математика зно 2015

ЗНО ЗНО як складова національної як складова національної системи моніторингу якості освітисистеми моніторингу якості освіти

МатематикаМатематика

Нелін Є.П., методист науково-методичного відділу

Харківського регіонального центру оцінювання якості освіти,

кандидат педагогічних наук, професор

«До майбутнього ми йдемо,

озираючись на минуле»Тема власного висловлення ЗНО-2008

Регіональні дані про абітурієнтів,Регіональні дані про абітурієнтів,які отримали менше ніж 124 бали за які отримали менше ніж 124 бали за

шкалою 100-200 балівшкалою 100-200 балів

Регіональні дані про абітурієнтів,Регіональні дані про абітурієнтів,які отримали від 124 до 150 балів за які отримали від 124 до 150 балів за


Регіональні дані про абітурієнтів,Регіональні дані про абітурієнтів,які отримали від 150,5 до 179,5 бала які отримали від 150,5 до 179,5 бала

за шкалою 100-200 балівза шкалою 100-200 балів

Регіональні дані про абітурієнтів,Регіональні дані про абітурієнтів,які отримали 180 і більше балів за які отримали 180 і більше балів за


до 124

33,3

12,5

12,4

12,4

11 10,9

10,3

9,7

9,2

9,2

9 8,9

8,6

8,4

8,3

7,2

7,2

6,6

6,4

6,1

5,6

5,4

5,2

5,1

5 4,8

4,6

4,4

4,4

4,3

4,3

4,2

4,2

3,8

3,6

3,6

3,4

3,3

2,4

2,3

1,9

0,8

0

5

10

15

20

25

30

35

Пе

че

нізь

кий

Кег

ич

івс

ьки

й

Кр

асн

оку

тсь

кий

Нов

ов

одо

лаз

ьки

й

Бар

він

ків

сь

кий

Ве

лико

бу

рлу

ць

кий

Чуг

уїв

сь

кий

Куп

'янс

ьки

й

Бл

изн

юкі

всь

кий

Ха

ркі

вс

ьки

й

Дер

гач

івс

ьки

й

м.Л

юб

оти

н

Ба

лакл

ійс

ьки

й

Ва

лкі

всь

кий

Зач

епи

лів

сь

кий

Вов

ча

нсь

кий

Ло

зівс

ьки

й

Бо

рів

сь

кий

Кра

сн

огра

дс

ьки

й

м.Л

озов

а

Зм

іїв

ськ

ий

Зо

лоч

івс

ьки

й

м.І

зюм

м.Х

ар

ків

. Ж

ов

тне

вий

Ізю

мс

ьки

й

Дв

оріч

анс

ьки

й

м.Х

ар

ків.

Мо

ско

вс

ький

м.К

уп

'ян

сь

к

м.Х

ар

ків

. Л

ені

нс

ький

м.Х

ар

ків

. Ч

ер

вон

оза

вод

сь

кий

Сах

но

вщи

нсь

кий

м.П

ерв

ом

ай

ськи

й

Ше

вче

нкі

вс

ький

м.Х

арк

ів.

Ор

джо

нік

ідзе

всь

кий

Бо

год

ух

івс

ьки

й

м.Х

ар

ків

. Ф

ру

нзе

нсь

кий

Кол

ом

ац

ьки

й

м.Х

аркі

в.

Ко

мін

тер

нів

сь

кий

м.Х

ар

ків

. Д

зер

жи

нсь

кий

Пе

рво

ма

йсь

кий

м.Х

арк

ів.

