математика сборник 11 класс

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Сборник заданий

для государственной итоговой

аттестации по математике

ХІ класс

Луганск

2015

user

Утверждено приказом Министерства образования и науки Луганской Народной Республики № 124 от 23.03.2015 г.

user

Составитель: Щербакова Ю.А. – методист Научно-методического центра развития образования ЛНР

Пояснительная записка

Сборник составлен на основе материалов "Сборника заданий для государственной итоговой

аттестации по математике. 11 класс" (авт. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., под редакцией

Бурды М.И. - К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2014) в двух частях.

Содержание заданий соответствует действующим учебным программам по математике:

уровня стандарта, академического уровня, профильного уровня и уровня углубленного изучения

математики.

Пособие содержит 25 вариантов аттестационных работ.

Каждый вариант аттестационной работы состоит из четырех частей, различающихся по

сложности и форме тестовых заданий.

В первой части аттестационной работы предложено 16 заданий (12 заданий по алгебре и

началам анализа и 4 задания по геометрии) с выбором одного правильного ответа. К каждому

тестовому заданию с выбором ответа даны четыре варианта ответов, из которых только один

правильный. Задание с выбором ответа считается выполненным правильно, если в бланке ответов

указана только одна буква, которой обозначен правильный ответ. При этом учащийся не должен

приводить никакие соображения, поясняющие его выбор.

Правильное решение каждого задания этого блока №№1.1-1.16 оценивается одним баллом.

Вторая часть аттестационной работы состоит из 8 заданий (6 заданий по алгебре и началам

анализа и 2 задания по геометрии) открытой формы с развернутым ответом. Задания третьей части

считаются выполненными правильно, если в бланке ответов записан правильный ответ (например,

число, выражение, корни уравнения и т. д.). Все необходимые вычисления, преобразования и т. п.

учащиеся выполняют в черновиках.

Правильное решение каждого из заданий №№ 2.1-2.8 этого блока оценивается двумя

баллами.

Третья часть аттестационной работы состоит из 3 заданий (2 задания по алгебре и началам

анализа и 1 задание по геометрии) открытой формы с развернутым ответом. Задания третей части

считаются выполненными правильно,если если учащийся привел развернутую запись решения

задания с обоснованием каждого этапа и дал правильный ответ. Правильность выполнения заданий

третьей части оценивает учитель в соответствии с критериями и схемой оценивания заданий.

Правильное решение каждого из заданий №№ 3.1-3.3 этого блока оценивается четырьмя баллами.

Четвертая часть аттестационной работы состоит из 4 заданий (3 задания по алгебре и

началам анализа и 1 задания по геометрии) открытой формы с развернутым ответом. Задания

четвертой части считаются выполненными правильно, если учащийся привел разверную запись

решения задания с обоснованием каждого этапа идал правильный ответ. Правильность выполнения

заданий четвертой части оценивает учитель в соответствии с критериями и схемой оценивания

заданий. Правильное решение каждого из заданий №№ 4.1-4.4 этого блока оценивается четырьмя

баллами.

Задания третьей и четвертой частей аттестационной работы учащиеся выполняют на листах

со штампом общеобразовательного учебного учреждения.

Учащиеся общеобразовательных классов, изучавшие математику по программе уровня

стандарта, выполняют все задания первой и второй частей аттестационой работы, а также

одно из заданий третьей части по своему выбору.

Учащиеся общеобразовательных классов, изучавшие математику по программе

академического уровня, выполняют все задания первой, второй и третьей частей

аттестационой работы.

Учащиеся общеобразовательных классов, изучавшие математику по программе

профильного уровня, выполняют все задания первой, второй и третьей частей

аттестационной работы, а также одно из заданий четвертой части по своему выбору.

Учащиеся классов с углубленным изучением математики выполняют задания первой,

второй, третьей и четвертой частей аттестационой работы.

Государственная итоговая аттестация по математике поводится в течение 135 минут для

учащихся, изучавших математику по программе уровня стандарта,академического или профильного

уровня.

Учащиеся классов с углубленным изучением математики выполняют аттестационную работу

в течение 180 минут.

Сумма баллов, начисленных за правильно выполненные учащимся задания, переводится в

оценку по 5-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся по специальной шкале.

Система начисления баллов за правильно выполненное задание для оценивания работ

учащихся, изучавших математику по программе уровня стандарта,приведена в таблице 1.

Таблица 1

Номера заданий Количество баллов Всего

1.1-1.16 по 1 баллу 16

2.1-2.8 по 2 балла 16

одно из заданий 3.1-3.3 4 балла 4

Всего баллов 36

Решение учащимся более одного задания третьей части не может компенсировать ошибок,

допущенных им при выполнении других заданий,и не дает дополнительных баллов.

Соответствие количества набранных баллов учащимся, изучавшим математику по

программе уровня стандарта, оценке по 5-балльной системе оценивания учебных достижений

учащихся приведено в таблице 2.

Таблица 2

Количество набранных баллов

Оценка по 5-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся

1 - 3 1 4 - 12 2 13 - 21 3 22 - 30 4 31 - 36 5


учащихся, изучавших математику по программе академического уровня, приведена в таблице 3.

Таблица 3


1.1 - 1.16 по 1 баллу 16 баллов 2.1 - 2.8 по 2 балла 16 баллов 3.1 - 3.3 по 4 балла 12 баллов

Всего баллов 44 балла Соответствие количества набранных баллов учащимся, изучавшим математику по

программе академического уровня, оценке по 5-балльной системе оценивания учебных достижений


Таблица 4

Количество набранных баллов Оценка по 5-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся

1 - 3 1 4 - 13 2

14 - 26 3 27 - 38 4 39 - 44 5


учащихся, изучавших математику по программе профильного уровня, приведена в таблице 5.

Таблица 5


1.1 - 1.16 по 1 баллу 16 баллов 2.1 - 2.8 по 2 балла 16 баллов 3.1 - 3.3 по 4 балла 12 баллов

одно из заданий 4.1 - 4.4 4 балла 4 балла

Всего баллов 48 баллов

Заметим, что решение учащимся более одного задания четвертой части не может

компенсировать ошибок, сделанных им при выполнении других заданий, и не дает дополнительных

баллов.

Соответствие количества набранных баллов учащимся, изучавшим математику по

программе профильного уровня, оценке по 5-балльной системе оценивания учебных достижений


Таблица 6

Количество набранных баллов Оценка по 5-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся

1 - 4 1 5 - 16 2 17 - 29 3 30 - 42 4 43 - 48 5


учащихся классов с углубленным изучением математики приведена в таблице 7.

Таблица 7


1.1 - 1.16 по 1 баллу 16 баллов 2.1 - 2.8 по 2 балла 16 баллов 3.1 - 3.3 по 4 балла 12 баллов 4.1 - 4.4 по 4 балла 16 баллов

Всего баллов 60 баллов

Соответствие количества набранных баллов учащимся класса с углубленным изучением

математики оценке по 5-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся приведено в

таблице 8.

Ольга

Штамп

Ольга

Штамп

Ольга

Штамп

Ольга

Штамп

Ольга

Штамп

Ольга

Штамп

Ольга

Штамп

Решение. Имеем:

( )( )

1 cos(2 2 ) cos 22 1 cos 2 sin 23 1 cos 2 sin 21 cos( 2 ) cos 22

π+ π − α + − α + α + α= =π − α + α+ π+ α + + α

2

22cos (cos sin )2cos 2sin cos cos ctg2sin (sin cos ) sin2sin 2sin cos

α α + αα + α α α= = = = αα α + α αα + α α.

Схема оценивания примера 1. 1. Если учащийся правильно применил формулы приведения, то он по-

лучает 1 балл. 2. Если учащийся правильно преобразовал выражения α+ 2cos1

и α− 2cos1 с применением формул понижения степени (как в при-веденном решении) или формулы косинуса двойного аргумента, то он получает 1 балл.

3. Правильное использование формулы синуса двойного аргумента оце-нивается 1 баллом.

4. Если учащийся правильно разложил числитель и знаменатель дроби на множители, выполнил сокращение и получил правильный ответ, то он получает еще 1 балл.

Решение тригонометрических уравнений предусматривает выполнение двух шагов, связанных с применением некоторой группы формул тригоно-метрии или алгебраических преобразований для сведения решения данного уравнения к решению простейших тригонометрических уравнений. Каждый из таких шагов и решение полученных уравнений оценивается одним бал-лом.

Пример 2. Решите уравнение sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = . Решение.

sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = ;

xxx 5cos3cos233sin2

1 =+ ;

xxx 5cos3cos6cos3sin6sin =π+π ;

( )cos 3 cos56x xπ− = ;

( )cos5 cos 3 06x x π− − = ;

( ) ( )2sin sin 4 012 12x xπ π+ − = ;

( )sin 012x π+ = или ( )sin 4 012x π− = ;

,12x kπ+ = π Zk ∈ , или ,124 kx π=π− Zk ∈ ;

8

Решение. Имеем:

( )( )

1 cos(2 2 ) cos 22 1 cos 2 sin 23 1 cos 2 sin 21 cos( 2 ) cos 22

π+ π − α + − α + α + α= =π − α + α+ π+ α + + α

2

22cos (cos sin )2cos 2sin cos cos ctg2sin (sin cos ) sin2sin 2sin cos

α α + αα + α α α= = = = αα α + α αα + α α.

Схема оценивания примера 1. 1. Если учащийся правильно применил формулы приведения, то он по-

лучает 1 балл. 2. Если учащийся правильно преобразовал выражения α+ 2cos1

и α− 2cos1 с применением формул понижения степени (как в при-веденном решении) или формулы косинуса двойного аргумента, то он получает 1 балл.

3. Правильное использование формулы синуса двойного аргумента оце-нивается 1 баллом.

4. Если учащийся правильно разложил числитель и знаменатель дроби на множители, выполнил сокращение и получил правильный ответ, то он получает еще 1 балл.

Решение тригонометрических уравнений предусматривает выполнение двух шагов, связанных с применением некоторой группы формул тригоно-метрии или алгебраических преобразований для сведения решения данного уравнения к решению простейших тригонометрических уравнений. Каждый из таких шагов и решение полученных уравнений оценивается одним бал-лом.

Пример 2. Решите уравнение sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = . Решение.

sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = ;

xxx 5cos3cos233sin2

1 =+ ;

xxx 5cos3cos6cos3sin6sin =π+π ;

( )cos 3 cos56x xπ− = ;

( )cos5 cos 3 06x x π− − = ;

( ) ( )2sin sin 4 012 12x xπ π+ − = ;

( )sin 012x π+ = или ( )sin 4 012x π− = ;

,12x kπ+ = π Zk ∈ , или ,124 kx π=π− Zk ∈ ;

,12x kπ= − + π Zk ∈ , или ,448kx π+π= Zk ∈ .

Ответ: ,12 kπ− + π Zk ∈ , или ,448kπ+π Zk ∈ .

Схема оценивания примера 2. 1. Если учащийся правильно ввел вспомогательный аргумент и пред-

ставил левую часть уравнения в виде косинуса разности, то он полу-чает 1 балл.

2. Если учащийся перенес x5cos в левую часть уравнения и правильно преобразовал разность косинусов в произведение, то он получает 1 балл.

3. За правильное решение каждого из простейших тригонометрических уравнений, совокупности которых равносильно данное уравнение, учащийся получает по 1 баллу.

Решение заданий на преобразование иррациональных и логариф-мических выражений, как и заданий на преобразование тригонометрических выражений, предусматривает выполнение четырех шагов, связанных с при-менением свойств корней или логарифмов, алгебраических преобразований. Каждый из таких шагов оценивается одним баллом.

Пример 3. Упростите выражение aaaa 12)3(12)3( 22 −+−+− . Решение.

−++−=−+−+− aaaaaaa 129612)3(12)3( 22

=+−−++=−++− 96961296 aaaaaaa

33)3()3( 22 −−+=−−+= aaaa .

Имеем: 33 +=+ aa при всех допустимых значениях a.

Если 03 ≥−a , то есть 9≥a , то 33 −=− aa .

Если 03 <−a , то есть 90 <≤ a , то aa −=− 33 .

Следовательно, при 9≥a получаем: 6)3(333 =−−+=−−+ aaaa .

При 90 <≤ a получаем: aaaaa 2)3(333 =−−+=−−+ .

Ответ: 6 при 9≥a ; a2 при 90 <≤ a .

Схема оценивания примера 3. 1. Если учащийся правильно преобразовал подкоренные выражения и

представил каждое из них в виде квадрата двучлена, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся применил формулу ||2 xx = , то он получает 1 балл. 3. Если учащийся правильно нашел множество значений переменной a,

при которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают неотрицательные или отрицательные значения, и правильно в каж-дом случае раскрыл знак модуля, то он получает еще 1 балл.

4. Правильное завершение упрощения данного выражения после рас-крытия знаков модуля и получение двух вариантов ответа оценива-ется еще 1 баллом.

Решение показательных, логарифмических и иррациональных урав-

нений и неравенств предусматривает выполнение нескольких шагов, связан-ных с преобразованиями на основании свойств степеней, логарифмов, кор-ней, решением квадратных уравнений, линейных и квадратных неравенств. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 4. Решите неравенство 3)4(log)3(log 5,05,0 −≥++− xx . Решение. Данное неравенство равносильно системе

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+>−

−≥+−

.04,03

,3)4)(3(log 5,0

xx

xx

Тогда имеем:

⎩⎨⎧

>≥−+ −

;3,5,0log)12(log 3

5,02

5,0x

xx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,8122

xxx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,0202

xxx

⎩⎨⎧

>≤≤−

;3,45

xx

43 ≤< x . Ответ: (3; 4] .

Схема оценивания примера 4. 1. Если учащийся правильно заменил сумму логарифмов логарифмом

произведения, перейдя к равносильной системе (как в приведенном решении) или нашел область допустимых значений переменной x, а затем преобразовал сумму логарифмов, то он получает 1 балл.

2. Правильный переход от логарифмического неравенства к неравенству второй степени оценивается еще 1 баллом.

3. За правильное решение неравенства второй степени учащийся полу-чает еще 1 балл.

10

2. Если учащийся применил формулу ||2 xx = , то он получает 1 балл. 3. Если учащийся правильно нашел множество значений переменной a,

при которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают неотрицательные или отрицательные значения, и правильно в каж-дом случае раскрыл знак модуля, то он получает еще 1 балл.

4. Правильное завершение упрощения данного выражения после рас-крытия знаков модуля и получение двух вариантов ответа оценива-ется еще 1 баллом.

Решение показательных, логарифмических и иррациональных урав-

нений и неравенств предусматривает выполнение нескольких шагов, связан-ных с преобразованиями на основании свойств степеней, логарифмов, кор-ней, решением квадратных уравнений, линейных и квадратных неравенств. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 4. Решите неравенство 3)4(log)3(log 5,05,0 −≥++− xx . Решение. Данное неравенство равносильно системе

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+>−

−≥+−

.04,03

,3)4)(3(log 5,0

xx

xx

Тогда имеем:

⎩⎨⎧

>≥−+ −

;3,5,0log)12(log 3

5,02

5,0x

xx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,8122

xxx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,0202

xxx

⎩⎨⎧

>≤≤−

;3,45

xx

43 ≤< x . Ответ: (3; 4] .

Схема оценивания примера 4. 1. Если учащийся правильно заменил сумму логарифмов логарифмом

произведения, перейдя к равносильной системе (как в приведенном решении) или нашел область допустимых значений переменной x, а затем преобразовал сумму логарифмов, то он получает 1 балл.

2. Правильный переход от логарифмического неравенства к неравенству второй степени оценивается еще 1 баллом.

3. За правильное решение неравенства второй степени учащийся полу-чает еще 1 балл.

4. За правильное нахождение решений системы неравенств учащийся получает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может без пояснений записывать решения систе-мы линейных неравенств, корни квадратного уравнения, решения нера-венства второй степени, а также не пояснять переход от логарифмического или показательного неравенства к алгебраическому неравенству.

Пример 5. Найдите область определения функции 2 1( ) 6 lg(4 )f x x x x= − + − .

Решение. Областью определения данной функции является множество решений

системы неравенств

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−>−≥−

.14,04

,06 2

xx

xx

Имеем:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠<

≤−

;3,4

,062

xx

xx ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠<

≤≤

;3,4

,60

xx

x 30 <≤ x или 43 << x .

Следовательно, искомая область определения — это множество )4;3()3;0[)( ∪=fD .

Ответ: )4;3()3;0[ ∪ .

Схема оценивания примера 5. 1. Если учащийся правильно составил систему неравенств, задающую

область определения функции, то он получает 1 балл. 2. За правильное решение неравенства второй степени учащийся полу-

чает еще 1 балл. 3. Правильное решение линейных неравенств, входящих в систему, оце-

нивается 1 баллом. 4. Если учащийся правильно записал решения системы в виде двух

двойных неравенств или в виде объединения числовых промежутков, то он получает еще 1 балл.

Решение задания на построение графика функции без применения про-изводной предусматривает установление области определения функции, пре-образование формулы, которой задана функция, непосредственно построение графика.

Пример 6. Постройте график функции xx

xf3,0

3,0

log|log|

)( = .

Решение. Область определения данной функции — множество

( ) (0;1) (1; )D f = +∞∪ .

Если 0log 3,0 >x , то есть 10 << x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x= = .

Если 0log 3,0 <x , то есть 1>x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x

−= = − .

Следовательно, ⎩⎨⎧

>−<<= .11

,101)( xxxf при

при

График функции имеет вид: y

0 x1

1

-1

Схема оценивания примера 6. 1. Если учащийся правильно нашел область определения функции, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x,

при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает по-ложительные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает от-рицательные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

4. За правильно построенный график учащийся получает еще 1 балл.

Решение задания на исследование свойств функции с помощью про-изводной предусматривает четыре шага: нахождение области определения функции и нахождение производной функции, исследование знака произ-водной, установление промежутков монотонности и установление точек экс-тремума функции. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 7. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экс-

тремума функции 2 4( ) 2 3

xf x x+= − .

Решение. Область определения функции ( ) ( ;1,5) (1,5; )D f = −∞ +∞∪ .

2 2

2( 4) (2 3) (2 3) ( 4)( )

(2 3)x x x xf x

x′ ′+ ⋅ − − − ⋅ +′ = =

−

2

22 (2 3) 2( 4)

(2 3)x x x

x− − +=

−=

12

Решение. Область определения данной функции — множество

( ) (0;1) (1; )D f = +∞∪ .

Если 0log 3,0 >x , то есть 10 << x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x= = .

Если 0log 3,0 <x , то есть 1>x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x

−= = − .

Следовательно, ⎩⎨⎧

>−<<= .11

,101)( xxxf при

при

График функции имеет вид: y

0 x1

1

-1

Схема оценивания примера 6. 1. Если учащийся правильно нашел область определения функции, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x,

при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает по-ложительные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает от-рицательные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

4. За правильно построенный график учащийся получает еще 1 балл.

Решение задания на исследование свойств функции с помощью про-изводной предусматривает четыре шага: нахождение области определения функции и нахождение производной функции, исследование знака произ-водной, установление промежутков монотонности и установление точек экс-тремума функции. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 7. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экс-

тремума функции 2 4( ) 2 3

xf x x+= − .

Решение. Область определения функции ( ) ( ;1,5) (1,5; )D f = −∞ +∞∪ .

2 2

2( 4) (2 3) (2 3) ( 4)( )

(2 3)x x x xf x

x′ ′+ ⋅ − − − ⋅ +′ = =

−

2

22 (2 3) 2( 4)

(2 3)x x x

x− − +=

−=

2 2 2

2 24 6 2 8 2 6 8

(2 3) (2 3)x x x x x

x x− − − − −= =

− −= 2

2( 1)( 4)(2 3)x x

x+ −−

.

Решив уравнение 0)(' =xf , устанавливаем, что функция имеет две кри-тические точки: 1−=x и 4=x .

Исследуем знак производной методом интервалов:

41,5

+

-1+

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков

]1;( −−∞ и [4; )+∞ , убывает на каждом из промежутков )5,1;1[− и ]4;5,1( . Функция имеет точку максимума 1max −=x и точку минимума 4min =x . Ответ: функция возрастает на промежутках ]1;( −−∞ и [4; )+∞ , убы-

вает на промежутках )5,1;1[− и ]4;5,1( , 1max −=x , 4min =x . Схема оценивания примера 7.

1. Если учащийся правильно указал область определения функции и правильно нашел производную функции, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся правильно нашел критические точки функции и пра-вильно исследовал знак производной, то он получает еще 1 балл.

3. За правильно указанные промежутки монотонности функции уча-щийся получает еще 1 балл.

4. За правильно указанные точки минимума и максимума учащийся по-лучает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может не приводить решение квадратного урав-нения для нахождения критических точек, а также способ, которым он опре-делял знаки производной на ее промежутках знакопостоянства.

Пример 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ- ции xy 5= и прямыми y = 5 и x = 5 .

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения

графика функции xy 5= и прямой y = 5 :

55 =x ; x = 1. На рисунке изображена фигу-ра, площадь которой требуется найти. Иско-мая площадь S равна разности площадей прямоугольника ABCD и криволинейной трапеции ABED.

( ) =−=−= ∫ 51

5

1

)ln55(55 xxdxxS 25 5 5 5 5 1− − +ln ln = 20 5 5− ln .

Ответ: 20 5 5− ln .

y

10 x

1

y = 5

x=5

y =5x

5

5

A

B C

ED

Схема оценивания примера 8. 1. Если учащийся правильно нашел абсциссу точки пересечения гипер-

болы xy 5= и прямой y = 5 и правильно изобразил фигуру, площадь которой требуется найти, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся правильно записал интеграл, значение которого равно искомой площади, то он получает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел первообразную подинтегральной функции, то он получает еще 1 балл.

4. Если учащийся правильно подставил границы интегрирования и пра-вильно вычислил приращение первообразной, то он получает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может записать выражение для вычисления пло-

щади в виде разности интегралов ∫∫ −5

1

5

1

55 dxxdx или в виде разности площади

прямоугольника ABCD и интеграла ∫5

1

5 dxx .

Решение задач по геометрии предусматривает выполнение рисунка,

обоснование равенства отрезков, углов, треугольников и других фигур, по-добия треугольников, параллельности или перпендикулярности прямых, по-ложения центров описанной и вписанной окружностей, перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, линейного угла двугранного угла. Каждый из таких ша-гов оценивается определенным образом.

Пример 9. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапе-ции, если ее меньшее основание равно a.

Решение. В трапеции ABCD BC || AD, aBC = , CDAB = , CDAC ⊥ , CADBAC ∠=∠ .

CAD∠ и BCA∠ равны как внутренние накрест лежащие при BC || AD и секущей AC.

Следовательно, BCABAC ∠=∠ . Тогда ∆ABC — равнобедренный. Отсюда aBCABCD === .

Пусть α=∠CAD . Тогда α=∠=∠ 2BADCDA . Из ∆ ACD ( 90ACD∠ = ° ):

°=∠+∠ 90CDACAD ; °=α+α 902 ;

°=α 30 .

