ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي 2017 الأستاذ علي حميد

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

1

األعداد المركبة /الفصل األول

:تعرف

مالحظة : فمثالا 𝒊 ر ألي عدد حمم سالب بداللة مكننا كتابة الجذ

𝒂 𝒊𝟏𝟔 𝒃 𝒊𝟓𝟖 𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑 𝒅 𝒊−𝟏𝟑 : أكتب ما ل ف أبسط صورة /(1 مثال


2

3 − 5i

مالحظة

+𝒂األعداد التالة على الصورة أكتب / 2 مثال 𝒃𝒊

𝒅 𝟏+ −𝟐𝟓

𝟒 𝒄 − 𝟏− −𝟑 𝒃 −𝟏𝟎𝟎 𝒂 − 𝟓

𝒅 𝟏+ −𝟐𝟓

𝟒=𝟏

𝟒+ 𝟐𝟓𝒊

𝟒=

𝟏

𝟒+𝟓

𝟒𝒊

: لة بالصغة الجبرة للعدد المركبأكتب األعداد التا/ مثال

𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊

𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢

𝒄 𝒊 −𝟐𝟑 = 𝟏

𝒊𝟐𝟑=𝒊𝟐𝟒

𝒊𝟐𝟑= 𝒊 = 𝟎 + 𝒊

𝒅 𝒊−𝟔 = 𝟏

𝒊𝟔=𝒊𝟖

𝒊𝟔= 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢

𝒆 𝒊−𝟒𝟒 = 𝟏

𝒊𝟒𝟒=𝒊𝟒𝟒

𝒊𝟒𝟒= 𝟏 = 𝟏+ 𝟎𝐢

𝒇 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝟏

𝒊𝟏𝟑=𝒊𝟏𝟔

𝒊𝟏𝟑= 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎− 𝒊


3

: biبالصغة تأأكتب كال مما مثال /

, , ,

.للعدد المركب ضعها بالصغة الجبرة عن الجزء الحمم والجزء التخل لؤلعداد المركبة التالة ثم/ مثال

بالصغة العادة أو الجبرة للعدد المركب كالا مما أت ضع

خاصة التساوي

: ان المعادلة ف كل مما أت الحممتن الت تحمم x ,yجد لمة كل من /(3)مثال

𝒂 𝟐𝒙− 𝟏+ 𝟐𝒊 = 𝟏+ 𝒚+ 𝟏 𝒊


4

𝒃 𝟑𝐱+ 𝟒𝒊 = 𝟐+ 𝟖𝒚𝒊

(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖+ 𝟑𝒊

على األعداد المركبة عملة الجمع

بعضزها والنزاته زو أضزا عزدد عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحممة مع بعضها واألجززاء التخلزة مزع

:وكما ل مركب

𝑪𝟏 نفرض = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 و 𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : عددان مركبان فأن

𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 𝒊

على األعداد المركبة : خواص الجمع

مغلمةأبدالة تجمعة

النظر الجمع العنصر المحاد

زمرة أبدالة

ف كل مما أت : نجد مجموع العدد /(4)مثال

𝒂 𝟑+ 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓− 𝟐 𝟐 𝒊

𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐

𝟑 , 𝟐 − 𝟓

𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓

𝟏 − , 𝟑

𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐


5

: أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالة/ مثال

𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 −

+ + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 +

𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐

𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐

طرح األعداد المركبة= أذا كان + = و + − فأن = + −

جد ناته : / (5)مثال

𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒

𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒

𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕

𝟐 حل المعادلة / (6)مثال − 𝟒 + = −𝟓 + ℂ حث

= −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓

= أذا كان/ مثال 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏

− 𝟐−ل فأوجد ما 𝟒 + 𝟑

−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏

= −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑

= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗

= أذا كان 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − :ل أوجد ماف 𝟏𝟏

𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟑 + + − 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 + + 𝟑


6

عملة الضرب على األعداد المركبة

= أذا كان + ، = + , k فأن

𝟏 . = + + = + + + 𝟐 = − + +

𝟐 . = + = +

على األعداد المركبة خواص عملة الضرب

أي أن الناته دائما عدد مركب مغلمة عملة الضرب (1). 𝟏 أي أن أبدالةعملة الضرب (2) 𝟐 = 𝟐 . 𝟏 . 𝟏 أي أن تجمعة عملة الضرب (3) 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑 𝟏( وكتب 1 و )المحاد الضرب (4) = 𝟏 + 𝟎

بالصغة كتبمكن أن و 𝟏− و ( c)للعدد النظر الضرب (5)𝟏

:جد ناته كال مما أت / (7) مثال

𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓

𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗

𝟑 + 𝟒 𝟐

𝟑 + 𝟒 𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒

𝟏 +

𝟏 + = + 𝟐 = − 𝟏 = −𝟏 +

−𝟓

𝟐 𝟒 + 𝟑

−𝟓

𝟐 𝟒 + 𝟑 =

−𝟓

𝟐 𝟒 −

𝟓

𝟐 𝟑 = −𝟏𝟎 −

𝟏𝟓

𝟐i

𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐

𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎

جد ناته كل مما ل :

𝟐 𝟏 + − 𝟑 𝟏 + 𝟐 𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑

𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐


7

مرافك العدد المركب

= أي أذا كان عدد مركب فأن مرافمه رمز له C أذا كان + فأن = − .

𝟑فمثالا : + 𝟑 و مرافك العدد − وبالعكس . − و وبالعكس , وكذلن مرافك العدد

𝟑 + 𝟑 و مرافك العدد 𝟐 − . 𝟑 و 𝟑وبالعكس , وكذلن مرافك العدد 𝟐

مالحظة

𝟏 أذا كان = + 𝟐 عدد مركب مرافقه هو = − فأن و

𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐 + 𝟐

: الجدول أدناه وضح المرافك للعدد المركب والنظر الجمع والضرب

المرافك النظر الضرب النظر الجمع العدد المركب

+ − − 𝟏

+ −

𝟑 − 𝟐 −𝟑 + 𝟐 𝟏

𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐

−𝟒 𝟒 𝟏

−𝟒 −𝟒

−𝟔 𝟔 𝟏

−𝟔 𝟔

𝟑 − 𝟑 = 𝟏

𝟑

𝟐 − 𝟐 = 𝟏 𝟏

𝟐= 𝟐 = −𝟏 𝟐 = −𝟏

𝟏 , −𝟒 −𝟏 , 𝟒 𝟏

𝟏 , −𝟒 𝟏 , 𝟒

𝟐 أذا كان / (8)مثال = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 + من :فتحمك

𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐

. 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 = 𝟒 − = 𝟒 +

. 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = .

𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐

. 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 − 𝟑

. 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .


8

𝟑 𝟏. 𝟐 = 𝟏 . 𝟐

. 𝟏. 𝟐 = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 + = 𝟓 −

. 𝟏 . 𝟐 = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 −

𝟒 𝟏 = 𝟏

𝟏 = 𝟏 + = 𝟏 − = 𝟏 + = 𝟏

𝟓 ( 𝟏 𝟐)

=

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎

. ( 𝟏 𝟐)

= (

𝟏 +

𝟑 − 𝟐 )

= (

𝟏 +

𝟑 − 𝟐

𝟑 + 𝟐

𝟑 + 𝟐 )

= .

𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐

𝟗 + 𝟒/

= (

𝟏 + 𝟓

𝟏𝟑)

=𝟏 − 𝟓

𝟏𝟑

. 𝟏

𝟐 = 𝟏 +

𝟑 − 𝟐 =

𝟏 −

𝟑 + 𝟐 =

𝟏 −

𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐

𝟑 − 𝟐 =𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐

𝟗 + 𝟒=𝟏 − 𝟓

𝟏𝟑

مالحظة

. بمرافك الممام لتبسط الحلف الممام نضرب ممام البسط وكسره عند ظهور (1)

و و ساوي 𝟏− مكن أستخدام التعبر )مملوب العدد المركب( بدل )النظر الضرب( ورمز له بالرمز (2)𝟏

= مركب الجد النظر الضرب للعدد / (9مثال ) 𝟐 − وضعه بالصغة العادة للعدد المركب 𝟐

𝟏

=

𝟏

𝟐 − 𝟐 =

𝟏

𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐

𝟐 + 𝟐 =

𝟐 + 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟐𝟐=𝟐 + 𝟐

𝟒 + 𝟒=𝟐 + 𝟐

𝟖=𝟐

𝟖+𝟐

𝟖 =

𝟏

𝟒+𝟏

𝟒

أذا كان / (10مثال )𝟑−𝟐

−

𝟏+𝟓 , مترافمان فجد لمة كل من , .

− 𝟏+𝟓

= (𝟑−𝟐

)

− 𝟏+𝟓

=𝟑+𝟐 −

− − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓

− + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 − − = −𝟕 + 𝟏𝟕

من تساوي األعداد المركبة نجد أن

− = −𝟕 = 𝟕 الحقيقي

− = 𝟏𝟕 = التخيلي 𝟏𝟕−


9

𝟏 أذا كان / (11مثال ) = 𝟑 − 𝟐 , 𝟐 = 𝟏 + )فتحمك من 𝟏

𝟐)

=

𝟏

𝟐

. ( 𝟏 𝟐)

= (

𝟑 − 𝟐

𝟏 + )

= (

𝟑 − 𝟐

𝟏 +

𝟏 −

𝟏 − )

= .

𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/

= (

𝟏 − 𝟓

𝟐)

=𝟏 + 𝟓

𝟐=𝟏

𝟐+𝟓

𝟐

. 𝟏

𝟐 = 𝟑 − 𝟐

𝟏 + =𝟑 + 𝟐

𝟏 − =𝟑 + 𝟐

𝟏 − 𝟏 +

𝟏 + =𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏 + 𝟓

𝟐=𝟏

𝟐+𝟓

𝟐

لسمة األعداد المركبة

عند لسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافك الممام وكما ل 𝟏

𝟐=

𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

+ ضع كال مما أت بالصورة / (12مثال ) :

𝟏 +

𝟏 −

𝟏 +

𝟏 −

𝟏 +

𝟏 + =𝟏 + + + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐

𝟐= = 𝟎 +

𝟐 −

𝟑 + 𝟒

𝟐 −

𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒

𝟑 − 𝟒 =𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=𝟐 − 𝟏𝟏

𝟗 + 𝟏𝟔=𝟐 − 𝟏𝟏

𝟐𝟓=

𝟐

𝟐𝟓 −

𝟏𝟏

𝟐𝟓

𝟏 + 𝟐

−𝟐 +

𝟏 + 𝟐

−𝟐 + −𝟐 −

−𝟐 − =−𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐

−𝟐 𝟐 + 𝟏𝟐=𝟎 − 𝟓

𝟓=−𝟓

𝟓= − = 𝟎 −

مالحظة

𝟐 مكن تحلل + + الى حاصل ضرب عددن مركبن كل منهما من الصورة 𝟐 :أي

𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = − +

+ الى حاصل ضرب عاملن من الصورة مما أت لل كالا ح/ (13مثال ) , حث . أعداد نسبة

𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗

𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟑 +

𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐 = 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐

𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐 = 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑


10

− تمارين

: ضع كالا مما أت بالصغة العادة للعدد المركب / 1س

𝟓 , 𝟔 , 𝟏𝟐𝟒 , 𝟗𝟗𝟗 , 𝟒 +𝟏 , 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,

𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 ,𝟏𝟐 +

,

𝟑 + 𝟒

𝟑 − 𝟒 ,

𝟐 + 𝟑 , (

𝟑 +

𝟏 + )𝟑

,𝟐 + 𝟑

𝟏 −

𝟏 + 𝟒

𝟒 + ,

𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑

𝟓 = 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 +

𝟔 = 𝟒. 𝟐 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎

𝟏𝟐𝟒 = 𝟒 𝟑𝟏 = 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎

𝟗𝟗𝟗 = 𝟒 𝟐𝟒𝟗. 𝟑 = 𝟏 𝟐𝟒𝟗. 𝟐. = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −

𝟒 +𝟏 = 𝟒 . = 𝟒 . = 𝟏 = = 𝟎 +

𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒

𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐 = −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎

𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐

= 𝟐 𝟐 − −𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎

𝟏𝟐 +

=

𝟏𝟐 +

−

− =−𝟏𝟐 − 𝟐

− 𝟐=𝟏 − 𝟏𝟐

𝟏= 𝟏 − 𝟏𝟐

𝟑 + 𝟒

𝟑 − 𝟒 =

𝟑 + 𝟒

𝟑 − 𝟒

𝟑 + 𝟒

𝟑 + 𝟒 =𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=−𝟕 + 𝟐𝟒

𝟗 + 𝟏𝟔=−𝟕

𝟐𝟓+𝟐𝟒

𝟐𝟓

𝟐 + 𝟑 =

𝟐 + 𝟑 𝟐 − 𝟑

𝟐 − 𝟑 =𝟐 − 𝟑 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟑𝟐=𝟑 + 𝟐

𝟒 + 𝟗=𝟑 + 𝟐

𝟏𝟑=

𝟑

𝟏𝟑+

𝟐

𝟏𝟑

(𝟑 +

𝟏 + )𝟑

= (𝟑 +

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − )𝟑

= .𝟑 − 𝟑 + − 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/

𝟑

= (𝟒 − 𝟐

𝟐)𝟑

= 𝟐 − 𝟑

= 𝟐 − 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟏𝟏

𝟐 + 𝟑

𝟏 −

𝟏 + 𝟒

𝟒 + =𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐

𝟒 + − 𝟒 − 𝟐=−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏

𝟓 − 𝟑 =−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏

𝟓 − 𝟑

𝟓 + 𝟑

𝟓 + 𝟑

=−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐

𝟓𝟐 + 𝟑𝟐=−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓

𝟐𝟓 + 𝟗=−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓

𝟑𝟒=−𝟖𝟑

𝟑𝟒+𝟐𝟓

𝟑𝟒

𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 𝟏 − = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 −

= 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 + 𝟎


11

, كل منجد لمة / 2س الحممتن اللتن تحممان المعادالت األتة :

+ 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟒 + + 𝟐 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒 +

+ 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − ①معادلة 𝟐

𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ①معادلة نعوض في

= 𝟐 𝟏 𝟐 − 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎

𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏

𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑

𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐

− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 =𝟑

①معادلة

𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 ⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ①معادلة ② نعوض في

𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐 = 𝟑 𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎

− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 = نعوض في معادلة 𝟏

− 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 = نعوض في معادلة 𝟑

(𝟏 −

𝟏 + ) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐

+ = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − (𝟏 −

𝟏 + ) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − (

𝟏 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ) = −𝟑 + 𝟒 − .

𝟏 − − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/

+ = −𝟑 + 𝟒 − (−𝟐

𝟐) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓

𝟐 −

𝟏 + +

𝟑 −

𝟐 + =

𝟏

[𝟐 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ] + [

𝟑 −

𝟐 + 𝟐 −

𝟐 − ] =

𝟒

0

𝟐 − 𝟐 − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 + 0

𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐1 = 𝟑

[𝟏 − 𝟑

𝟐] + [

𝟓 − 𝟓

𝟓] = −

( نضرب بالعدد 𝟏𝟎 )

⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎

𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎

𝟓 + 𝟏𝟎 = ①معادلة 𝟎

−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = تحل أنيآ بالجمع معادلة 𝟏𝟎−

−𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ①معادلة نعوض في

𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 =−𝟓

𝟏𝟎 =

−𝟏

𝟐


12

:أثبت أن / 3س

𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐=

𝟖

𝟐𝟓

الطريقة األولى 𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐= (

𝟏

𝟐 − )𝟐

− (𝟏

𝟐 + )𝟐

(𝟏

𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + )𝟐

− (𝟏

𝟐 + 𝟐 −

𝟐 − )𝟐

(𝟐 +

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐)𝟐

− (𝟐 −

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐)𝟐

(𝟐 +

𝟓)𝟐

− (𝟐 −

𝟓)𝟐

= .𝟒 + 𝟒 + 𝟐

𝟐𝟓/ − .

𝟒 − 𝟒 + 𝟐

𝟐𝟓/ = (

𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓) − (

𝟑 − 𝟒

𝟐𝟓)

𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓=

𝟖

𝟐𝟓

الطريقة الثانية 𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐= 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐

𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐= 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟒 + 𝟐

𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐

𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒

𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒 =𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=

𝟖

𝟗 + 𝟏𝟔=

𝟖

𝟐𝟓

الطريقة الثالثة 𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐=

𝟏

𝟒 − 𝟒 + 𝟐 −

𝟏

𝟒 + 𝟒 + 𝟐=

𝟏

𝟑 − 𝟒 −

𝟏

𝟑 + 𝟒

(𝟏

𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒

𝟑 + 𝟒 ) − (

𝟏

𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒

𝟑 − 𝟒 ) = (

𝟑 + 𝟒

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐) − (

𝟑 − 𝟒

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐)

(𝟑 + 𝟒

𝟗 + 𝟏𝟔) − (

𝟑 − 𝟒

𝟗 + 𝟏𝟔) = (

𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓) − (

𝟑 − 𝟒

𝟐𝟓) =

𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓=

𝟖

𝟐𝟓

3د / 2012وزاري

𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − = −𝟐

الطريقة األولى 𝟏 − 𝟑 + 𝟏 + 𝟑

𝟏 + 𝟏 − = 𝟏 − 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 𝟏 +

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐

𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 +

𝟏 + 𝟏= −𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +

𝟐

−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐=𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐=−𝟐 − 𝟐

𝟐=−𝟒

𝟐= −𝟐


13

الطريقة الثانية 𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − = 𝟏 − 𝟏 −

𝟏 + + 𝟏 + 𝟏 +

𝟏 −

(𝟏 −

𝟏 + ) 𝟏 − + (

𝟏 +

𝟏 − ) 𝟏 + = (

𝟏 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ) 𝟏 − + (

𝟏 +

𝟏 − 𝟏 +

𝟏 + ) 𝟏 +

.𝟏 − − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ 𝟏 − + .

𝟏 + + + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ 𝟏 + = (

−𝟐

𝟐) 𝟏 − + (

𝟐

𝟐) 𝟏 +

− 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = −𝟏− 𝟏 = −𝟐

الطريقة الثالثة 𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − =𝟏 − 𝟐 + 𝟐

𝟏 + +𝟏 + 𝟐 + 𝟐

𝟏 − =

−𝟐

𝟏 + +

𝟐

𝟏 −

تضرب كل جزء بالمرافك أو توجد المضاعف )توحد الممامات(الحظ عززي الطالب نا تستطع أن

−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +

𝟏 + 𝟏 − =−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏 + 𝟏=−𝟐 − 𝟐

𝟐=−𝟒

𝟐= −𝟐

الطريقة الرابعة 𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − = 0

𝟏 − 𝟐

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − 1 + 0

𝟏 + 𝟐

𝟏 − 𝟏 +

𝟏 + 1

= 0 𝟏 − 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 + 0

𝟏 + 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 = 0

𝟏 − 𝟐 𝟏 −

𝟏 + 𝟏1 + 0

𝟏 + 𝟐 𝟏 +

𝟏 + 𝟏1

= 0 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 −

𝟐1 + 0

𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 +

𝟐1 = 0

−𝟐 𝟏 −

𝟐1 + 0

𝟐 𝟏 +

𝟐1

= 0−𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐1 + 0

𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐1 = [

−𝟐 − 𝟐

𝟐] + [

−𝟐 + 𝟐

𝟐] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐

𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒

𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ]

𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒

, 𝟐𝟗 مززن األعززداد حلززل كززالا / 4س 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , الززى حاصززل ضززرب عززاملن مززن 𝟖𝟓

+ الصورة , حث :عددان نسبان

𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐

𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐

𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒

𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐


14

, جد لمة / 5س أذا علمت أن 𝟔

+ ,

𝟑+

𝟐− . مترافمان

البسط والممام للعدد التخل إشارةنغر 𝟑+

𝟐− . لك صبح العددان متساوان ونحل المعالة

𝟔

+ =𝟑 −

𝟐 + 𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + =

𝟔 𝟐 +

𝟑 −

+ = 𝟔 𝟐 +

𝟑 − 𝟑 +

𝟑 + = 𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐= 𝟔 𝟓 + 𝟓

𝟗 + 𝟏=𝟑𝟎 + 𝟑𝟎

𝟏𝟎

+ = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑

******************************************************************

أمثلة أضافية محلولة كل مما أت :أكتب بالصغة العادة أو الجبرة / مثال

𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐

𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒

𝟐 . 𝟑 −

𝟏 + 𝟑 /

𝟗

. 𝟑 −

𝟏 + 𝟑 /

𝟗

= . 𝟑 −

𝟏 + 𝟑

𝟏 − 𝟑

𝟏 − 𝟑 /

𝟗

= ( 𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐

)

𝟗

= (−𝟒

𝟒)𝟗

= − 𝟗

= − 𝟖 = − = 𝟎 −

𝟑 𝟏 − −𝟑 𝟐+ 𝟐 − −𝟑

𝟐

𝟏 − 𝟑 𝟐+ 𝟐 − 𝟑

𝟐= 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐

−𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑

𝟔مجموعهما مترافمن جد عددن مركبن/ مثال 𝟏𝟎 وحاصل ضربهما = =

𝟏 العدد هو نفرض أن = + 𝟐 عدد مركب مرافقه هو = −

𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑

𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 = 𝟏

𝟑 العددان هما ∴ − 𝟑 و +


15

𝟑 العدد أكتب/ مثال + 𝟐 −𝟐 + . بالصغة العادة ثم جد النظر الضرب له بالصغة الدكارتة

𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 = −𝟖 − الصيغة االجبرية

𝟏

−𝟖 − =

𝟏

−𝟖 − −𝟖 +

−𝟖 + =

−𝟖 +

−𝟖 𝟐 + 𝟏𝟐=−𝟖

𝟔𝟓+

𝟏

𝟔𝟓 = (

−𝟖

𝟔𝟓 ,

𝟏

𝟔𝟓) الصيغة الديكارتية

= أذا كان / مثال −𝟏 + 𝟐 فأوجد لمة المعادلة 𝟐 + 𝟐 + 𝟓

𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓

= 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐 + −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎

+ 𝟐مرافك له جد العدد المركب الذي حمك و ℂ أذا كان / مثال 𝟑 =𝟑 +

= + = −

𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑

𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 =𝟑

𝟒

𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏

= + =𝟑

𝟒+

= أذا كان/ مثال 𝟏𝟑−

𝟒+ , =

𝟕−

𝟐− , أثبت أن + 𝟐 أحسب الممدا ر ثم مترافمان 𝟐 𝟐 .

نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية

=𝟏𝟑 −

𝟒 + =𝟏𝟑 −

𝟒 +

𝟒 −

𝟒 − =𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐

𝟒𝟐 + 𝟏𝟐=𝟓𝟏 − 𝟏𝟕

𝟏𝟕=𝟓𝟏

𝟏𝟕−𝟏𝟕

𝟏𝟕 = 𝟑 −

=𝟕 −

𝟐 − =𝟕 −

𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + =𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟓 + 𝟓

𝟓= 𝟑 +

𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔

𝟑 + 𝟑 − = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎

, مترافقان

𝟐 + 𝟐 = + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎


16

أكتب بالصغة العادة أو الجبرة بدون الضرب بالعامل المنسب )المرافك(/ مثال

𝟓

𝟏 − 𝟐

𝟓

𝟏 − 𝟐 =

𝟏 + 𝟒

𝟏 − 𝟐 =𝟏 − 𝟒 𝟐

𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐

𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐

𝟓

𝟐 −

𝟓

𝟐 − =𝟒 + 𝟏

𝟐 − =𝟒 − 𝟐

𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 +

𝟐 − = 𝟐 +

𝟏𝟑

𝟐 + 𝟑

𝟏𝟑

𝟐 + 𝟑 =

𝟒 + 𝟗

𝟐 + 𝟑 =𝟒 − 𝟗 𝟐

𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑

𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑

𝟏𝟑

𝟑 + 𝟐

𝟏𝟑

𝟑 + 𝟐 =

𝟗 + 𝟒

𝟑 + 𝟐 =𝟗 − 𝟒 𝟐

𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐

𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐

𝟏𝟎

𝟏 + 𝟐

𝟏𝟎

𝟏 + 𝟐 =

𝟐 𝟓

𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 + 𝟒

𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐

𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 − 𝟐

𝟏𝟎

𝟏 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟒

𝟏𝟎

𝟐 +

𝟏𝟎

𝟐 + =𝟐 𝟓

𝟐 + =𝟐 𝟒 + 𝟏

𝟐 + =𝟐 𝟒 − 𝟐

𝟐 + =𝟐 𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + = 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐

كل مما أت : حلل الى عاملن لعددن مركبن/ مثال

𝟏 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 + 𝟐

𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 = − 𝟓 + 𝟓

𝟑 𝟑 − 𝟔𝟒 𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟑 + 𝟔𝟒 𝟑 = + 𝟒 𝟐 − 𝟒 − 𝟏𝟔

𝟒 𝟑 +𝟏

𝟐𝟕 𝟑 +

𝟏

𝟐𝟕 = 𝟑 −

𝟏

𝟐𝟕 𝟑 = ( −

𝟏

𝟑 ) ( 𝟐 +

𝟏

𝟑 +

𝟏

𝟗 𝟐)

𝟑 +𝟏

𝟐𝟕 = ( −

𝟏

𝟑 ) ( 𝟐 +

𝟏

𝟑 −

𝟏

𝟗)

𝟓 𝟐 − + 𝟏𝟐 𝟐 − + 𝟏𝟐 = 𝟐 − − 𝟏𝟐 𝟐 = − 𝟒 + 𝟑

𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐 = + 𝟓 + 𝟐

𝟕 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 = − 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐


17

, أوجد لمة / مثال ف كل مما أت : الحممتن والت تحمك المعادلة

𝟑 + 𝟐 𝟐 = + 𝟑 𝟐

𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟔 + 𝟗 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐 + 𝟔 − 𝟗

𝟗 − 𝟒 = 𝟐 − 𝟗 𝟓 = 𝟐 − 𝟗 = 𝟐 − 𝟗

𝟓 معادلة

𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ①معادلة نعوض في

= 𝟐 − 𝟗

𝟓 =

𝟐 𝟐 − 𝟗

𝟓=𝟒 𝟐 − 𝟗

𝟓 𝟓 = 𝟒 𝟐 − 𝟗 𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎

𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎

𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 =𝟗

𝟒 = 𝟐 = 𝟐 (

𝟗

𝟒) =

𝟗

𝟐

+ 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐

+ 𝟓 = 𝟐 + +

+ 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 − 𝟏

= 𝟐 𝟐 − معادلة 𝟏

𝟓 = 𝟑 =𝟓

𝟑①معادلة نعوض في

= 𝟐 (𝟓

𝟑)𝟐

− 𝟏 = 𝟐(𝟐𝟓

𝟗) − 𝟏 =

𝟓𝟎

𝟗− 𝟏 =

𝟓𝟎 − 𝟗

𝟗 =

𝟒𝟏

𝟗

+ 𝟐 − = 𝟖 +

+ =𝟖 +

𝟐 − =𝟖 +

𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + =𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟓 + 𝟏𝟎

𝟓= 𝟑 + 𝟐

+ = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐

+ + = 𝟏

+ =𝟏

+ =

𝟏

+ −

− =

−

𝟐 + 𝟐 + =

−

𝟐 + 𝟐

=

𝟐 + 𝟐 =

−

𝟐 + 𝟐


18

+ + − = 𝟏𝟑 −

𝟐 + + 𝟐 − = 𝟏𝟑 − 𝟐 + 𝟐 + − = 𝟏𝟑 −

𝟐 + 𝟐 = معادلة 𝟏𝟑

− = −𝟏 = + في②معادلة ① معادلة 𝟏 نعوض

𝟐 + + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑

𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ( نقسم المعادلة على 𝟐)

⇒ 𝟐 + − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎

+ 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐

− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑

𝟐 + − + =𝟗 𝟐 + 𝟒𝟗

𝟑 + 𝟕

−𝟐 + 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 =𝟗 𝟐 − 𝟒𝟗 𝟐

𝟑 + 𝟕

−𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕

𝟑 + 𝟕 −𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕

−𝟑 = 𝟑 − = معادلة

𝟐 − 𝟐 = −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ①معادلة نعوض في

= − = − 𝟑 = 𝟑

:الى عاملن لعددن مركبنكل مما أت حلل / 1س

𝟒 𝟑 +𝟏

𝟏𝟐𝟓

𝟏 𝟐 + 𝟗

𝟓 𝟐 − + 𝟔 𝟐 𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐

𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟐 𝟑 𝟑 − 𝟖

𝟖 𝟑 − 𝟐 𝟐 + 𝟗 𝟕 − 𝟏 𝟐 + 𝟒


19

, أوجد لمة / 2س ف كل مما أت : الحممتن والت تحمك المعادلة

+ 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒

+ 𝟐 𝟏 + 𝟑 = 𝟏

+ −𝟏 = 𝟏 + 𝟑

𝟏 − 𝟑

𝟏

𝟏 + = + 𝟐

𝟏 + 𝟑

+ = 𝟓 + 𝟐 −𝟐

:ضع كال مما ل بالصغة العادة للعدد المركب / 3س

𝟓 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 −𝟏 𝟏 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟐

******************************************************************

الجذور التربعة للعدد المركب

𝟐 أذا كان = = فأن 𝟐 أما أذا كانت و الجذور التربعة للعد د = = فأن 𝟒 زو 𝟐

. احد جذري المعادلة وألجاد الجذور التربعة للعدد المركب توجد طرمتان الحظ األمثلة التالة

= جد الجذور التربعة للعدد / (14مثال ) 𝟖 + 𝟔

+ و (c) نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرمة

+ 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 + 𝟔

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟖

𝟐 = 𝟔 = 𝟑 =𝟑

②معادلة في②معادلة ① نعوض

𝟐 −𝟗

𝟐= 𝟖

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒 − 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟗 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ②معادلة نعوض في

=𝟑

=

𝟑

𝟑 = 𝟏

𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = يهمل 𝟏−

𝟑 + , − 𝟑 − الجذران هما

نالجزء الحمم الى عدد نجزئ / ②الطرمة

𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 بالجذر ⇒ = 𝟑 +

𝟑 + , − 𝟑 − الجذران هما


20

مالحظة+ نفرض الجزذر زو حتوي على مركب عند أجاد الجذور التربعة لعدد ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا

. ف المثال التال, 𝟖 :جد الجذور التربعة لؤلعداد / (51مثال ) − , −𝟏𝟕,−𝟐𝟓

𝟖

+ و 𝟖 نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرمة

𝟖 = + 𝟐 𝟖 = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟖 = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎

𝟐 = 𝟖 = 𝟒 =𝟒

②معادلة في②معادلة ① نعوض

𝟐 −𝟏𝟔

𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎

𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 نعوضها في معادلة ②

=𝟒

=

𝟒

𝟐 = 𝟐

𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟒−

𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − الجذران هما 𝟐

/ ②الطريقة

𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 بالجذر ⇒ 𝟐 + 𝟐

𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − الجذران هما 𝟐

−

+ و − نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرمة

− = + 𝟐 − = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎

𝟐 = −𝟏 =−𝟏

𝟐 =

−𝟏

𝟐 ②معادلة في②معادلة ① نعوض

𝟐 −𝟏

𝟒 𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 𝟒)

⇒ 𝟒 𝟒 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐 نعوضها في معادلة ②

=−𝟏

𝟐 =

−𝟏

𝟐 ( 𝟏

𝟐) =

−𝟏

𝟐 𝟐( 𝟏

𝟐) =

𝟏

𝟐


21

𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 =−𝟏

𝟐 تهمل

−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 الجذران هما

/ ②الطريقة

− = √𝟏

𝟐− −

𝟏

𝟐 = √

𝟏

𝟐− +

𝟏

𝟐 𝟐 = √(

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 )

𝟐

= (𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 )

−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟐−

𝟏


− 𝟏𝟕

𝟐 = −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕

− 𝟐𝟓

𝟐 = −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓

ℂحل المعادلة التربعة ف 𝟐 مثالا كن حلها بطرمة التجربة فه تحل بطرمة الدستورم كل معادلة تربعة ال + + = 𝟎

, و 𝟎 حث , = فزأن − 𝟐−𝟒

𝟐 ز ـزـدار الممــزـه أذا كزان ممــــزـظ أنـزـونالح

𝟐 − ا 𝟒 ووجزد نوعزان فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمز الزى مجموعزة األعزداد المركبزة سالبا .من حل المعادالت التربعة

على يال حتوالنوع األول / الممز

𝟐 حل المعادلة التربعة / (16مثال ) + 𝟒 + 𝟓 = .ف مجموعة األعداد المركبة 𝟎

= حسب قانون الدستور فأن , = 4 , = 5

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓

𝟐 𝟏 =

−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎

𝟐=−𝟒 −𝟒

𝟐

=−𝟒 𝟒 −𝟏

𝟐 =

−𝟒 𝟒 𝟐

𝟐 =

−𝟒 𝟐

𝟐 = −𝟐

{−𝟐 + , −𝟐 − } مجموعة حل المعادلة هي


22

مالحظة

𝟐 المعادلة التربعة جذري من لانون الدستور نعلم أن + + = معامالتها الحممة الت 𝟎

𝟏 =− + 𝟐 − 𝟒

𝟐 , 𝟐 =

− − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟏 + 𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒

𝟐 +− − 𝟐 − 𝟒

𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟏 + 𝟐 =−𝟐

𝟐 𝟏 + 𝟐 =

−

(مجموع الجذرين)

𝟏. 𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒

𝟐 − − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟒 𝟐 =

𝟐 − 𝟐 + 𝟒

𝟒 𝟐 =

𝟒

𝟒 𝟐=

𝟏. 𝟐 =

( حاصل ضرب الجذرين)

:من الخاصة أعاله ف أجاد الجذور التربعة وكما ل االستفادةومكن

𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎 𝟐 −

+

= 𝟎

𝟐 جذرا ا ت جد المعادلة التربعة ال/ (71مثال ) + 𝟐

−𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + مجموع الجذرين 𝟎

−𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐 = −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = حاصل ضرب الجذرين 𝟖−

𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎

𝟐 − 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐 − 𝟖 = المعادلة التربيعية 𝟎

مالحظة+ ا أحززد جززذرا معامالتهززا حممززة والتزز المعادلززة التربعززة التزز فززأن الجززذر األخززر ززو 𝟎 حززث

− والعكس صحح .

𝟑ها جذر معامالتها حممة وأحد كون المعادلة التربعة الت/ (81مثال ) − 𝟒

𝟑أحد الجذرين هو معامالت المعادلة حقيقية و ∵ − 𝟒

𝟑الجذر األخر هو المرافق ويساوي ∴ + 𝟒

𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = مجموع الجذرين 𝟔

𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟓


𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = المعادلة التربيعية 𝟎


23

− تمارين 2

حل المعادالت التربعة األتة وبن أي منها كون جذرا ا مترافمان ؟ / 1س 𝟐 = −𝟏𝟐

𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = ( جذراها مترافقان) 𝟑 𝟐

𝟐 − 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎

= 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + تحل بالدستور

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

− −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 +

𝟐 𝟏

=𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒

𝟐 =

𝟑 −𝟑 − 𝟒

𝟐①معادلة

𝟑− األن نحسب ممدار الجذر − ①ف المعادلة ثم نعوضه 𝟒

+ = −𝟑−𝟒 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒

𝟐 − 𝟐 = ②معادلة 𝟑−

𝟐 = −𝟒 =−𝟒

𝟐 =

−𝟐

③معادلة ③معادلة في نعوض

𝟐 − (−𝟐

)𝟐

= −𝟑 𝟐 −𝟒

𝟐= −𝟑 ( 𝟐 (نضرب

𝟒 − 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒 + 𝟑 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 + 𝟒 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = (يهمل) 𝟒−

𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ③معادلة نعوض في

=−𝟐

=

−𝟐

𝟏 = 𝟐

𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + ①نعوض في المعادلة الجذران هما 𝟐

=𝟑 − 𝟏 + 𝟐

𝟐 =

𝟐 + 𝟐

𝟐 = 𝟏 +

=𝟑 + 𝟏 − 𝟐

𝟐 =

𝟒 − 𝟐

𝟐 = 𝟐 −

𝟏}مجموعة الحل هي ∴ + , 𝟐 − والجذران غير مترافقان {


24

𝟐 𝟐 − 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎

= 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 تحل بالدستور

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

− −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑

𝟐 𝟐 =𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒

𝟒

=𝟓 −𝟕𝟗

𝟒 =

𝟓 𝟕𝟗 𝟐

𝟒=𝟓 𝟕𝟗

𝟒 =

𝟓

𝟒 𝟕𝟗

𝟒

,مجموعة الحل هي ∴𝟓

𝟒+

𝟕𝟗

𝟒 ,

𝟓

𝟒−

𝟕𝟗

𝟒 والجذران مترافقان -

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎

= 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 + تحل بالدستور 𝟐

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐

𝟐 𝟏 =

−𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖

𝟐

=−𝟐 −𝟖

𝟐①معادلة

①ثم نعوضه في المعادلة 𝟖− األن نحسب مقدار الجذر

+ = −𝟖 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟎 − 𝟖

𝟐 − 𝟐 = ②معادلة 𝟎

𝟐 = −𝟖 =−𝟖

𝟐 =

−𝟒

③معادلة ③معادلة في نعوض

(−𝟒

)𝟐

− 𝟐 = 𝟎 𝟏𝟔

𝟐− 𝟐 = 𝟎 (− 𝟐 (نضرب

𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎

𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 ③معادلة نعوض في

=−𝟒

=

−𝟒

𝟐 = 𝟐

𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + ①نعوض في المعادلة الجذران هما 𝟐

=−𝟐 + 𝟐 − 𝟐

𝟐 =

−𝟐

𝟐 = −

=−𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 =

−𝟒 + 𝟐

𝟐 = −𝟐 +

− , −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟐 + والجذران غير مترافقان {


25

التجربة الحظ الحلأخرى بواسطة لانون السابك بطرمة (d)مكن حل الفرع

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎

+ + 𝟐 − = 𝟎

= − = −𝟐 +

− , −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟐 + والجذران غير مترافقان {

𝟒 𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎

𝟒 𝟐 = −𝟐𝟓 𝟐 =−𝟐𝟓

𝟒 𝟐 =

𝟐𝟓 𝟐

𝟒 = √

𝟐𝟓 𝟐

𝟒 =

𝟓

𝟐

−,مجموعة الحل هي ∴𝟓

𝟐 ,

𝟓

𝟐 والجذران مترافقان -

𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = 𝟎

𝟐 − 𝟐 − 𝟑 𝟐 = 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎

− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = −

والجذران غير مترافقان { 𝟑 , −}مجموعة الحل هي ∴

𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = ( حل أخر) 𝟎

= 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 تحل بالدستور

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

− −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑

𝟐 𝟏 =𝟐 −𝟏𝟔

𝟐=𝟐 𝟒

𝟐= 𝟐

والجذران غير مترافقان { 𝟑 , −}مجموعة الحل هي ∴

حث : , المعادلة التربعة الت جذرا ا كون / 2س

= 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 −

𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + مجموع الجذرين

𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − 𝟐 + + 𝟑 + = المعادلة التربيعية 𝟎


26

=𝟑 −

𝟏 + = 𝟑 − 𝟐 𝟐

=𝟑 −

𝟏 + =𝟑 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − =𝟑 − 𝟑 − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐 − 𝟒

𝟐 = 𝟏 − 𝟐

= 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐

𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − مجموع الجذرين 𝟏𝟒

𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐 = −𝟏𝟗 − حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟐


𝟐 − 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = المعادلة التربيعية 𝟎

: المركبة األتة لؤلعدادجد الجذور التربعة / 3س

− 𝟔

+ = 𝟔 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟔

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟔

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎

𝟐 = −𝟔 =−𝟔

𝟐 =

−𝟑

②معادلة نعوض معادلة في ①

𝟐 − (−𝟑

)𝟐

= 𝟎 𝟐 −𝟗

𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟎

𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟎

𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 نعوض في معادلة

=−𝟑

=

−𝟑

𝟑 = 𝟑

𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 = ( تهمل) 𝟑−

− 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − الجذران هما 𝟑


27

𝟕 + 𝟐𝟒

+ = 𝟕 + 𝟐𝟒 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟕

𝟐 = 𝟐𝟒 =𝟐𝟒

𝟐 =

𝟏𝟐

②معادلة ①معادلة نعوض في

𝟐 − (𝟏𝟐

)𝟐

= 𝟕 𝟐 −𝟏𝟒𝟒

𝟐= 𝟕

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐

𝟒 − 𝟕 𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟗 = 𝟎

𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ②معادلة نعوض في

=𝟏𝟐

=

𝟏𝟐

𝟒 = 𝟑

𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = ( تهمل) 𝟗−

𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − الجذران هما 𝟑

𝟒

𝟏 − 𝟑

+ جب تحولة الى الصغة عن طرك الضرب بمرافك الممام

𝟒

𝟏 − 𝟑 =

𝟒

𝟏 − 𝟑 𝟏 + 𝟑

𝟏 + 𝟑 =𝟒 𝟏 + 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐=𝟒 𝟏 + 𝟑

𝟏 + 𝟑=𝟒 𝟏 + 𝟑

𝟒= 𝟏 + 𝟑

/ ①الطرمة

+ = √𝟏 + 𝟑 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟏

𝟐 = 𝟑 = 𝟑

𝟐 ②معادلة ①معادلة نعوض في

. 𝟑

𝟐 /

𝟐

− 𝟐 = 𝟏 𝟑

𝟒 𝟐− 𝟐 = 𝟏

(نضرب 𝟐 𝟒 )

⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒 = 𝟒 𝟐

𝟒 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐②معادلة نعوض في

= 𝟑

𝟐 =

𝟑

𝟐( 𝟏

𝟐)=

𝟑

𝟐 𝟐( 𝟏

𝟐) =

𝟑

𝟐

𝟐 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 = ( تهمل) 𝟑−

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 , −

𝟑

𝟐−

𝟏



28

/ ②الطرمة

√𝟏 + 𝟑 = √𝟑

𝟐+ 𝟑 −

𝟏

𝟐 = √

𝟑

𝟐+ 𝟑 +

𝟏

𝟐 𝟐 = √.

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 /

𝟐

= . 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 /

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 , −

𝟑

𝟐−

𝟏


: المعامالت الحممة وأحد جذرها و ما المعادلة التربعة ذات / 4س

− المعامالت أعداد حممة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و

+ − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + مجموع الجذرين 𝟎

. − = − 𝟐 = − −𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏


𝟐 − 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 + 𝟏 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟓 −

𝟓 المعامالت أعداد حممة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و +

𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟏𝟎

𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟔


𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟐 + 𝟑

𝟒

)المعامالت أعداد حممة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و 𝟐

𝟒−

𝟑

𝟒 )

. 𝟐

𝟒+𝟑

𝟒 / + .

𝟐

𝟒−𝟑

𝟒 / = .

𝟐

𝟒+ 𝟐

𝟒/ + (

𝟑

𝟒−𝟑

𝟒) =

𝟐 𝟐

𝟒 =

𝟐

𝟐 مجموع الجذرين

. 𝟐

𝟒+𝟑

𝟒 / . .

𝟐

𝟒−𝟑

𝟒 / = .

𝟐

𝟒/

𝟐

+ (𝟑

𝟒)𝟐

=𝟐

𝟏𝟔+

𝟗

𝟏𝟔=𝟏𝟏

𝟏𝟔 حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − . 𝟐

𝟐/ + (

𝟏𝟏

𝟏𝟔 ) = 𝟎 𝟐 −

𝟏

𝟐 +

𝟏𝟏

𝟏𝟔= المعادلة التربيعية 𝟎


29

𝟑أذا كان / 5س + 𝟐 ذري المعادلزة ــــزـ و أحزد ج − + 𝟓 + 𝟓 = ؟ ومزا فمزا لمزة 𝟎

1د / 2011وزاري لمة الجذر األخر؟

نفرض الجذر األخر و

𝟑 + + = ①معادلة (مجموع الجذرين)

𝟑 + . = 𝟓 + ( حاصل ضرب الجذرين) 𝟓

=𝟓 + 𝟓

𝟑 + =𝟓 + 𝟓

𝟑 + 𝟑 −

𝟑 − =𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐𝟎 + 𝟏𝟎

𝟏𝟎= 𝟐 + (الجذر األخر)

= 𝟐 + ①معادلة ) (نعوض في

𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافية محلولة𝟓𝟓−المركب أوجد الجذور التربعة للعدد / مثال − تخدم الناته ف أجاد الحل للمعادلة التربعة ــــثم أس 𝟒𝟖𝟐 التالة + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎

𝟓𝟓− نفرض أن الجذر التربع للعدد − + و 𝟒𝟖

+ = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟓𝟓−

𝟐 = −𝟒𝟖 =−𝟒𝟖

𝟐 =

−𝟐𝟒


𝟓𝟕𝟔

𝟐− 𝟐 = −𝟓𝟓

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = −𝟓𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎

𝟐 − 𝟔𝟒 𝟐 + 𝟗 = 𝟎

𝟐 = 𝟔𝟒 = 𝟖 ②معادلة نعوض في

=−𝟐𝟒

=−𝟐𝟒

𝟖 = 𝟑

𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = يهمل 𝟗−

𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + الجذران هما 𝟖

𝟐 األن نحل المعادلة + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = بأستخدام لانون الدستور حث 𝟎

= 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 +

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑

𝟐 𝟏

=− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐

𝟐 𝟏 =− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐

𝟐


30

=− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐

𝟐=− 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖

𝟐

𝟓𝟓−لت لمنا بحسابها سابما للعدد األن نعوض الجذور ا − 𝟒𝟖

=− 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖

𝟐

𝟏 =−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖

𝟐=−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖

𝟐=−𝟒 + 𝟔

𝟐 𝟏 = −𝟐+ 𝟑

𝟐 =−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖

𝟐=−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖

𝟐=𝟐 − 𝟏𝟎

𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓

𝟐−}مجموعة الحل + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 }

𝟑/ كون المعادلة التربعة الت جذر ا مثال − , 𝟏𝟎

𝟑−

𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 =𝟏𝟎

𝟑 − =

𝟏𝟎

𝟑 − 𝟑 +

𝟑 + =𝟏𝟎 𝟑 +

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟎 𝟑 +

𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 +

𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟔

𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏𝟎


𝟐 − 𝟔 + 𝟏𝟎 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟖−جد الجذور التكعبة للعدد المركب / مثال

𝟑 = −𝟖 𝟑 + 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟐 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟑 = 𝟎

𝟑 − 𝟖 𝟑 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎

− 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐

𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 ( بالدستور)

⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒

𝟐 𝟏 =

−𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔

𝟐

=−𝟐 𝟏𝟐

𝟐 =

−𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 = − 𝟑

− , 𝟐}مجموعة الحل هي ∴ + 𝟑 , − − 𝟑}


31

𝟖جد الجذور التكعبة للعدد المركب / مثال

𝟑 = 𝟖 𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎

− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐

𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ( بالدستور)

⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒

𝟐 𝟏 =

−𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔

𝟐

=−𝟐 −𝟏𝟐

𝟐 =

−𝟐 𝟏𝟐 𝟐

𝟐 =

−𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 = −𝟏 𝟑

, 𝟐}مجموعة الحل هي ∴ −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 }

𝟐 أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالة / مثال − 𝟐 − 𝟐 = 𝟎

𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = ( نقسم المعادلة على ) 𝟎

𝟐 −𝟐

−

𝟐

= 𝟎 𝟐 −

𝟐 𝟒

− 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 = 𝟎

𝟐 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( تحل بالدستور)

⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =−𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐

𝟐 𝟏 =−𝟐 −𝟒 + 𝟖

𝟐

=−𝟐 𝟒

𝟐=−𝟐 𝟐

𝟐 = − 𝟏

+ −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟏 , − − 𝟏}

𝟐 أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالة / مثال − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎

𝟐 − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎 ( تحل بالدستور)

⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =− −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒

𝟐 𝟏

=𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔

𝟐 =

𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏

𝟐

=𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐

𝟐 =

𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐

𝟐=𝟒 𝟒

𝟐

= 𝟐 𝟐

𝟐}مجموعة الحل هي ∴ + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }


32

+ من المعادلة التالة x , yأوجد لمة كل من / مثال 𝟐 −𝟖−𝟖

𝟏+ + 𝟏𝟓 = 𝟎

+ 𝟐 −𝟖 − 𝟖

𝟏 + + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 =

𝟖 − 𝟖

𝟏 + − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = (𝟖 − 𝟖

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ) − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = .𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = (−𝟏𝟔

𝟐) − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟏𝟓−

𝟐 = −𝟖 =−𝟖

𝟐 =

−𝟒


(−𝟒

)

𝟐

− 𝟐 = −𝟏𝟓 𝟏𝟔

𝟐− 𝟐 = −𝟏𝟓

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒 = −𝟏𝟓 𝟐

𝟒 − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ②معادلة نعوضها في

=−𝟒

=−𝟒

𝟒 = 𝟏

𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟏−

+ من المعادلة التالة x , yأوجد لمة كل من / مثال 𝟐 =𝟑𝟔−𝟐

𝟑+𝟐

+ 𝟐 =𝟑𝟔 − 𝟐

𝟑 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = (

𝟑𝟔 − 𝟐

𝟑 + 𝟐

𝟑 − 𝟐

𝟑 − 𝟐 )

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = .𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 / = (

𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖

𝟗 + 𝟒 ) = (

𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖

𝟏𝟑 )

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟖

𝟐 = −𝟔 =−𝟔

𝟐 =

−𝟑


(−𝟑

)

𝟐

− 𝟐 = 𝟖 𝟗

𝟐− 𝟐 = 𝟖

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟗 − 𝟒 = 𝟖 𝟐

𝟒 + 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 + 𝟗 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ②معادلة نعوضها في

=−𝟑

=

−𝟑

𝟏 = 𝟑

𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟗−


33

𝟐 معامالتها حممة وأحد جذرا ا كون المعادلة التربعة الت / مثال − 𝟐

𝟐 − 𝟐= 𝟐

𝟐− 𝟐 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − الجذر األول 𝟐 𝟐

𝟏معامالت المعادلة حممة لذا فأن الجذر األخر و المرافك + 𝟐 𝟐

𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = مجموع الجذرين 𝟐

𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐= 𝟏 + 𝟖 = حاصل ضرب الجذرين 𝟗


𝟐 − 𝟐 + 𝟗 = المعادلة التربيعية 𝟎

******************************************************************

, 𝟔𝟒 , 𝟔𝟒− التالة لؤلعدادجد الجذور التكعبة 𝟏𝟐𝟓 , 𝟔𝟒 ثم جد الجذر التربع للعدد 𝟐𝟕−

الجذور التكعبة للواحد الصحح

= − = − + + =

= (الجذر األول)

+ + = = (بالدستور) = =

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟏 𝟏 − 𝟒 𝟏 𝟏

𝟐 𝟏 =

−𝟏 𝟏 − 𝟒

𝟐 =

−𝟏 −𝟑

𝟐

=−𝟏 𝟑

𝟐 =

−𝟏

𝟐 3

2

=−𝟏

𝟐+ 3

2 = (الجذر الثاني)

=−𝟏

𝟐− 3

2 = (الجذر الثالث)

مرأ أومكا حث أن الرمز 𝟐 , , 𝟏 نان ثالثة جذور للواحد الصحح و

خواص الجذور التكعبة للواحد الصحح

الجذران , جذران تخلان مترافمان 𝟐

𝟐 + مجموع الجذور الثالثة ساوي صفر أي + 𝟏 = 𝟎

𝟐 حاصل ضرب الجذور الثالثة ساوي واحد أي = 𝟏


34

أستنتاجات لخواص الجذور

+ مجموع أي جذرين = سالب الجذر األخر مثال -1 = − , + = − , + = −

= مثال مجموع الجذرين األخرين أي جذر =سالب -2 − − , = − − , = − −

3- = =

=

وبالعكس أي يمكن أستبدال أحدهما باألخر كما في المثالين التاليين هي مرافق wكل -4 3 + 5 = 3 + 5 4 + 2 = 4 + 2

5- − = − = الحظ 3

.−𝟏

𝟐+ 3

2 /− .

−𝟏

𝟐− 3

2 / =

2 3

2= + 3

.−𝟏

𝟐− 3

2 /− .

−𝟏

𝟐+ 3

2 / =

−2 3

2= − 3

6- . = = الحظ

.−𝟏

𝟐+ 3

2 / ..

−𝟏

𝟐− 3

2 / = (

−𝟏

𝟐)2

+ . 3

2/

2

=

4+3

4=4

4=

, حيث عددصحيح -7 = , ,2,3,4,5, . . , + =

في عمليات التبسيط نستخدم -8

, 𝟏}مرفوعة الى لوة معنة و أحد جذور الواحد wناته نتوصل الى أن االستنتاجات ذه ومن الحظ {𝟐 ,

األمثلة التالة :

= 3. = . =

= 3. 2 = . 2 = 2

= 3 2 = 3. 3 = =

= 3 27 = 27 =

− =

=

3. =

=

3

= 2


35

− =

5=

2 3=

2=

3

2=

− =

=

3 7. =

7. =

=

3

= 2

+ = 6 . 5 = 3 2 . 5 = 2 . 5 = 5 = 3. 2 = 2

− − = − + = − . + = +

= .

= . .

=

=

, 𝟑𝟑 ل جد ناته ما/ (91مثال ) 𝟐𝟓 , −𝟓𝟖,

𝟑𝟑 = 𝟑 𝟏𝟏 = 𝟏 𝟏𝟏 = 𝟏

𝟐𝟓 = 𝟐𝟒. = 𝟑 𝟖. = 𝟏 𝟖. =

−𝟓𝟖 = −𝟓𝟖. 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎−𝟓𝟖 = 𝟐

/ أثبت أن : (20مثال )

𝟕 + 𝟓 + 𝟏 = 𝟎

= + + = . + + = + + = =

𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟐 = −𝟒 𝟐 + + 𝟐 𝟐 𝟑 = 𝟒

𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟐 = 5 + 3 + = 5 + 3 − = 5 − 3 = 2 = 4

−𝟒 𝟐 + + 𝟐 𝟐 𝟑 = −4 2 + 2 + = −4[2 + + ] = −4[2 − + ]

= −4[− ] = −4 − = −4 − = 4

3د / 2012وزاري : كون المعادلة التربعة الت جذرا ا / (21مثال )

𝟏 − 𝟐 , 𝟏 −

− + − = 𝟏 + 𝟏 + − − = 𝟐 + 𝟏 = 𝟐 + مجموع الجذرين

− . − = 𝟏 − − 𝟐 + 𝟐 𝟑 = − − 𝟐 = 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − 𝟐 + + = المعادلة التربيعية 𝟎


36

𝟐

𝟏 − 𝟐 ,

𝟐

𝟏 −

( 2

− ) + (

2

− ) =

𝟐 − + 𝟐 −

− 𝟏 − =𝟐 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 𝟐

𝟏 − − 𝟐 + 𝟑=𝟐 + 𝟐 − 𝟐 +

𝟏 + 𝟏 − +

=𝟒 − 𝟐 −𝟏

𝟐 − −𝟏 =𝟒 + 𝟐

𝟐 + 𝟏=𝟔

𝟑= (مجموع الجذرين) 𝟐

( 2

− ) . (

2

− ) =

𝟒

− 𝟏 − =

𝟒

𝟏 − − + =

4

+ − + =

4

2 − −

=4

2 + =4

3 (حاصل ضرب الجذرين )


𝟐 − 𝟐 +4

3= المعادلة التربيعية 𝟎

أمثلة أضافية محلولة أوجد الناته ف أبسط صورة /مثال

𝟏 (𝟏 + 𝟐 −𝟐

𝟐) (𝟏 −

𝟓

+ )

. + −2

/. + −5

/ = − − 2 − − 5 = −3 −6 = 8 = 8

𝟐 (𝟏

𝟏+ −

𝟏

𝟏+ 𝟐)𝟐

(

− −

− )

= .

− −

− /

= − + = − 2 + = − 2 +

= + − 2 = − − 2 = −3

= أذا كان /مثال (−𝟏

𝟐+

−𝟑

𝟐𝟏𝟐 فأثبت أن ( + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 = .𝟗 وكذلن 𝟎 𝟏𝟔. 𝟑𝟐 = 𝟏

= .−

2+ −3

2/ =

−

2+ 3

2=

𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 = + + = + + = + + =

𝟗. 𝟏𝟔. 𝟑𝟐 = . . = . . = =


37

√ / بر ن أنمثال 𝟏

𝟏+ 𝟐+

𝟐+ 𝟐

𝟒 =

√

+ +2 +

= √

− +2 +

= √

− 2 +

− = √

− −

− = √

− = − =

الطرف األيمن = الطرف األيسر ∴

𝟖 𝟐 − / بر ن أنمثال = 𝟖𝟏

الطرمة األولى :

− 𝟐 𝟖 = 3 = 3

= ( 3

)

= 3 = 3 = −9 = 8

: ثانةالالطرمة

− 𝟐 𝟖 = − = − 2 . + = + − 2 = − − 2 = −3

= −3 = 9 = 8

𝟏 / بر ن أنمثال + 𝟒 𝟑 + 𝟏 − 𝟕 − 𝟖 𝟑 = 𝟕

+ + − − = + + − − = − + − +

= − + − − = − + 2 = − + 8 = 7

)أوجد الناته /مثال 𝟏

𝟒−

𝟏

𝟐) (𝟐 𝟔 +

𝟐

) (

− 𝟔

𝟏+ 𝟓)

(

−

) (2 +

2

).

−

+ / = (

−

) (2 +

2

) (

−

+ ) = .

−

/.2 +

2

/(

−

− )

= − 2 + 2 (

) = − 2 + 2

= − 2 + 2 = − 2 + 2

= − 2 + = − 2 − = −2 3 = 2 3


38

+ والت تحمك المعادلة التالة x , yجد ناته /مثال =−𝟖

𝟐

يمكن حله بطريقتين الحظ الحل

+ الطريقة األولى =−8

= −8 = −8.−

2+ 3

2 / = 4 − 4 3

+ = 4 − 4 3 = 4 , = −4 3

+ الطريقة الثانية =−8

=

−8

− 2 −

32

=−8

− 2 −

32

− 2 +

32

− 2 +

32

=4 − 4 3

( 2)

+ . 32 /

=4 − 4 3

( 4) + (

34)

+ =4 − 4 3

= 4 − 4 3

+ = 4 − 4 3 = 4 , = −4 3

𝓦 طرق حل المسائل التي تحتوي على

: نان بعض الطرق األساسة الت تستخدم ف تبسط حل المسائل و

الطرمة األولى / أجاد عامل مشترن

: جد لمة /مثال

√𝟐+𝟏𝟏 +𝟏𝟏 𝟐

𝟐−𝟓 −𝟓 𝟐

√2 + +

2 − 5 − 5 = √

2 + +

2 − 5 + = √

2 −

2 + 5= √

−9

7=

3

7

√𝟏 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 𝟐

𝟏 − 𝟑 − 𝟑 𝟐

√ + +

− 3 − 3 = √

+ +

− 3 + = √

−

+ 3= √

−9

4=3

2


39

أثبت أن /مثال

𝟐+𝟓 +𝟐 𝟐 𝟐+

𝟐

𝟐+𝟐 +𝟐 𝟐 𝟐= −

𝟏

𝟗

2 + 5 + 2 +

2 + 2 + 5 =

[ 2 + 2 + 5 ] +

[ 2 + 2 + 5 ]

[2 + + 5 ] +

[2 + + 5 ] =

2 − + 5 +

2 − + 5

−2 + 5 +

−2 + 5 =

3 +

3 =

9 +

9 = +

9 = +

9 =−

9 =−

9

:الت تحمك المعادلة x , yجد لم /مثال

+ = ( + + + )

−3 +

+

+ = ( + + + )

−3 +

+ = ( + + + )

−3 +

+ −

−

+ = ( − + − )

−3 − 3 + −

+ = ( − + )

−4 − 2

+

+ = ( − + )

−4 − 2

2= + −

4 − 2

2 = [ + ] −

4 − 2

2

+ = [− ] −4 − 2

2= − − 2 − = −3 +

= −3 , =

الت تحمك المعادلة x , yجد لم /مثال

+ = . 𝟐 +

𝟐/

𝟏𝟐

+ = . +

/

+ = . +

/

+ = . −

/

= (−

)

+ = .−

/

= − = − + = −

+ = ( يمكن حساب الجذر بطريقتين) −


40

+ و − نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرمة − = + 𝟐 − = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 − 𝟐 = معادلة① 𝟎

𝟐 = −𝟏 =−𝟏

𝟐 =

−𝟏

𝟐 نعوضها في معادلة① معادلة②

𝟐 −𝟏

𝟒 𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 𝟒 )

⇒ 𝟒 𝟒 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐 نعوضها في معادلة②

=−𝟏

𝟐 =

−𝟏

𝟐 ( 𝟏

𝟐) =

−𝟏

𝟐 𝟐( 𝟏

𝟐) =

𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 =−𝟏

𝟐 تهمل

−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟐−

𝟏


/ ②الطرمة

− = √𝟏

𝟐− −

𝟏

𝟐 = √

𝟏

𝟐− +

𝟏

𝟐 𝟐 = √(

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 )

𝟐

= (𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 )

−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟐−

𝟏


+ = − + = 𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐 , =

𝟏

𝟐

:جد لمة /مثال

𝟏 − 𝟒 − 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 𝟐 𝟑

𝟏 − 𝟒 − 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 𝟐 𝟑 = 𝟏 − 𝟐 𝟐 − 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 −𝟏 − 𝟐

𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟓 + 𝟑 − 𝟓 − 𝟓 𝟐 = −𝟐 𝟐 − −𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 𝟐

= −𝟒 𝟏 + 𝟐 = −𝟒 − = 𝟒


41

+ 𝟐 كون المعادلة التربعة الت جذرا ا /مثال 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 −𝟏 − − 𝟏 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟏 𝟐 = −𝟑 𝟐 = (الجذر األول) 𝟗

𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 −𝟏 − 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = (الجذر الثاني) 𝟏𝟔

9 + 6 = مجموع الجذرين 𝟐𝟓

9 . 6 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏𝟒𝟒


𝟐 − 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟏كون المعادلة التربعة الت جذرا ا /مثال −

𝟐 , 𝟏 −

−

= −

3

= − i الجذر األول

−

= −

3

= − الجذر الثاني

− i + − 2 = + + − − 2 i = 2 + i = 2 + i مجموع الجذرين

− i . − 2 = − i − i + = + i − − − = i حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − 𝟐 + + = المعادلة التربيعية 𝟎

− 𝟐كون المعادلة التربعة الت جذرا ا /مثال 𝟑 𝟐

, 𝟑 − 𝟐

𝟐

1د/ 1999وزاري

2 − 3

= 2 − 3

= 2 − 3 3 = 2 − 3 − = 2 + 3

3 − 2

= 3 − 2

= 3 − 2 3 = 3 − 2 − = 3 + 2

2 + 3 2 + 3 + 2 2 = 5 i + 5 i = 5i + = −5i مجموع الجذرين

2 + 3 2 . 3 + 2 2 = 6 + 4 + 9 + 6 = −6 − 4 − 9 − 6

2 + 3 . 3 + 2 = − 3 + 6 − − = − 3 + 6 = حاصل ضرب الجذرين 7−


𝟐 − −𝟓 + −𝟕 = 𝟎 𝟐 + 𝟓 − 𝟕 = المعادلة التربيعية 𝟎


42

االستبدالالطرمة الثانة / طرمة

𝟐 جد الناته /مثال + 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟐

2 + 3 + 3 = 2 + 3 + 3 − − = 2 + 3 − 3 − 3 = − = 𝟏

) بر ن أن /مثال 𝟏

𝟑+𝟒 +𝟓 𝟐 −𝟏

𝟑+𝟓 +𝟒 𝟐)𝟐 =

−𝟏

𝟑

(𝟏

𝟑 + 𝟒 + 𝟓 𝟐 −

𝟏

𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐)𝟐

= (𝟏

𝟑 + 𝟒 + 𝟓 −𝟏 − −

𝟏

𝟑 + 𝟓 + 𝟒 −𝟏 − )𝟐

(𝟏

𝟑 + 𝟒 − 𝟓 − 𝟓 −

𝟏

𝟑 + 𝟓 − 𝟒 − 𝟒 )𝟐

= (𝟏

−𝟐 − −

𝟏

−𝟏 + )𝟐

= .−𝟏+ − −𝟐 −

−𝟐 − −𝟏 + /

𝟐

(−𝟏 + + 𝟐 +

𝟐 − 𝟐 + − 𝟐 )𝟐

= (𝟏 + 𝟐

𝟐 − − 𝟐)𝟐

= (𝟏 + 𝟐

𝟐 + 𝟏)𝟐

=𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐

𝟑𝟐=𝟏 + 𝟒 + 𝟐

𝟗=𝟏 + 𝟒 −𝟏

𝟗

(𝟏

𝟑 + 𝟒 + 𝟓 𝟐 −

𝟏

𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐)𝟐

=−𝟑

𝟗=−𝟏

𝟑

𝟏 كون المعادلة التربعة الت جذرا ا /مثال − 𝟔 − 𝟐 𝟐 , 𝟐 − − 𝟓 𝟐

− 6 − 2 = − 6 − 2 − − = − 6 + 2 + 2 = 3 − الجذر األول 4

2 − − 5 = 2 − − 5 − − = 2 − + 5 + 5 = 7 + الجذر الثاني 4

3 − 4 + 7 + 4 = 3 − 4 + 7 + 4 = مجموع الجذرين

= 2 + 2 − 28 − 6 = 2 − 6 − 6 − −

= 2 − 6 + 6 + 6 = حاصل ضرب الجذرين 37


𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟑𝟕 = المعادلة التربيعية 𝟎

الثالثة / معامالت البسط والممام متساوةالطرمة

جد الناته /مثال 𝟏𝟎 +𝟑

𝟑 𝟐+𝟏𝟎

+ 3

3 + = + 3

3 + = + 3

3 + =


43

) أثبت أن /مثال − 𝟐

− −

−

𝟐− )𝟒

= 𝟗

. − 𝟐

− −

−

𝟐 − /

𝟒

= . − 𝟐

− 𝟑 −

𝟑 −

𝟐 − /

𝟒

= . − 𝟐

− 𝟐 −

𝟐 −

𝟐 − /

𝟒

(𝟏

− )

𝟒

= 𝟐 − 𝟒 = 𝟑 𝟒= ( 𝟑

𝟐)𝟐

= 𝟑 𝟐 𝟐 = −𝟑 𝟐 = 𝟗

الطريقة الرابعة / أيجاد المضاعف المشترك

*أوجد الناته /مثال 𝟏

𝟐+ −

𝟏

𝟐+ 𝟐+𝟐

[

2 + −

2 + ]

= 02 + − 2 +

2 + 2 + 1

= 02 + − 2 −

4 + 2 + 2 + 1

= 0 −

4 + 2 + 2 + 1

= 0 −

5 + 2 + 1

= 0 −

5 + 2 − 1

= 0 −

31

= − 2 +

9

= + − 𝟐

𝟗= + − 𝟐

𝟗= − − 𝟐

𝟗=−𝟑

𝟗=−𝟏

𝟑

) أثبت أن /مثال 𝟓

𝟑− −

𝟓

𝟑− 𝟐)𝟐=

−𝟕𝟓

𝟏𝟔𝟗

(𝟓

𝟑 − −

𝟓

𝟑 − 𝟐)𝟐

= 𝟐𝟓 (𝟏

𝟑 − −

𝟏

𝟑 − 𝟐)𝟐

= 𝟐𝟓 . 𝟑 − 𝟐 − 𝟑 −

𝟑 − 𝟑 − 𝟐 /

𝟐

=

𝟐𝟓 .𝟑 − 𝟐 − 𝟑 +

𝟗 − 𝟑 𝟐 − 𝟑 + 𝟑/

𝟐

= 𝟐𝟓 .− 𝟐 +

𝟏𝟎− 𝟑 𝟐 − 𝟑 /

𝟐

= 𝟐𝟓 .− 𝟐 +

𝟏𝟎+ 𝟑 − 𝟐 − /

𝟐

= 𝟐𝟓 .− 𝟐 +

𝟏𝟎 + 𝟑 𝟏 /

𝟐

= 𝟐𝟓 .− 𝟐 +

𝟏𝟑/

𝟐

= 𝟐𝟓 . 𝟒 − 𝟐 𝟑 + 𝟐

𝟏𝟔𝟗/ = 𝟐𝟓 .