Ки

ївс

ький

м.Ч

угу

їв

Дані про абітурієнтів Дані про абітурієнтів Харківської областіХарківської області, які отримали , які отримали менше ніж 124 балименше ніж 124 бали за шкалою 100 – 200 балів, %за шкалою 100 – 200 балів, %

антирейтингантирейтинг

-- +

183,5 і більше

19,1

13,2

12,9

11,3

8,2

8 7,9

7,2

5,9

5,7

4,4

4,2

3,9

3,3

3,3

3,2

3,2

3

2,4

2,2

2,2

2,2

2,1

2,1

1,8

1,7

1,5

1,4

1,1

1 0,9

0,7

0,5

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

5

10

15

20

25

м.Х

ар

ків

. Ж

овт

не

ви

й

м.Х

ар

ків

. Д

зерж

ин

сь

кий

м.Х

ар

ків

. К

ом

інте

рн

івс

ьки

й

м.Х

ар

ків

. Ф

рун

зен

сь

кий

м.Х

ар

ків

. К

иїв

сь

кий

Во

вч

ан

сь

кий

м.Х

ар

ків

. М

оск

ов

сь

кий

м.Х

ар

ків

. О

рдж

он

ікід

зев

сь

кий

м.К

уп

'ян

сь

к

Кр

ас

но

гра

дс

ьки

й

м.Л

юб

оти

н

Ше

вч

ен

ків

сь

кий

м.І

зюм

Ба

ла

клій

сь

кий

м.П

ер

во

ма

йс

ьки

й

Ку

п'я

нс

ьки

й

м.Х

ар

ків

. Л

ені

нс

ьки

й

Де

рга

чів

сь

кий

Дв

ор

іча

нс

ьки

й

Зм

іїв

сь

кий

Зо

ло

чів

сь

кий

м.Л

озо

ва

м.Х

ар

ків

. Ч

ерв

он

оза

во

дс

ьки

й

Са

хн

ов

щи

нс

ьки

й

Но

во

во

до

ла

зьки

й

Кр

ас

но

кутс

ьки

й

м.Ч

угу

їв

Ха

ркі

вс

ьки

й

Ве

ли

коб

ур

лу

цьки

й

Бл

изн

юкі

вс

ьки

й

Бо

год

ух

івс

ьки

й

Ва

лкі

вс

ьки

й

Чу

гуїв

сь

кий

Ба

рв

інкі

вс

ьки

й

Бо

рів

сь

кий

За

че

пи

лів

сь

кий

Ізю

мс

ьки

й

Ке

гич

івс

ьки

й

Ко

ло

ма

ць

кий

Ло

зів

сь

кий

Пе

рв

ом

ай

сь

кий

Пе

че

ніз

ьки

й

--+

Дані про абітурієнтів Дані про абітурієнтів Харківської областіХарківської області, які отримали , які отримали 181833,5 і більше,5 і більше

балів за шкалою 100 – 200 балів, %балів за шкалою 100 – 200 балів, %

рейтингрейтинг

Дані про абітурієнтів Дані про абітурієнтів Сумської областіСумської області, які отримали, які отримали менше ніж 124 балменше ніж 124 балии, %, %


-- +

до 124

10,8

10,6

10,3

10,3

9

8,5

8,4

8,3

7,3

7,2

7,1

6,9

6,3

6,2

6

5,6

4,6

4,3

3,6

3,5

3 2,8

2,6

2,1

0 0

0

2

4

6

8

10

12

Вел

икоп

исар

івсь

кий

Ям

піль

ськи

й

Бур

инсь

кий

Тро

стян

ецьк

ий

Глух

івсь

кий

Леб

един

ськи

й

Крол

евец

ький

Нед

рига

йлів

ськи

й

м.О

хтир

ка

Сер

един

о-Б

удсь

кий

Охт

ирсь

кий

Біл

опіл

ьськ

ий

Крас

нопі

льсь

кий

м.С

уми.

Зар

ічни

й

Сум

ськи

й

Ром

енсь

кий

Коно

топс

ький

Лип

овод

олин

ськи

й

Шос

ткин

ськи

й

м.Ш

остк

а

м.Л

ебед

ин

м.С

уми.

Ков

пакі

вськ

ий

м.К

онот

оп

м.Р

омни

м.Г

лухі

в

Пут

ивль

ськи

й

183,5 і більше

19,4

13,5

11,8

9 8,9

8,4

7,9

6,4

4,9

3,5

3,1

2,2

2,1

1,8

1,7

1,4

1,3

1,2

1,2

1,2

1,1

1

0 0 0 0

0

5

10

15

20

25

Пут

ивль

ськи

й

м.С

уми.