A

B C

DM

14

Схема оценивания примера 8. 1. Если учащийся правильно нашел абсциссу точки пересечения гипер-

болы xy 5= и прямой y = 5 и правильно изобразил фигуру, площадь которой требуется найти, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся правильно записал интеграл, значение которого равно искомой площади, то он получает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел первообразную подинтегральной функции, то он получает еще 1 балл.

4. Если учащийся правильно подставил границы интегрирования и пра-вильно вычислил приращение первообразной, то он получает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может записать выражение для вычисления пло-

щади в виде разности интегралов ∫∫ −5

1

5

1

55 dxxdx или в виде разности площади

прямоугольника ABCD и интеграла ∫5

1

5 dxx .

Решение задач по геометрии предусматривает выполнение рисунка,

обоснование равенства отрезков, углов, треугольников и других фигур, по-добия треугольников, параллельности или перпендикулярности прямых, по-ложения центров описанной и вписанной окружностей, перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, линейного угла двугранного угла. Каждый из таких ша-гов оценивается определенным образом.

Пример 9. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапе-ции, если ее меньшее основание равно a.

Решение. В трапеции ABCD BC || AD, aBC = , CDAB = , CDAC ⊥ , CADBAC ∠=∠ .

CAD∠ и BCA∠ равны как внутренние накрест лежащие при BC || AD и секущей AC.

Следовательно, BCABAC ∠=∠ . Тогда ∆ABC — равнобедренный. Отсюда aBCABCD === .

Пусть α=∠CAD . Тогда α=∠=∠ 2BADCDA . Из ∆ ACD ( 90ACD∠ = ° ):

°=∠+∠ 90CDACAD ; °=α+α 902 ;

°=α 30 .

A

B C

DM

Следовательно, ∆ ACD — прямоугольный с острым углом 30°. Тогда aCDAD 22 == .

Отрезок CM — высота трапеции. Из ∆CMD ( °=∠ 90CMD ):

2360sinsin aaCDMCDCM =°=∠= .

Площадь трапеции 23 3 32

2 2 2 4a aAD BC a aS CM+ += ⋅ = ⋅ = .

Ответ: 23 34

a .

Схема оценивания примера 9. 1. Если учащийся установил и обосновал равенство отрезков AB и BC,

то он получает 1 балл. 2. Если учащийся нашел углы треугольника ACD и большее основание

трапеции, то он получает еще 1 балл. 3. За нахождение высоты трапеции учащийся получает еще 1 балл. 4. Если учащийся правильно нашел площадь трапеции, то он получает

еще 1 балл. Заметим, что высоту трапеции можно найти и другим способом, в част-

ности, рассмотрев CM как высоту прямоугольного треугольника и вос-пользовавшись пропорциональностью отрезков в прямоугольном тре-угольнике.

Пример 10. Высота равнобедренного треугольника равна 18 см, а ра-

диус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите периметр данного тре-угольника.

Решение. В треугольнике ABC BCAB = , отрезок BD — вы-

сота, 18=BD см, точка O — центр вписанной окруж-ности.

Поскольку ∆ ABC — равнобедренный, то точка O принадлежит его высоте и биссектрисе BD, а отрезок OD — радиус вписанной окружности, OD = 8 см. Тогда

10=−= ODBDBO см. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересе-

чения биссектрис треугольника. Тогда отрезок AO — биссектриса треуголь-ника ADB.

По свойству биссектрисы треугольника 10 58 4

AB BOAD OD= = = .

Пусть xAB 5= см, 0>x , тогда xAD 4= см. Из ∆ ADB ( 90ADB∠ = ° ):

222 BDADAB =− ; 222 181625 =− xx ;

A D C

O

B

3249 2 =x ; 6=x .

Следовательно, 30=AB см, 24=AD см, 482 == ADAC см. Тогда 2 108ABCP AB AC∆ = + = см. Ответ: 108 см.

Схема оценивания примера 10. 1. Если учащийся обосновал положение точки O и установил, что отре-

зок AO — биссектриса треугольника ABD, то он получает 1 балл. 2. Если учащийся нашел отношение отрезков AB и AD, то он получает

еще 1 балл. 3. Правильное нахождение коэффициента пропорциональности отрезков

AB и AD оценивается еще 1 баллом. 4. За правильное вычисление длин сторон и периметра треугольника

учащийся получает еще 1 балл. Пример 11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см

и 15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основа-ния. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 8 см.

Решение. В пирамиде MABCD основание ABCD — прямо-

угольник, боковые грани ABM и CBM перпен-дикулярны плоскости прямоугольника ABCD. Тогда их общее боковое ребро MB является высотой пира-миды, MB = 8 см, AB = 6 см, BC = 15 см.

Отрезок AB — проекция отрезка AM на плос-кость основания, AB ⊥ AD. Тогда MA ⊥ AD. Аналогично доказываем, что MС ⊥ СD.

Из 2 2 2 2( 90 ) : 6 8 10ABM ABM AM AB MB∆ ∠ = ° = + = + = (см).

Из ∆CBM CBM CM BC MB( ):∠ = ° = + = + =90 15 8 172 2 2 2 (см).

2421 =⋅=∆ MBABS ABM см2, 602

1 =⋅=∆ MBBCS CBM см2, S MAD∆ =

7521 =⋅= MAAD см2, 512

1 =⋅=∆ MCCDS MCD см2, площадь боковой поверх-

ности пирамиды S S S S SABM CBM MAD MCD= + + +∆ ∆ ∆ ∆ = 210 см2. Ответ: 210 см2.

Схема оценивания примера 11. 1. Если учащийся указал, что общее боковое ребро боковых граней, пер-

пендикулярных плоскости основания пирамиды, является высотой пирамиды и обосновал, что MA ⊥ AD и MC ⊥ CD, то он получа-ет 1 балл.

A D

CB

M

16

3249 2 =x ; 6=x .

Следовательно, 30=AB см, 24=AD см, 482 == ADAC см. Тогда 2 108ABCP AB AC∆ = + = см. Ответ: 108 см.

Схема оценивания примера 10. 1. Если учащийся обосновал положение точки O и установил, что отре-

зок AO — биссектриса треугольника ABD, то он получает 1 балл. 2. Если учащийся нашел отношение отрезков AB и AD, то он получает

еще 1 балл. 3. Правильное нахождение коэффициента пропорциональности отрезков

AB и AD оценивается еще 1 баллом. 4. За правильное вычисление длин сторон и периметра треугольника

учащийся получает еще 1 балл. Пример 11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см

и 15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основа-ния. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 8 см.

Решение. В пирамиде MABCD основание ABCD — прямо-

угольник, боковые грани ABM и CBM перпен-дикулярны плоскости прямоугольника ABCD. Тогда их общее боковое ребро MB является высотой пира-миды, MB = 8 см, AB = 6 см, BC = 15 см.

Отрезок AB — проекция отрезка AM на плос-кость основания, AB ⊥ AD. Тогда MA ⊥ AD. Аналогично доказываем, что MС ⊥ СD.

Из 2 2 2 2( 90 ) : 6 8 10ABM ABM AM AB MB∆ ∠ = ° = + = + = (см).

Из ∆CBM CBM CM BC MB( ):∠ = ° = + = + =90 15 8 172 2 2 2 (см).

2421 =⋅=∆ MBABS ABM см2, 602

1 =⋅=∆ MBBCS CBM см2, S MAD∆ =

7521 =⋅= MAAD см2, 512

1 =⋅=∆ MCCDS MCD см2, площадь боковой поверх-

ности пирамиды S S S S SABM CBM MAD MCD= + + +∆ ∆ ∆ ∆ = 210 см2. Ответ: 210 см2.

Схема оценивания примера 11. 1. Если учащийся указал, что общее боковое ребро боковых граней, пер-

пендикулярных плоскости основания пирамиды, является высотой пирамиды и обосновал, что MA ⊥ AD и MC ⊥ CD, то он получа-ет 1 балл.

A D

CB

M

2. Если учащийся нашел длины боковых ребер MA и MC, то он получает еще 1 балл.

3. Если учащийся нашел площади боковых граней пирамиды, то он по-лучает еще 1 балл.

4. За правильное вычисление площади боковой поверхности пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.

Заметим, что учащийся без обоснования может пользоваться такими фактами:

• если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плос-костей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпен-дикулярна и другой плоскости;

• если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости;

• если боковые ребра пирамиды равны или образуют равные углы с плоскостью основания, то основанием высоты пирамиды яв-ляется центр окружности, описанной около основания пи-рамиды;

• если все двугранные углы при ребрах основания пирамиды рав-ны α, то основанием высоты пирамиды является центр окруж-ности, вписанной в основание пирамиды, а площадь боковой

поверхности пирамиды α

=cosосн

бS

S , где оснS — площадь осно-

вания пирамиды. Пример 12. Основание пирамиды — ромб с острым углом α и большей

диагональю d. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды рав-ны γ. Найдите объем пирамиды.

Решение. MABCD – данная пирамида, ее основание

ABCD — ромб, ∠BCD = α, 0°<α<90°, AC = d. Отрезок MO — высота пирамиды

Поскольку все двугранные углы при реб-рах основания пирамиды равны, то точка O — центр окружности, вписанной в основание пи-рамиды, то есть точка пересечения диагоналей ромба. Из точки O опустим перпендикуляр OK на ребро CD.

Имеем: OK ⊥ CD, отрезок OK — проекция отрезка MK на плоскость ос-нования. Тогда MK ⊥ CD. Так как CD ⊥ OK и CD ⊥ MK, то ∠MKO — линей-ный угол двугранного угла при ребре CD основания пирамиды, ∠MKO = γ.

Из ∆COD (∠COD = 90°): OD = CO ⋅ tg ∠OCD = 2tg2αd .

A

C

DO

M

B

K

Тогда 2tg α= dBD и площадь основания пирамиды

2tg21

21 2 α=⋅= dBDACS .

Из ∆OKC (∠OKC = 90°): OK = OC sin ∠OCK = 2sin2αd .

Из ∆MOK (∠MOK = 90°): MO = OK ⋅ tg∠MKO = γα tg2sin2d .

Объем пирамиды =⋅= MOSV 31

2tg21

31 2 α⋅ d ⋅ γα tg2sin2

d =

= γαα tg2sin2tg121 3d .

Ответ: γαα tg2sin2tg121 3d .

Схема оценивания примера 12. 1. Если учащийся указал положение основания высоты пирамиды, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся обосновал, что угол MKO является линейным углом

двугранного угла при ребре основания пирамиды, то он получает еще 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел высоту пирамиды, то он получает еще 1 балл.

4. За нахождение объема пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.

18

Тогда 2tg α= dBD и площадь основания пирамиды

2tg21

21 2 α=⋅= dBDACS .

Из ∆OKC (∠OKC = 90°): OK = OC sin ∠OCK = 2sin2αd .

Из ∆MOK (∠MOK = 90°): MO = OK ⋅ tg∠MKO = γα tg2sin2d .

Объем пирамиды =⋅= MOSV 31

2tg21

31 2 α⋅ d ⋅ γα tg2sin2

d =

= γαα tg2sin2tg121 3d .

Ответ: γαα tg2sin2tg121 3d .

Схема оценивания примера 12. 1. Если учащийся указал положение основания высоты пирамиды, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся обосновал, что угол MKO является линейным углом

двугранного угла при ребре основания пирамиды, то он получает еще 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел высоту пирамиды, то он получает еще 1 балл.

4. За нахождение объема пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.

Вариант 1 Часть первая

Задания 1.1 – 1.16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, по Вашему мнению,

ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Упростите выражение (1 cos ) (1 cos )− α + α .

А) –1; Б) 1; В) α− 2sin ; Г) α2sin .

1.2. Представьте в виде степени выражение 1 18 2a a .

А) 161

a ; Б) 85

a ; В) 41

a ; Г) 101

a .

1.3. Какая функция является степенной? А) xy 5= ;

Б) xy 5= ; В) 5xy = ; Г) xy 5= .

1.4. Какое из уравнений не имеет корней? А) π=xsin ; Б) 8

7sin =x ; В) 21sin =x ; Г) 4sin π−=x .

1.5. Чему равно значение выражения )25(log5 b , если 5log5 =b ? А) 125; Б) 3; В) 7; Г) 30.

1.6. Решите уравнение ( ) ( ) ( )316 312 27 2

xx⋅ = .

А) –3; Б) –1; В) 1; Г) 3.

1.7. Решите неравенство 7log (2 )7 2x− < . А) (– ∞; 0); Б) (0; 2); В) (0; + ∞); Г) (– ∞; 2).

1.8. Найдите производную функции 1( ) 2xf x x−=+

⋅

А) 23'( )

( 2)f x

x= −

+;

Б) 21'( )

( 2)f x

x= −

+;

В) 23'( )

( 2)f x

x=

+;

Г) 21'( )

( 2)f x

x=

+.

1.9. Вычислите площадь заштрихованной фигуры,

изображенной на рисунке. А) 7

2ln 2 ;

Б) 7 ln 22 ;

В) 92ln 2 ;

Г) 9 ln 22 .

x0

y

1

1

-1

xy 2=

2

1.10. Найдите номер члена арифметической прогрессии )( na , который ра-вен 7,2, если 2,101 =a и разность прогрессии 5,0−=d .

А) 4; Б) 5; В) 6; Г) 7.

1.11. Сколько корней имеет уравнение 01)6)(3( =+−+ xxx ?

А) один корень; Б) два корня;

В) три корня; Г) ни одного корня.

1.12. Сколько четных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 3, 4, 5, 7 и 9?

А) 24; Б) 12; В) 120; Г) 60.

1.13. Какое из данных утверждений ошибочно?

А) любой квадрат является ромбом; Б) существует ромб, который является прямоугольником; В) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоуголь-

ником; Г) любой квадрат является прямоугольником.

1.14. В окружности, радиус которой равен 17 см, проведена хорда длиной 30 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

А) 8 см; Б) 10 см; В) 12 см; Г) 15 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол, который образует прямая B1D с плоскостью ABB1. А) ∠ A1B1D; Б) ∠ BB1D; В) ∠ AB1D; Г) ∠ ADB1.

1.16. При каком положительном значении n мо-дуль вектора ( ; 2;1)a n − равен 3?

А) 2 ; Б) 4; В) 6; Г) 2.

B

AC

D

A1

B1 C1

D1

20

1.10. Найдите номер члена арифметической прогрессии )( na , который ра-вен 7,2, если 2,101 =a и разность прогрессии 5,0−=d .

А) 4; Б) 5; В) 6; Г) 7.

1.11. Сколько корней имеет уравнение 01)6)(3( =+−+ xxx ?

А) один корень; Б) два корня;

В) три корня; Г) ни одного корня.

1.12. Сколько четных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 3, 4, 5, 7 и 9?

А) 24; Б) 12; В) 120; Г) 60.

1.13. Какое из данных утверждений ошибочно?

А) любой квадрат является ромбом; Б) существует ромб, который является прямоугольником; В) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоуголь-

ником; Г) любой квадрат является прямоугольником.

1.14. В окружности, радиус которой равен 17 см, проведена хорда длиной 30 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

А) 8 см; Б) 10 см; В) 12 см; Г) 15 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол, который образует прямая B1D с плоскостью ABB1. А) ∠ A1B1D; Б) ∠ BB1D; В) ∠ AB1D; Г) ∠ ADB1.

1.16. При каком положительном значении n мо-дуль вектора ( ; 2;1)a n − равен 3?

А) 2 ; Б) 4; В) 6; Г) 2.

B

AC

D

A1

B1 C1

D1




1.1. Какое из уравнений имеет два корня? А) 0164 =−x ; Б) 0163 =−x ; В) 0164 =+x ; Г) 016 =+x .

1.2. Упростите выражение cos cos sin sin8 2 8 2α α α α− .

А) α6cos ; Б) α10cos ; В) α6sin ; Г) α10sin .

1.3. Решите уравнение log6 2x = − .

А) –12; Б) 36; В) 361 ; Г) 3

1− .

1.4. Решите неравенство ( )4 89 27

x≥ .

А) (– ∞; 2]; Б) [2; + ∞); В) [1,5; + ∞); Г) (– ∞; 1,5].

1.5. Решите неравенство 2|1| −≥−x .

А) [1; + ∞); Б) (– ∞; + ∞);

В) [–2; 1]; Г) решений нет.

1.6. Областью определения какой из функций является промежуток (–∞; 2)?

А) 6 2y x= − ;

Б) 61

2y

x=

−; В) 6 2y x= + ;

Г) 61

2y

x=

+.

1.7. Решите уравнение ( )tg 34x π+ = .

А) ,12 kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,12 kπ+π− Zk ∈ ;

В) ,127 kπ+π Zk ∈ ;

Г) ,125 kπ+π Zk ∈ .

1.8. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 31025

⋅

А) 32 5 ; Б) 32 2525 ; В)

32 55 ; Г) 32 25 .

1.9. На каком рисунке точка 0x является точкой максимума функции, график которой изображен на рисунке?

y

x0

А)

x0

y

x0

Б)

x0

y

x0

В)

x0

y

x0

Г)

x0

1.10. Цена акций ежегодно повышается на 10 %. Если сейчас цена акций составляет a грн, то какой она станет через 2 года?

А) 1,1a грн; Б) 1,11a грн; В) 1,21a грн; Г) 1,2a грн.

1.11. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции xxy 32 −= в точке с абсциссой 10 −=x ?

А) 4; Б) –2; В) –1; Г) –5.

1.12. На 15 карточках записаны натуральные числа от 1 до 15. Какова вероятность того, что число, записанное на наугад выбранной карточке, не делится нацело ни на 2, ни на 3?

А) 1513 ; Б) 15

4 ; В) 31 ; Г) 5

1 .

1.13. Вычислите площадь треугольника со сторонами 4 см и 2 3 см и углом 60° между ними.

А) 6 см2; Б) 32 см2; В) 12 см2; Г) 4 см2.

1.14. В ромбе ABCD, изображенном на рисунке, .100°=∠B Найдите угол ACD.

А) 80°; Б) 60°; В) 50°; Г) 40°.

1.15. Вычислите объем пирамиды, основанием кото-рой является прямоугольник со сторонами 6 см и 10 см, а высота пирамиды равна 15 см.

А) 300 см3; Б) 900 см3; В) 480 см3; Г) 240 см3.

1.16. Какая точка принадлежит оси x?

А) A (0; 1; 0); Б) B (–1; 0; 0); В) C (0; 0; 4); Г) D (1; 2; 0).

A

B C

D

100°

22

1.9. На каком рисунке точка 0x является точкой максимума функции, график которой изображен на рисунке?

y

x0

А)

x0

y

x0

Б)

x0

y

x0

В)

x0

y

x0

Г)

x0

1.10. Цена акций ежегодно повышается на 10 %. Если сейчас цена акций составляет a грн, то какой она станет через 2 года?

А) 1,1a грн; Б) 1,11a грн; В) 1,21a грн; Г) 1,2a грн.

1.11. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции xxy 32 −= в точке с абсциссой 10 −=x ?

А) 4; Б) –2; В) –1; Г) –5.

1.12. На 15 карточках записаны натуральные числа от 1 до 15. Какова вероятность того, что число, записанное на наугад выбранной карточке, не делится нацело ни на 2, ни на 3?

А) 1513 ; Б) 15

4 ; В) 31 ; Г) 5

1 .

1.13. Вычислите площадь треугольника со сторонами 4 см и 2 3 см и углом 60° между ними.

А) 6 см2; Б) 32 см2; В) 12 см2; Г) 4 см2.

1.14. В ромбе ABCD, изображенном на рисунке, .100°=∠B Найдите угол ACD.

А) 80°; Б) 60°; В) 50°; Г) 40°.

1.15. Вычислите объем пирамиды, основанием кото-рой является прямоугольник со сторонами 6 см и 10 см, а высота пирамиды равна 15 см.

А) 300 см3; Б) 900 см3; В) 480 см3; Г) 240 см3.

1.16. Какая точка принадлежит оси x?

А) A (0; 1; 0); Б) B (–1; 0; 0); В) C (0; 0; 4); Г) D (1; 2; 0).

A

B C

D

100°




1.1. Какая функция не является линейной?

А) 37 += xy ; Б) 37 += xy ; В) 37 += xy ; Г) 7

3+=

xy .

1.2. Найдите значение выражения log 5 5 .

А) 2; Б) 1; В) 21 ; Г) –1.

1.3. Вычислите значение выражения ( )33 36 .

А) 21 ; Б) 3

1 ; В) 23 ; Г) 2

9 .

1.4. Решите уравнение 279 =x . А) 3; Б) 1,5; В) 2; Г) 0,5.

1.5. Сократите дробь sin 42sin 2

αα⋅

А) 1 sin 22 α ; Б) 1 cos 22 α ; В) sinα ; Г) cos 2α .

1.6. Найдите производную функции 6 31( ) 22f x x x= + .

А) 25 54)(' xxxf += ;

Б) 25 63)(' xxxf += ;

В) 25 64)(' xxxf += ;

Г) 25 53)(' xxxf += .

1.7. Какая из функций является первообразной функции xxf 3)( = ?

А) 3( ) ln3x

F x = ;

Б) 3ln3)( xxF = ;

В) xxF 3)( = ;

Г) 13( ) 1

xF x x

+= + .

1.8. Решите уравнение ( ) 3cos 2 2xπ + = .

А) ,23 kπ+π± Zk ∈ ; В) ,6)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ ;

Б) ,3)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ; Г) ,3)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ .

1.9. В классе количество девочек является нечетным числом, а мальчиков в 2 раза больше, чем девочек. Каким может быть количество всех учащихся класса?

А) 25; Б) 30; В) 27; Г) 28.

1.10. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

А) 60; Б) 120; В) 25; Г) 240.

1.11. Функция f определена на множестве действительных чисел и не равна тождественно 0. Какая из данных функций является нечетной?

А) ( ) 2)(xfy = ; В) )(xfy = ; Б) |)(| xfy = ; Г) )()( xfxfy −−= .

1.12. Натуральные числа a и b таковы, что a — четное, а b — нечетное. Значение какого выражения может быть натуральным числом?

А) 13

ab++

; Б) ba ; В) 2

a b+ ; Г) 1a

b + .

1.13. Из четырех равных прямоугольников составлен прямоугольник ABCD так, как это показано на рисунке. Чему равен периметр прямоугольни-ка AMKE, если периметр прямоугольника ABCD равен 24 см?

А) 6 см; Б) 8 см; В) 12 см; Г) 16 см.

1.14. Дано: ∆ABC, ∠C = 90°, AB = 10 см, BC = 51 см. Найдите cos A.

А) 751 ; Б)

517 ; В) 10

51 ; Г) 107 .

1.15. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра, диаметр основания которого равен 4 см, а образующая — 9 см?

А) 36π см2; Б) 72π см2; В) 12π см2; Г) 24π см2.

1.16. Окружность с центром в точке C (–2; 4) касается оси ординат. Чему равен радиус окружности?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

A

B C

DM K

E

24

1.9. В классе количество девочек является нечетным числом, а мальчиков в 2 раза больше, чем девочек. Каким может быть количество всех учащихся класса?

А) 25; Б) 30; В) 27; Г) 28.

1.10. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

А) 60; Б) 120; В) 25; Г) 240.

1.11. Функция f определена на множестве действительных чисел и не равна тождественно 0. Какая из данных функций является нечетной?

А) ( ) 2)(xfy = ; В) )(xfy = ; Б) |)(| xfy = ; Г) )()( xfxfy −−= .