𝟒 + 𝟐 − 𝟐

𝟏𝟔𝟗/

= 𝟐𝟓 . 𝟒 + 𝟐 − 𝟐

𝟏𝟔𝟗/ = 𝟐𝟓 .

+ 𝟐 − 𝟐

𝟏𝟔𝟗/ = 𝟐𝟓 .

−𝟏 − 𝟐

𝟏𝟔𝟗/ = 𝟐𝟓 (

−𝟑

𝟏𝟔𝟗) =

−𝟕𝟓

𝟏𝟔𝟗


44

− تمارين 3

: أكتب الممادر التالة ف أبسط صورة / 1س

𝟔𝟒 −𝟑𝟐 𝟏

𝟏 + −𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟏 + 𝟐

−𝟒 𝟗 +𝟓 ,

𝟔𝟒

𝟔𝟒 = 𝟑 𝟐𝟏. = 𝟏. =

−𝟑𝟐𝟓

−𝟑𝟐𝟓 = −𝟑𝟐𝟒. −𝟏 = 𝟑 −𝟏𝟎𝟖 .𝟏

= 𝟏 −𝟏𝟎𝟖 .

𝟑

= 𝟐

𝟏

𝟏 + −𝟑𝟐 𝟏𝟐

𝟏

𝟏 + −𝟑𝟐 𝟏𝟐=

𝟏

𝟏 + −𝟑𝟐. 𝟑𝟑 𝟏𝟐=

𝟏

𝟏 + 𝟏𝟐=

𝟏

− 𝟐 𝟏𝟐=

𝟏

𝟐𝟒=

𝟏

𝟑 𝟖=

𝟏

𝟏 𝟖= 𝟏

𝟏 + 𝟐 −𝟒

𝟏 + 𝟐 −𝟒

= − −𝟒 =𝟏

− 𝟒=

𝟏

𝟒=

𝟏

𝟑. =

𝟏

= 𝟐

𝟗 +𝟓

𝟗 +𝟓 = 𝟗 . 𝟓 = 𝟑 𝟑 . 𝟐 = 𝟏. 𝟐 = 𝟐

:كون المعادلة التربعة الت جذرا ا / 2س

𝟏 + 𝟐 , 𝟏 +

+ + + = 𝟏 + 𝟏 + + = 𝟐 + + = 𝟐 − 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟏

+ . + = − − = = حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − + 𝟏 = المعادلة التربيعية 𝟎


45

𝟐 − 𝟐 ,

𝟐

𝟐 −

𝟐 − 𝟐+

𝟐

𝟐 − = 𝟐 − + 𝟐 𝟐 − 𝟐

𝟐 − 𝟐 𝟐 − =𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟒

𝟒 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟑=

𝟐 + 𝟐 −

𝟓− 𝟐 + 𝟐

= + 𝟐

𝟓 − 𝟐 −𝟏 =−𝟏

𝟕 مجموع الجذرين

𝟐 − 𝟐

𝟐

𝟐 − =

𝟑

𝟐 − 𝟐 𝟐 − =

𝟏

𝟕 حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − (−𝟏

𝟕) + (

𝟏

𝟕 ) = 𝟎 𝟐 +

𝟏

𝟕 +

𝟏

𝟕= المعادلة التربيعية 𝟎

2د / 2011وزاري 3د / 4201وزاري 3د / 5201وزاري

𝟑

𝟐 ,

−𝟑 𝟐

𝟑

𝟐 +

−𝟑 𝟐

=

𝟑

𝟐 𝟑 +

−𝟑 𝟐

.−

− / = 𝟑 + 𝟑 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 −𝟏 = مجموع الجذرين 𝟑−

𝟑

𝟐 −𝟑 𝟐

=

𝟑

𝟐 𝟑

−𝟑 𝟐

.−

− / = 𝟑 𝟑 𝟐 = 𝟗 𝟑 𝟐 = حاصل ضرب الجذرين 𝟗−


𝟐 − −𝟑 + −𝟗 = 𝟎 𝟐 + 𝟑 − 𝟗 = المعادلة التربيعية 𝟎

اذا كان : / 3س𝟏+𝟑 𝟏𝟎+𝟑 𝟏𝟏

𝟏−𝟑 𝟕−𝟑 𝟖𝟐 فجد قيمة + + 𝟏 = 𝟎

+ + = = (بالدستور) = =

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟏 𝟏 − 𝟒 𝟏 𝟏

𝟐 𝟏 =−𝟏 𝟏 − 𝟒

𝟐 =

−𝟏 −𝟑

𝟐

=−𝟏 𝟑

𝟐 =

−𝟏

𝟐 3

2

=−𝟏

𝟐+ 3

2 = (الجذر األول)

=−𝟏

𝟐− 3

2 = (الجذر الثاني)

= + 3 + 3

− 3 − 3 = + 3 . + 3 .

− 3 . − 3 . = + 3 + 3

− 3 − 3 = + 3 +

− 3 + =𝟏 − 𝟑

𝟏 + 𝟑=−𝟐

𝟒=−𝟏

𝟐

= نعيد الحل مرة أخرى بنفس الطريقة أليجاد قيمة المقدار 𝟐


46

1د / 5201وزاري 1د / 2011وزاري :أثبت أن / 4س

(𝟏

𝟐 + −

𝟏

𝟐 + 𝟐)𝟐

=−𝟏

𝟑

. . = (𝟏

𝟐 + −

𝟏

𝟐 + 𝟐)𝟐

= .𝟐 + 𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 /

𝟐

= .𝟐 + 𝟐 − 𝟐 −

𝟒 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟑/

𝟐

= . 𝟐 −

𝟓 + 𝟐 𝟐 + /

𝟐

= 𝟐 − 𝟐

𝟓 − 𝟐 𝟐=

𝟒 − 𝟐 𝟑 + 𝟐

𝟑 𝟐= + 𝟐 − 𝟐

𝟗=−𝟏 − 𝟐

𝟗=−𝟑

𝟗=−𝟏

𝟑= . .

𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟏

𝟏𝟎 + 𝟓 − 𝟐=𝟐

𝟑

الطرف األيسر = 𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟏

𝟏𝟎 + 𝟓 − 𝟐= 𝟑

𝟒. 𝟐 + 𝟑

𝟐. − 𝟏

𝟑 𝟑. + 𝟑 . 𝟐 − 𝟐= 𝟐 + − 𝟏

+ 𝟐 − 𝟐=−𝟏− 𝟏

−𝟏− 𝟐

=−𝟐

−𝟑=

𝟐

𝟑 = الطرف األيمن


(𝟏 −𝟐

𝟐+ 𝟐) (𝟏 + −

𝟓

) = 𝟏𝟖

= الطرف األيسر (𝟏 −𝟐

𝟐+ 𝟐)(𝟏 + −

𝟓

) = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 + − 𝟓 𝟐

= 𝟏 − 𝟐 + −𝟏 − − 𝟐 − 𝟓 𝟐 = −𝟑 −𝟔 𝟐 = 𝟏𝟖 𝟑 = 𝟏𝟖 = الطرف األيمن

𝟏 + 𝟐 𝟑 + 𝟏 + 𝟑 = −𝟐

= الطرف األيسر 𝟏 + 𝟐 𝟑+ 𝟏 + 𝟑 = − 𝟑 + − 𝟐

𝟑= − 𝟑 − 𝟔 = −𝟏 − 𝟏 = −𝟐 = الطرف األيمن

******************************************************************

ةد المركباعد لؤلهندسالتمثل ال+ العدد المركب ا بالنمطة , مكن تمثله ندسا − حث سمى المحور بالمحور

− الحمم و و مثل الجزء الحمم للعدد المركب , أما المحور فسمى المحور التخل و و مثل

ا وتسمى الجزء التخل للعدد المركب , ومكن تمثل بعض العملات الت تجري على األعداد المركبة تمثالا ندسا

األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وسمى المستوي الذي حتوها بالمستوي المركب .


47

𝟏 أذا كان = 𝟏 + 𝟏 , 𝟐 = 𝟐 + , 𝟏 𝟏 عددان مركبان ممثالن بالنمطتن 𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 , فأن : 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐

𝟏 ومكن تمثل + 𝟏 𝟑 بالنمطة 𝟐 + 𝟐 , 𝟏 + وذلن بأستخدام المعلومات المتعلمة بالمتجهات 𝟐

وكما موضح بالشكل :

𝟏 أي أن : + 𝟐

= 𝟑

ا ف شكل أرجاند : (22مثال ) / مثل العملات األتة ندسا

𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐

𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒 𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔

𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓

𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔,−𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓

𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑


48

− تمارين 4

أكتب النظر الجمع لكل من االعداد األتة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعة على شكل أرجاند . / 1س 𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏+ 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 =

العدد نظره الجمع البانتمثله

− 𝟏 = −𝟐− 𝟑 − 𝟏 = −𝟐 ,− 𝟑

𝟏 = 𝟐 + 𝟑 𝟏 = 𝟐 , 𝟑

− 𝟐 = 𝟏 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑

𝟐 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 , 𝟑

− 𝟑 = −𝟏+ − 𝟑 = −𝟏 , 𝟏

𝟑 = 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 , −𝟏

− 𝟒 = − − 𝟒 = 𝟎 , −𝟏

𝟒 = 𝟒 = 𝟎 , 𝟏


49

أكتب العدد المرافك لكل من االعداد التالة ثم مثل األعداد ومرافماتها على شكل أرجاند / 2س

𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐

العدد مرافك العدد تمثله البان

𝟏 = 𝟓 − 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑

𝟏 = 𝟓 + 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑

𝟐 = −𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 ,− 𝟐

𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐

𝟑 = 𝟏 + 𝟑 𝟑 = 𝟏 , 𝟏

𝟑 = 𝟏 − 𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏

𝟒 = 𝟐 𝟒 𝟒 = 𝟎 , 𝟐

𝟒 = −𝟐 𝟒 = 𝟎 , −𝟐


50

= أذا كان / 3س 𝟒 + , فوضح على شكل أرجاند كآل من 𝟐 , −

= 4 + 2 = 4 , 2

= 4 − 2 = 4 , −2

− = −4 − 2 − = −4 , −2

𝟐 أذا كان / 4س = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − :فوضح على شكل أرجاند كآل من 𝟐

−𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐

−3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6

2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4

− = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4 − = = 3 − 4 = 3,−4

+ = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i + = = 5 + i = 5,


51

للعدد المركب 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎 الصورة المطبة

= كان ارا + = , = فان = = و = أن حث

ذدع وهو انمشكب انعذد مقاط ( ) انمشكب نهعذد انتخه انجضء انمشكب نهعذد انحقق انجضء

وتكتب انمشكب انعذد سعة( 𝜃) تسمى و ‖ ‖ بانشمض نه وشمض وسمى سانب غش حقق

= , 𝟎 ] حث = ومكه انقول أن 𝟐 ‖ ‖ +

= أو كتب +

= ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐

=

=

‖ ‖

=

=

‖ ‖

= اذا كان / (32مثال ) 𝟏 + . فجد المماس والممة األساسة لسعة 𝟑

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐

=

=

‖ ‖=𝟏

𝟐 =

=

‖ ‖= 𝟑

𝟐 =

𝟑 الربع األول

=

𝟑

= اذا كان / (42مثال ) −𝟏 − . فجد المماس والممة األساسة للعدد

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐

=

=

‖ ‖=−𝟏

𝟐 =

=

‖ ‖=−𝟏

𝟐 =

𝟒 الربع الثالث

= +

𝟒=𝟓

𝟒


52

عبر عن كل من االعداد التالة بالصغة المطبة :/ (52مثال )


𝟐 𝟑 − 𝟐

= 𝟐 𝟑 − 𝟐

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒

= 𝟏𝟔 = 𝟒

=

=

‖ ‖=

𝟐 𝟑

𝟒= 𝟑

𝟐

=

=

‖ ‖=

−𝟐

𝟒 =

−𝟏

𝟐

= = 𝟐 −

𝟔=𝟏𝟏

𝟔

= 𝟒 ( 𝟏𝟏

𝟔+

𝟏𝟏

𝟔)

1د / 2013وزاري − 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒

= 𝟖 = 𝟐 𝟐

=

=

‖ ‖=

−𝟐

𝟐 𝟐=−𝟏

𝟐

=

=

‖ ‖=

𝟐

𝟐 𝟐 =

𝟏

𝟐

= = −

𝟒=𝟑

𝟒

= 𝟐 𝟐 ( 𝟑

𝟒+

𝟑

𝟒)

التالة بالصغة المطبة : عبر عن كل من االعداد/ (62مثال )

𝟏 − 𝟏 −

𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎

− 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 +

= 𝟎 + = 𝟏 (

𝟐 +

𝟐)

− = 𝟎 − = 𝟏 ( 𝟑

𝟐 +

𝟑

𝟐)

مالحظة

على األعداد المركبة وكما ل :( السابك نستنته طرمة مكن تطبمها 26من خالل المثال )

𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎

𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓(

𝟐 +

𝟐)

−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 +

−𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕( 𝟑

𝟐 +

𝟑

𝟐)


53

𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎 مبر نة دموافر

= + = + لكل , فأن

= − = − − , فأن لكل

= (𝟏 )( (

+ 𝟐

) + (

+ 𝟐

)) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏

)أحسب / (72مثال )𝟑

𝟖 +

𝟑

𝟖 )

𝟒

( 𝟑

𝟖 +

𝟑

𝟖 )

𝟒

= ( 𝟏𝟐

𝟖 +

𝟏𝟐

𝟖 ) = (

𝟑

𝟐 +

𝟑

𝟐 ) = 𝟎 −

− / (82مثال ) = − بين لكل , فأن

الطرف األيسر = − = + − = [ + − ]

= [ − + − ] = وبجعل −

= [ + ] = +

= − + − = − =

مالحظة

التبسط : عملات الموانن التالة مهمة ف

+ = +

− = −

+ = −

− = +


54

𝟏 / أحسب بأستخدام مبر نة دموافر (92مثال ) + 1د / 2015وزاري 2د / 3201وزاري . 𝟏𝟏

= + = = ‖ ‖ = + = + = 2

𝜃 =

=

‖ ‖=

2 𝜃 =

=

2 =

4

= + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2

( (

4) + i i (

4))

= 2

( (

4) + i i (

4)) = 2 2

( (

8 + 3

4) + i i (

8 + 3

4))

= 2 2 ( (2 +3

4) + i i (2 +

3

4))

= 32 2 *( 2 (

) − 2 (

)) + ( 2 (

) + 2 (

))+

= 32 2 0( (3

4)) + . (

3

4)/1 = 32 2 [

−

2+

2 ] = 32 − + = −32 + 32

مالحظة

− = + − = − + − = −

− = −

𝟑 / حل المعادلة (30مثال ) + 𝟏 = ℂ حث 𝟎

𝟑 + 𝟏 = 𝟎 𝟑 = −𝟏 𝟑 = + بالجذر التكعيبي

= + 𝟏𝟑 = (

+ 𝟐

𝟑) + (

+ 𝟐

𝟑) = 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 = (

𝟑) + (

𝟑) =

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐

= 𝟏 = + =−𝟏 + 𝟎 = −𝟏

= 𝟐 = (𝟓

𝟑) + (

𝟓

𝟑) =

𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐

2𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐 , −𝟏 ,

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐 3 مجموعة الحل للمعادلة هي


55

𝟑 أوجد الصغة المطبة للممدار : / (31مثال ) + 𝟐

ثم جد الجذور الخمسة له .

= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐

=

=

‖ ‖= 𝟑

𝟐 =

=𝟏

𝟐 =

𝟔

= 𝟐 (

𝟔+

𝟔) 𝟐 = 𝟐𝟐 (

𝟔+

𝟔)𝟐

𝟐 = 𝟒(

𝟑+

𝟑)

𝟐 𝟏𝟓 = 𝟒(

𝟏𝟓) (

𝟑+

𝟑)

𝟏𝟓= 4

4 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓7 + i i 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓75

= 4

6 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

5 + 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

57

𝟐𝟓

= 𝟒𝟓

[ ( + 𝟔

𝟏𝟓) + (

+ 𝟔

𝟑)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

= 𝟎 𝟏 = 𝟒𝟓

𝟏𝟓+

𝟏𝟓

= 𝟏 𝟐 = 𝟒𝟓

𝟕

𝟏𝟓+

𝟕

𝟏𝟓

= 𝟐 𝟑 = 𝟒𝟓

𝟏𝟑

𝟏𝟓+

𝟏𝟑

𝟏𝟓

= 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟓

𝟏𝟗

𝟏𝟓+

𝟏𝟗

𝟏𝟓

= 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟓

𝟐𝟓

𝟏𝟓+

𝟐𝟓

𝟏𝟓 = 𝟒

𝟓

𝟓

𝟑+

𝟓

𝟑


56

− تمارين 5

أحسب ما ل : / 1س

[ 𝟓

𝟐𝟒 +

𝟓

𝟐𝟒 ]

𝟒

[ 𝟓

𝟐𝟒 +

𝟓

𝟐𝟒 ]

𝟒

= [ 𝟐𝟎

𝟐𝟒 +

𝟐𝟎

𝟐𝟒 ] = [

𝟓

𝟔 +

𝟓

𝟔 ] = * ( −

𝟔) + ( −

𝟔)+

= * (

𝟔) + (

𝟔)+ + * (

𝟔) − (

𝟔)+

= −

𝟔+

𝟔=− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐

[ 𝟕

𝟏𝟐 +

𝟕

𝟏𝟐 ]

−𝟑

[ 𝟕

𝟏𝟐 +

𝟕

𝟏𝟐 ]

−𝟑

= [ −𝟐𝟏

𝟏𝟐 +

−𝟐𝟏

𝟏𝟐 ] = [

−𝟕

𝟒 +

−𝟕

𝟒 ] = [

𝟕

𝟒 −

𝟕

𝟒 ]

= * (𝟐 −

𝟒) − (𝟐 −

𝟒)+

= * 𝟐 (

𝟒) + 𝟐 (

𝟒)+ − * 𝟐 (

𝟒) − 𝟐 (

𝟒)+

= 𝟐 (

𝟒) + 𝟐 (

𝟒) =

𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐

:ما أت )أو التعمم ( أحسب بأستخدام مبر نة دموافر / 2س 1د / 2012وزاري

𝟏 − 𝟕

= − = = ‖ ‖ = + = + = 2

𝜃 =

=

‖ ‖=

2 , 𝜃 =

=−

2 , = 2 −

4=7

4 الربع الرابع

= 𝟏 − 𝟕 = 𝜃 + i i 𝜃 = 2

( 7

4+ i i

7

4)

= 2

( 49

4+ i i

49

4) = 2 2

* (

4+ 2 ) + i i (

4+ 2 )+

= 2 2 *( (

4) 2 − (

4) 2 ) + ( i (

4) 2 + (

4) 2 )+

= 8 2 *( (

4) 2 ) + ( i (

4) 2 )+ = 8 2 * (

4) + i (

4)+

= 8 2 [

2+

2] = 8 + = 8 + 8


57


𝟑 + −𝟗

= 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2

𝜃 =

=

‖ ‖= 𝟑

2 𝜃 =

=

2 =

6 الربع األول

− = 𝟑 + −𝟗

= − 𝜃 + i i 𝜃 − = 2 − (

6+ i i

6)−

− =

2 ( (

−9

6) + i i (

−9

6)) =

5 2( (

−3

2) + i i (

−3

2)) =

5 2(

3

2− i i

3

2)

− =

5 2[ − − ] =

5 2

2د / 2013وزاري :بسط ما أت / 3س

𝟐 + 𝟐 𝟓

𝟑 + 𝟑 𝟑

𝟐 + 𝟐 𝟓

𝟑 + 𝟑 𝟑=[ + 𝟐]𝟓

[ + 𝟑]𝟑= + 𝟏𝟎

+ 𝟗= +

+ 𝟖 − 𝟒

= 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃

= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ]

= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃

𝟏−باستخدام مبر نة دموافر جد الجذور التربعة للعدد المركب / 4س + 𝟑

= − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2

𝜃 =

=

‖ ‖=−𝟏

2 , 𝜃 =

= 3

2 = −

3=2

3 الربع الثاني

= √− + 3 = − + 3 ( )= (

) 𝜃 + i i 𝜃 (

) = 2(

) ( (

2

3) + i i (

2

3))

( )

= 2 6 4

2 3 + 2

25 + i i 4

2 3 + 2

257 = 2 6 4

2 + 6 32

5 + i i 4

2 + 6 32

57

= 2 [ (2 + 6

6) + i i (

2 + 6

6)] = 𝟎, 𝟏

= 𝟎 = 2[ (2

6) + (

2

6)] = 2 (

𝟑+

𝟑) = 2.

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐 / =

𝟏

2+ 𝟑

2

= 𝟏 = 2[ (8

6) + (

8

6)] = 2 (

𝟒

𝟑+

𝟒

𝟑) = 𝟐 * ( +

𝟑) + ( +

𝟑)+

= 2[ (

𝟑) − (

𝟑)] + * (

𝟑) + (

𝟑)+

= 2[− (

𝟑) − (

𝟑)] = 2.

−𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐 / =

−𝟏

2− 𝟑

2


58

𝟐𝟕باستخدام مبر نة دموافر جد الجذور التكعبة للعدد المركب / 5س

= 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕

=

=

‖ ‖=

𝟎

𝟐𝟕= 𝟎 , =

=𝟐𝟕

𝟐𝟕= 𝟏 =

𝟐 الربع االول

𝟑

= 𝟐𝟕 𝟑

= 𝟐𝟕 (𝟏𝟑) = (

𝟏𝟑) + (

𝟏𝟑) = 𝟐𝟕 (

𝟏𝟑) (

𝟐+

𝟐)(𝟏𝟑)

𝟑

= 𝟐𝟕𝟑

4 4

𝟐 + 𝟐

𝟑5 + 4

𝟐 + 𝟐

𝟑55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 = 3[ (

6) + (

6)] = 𝟑 0

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐1 =

𝟑 𝟑

𝟐+𝟑

𝟐

= 𝟏 = 3[ (5

6) + (

5

6)] = 𝟑 * ( −

6) + ( −

6)+

= 𝟑 *− (

6) + (

6)+ = 𝟑 0

− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 =

−𝟑 𝟑

𝟐+𝟑

𝟐

= 𝟐 = 3[ (9

6) + (

9

6)] = 𝟑 [ (

3

2) + (

3

2)] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑

. باستخدام مبر نة دموافر 𝟏𝟔− للعدد ور األربعةجد الجذ / 6س

= −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔

=

=

‖ ‖=−𝟏𝟔

𝟏𝟔= −𝟏 , =

=

𝟎

𝟏𝟔= 𝟎 =

𝟒

= −𝟏𝟔𝟒

= −𝟏𝟔 (𝟏𝟒) = (

𝟏𝟒) + (

𝟏𝟒) = 𝟏𝟔 (

𝟏𝟒) + (

𝟏𝟒)

= 6

( ( + 2

) + i i (

+ 2

)) = 4

= 𝟎 = 2[ (

4) + (

4)] = 𝟐 [

𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐] = 𝟐 + 𝟐

= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (𝟑

𝟒) + (

𝟑

𝟒)] = 𝟐[ ( −

𝟒) + ( −

𝟒)] = 𝟐[− (

𝟒) + (

𝟒)]

= 𝟐 [−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐] = − 𝟐 + 𝟐

= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (𝟓

𝟒) + (

𝟓

𝟒)] = 𝟐[ ( +

𝟒) + ( +

𝟒)] = 𝟐[− (

𝟒) − (

𝟒)]

= 𝟐 [−𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐] = − 𝟐 − 𝟐

= 𝟑 𝟒 = 𝟐[ (𝟕

𝟒) + (

𝟕

𝟒)] = 𝟐[ (𝟐 −

𝟒) + (𝟐 −

𝟒)]

= 𝟐[ (

𝟒) − (

𝟒)] = 𝟐 [

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐] = 𝟐 − 𝟐


59

. بأستخدام مبر نة دموافر 64− جد الجذور الستة للعدد / 7س

= −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64

𝜃 =

=

‖ ‖=

𝟎

64= , 𝜃 =

=−𝟔𝟒

64= − =

3

2

= −64

= −64 ( ) = (

) 𝜃 + i i 𝜃 (

) = 64 (

) (

3

2+ i i

3

2)( )

= 64

6 4

3 2 + 2

65 + i i 4

3 2 + 2

657 = 2 [ (

3 + 4

2) + i i (

3 + 4

2)]

= 𝟎 = 2[ (3

2) + (

3

2)] = 𝟐 * (

𝟒) + (

𝟒)+ = 𝟐 [

𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐]

= 𝟐 + 𝟐

= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (𝟕

𝟏𝟐) + (

𝟕

𝟏𝟐)] = 𝟐[ (

𝟑+

𝟒) + (

𝟑+

𝟒)]

= 𝟐 *( (

𝟑) (

𝟒) − (

𝟑) (

𝟒)) + ( (

𝟑) (

𝟒) + (

𝟑) (

𝟒))+

= 𝟐 0.𝟏

𝟐 𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐 𝟏

𝟐/ + .

𝟑

𝟐 𝟏

𝟐+𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0.

𝟏

𝟐 𝟐−

𝟑

𝟐 𝟐/ + .

𝟑

𝟐 𝟐+

𝟏

𝟐 𝟐/1

= 𝟐 0.𝟏 − 𝟑

𝟐 𝟐/ + .

𝟑 + 𝟏

𝟐 𝟐/1 =

𝟏 − 𝟑

𝟐+

𝟑 + 𝟏

𝟐

= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (𝟏𝟏

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟏

𝟏𝟐)] = 𝟐[ ( −

𝟏𝟐) + ( −

𝟏𝟐)]

= 𝟐 *( (

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟐)) + ( (

𝟏𝟐) − (

𝟏𝟐))+

= 𝟐 *− (

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟐)+ = *− (

𝟒−

𝟔) + (

𝟒−

𝟔)+

= 𝟐 *−( (

𝟒) (

𝟔) + (

𝟒) (

𝟔)) + ( (

𝟒) (

𝟔) − (

𝟒) (

𝟔))+

= 𝟐 0−.𝟏

𝟐 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/ + .

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐−

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0

− 𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐+ 𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐 1

=− 𝟑 − 𝟏

𝟐+ 𝟑 − 𝟏

𝟐

= 𝟑 = 2[ ( 5

2) + (

5

2)] = 𝟐 [ (

𝟓

𝟒) + (

𝟓

𝟒)]

= 𝟐[ ( +

𝟒) + ( +

𝟒)]

= 𝟐 *( (

𝟒) − (

𝟒)) + ( (

𝟒) + (

𝟒))+

= 𝟐 *− (

𝟒) − (

𝟒)+ = 𝟐 [

−𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐] = − 𝟐 − 𝟐


60

= 𝟒 𝟓 = 𝟐[ (𝟏𝟗

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟗

𝟏𝟐)] = 𝟐[ (𝟐 −

𝟓

𝟏𝟐) + (𝟐 −

𝟓

𝟏𝟐)]

= 𝟐 [( 𝟐 (𝟓

𝟏𝟐) + 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟐)) + ( 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟐) − 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟐))]

= 𝟐 [ (𝟓

𝟏𝟐) − (

𝟓

𝟏𝟐)] = * (

𝟒+

𝟔) − (

𝟒+

𝟔)+

= 𝟐 *( (

𝟒) (

𝟔) − (

𝟒) (

𝟔)) − ( (

𝟒) (

𝟔) + (

𝟒) (

𝟔))+

= 𝟐 0.𝟏

𝟐 𝟑

𝟐−

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/ − .

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0

𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐 −

𝟑 + 𝟏

𝟐 𝟐 1

= 𝟑 − 𝟏

𝟐 −

𝟑 + 𝟏

𝟐

= 𝟓 𝟔 = 𝟐[ (𝟐𝟑

𝟏𝟐) + (

𝟐𝟑

𝟏𝟐)] = 𝟐[ (𝟐 −

𝟏𝟐) + (𝟐 −

𝟏𝟐)]

= 𝟐 *( 𝟐 (

𝟏𝟐) + 𝟐 (

𝟏𝟐)) + ( 𝟐 (

𝟏𝟐) − 𝟐 (

𝟏𝟐))+

= 𝟐 * (

𝟏𝟐) − (

𝟏𝟐)+ = * (

𝟒−

𝟔) − (

𝟒−

𝟔)+

= 𝟐 *( (

𝟒) (

𝟔) + (

𝟒) (

𝟔)) − ( (

𝟒) (

𝟔) − (

𝟒) (

𝟔))+

= 𝟐 0.𝟏

𝟐 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/ − .

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐−

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0

𝟑 + 𝟏

𝟐 𝟐 −

𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐 1

= 𝟑 + 𝟏

𝟐 −

𝟑 − 𝟏

𝟐

******************************************************************

حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول

, جد لمة / 1س والت تحمك :

𝟏+ =

𝟐+𝟒

+𝟐 3د / 2013وزاري

𝟏 + =

𝟐 + 𝟒

+ 𝟐

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − =

𝟐 − 𝟒 𝟐

+ 𝟐

−

𝟏𝟐+𝟏𝟐=

−𝟐 +𝟐

+𝟐

−

𝟐= − 2

− = 𝟐 − 4 = 𝟐

− = −4 − ⇒ = 𝟒 نعوض في معادلة

𝟒 = 𝟐 = 𝟐


61

+ 𝟗 𝟑) : ناته جد / 2س𝟓

𝟓 +𝟒

𝟒)𝟔

(𝟑 𝟗 +𝟓

𝟓+

𝟒

𝟒)𝟔

= (𝟑 𝟑 𝟑 +𝟓

𝟑. 𝟐+

𝟒

𝟑. )𝟔

= (𝟑 𝟏 𝟑 +𝟓

𝟐+

𝟒

)𝟔

= .𝟑 +𝟓 𝟑

𝟐+𝟒 𝟑

/

𝟔

= 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 𝟔 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒[−𝟏 − ] 𝟔

= 𝟑 + 𝟓 − 𝟒 − 𝟒 𝟔 = −𝟏 + 𝟔 = [ −𝟏 + 𝟐]𝟑 = [𝟏 − 𝟐 + 𝟐]𝟑 = [ 𝟏 + 𝟐 − 𝟐 ]𝟑 = [− − 𝟐 ]𝟑 = [−𝟑 ]𝟑 = −𝟐𝟕 𝟑 = −𝟐𝟕

= أذا كان / 3س𝟏− 𝟑

𝟏+ −𝟑ا , جد بأستخدام مبر نة دموافر عدداا مركبا

𝟏

𝟐

=𝟏 − 𝟑

𝟏 + −𝟑=𝟏 − 𝟑

𝟏 + 𝟑 𝟏 − 𝟑

𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟑

𝟐

𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐=𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐

𝟏 + 𝟑

=−𝟐 − 𝟐 𝟑

𝟒 =

−𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √.−𝟏

𝟐/

𝟐

+ .− 𝟑

𝟐/

𝟐

= √𝟏

𝟒+𝟑

𝟒= 𝟏 = 𝟏

=

=

‖ ‖=(−𝟏 𝟐 )

𝟏=−𝟏

𝟐 , =

=

.− 𝟑 𝟐 /

𝟏=− 𝟑

𝟐 تقع في الربع الثالث

= +

𝟑=𝟒

𝟑

𝟏𝟐 = .

−𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐 /

(𝟏𝟐)

= (𝟏𝟐) + (

𝟏𝟐) = 𝟏 (

𝟏𝟐) (

𝟒

𝟑+

𝟒

𝟑)(𝟏𝟐)

𝟏𝟐 = 6 4

𝟒 𝟑

+ 2

25 + i i 4

𝟒 𝟑

+ 2

257 = ,

= 𝟎 𝟏𝟐 = (

4

6) + (

4

6) = (

2

3) + (

2

3) = ( −

3) + ( −

3)

𝟏

𝟐 = [ (

𝟑) + (

𝟑)] + * (

𝟑) − (

𝟑)+

𝟏𝟐 = (

𝟑) − (

𝟑) = −

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐

= 𝟏 𝟏𝟐 = [ 4

𝟒 𝟑 + 2

25 + 4

𝟒 𝟑 + 2

25] = 4

𝟒 + 𝟔 𝟑2

5+ 4

𝟒 + 𝟔 𝟑2

5

𝟏𝟐 = .

𝟏𝟎

6/ + .

𝟏𝟎

6/ = .

5

3/+ .

5

3/ = (2 −

3)+ (2 −

3)

𝟏

𝟐 = [ 2 (

𝟑) + 2 (

𝟑)] + * 2 (

𝟑) − 2 (

𝟑)+

𝟏𝟐 = 2 (

𝟑) − 2 (

𝟑) =

𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐


62

حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول

𝟏 : ضع 1/ د 98سؤال وزاري + 𝟑 𝟐 + 𝟑 − بالصغة العادة للعد المركب. 𝟐 𝟐

المقدار الحل/ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4

= + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6

: جد الجذر التربع للعدد: 1/د 98سؤال وزاري 𝟕+ + 𝟐

𝟏− − 𝟐

الحل/ + +

− − =

+ +

− + =

−

+

−

− =

− − +

+

= −

= 3 − 4

3 نفرض − 4 = + بالتربيع⇒ 3 − 4 = − + 2

− = 3 . . . . , 2 = −4 ⇒ = −2 =

−

. . . 2

−

= 3

.

⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =

يهمل

− 4 = = 4 = 22 =

−

= −

− 2 =

3 − 4 = ,2 − −2 +

, 𝟐 − 𝟐 : أكتب المعادلة التربعة الت جذر ا 2/د 98سؤال وزاري 𝟐 𝟐 − .

مجموع الجذرين الحل/ = 2 − + 2 − = − + + 2 +

= − 2

حاصل ضرب الجذرين = 2 − 2 − = 4 − 2 − 2 +

= −4 − 2 − 2 . +

= −3 − 2 + = −3 + 2

− المعادلة التزبيعية − 2 + −3 + 2 =


63

− 𝟑 : كون انمعادنة انتشبعة انت جزسها1/د99سؤال وصاسي 𝟐 𝟐

, 𝟐 −

𝟑 𝟐

i 3 انحم/ −

= 3 −

−

− = 3 + 2

2 i −

= 2 −

−

− = 2 + 3

مجموع الجذرين = 3 + 2 + 2 + 3 = 5 + 5 = 5 + = −5

حاصل ضزب الجذرين = 3 + 2 2 + 3

= 6 + 9 + 4 + 6

= −6 − 9 − 4 − 6 .

= − 3 − 6 − 6

= − 3 − 6 + = − 3 + 6 = −7

+ المعادلة التزبيعية 5 − 7 =

+ 𝟑 انحققته إرا عهمت أن: yو x: جذ قمت 1/د99سؤال وصاسي 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟎𝟎

𝟒+𝟑

+ 9 انحم/ 2 + 4 =

+

−

−

9 − 4 + 2 = −

+

9 − 4 + 2 = 32 − 24

9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 =

−

. 2

9 − 4(

) = 32 9 −

= 32

. ⇒ 9 − 6 = 32

9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 =

+ 9 أمايهمـــل 4 =

− أو 4 = = 4 = 22 =

−

= −

−2 =


64

= : إرا كان:1/د2000سؤال وصاسي 𝟐 + 𝟑 , = 𝟑 − 𝟐 , جذ قمة + 𝟐 𝟐 .

2 = انحم/ + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2

= 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6

+ 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =

) : جد لمة:1/د2000سؤال وزاري 𝟏

𝟏+ −

𝟏

𝟏+ 𝟐)𝟐

.

) الحل/

− −

− )

= − + = − 2 + = − 2 + .

= + − 2 = −2 − = −3

انحققته إرا عهمت: yو x: جذ قمة كم مه 2/د2000سؤال وصاسي

+ + − + = 3

+ انحم/ + − + = 3 + + − + = 3 +

+ = 3 . , − + = = + . . 2

+ + = 3 + + 2 + − 3 =

2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 =

+ 3 = = −3 = −3 + = −2

− 2 = = 2 = 2 + = 3

𝟑 : جذ قمة انمقذاس1/د2001سؤال وصاسي − 𝟐 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟐.

المقدار انحم/ = 9 − 2 + 4 + 9 − 2 + 4

= 8 − 2 − 8 + 4 . = 8 − 2 − 8 + 4

= 8 − 8 − 8 = 8 − 8 + = 8 + 8 = 26


65

: ضؤؤؤؤم انمقؤؤؤؤذاس 1/د2001سؤؤؤؤال وصاسي 𝟕+ 𝟑

𝟏+𝟐 𝟑 بانصؤؤؤاة انعادؤؤؤؤة نهعؤؤؤؤذد انمشكؤؤؤؤب اؤؤؤم جؤؤؤؤذ انمقؤؤؤؤاط وانقمؤؤؤؤة

األساسة نهسعة.

انحم/ +

+ =

+

+

−

−

= − + −

+ =

−

= − 3

المقياس = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 =

, i 𝜃 =

−

= 𝜃 القيمة األساسية للسعة 2 −

=

𝜃 تقغ في الزبغ الزابغ

𝟑 : ضؤؤؤم 1/د2002سؤؤؤؤال وصاسي + 𝟐 −𝟐 + بانصؤؤؤاة انعادؤؤؤة نهعؤؤؤذد انمشكؤؤؤب اؤؤؤم جؤؤؤذ و ؤؤؤش ان ؤؤؤشب

وبانصاة انعادة أ ا.

3 انحم/ + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 −

النظيز الضزبي =

− −

− +

− + =

− +

+ =

−

+

− 𝟑 : كون انمعادنة انتشبعة انت جزسها 2/د2001سؤال وصاسي 𝟐 , 𝟑 𝟐 − 𝟐 .

مجموع الجذرين انحم/ = 3 − 2 + 3 − 2 = 3 + − 4 = −3 − 4

حاصل ضزب الجذرين = 3 − 2 3 − 2 = 9 − 6 − 6 + 4

= 9 − 6 + − 4 = 5 + 6

− المعادلة التربيعية −3 − 4 + 5 + 6 =

= : اذا كان 2/د2002سؤال − 𝟑, ا, أكتب الشكل الجبري لهذا العدد ثم جد مماسه والممة 𝟏 عدداا مركبا

األساسة لسعته.

= الحل/ − 3 + الشكل الجبري

║ = 3 + = 4 = 𝜃 , المقياس 2 =−

, i 𝜃 =

= 𝜃 القيمة األسياسية للسعة −

6=5

6 𝜃 تقع في الربع الثاني


66

𝟏− : جد لمة 2/د2002سؤال وزاري + 𝟑 − 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟐 .

+ −] = الحل/ + 3 ][2 + + 3 ]

= + 3 −2 + 3 = 4 = 4 = 4

𝟐 : كون المعادلة التربعة الت جذر ا 1/د2002سؤال وزاري − 𝟑 , 𝟐 − 𝟑 𝟐 .

مجموع الجذرين الحل/ = 2 − 3 + 2 − 3 = 4 − 3 + = 4 + 3

حاصل الضرب = 2 − 3 2 − 3 = 4 − 6 − 6 + 9

= −5 − 6 + = −5 + 6

− 4 + 3 + −5 + 6 = المعادلة التربيعية

= : إذا كان 1/د2003سؤال وزاري 𝟏 − , = 𝟑 + + إثبت أن 𝟐 = + .

+ الحل/ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 −

+ = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 −

+ = +

𝟑: جد النظر الضرب للعدد المركب 1/د2003سؤال وزاري + ثم ضعه بالصورة العادة. 𝟓

النظير الضربي الحل/ =

+ =

+

−

− =

−

+ =

−

=

−

: جد لمة الممدار 1/د2003سؤال وزاري 𝟏

𝟑+𝟒 +𝟓 𝟐+

𝟏

𝟑+𝟓 +𝟒 𝟐 .

= الحل/

+ + − − +

+ + − −

=

+ − − +

+ − − =

− − +

− +

= − + + − −

− − − + =

− + − −

− + − =

−

− −

= −

− + =

−

= −


67

ا مماسه ) Z: إذا كان 2/د2003سؤال وزاري )( وسزعته 2عدداا مركبا

𝟑جزد كزال مزن الشزكل الزدكارت والجبزري (

لهذا العدد.

𝜃 الحل/ =

=

=

=

i 𝜃 =

i

=

=

= 3

= الشكل الجبري + 3

= الشكل الديكارتي , 3

− ): كون المعادلة التربعة الت جذر ا 1/د2004سؤال وزاري 𝟓

𝟐) , ( −𝟓

).

− الحل/

= −

= − 5 , −

= −

= − 5

مجموع الجذرين = − 5 + − 5 = −5 + + 2 = 5 + 2

حاصل ضرب الجذرين = − 5 − 5 = − 5 − 5 + 25

= − − 5 + + 25

= 24 + 5

− 5 + 2 + 24 + 5 = المعادلة التربيعية

𝟏 : جد الصغة العادة للعد المركب 1/د2004سؤال وزاري − 𝟑 𝟐+ 𝟐 − 𝟑

𝟐.

𝟑 − الحل/ + 2 − 𝟑

= − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3

= 5 − 6 𝟑 − 3 − 3

= − − 6 𝟑

𝟐 : جد لمة 2/د2004سؤال وزاري + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 .

المقدار الحل/ = 4 + 4 + + 4 + 4 + = 8 + 4 + + . +

= 8 − 4 + + = 4 − = 3


68

𝟑 : جد ناته 1/د2005سؤال وزاري + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 + بالصغة الدكارتة.

المقدار الحل/ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3

= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26

الصيغة الديكارتية 26,

− ): كون المعادلة التربعة الت جذرا ا 1/د2005سؤال وزاري 𝟑

) , ( −

𝟑

𝟐).

− الحل/

= −

= − 3 , −

= −

= − 3

مجموع الجذرين = − 3 + − 3 = −3 + + 2 = 3 + 2

حاصل الضرب = − 3 − 3 = − 3 − 3 + 9

= − − 3 + + 9 = 8 + 3

− المعادلة التربيعية 3 + 2 + 8 + 3 =

= : إذا كان 2/د2005سؤال −𝟏 + 𝟐 فجد 𝟐 + 𝟑 + بالصغة الدكارتة. 𝟓

+ 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5

= − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2

2, − الديكارتية الصيغة

: جد الجذر التربع للممدار 2/د2005سؤال وزاري 𝟏+ + 𝟐

𝟏− − 𝟐 .

الحل/ + +

− − =

+ +

− + =

−

+

−

−

= − − +

+ =

−

= −

= − نفرض + بالتربيع⇒ − = − + 2

− = . . , 2 = − =−

. 2

−

=

.

⇒ 4 − = 2 − 2 + =

+ 2 أما = يهمل

− 2 أو = 2 = =

= 8

=

−

=−

−

=

− = 8

−

−

+


69

ا مماسه ) z: إذا كان 1/د2006سؤال وزاري )( وسعته االساسة 4عددا مركبا𝟓

𝟔فجد كال من الشكل الدكارت (

.z د والشكل الجبري للعد

الحل/

=

−

=

2 = −4 3 = −2 3

i

=

=

2 = 4 = 2

= الشكل الجبري −2 3 + 2

= الشكل الديكارتي −2 3, 2

𝟓: كون المعادلة التربعة الت جذرا ا 1/د2006سؤال وزاري + 𝟐 , 𝟓 + 𝟐 𝟐.

مجموع الجذرين الحل/ = 5 + 2 + 5 + 2 = + 2 + = − 2

حاصل الضرب = 5 + 2 5 + 2 = 25 + + + 4

= 25 + + − 4 = 2 −

− − 2 + 2 − = المعادلة التربيعية

+ 𝟐 الحممتن من المعادلة: yو x: جد لمت 1/د2006سؤال وزاري + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗 .

+ 2 الحل/ 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9

2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 =

4 + = 9 . 2

4 +

= 9

. ⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 =

4 − − 2 =

− 4 أما = 4 = =

4 =

2

4

= 8

− أو 2 = = 2 =2

2 =


70

𝟑 : كون المعادلة التربعة الت جذرا ا 2/د2006سؤال وزاري − 𝟐 , 𝟑 − 𝟐 𝟐 .

مجموع الجذرين الحل/ = 3 − 2 + 3 − 2 = 6 − 2 + = 6 + 2

حاصل الضرب = 3 − 2 3 − 2 = 9 − 6 − 6 + 4

= 9 − 6 + − 4 = 5 + 6

− 6 + 2 + 5 + 6 = المعادلة التربيعية

الحممتن إذا علمت أن: yو x: جد لمت 2/د2006سؤال وزاري

3 − 2 + + = 7

+ 6 الحل/ 3 − 2 − + = + 7

6 + 2 + 3 − 2 = + 7

6 + 2 = ⇒ = −2 =

−

. .

3 − 2 = 7 . 2

3 − 2 (−

) = 7

. ⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 =

3 − 4 − =

3 − 4 = 3 = 4 =

=

−

=−

=

−

− = = =−

= −2

𝟑: جد الجذر التربع للعدد 1/د2007سؤال وزاري + 𝟒 .

3 نفرض الحل/ + 4 = + بالتربيع

3 + 4 = − + 2

− = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 =

2

. . 2

−4

= 3

. ⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =

− 4 = = 4 = {2 =

−2 = −

3 + 4 = ,2 + −2 −


71

𝟏): جد لمة 1/د2007سؤال وزاري −𝟏

+ )(𝟏 −

𝟏

𝟐+ 𝟐).

المقدار = ( −

+ ) ( −

+ ) = − + − +

= [ + − ][ + − ] = − − − −

= −2 −2 = 4 = 4

): جد المماس والسعة األساسة للعدد المركب 2/د2007سؤال وزاري 𝟐

𝟏+ ).

الحل/

+ =

+

−

− =

−

=

+

= + = +

المقياس = + = 2 , 𝜃 =

, i 𝜃 =

𝜃 =

𝟏 : جد المماس والممة األساسة للسعة للعدد المركب 1/د 2008سؤال وزاري + 𝟑 𝟐

.

+ الحل/ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3

المقياس = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 =−

=

−

, i 𝜃 =

=

= −

=

تقع في الربع الثاني

+ 𝟑: أكتب المعادلة التربعة الت جذرا ا 1/د2008سؤال وزاري

, 𝟑 𝟐 +

𝟐 .

+ 3 الحل/

= 3 +

= 3 +

3 +

= 3 +

= 3 +

المجموع = 3 + + 3 + = 3 + + + = −3 −

حاصل الضرب = 3 + 3 + = 9 + 3 + 3 +

= 9 + 3 + 3 . −

= 8 + 3 + = 8 − 3

− −3 − + 8 − 3 = المعادلة التربيعية


72

الحممتن واللتان تحممان المعادلة yو x : جد لمت 2/د2008سؤال وزاري

+ 5 = 2 + +

+ الحل/ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3

= 2 − . , 5 = 3 =

= 2 (

) − =

− =

−

=

= 4

𝟏 : جد لمة الممدار 1/د2009سؤال وزاري + 𝟒 − 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 𝟐 𝟐 .

المقدار الحل/ = [ + ] − [5 + + 3 ]

= [ + 2 + ] − [−5 + 3 ] = 4 − 4

= −4 − 4 = −4 + = 4

: جد الجذر التربع للعدد:1/د2009سؤال وزاري 𝟏𝟒+𝟐

𝟏+ .

الحل/ +

+ =

+

+

−

−

= − + −

=

−

= 8 − 6

8 نفرض − 6 = + بالتربيع⇒ 8 − 6 = − + 2

− = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 =

−

. 2

−9

= 8

. ⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + =

يهمل

− 9 = = 9 = {3 = − −3 =

8 − 6 = ,3 − −3 +


73

𝟒 : حل المعادلة 2/د2009سؤال وزاري + 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟑𝟔 = عدد مركب. zحث 𝟎

+ الحل/ 9 + 4 =

+ 9 = = −9 = 9 = 3

+ 4 = = −4 = 4 = 2

مج = {−2 , 2 , −3 , 3 }

+ 𝟐): جد لمة الممدار 2/د2009سؤال وزاري 𝟑

+ 𝟐)

𝟐

(𝟓 +𝟐

𝟐+ 𝟓 𝟐)

𝟐 .

المقدار = (2 +

+ 2)

(5 +

+ 5 )

= 2 + 3 + 2 5 + 2 + 5

= [2 + + 3 ] [5 + + 2 ]

= [−2 + 3 ] [−5 + 2 ]

= −3 = . 9 = 9 = 9 = 9 = 9

الحممتن واللتان تحممان المعادلة: yو x: جد لمت 1/د2010سؤال وزاري

+ 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓

− الحل/ 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5

+ 6 = 2 = 6 =

.

−2 + 3 = 5 2

−2 + 3(

) = 5

. ⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 =

2 + 9 − 2 =

2 + 9 = 2 = −9 =−

=

=−

= =

−

− 2 = = 2 =

= = 3


74

): جد لمة 1/د2010سؤال وزاري 𝟐

+ 𝟑 𝟐 + 𝟐)

𝟐

(𝟏

+ 𝟒 + 𝟏) .

= الحل/ (

+ 3 2 + 2)

(

+ 4 + )

= 2 + 3 2 + 2 + 4 +

= [ 2 + + 3 2 ] [ + + 4 ]

= − 2 + 3 2 − + 4

= 2 2 3 8 3 = 24 = 24

= حث z: جد الجذرن التربعن للعدد المركب 2/د2010سؤال وزاري −𝟏 + 𝟕 𝟏 +

= الحل/ − − + 7 + 7 = −8 + 6

8− نفرض + 6 = + بالتربيع⇒ −8 + 6 = − + 2

− = −8 . , 2 = 6 = 3 =

. . 2

− (

) = −8 −

= −8

. ⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 =

+ 9 − =

+ أما 9 = يهمل

− أو = = = { = 3

− = −3

−8 + 6 = , + 3 − − 3


75

: أكتب المعادلة التربعة الت جذرا ا2/د2010سؤال وزاري 𝟐

𝟏+𝟐 𝟐 ,

𝟏+𝟐 .

مجموع الجذرين الحل/ =

+ +

+ =

+ + +

+ +

= + + +

+ + +

= + + +

+ + + =

+ +

+ + =

−

− =

=

حاصل ضرب الجذرين =

+ 2

+ 2 =

+ 2 + 2 + 4 =

5 + 2 + =

3

− +

= المعادلة التربيعية

: إذا كان 1/د2012سؤال وزاري 𝟐+

𝟑− ,

𝟓

+ الحممتن. y ,xمترافمن, جد لمت

الحل/

+ =

−

+ 2 − + = 5 + 5 + =

+

−

+

+

+ = + + +

+ + =

+

= 5 , = 5 + = 5 + 5

𝟏 ضع بالصغة العادة للعدد المركب الممدار : : 2/د2012سؤال وزاري + 𝟓 + 𝟏 − 𝟓

الحل/

𝟏 + 𝟓 − 𝟏 − 𝟓 = [ 𝟏 + 𝟐]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐]𝟐 𝟏 −

= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 −

= 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 −

= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −

= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖

𝟏 جد لمة : : 1/د2013سؤال وزاري − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑

𝟏 بصغة أثبت (13)الحل/ ذا السؤال محلول ف الصفحة − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒

𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ]

= 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒


76

: 3/د2013سؤال وزاري

𝟐 أذا كان = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟏 وضح ف شكل أرجاند 𝟒 + 𝟐

الحل/

𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒

𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐

𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔

𝟑 √للممدار : للجذور الخمسة جد الصغة المطبة: 1/د2014سؤال وزاري + 𝟐𝟓

= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐

=

=

‖ ‖= 𝟑

𝟐 =

=𝟏

𝟐 =

𝟔

= 𝟐 (

𝟔+

𝟔) 𝟐 = 𝟐𝟐 (

𝟔+

𝟔)𝟐

𝟐 = 𝟒(

𝟑+

𝟑)

𝟐 𝟏𝟓 = 𝟒(

𝟏𝟓) (

𝟑+

𝟑)

𝟏𝟓= 4

4 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓7 + i i 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓75

= 4

6 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

5 + 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

57

𝟐𝟓

= 𝟒𝟓

[ ( + 𝟔

𝟏𝟓) + (

+ 𝟔

𝟏𝟓)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

= 𝟎 𝟏 = 𝟒𝟓

𝟏𝟓+

𝟏𝟓

= 𝟏 𝟐 = 𝟒𝟓

𝟕

𝟏𝟓+

𝟕

𝟏𝟓

= 𝟐 𝟑 = 𝟒𝟓

𝟏𝟑

𝟏𝟓+

𝟏𝟑

𝟏𝟓

= 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟓

𝟏𝟗

𝟏𝟓+

𝟏𝟗

𝟏𝟓

= 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟓

𝟐𝟓

𝟏𝟓+

𝟐𝟓

𝟏𝟓 = 𝟒

𝟓

𝟓

𝟑+

𝟓

𝟑


77

) اثبت ان: 2/د2014سؤال وزاري 𝟓 𝟐 −𝟏

𝟓+ )𝟔

= −𝟏

الحل/

.𝟓 𝟐 − 𝟏

𝟓 + /

𝟔

= .𝟓 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 𝟑

𝟓 + /

𝟔

= .𝟓 𝟐 + 𝟐 𝟑

𝟓 + /

𝟔

= . 𝟐 𝟓 +

𝟓 + /

𝟔

= 𝟐 𝟔 = 𝟏𝟐 𝟐 = −𝟏

= جد الصغة المطبة للعدد المركب : 3/د2014سؤال وزاري 𝟓 − 𝟓

الحل/

= ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐

=

‖ ‖=

𝟓

𝟓 𝟐 =

𝟏

𝟐 , =

‖ ‖=

−𝟓

𝟓 𝟐 =

−𝟏

𝟐

= 𝟐 −

𝟒 =

𝟕

𝟒 الربع الرابع

= 𝟓 𝟐 𝟕

𝟒+

𝟕

𝟒

عبر عن العدد بالصغة المطبة : 2/د2015سؤال وزاري 𝟏−𝟑 𝟐

𝟏− − 𝟐

الحل/

= 𝟏 − 𝟑 𝟐

𝟏 − − 𝟐 =

𝟏 + 𝟑

𝟏 − + 𝟐 =

𝟒

𝟏 + =

𝟒

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − =

𝟒 − 𝟒

𝟐 = 𝟐 – 𝟐

= 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 + −𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟒 = 𝟖 = 𝟐 𝟐

=

=

𝟐

𝟐 𝟐=

𝟏

𝟐 , =

=

−𝟐

𝟐 𝟐 =

−𝟏

𝟐

والسعة تمع بالربع الرابع

𝟒 زاوة االسناد ى

= = 𝟐 −

𝟒 =

𝟕

𝟒

= + = 𝟐 𝟐 ( 𝟕

𝟒 +

𝟕

𝟒) الصورة القطبية


78

𝟐 اذا كان : 2/د2015سؤال وزاري − – 𝟐 𝟐 و أحد جذري المعادلة 𝟒 – + – 𝟔 = 𝟎 , , معامالتها حممة , جد لمت

بما ان المعامالت حممة فان الجذران مترافمان الحل/

= 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒

+ = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒

. = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎

𝟐 – 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎 .𝟐 ⇒ 𝟐 𝟐 – 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎

+ 𝟏 – 𝟐 𝟐 بالمقارنة مع + − 𝟔 = 𝟎

𝟏 + = 𝟖 = 𝟕

– 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔

: 3/د2015سؤال وزاري 𝟑 جد مجموعة حل المعادلة ف مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دموافر : − 𝟖 = 𝟎

الحل/

𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟖 * (

𝟐) + (

𝟐 بالجذر التكعيبي +(

= 𝟐. (

𝟐) + (

𝟐)/

𝟏𝟑

= 𝟐 6 4

𝟐 + 𝟐

𝟑5 + 4

𝟐 + 𝟐

𝟑57

= 𝟐 6 4

+ 𝟒 𝟐𝟑

5 + 4

+ 𝟒 𝟐𝟑

57 = 𝟐 [ ( + 𝟒

𝟔) + (

+ 𝟒

𝟔)]

= 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 =𝟐 * (

𝟔) + (

𝟔)+ = 𝟐 0

𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 = 𝟑 +

= 𝟏 =𝟐 [ (𝟓

𝟔) + (

𝟓

𝟔)] = 𝟐 0

− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 =− 𝟑 +

= 𝟏 =𝟐 [ (𝟗

𝟔) + (

𝟗

𝟔)] = 𝟐[𝟎 − ] =−𝟐

{ 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + مجموعة الحل للمعادلة هي {


79

𝟓) أثبت أن: : 1/د2016سؤال وزاري −𝟓

𝟐+𝟏+

𝟑

𝟐)𝟔= 𝟔𝟒 .

