פרק 2א אינטגרל - שטח אחד

לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג

פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2ק חל

0

0

30803יחידה שלישית :

א'1חלק

חקירות פונקציה:

פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש

'ב1חלק

משוואת משיק


2חלק

אינטגרל : פונקציה קדומה ומציאת שטח

פונקציה של פולינום בלבד

'א0חלק

מאונך מקביל מטריה אנליטית:גיאו

'ב0חלק

מעגל גיאומטריה אנליטית:

4חלק

בעיות מילוליות:

תנועה, קנייה ומכירה,

3חלק

בעיות קיצון :


כתב וערך: יוסי דהן



1

1

אינטגרל של פולינום

cn

xadxxan

nn

11

1

dxxx

dxxx

dxxxx

dxxx

)682(.11

)73012(.10

)82104(.9

)749(.8

23

23

23

2

dxxx

dxx

dxx

)232

(14

)2

1

3(13

)5

(.12

23

2

2

dxxx

dxxxx

dxxx

dxxx

dxx

dxxx

dxxx

)123(.7

)325(.6

)632(.5

)62(.4

)7(.3

)(.2

)(.1

2

23

2

23

3

2

34

2

2

2

2

2

2 2

3

3 2

3 2 2

3

3

13. ( 5 4)

14. ( )

815. (1 )

3

16. ( 2 )

17. (2 2 )

18. ( 2) 4 4

19. ( 4 )

20. (4 12 8 )

21. ( 2 )

22. ( 9 )

23. 8

x x dx

x dx

xx dx

x x dx

x x dx

x dx x x

x x dx

x x x dx

x x x dx

x x dx

x dx

תרגילים לבדיקה עצמית:

dxxx

dxx

dxxx

dxxxdxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxx

dxxx

dxx

dxx

dxxx

32.12

8

12.11

)34(.10

44)2(.9

)34(.8

)67(.7

)3(.6

)13(.5

)86(.4

)3

52(.3

)216(.2

)4(.1

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

3

2



2

2

שטח אחד

. צבע כל פונקציה בצבע אחר ורשום את הפונקציה המתאימה1

. מלא את הטבלה2

:1שאלה מספר

2323 32 xxyxxy

:2שאלה מספר

34 3 xyy

:0שאלה מספר

21104 2 xxyy

x פונקציה עליונה x

233 גדול/ימין xxy קטן/שמאל

0x

פונקציה תחתונה

3x 232 xxy

y

x

16,3

4,2

2,0

A B

1

y

x

4,1 4,0


קטן/שמאל 4y גדול/ימין

1x


0x 33 xy



5x


3x 4y

B A

y

x

0,7 0,3

4,5



3

3

B A

4שאלה מספר

56102 2 xxyxy

3שאלה מספר

113 3 xyxy

6שאלה מספר

xxxyxy 3213 24

7שאלה מספר 24 21 xxyy

x ונקציה עליונהפ x


5x

3x פונקציה תחתונה

102 xy

y

0,1 0,5

4,3

y

x

M


13 גדול/ימין xy קטן/שמאל

2x


13 xy

y

x

7,2

2,1

y

x

2,1A


xxxy גדול/ימין 32 24 קטן/שמאל

1x


13 xy


24 גדול/ימין 2xxy קטן/שמאל

1x


1y

0,0

1,1 1,1

y

x



4

4

8שאלה מספר

261 xyxy

9שאלה מספר

232)(41 2 xxxfxy

13שאלה מספר

63)(13 3 xxxfy 229 xy



2x


0x xy 1

2,2 A

O

y

x

0,0



1x


0x 232)( 2 xxxf

0,5.0

D 3,1

B

y

x

C

0,2

2,0

B

y

x

C

A

)13,1(

)4,2(

)13,0(



1x


0x 63)( 3 xxxf



5

5

שטח אחד

:1שאלה מספר

מועד ב' תשס"ז 03330מבחן בגרות

נתונות שתי הפונקציות :

23

23

3

2

xxy

xxy )ראה ציור (

של נקודות החיתוך x –מצא את שיעורי ה .(א)

בין הגרפים של שתי הפונקציות.