1.12. Натуральные числа a и b таковы, что a — четное, а b — нечетное. Значение какого выражения может быть натуральным числом?

А) 13

ab++

; Б) ba ; В) 2

a b+ ; Г) 1a

b + .

1.13. Из четырех равных прямоугольников составлен прямоугольник ABCD так, как это показано на рисунке. Чему равен периметр прямоугольни-ка AMKE, если периметр прямоугольника ABCD равен 24 см?

А) 6 см; Б) 8 см; В) 12 см; Г) 16 см.

1.14. Дано: ∆ABC, ∠C = 90°, AB = 10 см, BC = 51 см. Найдите cos A.

А) 751 ; Б)

517 ; В) 10

51 ; Г) 107 .

1.15. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра, диаметр основания которого равен 4 см, а образующая — 9 см?


1.16. Окружность с центром в точке C (–2; 4) касается оси ординат. Чему равен радиус окружности?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

A

B C

DM K

E




1.1. Упростите выражение cos( )π α+ . А) αcos ; Б) – αcos ; В) αsin ; Г) – αsin .

1.2. Найдите значение выражения 3 63 34 ⋅ .

А) 36; Б) 12; В) 144; Г) 13.

1.3. Какое выражение принимает только отрицательные значения? А) 66 −x ; Б) – 66 −x ; В) 66 +− x ; Г) 6)6( −− x .

1.4. График какой функции изображен на рисунке? А) 8

xy = ;

Б) y x= 8 ;

В) xy 8= ;

Г) xy 8= . 1.5. Решите неравенство 0 2 53, x+ ≥ .

А) (– ∞; 2]; Б) [2; + ∞); В) [– 4; + ∞); Г) (– ∞; – 4].

1.6. Вычислите интеграл 5

21

dxx∫ .

А) 0,2; Б) 0,8; В) – 0,2; Г) – 0,8.

1.7. Найдите производную функции 23xey x −= .

А) 3' xey x −= ; В) xey x 6' −= ;

Б) xxey x 6' 1 −= − ; Г) 31' xxey x −= − .

1.8. При каком условии обязательно выполняется неравенство 22 ba > ? А) ba > ; Б) ba < ; В) 0<a и 0<b ; Г) 0<< ba .

1.9. Какое уравнение равносильно уравнению 2sin =x ? А) 2=xtg ; Б) 24 =x ; В) 232 =+x ; Г) 23 −=x .

y

10 x

1

1.10. Автомобиль первый час двигался со скоростью 100 км/ч, а осталь-ные 2 ч — со скоростью 70 км/ч. Чему равна средняя скорость движения автомобиля?

А) 80 км/ч; Б) 85 км/ч; В) 90 км/ч; Г) 75 км/ч.

1.11. Какова вероятность того, что наугад выбранное двузначное число крат-но числу 11?

А) 121 ; Б) 11

1 ; В) 101 ; Г) 9

1 .

1.12. Функция ( )y f x= определена на промежутке [a; b] и имеет производную в каждой точке об-ласти определения. На рисунке изображен график функции ( )y f x′= . Сколько промежут-ков убывания имеет функция )(xfy = ?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) нельзя определить.

1.13. Две стороны треугольника равны 24 см и 25 см. Укажите, какой может быть длина его третьей стороны.

А) 46 см; Б) 49 см; В) 50 см; Г) 1 см.

1.14. В треугольнике ABC известно, что 8 2AB = см, ,45°=∠C 30A∠ = ° . Найдите сторону BC. А) 38 см; Б) 8 см; В) 4 см; Г) 34 см.

1.15. Даны параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, которые проходят через прямую a и параллельны прямой b?

А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной.

1.16. На стороне AB параллелограмма ABCD, изображенного на рисунке, отметили точку M, а на стороне BC — точку K так, что AM : MB = 1 : 2, BK : KC = 2 : 3. Выразите век-тор MK через векторы AB a= и AD b= .

А) 1 22 3MK a b= + ;

Б) 1 23 5MK a b= + ;

В) 2 23 3MK a b= + ;

Г) 2 23 5MK a b= + .

y

x0

)(' xfy =

a b

A

B C

DM

K

26

1.10. Автомобиль первый час двигался со скоростью 100 км/ч, а осталь-ные 2 ч — со скоростью 70 км/ч. Чему равна средняя скорость движения автомобиля?

А) 80 км/ч; Б) 85 км/ч; В) 90 км/ч; Г) 75 км/ч.

1.11. Какова вероятность того, что наугад выбранное двузначное число крат-но числу 11?

А) 121 ; Б) 11

1 ; В) 101 ; Г) 9

1 .

1.12. Функция ( )y f x= определена на промежутке [a; b] и имеет производную в каждой точке об-ласти определения. На рисунке изображен график функции ( )y f x′= . Сколько промежут-ков убывания имеет функция )(xfy = ?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) нельзя определить.

1.13. Две стороны треугольника равны 24 см и 25 см. Укажите, какой может быть длина его третьей стороны.

А) 46 см; Б) 49 см; В) 50 см; Г) 1 см.

1.14. В треугольнике ABC известно, что 8 2AB = см, ,45°=∠C 30A∠ = ° . Найдите сторону BC. А) 38 см; Б) 8 см; В) 4 см; Г) 34 см.

1.15. Даны параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, которые проходят через прямую a и параллельны прямой b?

А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной.

1.16. На стороне AB параллелограмма ABCD, изображенного на рисунке, отметили точку M, а на стороне BC — точку K так, что AM : MB = 1 : 2, BK : KC = 2 : 3. Выразите век-тор MK через векторы AB a= и AD b= .

А) 1 22 3MK a b= + ;

Б) 1 23 5MK a b= + ;

В) 2 23 3MK a b= + ;

Г) 2 23 5MK a b= + .

y

x0

)(' xfy =

a b

A

B C

DM

K




1.1. Сколько корней имеет уравнение 4sin π=x ?

А) ни одного корня; Б) один корень;

В) два корня; Г) бесконечно много корней.


x≥ .

А) [2; + ∞); Б) [3; + ∞); В) (– ∞; 2]; Г) (– ∞; 3].

1.3. Вычислите значение выражения 5log 325 . А) 6; Б) 9; В) 125; Г) 5.

1.4. Представьте выражение 2 13 6:a a в виде степени.

А) 21

a ; Б) 4a ; В) 31

a ; Г) 61

a .

1.5. Решите уравнение log ( ),0 2 2 3 1x − = − .

А) 2,5; Б) 4; В) 1; Г) 1,4.

1.6. Один тракторист может вспахать поле за 4 ч, а другой — за 12 ч. За какое время они вспахали поле, работая вместе?

А) за 1 ч; Б) за 1,5 ч; В) за 2 ч; Г) за 3 ч.

1.7. Каково множество решений неравенства 13 >x ?

А) (– ∞; 3); Б) (3; + ∞); В) ( )10; 3 ; Г) (0; 3).

1.8. Укажите общий вид первообразных функции f x x( ) cos= 5 .

А) Cx +5sin ;

Б) Cx +5sin5 ;

В) Cx +5sin51 ;

Г) Cx +− 5sin51 .

1.9. Найдите значение производной функции xexf −=)( в точке 00 =x .

А) e; Б) 1; В) –1; Г) 0.

1.10. График функции xy 2= перенесли параллельно на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 4 единицы вверх вдоль оси ординат. График какой функции был получен? А) 42 3 += −xy ; Б) 42 3 −= −xy ; В) 42 3 += +xy ; Г) 42 3 −= +xy .

1.11. Функция )(xfy = является нечетной. Найдите )5(f , если 3)5( =−f .

А) 0; Б) 3; В) –3; Г) найти невозможно.

1.12. Пять карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что произведение номеров выбранных наугад двух карточек будет равным нечетному числу?

А) 0,1; Б) 0,3; В) 0,2; Г) 0,4.

1.13. На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 3 см. Какое расстояние между крайними точками?

А) 63 см; Б) 60 см; В) 57 см; Г) 54 см.

1.14. На рисунке изображены равные прямо-угольные треугольники ABC и ABD с об-щей гипотенузой AB, вписанные в ок-ружность. Градусная мера дуги CD рав-на 100°. Чему равен угол α?

А) 20°; Б) 45°; В) 40°; Г) 80°.

1.15. Точка A — некоторая точка простран-ства. Какую геометрическую фигуру образуют все точки пространства, уда-ленные от точки A на расстояние 5 см?

А) окружность; Б) круг; В) шар; Г) сферу.

1.16. Даны векторы ( 8; 4; 3)m − и (2; 6; 2)n − . Найдите координаты вектора 12b m n= − .

А) b (–7; 1; 2); Б) b (–9; 7; 2); В) b (–10; 10; 1); Г) b (–7; 7; 2).

α

C D

A Bα

28

1.11. Функция )(xfy = является нечетной. Найдите )5(f , если 3)5( =−f .

А) 0; Б) 3; В) –3; Г) найти невозможно.

1.12. Пять карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что произведение номеров выбранных наугад двух карточек будет равным нечетному числу?

А) 0,1; Б) 0,3; В) 0,2; Г) 0,4.

1.13. На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 3 см. Какое расстояние между крайними точками?

А) 63 см; Б) 60 см; В) 57 см; Г) 54 см.

1.14. На рисунке изображены равные прямо-угольные треугольники ABC и ABD с об-щей гипотенузой AB, вписанные в ок-ружность. Градусная мера дуги CD рав-на 100°. Чему равен угол α?

А) 20°; Б) 45°; В) 40°; Г) 80°.

1.15. Точка A — некоторая точка простран-ства. Какую геометрическую фигуру образуют все точки пространства, уда-ленные от точки A на расстояние 5 см?

А) окружность; Б) круг; В) шар; Г) сферу.

1.16. Даны векторы ( 8; 4; 3)m − и (2; 6; 2)n − . Найдите координаты вектора 12b m n= − .

А) b (–7; 1; 2); Б) b (–9; 7; 2); В) b (–10; 10; 1); Г) b (–7; 7; 2).

α

C D

A Bα




1.1. Решите уравнение 4 181x = .

А) 31 ; Б) 9

1 ; В) 31− ; 3

1 ; Г) 91− ; 9

1 .

1.2. Сравните 2 33 и 253 . А) 2 33 < 253 ; Б) 2 33 = 253 ;

В) 2 33 > 253 ; Г) сравнить невозможно.

1.3. Упростите выражение cos cos sin sin3 3α α α α+ . А) α4cos ; Б) α2cos ; В) α4sin ; Г) α2sin .

1.4. Решите неравенство log log, ,0 4 0 4 8x < . А) (– ∞; 8); Б) (0; 8); В) (0,4; 8); Г) (8; + ∞).

1.5. Областью определения какой функции является множество действитель-ных чисел? А) 4−= xy ; Б) 4+= xy ; В) 4|| −= xy ; Г) 4|| += xy .

1.6. Решите уравнение 213cos =x ⋅

А) ,23 kπ+π Zk ∈ ; В) ,32

9kπ+π± Zk ∈ ;

Б) ,23 kπ+π± Zk ∈ ; Г) ,29 kπ+π± Zk ∈ .

1.7. Решите неравенство 4 02x

x− ≥+ .

А) [–2; 4]; Б) ( ; 2) [4; )−∞ − +∞∪ ;

В) (–2; 4]; Г) ( ; 2] [4; )−∞ − +∞∪ .


1

2x dx∫ .

А) 15; Б) 30; В) –15; Г) –30.

1.9. Какая из функций является нечетной? А) 2xy = ; Б) xy 2= ; В) xy cos= ; Г) xy sin= .

1.10. При сушке яблоки теряют 84 % своей массы. Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить 4,8 кг сушеных?

А) 20 кг; Б) 200 кг; В) 30 кг; Г) 300 кг.

1.11. Функция )(xfy = определена на промежутке [– 4; 4] и имеет производную в каждой точке об-ласти определения. На рисунке изображен график функции

)(' xfy = . Найдите точки мини-мума функции )(xfy = . А) –3; Б) –1; 1; В) 0; Г) 3.

1.12. В коробке лежат 2 синих шара и несколько красных. Сколько красных шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется синим, равна 3

1 ?

А) 2 шара; Б) 3 шара; В) 4 шара; Г) 6 шаров.

1.13. Какое утверждение верно?

А) в любой ромб можно вписать окружность; Б) в любой прямоугольник можно вписать окружность; В) через любые три точки можно провести окружность; Г) около любого ромба можно описать окружность.

1.14. На сторонах AB и AC треугольника ABC, изо-браженного на рисунке, отметили точки D и E так, что DE || BC. Чему равна площадь треугольни-ка ABC, если 2=AD см, 4=AB см, а площадь тре-угольника ADE равна 2 см2?

А) 4 см2; Б) 8 см2; В) 12 см2; Г) 16 см2.

1.15. Вычислите объем цилиндра, осевым сечением которого является квадрат со стороной 8 см.


1.16. Найдите модуль вектора 3a , если (4; 4; 2)a − . А) 6; Б) 9; В) 12; Г) 18.

y

0 x1

1

-1-3 3

)(' xfy =

-4 4

A

B

CE

D

30

1.11. Функция )(xfy = определена на промежутке [– 4; 4] и имеет производную в каждой точке об-ласти определения. На рисунке изображен график функции

)(' xfy = . Найдите точки мини-мума функции )(xfy = . А) –3; Б) –1; 1; В) 0; Г) 3.

1.12. В коробке лежат 2 синих шара и несколько красных. Сколько красных шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется синим, равна 3

1 ?

А) 2 шара; Б) 3 шара; В) 4 шара; Г) 6 шаров.

1.13. Какое утверждение верно?

А) в любой ромб можно вписать окружность; Б) в любой прямоугольник можно вписать окружность; В) через любые три точки можно провести окружность; Г) около любого ромба можно описать окружность.

1.14. На сторонах AB и AC треугольника ABC, изо-браженного на рисунке, отметили точки D и E так, что DE || BC. Чему равна площадь треугольни-ка ABC, если 2=AD см, 4=AB см, а площадь тре-угольника ADE равна 2 см2?

А) 4 см2; Б) 8 см2; В) 12 см2; Г) 16 см2.

1.15. Вычислите объем цилиндра, осевым сечением которого является квадрат со стороной 8 см.


1.16. Найдите модуль вектора 3a , если (4; 4; 2)a − . А) 6; Б) 9; В) 12; Г) 18.

y

0 x1

1

-1-3 3

)(' xfy =

-4 4

A

B

CE

D




1.1. Упростите выражение ( )cos 2π +α .

А) αcos ; Б) – αcos ; В) αsin ; Г) – αsin .

1.2. Решите неравенство 0 5 0 25, ,x < .

А) (2; + ∞); Б) (– ∞; 2); В) (–2; + ∞); Г) (– ∞; –2).

1.3. Корнем какого уравнения является число 16?

А) 2log8 =x ; Б) 8log2 =x ; В) 2log4 =x ; Г) 4log4 =x .

1.4. Значение какого выражения является целым числом?

А) 2:27 31

; Б) 2log39 ; В) ( ) 223

−; Г) ( )21 62 .

1.5. Найдите производную функции 32( )f xx

= .

А) 22'( )

3f x

x= ; Б) 2

6'( )f xx

= − ; В) 42'( )

3f x

x= ; Г) 4

6'( )f xx

= − .

1.6. Вычислите интеграл ∫π

π−

2

2

sin dxx .

А) 0; Б) 1; В) 2; Г) –1.

1.7. Решите уравнение 213sin4cos3cos4sin =+ xxxx .

А) ,6)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Б) ,742)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

В) ,23 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) ,72

21kπ+π± Zk ∈ .

1.8. Для школы приобрели футбольные и баскетбольные мячи. Количество футбольных мячей относится к количеству баскетбольных как 3 : 4. Каким может быть количество всех приобретенных мячей?

А) 20; Б) 25; В) 30; Г) 35.

1.9. Областью определения какой функции является промежуток (– ∞; 4)?

А) xy −= 4 ; Б) )4lg( xy −= ; В) 14y x= − ; Г)

)4lg(1

xy

−= .

1.10. Известно, что для функции f и для любого числа x из промежутка [a; b] выполняется неравенство 0)(' <xf . Сравните )(af и )(bf . А) )(af < )(bf ; В) )(af = )(bf ; Б) )(af > )(bf ; Г) сравнить невозможно.

1.11. Шесть рабочих разгружают вагон за 3 ч. За какое время разгрузят этот вагон 54 рабочих, если производительность труда всех рабочих одинакова?

А) за 10 мин; Б) за 1 ч; В) за 20 мин; Г) за 1 ч 30 мин.

1.12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетны и различны?

А) 30; Б) 60; В) 120; Г) 150.

1.13. Углы треугольника относятся как 4 : 5 : 9. Чему равна разность между наибольшим и наименьшим углами треугольника?

А) 30°; Б) 40°; В) 50°; Г) 60°.

1.14. На рисунке изображен треугольник ABC, впи-санный в окружность, радиус которой равен R. Чему равна сторона AC треугольника, если сторона AB является диаметром описанной окружности?

А) R; Б) 2R ; В) 23R ; Г) 3R .

1.15. Прямая m проходит через середину стороны AB треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и BC, если прямая m не лежит в плоскости ABC ?

А) скрещивающиеся; Б) пересекаются;

В) параллельны; Г) установить невозможно.

1.16. Какой вектор коллинеарен вектору a (6; –27; 21)?

А) b (–2; 9; –7);

Б) c (12; 54; 42);

В) d (– 6; –27; –21);

Г) m (–2; –9; 7).

A B

C

O60°

32

1.10. Известно, что для функции f и для любого числа x из промежутка [a; b] выполняется неравенство 0)(' <xf . Сравните )(af и )(bf . А) )(af < )(bf ; В) )(af = )(bf ; Б) )(af > )(bf ; Г) сравнить невозможно.

1.11. Шесть рабочих разгружают вагон за 3 ч. За какое время разгрузят этот вагон 54 рабочих, если производительность труда всех рабочих одинакова?

А) за 10 мин; Б) за 1 ч; В) за 20 мин; Г) за 1 ч 30 мин.

1.12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетны и различны?

А) 30; Б) 60; В) 120; Г) 150.

1.13. Углы треугольника относятся как 4 : 5 : 9. Чему равна разность между наибольшим и наименьшим углами треугольника?

А) 30°; Б) 40°; В) 50°; Г) 60°.

1.14. На рисунке изображен треугольник ABC, впи-санный в окружность, радиус которой равен R. Чему равна сторона AC треугольника, если сторона AB является диаметром описанной окружности?

А) R; Б) 2R ; В) 23R ; Г) 3R .

1.15. Прямая m проходит через середину стороны AB треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и BC, если прямая m не лежит в плоскости ABC ?

А) скрещивающиеся; Б) пересекаются;

В) параллельны; Г) установить невозможно.

1.16. Какой вектор коллинеарен вектору a (6; –27; 21)?

А) b (–2; 9; –7);

Б) c (12; 54; 42);

В) d (– 6; –27; –21);

Г) m (–2; –9; 7).

A B

C

O60°




1.1. Упростите выражение a520.

А) 15a ; Б) 4a ; В) 15 a ; Г) 4 a .

1.2. Вычислите значение выражения cos , sin ,2 222 5 22 5°− ° .

А) 21 ; Б) 3

3 ; В) 22 ; Г) 2

3 .

1.3. Найдите значение выражения log log6 69 4+ .

А) 13log6 ; Б) 12; В) 6; Г) 2.

1.4. Какое наибольшее значение принимает функция 14cos3)( −= xxf ?

А) 11; Б) 2; В) 4; Г) 1.

1.5. Решите неравенство 7 3432− ≤x .

А) [–1; + ∞); Б) (– ∞; –1]; В) (– ∞; 5]; Г) [–5; + ∞).

1.6. Найдите область определения функции x

xflg2

1)(−

= .

А) (0;100) (100; )+∞∪ ; Б) (100 ; + ∞);

В) (0; + ∞); Г) (0; 100).

1.7. Какая фигура на координатной плоскости всегда является графиком некоторой функции?

А) прямая; Б) точка; В) окружность; Г) угол.

1.8. Решите уравнение 14 =xtg .

А) ,4 kπ+π Zk ∈ ; В) ,24 kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,kπ+π Zk ∈ ; Г) ,416kπ+π Zk ∈ .

1.9. Какая функция является первообразной функции 21( )

cos 2f x

x= ?

А) xxF 22)( tg= ;

Б) xxF 2)( tg−= ;

В) xxF 221)( tg= ;

Г) xxF 221)( tg−= .

1.10. Чему равно наименьшее решение неравенства 2( 1) ( 5) 02

x xx

− − ≤− ?

А) 1; Б) 2; В) 5; Г) 0.

1.11. Материальная точка движется прямолинейно по закону 18123)( 2 +−= ttts (время t измеряется в секундах, перемещение s —

в метрах). Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

А) 2 с; Б) 3 с; В) 4 с; Г) 6 с.

1.12. Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число, кратное 3? А) 2

1 ; Б) 31 ; В) 6

1 ; Г) 1.

1.13. В прямоугольном треугольнике ABC (∠С=90°) известно, что AC = 12 см, tg A = 4

3 . Найдите катет BC.

А) 16 см; Б) 9 см; В) 12 см; Г) 18 см.

1.14. На рисунке изображены четыре окружности, ради-ус каждой из которых равен R. Каждая окружность касается двух других окружностей. Какова длина выделенной линии?

А) πR; Б) 2πR; В) 4πR; Г) 6πR.

1.15. Точки A, B и C таковы, что 1=AB см, 2=BC см, 3=AC см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки A, B и C ?

А) одна; Б) две; В) ни одной; Г) бесконечно много.

1.16. Найдите координаты вектора MK , если M (2; 4; – 3) и K (8; 1; 0). А) MK (10; 5; –3); Б) MK (– 6; 3; –3);

В) MK (6; –3; 3); Г) MK (16; 4; 0).

34

1.10. Чему равно наименьшее решение неравенства 2( 1) ( 5) 02

x xx

− − ≤− ?

А) 1; Б) 2; В) 5; Г) 0.

1.11. Материальная точка движется прямолинейно по закону 18123)( 2 +−= ttts (время t измеряется в секундах, перемещение s —

в метрах). Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

А) 2 с; Б) 3 с; В) 4 с; Г) 6 с.

1.12. Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число, кратное 3? А) 2

1 ; Б) 31 ; В) 6

1 ; Г) 1.

1.13. В прямоугольном треугольнике ABC (∠С=90°) известно, что AC = 12 см, tg A = 4

3 . Найдите катет BC.

А) 16 см; Б) 9 см; В) 12 см; Г) 18 см.

1.14. На рисунке изображены четыре окружности, ради-ус каждой из которых равен R. Каждая окружность касается двух других окружностей. Какова длина выделенной линии?

А) πR; Б) 2πR; В) 4πR; Г) 6πR.

1.15. Точки A, B и C таковы, что 1=AB см, 2=BC см, 3=AC см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки A, B и C ?

А) одна; Б) две; В) ни одной; Г) бесконечно много.

1.16. Найдите координаты вектора MK , если M (2; 4; – 3) и K (8; 1; 0). А) MK (10; 5; –3); Б) MK (– 6; 3; –3);

В) MK (6; –3; 3); Г) MK (16; 4; 0).