الحل/

الطرف األيمن = (𝟓 −𝟓

𝟐+𝟏+

𝟑

𝟐)𝟔

= (𝟓 −𝟓

− +

𝟑

𝟐)𝟔

= .𝟓 +𝟓 𝟑

+𝟑 𝟑

𝟐/

𝟔

= 𝟓 + 𝟓 𝟐 + 𝟑 𝟔 = [𝟓 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 ]𝟔

= [𝟓 − + 𝟑 ]𝟔 = [−𝟐 ]𝟔 = 64 = 64 𝟑 = 64 𝟏 = 64

. 𝟖بأستخدام مبر نة دموافر , جد الجذور التكعبة للعدد : 1/د2016سؤال وزاري

الحل/

= 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖

=

=

‖ ‖=𝟎

𝟖= 𝟎 , =

=𝟖

𝟖= 𝟏 =

𝟐 الربع االول

𝟑

= 𝟖𝟑

= 𝟖 (𝟏𝟑) = (

𝟏𝟑) + (

𝟏𝟑) = 𝟖 (

𝟏𝟑) (

𝟐+

𝟐)(𝟏𝟑)

𝟑

= 𝟖𝟑

4 4

𝟐 + 𝟐

𝟑5 + 4

𝟐 + 𝟐

𝟑55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 = 2[ (

6) + (

6)] = 𝟐 0

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐1 = 𝟑 +

= 𝟏 = 2[ (5

6) + (

5

6)] = 𝟐 * ( −

6) + ( −

6)+

= 𝟐 *− (

6) + (

6)+ = 𝟐 0

− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 = − 𝟑 +

= 𝟐 = 2[ (9

6) + (

9

6)] = 𝟐 [ (

3

2) + (

3

2)] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐


80

أسئلة حول األعداد المركبة

أعداد حممة, جد السعة للعدد المركب a ,b( حث bi +3( أحد الجذرن التربعن للعدد )i – aإذا كان )/ 1س

= 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗

𝟐أثبت أن: /2س + −𝟒

−

𝟑

𝟐= 𝟓

𝟏 أن العددن ل / 3س − 𝟔 − 𝟐 𝟐 , 𝟐 − − مترافمتان. 𝟐 𝟓

جد ناته ما ل : / 4س

𝟏 + 𝟑 𝟓− 𝟏 + 𝟑

𝟓

𝟐 √ 𝟓 + 𝟕

𝟏

𝟏 − 𝟔

𝟒 𝟏 + 𝟖 𝟑

𝟓 للعدد أوجد الجدور التربعة /5س + 𝟏𝟐

= أذا كان /6س + . , جد لمة 𝟐 عدد مركب مماسه 𝟑

+ إذا كان /7س =𝟐+

𝟏− 𝟑 ]𝟐فأثبت أن + 𝟑] = 𝟕

𝟏 أذا كان / 8س + + التربعة للعدد المعادلة و أحد الجذور , فجد لمت 𝟒

𝟏 / العدد المركب 9س − 𝟐 و أحذ جذور المعادلة 𝟐 − 𝟐 − + − 𝟕 = , فجد لم 𝟎

𝟐 بأستخدام مبر نة دموافر , حل المعادلة /10س + 𝟐𝟕 = ℂ حث 𝟎

ℂ بطرمتن مختلفتن ف المجموعة التالة حل المعادالت /11س

𝟑 − 𝟖 = 𝟎

𝟐 𝟑 − 𝟖 = 𝟎

𝟏

𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟎

𝟒 𝟑 + 𝟔𝟒 = 𝟎

𝟑

أحسب بأستخدام مبر نة دموافر كالا مما أت : /12س

𝟑 − 𝟕 −𝟏 + 𝟕 𝟏 + 𝟓

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد

81

المطوع المخروطة/الفصل الثان

مستمم ثابت ف 𝟎 نمطة ثابتة ف المستوي ولكن (𝟏 𝟏 )لكن : المطع المخروط

الى بعدها عن المستمم (𝟏 𝟏 )مجموعة كل النماط الت نسبة بعد كل منها عن النمطة لذا فانالمستوي نفسه

هو مجموعة النمط أو تكون شكل هندس سمى بالمطع المخروط ( )تساوي عدد ثابت 𝟎

الت بعدها عن نمطة معلومة ساوي بعدها عن مستمم معلوم

: مفاهم أساسة تعن بها وه حث ان لكل شكل مخروط عدة

( )تسمى بإرة المطع المخروط (𝟏 𝟏 )النمطة الثابتة ①

( )سمى دلل المطع المخروط 𝟎 المستمم الثابت ②

حث أذا كان ( )تسمى باالختالف المركزي ( )النسبة ③

( 𝟏) (𝟏 ) نوع القطع مكافئ نوع القطع ناقص ( 𝟏) نوع القطع زائد

| 𝟐|المسافة بن البإرة والدلل = ④

تسمى (𝟎 ) ةثابت نمطةف المستوي والت كون بعدها عن ( ) هو مجموعة النمط : كافئالمطع الم

والذي سمى الدلل وهو ال حتوي البإرة ( ) مساوآ دائمآ لبعدها عن مستمم معلوم 𝟎 البإرة حث

ون بعدها عن نمطة معلومة مساوا لبعدها عن مستمم كهو مجموعة من النمط داخل مستوي والت أو بمعنى أخر

. معلوم

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور السنات

باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باستخدام

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏

( من تعرف القطع المكافئ )

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذذذرأس فذذذ x-axis) ) الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذ لمحذذذور السذذذناتهذذذ المعادلذذذة الماسذذذة للمطذذذع المكذذذافئ هذذذذ و

ومعادلذذذذة دللذذذذه (𝟎 ) بإرتذذذذه بذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حذذذذث "O"تسذذذذمى النمطذذذذة حذذذذثنمطذذذذة األصذذذذل

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات حث 𝟎 𝟒


82

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(yمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور الصادات

باستخدام التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏


√( 𝟎)𝟐 ( )𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذرأس فذ نمطذة ) )ات صذادوهذ ه المعادلة الماسة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذ لمحذور ال

حذث 𝟎 ومعادلة دلله ( 𝟎) برأس المطع المكافئ حث بإرته "O"األصل حث تسمى النمطة

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات 𝟒

أحداهما عندما كون على (𝟎 𝟎)نالحظ مما سبك انه وجد معادلتن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل

.والجدول أدنا وضح ذلن ور الصادي حالمحور السن واألخرى عندما كون على الم

( )عىذما كن عه محر انصاداخ ( )عىذما كن عه محر انسىاخ

( )البإرة تنتم لمحور الصادات ① ( )انثؤرج تىتم نمحر انسىاخ ①

ومعادلة الدلل ( 𝟎) البإرة ② معادنح انذنم (𝟎 ) انثؤرج ②

𝟎 معادلة محور المطع ه③ 𝟎 معادنح محر انمطع ③

المحور السن وازيالدلل ④ انمحر انصاد اسانذنم ④

التناظر حول محور الصادات⑤ انتىاظز حل محر انسىاخ⑤

نصف الدللالمحور الصادي ⑥ المحور السن نصف الدلل⑥

𝟐 المانون ⑦ 𝟐 المانون ⑦ 𝟒 𝟒

: مالحظات عامة أشار البإرة عكس أشار الدلل والعكس صحح ❶

2p= المسافة بن البإرة والدلل ❷

كل نمطة تنتم للمطع المكافئ فه تحمك معادلته )أي أن المطع المكافئ مر بها ( ❸

المكافئ بعدها عن البإرة ساوي بعدها عن الدللكل نمطة تنتم للمطع ❹

𝟐 )رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممز الخاصة به ه ❺ 𝟒 𝟎) الجدول أدنا وضح تفاصل أكثر عن معادالت المطع المكافئ ❻

المعادلة البإرة الدلل المحور أتجا المطع التناظر

x-axis المن x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒 x-axis السار x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒

y-axis األعلى y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒 y-axis األسفل y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒


83

𝟐 ئ جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكاف /(1(مثال 𝟖

𝟐 الحل / 𝟖

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقاست) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟐 )

𝟐 معادنت اندنم

. والرأس ف نمطة األصل (3,0)ة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته جد معادل/(2(مثال

𝟔 𝟐الدلل ب ( معادلة ورأسه ف نمطة األصل . 𝟎

(𝟎 ) أ ( الحل / البؤرة (𝟎 𝟑)

𝟑 𝟐 ( انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

___________________________

𝟔 𝟐 ب ( معادلة الدلل 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

𝟐 بإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ جد /(3(مثال ثم أرسمه 𝟒

الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒

𝟒 𝟒 𝟒

𝟒 𝟏

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟏)

𝟏 معادنت اندنم

𝟐 4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√

𝟐 𝟏 𝟎

𝟐√ 2 𝟎


84

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟑√)المكافئ أذا علم أن بإرته جد معادلة المطع بؤستخدام التعرف /(4(مثال

ولذذتكن النمطذذة نمطذذة تنتمذذ الذذى منحنذذ المطذذع المكذذافئ ( ) ولذذتكن النمطذذة (𝟎 𝟑√) البذذإرة الحذذل /

فمن تعرف المطع المكافئ على الدلل ( )نمطة تماطع العمود المرسوم من ه ( 𝟑√ )


√( √𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( √𝟑)

𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

( √𝟑 )𝟐 𝟐 ( √𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟑√𝟒

𝟐 𝟑 جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ /(5(مثال 𝟐𝟒 𝟎

الحل /

𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐 ( وقسم طرف انمعادنت عهى 𝟑) 𝟐𝟒

𝟐 𝟖 𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

(𝟎 ) انبؤرة (𝟐 𝟎)

𝟐 معادنت اندنم

. ف نمطة األصل هرأسو (𝟓 𝟎)جد معادلة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته /(6(مثال ورأسه ف نمطة األصل . 𝟕 ب ( معادلة الدلل

( 𝟎) أ ( الحل / البؤرة (𝟓 𝟎)

𝟓 𝟐 ( انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

___________________________

( بانمقاروت مع معادنت اندنم) 𝟕 ب (

𝟕 𝟐 ( انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟕) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟖


85

ورأسه نمطة األصل ( 𝟒 𝟐) (𝟒 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ الذي مر بالنمطتن /(7(مثال

الحل /

ثابتة لم تتغر ( النمطتان متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة 𝟐 انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ 𝟒

(𝟒 𝟐)وعض أحذ انىمطته انهته تحممان معادنح انمطع انمكافئ ألو مز تا نتكه انىمطح

(𝟒)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔

𝟖 𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟖

(𝟓 𝟑)جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر دلل المطع المكافئ بالنمطة /(8(مثال

الحل/

ما : االحتمانهتحذذ انثؤرج , وجد أحتمالن للمعادلة الماسة للمطع المكافئ لعدم

ثانا : البإرة تنتم لمحور السنات أوال : البإرة تنتم لمحور الصادات

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟓

𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟓)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

المكافئ:للمطع المحاور انسحاب

Ⓘ محري اس محر انسىاخ ( )الذي رأسه النمطة المكافئالمعادلة الماسة للمطع( )

انعىصز االوسحابلثم االوسحابتعذ

انثؤرج (𝟎 ) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒


86

انسانة نمحر انسىاخ الحع انزسم أدواي انماوه انخاصح : تاالتجايمكه أن تكن فتحح انمطع انمكافئ


انثؤرج (𝟎 ) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒

( )محري اس محر انصاداخ ( )المعادلة الماسة للمطع المكاف الذي رأسه النمطة ②


انثؤرج ( 𝟎) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒

األسفم نمحر انصاداخ الحع انزسم أدواي انماوه انخاصح : تاالتجايمكه أن تكن فتحح انمطع انمكافئ


انثؤرج ( 𝟎) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒

الفروق بن المعادالت بن كال المحورن والجدول أدنا وضح

( )عىذما كن عه محر انصاداخ ( )عىذما كن عه محر انسىاخ

ومعادلة الدلل ( ) البإرة ① معادنح انذنم ( ) انثؤرج①

الدلل وازي المحور السن ② انذنم اس انمحر انصاد②

األحداث الصاديالرأس والبإرة معان على ③ معان على األحداث السن الرأس والبإرة③

( ) الرأس ④ ( ) انرأس ④

𝟐( )المانون ⑤ 𝟐( ) لمانونا⑤ ( ) 𝟒 𝟒 ( )

المحور معادلة⑥ المحور معادلة⑥


87

مالحظح :

(انرأس) انزأص مىتصف انثعذ ته انثؤرج انذنم أ أن (انبؤرة) (دنهه)

𝟐(انرأس) كذنك

(انبؤرة) (دنهه)

𝟐

𝟐(𝟏 ) مه معادنح انمطع انمكافئ /(9(مثال , معادنح معادنح انمحر , انثؤرج , عه انزأص (𝟐 )𝟒

انذنم

𝟐( ) تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ الحل/ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟐 𝟏 ( ) انرأس (𝟏 𝟐)

𝟒 𝟒 𝟏 𝑭(𝒑 𝒉 𝒌) 𝑭(𝟏 𝟐 𝟏) 𝑭(𝟑 𝟏 ( انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟏

𝒙 معادنت اندنم 𝟏 𝟐 𝟏

𝟐 نالش المطع المكافئ /(10(مثال 𝟒

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟒) نضف الحل/

𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 ( 𝟐)𝟐 ( بانمقاروت مع المعادلة القاسة للقطع المكافئ )

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 𝟒 ( ) انرأس (𝟒 𝟐 )

𝟒 𝟏 𝟏

𝟒 F(ℎ 𝑝 𝑘) 𝐹 2

𝟏

𝟒 4 𝐹 2

15

4 𝐹 2 3

3

4 انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟐

𝐲 𝟏

𝟒 𝟒

𝟏 𝟏𝟔

𝟒

𝟏𝟕

𝟒 𝟒

𝟏

𝟒 معادنت اندنم


88

(𝟐 تمارين(𝟏

:جد المعادلة للمطع المكافئ ف كل مما ؤت ثم أرسم المنحن البان لها /1 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟓)البإرة ) أ (

الحل/

(𝟓 𝟎)

𝟓 𝒙 معادنت اندنم 𝟓

𝒚 𝟒 𝟐 𝒚 𝟒(𝟓) 𝟐 𝒚 𝟐 المعادلة القاسة 𝟐𝟎

𝟐 𝟏 𝟎

2√1 2√5 𝟎

والرأس ف نمطة األصل (𝟒 𝟎)البإرة ) ب (

الحل/

(𝟎 𝟒)

𝟒 y معادنت اندنم 4

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒(𝟒) 2 𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟏𝟔

4√2 4 𝟎

2 1 𝟎

والرأس ف نمطة األصل ( 𝟐√ 𝟎)البإرة ) ج (

الحل/

(𝟎 √𝟐 )

√𝟐 y معادنت اندنم 𝟐√

𝑥 𝟒 2 𝑥 2 المعادلة القاسة (𝟐√)𝟒

2√2 2√√𝟐

𝟎

√𝟐 1 𝟎


89

𝟑 𝟒 معادلة دلل المطع المكافئ ) د ( والرأس ف نمطة األصل 𝟎

الحل/

𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y 3

4معادنت اندنم

p 3

4 F

3

4 البؤرة

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒 23 4

𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟑

√6 √𝟑 𝟎

𝟐 1 𝟎

:ف كل مما ؤت جد البإرة والرأس ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ /2 س

( ) 𝟐 𝟒

الحل/

𝟒 𝟒 𝑝 1 البؤرة(𝟏 𝟎)

( معادلة المحور) 𝟎 ( معادلة الدلل) 𝟏 الرأس(𝟎 𝟎)

( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟎

الحل/

𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟖 𝟒

𝟏

𝟖 p

𝟏

𝟑𝟐 (

𝟏

𝟑𝟐 𝟎) البؤرة

( معادلة المحور) 𝟎 𝟏

𝟑𝟐( معادلة الدلل) الرأس(𝟎 𝟎)

( ) 𝟐 𝟒( 𝟐)

𝟐( )تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ الحل/ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟐 𝟎 ( ) انرأس(𝟎 𝟐)

𝟒 𝟒 𝟏 𝐅 ( 𝒑 𝒉 𝒌) �� 𝟏( 𝟐 𝟎) ��( 𝟏 𝟎 ( انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟎

𝒙 معادنت اندنم 2 𝟏 3


90

( ) ( 𝟏)𝟐 𝟖( 𝟏)

𝟐( )انمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ ت الحل/ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏)

𝟒 𝟖 𝟐 𝐅 (𝒉 𝒑 𝒌) ��(𝟏 𝟐 𝟏 ) ��(𝟏 𝟑 ( انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟏

y 𝟐 معادنت اندنم 𝟏 1

1د / 2012سار

( ) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔

𝟐 ) ف الطرف األخر ( ) ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/ 𝟒 𝟐 𝟔)

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟒) نضف

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟔 𝟒 (𝒚 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐

(𝒚 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟏 )𝟐

𝟐( )تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟏 𝟐 ( ) انرأس(𝟐 𝟏 )

𝟒 𝟐 𝟏

𝟐 𝐅 ( 𝒑 𝒉 𝒌) ��

𝟏

𝟐 𝟏 𝟐 ��

𝟑

𝟐 𝟐 انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟐

𝒙𝟏

𝟐 1

معادنت اندنم

1

2


91

( ) 𝟐 𝟔 𝟎

𝟐 ) ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/ 𝟔 )

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟗)نضف

𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 (𝒙 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟗 )


𝟑 𝟗 ( ) انرأس(𝟗 𝟑 )

𝟒 𝟏 𝟏

𝟒 F (ℎ 𝑝 𝑘) 𝐹 3

𝟏

𝟒 9 𝐹 3

𝟑𝟓

𝟒 انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟑

y 𝟏

𝟒 9

1 36

4

𝟑𝟕

𝟒معادنت اندنم

والرأس ف نمطة األصل (𝟓 𝟐) (𝟓 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتن /3 س

𝟐 )والمانون البإرة تنتم لمحور السنات نمطتان متناظرتان حول المحور السنال ∵ الحل/ 𝟒 )

ونعوضها ف المعادلة الماسة (𝟓 𝟐)النمطة نؤخذ لذاالمطع المكافئ مر بهما المعادلة الن انالنمطتان تحمم

(𝟓)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑 𝟐𝟓

𝟖

𝟐 𝟒 𝟒 25

8 𝟐

𝟐𝟓

𝟐معادلة القطع المكافئ

والذرأس فذ نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه (𝟒 𝟑 )أذا كان دلل المطذع المكذافئ مذر بالنمطذة /4 س

تنتم ألحد المحورن

(𝟒 )والثان (𝟑 )هنان دلالن هما األول (𝟒 𝟑 )الدلل مر بالنمطة ∵ الحل/

ان هنان لطعان مكافئ

) البإرة تنتم لمحور السنات( المطع المكافئ األول 𝟑 𝟑

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐

ات(الثان ) البإرة تنتم لمحور الصادالمطع المكافئ 𝟒 𝟒

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟒) 𝟐 𝟏𝟔


92

𝟐 لطع مكافئ معادلته /5 س ثم جد بإرته ودلله ثم أرسم المطع Aجد لمة (𝟐 𝟏)بالنمطة مر 𝟎 𝟖

( 𝟐 𝟏)النمطة بالمطع المكافئ مر ∵ الحل/

𝟐 ) تحمك معادلة المطع المكافئ ( 𝟐 𝟏)النمطة 𝟖 𝟎)

(𝟏)𝟐 𝟖(𝟐) 𝟎 A 16 𝟐 𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔) 16

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

𝟐 ( 𝟐 (بالمقارنة مع المعادلة القاسة 𝟒

𝟒𝒑𝟏

𝟐 𝒑

𝟏

𝟖

F( 𝑝) F 𝟏

𝟖 البؤرة

𝟏

𝟖 معادلة الدلل

y x

0 0

𝟏

𝟏

√𝟐

𝟐 1

:باستخدام التعرف جد معادلة المطع المكافئ /6 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟕)البإرة ) أ (

الحل/

𝟕 𝒙 𝟕 معادلة الدلل

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟕)𝟐 (بتربع الطرفن) 𝟐( )

( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 ( 𝟕)𝟐

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟐𝟖



93

والرأس ف نمطة األصل 𝟑√ معادلة الدلل ) ب (

الحل/

√𝟑 𝑝 √𝟑

(𝟎 ) البؤرة (𝟑√ 𝟎)

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟎)𝟐 ( √𝟑)𝟐 √( )𝟐 ( √𝟑)

𝟐 (بتربع الطرفن)

𝟐 ( √𝟑)𝟐 ( √𝟑)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 𝟐√𝟑 𝟐√𝟑 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟑√𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة (𝟐 𝟏 )والذي رأسه (𝟏𝟎 𝟏𝟑 ) (𝟏𝟎 𝟏𝟏)الذي مر بالنمط المكافئ المطع معادلة جد/ مثال

( ) لمة المحور الصادي للنمطتن ثابتة وهذا دل على أن محور التماثل هوالحل /

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏𝟑 𝟏𝟏

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝒙 1

𝟐( ) وهذا عن أن المانون هو محور التماثل وازي المحور الصادي أن نالحظ 𝟒 ( )

( 𝟏)𝟐 صغة معادلة القطع المكافئ (𝟐 ) 𝟒

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟏𝟎 𝟏𝟏)النمطة

(𝟏𝟐)𝟐 𝟒 ( 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 𝟒 p 3 ( الفتحة الى األسفل)

( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟑)( 𝟐) ( 𝟏)𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟐 )𝟏𝟐


94

𝟐 ) المكذذذافئ للمطذذع تنتمذذذ (𝟎 𝟎) (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟏𝟐 ) الذذنمط /مثذذال أحذذذداث جذذد (

البإري والبعد والرأس الدلل ومعادلة البإرة

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟎 𝟎)لنمطة ا الحل /

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟔 𝟒)النمطة

𝟔 𝟏𝟔 𝟒 ] ( 𝟐) ( معادلة ) 𝟑 𝟐 𝟖

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟔 𝟏𝟐 )لنمطة ا

𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐 ] ( 𝟔) ( معادلة ) 𝟏 𝟐 𝟐𝟒

نحل المعادلتن حال أنا فنحصل على :

𝟑𝟐 𝟒 𝟏

𝟖 8

𝟏

𝟖 𝟐 𝟑 1 2b 3 2b 2 b 1

𝟏

𝟖 𝟐 𝟖 𝟐 𝟖 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖 𝟖

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏𝟔)بإضافة

𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔 (𝒙 𝟒) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐 (𝒙 𝟒) 𝟖( 𝟐) 𝟐


𝟒 𝟐 ( ) انرأس(𝟐 𝟒 )

𝟒 𝟖 𝟐 F(ℎ 𝑝 𝑘) 𝐹( 4 𝟐 𝟐 ) 𝐹( 4 انبؤرة )

معادنت انمحىر 𝟒

y 𝟐 معادنت اندنم 𝟐 4

انبعد انبؤري 𝟒 𝟖


95

: نمطة األصل وحمك الشروط التالة جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه /مثال

(𝟎 𝟓)بإرته (1)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور السنات /انحم 𝟒

( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 𝟎

(𝟑 𝟎)بإرته (2)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

𝟔 𝟐معادلة دلله (3) 𝟎 /انحم

𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 البؤرة (𝟑 𝟎) 𝟑

𝟐 𝟒

𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟏𝟐

𝟐√)مر بالنمطة بإرته تنتم لمحور الصادات و(4) 𝟏

𝟐)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

𝟐√)النمطة 𝟏

𝟐 تنتم للمطع فه تحمك معادلته (

(√𝟐)𝟐 𝟒

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟒

جد معادلته ومعادلة دلله (𝟓√ 𝟏) (𝟓√𝟐 𝟏)مر بالنمطتن (5)

𝟐 معادنت ثابتة لم تتغر ( xالنمطتن متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة /انحم 𝟒

وعض أحذ انىمطته ألو مز تا ∴

(𝟐√𝟓)𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 معادنت اندنم 𝟓

𝟐 𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟐𝟎

(𝟒 𝟐)تؤرت تىتم نمحر انسىاخ دنه مز تانىمطح (6)

𝟐 معادنح انمطع انمكافئ تؤرت تىتم نمحر انسىاخ /انحم 𝟒

𝟐 ألن انذنم مطع األحذاث انسى معادنح انذنم 𝟐 نذا فأن (𝟒 𝟐)دنه مز تانىمطح

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖

𝟐 رأس ومطح األصم تؤرت مزكش انذائزج انت معادنتا (7) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎

) =مزكش انذائزج / انحم (معامم )

𝟐 (معامم )

𝟐) =(

𝟎

𝟐 ( 𝟒)

𝟐 = انثؤرج (𝟐 𝟎)= (

𝟐 انثؤرج تىتم نمحر انصاداخ معادنح انمطع انمكافئ 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖


96

( 𝟏 𝟐 )مز تانىمطح 𝟎 دنه اس انمحر انصاد معادنح محري (8)

( 𝟏 𝟐 )انذنم اس انمحر انصاد مز تانىمطح /انحم

انذنم مطع األحذاث انسى انسانة انثؤرج تمع عه األحذاث انسى انمجة

𝟐 معادنح انمطع انمكافئ 𝟒 نذا ف تحمم ( 𝟏 𝟐 )انمطع مز تانىمطح

𝟐 𝟒 (𝟏)𝟐 𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖 𝟏

𝟖

𝟐 𝟒 𝟏

𝟖 𝟐

𝟏

𝟐 معادلة القطع المكافئ

(𝟏𝟎) وحداثلطعح طنا 𝟒 مطع مه انمستمم (9) /انحم

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 رأس انقطع انمكافئ (𝟓 𝟒)(𝟓 𝟒)

𝟐 معادنح انمطع انمكافئ انتىاظز حل محر انسىاخ تحمم (𝟓 𝟒)انىمطح 𝟒

𝟐 𝟒 (𝟓)𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐𝟓

𝟏𝟔

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓

𝟒

جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالة /مثال

𝐳بإرته الصغة الدكارتة للعدد (1) 𝟒 𝟐𝐢

𝟐 𝐢

/انحم

𝐳 𝟒 𝟐𝐢

𝟐 𝐢×𝟐 𝒊

𝟐 𝒊 𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐

𝟓 𝟏𝟎

𝟓 الصغة الدكارتة (𝟎 𝟐 ) 𝟐

( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) البؤرة 𝐩 𝟐

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚𝟐 𝟖𝒙 معادلة القطع المكافئ

(3,4)بإرته تنتم ألحد المحورن ودلله مر بالنمطة (2) 𝒑وجد دلالن ولم حدد الي المحورن وازي (3,4)الدلل مر بالنمطة ∵ /انحم 𝟑 𝒑 𝟒

مما عن وجدود لطعان مكافئان (𝟎 𝟑 )والثانة (𝟒 𝟎)وجد بإرتان االولى

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟐𝒙 معادلة القطع المكافئ األول

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒚 معادلة القطع المكافئ انثاو

mثم أوجد لمة 𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)حث ABCمر برإوس المثلث (3)

تمع أما ف الربع األول أو الرابع (m,2)النمطة ∵ /انحم

للربع األول لك تحمك المطع (m,2)النمطة

𝒙𝟐البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝟒𝒑𝒚

فه تحممه (𝟒 𝟐 )المطع مر بالنمطة ∵

( 𝟐)𝟐 𝟒𝒑(𝟒) 𝒑 𝟒

𝟏𝟔 𝐩

𝟏

𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒

𝟏

𝟒 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 معادنت انقطع

تمع على المطع لذا فه تحمك معادلة المطع (m,2)النمطة ∵ (𝟐)𝟐 𝐦 𝐦 𝟒


97

𝟐𝒚 √𝟑رأسه نمطة األصل ومعادلة دلله (4) 𝟎 /نحم ا

𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲 √𝟑

𝟐 𝐩

√𝟑

𝟐

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 √𝟑

𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝟐√𝟑𝒚 معادلة القطع المكافئ

******************************************************************

: : ف كل مما ؤت جد البإرة ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ 1س

( ) 𝟐 𝟖( 𝟐)

( ) 𝟐 𝟒 𝟎

( ) 𝟐 𝟐𝟖 𝟎

والرأس ف نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه (𝟓 𝟐 ): أذا كان دلل المطع المكافئ مر بالنمطة 2س

تنتم ألحد المحورن

معادلة المطع المكافئ الذي :: ف كل مما ؤت جد 3س

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟕 ))أ( بإرته

𝟑 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

والرأس ف نمطة األصل . (𝟔 𝟑))ج( بإرته تنتم لمحور السنات ومر بالنمطة

والرأس ف نمطة األصل . (𝟓 𝟒 ))د( بإرته تنتم لمحور السنات و دلله مر بالنمطة

𝟑√ 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

𝟐 لمطع المكافئ تنتم ل (𝟒 𝟐)مطة أذا كانت الن :4س ثم جد أحداث البإرة ( )فجد لمة (𝟒 )

ومعادلة الدلل

:ة المطع المكافئ الذي بؤستخدام التعرف جد معادل: 5س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟒) بإرته ) أ ( 𝟓 ) ب ( معادلة الدلل والرأس ف نمطة األصل 𝟎


98

) الرأس ف نمطة األصل ( :نالصالمطع ال

البإرتذان تسذمان ثذابتتن نمطتذن عذن منهذا نمطة أي بعدي مجموع كون الت ( ) المستوي نماط مجموعة هو

( 𝟐) تساوي لمته ثابتا عددا تساوي

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐 √( )𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐(𝟎 )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒)

√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

( ) ( )حث أن

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 وبإرتا ه (𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 رأسا المطع النالص هما

بذذذنفس األسذذذلوب مكننذذذا أجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذ

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐وبإرتذذذذذا هذذذذذ ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا حذذذذث أن 𝟏

𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )


99

الحظ الشكل التال :

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐طول المحور الكبر ②

𝟐طول المحور الصغر ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

𝟐 دائما كون ⑤ 𝟐 𝟐

االختالف المركزي ⑥

√ 𝟐 𝟐

𝟐 √ )ولمة (𝟏 )حث الحظ أنه كون 𝟐 )

مساحة المطع النالص ⑦

√ 𝟐 محط المطع النالص ⑧ 𝟐 𝟐

𝟐 )حث أن

𝟐𝟐

𝟕)

النسبة بن طول محوره ⑨𝟐

𝟐

( ) هو واألصغر ( )هو واألكبر ( ) أو ( ) أما هو الثان فاإلحداث صفر إحداثاتها أحد بنمطة المطع مر أذا ⑩

أدنا :الحظ الجدول ⑪

لطع نالص بإرتا على محور السنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات

المعادلة 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐المعادلة 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 البإرتان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 البإرتان

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 الرأسان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 الرأسان


100

المركزي واالختالفتن والرأسن ف كل مما ؤت جد طول كل من المحورن وأحداث كل من البإر (/11مثال )

① 𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 ② 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐

𝟒

𝟑

(1)الحل

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) طول المحور الكبر وحدة 𝟏𝟎

𝟐 𝟐(𝟒) طول المحور الصغر وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) البعد البؤري وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓)𝟏

𝟓االختالف المركزي 𝟏

𝟑

(2)الحل

𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 ×

𝟑

𝟒

𝟒 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟑 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟏 𝟐

(𝟏𝟑)

𝟗 𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

(𝟏𝟑)

𝟐

(𝟒𝟗)

𝟏

𝑎 𝟒

𝟗 2

𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 𝑎

𝟏

√𝟑 𝟐 b 𝑎 𝟐

𝟒

𝟗 𝟏

𝟑

𝟏

𝟗 2

𝟏

𝟑 c

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑

𝟒

𝟑 طول المحور الكبر وحدة

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟑

𝟐

√𝟑 طول المحور الصغر وحدة

𝟏 𝟎 𝟐

𝟑 𝟐 𝟎

𝟐

𝟑𝟏 الرأسان 𝟎

𝟏

𝟑 𝟐 𝟎

𝟏

𝟑 البؤرتان

𝟏

𝟑

(𝟐

𝟑)

( ) 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟏

𝟐 االختالف المركزي 𝟏


101

ــــا النمطـــــتـــان ـورأس (𝟎 𝟑)𝟏 (𝟎 𝟑 )𝟐 ـص الذي بإرتــــــا ـــــة المطع النالـــجد معادل (/12مثال ) ومركز نمطة االصل . (𝟎 𝟓)𝟏 (𝟎 𝟓 )𝟐

الحل/

⇐ البإرتان والرأسان معان على محور السنات والمركز ف نمطة األصل ∵ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟑 𝑪 𝟗 𝟐

𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝑪 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐 𝟏 𝟔

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 معادلة القطع الناقص

اإلحداثنـن نطبك محورا على المحورـــــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وـجد معادل (/31مثال )

ثم وحدة,(𝟏𝟐)ادات جزءا طوله وحدات ومن محور الص (𝟖)ـنات جزءا طوله محور السمن ومطع جد المسافة بن البإرتن ومساحة منطمته ومحطه .

الحل/

المحور الكبر 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔 (البؤرة تقع على الصادات)

المحور الصغر 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2 16

𝑥

𝟏𝟔

2 𝒚

𝟑𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎

𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓

𝟐𝐜 ( انمسافت به انبؤرته) 𝟓√𝟒

انمساحت (وحدة مربعة ) 24 (4)(6)

انمحط 2 √ 2 2

22 √

𝟑𝟔 𝟏𝟔

22 √

𝟓𝟐

2

𝐩 (وحدة ) 𝟐𝟔√2

االختالف المركزي 𝟐√𝟓

𝟔 √𝟓

𝟑


102

𝟐 لتكن (/41مثال ) 𝟒 𝟐 ــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتــــــــهة لطع نالـــــــص ممعادلـــ 𝟑𝟔

1د / 2015وزاري جد لمة (𝟎 𝟑√) الحل/

𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝟐

𝟑𝟔 𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟏

𝟐

(𝟑𝟔 ) 𝟐

𝟗 𝟏

المانون تنتم لمحور السنات (𝟎 𝟑√)البإرة ∵ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

√𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝑎

𝟑𝟔

2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝟗 𝟑

𝟑𝟔

𝟏𝟐

𝟑𝟔

𝟏𝟐 𝐤 𝟑

ـــنات والمسافة بن األصل وبإرتا على محور الســــص الذي مركز نمطة ـــة المطع النالـجد معادل (/51مثال )

وحدة . (𝟐)والفرق بن طول المحورن (𝟔) البإرتن الحل/

𝟐 𝟔 c 3

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟏 𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ئ بإرته بإرة المطـــع المكافــــــل وأحدى لذي مركز نمطــــــة األصـــص اـــة المطع النالــجد معادل (/61مثال )

𝟐 وحدات . (𝟏𝟎)وطول محور الصغر ساوي 𝟎 𝟏𝟐 : من المطع المكافئ المعطى الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 12 p 3 ( البورة 3)

𝟑 (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏 البإرتان :المطع النالص ⇐

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟐𝟓 𝟗 2 𝑎 𝟑𝟒 2

𝒙

𝟑𝟒

𝟐 𝑦

𝟐𝟓( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


103

بؤستخدام التعرف , جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : (/17مثال )

𝟔والعدد الثابت (𝟎 𝟐)𝟏 (𝟎 𝟐 )𝟐 . الحل/

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟑)

√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐)𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐

𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)

𝟑√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟗 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)

𝟐

𝟗 𝟐

𝟓 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

مالحظة

لرسم لطع نالص ولكن المطع 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 نتبع الخطوات التالة : 𝟏

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن النمطتن ①

( 𝟎)𝟐 ( 𝟎)𝟏 نعن النمطتن ②

بالترتب حتى تكون منحن متصل 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 نصل بن النماط األربعة ③

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن البإرتن ④


104

المطع النالص:) أنسحاب محاور ( :

:المحور السن وازيومحور الكبر ( )المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز النمطة ①

تعذ األوسحاب

لثم األوسحاب

انعىصز لثم األوسحاب تعذ األوسحاب

انزأسان (𝟎 ) ( )

انثؤرتان (𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 انماون 𝟏

اس محر انصاداخ كثزمحري ان ( )المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز النمطة ②




انزأسان ( 𝟎 ) ( )

انثؤرتان ( 𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐


المحذذور الكبذذر ذذوازي محذذور السذذنات

𝒚)ومعادلتذذه 𝒌) والمحذذور الصذذغر

ذذذذذوازي محذذذذذور الصذذذذذادات ومعادلتذذذذذه

(𝒙 𝒉)

المحذذور الكبذذر ذذوازي محذذور الصذذادات

𝒙)ومعادلتذذه 𝒉) والمحذذور الصذذغر

ذذذذذذوازي محذذذذذذور السذذذذذذنات ومعادلتذذذذذذه

(𝒚 𝒌)


105

: مالحظات

( ) ه ( )ورأسه السنات محور وازي الذي النالص للمطعالكبر المحور معادلة①

( ) ه ( )ورأسه الصادات محور وازي الذي النالص للمطع الكبر المحور معادلة②

( ) ه السنات محور وازي الذي النالص للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ③

( ) ه الصادات محور وازي الذي النالص للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ④

ستمتصرررز دراسرررتىا فررر مارررى االوسرررحاب عهررر أجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال تؤرتررراي انزاسررران طرررل ⑤

محررررر انكثررررز انصرررركز معادنررررح كررررم مرررره انمحررررره حسرررراب مسرررراحح محرررر انمطررررع انىررررال اجرررراد

االختالف انمزكش .

ول ومعادلة كل من المحورن للمطع ـــــــــــــو طوالمطبن ن ـــــــــــــــــد البإرتن والرأســــــــــج (/18مثال )

النالص ( 𝟐)𝟐

𝟗

( 𝟏)𝟐

𝟐𝟓 ؟ eثم جد لمة 𝟏

الحل/

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 (ℎ 𝑘) (2 1 ( مركز القطع الناقص

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝑎 𝟏𝟎 2 وحدة (طول المحور الكبر)

𝟐 𝟗 b 3 𝟔 2 وحدة (طول المحور الصغر)

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 25 9 16 C 4

𝑥 ℎ 𝑥 𝑦 (معادنت انمحىرانكبر) 2 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغر) 1

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (3 2)2 (5 2)

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (4 2)2 (6 2)

(ℎ ) 2(ℎ ) انقطبان (1 1 )2 (1 5)

االختالف المركزي

𝟓

𝟒 𝟏


106

(𝟐 تمارين(𝟐

واالخذتالفثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن والمطبذن والمركذز عذن كذل مذن البذإرتن والرأسذن /1 س

: نهمطى انىالصح انمثىح معادالتا ف كم مما أتالمركزي

ⓐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

الحل/

𝟐

𝟏

𝟐

(𝟏𝟐)

𝟏 𝑎 𝟏 2 𝑎 1 𝑏 𝟏

𝟐 2 b

𝟏

√𝟐

𝟐𝒂 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟐√ )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

√𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐انمسافت ب انبؤرته ) وحدة 𝟐√ )

الرأسان (𝟎 𝟏 )𝟐 (𝟎 𝟏)𝟏

𝟏 𝟏

√𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

√𝟐 البؤرتان 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏

√𝟐 𝟐 𝟎

𝟏

√𝟐 القطبن(طرفا المحور الصغر)


𝟏

√𝟐

𝟏

𝟏

√𝟐 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر


107

ⓑ 𝟗 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟏𝟕

(𝟏𝟏𝟕)بالمسمة على الحل/

𝟐

𝟏𝟑 𝟐

𝟗 𝟏 𝑎 𝟏𝟑 2 𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗 2 b 𝟑

𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ىرانكبرانمح ) وحدة طىل )

𝟐 𝟐(𝟑) طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟔 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐

𝟐 𝟐(𝟐) انمسافت ب انبؤرته ) وحدة 𝟒 )

الرأسان (𝟎 𝟏𝟑√ )𝟐 (𝟎 𝟏𝟑√)𝟏

البؤرتان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐) 𝟏

القطبن (𝟑 𝟎)𝟐 (𝟑 𝟎) 𝟏


𝟐

√𝟏𝟑 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر

ⓒ ( 𝟒)𝟐

𝟖𝟏 ( 𝟏)𝟐

𝟐𝟓 𝟏

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص الحل/( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟖𝟏 𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝑎 b 5

ℎ 4 𝑘 1 (ℎ 𝑘) انمركز (1 4)

𝟐𝒂 𝟐 𝟗( ) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟏𝟖 )

𝟐 𝟐(𝟓) طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟏𝟎 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟖𝟏 𝟐𝟓 𝟓𝟔 𝟐 𝑐 2√ 14

𝟐 𝟐(2√ ) 14 4√ 14 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )

𝑦 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانكبر) 1

𝑥 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغر) 4

(ℎ ) 2(ℎ ) (4 2√ 1) 2(4 14 2√ 14 انبؤرتان (1

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (1 5 )2 (1 13)

(ℎ ) 2(ℎ ) نقطبها (6 4)2 (4 4)

االختالف المركزي 2√

𝟗 𝟏

14



108

( 𝟑)𝟐

𝟗

( 𝟐)𝟐

𝟐𝟓

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص الحل/( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝑎 b 3

ℎ 3 𝑘 2 (ℎ 𝑘) انمركز (2 3 )

𝟐𝒂 𝟐 𝟓( ) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟏𝟎 )


𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝑐 4

𝟐 𝟐( ) 4 8 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )

𝑥 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانكبر) 3

𝑦 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغر) 2

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (6 3 )2 (2 3 )

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (7 3 )2 (3 3 )

(ℎ ) 2(ℎ ) انقطبه (2 6 )2 (2 )

االختالف المركزي 𝟓 𝟏

4

ⓔ 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟗𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟎

: مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/

𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟗𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟗( 𝟐 𝟖 ) 𝟏𝟔( 𝟐 𝟔 ) 𝟏𝟒𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟐𝟖𝟖)بإضافة

𝟗( 𝟐 𝟖 𝟏𝟔) 𝟏𝟔( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟏𝟒𝟒 𝟐𝟖𝟖

𝟗( 𝟒)𝟐 𝟏𝟔( 𝟑)𝟐 𝟏𝟒𝟒 ( 𝟏𝟒𝟒)

( 𝟒)𝟐

𝟏𝟔 ( 𝟑)𝟐

𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏



109

تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انىال ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 وحصم عه 𝟏

𝟒 𝟑 ( ) مركز القطع الناقص (𝟑 𝟒)

𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝑎 b 3

𝟐𝒂 𝟐 𝟒( ) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟖 )


𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟕 𝑐 √ 7

𝟐 𝟐(√ ) 7 2√ 7 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )

𝑦 𝑘 𝑦 𝑥 (معادنت انمحىرانكبر) 3 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغر) 4

(ℎ ) 2(ℎ ) (4 √ 3) 2(4 7 √ 7 انبؤرتان (3

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (3 )2 (3 8)

(ℎ ) 2(ℎ ) هانقطب ( 4)2 (6 4)

االختالف المركزي √

𝟒 𝟏

7

ⓕ 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟒 𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/

𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟒 ( 𝟐 𝟒 ) 𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 ) 𝟐𝟎𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟐𝟐𝟗)بإضافة

( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟐𝟎𝟒 𝟐𝟐𝟗 ( 𝟐)𝟐 𝟐𝟓( 𝟑)𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟐𝟓)

( 𝟐)𝟐

𝟐𝟓 ( 𝟑)𝟐

𝟏 معادلة القطع الناقص 𝟏


𝟐

( )𝟐

𝟐 :وحصم عه 𝟏

𝟐 𝟑 ( ) مركز القطع الناقص (𝟑 𝟐 )

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟏 𝑎 b 1


110

𝟐𝒂 𝟐 𝟓( ) حىرانكبرانم ) وحدة 𝟏𝟎 طىل )

𝟐 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟐 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐𝟓 𝟏 𝟐𝟒 𝟐 𝑐 √ 24 𝑐 2√ 6

𝟐 𝟐(2√ ) 6 4√ 6 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )


(ℎ ) 2(ℎ ) ( 2 2 √ 3) 2( 2 6 2√ 6 انبؤرتان (3

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (3 7 )2 (3 3)

(ℎ ) 2(ℎ ) انقطبه (2 2 )2 (4 2 )


𝟓 𝟏

24

: جد المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز ف نمطة األصل ف كل مما ؤت /2 س

وحدة (𝟏𝟐)وطول محور الكبر ساوي (𝟎 𝟓) و (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان )أ(

الحل/

𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟐𝟓

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏 𝟐

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟏𝟏( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

𝟒 وتماطع مع محور السنات عند (𝟐 𝟎)البإرتان هما )ب(

الحل/

𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 ( البؤرتان تنتمان الى محور الصادات)

𝟐 (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 )تمثل المطبن وه 𝟒 عند مع محور السنات نمط التماطع 𝟏𝟔 ⇐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝒂 𝟐𝟎 𝟐

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 y

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


111

على الترتبوحدة 𝟏 𝟓 عددنمحور الكبر بال نهات أحدى بإرته تبعد عن ج()

الحل/

𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗 2

𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓

وهما :لمعادلة المطع النالص هنان حالتن

عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝒙

𝟗

𝟐 y

𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2 عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات

𝒙

𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

االختالف المركزي )د(𝟏

𝟐 وحدة طولة (𝟏𝟐) وطول محور الصغر

الحل/

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝑐

𝑎

𝟐 c 𝟐

𝟐

𝟒

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟑𝟔 𝟐

𝟒 𝟐 𝒂

𝟏𝟒𝟒 𝟐

𝒂

𝟒

𝟐

4𝒂𝟐 144 𝒂𝟐 3𝒂𝟐 144 𝟐 𝟒𝟖

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝒙

𝟒𝟖

𝟐 y

𝟑𝟔 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2 عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏


وحدة (3)وحدات ونصف محور الصغر ساوي (𝟖)المسافة بن بإرته تساوي )هـ(

الحل/𝟏

𝟐 (𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2 9

𝟐 𝟖 𝟒 c2 16

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2 السنات عندما البإرتان تنتم لمحور

𝒙

𝟗

𝟐 y

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏



112

: باستخدام التعرف جد معادلة المطع النالص أذا علم /3 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل (𝟑 𝟎)ورأسا النمطتان (𝟐 𝟎)إرتا النمطتان ب .

الحل/

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 ( حسب التعرف) 𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 √( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐(𝟑)

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐(𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒

𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)

𝟑√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟗 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 ( 45 )

𝑥2

5 𝑦2

91 ( معادلة القطع الناقص)


113

ⓑ والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذنات ومركذز فذ (𝟏𝟎)والعذدد الثابذت وحذدة (𝟔) المسافة بذن البذإرتن

.نمطة االصل

الحل/

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) 𝟑 𝟔 𝟐

الراسان(𝟎 𝟓 ) 𝟓 𝟏𝟎 𝟐

على تعرف المطع النالص وباالعتماد

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟓)

√( 𝟑)𝟐 𝟐 √( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎

√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐

𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)

𝟓√( 𝟑)𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐𝟓 𝟑

𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)

𝑥2

25 𝑦2

16 1 ( معادلة القطع الناقص)


114


بإرتذذه هذذ بذذإرة المطذذع المكذذافئ ىجذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل واحذذد /4 س

𝟐 )الذي معادلته (𝟑√ 𝟑√𝟐)علما ان المطع النالص مر بالنمطة (𝟎 𝟖

: المطع المكافئ ف الحل/

𝟐 𝟖 ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ( البورة

المطع النالص :ف

𝟎 𝟐)البإرتان ) ( 𝟐 𝟎 𝟐 والمانون هو ( ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟑√ 𝟑√𝟐)النمطة

𝟐√𝟑( )

𝟐

𝒂

𝟐

√𝟑( )

𝟐 𝟏

𝟐

𝟏𝟐

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟒 ①( ( وعىض ف

𝟐 𝟑𝟏𝟐 (𝒃𝟐 𝟒 ) (𝒃𝟐 𝟒 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝟒𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟐)( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝒚

𝟏𝟐 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

𝟐 همل 𝟏

وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذنات ومذذذر جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل /5 س

(𝟐 𝟔) (𝟒 𝟑)بالنمطتن

المانون هو ⇐على محور السنات البإرتان ∵ الحل/𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟐 𝟔)النمطة ∵

(𝟔)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟐)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟑𝟔

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟒 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟒 𝟑)النمطة ∵

(𝟑)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟗

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ②) 𝟐

وبحل المعادلتن انا بالطرح نحصل على المعادلة التالة

𝟐 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐𝟗 𝒂 𝟐 𝟐𝟗

𝟒

①( ( وعىض ف

𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝟐𝟗

𝟒

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟗

𝟒 𝟐 𝟒 𝟏𝟖𝟎 𝟗

𝟒𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐( 𝟐 ) 𝟐𝟎 𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟒𝟓

𝒙

𝟒𝟓

𝟐 𝒚

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


115

نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذ وبإرتذذذا لــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصـــــذذذـة المطذذذع النالــــــذذذـد معادلـــــذذذـج /6 س

𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐

𝟐 )المنحن ∵ الحل/ 𝟐 𝟎 مطع المحور الصادي (𝟏𝟔 𝟑 ⇐

𝟐 𝟏𝟔 𝐲 𝟒

𝟒 𝟎)البإرتان ) (𝟎 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 والمانون هو ( ⇐𝒙

𝟐

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

المعطىمن المطع المكافئ

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑

𝐱 𝐩 𝒙 دنم انقطع انمكافئ 𝟑 وقطت انتماس (𝟎 𝟑 )

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟎 𝟑 )النمطة ∵

( 𝟑)

𝟐

𝟐 (𝟎)𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

𝟗

𝒃 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗

𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 16 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝒚

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

ل ــذـنات ومركذز فذ نمطذة األصـذــــــــتنتمذ الذى محذور الس الذذي بإرتذا د معادلة المطع النذالص ـــــــــج /7 س

𝟐 وطذذول محذذور الكبذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغر ومطذذع المطذذع المكذذافئ عنذذد النمطذذة التذذ 𝟎 𝟖

(𝟐 )احداثها السن

المانون هو تنتم لمحور السنات البإرتان ∵ الحل/ ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

طول المحور الكبر ضعف طول المحور الصغر ∵

𝟐 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

(𝟐 )المعطى نعوض لمة من المطع المكافئ

𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒

تنتم للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فه تحمك معادلة المطع النالص النقطتان (𝟒 𝟐 ) (𝟒 𝟐 )

( 𝟐)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟒

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟒 𝟐

𝟒

𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐

𝟏

𝟐 𝟏

𝟏𝟔

𝟐

𝟏 𝟏𝟕

𝟐 𝟏𝟕

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟏𝟕) 𝟐 𝟔𝟖

𝒙

𝟔𝟖

𝟐 𝒚

𝟏𝟕ادلةمع القطع الناقص) 𝟏 )

𝟐


116

𝟐 معادلته لطع نالص /8 س 𝟐 محوره نمطة االصل ومجموع مربع طول و مركز 𝟑𝟔

𝟐 واحد بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي معادلته (𝟔𝟎)ساوي ما لمة كل من 𝟑√𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟑√𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص √𝟑( 𝟎 √𝟑) ( 𝟎 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑 𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝒙𝟐

(𝟑𝟔

𝒉

)

𝒚

(𝟑𝟔

) 𝟏

𝟐

𝒂 𝟐 𝟑𝟔

𝒉 𝟐

𝟑𝟔

𝟔𝟎مجموع مربع طول محوره = ∵

(𝟐 )𝟐 (𝟐 )𝟐 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 3 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟗

𝒂 𝟐𝟑𝟔

𝒉

𝟗

𝟑𝟔 𝟒

𝒃 𝟐𝟑𝟔

𝒌

𝟔

𝟑𝟔 𝟔

دى بإرتذه هذ بذإرة المطذع ـــذـل واحـذـــــــة االصـــــــذـنمط الذذي مركذز ص ــذـة المطذع النالــذـد معادلـــذـج /9 س

𝟐 المكافئ .وحدة (𝟑𝟔)ومجموع طول محوره 𝟐𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑𝟔 𝒙

𝟐

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃

𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟖 )𝟐 𝟐 36 𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 36

𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟏𝟎𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐



117

تنتم للمطع النالص والنمطة (𝟎 𝟒)𝟐 (𝟎 𝟒 )𝟏 الذي بإرته جد معادلة المطع النالص /10 س

1د / 0142وزاري .وحدة (𝟐𝟒) ساوي 𝟐 𝟏 بحث أن محــــــط المثلث

الحل/

𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)

𝟒 𝐂𝟐 𝟏𝟔

∵ النالص : وحدة وحسب تعرف المطع (𝟐𝟒)ساوي 𝟐 𝟏 محــــــط المثلث

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (معادلة ① ) 𝟐𝟒

𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐(𝟒) ( المسافة بن البؤرتن) وحدة 𝟖

𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (حسب تعرف القطع الناقص )

نحصل على ما ل : وبالتعوض ف (معادلة ① )

𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 16 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟖

⇐ بإرتا المطع النالص المانون (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 ) 𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


118

أمثلة أضافة محلولة جد معادلة المطع النالص الذي : لكل مما ؤت/ مثال

ⓐ األصل نمطة ومركز ( 𝟏𝟎 وحدات) الكبر المحور وطول (𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑 ) بإرتا

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦


2

ⓑ األصل نمطة ومركز ( 𝟖 وحدات) الصغر المحور وطول (𝟔 𝟎) (𝟔 𝟎) رأسا

𝟐 𝟖 𝟒 𝟔

𝒚

𝟑𝟔

𝟐 𝑥


2

ⓒ تساوي بإرته بن والمسافة الصغر محور طول بن والنسبة األصل نمطة ومركز (𝟒 𝟎) بإرته أحدى (𝟑

𝟒)

𝟐

𝟐 𝟑

𝟒 𝟒 𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓

𝒚

𝟐𝟓

𝟐 𝑥

𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓓ ثم جد مساحته ومحطه (𝟎 𝟒 ) (𝟑 𝟎)ومر بالنمطتن األصل نمطة مركز

𝟒 𝟑 𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦


2


انمحط 2 √ 2 2

2 2 √

𝟏𝟔 𝟗

2 2 √

𝟐𝟓

2 (وحدة ) 𝟐√5


119

ⓔ 𝟖 𝟐نمطت تماطع المستمم ؤحدى مر بوأحد لطبه مركز نمطة األصل

( )ألجاد لم (𝟎 )ثم نجعل ( )جد لم نثم (𝟎 )ألجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖 ) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎 )

𝟖 𝟒 𝒙

𝟐

𝟐 𝑦

𝟐( القانون ) 𝟏

2

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦

𝟔𝟒( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓕ محذور وطذول (𝟏𝟎 وحدات)والبعذد الثابذت لذه السذنات محذور على نطبك الكبر ومحور األصل نمطة مركز

(𝟔 وحدات) الصغر

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦


2

ⓖ ومركز نمطة األصل والنسبة بن طول محوره تساوي (𝟑 𝟎)أحدى بإرته(𝟒

𝟓)

𝟑 𝟐

𝟐 𝟒𝟓 𝒃

𝟒𝟓

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 16

25

𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒂 𝟐𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝒂𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔

𝒚

𝟐𝟓

𝟐 𝑥


2

ⓗ المركزي واختالفه األصل نمطة ومركز (𝟎 𝟒) بإرته أحدى (𝟏

𝟐)

𝟒

𝟏

𝟐

4

𝑎 𝟖 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝒃 𝟒𝟖 𝟐

𝑥

𝟔𝟒

2 𝒚

𝟒𝟖( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


120

ⓘ والنسبة بن طول محوره ( 𝟐𝟒)مركز نمطة األصل وبإرتا تنتمان لمحور السنات ومساحته(𝟑

𝟖)

𝟐𝟒 𝑎 24

( معادلة ) 𝑏

𝟐

𝟐 𝟑𝟖 3𝑎 8𝑏

8

𝟑

𝑏

24

𝑏 8

𝟑

𝑏 8𝑏 𝟕𝟐 2 𝑏 𝟗 2 𝟑 𝟖

𝑥

𝟔𝟒

2 𝒚


𝟐

ⓙ وأحدى بإرته ه بإرة المطذع المكذافئ الذذي اإلحداثنالمحورن مركز نمطة األصل ومحورا نطبمان على

𝟐 ) معادلته وطول محور الكبر ضعف طول محور الصغر (𝟎 𝟏𝟐

: من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 12 p 3 ( 3 ( البورة

:المطع النالص من

𝟑 (𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)البإرتان المانون هو ⇐ ⇐ 𝒙

𝟐

𝟐 𝑦2

𝑎 𝟏

2

𝟐 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝟐 ( ) 𝟐 𝟗 2 𝟒 𝟐 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑

𝑎 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 2 𝑎 𝟏𝟐 2 𝒙

𝟑

𝟐 𝑦

𝟏𝟐( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓚ (𝟔 وحدات) والمسافة بن بإرته (𝟑 𝟎)مر بالنمطة

𝟐 𝟔 c 3

b 3 ( ألنه يمر بالنقطة)

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟗 𝒂𝟐 𝟏𝟖 (توجد معادلتن للقطع الناقص)

𝒙𝟐

𝟗

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟏𝟖

𝒙

𝟏𝟖

𝟐 𝑦

𝟗( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

2


121

المركذزي والمحذط واالخذتالفالبذإرتن والرأسذن وإحذداثاتوالبعذد البذإري جذد طذول كذل مذن المحذورن / مثال

𝟐 𝟏𝟔المطع التالة والمساحة لمعادلة 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟏𝟔 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) (𝟒)𝟐 𝟐 (المحور الكبر ) وحدة 𝟏𝟎 (المحور الصغر ) وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) (البعد البؤري) وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) (𝟎 𝟑) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

االختالف المركزي 𝟓

𝟑


انمحط 2 √ 2 2

2 2 √

𝟐𝟓 𝟏𝟔

22 √

𝟒𝟏

2 (وحدة )

المركذزي للمطذع النذالص واالخذتالفعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول ومعادلة كل من المحورن / مثال

𝟐 𝟐𝟓الذي معادلته ه 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟒 𝟒𝟒 𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /

𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟒 𝟒𝟒 𝟐𝟓( 𝟐 𝟒 ) 𝟗( 𝟐 𝟔 ) 𝟒𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟏𝟖𝟏)بإضافة

𝟐𝟓( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟗( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟒𝟒 𝟏𝟖𝟏 𝟐𝟓( 𝟐)𝟐 𝟗( 𝟑)𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 𝟐𝟐𝟓)

( 𝟐)𝟐

𝟗 ( 𝟑)𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الناقص 𝟏


𝟐

( )𝟐


𝟐 𝟑 ( ) مركز القطع الناقص (𝟑 𝟐)

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝑎 b 3 𝟐 𝟏𝟔 𝑐 4



122


(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (7 2)2 (1 2)

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (8 2)2 (2 2)

االختالف المركزي 𝟓 𝟏

4

𝟐 لذذذذتكن / مثذذذذال 𝟐 والنسذذذذبة بذذذذن طذذذذول (𝟎 𝟑)معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتذذذذه 𝟒𝟎𝟎

محور الكبر ومحور الصغر 𝟒

𝟓 فجد لم كل من

انحم /

𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐

(𝟒𝟎𝟎 )

𝟐

(𝟒𝟎𝟎 )

𝟏

سنات البإرة تنتم لمحور ال ∵

𝟑 المانون 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝑎

𝟒𝟎𝟎

2

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

𝟐

𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟓 𝑏

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝟐𝟓 𝟐 𝟗

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔 2

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟐𝟓 𝟏𝟔

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐𝟓

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2


123

والذذذذي كذذذون البعذذذد بذذذن بإرتذذذه مسذذذاوا للبعذذذد ( 𝟖𝟎)سذذذاحته جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي م /مثذذذال

𝟐 )بن بإرة المطع المكافئ ودلله (𝟎 𝟐𝟒

من المطع المكافئ انحم /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

4p 24 p 6 2|p| 12

2 12 c 6 𝑐2 36

: المطع النالص من

𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝑎

(معادلة ) 2

𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎

2

𝑎 𝟑𝟔

2 𝟒 𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎 2

(𝑎2 )(1 𝑎2 ) 𝟎 64

either 𝑎2 1 𝟐 𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2 همم 64

𝒙𝟐

𝟏𝟎𝟎

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟔𝟒

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝑦

𝟏𝟎𝟎( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

2

أذا كانت /مثال 𝟐

𝟑 𝟐 الذذي النذالص المطذع معادلذة جذد (𝟐 𝟏 ) بالنفطذة مذر دلله مكافئ لطع معادلة 𝟎

محوره بن النسبة طول ومربع ( 𝟎) بإرته أحد𝟑

𝟒

نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السن لذا فؤن معادلة الدلل له من المطع المكافئالحل /

( [ 𝟏] 𝟏 ألنه مع على المحور السن (

𝟐 (𝟑 𝟐) ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2

والمانون هو (𝟐 𝟎) (𝟐 𝟎)بإرتا :المطع النالص من 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐

𝟑

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐

𝒙

𝟏𝟐

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2


124

ومذر خذالل (𝟎 𝟔√)𝟐 (𝟎 𝟔√ )𝟏 مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا جد معادلة المطع النذالص الذذي /مثال

𝟐 بإرة المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎

من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐


𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏 )

𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( 1) 𝐹 𝟐( 1 ( (تحقق معادنت انقطع انىاقص)

لص :من المطع النا

𝟐 المانون هو (𝟎 𝟔√) (𝟎 𝟔√ ) بإرت المطع النالص ∵ 𝟔 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

)𝟐انىمطح 1 ( تحمك معادنح انمطع انىال ألو مز تا ) تؤرج انمطع انمكافئ (

𝟒

𝟐

𝟏

𝟐 𝟏

(× 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( معادلة ① ) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟔

𝟒 𝟐 𝟐 𝟔 ( 𝟐 𝟔) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟎

(𝒃𝟐 )(𝟑 𝒃𝟐 ) 𝟎 𝟐

𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2 2 𝟐 𝟖 𝑜𝑟 𝑏2 همم 3

𝒙

𝟖

𝟐 𝑦

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2


125

ورن للمطذذذذذذع حذذذذذذالمجذذذذذذد أحذذذذذذداث البذذذذذذإرتن والرأسـذذذذذذـن والمطبذذذذذذن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن /مثذذذذذذال

𝟐 𝟒) النالص 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 ؟ eثم جد لمة (𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐 𝟐 ) 𝟗( 𝟐 𝟒 ) 𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟒𝟎)بإضافة

𝟒( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟐)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

( 𝟏)𝟐

𝟗 ( 𝟐)𝟐

𝟒 معادلة القطع الناقص 𝟏


𝟐

( )𝟐


𝟏 𝟐 ( ) مركز القطع الناقص (𝟐 𝟏)

𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝟐 5 𝑐 √5

𝟐 𝟐(√ ) 5 2√ 5 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )


(ℎ ) 2(ℎ ) (1 √ 2) 2(1 5 √ 5 انبؤرتان (2

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (2 2 )2 (2 4)


3 𝟏

5

المركذزي االخذتالفوممذدار جذد أحذداث البذإرتن والرأسذن والمطبذن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن /مثال

ومحذور الكبذر ذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتذه تبعذد عذن (𝟒 𝟏)ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز

وحدة طول 10 ,2الرأسن بالبعدن

𝟐انفزق ته انثعذه 𝟐مجمى انثعذه ∵انحم /

𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒

انمعادنح انماسح نهمطع انىال ⇐ محري انكثز اس محر انصاداخ ∵ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟒

( 𝟏)𝟐

𝟐𝟎 ( 𝟒)𝟐

𝟑𝟔دلةمعا القطع الناقص 𝟏


126



(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (8 1)2 ( 1)

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان ( 1 1)2 (2 1)

االختالف المركزي 𝟔

4

𝟑 𝟏

2

******************************************************************

للمطذوعواالخذتالف المركذزي المحذورن مذن كذل ومعادلذة طذول و والمطبذن والرأسذن البذإرتن أحداث جد : 1س

التالة :النالصة

( ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔

( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑𝟎𝟎

:ة المطع المكافئ الذي معادلبؤستخدام التعرف جد : 2س

.ومركز نمطة االصل (𝟎 𝟔 )ورأسا النمطتان (𝟎 𝟑 )بإرتا النمطتان ) أ ( ه ـــــــــــــــــأحذ تؤرت تثعذ عه انزأس ومركز نمطة االصلبإرتا تمعان على محور السنات ) ب (

. حذج طل 8 ,2تانثعذه


127

) الرأس ف نمطة األصل ( : لمطع الزائد:ا

تسذمى تكون الممة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتن ثذابتتن الت ( ) تويــالمس نماط ةـــمجموع هو

( 𝟐) ) البإرتن ( ساوي عددا ثابتا لمته

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

| 𝟏 𝟐| ( حسب تعرف القطع الزائد) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 (𝒚 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 𝟐 √( )𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝒚 𝒚

(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝒚

𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝒚

√( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

والمعادلة (𝟎 ) (𝟎 )وبإرتا ه (𝟎 ) (𝟎 )هما دئـزارأسا المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

الذي بإرتا تنتمان لمحور الصادات وه زائدبنفس األسلوب مكننا أجاد معادلة المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 حث أن 𝟏

( 𝟎) ( 𝟎)وبإرتا ه ( 𝟎) ( 𝟎)هما زائد رأسا المطع ال


128

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐 حممطول المحور ال ②

𝟐 المرافكطول المحور ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

)االختالف المركزي ⑤

(𝟏 )حث الحظ أنه كون (

𝟐 دائما كون ⑥ 𝟐 𝟐

( )وتمثل لمة س المطع الزائدأر تمثلمر بها المطع الزائد على احد المحورن و تمع تال ةالنمط ⑦ (منتصف المطر البإري تسمى المسافة بن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتم للمطع ) ⑧

عن البإرتن والرأسن وطول كل من المحورن الحمم والمرافك للمطع الزائد (/19مثال ) 𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟑𝟔 𝟏

الحل/

𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 طىل انمحىر انحقق وحدة 𝟏𝟔

𝟐 𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 طىل انمحىر انمرافق وحدة 𝟏𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎

𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) رأسا انقطع انزائد

𝑷𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷𝟐(𝟎 𝟔) قطبا انقطع انزائد

𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) بؤرتا انقطع انزائد


129

𝟔جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمم (/20مثال ) ـتالف وحدات واالخ والبإرتان على محور السنات (𝟐)المركزي ساوي

الحل/

𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂𝟐 𝟗

𝟐

𝟑 𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟕

𝟐

𝟗 𝟐

𝟐𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏

ـما هــــبإرتا ووحدات (𝟒)وطول محور المرافك جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل (/21مثال )

(𝟖√ 𝟎)𝟐 (𝟖√ 𝟎)𝟏 النمطتان

تنتم لمحور الصاداتالبإرتان ∵ الحل/

المعادلة الماسة للمطع الزائد ه 𝒚𝟐

𝒂 𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒 𝟐

√𝟖 𝒄 𝟖 𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟐 𝟒

𝟐

𝟒 𝟐

𝟒 معادلة القطع الزائـد 𝟏

أعال نالحظ أن طول المحور الحمم مساو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع (21)المثال ف

( ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفه كون بالمطع الزائد المائم او متساوي األضالع الزائدة دعى )

. ( 𝟐√)ممدار ثابت لمته ( )المركزي االختالف


130

) أنسحاب محاور ( : المطع الزائد:

Ⓘ محري انحمم اس محر انسىاخ ( )المعادلة الماسة للمطع الزائد الذي مركز النمطة:




انزأسان (𝟎 ) ( )

انثؤرتان (𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐


محري انحمم اس محر انصاداخ ( )المعادلة الماسة للمطع الزائد الذي مركز النمطة ②




انزأسان ( 𝟎 ) ( )

انثؤرتان ( 𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐



131

: مالحظات

( ) ه السنات محور وازي الذي الزائد للمطع المحور معادلة①

( ) ه الصادات محور وازي الذي الزائد للمطع المحور معادلة②

( ) ه السنات محور وازي الذي الزائد للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ③

( ) ه الصادات محور وازي الذي الزائد للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ④

ستمتصرررز دراسرررتىا فررر مارررى االوسرررحاب عهررر أجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال تؤرتررراي انزاسررران طرررل ⑤

محر انكثز انصكز معادنح كم مه انمحره اجاد االختالف انمزكش .

المركذذذزي و طذذذول المحذذذورن للمطذذذع االخذذذتالفجذذذد أحذذذداثا المركذذذز والبذذذإرتن والرأسذذذن و (/22مثذذذال )

الزائد الذي معادلته( 𝟐)𝟐

𝟗

( 𝟏)𝟐

𝟒 𝟏

الزائد بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع الحل/( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

ℎ 2 1 (ℎ 𝑘) ( 2 1 ( مركز القطع الزائد

𝟐 𝟗 𝟑 𝑎 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقق

𝟐 𝟒 𝟐 𝑏 2𝑏 وحدة 4 طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟏𝟑 𝒄𝟐 13 𝑐 √13

(ℎ ) (ℎ ) ( 2 √ 1) 2( 2 13 √ 13 انبؤرتان (1

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (1 5 )2 (1 1)

√

𝟑

13 االختالف المركزي 𝟏


132

(𝟐 تمارين(𝟑

االتح : شائذجنهمطى انعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول كل من المحورن واألختالف المركزي /1 س

ⓐ 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝟖

(𝟒𝟖)ومسم طزف انمعادنح عه /الحل

𝟐

𝟒 𝟐

𝟏𝟐 𝟏

𝑎 𝟒 2 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقق

𝑏 𝟏𝟐 2 b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 وحدة طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐)𝟏

𝟒

𝟐 االختالف المركزي 𝟏 𝟐

ⓑ 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒

(𝟏𝟒𝟒)ومسم طزف انمعادنح عه الحل/

𝟐

𝟗 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 9 2 𝑎 3 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقق

𝑏 𝟏𝟔 2 b 𝟒 2𝑏 وحدة 8 طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓

البؤرتان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏

𝟓

𝟑 االختالف المركزي 𝟏


133


ⓒ 𝟐( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟖

(𝟖)ومسم طزف انمعادنح عه الحل/

( 𝟏)𝟐

𝟒 ( 𝟏)𝟐

𝟐 𝟏

( بانمقاروت مع)

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

ℎ 1 1 (ℎ 𝑘) (1 1 ( مركز القطع الزائد

𝟐 𝟒 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقق

𝟐 𝟐 b √𝟐 2𝑏 √𝟐2 وحدة طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝒄𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝑐 √6

(ℎ ) 2(ℎ ) (1 1 √ ) 2(1 1 6 √ 6 انبؤرتان (

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (3 1)2 (1 1)

√

𝟐 االختالف المركزي 𝟏

6

𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟎 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟖𝟓

وزتة معادنح انمطع انشائذ تشكم مزتع كامم كما ه : الحل/

𝟏𝟔( 𝟐 𝟏𝟎 ) 𝟗( 𝟐 𝟐 ) 𝟏𝟖𝟓

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انشائذالى طرف معادلة المطع (𝟑𝟗𝟏)بإضافة

𝟏𝟔( 𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝟓) 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟑𝟗𝟏 𝟏𝟖𝟓

𝟏𝟔( 𝟓)𝟐 𝟗( 𝟏)𝟐 𝟓𝟕𝟔 𝟏𝟔( 𝟓)𝟐

𝟓𝟕𝟔 𝟗( 𝟏)𝟐

𝟓𝟕𝟔 𝟓𝟕𝟔

𝟓𝟕𝟔

( 𝟐 𝟓)

𝟑𝟔 ( 𝟏)𝟐

𝟔𝟒 معادلة القطع الزائد 𝟏

تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انشائذ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐


ℎ 5 1 (ℎ 𝑘) ( 5 1 ( مركز القطع الزائد

𝟐 𝟑𝟔 𝑎 6 2𝑎 وحدة 12 طىل انمحىر انحقق

𝟐 𝟔𝟒 b 𝟖 2𝑏 وحدة 16 طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟔𝟒 𝒄 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝑐 1

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (1 15 )2 (1 5)

𝟏(ℎ ) 𝟐(ℎ ) انرأسان (1 11 )2 (1 1)

𝟏𝟎

6 𝟑

5 االختالف المركزي 𝟏


134

الحاالت التالة ثم ارسم المطع : معادلة المطع الزائد ف أكتب /2 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل 𝟑 وتماطع مع محور السنات عند (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان.

