 𝑑1 ≤ 𝑘,… , 𝑑𝑘 ≤ 𝑘. Следовательно,

𝑑𝑛−𝑘 ≥ 𝑛 − 𝑘,… , 𝑑𝑛 ≥ 𝑛 − 𝑘.

Отсюда 𝑣 ∈ 𝑉 𝐺 ∣ 𝑑 𝑣 ≥ 𝑛 − 𝑘 ≥ 𝑘 + 1 > 𝑑 𝑥 и найдётся 𝑧 ∈𝑉 𝐺 ∖ 𝑁 𝑥 такая, что 𝑑 𝑧 ≥ 𝑛 − 𝑘.

Но тогда 𝑑 𝑥 + 𝑑 𝑧 ≥ 𝑛 > 𝑑 𝑥 + 𝑑 𝑦 , — противоречие.

Гамильтоновость и связность

Утверждение.

• Каждый гамильтонов граф двусвязен

• Для любого 𝑘 существуют 𝑘-связные негамильтоновы графы

Гамильтоновость и планарность

Утверждение.Существуют негамильтоновы планарные трёхсвязные графы. Их можно найти даже среди триангуляций.

Для графа справа 𝛼 𝐺 = 6 и 𝐺 = 11, в то время как у гамильтоновых графов 𝛼 𝐺 ≤ 𝐺 2.


Теорема. (Whitney ’1932)Если 𝐺 триангуляция, и если в 𝐺 каждый цикл длины 3ограничивает некоторую грань, то 𝐺 является гамильтоновым.

Теорема. (Tutte ’1946)Каждый 4-связный планарный граф является гамильтоновым.


Планарность+трёхсвязность+регулярность тоже не гарантирует гамильтоновости. (Tutte ’1946)

Пример графа (Гринберг ’1968):

Теорема Гринберга

Теорема. (Э. Я. Гринберг ’1968)Для любой укладки планарного гамильтонова графа 𝐺 и для любого гамильтонова цикла 𝐶 выполняется соотношение

𝑘=1

𝐺

𝑘 − 2 𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡 =

𝑘=1

𝐺

𝑘 − 2 𝑓𝑘𝑒𝑥𝑡 = 𝐺 − 2,

где 𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡 и 𝑓𝑘

𝑒𝑥𝑡 — число граней периметра 𝑘, лежащих внутри и вне 𝐶 соответственно.


Доказательство:

Пусть 𝐸𝑖𝑛𝑡 — множество рёбер графа 𝐺, попадающих внутрь цикла 𝐶.

Пусть 𝐹𝑖𝑛𝑡 — грани 𝐺, лежащие внутри 𝐶.

Заметим, что выполнено равенство 𝐹𝑖𝑛𝑡 = 𝐸𝑖𝑛𝑡 + 1

𝐶


Каждое ребро из 𝐸𝑖𝑛𝑡 отграничивает две грани из 𝐹𝑖𝑛𝑡, а каждое ребро в 𝐶 лежит на границе ровно одной грани из 𝐹𝑖𝑛𝑡, поэтомусумма периметров всех граней из 𝐹𝑖𝑛𝑡 равна

𝐸 𝐶 + 2 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝐺 + 2 𝐹𝑖𝑛𝑡 − 1 =

= 𝐺 − 2 + 2 ⋅

𝑘=1

𝑛

𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡

С другой стороны, та же сумма периметров равна

𝑘=1

𝑛

𝑘 ⋅ 𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡


Получаем

𝑘=1

𝑛

𝑘 ⋅ 𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡 = 𝐺 − 2 + 2 ⋅

𝑘=1

𝑛

𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡

Отсюда

𝑘=1

𝑛

𝑘 − 2 ⋅ 𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡 = 𝐺 − 2.

Второе равенство из утверждения теоремы доказывается точно так же.


Следствие из теоремы Гринберга.Граф Гринберга негамильтонов.

Доказательство: из теоремы следует, что для гамильтонова графа должно быть выполнено

𝑘=1

𝑛

𝑘 − 2 ⋅ 𝑓𝑘𝑖𝑛𝑡 − 𝑓𝑘

𝑒𝑥𝑡 = 0

В графе Гринберга грани имеют периметры только 4,5,8, поэтому для него нулю равнялась бы сумма

2 𝑓4𝑖𝑛𝑡 − 𝑓4

𝑒𝑥𝑡 + 3 𝑓5𝑖𝑛𝑡 − 𝑓5


𝑒𝑥𝑡


Из равенства нулю суммы




𝑒𝑥𝑡

следует, что 2 𝑓4𝑖𝑛𝑡 − 𝑓4

𝑒𝑥𝑡 делится на 3.

Но в графе Гринберга только одна грань периметра 4 (внешняя), поэтому


𝑒𝑥𝑡 ∈ −2, 2

Получаем противоречие. Следовательно, граф Гринберга негамильтонов.

Education

Основы теории графов 11: гамильтоновы циклы