1.1. Вычислите значение выражения ( )771 183 ⋅ − .

А) 18; Б) –18; В) 6; Г) – 6.

1.2. Какая из функций возрастает на промежутке (0; + ∞)? А) xy 7,0log= ; Б) xy 7= ; В) 27xy −= ; Г) xy 7−= .

1.3. Решите неравенство ( ) ( )44 4xπ π> .

А) (0; 4); Б) (4; +∞); В) (–∞; 4); Г) (–∞; +∞).

1.4. На каком рисунке изображен график функции ( )tg 2y xπ= − ?

y

x0

А)

2π

2π−

23ππ

y

x0

В)

2π

2π−

23ππ

y

x0

Б)

2π

2π− 2

3ππ

y

x0

Г)

2π

2π−

23ππ

1.5. Какая функция является обратимой?

А) 2xy = ; Б) xy tg= ; В) xy lg= ; Г) || xy = .

1.6. Чему равно значение выражения 3log8log 23 ⋅ ?

А) 31 ; Б) 2; В) 4; Г) 3.

1.7. Найдите корни уравнения 224cos −=x .

А) ,216kπ+π± Zk ∈ ;

Б) ,2163 kπ+π± Zk ∈ ;

В) ,416)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Г) ,216)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ .

1.8. Укажите первообразную функции 38)( xxf = , график которой проходит через точку )2;1(A .

А) 42)( xxF = ;

Б) 2224)( 2 −= xxF ;

В) 12)( 4 −= xxF ;

Г) 1)( 4 += xxF .

1.9. Сколько критических точек имеет функция 145,131)( 23 +−+= xxxxf на

промежутке [–5; 0] ?

А) 3; Б) 2; В) 1; Г) ни одной.

1.10. Известно, что bba −=+ , где 0≠a . Какое из неравенств обязательно выполняется? А) 0 .

1.11. Утром из автобусного парка выехало 30 % всех автобусов. До обеда 10 % из них вернулись. Какой процент всех автобусов остался на маршруте?

А) 20 %; Б) 24 %; В) 25 %; Г) 27 %.

1.12. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что выпадут два герба? А) 1; Б) 2

1 ; В) 41 ; Г) 8

1 .

1.13. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к ос-нованию, если его боковая сторона равна 13 см, а основание — 24 см.

А) 5 см; Б) 25 см; В) 10 см; Г) 15 см.

1.14. Дано: ∆ABC и ∆MKE, ∠A = ∠M, ∠B = ∠K, AB = 24 см, AC = 18 см, MK = 8 см. Найдите сторону ME.

А) 4 см; Б) 6 см; В) 8 см; Г) 9 см.

1.15. Вычислите объем цилиндра, радиус основания которого равен 9 см, а образующая — 4 см.


1.16. В прямоугольной системе координат расположен куб ABCDA1B1C1D1 так, как показано на рисунке (вершина B1 — начало координат). Укажите координаты вершины D, если ребро куба равно 1.

А) (1; 1; 1); Б) (1; 1; –1);

В) (1; –1; 1); Г) (–1; 1; 1).

B

AC

D

A1

B1 C1

D1y

x

z

36

1.8. Укажите первообразную функции 38)( xxf = , график которой проходит через точку )2;1(A .

А) 42)( xxF = ;

Б) 2224)( 2 −= xxF ;

В) 12)( 4 −= xxF ;

Г) 1)( 4 += xxF .

1.9. Сколько критических точек имеет функция 145,131)( 23 +−+= xxxxf на

промежутке [–5; 0] ?

А) 3; Б) 2; В) 1; Г) ни одной.

1.10. Известно, что bba −=+ , где 0≠a . Какое из неравенств обязательно выполняется? А) 0 .

1.11. Утром из автобусного парка выехало 30 % всех автобусов. До обеда 10 % из них вернулись. Какой процент всех автобусов остался на маршруте?

А) 20 %; Б) 24 %; В) 25 %; Г) 27 %.

1.12. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что выпадут два герба? А) 1; Б) 2

1 ; В) 41 ; Г) 8

1 .

1.13. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к ос-нованию, если его боковая сторона равна 13 см, а основание — 24 см.

А) 5 см; Б) 25 см; В) 10 см; Г) 15 см.

1.14. Дано: ∆ABC и ∆MKE, ∠A = ∠M, ∠B = ∠K, AB = 24 см, AC = 18 см, MK = 8 см. Найдите сторону ME.

А) 4 см; Б) 6 см; В) 8 см; Г) 9 см.

1.15. Вычислите объем цилиндра, радиус основания которого равен 9 см, а образующая — 4 см.


1.16. В прямоугольной системе координат расположен куб ABCDA1B1C1D1 так, как показано на рисунке (вершина B1 — начало координат). Укажите координаты вершины D, если ребро куба равно 1.

А) (1; 1; 1); Б) (1; 1; –1);

В) (1; –1; 1); Г) (–1; 1; 1).

B

AC

D

A1

B1 C1

D1y

x

z




1.1. Представьте в виде степени с основанием x выражение 62

3x−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А) 3−x ; Б) 4−x ; В) 320−

x ; Г) 316

x .

1.2. Упростите выражение 22

1 ctgsin

− αα

.

А) 1; Б) –1; В) α2sin ; Г) α2cos .

1.3. Графику какой из функций принадлежит точка ( )1 ; 327B − ?

А) xy 3= ; Б) 3 xy = ; В) xy 3log= ; Г) 3−= xy .

1.4. Значение какого выражения является иррациональным числом? А) 4log2 ; Б) 2log 32 ; В) ( )24 2 ; Г) 4

1log2 .

1.5. Решите неравенство 0 2 0 041, ,x+ ≤ . А) [1; + ∞); Б) (– ∞; 1]; В) [–1; + ∞); Г) (– ∞; –1].

1.6. Найдите корни уравнения ( )sin 4 12x π+ = .

А) ,28kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,22 kπ+π Zk ∈ ;

В) ,2 kπ Zk ∈ ;

Г) ,2kπ Zk ∈ .

1.7. Найдите производную функции f x x( ) ( )= +3 1 5 .

А) 5)13(3)(' += xxf ;

Б) 4)13(5)(' += xxf ;

В) 4)13(15)(' += xxf ;

Г) 4)13(8)(' += xxf .

1.8. Вычислите площадь заштрихованной фигу-ры, изображенной на рисунке. А) 3

12 ;

Б) 213 ;

В) 7;

Г) 321 .

y

10 x2

y = x2

1.9. Укажите область определения функции 4 ( 3)( 2)y x x= + − .

А) [2; + ∞); Б) (– ∞; + ∞);

В) [–3; 2]; Г) ( ; 3] [2; )−∞ − +∞∪ .

1.10. На каком рисунке изображен график четной функции?

y

x0

А) y

x0

Б) y

x0

В)

y

x0

Г)

1.11. В лотерее разыгрываются 16 денежных и 20 вещевых призов. Всего есть 1800 лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет, не выиграть ни одного приза?

А) 501 ; Б) 50

3 ; В) 5047 ; Г) 50

49 .

1.12. Цену товара снизили на 20 %, и он стал стоить 124 грн. Какой была первоначальная цена товара?

А) 155 грн; Б) 180 грн; В) 540 грн; Г) 620 грн.

1.13. На рисунке изображен равносторонний треуголь-ник ABC. Чему равна сумма углов α и β?

А) 60°; Б) 120°; В) 240°; Г) 180°.

1.14. Вычислите площадь ромба, диагонали которого рав-ны 10 см и 36 см.

А) 360 см2; Б) 180 см2; В) 90 см2; Г) 92 см2.

1.15. Радиус одного шара в 2 раза больше радиуса другого шара. Чему равен объем шара большего радиуса, если объем шара меньшего радиуса ра-вен 1 см3?

А) 2 см3; Б) 4 см3; В) 6 см3; Г) 8 см3.

1.16. Укажите верное равенство для векторов, изображенных на рисунке.

А) 0a b c+ − =��

;

Б) 0a b c+ + =��

;

В) 0a b c− + =��

;

Г) 0a b c− − =��

.

B

A C

α β

ca

b

38

1.9. Укажите область определения функции 4 ( 3)( 2)y x x= + − .

А) [2; + ∞); Б) (– ∞; + ∞);

В) [–3; 2]; Г) ( ; 3] [2; )−∞ − +∞∪ .

1.10. На каком рисунке изображен график четной функции?

y

x0

А) y

x0

Б) y

x0

В)

y

x0

Г)

1.11. В лотерее разыгрываются 16 денежных и 20 вещевых призов. Всего есть 1800 лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет, не выиграть ни одного приза?

А) 501 ; Б) 50

3 ; В) 5047 ; Г) 50

49 .



1.13. На рисунке изображен равносторонний треуголь-ник ABC. Чему равна сумма углов α и β?

А) 60°; Б) 120°; В) 240°; Г) 180°.

1.14. Вычислите площадь ромба, диагонали которого рав-ны 10 см и 36 см.

А) 360 см2; Б) 180 см2; В) 90 см2; Г) 92 см2.

1.15. Радиус одного шара в 2 раза больше радиуса другого шара. Чему равен объем шара большего радиуса, если объем шара меньшего радиуса ра-вен 1 см3?

А) 2 см3; Б) 4 см3; В) 6 см3; Г) 8 см3.

1.16. Укажите верное равенство для векторов, изображенных на рисунке.

А) 0a b c+ − =��

;

Б) 0a b c+ + =��

;

В) 0a b c− + =��

;

Г) 0a b c− − =��

.

B

A C

α β

ca

b




1.1. Решите уравнение x3 9= . А) 3; Б) 3

1 ; В) 3 9 ; Г) – 3 9 ; 3 9 .


61

pp .

А) 181

p ; Б) 91

p ; В) 21

p ; Г) 65

p .

1.3. Вычислите значение выражения ( )3tg arccos 2 .

А) 3 ; Б) 23 ; В) 3

3 ; Г) 21 .


x≤ ⋅

А) (– ∞; 3]; Б) [3; + ∞); В) (– ∞; –3]; Г) [–3; + ∞).

1.5. Значение какого выражения является отрицательным числом?

А) 5,05− ; Б) 5log 5,0 ; В) 1log5 ; Г) 1,0log 5,0 .

1.6. Решите уравнение 214cos2 2 =−x .

А) ,42arccos2 kπ+± Zk ∈ ;

Б) ,4 kπ Zk ∈ ; В) ,4 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) корней нет.

1.7. Сколько критических точек на проме-жутке [a; b] имеет функция, график которой изображен на рисунке?

А) 3; Б) 2; В) 4; Г) 5.

1.8. Вычислите интеграл ∫ −2

0)1( dxx .

А) 0; Б) 2; В) 4; Г) 5.

1.9. Укажите область определения функции 1lg( 4)y x=

−.

А) (0; + ∞); Б) (4; + ∞); В) (0; 4) (4; )+∞∪ ; Г) (4; 5) (5; )+∞∪ .

y

x0a b

1.10. Укажите пару взаимно обратных функций. А) 7xy = и 1

7logy x= ;

Б) 4y x= и 4xy = ;

В) xy e= и lny x= ; Г) y x= и y x= − .

1.11. Дана выборка 3, 5, 5, 7, 10, 4, 9, 10, 11. Чему равна медиана этой выборки? А) 10; Б) 7; В) 5; Г) 8.

1.12. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия )( na , если 301 =a , а разность 6,1−=d ?

А) 18; Б) 19; В) 20; Г) 21.

1.13. На рисунке изображены прямые a, b, c и d. Какое из утверждений верно?

А) a || b; Б) c || d; В) a || b и c || d; Г) на рисунке нет параллельных прямых.

1.14. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см?

А) 32 см; Б) 33 см; В) 34 см; Г) 36 см.

1.15. Вычислите объем шара с радиусом 6 см.


1.16. Укажите уравнение окружности, изображенной на рисунке.

А) 2)2()2( 22 =++− yx ;

Б) 2)2()2( 22 =−++ yx ;

В) 4)2()2( 22 =++− yx ;

Г) 4)2()2( 22 =−++ yx .

b

a

c d105°

105°

65°

y

x0 1

2

2

40

1.10. Укажите пару взаимно обратных функций. А) 7xy = и 1

7logy x= ;

Б) 4y x= и 4xy = ;

В) xy e= и lny x= ; Г) y x= и y x= − .

1.11. Дана выборка 3, 5, 5, 7, 10, 4, 9, 10, 11. Чему равна медиана этой выборки? А) 10; Б) 7; В) 5; Г) 8.

1.12. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия )( na , если 301 =a , а разность 6,1−=d ?

А) 18; Б) 19; В) 20; Г) 21.

1.13. На рисунке изображены прямые a, b, c и d. Какое из утверждений верно?

А) a || b; Б) c || d; В) a || b и c || d; Г) на рисунке нет параллельных прямых.

1.14. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см?

А) 32 см; Б) 33 см; В) 34 см; Г) 36 см.

1.15. Вычислите объем шара с радиусом 6 см.


1.16. Укажите уравнение окружности, изображенной на рисунке.

А) 2)2()2( 22 =++− yx ;

Б) 2)2()2( 22 =−++ yx ;

В) 4)2()2( 22 =++− yx ;

Г) 4)2()2( 22 =−++ yx .

b

a

c d105°

105°

65°

y

x0 1

2

2




1.1. Какая из функций убывает на всей своей области определения?

А) 4 xy = ; Б) 4xy = ; В) ( )14

xy = ; Г) xy 4= .

1.2. График какой функции изображен на рисунке? А) xy sin= ; Б) xy cos= ; В) xy sin−= ; Г) xy cos−= .

y

1

0 x-1 π 2π-π

1.3. Решите уравнение ( )5 77 5

x= .

А) 1; Б) –1; В) 0; Г) корней нет.

1.4. Решите неравенство log8 2x ≤ . А) (– ∞; 16]; Б) (– ∞; 64]; В) (0; 64]; Г) [0; 16].

1.5. Упростите выражение a a45 .

А) 10 a ; Б) 9 2a ; В) a ; Г) 4 a .

1.6. Упростите выражение cos cos2 2 2α α− . А) α2sin ; Б) α− 2cos41 ; В) 1; Г) –1.

1.7. Найдите производную функции f x x x( ) = + 3 4 .

А) 31'( ) 72

f x xx

= + ;

Б) 3'( ) 7f x x x= + ;

В) 21 3'( ) 52

xf xx

= + ;

Г) 31'( ) 122

f x xx

= + .


31

dxx∫ .

А) 83 ; Б) – 8

3 ; В) 6415 ; Г) – 64

15 .

1.9. Найдите сумму корней уравнения 0423 43 =−⋅−⋅− xxx . А) 9; Б) 7; В) –1; Г) 1.

1.10. Графиком какой из функций не является прямая xy = ?

А) xy 3log3= ; Б) 5 5xy = ; В) xy 3log3= ; Г) 3 3xy = .

1.11. Как изменится частное двух положительных чисел, если делимое увели-чить на 50 %, а делитель уменьшить на 50 %?

А) не изменится; Б) увеличится в 2 раза;

В) уменьшится в 4 раза; Г) увеличится в 3 раза.

1.12. В коробке лежат 4 белых и 5 синих шаров. Какое наименьшее количест-во шаров надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди вынутых шаров окажется хотя бы б один белый, была равной 1?

А) 6 шаров; Б) 5 шаров; В) 4 шара; Г) 3 шара.

1.13. На стороне BC параллелограмма ABCD, изображенного на рисунке, отметили точ-ку E. Чему равно отношение площади тре-угольника AED к площади параллелограм-ма ABCD?

А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : 3; Г) 2 : 3.

1.14. Чему равен больший из углов равнобокой трапеции, если один из них в 8 раз меньше другого?

А) 80°; Б) 160°; В) 135°; Г) 150°.

1.15. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а ее боковое ребро — 32 см. Вычислите объем призмы.

А) 24 см3; Б) 48 см3; В) 324 см3; Г) 316 см3.

1.16. Относительно какой точки симметричны точки A(–2; 3; 4) и (0; 1; 6)B − − ?

А) С (–2; 4; –10); Б) D (–1; 1; –1);

В) E (1; 1; –2); Г) F (–2; 2; –2).

A

B CE

D

42

1.10. Графиком какой из функций не является прямая xy = ?

А) xy 3log3= ; Б) 5 5xy = ; В) xy 3log3= ; Г) 3 3xy = .

1.11. Как изменится частное двух положительных чисел, если делимое увели-чить на 50 %, а делитель уменьшить на 50 %?

А) не изменится; Б) увеличится в 2 раза;

В) уменьшится в 4 раза; Г) увеличится в 3 раза.

1.12. В коробке лежат 4 белых и 5 синих шаров. Какое наименьшее количест-во шаров надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди вынутых шаров окажется хотя бы б один белый, была равной 1?

А) 6 шаров; Б) 5 шаров; В) 4 шара; Г) 3 шара.

1.13. На стороне BC параллелограмма ABCD, изображенного на рисунке, отметили точ-ку E. Чему равно отношение площади тре-угольника AED к площади параллелограм-ма ABCD?

А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : 3; Г) 2 : 3.

1.14. Чему равен больший из углов равнобокой трапеции, если один из них в 8 раз меньше другого?

А) 80°; Б) 160°; В) 135°; Г) 150°.

1.15. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а ее боковое ребро — 32 см. Вычислите объем призмы.

А) 24 см3; Б) 48 см3; В) 324 см3; Г) 316 см3.

1.16. Относительно какой точки симметричны точки A(–2; 3; 4) и (0; 1; 6)B − − ?

А) С (–2; 4; –10); Б) D (–1; 1; –1);

В) E (1; 1; –2); Г) F (–2; 2; –2).

A

B CE

D



ответ и отметьте его в бланке ответов. 1.1. Какое из равенств является тождеством?

А) α=α−π cos)cos( ; В) α−=α−π cos)(cos ;

Б) ( )tg tg2π −α = α ; Г) ( )3ctg tg2

π −α = − α .

1.2. Известно, что cba111 += . Выразите из этого равенства переменную b

через переменные a и c. А) acb a c=

−; Б) acb c a=

−; В) b a c= − ; Г) a cb ac

−= .

1.3. График какой функции изображен на рисунке?

А) y x= 3 ; Б) y x= log3 ;

В) xy31log= ;

Г) ( )13

xy = .

1.4. Решите неравенство log log37

37

5x > .

А) (5; +∞); Б) (– ∞; 5);

В) (0; 5); Г) (0; 5) (5; )+∞∪ .

1.5. Сократите дробь 3 23 2

33

nm

nm

−

+ .

А) 33

1nm −

; Б) 33

1nm +

; В) 33 nm − ; Г) 33 nm + .

1.6. Решите уравнение 3tgtg =x .

А) 3; Б) kπ+3 , Zk ∈ ;

В) kπ+3arctg , Zk ∈ ; Г) корней нет.

1.7. Найдите область определения функции )3)(2()( xxxf −+= .

А) ( ; 2] [3; )−∞ − +∞∪ ; Б) (– ∞; –2]; В) [3; + ∞); Г) [–2; 3].

1.8. Укажите общий вид первообразных функции 54( )f xx

= .

А) 41 Cx

− + ; Б) 620 Cx

− + ; В) 62

3C

x− + ; Г) – 4

1x

.

y

0 x

1

1

1.9. В двух корзинах было поровну яблок. Из первой корзины переложили во вторую треть яблок. Во сколько раз во второй корзине стало больше яблок, чем в первой?

А) в 1,5 раза; Б) в 2 раза;

В) в 3 раза; Г) зависит от количества яблок.

1.10. Сколько корней имеет уравнение 1|1| 22 −−=+ xx ?

А) бесконечно много; Б) 1; В) 2; Г) ни одного.

1.11. Найдите абсциссу точки графика функции xxxf 4)( 2 −= , в которой касательная к этому графику параллельна прямой 26 += xy .

А) 5; Б) 1; В) 3; Г) –1.

1.12. После того как из шкафа, в котором было 70 книг, взяли 10 книг по ма-тематике, вероятность взять еще одну книгу по математике составила 3

1 .

Сколько книг по математике было в шкафу первоначально?

А) 20 книг; Б) 25 книг; В) 30 книг; Г) 45 книг.

1.13. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота, проведенная к ней, — 8 см.

А) 20 см2; Б) 40 см2; В) 48 см2; Г) 96 см2.

1.14. На рисунке изображены треугольники ABC и ACD такие, что 90ABC ACD∠ = ∠ = ° . Какова длина отрезка x (длины отрезков на рисунке при-ведены в сантиметрах)?

А) 5 см; Б) 7 см; В) 3 см; Г) 2 см.

1.15. Треугольник ABC и плоскость α расположены так, что каждая из прямых AB и AC параллельна плоскости α. Каково взаимное расположение прямой BC и плоскости α?

А) прямая параллельна плоскости; Б) прямая принадлежит плоскости; В) прямая пересекает плоскость; Г) установить невозможно.

1.16. Найдите расстояние от точки A (1; 2; –2) до начала координат.

А) 9; Б) 3; В) 1; Г) 4.

A

B C

2

12

D

x

44

1.9. В двух корзинах было поровну яблок. Из первой корзины переложили во вторую треть яблок. Во сколько раз во второй корзине стало больше яблок, чем в первой?

А) в 1,5 раза; Б) в 2 раза;

В) в 3 раза; Г) зависит от количества яблок.

1.10. Сколько корней имеет уравнение 1|1| 22 −−=+ xx ?

А) бесконечно много; Б) 1; В) 2; Г) ни одного.

1.11. Найдите абсциссу точки графика функции xxxf 4)( 2 −= , в которой касательная к этому графику параллельна прямой 26 += xy .

А) 5; Б) 1; В) 3; Г) –1.

1.12. После того как из шкафа, в котором было 70 книг, взяли 10 книг по ма-тематике, вероятность взять еще одну книгу по математике составила 3

1 .

Сколько книг по математике было в шкафу первоначально?

А) 20 книг; Б) 25 книг; В) 30 книг; Г) 45 книг.

1.13. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота, проведенная к ней, — 8 см.

А) 20 см2; Б) 40 см2; В) 48 см2; Г) 96 см2.

1.14. На рисунке изображены треугольники ABC и ACD такие, что 90ABC ACD∠ = ∠ = ° . Какова длина отрезка x (длины отрезков на рисунке при-ведены в сантиметрах)?

А) 5 см; Б) 7 см; В) 3 см; Г) 2 см.

1.15. Треугольник ABC и плоскость α расположены так, что каждая из прямых AB и AC параллельна плоскости α. Каково взаимное расположение прямой BC и плоскости α?

А) прямая параллельна плоскости; Б) прямая принадлежит плоскости; В) прямая пересекает плоскость; Г) установить невозможно.

1.16. Найдите расстояние от точки A (1; 2; –2) до начала координат.

А) 9; Б) 3; В) 1; Г) 4.

A

B C

2

12

D

x




1.1. Решите неравенство 18,0 <x . А) (1; + ∞); Б) (– ∞; 1); В) (0; + ∞); Г) (– ∞; 0).

1.2. Чему равно значение выражения 3 93 25 ⋅ ? А) 20; Б) 40; В) 80; Г) 100.

1.3. График какой функции проходит через точку K(1; 0)? А) xy cos= ; Б) xy sin= ; В) 3 xy = ; Г) xy ln= .