الحل/

⇐ بإرتا المطع الزائد ∵ المانون 𝟓 ( 5) 2 ( 5 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 ع الزائد تماطع مع محور السنات عند المط ∵

𝟐 ( 3) ( 3 )الراسان ∴ 𝟗 ⇐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐


135

ⓑ وحذذذذدات ونطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى (𝟏𝟎)وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك (𝟏𝟐)طذذذذول محذذذذور الحممذذذذ

.المحورن االحداثن ومركز نمطة االصل

الحل/

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃𝟐 𝟐𝟓

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 25 36 𝑪𝟐 𝟔𝟏

-: د وهما ـــــــن للمطع الزائـــــــان حالتــــهن ∴

عندما وازي محور السنات عندما وازي محور الصادات

𝑭𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) الرأسان

𝑽𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽𝟐(𝟎 𝟔) البؤرتان

𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝑭𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) الرأسان

𝑽𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽𝟐( 𝟔 𝟎) البؤرتان

𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓ةمعادل القطع الزائد 𝟏

ⓒ وحذدة واختالفذه المركذزي (𝟐√𝟐)مركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك

(𝟑)ساوي

المانون ⇐ بإرتا المطع الزائد تنتم لمحور الصادات ∵ الحل/ 𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃𝟐 𝟐

𝟑 𝒄 𝟑𝒂

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟗𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟐

𝟖𝒂 𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟏

𝟒 𝑪𝟐

𝟗

𝟒

(𝟎 ) 𝟎 𝟑

𝟐 𝟎

𝟑

𝟐 البؤرتان

(𝟎 ) 𝟎 𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐 الراسان

𝐲

(

𝟐

𝟏)

𝟒

𝒙

𝟐( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐

2د / 2013 /وزاري


136

ونطبذك (𝟎 𝟐√𝟐)(𝟎 𝟐√𝟐 )ذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتذه جد باستخدام تعرف المطع الزائد ال /3 س

وحدات (𝟒)حداثن والممة المطلمة للفرق بن بعدي اة نمطة عن بإرته ساوي محورا على المحورن اال

الحل/

𝟐 𝟒 𝒂 𝟐

للمطع الزائد ( ) نفرض ان النمطة

| 𝟏 𝟐| (من تعرف القطع الزائد) 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟐√𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟒

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 𝟐 ( 𝟐√𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐

𝟖√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐√

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 ] ( 𝟒) 𝑥2

4 𝑦2

41 معادلة القطع الزائد


137

وحدات واحدى بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة (𝟔)محور الحمم طول لطع زائد /4 س

. جد معادلت المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)االصل ومر بالنمطتن

1د / 2014وزاري 3د / 2013وزاري . الزائد الذي مركز نمطة االصل

:من المطع المكافئ الحل/

تنتم للمحور السنن لذا فالبإرة ــمتناظرة مع المحور الس (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)النمطتان ∵

𝟐 )والمانون 𝟒 )

تحمك معادلة المطع المكافئ ) ألنه مر بها ( (𝟓√𝟐 𝟏)النمطة ∴

𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 ( البؤرة 𝟎 𝟓)

𝟐 ( معادلة القطع المكافئ ) 𝟐𝟎

:الزائدالمطع ف

𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗 𝟐

⇐بإرتا المطع الزائد ∵ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎) 𝟐 ⇐المانون 𝟐𝟓 𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐

𝟐 ومعادلتذه ل ـــــــــذـمركذز نمطذة االصلطذع زائذد /5 س 𝟐 (𝟐√𝟔)وطذول محذور الحممذ 𝟗𝟎

𝟐 𝟗ه ـوحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرت المطذع النذالص الذذي معادلتذ 𝟏𝟔 𝟐 ة كذل ـــــذـد لمــذـج 𝟓𝟕𝟔

الت تنتم الى مجموعة االعداد الحممة من

: نالصمن المطع ال الحل/

𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔) 𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟑𝟔 𝟏

𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟖 𝟐√𝟕

( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 )بإرتا المطع النالص : زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟕√𝟐 ( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟎 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗𝟎 𝟐

(𝟗𝟎 )

𝟐

(𝟗𝟎 ) 𝟏

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟐 𝟗𝟎

𝟏𝟖 𝟓

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟏𝟎 𝟗



138

د راسذذه بعذذد عذذن البذذإرتن ـــذذـاذا علمذذت ان اح لـــــذذـاكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص /6 س

3د / 2012وزاري . نبك محورا على المحورن االحداثوحدات على الترتب ونط 𝟗 𝟏 بالعددن

الحل/

𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄𝟐 𝟐𝟓

𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟔

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗 𝟐

الن لمعادلة المطع الزائد ـــــــــــــهنان أحتم ∴

𝟐

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد سنة 𝟏

𝟐

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد صادة 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته /7 س 𝟑 𝟐 والنسبة 𝟏𝟐

بن طول محوره 𝟓

𝟑 3د / 2013وزاري . ومركز نمطة االصل

: زائدمن المطع ال الحل/

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐) 𝟐

𝟏𝟐

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

( 𝟒) ( 𝟒 ) زائدبإرتا المطع ال ∴

:لنالص المطع ا من

⇐ نالصبإرتا المطع ال المانون 𝟒 ( 𝟒) ( 𝟒 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟓

𝟑

𝒂

𝟐

𝟐𝟓

𝟗

𝟐

𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗

𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟐 𝟏𝟔

( 𝟗) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟗

2 25 2

9

25 (9)

9 2 25

2

25 2

9 معادلة القطع الناقص 1


139

𝟐 تنتم الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته ( 𝟔) النمطة /8 س 𝟑 𝟐 جد كال من: 𝟏𝟐

ب. طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم ف الجهة المنى من النمطة لمة . أ

تنتم الى المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∵ )أ( الحل/

𝟐 )تحمك معادلة المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∴ 𝟑 𝟐 𝟏𝟐)

(𝟔)𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 24 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖 L 2√ 2

𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)

: زائدمن المطع ال )ب(

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟐

𝟏𝟐 𝟐

𝟒 𝟏 𝟐 𝟐𝟏𝟐 𝟒

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 احداث البؤرة االمن (𝟎 𝟒)

𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐


ه ـالذذذذذي معادلتذذذذالنذذذذالص المطذذذذع ا بذذذذإرتــــذذذذـالذذذذذي بإرتذذذذا همالزائذذذذد جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع /9 س 𝟐

𝟗

𝟐

𝟐𝟓 𝟏

𝟐 ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟎


𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒

𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑

𝐲 𝟑 ( معادلة الدلل )

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟐 𝟒

(𝟎 𝟒 ( البؤرتان (𝟒 𝟎)

:زائدالمطع المن

وه راس المطع الزائد (𝟑 𝟎)دلل المطع المكافئ مطع المحور الصادي عند النمطة ∵

𝟑 𝟐 𝟗

⇐ بإرتا المطع الزائد (𝟎 𝟒 المانون 𝟒 ( (𝟒 𝟎) ⇐𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟕 𝟐

𝟗 𝟐

𝟕دالزائ 𝟏 معادلة القطع


140

أمثلة أضافة محلولة

ن و األخذذتالف المركذذزي و طذذول المحذذورن للمطذذع الزائذذد الذذذي ـــــذذـجذذد أحذذداثا المركذذز والبذذإرتن والرأس/ مثذذال

𝟐 𝟒معادلته 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟓𝟒 𝟏 1

الحل/

𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟓𝟒 𝟏𝟎𝟏 𝟒( 𝟐 𝟒 ) 𝟗( 𝟐 𝟔 ) 𝟏𝟎𝟏

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انشائذالى طرف معادلة المطع (𝟔𝟓 )بإضافة

𝟒( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟗( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟏𝟎𝟏 𝟔𝟓 𝟒( 𝟐 𝟐)𝟐 𝟗( 𝟑)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

( 𝟐 𝟐)𝟐

𝟗 ( 𝟐 𝟑)𝟐

𝟒 معادلة القطع الزائد 𝟏

تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انشائذ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 : وحصم عه 𝟏

𝟐 𝟑 ( ) مركز القطع الزائد (𝟑 𝟐)

𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟒 𝟏𝟑 𝑐 √13

(ℎ ) (2 √ 3) 13 (2 √ 3) 2(2 13 √ 13 انبؤرتان (3

(ℎ ) (2 3 3) انرأسان (3 1 )2 (3 5)


𝟑

13

وطذذول المحذذور ادات ـــذذـالصوالبإرتذذان علذذى محذذور ل ــــذذـجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص/ مثذذال

𝟏𝟔الحمم له والنسبة بن المسافة بن بإرته وطول محور الحمم 𝟓

𝟒

الحل/

𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂𝟐 𝟔𝟒

𝟐

𝟐 𝟓

𝟒

𝒄

𝟖 𝟓

𝟒 𝐜 𝟏𝟎 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 معادلة القطع الزائد 𝟏


141

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرته بإرة المطع المكافئ / مثال وطول محور المرافك 𝟐𝟎

ساوي البعد بن بإرت المطع النالص 𝟐

𝟗

𝟐

𝟏𝟔 𝟏


𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟎 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ( البؤرة

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟕 𝟐 √𝟕 البعد البؤري 𝟕√𝟐 𝟐

: زائدالمطع ال من

𝟐 طول المحور المرافق 𝟕√𝟐 √𝟕 𝟐 𝟕

⇐ بإرتا المطع الزائد 𝟎( 𝟓 𝟎) ( المانون 𝟓 ( 𝟓 ⇐𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏

(𝟔 𝟑) (𝟐√𝟑 𝟎)جد معادلة المطع الزائد الذي مر بالنمطتن / مثال

الحل/

لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولمذذذذذذذذة (𝟐√𝟑 𝟎)مذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ∵

والمانون هو (𝟐√𝟑 )𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

تنتم للمطع الزائد لذا فه تحمك معادلته النقطة (𝟔 𝟑)

( 𝟔)𝟐

𝟑√𝟐( )

𝟐

(𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟏 𝟑𝟔

𝟏𝟖

𝟗 𝟐

𝟐 𝟏

𝟗 𝟐

𝟏 𝟗

𝟐 𝟗

𝒚𝟐

𝟏𝟖

𝒙𝟗( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐


142

ا المطذذع النذذالص ـــــــــذذـبإرتذذا رأسجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي /مثذذال 𝒙

𝟏𝟎𝟎

𝟐 𝒚

𝟔𝟒ور ــــذذـوطذذول مح 𝟏

𝟐

وحدة (𝟏𝟐)الحمم

: نالصمن المطع ال /الحل

𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 راسا القطع الناقص (𝟎 𝟏𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 )

: زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟏𝟎 ( 1) ( 1 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒 معادلة القطع الزائد 𝟏

******************************************************************

ل محذذور تنتمذذ لمحذذور الصذذادات وطذذوجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل و بإرتذذا : 1س

𝟐 )البعذد بذن بذإرة المطذع المكذافئ المرافك سذاوي ودللذه وطذول محذور الحممذ ثالثذة امثذال طذول ( 𝟏𝟐

محور المرافك

الذذذذي جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 2س

𝟗𝒚)معادلته 𝟏𝟔𝟐 𝒙 ( وحدة طول (𝟏𝟔)ومجموع طول المطع النالص 𝟏𝟒𝟒𝟐

إرة وراس المطذذذذذذع المكذذذذذذافئ ـــذذذذذذـا همذذذذذذا بـــــذذذذذذـبإرتذذذذذذا وراسلزائذذذذذذد الذذذذذذذي جذذذذذذد معادلذذذذذذة المطذذذذذذع ا : 3س

( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟑)

لطعذذذان مخروطذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا مذذذر ببذذذإرة االخذذذر . فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة : 4س

𝟐 )احدهما 𝟐 فجد معادلة االخر (𝟑

وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور (𝟏 𝟑)( 𝟏 𝟑)الذذذذذذذذذي مذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتن جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص : 5س

وحدة (𝟐𝟓)الكبر ساوي

الذي معادلته بإرة المطع النالص و أحدى بإرتا هجد معادلة المطع الزائد الذي مركز ف نمطة االصل : 6س

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 𝒚

𝟐𝟎𝟐 وأحد رأسه ه بإرة المطع المكافئ 𝟏 𝟖 𝟎

𝟐


143

الذذذذي جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذ بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 7س

𝟖𝒚)معادلته 𝟐 𝒙 𝟐 )ومس دلل المطع المكافئ 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟔 𝟎) )

𝒚)لذذذذذذذذتكن : 8س 𝟐 𝒙 لص معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذا 𝟑𝟐 )

فجد لمة (𝟔√ 𝟎)والذي احد بإرته (𝟐 𝟏 )الذي مر بالنمطة

𝟓𝒚)لذذذذذتكن: 9س 𝟒𝟐 𝒙 الذذذذذذي معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتذذذذذه هذذذذذ بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ 𝟐 )

𝟐 𝟓√ 𝟒)معادلته فجد لمة (𝟎

) لذذذذذذذتكن: 10س 𝒙 𝟐 𝑵𝒚 معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتذذذذذذذه هذذذذذذذ بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟗𝟎𝟐 )

𝟐 𝟗)الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه 𝟏𝟔𝒚 𝟐√𝟔 وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحممذذذذذذذذذذذ (𝟓𝟕𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لمذذذذذذذذذذذة 𝟐

𝟓𝒚)لذذذذذذذذتكن : 12س 𝟒𝟐 𝒙 معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟐 )

𝟐 𝟓 𝟒)الذي معادلته المكافئ فجد لمة (𝟎

******************************************************************

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثان

3د / 2014وزاري ل ولطع زائد نمطة تماطع محوره نمطة األصذل أحذدهما مذر ببذإرة األخذر ـــــــلطع نالص مركز نمطة األص / 4س

𝟐 𝟗فؤذا كانت 𝟐𝟓 𝟐 :معادلة المطع النالص فجد 𝟐𝟐𝟓 )أ( مساحة المطع النالص . )ب( محط المطع النالص .

)ج( معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . )د( األختالف المركزي لكل منهما . )أ( /الحل

𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 225)

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟏

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓 𝝅 وحدة مربعة

)ب(

المحط 𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐𝝅√

𝟐𝟓 𝟗

𝟐 𝟐 𝝅√

𝟑𝟒

𝟐 وحدة 𝟏𝟕√ 𝟐


144

من المطع النالص :)ج(

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝐜 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

: من المطع الزائد

المطع الزائد مر ببإرة المطع النالص

البؤرتان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓) الرأسان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒)

𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟗

𝟐

𝟏𝟔

𝟐

𝟗معادنت انقطع انزائد 𝟏

)د(

𝟒

𝟓 األختالف المركزي للقطع الناقص 𝟏

𝟓

𝟒 األختالف المركزي للقطع الزائد 𝟏


145

3د / 2015وزاري 2د / 2011وزاري

احة ـــذذـنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـــذذـتنتمذان لمحذذور السالذذذي بإرتذذا نذذالص المطذذع ة الجذد معـــــذذـادل / 5س

.وحدة 𝟏𝟎وحدة مربعة ومحطه ساوي 𝟕منطمته

/الحل

𝒂𝒃 𝟕 𝝅 𝒃 𝟕

𝒂 ( معادلة ① )

𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅√

𝟐 𝟐

𝟐

( 𝟐 ) 𝟓 √

𝟐 𝟐

𝟐 ( معادلة ② )

نحصل على : ②ف المعادلة ①بتعوض المعادلة

𝟓√

𝟐

𝟕 𝟐

𝟐

𝒂 𝟓

√ 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐( تربيع الطرفين )

𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐 𝟓𝟎 𝟐

𝟒𝟗

𝒂𝟐

( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟗

𝟒 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒𝟗)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟒𝟗

𝟐 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟕 𝟒𝟗

𝒃 𝟕

𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝟕

𝟕

𝟐

𝟒𝟗

𝟐

𝟏معادنت انقطع انىاقص 𝟏

𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟏 𝟏

𝒃 𝟕

𝒂 𝟕 همل 𝟕

𝟏

.ف المطع النالص ( )ر من لمة كبأجب أن تكون ( )ألن لمة


146

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثان

1/د98سإال وزاري

𝟐 لطع زائد معادلته 𝟐 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرت المطذع 𝟐√𝟔وطول محور الحمم 𝟗𝟎

𝟐 𝟗النالص الذي معادلته 𝟏𝟔 𝟐 .k ,hجد لمة 𝟓𝟕𝟔

الحل:

: الناقصف القطع

[9 2 16 2 576] 576

2

2

1 2 64 2 36

2 2 2 64 36 2

2 28 2√7

( 7√2 ) ( 7√2) البؤرتان

( 7√2 ) ( 7√2) الزائد : البؤرتان ف القطع

c 2√7 2 6√2 3√2

2 2 2 18 2 28 2 1

ℎ 2 2 9 ] 9 2

9 ℎ

2

9

1

2

18

18ℎ 9 ℎ 5

2

1

1 9 9


147


)النمطة 𝟏

𝟑تنتم إلى المطع المكافئ الذي رأسه ف نمطة األصل وبإرته تنتم إلى محور السنات والت هذ (𝟐

النسبة بن طول محوره , احدى بإرت المطع النالص𝟓

𝟒 جد معادلة كل من المطعن المكافئ والنالص. ,

الحل:

2 : المكافئ 4 (2)2 4 (

) 4

البؤرة ( 3) 3

2 4(3) 2 12

3 ⇐ الناقص البؤرتان هما ( 3 ) ( 3)

2

2 5

4 4 5

5

4

2 2 2 25 2

16 2 9 ] ( 16)

25 2 16 2 144 9 2 144

2 16 4

5( )

5

معادلة القطع الناقص 2

25

2

1


𝟐 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرت المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟑 𝟐 والنسذبة بذن 𝟏𝟐

طول محورة 𝟓

𝟑

الحل:

2 الزائد: ف المطع 3 2 12( 2)

2

2

2

1 2 12 2 4

2 2 2 2 12 4 2 16 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ البؤرتان ( 4) ( 4 )الناقص: ف القطع

2

2

5

3 5

5

(1)

2 2 2 25 2

2 16 25 2 9 2 144

16 2 144 2 9 3 5( )

5

قصمعادلة القطع النا 2

25

2

1


148


𝟐 𝟑جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرت المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟎

النسبة بن طول محور الحمم والبعد بن بإرته تساوي و𝟏

𝟐

الحل:

2 3 النالص: ف المطع 5 2 12 ( 2 )

2

2

2 1 2 4 2 24

2 2 2 2 4 24 2 16 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ ( 4) ( 4 )الزائد: البؤرتان ف القطع

2

2 1

2

4 1

2 2 4 2

2 2 2 4 2 16 2 12

2

2

2 معادلة القطع الزائد 1


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذن المكذافئن: 𝟐𝟎 𝟐 والفذرق بذن 𝟐𝟎

وحدة. 2طول محوره الحمم والمرافك =

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5 ) البؤرة ( 5)

5 ⇐( 5,0-( , )5,0البؤرتان ) :ف المطع الزائد

2 2 2 ( 2) 1 1

2 2 2 (1 )2 2 25 1 2 2 2 25

2 2 2 24 ( 2) 2 12

( 4)( 3)

4 همل 4

3 3

1 3 4

2

16

2

9 1


149


( 8جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذنات والمسذافة بذن بإرتذه تسذاو )

وحدة. 16وحدات ومجموع طول محوره

4 8 2 الحل:

2 2 16 8 8

2 2 2 (8 )2 2 16 64 16 2 2 16

16 48 3 8 3 5

2

25

2



𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟗 𝟐 والنسذبة بذن طذول محذور الحممذ 𝟑𝟔

إلى البعد بن بإرته = 𝟏

𝟐

الحل:

النالص ف المطع 2

2

1 2 36 6

الرأسان ( 6) ( 6 )

البؤرتان ( 6) ( 6 ) c ⇐ ف القطع الزائد 6

2

2

2

2 2 6 3

2 2 2 9 2 36 2 27

2

2



𝟐 لطع نالص معادلته 𝟒 𝟐 جد طول كل من محوره وأحداث كل من بإرته ورأسه. 𝟒

الحل:

2 4 2 4( )

2

2

1 2 4 2

2 1 1

2 2(2) طول المحور الكبر 4

2 2(1) طول المحور الصغر 2

الرأسان ( 2) ( 2 )

2 2 2 4 1 2

2 3 √3

البؤرتان ( 3√) ( 3√ )


150

1/ د2004سإال وزاري

( 5,0-( واحد بإرته )3,0معادلة المطع المخروط الذي محورا محوري االحداثات والذي احد رإوسه )جد

الحل:

3 5

2 2 2 9 2 25 2 ( ألن ) القطع الزائد 16

2

2

معادلة القطع الزائد 1


لطع زائد ولطع نالص احدهما مر ببإرت اآلخر. جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص ه 𝟐

𝟐𝟓

𝟐

𝟗 علما أن محورهما على محوري االحداثات. 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 25 5 الرأسان ( 5) ( 5 )

2 9 2 2 2

25 9 2 2 البؤرتان ( 4) ( 4 ) 4 16

4 ⇐ لزائدا الرأسان ( 4) ( 4 ) ف القطع

5 ⇐ البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 2 2 16 2 25 2 9

2

2



( ثم جد معادلة دلله.3,6( , )3,6-جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات

2 4 (3)2 4 (6) 9 24

2 4 (

) 2

2 معادلة القطع المكافئ

معادلة الدلل

2/ د2006سإال وزاري

( ثم جد معادلة دللة.1,3( , )3-,1جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع السن وفتحة القطع إلى المن. القطع متناظر حول محور السنات

2 4

(3)2 4 (1) 9 4

2 4 9

4 2 معادلة القطع المكافئ 9

معادلة الدلل


151


المطذذع الزائذذد ( وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا8جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذن بإرتذذه ) 𝟐

𝟏𝟔

𝟐

𝟗 𝟏 .

الحل:

الزائدف المطع 2

2

1 2 16 2 9

2 2 2 16 9 2 2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

4 ⇐ ف القطع الناقص 8 2

5 ⇐ الرأسان هما ( 5) ( 5 )

2 2 2 25 2 16 2 25 16 2 9

2

25

2



𝟐 لتكن 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرته بإرة المطع المكافئ 𝟑 .hجد لمة 𝟖

الحل:

8 4 المكافئ:ف المطع البؤرة ( 2) 2

c 2 ⇐ البؤرتان ( 2) ( 2 ) ف القطع الزائد

2 ℎ 2 3

2

3 2

3ℎ

1 2 3 2 3

ℎ

2 2 2 3

4

1 ℎ 3


جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟐

𝟒𝟏

𝟐

𝟏𝟔 ( وحدات.8وطول محور المرافك ) 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 41 2 16 2 2 2 2 41 16

2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

5 ⇐ ف القطع الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4 2 2 2 2 16 25

2 9

2

2



152


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4

2 2 2 2 16 25 2 9

2

2


1/د 2008سإال وزاري

𝟐 𝟒لطع نالص معادلته 𝟐 𝟐 .Lوحدة. جد لمة 𝟑√𝟐والبعد بن بإرته =

3√2 2 الحل: √3

4 2 2 2 ] 2

2

2

1

2

2 2

2 2

2 2 2

2

4 3

4 3 12


𝟐 𝟗جد معادلة المطع النالص الذي مر ببإرت المطع الزائد 𝟏𝟔 𝟐 ومطع من محور السنات جزءا 𝟏𝟒𝟒

( وحدة.12طوله )

الحل:

2 9 الزائد: ف المطع 16 2 144 ( )

2

2

1 2 16 2 9

2 2 2 16 9 2 2 25 5

البؤرتان (5 ) (5 )

6 12 2 5 النالص:ف المطع

2

2

25 معادلة القطع الناقص 1


153


جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورن االحداثن ومر ببذإرة المطذع المكذافئ

𝟐 وحدة مربعة. 𝟐𝟎ومساحة منطمة المطع النالص 𝟏𝟔

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 16 4 16 4

البؤرة ( 4)

2 2 : النالصف المطع 2

(1)

ما تمثل رأس أو لطبأ( 4,0النمطة ) ( 4,0المطع النالص مر بالنمطة )

4 2

اوهذ غر ممكن 5

b 4 4 2

4 2 5

والمطع من النوع الصادي

2

25

2



𝟐 𝟑 𝟐 مع محور الصادات علما أن مساحة 𝟑√ 𝟐لطع نالص مر بنمطة تماطع المستمم

حث بإرتذا تنتمذان لمحذور السذنات ومركذز نمطذة وحدة مساحة. جد لمة 𝟑√𝟐منطمته تساوي

االصل.

3√ 2الحل: المستمم:

y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ عندما

نقطة التقاطع (3√ )

𝟑√ ⇐بما أن المطع من النوع السن النالص: ف المطع

ℎ 2 3 2 2

2

1

2

2

1

2

2

( ألن القطع من النوع السن)

2√3 2√

2√

√ 2

4

12 3

2

3ℎ 12 ℎ 4


154

1/ د2012وزاري

16جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السنات ومجموع طول محوره =

𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرت المطع الزائد الذي معادلته 𝟐 𝟐 𝟔

الحل:

2 المطع الزائد: ف 2 2 6

2

2

1

2 6 2 3

2 2 2 6 3 2 2 9 3

البؤرتان ( 3 ) ( 3)

c البؤرتان المطع النالص:ف 3 ⇐ (3 ) ( 3 )

2 2 16 2 8 8

2 2 2 (8 )2 2 9 64 16 2 2 9

16 64 9 16 55 55

8 55

2 55

2

(

)2

2

(

)2 1

2

2

2

2

2

2


2/د2012وزاري جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل ونطبك محورا على المحورن االحداثن ومطع من محور

وحدة مساحة. 𝟐𝟒وحدات ومساحة منمطته 8السنات جزءا طوله

24 24 الحل: 2

وحدات فؤن هذا الجزء أما مثل طذول المحذور الكبذر ( 8)بما أن المطع النالص مطع من محور السنات جزا طوله كبر فكون:أو طول المحور الصغر. فؤذا كان هذا الجزء مثل طول المحور ال

2 8 4 2

6

دائما ف المطع النالص. لذا فؤن الجزء الممطوع مثل طول المحور الصغر: وهذا غر ممكن ألن

2 8 4 6

والمطع من النوع الصادي:

2

2



155

1/د2013وزاري

, جد معادلته. 2واختالفه المركزي = (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒)𝟏 لطع مخروط بإرتا

الحل:

4 ⇐ ⇐ القطع زائد الن 1 2

2

2 4 2

2 2 2 4 2 16 2 16 4 2 12

2

2


3/د2014وزاري

𝟕 𝟖جد بإرة ودلل المطع المكافئ , معادلة المحور ورأس المطع المكافئ 𝟐 مع الرسم 𝟐

𝟐 ) ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/ 𝟐 𝟖 𝟕)

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف

𝟐 𝟐 𝟏 𝟖 𝟖 (𝒙 𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟏 )𝟖


𝟏 𝟏 ( ) الرأس( 𝟏 𝟏 )

𝟒 𝟖 𝟐

( ) البؤرة (𝟏 𝟏 )

معادلة الدلل 𝟑

معادلة المحور 𝟏


156

2/د2015وزاري

𝟐 𝟒 𝟐 𝟓لتكن 𝟐 𝟓√ 𝟒لطذع زائذد أحذدى بإرتــذـه هذ بذإرة المطذع المكذافئ معادلة 𝟎

. جد لمة

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐 𝟒

√𝟓

𝟐 𝟒 𝟒 𝟒

√𝟓

𝟏

√𝟓 𝟎

𝟏

√𝟓 البؤرة

𝟎) البإرتانف المطع الزائد : 𝟏

√𝟓 ) (𝟎

𝟏

√𝟓 ) ⇐ c =

𝟏

√𝟓

𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 ( )

𝟐

𝟓

𝟐

𝟒

𝟏 𝟐

𝟓 𝟐

𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 [𝟏

𝟓

𝟓

𝟒 ]

(×𝟐𝟎) 𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒

𝟗

𝟒

2/د2015وزاري وحذذذذذدة مسذذذذذاحة 𝟑𝟐جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات , مسذذذذذاحته

والنسبة بن طول محوره 𝟏

𝟐

الحل:

𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟏𝟔 معادلة المطع النالص 𝟏


157


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4

2 2 2 2 16 25 2 9

2

2



جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوا لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن

𝟐 دلله 𝟐 𝟖𝟎, أذا علمت أن مساحة المطع النالص 𝟎 𝟐𝟒

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 ( بالمقارنة مع) 𝟐𝟒 𝟒

𝟐𝟒 𝟒 ( 𝟒) (البعد بن بؤرة القطع المكافئ ودله) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔

ف المطع النالص :

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 (𝟏)

𝟖𝟎 𝟖𝟎

(𝟐)

فنتج : (𝟏)ف المعدلة (𝟐)نعوض المعادلة

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟑𝟔

(× 𝟐) 𝟒 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟎𝟎)( 𝟐 𝟔𝟒) 𝟎

𝟐 أما 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 أو همل 𝟔𝟒

هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتن غر محدد وهما : ∴

𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝟐

𝟔𝟒 𝟏

𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝟏


158


أذا كذذذان كذذذل مذذذر ببذذذإرت األخذذذر وكالهمذذذا معذذذان علذذذى محذذذور السذذذنات جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص

وحدة طول . 𝟔وحدة طول وطول المحور الحمم ساوي 𝟐√𝟔 وطول المحور الكبر ساوي

الحل:

كل من المطعن مر ببإرة األخر

د ئرأسا المطع النالص مثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزا ∴

: المطع الزائدف : المطع النالصف

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟗

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗

𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟐

𝟗 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

159

تطبمات التفاضل /الفصل الثالث

المواعد األساسة للمشتمة ) مراجعة (

رمشتمة الدالة الثابتة تساوي صف: الماعدة األولى

(𝟏) ( ) 𝟑 ( ) 𝟎

(𝟐) ( ) √𝟒 ( ) 𝟎

(𝟑) ( ) 𝟐

𝟓 ( ) 𝟎

( ) : أذا كان الماعدة الثانة ( ) فأن ( 𝟏)

(𝟏) ( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐

(𝟐) ( ) √ .𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 .

𝟏𝟐/

𝟏

𝟐√

(𝟑) ( ) 𝟕 ( ) 𝟕 𝟖 𝟕

𝟖

( ) : أذا كان الماعدة الثالثة ( ) فأن حث (𝟏 ) ( )

(𝟏) ( ) 𝟔 𝟒 ( ) 𝟐𝟒 𝟑

(𝟐) ( ) 𝟕√ 𝟕 .𝟏𝟐/ ( ) 𝟕(

𝟏

𝟐) .

𝟏𝟐/

𝟕

𝟐√

(𝟑) ( ) 𝟓 𝟑 ( ) 𝟏𝟓 𝟒 𝟏𝟓

𝟒

(𝟒) ( ) 𝟗 ( ) 𝟗

: مشتمة مجموعة دوال = مجوع مشتماتها الماعدة الرابعة

(𝟏) ( ) 𝟑 𝟕 ( ) 𝟑 𝟐 𝟕

(𝟐) ( ) 𝟔 𝟒 𝟏

( ) 𝟐𝟒 𝟑

𝟏

𝟐

(𝟑) ( ) 𝟕√ 𝟐

𝟓 ( ) 𝟕 .

𝟏𝟐/ 𝟐 𝟏 𝟓

( ) 𝟕 (𝟏

𝟐) .

𝟏𝟐/ 𝟐 𝟐 𝟓

( ) 𝟕

𝟐√ 𝟐

𝟐 𝟓


160

] مشتمة الدالة األولى مشتمة الدالة الثانة + الدالة الثانة مشتمة حاصل ضرب دالتن = الدالة األولى [: الماعدة الخامسة

( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )(𝟐 ) ( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )(𝟐) (𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 𝟕) 𝟖 𝟑 𝟏𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟏𝟒

: مشتمة لسمة دالتن = الماعدة السادسة الممام مشتمة البسط البسط مشتمة الممام

(الممام)𝟐

( ) 𝟐 𝟑 𝟏

𝟒 𝟏 ( )

( 𝟒 𝟏)(𝟔 ) (𝟐 𝟑 𝟏)(𝟒 𝟑)

( 𝟒 𝟏)𝟐 𝟔 𝟓 𝟔 𝟖 𝟔 𝟒 𝟑

( 𝟒 𝟏)𝟐

( ) ن : مشتمة مجموعة دوال مرفوعة ألس مع الماعدة السابعة ( ) فأن ( ) (𝟏 )-( ) , , ( )-

(𝟏) ( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )𝟓 ( ) 𝟓(𝟒 𝟑 𝟕 )𝟒 (𝟏𝟐 𝟐 𝟕) (𝟔𝟎 𝟐 𝟑𝟓)(𝟒 𝟑 𝟕 )𝟒

(𝟐) ( ) ( 𝟏)𝟐 (𝟐 𝟐)𝟑 ( ) ( 𝟏)𝟐 ,𝟑(𝟐 𝟐)𝟐(𝟐)- (𝟐 𝟐)𝟑 ,𝟐( 𝟏)(𝟏)-

( ) 𝟔( 𝟏)𝟐(𝟐 𝟐)𝟐 𝟐(𝟐 𝟐)𝟑( 𝟏)

(𝟑) ( ) 𝟐√𝟒 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 (𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

( ) 𝟐 6(𝟏

𝟐) (𝟒 𝟑 𝟐 )

𝟏𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐)7 (𝟒 𝟑 𝟐 )

𝟏𝟐 ,𝟐 -

𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐)

𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

𝟐 (𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

( ) 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 (𝟒 𝟑 𝟐 )

𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖 𝟐

𝟐√𝟒 𝟑 𝟐

المواعد األساسة ألشتماق الدوال الدائرة

(𝟒) ( ) ( ) 𝟐( )

(𝟏) ( ) ( ) ( )

(𝟓) ( ) ( )

(𝟐) ( ) ( ) ( )

(𝟔) ( ) ( )

(𝟑) ( ) ( ) 𝟐( )

بعض الموانن والعاللات المهم

(𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏


161

(𝟐 ) 𝟐

𝟏 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

( )

𝟏 𝟐

𝟏 (𝟐 )

𝟐

𝟐 𝟏 (𝟐 )

𝟐

( )

( ) (تعكس األشارة)

مشتمة كال مما أت : جد/ مثال

(𝟏) ( ) √ ( ) 𝟏

𝟐 √

(𝟐) ( )

𝟐 ( )

𝟏

𝟐

(𝟑) ( )

( ) ( ) ( 𝟏) ( )

𝟏

(𝟒) ( ) ( )

(𝟓) ( ) √ ( ) 𝟏

𝟐√ √

(𝟔) ( ) √ ( ) 𝟏

𝟐√

(𝟕) ( ) 𝟐 ( )𝟐 ( ) 𝟐

(𝟖) ( ) 𝟐 ( )𝟐 ( ) 𝟐

(𝟗) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( ) (𝟐 )

(𝟗) ( ) ( ) 𝟐 𝟏 ( ) ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ( ) 𝟐


162

المشتمات ذات الرتب العلا

0دالة تتوافر فها شروط األشتماق فأن مشتمتها األولى ه ( ) أذا كانت

وه تمثل 1( )

فأن مشتمتها الثانة تكون أضا دالة جددة ورمز لها بالرمز دالة جددة , والدالة الجددة أذا كانت لابلة لألشتماق

0حث 𝟐

𝟐, والدالة الجددة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثالثة تكون أضا دالة 1( )

0حث لرمز جددة ورمز لها با 𝟑

𝟑عدد صحح موجب فأن المشتمة (n)وهكذا فأذا كان 1( )

( ) 0تكون كالتال (n) من الرتبة

( )1

مالحظات عامة

لذا فأن : ( )تمثل أزاحة الجسم عند أي زمن ( )حث - ( ) ,أذا كانت

( )تمثل السرعة اللحظة للجسم ورمز لها بالرمز وه )المشتمة األولى( ① ( )

𝟐

𝟐 ( ))معدل تغر السرعة ( ورمز لها بالرمز للجسم التعجلتمثل وه ( الثانة )المشتمة ② ( )

𝟑

𝟑 تغر الزمن للتعجل(التمثل )معدل وه )المشتمة الثالثة( ③ ( )

شتمة بعض الدوال لابلة لألشتماق أكثر من مرة , لذا فأن مشتمة ناتج األشتماق األول تسمى بالمشتمة الثانة , وم ④

ق الثان تسمى بالمشتمة الثالثة ناتج األشتما

ضمنة المشتمـــــــــة ال

بعد ( )نضف ( )ـ بالنسبة لل ( )و ( )فعند أشتماق معادلة تحتوي على ( )دالة بداللة ( ) أذا كانت

كما ف المثال التال : أكبر من واحد ( ( )) وتستخدم المشتمة الضمنة عندما كون لمة أس ( )كل مشتمة لل

لكال مما أت : ( )أوجد / مثال

① 𝟐 𝟐 𝟒

( 𝟐)⇒

② 𝟐 𝟐 𝟑

( ) ( )


163

فجد 𝟐 أذا كان /(1(مثال 𝟒

𝟒

/الحل

𝟐

( 𝟐 )(𝟐) 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟐 𝟐 )(𝟐) 𝟒 𝟐

𝟑

𝟑 (𝟒 𝟐 )(𝟐) 𝟖 𝟐

𝟒

𝟒 (𝟖 𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟔 𝟐

𝟐 علمت بأن أذا /( (مثال 𝟐 على أن : فبرهن 𝟏 𝟑

𝟑 𝟑

𝟐

𝟐

𝟎

/الحل

𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 (

) 𝟐 𝟎 ( 𝟐)

(

) (واالن نشتك الطرفن بالنسبة للمتغر ) 𝟎

4 𝟐

𝟐5 (

) (

) 𝟏 𝟎

4 𝟐

𝟐5 (

)𝟐

𝟏 (واالن نشتك الطرفن بالنسبة للمتغر مرة أخرى ) 𝟎

. 𝟑

𝟑/ .

𝟐

𝟐/

𝟐

. 𝟐

𝟐/ 𝟎 𝟎 .

𝟑

𝟑/ 𝟑.

𝟐

𝟐/

𝟎

𝟑

𝟑 𝟑

𝟐

𝟐

(وهو المطلوب) 𝟎

𝟏𝟑 لتكن / مثال فجد المشتمة الثانة 𝟎 𝟎 حث 𝟎

/الحل

𝟎 𝟎

المشتمة األولى 𝟎

𝟐

𝟐

𝟎 (𝟏) 𝟎

𝟐 𝟎 𝟐

المشتمة الثانة


164

( ) كانت أذا /مثال 𝟐 (𝟏) وكان (𝟏) وكان 𝟓 (𝟏) وكان 𝟑 فجد 𝟒

/الحل

(𝟏) (𝟏)𝟐 (𝟏) معادلة ① 𝟓 𝟓

( ) 𝟐 (𝟏) 𝟐 (𝟏) معادلة ② 𝟑 𝟐 𝟑

( ) 𝟐 (𝟏) نعوض ف ② 𝟐 𝟒 𝟐

𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟒 𝟕 نعوض ف ①

( 𝟐) (𝟕) 𝟓 𝟓 𝟐 𝟕 𝟎

فبرهن أن أذا كانت /مثال 𝟐

𝟐 𝟐

/الحل

𝟐

𝟐 ( ) 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

(𝟑 تمارين(𝟏

جد / 1س 𝟐

𝟐 :لكل مما أت

( ) √𝟐 𝟐

/الحل

(𝟐 )𝟏𝟐

𝟏

𝟐 (𝟐 )

𝟏𝟐 ( 𝟏)

𝟏

𝟐 (𝟐 )

𝟏𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟏

𝟐 ) ( 𝟏

𝟐) (𝟐 )

𝟑𝟐 ( 𝟏)

𝟏

𝟒(𝟐 )𝟑𝟐

𝟏

𝟒 √(𝟐 )𝟑


165

( ) 𝟐

𝟐 𝟐

/الحل

(𝟐 )( 𝟏) (𝟐 )(𝟏)

(𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐

(𝟐 )𝟐

𝟒

(𝟐 )𝟐 𝟒(𝟐 ) 𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟒)( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑(𝟏)

𝟖

(𝟐 )𝟑

( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 𝟐 𝟎

/الحل

𝟐 [

] 𝟒

𝟎 𝟎

𝟐

𝟐 𝟒

𝟎

(𝟐 𝟒) 𝟐

𝟐

(𝟐 𝟒)

𝟐 6 𝟐

𝟐

7 𝟐

𝟒

𝟐

𝟐 𝟎

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟒

𝟐

𝟐 𝟎

𝟐

𝟐 (𝟐 𝟒) 𝟒

𝟐

𝟐 (𝟐 𝟒) ( 𝟒)

𝟐

(𝟐 𝟒)

𝟐

𝟐

𝟖

(𝟐 𝟒)𝟐

𝟖

𝟒( 𝟐)𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( 𝟐)𝟐

السؤالطرمة أخرى لحل

𝟐 𝟒 𝟓

(𝟐 𝟒) 𝟓 𝟓

(𝟐 𝟒)

𝟓

𝟐( 𝟐)

𝟓

𝟐( 𝟐) 𝟏

𝟓

𝟐( 𝟏)( 𝟐) 𝟐(𝟏)

𝟓

𝟐( 𝟐) 𝟐

𝟐

𝟐 𝟓

𝟐( 𝟐)( 𝟐) 𝟑(𝟏) 𝟓( 𝟐) 𝟑

𝟐

𝟐

𝟓

( 𝟐)𝟑


166

جد / 2س :لكل مما أ ت (𝟏)

( ) ( ) 𝟒√𝟔 𝟐 𝟑

/الحل

( ) 𝟒(𝟔 𝟐 )𝟏𝟐 ( ) 𝟒 (

𝟏

𝟐) (𝟔 𝟐 )

𝟏𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )

𝟏𝟐

( ) 𝟒 ( 𝟏

𝟐) (𝟔 𝟐 )

𝟑𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )

𝟑𝟐

( ) 𝟒(

𝟑

𝟐) (𝟔 𝟐 )

𝟓𝟐 ( 𝟐) 𝟏𝟐(𝟔 𝟐 )

𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟔 𝟐 )𝟓𝟐

(𝟏)

𝟏𝟐

(𝟔 𝟐)𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟒)𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟐𝟐)𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟐)𝟓 𝟏𝟐

𝟑𝟐 𝟑

𝟖

( ) ( )

/الحل

( ) ( )

( ) ( ) 𝟐

( ) 𝟐 ( ) 𝟑

(𝟏) 𝟑 (𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟑

( ) ( ) 𝟑

𝟐 𝟐

/الحل

( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟏 ( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏) (𝟐 ) 𝟐

( ) 𝟑( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑 ( ) (𝟐 ) 𝟑

( ) ( )(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟏𝟖(𝟐 ) 𝟒

𝟏𝟖

(𝟐 )𝟒

(𝟏)

( )


167

فبرهن أن أذا كانت / 3س 𝟐

𝟐 𝟐 (𝟏 حث (𝟐

(𝟐 𝟏)

𝟐

/الحل

𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 (𝟏 𝟐)

(𝟒) : فبرهن أن أذا كانت / 4س 𝟒 𝟎

/الحل

(𝟏)

𝟐

𝟐 ( ) (𝟏) 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟑

𝟑 𝟐

𝟒

𝟒 𝟐

𝟒

𝟒 𝟐 𝟐

𝟒

𝟒 /و هـ م. 𝟎 𝟒 (𝟒) 𝟎 𝟐 𝟐

المعدالت المرتبطة

نتبع الخطوات التالة :وه أحدى تطبمات المشتمة الضمنة لحل مسائل المعدالت المرتبطة بالزمن

حــدد العاللــة نضــع لهــا الرمــوز ونحــدد المترــرات والثوابــت ونألة )أن أحتجــت الــى ذلــن ( وــــــــم مخطــط للمســـــــــنرس ① الرئسة لحل السؤال

نحاول أجاد عاللة أخرى بن المتررات لك مل عدد المتررات الداخلة ف الحل ②

)الزمن( tنشتك الطرفن بالنسبة للمترر ③

نعوض معطات السؤال من المتررات بعد األشتماق فنتج المطلوب ④


168

رب منه ــــتس 𝟐 ضلعها سطوح مستطلة لاعدته مربعة طول خزان مملوء بالماء على شكل متوازي(/1مثال )

𝟑 𝟒 𝟎الماء بمعدل tجد معدل ترر أنخفاض الماء ف الخزان عند أي زمن ⁄ 2د / 2013وزاري 1د / 2011وزاري

/الحل

{

نفرض ارتفاع الماء ف الخزان

مســـــــــــــاحة الماعـــــــــدة

نفرض حجم الماء ف الخزان

tأي زمن ف

[ مساحة الماعدة األرتفاع] = ( )العاللة ه لانون حجم الخزان

(𝟐)𝟐 𝟒

األن نشتك بالنسبة للزمن

𝟒

𝟎 𝟒 𝟒

𝟎 𝟒

𝟒 𝟎 𝟏 ( ⁄ )

⁄ 𝟏 𝟎)معدل ترر أنخفاض الماء ف الخزان = ∴ )

بحـث ⁄ 𝟐تمـدد طولــــــها بمعـدل 𝟐 𝟗𝟔صفحة مستطلة من المعـدن مسـاحتها تسـاوي (/2مثال ) 𝟖صان ف عرضها عندما كون عرضها تبمى مساحتها ثابتة , جد معدل النم

2د / 2011وزاري 3د / 2014وزاري /الحل

8نفرض طول المستطل

نفرض عرض المستطل t ف اي زمن

- , = ( )العاللة ه مساحة المستطل

𝟗𝟔 (نحسب لمة ) معادلة①

𝟗𝟔 (𝟖) 𝟗𝟔

𝟖 𝟏𝟐

بالنسبة للزمن األن نشتك معادلة ①

𝟎

(𝟏𝟐)

(𝟖)(𝟐) 𝟎

𝟏𝟔

𝟏𝟐 𝟒

𝟑 ( ⁄ )

.معدل التنالص ف عرض المستطل = ∴ 𝟒

𝟑 ⁄ /


169

فـأذا بـدأ الجلـد , مرطـى بطبمـة مـن الجلـد بحـث شـكله بمـى مكعـب 𝟖مكعب صلد طـول حرفـه (/3مثال )

𝟑 𝟔بمعدل بالذوبان 𝟏فجد معدل النمصان بسمن الجلد ف اللحظة الت كون فها هذا السمن = ⁄ 1د / 2015وزاري /الحل

8نفرض سمن الجلد

نفرض حجم الجلد tف أي زمن

.المطلوب حساب

.حث ( 𝟏 )عندما /

𝟔 𝟑 ⁄ /

حجم المكعب مغطى بالجلد حجم المكعب األصل حجم الجلد

(𝟖 𝟐 )𝟑 (نشتك بالنسبة للزمن) 𝟑(𝟖)

𝟑(𝟖 𝟐 )𝟐(𝟐)

𝟎

𝟔 𝟔(𝟖 𝟐(𝟏))𝟐

𝟏 (𝟏𝟎)𝟐

𝟏

𝟏𝟎𝟎 ⁄

0.01 ⁄ لذا فأن معدل النمصان ف سمن الجلد =

الطـر اذا انزلـك على حائط رأســــ , ف السفل على أرض أفمة وطرفه العلويستند طرفه ا 𝟏𝟎سلم طوله (/4مثال )

:عن الحائط فجد 𝟖عندما كون الطر األسفل على بعد ⁄ 𝟐 مبتعد مبتعدا عن الحائط بمعدل لسفاأل

سرعة ترر الزاوة بن السلم واألرض ②معدل أنزالق الطر العلوي ①

1د / 2012وزاري 2د / 2014وزاري ① /الحل

أي لحظة ف عن الحائطنفرض بعد الطر األسفل

أي لحظة عن األرض ف بعد الطر األعلى نفرض

نفرض لـــــاس الزاوـــــة بــــن الســــلم واألرض

𝟐 𝟐 (فثاغورس) 𝟏𝟎𝟎

𝟔𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟑𝟔 𝟔

𝟐 𝟐 (نشتك الطرفن) 𝟏𝟎𝟎

𝟐

𝟐

𝟎

𝟐(𝟖)(𝟐) 𝟐(𝟔)

𝟎

𝟑𝟐 𝟏𝟐

𝟎 𝟏𝟐

𝟑𝟐

𝟖

𝟑 ( ⁄ )

معدل انزالق الطرف العلوي ∴𝟖

𝟑 ⁄ =


170

② /الحل

(نشتك الطرفن)

( نعوض لمة )

( نضرب الطرفن ب 𝟏𝟎 )

( نمسم الطرفن على 𝟖 )

( ⁄ سرعة تغر الزاوة بن السلم واالرض (

وطــول لطــر 𝟐𝟒 اوي ـــــــه الــى االســفل ارتفاعــه ســــــــمرشــح مخروطــ لاعدتــه أفمــة ورأس (/5مثــال )

𝟑 𝟓صب فه سائل بمعدل 𝟏𝟔لاعدته 𝟑 𝟏بنما تسرب منه السا ئل بمعـدل ⁄ جـد معـدل ⁄ 𝟏𝟐اللحظة الت كون فها عمك السائل السائل ف ترر عمك

/الحل

{

نفرض أرتفاع الســـــــائل

نفرض نصف لطر الماعدة

نفرض حجم الســــــــائل

tف أي زمن

معدل تغر حجم السائل معدل الصب معدل التسرب

𝟓 𝟏 𝟒 ( 𝟑 ⁄ )

مالحظة

العاللة ه حجم السائل ف المرشح المخروط

𝟏

𝟑 معادلة① 𝟐

نعوض ف معادلة①

𝟏

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 (

𝟑)𝟐

𝟏

𝟐𝟕 𝟑

𝟐𝟕 (نشتك بالنسبة للزمن) 𝟑

𝟐𝟕 𝟑 𝟐

𝟗 𝟐

𝟒

𝟗 (𝟏𝟐)𝟐

(𝟒)(𝟗)

𝟏𝟒𝟒 𝟏

𝟒 ( ⁄ معدل أزداد أرتفاع السائل (


171

𝟐 نمطــة متحركــة علــى منحنــ المطــع المكــاف Mلــتكن (/6مثــال ) بحــث كــون معــدل أبتعادهــا عــن النمطــة 𝟒

𝟒 عنــــدما كــــون Mللنمطــــة جــــد المعــــدل الزمنــــ لترــــر األحــــداث الســــن ⁄ 𝟐 𝟎 ســــاوي (𝟎 𝟕)

/الحل

( ) للمطع المكافئلتكن النمطة

( ) لتكن النمطة

S المسافة بنN , M

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)𝟐

√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐

√ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟒 ( 𝟐 𝟒 )

√ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗 ( 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗)𝟏 (نشتك بالنسبة للزمن) 𝟐

𝟏

𝟐( 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗)

𝟏𝟐 (𝟐 𝟏𝟎)

𝟐 𝟏𝟎

𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗

𝟎 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟏𝟎

𝟐 √(𝟒)𝟐 𝟏𝟎(𝟒) 𝟒𝟗

𝟎 𝟐 𝟐

𝟐√𝟐𝟓

𝟎 𝟐

𝟐

𝟏𝟎

𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟏 ( ⁄ )


172

(𝟑 تمارين(𝟐

ن ـسلم ستند طرفه األسفل على أرض أفمة وطرفـه األعلـى علـى حـائط رأسـ فـأذا أنزلـك الطـر األسـفل مبتعـدا عـ / 1س

فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما كون لاس الزاوة بن السلم واألرض تساوي 𝟐الحائط بمعدل

𝟑

/الحل

①الطريقة

{

نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم

نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار

نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض

نفرض الزاوة بن الســــــــلم و األرض

tف أي زمن

ه فثاغورس العاللة

𝟐 𝟐 𝟐 معادلة①

𝟑

√𝟑

𝟐

𝟑

𝟏

𝟐

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐 (

𝟏

𝟐 ) (𝟐) 𝟐4

√𝟑

𝟐 5

𝟎

𝟐 √𝟑

𝟎

𝟐

√𝟑 𝟐

√𝟑 ( ⁄ )

= الطر العلوي للسلم معدل االنزالق 𝟐

√𝟑 m/s

②الطرمة

𝟑

√𝟑

√𝟑


𝟐

𝟐

𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐(√𝟑 )

𝟎

𝟒 𝟐√𝟑

𝟎

𝟒

𝟐√𝟑 𝟐

√𝟑 ( ⁄ )


173

ــود طول / 2س ـــعم ــه مصــباح تحــرن رجــل طول 𝟐 𝟕 ه ــ ــ نهات ـــــــــف ــود 𝟖 𝟏 هـ ــدا عــن العم مبتع

1د / 2013وزاري جد معدل ترر طول ظل الرجل ⁄ 𝟑𝟎رعة ــــوبس

/الحل

8نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح

نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل حث tف أي زمن

𝟑𝟎

(tan)او أستعمال العاللة ه تشابه مثلثات

𝟕 𝟐

ف المثلث الكبر

𝟏 𝟖

ف المثلث الصغر

𝟕 𝟐

𝟏 𝟖

𝟒

𝟏

(نشتك بداللة ) 𝟑 𝟒

𝟑

. /

𝟑 𝟑𝟎

𝟑 𝟏𝟎 ( ⁄ )

⁄ ) 𝟏𝟎= معدل ترر طول ظل الرجل )

𝟐 جد النمط الت تنتم للدائرة / 3س 𝟐 والت عندها كون المعدل الزمن 𝟏𝟎𝟖 𝟖 𝟒

3د / 2012وزاري tبالنسبة للزمن ( )ساوي المعدل الزمن لترر ( )لترر

/الحل

𝟐 )وه العاللة معطاة 𝟐 حث (𝟏𝟎𝟖 𝟖 𝟒

𝟐

𝟐

𝟒

𝟖

𝟎 (

ب

( نعوض بدل كل

𝟐

𝟐

𝟒

𝟖

𝟎 (𝟐

(نمسم المعادلة على

𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 ( نعوضها ف العاللة المعطاة)

(𝟐 )𝟐 𝟐 𝟒(𝟐 ) 𝟖 𝟏𝟎𝟖

𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖

𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗𝟔

𝟐 𝟖 𝟒𝟖 𝟐 𝟖 𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟐)( 𝟒) 𝟎

𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎

𝟒 𝟐 ( 𝟒) 𝟔

النمطتان( )( )


174

عندما كون المعدل الزمن ألبتعادها Mجد أحداث النمطة 𝟐 نمطة تتحرن على المطع المكاف M لتكن / 4س

𝟎.عن النمطة 𝟑

𝟐 2د / 2012وزاري Mساوي ثلث المعدل الزمن لترر األحداث الصا دي للنمطة /

/الحل


𝟐

𝟑

𝟎. لتكن النمطة 𝟑

𝟐 /


√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ 𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ ( 𝟐 𝟑 𝟗

𝟒)

( 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (نشتك بالنسبة للزمن)

𝟏

𝟐( 𝟐 𝟐

𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (𝟐

𝟐

)

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟐

𝟑

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟐

𝟑

𝟐( 𝟏)

𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟗𝟒

𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒 ( تربع الطرفن ) (𝟏 )𝟑

𝟒( 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒) 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏)

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎

تهمل(𝟎 𝟎) 𝟎 𝟎

𝟐 √𝟐 ( √𝟐 𝟐)

( √𝟐 𝟐)

⁄ 𝟑 𝟎)متوازي سطوح مستطلة ابعاده تترر بحث تبمى لاعدتـه مربعـة الشـكل ز ـزداد طـول ضـلع الماعـدة بمعـدل / 5س )

⁄ 𝟓 𝟎)وأرتفاعه تنالص بمعدل ( 𝟑)واالرتفاع ( 𝟒)جد معدل ترر الحجم عندما كون طول ضلع الماعدة (

/الحل

{

نفرض طول ضلع الماعدة

نفرض ارتفاعـــــــــــــه

حجمــــــــــــــــــــــه

tف أي زمن

الطول العرض االرتفاع العاللة ه لانون الحجم حث

(نشتك بالنسبة للزمن) 𝟐

𝟐

(𝟐 )

( نعوض المجاهل)

(𝟒)𝟐 ( 𝟎 𝟓) (𝟑) (𝟐 𝟒)(𝟎 𝟑)

(𝟏𝟔)( 𝟎 𝟓) (𝟎 𝟗)(𝟖) 𝟖 𝟕 𝟐 𝟎 𝟖 ( 𝟑 ⁄ )


175

أمثلة أضافة محلولةسلم ستند طرفه األسفل على أرض أفمة وطرفه األعلى على حائط رأس فأذا أنزلك الطر األسفل مبتعدا /مثال

فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما كون لاس الزاوة بن السلم واألرض ( 𝟐)عـن الحائط بمعدل

تساوي

𝟒

/ الحل

①الطريقة

{

نــــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم

نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار

نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض


tف أي زمن

العاللة ه فثاغورس


𝟒

𝟏

√𝟐

𝟒

𝟏

√𝟐


𝟐

𝟐

𝟎 𝟐 (

𝟏

√𝟐 ) (𝟐) 𝟐(

𝟏

√𝟐 )

𝟎

𝟐√𝟐 √𝟐

𝟎

𝟐√𝟐

√𝟐 𝟐( ⁄ )

( ) 𝟐معدل االنزالق = ∴

②الطريقة

𝟒

𝟏


𝟐

𝟐

𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐( )

𝟎

𝟒 𝟐

𝟎

𝟒

𝟐 𝟐( ⁄ )


176

وحـدة مربعـة فـأذا أزداد طـول محـوره ( 𝟔𝟎)لطعة معدنة على شكل لطـع نـالص بمسـاحة ثابتـة تسـاوي /مثال

وحــدة طول/دلمـة فجـد معــدل النمصـان فـ طــول محـوره االكبـر عنــدما كـون طـول محــوره (𝟐 𝟎)األصـرر بمعـدل

وحدة طول (𝟏𝟐)االصرر

/ الحل

8 نفرض طول المحور االكبر

نفرص طول المحور االصغر tف اي زمن

حثالعاللة ه لانون المساحة

𝟔𝟎

𝟔𝟎 .

𝟐/ .

𝟐/ (

( نضرب الطرفن ب

𝟐𝟒𝟎 𝟐𝟒𝟎

(نشتك بالنسبة للزمن) 𝟏 𝟐𝟒𝟎

𝟐𝟒𝟎 𝟐

( 𝟐𝟒𝟎

𝟐)

( 𝟐𝟒𝟎

(𝟏𝟐)𝟐) (𝟎 𝟐)

𝟒𝟖

𝟏𝟒𝟒 𝟏

𝟑

دلمة ) معدل النمصان ف طول محوره االكبر ∴ ⁄وحدة طول ) 𝟏

𝟑

******************************************************************

𝟑 𝟑 ) بمعدلكــرة مملــؤة بالرــاز تســرب منهــا الرــاز : 1س ⁄ جــد معــدل النمصــان فــ طــول نصــ لطرهــا (

.كون حجمها اـــــعندم𝟑𝟐

𝟑 /

𝟐 √ نمطة مادة تتحرن على المنحن الذي معادلته : 2س نـر األحداث الســـــفأذا كان معدل تر 𝟕

⁄ 𝟑)للنمطة = (0,0)جد معدل ترر بعد النمطة عن نمطة األصل , x=4عندما (

عـن بتعـاد ذا أخـذ الرجـل باالافـ (m 7)م أمام مصباح رتفع عن سطح األرض (cm 175)رجل طوله : 3س

فجد معدل ازداد طول ظل الرجل (m/s 6)لاعدة المصباح بمعدل


177

والممة المتوسطة رول تامبرهن

فأن :- ,دالة معرفة على الفترة المرلمة أذا كانت أذا وفمط أذا : - , حث تأخذ لمة عظمى عند ①

𝒙 , - لكل ( ) ( ) أذا وفمط أذا : - , حث تأخذ لمة صررى عند ②

𝒙 , - لكل ( ) ( )

لمـة عظمـى أو لمـة صـررى وكان للدالة - ,دالة معرفة على الفترة المرلمة أذا كانت (𝟏 𝟑) مبرهنة

( ) فأن ةموجود ( ) وأن ( ) ث ـح Cعند 𝟎

مبرهنة (critical number)بأنه عدد حرج Cن العدد ــــــــمال عـ Cمعرفة عند العدد الدالة لتكن (𝟐 𝟑)

( ) أذا كان بالنمطة الحرجة (( ) )وتسمى Cة غر لابلة لالشتماق ف ــــأو ان الدال 𝟎

-𝟏 𝟏 , لتكن (/1مثال ) ( ) تمتلن لمة عظمى او صررى , بن هل الدالة | |

/ الحل

𝟎 عند وتمتلن أصرر لمة 𝟏 𝟏 تمتلن أعظم لمة عند كل من الدالة

( ) غر موجودة وهذا ال شترط أن كون (𝟎) أي أن 𝟎 غر لابلة لألشتماق عند الدالة 𝟎

وأن غر موجودة لذا مال أن العدد " صفر " هو العدد الحرج للدالة (𝟎) ) والحظ أن الدالة معرفة عند الصفر وأن

ه النمطة الحرجة (ز ((𝟎) 𝟎)النمطة

( ROLLE'S THEOREMمبرهنة رول )

f اذا كانت الدالة

( ) ③ ( )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ② - ,مستمرة ف الفترة المرلمة ① ( )

( ) بحث ( )نتم الى الفترة ت لمة واحدة فأنه وجد على األلل كما مبن أدناه 𝟎


178

مالحظات

ا وجود نمطة واحدة على األلل تنتم للمنحن وتكون موازة لمحور السنات ـهذه النظرة تعن هندس 𝟏

تنطبك الثالثة فأن مبرهنة رول العند عدم توفر أحد الشروط 𝟐

الممكنة : بن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالة ؟ ثم جد لمة (/2مثال )

( ) ( ) (𝟐 )𝟐 ,𝟎 𝟒-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟒 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟒 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟎) (𝟒) نوجد ③

( ) (𝟐 𝟎)𝟐 (𝟐)𝟐

( ) (𝟐 𝟒)𝟐 ( 𝟐)𝟐

(𝟎) (𝟒)

( ) ونفرض ( )تحمك مبرهنة رول لذا نفرض الدالة ضمن الفترة المعطاة 𝟎

( ) (𝟐 )𝟐 ( ) 𝟐(𝟐 )

( ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟎

𝟐 (𝟎 𝟒)

( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟏-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟏) (𝟏 ) نوجد ③

( ) 𝟗(𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 (𝟏)𝟑 𝟗 𝟑 𝟏

( ) 𝟗( 𝟏) 𝟑( 𝟏)𝟐 ( 𝟏)𝟑 𝟗 𝟑 𝟏

( 𝟏) (𝟏)

تحمك مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم تحمك الالدالة


179

( ) ( ) { 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟐-

𝟏 , 𝟒 𝟏-

/ الحل

-𝟐 𝟒 ,مجال الدالة

الشرط األول ①

( 𝟏)

( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏

( 𝟏)

( 𝟏) 𝟏 𝟐

𝟏 -𝟐 𝟒 ,ف الفترة الدالة غر مستمرة ألن 𝟐 ال تحمك مبرهنة رول الدالة

( ) ( ) , -

/ الحل

النها دالة ثابتة - ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

( ) ( ) نوجد ③ ( ) ( ) ( ) ( )

( )مكن أن تكون أي لمة ضمن الفترة تحمك مبرهنة رول وأن لمة الدالة

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة عند تحمك المبرهنة بن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالة ؟ ثم جد لمة /مثال

(𝟏) ( ) 𝟒 𝟖 𝟐 , 𝟐 𝟐-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟐 𝟐 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟐 𝟐 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟐 ) (𝟐) نوجد ③

(𝟐) (𝟐)𝟒 𝟖(𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔

( 𝟐) ( 𝟐)𝟒 𝟖( 𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔

( ) ( )

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) 𝟒 𝟖 𝟐 ( ) 𝟒 𝟑 𝟏𝟔

( ) 𝟒( 𝟑) 𝟏𝟔( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟒) 𝟎

𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟐 𝟐)


180

(𝟐) ( ) ,𝟎 𝟐 -

/ الحل

ألنها دالة دائرة - 𝟐 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( 𝟐 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

( 𝟐) (𝟎) نوجد ③

( ) (𝟎)

(𝟐 ) (𝟐 )

(𝟎) (𝟐 )


( ) ( )

( ) ( ) ( )

𝟐

𝟐 (𝟎 𝟐 )

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐 (𝟎 𝟐 )

(𝟑) ( ) 𝟗 ,𝟓 𝟗-

/ الحل

النها دالة ثابتة -𝟗 𝟓,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟗 𝟓)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② (𝟗) (𝟓) نوجد ③

( ) 𝟗 ( ) 𝟗 (𝟓) (𝟗)

(𝟗 𝟓)مكن أن تكون أي لمة ضمن الفترة تحمك مبرهنة رول وأن لمة الدالة

(𝟒) ( ) √𝟏𝟔 𝟐 , 𝟐 𝟐-

/ الحل

𝟏𝟔 𝟐 𝟎 𝟐 أوسع مجال للدالة -𝟒 𝟒 , 𝟒 𝟏𝟔 النها مستمرة على المجموعات الجزئة -𝟒 𝟒 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ① الحظ (𝟒 𝟒 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

( ) 𝟐

𝟐√𝟏𝟔 𝟐

√𝟏𝟔 𝟐

(𝟐 ) (𝟐) نوجد ③

( ) √𝟏𝟔 (𝟐)𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐

( ) √𝟏𝟔 ( 𝟐)𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐 (𝟐) ( 𝟐)


( )

√𝟏𝟔 𝟐 ( )

√𝟏𝟔 𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟒 𝟒)


181

(𝟓) ( ) √ 𝟐𝟑

, 𝟏 𝟏-

/ الحل

Rالنها مستمرة على المجموعة الحممة -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

ألنها غر معرفة عند الصفر الحظ (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة غر ②

( ) 𝟐

𝟑 𝟏

𝟑 𝟐

𝟑4 𝟏 𝟑5

𝟐

𝟑 √ 𝟑

ألن الشرط الثان غر متحمك مكن تطبمها وال ال تتحمك مبرهنة رول ∴

******************************************************************

الممكنة Cالتالة ؟ وجد لمة بن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال

(𝟐) ( ) 𝟒 𝟒 𝟐 الفترة-𝟓 𝟓 , 𝟏

(𝟏) ( ) 𝟑 𝟐 الفترة-𝟒 𝟒 , 𝟏𝟏 𝟏𝟐

(𝟒) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 الفترة-𝟎 𝟏 , 𝟑

(𝟑) ( ) (𝟐 الفترة-𝟒 𝟒 , 𝟐(

(𝟔) ( ) { 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟑-

𝟏 , 𝟓 𝟏-

(𝟓) ( ) الفترة- ,

(𝟖) ( ) ( 𝟐 الفترة-𝟒 𝟏 , 𝟐(𝟑

(𝟕) ( ) 𝟑 𝟐 الفترة-𝟑 𝟓 , 𝟗

(𝟏𝟎) ( ) 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟏-

(𝟗) ( ) الفترة-𝟑 𝟑 , 𝟒(𝟏 )

(𝟏𝟐) ( ) الفترة-𝟑 𝟓 , |𝟑 𝟐|

(𝟏𝟏) ( ) الفترة- 𝟐 𝟐 , 𝟐


182

(THE MEAN VALUE THEOREMمبرهنة الممة المتوسطة )

فأنه وجد على األلل ( )الفترة المفتوحة علىولابلة لالشتماق - ,دالة مستمرة ف الفترة المرلمة اذا كانت

( ) وتحمك ( )تنتم الى Cلمة واحدة ( ) ( )

( ) او كتب ( ) ( ) ( )

المخطط التال بن التفسر الهندس لمبرهنة الممة المتوسطة

المماس وازي الوتر ①

ساوي مل الوتر المار بالنمطتن ②

( ) ( )

/( ) .ػنذ = المشتقت األولى للذالت ميل المماس للمنحن ػنذ ③ أ

ان لذا تساوى ملهما , أي أن ـــــــــــــــــــر متوازـــــــــالمماس والوت ④

( ) ( ) ( )

مالحظات

مبرهنة رول تعتبر حالة خاصة من مبرهنة الممة المتوسطة 𝟏

( ) ألن الشرط السبب/ غر موجود ف مبرهنة الممة المتوسطة ( )

( ) ن أي أن ـــــــــــــــــور الســــــــالمحوازي ــــــــما ــــــر كالهــــــــــاس والوتــــــالمم: ف مبرهنة رول 𝟐 𝟎

𝟎اي فرق الصادات 𝟎لذا صبح المل

( ) الت تحمك Cألجاد لمة 𝟑 ( ) ( )

: جب توافر الشرطن التالن

- ,دالة مستمرة ف الفترة المرلمة أن تكون ①

( )لابلة لالشتماق ف الفترة المفتوحة أن تكون ②


183

: جد لمة برهن أن الدوال األتة تحمك شروط مبرهنة الممة المتوسطة و أو (/3مثال )

( ) ( ) 𝟐 ⁄ د 𝟑 -𝟕 𝟏 , 𝟒 𝟔 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟐

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟕 𝟏 , الدالة مستمرة ف الفترة المرلمة ①

النها كثرة حدود (𝟕 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟐 𝟔 ( ) ( مل المماس) 𝟔 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟕) ( 𝟏)

𝟕 ( 𝟏) 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝟏𝟖 ( مل الوتر) 𝟎

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟏 𝟕)

( ) ( ) √𝟐𝟓 𝟐 , 𝟒 𝟎-

/ الحل

𝟐𝟓 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟐 ( أوسع مجال للدالة ) -𝟓 𝟓 , 𝟓

(𝟎 𝟒 )نبحث أستمرارة الدالة ف الفترة المفتوحة ①

( 𝟒)

( ) ( 𝟒)

.√𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟏𝟔 √𝟗 𝟑

(𝟎)

( ) (𝟎)

.√𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟎 √𝟐𝟓 𝟓

-𝟎 𝟒 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ∴

(𝟎 𝟒 ) لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة②



( ) 𝟐

𝟐√𝟐𝟓 𝟐

√𝟐𝟓 𝟐 ( )

√𝟐𝟓 𝟐 ( مل المماس)

( ) ( ) ( )

(𝟎) ( 𝟒)

𝟎 ( 𝟒) 𝟓 𝟑

𝟒 𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 / مل الوتر.