א את השטח המוגבל על ידי מצ .(ב)

.הגרפים של שתי הפונקציות , השטח המקווקו בציור

פתרון

בין הגרפים של שתי הפונקציות. של נקודות החיתוך x –מצא את שיעורי ה .(א)

נקודות החיתוך בין הגרפים

0)6(0

0)6(

06

02323

2323

2

1

2

23

23

32

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

yy

230

2

51

)1(2

)6)(1(411

321

2,3

2,3

xxx

x

x

)4,2(

42)2(3)2()2(

)16,3(

162)3(3)3()3(

)2,0(

22)0(3)0()0(

23

2

2

2

2

yx

yx

yx

xxy

y

x

16,3

4,2 2,0



6

6

ציור.מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות , השטח המקווקו ב .(ב)

:סופית תשובה

)ב( 2,0,3)א(

4315S



0x


3x 1212)( xxf

dxעליונהפונקציהתחתונהפונקציה

xגדול

xקטן

TS

dxxxxS

dxxxxxS

dxxxxxS

T

T

T

)6(

)2323(

)23()23(

23

23

23

0

3

0

3

0

3

4

3

4

3

234234

234

15

150

2

)3(6

3

)3(

4

)3(

2

)0(6

3

)0(

4

)0(

2

6

34

0

3

T

T

T

T

S

S

S

xxxS

y

x

16,3

4,2 2,0



7

7

:2שאלה מספר

תשס"דמועד א' 03330מבחן בגרות

נתונה הפונקציה 3 3y x

.Aגרף הפונקציה בנקודה חותך את 1xהישר

. Bבנקודה y –וחותך את ציר ה x –העבירו ישר המקביל לציר ה Aמנקודה

) ראה ציור (

.Aמצא את שיעורי נקודה .)א(

חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , .(ב)

) השטח המקווקו (. .y –, ועל ידי ציר ה ABעל ידי הישר

פתרון

בין הגרפים של שתי הפונקציות. של נקודות החיתוך x –מצא את שיעורי ה .(א)

m= 3משמעות x –המקביל לציר ה

מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות , השטח המקווקו בציור. .(ב)


75.0)ב( A)4,1()א( 43 s

Aנקודה

)4,1(

43)1(

1

3

3

3

A

y

x

xy



1x

נהפונקציה תחתו

0x 33 xy

ABמשוואת

4

)1(04

0)4,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

dxxS

dxxS

dxxS

T

T

T

)1(

)34(

)3()4(

3

3

3

1

0

1

0

1

0

4

3

04

3

)0(14

)0()1(1

4

)1(

14

44

41

0

T

T

T

T

S

S

S

xx

S


xגדול

xקטן

TS

4,1 4,0

A B

1

y

x



8

8

:0שאלה מספר

ח "חורף תשסמועד 03330מבחן בגרות

ה

21102פרבולה xxy חותכת את ציר ה– x

xהעבירו אנך לציר ה A. בנקודה B -, ו Aבנקודות

ובנקודת המינימום של הפרבולה העבירו משיק לפרבולה

) ראה ציור (

Bו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)

מצא את משוואת המשיק .(ב)

מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה .(ג)

על ידי המשיק ועל ידי האנך ) השטח המקווקו (.

פתרון

Bו A. מצא את שיעורי הנקודות (א)

. מצא את משוואת המשיק(ב)

AB ותנקוד

)0,7()0,3(

2

410

)1(2

)21)(1(4100)10(

21100

0

2110

2,1

2,1

2

2

BA

x

x

xx

x

xxy

5

102

1020

0

102'

x

x

x

m

xy

נקודת המינימום

)4,5(

4

21)5(10)5(

5

2110

2

2

y

y

x

xxy

משיקמשוואת

4

)5(04

0)4,5(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

A0,3 0,7B

y

x

4,5 4y



9

9

על ידי המשיק ועל ידי האנך ) השטח המקווקו (. מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה .(ג)

: סופית תשובה

)ב( 4y)ב( )0,3()0,7()א( 322S



5x


3x 4y

dxxxS

dxxxS

dxxxS

T

T

T

)2510(

)42110(

)4()2110(

2

2

2

5

3

5

3

5

3

3

22

393

241

)3(252

)3(10

3

)3()5(25

2

)5(10

3

)5(

252

10

3

2323

235

3

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S


xגדול

xקטן

TS

A0,3 0,7B

y

x

4,5 4y



10

10

4שאלה מספר

.ע"אתש 2311א קיץ מועד 30803מבחן בגרות

562הפרבולה גרף xxy

)ראה ציור(. B -ו Aבנקודה x -את ציר ה ךחות

היא נקודת המקסימום של הפרבולה. Mהנקודה

.B –ו Mמצא את שיעורי הנקודות )א(.

