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折り紙と数学の意外な関係
日曜数学者 辻順平 (tsujimotter)
http://tsujimotter.info
2015/11/14 sat. デジコミュ秋田
ハッシュタグ
#dcakita
2
自己紹介 3
辻 順平 (tsujimotter)
静岡県出身
-> 札幌（大学・大学院９年間）
-> つくば（２年）
専門はコンピュータサイエンス（博士（情報科学））
でも数学が大好き（日曜数学者）
4
日曜数学とは 本職とは別に 趣味で数学を愉しむ行為のこと • 好きなトピックを好きなだけ堪能できる • 自身の専門分野を数学に生かす
5
3Dプリンタ
「触れるゼータ関数」として DMM.make にて販売中 （価格 4,001 円 (素数) ～298,999 円(素数) ）
ゼータ関数の3DプロットのSTLファイル
プログラミング x 数学 触れるゼータ関数
7
プログラミング x 数学 数学的なトピックを扱ったブラウザゲーム
今回紹介するデモアプリも
すべてこちらのページに置いてあります。
tsujimotterのポートフォリオ
http://tsujimotter.info
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第８回ニコニコ学会β数学セッション
ニコニコ生放送タイムシフトにてご覧ください http://live.nicovideo.jp/watch/lv217015496#2:00:00
日曜数学会 （専門性は問わず）数学が好きな人が集まって，数学の楽しさを共有する会
（2015年6月, 8月, 10月開催）
ニコニコ動画で「日曜数学会」でタグ検索 10
ノラヤサイエンスバー＠仙台 2015/07/11
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photo
tsujimotter のノートブック
辻が興味を持った
数学的なトピックについて
熱く語って語りまくるブログ
http://tsujimotter.hatenablog.com
12
数学について語るのが大好き
とにもかくにも
13
今日のテーマ
折り紙の数学 14
トピックス 1. 折り紙を使って数の計算ができる
2. 折り紙公理
3. 正七角形を作ってみよう
15
[手を動かす時間]
[手を動かす時間]
[お話を聞く時間]
折り紙を使って
数の計算ができる
16
トピック１ [手を動かす時間]
題材：
正六角形 17
折り紙でつくる雪の結晶 18
基本図形：正六角形
19
20
21
この線がポイント
22
1
23
1
1
2
24
1
1
1
2
25
1
1
2
60�
p3
1
2
p3
2
26
折り紙を使って
数の計算ができた 1
1
2
p3
227
折り紙の数学
「折り紙でどんな数の計算ができるか」が理解できれば
「折り紙でどんな図形を作れるか」も理解できる
折り紙 ＝ 数の計算 と捉える
折り紙で正六角形を作るためには
一辺の長さが“１”の円
60�
29
60�
一辺の長さが“１”の円
30
ここの長さが折れればよい
（正六角形の場合:½）
60�
一辺の長さが“１”の円
31
ここの長さが折れればよい
（正六角形の場合:½）
60�
一般の正 n 角形に対して
の部分の長さを折ることができれば，
正 n 角形自身も折ることができる
360�
n
32
折り紙操作によって
どのような数を計算 できるのか？
ギモン
33
「折り紙によってできること を数学的に定式化しよう」
＝折り紙公理 [藤田 (1991)・羽鳥 (2001)]
34
折り紙公理 折り紙によって可能な７つの基本操作
35
トピック２ [お話を聞く時間]
１ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
36
１ ２つの平行でない直線から，
ただ１つの交点を折ることができる
交点
37
折り目＝直線
２ ２つの平行な直線から，
これらと平行で等距離にある直線を
折ることができる
平行で等距離にある直線
38
５ 異なる２点から，
垂直二等分線を折ることができる
垂直二等分線
39
１ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによっても作図可能
40
１ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによって作図不能（折り紙固有の操作）
41
放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
42
折り紙によってできること
その１
その２
その３
放物線の接線が書ける
ん、どうやって？
折り紙では
43
折り紙で放物線の接線が書ける
折り合わせる
放物線
デモアプリ： http://tsujimotter.info/origami/
接線
デモアプリあり
点
直線
放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
45
折り紙によってできること
その１
その２
その３
三次方程式って何だっけ？
ax
3 + bx
2 + cx+ d = 0
一般には・・・
x
3 - 2 = 0
2x
3 + 3x+ 6 = 0
46
三次方程式が解ける いったいどうやって？
折り紙では
47
７ 48
異なる２点と異なる２直線からそれぞれ作られる
２つの放物線の共通接線を折ることができる
点
点
直線
直線
２つの放物線の共通接線
折り紙と三次方程式
折り重ねる
デモアプリあり
デモアプリ：http://tsujimotter.info/origami/cubic.html
傾き t が三次方程式の解
at3 + bt2 - ct- d = 0
(b, a)
(-d, -c)
x = d
y = -a
放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
50
折り紙によってできること
その１
その２
その３
正七角形が折れる！ 折り紙では
51
60�
一般の正 n 角形に対して
の部分の長さを折ることができれば，
正 n 角形自身も折ることができる
360�
n
52
一辺の長さが“１”の円
360�
7
正七角形の場合：
53
一辺の長さが“１”の円
360�
7
正七角形の場合：
54
x = -1
6
+
3
q72 (1+ 3
p-3)
6
+
3
q72 (1- 3
p-3)
6
x = -1
6
+
3
q72 (1+ 3
p-3)
6
+
3
q72 (1- 3
p-3)
6
は三次方程式 t3 + t2 - 2t- 1 = 0t = 2x
の解
t = 2x
とおくと
55
正六角形の作図には や が必要
折り紙では や が計算できる
折り紙では正六角形が折れる！
1
2
p3
2
1
2
p3
2
＋
56
正七角形の作図には が必要
折り紙では「三次方程式の解」が計算できる
＋
折り紙では正七角形が折れる！
x = -1
6
+
3
q72 (1+ 3
p-3)
6
+
3
q72 (1- 3
p-3)
6
三次方程式の解
57
放物線の接線が書ける！
三次方程式が解ける！！
正七角形が折れる！！！
58
折り紙によってできること
その１
その２
その３
ほんとに折れるの？
やってみましょう！
59
正七角形を折ってみよう
60
トピック３ [手を動かす時間]
以下のページからダウンロードできますhttp://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/07/234101 61
最終目標
α.「斜めの線」 β.「三本線」 γ.「クロスの線」 62
63
64
65
66
67
できあがり！！！ 68
ところで 69
どこで三次方程式でてきたん？
70
折り重ねる
(b, a)
(-d, -c)
傾きが三次方程式の解
at3 + bt2 - ct- d = 0
x = d
y = -a
a = 1, b = 1, c = 2, d = 1 とおくと・・・
72 こたえ：手順４の操作
まとめ • 折り紙は数の計算ができる
• 計算できる数を考えることにより，折り紙の可能性
を数学的に理解できる
• 正七角形はたしかに折れる
73
数学的知識は
新しいものの見方を提供してくれる
世界が広がる
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参考文献 • ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出版（2002年）定価：2,800円
• トーマス・ハル 著 羽鳥公士郎 訳 「ドクター・ハルの折り紙数学教室」日本評論社（2015年）定価：3,800 円
• 大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社 BLUE BACKS（1993年）定価：780 円
• tsujimotter のノートブック, http://tsujimotter.hatenablog.com
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