Ков

пакі

вськ

ий

м.К

онот

оп

м.Л

ебед

ин

м.Ш

остк

а

Крол

евец

ький

м.С

уми.

Зар

ічни

й

м.Р

омни

м.О

хтир

ка

Крас

нопі

льсь

кий

м.Г

лухі

в

Лип

овод

олин

ськи

й

Біл

опіл

ьськ

ий

Шос

ткин

ськи

й

Бур

инсь

кий

Тро

стян

ецьк

ий

Сум

ськи

й

Вел

икоп

исар

івсь

кий

Нед

рига

йлів

ськи

й

Охт

ирсь

кий

Ром

енсь

кий

Ям

піль

ськи

й

Глух

івсь

кий

Коно

топс

ький

Леб

един

ськи

й

Сер

един

о-Б

удсь

кий

--+

Дані про абітурієнтів Дані про абітурієнтів Сумської областіСумської області, які отримали , які отримали

183,5 і більше183,5 і більше, %, %

рейтингрейтинг

до 124

13,3

12,8

11,3

10,3

10,2

10,1

9,1

9,1

8,6

8,5

8,4

8,1

7,8

7,7

7,7

7,5

7,1

6,8

6,6

6,6

6,5

6,3

6,1

6,1

5,5

5,5

5,1

4,8

4,5

4,1

3,8

3,5

2,6

0

2

4

6

8

10

12

14

Ко

бе

ля

ць

кий

Хо

ро

ль

ськ

ий

Ко

зел

ьщ

ин

сь

кий

Кр

ем

ен

чу

ць

кий

Чо

рн

ух

ин

сь

кий

Но

во

са

нж

ар

сь

кий

Гл

об

ин

сь

кий

Гр

еб

інкі

вс

ьки

й

Ло

хв

иц

ьки

й

Ма

шів

ськ

ий

Ве

ли

коб

ага

ча

нс

ьки

й

Лу

бе

нс

ьки

й

Ми

рго

ро

дс

ьки

й

Се

ме

нів

сь

кий

Ши

ша

ць

кий

По

лта

вс

ьки

й

м.К

ре

ме

нч

ук.

Кр

юкі

вс

ьки

й

Чу

тів

сь

кий

м.М

ир

гор

од

Ре

ше

тил

івс

ьки

й

Ка

рл

івс

ьки

й

м.П

ол

тав

а.

Ле

нін

сь

кий

Ко

тел

ев

сь

кий

Пи

ря

тин

сь

кий

Зін

ькі

вс

ьки

й

м.П

ол

тав

а.

Окт

яб

рс

ьки

й

м.П

ол

тав

а.

Ки

ївс

ьки

й

Ор

жи

ць

кий

м.К

ре

ме

нч

ук.

Ав

тоза

во

дс

ьки

й

м.К

ом

со

мо

ль

ськ

м.Л

убн

и

Ди

кан

сь

кий

Га

дя

ць

кий

Дані про абітурієнтів Дані про абітурієнтів Полтавської областіПолтавської області, які отримали, які отримали менше ніж 124 балименше ніж 124 бали, %, %


-- +

--+

Дані про абітурієнтів Дані про абітурієнтів Полтавської областіПолтавської області, які отримали , які отримали

183,5 і більше183,5 і більше балівбалів зз, %, %

рейтингрейтинг183,5 і більше

11,6

8,8

8,5

8

7,5

6,1

5,3

5,1

4,9

4,7

4,6

4,6

4,4

4,3

3,8

3,6

3,4

3,3

3,2

3,1

2,9

2,5

2,4

2,3

1,9

1,8

1,3

1,2

1

0 0 0 0

0

2

4

6

8

10

12

14

м.М

ирго

род

м.Л

убни

м.П

олта

ва.

Окт

ябрс

ький

м.П

олта

ва.

Лен

інсь

кий

м.К

рем

енчу

к. А

втоз

авод

ськи

й

Чор

нухи

нськ

ий

м.К

омсо

мол

ьськ

м.П

олта

ва.