1.4. Найдите значение выражения 613cos π ⋅

А) – 21 ; Б) – 2

3 ; В) 21 ; Г) 2

3 .

1.5. Решите уравнение 2 3 3x − = .

А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 9.

1.6. Чему равно значение выражения 10log2221 ⋅ ?

А) 20; Б) 10; В) 5; Г) 10log2 .

1.7. Решите уравнение 2sincos 22 =− xx . А) ,24 kπ+π± Zk ∈ ;

Б) ,8 kπ+π± Zk ∈ ; В) ,2arccos2

1 kπ+± Zk ∈ ;

Г) корней нет .

1.8. На одном из рисунков изображен график функции 1−= xey . Укажите этот рисунок.

y

x0

А)

-1

y

x0

Б)

1

2

y

x0

В)

e

y

x0

Г)

e1

1.9. Найдите производную функции 2 1( ) 3

xf x x−= + ⋅

А) 25'( )

( 3)f x

x= −

+;

Б) 27'( )

( 3)f x

x= −

+;

В) 27'( )

( 3)f x

x=

+;

Г) 25'( )

( 3)f x

x=

+.

1.10. Сумма второго и девятого членов арифметической прогрессии равна 6. Чему равна сумма первых десяти членов этой прогрессии?

А) 120; Б) 60; В) 30; Г) установить невозможно.

1.11. В ящике лежат 27 шаров, из которых 13 шаров — синие, а 7 шаров — красные. Из ящика наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет или синего, или красного цвета?

А) 91 ; Б) 27

20 ; В) 72 ; Г) 27

14 .



1.13. На рисунке изображен равносторонний треуголь-ник ABC, O — точка пересечения его биссектрис. Чему равен угол BOC?

А) 150°; Б) 135°; В) 90°; Г) 120°.

1.14. Из восьми равных равносторонних треугольников составили трапецию, изображенную на рисунке. Чему равна площадь трапеции, если ее периметр ра-вен 16 см?

А) 16 см2; Б) 316 см2; В) 8 см2; Г) 38 см2.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а апофема — 12 см.

А) 288 см2; Б) 576 см2; В) 144 см2; Г) 192 см2.

1.16. Даны точки A (1; 6; 4), B (3; 2; 5), C (0; –1; 1), D (2; –5; 2). Какое из утверждений верно?

А) AB CD= ; Б) AB CD= − ; В) 2AB CD= ; Г) 12AB CD= .

A

B

C

O

46

1.10. Сумма второго и девятого членов арифметической прогрессии равна 6. Чему равна сумма первых десяти членов этой прогрессии?

А) 120; Б) 60; В) 30; Г) установить невозможно.

1.11. В ящике лежат 27 шаров, из которых 13 шаров — синие, а 7 шаров — красные. Из ящика наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет или синего, или красного цвета?

А) 91 ; Б) 27

20 ; В) 72 ; Г) 27

14 .



1.13. На рисунке изображен равносторонний треуголь-ник ABC, O — точка пересечения его биссектрис. Чему равен угол BOC?

А) 150°; Б) 135°; В) 90°; Г) 120°.

1.14. Из восьми равных равносторонних треугольников составили трапецию, изображенную на рисунке. Чему равна площадь трапеции, если ее периметр ра-вен 16 см?

А) 16 см2; Б) 316 см2; В) 8 см2; Г) 38 см2.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а апофема — 12 см.

А) 288 см2; Б) 576 см2; В) 144 см2; Г) 192 см2.

1.16. Даны точки A (1; 6; 4), B (3; 2; 5), C (0; –1; 1), D (2; –5; 2). Какое из утверждений верно?

А) AB CD= ; Б) AB CD= − ; В) 2AB CD= ; Г) 12AB CD= .

A

B

C

O




1.1. На рисунке изображен график функции xy alog= . Какое из утверждений верно?

А) 0<a ; Б) 10 << a ;

В) 1=a ; Г) 1>a .

1.2. Графиком какой из функций является гипербола?

А) 6xy = ; Б) 6

2xy = ; В) xy 6= ; Г) xy 6= .

1.3. Представьте выражение m m−2 4 0 6, ,: в виде степени.

А) 3−m ; Б) 4−m ; В) 4,0−m ; Г) 6,1−m .

1.4. Вычислите значение выражения ( )0,4log 2 sin 6π+ .

А) 2,5; Б) 1; В) 0; Г) –1.

1.5. Упростите выражение sin 5 sincos3α − α

α.

А) α3sin2 ; Б) α2sin2 ; В) α3cos2 ; Г) α2cos .

1.6. Решите неравенство 3 272 5x− ≤ .

А) (– ∞; 7]; Б) (– ∞; 2]; В) (– ∞; –1]; Г) (– ∞; 4].

1.7. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии )( nb , если

1 6b = , 32 −=b ? А) 12; Б) 4; В) 9; Г) 3.

1.8. Найдите производную функции 21( ) 6 52f x x x= − + .

А) 31'( ) 16f x x= − ;

Б) 31'( ) 63f x x= − ;

В) '( ) 1f x x= − ;

Г) '( ) 6f x x= − .

1.9. Какая функция является первообразной функции 2( )x

f x e= ?

А) 2( ) 2x

F x e= ; Б) 21( ) 2x

F x e= ; В) 2( )x

F x e= ; Г) 1

2( )x

F x e+

= .

y

x0

1.10. Какое уравнение имеет бесконечно много корней? А) arccos 1x = ; Б) cos 1x = ; В) 2arccos 3x π= ; Г) 2cos 3x π= .

1.11. График функции xy tg= перенесли параллельно на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс. График какой функции был получен?

А) 2+= xy tg ; Б) 2−= xy tg ; В) )2( −= xy tg ; Г) )2( += xy tg .

1.12. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 6, 7, 8, 9, 0?

А) 120; Б) 100; В) 96; Г) 108.

1.13. В треугольнике MNK известно, что MN = 12 см, NK = 16 см, KM = 14 см, точка F — середина стороны MN, точка E — середина стороны NK. Найдите периметр четырехугольника MFEK.

А) 42 см; Б) 35 см; В) 28 см; Г) 21 см.

1.14. На стороне AD параллелограмма ABCD отме-тили точку E такую, что CDBE = . Чему равен угол ABE, если α=∠C ?

А) 180° – 2α; Б) 90° + α;

В) α; Г) 2α.

1.15. Объем цилиндра равен 12 см3. Чему будет равным его объем, если радиус основания увеличить в 2 раза?

А) 24 см3; Б) 36 см3; В) 42 см3; Г) 48 см3.

1.16. Найдите координаты вектора 13 4q m n= + , если ( 1; 2; 0,5)m − − ,

(8; 4; 2)n − .

А) q (1; 1; 0);

Б) q (–5; 7; –2);

В) q (–1; 5; –1);

Г) q (5; 2; 0,5).

A

CBα

DE

48

1.10. Какое уравнение имеет бесконечно много корней? А) arccos 1x = ; Б) cos 1x = ; В) 2arccos 3x π= ; Г) 2cos 3x π= .

1.11. График функции xy tg= перенесли параллельно на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс. График какой функции был получен?

А) 2+= xy tg ; Б) 2−= xy tg ; В) )2( −= xy tg ; Г) )2( += xy tg .

1.12. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 6, 7, 8, 9, 0?

А) 120; Б) 100; В) 96; Г) 108.

1.13. В треугольнике MNK известно, что MN = 12 см, NK = 16 см, KM = 14 см, точка F — середина стороны MN, точка E — середина стороны NK. Найдите периметр четырехугольника MFEK.

А) 42 см; Б) 35 см; В) 28 см; Г) 21 см.

1.14. На стороне AD параллелограмма ABCD отме-тили точку E такую, что CDBE = . Чему равен угол ABE, если α=∠C ?

А) 180° – 2α; Б) 90° + α;

В) α; Г) 2α.

1.15. Объем цилиндра равен 12 см3. Чему будет равным его объем, если радиус основания увеличить в 2 раза?

А) 24 см3; Б) 36 см3; В) 42 см3; Г) 48 см3.

1.16. Найдите координаты вектора 13 4q m n= + , если ( 1; 2; 0,5)m − − ,

(8; 4; 2)n − .

А) q (1; 1; 0);

Б) q (–5; 7; –2);

В) q (–1; 5; –1);

Г) q (5; 2; 0,5).

A

CBα

DE




1.1. Упростите выражение ctg sinα α . А) αsin ; Б) αcos ; В) αtg ; Г) αctg .

1.2. Решите уравнение x6 5= .

А) 65 ; Б) 6 5 ; В) – 6 5 ; 6 5 ; Г) корней нет.

1.3. Сократите дробь 27

57 1

a a

a

−

−⋅

А) 27a ; Б)

27 1a − ; В)

27 1a + ; Г)

57a .

1.4. Решите уравнение 3tg3 3x = .

А) ,6 kπ+π Zk ∈ ; В) ,318kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,39kπ+π Zk ∈ ; Г) ,18 kπ+π Zk ∈ .

1.5. При каком значении x выполняется равенство 2 4 23 10x x⋅ = ?

А) 2,5; Б) 2; В) 1,5; Г) 1.

1.6. Найдите производную функции f x x x( ) = −6 .

А) 16)(' 5 −= xxf ; В) xxxf −= 56)(' ;

Б) 56)(' xxf = ; Г) 17)('7−= xxf .

1.7. Укажите первообразную функции xxf cos)( = , график которой

проходит через точку ( ); 62A π .

А) 5sin)( += xxF ; В) 6sin)( += xxF ; Б) 7sin)( +−= xxF ; Г) 6sin)( +−= xxF .

1.8. Какой процент содержания сахара в растворе, если в 600 г раствора содержится 27 г сахара?

А) 3 %; Б) 3,5 %; В) 4 %; Г) 4,5 %.

1.9. Функция )(xfy = определена на промежутке [–8; 3] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график ее производной )(' xfy = . Укажите точки минимума функции

)(xfy = .

А) 0; Б) – 4; В) – 6; –3; 2; Г) – 6; 2.

63

y

0 x28

3

1.10. Решите неравенство log 3 2x ≤ .

А) (– ∞; 3]; Б) (0; 3]; В) [0; 3]; Г) (– ∞; 9].

1.11. Среди 100 деталей есть 28 деталей вида A, 36 деталей вида B, а остальные детали — вида C. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет или вида A, или вида B?

А) 0,64; Б) 0,08; В) 0,1008; Г) 0,32.

1.12. Укажите множество значений функции 2)1(4 +−= xy . А) (– ∞; 4]; Б) [4; + ∞); В) (– ∞; –1]; Г) [–1; + ∞).

1.13. Отрезок AB — диаметр окружности, изображенной

на рисунке, °=β 20 . Найдите угол α. А) 25°; В) 70°; Б) 50°; Г) 45°.

1.14. Разность двух сторон параллелограмма равна 8 см, а его периметр — 48 см. Чему равна меньшая из сторон параллелограмма?

А) 6 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 12 см.

1.15. Высота конуса равна 14 см, а угол при вершине осевого сечения — 120°. Найдите радиус основания конуса.

А) 314 см; Б) 3314 см; В) 37 см; Г) 7 см.

1.16. При каком значении n векторы (1; ; 2)a n и ( 2;1; )b n− перпендику-лярны? А) 2

3− ; Б) 23 ; В) 3

2− ; Г) 32 .

α

β

A

BC

50

1.9. Функция )(xfy = определена на промежутке [–8; 3] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график ее производной )(' xfy = . Укажите точки минимума функции

)(xfy = .

А) 0; Б) – 4; В) – 6; –3; 2; Г) – 6; 2.

63

y

0 x28

3

1.10. Решите неравенство log 3 2x ≤ .

А) (– ∞; 3]; Б) (0; 3]; В) [0; 3]; Г) (– ∞; 9].

1.11. Среди 100 деталей есть 28 деталей вида A, 36 деталей вида B, а остальные детали — вида C. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет или вида A, или вида B?

А) 0,64; Б) 0,08; В) 0,1008; Г) 0,32.

1.12. Укажите множество значений функции 2)1(4 +−= xy . А) (– ∞; 4]; Б) [4; + ∞); В) (– ∞; –1]; Г) [–1; + ∞).

1.13. Отрезок AB — диаметр окружности, изображенной

на рисунке, °=β 20 . Найдите угол α. А) 25°; В) 70°; Б) 50°; Г) 45°.

1.14. Разность двух сторон параллелограмма равна 8 см, а его периметр — 48 см. Чему равна меньшая из сторон параллелограмма?

А) 6 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 12 см.

1.15. Высота конуса равна 14 см, а угол при вершине осевого сечения — 120°. Найдите радиус основания конуса.

А) 314 см; Б) 3314 см; В) 37 см; Г) 7 см.

1.16. При каком значении n векторы (1; ; 2)a n и ( 2;1; )b n− перпендику-лярны? А) 2

3− ; Б) 23 ; В) 3

2− ; Г) 32 .

α

β

A

BC




1.1. Упростите выражение m153 .

А) 9m ; Б) 3 5m ; В) 3m ; Г) 5m .

1.2. Корнем какого уравнения является число 2? А) 37 −=+x ; Б) 38log =x ; В) 12 =x ; Г) 24 =x .

1.3. Укажите область определения функции 4 39 xy −= . А) (– ∞; 3]; Б) [3; + ∞); В) (3; + ∞); Г) (– ∞; 3).

1.4. Вычислите значение выражения 7cos 6π ⋅

А) – 23 ; Б) 2

3 ; В) – 21 ; Г) 2

1 .

1.5. Решите неравенство 2sin)2(sin 25 ≥−x . А) (– ∞; –3]; Б) [–3; + ∞); В) (– ∞; 3]; Г) [3; + ∞).

1.6. Найдите производную функции y e x= 3 .

А) xey 3'= ; В) 133' −= xxey ;

Б) xey 33'= ; Г) xey 331'= .

1.7. Найдите координаты точки пересечения графика функции f x x( ) = −3 64 с осью абсцисс. А) (4; 0); Б) (0; 4); В) (0; – 4); Г) (– 4; 0).

1.8. Вкладчик положил на свой счет в банке 2000 грн, а через год на его счете стало 2120 грн. Под сколько процентов годовых поместил вкладчик деньги в банк?

А) 4 %; Б) 5 %; В) 6 %; Г) 8 %.

1.9. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке. А) 3

2 ; Б) 1; В) 34 ; Г) 2.

1.10. Какая функция не имеет критических точек? А) 3)( xxf = ;

Б) 1)( 3 += xxf ;

В) xxxf += 3)( ;

Г) 23)( xxxf += .

x0

y

1

121 xy −=

1.11. Известно, что 0<a и 0<b . Какое равенство верно?

А) baab lglglg += ; Б) lg lg ( ) lg ( )ab a b= − + − ;

В) lg lg ( ) lgab a b= − + ; Г) lg lg lg ( )ab a b= + − .

1.12. В коробке было 18 карточек, пронумерованных числами от 1 до 18. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней записано число, в записи которого отсутствует цифра 1?

А) 21 ; Б) 9

4 ; В) 31 ; Г) 9

5 .

1.13. Найдите площадь закрашенной фигуры, изо-браженной на рисунке, если четырехуголь-ник ABCD — прямоугольник (длины отрезков на рисунке приведены в сантиметрах).

А) 40 см2; Б) 26 см2;

В) 14 см2; Г) 10 см2.

1.14. Угол между высотой ромба, проведенной из вершины тупого угла, и его стороной равен 20°. Чему равен меньший из углов ромба?

А) 70°; Б) 60°; В) 80°; Г) 50°.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскости AB1D и плоскости грани CС1D1D. А) DD1 ; Б) DC1 ; В) CD ; Г) плоскости не пересекаются.

1.16. Точка P — середина отрезка CK, P (2; – 6; 1), K (3; – 1; 7). Найдите коор-динаты точки C.

А) C (7; –13; 9); Б) C (0,5; –3,5; 4);

В) C (4; 4; 13); Г) C (1; –11; –5).

C

A

B

DM

K

8

3

24

B

AC

D

A1

B1 C1

D1

52

1.11. Известно, что 0<a и 0<b . Какое равенство верно?

А) baab lglglg += ; Б) lg lg ( ) lg ( )ab a b= − + − ;

В) lg lg ( ) lgab a b= − + ; Г) lg lg lg ( )ab a b= + − .

1.12. В коробке было 18 карточек, пронумерованных числами от 1 до 18. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней записано число, в записи которого отсутствует цифра 1?

А) 21 ; Б) 9

4 ; В) 31 ; Г) 9

5 .

1.13. Найдите площадь закрашенной фигуры, изо-браженной на рисунке, если четырехуголь-ник ABCD — прямоугольник (длины отрезков на рисунке приведены в сантиметрах).

А) 40 см2; Б) 26 см2;

В) 14 см2; Г) 10 см2.

1.14. Угол между высотой ромба, проведенной из вершины тупого угла, и его стороной равен 20°. Чему равен меньший из углов ромба?

А) 70°; Б) 60°; В) 80°; Г) 50°.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскости AB1D и плоскости грани CС1D1D. А) DD1 ; Б) DC1 ; В) CD ; Г) плоскости не пересекаются.

1.16. Точка P — середина отрезка CK, P (2; – 6; 1), K (3; – 1; 7). Найдите коор-динаты точки C.

А) C (7; –13; 9); Б) C (0,5; –3,5; 4);

В) C (4; 4; 13); Г) C (1; –11; –5).

C

A

B

DM

K

8

3

24

B

AC

D

A1

B1 C1

D1




1.1. Чему равно значение выражения ( ) ( )2 21 1sin arctg cos arctg2 2+ ?

А) 21 ; Б) 4

1 ; В) 1; Г) 2.

1.2. Сравните основание логарифма с единицей, если 5 3log log12 8a a> ⋅

А) 1>a ; Б) 1=a ;

В) 1<a ; Г) сравнить невозможно.

1.3. При каком значении x выполняется равенство 3 555 ⋅=x ?

А) 61 ; Б) 6

5 ; В) 31 ; Г) 3

2 .

1.4. Решите уравнение 22

4cos =πx .

А) 18 ±k , Zk ∈ ;

Б) kk 4)1( +− , Zk ∈ ;

В) ,2161 k+± Zk ∈ ;

Г) ,416)1( kk

+− Zk ∈ .

1.5. Известно, что nma 11 −= и nmb 33 −= . Чему равно значение выраже-

ния ba ?

А) 3; Б) 6; В) 31 ; Г) 6

1 .

1.6. Свободно падающее тело (сопротивлением воздуха пренебречь) за первую секунду падения пролетает 4,9 м, а за каждую следующую — на 9,8 м больше, чем за предыдущую. Какой путь пролетит тело за шестую секунду падения?

А) 58,8 м; Б) 53,9 м; В) 49 м; Г) 52,6 м.

1.7. Укажите первообразную функции xxf 6)( = , график которой проходит через точку )5;1(−M .

А) 23)( 2 += xxF ;

Б) 23)( 2 −= xxF ;

В) 14)( 2 += xxF ;

Г) 16)( 2 −= xxF .

1.8. Областью определения какой функции является множество действи-тельных чисел? А) 3( ) 4

xf x x−=−

; Б) 23( )4

xf xx−=−

; В) 3( ) 4xf x x−=+

; Г) 23( )4

xf xx−=+

.

1.9. На рисунке изображен график функции )(xfy = . Пользуясь графиком, сравните

)(' 1xf и )(' 2xf . А) )(' 1xf < )(' 2xf ; Б) )(' 1xf = )(' 2xf ; В) )(' 1xf > )(' 2xf ; Г) сравнить невозможно.

1.10. Решите уравнение ( )lg x x2 9 1+ = .

А) –10; 1; Б) 1; В) –1; 10; Г) 10.

1.11. Из двузначных чисел, кратных числу 3, наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число будет также кратным числу 15? А) 15

7 ; Б) 125 ; В) 3

1 ; Г) 51 .

1.12. Периодом функции )(xfy = является число 4. Чему равно значение выражения )2(2)6(3 −− ff , если 1)2( =f ? А) 5; Б) 1; В) 4; Г) 2.

1.13. Окружности с центрами O1, O2 и O3 попарно касаются так, как показано на рисунке. Чему равен периметр треугольника O1O2O3, если радиус окруж-ности с центром O1 равен 8 см?

А) 8 см; Б) 20 см;

В) 16 см; Г) определить невозможно.

1.14. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а синус противо-лежащего ему угла равен 0,4. Найдите гипотенузу треугольника.

А) 4,8 см; Б) 30 см; В) 40 см; Г) 8 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую, которая перпендикулярна прямой AB1.

А) CD; Б) CC1; В) AC; Г) CD1.

1.16. Найдите координаты вектора c , если 12c a= − и (4; 2; 0)a − .

А) c (–2; 1; 0); Б) c (–2; –1; 0); В) c (2; –1; 0); Г) c (2; 1; 0).

y

x0 1x

)(xfy =

2x

O1

O2

O3

B

AC

D

A1

B1 C1

D1

54

1.9. На рисунке изображен график функции )(xfy = . Пользуясь графиком, сравните

)(' 1xf и )(' 2xf . А) )(' 1xf < )(' 2xf ; Б) )(' 1xf = )(' 2xf ; В) )(' 1xf > )(' 2xf ; Г) сравнить невозможно.

1.10. Решите уравнение ( )lg x x2 9 1+ = .

А) –10; 1; Б) 1; В) –1; 10; Г) 10.

1.11. Из двузначных чисел, кратных числу 3, наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число будет также кратным числу 15? А) 15

7 ; Б) 125 ; В) 3

1 ; Г) 51 .

1.12. Периодом функции )(xfy = является число 4. Чему равно значение выражения )2(2)6(3 −− ff , если 1)2( =f ? А) 5; Б) 1; В) 4; Г) 2.

1.13. Окружности с центрами O1, O2 и O3 попарно касаются так, как показано на рисунке. Чему равен периметр треугольника O1O2O3, если радиус окруж-ности с центром O1 равен 8 см?

А) 8 см; Б) 20 см;

В) 16 см; Г) определить невозможно.

1.14. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а синус противо-лежащего ему угла равен 0,4. Найдите гипотенузу треугольника.

А) 4,8 см; Б) 30 см; В) 40 см; Г) 8 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую, которая перпендикулярна прямой AB1.

А) CD; Б) CC1; В) AC; Г) CD1.

1.16. Найдите координаты вектора c , если 12c a= − и (4; 2; 0)a − .

А) c (–2; 1; 0); Б) c (–2; –1; 0); В) c (2; –1; 0); Г) c (2; 1; 0).

y

x0 1x

)(xfy =

2x

O1

O2

O3

B

AC

D

A1

B1 C1

D1

Вариант 19 Задания 1.1 – 1.16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, по Вашему мнению,


1.1. Вычислите значение выражения 21

31

368 − .

А) –2; Б) – 4; В) –16; Г) 8.


21 cos

sin− α

α⋅

А) 1; Б) 0; В) α2tg ; Г) α2ctg .

1.3. Найдите область определения функции 35( )

7f x

x=

+⋅

А) (–7; + ∞); Б) ( ; 7) ( 7; )−∞ − − +∞∪ ;

В) [–7; + ∞); Г) (– ∞; + ∞).

1.4. Укажите множество значений функции 3cos += xy .