𝟏

𝟐

√𝟐𝟓 𝟐 √𝟐𝟓 𝟐 (تربع الطرفن) 𝟐

𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟓 √

√ ( 𝟒 𝟎) √ ( 𝟒 𝟎)


184

- 𝟎, أذا كانت (/4مثال ) ( ) 𝟑 𝟒 𝟐

تحمك مبرهنة الممة المتوسطة عند وكانت 𝟐

𝟑 فجد لمة

/ الحل

( ) 𝟑 𝟐 𝟖 ( ) 𝟑

(𝟐

𝟑) 𝟑 (

𝟐

𝟑)

(𝟐

𝟑) 𝟑 (

𝟒

𝟗)

𝟏𝟔

𝟑 𝟒

𝟑 𝟏𝟔

𝟑 𝟏𝟐

𝟑 ( ) ( مل المماس) 𝟒

( ) ( ) ( )

( ) (𝟎)

𝟎 𝟑 𝟒 𝟐 𝟎

𝟐 ( مل الوتر) 𝟒


𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة Cالمعطاة ثم أوجد لمة ( )الفترة على مبرهنة الممة المتوسطةتحمك شروط اثبت ف كل مما أت /مثال

(𝟏) ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ,𝟎 𝟏-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟏 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟏 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②



( ) 𝟐 𝟐 ( ) ( مل المماس) 𝟐 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟏) (𝟎)

𝟏 𝟎 𝟐 ( 𝟏)

𝟏 / مل الوتر. 𝟑


𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏

𝟐 (𝟎 𝟏)


185

(𝟐) ( ) √𝟒 ,𝟎 𝟒- / الحل

𝟒 ( أوسع مجال للدالة ) 𝟒 𝟎

النها مستمرة على المجموعات الجزئة -𝟒 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟒 𝟎) لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②


تحمك المبرهنة الت C نبحث عن النمطة

( ) 𝟏

𝟐√𝟒 ( )

𝟏

𝟐√𝟒 ( مل المماس)

( ) ( ) ( )

(𝟒) (𝟎)

𝟒 𝟎 𝟎 (𝟐)

𝟒 𝟏

𝟐 / مل الوتر.


𝟏

𝟐√𝟒 𝟏

𝟐

𝟏

√𝟒 (تربع الطرفن) 𝟏

𝟏

𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟒)

(𝟑) ( ) 𝟐 ,𝟎 -

/ الحل

ألنها دالة دائرة - 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الذالت ②



( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( مل المماس) ( )

( ) ( ) ( )

(𝟐 ) 𝟎

𝟎 𝟐

/ مل الوتر. 𝟐


𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟎

𝟐 (𝟎 )

******************************************************************

Cالمعطاة ثم أوجد لمة ( )على الفترة الممة المتوسطةمبرهنة تحمك شروط اثبت ف كل مما أت

(𝟐) ( ) 𝟒 𝟏 ,𝟏 𝟒-

(𝟏) ( ) 𝟐 𝟏 , 𝟐 𝟒-

(𝟑) ( ) ( 𝟐 𝟑)𝟐 , 𝟏 𝟏-


186

(نتجة مبرهنة الممة المتوسطة التمرب بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة )

فأن ( )و أعتبرنا ـــــول ( )تماق ف ـــــولابلة لألش - ,دالة مستمرة ومعرفة على ذا كانت أ

-فأنه بموجب مبرهنة الممة المتوسطة نحصل على : 𝟎 حث ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( لانون التغر التمرب للدالة ) ( )

صررة وصبح الوتر صررا ونهاته لربتان من ( )لربا كافا تكون ف هذه الحالة ( )من ( )وعندما كون ألتراب

وصبح : ( )سكون مماسا للمنحن عند نمطة لربة جدا من النمطة حث ( ), أي أن المماس عند ( )

( ) ( ) الترر التمرب للدالة ( ) ومال للممدار ( )

هنان ثالث أنواع لمسائل التمرب

(5مثال )عندما تكون الدالة غر موجودة ف السؤال الحظ :النوع األول

𝟐𝟔√جد بأستخدام نتجة مبرهنة الممة المتوسطة تمربا مناسبا للعدد (/5مثال )

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟐𝟓 )نفرض

معطى (𝟐𝟔 )نفرض

𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝟏

( ) √ ( ) .𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 . 𝟏𝟐/

𝟏

𝟐 .𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐√

( ) √ (𝟐𝟓) √𝟐𝟓 (𝟐𝟓) 𝟓

( ) 𝟏

𝟐√ (𝟐𝟓)

𝟏

𝟐√𝟐𝟓 (𝟐𝟓)

𝟏

(𝟐)(𝟓) 𝟏

𝟏𝟎 (𝟐𝟓) 𝟎 𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟐𝟓 𝟏) (𝟐𝟓) (𝟏) (𝟐𝟓) (𝟐𝟔) 𝟓 (𝟏)( ) 𝟓 𝟏

√𝟐𝟔 𝟓 𝟏


187

(6مثال )عندما تكون الدالة موجودة ف السؤال الحظ :النوع الثان

( ) أذا كانت (/6مثال ) 𝟑 𝟑 𝟐 (𝟎𝟎𝟏 𝟏) فجد بصورة تمربة 𝟓 𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 ) نفرض

معطى (𝟎𝟎𝟏 𝟏 )نفرض

𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 (𝟏) (𝟏)𝟑 𝟑(𝟏)𝟐 𝟒(𝟏) 𝟓 (𝟏) 𝟏𝟑

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) 𝟒 (𝟏) 𝟏𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏) (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 (𝟎 𝟎𝟎𝟏)(𝟏𝟑)

(𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎 𝟎𝟏𝟑 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎𝟏𝟑

(7مثال )ذلن الحظ ما شابهعندما تكون الدالة ف السؤال عبارة عن لانون مساحة او حجم او :النوع الثالث

مبرهنة الممة المتوسطةنتجة جد حجمه بصورة تمربة بأستخدام ( 𝟗𝟖 𝟗)مكعب طول حرفه (/7مثال )

/ الحل

( ) الذي طول حرفهحجم المكعب لكن

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟎 ) نفرض

معطى (𝟗𝟖 𝟗 )نفرض

𝟗 𝟗𝟖 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟐

( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑 (𝟏𝟎) (𝟏𝟎)𝟑 (𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎

( ) 𝟑 𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎

( ) ( ) ( )

(𝟏𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏𝟎) ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟏𝟎)

(𝟗 𝟗𝟖) 𝟏𝟎𝟎𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)(𝟑𝟎𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟔 (𝟗 𝟗𝟖) 𝟗𝟗𝟒 𝟑


188

( ) لتكن (/8مثال ) √ 𝟐𝟑

فما ممدار الترر التمرب للدالة ؟ 𝟎𝟔 𝟖 الى 𝟖 من فاذا تررت

/ الحل

معطى(𝟖 ) نفرض

معطى (𝟎𝟔 𝟖 )نفرض

𝟖 𝟎𝟔 𝟖 𝟎 𝟎𝟔

( ) √ 𝟐𝟑

( ) ( ).𝟐𝟑/ ( )

𝟐

𝟑 ( ).

𝟏𝟑/ ( )

𝟐

𝟑 √ 𝟑

( ) 𝟐

𝟑 √ 𝟑 (𝟖)

𝟐

𝟑 √𝟖𝟑 (𝟖)

𝟐

𝟔 (𝟖)

𝟏

𝟑

( ) (𝟖) (𝟎 𝟎𝟔) (𝟏

𝟑) ممدار التغر التمرب 𝟎𝟐 𝟎

أوجـد حجـم الطـالء بصـورة ( 𝟏𝟓 𝟎)فـأذا كـان سـمن الطـالء ( 𝟏𝟎)مكعب طـول حرفـه راد طالء (/9مثال )

نتجة مبرهنة الممة المتوسطةتمربة وبأستخدام

/ الحل

( ) حجم المكعب الذي طول حرفه لكن

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟎 ) نفرض

(𝟑 𝟏𝟎 )نفرض

𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟎 𝟑

( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑 𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎

( ) (𝟏𝟎) (𝟎 𝟑)(𝟑𝟎𝟎) حجم الطالء بصورة تمربة 𝟑 𝟗𝟎


189

بأســــــــــــتخدام نتجــة مبرهنــة الممــة المتوســـــــــــطة جــد وبصــورة تمربــــــــــــة وممربــا لــثالث (/10مثــال )

ل كال من :مراتب عشرة على األل

( ) √𝟕 𝟖𝟑

( ) √(𝟎 𝟗𝟖)𝟑𝟓

(𝟎 𝟗𝟖)𝟒 𝟑

( ) √𝟎 𝟏𝟐𝟑

( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕𝟒

( ) √(𝟎 𝟗𝟖)𝟑𝟓

(𝟎 𝟗𝟖)𝟒 𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 ) نفرض

معطى (𝟗𝟖 𝟎 )نفرض

𝟎 𝟗𝟖 𝟏 𝟎 𝟎𝟐

( ) √ 𝟑𝟓

𝟒 𝟑 ( ) ( ).𝟑𝟓/ 𝟒 𝟑

( ) 𝟑

𝟓 ( ).

𝟐𝟓/ 𝟒 𝟑 ( )

𝟑

𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑

( ) ( ).𝟑𝟓/ 𝟒 𝟑 (𝟏) (𝟏).

𝟑𝟓/ 𝟏𝟒 𝟑 (𝟏) 𝟓

( ) 𝟑

𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑 (𝟏)

𝟑

𝟓 √𝟏𝟐𝟓 𝟒(𝟏)𝟑

𝟑

𝟓 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟔

( ) ( ) ( ) (𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟏) (𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐)(𝟒 𝟔)

(𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 𝟎 𝟎𝟗𝟐 √(𝟎 𝟗𝟖)𝟑𝟓

(𝟎 𝟗𝟖)𝟒 𝟑 𝟒 𝟗𝟎𝟖

( ) √𝟕 𝟖𝟑

⁄ د𝟏 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟖 )نفرض

معطى (𝟖 𝟕 )نفرض

𝟕 𝟖 𝟖 𝟎 𝟐

( ) √ 𝟑 ( ) .

𝟏𝟑/

( ) 𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 .𝟐𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑

( ) √ 𝟑 (𝟖) √𝟖

𝟑 (𝟖) 𝟐

( ) 𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑 (𝟖)

𝟏

𝟑 √𝟖𝟐𝟑

𝟏

(𝟑) √𝟔𝟒𝟑

𝟏

(𝟑)(𝟒)

𝟏

𝟏𝟐 (𝟖) 𝟎 𝟎𝟖𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟖 ( 𝟎 𝟐)) (𝟖) ( 𝟎 𝟐) (𝟖) (𝟕 𝟖) 𝟐 ( 𝟎 𝟐)(𝟎 𝟎𝟖𝟑)

(𝟕 𝟖) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔 √𝟕 𝟖𝟑

𝟏 𝟗𝟖𝟑𝟒


190

( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟔 )نفرض

معطى (𝟏𝟕 )نفرض

𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏

( ) √ √ 𝟒 ( )

.𝟏𝟐/

.𝟏𝟒/

( ) 𝟏

𝟐 . 𝟏𝟐/ 𝟏

𝟒 . 𝟑𝟒/ ( )

𝟏

𝟐 .𝟏𝟐/

𝟏

𝟒 .𝟑𝟒/ ( )

𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟒 √ 𝟑𝟒

( ) √ √ 𝟒 (𝟏𝟔) √𝟏𝟔 √𝟏𝟔

𝟒 𝟒 𝟐 (𝟏𝟔) 𝟔

( ) 𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟒 √ 𝟑𝟒 (𝟏𝟔)

𝟏

𝟐 √𝟏𝟔

𝟏

𝟒 √(𝟏𝟔)𝟑𝟒

𝟏

(𝟐)(𝟒)

𝟏

(𝟒)(𝟖)

(𝟏𝟔) 𝟏

𝟖

𝟏

𝟑𝟐 𝟒 𝟏

𝟑𝟐

𝟓

𝟑𝟐 (𝟏𝟔) 𝟎 𝟏𝟓𝟔

( ) ( ) ( )

(𝟏𝟔 𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏𝟕) 𝟔 (𝟏)(𝟎 𝟏𝟓𝟔 )

(𝟏𝟕) 𝟔 𝟎 𝟏𝟓𝟔 √𝟏𝟕 √𝟏𝟕𝟒

𝟔 𝟏𝟓𝟔

( ) √𝟎 𝟏𝟐𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟐𝟓 𝟎 )نفرض

معطى (𝟏𝟐 𝟎 )نفرض

𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓

( ) √ 𝟑 ( ) .

𝟏𝟑/

( ) 𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 .𝟐𝟑/

( ) √ 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓

𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓

( ) 𝟏

𝟑 .𝟐𝟑/ (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

𝟏

(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓).𝟐𝟑/

𝟏

(𝟑)((𝟎 𝟓)𝟑).𝟐𝟑/

𝟏

(𝟑)(𝟎 𝟐𝟓)

(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏

𝟎 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎

𝟕𝟓 𝟒

𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟎 𝟏𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)) (𝟎 𝟏𝟐𝟓) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓) (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

(𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)(𝟏 𝟑𝟑𝟑) (𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟓 √𝟎 𝟏𝟐

𝟑 𝟎 𝟒𝟗𝟑𝟑𝟑𝟓


191

(𝟑 تمارين(𝟑

: ف كل مما أترول ها مبرهنة الت تعن Cأوجد لمة / 1س

( ) ( ) 𝟑 𝟗 , 𝟑 𝟑-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟑 𝟑 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ① النها كثرة حدود (𝟑 𝟑 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② (𝟑 ) (𝟑) نوجد ③

(𝟑) (𝟑)𝟑 𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎 ( 𝟑) ( 𝟑)𝟑 𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎 (𝟑) ( 𝟑)


( ) 𝟑 𝟗 ( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟎 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑

√𝟑 ( 𝟑 𝟑)

( ) ( ) 𝟐 𝟐

[

𝟏

𝟐 𝟐]

/ الحل

0مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①𝟏

𝟐𝟎الن 𝟐1 0

𝟏

𝟐 𝟐1

.لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الذالت ②𝟏

𝟐𝟎الن /𝟐 0

𝟏

𝟐 𝟐1

. نوجد ③𝟏

𝟐 / (𝟐)

(𝟏

𝟐 ) 𝟐(

𝟏

𝟐)

𝟐

.𝟏𝟐/ 𝟏 𝟒 𝟓 (𝟐) 𝟐(𝟐)

𝟐

(𝟐) 𝟒 𝟏 𝟓

.𝟏

𝟐/ (𝟐)


( ) 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐

𝟐

𝟐

( ) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟏 (𝟏

𝟐 𝟐) نهمل السالب


192

( ) ( ) ( 𝟐 𝟑)𝟐 , 𝟏 𝟏-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② (𝟏 ) (𝟏) نوجد ③

(𝟏) (𝟏𝟐 𝟑)𝟐 (𝟏 𝟑)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟒 ( 𝟏) (( 𝟏)𝟐 𝟑)𝟐 (𝟏 𝟑)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟒 (𝟏) ( 𝟏)


( ) ( 𝟐 𝟑)𝟐 ( ) 𝟐( 𝟐 𝟑)(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟐 𝟑)

( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) 𝟎

𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟏 𝟏)

𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟑 √𝟑 ( 𝟏 𝟏)

/ 2س : لكل مما أت بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة جد تمربا

( )√𝟔𝟑 √𝟔𝟑𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟔𝟒 نفرض

معطى 𝟔𝟑 نفرض

𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏

( ) √ √ 𝟑 ( ) √ ( )

.𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟐 √ 𝟏

𝟑 ( ).

𝟐𝟑/

𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑

( ) √ √ 𝟑 (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 √𝟔𝟒

𝟑 (𝟔𝟒) 𝟖 𝟒 (𝟔𝟒) 𝟏𝟐

( ) 𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑 (𝟔𝟒)

𝟏

𝟐 √𝟔𝟒

𝟏

𝟑 √(𝟔𝟒)𝟐𝟑

(𝟔𝟒) 𝟏

(𝟐)(𝟖)

𝟏

(𝟑)(𝟏𝟔)

(𝟔𝟒) 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟒𝟖 𝟑 𝟏

𝟒𝟖 𝟒

𝟒𝟖 𝟏

𝟏𝟐 (𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟖𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) (𝟔𝟒)

(𝟔𝟑) 𝟏𝟐 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟖𝟑) 𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟖𝟑 (√𝟔𝟑 √𝟔𝟑𝟑

) 𝟏𝟏 𝟗𝟏𝟕


193

( ) (𝟏 𝟎𝟒)𝟑 𝟑(𝟏 𝟎𝟒)𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟏 نفرض

معطى b= 𝟏 𝟎𝟒 نفرض

𝟏 𝟎𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟒

( ) 𝟑 𝟑 𝟒 ( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑

( ) 𝟑 𝟑 𝟒 (𝟏) (𝟏)𝟑 𝟑(𝟏)𝟒 (𝟏) 𝟒

( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟏𝟐(𝟏)𝟑 (𝟏) 𝟏𝟓

( ) ( ) ( )

(𝟏 𝟎 𝟎𝟒) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟒) (𝟏)

(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟒) (𝟏𝟓) 𝟒 𝟎 𝟔 (𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 𝟔

( ) 𝟏

√𝟗𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟖 نفرض

معطى 𝟗 نفرض

𝟗 𝟖 𝟏

( ) 𝟏

√ 𝟑

𝟏

.𝟏𝟑/ .

𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟑( ).

𝟒𝟑/

( ) . 𝟏𝟑/ (𝟖) (𝟖).

𝟏𝟑/ (𝟖) (𝟐𝟑).

𝟏𝟑/ (𝟐) 𝟏

𝟏

𝟐 (𝟖)

𝟏

𝟐

( ) 𝟏

𝟑( )

( 𝟒𝟑 ) (𝟖)

𝟏

𝟑(𝟖)

( 𝟒𝟑 ) (𝟖)

𝟏

𝟑.𝟐𝟑/

( 𝟒𝟑 ) (𝟖)

𝟏

(𝟑).𝟐𝟒/

(𝟖) 𝟏

(𝟑)(𝟏𝟔) 𝟏

𝟒𝟖 (𝟖)

𝟏

𝟒𝟖

( ) ( ) ( )

(𝟖 𝟏) (𝟖) (𝟏) (𝟖)

(𝟗) 𝟏

𝟐 (𝟏) (

𝟏

𝟒𝟖)

𝟏

𝟐 𝟏

𝟒𝟖 𝟐𝟒 𝟏

𝟒𝟖 𝟐𝟑

𝟒𝟖 (𝟗) 𝟎 𝟒𝟕𝟗


194

( ) 𝟏

𝟏𝟎𝟏

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟏𝟎𝟎 نفرض

معطى 𝟏𝟎𝟏 نفرض

𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏

( ) 𝟏

𝟏 ( ) 𝟏 ( ) 𝟐

( ) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) (𝟏𝟎𝟎) 𝟏 𝟏

𝟏𝟎𝟎 (𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟏

( ) 𝟏 ( ) 𝟐 (𝟏𝟎𝟎) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) 𝟐 (𝟏𝟎𝟎) 𝟏

(𝟏𝟎𝟎)𝟐

(𝟏𝟎𝟎) 𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟏𝟎𝟎 𝟏) (𝟏𝟎𝟎) (𝟏) (𝟏𝟎𝟎)

(𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 (𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗𝟗

( ) √𝟏

𝟐⁄ د 𝟐 ⁄ د 𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟒𝟗 𝟎 نفرض

معطى 𝟓𝟎 𝟎 نفرض

𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏

( ) √ ( ) 𝟏

𝟐√

( ) √ (𝟎 𝟒𝟗) √𝟎 𝟒𝟗 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕

( ) 𝟏

𝟐√ (𝟎 𝟒𝟗)

𝟏

𝟐√𝟎 𝟒𝟗

𝟏

(𝟐)(𝟎 𝟕) 𝟏

𝟏 𝟒 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕𝟏𝟒

( ) ( ) ( )

(𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗) (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗)

(𝟎 𝟓) 𝟎 𝟕 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟏𝟒) 𝟎 𝟕 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟏𝟒 (𝟏

𝟐) 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝟏𝟒


195

بأسـتخدام جـد كمـة الطـالء بصـورة تمربـة ( 𝟏 𝟎)طلت بطالء سمكه ( 𝟔)نص لطرها كرة / 3س

1د / 2014وزاري زمبرهنة الممة المتوسطة

حجم الكرة –حجم كمة الطالء = حجم الكرة مع الطالء / الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟔 نفرض

ومثل نص المطر للكرة مضافا له كمة الطالء ز 𝟏 𝟔 ونفرض

𝟔 𝟏 𝟔 𝟎 𝟏

𝟒

𝟑 𝟑

𝟒

𝟑 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟐

( ) 𝟒 𝟐 (𝟔) 𝟒 (𝟔)𝟐 (𝟔) 𝟏𝟒𝟒

( ) (𝟔) (𝟎 𝟏) (𝟏𝟒𝟒 ) ( كمة الطالء بصورة تمربة) 𝟑 𝟒 𝟏𝟒

بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة ز بصورة تمربة نص لطرها جد (𝟑 𝟖𝟒) حجمهاكرة / 4س

/ الحل

نفرض الحجم

نفرض نص المطر

𝟒

𝟑 𝟑

𝟖𝟒 𝟒

𝟑 𝟑 𝟑

(𝟑)(𝟖𝟒 )

𝟒 ( )(𝟐𝟏) 𝟔𝟑 √𝟔𝟑

𝟑

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟔𝟒 نفرض

معطى 𝟔𝟑 نفرض

𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏

( ) √ 𝟑 .

𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 ( ).

𝟐𝟑/

( ) .𝟏𝟑/ (𝟔𝟒) (𝟔𝟒).

𝟏𝟑/ (𝟒𝟑).

𝟏𝟑/ (𝟔𝟒) 𝟒

( ) 𝟏

𝟑 ( ).

𝟐𝟑/ (𝟔𝟒)

𝟏

𝟑 (𝟔𝟒).

𝟐𝟑/ (𝟔𝟒)

𝟏

𝟑 (𝟒𝟑).

𝟐𝟑/ 𝟏

𝟑 (𝟒)( 𝟐)

(𝟔𝟒) 𝟏

(𝟑)(𝟒𝟐)

𝟏

(𝟑)(𝟏𝟔)

(𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) (𝟔𝟒)

(𝟔𝟑) 𝟒 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) 𝟒 𝟎 𝟎𝟐 (𝟔𝟑) 𝟑 𝟗𝟖


196

فجـد حجمـه ( 𝟗𝟖 𝟐)كان ارتفاعه ساوي مخروط دائري لائم أرتفاعه ساوي طول لطر الماعدة فأذا / 5س

أو نتجتها زبصورة تمربة بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة

/ الحل

نفرض األرتفاع

نفرض نص المطر

𝟑 𝟐 ( 𝟐

𝟏

𝟐 )

𝟑 (

𝟐)𝟐

𝟏𝟐 𝟑

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟑 نفرض معطى 𝟗𝟖 𝟐 نفرض

𝟐 𝟗𝟖 𝟑 𝟎 𝟎𝟐

𝟏𝟐 𝟑

𝟏𝟐 (𝟑 𝟐)

𝟒 𝟐

( )

𝟏𝟐 𝟑 (𝟑)

𝟏𝟐 (𝟑)𝟑

𝟐𝟕

𝟏𝟐 𝟗

𝟒 (𝟑) 𝟐 𝟐𝟓

( ) 𝟏

𝟒 𝟐 (𝟑)

𝟏

𝟒 (𝟑)𝟐 (𝟑)

𝟗

𝟒 (𝟑) 𝟐 𝟐𝟓

( ) ( ) ( )

(𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟑) ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟑)

(𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟐 𝟐𝟓 ) 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟒𝟓 (𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟎𝟓 𝟑

Cبن أن كل دالة من الدوال التالة تحمك مبرهنة رول على الفترة المعطاة ازاء كل منها ثم جد لمة / 6س

( ) ( ) د𝟐 -𝟑 𝟏 , 𝟒(𝟏 ) ⁄ وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟑 𝟏 ,الدالة مستمرة ف الفترة المرلمة ①

النها كثرة حدود (𝟑 𝟏 )الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ②

(𝟏 ) (𝟑) نوجد ③

( 𝟏) ( 𝟏 𝟏)𝟒 ( 𝟐)𝟒 𝟏𝟔

(𝟑) (𝟑 𝟏)𝟒 (𝟐)𝟒 𝟏𝟔

( 𝟏) (𝟑)


( ) ( 𝟏)𝟒 ( ) 𝟒( 𝟏)𝟑

( ) 𝟒( 𝟏)𝟑 𝟒( 𝟏)𝟑 𝟎

( 𝟏)𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟑)


197

( ) ( ) 𝟑 ⁄ د -𝟏 𝟏 , وزاري

/ الحل

حدود ال كثرة النها -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة الحدود (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الذالت ②

(𝟏) (𝟏 ) نوجد ③

( ) ( 𝟏)𝟑 ( 𝟏)

( ) (𝟏)𝟑 (𝟏)

( 𝟏) (𝟏)


( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐 𝟏

( ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

√𝟑 ( 𝟏 𝟏)

( ) ( ) 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟒-

/ الحل

النها كثرة الحدود -𝟒 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة الحدود (𝟒 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟒) (𝟏 ) نوجد ③

( 𝟏) ( 𝟏)𝟐 𝟑( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟒

(𝟒) (𝟒)𝟐 𝟑(𝟒) 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒

( 𝟏) (𝟒)


( ) 𝟐 𝟑 ( ) 𝟐 𝟑

( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟑

𝟐 ( 𝟏 𝟒)


198

( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) , 𝟎 𝟐 -

/ الحل

- 𝟐 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( 𝟐 𝟎) لة لالشتماق على الفترةلابالدالة ②

( 𝟐) (𝟎) نوجد ③

(𝟎) ( 𝟎) 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑

(𝟐 ) ( 𝟒 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑

(𝟎) (𝟐 )


( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )

( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )

( 𝟐 ) ( ) 𝟎 𝟐 ( ) ( ) ( ) 𝟎 ( ),𝟐 ( ) 𝟏- 𝟎

( ) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟑 (𝟎 𝟐 )

𝟐 ( ) 𝟏 ( )

( السالب مع ف الربع الثان و الثالث)

𝟑

𝟐

𝟑 ف الربع الثان ( 𝟐 𝟎)

𝟑

𝟒

𝟑 ف الربع الثالث ( 𝟐 𝟎)

. أختبر أمكانة تطبك مبرهنة الممة المتوسطة للدوال األتة على الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب / 7س

الممكنة Cوأن تحممت المبرهنة جد لم

( ) ( ) 𝟑 𝟏 , 𝟏 𝟐-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟐 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟐 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②



( ) 𝟑 𝟐 𝟏 ( ) 𝟑 𝟐 ( مل المماس) 𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟐) ( 𝟏)

𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏)

𝟑 𝟔

𝟑 / مل الوتر.


𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏

( 𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)


199

( ) ( ) 𝟐 𝟒 𝟓 , 𝟏 𝟓-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟓 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟓 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②



( ) 𝟐 𝟒 ( ) ( مل المماس) 𝟒 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟓) ( 𝟏)

𝟓 ( 𝟏) 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟓 𝟏 𝟎

𝟔 ( مل الوتر) 𝟎


𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟏 𝟓)

( ) ( ) 𝟒

𝟐 , 𝟏 𝟐-

/ الحل

𝟐 ألن -𝟐 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ① , 𝟏 𝟐-

𝟐 ألن (𝟐 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② ( 𝟏 𝟐)



( ) 𝟒

( 𝟐)𝟐 ( )

𝟒

( 𝟐)𝟐 ( مل المماس)

( ) ( ) ( )

(𝟐) ( 𝟏)

𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟒

𝟑 𝟑

𝟑 ( مل الوتر) 𝟏


𝟒

( 𝟐)𝟐 𝟏 ( 𝟐)𝟐 /جذر الطرفن . 𝟒

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏 𝟐)

𝟐 𝟐 𝟒 ( 𝟏 𝟐)


200

( ) ( ) √( 𝟏)𝟐𝟑

, 𝟐 𝟕-

/ الحل

-𝟕 𝟐 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

𝟏 ألن (𝟏 ) عند لابلة لالشتماقالدالة غر ② ( 𝟐 𝟕)

(𝟏 ) عند لابلة لالشتماقالدالة غر ال مكن تطبك نظرة الممة المتوسطة ألن ∴

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة . األتـة علـى الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـببأختبر أمكانة تطبك مبرهنة الممة المتوسطة للدالة /مثال

الممكنة Cوأن تحممت المبرهنة جد لم

( ) 𝟑 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟑-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟑 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟑 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②



( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟑 𝟐 ( مل المماس) 𝟏 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟑) ( 𝟏)

𝟑 ( 𝟏) 𝟏𝟔 𝟎

𝟒 𝟏𝟔

𝟒 / مل الوتر.


𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟎 (𝟑 𝟓)( 𝟏) 𝟎

𝟓 𝟑 أما 𝟎 𝟑 𝟓 𝟓

𝟑 ( 𝟏 𝟐)

𝟏 أو 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟐)


201

جد تمربا لكل مما أت بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة أو نتجتها : /مثال

(𝟏) √𝟖𝟐𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟖𝟏 )نفرض معطى (𝟖𝟐 )نفرض

𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟏

( ) √ 𝟒 ( ) .

𝟏𝟒/ ( )

𝟏

𝟒 . 𝟑𝟒/

( ) √ 𝟒 (𝟖𝟏) √𝟖𝟏

𝟒 (𝟖𝟏) 𝟑

( ) 𝟏

𝟒 . 𝟑𝟒/ (𝟖𝟏)

𝟏

𝟒(𝟖𝟏).

𝟑𝟒/ (𝟖𝟏)

𝟏

𝟒(𝟑𝟒).

𝟑𝟒/

(𝟖𝟏) 𝟏

𝟒(𝟑)( 𝟑)

𝟏

𝟒 𝟏

(𝟑)𝟑

𝟏

𝟏𝟎𝟖 (𝟖𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗

( ) ( ) ( ) (𝟖𝟐) 𝟑 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟗) 𝟑 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟖𝟐) 𝟑 𝟎𝟎𝟗

(𝟐) √𝟎 𝟏𝟐𝟔𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟐𝟓 𝟎 )نفرض معطى (𝟏𝟐𝟔 𝟎 )نفرض

𝟎𝟏𝟐𝟔 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏

( ) √ 𝟑 ( ) .

𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/

( ) √ 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓

𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓

( ) 𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/ (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

𝟏

𝟑(𝟎 𝟏𝟐𝟓).

𝟐𝟑/ (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

𝟏

𝟑((𝟎 𝟓)𝟑).

𝟐𝟑/

(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏

𝟑(𝟎 𝟓)( 𝟐)

𝟏

𝟑

𝟏

(𝟎 𝟓)𝟐

𝟏

𝟎 𝟕𝟓 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑

( ) ( ) ( ) (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓𝟎𝟏𝟑𝟑


202

(𝟑) √ 𝟑𝟏𝟓

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟑𝟐 )نفرض

معطى (𝟑𝟏 )نفرض 𝟑𝟏 ( 𝟑𝟐) 𝟏

( ) √ 𝟓 ( ) .

𝟏𝟓/ ( )

𝟏

𝟓 . 𝟒𝟓/

( ) √ 𝟓 ( 𝟑𝟐) √ 𝟑𝟐

𝟓 ( 𝟑𝟐) 𝟐

( ) 𝟏

𝟓 . 𝟒𝟓/ ( 𝟑𝟐)

𝟏

𝟓( 𝟑𝟐).

𝟒𝟓/ ( 𝟑𝟐)

𝟏

𝟓(( 𝟐)𝟓)

. 𝟒𝟓/

( 𝟑𝟐) 𝟏

𝟓( 𝟐)( 𝟒)

𝟏

𝟓 𝟏

(𝟐)𝟒 𝟏

𝟖𝟎 ( 𝟑𝟐) 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓

( ) ( ) ( ) ( 𝟑𝟏) 𝟐 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓 ( 𝟑𝟏) 𝟏 𝟗𝟖𝟕𝟓

( ) أذا كانت /مثال 𝟑 ولثالث مراتب عشرة (𝟎𝟎𝟏 𝟏) جد بصورة تمربة 𝟐 𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 )نفرض معطى (𝟎𝟎𝟏 𝟎 )نفرض

𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 (𝟏) (𝟏)𝟑 𝟑(𝟏)𝟐 (𝟏) 𝟒

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) (𝟏) 𝟗

( ) ( ) ( ) (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟗) 𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 𝟎𝟎𝟗

( ) أذا كانت /مثال (𝟗𝟗 𝟎) جد بصورة تمربة 𝟏 𝟑√

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 )نفرض معطى (𝟗𝟗 𝟎 )نفرض

𝟎 𝟗𝟗 𝟏 𝟎 𝟎𝟏

( ) √𝟑 𝟏 ( ) (𝟑 𝟏).𝟏𝟐/ ( )

𝟑

𝟐 √𝟑 𝟏

( ) √𝟑 𝟏 (𝟏) √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏) 𝟐

( ) 𝟑

𝟐 √𝟑 𝟏 (𝟏)

𝟑

𝟐 √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏)

𝟑

𝟒 (𝟏) 𝟎 𝟕𝟓

( ) ( ) ( ) (𝟎 𝟗𝟗) 𝟐 ( 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟓 (𝟎 𝟗𝟗) 𝟏 𝟗𝟗𝟐𝟓


203

(𝟐 𝟓𝟎)جد بصورة تمربة طول ضلع مربع مساحته مبرهنة الممة المتوسطة بأستخدام /مثال

/ الحل

مربع طول الضلعمساحة المربع = ∵

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟒𝟗 )نفرض

معطى (𝟓𝟎 )نفرض 𝟓𝟎 𝟒𝟗 𝟏

𝟐 𝟓𝟎 𝟐 √𝟓𝟎

( ) √ ( ) 𝟏

𝟐 √

( ) √ (𝟒𝟗) √𝟒𝟗 (𝟒𝟗) 𝟕

( ) 𝟏

𝟐 √ (𝟒𝟗)

𝟏

𝟐 √𝟒𝟗 (𝟒𝟗)

𝟏

𝟏𝟒 (𝟒𝟗) 𝟎 𝟎𝟕𝟏

( ) ( ) ( ) (𝟓𝟎) 𝟕 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟕𝟏) 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟏 (𝟓𝟎) 𝟕 𝟎𝟕𝟏

******************************************************************

: أتكل مما مبرهنة الممة المتوسطةبأستخدام جد بصورة تمربة

( ) √𝟐𝟕 𝟏𝟒𝟑

( ) √𝟏𝟓 𝟖𝟖

( ) √𝟑𝟏 𝟐𝟖𝟓

( ) √𝟖𝟎𝟒

( ) (𝟖 𝟏𝟐)𝟐𝟑 (𝟖 𝟏𝟐)

𝟓𝟑 ( ) √ 𝟗 𝟏𝟐

𝟑


204

دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة الدالة

( ) ة والت كون عندها له النمطة الت تنتم لمنحن الدا: النمطة الحرجة غر معرفة زأو تكون 𝟎

كفة اجاد النمط الحرجة( ) ثم نجعل ( ) نجد :الحالة األولى ثـم (.…, X1 ,X2 , X3)ولتكن (X)ثم نحل المعادلة المتكونة ونجد لم 𝟎

ه النمط الحرجة …,(X3,Y3),(X2,Y2),(X1,Y1)الممابلة لها فتكون (Y)ف الدالة األصلة ونجد لم (X)نعوض لم

: جد النمط الحرجة للدوال التالة / مثال توضح

( ) ( ) 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟏

( ) 𝟐 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐

𝟐 ( ( ) 𝟎)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎

𝟏 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝟑

النمطة الحرجة ه(𝟑 𝟏)

( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟔

( ) 𝟔 𝟔 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) 𝟑

النمطة الحرجة ه(𝟑 𝟏)

( ) ( ) 𝟑

( ) 𝟑 𝟏

( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑

𝟐 ( ( ) 𝟎)

𝟑

𝟐 𝟎 𝟑 (غر ممكن ) 𝟎

التوجد نمطة حرجة

( ) ( ) 𝟐 𝟑

( ) 𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟐 (غر ممكن ) 𝟎 ( ) 𝟎


( ) ( ) (𝟐 𝟏)𝟑 𝟔 ( ) 𝟑(𝟐 𝟏)𝟐(𝟐) 𝟔

( ) 𝟔(𝟐 𝟏)𝟐 𝟔

𝟔(𝟐 𝟏)𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟔 )

(𝟐 𝟏)𝟐 𝟏 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟒 )

𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 النمط الحرجة ه(𝟏 𝟎)(𝟓 𝟏)

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 𝟓 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗

( ( ) (نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 (𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓 𝟏𝟎

النمط الحرجة ه(𝟐𝟐 𝟑) (𝟏𝟎 𝟏 )

( ) ( ) 𝟑 𝟏

𝟏 𝟐

𝟏

𝟐

( ) (𝟏 𝟐 )(𝟑) (𝟑 𝟏)( 𝟐)

(𝟏 𝟐 )𝟐

( ) 𝟑 𝟔 𝟔 𝟐

(𝟏 𝟐 )𝟐

( ) 𝟏

(𝟏 𝟐 )𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟏

(𝟏 𝟐 )𝟐 (غر ممكن ) 𝟎 𝟎


( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ( ) (نجعل 𝟎

𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒 )

𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎

النمط الحرجة ه(𝟎 𝟏 )(𝟎 𝟏) (𝟏 𝟎)


205

اذا أعطت نمطة حرجة ستفاد من ذلن ف أجاد الثوابت ف الدالة المعطاةالحالة الثانة:

( ) لتكن /①توضح مثال 𝟑 𝟐 فجـد (𝟏𝟎 𝟏 )وكانت للدالـة نمطـة حرجـة هـ 𝟓

لم الثوابت

/ الحل

𝟏𝟎تحمك دالة المنحن (1,10-) 𝟏 𝟓 𝟔 ( ①معادلة )

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑( 𝟏)𝟐 معادلة②. 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎 /

𝟑 وبحل المعادلتن أنا نحصل على : 𝟗

( ) لتكن /②توضح مثال 𝟐

فجد لم الثوابت (1,3)وكانت للدالة نمطة حرجة ه

/ الحل

) تحمك دالة المنحن (𝟑 𝟏) ①معادلة 𝟑 )

( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 (𝟏) 𝟐 (𝟏)

(𝟏)𝟐

معادلة②. 𝟎 𝟐 /

𝟏 وبحل المعادلتن أنا نحصل على : 𝟐

األولىأختبار التزاد والتنالص للدالة بأستخدام المشتمة

:فأذا كانت (𝑎 𝑏)ة المفتوحة ولابلة لألشتماق ف الفتر - ,دالة مستمرة ف الفترة المرلمة لتكن

( ) ( ) ① متزادة 𝟎

② ( ) ( ) متنالصة 𝟎

طرمة أجاد مناطك التزاد والتنالص

o ز مساوة للصفر أو غر موجودة كما تعلمنا سابما االولى الت تجعل المشتمة ( )نجد لم

o نختبر المم على خط األعداد فأذا كانت

الدالة متزادة ) ( ) )

( ) الدالة متنالصة ) )


206

( ) لتكن (/1مثال ) لتزاد والتنالص از جد مناطك 𝟐

/ الحل

( ) . ( ) / نجعل 𝟎

( )

متزادة ف + * ( )

متنالصة ف + *

جد مناطك التزاد والتنالص لكل من الدالتن األتتن : (/2مثال )

( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑

/ الحل

( ) 𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 . ( ) / نجعل 𝟎

𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏

𝟑 𝟏 المشتمة األولى بالتعوض بمم مجاورة للعددن إشارةط األعداد خعلى نختبر

ف +𝟑 * +𝟏 * متنالصة

ف الفترة المفتوحة (𝟑 𝟏 ) متزادة

( ) ( ) √ 𝟐𝟑

/ الحل

( ) ( )𝟐𝟑 ( )

𝟐

𝟑 ( )

𝟏𝟑 ( )

𝟐

𝟑 √ 𝟑

عدد حرج (𝟎 )أي ان (𝟎 )معرفة أذا كانت غر ( )

𝟎 ددالمشتمة األولى بالتعوض بمم مجاورة للع إشارةط األعداد خنختبر على

ف +𝟎 * متنالصة

ف +𝟎 * متزادة


207

النهاة العظمى والنهاة الصررى المحلة

ــتكن ــرة ل ــى الفت ـــتمرة عل ــة مســــــــ ــد - ,دال ــة لألشــتماق عن ـــرة ( )ولابل ــى الفتــ ـــ ال ــ تنتمـــ الت :فأذا كانت ( )المفتوحة

( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎

( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎

مالحظة

( ) ( )اذا كانت النمطة حرجة فمط ( ) نمطة نهاة عظمى ( ) نمطة نهاة صغرى

ف حالة وجودها أذا علمت أن : fجد نمط النهاات العظمى والصررى المحلة للدالة (/3مثال )

( ) ( ) 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐𝟒 ( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐 ( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐

( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐 / الحل

( ) ( 𝟐) . ( ) / نجعل 𝟎

𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

(𝟐) 𝟏 (𝟐 𝟐)𝟐 𝟏

متنالصة ف + *

متزادة ف + *(𝟏 𝟐) تمثل نمطة نهاة صررى محلة النمطة ((𝟐) 𝟐)


208

( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐 / الحل

( ) ( 𝟐) . ( ) / نجعل 𝟎

𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

(𝟐) 𝟏 (𝟐 𝟐)𝟐 𝟏

متنالصة ف +𝟐 *

متزادة ف + *(𝟏 𝟐) محلة عظمىتمثل نمطة نهاة النمطة ((𝟐) 𝟐)

( ) ( ) 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐𝟒

/ الحل

( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 . ( ) / نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 𝟎 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟔 𝟖 𝟎

( 𝟒)( 𝟐) 𝟎 𝟒 𝟐

(𝟐) (𝟐)𝟑 𝟗(𝟐)𝟐 𝟐𝟒(𝟐) 𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟐𝟎

(𝟒) (𝟒)𝟑 𝟗(𝟒)𝟐 𝟐𝟒(𝟒) 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟔

متنالصة ف الفترة المفتوحة ( )

متزادة ف + * + *(𝟐𝟎 𝟐) محلة عظمىتمثل نمطة نهاة النمطة ((𝟐) 𝟐)

(𝟏𝟔 𝟒) محلة ىصررتمثل نمطة نهاة النمطة ((𝟒) 𝟒)

تمعر وتحدب المنحنات ونمط األنمالب

ة أذا كانـت ـــــبأنهـا محدب ة ـــــفمال عن الدال ( )ة ـــة لابلة لألشتماق ف الفترة المفتوحـــــدال fأذا كانت

متزادة خالل تلن الفترة متنالصة زخالل تلن الفترة وتسمى ممعرة اذا كانت

مالحظة

على انة ـــــتمة ثـــــتمة أولى ومشــــــولها مش :ا ــفأنه ( )- , ـــــعرفة فـــــم fانت ـــــأذا ك

( ) ( ) أذا حممت الشرط األت : ( )على رة ـممعتكون 𝟎

( ) ( ) أذا حممت الشرط األت : ( )على محدبةتكون 𝟎


209

أدرس تمعر وتحدب كل من الدالتن : (/1مثال )

( ) ( ) 𝟑 ( ) ( ) 𝟐

( ) ( ) 𝟐

/ الحل

( ) ( )

( ) ( الدالة ممعرة على )

/ الحل

( ) ( ) 𝟑

( ) 𝟐 ( )

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل 𝟔 𝟎 𝟎 (𝟎) 𝟎

ممعرة ف + *

محدبة ف + *(𝟎 𝟎)النمطة نمطة أنمالبتسمى ((𝟎) 𝟎)

نمطة األنمالب :

مـن حالـة التحـدب الـى حالـة التمعـر أو بـالعكس ة والت عندها نملب المنحن ــــمنحن الداله النمطة الت تنتم ل

تنتمـ لمنحنـ الدالـة والمشـتمة ( ) ه نمطة أنمـالب أذا كانـت النمطـة ( ) النمطة )أو بأسلوب أخر(

( ) )الثانة عندها تساوي صفر )


210

كفة اجاد نمط األنمالب

م نجـدـــن ثــوم ( ) نجد : الحالة األولى ل ـــنجعثـم ( )

( ) م ــــــــة المتكونـة ونجـد لــــل المعادلـــثـم نح 𝟎

(X) ولـتكن( X1 ,X2 , X3,.. ) عوض لـم ــــــم نـــــــث(X) م ـــــــة ونجـد لـــــــــفـ الدالـة األصل(Y) ا ــــــــــــة لهـــــالممابل

ه نمط االنمالب …,(X3,Y3),(X2,Y2),(X1,Y1)فتكون

طرمة أجاد مناطك التمعر والتحدب : مالحظات حول

الممابلة لها ( )ومن ثم نجد لم الت تجعل المشتمة الثانة مساوة للصفر ( )نجد لم

الدالة ممعرة .نختبر المم على خط األعداد فأذا كانت ( ) / الدالة محدبة . أو

( ) /

إشارةاذا لم تترر فأن النمطة ه لست نمطة أنمالب وأنما ه نمطة حرجة ( )

( ) جد نمطة األنمالب للمنحن : (/2مثال ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟏

/ الحل

( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 ( ) 𝟏𝟐 𝟔

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل 𝟏𝟐 𝟔 𝟎 𝟏𝟐 𝟔

𝟏

𝟐 (

𝟏

𝟐)

𝟏𝟏

𝟐

موجبة 2 الن ( )

3 ممعرة ف

سالبة الن ( ) 2

3 محدبة ف

.النمطة 𝟏

𝟐 𝟏𝟏

𝟐/ .

𝟏

𝟐 (

𝟏

𝟐 نمطة أنمالب ه /(

جد مناطك التحدب والتمعر ونمط األنمالب أن وجدت للدوال التالة : (/3مثال )

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ) ( ) 𝟏

𝟎

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐)𝟒

( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑


211

/ الحل

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ) 𝟐 𝟒 𝟑 ( ) 𝟐

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل

𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐)⇒ 𝟐 𝟎

( ) 𝟎 𝟐 𝟎

(𝟐) 𝟏𝟔 (𝟎) 𝟎

محدبة ف + * و + *

ممعرة ف الفترة المفتوحة ( ) أنمالبهما نمطتا ( ) ( ) النمطتان

/ الحل

( ) ( )

𝟏

𝟎

( ) 𝟏

𝟐 ( )

𝟐

𝟑

(𝟎) غر معرفة

محدبة ف + *

ممعرة ف + *

ال نتم لمجال الدالة 0ال توجد نمطة أنمالب ألن

/ الحل

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐)𝟒

( ) ( 𝟐)𝟑 ( ) ( 𝟐)𝟐

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل ( 𝟐)𝟐 𝟎 ( 𝟐)𝟐 𝟎 𝟎 𝟐

الدالــــــــة محدبة ف+𝟐 * و +𝟐 *

ألن الدالـة محدبـة ( ) ال توجد نمطـة أنمـالب عنـد ∴

على جهتها


212

/ الحل

( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐 ( )

( ) ال مكن جعل

الدالــــــــة محدبة ف

ال توجد نمطة أنمالب ∴

/ الحل

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑

( ) 𝟒 𝟑 𝟔 ( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟎

لذا ال توجد نمطة أنمالبالدالــــــــة ممعرة ف

أختبار المشتمة الثانة لنمط النهاات العظمى والصررى المحلة

: الثانة ف فحص ومعرفة نوعة النمط الحرجة دون دراستها على خط االعداد وكما لستفاد من المشتمة

( ) عنـد المـرور بالنمطـة الحرجـة حـث فبدال مـن مالحظـة كفـة ترـر إشـارة فأنـه مكننـا أسـتخدام

محلة وذلن بأستخدام أختبار األختبار التال لنمرر فما أذا كانت النمطة الحرجة تمثل نمطة نهاة عظمى أو صررى

المشتمة الثانة وكما أت :

( ) أذا كانت ( ) ( ) وأن ز ( )تمتلن نهاة عظمى محلة عند فأن

( ) أذا كانت ( ) ( ) وأن ز ( )ى محلة عند صررتمتلن نهاة فأن

( ) أذا كانــت ( ) غــر معرفــة فــال صــح هــذا األختبــار ) وعــاد األختبــار بواســطة الطرمــة ( ) أو

ز ( السابمة عن طرك المشتمة األولى

:مالحظة

ستفاد من نمطة االنمالب ف أجاد الثوابت كما هو الحال ف النمطة الحرجة

: النهاات المحلة للدوال األتة بأستخدام أختبار المشتمة الثانة أن أمكن , جد (/1مثال )

( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟏

( ) ( ) 𝟒

𝟐 𝟎

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏)𝟒


213

/ الحل

( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟏

( ) 𝟔 𝟔 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 (𝟏) 𝟎

( ) 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟎

∵ (𝟏) (𝟏) و 𝟎 𝟔 𝟎

(𝟏 ) توجد نهاة عظمى محلة عند ∴

(𝟏) ه :محلة العظمى النهاة ال ∴ 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟏 𝟐

/ الحل

( ) ( )

𝟒

𝟐 𝟎

( ) 𝟏 𝟖

𝟑 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟏 𝟖

𝟑 𝟎 𝟑 𝟖 𝟎 𝟑 𝟖 𝟐 ( 𝟐) 𝟎

( ) 𝟐𝟒

𝟒 ( 𝟐)

𝟐𝟒

𝟏𝟔 𝟎

∵ ( 𝟐) (𝟐 ) و 𝟎 𝟎

(𝟐 ) توجد نهاة عظمى محلة عند ∴

(𝟐 ) ه :محلة العظمى النهاة ال ∴ 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐 𝟏 𝟑

/ الحل

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏

( ) 𝟔 𝟔

𝟏 عندما

(𝟏 ) فأن (𝟏 ) و 𝟎 𝟏𝟐 𝟎

(𝟏 ) توجد نهاة عظمى محلة عند ∴

(𝟏 ) ه :محلة العظمى النهاة ال ∴ ( 𝟏)𝟑 𝟑( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓

𝟑 عندما

(𝟑) فأن (𝟑) و 𝟎 𝟏𝟐 𝟎

(𝟑 ) ى محلة عند صررتوجد نهاة ∴

(𝟑) ه :محلة الى الصررنهاة ال ∴ (𝟑)𝟑 𝟑(𝟑)𝟐 𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕


214

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏)𝟒

/ الحل

( ) 𝟒( 𝟏)𝟑 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟒( 𝟏)𝟑 𝟎 ( 𝟏)𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏) 𝟎

( ) 𝟏𝟐( 𝟏)𝟐 ( 𝟏) 𝟎

∵ ( 𝟏) (𝟏 ) بجوار إشارةأذن هذه الطرمة ال تنفع لذا نعود الى مالحظة ترر 𝟎

f 𝟏 * متزادة ف+ f 𝟏 * ة فمتنالص+

(𝟏 ) ه :نهاة عظمى محلة توجد ∴ 𝟒 ( 𝟏 𝟏)𝟒 𝟒

( ) لتكن (/2مثال ) 𝟐

𝟎

ال تمتلـن نهاـة عظمـى , ثـم بـن أن الدالـة علمـا أن الدالـة تمتلـن نمطـة أنمـالب عنـد فجـد لمـة محلة ز

/ الحل

( ) 𝟐

𝟐 ( ) 𝟐

𝟐

𝟑 (𝟏) 𝟐

𝟐

(𝟏)𝟑 𝟐 𝟐 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏

( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐

𝟏

𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑

𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟐

𝟑

( ) 𝟐 𝟐

𝟑 ( ) 𝟐

𝟐

. 𝟏𝟐 /

𝟐 𝟒 ( ) 𝟔 𝟎

√ 4 ى محلة عند صررتوجد نهاة ∴𝟏

𝟐

𝟑5

ال تمتلن نهاة عظمى محلة الدالة ∴


215

3د/ 2013وزاري 2د / 2013وزاري 1د / 2012وزاري

𝟑 ة ـلك كون لمنحن الدال عن لمت الثابتن (/3مثال ) 𝟐 نهاة عظمى محلة زثم جد نمطة األنمالب 𝟐 ونهاة عظمى محلة عند 𝟏 عند

/ الحل

𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏 للدالة نهاة عظمى محلة عند ∵ ⇐ 𝟎

𝟎 𝟑( 𝟏)𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 ( معادلة ) 𝟎 𝟐

𝟐 ى محلة عند صررللدالة نهاة ∵ ⇐ 𝟎

𝟎 𝟑(𝟐)𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟏𝟐 ( معادلة ) 𝟎 𝟒

( أنا نحصل على : 2( و )1وبحل المعادلتن )

𝟑

𝟐 𝟔

𝟑 𝟑𝟐 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟔 𝟑 ( (نجعل 𝟎

𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 𝟑 𝟏

𝟐

4𝟏

𝟐5 4

𝟏

𝟐5

𝟑

𝟑𝟐4𝟏

𝟐5

𝟐

𝟔4𝟏

𝟐5

𝟏

𝟖 𝟑

𝟖 𝟑

𝟏 𝟑 𝟐𝟒

𝟖 𝟐𝟔

𝟖 4

𝟏

𝟐5

𝟏𝟑

𝟒

2ممعرة ف f الدالة𝟏

𝟐 3

2محدبة ف f الدالة𝟏

𝟐 3

∴ .𝟏

𝟐 𝟏𝟑

𝟒 نمطة أنمالب /

( ) كان منحن الدالة أذا (/4مثال ) 𝟑 𝟐 +𝟏 *ـدب ف ومح +𝟏 *ـ ممعـــر فــ

فجد لم األعداد الحممة (𝟏 𝟑)عند النمطة 𝟐𝟖 𝟗 ومس المستمم : / الحل 1د / 2014وزاري

+𝟏 *ومحـــدبة ف +𝟏 *ممعـــرة فــــ الدالة مستمرة ألنها كثرة الحدود و ∵

𝟏 الدالة تمتلن نمطة أنمالب عند ∴

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟔 𝟐 (𝟏) 𝟔 𝟐 . (𝟏) /نجعل 𝟎

𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟐) ( معادلة ) 𝟑 𝟎 𝟑 ⇒

)هو 𝟐𝟖 𝟗 مل المماس للمستمم ∵ 𝟑 عند (𝟗

𝟑 عند fهو مل المماس لمنحن الدالة (𝟑) ∴

(𝟑) 𝟐𝟕 𝟔 𝟗 𝟐𝟕 𝟔 ( 𝟑)⇒ 𝟑 / معادلة . 𝟐 𝟗

( ) تحمك معادلة منحن الدالة (𝟏 𝟑)النمطة 𝟑 𝟐

𝟏 ( معادلة ③) 𝟗 𝟐𝟕 ( نحصل على : 2( ف )1وبتعوض المعادلة )

𝟑 𝟗 𝟔 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 نحصل على : (3)( ف المعادلة 𝟑 ( و )𝟏 وبتعوض )

𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟏


216

( ) أذا كان للدالة (/5مثال ) , و نمطة األنمالب 8ة تســــاوي نهاة عظمى محلــ

2د / 2015وزاري فجد لمة عند / الحل

𝟑 𝟐 𝟔 𝟔 𝟔

⇐ 𝟏 عند نمطة أنمالب للدالة ∵ 𝟎

𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏

⇐ (𝟖) تساوي ى محلة عظمللدالة نهاة ∵ 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 ( 𝟐)

𝟎 𝟐

******************************************************************

( ) أذا كان للدالة /بواج , و نمطة األنمالب 4ى محلــــة تســــاوي صررنهاة

فجد لمة عند

(𝟑 تمارين(𝟒

( ) لتكن / 1س 𝟐 اذا كانت : جد قيمة +𝟖 𝟒 * , حيث 𝟔

ممعرة fالدالة محدبة )ب( f)أ( الدالة

الحل/

( ) 𝟐 𝟔 ( ) 𝟐 𝟔 ( ) 𝟐

/أ. أذا كانت الدالة محدبة

( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟒

/ب. أذا كانت الدالة مقعرة

( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟖


217

( ) ة لمنحن الدالة ـــــتمثل نمطة حرج (2,6)أذا كانت / 2س وبن نوع فجد لمة 𝟒( )

زالحرجة النمطة الحل/

( ) 𝟒( )𝟑(𝟏) ( ) 𝟒( )𝟑 ( ) ) عندما 𝟐 ألن النمطة (𝟔 𝟐) نمطة حرجة (نجعل 𝟎

𝟎 𝟒(𝟐 )𝟑 ( 𝟒)⇒ 𝟎 / بالجذر الثالث . 𝟑( 𝟐)

𝟎 𝟐 ( ) تحمك معادلة منحن الدالة (𝟔 𝟐) النمطة ( 𝟐)𝟒

𝟔 (𝟐 𝟐)𝟒 𝟔 𝟎 𝟔

:نالحظ الرسم لبان نوع النمطة الحرجة ( ) 𝟒( 𝟐)𝟑

عظمى محلة تمتلن نهاة ( )النمطة ∴

( ) أذا كان / 3س 𝟑 𝟐 ( ) وكان 𝟏 ان عند متماســـــــ وكان كل من 𝟏𝟐

فجد لم الثوابت (11- ,1) نمطة أنمالب f نمطة األنمالب وكانت للدالة

2د / 2014وزاري الحل/

متماستان عند نمطة األنمالب ( ) ( ) الدالتن ∵

( ) أن متساوان أي ( )عند ( ) ( ) مل الدالتن ∴ ( )

( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟏 𝟏𝟐 ( ) 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 (𝟏)𝟐 𝟐 (𝟏) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ( ①معادلة )

( ) ) ⇐ ( ) نمطة أنمالب لدالة ( )النمطة ∵ ( )عندما (𝟎

( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟑 𝟎 ( ②معادلة )

( ) تحمك معادلة الدالة ( )النمطة

( ) 𝟏𝟏 ( ③معادلة )

أنا سو نحصل على ③و ②و ①وبحل المعادالت

( ①معادلة )

(

③معادلة ) بالطرح

(

②معادلة ) بالطرح


218

( ) ة ــــتمثل نهاة صررى محلة لمنحن الدال (𝟔)أذا كانت / 4س 𝟑 𝟐 𝟑 ثم جد فجد لمة

؟ نمطة انمالبه فالمماس للمنحن معادلة الحل/

( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟎 𝟔 𝟑 𝟐 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 (𝟐 ) 𝟎 𝟐

( ) تنتم لمنحن الدالة ( )النمطة

( ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟑(𝟎)𝟐 (𝟎)𝟑 𝟔

( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ( ) 𝟔 𝟔 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏

( ) 𝟑 𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 (𝟏)𝟑 𝟔 𝟑 𝟏 𝟔 𝟖 (𝟏) 𝟖

( عندما ( ) ) اي نحسب تمثل نمطة أنمالب وه نمطة مل المماس ( )النمطة ∴

(𝟏) 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 (𝟏) 𝟑

( ) 𝟖 𝟑( 𝟏) 𝟖 𝟑 𝟑

( معادلة المماس للمنحن)

( ) أذا كانت / 5س 𝟑 𝟐 (𝟏 ) ةومحدبــــــ (𝟏 )ــرة ـــممعـ وكانت

فجد لم الثوابت (𝟓 𝟏 ) نمطة نهاة عظمى محلة ه fوللدالة 3د / 2012وزاري الحل/

( ) تحمك دالة المنحن (𝟓 𝟏 )النمطة ( ) 𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟏)𝟑 ( 𝟏)𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( ①معادلة )

( ) ⇐ fللدالة نمطة نهاة عظمى محلة (𝟓 𝟏 )النمطة (𝟏 )عندما 𝟎

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 ( 𝟏)𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ②معادلة )

(𝟏 ) ةـــــومحدب (𝟏 )رة ـــممع الدالة ∵

عندما (𝟏 ) النه توجد نمطة انمالب ∴( ) نجعل 𝟎

( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟐 𝟔 𝟐 𝟎 ( ③معادلة )

أنا سو نحصل على ③و ②و ①وبحل المعادالت

( ①معادلة )

(

②معادلة ) بالجمع

( )

(

③معادلة ) بالجمع

( )


219

( ) لتكن / 6س

ال تمتلن نهاة عظمى محلة ز برهن أن الدالة


( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐

𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟎 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟑 𝟑

𝟐 / معادلة .

( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ( ) 𝟐 𝟐

𝟑 / معادلة .