Київ

ськи

й

Коте

левс

ький

Дик

ансь

кий

Гадя

цьки

й

Сем

енів

ськи

й

Пир

ятин

ськи

й

Лох

виць

кий

Шиш

ацьк

ий

Греб

інкі

вськ

ий

Чут

івсь

кий

Кобе

ляць

кий

Маш

івсь

кий

м.К

рем

енчу

к. К

рюкі

вськ

ий

Нов

осан

жар

ськи

й

Пол

тавс

ький

Вел

икоб

агач

ансь

кий

Мир

горо

дськ

ий

Реш

етил

івсь

кий

Луб

енсь

кий

Карл

івсь

кий

Хор

ольс

ький

Орж

ицьк

ий

Глоб

инсь

кий

Зінь

ківс

ький

Козе

льщ

инсь

кий

Крем

енчу

цьки

й

Динаміка середнього значення результатів Динаміка середнього значення результатів учасників ЗНО у 2008-2014 рр.учасників ЗНО у 2008-2014 рр.

ХРЦОЯОХРЦОЯОМатематика

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

МІН (УКР А ЇНА ) МА КС (УКР А ЇНА ) УКР А ЇНА Полтавс ька облас ть С умс ька облас ть Харківс ька облас ть

Регіональні дані щодо середнього бала з математики

випускників 2014 року, нагороджених медалями

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ

Наказ Міністерства освіти і науки України від 01.10.2014 року №1120 «Про деякі питання проведення зовнішнього незалежного оцінюваня результатів навчання, здобутих на основі повної загальної середньої освіти, для осіб, які виявили бажання вступати до вищих навчальних закладів Україні в 2015 році»

Наказ Міністерства освіти і науки України від 01.10.2014 року №1121 «Про програми зовнішнього незалежного оцінюваня для осіб, які бажають здобувати вищу освіту на основі повної загальної середньої освіти»

Наказ Міністерства освіти і науки України від 17.10.2014 року №1177 «Про підготовку до проведення зовнішнього незалежного оцінюваня результатів навчання, здобутих на основі повної загальної середньої освіти, для осіб, які виявили бажання вступати до вищих навчальних закладів Україні в 2015 році»

Наказ Міністерства освіти і науки України від 27.11.2014 року №1393 «Про затвердження Календарного плану підготовки до проведення зовнішнього незалежного оцінювання результатів навчання, здобутих на основі повної загальної середньої освіти, для осіб, які виявили бажання вступати до вищих навчальних закладів України в 2015 році»

Характеристики сертифікаційних робіт зовнішнього незалежного оцінювання 2015 року з усіх предметів

Офіційні документи щодоОфіційні документи щодо ЗНО-2015ЗНО-2015


Нова системи визначення результатів:

введення категорії «склав/не склав»

Відсутність тестів із світової

літератури та всесвітньої

історії.Кожна іноземна мова – окремий

предмет

новації ЗНО2015

Термін дії сертифікатів

минулих років

скасовано

Тести двох рівнів складності (базовий та поглиблений) з української мови і

літератури та математики

Результат ЗНО з української мови

та літератури (базовий рівень - українська мова) зараховується як результат ДПА

для всіх випускників ЗНЗ

(I сесія)

Термін проведення:

квітень -липень


метод Ангоффа

отримання «порогового бала» («склав/не склав» встановлюється групами експертів з кожного предмета)

учасники, які не набрали «порогового бала» (категорія «не склав»), не мають права використати результат ЗНО з відповідного предмета для участі у конкурсному вступі до ВНЗ

результати учасників, які отримали «пороговий бал» (категорія «склав») дають право брати участь у конкурсному вступі до ВНЗ і шкалюються від 100 до 200 балів (окремо за кожен рівень складності)

Система визначення Система визначення результатів ЗНО-2015результатів ЗНО-2015

education-ua.org/ua/articles/316

стаття Валерія Бойка, начальника відділу змісту суспільно-гуманітарних навчальних предметів УЦОЯО «Визначення результатів зовнішнього незалежного оцінювання: старі проблеми та нові перспективи»

«Метод Ангоффа»: сутність«Метод Ангоффа»: сутність

Група експертів, аналізуючи завдання тесту, визначає (оцінює) вірогідність правильної відповіді на певне завдання мінімально підготовленого абітурієнта. Експертні оцінки усереднюються, а ці середні значення використовуються для визначення критеріального порогу «склав/не склав» або так званого «порогового бала».