А) [–1; 1]; Б) [0; 3]; В) [2; 4]; Г) [0; 2]. 1.5. На рисунке изображен график одной из

данных функций. Укажите эту функцию. А) )2(log2 += xy ; Б) )2(log2 −= xy ; В) 2log2 += xy ; Г) 2log2 −= xy .

1.6. Известно, что 22 )()( baba −=+ . Какое из условий обязательно выпол-няется?

А) 0=a ; Б) 0=b ; В) 0== ba ; Г) 0=a или 0=b .

1.7. Решите уравнение 2cos2 =x .

А) 2cos ; Б) 2coslog2 ;

В) 2cos21 ;

Г) корней нет.

1.8. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции xy 6= в точке с абсциссой 90 =x ?

А) 2; Б) 1; В) 21 ; Г) 3.

x0

y

1

1

-2-1

1.9. Решите уравнение 213cos −=x .

А) ,232 kπ+π± Zk ∈ ;

Б) ,32

32 kπ+π± Zk ∈ ;

В) ,32

92 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) ,32

9kπ+π± Zk ∈ .

1.10. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали легковой и грузовой автомобили. Через какое время после начала движения они встретятся, если легковой автомобиль проезжает расстояние между этими городами за 12 ч, а грузовой — за 24 ч?

А) через 6 ч; Б) через 8 ч; В) через 9 ч; Г) через 10 ч.

1.11. Сколько трехзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6?

А) 120; Б) 720; В) 20; Г) 216.

1.12. Укажите наименьшее целое решение неравенства ( 3)( 4)( 8) 0x x x+ − − > .

А) 5; Б) 4; В) –3; Г) –2.

1.13. На рисунке изображен прямоугольник ABCD, °=∠ 27CAD . Найдите угол COD.

А) 54°; Б) 81°; В) 27°; Г) 126°.

1.14. В треугольнике ABC известно, что 2=AB см, 3=BC см, °=∠ 30B . Найдите сторону AC.

А) 2 см; Б) 1 см; В) 3 см; Г) 2 см.

1.15. Точка A лежит в одной из граней двугранного угла, изображенного на рисунке. Из точки A опущен перпендикуляр AB на ребро двугранного угла и перпендикуляр AC на другую грань угла, AB = 14 см, AC = 7 см. Найдите величину двугранного угла.

А) 60°; Б) 45°; В) 30°; Г) 90°.

1.16. Какая из точек A (7; 9 ; 0), B (0; –8; 6), C (– 4; 0 ; 5) принадлежит коорди-натной плоскости xz?

А) точка A; Б) точка B;

В) точка C; Г) ни одна из данных точек.

A

B C

DO

B

A

C

56

1.9. Решите уравнение 213cos −=x .

А) ,232 kπ+π± Zk ∈ ;

Б) ,32

32 kπ+π± Zk ∈ ;

В) ,32

92 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) ,32

9kπ+π± Zk ∈ .

1.10. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали легковой и грузовой автомобили. Через какое время после начала движения они встретятся, если легковой автомобиль проезжает расстояние между этими городами за 12 ч, а грузовой — за 24 ч?

А) через 6 ч; Б) через 8 ч; В) через 9 ч; Г) через 10 ч.

1.11. Сколько трехзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6?

А) 120; Б) 720; В) 20; Г) 216.

1.12. Укажите наименьшее целое решение неравенства ( 3)( 4)( 8) 0x x x+ − − > .

А) 5; Б) 4; В) –3; Г) –2.

1.13. На рисунке изображен прямоугольник ABCD, °=∠ 27CAD . Найдите угол COD.

А) 54°; Б) 81°; В) 27°; Г) 126°.

1.14. В треугольнике ABC известно, что 2=AB см, 3=BC см, °=∠ 30B . Найдите сторону AC.

А) 2 см; Б) 1 см; В) 3 см; Г) 2 см.

1.15. Точка A лежит в одной из граней двугранного угла, изображенного на рисунке. Из точки A опущен перпендикуляр AB на ребро двугранного угла и перпендикуляр AC на другую грань угла, AB = 14 см, AC = 7 см. Найдите величину двугранного угла.

А) 60°; Б) 45°; В) 30°; Г) 90°.

1.16. Какая из точек A (7; 9 ; 0), B (0; –8; 6), C (– 4; 0 ; 5) принадлежит коорди-натной плоскости xz?

А) точка A; Б) точка B;

В) точка C; Г) ни одна из данных точек.

A

B C

DO

B

A

C




1.1. Упростите выражение m36 .

А) 3 m ; Б) m ; В) 3 2m ; Г) 3m .

1.2. Решите уравнение ctg 3 0x = .

А) ,2 kπ+π Zk ∈ ; В) ,kπ Zk ∈ ;

Б) ,36kπ+π Zk ∈ ; Г) ,3

kπ Zk ∈ .

1.3. Решите неравенство 5loglog 2,02,0 >x .

А) (– ∞; 5); Б) (5; + ∞); В) (0; 5)∪ (5; + ∞); Г) (0; 5).

1.4. На одном из рисунков изображен график функции 3+= xy . Укажите этот рисунок.

y

x0

А)

3

y

x0

Б)

3

y

x0

В)

3

yx

0

Г)

3

1.5. Решите уравнение x + =2 5 . А) 23; Б) 27; В) 3; Г) 7.

1.6. Упростите выражение ( )cos sin ( )2π +α + π−α .

А) 0; Б) αsin2 ; В) α− cos2 ; Г) α+α sincos .

1.7. Найдите производную функции f x x ex( ) = 3 .

А) xexxf 23)(' = ; В) 133)(' −= xexxf ;

Б) xx exexxf 323)(' += ; Г) 1423)(' −+= xx exexxf .

1.8. Укажите общий вид первообразных функции f x x x( ) = +3 42 .

А) Cxx ++ 23 2 ; Б) 23 2xx + ;

В) Cx ++ 46 ; Г) Cxx ++ 23 43 .

1.9. Какое число принадлежит множеству значений функции 29)( += xxf ? А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.

1.10. Произведение трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равно 216. Чему равен второй член этой прогрессии?

А) 3; Б) 4; В) 6; Г) 9.

1.11. Чему равна вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число, которое больше числа 2?

А) 61 ; Б) 3

1 ; В) 21 ; Г) 3

2 .

1.12. График квадратичной функции baxy += 2 находится в третьей и чет-вертой четвертях координатной плоскости и не касается оси абсцисс. Какое утверждение верно?

А) 0>a и 0>b ;Б) 0>a и 0b ; Г) 0<a и 0<b .

1.13. В прямоугольник ABCD, изображенный на рисунке, вписана полуокружность с диаметром AD. Чему равно отношение BC : AB?

А) 2 : 1; Б) 1 : 1; В) 3 : 1; Г) 2 : π.

1.14. Чему равна площадь трапеции, средняя линия которой равна 12 см, а высота — 6 см?

А) 54 см2; Б) 36 см2; В) 72 см2; Г) 18 см2.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, диаметр основания которого равен 12 см, а образующая — 17 см.


1.16. Найдите координаты начала вектора EF , если EF (0 ; –3; 6), F(3; 3; 3).

А) E (–3; 0; 3); Б) E (3; 0; 3); В) E (3; 6; –3); Г) E (–3; – 6; 3).

A

B C

D

58

1.10. Произведение трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равно 216. Чему равен второй член этой прогрессии?

А) 3; Б) 4; В) 6; Г) 9.

1.11. Чему равна вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число, которое больше числа 2?

А) 61 ; Б) 3

1 ; В) 21 ; Г) 3

2 .

1.12. График квадратичной функции baxy += 2 находится в третьей и чет-вертой четвертях координатной плоскости и не касается оси абсцисс. Какое утверждение верно?

А) 0>a и 0>b ;Б) 0>a и 0b ; Г) 0<a и 0<b .

1.13. В прямоугольник ABCD, изображенный на рисунке, вписана полуокружность с диаметром AD. Чему равно отношение BC : AB?

А) 2 : 1; Б) 1 : 1; В) 3 : 1; Г) 2 : π.

1.14. Чему равна площадь трапеции, средняя линия которой равна 12 см, а высота — 6 см?

А) 54 см2; Б) 36 см2; В) 72 см2; Г) 18 см2.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, диаметр основания которого равен 12 см, а образующая — 17 см.


1.16. Найдите координаты начала вектора EF , если EF (0 ; –3; 6), F(3; 3; 3).

А) E (–3; 0; 3); Б) E (3; 0; 3); В) E (3; 6; –3); Г) E (–3; – 6; 3).

A

B C

D




1.1. На каком из рисунков изображен график функции ( )sin 2y xπ= − ?

y

x0

А)

1

π1

y

x0

В)1

1

2π

y

x0

Б)1

1 2π

y

x0

Г)

1

π1

1.2. Решите неравенство 36,06,0 ≤x .

А) (– ∞; 0,6]; Б) [0,6; + ∞); В) (– ∞; 2]; Г) [2; + ∞).

1.3. Решите уравнение 1cos 2x = ⋅

А) ,3)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Б) ,6)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

В) ,23 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) ,26 kπ+π± Zk ∈ .

1.4. Вычислите значение выражения ( )3 2 63 3 44− .

А) 0; Б) 12; В) 36; Г) 48.

1.5. Представьте выражение 52

56

51

5

5

xx

xx

−

− в виде степени с рациональным пока-

зателем.

А) 51

x ; Б) 51−

x ; В) 52

x ; Г) 52−

x .

1.6. Найдите область определения функции f x x( ) = −4 26 .

А) [2; + ∞); Б) (– ∞; 2]; В) (2; + ∞); Г) (– ∞; 2).

1.7. Найдите производную функции 22sin)( exf += . А) exf 22cos)(' += ; В) 1)(' =xf ;

Б) 2)(' exf = ; Г) 0)(' =xf .

1.8. При каких значениях a и b выполняется равенство )lg(lg)lg( baab −+=− ? А) 0>a , 0>b ; Б) 0<a , 0>b ;

В) 0<a , 0a , 0<b .

1.9. Найдите общий вид первообразных функции f x x( ) = 4 3 .

А) Cx +4 ; В) Cx +3 ; Б) Cx +212 ; Г) Cx +44 .

1.10. Масса арбуза составляет 6 кг и еще четверть массы арбуза. Какова масса арбуза?

А) 9 кг; Б) 12 кг; В) 8 кг; Г) 10 кг.

1.11. В коробке лежат 18 зеленых и 12 голубых шаров. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар окажется голубым?

А) 32 ; Б) 5

2 ; В) 43 ; Г) 5

3 .

1.12. Периодом функции )(xfy = является число 4. Найдите )6(f , если 5)2( =−f .

А) 5; Б) 10; В) 15; Г) найти невозможно.

1.13. Стороны треугольника относятся как 3 : 7 : 8, а его периметр равен 54 см. Найдите наибольшую сторону треугольника.

А) 9 см; Б) 18 см; В) 24 см; Г) 27 см.

1.14. На рисунке изображена окружность с центром в точ-ке O и радиусом 3 см, 60AOB∠ = ° . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

А) 3π см2; В) 49π см2;

Б) 23π см2; Г) 6

π см2.

1.15. Высота конуса равна 9 см, а его объем — 6π см3. Чему равна площадь основания конуса?

А) 2π см2; Б) 2 см2; В) 3π см2; Г) 6 см2.

1.16. Дано уравнение окружности 9)6()3( 22 =++− yx . Укажите коорди-наты центра окружности.

А) (–3; 6); Б) (3; – 6); В) (–3; – 6); Г) (3; 6) .

O

A

B

60

1.7. Найдите производную функции 22sin)( exf += . А) exf 22cos)(' += ; В) 1)(' =xf ;

Б) 2)(' exf = ; Г) 0)(' =xf .

1.8. При каких значениях a и b выполняется равенство )lg(lg)lg( baab −+=− ? А) 0>a , 0>b ; Б) 0<a , 0>b ;

В) 0<a , 0a , 0<b .

1.9. Найдите общий вид первообразных функции f x x( ) = 4 3 .

А) Cx +4 ; В) Cx +3 ; Б) Cx +212 ; Г) Cx +44 .

1.10. Масса арбуза составляет 6 кг и еще четверть массы арбуза. Какова масса арбуза?

А) 9 кг; Б) 12 кг; В) 8 кг; Г) 10 кг.

1.11. В коробке лежат 18 зеленых и 12 голубых шаров. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар окажется голубым?

А) 32 ; Б) 5

2 ; В) 43 ; Г) 5

3 .

1.12. Периодом функции )(xfy = является число 4. Найдите )6(f , если 5)2( =−f .

А) 5; Б) 10; В) 15; Г) найти невозможно.

1.13. Стороны треугольника относятся как 3 : 7 : 8, а его периметр равен 54 см. Найдите наибольшую сторону треугольника.

А) 9 см; Б) 18 см; В) 24 см; Г) 27 см.

1.14. На рисунке изображена окружность с центром в точ-ке O и радиусом 3 см, 60AOB∠ = ° . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

А) 3π см2; В) 49π см2;

Б) 23π см2; Г) 6

π см2.

1.15. Высота конуса равна 9 см, а его объем — 6π см3. Чему равна площадь основания конуса?

А) 2π см2; Б) 2 см2; В) 3π см2; Г) 6 см2.

1.16. Дано уравнение окружности 9)6()3( 22 =++− yx . Укажите коорди-наты центра окружности.

А) (–3; 6); Б) (3; – 6); В) (–3; – 6); Г) (3; 6) .

O

A

B




1.1. Упростите выражение c4 .

А) 5 c ; Б) 8 c ; В) 6 c ; Г) 4 c .

1.2. Представьте в виде степени выражение 1 13 8:p p .

А) 51

p ; Б) 38

p ; В) 245

p ; Г) 83

p .

1.3. Укажите неверное неравенство.

А) cos 100° < 0; Б) sin 100° < 0; В) tg 100° < 0; Г) ctg 100° < 0.

1.4. Какое неравенство не имеет решений?

А) 12 −<x ; Б) 12 −>x ; В) 12 >x ; Г) 12 <x .

1.5. Вычислите значение выражения log log6 63 12+ .

А) 4; Б) 6; В) 2; Г) 15log6 .

1.6. Упростите выражение cos ( ) sin sinα β α β+ + .

А) βαsinsin ; Б) βαcoscos ; В) βαcossin ; Г) βαsincos .

1.7. Найдите общий вид первообразных функции f x e x( ) = 5 .

А) Ce x +551 ; Б) Ce x +55 ; В) Ce x +5 ; Г) Ce x +6

61 .

1.8. Сколько критических точек имеет функция xxxf −= 331)( ?

А) ни одной точки; Б) одну точку;

В) две точки; Г) три точки.

1.9. Решите неравенство 3 04xx− ≤+ .

А) ( ; 4] [3; )−∞ − +∞∪ ; В) [– 4; 3]; Б) ( ; 3] (4; )−∞ − +∞∪ ; Г) (– 4; 3].

1.10. На одном из рисунков изображен график функции xy xlog= . Укажите этот рисунок.

x0

y

1

1

А)

x0

y

1

1

Б)

x0

y

1

1

В)

x0

y

1

1

Г)

1.11. Есть 8 различных конвертов и 4 различных марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?

А) 12; Б) 16; В) 32; Г) 64.

1.12. Цену некоторого товара сначала повысили на 10 %, а потом снизили на 10 %. Как изменилась цена товара по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 1 %; В) уменьшилась на 2 %; Б) уменьшилась на 1 %; Г) не изменилась.

1.13. Диагональ квадрата равна 10 см. Найдите периметр этого квадрата.

А) 220 см; Б) 210 см; В) 25 см; Г) 20 см.

1.14. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого ра-вен 160°?

А) 12; Б) 16; В) 18; Г) 20.

1.15. Основанием пирамиды MABCD, изобра-женной на рисунке, является квадрат, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости осно-вания пирамиды, точка K — середина ребра CD. Укажите, какой из углов является линей-ным углом двугранного угла с ребром CD.

А) ∠MAB; В) ∠MKB; Б) ∠MDB; Г) ∠MCB.

1.16. Найдите координаты вектора MK , если M(10; – 4; 2), K(16; 2; –5).

А) MK (– 6; – 6; 7);

Б) MK (16; –2; –3);

В) MK (6; 6; –7);

Г) MK (6; –2; –3).

A

B CK

D

M

62

1.10. На одном из рисунков изображен график функции xy xlog= . Укажите этот рисунок.

x0

y

1

1

А)

x0

y

1

1

Б)

x0

y

1

1

В)

x0

y

1

1

Г)

1.11. Есть 8 различных конвертов и 4 различных марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?

А) 12; Б) 16; В) 32; Г) 64.

1.12. Цену некоторого товара сначала повысили на 10 %, а потом снизили на 10 %. Как изменилась цена товара по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 1 %; В) уменьшилась на 2 %; Б) уменьшилась на 1 %; Г) не изменилась.

1.13. Диагональ квадрата равна 10 см. Найдите периметр этого квадрата.

А) 220 см; Б) 210 см; В) 25 см; Г) 20 см.

1.14. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого ра-вен 160°?

А) 12; Б) 16; В) 18; Г) 20.

1.15. Основанием пирамиды MABCD, изобра-женной на рисунке, является квадрат, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости осно-вания пирамиды, точка K — середина ребра CD. Укажите, какой из углов является линей-ным углом двугранного угла с ребром CD.

А) ∠MAB; В) ∠MKB; Б) ∠MDB; Г) ∠MCB.

1.16. Найдите координаты вектора MK , если M(10; – 4; 2), K(16; 2; –5).

А) MK (– 6; – 6; 7);

Б) MK (16; –2; –3);

В) MK (6; 6; –7);

Г) MK (6; –2; –3).

A

B CK

D

M




1.1. Упростите выражение ( )3cos 2π −α .

А) αcos ; Б) – αcos ; В) αsin ; Г) – αsin .

1.2. Решите уравнение 13 9x = .

А) –3; Б) 3; В) –2; Г) 2.

1.3. Укажите область определения функции 4 3+= xy . А) [–3; + ∞); Б) (–3; + ∞); В) [3; + ∞); Г) (3; + ∞).

1.4. График какой из функций изображен на ри-сунке? А) y x= ;

Б) y x= 2 ; В) y x= 2 ; Г) xy 2log= .

1.5. Представьте в виде степени выражение

3

3

b

bb .

А) 65

b ; Б) 67

b ; В) 34

b ; Г) 32

b .

1.6. Вычислите интеграл x dx2

0

1

∫ .

А) 21− ; Б) 2

1 ; В) 31− ; Г) 3

1 .

1.7. Чему равно значение выражения )coslg(sin 22 xx + ? А) 10; Б) 1; В) 0; Г) 100.

1.8. Найдите производную функции y e xx= sin .

А) xey x cos'= ; В) )cos(sin' xxey x −= ;

Б) )cos(sin' xxey x += ; Г) xxey x cos' 1−= .

1.9. В какой координатной четверти находится вершина параболы 42)12( 2 +−= xy ?

А) в І четверти; Б) во ІІ четверти; В) в ІІІ четверти; Г) в ІV четверти.

y

1

x0 1

1.10. Решите неравенство xx >2 . А) (1; + ∞); Б) (0; 1); В) (– ∞; + ∞); Г) ( ; 0) (1; )−∞ +∞∪ .

1.11. Из натуральных чисел от 1 до 24 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем чис-ла 24?

А) 41 ; Б) 3

1 ; В) 241 ; Г) 2

1 .

1.12. Цену на некоторый товар повысили последовательно на 10 %, на 20 % и на 25 %. На сколько процентов увеличилась цена по сравнению с пер-воначальной?

А) на 55 %; Б) на 60 %; В) на 65 %; Г) на 75 %.

1.13. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 12π см.


1.14. В треугольнике ABC известно, что BC= 4 см, sin A = 0,8, sin C = 0,5. Найдите сторону AB.

А) 6,4 см; Б) 3,2 см; В) 1,6 см; Г) 2,5 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми A1B и DD1.

А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90°.

1.16. При каком значении n векторы (4; 2 1; 1)a n − −��

и (4; 9 3 ; 1)b n− −��

равны?

А) –2; Б) 8; В) 2; Г) – 8.

B

AC

D

A1

B1 C1

D1

64

1.10. Решите неравенство xx >2 . А) (1; + ∞); Б) (0; 1); В) (– ∞; + ∞); Г) ( ; 0) (1; )−∞ +∞∪ .

1.11. Из натуральных чисел от 1 до 24 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем чис-ла 24?

А) 41 ; Б) 3

1 ; В) 241 ; Г) 2

1 .

1.12. Цену на некоторый товар повысили последовательно на 10 %, на 20 % и на 25 %. На сколько процентов увеличилась цена по сравнению с пер-воначальной?

А) на 55 %; Б) на 60 %; В) на 65 %; Г) на 75 %.

1.13. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 12π см.


1.14. В треугольнике ABC известно, что BC= 4 см, sin A = 0,8, sin C = 0,5. Найдите сторону AB.

А) 6,4 см; Б) 3,2 см; В) 1,6 см; Г) 2,5 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми A1B и DD1.

А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90°.

1.16. При каком значении n векторы (4; 2 1; 1)a n − −��

и (4; 9 3 ; 1)b n− −��

равны?

А) –2; Б) 8; В) 2; Г) – 8.

B

AC

D

A1

B1 C1

D1




1.1. Графику какой функции принадлежит точка )3;81( −−B ?

А) 4 xy = ; Б) 4 xy −= ; В) 4 xy −= ; Г) 4 xy −−= .

1.2. Какое из данных неравенств неверно?

А) °<° 20sin110cos ; В) °>° 80sin90ctg ; Б) °>° 17040 ctgtg ; Г) °<° 1sin200sin .

1.3. Решите уравнение 3 8x = . А) 3log8 ; Б) 8log3 ; В) 3

8 ; Г) 83 .

1.4. Чему равно значение выражения 4,046,0 3)3( ⋅− ?

А) 91 ; Б) – 6; В) 9; Г) 3.

1.5. Вычислите значение выражения 3

3

log 8log 2 ⋅

А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 6.

1.6. Найдите производную функции f x x( ) tg= 5 .

А) 21'( )

cos 5f x

x= ; В) 2

5'( )cos 5

f xx

= ;

Б) xxf 5)(' ctg= ; Г) xxf 55)(' ctg= .

1.7. Вычислите интеграл x dx3

2

4

∫ .

А) 48; Б) 16; В) 60; Г) 36.

1.8. Решите уравнение 1sin 2 2x = .

А) ,212)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Б) ,12 kπ+π± Zk ∈ ;

В) ,12)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Г) ,212kπ+π± Zk ∈ .

1.9. В кинотеатре каждый следующий ряд содержит на 2 кресла больше, чем предыдущий, а всего в зале 20 рядов. Сколько всего мест в зале, если в первом ряду 12 мест?

А) 640 мест; Б) 620 мест; В) 520 мест; Г) 500 мест.


.

А) 3 93 ; Б) 3 92 ; В) 3 33 ; Г) 3 32 .

1.11. В классе учатся a девочек и b мальчиков. Какова вероятность того, что первой отвечать домашнее задание вызовут девочку?

А) 1aa b−+ ; Б) ab

a b+ ; В) ba b+ ; Г) a

a b+ .