MBידי הישר -פרבולה ועלידי ה-חשב את השטח המוגבל על )ב(.

בציור(. מקווקו)השטח ה

פתרון

.B –ו M)א(. מצא את שיעורי הנקודות

AB ותנקוד

)0,5()0,1(

2

46

)1(2

)5)(1(436)6(

560

0

56

2,1

2,1

2

2

BA

x

x

xx

x

xxy

3

62

620

0

62'

x

x

x

m

xy

המקסימום M קודהנ

)4,3(

4

5)3(6)3(

3

56

2

2

y

y

x

xxy

MBהישר משוואת

102

462

)3(24

253

04)4,3(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

y

x

A0,1 0,5B

M

4,3



11

11

MBידי הישר -ידי הפרבולה ועל-חשב את השטח המוגבל על )ב(.


: תשובה סופית

)4,3()0,5( )א(. BM 102 מ הישר xy .)ב(311S


562 גדול/ימין xxy ן/שמאלקט

5x


3x 102 xy


xגדול

xקטן

TS

dxxxS

dxxxxS

dxxxxS

T

T

T

)158(

)10256(

)102()56(

2

2

2

5

3

5

3

5

3

3

11

183

216

45369751003

241

)3(152

)3(8

3

)3()5(15

2

)5(8

3

)5(

152

8

3

2323

235

3

T

T

T

T

T

S

S

S

S

xxx

S

y

x

A0,1 0,5B

M

4,3



12

12

3שאלה מספר

ח"תשס מועד א' 03330מבחן בגרות

13ישר משיק לגרף הפונקציה xy

1xהעבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה

מצא את משוואת המשיק .(א)

2xהמשיק חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת שבה .(ב)

מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה

השטח המקווקו בציור ועל ידי המשיק

פתרון

מצא את משוואת המשיק . (א)


13

233

)1(32

3)2,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

ציהפונק

)2,1(

2

1)1(

1

1

3

3

y

y

x

xy

נגזרת/שיפוע

3

)1(3

1

3'

2

2

m

m

x

xy

y

x

7,2

2,1



13

13

MBידי הישר -ידי הפרבולה ועל-חשב את השטח המוגבל על )ב(.



13)א( xy )ב(436S



2x


1x 13 xy


xגדול

xקטן

TS

dxxxS

dxxxS

dxxxS

T

T

T

)23(

)131(

)13()1(

3

3

3

2

1

2

1

2

1

4

36

4

36

)1(32

)1(3

4

)1()2(2

2

)2(3

4

)2(

22

3

4

2424

242

1

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S

y

x

7,2

2,1



14

14

6שאלה מספר

.ע"אתש 2311ץ ב קי מועד 03330מבחן בגרות

xxxxfבשרטוט שלפניך מוצג גרף הפונקציה 32)( 24

והוא משיק לגרף הפונקציה 3נתון ישר ששיפועו

)ראה ציור( Bו Aבנקודות

.B –ו Aמצא את שיעורי נקודות ההשקה )א(.

.ABמצא את משוואת הישר )ב(.

הפונקציה חשב את השטח המוגבל על ידי גרף )ג(.

ועל ידי המשיק ) השטח המקווקו בציור (

פתרון:

.B –ו Aמצא את שיעורי נקודות ההשקה )א(.

.AB)ב(. מצא את משוואת הישר


13

233

)1(32

3)2,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

פונקציה

)2,1(

)1(3)1(2)1(

1

)4,1(

)1(3)1(2)1(

1

32)(

24

24

24

A

y

x

B

y

x

xxxxf


110

)44(0

440

3443

3

344)('

321

2

3

3

3

xxx

xx

xx

xx

m

xxxf

y

x

2,1A



15

15

)ג(. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה

ו בציור (ועל ידי המשיק ) השטח המקווק

: ה סופיתתשוב

)2,1()4,1( )א(. BA .)13)ב xy .)ג(1511S


xxxy גדול/ימין 32 24 קטן/שמאל

1x


1x 13 xy


xגדול

xקטן

TS

dxxxS

dxxxxxS

dxxxxxS

T

T

T

)12(

)1332(

)13()32(

24

24

24

1

1

1

1

1

1

15

11

15

8

15

8

)1(13

)1(2

5

)1()1(1

3

)1(2

5

)1(

13

2

5

3535

351

1

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S

y

x

2,1A



16

16

7שאלה מספר

.ע"אתש 2311ב קיץ מועד 30803מבחן בגרות

24 נתונה הפונקציה 2xxy )ראה ציור(

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. )א(.