«Мінімально підготовлений абітурієнт»:«Мінімально підготовлений абітурієнт»:той, хто володіє найменшим обсягом знань і умінь, необхідних для виконання завдання;той, хто своїми знаннями й уміннями ледь відповідає освітньому предметному стандарту;той, чиї знання й уміння є фрагментарними, граничними, але прийнятними.

«Метод Ангоффа»: процедура«Метод Ангоффа»: процедура

– – формування кола експертів–предметників.формування кола експертів–предметників.Їх має бути не менше 10. При цьому, експерти мають бути різної статі, віку, сфери діяльності (ЗНЗ, гімназія, ВНЗ, НАН, АПН України). У такий спосіб створюється прийнятний «освітній фон». Варто пам'ятати, що чим більше буде залучено експертів, тим кращою буде дисперсія експертних оцінок. Як наслідок – більш точним виявиться середнє значення критеріального порогового бала.


Інструкція: «Визначте (оцініть) кількість мінімально підготовлених абітурієнтів зі 100, які правильно виконають завдання. Наприклад, якщо на Вашу думку це завдання виконає 60 зі 100, то в графі «% правильних відповідей» Листа оцінювання запишіть значення 60%». Під час інструктажу модератор групи обов'язково наголошує на таких моментах:1) оцінка не повинна бути вищою, ніж 95 та нижчою, ніж 25, оскільки навіть дуже добре підготовлений абітурієнт може помилитися й не виконати завдання, а мінімально підготовлений абітурієнт може вгадати правильну відповідь;2) під час роботи експертам не надаються «ключі» відповідей до завдань, оскільки це може необґрунтовано впливати на експерта, нівелюючи його розуміння, «відчуття» складності завдання.


1. Будь–яке завдання, для якого стандартне відхилення експертних оцінок перевищує 10, колективно обговорюється. За результатами таких обговорень експерти можуть змінити свою оцінку.

2. Після обговорення, коригування експертами своїх оцінок модератор в таблиці Excel здійснює перетворення відсотка ймовірності правильної відповіді по кожному завданню у відповідний коефіцієнт. Наприклад, 45% – 0,45, 30% – 0,30 і т.д.

3. Модератор обчислює суму всіх коефіцієнтів завдань тесту по кожному експерту. Ця сума – «пороговий бал», який встановив певний експерт.

4. На завершальному етапі обчислюється середнє значення «порогових балів» усіх експертів. Це значення і є підсумковим «пороговим балом» для тесту, заради визначення якого й працювала група експертів.


Тести двох рівнів складності




Підготовка екзаменаторівПідготовка екзаменаторівНаказ Міністерства освіти і науки України від 27.11.2014 року №1393 «Про затвердження Календарного плану підготовки до проведення зовнішнього незалежного оцінювання результатів навчання, здобутих на основі повної загальної середньої освіти, для осіб, які виявили бажання вступати до вищих навчальних закладів України в 2015 році»

Підсумки проведення ЗНО з математики

в 2014 році

Кількість учасників тестування з математики – 135 770

ЗНО 2014ЗНО 2014Розподіл тестових завдань за змістовними лініями наведено в таблиці

Відповідно до специфікації тест складався з 34 завдань.Максимальний бал за правильне виконання всіх завдань 56 балів

Статистичні характеристики результатів Статистичні характеристики результатів тестування з математики в 2014 роцітестування з математики в 2014 році

Розподіл тестових балівРозподіл тестових балів

Розподіл балів за 100-200 бальною шкалоюРозподіл балів за 100-200 бальною шкалою

Розподіл учасників тестування за рівнем Розподіл учасників тестування за рівнем виконання завдань тесту з математикивиконання завдань тесту з математики