( نحصل على : 2) ف( 1)المعادلة وبتعوض

( ) 𝟐 𝟐

. 𝟐/ 𝟐

𝟐

𝟏4𝟐 5 𝟐 𝟒 𝟔 ( ) 𝟔

( ) ألن تمتلن نهاة صررى محلة الدالة ∴ 𝟔 𝟎

( )مهما كانت لمة عظمى محلة ال تمتلن نهاة الدالة ∴

𝟐 مس المنحن 𝟕 𝟑 تمم ـــالمس / 7س ـة ـــوكانت له نهاــ (𝟏 𝟐)عند

محلة عند 𝟏

𝟐 , وما نوع النهاة ؟ جد لمة

1د / 2016وزاري 1د / 2015وزاري الحل/

(𝟐 𝟏 ) تحمك معادلة المنحن : حث نعوض (𝟏 𝟐)النمطة

𝟐 𝟏 (𝟐)𝟐 (𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ①معادلة )

محلة عند للمنحن نهاة ∵𝟏

𝟐 ⇐

عندما

𝟐 𝟎 𝟐 (

) 𝟎 ( ②معادلة )

: نجد معادلة مل المستمم المماس من معادلته

معامل

معامل

( عندما نجد مل منحن الدالة عند نمطة التماس ) اي نجد

𝟐 𝟒 مل منحن الدالة عند نمطة التماس مل المستمم المماس ∵

𝟒 𝟒 𝟑 ( ③معادلة )

( 3) و( 2) لمعادلتنا بحل نحصل على : أنا

( ②معادلة )

(


( ② (نعوض ف معادلة

( 𝐜 معادلة ① ألجاد وضنع ف )

( ) ( )

( ) 𝟐 𝟑

𝟏

𝟐

𝟏

𝟒 𝟏

𝟐 𝟑 𝟑

𝟏

𝟒

.النمطة ∴ 𝟏

𝟐 𝟑

𝟏

𝟒 تمثل نهاة صررى محلة /


220

أمثلة أضافة محلولة الحرجة ولم نماط النهاات للدوال األتة:جد أن وجدت مناطك التزاد والتنالص والنمط /مثال

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐

( ) . ( ) / نجعل

( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎

𝟒 𝟎 𝟎

النمط الحرجة ه( )( )

نهاة عظمى محلة 0,0)النمطة)

( )لمة النهاة العظمى المحلة تساوي نهاة صررى محلة 4-,2)النمطة)

( )لمة النهاة الصررى المحلة تساوي

2مناطك التزاد

3

( )مناطك التنالص = الفترة

( ) ( ) 𝟐 𝟔 𝟒

( ) . ( ) / نجعل

𝟑 𝟗 𝟏𝟖 𝟒 𝟓

النمط الحرجة ه(𝟓 𝟑)

نهاة صررى محلة 5-,3)النمطة )

( )لمة النهاة الصررى المحلة تساوي + * مناطك التزاد + *مناطك التنالص

( ) ( ) 𝟒

( ) . ( ) / نجعل

𝟎

النمط الحرجة ه(𝟎 𝟎)

نهاة صررى محلة 0,0)النمطة)

( )لمة النهاة الصررى المحلة تساوي + * مناطك التزاد

+ *مناطك التنالص


221

( ) ( ) 𝟐 𝟑

( ) . ( ) /المكن جعل 𝟎

ال توجد نمط حرجة

+ *مناطك التزاد

( ) ( ) 𝟐 𝟏

𝟐 𝟒

( ) ( 𝟐 𝟒)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 )

( 𝟐 𝟒)𝟐

𝟐 𝟑 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐

( 𝟐 𝟒)𝟐

𝟏𝟎

( 𝟐 𝟒)𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟏𝟎

( 𝟐 𝟒)𝟐 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎

𝟏

𝟒

(𝟎 𝟏

𝟒النمط الحرجة ه(

𝟎.النمطة 𝟏

𝟒 نهاة عظمى محلة /

لمة النهاة العظمى المحلة =

}مناطك التزاد

الفترة( )}و مناطك التنالص

الفترة( )

( ) ة ــــــــــأذا كان لمنحن الدال جد لم الثوابت /مثال نمطة نهاة صررى

( )محلة ه

الحل/

(𝟑 )عندما عندها تساوي صفر األولى تحمك دالة المنحن والمشتمة (5-,3)النمطة

( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟗 𝟑 𝟒 𝟗 𝟗 𝟑 ( 𝟑)①معادلة 𝟑 𝟑 ⇒

( ) 𝟐 . ( ) / نجعل

𝟎 𝟐 (𝟑) 𝟔 𝟎 ② معادلة

حال أنا نحصل على : ②والمعادلة ①وبحل المعادلة


222

( ) ــةـــأذا كان لمنحن الدالـ جد لم الثوابت /مثال ـة ــنمطة نهاـــ ( ) ( )صررى محلة ه

تحمك دالة المنحن والمشتمة عندها تساوي صفر (𝟔 𝟏)النمطة الحل/

( ) ( ) 𝟔 ①معادلة ( )

( ) ( ) . ( ) / نجعل

𝟎 ( )

( 𝟐)⇒ 𝟏 ② معادلة

فنحصل على : ①ف المعادلة ②ض المعادلة نعو ( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎

(همل)

( ) لتكن /مثال ة ـــاذا علمت أن للدالة نمطة نهاة عظمى محل جد لم الثوابت ( )ونهاة صررى محلة عندما ( )عندما

فمطاألولى ف هذا السؤال حدد نماط النهاات العظمى والصررى فمط لذلن نعتمد ف الحل على المشتمة الحل/ ( )

( ) ( ) ثم نعوض لم . / نجعل 𝟎

𝟏 ( ) ( ) 𝟒 𝟑 ( ①معادلة )

𝟑 ( ) ( ) ( معادلة②) 𝟐𝟕

حال أنا نحصل على : ②والمعادلة ①وبحل المعادلة

𝟏𝟔 𝟐𝟒 𝟑

𝟐 ① نعوض ف معادلة

( 𝟑

𝟐)

( ) تمثل نهاة عظمى محلة للدالة (5)أذا كانت /مثال 𝟑 فجد لمة 𝟑 𝟑

اة عظمى ـــــحتى كون للدالة نمطة نه فمط لذا جب أجاد لم (𝟓 )ف هذا السؤال لم تعطى النمطة كاملة وأنما لمة الحل/ ( ) ) او صررى محلة عندما مشتمة الدالة تساوي صفر محلة 𝟎)

( ) . ( ) / نجعل 𝟎

( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏

نهاة عظمى محلة وتحمك الدالة 1,5-)) النمطة

( ) 𝟑 𝟑 𝟏


223

( ) أذا علمت أن لمنحن الدالة /مثال

فجد لمة (3,10)نمطة نهاة صررى محلة ه

تحمك دالة المنحن والمشتمة عندها تساوي صفر (3,10)النمطة الحل/

( )

𝟏𝟎 𝟑

𝟏𝟎 𝟑

( 𝟐)⇒ 𝟐𝟎 𝟔 ( ①معادلة )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( نجعل

( )

( )

( 𝟒)( معادلة②) 𝟎 𝟒 ⇒

حال أنا نحصل على : ②والمعادلة ①وبحل المعادلة 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 ② نعوض ف معادلة

( )

( ) أذا كانت /مثال 𝟑 𝟐 (𝟏 ) وكانت 𝟗 (𝟑) و 𝟓 فجد لم 𝟎

الحل/

( ) ( 𝟏) ( ) ( ) ( )

𝟓 𝟒 ( ①معادلة )

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟗 (𝟑) 𝟑 (𝟑)𝟐 𝟐 (𝟑) 𝟗

𝟎 𝟎 معادلة②. 𝟑 𝟐 𝟗 /

جد أن وجدت مناطك التحدب ومناطك التمعر ونمط االنمالب للدوال التالة : /مثال

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐

( ) ( ) . ( ) / نجعل

𝟏

النمطة( ) نمطة انمالب مرشحة

نمطة انمالب ( ) النمطة + *مناطك التحدب + *مناطك التمعر


224

( ) ( ) ( 𝟏)𝟒

( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) / نجعل

( ) ( ) 𝟏

النمطة(𝟎 𝟏) حرجة مرشحة

{+ * *مناطك التمعر

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟐

( ) ( ) . ( ) / نجعل 𝟎

( ) ( ) ( )

النمطة(𝟐𝟖 𝟏 )نمطة انمالب مرشحة

+𝟏 *مناطك التحدب +𝟏 *مناطك التمعر

( ) لتكن /مثال 𝟐 +𝟓 𝟐 * وكان حث

محدبة ( )ممعرة ( )اذا كانت الدالة Aفجد لمة

الحل/

تكون الدالة محدبة أو ممعرة اعتمادا على أشاره لذلن سو نجد ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) أذا الدالة ممعرة

( )

( ) أذا الدالة محدبة

( )


225

( ) ةــــــــــــــمنحن الدال /مثال 𝟑 𝟐 (2,0)نات عند النمطة ـــور الســمس مح 𝟓

فجد لم الثوابت (0,5)ة أنمالب ه ــــــوله نمط

عندها تساوي صفر ( )ولمة عندها تساوي صفرالثانة تحمك دالة المنحن والمشتمة (𝟓 𝟎)النمطة الحل/

( ) 𝟑 𝟐 𝟓 ( ) (𝟎) (𝟎) (𝟎) ( ال نفع) 𝟓

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟎) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎

تحمك دالة المنحن (𝟎 𝟐)النمطة

( ) 𝟑 𝟐 ① معادلة 𝟓 𝟐 𝟖 𝟓

ألنها تمس محور السنات (𝟐 )عندما صفر((تساوي (𝟎 𝟐)النمطة عند ( ) األولىالمشتمة

( ) 𝟐 ( ① ( نعوضها ف معادلة

𝟖 𝟐 𝟓 𝟖 𝟐( 𝟏𝟐 ) 𝟓 𝟖 𝟐𝟒 𝟓 𝟏𝟔 𝟓

𝟓

𝟏𝟔 (

𝟓

𝟏𝟔)

( ) لتكن /مثال 𝟑 𝟐 ررى ــــــة نهاة صـــــــاذا علمت أن للدال جد لم كل من

(𝟏 )عندما انمالبونمطة (𝟒 )محلة عندما

الحل/

( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟔 𝟐

( ) ( )

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( )( )


226

( ) تمثـل نهاـة عظمـى محلـة للدالـة (6)أذا كانت /مثال 𝟑 𝟑 𝟐 ثـم جـد فجـد لمـة

ز للمنحن عند نمطة انمالبه معادلة المماس

الحل/

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ( ) ( نجعل

𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 𝟐 𝟐 ( )

نمطة نهاة عظمى محلة وتحمك الدالة (0,6)النمطة

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟎 𝟔

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ) 𝟔 𝟔 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 ( ) 𝟑 𝟔

نمطة انمالب وتحمك معادلة مل المماس ( )النمطة

ونستخدم لانون معادلة المماس حث )مل المماس = المشتمة األولى( عند نمطة األنمالب األن نجد مل المماس

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑

𝟏 ( 𝟏) 𝟒 𝟑( 𝟏) 𝟒 𝟑 𝟑

𝟑 𝟕 ( معادلة المماس للمنحن عند نمطة انمالبه ) 𝟎

******************************************************************

: الحرجة ولم نماط النهاات للدوال األتةجد أن وجدت مناطك التزاد والتنالص والنمط

( ) ( ) 𝟐 𝟏

𝟑

( ) ( ) 𝟏

𝟑 𝟑 𝟐

( ) ( ) 𝟐 𝟏

( ) ( ) 𝟑(𝟒 )


227

رســم المخطط البان للدالة

: والت تمثل النمط األساسة للرسم نتبع الخطوات التالة معطاة لرسم المخطط البان ألي دالة

وما نتج عنها ( ) دراسة ❺المحاذات ❹التناظر ❸نمط التماطع مع المحورن ❷اوسع مجال للدالة ❶

دراسة ❻ تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها ❼وما نتج عنها ( )

( ) ورــالحممة الت لها ص ( )فأن أوسع مجال للدالة هو كل لم ( )ه دالة الى أذا كانت اوسع مجال للدالة : ❶

ولهذا مكن تمسم الدوال الى ثالث أشكال حسب المتررات الموجودة فها ( )بواسطة الدالة

ⓐ غــر موجــود فــ ممــام الدالــة وكــذلن غــر موجــود فــ داخــل ( )وهــ الــدوال التــ متررهــا :الــدوال كثــرات الحــدود

الجذر وكون اوسع مجال لها

ⓑ ع ــــــــــون اوســـــــــــة وكـــــــــــموجــــود فــــ ممــــام الدال ( )ا ــــــــــ الــــدوال التــــ متررهــــــــــوه رة:ــــــــــــــالــــدوال الكس

هاــال لــــــمج

{المم الت تجعل الممام 𝟎}

ⓒ موجود ف داخل الجذر وه نوعان ( )وه الدوال الت متررها ذرة:الجـــــــــــــــالدوال:

معرفاالت تجعل الجذر ( )دوال جذرة دلل جذرها فردي وكون اوسع مجال لها هو لم : النوع األول

معرفاالت تجعل الجذر ( )وكون اوسع مجال لها هو لم زوج دوال جذرة دلل جذرها النوع الثان:

: جد أوسع مجال لكل من الدوال التالة/ ①مثال توضح

( ) ⓐ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) ⓑ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) ⓒ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ ( )

( ) ⓓ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ ( )( )

( ) Ⓔ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) Ⓕ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) Ⓖ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ √

√

( ) Ⓗ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ √

( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

Ⓘ ( )


228

: جد أوسع مجال لكل من الدوال التالة/ ②مثال توضح

① ( ) 𝟐 𝟑

𝟐 ➨ *𝟐+⁄

② ( ) 𝟐

𝟐 𝟒 ➨ * 𝟐+⁄

③ ( ) 𝟏

𝟐 𝟏 ➨ * 𝟏+⁄

ال تستخذم طرق تبسيظ المقام النها تؤدي الى الحل الخاطئ

( ) 𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

( 𝟏)( 𝟏)

𝟏

( 𝟏) * 𝟏+⁄ ( حل خاطئ)

④ ( ) 𝟐 𝟑

. 𝟑𝟐 /

( ) (𝟐 𝟑 ) (𝟐

𝟑) ➨ * 𝟑+⁄

( ) 𝟑 𝟐

➨ *𝟎+⁄

الجذرة ولم عط أي مثال علها لذلن سأضع أمثلة لالطالعأما الدوال الجذرة فالمنهج خال من الدوال

جد أوسع مجال لكل من الدوال التالة:/ ③مثال توضح

① ( ) √𝟐 𝟖𝟐

➨ * 𝟒+

② ( ) √𝟏

𝟐 𝟖

𝟐

➨ *𝟒+⁄

:وهو على نوعن :نمط التماطع مع المحورن ❷

(a) الجاد لم (𝟎 )نجعل ( )ألجاد نمط التماطع مع المحور: ( ) التماطع مع المحور الصادي( )

(b) الجاد لم (𝟎 )نجعل ( )ألجاد نمط التماطع مع المحور: ( ) التماطع مع المحور السن( )

: جد نمط التماطع لكل من الدوال التالة/ ④مثال توضح

( ) ( ) 𝟑 𝟒

𝟎 𝟎

𝟎 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎

نمط التماطع ( 𝟎 𝟎) (𝟎 𝟐 ) (𝟎 𝟐)


229

( ) ( ) ( 𝟐)𝟑

𝟎 𝟖

𝟎 ( 𝟐)𝟑 𝟎 𝟐

نمط التماطع ( 𝟖 𝟎) (𝟎 𝟐)

( ) ( ) 𝟑

𝟒

𝟎 𝟑

𝟒

𝟎 𝟑

𝟒 𝟎 𝟑 𝟑

(𝟑 𝟎) (𝟎 𝟑

𝟒 ) نمط التماطع

وهو على نوعن : التناظر : ❸

(a) حن متناظر مع المحور الصادينكون الم(y-axis) اذا كانت أسس المترر(x) كلها زوجة أي أن ( ) أنأي ( )

( ) ➨ ( ) ( )

(b) اذا كانت أسس المترر حول نمطة األصل حن متناظرنكون الم(x) أي أن فردةكلها ( ) أي أن ( )

( ) ➨ ( ) ( )

: ثم برهن ذلن ف حالة وجود التناظر جد التناظر لكل من الدوال التالة/ ⑤مثال توضح

( ) ⓐ / متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨

( ) ⓑ / متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨

( ) ⓒ / متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨

/ متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨ⓓ ( )

/ متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨Ⓔ ( )

( ) Ⓕ / متناظرة مع نقطة االصل الن أسس كلها فرديـــــــة. ➨

( ) Ⓖ / متناظرة مع نقطة االصل الن أسس كلها فرديـــــــة. ➨

( ) Ⓗ / متناظرة مع نقطة االصل الن أسس كلها فرديـــــــة. ➨

( ال يوجد تناظر الختالف اسس المتغيير ) ➨

Ⓘ

( )

( )

( ) ( ) }


230

لذا سنبرهن مثال لكل نوع من التناظر السابمة متشابه ف جمع األمثلة البرهان

Ⓔ ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Ⓕ ( ) ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( )

محاذات تمتصر على الدوال الكسرة فمط دراستنا لل: المحاذات ❹

المحاذي األفم الموازي لمحور السنات

األولى :الطرمة

نجعل ( )

( )( ) ثم نجعل فه تمثل معادلة المستمم األفم ز ( )ولتكن ( )ونجد لم 𝟎

الطرمة الثانة :

ل لسمة معامل الحد االكبر درجة من البسط على معامل الحد االكبر درجة من ـــهذا العدد هو حاص عدد ادلته تكون مع

الدرجتنالممام بشرط تساوي

المحاذي الشالول الموازي لمحور الصادات

الطرمة األولى :

نجعل ( )

( )( ) ثم نجعل فه تمثل معادلة المستمم الشالول ز ( )ولتكن ( )ونجد لم 𝟎

الطرمة الثانة :

زف الممام عند حساب أوسع مجال Rالعدد الذي ستثنى من المجموعة هذا العدد هو عدد تكون معادلته

: جد أوسع مجال ومعادالت المستممات المحاذة لكل من الدوال التالة/ ⑥مثال توضح

( ) ( ) 𝟑 𝟒

𝟐

𝟐 𝟎 𝟐 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟑 𝟒

𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 ( 𝟑) 𝟒 𝟐

𝟒 𝟐

𝟑 𝟑 𝟎 𝟑 المستمم المحاذي األفم

او الحظ الطرمة الثانة * +⁄

المستمم المحاذي الشالول

𝟑 𝟒

𝟐

𝟑

المستمم المحاذي األفم


231

( ) ( ) 𝟑

𝟐 𝟒

* +⁄

المحاذات الشالولة

المحاذات االفمة 𝟑

𝟐 𝟒

𝟎 𝟐 𝟑

𝟐 𝟒(نساوي الدرجتن)

( ) ( ) 𝟐 𝟑 𝟑

𝟓

* +⁄


المحاذات االفمة 𝟐 𝟑 𝟑

𝟓

𝟐 𝟑 𝟑

𝟎 𝟐 𝟓 (نساوي الدرجتن)

غر معرف

( ) ( ) 𝟓

* +⁄


المحاذات االفمة 𝟓

𝟎 𝟓

(نساوي الدرجتن)

( ) :أرسم باألستعانة بمعلوماتن ف التفاضل منحن الدالة (/1مثال ) 𝟓

الحل/ أوسع مجال للدالة المنحن متناظر حول نمطة األصل ألن : /التناظر

( ) ➨ ( ) ( ) ( ) ( )𝟓 𝟓 ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة ( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

النمطة (𝟎 𝟎) نمطة تماطع مع المحورن األحداثن



232

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) 𝟓 𝟒 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟓 𝟒 𝟎 𝟎 ( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟐𝟎 𝟑 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟐𝟎 𝟑 𝟎 𝟎 ( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها


233

( ) :أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة (/2مثال ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟑 𝟑( )𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن : ال ∴

( ) ( ) ( ) ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة ( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟒

( ال مكن حل المعادلة) 𝟎

النمطة (𝟒 𝟎) التماطع مع المحور الصادينمطة


( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 (𝟎) 𝟒 𝟒 (𝟎 𝟒) (𝟐) 𝟎 𝟎 (𝟐 𝟎)


( ) 𝟔 𝟔 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 (𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐)


234


( ) :أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة (/3مثال ) 𝟑 𝟏

𝟏

الحل/ {1-}/ أوسع مجال للدالة

التناظر/

ة لذلن فالمنحن غر متناظر مع محور ــــــال نتم الى مجال الدال (𝟏 )نتم الى مجال الدالة ولكن العدد (𝟏)العدد ∵

الصادات وغر متناظر مع نمطة األصل

وجد تناظر ال ∴

/ المحاذات

𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟑 𝟏

𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ( 𝟑) 𝟏

𝟏

𝟑 𝟑 𝟎 𝟑 المستمم المحاذي األفم

نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟑 𝟏

𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏

𝟏

𝟑

. نالتماطع مع المحور نمط𝟏

𝟑 النمط (𝟏 𝟎) /𝟎


( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

𝟒

( 𝟏)𝟐 𝟎 𝟒 ( غر ممكن) 𝟎


235


( )

( 𝟏)𝟐(𝟎) 𝟒,𝟐( 𝟏)-

( 𝟏)𝟒 𝟖( 𝟏)

( 𝟏)𝟒

𝟖

( 𝟏)𝟑

( ) ( غر ممكن)


( ) : أرسم المنحنمعلوماتن بالتفاضل بأستخدام (/4مثال ) 𝟐

𝟐 𝟏

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟐

( )𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏 ( )

( ) المنحن متناظر حول محور الصادات ألن : ∴ ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟏 ال وجد محاذي عمودي 𝟎

( ) 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟏)

𝟐

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي األفم


236

نمط التماطع مع المحورن 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

التماطع مع المحورن ةنمط (𝟎 𝟎)


( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

𝟐

( 𝟏)𝟐 𝟎


( )

( ) ( ) , ( )-

( ) ( ), -

( )

( )

. ( ) / نجعل

( )

( )⇒

√

( )

(

√ )

(

√ )

(

√ )

. /

. /


237


(𝟑 تمارين(𝟓

أرسم بأستخدام معلوماتن ف التفاضل الدوال التالة :

(𝟏) ( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟐


( ) ➨ ( ) 𝟏𝟎 𝟑( ) ( )𝟐 𝟏𝟎 𝟑 𝟐

ألن :وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟏𝟎 ( )( ) 𝟓 𝟐

نمط التماطع ( 𝟏𝟎 𝟎) (𝟎 𝟐) (𝟎 𝟓 )


( ) 𝟑 𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑

𝟐

. 𝟑

𝟐/ 𝟏𝟎 𝟑.

𝟑

𝟐/ .

𝟑

𝟐/𝟐 𝟏𝟎

𝟗

𝟐 𝟗

𝟒 𝟒𝟎 𝟏𝟖 𝟗

𝟒

𝟒𝟗

𝟒


238

.النمطة 𝟑

𝟐 𝟒𝟗

𝟒 نمطة نهاة عظمى محلة /

2 𝟑

𝟐 ( ) متزادة ف3

{ 𝟑

𝟐 ( ) متنالصة ف{


( ) ( سالب دائما مهما تكون لمة فلهذا منحن الدالة محدب دائما وال توجد نمطة انمالب )

( ) محدبة ف+ *


(𝟐) ( ) 𝟐 𝟒 𝟑


( ) ➨ ( ) ( )𝟐 𝟒( ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑

وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن : ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟑

( )( )

نمط التماطع ( 𝟑 𝟎) (𝟎 𝟏 ) (𝟎 𝟑 )


239

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏

ى محلة صررنمطة نهاة (𝟏 𝟐 )النمطة

( ) متزادة ف+𝟐 *

( ) متنالصة ف+𝟐 *


( ) 𝟐 ( موجب دائما مهما تكون لمة فلهذا منحن الدالة ممعر دائما وال توجد نمطة انمالب )

∴ ( ) ممعرة ف+ *


(𝟑) ( ) (𝟏 )𝟑 ⁄ د𝟐 𝟏 ⁄ د𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟑


( ) ➨ ( ) (𝟏 ( ))𝟑 𝟏 (𝟏 )𝟑 𝟏


كسرة( / ال توجد ألن الدالة لست نسبة المحاذات( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 (𝟏 𝟎)𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

(𝟏 )𝟑 𝟏 (𝟏 )𝟑 بالجذر الثالث للطرفن

نمط التماطع ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐)


240

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( نجعل

( ) ( )

(نجذر الطرفن ) ( )

( ) (𝟏 )𝟑 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟏)𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏

نمطة حرجة فمط (𝟏 𝟏)النمطة

( ) متنالصة ف +𝟏 * +𝟏 *


( ) ( ) ( )

( ) ( ) . ( ) / نجعل

( )

نمطة أنمالب (1,1)النمطة ∴

( ) ممعرة ف+ 𝟏 *

( ) محدبة ف+ 𝟏 *

ثم رسمهاتحدد النمط الخاصة بالرسم ومن


241

(𝟒) ( ) ⁄ د𝟏 𝟑 𝟔 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟓


( ) ➨ ( ) 𝟔( ) ( )𝟑 𝟔 𝟑 (𝟔 𝟑)

ألن : حول نمطة األصل تناظر ال ∴ ( ) ( )

المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟎 𝟔 𝟑 (𝟔 𝟐)

أما

𝟔 أو 𝟐 𝟐 √

نمط التماطع ( 𝟎 √ ) (𝟎 √) (𝟎 𝟎)

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( ( ) ( نجعل 𝟎

√

( )

(√ ) (√ ) (√ ) √ √ √

( √𝟐) 𝟔( √𝟐) ( √𝟐)𝟑 𝟔√𝟐 𝟐√𝟐 𝟒√𝟐

نهاة عظمى محلة ( √ √)النمطة

نهاة صررى محلة ( √ √ )النمطة

( ) متزادة ف ( √ √ )

( ) متنالصة ف {𝟐√ } {𝟐√ }


( ) .

( ) / نجعل 𝟎

نمطة أنمالب (0,0)النمطة ∴

( ) ممعرة ف+ 𝟎 *

( ) محدبة ف+ 𝟎 *


242


(𝟓) ( ) 𝟏

الحل/ = 𝟎* أوسع مجال للدالة+ التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟏

(

𝟏

)

ألن : نمطة األصلالتناظر مع ∴ ( ) ( )

المحاذات

𝟎 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟏

𝟏

𝟏

𝟎 المستمم المحاذي األفم


𝟎)تماطع مع محور الصادات الن ال وجد (𝟎 الن 𝟏

𝟎)تماطع مع محور السنات الن ال وجد (𝟎 الن 𝟏


( ) 𝟏 ( ) 𝟐 𝟏

𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟏

𝟐 𝟎 𝟏 (غر ممكن) 𝟎

ال توجد نمطة حرجة ∴


243


( )

.

( ) / نجعل 𝟎

(غر ممكن)

ال توجد نمطة أنمالب ∴

( ) ممعرة ف+ 𝟎 *

( ) محدبة ف+ 𝟎 * تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟔) ( ) 𝟏

𝟏

الحل/ أوسع مجال للدالة * +

التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟏

𝟏


/ المحاذات

𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟏

𝟏 𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟏

𝟏



244

نمط التماطع مع المحورن 𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟏

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏

التماطع مع المحورن نمط النمط (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏)


( ) ( 𝟏)(𝟏) ( 𝟏)(𝟏)

( 𝟏)𝟐 𝟏 𝟏

( 𝟏)𝟐

𝟐

( 𝟏)𝟐

𝟐

( 𝟏)𝟐 𝟎

ال توجد نمطة حرجة


( )

( ) ( ) , ( )-

( ) ( )

( )

( )

( ) ( غر ممكن)



245

(𝟕) ( ) ( 𝟐)( 𝟏)𝟐


( ) ➨ ( ) ( 𝟐)( 𝟏)𝟐

:وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

/ كسرة( ال توجد ألن الدالة لست نسبة المحاذات(

نمط التماطع مع المحورن 𝟎 (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏)𝟐 (𝟐)(𝟏) 𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟐)( 𝟏)𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟏)𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

التماطع مع المحورن نمط النمط (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐 ) (𝟎 𝟏)

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( 𝟐),𝟐( 𝟏)- ( 𝟏)𝟐 (𝟏) ( 𝟏),𝟐 𝟒 𝟏- ( ) ( 𝟏),𝟑 𝟑- ( ( ) ( نجعل 𝟎 ( 𝟏),𝟑 𝟑- 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟐)(𝟏 𝟏)𝟐 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 ( 𝟏) ( 𝟏 𝟐)( 𝟏 𝟏)𝟐 𝟒

نماط حرجة (𝟎 𝟏) (𝟒 𝟏 )النماط

( ) متزادة ف +𝟏 * +𝟏 * ( ) متنالصة ف الفترة المفتوحة (𝟏 𝟏 )

صررى محلة (𝟎 𝟏)النمطة ∴

عظمى محلة (𝟒 𝟏 )النمطة ∴


( ) ( )( ) ( )( )

( ) .

( ) / نجعل 𝟎

𝟔 𝟎 (𝟎) (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏)𝟐 𝟐

نمطة أنمالب (𝟐 𝟎)النمطة ∴

( ) محدبة ف +𝟎 *

( ) ممعرة ف +𝟎 *


246


(𝟖) ( ) 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

الحل/ 𝟐 ) ألن أوسع مجال للدالة 𝟏 𝟎 ➨ 𝟐 𝟏 )

التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟐 𝟏

( )𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

( ) ألن الصادات تناظر مع محورال ∴ ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟏 ال وجد مستمم المحاذي الشالول 𝟎

( ) 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐( 𝟏) 𝟏

𝟐 𝟏



𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏

التماطع مع المحورن نمط النمط (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏 )


( ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 )

( 𝟐 𝟏)𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐

( 𝟐 𝟏)𝟐

( ) 𝟒

( 𝟐 𝟏)𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

( ) 𝟎

(𝟏) 𝟏 𝟏


247

نهاة صررى محلة نمطة (𝟏 𝟎) النمطة ∴

( ) متزادة ف +𝟎 *



( )

( ) ( ) ( )( ( )( ))

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ), -

( ) , -

( ) , -

( )

( )

( ) .

( ) / نجعل 𝟎

𝟐

( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐

𝟐

𝟏

√𝟑

(𝟏

√𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

(𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

(𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟐𝟑𝟒𝟑

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

( 𝟏

√𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

( 𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

( 𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟐𝟑𝟒𝟑

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

.النماط ∴𝟏

√𝟑 𝟏

𝟐 / .

𝟏

√𝟑 𝟏

𝟐 نماط أنمالب /

{ 𝟏

√𝟑} {

𝟏

√𝟑} ( ) محدبة ف

( 𝟏

√𝟑

𝟏

√𝟑) ( ) ممعرة ف


248


(𝟗) ( ) 𝟐 𝟐 ⁄ د𝟐 𝟒 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟐


( ) ➨ ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐( )𝟐 ( )𝟒 𝟐 𝟐 𝟒

التناظر مع محور الصادات ألن : ∴ ( ) ( )

كسرة () المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐)

𝟐 أما

𝟐 أو 𝟐 𝟐 √

نمط التماطع ( 𝟎 √ ) (𝟎 √) (𝟎 𝟎)

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) 𝟒 𝟒 𝟑 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟒 𝟒 𝟑 𝟎 ( 𝟒)⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏

( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏

نهاة صررى محلة ( )النمطة

نهاة عظمى محلة ( )النمطة

نهاة عظمى محلة ( )النمطة

( ) متزادة ف (𝟏 𝟎) +𝟏 *

( ) متنالصة ف (𝟎 𝟏 ) +𝟏 *


249


( ) 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟒)⇒ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

𝟑

𝟏

√𝟑

( 𝟏

√𝟑) 𝟐(

𝟏

√𝟑)𝟐

(𝟏

√𝟑)𝟒

𝟐

𝟑 𝟏

𝟗 𝟔 𝟏

𝟗

𝟓

𝟗

)النمط 𝟏

√𝟑 𝟓

𝟗) (

𝟏

√𝟑 𝟓

𝟗 نمط أنمالب مرشحة (

( 𝟏

√𝟑 𝟏

√𝟑 ( ) ممعرة ف(

8 𝟏

√𝟑9 8

𝟏

√𝟑9 ( ) محدبة ف



250

(𝟏𝟎) ( ) 𝟔

𝟐 𝟑

الحل/ 𝟐 ) ألن أوسع مجال للدالة 𝟑 𝟎 ) التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟔

( )𝟐 𝟑

𝟔

𝟐 𝟑

( ) ألن الصادات التناظر مع محور ∴ ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟑 ال وجد محاذي الشالول 𝟎

( ) 𝟔

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 𝟑

𝟐 𝟔 𝟑



𝟎 𝟐

𝟎 𝟎 𝟔

𝟐 𝟑 𝟎 𝟔

النمطة (𝟐 𝟎) التماطع مع المحور الصادي ةنمط


( ) ( )( ) ( )

( ) 𝟏𝟐

( ) ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟏𝟐 𝟎

(𝟎) 𝟐 𝟐

محلة عظمىنمطة نهاة (𝟐 𝟎) النمطة ∴


( ) متنالصة ف +𝟎 *


( )

( ) ( ) ( )( ( )( ))

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ), ( ) -

( )

( )

( )

( ) . ( ) / نجعل 𝟎

𝟐 𝟎 𝟐 𝟐


251

( ) 𝟔

(𝟏)𝟐 𝟑 𝟔

𝟒 𝟑

𝟐

( ) 𝟔

( 𝟏)𝟐 𝟑 𝟔

𝟒 𝟑

𝟐

𝟏 .النماط ∴𝟑

𝟐/ .𝟏

𝟑

𝟐 نماط أنمالب /

( ) ممعرة ف +𝟏 * +𝟏 *

( ) محدبة ف (𝟏 𝟏 )


******************************************************************

باستخدام معلوماتن ف التفاضل أرسم منحن كل من الدوال األتة (/1مثال )

( ) ( ) 𝟓 ( ) ( ) (𝟐 𝟏)𝟑

( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒

( ) أذا كانــت (/2مثــال ) 𝟐 ومــن ثــم (b)متنــاظرة حــول محــور الصــادات جــد لمــة 𝟏 (𝟏 )

ز استخدام معلوماتن ف التفاضل وأرسم منحن الدالة

( ) أذا كانــت الدالــة (/3مثــال )

𝟐 نمطــة تمــاطع المحاذــات االفمــة والعمودــة )-(1,3وكانــت النمطــة

ز ومن ثم استخدام معلوماتن ف التفاضل وأرسم منحن الدالة للدالة جد كل من


252

تطبمــــــات عملة على النهاــات العظمى والصررى المحلة:

ظهرت فـ الفزـاء الكثـر مـن المسـائل التـ أدت الـى تطـور حسـاب التفاضـل والتكامـل ومـن هـذه المسـائل مسـائل

علـى أو األحساب ألصى أرتفاع تصله لذفة أطلمت بزواا مختلفة أو ألصى أرتفاع صله جسم ممذو شالولا الـى

ومسائل من الصناعات مثل ألل مساحة وأكبر حجم وألل محط , ززز ألخ ز أو ألل زمن ألل كلفة

:لحل المسائل المتعلمة بهذا الموضوع نتبع الخطوات التالة

Ⓘ نرسم رسـم توضـح للمسـألة كلمـا كـان ذلـن ممكنـا ونثبـت علـى الشـكل كـل المترـرات والثوابـت ومـن ثـم نبـدأ

ز, ماه ,عن ,احسب, ززز ( أي نكون الفرضة على أساس المطلوب بتكون الفرضة الت تعتمد على كلمة )جد

بمعنــى أخــر نبحــث فــ المســألة عــن ا زـــــــاد النهاــة العظمــى أو الصــررى لهـــــــة المطلــوب أجــــــنكــون الدال ②

ل ـــــمكـن , الا ــــثل )اكبـر مـا مكـن , اصـرر مــــات العظمى أو الصررى المحلـة مـــــالكلمات الت تدل على النها

لانون )ثم نبدأ بتكون الدالة على أساس هذه الكلمات وف أكثر األحان تكون هذه الدالة كمة , اطول مسافة , ززز(

فثاغورس , تشابه مثلثات , دوال دائرة , ززز(, حجم , مساحة , محط

اجاد عاللـة بـن المترـرات لتكـون دالـة ذات اذا كانت الدالة المكونة اعاله تعتمد على اكثر من مترر لذا جب ③

مترر واحد وأكثر االحان هذه العاللة ه )لانون حجم , مساحة , ززززززززززز( مشابهة للموانن السابمةز

أخر نبدأ بدراسة الدالة المتكونة والت تحتوي على مترر واحد ألجاد النهاة العظمى أو الصررى المحلة كما ④

ــــــا ســــــا ــــــرةبما تعلمن ــــــ أطــــــرا الفت ــــــك أجــــــاد األعــــــداد الحرجــــــة ف ــــــة أي ) عــــــن طر ــــــم الدال (زأجــــــاد ل

: جد العدد الذي أذا أض الى مربعه كون الناتج أصرر ما مكن (/1مثال )

الحل/

= الؼذدنفرض : الفرضيت

𝟐 مربغ الؼذد =

الؼذد + مربؼو : الذالت

( ) 𝟐

:الذراست ( ) 𝟏 𝟐 ( ( ) ( نجؼل 𝟎

𝟏 𝟐 𝟎 𝟏

𝟐

( ) 𝟐 4

𝟏

𝟐5 𝟐 𝟎

ى محلية عندما صغرتوجد نهاية ∴ 𝟏

𝟐

.العدد هو ∴ 𝟏

𝟐/

األختبار


253

وذلـن بمـص أربـع ( 𝟏𝟐)صنع صندوق مفتوح من لطعة مـن النحـاس مربعـة الشـكل طـول ضـلعها (/2مثال )

؟ ثم ثن األجزاء البارزة لها ز ما هو الحجم األعظم لهذه العلبة مربعات متساوة األبعاد من أركانها األربعة


ضلع المربع الممطوع طول نفرض : الفرضة

𝟏𝟐 )أبعاد الصندوق = 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 )

= حاصل ضرب أبعاده الثالثةه لانون حجم الصندوق :الدالة

(𝟏𝟐 𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 )( ) (𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟐)( ) 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟐 𝟒 𝟑

ال نحتاج الى عاللة الن المعادلة تحتوي مترر واحد : العاللة

: الدراسة

𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 𝟖 𝟐 𝟎 (𝟔 )(𝟐 ) 𝟎

ال مكن 𝟔

𝟐

توجد نهاة عظمى للحجم تساوي : (𝟐 )عندما ∴

(𝟖)(𝟖)(𝟐) 𝟏𝟐𝟖 𝟑

) لألطالع ( األختبار:


254

ثـم بـرهن ( 𝟏𝟐)جد بعدي أكبر مثلث متساوي السالن مكن أن وضع داخـل دائـرة نصـ لطرهـا (/3مثال )

رة كنسبةأن نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائ𝟑√𝟑

𝟒

الحل/

𝟐طول لاعدة المثلث = h= نفرض أرتفاع المثلث : الفرضة

ه لانون مساحة المثلث :الدالة

𝟏

𝟐(𝟐 )( )

فثاغورس :العاللة

𝟐 ( 𝟏𝟐)𝟐 (𝟏𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒

𝟐 𝟐𝟒 𝟐 √𝟐𝟒 𝟐

.√𝟐𝟒 𝟐 / √𝟐𝟒 𝟑 𝟒

:الدراسة

𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑

(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒 (

( نجعل 𝟎

𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑

(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒 𝟎

𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟎 ( 𝟒) 𝟐(𝟏𝟖 ) 𝟎

(المكن ) 𝟎

𝟏𝟖

√𝟐𝟒(𝟏𝟖) (𝟏𝟖)𝟐 √(𝟏𝟖)(𝟔) 𝟔√𝟑

تساوي : طول لاعدة المثلث ∴

𝟐 𝟐(𝟔√𝟑 ) 𝟏𝟐√𝟑

مساحة الدائرة :نسبة مساحة المثلث الى 𝟏

𝟐 (𝟏𝟐)𝟐 مساحة الدائرة 𝟐 𝟏𝟒𝟒

𝟐 𝟏

𝟐(𝟐 )( ) (𝟔√𝟑)(𝟏𝟖)

𝟐 𝟏𝟎𝟖√𝟑 مساحة المثلث 𝟐

مساحة المثلث

مساحة الدائرة 𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟖√𝟑

𝟏𝟒𝟒 𝟑√𝟑

𝟒



255

بحـث (cm 18)وأرتفاعـه (cm 24)جد بعدي أكبر مستطل مكن أن وضع داخل مثلـث طـول لاعدتـه (/4مثال )

2د / 2013وزاري زساله علىماعدة والرأسن البالان تمعان أن رأسن متجاورن من رؤوسه تمعان على ال

الحل/

:بعدي المستطل نفرض: الفرضة

حاصل ضرب بعده المستطل ه مساحة :الدالة

اوي زوااهما المتناظرة لذا ـــ) لتس btr , bcqبه المثلثات تشـــــــا :العاللة

أضالعهما المتناظرة وكذلن أرتفاعهما (تتناسب

𝟐𝟒 𝟏𝟖

𝟏𝟖

𝟐𝟒 (𝟏𝟖

𝟏𝟖)

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 )

(𝟒

𝟑(𝟏𝟖 ))

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 𝟐)

:الدراسة

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 𝟐 ) (

( نجعل 𝟎

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 𝟐 ) 𝟎 (

𝟒

𝟑)

𝟏𝟖 𝟐 𝟎 𝟗 𝟏𝟐

(𝟏𝟐) (𝟗)بعدي المستطل هما ∴


: لألختبار طرمة ثانة 𝟐

𝟐 𝟒

𝟑( 𝟐)

𝟖

𝟑 𝟎

( 𝟗 ) مساحة نهاة عظمى محلة عندمالدالة هذا عن أن ل


256

أثبـت أنـه عنـدما كـون مجمـوع مسـاحت الشـكلن أصـرر مـا ( 𝟔𝟎)مجموع محط دائرة ومربـع (/5مثال )

3د / 2013وزاري زالمربع مكن فأن طول لطر الدائرة ساوي طول ضلع

الحل/

R cmونص لطر الدائرة = x cmنفرض طول ضلع المربع = : الفرضة

ه مساحة المربع+ مساحة الدائرة :الدالة

𝟐 𝟐

𝟑𝟎 𝟐 𝟑𝟎 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 (𝟑𝟎 𝟐

)𝟐

𝟐 𝟏

(𝟑𝟎 𝟐 )𝟐 𝟐

𝟏

(𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 𝟐)

cm 60محط المربع + محط الدائرة= :العاللة

𝟔𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟐)

𝟐

𝟏

( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟏

( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) 𝟎 .

𝟐/

𝟔𝟎 𝟒 𝟎 ( 𝟒) 𝟔𝟎

𝟔𝟎

𝟒 طول ضلع المربع

لطر الدائرة 𝟐 𝟐4𝟏

(𝟑𝟎 𝟐 )5

𝟐

(𝟑𝟎

𝟏𝟐𝟎

𝟒)

لطر الدائرة 𝟐

(𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎

𝟒)

𝟐

(𝟑𝟎

𝟒)

𝟔𝟎

𝟒

:الدراسة

𝟐

𝟐 𝟐

𝟏

(𝟖) 𝟎

األختبار :

هذا عن أن الدالة تمتلن نهاة صررى محلة


257

𝟐 مطع الزائد جد نمطة أو نماط تنتم لل (/6مثال ) 𝟐 (𝟒 𝟎)بحث تكون ألرب ما مكن للنمطة 𝟑

الحل/

******************************************************************

مالحظات :

Ⓘ للشكل أكبر أو أصرر مسطحف بعض األحان دالة المساحةمكن المول عن

للشكل أكبر أو أصرر مجسمف بعض األحان دالة الحجم أو السعةمكن المول عن ②

)فمط ف العاللة, الدالة, الفرضةف كال الحالتن أعاله كون الحل هو نفس الحل السابك عن طرك أجاد ③

االختبار, الدراسةحالة وجود أكثر من مترر( ,

𝟐 ه من نمط المنحن ( ) نفرض أن النمطة : الفرضة 𝟐 (𝟒 𝟎)بحث تكن ألرب ما مكن للنمطة 𝟑

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟒)𝟐

لانون المسافة ه :الدالة

√( 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟖 𝟏𝟔

√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑

𝟐 ) :العاللة 𝟐 𝟑)

√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟔

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 (

( نجعل 𝟎

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 𝟎

𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏

:الدراسة

(𝟐 𝟏 ) (𝟐 𝟏)النماط ه



258

(𝟑 تمارين(𝟔

زوحاصل ضرب أحدهما ف مربع األخر أكبر ما مكن (75)جد عددن موجبن مجموعهما / 1س

الحل/

والعدد الثان = نفرض العدد األول =: الفرضة

مربع العدد الثان = حاصل ضرب العدد األول

ه عاللة عددة : الدالة

𝟐 (معادلة )

𝟕𝟓

𝟕𝟓 (معادلة ②)

ف معادلة ②نعوض معادلة (𝟕𝟓 ) 𝟐 𝟕𝟓 𝟐 𝟑

:الدراسة

𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐 ( ( نجعل 𝟎

𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟑) 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 (𝟓𝟎 ) 𝟎

(همل) 𝟎

𝟓𝟎 𝟕𝟓 𝟕𝟓 𝟓𝟎 𝟐𝟓

(𝟓𝟎)والعدد الثان (𝟐𝟓)العدد األول

لألطالع األختبار:


259

3د / 2012وزاري √𝟒جد أرتفاع أكبر أسطوانة دائرة لائمة توضع داخل كرة نص لطرها / 2س

الحل/

ونفرض الحجم = 𝟐 ونفرض أرتفاع االسطوانة = = نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة : الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة : الدالة

(معادلة ) ( 𝟐)𝟐

فثاغورس: العاللة

𝟐 𝟐 .𝟒√𝟑/𝟐

𝟐 𝟒𝟖 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒𝟖 𝟐) (معادلة③) (𝟑 𝟒𝟖) 𝟐

:الدراسة

𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟒𝟖 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟑) 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 (𝟒 )(𝟒 ) 𝟎

( همل ) 𝟒

𝟒

𝟐 𝟒𝟖 𝟐 𝟒𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒√𝟐

أكبر ارتفاع لالسطوانة :𝟐 𝟐(𝟒 ) 𝟖



260

1د / 2012وزاري √𝟒جد بعدي أكبر مستطل وضع داخل نص دائرة نص لطرها / 3س

الحل/

A ونفرض مساحة المستطل = نفرض عرض المستطل 𝟐 = نفرض طول المستطل : الفرضة

ه لانون مساحة المستطل : الدالة

(معادلة ) 𝟐

(ABC)ف المثلث المائم فثاغورس :العاللة

𝟐 𝟐 .𝟒√𝟐/𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟐

√𝟑𝟐 (معادلة②) 𝟐


𝟐 𝟐 .√𝟑𝟐 𝟐/

𝟐 .√𝟑𝟐 𝟐 𝟒/ √𝟒(𝟑𝟐 𝟐 𝟒)

√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 :الدراسة

𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 .√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒/ (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑 𝟎

𝟏𝟔 𝟑 𝟎 ( 𝟐)

( همل) 𝟎

𝟐

(همل السالب ) 𝟒

( عرض المستطل ) 𝟒

√𝟑𝟐 𝟐 √𝟑𝟐 √

𝟐 𝟐(𝟒) ( طول المستطل ) 𝟖



261

√𝟖جد أكبر مساحة لمثلث متساوي السالن طول كل من ساله / 4س

الحل/

ونفرض مساحة المثلث = 𝟐ونفرض طول لاعدة المثلث = المثلث أرتفاعنفرض : الفرضة

ه لانون مساحة المثلث : الدالة

𝟏

𝟐 (معادلة ) ( 𝟐)

فثاغورس: العاللة

𝟐 𝟐 .𝟖√𝟐/𝟐

𝟐 𝟐 𝟏𝟐𝟖

𝟐 𝟏𝟐𝟖 𝟐 √𝟏𝟐𝟖 (معادلة②) 𝟐


.√𝟏𝟐𝟖 𝟐/

√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 :الدراسة

𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑

𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑

𝟐(√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑 𝟎

𝟔𝟒 𝟑 𝟎 (𝟔𝟒 𝟐) 𝟎

𝟎 ( همل)

𝟔𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟔𝟒

( همل ) 𝟖 األرتفاع 𝟖

𝟐 𝟐(𝟖) ( طول لاعدة المثلث) 𝟏𝟔

اكبر مساحة للمثلث :

(𝟖)(𝟖) 𝟔𝟒 𝟐



262

𝟐 𝟏𝟔جد ألل محط ممكن للمستطل الذي مساحته / 5س

الحل/

= المستطل ونفرض محط ونفرض عرض المستطل = = المستطل طولنفرض : الفرضة المستطل = ونفرض مساحة

ه لانون محط المستطل :الدالة

(معادلة ) 𝟐 𝟐

مساحة المستطل: لعاللةا

𝟏𝟔 𝟏𝟔

(معادلة②)


𝟐 𝟐 𝟐 𝟐4𝟏𝟔 5

𝟐 𝟑𝟐 𝟏

:الدراسة

𝟐 𝟑𝟐 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟑𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 (نضرب المعادلة ب 𝟐 ) 𝟎

𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 𝟒

ألل محط ممكن : 𝟐 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟔



263

(cm 3)حجم أكبر مخروط دائري لائم مكن وضعه داخل كرة نص لطرها جد / 6س

الحل/

ونفرض الحجم = ونفرض أرتفاع المخروط = = نفرض نص لطر لاعدة المخروط : الفرضة

ه لانون حجم المخروط : الدالة

𝟏

𝟑 (معادلة ) 𝟐

( ABC) للمثلث المائم الزاوة فثاغورس :العاللة 𝟐 ( 𝟑)𝟐 (𝟑)𝟐

𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 𝟐 (معادلة②) 𝟐 𝟔


𝟏

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 (𝟔 𝟐)

𝟑(𝟔 𝟐 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟏𝟐 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟏𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟑)

𝟒 𝟐 𝟎 ( )

𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎

( همل) 𝟎

األرتفاع 𝟒 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔(𝟒) (𝟏𝟔) 𝟖

√𝟖 𝟐√𝟐 نصف المطر

أكبر حجم للمخروط :

𝟏

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 (𝟐√𝟐)

𝟐(𝟒)

𝟑𝟐

𝟑 𝟑

لألطالع األختبار :


264

والذي صنع مع المحورن ف الربع األول أصرر مثلث (6,8)معادلة المستمم الذي مر بالنمطة جد / 7س

الحل/

نمطة تماطع المستمم مع المحور (𝟎 )نفرض : الفرضة Aونفرض مساحة المثلث = x , y نفرض أبعاد المثلث =

ه لانون مساحة المثلث : الدالة

𝟏

𝟐 (معادلة )

) مل لانون المل :العاللة = مل ) تنتم للمستمم (𝟖 𝟔) النمطة

𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟖

𝟎 𝟔 𝟖 𝟎

𝟔

( 𝟖)(𝟔 ) 𝟒𝟖

𝟔 𝟒𝟖 𝟖 𝟒𝟖 𝟔 𝟖 𝟎

(𝟔 ) 𝟖 𝟖

𝟔 (معادلة②)


𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 (

𝟖

𝟔 )

𝟒 𝟐

𝟔 (معادلة③)

:الدراسة

(𝟔 )( 𝟖 ) ( 𝟒 𝟐)( 𝟏)

(𝟔 )𝟐 𝟒𝟖 𝟖 𝟐 𝟒 𝟐

(𝟔 )𝟐

𝟒𝟖 𝟒 𝟐

(𝟔 )𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟒 𝟐 𝟒𝟖

(𝟔 )𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 ( نمسم على 𝟒 ) 𝟎 𝟒𝟖

𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟏𝟐

) المحور السن ( نمطة تماطع المستمم مع المحور (𝟎 𝟏𝟐) ∴

( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟖 𝟎

𝟔 𝟏𝟐 𝟖

𝟔

𝟒

𝟑

.الذي مله (6,8)الذي مر بالنمطة معادلة المستمم 𝟒

𝟑 :ه /

𝟏 ( 𝟏)

𝟖 ( 𝟒

𝟑) ( 𝟔)

( 𝟑)⇒ 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟒

𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟎


265

( ) ة ـــــع داخــل المنطمــة المحــددة بالدالــــــتطل وضــــــأكبــر مسبعــدي جــد / 8س 𝟏𝟐 ومحــور 𝟐

, ثم جد محطه زعلى المنحن والرأسان األخران على محور السنات هرأسان من رؤوس ,نات ـــــالس


مساحة المستطل ونفرض نفرض عرض المستطل = 𝟐 =المستطل طولنفرض : الفرضة



𝟏𝟐 )المعادلة : العاللة 𝟐)

𝟏𝟐 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة 𝟐 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐 𝟑

:الدراسة

𝟐𝟒 𝟔 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟒 𝟔 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎

الطول 𝟒 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 العرض 𝟖 𝟒

أكبر محط للمستطل : 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐(𝟖) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐𝟒



266

وطـول ( 𝟖)ه ــــاحة أكبر أسطوانة دائرة لائمة توضـع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعــــــــجد مس / 9س

( 𝟏𝟐)لطر لاعدته

الحل/

V ونفرض حجم المخروط= h = األسطوانةونفرض أرتفاع R نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =: الفرضة



(ADE , ABC)تشابه مثلثات : العاللة

𝟖

𝟖 𝟔

(

𝟏

𝟐 ( نقسم الطرفين على

𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟑

/معادلة②.


𝟐 𝟐 (𝟐𝟒 𝟒

𝟑)

𝟑(𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝟎 ( 𝟒 )

𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟒 𝟖

𝟑

: ) لألطالع ( أكبر مساحة لألسطوانة األرتفاع) (محط الماعدة مساحة الماعدتن

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒) (𝟖

𝟑) 𝟐 (𝟒)𝟐

𝟔𝟒

𝟑 𝟑𝟐

𝟔𝟒 𝟗𝟔

𝟑 𝟏𝟔𝟎

𝟑 𝟐


267

حول دورة كاملة 𝟑√𝟔جد حجم أكبر مخروط دائري ناتج من دوران مثلث لائم الزاوة طول وتره / 10س

1د / 1201وزاري 1د / 2014وزاري أحد ضلعه المائمن

الحل/

V ونفرض حجم المخروط= h ونفرض أرتفاع المخروط = R نفرض نص لطر لاعدة المخروط = : الفرضة

ه لانون حجم المخروط : الدالة


على المثلث المائم الزاوة فثاغورس: العاللة

𝟐 𝟐 (𝟔√𝟑)𝟐

𝟐 𝟏𝟎𝟖 (معادلة②) 𝟐 ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟑 𝟐

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟐)

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟎 ( )

𝟑𝟔 𝟐 𝟎

( همل) 𝟔

𝟔

𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝟕𝟐

√𝟕𝟐

حجم للمخروط :أكبر

𝟑 𝟐

𝟑(√𝟕𝟐)

𝟐(𝟔)

(𝟕𝟐)(𝟔)

𝟑 𝟏𝟒𝟒 𝟑


268

احة ــــــجـد أبعادهـا عنـدما تكـون مس (𝟑 𝟏𝟐𝟓)أسـطوانة الشـكل مفتوحـة مـن األعلـى سـعتها علبة / 11س

زما مكن للالمعدن المستخدم ف صناعتها أ

الحل/

A ونفرض المساحة الكلة بدون غطاء = h نفرض أرتفاع األسطوانة = R = االسطوانة نص لطرنفرض : الفرضة

المساحةالجانبة مساحة لاعدة واحدة ه لانون المساحة : الدالة

𝟐 (معادلة ) 𝟐

لانون حجم األسطوانة :لعاللةا

𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟐𝟓

𝟐 (معادلة②)


𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟏𝟐𝟓

𝟐)

𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟏

:الدراسة

𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐 𝟐

𝟐𝟓𝟎

𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟐𝟓𝟎

𝟐 𝟎

( 𝟐 )⇒

𝟏𝟐𝟓

𝟐 𝟎 ( 𝟐 )

( 𝟑 𝟏𝟐𝟓) 𝟎

𝟓 𝟏𝟐𝟓

𝟐 𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟓 𝟓



269

خزان على شكل متوازي سطوح مستطلة طول لاعدته ضـع عرضـها فـأذا كانـت مسـاحة المعـدن المسـتعمل فـ / 12س

جد أبعاد الخزان لك كون حجمه أكبر ما مكن علما ان الخزان ذو غطاء كامل 𝟐 𝟏𝟎𝟖صناعته

الحل/

Vونفرض حجم الخزان= yونفرض االرتفاع = 2x=ونفرض طول الماعدة xنفرض عرض الماعدة =: الفرضة

ه لانون حجم الخزان : الدالة

(𝟐 )( )( ) (معادلة ) 𝟐 𝟐

مساحة المعدن :العاللة

مساحة المعدن المساحة الجانبة مساحة الماعدتن

𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟑 ) 𝟒 𝟐 ( 𝟐) 𝟓𝟒 𝟑 𝟐 𝟐

𝟑 𝟓𝟒 𝟐 𝟐 𝟓𝟒 𝟐 𝟐

𝟑 (معادلة②)


𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 4𝟓𝟒 𝟐 𝟐

𝟑 5

𝟐

𝟑(𝟓𝟒 𝟐 𝟑)

:الدراسة

𝟐

𝟑(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟐

𝟑(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) 𝟎 𝟓𝟒 𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟔 )

𝟗 𝟐 𝟎

طول الماعدة 𝟔 𝟐 𝟑

𝟓𝟒 𝟐 𝟐

𝟑 𝟓𝟒 𝟏𝟖

𝟗 𝟑𝟔

𝟗

عرض الماعدة 𝟒

لألطالع ( ) األختبار:

مالحظة للتذكر: ) لوانن المساحة لمتوازي السطوح المستطلة (

المساحت الجانبيت = محيظ القاػذة × االرتفاع

المساحت الكليت = المساحت الجانبيت + مجمىع مساحت القاػذتين


270


جد أكبر حجم لهذا المخروط ز (cm 12)مخروط دائري لائم مجموع نص لطر لاعدته وأرتفاعه /مثال

الحل/

Vونفرض حجم المخروط = h ونفرض أرتفاع المخروط = R = نفرض نص لطر المخروط : الفرضة

ه لانون حجم المخروط :الدالة


:العاللة

𝟏𝟐 𝟏𝟐 (معادلة②)


𝟑 𝟐

𝟑 𝟐(𝟏𝟐 )

𝟑(𝟏𝟐 𝟐 (معادلة③) (𝟑

:الدراسة

𝟑(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) 𝟎 (𝟖 𝟐) 𝟎

𝟖 𝟐 𝟎 (𝟖 ) 𝟎

(المكن ) 𝟏𝟐 𝟎

𝟖 𝟒

للمخروط :أكبر حجم

𝟑 𝟐

𝟑(𝟖)𝟐(𝟒)

𝟐𝟓𝟔

𝟑 𝟑


271

أحسـب أرتفـاع االسـطوانة لكـ كـون 𝟗 اسطوانة دائرـة لائمـة موضـوعة داخـل كـرة نصـ لطرهـا /مثال

ز حجمها أكبر ما مكن

الحل/ h 2 = االسطوانةونفرض أرتفاع R = لاعدة االسطوانةنفرض نص لطر : لفرضةا

االسطوانةه لانون حجم : الدالة

(معادلة ) ( 𝟐)𝟐

فثاغورس :العاللة

𝟐 𝟐 𝟗𝟐 𝟐 𝟖𝟏 (معادلة②) 𝟐


𝟐 𝟐 𝟐 (𝟖𝟏 𝟐) (معادلة③) (𝟑 𝟖𝟏) 𝟐

:الدراسة

𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) 𝟎 ( )⇒ 𝟖𝟏 𝟑 𝟐 𝟎

𝟖𝟏 𝟑 𝟐 ( )⇒ 𝟐 𝟐𝟕

( همل) 𝟑√𝟑

𝟑√𝟑 𝟑√𝟔

: ارتفاع لالسطوانةأكبر األرتفاع 𝟐 𝟐(𝟑√𝟑 ) 𝟔√𝟑

جد هذان العددان بحث كون حاصل ضربهما أكبر ما مكن ز (12)عددان الفرق بنهما /مثال

𝟏𝟐 والعدد الثان = xنفرض العدد األول = : الفرضة

yوحاصل ضربهما = عاللة عددةه : الدالة

( 𝟏𝟐) 𝟐 𝟏𝟐

:الدراسة

𝟐 𝟏𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟔 𝟎 𝟔

(𝟔 )والعدد الثان (𝟔)العدد األول


272

بحث كون محطه ألل ما مكن 𝟐 𝟐𝟓جد بعدي مستطل مساحته /مثال

الحل/ m ونفرض محطه = x, yنفرض بعدي المستطل هما : لفرضةا

المستطله لانون محط : الدالة

(معادلة ) 𝟐 𝟐

مساحة المستطل :العاللة

𝟐𝟓

(معادلة②)


𝟐 𝟐

𝟐 𝟐(𝟐𝟓

) (معادلة③) 𝟏 𝟓𝟎 𝟐

:الدراسة

𝟐 𝟓𝟎 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐𝟓 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟐 𝟐𝟓

( همل) 𝟓 𝟓

𝟓 𝟓

حــوض علــى شــكل متــوازي ســطوح مســتطلة لاعدتــه مربعــة الشــكل , فــأذا كــان مجمــوع محــط لاعدتــه /مثــال

,جد ابعاد الحوض لك تكون سعته )حجمه ( أكبر ما مكنز m 24وأرتفاعه

الحل/ V = حجمهونفرض x, y , x نفرض ابعاد الحوض: لفرضةا

حجم الحوض ه لانون :الدالة


للحوض (االرتفاع )محط الماعدة المربعة + : العاللة

𝟒 𝟐𝟒 𝟐𝟒 (معادلة②) 𝟒


𝟐 𝟐 (𝟐𝟒 𝟒 ) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑

:الدراسة

𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟒 𝟖


273

𝟏𝟎𝟎 حطهمستطل م أكبر جد بعدي /مثال

الحل/ A = مساحتهونفرض x, yنفرض بعدي المستطل هما : لفرضةا

المستطل ساحةه لانون م :الدالة

(معادلة )

حط المستطل م :لعاللةا

𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟎 𝟓𝟎 /معادلة②.


(𝟓𝟎 ) 𝟓𝟎 𝟐

:الدراسة

𝟓𝟎 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟎

𝟐𝟓 𝟐𝟓

أدر حول أحد أضالعه فكون أسطوانة دائرـة لائمـة , جـد بعـدي هـذا المسـتطل (cm 30)مستطل محطه /مثال

لك كون حجم األسطوانة المتكونة أكبر ما مكن ز

الحل/ V ونفرض الحجم = y ونفرض أرتفاع االسطوانة = x= نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة : الفرضة



محط المستطل :العاللة

𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟓 (معادلة②)


𝟐 𝟐(𝟏𝟓 ) (𝟏𝟓 𝟐 𝟑)

:الدراسة

(𝟑𝟎 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

(𝟑𝟎 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟎 (𝟏𝟎 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟏𝟎 𝟓

(cm , 5 cm 10)بعدي األسطوانة ه


274

ونصـ (cm 12)أرتفاعـه دائـري لـائم جد حجم أكبر أسطوانة دائرة لائمـة مكـن وضـعها داخـل مخـروط /مثال

ز بحث أحد لاعدت األسطوانة والمخروط متماستان (cm 9)لطر لاعدته

الحل/ V ونفرض الحجم = h ونفرض أرتفاع االسطوانة = R = نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة : الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة :الدالة


تشابه مثلثات :العاللة

𝟗 𝟏𝟐

𝟏𝟐 ( 𝟑 )

𝟑𝟔 𝟑 𝟒 𝟑𝟔 𝟒 𝟑

𝟑𝟔 𝟒

𝟑 (معادلة②)


𝟐 (𝟑𝟔 𝟒

𝟑)

𝟑(𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 ( )

𝟔 𝟐 (𝟔 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟔 𝟒

أكبر حجم لالسطوانة :

𝟐 (𝟔)𝟐(𝟒) 𝟏𝟒𝟒

******************************************************************

𝟐 جد مساحة أكبر مستطل رأسان منه معان على المنحن 𝟒 والرأسان األخران معان على المستمم 𝟖

( 𝟐)جد مساحة أكبر مستطل مكن رسمه داخل دائرة نص لطرها ②

𝟗 أوجد النمط الت تنتم لمنحن الدالة ③ 𝟏

𝟐 بحث تكون ألرب ما مكن من نمطة األصل 𝟐

( 𝟗)ونص لطر لاعدته ( 𝟏𝟐)جد حجم أكبر أسطوانة دائرة لائمة مكن وضعها داخل مخروط دائري أرتفاعه ④

:جد العدد الذي ⑤

⒜ زيادته على مربعه يكون أكبر ما يمكن

⒝ عند أضافته الى مربعه يكون أصغر ما يمكن

⒞عند أضافته الى مقلوبه يكون الناتج أصغر ما يمكن

أكبر ما مكن 𝟐 الت تجعل x , yجد لم كل من 𝟐𝟒 𝟒 أذا كان ⑥


275

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثالث

جد / 6س

مرتبطة بموضوع التكامل ( )الفروع لكل مما أت :

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟑

𝟑 (𝟐

) 𝟐(𝟑 𝟐) 𝟐

𝟓 𝟐 𝟑

𝟐

𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐 𝟑

𝟐

𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

(𝟐 𝟑 𝟐) 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐 𝟑 𝟐

( ) 𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒

للدالة Cأستخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة الممة المتوسطة ألجاد لم / 7س

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 , 𝟐 𝟐-

3د / 2013وزاري 2/د2013وزاري /الحل

النها كثرة الحدود -𝟐 𝟐 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة الحدود (𝟐 𝟐 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟐) (𝟐 ) نوجد ③

(𝟐) (𝟐)𝟒 𝟐(𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟖 𝟖

( 𝟐) ( 𝟐)𝟒 𝟐( 𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟖 𝟖

(𝟐) ( 𝟐)

( ) ونفرض ( )لذا نفرض مبرهنة رول الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك أوال : 𝟎

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( )⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)


276

مبرهنة الممة المتوسطةالدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك : ثانا

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة ∴

( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ( ) 𝟒 𝟑 ( مل المماس) 𝟒

( ) ( ) ( )

(𝟐) ( 𝟐)

𝟐 ( 𝟐) 𝟖 𝟖

𝟒 𝟎

𝟒 / مل الوتر.


𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( )⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)

( ) / 8س 𝟐 𝟐 فـأذا كانـت - 𝟏 ,دالة تحمك شـروط مبرهنـة رول علـى الفتـرة 𝟓 𝟒 فجد لمة ( 𝟏 )تنتم للفترة

/ الحل

تحمك شروط مبرهنة رول ز الدالة

( ) 𝟎 (𝟐) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟏

( ) ( ) ( 𝟏) ( ) ( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟏) 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 ( 𝟓)( 𝟏) 𝟎

𝟓 أما 𝟎 𝟓

𝟏 أو همل 𝟏 𝟎

متوازي سطوح مستطلة لاعدته مربعة و أرتفاعه ثالثة أمثال طول لاعدته , جد الحجم التمرب لـه عنـدما / 9س ( 𝟗𝟕 𝟐)كون طول لاعدته

/ لحل ا

طول الماعدةنفرض

𝟑 األرتفاع ∴

( ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟑 𝟑

( ) 𝟗 𝟐

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟑 نفرض

معطى 𝟗𝟕 𝟐 نفرض

𝟐 𝟗𝟕 𝟑 𝟎 𝟎𝟑

(𝟑) 𝟑(𝟑)𝟑 𝟑(𝟐𝟕) 𝟖𝟏 (𝟑) 𝟗(𝟑)𝟐 𝟗(𝟗) 𝟖𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟑)) (𝟑) ( 𝟏) (𝟑)

(𝟐 𝟗𝟕) 𝟖𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟑) (𝟖𝟏) 𝟖𝟏 𝟐 𝟒𝟑 (𝟐 𝟗𝟕) 𝟕𝟖 𝟓𝟕 𝟑


277

ـــه / 10س ــائم حجمـــ ــري ل ــان (𝟑 𝟐𝟏𝟎) مخــروط دائ ــه أذا ك ــة لنصــ لطــر لاعدت ـــة التمرب جــد الممــ

2د / 2013وزاري ( 𝟏𝟎)أرتفاعه

/ لحل ا

𝟏

𝟑 𝟐 𝟐𝟏𝟎

𝟏

𝟑 𝟐(𝟏𝟎) 𝟐

(𝟐𝟏𝟎)(𝟑)

𝟏𝟎 𝟐 (𝟐𝟏)(𝟑)

𝟐 𝟔𝟑 √𝟔𝟑

ألرب رلم للعدد سهل حسابه 𝟔𝟒 نفرض

𝟔𝟑 نفرض

𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏

( ) √ ( ) (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 𝟖

( ) 𝟏

𝟐 √ ( ) (𝟔𝟒)

𝟏

𝟐 √𝟔𝟒

𝟏

(𝟐)(𝟖) 𝟏

𝟏𝟔 𝟎 𝟎𝟔𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) (𝟔𝟒)

(𝟔𝟑) 𝟖 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟔𝟑) 𝟖 𝟎 𝟎𝟔𝟑 (𝟔𝟑) 𝟕 𝟗𝟑𝟕

( ) أذا كانـــت / 11س √𝟑𝟏 𝟏𝟓

جـــد بأســـــــتخدام نتجـــــــة مبرهنـــة الممــــــة المتوســــــطة الممــــــة

1د / 2013وزاري (𝟎𝟏 𝟏) التمربة الى

/ لحل ا


معطى 𝟎𝟏 𝟏 نفرض

𝟏 𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏

( ) √𝟑𝟏 𝟏𝟓

(𝟑𝟏 𝟏)𝟏𝟓 (𝟏) (𝟑𝟏 𝟏)

𝟏𝟓 (𝟑𝟐)

𝟏𝟓 .𝟐𝟓/

𝟏𝟓 𝟐

( ) 𝟏

𝟓(𝟑𝟏 𝟏)

𝟒𝟓 (𝟑𝟏)

𝟑𝟏

𝟓(𝟑𝟏 𝟏)𝟒𝟓

(𝟏) 𝟑𝟏

𝟓(𝟑𝟐)𝟒𝟓

𝟑𝟏

𝟓(𝟐𝟓)𝟒𝟓

𝟑𝟏

𝟓(𝟐)𝟒 𝟑𝟏

𝟖𝟎 𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓

( ) ( ) ( )

(𝟏 (𝟎 𝟎𝟏)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏) (𝟏)

(𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓


278

𝟐 بأستخدام معلوماتن ف التفاضل أرسم المنحن البان للدالة / 12س 𝟏

الحل/

𝟐 𝟏 𝟏

𝟐

أوسع مجال للدالة ⁄ *𝟎+

ألن : المحور الصاديالمنحن متناظر حول /التناظر

( ) ➨ ( ) ( )

( ) 𝟏

( )𝟐 𝟏

𝟐 ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟎 𝟎 المستمم المحاذي الشالول

𝟏

𝟐 𝟐

𝟏


𝟎 𝟎 ال وجد تماطع مع المحورن ألن ⁄نمط التماطع مع المحورن


( ) 𝟏

𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟑

𝟐

𝟑 ( ( ) 𝟎 )


( ) 𝟔 𝟒

𝟔

𝟒 .

( ) 𝟎 /

+𝟎 * +𝟎 *الفترتن الدالة ممعرة ف


279


******************************************************************

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثالث

1/د96سؤال وزاري

𝟐 جد نمطة على الدائرة الت معادلتها 𝟐 زxمعدل ازداد لمساوا yكون عندها معدل ازداد 𝟒 𝟒

الحل:

( )

- (

) نمسم على

( )

( )

نمسم على ( ) ⇒ ( )

النمطة ( )

النمطة ( )


280

X

Y

السارة

3m


( عن سطح األرض وبعد أن ابتعدت 3m( اجتازت إشارة مرورة حمراء ارتفاعها )30m/sسارة تسر بسرعة )

اصطدمت بسارة أخرى نتجة عدم االلتزام بموانن المرورز جد سرعة ترر المسافة بن ( 𝟑√𝟑)عنها مسافة

السارة واالشارة الضوئةز

الحل:

√

فثاغورس

( √ )

√

√

√ ( )

√

√


( ) ( تمثل نهاة صررى محلة للدالة 1,6إذا كانت ) 𝟐 الحممتن , bجد لمة كل من 𝟐( )

وجبتنزمال

( ) الدالة الحل:

تحمك معادلتها ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) -

( )

( )( )

همل


281


جد ابعادها إذا كانت مساحة المعدن المستخدم ف (𝟑 𝟐𝟏𝟔)حاوة على هئة اسطوانة دائرة لائمة حجمها

صناعتها ألل ما مكنز مع العلم أن الحاوة مفتوحة من األعلىز

المانون الرئس الحل:

العاللة

.

/

( )⇒

( )


( ) إذا كان المنحن 𝟑 𝟐 جد لمت x=1( وكانت للدالة نمطة انمالب عند 2,2-مر بالنمطة )

زfثم جد نمطة النهاة العظمى المحلة للدالة


( ) تحمك معادلتها ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )→ ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) نهاة عظمى محلة تزاد تزاد تنالص

+++++++ - - - - - - - ++++++ ( x) شارةإ

3 -1


282

2/د 98سؤال وزاري

(ز3cmجد أبعاد مخروط دائري لائم حجمه ألل ما مكن وحط بكرة نص لطرها )

r ,hنفرض أبعاد المخروط الحل:

المانون الرئس

:bالمائم الزاوة ف abcف المثلث

( ) √

نحصل على: abc ,adeمن تشابه المثلثن

√

بالتربع ( ) √

( ) ( )

( ) ( )

,( ) -

( ) العاللة

( )

( )

( ) ( )

( ) , ( ) ( )-

( )

, -

( ) ( )

( ) ( )

( )

نضع

( ) ( )⇒ ( )

همل

( )

( ) ( )

√


283


ز 𝟐√𝟔جد إبعاد اسطوانة دائرة لائمة مساحتها الجانبة أكبر ما مكن موضوعة داخل كرة نص لطرها

لتكن المساحة الجانبة المانون الرئس الحل:

r, 2hنفرض أبعاد االسطوانة

( √ ) فثاغورس

العاللة √

√ √ ( ) ( )

( )

( )

( )

√

( ) ( )→ ( )

( )

همل

√ √

( ) االرتفاع


cm/s 0.5اسطوانة دائرة لائمة زداد ارتفاعها بمعدل ) مساوا جد (𝟑 𝟑𝟐𝟎)( بحث ظل حجمها دائما

(زcm 5معدل ترر نص لطر الماعدة عندما كون االرتفاع )

الحل:

العاللة

( ) ( )


284


جد ابعاده 𝟐 𝟐𝟏𝟔خزان من الحدد ذو غطاء كامل على شكل متوازي سطوح مستطلة لاعدته مربعة وحجمه

ة ألل ما مكنزنعلتكون مساحة الصفائح المستخدمة ف ص

المانون الرئس المساحة الكلة Aلتكن الحل:

y, االرتفاع xنفرض طول المربع

العاللة

.

/

( )⇒

( )→


عندما كون 𝟐 𝟐𝟒جد بعدي علبة اسطوانة دائرة لائمة مسدودة من نهاتها, مساحتها السطحة تساوي

حجمها أكبر ما مكنز

r , hنفرض ابعاد االسطوانة الحل:


( )⇒

العاللة

( ) ( )

( ) ( ) ( )⇒

( )⇒

محط الماعدة ×االرتفاع


285

1/د2002سؤال وزاري 𝟐 لتكن (6,0نمطة تنتم إلى المنحن وتكون ألرب ما مكن إلى النمطة )جد 𝟖 (x ,yنفترض النمطة ) الحل:

√ ( ) ( )√ المانون الرئس

العاللة

√ √ ( )

( )

( )

√ ( ( نجعل

( ) (4-,2( , )2,4النماط )


( ) جد نمطة االنمالب لمنحن الدالة 𝟑 ثم جد معادلة مماس المنحن عند نمطة انمالبهز 𝟐 𝟑

( ) الحل: ( )

( )⇒ ( )

( ) نمطة انمالب

مل المماس ( ) ( ) ( ) ( )

معادلة المماس

2/د2003سؤال وزاري 𝟐 مس المنحن 𝟕 𝟑المستمم ( وللمنحن نهاة صررى 1-,2عند النمطة )

محلة عند𝟏

𝟐 جد لمة

الحل:

المل ( )

المل معامل

معامل

( )

( ) (

𝟏

𝟐( عند

⇒ ( )

( )

تحمك معادلتها ( ) الدالة

( ) ( )

بالطرح


286


ع من األولى دائرة ومن الثانة مستطل طوله نص عرضه صنلطعت إلى لطعتن بحث cm 8لطعة سلن طولها

جد طول كل لطعة لكون مجموع مساحت المستطل والدائرة ألل ما مكنز

xلكن محط الدائرة الحل:

yنفرض عرض المستطل

x-8محط المستطل هو

2yطول المستطل =

( ) المانون

محط المستطل ( )

العاللة( )

محط الدائرة

العاللة ( )

(

)

.

/

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

طول المطعة االولى

طول المطعة الثانة (

)

محط الماعدة × االرتفاع


287

1/د2005سؤال وزاري ( ) لتكن 𝟑 𝟐 هل ( نمطة نهاة عظمى محلة للدالةز جد لمت 1,2-, ) 𝟏

توجد نمطة انمالب للدالة؟ز


تحمك معادلتها

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

)

. تمثل نمطة انمالب

/


𝟑 إذا كانت ( ز1,2إذا علمت أن المنحن الدالة نمطة انمالب ه ) جد لمة 𝟐

( ) الدالة تحمك معادلتها ( ) ( ) الحل:

( )

( ) ( )

(𝟐 𝟏) نمطة انمالب ⇐ ( ) (𝟏 )عندما 𝟎

( ) -

( )

( ) بالطرح


288


( ومجموعهما اصرر ما مكنز فما العددان؟ز16عددان موجبان حاصل ضربهما )

المانون الرئس x, yنفرض العددان الحل:

العاللة

( )⇒


𝟑√𝟒جد مساحة أكبر مستطل مكن رسمه داخل مثلث متساوي االضالع وارتفاعه

A=2x yالمانون الرئس 2x, yنفرض أبعاد المستطل الحل:

:bالمائم الزاوة ف abcف المثلث

√

√

√

√ √

نحصل على: abc ,decمن تشابه المثلثن

√

√ √ ( )

العاللة √ √

( √ √ )

√ √

√ √ √ √ ( √ )

√ √ √

( )( √ ) √


289

2سارة

1سارة

Z

X

m

Y


كل منهما ف طرك وكان معدل سرعة السارة mز تحركت سارتان من نمطة mطرمان متعامدان لتمان ف

ز جد معدل االبتعاد بن السارتن بعد ربع ساعة من بدء 60km/hومعدل سرعة السارة الثانة 80km/hاألول

زmالحركة من

الحل:

.

/ المسافة الت لطعتها السارة األولى بعد ربع ساعة

.

/ المسافة الت لطعتها السارة الثانة بعد ربع ساعة

فثاغورس

( ) ( )

-

.

/ ( ) ( )


( ) إذا كانت 𝟐 الموجبتن ثم بن نوع النمطة b,a( حرجةز جد لمة 2-,1والنمطة ) 𝟐( )

الحرجةز

( ) الدالة تحمك معادلتها ( ) الحل:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) -


290

( )

( )( )

همل

( ) ( )

( ) نهاة صغرى محلة


( ) مماسا للدالة 𝟐𝟖 𝟗 إذا كان المستمم 𝟑 𝟐 ز ( جد لمة 3,1عند النمطة ) 𝟏

( ) الدالة تحمك معادلتها ( ) ( ) الحل:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( مل المماس)

مل المماس معامل

معامل

( )⇒ ( )

وبضرب المعادلة( ) بالعدد( ) نحصل

( )لحساب لمة المعادلة(𝟏)نعوض ف

( )


291

X

Y

5m

13m


جد 4m/s( رتكز على حائط شالولز فاذا تحرن الطر األسفل للسلم مبتعدا من الحائط بمعدل 13mسلم طوله )

من الحائطز 5mمعدل انزالق الطر األعلى للسلم عن األرض ف اللحظة الت كون فها الطر األسفل على بعد

الحل:

فثاغورس

( )

( )

( ⁄ )

2/د2010سؤال وزاري (زcm 6مكن رسمه داخل دائرة نص لطرها )جد مساحة أكبر مثلث متساوي السالن

2x, hالحل: نفرض ابعاد المثلث

( )


( )

العاللة √

√ √ ( )

( )

( ) ( )

( )

( )⇒ ( )

همل

√( )( ) √ √

( √ )( ) √


292

1/د2014سؤال وزاري عندما كون المعدل الزمن ألبتعادها ( )جد أحداث النمطة 𝟐 نمطة تتحرن على المطع المكاف ( ) لتكن

𝟎. عن النمطة 𝟑

𝟐 ( )المعدل الزمن لترر األحداث الصا دي للنمطة ساوي ثلث/

/الحل


𝟏

𝟑

𝟎. لتكن النمطة 𝟑

𝟐 /


√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ 𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ ( 𝟐 𝟑 𝟗

𝟒)

( 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (نشتك بالنسبة للزمن)

𝟏

𝟐( 𝟐 𝟐

𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (𝟐

𝟐

)

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟏

𝟑

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟏

𝟑

𝟐( 𝟏)

𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟗𝟒

√ 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒 ( تربع الطرفن ) (𝟏 )𝟑

𝟐 𝟐 𝟗

𝟒 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏) ( 𝟒)

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟑𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟑𝟔

𝟑𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐𝟕 𝟎 ( 𝟑𝟐)⇒ 𝟐 𝟐

𝟐𝟕

𝟑𝟐 𝟎

𝟐 𝟐 𝟐𝟕

𝟑𝟐 (نضف العدد (𝟏) الى طرف المعادلة لك صبح مربع كامل)

𝟐 𝟐 𝟏 𝟐𝟕

𝟑𝟐 𝟏

( 𝟏)𝟐 𝟓

𝟑𝟐 (جذر الطرفن)

𝟏 √𝟓

𝟑𝟐 𝟏 √

𝟓

𝟑𝟐

𝟐 𝟏 √𝟓

𝟑𝟐 √𝟏 √

𝟓

𝟑𝟐


293

3/د2014سؤال وزاري ( ) د معادلــة المنحنــ ــــــج 𝟑 𝟐 نمطــة أنمــالب لــه ومــل الممــاس (𝟒 𝟏 )حــث النمطــة

(𝟏)عندها ساوي

( ) الدالة /الحل

( ) تحمك معادلتها ( ) ( ) ( ) ( )

(1)مل المماس عند نمطة األنمالب ساوي

∴ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

تحل أنا ( )

( ) ⇐نمطة أنمالب ( )النمطة

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

تحل أنا

نعوض ف معادلة ( )

( ) نعوض ف معادلة ( )

( ) ( ) ( )

3/د2014سؤال وزاري العدد الذي أذا أض الى نظره الضرب كون الناتج أكبر ما مكن ز د ــــج

/الحل

= الؼذدنفرض : الفرضيت

النظير الضرب للؼذد = 𝟏

الؼذد + نظيره الضرب : الذالت

( ) 𝟏

:الذراست

( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

𝟐 ( ( ) ( نجؼل 𝟎

𝟏 𝟏

𝟐 𝟎 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

( ) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐

𝟑

(𝟏) 𝟑 𝟎 ( 𝟏) 𝟏 𝟎


294

𝟏 توجد نهاية عظمي محلية عندما ∴


( ) أرسم منحن الدالة 𝟑

𝟐 بأستخدام معلوماتن ف التفاضل

الحل/ أوسع مجال للدالة ⁄ *𝟎+

ألن : المحور الصاديالمنحن متناظر حول /التناظر

( ) ➨ ( ) ( )

( ) 𝟑

( )𝟐 𝟑

𝟐 ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟎 𝟎 المستمم المحاذي الشالول

𝟏

𝟐 𝟐

𝟏


𝟎 𝟎 ال وجد تماطع مع المحورن ألن ⁄نمط التماطع مع المحورن


( ) 𝟑

𝟐 𝟑 𝟐 ( ) 𝟔 𝟑

𝟔

𝟑 ( ( ) 𝟎 )


( ) 𝟏𝟖 𝟒

𝟏𝟖

𝟒 .

( ) 𝟎 /


295

+𝟎 * +𝟎 *الفترتن الدالة ممعرة ف


1 √𝟑

2 √𝟑

𝟐

3 𝟏


( ) أذا كان 𝟏

√ ؟ 𝟎𝟏 𝟒 الى 𝟒من ذا تررت أممدار الترر التمرب للدالة جد

/ الحل

معطى(𝟒 ) نفرض

معطى (𝟎𝟏 𝟒 )نفرض

𝟒 𝟎𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟏

( ) 𝟏

√ ( ) ( )

. 𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 ( )

. 𝟑𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 √ 𝟑

( ) 𝟏

𝟐 √ 𝟑 (𝟒)

𝟏

𝟐 √(𝟒)𝟑 (𝟒)

𝟏

𝟐(𝟖) 𝟏

𝟏𝟔 (𝟒) 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓

( ) (𝟒) (𝟎 𝟎𝟏)( 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓) ممدار التغر التمرب 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 𝟎


296

2/د 2015سؤال وزاري 𝟐 جد نمطة تنتم للمنحن 𝟐 (𝟎 𝟒)نمطة لك تكون ألرب ما مكن من ال 𝟓

الحل/

𝟐 ه من نمط المنحن ( ) نفرض أن النمطة : الفرضة 𝟐 (𝟎 𝟒)بحث تكن ألرب ما مكن للنمطة 𝟓

√( 𝟒)𝟐 ( 𝟎)𝟐

لانون المسافة ه :الدالة

√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 ( 𝟐 )

√𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏

𝟐 ) :العاللة 𝟐 𝟓)

√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟐

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 (

( نجعل 𝟎

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 𝟎

𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎

𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 𝟗 𝟑

:الدراسة

(𝟑 ) (𝟑 𝟐)النماط ه


297

2/د 2015سؤال وزاري مبتعـدا عــن متــر تحـرن 𝟔 𝟏 ـــه ـــطولـــ متـر مثبـت علــى عمـود شــالول وشـخص 𝟒 𝟔 مصـباح علـى أرتفــاع

ترر طول ظل الرجل سرعةجد ⁄ 𝟑𝟎رعة ــــالعمود وبس

/الحل

8نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح

نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل حث tف أي زمن

𝟑𝟎

(tan)العاللة ه تشابه مثلثات او أستعمال

𝟔 𝟒

ف المثلث الكبر

𝟏 𝟔

ف المثلث الصغر

𝟔 𝟒

𝟏 𝟔

( 𝟏 𝟔)⇒

𝟒

𝟏

(نشتك بداللة ) 𝟑 𝟒

𝟑

. /

𝟑 𝟑𝟎

𝟑 𝟏𝟎 ( ⁄ )

⁄ ) 𝟏𝟎= معدل ترر طول ظل الرجل )

3/د 2015سؤال وزاري كانــت ســرعة حركــة طرفــه األســفل فــأذا حــائط شــالول وطرفــه األســفل علــى أرض أفمــة ,علــى ســلم رتكــز طرفــه األعلــى

.𝟏

𝟓بن السلم واألرض المحصورة الزاوة ف اللحظة الت تكون ه األعلىطرف,جد معدل أنزالق /

𝟑

/الحل

①الطريقة

{

نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم

نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الحائط

نفرض بعد رأس السلم عن األرض


tف أي زمن

العاللة ه فثاغورس


𝟑

√𝟑

𝟐

𝟑

𝟏

𝟐


298


𝟐

𝟐

𝟎 𝟐 (

𝟏

𝟐 ) (

𝟏

𝟓) 𝟐4

√𝟑

𝟐 5

𝟎

𝟏

𝟓 √𝟑

𝟎

𝟓√𝟑 𝟏

𝟓√𝟑 ( ⁄ )

معدل االنزالق الطر العلوي للسلم = 𝟐

√𝟑 m/s

②الطرمة

𝟑

√𝟑

√𝟑


𝟐

𝟐

𝟎 𝟐( ) (

𝟏

𝟓) 𝟐(√𝟑 )

𝟎

𝟐

𝟓 𝟐√𝟑

𝟎

𝟐

𝟏𝟎√𝟑 𝟏

𝟓√𝟑 ( ⁄ )


( ) أذا كانت √𝟐 𝟔𝟑

(𝟎𝟐 𝟏) ة التمربة لـجد بأستخدام نتجة مبرهنة الممة المتوســطة الممـ

/ لحل ا


معطى 𝟎𝟐 𝟏 نفرض

𝟏 𝟎𝟐 𝟏 𝟎 𝟎𝟐

( ) √𝟐 𝟔𝟑

(𝟐 𝟔)𝟏𝟑 (𝟏) (𝟐 𝟔)

𝟏𝟑 (𝟖)

𝟏𝟑 .𝟐𝟑/

𝟏𝟑 𝟐

( ) 𝟏

𝟑(𝟐 𝟔)

𝟐𝟑 (𝟐)

𝟐

𝟑(𝟐 𝟔)𝟐𝟑

(𝟏) 𝟐

𝟑(𝟖)𝟐𝟑

𝟐

𝟑(𝟐𝟑)𝟐𝟑

𝟐

𝟑(𝟐)𝟐 𝟏

𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔

( ) ( ) ( )

(𝟏 (𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) (𝟏)

(𝟏 𝟎𝟐) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟐) (𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑


299

3/د 2015سؤال وزاري سم 𝟔 داخل نص دائرة نص لطرها جد مساحة أكبر مستطل مكن رسمه

الحل/

A ونفرض مساحة المستطل = نفرض عرض المستطل 𝟐 = نفرض طول المستطل : الفرضة



(ABC)ف المثلث المائم فثاغورس :العاللة

𝟐 𝟐 (𝟔)𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔

√𝟑𝟔 (معادلة②) 𝟐


𝟐 𝟐 .√𝟑𝟔 𝟐/

𝟐 .√𝟑𝟔 𝟐 𝟒/ √𝟒(𝟑𝟔 𝟐 𝟒)

√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒 :الدراسة

𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 .√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒/ (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 (√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟎

𝟏𝟖 𝟑 𝟎 ( 𝟐)

( همل) 𝟎

𝟐

(همل السالب ) 𝟐√𝟑

( عرض المستطل ) 𝟐√𝟑

√𝟑𝟔 𝟐 √𝟑𝟔 √ 𝟑√𝟐

𝟐 𝟐(𝟑√𝟐) ( طول المستطل ) 𝟐√𝟔

𝟐 (𝟔√𝟐)(𝟑√𝟐) مساحة أكبر مستطل 𝟐 𝟑𝟔



300

3/د 2015سؤال وزاري 𝟐 مــس المنحنــ 𝟕 𝟑 المســـــتمم ـة ـــــنهاــ وكــان للمنحنــ (𝟏 𝟐)عنــد

جد لمة 𝟓 عند صررى محلة

الحل/

تحمك معادلة المنحن (𝟏 𝟐)النمطة

𝟐 𝟏 (𝟐)𝟐 (𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ①معادلة )

عندما ⇐ 𝟓 محلة عند للمنحن نهاة صررى ∵

𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟏𝟎 𝟎 ( ②معادلة )

: نجد معادلة مل المستمم المماس من معادلته

معامل

معامل

( عندما نجد مل منحن الدالة عند نمطة التماس ) اي نجد

𝟐 𝟒 مل منحن الدالة عند نمطة التماس مل المستمم المماس ∵

𝟒 𝟒 𝟑 ( ③معادلة )

( أنا نحصل على : 3( و )2بحل المعادلتن )

( ②معادلة )

(


( ② (نعوض ف معادلة

(

) ( 𝐜 دألجا معادلة ① وضنع ف )

(

) ( )


301

1/د 2016سؤال وزاري وطـول لطــر ( 𝟔)ه وضـــــع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـــــة تــــطوانة دائرـة لائمــــــأكبـر أس أبعـادجـد

( 𝟏𝟎)لاعدته

الحل/

V ونفرض حجم المخروط= h ونفرض أرتفاع المخروط = R األسطوانة =نفرض نص لطر لاعدة : الفرضة




𝟔

𝟔 𝟓

𝟔 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 𝟓

/معادلة②.


𝟐 𝟐 (𝟑𝟎 𝟔

𝟓)

𝟓(𝟑𝟎 𝟐 𝟔 𝟑)

:الدراسة

𝟓(𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟓(𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐) 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐 𝟎 ( 𝟔)

𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 (𝟏𝟎 𝟑 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟏𝟎 𝟑 𝟎 𝟏𝟎

𝟑

𝟑𝟎 𝟔

𝟓 𝟑𝟎 𝟔 .

𝟏𝟎𝟑 /

𝟓 𝟑𝟎 𝟐𝟎

𝟓 𝟏𝟎

𝟓

𝟐

, 𝟐أبعاد أكبر أسطوانة ه : ∴𝟏𝟎

𝟑

مالحظة : مكن كتابة العاللة ف السؤال السابك بالشكل التال :


𝟓

𝟔

𝟔

𝟔 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 𝟓


302

1/د 2016سؤال وزاري احتها ـــــبحـث تبمـى مس ⁄ 𝟐ها بمعـدل عرضـتمـدد 𝟐 𝟗𝟔مسـاحتها الشكلمستطلة معدنة فحة ــــص

𝟏𝟐 الطول مساوا لـعندما كون ترر الطول ثابتة , جد معدل /الحل

8نفرض طول المستطل

نفرض عرض المستطل t ف اي زمن

- ,= ( )العاللة ه مساحة المستطل

𝟗𝟔 (نحسب لمة ) معادلة①

𝟗𝟔 (𝟏𝟐) 𝟗𝟔

𝟏𝟐 𝟖

بالنسبة للزمن األن نشتك معادلة ①

𝟎

(𝟏𝟐)(𝟐) (𝟖)

𝟎

𝟐𝟒

𝟖 𝟑 ( ⁄ )

⁄ 𝟑 )المستطل = طولمعدل التنالص ف ∴ )

1/د 2016سؤال وزاري ـــت ( ) أذا كان 𝟑 ـــث 𝟐 𝟒 - 𝟎, ح ـــت ـــك م وكان ــــتحم ــــبرهنة الممــ ــــة المتوســ طة ـــ

ندما ـــع𝟐

𝟑 فجد لمة

/الحل

( ) 𝟑 𝟒 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟖

الدالة تحمك شروط مبرهنة الممة المتوسطة

( ) ( ) ( )

مـــــــل الممـــــاس ) وتـــــــرال ( مـــــــل

𝟑 𝟐 𝟖 ( 𝟑 𝟒 𝟐) (𝟎)

𝟑(𝟐

𝟑)𝟐

𝟖(𝟐

𝟑)

( 𝟐 𝟒 )

𝟒

𝟑 𝟏𝟔

𝟑 𝟐 𝟒

𝟏𝟐

𝟑 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐


303

الطول)𝟐 محط المستطل ( العرض حجم المخروط

𝟐

𝟑

الطول مساحة المستطل العرض حجم المكعب ( طول الضلع) 𝟑

محط المربع (طول الضلع)𝟒 المساحة السطحة للمكعب ( طول الضلع)𝟔 𝟐

( طول الضلع) مساحة المربع𝟐المساحة الجانبة لمتوازي المستطالت محط الماعدة األرتفاع

المساحة الكلة لمتوازي المستطالت 𝟐 الدائرة محط المساحة الجانبة مساحة الماعدتن

مساحة الدائرة 𝟐 حجم متوازي المستطالت مساحة الماعدة األرتفاع

مساحة الكرة 𝟒 𝟐 محط المثلث مجموع أطوال أضالعه الثالثة

𝟐 حجم األسطوانة مساحة المثلث

𝟏

𝟐(األرتفاع)(الماعدة)

حجم الكرة 𝟒

𝟑 𝟑 المسافة √( 𝟏)𝟐 ( 𝟏)𝟐

المل 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟏 𝟏

فدة جدالوانن م

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

304

التكامل/رابعالفصل ال

ة مستوة ماجاد لمة تمربة لمساحة منط

كميا 𝒂,𝒃 المنطمة المحصورة بنها وبي اححيدا السين اي الفتيرة 𝑨 دالة ) منحن ( وكانت 𝒇أذا كانت

المحددة بالرسم . 𝑨 هو مب ا الشكل أدناه , امكننا أجاد مساحة المنطمة

مالحظات :

, نرسم مستطال م أدنى نمطة ا المنحن ضم الفترة ① 𝟏 ونرمز له بالرمز

, ى نمطة ا المنحن ضم الفترة علنرسم مستطال م أ ② 𝟐 ونرمز له بالرمز

. 𝟐 و 𝟏 نوجد مساحة المنطمت المستطلت ③

على المانو باالعتماد Aالمنطمة الممة التمربة لمساحة المطلوب هو حساب ④ 𝟏 𝟐

𝟐

مساحة أي منطمة ه عدد حمم غر سالب ⑤

𝟏 أذا كانت ⑥ 𝟐 مساحة مساحة 𝟏 اأ مساحة 𝟐

النمياط اي نهيات الفتيرة الميذكورة اي السي ال إحيدا اتمكننا تحدد أبعاد المنطمت المسيتطلت مي ليالل ⑦

. وتعوضها ا الدالة احصلة

حث بالرمز 𝟏 نرمز حرتفاع المستطل الصغر ⑧

حث بالرمز 𝟐 حرتفاع المستطل الكبرنرمز ⑨

, } ث ح Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة /(1)م ال 𝟐 𝟓, 𝟎 , √ 𝟏}

/الحل

𝟓 𝟐 𝟑

𝟐 √𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑

𝟓 √𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑 𝟔

𝟐 𝟗

𝟐 𝟒

𝟏

𝟐 𝟐

𝟒𝟏

𝟐 𝟐 المساحة التقربة للمنطقة


305

, } حث Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة /(2)م ال 𝟏 𝟐, 𝟐 𝟏}

/الحل

𝟐 𝟏 𝟏

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 𝟏 𝟓

𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟓

𝟐 𝟕

𝟐 𝟑

𝟏

𝟐 𝟐

𝟑𝟏

𝟐 𝟐 المساحة التقربة للمنطقة

, } حث Aة ماوجد لمة تمربة لمساحة المنط م ال / 𝟏 𝟑, 𝟎 , 𝟐 𝟏}

/ الحل 𝟑 𝟏 𝟐

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒

𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟎

𝟏 𝟐

𝟐 𝟒 𝟐𝟎

𝟐 𝟐𝟒

𝟐 المساحة التقربة للمنطقة 𝟐 𝟏𝟐

, } حث Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة م ال / 𝟐 𝟓 , 𝟑 𝟐 𝟐}

/ الحل

𝟓 𝟐 𝟑

𝟐 𝟐 𝟐 2 2 2 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟑 𝟑𝟎

𝟓 𝟓 𝟐 2 2 𝟕𝟑 𝟐 𝟕𝟑 𝟑 𝟐𝟏𝟗

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑𝟎 𝟐𝟏𝟗

𝟐 𝟐𝟒𝟗

𝟐 𝟏𝟐𝟒

𝟏

𝟐 المساحة التقربة للمنطقة 𝟐

, } حث Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة واجب :/ 𝟏 𝟒, 𝟎 , 𝟐 𝟏}


306

مساحة منطمة مستوة بدلة أكبر

Ⓘ نجزأ الفترة المعطاة , طول الفترة ن كو لوبذ (n)عدد الفترات هو الى اترات حسب الطلب ولك

,𝟏 حث أ )سكما ( (𝛔)بالرمز ( n,…,1,2)حث رمز لالعداد م 𝟐, 𝟑, 𝟒, ,

𝟏 تساوي حث Aدالل مساحة أكبر منطمة مستطلة نحسب ② 𝟐 𝟑

𝟏 )حث تساوي Aدالل مساحة أصغر منطمة مستطلة نحسب ③ 𝟐 𝟑 )

حسييب المييانو التييال Aمسيياحة المنطميية نجييد ④∑ ∑

ونالحييظ أنييه كلمييا زادت عييدد نميياط التجز يية اييأ

أك ر دلة . (A)وتصبح الممة التمربة لمساحة المنطمة المحصلة النها ة تمل

, } حيييث Aاوجيييد لمييية تمربييية لمسييياحة المنطمييية /( )م يييال 𝟐 𝟓 , 𝟐 وذلييين {𝟏

التجز ة باستلدام

𝟏 𝛔𝟏 𝟐, 𝟑, 𝟓

𝟐 𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 /الحل

𝟏 𝛔𝟏 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐, 𝟑 𝟑, 𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐𝟎 𝟐𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐

𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟔 𝟏𝟎 𝟓𝟐 𝟔𝟐

𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐)

𝟐 𝟐𝟓 𝟔𝟐

𝟐 𝟖𝟕

𝟐 𝟒𝟑

𝟏

𝟐 𝟐

𝟒𝟑= القمة التقربة لمساحة المنطقة ∴𝟏

𝟐 𝟐

/الحل

𝟐 𝛔𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝟐, 𝟑 𝟑, 𝟒 𝟒, 𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟕 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟐

𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟕 𝟏 𝟐𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟐𝟔 𝟓𝟑

𝟏 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟐 𝟑)

𝟐 𝟑𝟐 𝟓𝟑

𝟐 𝟖𝟓

𝟐

𝟒𝟐𝟏

𝟐 القمة التقربة لمساحة المنطقة 𝟐

, } حث Aواجب :/ اوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة 𝟐 𝟓 , 𝟎 , 𝟐 𝟑}

𝛔 𝟏 وذلن باستلدام التجز ة 𝟏 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓


307

المجامــــع العلا والمجامع السفلى

بالرمز للمجامع العلا رمز , , بالرمز للمجامع السفلى ورمز , أ حث ,

: سنعتبر الدالة , , مستمرة على الفترة حث مك أ تكو الدالة متزادة أو متنالصة أو تحتوي على نمطة حرجة

أذا كانت التجز ات متساوة والدالة ه عبارة ع ابت ا هذه الحالة تساوى المجموع احعلى مع المجموع احسفل

نعوض الرلم احكبر الذي تنته به الفترة نعوض الرلم احصغر لبداة الفترة واذا اردنا استلراج اذا أردنا استلراج

هي لى نمطة حرجة نحسب لم بداية الفتيرة ونهاتهيا ولمية النمطية الحرجية وتكيو الممية الصيغرة أحتواء الفترة الجز ة عحالة ا

والممة احكبر ه

اييأ ميي المتولييع ظهييور المجموعيية السييفلى 𝟎 أذا لييم نشييترط أ تكييو , وبالم ل عييدد موجييب أو سييالب أو صييفر

, للمجموعة العلا سنألذ أم لة لتوضح النماط السابمة بالتفصــــــــــــــــــــــــــــــل واح

𝟓 ليييتك /(4)م يييال ,𝟏 وليييتك 𝟐 , اأوجيييد المجميييوع احسيييفل 𝟒 والمجميييوع

, احعلى

/الحل

𝟓 ( الدالة متزادة) 𝟐 𝟐

𝟑 𝟒 𝟏

𝟑( ثالث فترات) 𝟏 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟗 𝟗 𝟏 𝟏 𝟕 𝟕 𝟏 𝟐 𝟗 𝟏 𝟏 𝟕 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟏 𝟗 𝟗 𝟐 𝟑 𝟏𝟏 𝟐 𝟐 𝟗 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟑 𝟑 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟑 𝟑 𝟑 𝟏𝟏 1 [3,4]

, ∑ 𝟕 𝟗 𝟏𝟏 𝟐𝟕

, ∑ 𝟗 𝟏𝟏 𝟏𝟑 𝟑𝟑


308

,𝟎 ولييتك 𝟐 𝟑 لييتك /(5)م ييال , اأوجييد المجمييوع احسييفل 𝟒 والمجمييوع

, احعلى منتظمة تمستلدما أربعة تجز ا

/الحل

𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒

𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 𝟑 𝟑

𝟐 𝟎, 𝟒

𝟑

𝟐 𝟏, 𝟐 𝟏 𝟐 (

𝟑

𝟐)

𝟗

𝟒 𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟒 , 𝟐

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 1 [0,1]

𝟐 𝟏 (𝟐𝟏

𝟒) 𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

𝟑

𝟐 𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 1 [1,2]

𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟎 1 [2,3]

𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟒 𝟏 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟒 𝟒 1 [3,4]

, ∑ 𝟎 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐

, ∑ 𝟐 𝟐𝟏

𝟒 𝟐 𝟔

𝟏

𝟒

مالحظة :

,𝟏 تحتوي الفترة الجز ة على نمطة حرجة لذا نحسب لم بداة الفترة ونهاتها ولمة السابك (5)ا الم ال 𝟐

والممة احكبر ه النمطة الحرجة وتكو الممة الصغرة ه


309

𝟐 لتك م ال / ,𝟏 ولتك 𝟑 𝟐 , اأوجد المجميوع احسيفل 𝟑 والمجميوع احعليى

, ,𝟏 علما أ 𝟎, 𝟐, 𝟑

الحل /

𝟏, 𝟎 , 𝟎, 𝟐 , 𝟐, 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎, 𝟐

𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 , 𝟑

طول الفترة

الفترة

[a,b] 𝟏 𝟏 𝟔 𝟔 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟔 𝟏 𝟎 𝟑 1 [-1,0]

𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 2 [0,2]

𝟑 𝟏 𝟔 𝟔 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 1 [2,3]

, ∑ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟎

, ∑ 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏𝟖

مالحظة :

,𝟎 تحتوي الفترة الجز ة ا الم ال اللارج )أعاله ( على نمطة حرجية ليذا نحسيب ليم بداية الفتيرة ونهاتهيا ولمية 𝟐

والممة احكبر ه النمطة الحرجة وتكو الممة الصغرة ه

,𝟎 وليتك لتك م ال / , اأوجيد المجميوع احسيفل , والمجميوع احعليى

,𝟎 )علما أ

𝟑 ,

𝟐 , )

الحل /

𝟎 𝟎, 𝟎,

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 (

𝟑) 𝟏

𝟑 𝟏 (

𝟑) (𝟏

𝟐)

𝟔 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏

𝟑

𝟏

𝟐

𝟑 [0,

𝟑]

𝟐 (

𝟔) (𝟏

𝟐)

𝟏𝟐 𝟐 (

𝟔) 𝟎 𝟎 𝟐

𝟑

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝟎

𝟔 [

𝟑,

𝟐]

𝟑 (

𝟐) 𝟎 𝟎 𝟑 (

𝟐) 𝟏

𝟐 𝟐 (

𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏

𝟐 [

𝟐, ]

, ∑

𝟔 𝟎

𝟐 𝟑

𝟔

𝟑 , , ∑

𝟑

𝟏𝟐 𝟓

𝟏𝟐


310

,𝟎 ولتك 𝟐 𝟑 𝟔 لتك واجب :/ , اأوجد المجموع احسفل 𝟒 , والمجموع احعلى مستلدما

منتظمة تأربعة تجز ا

,𝟎 ولتك لتك واجب :/ , اأوجد المجموع احسفل 𝟐 , والمجموع احعلى مستلدما اترتت

جز ت منتظمت

𝟒 تمارين 𝟏

, كل م اوجد , , : أتلكل مما

𝟏 𝟐, 𝟏 , 𝟑

𝟐, 𝟎, 𝟏

تقسم الفترة ,2 الى ثالث فترات جزئة منتظمة

[0,1] , [2,0-]الفترات ه الحل /

𝟑 𝟏 ( التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة) 𝟎

طول الفترة

الفترة

[a,b] 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟎 𝟑 2 [-2,0] 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 1 [0,1]

, ∑ 𝟔 𝟐 𝟖

, ∑ 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟑

تمسم الفترة الى الث اترات جز ة منتظمة الحل /

𝟏 𝟐

𝟑 𝟑

𝟑 𝟏

𝟑 𝟏 ( التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة) 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏 𝟒 1 [-2,-1]

𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 𝟎 𝟑 1 [-1,0] 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 1 [0,1]

, ∑ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟗

, ∑ 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏𝟐


311

𝟐 𝟎, 𝟒 , 𝟒 𝟐

,𝟎 أذا كا 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

[3,4] , [2,3] , [1,2] , [0,1]الفترات ه الحل /

𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏, 𝟐

وه نهاة عظمى محلة وال تجزئ الفترة (2,4)توجد نمطة حرجة ه

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 1 [0,1]

𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 1 [1,2]

𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 1 [2,3]

𝟒 𝟏 𝟑 𝟑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒 𝟎 1 [3,4]

, ∑ 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟔 , , ∑ 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝟏𝟒

𝒍𝒆𝒕 𝑨𝟏 𝑳 𝝈, 𝒇 𝟔 𝑨𝟐 𝑼 𝝈,𝒇 𝟏𝟒 𝑨 𝑨𝟏 𝑨𝟐

𝟐 𝟔 𝟏𝟒

𝟐 𝟐𝟎

𝟐 𝟏𝟎

وكما ل : 𝐴 أحانا طلب أجاد لمة تمربة لمساحة المنطمة

, 𝒇 𝟎,𝟒 𝑹 كا أذا 𝒇 𝒙 𝟒𝒙 𝒙𝟐 المنطمية لمسياحة تمربة لمة جد A أذا كيا المنحني تحيت

𝝈 𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒

نفس الحل أعاله وضاف له

A =𝟏𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒕 𝟐 المنطمة لمساحة تمربةال مةالم ∴


312

𝟑 𝟏, 𝟒 , 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏, 𝟐, 𝟒

أستخدام ثالث تجزئات متساوة

[2,4] , [1,2] الفترات ه الحل /

𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐 𝟏

𝟑 𝟏, 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 1 [1,2] 𝟐 𝟐 𝟓𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟐 𝟒 𝟓𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 2 [2,4]

, ∑ 𝟓 𝟑𝟐 𝟑𝟕

, ∑ 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟖

أستخدام ثالث تجزئات متساوة الحل /

𝟒 𝟏

𝟑 𝟑

𝟑 𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

[3,4] , [2,3] , [1,2]الفترات ه

𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐 𝟏

𝟑 𝟏, 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 1 [2,3] 𝟑 𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟔 𝟑 𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟓𝟔 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 1 [3,4]

, ∑ 𝟓 𝟏𝟔 𝟑𝟑 𝟓𝟒

, ∑ 𝟏𝟔 𝟑𝟑 𝟓𝟔 𝟏𝟎𝟓


313

أمثلة أضافة محلولة,𝟏 كييييا أذا/ م ييييال 𝟓 , اذا المنحنيييي تحييييت A المنطميييية لمسيييياحة تمربيييية لميييية جييييد 𝟐 𝟒

𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟓

𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 1 [1,2]

𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 2 [2,4]

𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟓 𝟓 1 [4,5]

, 𝟑 𝟎 𝟓 𝟐 , , 𝟒 𝟖 𝟎 𝟏𝟐

𝟏 , 𝟐 𝟐 , 𝟏𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟏𝟐

𝟐 𝟏𝟎

𝟐 𝟓 𝟐

,𝟏 كا أذا / م ال 𝟒 , 𝟐 اذا المنحن تحت A المنطمة لمساحة تمربة لمة جد 𝟏

𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒 𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, ( الدالة متزادة) 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 1 [1,2]

𝟐 𝟐 𝟏𝟕 𝟑𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 𝟒 𝟏𝟕 𝟐 𝟐 𝟓 2 [2,4]

, 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟐 , , 𝟓 𝟑𝟒 𝟑𝟗

𝟏 , 𝟏𝟐 𝟐 , 𝟑𝟗 𝟏 𝟐

𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟗

𝟐 𝟓𝟏

𝟐 𝟐𝟓

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, ( الدالة متزادة) 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟏 𝟓 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟓 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟏𝟕 𝟏𝟕 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟑 𝟒 𝟏𝟕 𝟑 𝟑 𝟏𝟎 1 [3,4]

, 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 , , 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟐

𝟏 , 𝟏𝟕 𝟐 , 𝟑𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟏𝟕 𝟑𝟐

𝟐 𝟒𝟗

𝟐 𝟐𝟒

𝟏

𝟐 𝟐


314

مالحظة :

بالضبط السابك (b)أستلدم الث تجز ات متساوة االحل كو نفس الفرع أذا ذكر ا الم ال السابك

,𝟏 كا أذاواجب :// 𝟕 , 𝟐 𝟐 اذا المنحن تحت A المنطمة لمساحة تمربة لمة جد 𝟏

𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒, أستخدم أربع تجزئات متساوة 𝟕

تعرف التكامـــل

, أذا كانت , دالة مستمرة على الفترة (𝛔)تجز ة بحث حي k اأنه وجد عدد حمم وحد

, ا الفترة , اأ ,

, على الفترة التكامل المحدد للدالة Kنسم العدد ∫ونرمز له بالرمز

ومرأ التكامل مي

, ونسم للدالة bالى ل حدي التكامل المحدد

مالحظات

, مسيييتمرة عليييى الفتيييرة أذا كانيييت الدالييية ① , ,ايييأ ∫

, وتكيييو -

∫ هذا التكامللالممة التمربة

, ,

𝟐

, , 𝟎 أذا كانت الدالة ② ∫اأ

fتحت المنحني Aعط مساحة المنطمة

, , أماتشر الى أ حدي التكامل dx , وهو عدد غر سالب xلمتا للمتغر

, , 𝟎 أذا كانييت الداليية ③ ∫اييأ

وهييذا ال ييدل علييى المسيياحة , أمييا 𝟎

اه ستساوي Aمساحة المنطمة

∫

|∫

|

∫لمة أ ④

, تتولف على الفترة وعلى لمة


315

,𝟏 لتك /( )م ال 𝟐 حث 𝟑

∫أوجد لمة تمربة للتكامل 𝟐 𝟑

𝟏,𝟏 أذا جز ت الفترة الى تجز ت 𝟑

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟑

𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟑

𝟑 𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟑

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟗 𝟗 𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐 𝟒 1 [2,3]

, ∑ 𝟏 𝟒 𝟓 , , ∑ 𝟒 𝟗 𝟏𝟑

∫ 𝟐 𝟑

𝟏

, ,

𝟐 𝟓 𝟏𝟑

𝟐 𝟏𝟖

𝟐 تقربا 𝟗

,𝟐 لتك /(2)م ال ∫, أوجد 𝟑 𝟐 حث 𝟓 𝟓

𝟐

,𝟐 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟓

𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎

𝛔 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝛔 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟓

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 1 [2,3]

𝟐 𝟐 𝟕 𝟏𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟓 𝟕 𝟐 𝟑 𝟑 2 [3,5]

, ∑ 𝟏 𝟔 𝟕 , , ∑ 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟕

∫ 𝟐 𝟑 𝟑

𝟏

, ,

𝟐 𝟕 𝟏𝟕

𝟐 𝟐𝟒

𝟐 تقربا 𝟏𝟐


316

,𝟏 , 𝟑 لتك /(3)م ال ∫, أوجد 𝟓 𝟓

𝟏

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟓

𝟑 𝟎

𝛔 𝟏, 𝟑, 𝟓 𝛔 𝟏, 𝟑 , 𝟑, 𝟓

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 2 [1,3]

𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 2 [3,5]

, ∑ 𝟔 𝟔 𝟏𝟐 , , ∑ 𝟔 𝟔 𝟏𝟐

∫ 𝟑 𝟓

𝟏

, ,

𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐

𝟐 𝟐𝟒

𝟐 تقربا 𝟏𝟐

𝟒 تمارين 𝟐

∫أوجد لمة تمربة للتكامل /1 س 𝟑

𝟑

𝟏𝛔بأستلدام التجز ة 𝟏, 𝟐, 𝟑

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟑

𝟑

𝟑

𝟐 𝟎

𝟑

𝟐 𝟎 𝟑

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 (𝟑

𝟐)

𝟑

𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐

𝟑

𝟐 1 [1,2]

𝟐 𝟏 (𝟑

𝟐)

𝟑

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

𝟑

𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 1 [2,3]

, ∑ 𝟏 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 𝟓

𝟐 , , ∑ 𝟑

𝟑

𝟐 𝟔 𝟑

𝟐 𝟗

𝟐

∫ .𝟑 /

𝟑

𝟏

, ,

𝟐

𝟓𝟐 𝟗𝟐

𝟐 (𝟏𝟒𝟐 )

𝟐 𝟕

𝟐 𝟑

𝟏

𝟐


317

,𝟏 , 𝟑 𝟑 لتك / 2س 1د / 2015وزاري 𝟒

∫ لتكاملاأوجد لمة 𝟒

𝟏𝛔بأستلدام التجز ة 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

Fالدالة منحن تحمك هندسا بحساب المنطمة تحت م

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟒

𝟑 𝟑 𝟑 ( التوجد نقطة حرجة و الدالة متزادة) 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟔 𝟔 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟐 𝟑 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟗 𝟗 𝟑 𝟏 𝟔 𝟔 𝟑 𝟒 𝟗 𝟑 𝟑 𝟔 1 [3,4]

, ∑ 𝟎 𝟑 𝟔 𝟗 , , ∑ 𝟑 𝟔 𝟗 𝟏𝟖

∫ 𝟑 𝟑 𝟒

𝟏

, ,

𝟐 𝟗 𝟏𝟖

𝟐 𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟑

𝟏

𝟐

:الحل الهندس

𝟏 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏, 𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟑 𝟗 𝟒, 𝟗

مساحة (𝟏

𝟐) ( األرتفاع)( طول القاعدة)

مساحة (𝟏

𝟐) 𝟒 𝟏 𝟗

𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟑

𝟏

𝟐

∫ تكاملأوجد لمة تمربة لل /3 س 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒

𝟐𝛔بأستلدام التجز ة 𝟐, 𝟑, 𝟒

,𝟐 الفترات /الحل 𝟑 , 𝟑, 𝟒

𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟎 𝟔 𝟎 𝟐, الدالة متزادة 𝟒

الفترةطول

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟏 𝟏 𝟗 𝟗 𝟏 𝟑 𝟐𝟒 𝟏 𝟐 𝟗 1 [2,3]

𝟐 𝟏 𝟒𝟓 𝟒𝟓 𝟐 𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟒𝟓 𝟐 𝟑 𝟐𝟒 1 [3,4]

, ∑ 𝟗 𝟐𝟒 𝟑𝟑 , , ∑ 𝟐𝟒 𝟒𝟓 𝟔𝟗

∫ (𝟑 𝟐 𝟑) 𝟒

𝟐

, ,

𝟐 𝟑𝟑 𝟔𝟗

𝟐 𝟏𝟎𝟐

𝟐 𝟓𝟏


318

∫ أوجد لمة تمربة للتكامل /4 س 𝟐

𝟑 𝟒 حث أ

,𝟑 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟐

𝟒 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 𝟒 𝟏 𝟑 𝟒 3 [-3,0]

𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟒 2 [0,2]

, ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎 , , ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎

أو نحل حسب التجز ات التالة

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝟒 2 [-3,-1]

𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 3 [-1,2]

, ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎 , , ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎

∫ 𝟒 𝟐

𝟑

, ,

𝟐 𝟐𝟎 𝟐𝟎

𝟐 𝟒𝟎

𝟐 𝟐𝟎

∫ أوجد لمة التكامل /5س 𝟑 𝟓

𝟏 بأستلدام أربعة تجز ات ممكنة

/الحل

𝟑 𝟑 𝟐 ( التوجد نقطة حرجة و الدالة متزادة) 𝟎

𝟓 𝟏

𝟒 𝟒

𝟒 𝟏

,𝟏 الفترات 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 , 𝟒, 𝟓

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟖 𝟖 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 𝟏 𝟏 𝟏 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐 𝟏 𝟖 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐𝟕 𝟐 𝟐 𝟖 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟔𝟒 𝟔4 𝟑 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟑 𝟒 𝟔𝟒 𝟑 𝟑 𝟐𝟕 1 [3,4]

𝟒 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟒 𝟏 𝟔𝟒 𝟔4 𝟒 𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 1 [4,5]

, ∑ 𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟎𝟎 , , ∑ 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟒

∫ 𝟑 𝟓

𝟏 , ,

𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟒

𝟐 𝟑𝟐𝟒

𝟐 𝟏𝟔𝟐


319

أمثلة أضافة محلولة𝟐 𝟑 لييييتك /م ييييال ,𝟎 ولييييتك 𝟒 التجز يييية تلدامــييييـباسة تمربيييية للتكامييييل ــييييـد لمــييييـأوج 𝟑

𝛔 𝟎, 𝟏, 𝟐, الث تجز ات متساوةبأستلدام أو 𝟑

/الحل

𝟑 𝟐 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟐

𝟑 𝟎 , 𝟏

𝟐

𝟑 𝟎 𝟎 (

𝟐

𝟑)

𝟒

𝟑 𝟏 𝟏

𝟒

𝟑 أكبر قمة 𝟎 أصغر قمة

𝟑 𝟎

𝟑 𝟑

𝟑 𝟏

,𝟎 الفترات 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 . 𝟒

𝟑/

𝟒

𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 .

𝟐

𝟑/

𝟒

𝟑 1 [0,1]

𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 1 [1,2]

𝟑 𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟏𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 1 [2,3]

, ∑ 𝟒

𝟑 𝟏 𝟒

𝟓

𝟑 , , ∑ 𝟎 𝟒 𝟏𝟓 𝟏𝟗

∫ 𝟑

𝟎

, ,

𝟐 (𝟓𝟑) 𝟏𝟗

𝟐 (𝟓 𝟓𝟕𝟑 )

𝟐 (𝟔𝟐𝟑 )

𝟐 (

𝟔𝟐

𝟑) (𝟏

𝟐)

𝟑𝟏

𝟑


320

,𝟎 ولتك لتك /م ال بأستلدام تجز ت متساوتا أوجد لمة تمربة للتكامل

/الحل

𝟎

𝟐 𝟎,

𝟐 𝟎 𝟎 (

𝟐) 𝟏 𝟎 أكبر قمة 𝟏 أصغر قمة 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 (

𝟐) 𝟏

𝟐 𝟏 (

𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏

𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎

𝟐 [𝟎 ,

𝟐]

𝟐 (

𝟐) 𝟏

𝟐 𝟐 (

𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟎

𝟐 [

𝟐, ]

, ∑ 𝟎 𝟎 𝟎 , , ∑

𝟐

𝟐

∫

𝟎

, ,

𝟐 𝟎

𝟐

𝟐

******************************************************************

∫أوجييد لميية التكامييل : 1س 𝟐 𝟏

𝟎𝛔بأسييتلدام التجز يية ( 𝟎,

𝟏

𝟒 ,

𝟏

𝟐 ,

𝟑

𝟒 , أي بأسييتلدام أربييع ( 𝟏

تجز ات منتظمة

∫أوجد لمة التكامل : 2س 𝟐 𝟏

𝟎𝛔بأستلدام التجز ة ( 𝟎,

𝟏

𝟒 ,

𝟏

𝟑 ,

𝟗

𝟏𝟎 , 𝟏 )

تلدام أربيييع ــــيييـبأسد لمييية تمربييية للتكاميييل ـــيييـأوج , وليييتك ليييتك : 3س

تجز ات منتظمة

* وليييييتك ليييييتك : 4س

𝟐,

𝟔+ تلدام ـــيييييـباس لــيييييـأوجيييييد لمييييية تمربييييية للتكام

𝛔 (

𝟐 ,

𝟔 , 𝟎 ,

𝟔 )


321

الدالة الممابلة – النظرة احساسة للتكامــــــــــل

, دالة مستمرة على الفترة أذا كانت , مستمرة على الفترة F اأنه توجد دالة : بحث

, ,

∫وكو

, على الفترة fالدالة الممابلة للدالة حث تسمى

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة أذا كانت /( )م ال ∫اجد لمة f دالة ممابلة للدالة 𝟐 𝟑 بحث 𝟓 𝟓

𝟏

/الحل

∫ 𝟓

𝟏

𝟓 𝟏 𝟑 𝟐𝟓 𝟑 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐

ومك أ نكتب ذلن بالصورة احتة :

∫ 𝟓

𝟏

𝟓 𝟏 𝟑 𝟐

𝟓 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐

,𝟎*دالة مستمرة على الفترة fأذا كانت /(2)م ال

𝟐 ه : fو أ الدالة الممابلة للدالة +

*𝟎,

𝟐+ ,

∫جد لمة أوا

𝟐𝟎

/الحل

∫

𝟐

𝟎

(

𝟐) 𝟎 (

𝟐) 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟑 أ بت أ الدالة /(3) ال م 𝟐 , 𝟏, 𝟐 𝟑 ه دالة ممابلة للدالة 𝟑

𝟑 ∵ /الحل ) حنها ك رة حدود ( ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على 𝟐

∴ F 𝟏 على ه دالة مستمرة, ,𝟏 على و لابلة لألشتماق 𝟑 𝟑

𝟑 𝟐 𝟏, 𝟑

∴ F 𝟏 على ه دالة ممابلة للدالة, 𝟑


322

أ بت أ الدالة /(4) ال م𝟏

𝟐 ه دالة ممابلة للدالة , 𝟐

𝟐 ,

∫ م جد لمة 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

ه دالة مستمرة و لابلة لألشتماق 𝟐 ∵

𝟏

𝟐 ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أضا 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

ه دالة مقابلة للدالة ∴

∫

∫ 𝟐

𝟒

𝟎

[𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟎

𝟒 [

𝟏

𝟐 𝟐 (

𝟒)] [

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎 ] [

𝟏

𝟐 (

𝟐)] [

𝟏

𝟐 𝟎]

𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐


323

Fوالدالة الممابلة لها fوالجدول أدناه وضح العاللة ب

الدالة الدالة الممابلة لها

𝟏

𝟏

, 𝟏

𝟏

𝟏

, 𝟏

𝟏

𝟏

, 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟏

من الجدول نستنتج ∫

عدد ابت حمم Cحث أ F+Cكما ا الجدول أعاله ه مجموعة الدوال الممابلة حة دالة


324

∫أوجد /( ) ال م 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∫ 𝟐

𝟒

𝟎

𝟎

𝟒

𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

∫أوجد /(6) ال م 𝟐

𝟐

𝟒

/الحل

∫ 𝟐

𝟐

𝟒

𝟒

𝟐 *

𝟐

𝟒+ 𝟎 𝟏 𝟏

∫أوجد /(7) ال م

𝟑𝟎

/الحل

∫

𝟑

𝟎

𝟎

𝟑

𝟑 𝟎

𝟏

𝟑

𝟏

𝟎

𝟏

(𝟏𝟐) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

∫أوجد /(8) ال م 𝟑𝟑

𝟏

/الحل

∫ 𝟑𝟑

𝟏

0 𝟒

𝟒1𝟏

𝟑

[𝟖𝟏

𝟒 𝟏

𝟒]

𝟖𝟎

𝟒 𝟐𝟎


325

لواص التكامـــــل المحدد

, دالة مستمرة على أذا كانت Ⓘ أوال: , , 𝟎 وكانت

∫فأن

:مثال 𝟎

𝑎 𝑓 𝑥 𝑥2 0 , 𝑥𝜖 ,2 ∶ ألن ∫ 𝟐𝟐

𝟏

𝑑𝑥 𝟎

𝑏 𝑓 𝑥 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ألن ∫ 𝟑 𝟑

𝟐

𝑑𝑥 𝟎

𝑐 𝑓 𝑥 𝑥 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ألن ∫ 𝟏 𝟑

𝟐

𝑑𝑥 𝟎

, دالة مستمرة على أذا كانت ② , , 𝟎 وكانت

∫فأن

:مثال 𝟎

𝑎 𝑓 𝑥 < 0 , 𝑥𝜖 ,2 ∶ ألن ∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝑑𝑥 < 𝟎

𝑏 𝑓 𝑥 < 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ألن ∫ 𝟏

𝟐

𝑑𝑥 < 𝟎

, دالة مستمرة على أذا كانت انا: فأن عدد حقق ثابت Cوكان

∫ 𝑪𝒇 𝒙 𝑪∫ 𝒇 𝒙 𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

∫أذا كا /(9) ال م 𝟖𝟓

𝟐∫اأوجد 𝟓

𝟓

𝟐

/الحل

∫ 𝟓 𝟓

𝟐 𝟓∫

𝟓

𝟐 𝟓 𝟖 𝟒𝟎


326

, 𝟏 أذا كانت ال ا: , دالتن مستمرة على 𝟐 𝟏 فأن 𝟐 ∫ 𝟏 ∫ ∫ 𝟐 𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

𝒃 𝒂

, ومكننا تعمم هذه الخاصة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على

∫أذا كانت /(10) ال م 𝟐 𝟏𝟕𝟑

𝟏 ,∫ 𝟏 𝟏𝟓

𝟑

𝟏 اأوجد كال م :

∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

, ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

/الحل

∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟏 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟑

𝟏

2

∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟏 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟑

𝟏

2

𝟐 𝟑 أذا كانت /(11) ال م ∫اأوجد 𝟐 𝟐

𝟏

/الحل

∫ 𝟐

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝟑𝟐 𝟏

𝟐𝟐 𝟏

4 0

, دالة مستمرة على أذا كانت رابعا: , وكانت :فأن

∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥𝒄

𝒂

∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥𝒃

𝒄

𝒃

𝒂

∫أذا كانت /(21) ال م 𝟖𝟕

𝟑 ,∫ 𝟓

𝟑

𝟏∫اأوجد

𝟕

𝟏

/الحل

∫ 𝟕

𝟏

∫ 𝟑

𝟏

∫ 𝟕

𝟑

𝟓 𝟖 𝟏𝟑


327

∫أوجد | | أذا كا /(31) ال م 𝟒

𝟑

,𝟑 دالة مستمرة على /الحل ولها لاعدتا هما : 𝟒

, 𝟎 < 𝟎

∫ 𝟒

𝟑

∫ 𝟎

𝟑

∫ 0 𝟐

𝟐1 𝟑

𝟎

𝟐

𝟐

𝟒 𝟎

𝟒

𝟎

[0 ( 9

2)] [

6

2 0]

9 6

2 2

2

, أذا كا /(14) ال م𝟐 𝟏 𝟏𝟑 < 𝟏

∫اأوجد 𝟓

𝟎

,𝟎 مستمرة على الفترة الدالة /الحل ح 𝟏 وذلن حنها مستمرة عند 𝟓

𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 معرفة 𝟑

𝟏

{

𝟐 𝟏 𝟑 𝟏

𝟑 𝟑 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟏 𝟏 موجودة 𝟑 𝟏

> }مستمرة على كل م الدالة ∴ 𝟏} , { 𝟏}

,𝟎 مستمرة على الفترة الدالة ∵ 𝟓

∴ ∫ ∫ 𝟏

𝟎∫ 𝟓

𝟏 ∫ 𝟑

𝟏

𝟎∫ 𝟐 𝟏 𝟓

𝟏

𝟓

𝟎

𝟑 𝟏

𝟎

𝟐

𝟓

𝟏

𝟑 𝟎 𝟑𝟎 𝟐 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏


328

𝟑} أذا كا ال /م𝟐 𝟐 𝟏

𝟔 𝟏 < 𝟏∫اأوجد

𝟑

𝟐

,𝟐 مستمرة على الفترة الدالة /الحل ح 𝟏 وذلن حنها مستمرة عند 𝟑

𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 معرفة 𝟓 𝟏 𝟐

𝟏

{

𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟏

𝟔 𝟏 𝟓 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟏 𝟏 موجودة 𝟓 𝟏

> }مستمرة على كل م الدالة ∴ 𝟏} , { 𝟏}

,𝟐 مستمرة على الفترة الدالة ∵ 𝟑

∴ ∫ ∫ 𝟏

𝟐∫ 𝟑

𝟏 ∫ 𝟔 𝟏

𝟏

𝟐∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑

𝟏

𝟑

𝟐

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝟑

𝟏

𝟐 𝟏𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐

| | أذا كا ال /م ∫اأوجد 𝟑 𝟒

𝟑

نفس طرمة أ بات الحل ا الس ال السابك /الحل

, 𝟑 𝟎 𝟑 < 𝟎

∫ 𝟒

𝟑

∫ 𝟑 𝟎

𝟑

∫ 𝟑 0𝟑 𝟐

𝟐1 𝟑

𝟎

0 𝟐

𝟐 𝟑 1

𝟎

𝟒

𝟒

𝟎

[𝟎 ( 𝟗 𝟗

𝟐)] [(

𝟏𝟔

𝟐 𝟏𝟐) 𝟎]

𝟐𝟕 𝟒𝟎

𝟐 𝟔𝟕

𝟐


329

لامسا:

∫

𝟎 , ∫

∫

مثال :

∫ 𝟑

𝟑

0 𝟐

𝟐 1𝟑

𝟑

9

2 9

2 𝟎

∫ 𝟑 𝟐𝟐

𝟑

∫ 𝟑 𝟐𝟑

𝟐

2 2 2 9

𝟒 تمارين 𝟑

:أحسب كال م التكامالت التالة /1س

∫ 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐

0 𝟑 𝟐

𝟐 𝟐 1

𝟐

𝟐

0𝟑 𝟒

𝟐 𝟒1 0

𝟑 𝟒

𝟐 𝟒1 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟐 𝟏𝟎 𝟖

∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐

𝟏

0 𝟏

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐 1

𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 ]

𝟏

𝟐

( 𝟏

𝟐 𝟒 𝟐) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓

𝟏

𝟐 𝟏 𝟒

𝟏

𝟐

∫ 𝟒 𝟒 𝟑

𝟏

0 𝟓

𝟓 𝟐 𝟐 1

𝟏

𝟑

[𝟐𝟒𝟑

𝟓 𝟏𝟖] [

𝟏

𝟓 𝟐]

𝟐𝟒𝟐

𝟓 𝟏𝟔

𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎

𝟓 𝟑𝟐𝟐

𝟓


330

∫ | 𝟏|𝟐

𝟎

| 𝟏| , 𝟏 𝟏𝟏 < 𝟏

∫ | 𝟏|𝟐

𝟎 ∫

∫ 2

0 2

21

0 2

2 1

2

[(

2) 0] [ 2 2 (

2 )]

2

2 𝟏

∫ 𝟎

𝟐

0 𝟐

𝟐 1

𝟐

𝟎

0 𝟎 𝟐

𝟐 𝟎 1 [

( 𝟐 )

𝟐

𝟐 (

𝟐)]

𝟎 𝟎 [( 𝟐

𝟒 )

𝟐 𝟏]

𝟐

𝟖 𝟏 𝟏

𝟐

𝟖

مالحظة

∫ 𝟑 𝟏

𝟏

𝟐

𝟑

∫ 𝟑 𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

∫ 𝟏 𝟐 𝟏

𝟏 ∫ 𝟐 𝟏

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

0

2

2 1

2

.02

9

2 1 0

4

2 21/ .