1.12. Прямые a и b, изображенные на ри-сунке, параллельны, причем прямая a является касательной к графику функции )(xfy = в точке с абсцис-сой 0x , а уравнение прямой b имеет вид 032 =+− yx . Найдите )(' 0xf .

А) –1; Б) 2; В) 3; Г) установить невозможно.

1.13. Чему равна площадь треугольника ABC, если 9=AC см, 22=AB см, 135A∠ = ° ?

А) 9 см2; Б) 18 см2; В) 29 см2; Г) 218 см2.

1.14. На рисунке изображена окружность с цент-ром O. Какое из равенств обязательно верно?

А) β=α ;

Б) γ=α ;

В) 2α=β ;

Г) 2γ=β .

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности прямой призмы, основанием которой явля-ется параллелограмм со сторонами 8 см и 22 см, а высота призмы равна 15 см.

А) 900 см2; Б) 450 см2; В) 600 см2; Г) 2640 см2.

1.16. Какой вектор коллинеарен вектору a (– 4; 18; 6)?

А) b (2; 9; –3);

Б) c (2; –9; –3);

В) m (2; –9; 3);

Г) n (–2; 9; –3).

y

x0 0x

ab

2x y + 3 = 0)(xfy =

α

β

γ

O

66


.

А) 3 93 ; Б) 3 92 ; В) 3 33 ; Г) 3 32 .

1.11. В классе учатся a девочек и b мальчиков. Какова вероятность того, что первой отвечать домашнее задание вызовут девочку?

А) 1aa b−+ ; Б) ab

a b+ ; В) ba b+ ; Г) a

a b+ .

1.12. Прямые a и b, изображенные на ри-сунке, параллельны, причем прямая a является касательной к графику функции )(xfy = в точке с абсцис-сой 0x , а уравнение прямой b имеет вид 032 =+− yx . Найдите )(' 0xf .

А) –1; Б) 2; В) 3; Г) установить невозможно.

1.13. Чему равна площадь треугольника ABC, если 9=AC см, 22=AB см, 135A∠ = ° ?

А) 9 см2; Б) 18 см2; В) 29 см2; Г) 218 см2.

1.14. На рисунке изображена окружность с цент-ром O. Какое из равенств обязательно верно?

А) β=α ;

Б) γ=α ;

В) 2α=β ;

Г) 2γ=β .

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности прямой призмы, основанием которой явля-ется параллелограмм со сторонами 8 см и 22 см, а высота призмы равна 15 см.

А) 900 см2; Б) 450 см2; В) 600 см2; Г) 2640 см2.

1.16. Какой вектор коллинеарен вектору a (– 4; 18; 6)?

А) b (2; 9; –3);

Б) c (2; –9; –3);

В) m (2; –9; 3);

Г) n (–2; 9; –3).

y

x0 0x

ab

2x y + 3 = 0)(xfy =

α

β

γ

O




1.1. Представьте выражение a a−1 2 0 8, ,: в виде степени.

А) 2−a ; Б) 4,0−a ; В) 5,1−a ; Г) 96,0−a .

1.2. Упростите выражение sin ( )2π α− . А) αsin ; Б) – αsin ; В) αcos ; Г) – αcos .

1.3. Чему равно значение функции f x( ) = x −13 в точке x0 9= ?

А) 2; Б) 3; В) 4; Г) –2.

1.4. Какое неравенство не имеет решений? А) – 0lg >x ; Б) 0)lg( >−x ; В) )lg(lg xx −≥ ; Г) 0lg 2 <x .

1.5. Какое равенство верно?

А) 3cos|3cos| = ; Б) 3cos|3cos| −= ;

В) 3sin|3cos| = ; Г) 3sin|3cos| −= .

1.6. График какой из функций не пересекает ось абсцисс?

А) xy 2log= ;

Б) xy21log= ; В) xy 2= ; Г) 22 −= xy .

1.7. На одном из рисунков изображен график функции )(log 1,0 xy −= . Укажите этот рисунок.

x0

yА)

1

x0

yБ)

1

x0

yВ)

1

x0

yГ)

1

1.8. Найдите общий вид первообразных функции f x x( ) = − 4 .

А) Cxx +− 42 ; В) Cx +− 422

;

Б) Cxx +− 422

; Г) Cx +− 42 .

1.9. Найдите номер члена арифметической прогрессии 6; 6,3; 6,6; ... , рав-ного 9.

А) 8; Б) 9; В) 10; Г) 11.

1.10. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции xexf 7)( −= в точке с абсциссой 00 =x .

А) 0; Б) 1; В) –7; Г) e.

1.11. Учащиеся 11-го класса проходят тестирование по математике, в ко-тором оценка выставляется по 100-балльной шкале. Средняя оценка 10 учащихся составила 81 балл. Какой должна быть средняя оценка остальных 20 учащихся класса, чтобы средняя оценка всего класса была равной 85 баллам?

А) 91 балл; Б) 90 баллов; В) 88 баллов; Г) 87 баллов.

1.12. Положительные числа a и b таковы, что число a составляет 25 % от числа b. Сколько процентов число b составляет от числа a?

А) 50 %; Б) 125 %; В) 400 %; Г) 100 %.

1.13. Дано: ∆ ABC ~ ∆ A1B1C1, стороны AC и A1C1 — соответственные, AC = 12 см, A1C1 = 18 см. Найдите периметр треугольника A1B1C1, если периметр треугольника ABC равен 28 см.

А) 14 см; Б) 42 см; В) 356 см; Г) 3

28 см.

1.14. Найдите угол α, изображенный на рисунке, если ,130°=β °=γ 100 .

А) 115°; Б) 70°; В) 30°; Г) 50°.

1.15. Боковые стороны трапеции параллельны плос-кости α. Каково взаимное расположение плоскос-ти α и плоскости трапеции?

А) параллельны; Б) пересекаются;

В) установить невозможно; Г) совпадают.

1.16. Точка C — середина отрезка AB, A(2; 4; 6), C(0; 1; 10). Найдите коор-динаты точки B.

А) B (1; 2,5; 8); Б) B (–2; –2; 14); В) B (–2; –3; 4); Г) B (2; 6; 26).

A

B

Cα

β

γ

Вариант 1 Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения: 2

549549 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+ .

2.2. Решите неравенство 57147 2 ≤⋅−+ xx .

2.3. Решите уравнение: 2log2log 5

25 =+ xx .

2.4. Найдите промежутки убывания функции 6221

31)( 23 −+−−= xxxxf .

2.5. Найдите первообразную функции xxxf 4cos43sin31)( += , график кото-

рой проходит через точку A( ; )π 3 .

2.6. Двое рабочих изготовили за первый день 100 деталей. За второй день первый рабочий изготовил деталей на 20 % больше, чем за первый день, а второй рабочий — на 10 % больше, чем за первый день. Всего за второй день они изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил за первый день первый рабочий?

2.7. Одна сторона треугольника равна 35 см, а две другие относятся как 3 : 8 и образуют угол 60°. Найдите большую сторону треугольника.

2.8. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 15 см, имеет площадь 64 π см2. Найдите площадь поверхности шара.

Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать

последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если

надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f x x

x( ) = +

3

442 .

3.2. Решите уравнение: sin sin cos cos2 2 2 22 3 4x x x x+ = + .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать



4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yx a y+ + =− + =

⎧⎨⎩

3 5 042 2,

( )

имеет три решения?

4.2.м Решите неравенство:

12

222log 4 log 88

xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 23)( 3 +−= xxxf

и 2)1()( −= xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. В каком отношении точка K делит сторону BC ?

4




4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yx a y+ + =− + =

⎧⎨⎩

3 5 042 2,

( )



12

222log 4 log 88

xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 23)( 3 +−= xxxf

и 2)1()( −= xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. В каком отношении точка K делит сторону BC ?



2.1. Решите систему уравнений:

⎩⎨⎧

=−=−.2

,2422

yxyx

2.2. Чему равен αcos , если 6,0sin =α и π<α<π2 ?

2.3. Вычислите значение выражения log loglog log

9 9

2 2

27 32 6 9

+−

⋅

2.4. Решите уравнение: 033103 12 =+⋅−+ xx .

2.5. Чему равно наименьше значение функции f x x x( ) = + −2 3 2 3 на проме-жутке [–1; 1] ?

2.6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 150 и делятся нацело на 4.

2.7. Известно, что O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (BC || AD). Найдите отрезок BO, если AO : OC = 7 : 6 и BD = 39 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной a, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= −8 2 и прямой y = 4 .

3.2. Решите уравнение: x x+ + − =2 3 2 4 .

3.3. Стороны треугольника равны соответственно 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне треугольника.




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции sin( ) cos

xf x a x= − ?

4.2.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие уравнению:

1)62(log)126(log 25

23 =++++ yyxx .

4.3.м Решите систему уравнений: x yy zz x

2

2

2

2 74 76 14

+ =+ = −+ = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ AOC = 120°. Докажите, что ∠C1BO = ∠C1A1O.

6




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции sin( ) cos

xf x a x= − ?

4.2.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие уравнению:

1)62(log)126(log 25

23 =++++ yyxx .

4.3.м Решите систему уравнений: x yy zz x

2

2

2

2 74 76 14

+ =+ = −+ = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ AOC = 120°. Докажите, что ∠C1BO = ∠C1A1O.



2.1. Упростите выражение 22 )) α−+α+ tg(1tg(1 .

2.2. Решите неравенство:

02

)3)(7(≥

−+−

xxx

.


12

144

84

21

21

21

21

−

−⋅

+−

−

x

x

xx

x .

2.4. Решите уравнение: 2)11(log)2(log 66 =−+− xx .

2.5. Вычислите интеграл dxxx∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

1

0 136 .

2.6. Решите неравенство 4 6 2 8 0x x− ⋅ + ≥ .

2.7. Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Чему равно расстояние между серединами ее диагоналей?

2.8. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона осно-вания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равно-сторонним треугольником.




3.1. Постройте график функции f x x x( ) cos cos= − 2 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-

ции 2( )x

f x xe−

= .

3.3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 8 см, а боковое ребро — 2 см. Через сторону AC нижнего основания и середину стороны A1B1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение

( )2 1sin sin 02 2ax a x− + + =

имеет на промежутке 50; 4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 132 −= xx .

4.3.м Решите систему уравнений: 3,

1 1 1 3,

1.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два треугольника ABC и A1B1C1 расположены так, что точка B — се-редина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точка A — сере-дина отрезка CA1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна S.

8




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение

( )2 1sin sin 02 2ax a x− + + =

имеет на промежутке 50; 4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 132 −= xx .

4.3.м Решите систему уравнений: 3,

1 1 1 3,

1.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два треугольника ABC и A1B1C1 расположены так, что точка B — се-редина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точка A — сере-дина отрезка CA1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна S.



2.1. Решите уравнение 49 6 7 7 0x x− ⋅ − = .

2.2. Чему равно значение выражения 3log212log 621

681 9 + ?

2.3. Упростите выражение

353 164 2

5 112 6

a a a

a a

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.4. Решите уравнение xx −=− 78 .

2.5. Упростите выражение sin 3 sin 2sin 2cos3 cos 2cos 2

α + α − αα + α − α .

2.6. Найдите первообразную функции xx

xf 2432

3)( −+

= , график которой

проходит через точку (7; 2)A − .

2.7. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили точки M и K соот-ветственно так, что MK || AC и AM : BM = 2 : 5. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 98 см2.

2.8. Основа прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с углом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна l и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение: cos sin sinx x x− =3 2 3 .

3.2. Запишите уравнение касательной к графику функции y x x= − +2 3 2 , которая параллельна прямой x y− = 5 .

3.3. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а ее высота — 12 см.




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )2 1 3 0x x a+ − − =

в зависимости от значения параметра a?


( )x x x− + ≤ −3 4 92 2 .

4.3.м Постройте график функции 21

sin (arcctg )y

x= .

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соеди-няющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.

10




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )2 1 3 0x x a+ − − =



( )x x x− + ≤ −3 4 92 2 .

4.3.м Постройте график функции 21

sin (arcctg )y

x= .

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соеди-няющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.



2.1. Представьте в виде дроби выражение 11 4

4

+−

− aa

aa .

2.2. Решите уравнение: 027369 =−⋅− xx .

2.3. Решите неравенство: 27log)54(log 33 +<−x .

2.4. Решите уравнение 2sin3cos2 2 += xx .

2.5. Найдите промежутки убывания функции f x x x x( ) = − − −3 2 5 3 .

2.6. Чему равна сумма целых решений неравенства 2 1 13x

x+ ≤− ?

2.7. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его меньшей стороне.

2.8. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности ци-линдра.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= 2 и прямой y x= + 2 .

3.2. Решите уравнение:

( )x x x x2 24 3 5 2 2 0− + − − = .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом β и гипотенузой c. Боковое ребро, проходящее через вершину данного острого угла, перпендикулярно плоскости основания, а боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному куту, наклонена к плос-кости основания под углом γ. Найдите объем пирамиды.




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0sin)12(sin 22 >+++− aaxax

выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение: 3|1lg||2lg| =−++ xx .

4.3.м Решите уравнение: 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − .

4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ : MD = 1 : 1 и AN : ND = 1 : 2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.

12




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0sin)12(sin 22 >+++− aaxax

выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение: 3|1lg||2lg| =−++ xx .

4.3.м Решите уравнение: 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − .

4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ : MD = 1 : 1 и AN : ND = 1 : 2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.



2.1. Чему равно значение выражения 13

2 13 3

3

2

a

a a

−

−−

при 5=a ?

2.2. Решите неравенство 1624 12>⋅ +xx .

2.3. Вычислите значение выражения 4log

213log4 555

+.

2.4. Решите уравнение 2 3 133 2 3x x

x x− ++ =+ − ⋅

2.5. Найдите первообразную функции 12( )3 2

f xx

=−

, график которой про-

ходит через точку A( ; )9 30 .

2.6. Моторная лодка проплыла 7 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

2.7. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона — 4 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверх-ности параллелепипеда.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума

функции 2

21( )1

xf xx+=−

.

3.2. Докажите тождество:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3sin 3 cos sin 3 cos2 2 sin 41 cos ( 2 )

π ππ− α − +α + α + π+α= − α+ π− α .

3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а основа-ние — 3 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его боковой стороне.




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 2− − =x a

в зависимости от значения параметра a.

4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arctg arctg 2x x

π+ = .

4.3.м Решите уравнение: 0loglog 4

22 =− xx xx .

4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что ∠C1 AP = ∠C1B1P.

14




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 2− − =x a


4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arctg arctg 2x x

π+ = .

4.3.м Решите уравнение: 0loglog 4

22 =− xx xx .

4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что ∠C1 AP = ∠C1B1P.



2.1. Найдите значение выражения 5log

2

325 .


31

61

61

6

94:6

32

x

x

x

x −+ .

2.3. Решите уравнение: 766 1 =+ − xx .

2.4. Укажите область определения функции 24 8( )

3 15 36f x

x x= +

− −.

2.5. Найдите первообразную функции 644)( 3 +−= xxxf , график которой проходит через точку (1; 5)A .

2.6. Какие три положительных числа надо вставить между числами 3 и 48, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую про-грессию?

2.7. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

2.8. Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f x x x( ) ,= + −0 4 3 92 , которая параллельна прямой y x= −7 8 .

3.2. Упростите выражение ( )ctg tg cos tg2 2 2 2α α α α− ⋅ , если 4 2π π< α < .

3.3. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 60°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.




4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f x x x a( ) ( )= − −2 1 4 .

4.2.м Решите неравенство: x x− + + ≥2 2 5 3 .

4.3.м Постройте график функции: y x x= + −arcsin arcsin 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектри-сы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1 = 2BB1.

16




4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f x x x a( ) ( )= − −2 1 4 .

4.2.м Решите неравенство: x x− + + ≥2 2 5 3 .

4.3.м Постройте график функции: y x x= + −arcsin arcsin 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектри-сы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1 = 2BB1.




61

31

61

61

31

31

61

61

31

2:nm

nnmm

m

nmm +−− .

2.2. Решите уравнение: 7 2 7 5 7 2802 1x x x+ +− ⋅ + ⋅ = .

2.3. Упростите выражение ctg α + sin1 cos

α+ α

.

2.4. Первый член арифметической прогрессии равен –3, а разность равна 4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 150?

2.5. Решите уравнение: x x− + =1 5.

2.6. Найдите наименьшее значение функции 4 2( ) 24

xf x x= − на промежут-

ке [0; 4].

2.7. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если AB = 2 3 см, BC= 5 см, ∠ A= 60°.

2.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 12 3 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy 5= и прямы-ми y x= +4 1 и x = 2 .

3.2. Решите неравенство lg lg2 100 7 8x x− ≥ .

3.3. В прямоугольном треугольнике MNK (∠N = 90°) известно, что MN= 6 см, MK= 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки N, M и точку пересечения биссектрисы угла M с катетом NK.




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 17 0x ax bx+ + − = равен 2 1− ?

4.2.м Сколько корней уравнения cos3 cos 01 sinx x

x+ =− принадлежат промежут-

ку ;2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие нера-венству:

63410208 22 ≤+−⋅++ yyxx .

4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

18




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 17 0x ax bx+ + − = равен 2 1− ?

4.2.м Сколько корней уравнения cos3 cos 01 sinx x

x+ =− принадлежат промежут-

ку ;2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие нера-венству:

63410208 22 ≤+−⋅++ yyxx .

4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.



2.1. Решите уравнение: xx 5262525 ⋅=+ .

2.2. Найдите значение производной функции 24)( xx eexf −+= в точке

00 =x .

2.3. Чему равно значение выражения

14132

1 19 4

8 9

27 4

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟⋅⎝ ⎠?

2.4. Найдите область определения функции 42

10)(x

xf−

= .

2.5. Вычислите интеграл ( )3

1

4 x dxx −∫ .

2.6. Упростите выражение 3 sin 2cos(60 )2sin(60 ) 3 cos

α + °+ α°+α − α

.

2.7. Из точки A, лежащей вне прямой m, проведены к этой прямой наклонные AC и AD, которые образуют с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AD на прямую m, если AC = 4 2 см.

2.8. На расстоянии 12 см от центра шара проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения равна 64π см2. Найдите площадь поверхности шара.




3.1. Решите уравнение 162log =xx .

3.2. Постройте график функции | sin |( ) sinxf x x= ⋅

3.3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плос-кости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.




4.1.м Решите уравнение: x x− + + =2 6 63 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 27 8 0− + − = имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 3 5 17 1cos cos cos ... cos19 19 19 19 2π π π π+ + + + = ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD ?

20




4.1.м Решите уравнение: x x− + + =2 6 63 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 27 8 0− + − = имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 3 5 17 1cos cos cos ... cos19 19 19 19 2π π π π+ + + + = ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD ?



2.1. Найдите значение выражения 1 16 2 6 6 2 6

+− +

.

2.2. Упростите выражение cos 7 cossin 7 sin

α + αα − α .

2.3. Решите уравнение 0126436 =−⋅− xx .

2.4. Вычислите значение выражения 2lg325lg

21

100−

.

2.5. Найдите первообразную функции 26( )

cos 6f x

x= , график которой про-

ходит через точку ( ); 3 318A π .

2.6. Первый тракторист может вспахать поле на 3 ч быстрее, чем второй. Если первый тракторист проработает 4 ч, а затем его сменит второй, то последний закончит вспашку этого поля за 3 ч. За сколько часов может вспахать все поле первый тракторист?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке K. Меньшее основание BC трапеции равно 4 см, BK= 5 см, AB= 15 см. Найдите большее основание трапеции.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии d от центра верхнего основания и которая видна из этого центра под углом ϕ. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол β. Найдите объем цилиндра.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-

ции 2 6( ) 2

x xf x x+= − .

3.2. Решите неравенство 1 23

1log log 12x

x− > −− .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его меньшего острого угла.




4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению 2 2 2 12 2x y xy y x+ − − = − .

4.2.м При каких значениях параметра a функция y f x a= +( ) является

четной, если 4( ) 22

xxf x = + ?

4.3.м Решите систему уравнений: 3sin sin ,43cos cos .4

x y

x y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

4.4.м Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD (AD ≠ BC). Известно, что 1 ( )2MN BC AD= + . Докажите, что

данный четырехугольник — трапеция.

22




4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению 2 2 2 12 2x y xy y x+ − − = − .

4.2.м При каких значениях параметра a функция y f x a= +( ) является

четной, если 4( ) 22

xxf x = + ?

4.3.м Решите систему уравнений: 3sin sin ,43cos cos .4

x y

x y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

4.4.м Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD (AD ≠ BC). Известно, что 1 ( )2MN BC AD= + . Докажите, что

данный четырехугольник — трапеция.



2.1. Упростите выражение 4 4

42:m mn m mn n

m mn− − + .

2.2. Решите уравнение ( )2 3 2127 9 3xx −

⋅ = .

2.3. Упростите выражение:

( ) ( )3cos cos( ) sin sin( )2 2π π+α π−α + +α π+α .

2.4. Вычислите значение выражения ( )9lg 3log 8

2 2log 12 log 3 9− + .

2.5. Дана функция 2( ) cosxf x e x−= . Найдите '(0)f .

2.6. Катер прошел 48 км по течению реки и вернулся назад, затратив на путь против течения на 3 ч больше, чем на путь по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 25 см и 17 см. Найдите длины проекций этих наклонных на данную прямую, если они относятся как 5 : 2.

2.8. Диагональ грани куба равна a. Чему равна диагональ куба?




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 2

2( )5

xf xx+=+

.

3.2. Постройте график функции f x x x( ) log ( ) log= − ⋅ −2 22 2 .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого рав-на a и образует с диагональю прямоугольника угол α. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение arcsin ( ) arcsin ( ) ( )2 3 3 2 5 4 0x a x a a+ − + − − =

имеет решения?

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку минимума функции:

3 21( ) 73 2x af x x ax+= − + − .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 2x xx+ > − .

4.4.м Точки M, N, P принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC

соответственно. Известно, что AM : AB = BN : BC = CP : CA = 1 : 3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника ABC.

24




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение arcsin ( ) arcsin ( ) ( )2 3 3 2 5 4 0x a x a a+ − + − − =

имеет решения?

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку минимума функции:

3 21( ) 73 2x af x x ax+= − + − .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 2x xx+ > − .

4.4.м Точки M, N, P принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC

соответственно. Известно, что AM : AB = BN : BC = CP : CA = 1 : 3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника ABC.



2.1. Чему равно значение выражения 5 16 6

16

a a

a

+ при 27a = ?

2.2. Решите уравнение: 2sin 3 sin cos 0x x x+ = .

2.3. Решите систему уравнений: 56,

2.xy xx y+ =⎧

⎨ − =⎩

2.4. Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии ( )na , если 10 32a = , а разность прогрессии 4d = .

2.5. Решите неравенство ( ) ( )3 2 7

5 5tg tg12 12

xx x−− −π π≤ .

2.6. Найдите промежутки возрастания функции 4 3 2( ) 2 2 2f x x x x= − − + .

2.7. Площадь ромба равна 120 см2, а его диагонали относятся как 5 : 12. Найдите периметр ромба.

2.8. Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и сере-дину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если образующая цилиндра равна l.