דרך שתי נקודות המינימום של הפונקציה )ב(.

.x –מעבירים ישר . הישר מקביל לציר ה

מצא את משוואת הישר. (1)

חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ( 2)

(1שמצאת בתת סעיף ) x –ביל לציר ה ובין הישר המק

)השטח המקווקו (

פתרון:

)א(. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.

.x –)ב(. דרך שתי נקודות המינימום של הפונקציה מעבירים ישר . הישר מקביל לציר ה

.( מצא את משוואת הישר1ב)

נגזרת ראשונהm=0

110

)44(0

440

0)('

44)('

321

2

3

3

xxx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)1,1(

1)1(2)1()1(

)1,1(

1)1(2)1()1(

)0,0(

)0(2)0()0(

2)(

24

24

24

24

f

f

f

xxxf

נגזרת שנייהmax/min

min48)2(6)1(''

min48)2(6)1(''

max88)0(6)0(''

86)(''

2

2

2

2

xf

xf

xf

xxf

נקודת הקיצון

min)1,1(min)1,1(max)0,0(


1

)1(01

0)1,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

0,0

1,1 1,1

24 2)( xxxf

1y

y

x



17

17

שמצאת בתת x –( חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ובין הישר המקביל לציר ה 2ב)

)השטח המקווקו ( (1סעיף )

:ה סופיתתשוב

)1,1(max)0,0(min)1,1(min )א( 1 .(1)בy (.2)ב1511S


24 גדול/ימין 2xxy קטן/שמאל

1x


1x 1y


xגדול

xקטן

TS

dxxxS

dxxxS

T

T

)12(

)1()2(

24

24

1

1

1

1

15

11

15

8

15

8

)1(13

)1(2

5

)1()1(1

3

)1(2

5

)1(

13

2

5

3535

351

1

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S

0,0

1,1 1,1

24 2)( xxxf

1y

y

x



18

18

8שאלה מספר

2311קיץ 03830מבחן גנוז בגרות

)(26שברביע הראשון נמצאת על גרף הפונקציה Aנקודה xxf

)ראה ציור (

שלה. x –שווה לשיעור ה Aשל הנקודה y –נתון כי שיעור ה א.

.Aמצא את השיעורים של הנקודה (1)

ראשית הציריםOA (O )משוואת הישר מצא את (2)

חשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה הנתונה , ב.

השטח המקווקו בציור(. y -ועל ידי ציר ה OAעל ידי הישר

פתרון:

שלה. x –שווה לשיעור ה Aשל הנקודה y –א. נתון כי שיעור ה

.A( מצא את השיעורים של הנקודה 1)

ראשית הציריםOA (O )( מצא את משוואת הישר 2)

פונקציה

23

2

51

)1(2

)6)(1(41)1(

06

6

6)(

21

2,1

2,1

2

2

2

xx

x

x

xx

xx

xy

xxf

Aנקודה

)2,2(

2

2

A

y

x

xy

OAמשוואת

xy

xy

xy

m

xxmyy

1

221

)2(12

102

02)2,2(

)( 11

2,2A

O

y

x

0,0

A

O

y

x



19

19

OAחשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה הנתונה , על ידי הישר ב.

השטח המקווקו בציור(. y -ועל ידי ציר ה

: תשובה סופית

xy (.2א) A)2,2( (.1)א (ב.) 3

17S

2,2A

O

y

x

0,0



2x


0x xy 1


xגדול

xקטן

TS

dxxxS

dxxxS

dxxxS

T

T

T

)61(

)16(

)1()6(

2

2

2

2

0

2

0

2

0

3

17

03

17

)0(62

)0(1

3

)0()2(6

2

)2(1

3

)2(

62

1

3

2323

232

0

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S



20

20

9שאלה מספר

מועד חצב/ ברק תשע"א. 03830מבחן בגרות

)(232בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה 2 xxxf

יההן שתיים מנקודות החיתוך של גרף הפונקצ C –ו Bהנקודות

עם הצירים . )כמתואר בציור(.

.C –ו B( מצא את שיעור הנקודות 1)א( )

.BC( מצא את שיפועו של הישר 2)

.BCמקביל לישר D)ב(. נתון כי הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

.D( מצא את שיעורי נקודת ההשקה 1)

.Dבנקודה ( מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה 2)

y –)ג( חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , המשיק וציר ה

)השטח המקווקו בציור(.