Показники надійності тесту з математикиПоказники надійності тесту з математики

Розподіл завдань тесту з математики Розподіл завдань тесту з математики за категоріями складностіза категоріями складності

Розподіл завдань тесту з математики за категоріями розподільної здатності

(за коефіцієнтом кореляції)

Завдання тесту Завдання тесту

ЗНО 2014ЗНО 2014

з математикиз математики

з психометричними з психометричними характеристикамихарактеристиками

Особливості Особливості підготовки до ЗНО 2015підготовки до ЗНО 2015

з математикиз математики

Програма ЗНО 2015 з математики

Затверджена Наказом Міністерства освіти і науки України № 1121 від 01.10.2014

ЗНО 2015 з математики буде

дворівневим: базовий

і поглиблений рівні

ХАРАКТЕРИСТИКА СЕРТИФІКАЦІЙНОЇ РОБОТИЗ МАТЕМАТИКИ (базовий рівень)

ХАРАКТЕРИСТИКА СЕРТИФІКАЦІЙНОЇ РОБОТИЗ МАТЕМАТИКИ (поглиблений рівень)

Демоверсії ЗНО 2015 з математики

Організація повторення, систематизації і

узагальнення матеріалу за змістовно-

методичними лініями

ЧИСЛА І ВИРАЗИ

Задачі, які вимагають логічних міркувань і найпростіших

обчислень

Головний принцип ефективної підготовки до розв’язування

завдань ЗНО 2015

• Формування загальних методів розв’язування,

а не розв’язування окремих завдань

ФУНКЦІЇ

РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Завдання з параметрами

Два види(за вимогою)

“Розв’яжіть …” “Дослідіть …”

“Дослідіть …”

Розв’язати і дослідити одержані розв’язки

Застосуваннявластивостей

функцій

Застосуваннявластивостейквадратноготричлена

Дослідженнякількості

розв ’язків –графічна

іллюстрація

Особливості оформлення відкритих завдань з розгорнутою відповіддю з алгебри

Якщо виконується розв’язування рівняння, то до ключових моментів можна віднести основні етапи

відповідного розв’язування. Зокрема, якщо для розв’язування використовуються

рівняння-наслідки, то до запису розв’язання повинна входитиперевірка одержаних коренів, а якщо використовуються рівносильні перетворення рівняння,

то до запису розв’язання повинно входити врахування ОДЗ заданого рівняння.

Слід мати на увазі, що врахувати ОДЗ заданого рівняння можна одним із трьох способів: 1) записати ОДЗ і розв’язати всі одержані обмеження; 2) записати ОДЗ, не розв’язувати одержані обмеження, але в кінці підставити одержані корені в обмеження ОДЗ і з’ясувати, задовольняє чи не задовольняє розглядуваний корінь усім обмеженням ОДЗ; 3) зовсім не записувати обмеження ОДЗ до розв’язання, але записати пояснення, що ОДЗ заданого рівняння було враховано автоматично в наведеному розв’язуванні.

Також слід враховувати, що іноді рівносильні перетворення доводиться виконувати не на всій ОДЗ заданого рівняння, а на тій її частині, в якій знаходяться корені заданого рівняння в цьому випадку про це також повинно бути записано в розв’язанні.

Якщо для розв’язування рівняння використовуються властивості функцій, то до запису розв’язання слід включити обґрунтування відповідних властивостей функцій; при цьому, для обґрунтування зростання або спадання функції чи для оцінки області значень функції може використовуватися похідна.

Аналогічно, при записі розв’язування нерівності ключові моменти розв’язування пов’язані з вибраним методом розв’язування

(рівносильні перетворення чи загальний метод інтервалів).

ГЕОМЕТРІЯ

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА СТАТИСТИКИ

Завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю

СТЕРЕОМЕТРІЯ Схема розв’язування і оформлення задач, пов’язаних з многогранниками.