3.1. Решите неравенство 3 3log (2 1) log ( 9) 2x x− + − < .

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой 2 4 5y x x= − + и прямой 5y x= − .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.




4.1.м Упростите выражение:

a a a a+ + + + − + +2 4 5 2 4 5 .

4.2.м Постройте график функции y x= cos ( arcsin )2 .

4.3.м Решите систему уравнений: 2 2

2 22 3 2 14,

5.x xy y

x xy y⎧ − + =⎨ + − =⎩

4.4.м В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 2q. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 2p.

26




4.1.м Упростите выражение:

a a a a+ + + + − + +2 4 5 2 4 5 .

4.2.м Постройте график функции y x= cos ( arcsin )2 .

4.3.м Решите систему уравнений: 2 2

2 22 3 2 14,

5.x xy y

x xy y⎧ − + =⎨ + − =⎩

4.4.м В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 2q. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 2p.



2.1. Чему равно значение выражения 0,6 0,6 2,36(5 ) (0, 2)− −⋅ ?

2.2. Решите неравенство: 23 3 24x x+ − ≤ .

2.3. Найдите значение cosα , если tg 3α = − и 3 22π < α < π .

2.4. Решите уравнение: 3

2 214log log 1x x+ = − .

2.5. Геометрическая прогрессия ( )nb задана формулой общего члена 17 2n

nb −= ⋅ . Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

2.6. Смешав 3-процентный и 8-процентный растворы соли, получили 260 г 5-процентного раствора. Сколько взяли граммов 3-процентного раствора?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Найдите отрезок AM, если AB = 6 см и BC : AD = 3 : 4.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен R.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x x= − +2 6 9 и прямой y x= −5 .

3.2. Упростите выражение: 2 2( 2) 8 ( 2) 8a a a a+ − + − + .

3.3. Основание пирамиды — квадрат со стороной 12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 5 см.




4.1.м Сколько критических точек на промежутке [ ; ]a a− имеет функция 3 2

( ) 23 2x xf x x= − −

в зависимости от значения параметра a ( 0)a > ?

4.2.м Докажите тождество:

2arctg arcsin

1xx

x=

+.

4.3.м Решите систему уравнений:

2 2

20 ,

34.

x yx y x y x yx y

⎧ −− + =⎪ + +⎨⎪ + =⎩

4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠AA1C=∠CC1A. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

28




4.1.м Сколько критических точек на промежутке [ ; ]a a− имеет функция 3 2

( ) 23 2x xf x x= − −

в зависимости от значения параметра a ( 0)a > ?

4.2.м Докажите тождество:

2arctg arcsin

1xx

x=

+.


2 2

20 ,

34.

x yx y x y x yx y

⎧ −− + =⎪ + +⎨⎪ + =⎩

4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠AA1C=∠CC1A. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.



2.1. Вычислите значение выражения 0,25 0,5 281 9 (0,2)−− − .

2.2. Найдите корень уравнения 19 9 24x x+ − = .

2.3. Упростите выражение 2sin cos sin( )cos( ) 2sin sin

α β− α +βα +β + α β

.

2.4. Решите неравенство: 6 6log ( 1) log (2 1) 1x x+ + + ≤ .

2.5. Найдите первообразную функции 1( ) cos 23 1xf x

x= +

+, график которой

проходит через начало координат.

2.6. Найдите область определения функции 2

4 24 1

x xy x−= − .

2.7. В четырехугольнике ABDC, изобра-женном на рисунке, aBDAB == ,

.15°=∠=∠ DA Найдите периметр четы-рехугольника ABDC, если .90°=∠ACD

2.8. Угол при вершине осевого сечения ко-нуса равен α, а расстояние от центра ос-нования до образующей конуса равно a. Найдите площадь боковой поверхности конуса.





функции 2 7( ) 9

x xf x x+=−

.

3.2. Постройте график функции f x x x( ) tg cos= .

3.3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см.

A

C

D

B

a a




4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

( )x a x x− ⋅ − ⋅ ≥3 2 2 3 0 .

4.2.м Докажите, что функция )2cos(cos)( xxxf += не является периодической.

4.3.м Вычислите интеграл 2

2

2

sinx xdx

π

π−∫ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b. Отрезки, соеди-

няющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника.

30




4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

( )x a x x− ⋅ − ⋅ ≥3 2 2 3 0 .

4.2.м Докажите, что функция )2cos(cos)( xxxf += не является периодической.

4.3.м Вычислите интеграл 2

2

2

sinx xdx

π

π−∫ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b. Отрезки, соеди-

няющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника.



2.1. Найдите область значений функции 2( ) 10 27f x x x= − + .

2.2. Упростите выражение: 1 1 4: 11 1

x x xxx x

⎛ ⎞+ −−⎜ ⎟ −− +⎝ ⎠.

2.3. Решите уравнение: 6 5 2

4 2 4 1x x− =− +

.

2.4. Двое рабочих, работая вместе, могут изготовить некоторое количество одинаковых деталей за 10 ч. За сколько часом может изготовить эти детали один рабочий, если другому для этого надо 35 ч?

2.5. Найдите наибольшее значение функции 4y x x= + на промежутке [1; 3].

2.6. Решите уравнение: 21 sin 2 (sin 2 cos 2 )x x x+ = − .

2.7. Основания равнобокой трапеции равны 4 см и 6 см, а диагональ является биссектрисой ее острого угла. Вычислите площадь трапеции.

2.8. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MB и MC, образующие с плоскостью углы, равные 30°. Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если ∠BMC= 90°, а длина отрезка BC равна 8 см.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой 24y x= − и прямой 2y x= + .

3.2. Найдите область определения функции 0,31( ) log 5

xf x x−=+

.

3.3. Основание прямой призмы — ромб со стороной a и тупым углом α. Через бóльшую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.




4.1.м Найдите уравнение касательной к графику функции 4( ) 3xf x x+=+

,

проходящей через точку (0; 0)O .

4.2.м Решите неравенство: 2 3 18 4x x x− − < − .

4.3.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение 2 2cos 12

xa axπ + =

имеет единственное решение.

4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

32




4.1.м Найдите уравнение касательной к графику функции 4( ) 3xf x x+=+

,

проходящей через точку (0; 0)O .

4.2.м Решите неравенство: 2 3 18 4x x x− − < − .

4.3.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение 2 2cos 12

xa axπ + =


4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.



2.1. Чему равно значение выражения ( )( )( )232323 4444 ++− ?

2.2. Решите уравнение:

x x x2 7 12 6+ + = − .

2.3. Вычислите значение выражения 4log5lg2 74910 − .

2.4. При каком положительном значении x значения выражений 7−x , 5+x , 13 +x являются последовательными членами геометрической про-

грессии?

2.5. Укажите область определения функции 4 5ln 2xy x

−=−

.

2.5. Вычислите интеграл ∫3ln

2ln

3 dxe x .

2.7. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание треугольника.

2.8. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плос-кости основания под углом α. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен a. Найдите объем пирамиды.




3.1. Постройте график функции f xx

x( ) =−

−

2 4

2 4⋅

3.2. Докажите тождество:

( )( ) ( )( )2 2

29 5 5 2tg tg ctg ctg4 2 4 sinπ π π+ −α + + π−α =

α.

3.3. Точка пересечения биссектрис острых углов при большем основании трапеции принадлежит меньшему основанию. Найдите площадь тра-пеции, если ее боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.




4.1.м Решите неравенство: 2cos 4 3 0x x x⋅ − − ≥ .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции |12|)( 2 ++= xxxf на проме-жутке [–1; 0].

4.3.м Прямая y x= −6 7 касается параболы y x bx c= + +2 в точке M (2; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что SABE = 1 см2, SDCE = 4 см2, SABCD ≤ 9 см2. Найдите площади треугольников ADE и BCE.

34




4.1.м Решите неравенство: 2cos 4 3 0x x x⋅ − − ≥ .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции |12|)( 2 ++= xxxf на проме-жутке [–1; 0].

4.3.м Прямая y x= −6 7 касается параболы y x bx c= + +2 в точке M (2; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что SABE = 1 см2, SDCE = 4 см2, SABCD ≤ 9 см2. Найдите площади треугольников ADE и BCE.



2.1. Найдите корни уравнения 3 0sin cosx x− = .

2.2. Вычислите значение выражения 6 6log 11 log 113 2⋅ .

2.3. Упростите выражение 1 1 16 3 3

5 1 16 66

3

3

m m n m

n mm

− −++−

⋅

2.4. Решите уравнение: 2 12 3 2 2 0x x+ + ⋅ − = .

2.5. Найдите первообразную функции 3( ) 22

f x xx

= − , график которой

проходит через точку N (9; –8).

2.6. Лодка, собственная скорость которого равна 8 км/ч, проплыла 15 км против течения реки и вернулась назад, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения реки.

2.7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BM = 4 см, AC = 8 см, AM = MK. Найдите сторону AB.

2.8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофе- ма — 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.




3.1. Докажите тождество 2 2 4

2 2sin 2 4sin tg

sin 2 4sin 4α − α = α

α + α −.

3.2. Постройте график функции 22

2

log( ) log

xf x x= .

3.3. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащая гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.




4.1.м Решите неравенство: 0cos)2( 2 ≤−− xxx .

4.2.м Решите неравенство: 8 7 4 7 2 8 01x x x− ⋅ + ⋅ − >+ .

4.3.м Сколько критических точек на промежутке [0; 1] имеет функция 3 2

( ) 3 2x axf x = −


4.4.м В треугольнике ABC проведена медиану AA1. Через точку C проведен отрезок FN, равный отрезку AA1 и параллельный ему. Найдите площадь четырехугольника AFNA1, если площадь треугольника ABC равна S.

36




4.1.м Решите неравенство: 0cos)2( 2 ≤−− xxx .

4.2.м Решите неравенство: 8 7 4 7 2 8 01x x x− ⋅ + ⋅ − >+ .

4.3.м Сколько критических точек на промежутке [0; 1] имеет функция 3 2

( ) 3 2x axf x = −


4.4.м В треугольнике ABC проведена медиану AA1. Через точку C проведен отрезок FN, равный отрезку AA1 и параллельный ему. Найдите площадь четырехугольника AFNA1, если площадь треугольника ABC равна S.



2.1. Найдите значение выражения

11 46 2

9182

a b

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ при 6=a , 9=b .

2.2. Решите неравенство ( ) ( )2 5 62 3

3 2x x−≥ .

2.3. Упростите выражение sin(30 ) cos(60 )sin(30 ) cos(60 )

° + α − °+ α° + α + °+ α

.

2.4. Решите уравнение 2 6 2x x x− − = − .

2.5. Вычислите значение производной функции f x x( ) ( )= + 1 5 в точке x0 1= .

2.6. Катер прошел 24 км против течения реки и 27 км по озеру, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2.7. На стороне BC прямоугольника ABCD отметили точку М. Найдите пло-щадь четырехугольника AMCD, если AM = 13 см, AB = 12 см, BD = 20 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной 8 2 см на расстоянии 4 см от центра основания. Найдите объем конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°.




3.1. Решите уравнение 2 26sin 3sin cos 5cos 2x x x x− − = .

3.2. При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную графиком функции 8y x= и прямыми 0y = , 2x = , 8x = , на две равновеликие части?

3.3. В равнобедренный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 10 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8 : 5, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь этого треугольника.




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 4 3 2 4 4 0x xa a− + ⋅ + − =( )

имеет только один действительный корень?

4.2.м Решите уравнение:

10242 222 loglog =+ xx x .

4.3.м Докажите неравенство: 2 2 1n n> + , n N∈ , n ≥ 3 .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, 1 1 1

AC BC CD+ = . Докажите, что ∠ ACB = 120°.

38





имеет только один действительный корень?

4.2.м Решите уравнение:

10242 222 loglog =+ xx x .

4.3.м Докажите неравенство: 2 2 1n n> + , n N∈ , n ≥ 3 .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, 1 1 1

AC BC CD+ = . Докажите, что ∠ ACB = 120°.



2.1. Вычислите значение выражения ( )( )4646 258258 +− .

2.2. Решите неравенство: 6535 125,016 −− ≥ xx .

2.3. Найдите первообразную функции f x e x( ) = −4 2 1 , график которой проходит через точку A (1; 3e).

2.4. Решите уравнение 31,0lg10lg =⋅ xx .

2.5. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 4, а сумма первых тридцати членов равна 2100?

2.6. Найдите промежутки возрастания функции 4 5( ) 2xf x x−=+

.

2.7. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

2.8. Высота конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения — 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами y x= 2

и y x x= −4 2 .

3.2. Решите уравнение x x+ − − =8 2 1 2 .

3.3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плос-костью одной боковой грани угол α, а с плоскостью другой боковой гра-ни — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 3x x a− = +


4.2.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству:

(2sin 1)(2cos 3) 15x y+ + ≥ .

4.3.м Докажите, что при 0>x выполняется неравенство xx sin> .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольни-ка CMA.

40




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 3x x a− = +


4.2.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству:

(2sin 1)(2cos 3) 15x y+ + ≥ .

4.3.м Докажите, что при 0>x выполняется неравенство xx sin> .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольни-ка CMA.



2.1. Найдите значение выражения 55

0,75 81216 8 4−− ⋅ ⋅ .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 12555 1 <≤ − x ?

2.3. Решите уравнение: 2 40,5 0,5log 0,25log 2x x− = .

2.4. Чему равно значение tgα , если 1cos 5α = и 3 22π < α < π ?

2.5. Укажите область определения функции 25 4( ) 2

x xf x x− −=+

.


0

155 4

x dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ .

2.7. В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB = CD = 6 см, BC = 8 см, AD = 12 см. Найдите тангенс угла A трапеции.

2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды — 22 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.





функции 2

21( )1

xf xx−=+

.

3.2. Найдите наибольшее значение выражения 12 5sin cosα α− .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.




4.1.м Решите уравнение: sin ( cos sin )x x x4 5 2 02− − = .


11212 ≥−+− xx .


имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что AB + MC = AM + BC.

42




4.1.м Решите уравнение: sin ( cos sin )x x x4 5 2 02− − = .


11212 ≥−+− xx .


имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что AB + MC = AM + BC.



2.1. Решите систему уравнений 2 2 91,

13.x yx y

⎧ − =⎨ + =⎩

2.2. Решите уравнение 2 25 5log 0,5log 6x x+ = .

2.3. Укажите наибольшее целое решение неравенства 2 3 04

x xx

+ ≥−

.


3

0

(4 3)x dx−∫ .

2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( )nb , если 1 6b = , 4 162b = .

2.6. Упростите выражение (sin8 sin 2 )(cos 2 cos8 )1 cos 6

α − α α − α− α

⋅

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AMFK так, что угол A у них общий, а вершина F принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = 10 см, AC = 15 см.

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали C1D его грани отметили точку M так, что DM : MC1 = 5 : 3. Выразите вектор AM через векторы AB ,

AD и 1AA .




3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 3 2( ) 3 8 9f x x x x= − − + наклонена к оси абсцисс под углом 4

πα = .

3.2. Постройте график функции 44( ) ( 2) 2f x x x= − − .

3.3. Основание пирамиды — ромб со стороной a и углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пи-рамиды.




4.1.м Найдите первообразную функции f x x x( ) cos cos= 2 , график которой

проходит через точку ( )1;2 12M π .

4.2.м Решите уравнение: 2

3 3 3log (3 4 4) log 3 logx xx x x− + = + .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство 2 (3 4) ( 1)(2 3) 0x a x a a− − + − − >

выполняется при всех положительных значениях x?

4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 1

3 высоты, проведенной к средней по длине стороне

треугольника.

44




4.1.м Найдите первообразную функции f x x x( ) cos cos= 2 , график которой

проходит через точку ( )1;2 12M π .


3 3 3log (3 4 4) log 3 logx xx x x− + = + .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство 2 (3 4) ( 1)(2 3) 0x a x a a− − + − − >

выполняется при всех положительных значениях x?

4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 1

3 высоты, проведенной к средней по длине стороне

треугольника.



2.1. Укажите область определения функции 4( ) 2 16f x x= + .

2.2. Решите уравнение: 22 2 5x x−+ = .

2.3. Решите неравенство: log ( ) log ( ), ,0 4 0 45 1 3 2x x+ < − .

2.4. Найдите производную функции 2

26( )4

xf xx

−=+

⋅

2.5. Укажите область значений функции 2 4 10y x x= − − − .

2.6. Из города A в город B выехал товарный поезд. Через 2 ч из города A выехал пассажирский поезд, который прибыл в город B одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами A и B равно 350 км.

2.7. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.

2.8. Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания — 5 см. На расстоянии 4 см от оси цилиндра параллельно ей проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося при этом сечения цилиндра.




3.1. Решите уравнение sin 2 sin 2cos 1x x x+ = + .

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой 4y x= и прямыми 4y = и 4x = .

3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и равна 4 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 2,5 см.




4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2)4(log =−axx


4.2.м Докажите, что 1 1arctg arctg3 2 4π+ = ⋅

4.3.м Решите неравенство: 3 4 5x x x+ ≥ .

4.4.м В треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE = DB.

46




4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2)4(log =−axx


4.2.м Докажите, что 1 1arctg arctg3 2 4π+ = ⋅

4.3.м Решите неравенство: 3 4 5x x x+ ≥ .

4.4.м В треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE = DB.



2.1. Чему равно значение выражения ( )321232 19 27 4

−+ − ?

2.2. Вычислите значение выражения 31 log 69 − .

2.3. Решите неравенство 1 25 3 5 122x x+ −− ⋅ < .

2.4. Решите уравнение 2 4 5 1x x x+ − = − .

2.5. Найдите первообразную функции ( ) 2 cos3xf x e x−= + , график которой проходит через точку (0; 2)A .

2.6. Найдите корни уравнения: 2 23 sin sin 2 3 cos 0x x x+ − = .

2.7. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 60°.

2.8. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.




3.1. Докажите тождество: 2 2 2(sin sin ) (cos cos ) 4cos 2

α −βα + β + α + β = .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции ( ) ln

xf x x= .

3.3. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника прове-дена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.





8 842log 2 log ( 6 9) 3x x x+ − + = .


( )1 22 1 2 8 0x x x− − + − ≥ .

4.3.м При каких значениях параметра a система

{( 1) 2 2 4 ,( 2) 3

a x ay aax a y− − = −+ + =

имеет бесконечно много решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в од-ной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

48





8 842log 2 log ( 6 9) 3x x x+ − + = .


( )1 22 1 2 8 0x x x− − + − ≥ .

4.3.м При каких значениях параметра a система

{( 1) 2 2 4 ,( 2) 3

a x ay aax a y− − = −+ + =

имеет бесконечно много решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в од-ной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)



2.1. Упростите выражение αα+α tg2sin2cos .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 3 2 12 4xx+ ≤+

?

2.3. Решите неравенство 14

log (5 3 ) 1x− ≥ − .

2.4. Решите уравнение: 23 3x x− = − .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции 3( ) 27f x x x= − .

2.4. Найдите первообразную функции 2 4( ) 6 xf x x e= + , график которой

проходит через точку 21 ;2 4

eA ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.7. В равнобокой трапеции ABCD основание BC равно 6 см, высота трапеции равна 2 3 см, а боковая сторона образует с основанием AD угол 60°. Найдите основание AD трапеции.

2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник со стороной a. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β.




3.1. Докажите тождество: 4 4 4

4 45 5 10: 25 5 25

a a aa a a

⎛ ⎞− +− =⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠.

3.2. Постройте график функции 21 42

( ) log log (4 )xf x x−= − .

3.3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BD и AM — высоты тре-угольника, BD : AM = 3 : 1. Найдите cos C.




4.1.м Определите количество корней уравнения sin x a= на промежут-

ке ( 2;6 3π π⎤− ⎥⎦



x xx

2 10 55

29 0+ −+

+ ≤ .

4.3.м Решите уравнение 5 4 1x x= + .

4.4.м Из точки M, которая движется по окружности, опускают перпен-дикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от поло-жения точки M.

50




4.1.м Определите количество корней уравнения sin x a= на промежут-

ке ( 2;6 3π π⎤− ⎥⎦



x xx

2 10 55

29 0+ −+

+ ≤ .

4.3.м Решите уравнение 5 4 1x x= + .

4.4.м Из точки M, которая движется по окружности, опускают перпен-дикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от поло-жения точки M.



2.1. Вычислите значение выражения cos 43 cos17 sin 43 sin17sin 37 cos 23 cos37 sin 23

° ° − ° °° ° + ° °

.

2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 21 3 2727x−< ≤ ?

2.3. Чему равно значение выражения 7 7

7 7

2 log 4 log 0,5log 18 log 9

+−

?

2.4. Найдите область определения функции 6 113 2

yxx

= +−+

.

2.5. Найдите промежутки возрастания функции 3 2( ) 3f x x x= − .


1

3e

dxx∫ .

2.7. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом 120°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина хорды равна 6 см.




3.1. Чему равно значение выражения 5 2 6 49 20 63 6− ⋅ + ?

3.2. Решите уравнение: 2 3 2sin cosx x− = .

3.3. Через сторону нижнего основания и середину противоположного боко-вого ребра правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Площадь образовавше-гося сечения равна 16 6 см2. Найдите объем призмы.




4.1.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству:

log log ( ) log ( )2 2 2xy x y= − + − .

4.2.м Решите систему уравнений: xy x yx y

( )( ) ,( )( ) .

− − =+ + =

⎧⎨⎩

1 1 721 1 20

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f x x x x( ) = − + −3 3 3

на промежутке [0; 4].

4.4.м На стороне AC остроугольного треугольника ABC найдите такую точку, чтобы расстояние между ее проекциями на две другие стороны было наименьшим.

202





− + − − ≤x x x236 5 2 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 3 02cos cosx x− = ?


⎩⎨⎧

=+−−=−

.9,lglg

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и одной из вневписанных окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

Бланк ответов государственной итоговой аттестации

по математике

ученика / ученицы 11 ______ класса

____________________________________________________________ название учебного заведения

____________________________________________________________ фамилия, имя, отчество ученика (ученицы)

Вариант № ______

Внимание! Отмечайте только один вариант ответа в строке вариантов ответов к каждому заданию. Любые исправления в бланке недопустимы.

Если Вы решили изменить ответ в некоторых заданиях, то правильный ответ можно указать в специально отведенном месте, расположенном внизу бланка ответов.

В заданиях 1.1–1.16 правильный ответ обозначайте только так:

1.1А Б В Г

1.41.31.2

1.5А Б В Г

1.81.71.6

1.9А Б В Г

1.101.111.12

А Б В Г

1.141.151.16

1.13

В заданиях 2.1–2.8 впишите ответ. 2.1. _______________________ 2.5. ______________________ 2.2. _______________________ 2.6. ______________________ 2.3. _______________________ 2.7. ______________________ 2.4. _______________________ 2.8. ______________________

Чтобы исправить ответ к заданию, запишите его номер в специально отведенных клеточках, а правильный, по Вашему мнению, ответ — в соответствующем месте. Задания 1.1 – 1.16

А Б В Гномерзадания

1.1.1.1.

Задания 2.1 – 2.8

номер задания

2. ________________________________

2. ________________________________

2. ________________________________

2. ________________________________

Education

математика сборник 11 класс