פתרון:

.C –ו B( מצא את שיעור הנקודות 1)א

.BC( מצא את שיפועו של הישר 2)א

.BCביל לישר מק D)ב(. נתון כי הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

.D( מצא את שיעורי נקודת ההשקה 1)

.D( מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 2)

"קווים מקבילים שיפועים זהים"

BCמשיק mm

Bנקודה

)0,2(

5.02

4

53

)2(2

)2)(2(49)3(

2320

0

232)(

2

2,1

2,1

2

2

B

xx

x

x

xx

y

xxxf

B

Cנקודה

)2,0(

2

2)0(3)0(2

0

232)(

2

2

C

y

y

x

xxxf

BCשיפוע

120

02

12

12

BC

BC

m

xx

yym

OAמשוואת

41

311

)1(13

1)3,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

משיק

Dנקודה

)3,1(

3

2)1(3)1(2

1

232)(

2

2

D

y

y

x

xxxf

D

D


1

44

341

1

34)('

Dx

x

x

m

xxf

0,5.0

D 3,1

B

y

x

C

0,2

2,0

D

B

y

x

C



21

21

ר(.)השטח המקווקו בציו y –ג( חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , המשיק וציר ה )

:תשובה סופית

)2,0()0,2(( 1)א BC 1 (2)אBCM 41 (2)ב D)3,1(( 1)ב xy (ג) 32S

0,5.0

D 3,1

B

y

x

C

0,2

2,0



1x

ונקציה תחתונהפ

0x 232 2 xxy

dxxxS

dxxxxS

dxxxxS

T

T

T

)242(

)23241(

)232()41(

2

2

2

1

0

1

0

1

0

3

2

03

2

)0(22

)0(4

3

)0(2)1(2

2

)1(4

3

)1(2

22

4

3

2

2323

231

0

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S


xגדול

xקטן

TS



22

22

13שאלה מספר

.2312 חד פברואר מיומועד 03330מבחן בגרות

)(63הפונקציה נתונה 3 xxxf מעבירים משיק לגרף

)ראה ציור(. 2שלה הוא x –.ששיעור ה Aהפונקציה בנקודה

.Aלגרף הפונקציה בנקודה מצא את משוואת המשיקא.

היא נקודה על המשיק, שמצאת בסעיף א, Bב.

. 13שלה הוא y –ושיעור ה

מעבירים שני ישרים: Bהנקודה דרך

.Cבנקודה y –וחותך את ציר ה x –האחד מקביל לציר ה

.Dוחותך את גרף הפונקציה בנקודה y –השני מקביל לציר ה

.Bשל הנקודה x –מצא את שיעור ה ( 1)

.BCרשום את משוואת הישר ( 2)

, BDה , הישר חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצי ג.

)השטח המקווקו בציור(. y -וציר ה ה BCהישר

פתרון:

.Aלגרף הפונקציה בנקודה א. מצא את משוואת המשיק

. 10שלה הוא y –היא נקודה על המשיק, שמצאת בסעיף א, ושיעור ה Bב.

מעבירים שני ישרים: Bדרך הנקודה

.Cבנקודה y –וחותך את ציר ה x –האחד מקביל לציר ה

.Dוחותך את גרף הפונקציה בנקודה y –השני מקביל לציר ה

.Bשל הנקודה x –( מצא את שיעור ה 1)

.BC( רשום את משוואת הישר 2)

Aנקודה

)4,2(

4

6)2(3)2(

2

63)(

3

3

A

y

y

x

xxxf

Bנקודה

13

229

y

xy

)13,1(

1

99

22913

B

x

x

x

Aמשיק לנקודה

229

4189

)2(94

9)4,2(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

229

4189

)2(94

9)4,2(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

BCמשוואת

13

)1(013

0)13,1(

0

y

xy

m

mלצירמקבילx



23

23

y -הוציר BC,הישר BDחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , הישר ג.

)השטח המקווקו בציור(.

תשובה סופית:

229)א( משוואת במשיק היא xy 1 (1)בBx 13( 2)בy )75.5)גS



1x


0x 633 xxg

dxxxS

dxxxS

dxxxS

T

T

T

)73(

)6313(

)63()13(

3

3

3

1

0

1

0

1

0

4

35

04

35

)0(72

)0(3

4

)0()1(7

2

)1(3

4

)1(

72

3

4

2424

241

0

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S

Education

פרק 2א אינטגרל - שטח אחד