•1. Обґрунтувати положення висоти многогранника.•2. Обґрунтувати, що просторові кути і просторові відстані позначено правильно.•3. Якщо розглядаєте переріз многогранника, то обґрунтувати його форму (якщо цю форму використовуєте для розв’язування).•4. Якщо розглядаєте комбінацію многогранника й тіла обертання, то описати вза ємне розміщення їхніх елементів.•5. На кожному кроці обчислень указати, з якого трикутника визначаємо елементи, і, якщо він прямокутний, пояснити чому.

36. Основою піраміди SABCD є квадрат ABCD. Грань SAD - правильний трикутник, площина якого перпендикулярна до площини основи. Знайдіть кут нахилу грані SBC до основи.

1. Пл. SAD пл. ABCD. Проведемо SО AD, тоді SО пл. ABCD, тобто SО – висота піраміди. 2. Проведемо ОМ BC, тоді S М BC (за теоремою про три перпендикуляри), отже, S М О – лінійний кут двогранного кута при ребрі BC, тобто кут нахилу грані SBC до основи. 3. Нехай AD = х (х > 0). З правильного трикутника SAD його висота SО = . Враховуючи, що ABCD - квадрат і ОМ BC, одержуємо, що ОМ = х.4. З прямокутного трикутника SОМ (SО пл. ABCD):

тоді

3

2

x

S

A B

CD

332

2tg

xSO

SMOOM x

3

2SMO arctg

О М

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу

перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину A перпендикулярно до прямої BA1

• I Спосіб одержання перерізу

1. Користуючись тим, що BA1 , одержуємо, що проходить через AD і AM BA1 .

• IІ Спосіб одержання перерізу

1. Побудувати AM BA1 , провести через AM і AD площину і довести, що BA1 .

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

I Спосіб одержання перерізу1. Оскільки BA1 , то пряма AM перетину

площин і AA1B1B перпендикулярна до BA1 (AM BA1). Враховуючи, що AD AA1B1B , одержуємо AD BA1 . Але BA1 , отже, AD лежить в площині (тобто проходить через AD і AM BA1 ).

2. Оскільки площини протилежних бічних граней прямокутного паралелепіпеда попарно паралельні, то відповідні прямі їх перетину з площиною теж будуть попарно паралельні: MN AD, AM DN . Отже,

AMND — паралелограм. Але AD AA1B1B , отже, AD AM , тобто AMND — прямокутник.

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через

вершину A перпендикулярно до прямої BA1

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

IІ Спосіб одержання перерізу1. Проведемо в площині AA1B1B AM BA1

Через AM і AD проведемо площину .

Доведемо, що BA1 .

AD AA1 B1B , отже AD BA1 . Враховуючи, що за побудовою AM BA1 , одержуємо BA1

2. Оскільки площини протилежних бічних граней прямокутного паралелепіпеда попарно паралельні, то відповідні прямі їх перетину з площиною теж будуть попарно паралельні: MN AD, AM DN . Отже,

AMND — паралелограм. Але AD AA1B1B , отже, AD AM , тобто AMND — прямокутник.

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через

вершину A перпендикулярно до прямої BA1

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину A

перпендикулярно до прямої BA1

• І спосіб обчислення площі

Sперерізу = Sпрямокутника AMND = AD AM

• ІІ спосіб обчислення площі

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

ортог. проекц.

cos cos cosABCD ABCD

перерізу

S S SS

MAB

Тренувальні варіантиhttp://zno.yandex.ua

http://zno.yandex.ua/


Телефон науково-методичного відділу:

(057) 705-39-10(057) 705-39-10

Факс:(057)705-15-64(057)705-15-64

Електронна пошта: [email protected]@zno-kharkiv.org.ua

Сайт: Сайт: www.zno-kharkiv.org.uawww.zno-kharkiv.org.ua

Адреса:Адреса:майдан Свободи, 6, офіс 463, м. майдан Свободи, 6, офіс 463, м.

Харків, 61022Харків, 61022

• ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!

• БАЖАЮ УСПІХІВ!

Education

математика зно 2015