4 2 6 2 2

6/

9

6

∫𝟐 𝟑 𝟒 2 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟑

𝟏

0 2 4

1

2 4

𝟑

𝟏

[9 2

] 4

0


331

حث f(x) ه دالة ممابلة للدالة أ بت أ الدالة / 2س

*𝟎,

𝟔+ حث

𝟏 ,𝟎* حث

𝟔+ ∫ أحسب م

𝟔𝟎

دالة ممابلة للدالة ك ن بت أ ـل /الحل

,𝟎*مستمرة على الفترة ن بت أ

𝟔+

, *𝟎,

𝟔+

مستمرة ا مجالها ∴

𝟏

دالة ممابلة للدالة ∴

∫

𝟔

𝟎

( 𝟔) 𝟎 [

𝟔 𝟔] 𝟎 𝟎

𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟔

: أوجد كال م التكامالت التالة /3س

∫ 𝟐 𝟏 𝟐𝟒

𝟏

∫ 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟏)𝟒

𝟏

∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟒

𝟏

∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐) 𝟒

𝟏

[ 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐

𝟐 𝟐 ]

𝟏

𝟒

𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖 0𝟏

𝟒 𝟑

𝟐 𝟐1

𝟑𝟐 𝟏

𝟒 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑𝟒

𝟓

𝟒 𝟏𝟑𝟔 𝟓

𝟒 𝟏𝟒𝟏

𝟒


332

∫ | 𝟏|𝟏

𝟏

| 𝟏| { 𝟏 𝟏

𝟏 < ( خارج الفترة) 𝟏

∫ | 𝟏|

∫

0 2

2 1

(

2 ) (

2 ) 𝟐

∫ 𝟒 𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟏)

𝟏

𝟑

𝟐

∫ 𝟏 𝟏 ( 𝟐 𝟏)

𝟏 ∫ 𝟏 ( 𝟐 𝟏)

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

∫ ( 𝟑 𝟐 𝟏) 𝟑

𝟐

0 𝟒

𝟒 𝟑

𝟑 𝟐

𝟐 1

𝟐

𝟑

[𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟗

𝟐 𝟑] [𝟒

𝟖

𝟑 𝟐 𝟐]

𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟐 𝟏𝟐 𝟖

𝟖

𝟑 𝟒

𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟐

𝟖

𝟑 𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐

𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟑

𝟏𝟐

∫ √ (√ 𝟐)𝟐

𝟏

𝟎

∫ √ ( 𝟒√ 𝟒)𝟏

𝟎

∫ (𝟏𝟐)( 𝟒

(𝟏𝟐) 𝟒)

𝟏

𝟎

∫ ( (𝟑𝟐) 𝟒 𝟒

(𝟏𝟐))

𝟏

𝟎

[ (𝟓𝟐)

(𝟓𝟐)

𝟐 𝟐 𝟒 (𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)]

𝟎

𝟏

[𝟐

𝟓 𝟐

𝟖

𝟑] 𝟎

𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎

𝟏𝟓 𝟕𝟔

𝟏𝟓

, تأذا كان /4س 𝟐 𝟑𝟔 < 𝟑

∫اأوجد 𝟒

𝟏

,𝟏 الفترة مستمرة على نبره أ الدالة /الحل 𝟒

( الدالة معرفة عندما 𝟑 ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑

𝟑

{

𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏

𝟔 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐

𝟑

( الدالة مستمرة عندما 𝟑 ) 𝟔 𝟑

∫ 𝟒

𝟏

∫ 𝟔 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟔 𝟑

𝟏

𝟐 𝟒

𝟑

𝟏𝟖 𝟔 𝟏𝟔 𝟗 𝟒

𝟑

𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗


333

𝟑} أذا كا /5س 𝟐 𝟎

𝟐 < 𝟎∫اأوجد

𝟑

𝟏 1د / 2014وزاري

,𝟏 الفترة مستمرة على نبره أ الدالة /الحل 𝟎 وذلن بأ بات أنها مستمرة عند 𝟑

𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 ( الدالة معرفة عندما 𝟎 ) 𝟎

𝟎

{ 𝟎

𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 𝟏

𝟎

𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐

𝟎

( الدالة مستمرة عندما 𝟎 ) 𝟔 𝟎

∫ 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟎

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎

𝟏

𝟑 𝟑

𝟎

𝟎 𝟏 𝟐𝟕 𝟎 𝟑

𝟎

𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔

******************************************************************

المحدد الغــر التكامـــل

, المستمرة على الفترة أذا كانت للدالة وكل fاأنه وجد عدد ال نها م الدوال الممابلة للدالة F دالة ممابلة

م ل عدد ابت والفرق ب أك ر م أ ن منها ساوي عدد ابت Cحث F + Cمنها ساوي

ة على الصورة ـــــة الدوال الممابلــــمى مجموعـــــتس F+C بالتكامل غر المحدد للدالية𝒇 عليى الفتيرة المسيتمرة

, ∫ ورمز لها بالرمز 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 هو ر الدالة أذا كا رمز متغ𝒙

صطلح على كتابة التكامل غر المحدد بالصورة∫ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑭 𝒙 𝑪 , 𝑪 𝐑

العملة المعاكسة لعملة التفاضل أي أحداهما تنه دور احلرى عملة التكامل غر المحدد هو

: التكامل للدوال التالة أوجد /(1) ال م

𝒂 ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏)𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟑

𝟑 𝟐

𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝒙 𝒄

𝒃 ∫(𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒙 𝟐)𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝒙 𝟏

𝟏 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝒙

𝟏

𝒙 𝒄

𝒄 ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒙 𝐭𝐚𝐧𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐

𝟐 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄

𝒅 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝟒 𝒄


334

جد التكامالت لكل مما أت : /(2) ال م

𝒂 ∫(𝒙𝟐 𝟑)𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙

(𝒙𝟐 𝟑)𝟑

𝟑 𝒄

𝒃 ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)𝟔 𝟑𝒙 𝟒 𝒅𝒙 .

𝟏

𝟐/∫(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)

𝟔 2 𝟑𝒙 𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓 𝟕

𝟕 𝒄

𝟏𝟒 𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓 𝟕 𝒄

𝒄 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓 𝒄

𝒅 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟔 𝑥 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟕 𝑥

𝟕 𝒄

بعض العاللات ا الدوال الم ل ة

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟏 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟓 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝟔 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝟕 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 𝟏

𝟖 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏

𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝑨 𝑩 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝑨 𝑩 𝒙

𝟗 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙

𝟏𝟎 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙 𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙

𝟏𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃


335

تكامالت الدوال المثلثة التربعة

𝟏 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄

𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄

𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝟏 𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄

𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝜽 𝟏 𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄

𝟓 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝟐 𝒅𝜽

𝟏

𝟐(∫𝒅𝜽

𝟏

𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽)

𝟏

𝟐(𝜽

𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽) 𝒄

𝟏

𝟐𝜽

𝟏

𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝒄

𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝟐 𝒅𝜽

𝟏

𝟐(∫𝒅𝜽

𝟏

𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽)

𝟏

𝟐(𝜽

𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄

𝟏

𝟐𝜽

𝟏

𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝑐

( 618 صفحةو 185أم لة ) م الكتاب صفحة

𝟏 ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄

𝟐 ∫ 𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟑 𝒅 𝒙𝟏

𝟑∫ 𝟑𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝟏

𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟑 𝒄

𝟑 ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄 ∓ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄


4 ∫𝒔𝒊𝒏𝟒 𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫0

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 1

𝟐

𝒅𝒙 ∫𝟏

𝟒(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙)𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫ ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 )𝒅𝒙

𝟏

𝟒.∫ ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 /𝒅𝒙

𝟏

𝟒.𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄

𝟏

𝟒.𝟑

𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄

𝟑

𝟖𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙

𝟏

𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒄


336

𝟓 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐝𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟖

𝟖 𝒄

𝟔 ∫𝟏 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙

𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙

𝟐 𝒄

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 𝒄

𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑 𝒄

2د / 4201ي وزار

𝟖 ∫𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

𝟐 𝒄


𝟗 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟑𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝒅𝒙

𝟐

𝟑∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟑𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝟑 𝒅𝒙 .

𝟐

𝟑/𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱

𝟒 𝐜

𝟏

𝟔 𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱 𝐜

مالحظة 𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 𝟒

𝟏𝟎 ∫𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄

𝟏𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟑𝐱𝐝𝐱 ∫0𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 1𝐝𝐱

𝟏

𝟐.𝒙

𝟏

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙/ 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

𝟏𝟐 ∫𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟓𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟏)𝒅𝒙 ∫𝒄𝒔𝒄𝟐𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟓𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄

𝟏𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟕𝐱𝐝𝐱 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟕𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫𝒔𝒆𝒄𝟐𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟕𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄



337

أمثلة أضافة محلولة:أوجد التكامالت احتة /م ال

𝟏 ∫𝒙 𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟑 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 .

𝟏

𝟔/(𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟏

𝟖(𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓 𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 .𝟏

𝟐/𝒕𝒂𝒏𝟔 𝟐𝒙

𝟔 𝒄

𝒕𝒂𝒏𝟔 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒄

𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 . 𝟏

𝟒/𝐜𝐨𝐬𝟒 𝟒𝒙

𝟒 𝒄

𝐜𝐨𝐬𝟒 𝟒𝒙

𝟏𝟔 𝒄

𝟒 ∫𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟓 𝒙𝟑 𝒅𝒙 .𝟏

𝟑/𝐜𝐨𝐬𝟔 𝒙𝟑

𝟔 𝒄

𝐜𝐨𝐬𝟔 𝒙𝟑

𝟏𝟖 𝒄

𝟓 ∫𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙

(𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 )𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)𝐬𝐢𝐧𝟒 𝟐𝒙

𝟒 𝒄

𝐬𝐢𝐧𝟒 𝟐𝒙

𝟖 𝒄

𝟔 ∫𝒙 𝒙𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝒙𝟐 𝟗)(𝟏𝟐) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟗)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 (𝒙𝟐 𝟗)

(𝟑𝟐)

𝟑 𝒄

𝒙𝟐 𝟗 𝟑

𝟑 𝒄

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝒅𝒙

∫ (𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟒

𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟔 𝒄

𝟖 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟓𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓𝒙

𝟓 𝒄

𝟗 ∫ 𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙𝟐 𝟐)(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟐)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄

(𝟑

𝟖) (𝒙𝟐 𝟐)

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓 𝒅𝒙 .𝒙𝟐

𝟐 𝟓𝒙/ 𝒄

𝟏𝟏 ∫ 𝟑

𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫

𝟑

𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟑∫ 𝒙 𝟏 𝟐𝒅𝒙

𝟑 𝒙 𝟏 𝟏

𝟏 𝒄

𝟑

𝒙 𝟏 𝒄


338

𝟏𝟐 ∫ 𝒙𝟐 𝟏

√𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏 (

𝟏𝟓) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟑) 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏 (

𝟒𝟓)

(𝟒𝟓)

𝒄

𝟓

𝟏𝟐 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏 (

𝟒𝟓) 𝒄

𝟏𝟑 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙

𝟒 𝒄

𝟏𝟒 ∫𝟗𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 ( 𝟏

𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄

𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐 𝑐

:احتةللدوال أوجد التكامالت /م ال

𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟑𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫𝒔𝒆𝒄𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟑𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄

𝟐 ∫𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟕𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝟕𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟕𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄

𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2

𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝐜

𝟒 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙

𝟑 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄

𝟓 ∫√𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄 ∓ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄

𝟔 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙

𝟔 𝒄

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏


𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟏



339

𝟖 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝟏 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝟏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐( 𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟔𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟖𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄

𝟗 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏)𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙

𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙

𝟓 𝟐

𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙

𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄

حل السؤال 𝟏𝟎 ولكن أجعل األس 𝟒 بدل من 𝟔 ∶ واجب

𝟏𝟏 ∫𝒙𝟓 𝒙𝟒 𝟏

𝒙𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄 (نقسم البسط على المقام ثم نكامل )

𝟏𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝐱𝐝𝐱 ∫0𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 1𝐝𝐱

𝟏

𝟐.𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄

𝟏𝟑 ∫𝒙𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙𝟑 𝐝𝐱 𝟏

𝟑∫ 𝟑 𝒙𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙𝟑 𝐝𝒙

𝟏

𝟑𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄

𝟏𝟒 ∫𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐𝐝𝐱 𝟏

𝟐∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐 𝟐 𝐝𝒙

𝟏

𝟐𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒄

𝟏𝟓 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 𝟏

𝟕∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟕𝐱 𝟕 𝐝𝐱

𝟏

𝟕𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄

𝟏𝟔 ∫𝒙𝟐 9

𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ∫

𝑥 𝑥

𝑥 𝒅𝒙 ∫ 𝑥 𝒅𝒙

𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄

𝟏𝟕 ∫𝒙𝟒 6

𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫

𝒙𝟐 4 𝒙𝟐 4

𝑥 2𝒅𝒙 ∫

𝑥 2 𝑥 2 𝒙𝟐 4

𝑥 2𝒅𝒙

∫ 𝑥 2 𝒙𝟐 4 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟑 4𝑥 2𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟒

𝟒 2𝒙𝟐 2

𝒙𝟑

𝟑 𝑥 𝒄

𝟏𝟖 ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝑥 𝒙𝟐 𝑥

𝑥 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝑥 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄


340

𝟏𝟗 ∫𝒙𝟐

√𝒙𝟑 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟓

2 𝒅𝒙

∫ 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟓

2 𝒅𝒙

× 𝒙𝟑 𝟓

2

2

𝒄

2

𝒙𝟑 𝟓 𝒄

𝟐𝟎 ∫ 𝐜𝐨𝐭𝟑 𝟗𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟗𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟗∫ 𝐜𝐨𝐭𝟑 𝟗𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟗𝒙 𝟗 𝐝𝐱

𝟏

𝟗× 𝐜𝐨𝐭𝟒 𝟗𝒙

𝟒 𝒄

𝟐𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟗∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝒙 𝟗 𝐝𝐱

𝟏

𝟗𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄

𝟐𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟕∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝒙 𝟕 𝐝𝐱

𝟏

𝟕𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄


𝟐𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙𝐝𝐱

𝟏

𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑 𝒙 𝒄

𝟐𝟒 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱

𝟏

𝟑∫𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱

𝟏

𝟑×𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙

𝟓 𝐜

𝟏

𝟏𝟓𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙 𝐜

𝟐)م ال : جد معادلة المنحن الذي مله 𝟏

𝟐 (1 , 0)ومر بالنمطة (𝟐

/الحل

𝟐)∫ ∫ (المل)∫ 𝟏

𝟐 𝟐) 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 ( 𝟎 , ( نعوض النقطة 𝟏

𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏

𝟔 𝟑 معادلة المنحن 𝟏


341

𝟑 م ال : جد معادلة المنحن الذي مله 𝟐 (1 , 0)ومر بالنمطة

/الحل

𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟐 ) 𝟑 𝟑

𝟑 𝟑 ( 𝟎 , ( نعوض النقطة 𝟏

𝟏 𝟏 معادلة المنحن 𝟐 𝟑 𝟐

𝟑 جد معادلة المنحن الذي مله م ال : (15)والمنحن متلن نهاة عظمى محلة تساوي 𝟗 𝟔 𝟐

/الحل

( نجعل 𝟎 ) 𝟗 𝟔 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 𝟑 ⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏

,𝟏 النمطة نهاة عظمى محلة 𝟏𝟓

𝟑 (𝟗 𝟔 𝟐 𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟑 𝟐 𝟗 ( 𝟏 , ( نعوض النقطة 𝟏𝟓

𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 معادلة المنحن 𝟏𝟎 𝟗

(1,4-)والمنحن متلن نمطة حرجة عند ( 𝟔 )عادلة المنحن جد مم ال :

/الحل

∫ ∫ 𝟔 𝟑 𝟐 ( نجعل 𝟎 عندما 𝟏 ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑

𝟐 𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟑) 𝟑 𝟑 ( 𝟏 , ( نعوض النقطة 𝟒

𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 معادلة المنحن 𝟐 𝟑


342

𝟐 مماسا له عندما 𝟕 𝟑 والمستمم 𝟐 الذي مله جد معادلة المنحنم ال :

/الحل

Ⓘ نعوض لمة(x) لمة الستلراجا معادلة المستمم(y) م أجاد نمطة التماس

𝟑 𝟕 𝟑 𝟐 𝟕 𝟏 𝟐, نقطة التماس 𝟏

المل أي بمعنى ألر المشتمة احولى إلجادنشتك معادلة المستمم ②

𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑

𝟑 حث ننجد لمة المجاهل ا معادلة مل المنح ③

𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 معادلة مل المنحن 𝟏 𝟐 𝟏

المطلوبة اتم الحصول على معادلة المنحن (C)نكامل معادلة مل المنحن م نجد لمة ابت التكامل ④

𝟐 𝟏 𝟐 ∫ ∫ (المل)∫ ( 2 , ( نعوض النقطة

𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 معادلة المنحن 𝟑

مالحظات :

ال تكامل مل منحن واه ابت مجهول م ل(C) او(P) حتى تجد لمة المجهول.

ا أجاد وابت حستلدمهاحجاد معادلة منحن دالة فضل أ تجد أوال نمطة كاملة م معلومات الس ال

التكامل المجهولة


343

𝟒 تمارين 𝟒

جد تكامالت كل مما أت ضم مجال الدالة :

∫ 2𝒙𝟐 𝟑 𝟐 𝟗

𝒙𝟐𝐝𝐱 ∫

𝟒𝒙𝟒 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝟗 𝟗


𝟒𝒙𝟒 𝟏𝟐𝒙𝟐


𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟐 𝟏𝟐

𝒙𝟐𝐝𝐱

𝟒𝒙𝟑

𝟑 𝟏𝟐𝒙 𝒄

𝟐 ∫(𝟑 √𝟓𝒙)

𝟕

√𝟕𝒙𝒅𝒙 ∫

(𝟑 √𝟓 (√𝒙))𝟕

√𝟕 (√𝒙)𝒅𝒙

𝟏

√𝟕∫(𝟑 √𝟓 (√𝒙))

𝟕

(√𝒙)𝒅𝒙 (نوفر المشتقة)

𝟏

√𝟕( 𝟐

√𝟓)∫ .

√𝟓

𝟐/(𝟑 √𝟓 (√𝒙))

𝟕

(√𝒙)𝒅𝒙

𝟏

√𝟕( 𝟐

√𝟓)(𝟑 √𝟓 (√𝒙))

𝟖

𝟖 𝒄

𝟒 √𝟑𝟓(𝟑 √𝟓𝒙 )

𝟖 𝒄

𝟑 ∫𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫

𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙)

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟐 𝒄


𝟒 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟏𝒙

𝟏 𝐜

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄

: حل ألر

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄

𝟓 ∫𝒙

𝟑𝒙𝟐 𝟓 𝟒 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟔∫ 𝟔 𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟔 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟑

𝟑 𝒄

𝟏

𝟏𝟖 𝟑𝒙𝟐 𝟓 𝟑 𝒄

𝟔 ∫ 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓𝟑

𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝟑

𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟓 (𝟐𝟑) 𝐝𝐱

𝒙 𝟓 (𝟓𝟑)

(𝟓𝟑)

𝒄 𝟑

𝟓 𝒙 𝟓

(𝟓𝟑) 𝒄

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙

𝟑 𝒄

𝟖 ∫𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫ (

𝟏

𝟐)𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄


344

(لو كان المثال)

∫𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫(

𝟏

𝟐)𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄

𝟗 ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟏)𝟐𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙𝟒 𝟔𝒙𝟐 𝟏)𝒅𝒙

𝟗

𝟓𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑 𝒙 𝒄

𝟏𝟎 ∫ √𝒙 𝒙

√𝒙𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ) √𝒙(𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ). √𝒙/ (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙

∫(𝒙 𝟑𝟒 ) (𝒙

𝟏𝟒) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟐𝟒 ) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫[𝒙

( 𝟏𝟐)] (𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟐)

𝒅𝒙

𝟐 ∫ [ 𝟏

𝟐𝒙( 𝟏𝟐)] (𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟐)

𝒅𝒙 𝟐(𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟒

𝟑(𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟑𝟐)

𝒄

𝟒

𝟑 (𝟏 √𝒙)

𝟑 𝒄

(لو كان المثال)

∫ 𝒙 √𝒙

√𝒙𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ) √𝒙(√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ). √𝒙/ (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙

∫(𝒙 𝟑𝟒 ) (𝒙

𝟏𝟒) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟐𝟒 ) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫[𝒙

( 𝟏𝟐)] (𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟏𝟐)

𝒅𝒙

𝟐 ∫(𝟏

𝟐) [𝒙

( 𝟏𝟐)] (𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟏𝟐)

𝒅𝒙 𝟐(𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟒

𝟑(𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟑𝟐)

𝒄

𝟒

𝟑 (√𝒙 𝟏)

𝟑 𝒄

2د / 2013ري وزا

𝟏𝟏 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙

𝒙 𝟐 (𝟏

𝟑) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙 𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫[

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 ]𝒅𝒙

𝒙 𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫(

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)𝒅𝒙 𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟐(𝟏

𝟔) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟑

𝟐𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏


𝟏𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟒𝒙𝒅𝒙 (𝟏

𝟒)∫ 𝟒 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟒 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄

𝟏𝟑 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 .𝟏

𝟐/∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄

𝟏𝟒 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟖𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟖𝒙 𝟏)𝒅𝒙 𝟏

𝟖𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄


345


𝟏𝟓 ∫√𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 𝟏𝟐

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟑𝟐

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟏

𝟑 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟑𝟐 𝒄

𝟏𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄

𝟏𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟏𝟔𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄

𝟏𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫(

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 )

𝟐

𝒅𝒙 ∫𝟏

𝟒 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫𝒅𝒙 ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝒙 𝒅𝒙)

𝟏

𝟒[𝒙

𝟐

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙]

𝟏

𝟒[𝒙

𝟏

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄

𝟏

𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟖𝒙

𝟏

𝟗𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄

𝟑

𝟖𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟗𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة :جد التكامالت التالة /م ال

∫𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 (𝟏

𝟒) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄

𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄

𝟐 ∫𝒔𝒊𝒏√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫(

𝟏

𝟐)𝒔𝒊𝒏√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√𝒙 𝒄

𝟑 ∫𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙𝒅𝒙 ∫

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒂𝟐)𝒙

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒂𝟐)𝒙

𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 (𝒂

𝟐)𝒙𝒅𝒙 ∫*𝐬𝐞𝐜𝟐 (

𝒂

𝟐)𝒙 𝟏+𝒅𝒙

𝟐

𝒂𝒕𝒂𝒏 (

𝒂

𝟐)𝒙 𝒙 𝒄

𝟒 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙

𝟐

𝟑∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟐

𝟑× 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟑

𝟑 𝐜

𝟐

𝟗 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟑 𝐜


346

𝟓 ∫√𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 (𝟏𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

4∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

(𝟏𝟐) 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

(𝟏

𝟒) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

(𝟑𝟐)

𝟔 𝒄

𝟔 ∫𝒅𝒙

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫

(𝟏𝟐)𝒅𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝐝𝐱 ∫(𝟏𝟐)𝒅𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟏𝟐)𝒙

∫(𝟏

𝟐) 𝒔𝒆𝒄𝟐 (

𝟏

𝟐)𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 (

𝟏

𝟐)𝒅𝒙 𝒄

𝟕 ∫𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐝𝒙

(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐

(𝟏𝟐)

𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄

𝟖 ∫𝟑

𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔 (

𝟏

𝒙)𝒅𝒙 𝟑 ∫

𝟏

𝒙𝟐𝐜𝐨𝐬 (

𝟏

𝒙)𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏 (

𝟏

𝒙) 𝐜

𝟗 ∫𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫(

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝒙)𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙

𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐

𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒅𝒙 ∫

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝟐

𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝟐𝒅𝒙 ∫(

𝒔𝒆𝒄𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙)𝟒

𝒅𝒙 ∫ *

𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙

+

*𝟏𝒔𝒊𝒏

+

𝟒

𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟒

𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙𝒅𝒙

)36(ا الصفحة )9( م نكمل الحل كما ا الم ال

𝟏𝟏 ∫ (𝟓

𝒙𝟑

𝟕

𝒙𝟐)(𝟏𝟑)

𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙

𝒙𝟑)(𝟏𝟑)

𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟑)

𝒙𝒙𝒅𝒙

𝟏

𝟕 𝟓 𝟕𝒙

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄

𝟑

𝟐𝟖 𝟓 𝟕𝒙

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟏𝟐 ∫𝟕𝒙𝟒

𝒙 𝟓 𝟔𝒅𝒙 ∫

𝟕𝒙𝟒

𝒙 𝟓 𝟒 𝒙 𝟓 𝟐𝒅𝒙 𝟕∫

𝒙𝟒

𝒙 𝟓 𝟒 𝒙 𝟓 𝟐𝒅𝒙 𝟕∫(

𝒙

𝒙 𝟓)𝟒

𝒙 𝟓 𝟐𝒅𝒙

(𝟕

𝟓)∫ 𝟓 (

𝒙

𝒙 𝟓)𝟒

[𝟏

𝒙 𝟓 𝟐]𝒅𝒙

𝟕

𝟓 (

𝒙𝒙 𝟓

)𝟓

𝟓 𝒄

𝟕

𝟐𝟓 (

𝒙

𝒙 𝟓)𝟓

𝐜

𝟏𝟑 ∫ 𝒙𝟓 𝒙𝟑𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙𝟐 𝟏𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙𝟐 𝟏)(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 .

𝟏

𝟐/∫ 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 𝟏)

(𝟏𝟑) 𝒅𝒙

.𝟏

𝟐/(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟑

𝟖(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑) 𝒄


347

𝟏𝟒 ∫ 𝟓𝒙𝟒 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 ∫𝒙 𝟓𝒙𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫𝒙(𝟓𝒙𝟐 𝟑)(𝟏𝟐) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟏𝟎)∫ 𝟏𝟎 𝒙(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟏𝟐) 𝒅𝒙

.𝟏

𝟏𝟎/(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄

𝟏𝟓(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟑𝟐) 𝒄

𝟏𝟓 ∫ 𝟓 𝟕√𝒙𝟑

√𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟑)

𝒙 ( 𝟏𝟐)𝒅𝒙 [

𝟐

𝟕]∫ [

𝟕

𝟐] (𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟑)

𝒙 ( 𝟏𝟐)𝒅𝒙

[ 𝟐

𝟕](𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟑

𝟏𝟒(𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟒𝟑)

𝒄

𝟏𝟔 ∫𝒙𝟔 (𝟓 𝟑

𝒙)𝟔

𝒅𝒙 ∫(𝒙 [𝟓 𝟑

𝒙])

𝟔

𝐝𝐱 ∫ 𝟓𝒙 𝟑 𝟔𝐝𝐱 (𝟏

𝟓) 𝟓𝒙 𝟑 𝟕

𝟕 𝒄

𝟑𝟓 𝟓𝒙 𝟑 𝟕 𝒄

𝟏𝟕 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟔 𝟔𝒙𝟑 𝟗 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 𝟐 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟎 𝒅𝒙

∫ 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟎 𝒅𝒙

(𝟏

𝟑) 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝒄

𝟏

𝟑𝟑 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟏 𝒄

𝟏𝟖 ∫𝟕𝒙𝟐 𝒙𝟔 𝒙𝟐 𝒅𝒙 ∫𝟕𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟒 𝟏 𝒅𝒙 ∫𝟕𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟏 𝒅𝒙 (𝟕

𝟒)∫ 𝟒 𝒙𝟑(𝒙𝟒 𝟏)

(𝟏𝟐) 𝒅𝒙

(𝟕

𝟒)(𝒙𝟒 𝟏)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟕

𝟔(𝒙𝟒 𝟏)

(𝟑𝟐) 𝑐


348

ـالطبعــ اللوغارتم

هيييييييي uاييييييييأ مشييييييييتمة اللوغييييييييارتم الطبعيييييييي للداليييييييية xداليييييييية موجبيييييييية لابليييييييية لالشييييييييتماق بالنسييييييييبة الييييييييى uلييييييييتك

مشتقة الدالة

الدالة

(

)

∫عله اأ و

𝟏

| | وتسيتلدم هيذه موجبية شرط أ تكو الدالة

:وه تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل اشتمالهاالدالة ا توار المشتمة احولى ا بعض الدوال الت صعب

𝟏 𝟎 , , ,

𝟐 𝟑 اذا كا /( )م ال جد واأ 𝟒

𝟑 𝟐 𝟒

𝟔

𝟑 𝟐 𝟒

∫ جد /(2)م ال 𝜃 𝑑

𝟏

𝜃

𝜃

𝟏 𝜃

𝜃𝜃 𝜃 𝜃

∫ 𝜃 𝑑

𝟏

𝜃

𝜃 ∫

| | |𝟏

| 𝜃

: جد مشتمة الدوال التالة : م ال /

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

(

)

(

)


349

: لكل مما أت جد التكامل م ال /

∫

∫ (

)

𝟐

𝟐

∫

𝟐 (

𝟏

𝟐)∫

𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 | 𝟐

|

∫𝟏

| |

∫ ∫

∫

| |

∫ ∫

| |

∫ 𝟐 𝟑

𝟏 𝟑

𝟏

𝟑∫𝟑 𝟐 𝟑

𝟏 𝟑

𝟏

𝟑 |𝟏 𝟑 |

الطبع ماللوغارتدالة

الطبعييي بمعنيييى ألييير هنيييان بعيييض اليييدوال عنيييدما نشيييتمها أو اللوغيييارتمهييي دالييية عكسييية لدالييية الدالييية احسييية

اللوغيييارتماحسييية يييم عنيييدما ننتهييي نميييوم بألغييياء الدالييية احسييية عييي طريييك أدليييال دالييية داليييةالنكاملهيييا نيييدلل علهيييا

الطبع الهدف م هذه العملة ه لتغر شكل الدالة المراد العمل علها

هييي u مراوعييية للميييوة اي دالييية أسييية أ مشيييتمة ايييذا لييي

(مشتقة االس)(الدالة)

وعليييه ايييأ

وه تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل ∫

𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖

𝟎 𝟏

𝟏

اجد لتك /(3)م ال

𝟐

∫جد /(4)م ال 𝟐 3د / 2013وزاري

∫ 𝟐

𝟏

𝟐∫𝟐

𝟐

𝟏

𝟐

𝟐


350

عدد ثابت( ــة ) احساس الدالة احســ

هيييييي u مشييييييتمة اي داليييييية أسيييييية مراوعيييييية للمييييييوة عييييييدد ابييييييت م ييييييل أسيييييياس الداليييييية احسيييييية اييييييأ نفييييييرض أ

(مشتقة االس)( األساس )(الدالة)

∫وعليييييييييييييييييه ايييييييييييييييييأ

𝟏

وتتمز ببعض اللصا ص الت ذكرناها ا الدالة احسة السابمة وسوف نوضح ذلن ا الم ال التال .

جد /( )م ال

:لكل مما أت

𝟑𝟐 𝟓

𝟑𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟓

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐

𝟐)

𝟓

𝟓 𝟓

******************************************************************


جد /م ال

: لكل مما أت

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟒 𝟒 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑𝟐 𝟓

𝟑𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟓

𝟓

𝟓 𝟓


351

: جد التكامل لكل مما أت /م ال

∫ 𝟕 𝟏

𝟕 𝟕

∫

∫

∫ √

√ 𝟐 ∫

√

𝟐 √ 𝟐 √

: جد التكامل لكل مما أت /م ال

∫𝟒 𝟒 (𝟏

𝟒)

∫𝟐 𝟐 (𝟏

𝟐)

∫ 𝟑 𝟑 𝟏

𝟑∫ 𝟑 𝟑 𝟑

𝟏

𝟑 𝟑

∫ 𝟑 𝟕 𝟐𝟕 (𝟏

𝟕)∫ 𝟕 𝟑 𝟕 𝟐𝟕 (

𝟏

𝟕)𝟑 𝟕 (

𝟏

𝟑)

∫𝟐𝟑 𝟑 𝟒𝟐 𝟏

𝟐 𝟑 ∫

𝟐𝟑 𝟑 𝟐𝟒 𝟐

𝟐 𝟑 ∫.

𝟐𝟑 𝟑

𝟐 𝟑 𝟐𝟒 𝟐

𝟐 𝟑/

∫(𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 ) ∫𝟐𝟐 ∫𝟐𝟑 𝟓

(

2)∫ 𝟐 𝟐𝟐 (

𝟏

𝟑)∫ 𝟑 𝟐𝟑 𝟓 (

2)𝟐𝟐 (

𝟏

𝟐) (

𝟏

𝟑)𝟐𝟑 𝟓 (

𝟏

𝟐)

∫ 𝟐


352

𝟒 تمارين 𝟓

جد /1س

:لكل مما أت

𝒂 𝟑

𝟑

𝟑 𝟏

𝒃 𝐲 𝐥𝐧 (𝒙

𝟐)

(𝟏𝟐)

(𝒙𝟐) (

𝟏

𝟐) (

𝟐

𝒙)

𝟏

𝒙

𝒄 𝒚 𝒍𝒏 𝒙𝟐

𝟐𝒙

𝒙𝟐

𝟐

𝒙

𝒅 𝐲 𝒍𝒏𝒙 𝟐

𝟐 𝒍𝒏𝒙 (

𝟏

𝒙)

𝟐

𝒙 𝐥𝐧𝐱

𝒆 𝒚 𝒍𝒏 (𝟏

𝒙) 𝟑

𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑

.

𝟑𝒙 𝟒

𝒙 𝟑/ 𝟑𝒙 𝟏

𝟑

𝒙

𝒇 𝒚 𝒍𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒈 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟓)

𝒆( 𝟓𝒙

𝟐 𝟑𝒙 𝟓) 𝟏𝟎𝒙 𝟑 𝟏𝟎𝒙 𝟑 𝒆( 𝟓𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟓)

𝒉 𝒚 𝟗√𝒙

𝟗√𝒙 𝒍𝒏𝟗 (

𝟏

𝟐√𝒙)

𝟗√𝒙

𝟐√𝒙 𝒍𝒏𝟗

𝒊 𝒚 𝟕( 𝒙𝟒)

𝟕(

𝒙𝟒) 𝒍𝒏𝟕 (

𝟏

𝟒)

𝒍𝒏𝟕

𝟒𝟕( 𝒙𝟒)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐


353

:جد التكامالت احتة /2س

𝑎 ∫

𝟏

𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏 𝟑 𝟎

| 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐𝟐 𝟐𝒍𝒏𝟐

𝒃 ∫𝟐

𝟐 𝟗

𝟒

𝟎

𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝟗 𝟒 𝟎

| | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓 𝟐 𝒍𝒏𝟑 𝟐

𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏𝟓

𝟑


𝒄 ∫ 𝟐 𝟓

𝟑

𝒅𝒙 𝟐 𝟓

𝟑

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑

𝟏

𝟐 𝟓

𝟐* 𝟑

𝟐 +

𝟏

𝟐𝟐𝟓 𝟗

𝟏

𝟐𝟏𝟔 𝟖

𝒅 ∫ 𝟐

𝟎 𝒅𝒙

𝟐 𝟎

𝟐 𝟎 𝟐 𝟏

* 𝟏 + 𝟐 𝟏* 𝟏+ 𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐


𝒆 ∫ 𝟏 2 𝟏

𝟎 𝒅𝒙 0

𝟏

10

𝟏

𝟏 𝟎

[ ( 𝒆𝟏)

( 𝒆𝟎)

]

𝟑

𝟏 𝟏 𝒆 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑

𝟑

𝟏 𝟏 𝒆 𝟑 𝟐 𝟑

𝟑

𝟏 𝟏 𝒆 𝟑

𝟑

𝟖

: لو كا الس ال

∫ 𝟏 𝟏

𝟎 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 )

𝟏

𝟎 𝒅𝒙 0𝒆𝒙

𝒆𝟐𝒙

𝟐 10

0𝒆𝟏 𝒆𝟐

𝟐1 0𝒆𝟎

𝒆𝟎

𝟐1 𝒆𝟏

𝒆𝟐

𝟐 𝟑

𝟐


𝒇 ∫𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟒 𝟏

𝟏

𝟎 𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏

𝟏 𝟎

( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔


𝒈 ∫ √

𝟐√

𝟒

𝟏

𝒅𝒙 √ 𝟒 𝟎

*𝒆√𝟒 𝒆√𝟏+ 𝒆𝟐 𝒆𝟏


𝒉 ∫ . 𝟐

𝟐 /

𝟒

𝟒

𝒅𝒙 |𝟐 |

𝟒

𝟒

𝒍𝒏 |𝟐

𝟒|𝒍𝒏 |𝟐

𝟒|𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑


354

𝒊 ∫

√

𝟐

𝟔

𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏𝟐)

𝟐

𝟔

𝐝𝐱 (

𝟏𝟐)

[(𝟏𝟐)

𝟔

𝟐

] 𝟐√

𝟐

𝟔

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐

𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐

𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐

√𝟐 𝟐 √𝟐

∫ 𝟑𝟓 ∫ 𝟐𝟓 𝟓 ∫ 𝟐𝟓 𝟏 𝟓

∫ 𝟐𝟓 𝟓 𝟓 ∫ 𝟓 𝟐𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙

( 𝟏

𝟓) 𝟐𝟓

𝟐 ∫

𝟓

𝟓 𝒅𝒙

𝟏

𝟏𝟎 𝟐𝟓

𝟏

𝟓 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄


𝒌 ∫

𝟐

𝟎

𝒅𝒙 𝟐 * (

𝟐) 𝟎 + 𝟎 𝟏 𝟏 𝒆

𝑳 ∫ 𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟏

𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟏𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟐

𝟏

𝒅𝒙 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 𝟏

: أ أ بت /3س

∫ √

𝟑 𝟏

√ 𝟐𝟑 𝟐

𝟖

𝟏

األسر ∫ 𝟐𝟑 (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟏

𝟑∫ (𝟏

𝟑)

𝟐𝟑 (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟏

𝟑

[ (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐

𝟑𝟐

]

𝟏

𝟖

𝟐 [( 𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐]

𝟏

𝟖

𝟐 [(𝟖𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐 (𝟏

𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐]

𝟐 [ 𝟐 𝟏 𝟑𝟐 𝟏 𝟏

𝟑𝟐] 𝟐 [ 𝟏

𝟑𝟐 𝟎] 𝟐 𝟏 𝟐 األمن


355

∫ |𝟑 𝟔|𝟒

𝟐

𝒅𝒙 𝟑𝟎

𝟐 𝟔 𝟑مالحظة

| 6| , 6 26 < 2

الطرف األسر ∫ | 6|

2

𝑑𝑥 ∫ 6 2

2

𝑑𝑥 ∫ 6

2

𝑑𝑥 06 2

2 1 2

2

0 2

2 6 1

𝟐

𝟒

2 𝟔 2 6 ( 24 24 𝟔 2 ) 6 6 𝟑𝟎 الطرف األمن


,𝟐 دالة مستمرة على الفترة /4س ∫اأذا كا 𝟔 𝟔

𝟏∫وكا 𝟔 𝟑

𝟔

𝟐د ـــــاج 𝟑𝟐

∫ 𝟏

𝟐

∫ 𝟑 𝟔

𝟐

𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

∫ 𝟑𝟔

𝟐

𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

|𝟑 | 𝟐𝟔 𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

𝟐𝟒 𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

𝟖

∫ 𝟔

𝟐

∫ 𝟏

𝟐

∫ 𝟔

𝟏

𝟖 ∫ 𝟏

𝟐

𝟔

∫ 𝟏

𝟐

𝟖 𝟔 ∫ 𝟏

𝟐

𝟐


356

∫أذا علمت أ جد لمة / 5س ( 𝟏

𝟐)

𝟏 𝟐∫ 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∫ ( 𝟏

𝟐)

𝟏

𝟐∫ 𝟐

𝟒

𝟎 0

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 1𝟏

𝟐 𝟎

𝟒

. 𝟐

𝟐

𝟐/ (

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐) 𝟐 [

𝟒 𝟎]

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟑

×𝟐 ⇒ 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎

𝟑 𝟐

𝟐 لتك / 6س ∫اجد 𝟓 دالة نهاتها الصغرى تساوي حث 𝟐 𝟑

𝟏

للدالة نهاة صغرى /الحل

∴ 𝟎

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ⇒ 𝟏

نمطة نهاة صغرى محلة وه تحمك معادلة الدالة 𝟓 ,𝟏 النمطة ∴

𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒

𝟐 𝟐 𝟒

∫ 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑

𝟏

0 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 1

𝟗 𝟗 𝟏𝟐 (𝟏

𝟑 𝟏 𝟒) 𝟔 (

𝟏

𝟑 𝟑)

𝟔 (𝟏 𝟗

𝟑) 𝟔 (

𝟖

𝟑)

𝟏𝟖 𝟖

𝟑 𝟐𝟔

𝟑


357

𝟑 𝟑 أذا كيييا للمنحنييي / 7س , الب ـــــيييـنمطيييية انم 𝟏 جيييد المميييية العددييية للممييييدار

∫

𝟎 ∫

𝟎 3د / 2015وزاري

للدالة نمطة أنمالب /الحل

∴ 𝟎

𝟑 𝟑 𝟏

𝟑 𝟑 𝟐

𝟔 𝟑 𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 ⇒ 𝟑 𝟎 𝟑

𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏

, نمطة احنمالب ∴ ,𝟑 ه 𝟑 أي أ 𝟏 , 𝟏

∫

𝟎

∫

𝟎

∫ 𝟑 𝟑 𝟐𝟏

𝟎

∫ 𝟔 𝟑 𝟑

𝟎

𝟑 0 𝟑 𝟑

𝟑1𝟎

𝟏

𝟔 0 𝟑 𝟐

𝟐1𝟎

𝟑

𝟑 0 𝟏 𝟑 𝟑

𝟑 𝟎 𝟑 𝟑

𝟑1 𝟔 0

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟎 𝟑 𝟐

𝟐1

𝟑 [ 𝟖

𝟑 𝟐𝟕

𝟑] 𝟔 [𝟎

𝟗

𝟐]

𝟑 [ 𝟏𝟗

𝟑] 𝟔 [

𝟗

𝟐]

𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔


358

أمثلة أضافة محلولة : جد التكامالت التالة م ال /

𝟏 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄

𝟐 ∫𝒆𝒍𝒏(𝒙𝟐 𝟓)𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝟓 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝟓𝒙 𝒄

𝟑 ∫ 𝒆|𝒙|𝟐

𝟐

𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙𝟎

𝟐

𝒅𝒙 ∫ 𝒆𝒙𝟐

𝟎

𝒅𝒙 𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟐 𝟏 𝟐𝒆𝟐 𝟐

𝟒 ∫𝒅𝒙

𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙 ∫

𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝒙 𝟏 𝒍𝒏𝒙

𝟏𝟐

(𝟏𝟐)

𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄

𝟓 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄

𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄

𝟕 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄

𝟖 ∫𝒔𝒆𝒄√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐∫

𝒔𝒆𝒄√𝒙

𝟐 √𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√𝒙 𝒕𝒂𝒏√𝒙| 𝒄

𝟗 ∫ (𝟏

𝒙 𝒍𝒏𝒙

𝒙)𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒍𝒏𝒙

𝒙𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙

𝒍𝒏𝒙 𝟐

𝟐 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒍𝒏𝒙

𝒙

𝟑

𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝟒

𝟒 𝒄

𝟏𝟒 ∫𝒆𝒙

𝒆 𝒆𝒙 𝟐𝒅𝒙 ∫𝒆𝒙 𝒆 𝒆𝒙 𝟐𝒅𝒙

𝒆 𝒆𝒙 𝟏

𝟏 𝒄

𝟏

𝒆 𝒆𝒙 𝒄


359

جد م ال /

: التالةللدوال

𝟏

(

𝟏

) 𝟏

𝟏 𝟏 𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 (

𝟏

)

𝟐

(

𝟐

) (

𝟐

)

𝟑

𝟒 𝒙 𝟐 𝟏 𝒙

𝟐 𝟐 𝒙

𝟐 𝟐 𝒙

𝟐 𝒙 𝟐

𝟐

𝟐

𝒙

𝟓

𝟑 𝟏

𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑

𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑

𝟑 𝟏 𝟐

: جد معادلة المماس للمنحن للدوال التالة م ال /

⒜ 𝟎 عندما

𝟎 𝟏 𝟎, نقطة التماس 𝟏

مل المماس 𝟎 𝟏

𝟏 𝟏

𝟏 𝟏

𝟎 𝟏 𝟏 (معادلة المماس) 𝟎


360

(b) 𝟐 𝟏 عندما

𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟏, نقطة التماس 𝟐

مل المماس 𝟐 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟒

𝟏 𝟏

𝟒 𝟐

𝟏 𝟐 (معادلة المماس) 𝟏 𝟒

(c) عندما

𝟏 , نقطة التماس

مل المماس (𝟏

) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐

𝟏 𝟏

𝟐

(معادلة المماس) 𝟐

,𝟎* , أ بت أ الدالة م ال /

𝟒+ م دالة ممابلة للدالة

∫جد لمة

𝟒𝟎

الحل /

ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أضا ه دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن

𝟐

( ه دالة مقابلة للدالة )

∫

𝟒

𝟎

√𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 √𝟐 𝟏


361

مالحظة:

)نستلدم أذا كا مل المنحن حتوي على المتغر

للمل م نضع كل متغر على جهة م نكامل الطرا (

******************************************************************

𝟐 𝟑ومله عند كل نمطة م نماطه ساوي 𝟕 𝟑جد منحن الدالة الذي مس المستمم : 1س 𝟔

,𝟏 النمطية وكيا للدالية 𝟔 أذا كانت المشتمة ال انية : 2س نمطية نهاية عظميى محلية جيد منحني الدالية يم 𝟒

بأستلدام التفاضل أرسم منحن الدالة

𝟐 جد معادلة منحن الدالة الذي مله عند كل نمطة م نمطه ساوي : 3س وله نهاية صيغرى محلية لمتهيا 𝟔

> ومحدب لكل 𝟏 وكا المنحن ممعر 𝟑 𝟏

,𝟏 جد معادلة المنحن المار بالنمطة : 4س ومله عند كل نمطة م نمطه ساوي 𝟐𝟑 𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟐 𝟑

, كل نمطة م نمطها ملها عند المنحنات أذا علمت أ معادلةجد : 5س هو 𝟐

𝟐

******************************************************************

اجاد مساحة المنطمة المستوة

ــنات منحن ومحور السـالمنطمة المستوة المحددة ب حةمسا

, دالة مستمرة على الفترة لتك ومحيور مسياحة المنطمية المحيددة بيالمنحن Aولتك

, السنات والمستمم ∫| اأ

|

: لطوات الحل

:ل منحن ومحور السنات نتبع ماالجاد المساحة ب

Ⓘ الجيييياد نميييياط التميييياطع مييييع محييييور السيييينات اييييأذا كييييا النييييات نتميييي للفتييييرة 𝟎 نجعييييل , انجييييزي

. الفترة كما تعلمنا سابما واذا كا النات النتم للفترة اهمل وت لذ الفترة المعطاة امط

اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة تم تحددها م لالل نماط تماطع الدالة مع محور السنات ②

تكامالت المجز ة المم المطلمة للالمساحة = مجموع ③


362

𝟑 جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الداليييية /(1)م ييييال ومحييييور السيييينات وعلييييى 𝟒

,𝟐 الفترة 𝟐

الحل /

الجاد نمط التماطع 𝟎 نجعل

𝟑 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐

,𝟐 اترات التكامل ه ∴ 𝟎 , 𝟎, 𝟐

|∫ 𝟑 𝟒 𝟎

𝟐

| |∫ 𝟑 𝟒 𝟐

𝟎

| 0 𝟒

𝟒 𝟐 𝟐1

𝟐

𝟎

0 𝟒

𝟒 𝟐 𝟐1

𝟎

𝟐

| 𝟎 𝟒 𝟖 | | 𝟒 𝟖 𝟎 | 𝟒 | 𝟒| ( وحدة مربعة) 𝟖


ومحيييييييور السييييييينات 𝟐 ة ــيييييييـددة بمنحنييييييي الدالـــيييييييـاحة المنطمييييييية المحـــيييييييـجيييييييد مس /(2)م يييييييال

𝟑 , 𝟏 والمستمم

الحل /


𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟑

|∫ 𝟐𝟑

𝟏

|

𝟑

0 𝟑

𝟑1

𝟏

|[𝟐𝟕

𝟑] [

𝟏

𝟑]|

𝟐𝟔

𝟑 ( وحدة مساحة)


𝟑 جد مساحة المنطمة المحددة بمنحن الدالة /( )م ال 𝟑 𝟐 ومحور السنات 𝟐

الحل /


𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐

|∫ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏

𝟎

| |∫ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

| 0 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐1

𝟎

𝟏

0 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐1

𝟏

𝟐

|(𝟏

𝟒 𝟏 𝟏) 𝟎 | | 𝟒 𝟖 𝟒 (

𝟏

𝟒 𝟏 𝟏)|

𝟏

𝟒 | 𝟏

𝟒|

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 ( وحدة مساحة)


363

𝟐 جييييد مسيييياحة المنطمييية المحييييددة بمنحنيييي الدالييية /(4)م يييال ومحييييور السيييينات وعلييييى 𝟏

,𝟐 الفترة 𝟑

الجاد نمط التماطع 𝟎 نجعل الحل /

𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐, 𝟑

|∫ 𝟐 𝟏 𝟏

𝟐

| |∫ 𝟐 𝟏 𝟏

𝟏

| |∫ 𝟐 𝟏 𝟑

𝟏

|

0 𝟑

𝟑 1

𝟐

𝟏

0 𝟑

𝟑 1

𝟏

𝟏

0 𝟑

𝟑 1

𝟏

𝟑

|[( 𝟏

𝟑 𝟏) (

𝟖

𝟑 𝟐)] [(

𝟏

𝟑 𝟏) (

𝟏

𝟑 𝟏)] [ 𝟗 𝟑 (

𝟏

𝟑 𝟏)]|

|𝟕

𝟑 𝟏| |

𝟐

𝟑 𝟐| |𝟕

𝟏

𝟑|

𝟒

𝟑 𝟒

𝟑 𝟐𝟎

𝟑 𝟐𝟖

𝟑 𝟗

𝟏


ومحييييور السيييينات وعلييييى احة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الداليييية ـــييييـجييييد مس /(5)م ييييال

*الفترة

𝟐, +


𝟎 𝟎 [ 𝟐, ]

|∫ 𝟎

𝟐

| |∫

𝟎

| |

𝟎

𝟐 | |

𝟎 |

| 𝟎 (

𝟐)| | 𝟎 | 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 | 𝟏| 𝟐 ( وحدة مساحة) 𝟑


364

ومحييييور السيييينات وعلييييى ة ـــييييـاحة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الدالــييييـجييييد مس /(6)م ييييال

, الفترة


𝟎

𝟐 ,

|∫

𝟐

| |∫

𝟐

𝟐

| |∫

𝟐

| |

𝟐

| ||

𝟐

𝟐

|| |

𝟐 |

| (

𝟐) | | (

𝟐) (

𝟐)| | (

𝟐)|

| 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 ( وحدة مساحة) 𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة𝟐 احة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنييييي الدالييييية ـــيييييـجيييييد مس م يييييال / ومحيييييور السييييينات وعليييييى 𝟒

,𝟏 الفترة 𝟑


𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏, ( همل السالب) 𝟑

|∫ 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

| |∫ 𝟐 𝟒 𝟑

𝟐

| |0 𝟑

𝟑 𝟒 1

𝟏

𝟐

| |0 𝟑

𝟑 𝟒 1

𝟐

𝟑

|

|(𝟖

𝟑 𝟖) (

𝟏

𝟑 𝟒)| | 𝟗 𝟏𝟐 (

𝟖

𝟑 𝟖)| |

𝟗

𝟑 𝟖 𝟒| | 𝟑

𝟖

𝟑 𝟖|

|𝟑 𝟏𝟐| |𝟓 𝟖

𝟑| | 𝟗| |

𝟏𝟓 𝟖

𝟑| 𝟗

𝟕

𝟑 𝟐𝟕 𝟕

𝟑 𝟑𝟒



365

,𝟎 نات وعلى الفترة ــــومحور الس ة ــــاحة المنطمة المحددة بمنحن الدالـــــجد مس م ال / 𝟐


( المكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر ) 𝟎

|∫ 𝟐

𝟎

| | 𝟐 𝟎| 𝟐 ( وحدة مربعة) 𝟏

ومحييييور السيييينات 𝟐 𝟐 جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الداليييية م ييييال /

,𝟎*وعلى الفترة

𝟐+


𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟒 [𝟎,

𝟐]

|∫ 𝟐

𝟒

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟒

| |[𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟎

𝟒| |[

𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟒

𝟐| [

𝟏

𝟐 𝟏 𝟎 ] [

𝟏

𝟐 𝟎 𝟏 ]

𝟏

𝟐 |

𝟏

𝟐| ( وحدة مربعة) 𝟏

******************************************************************

مساحة المنطمة المحددة بمنحن

, لتك , دالت مستمرتا على الفترة والمسيتمم f,gدة بيالمنحن اأ المساحة المحيد

∫| ه ,

|

لطوات الحل :

:الجاد المساحة ب منحن دالت نتبع مال

Ⓘ الجييياد نميييياط التمييياطع ايييأذا كييييا النيييات نتميييي للفتيييرة نجعيييل , انجيييزي الفتييييرة كميييا تعلمنييييا

. سابما واذا كا النات النتم للفترة اهمل وت لذ الفترة المعطاة امط

. اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة تم تحددها م لالل نماط تماطع الدالت ②

الدالة احصغر ( –للدالة احكبر )مجموع المم المطلمة للتكامالت المجز ة المساحة = ③


366

1د / 2011 يوزار

والمستمم √ المحددة بالمنحن المنطمة جد مساحة /(1)م ال

الحل /

√وذلن بجعل نمط التماطع نجد

√ (بالتربع)⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏

|∫ (√ )𝟏

𝟎

| |∫ ( (𝟏𝟐) )

𝟏

𝟎

| |[ (𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝟐

𝟐]

𝟎

𝟏

| [0𝟐 √ 𝟑

𝟑 𝟐

𝟐1𝟎

𝟏

]

[(𝟐

𝟑 𝟏

𝟐) 𝟎 ]

𝟒 𝟑

𝟔 𝟏

𝟔 ( وحدة مساحة)

والمستمم 𝟑 المنحن المحصورة ب المنطمة جد مساحة /(2)م ال

الحل /

𝟑 نجد نمط التماطع وذلن بجعل

𝟑 𝟑 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏

|∫ 𝟑 𝟎

𝟏

| |∫ 𝟑 𝟏

𝟎

| |0 𝟒

𝟒 𝟐

𝟐1 𝟏

𝟎

| |0 𝟒

𝟒 𝟐

𝟐1𝟎

𝟏

|

| 𝟎 (𝟏

𝟒 𝟏

𝟐)| |(

𝟏

𝟒 𝟏

𝟐) 𝟎 |

𝟏

𝟒 | 𝟏

𝟒|

𝟏

𝟐 (وحدة مساحة)


367

و منحن الاحة المنطميييييييية المحييييييييددة بييييييييـــييييييييـجييييييييد مس /(3)م ييييييييال

*وعلى الفترة

𝟐,

𝟐+

الجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟏

𝟒 [ 𝟐, 𝟐] (األتجاه الموجب)

|∫

𝟒

𝟐

| |∫

𝟐

𝟒

| ||

𝟒

𝟐

|| |

|

𝟐

𝟒

||

|. (

𝟒) (

𝟒)/ . (

𝟐) (

𝟐)/| |. (

𝟐) (

𝟐)/ . (

𝟒) (

𝟒)/|

|(𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐) 𝟏 𝟎 | | 𝟏 𝟎 (

𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐)|

|𝟐

√𝟐 𝟏| |𝟏

𝟐

√𝟐| |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 ( وحدة مساحة) 𝟐√𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة𝟐 منحن الجيييييييد مسييييييياحة المنطمييييييية المحيييييييددة بييييييي م يييييييال / 𝟓 و 𝟏 𝟐

,𝟐 وعلى الفترة 𝟑

الجاد نمط التماطع نجعل / الحل

𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 𝟒 𝟏 𝟎

𝟏 𝟐,𝟑 𝟒 𝟐,𝟑

|∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏

𝟐

| |∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑

𝟏

| |0 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟒 1

𝟐

𝟏

| |0 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟒 1

𝟏

𝟑

|

|( 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟒) (

𝟖

𝟑 𝟔 𝟖)| |(𝟗

𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟐) (

𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟒)|

| 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖

𝟔| |

𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒

𝟔|

𝟏𝟕

𝟔 | 𝟏𝟏𝟐

𝟔|

𝟏𝟕

𝟔 𝟏𝟏𝟐

𝟔 𝟏𝟐𝟗

𝟔 𝟒𝟑

𝟐 ( وحدة مساحة)


368

𝟒 المحددة بالمنحن المساحة جد م ال / 𝟐 و 𝟏𝟐

الحل /

الجاد نمط التماطع نجعل

𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 همل 𝟑 √∓

|∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐)𝟐

𝟐 | |0

𝟓

𝟓 𝟑

𝟑 𝟏𝟐 1

𝟐

𝟐

| 0𝟑𝟐

𝟓 𝟖

𝟑 𝟐𝟒1 0

𝟑𝟐

𝟓 𝟖

𝟑 𝟐𝟒1

|𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟓| |

𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟓| |

𝟑𝟎𝟒

𝟏𝟓|

𝟑𝟎𝟒

𝟏𝟓 𝟔𝟎𝟖

𝟏𝟓 𝟒𝟎

𝟖

𝟏𝟓 ( وحدة مساحة)

𝟐 و 𝟏 𝟐 𝟐 جييييييد مسيييييياحة المنطميييييية المحييييييددة بييييييالمنحن م ييييييال /

,𝟎*وعلى الفترة

𝟐+

الحل /


𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏

𝟏 𝟐 [𝟎,

𝟐] ( همل) 𝟏

|∫ 𝟐 𝟏

𝟐

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟎

∫

𝟐

𝟎

| |∫ (𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 )

𝟐

𝟎

∫

𝟐

𝟎

|

|[𝟏

𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 ]

𝟎

𝟐

𝟎

𝟐| |[(

𝟏

𝟐×

𝟐 𝟎) 𝟎] *

𝟐 𝟎+| |

𝟒

𝟐| |

𝟒|

𝟒 ( وحدة مساحة)


369

|𝟏 | جد مساحة المنطمة المحصورة ب المنحن م ال / و 𝟐 𝟏

𝟓 𝟕 ,

, الحل / 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 < 𝟏

, 𝟏 𝟏𝟑 < 𝟏


𝟏 𝟏

𝟓 𝟕

𝟔

𝟓 𝟔 𝟓 𝟏

𝟑 𝟏

𝟓 𝟕

𝟒

𝟓 𝟒 𝟓 < 𝟏

|∫ (𝟒

𝟓 𝟒)

𝟏

𝟓

| |∫ ( 𝟔

𝟓 𝟔)

𝟓

𝟏

| |0𝟒 𝟐

𝟏𝟎 𝟒 1

𝟓

𝟏

| |0 𝟔 𝟐

𝟏𝟎 𝟔 1

𝟏

𝟓

|

|.𝟒

𝟏𝟎 𝟒/ 𝟏𝟎 𝟐𝟎 | | 𝟏𝟓 𝟑𝟎 .

𝟔

𝟏𝟎 𝟔/| |

𝟒𝟒

𝟏𝟎 𝟏𝟎| |𝟏𝟓

𝟓𝟒

𝟏𝟎|

|𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒

𝟏𝟎|

𝟐𝟒𝟎

𝟏𝟎 ( وحدة مساحة) 𝟐𝟒

, 𝟐 جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحن م ال / 𝟏

𝟐,𝟎 وعلى الفترة 𝟐 𝟏


𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎

(بالدستور)⇒

𝟏𝟐

𝟏𝟒 𝟖

𝟐

𝟏𝟐

𝟑𝟑𝟒

𝟐

𝟏𝟐 √𝟑𝟑𝟐

𝟐 𝟏 √𝟑𝟑

𝟒

𝟏 √𝟑𝟑

𝟒 𝟎,𝟏

0 0 نلتبر الدالة < ه الدالة احكبر لذا اأ الدالة 2 0

|∫ (𝟏

𝟐 𝟐 𝟐)

𝟏

𝟎

| |0 𝟐

𝟒 𝟐

𝟑

𝟑1𝟎

𝟏

| |(𝟏

𝟒 𝟐

𝟏

𝟑) 𝟎 |

𝟑 𝟐𝟒 𝟒

𝟏𝟐

𝟐𝟑

𝟏𝟐 ( وحدة مساحة)


370

المســــــااة

سيييرعة جسيييم تحيييرن عليييى ليييط مسيييتمم واييي مسيييتوي ميييا ايييأ المسيييااة الممطوعييية اييي الفتيييرة ليييتك

, 𝟏 الزمنة ∫ : ه 𝟐 | | 𝟐 𝟏

ممدار المسااة وه كمة غر متجهة حث تم ل

ة ـــــــييييييـات متجهيييييية وأ أزاحــــييييييـاهيييييي كم والتعجييييييل رعة ـــــــييييييـوالس ا احزاحييييييةــــــــــييييييـأم

∫ الجسم ه 𝟐 𝟏

∫ و سرعة الجسم

مالحظات :

Ⓘ هم أذا كا موجب أو سالب أو صفر احزاحة تكامل محدد للسرعة وكو بدو مطلك ح النات ال

كو النات سالب وجود المطلك ا لانو المسااة هو لك ال ②

∫جد احزاحة لالل ال انة ال امنة اهذا عن حساب م ال أذا طلب ا الس ال ③ الدالة

∫أذا طلب ا الس ال م ال جد احزاحة لالل ال وان اللمس احولى اهذا عن حساب ④ الدالة

السرعةأذا أعط ا الس ال تعجل الجسم اأ ⑤ ∫ وهو تكامل غر محدد التعجل

اييي حالييية أجييياد المسيييااة تغييير أتجييياه الجسيييم وهيييذا عنييي حيييدوث تجز ييية اييي التكاميييل أ وجيييد واييي حالييية ⑥

احزاحة كو أتجاه الجسم ابت لذا تهمل التجز ة ا التكامل أ وجدت .


371

:اجــــــــــــــد ⁄ 𝟒 𝟐 جسم تحرن على لط مستمم بسرعة /( )م ال

ⓐ 𝟏 المسااة الممطوعة ا الفترة, 𝟑 ⓑ 𝟏 احزاحة الممطوعة ا الفترة, 𝟑

ⓒامسة المسااة الممطوعة ا ال انة الل ⓓ وان م بدء الحركة (4)بعده بعد مض

4 2/ل الح 0 2 4 𝟐 ,

|∫ 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

| |∫ 𝟐 𝟒 𝟑

𝟐

| | 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

| | 𝟐 𝟒 𝟑

𝟐

|

| 𝟒 𝟖 𝟏 𝟒 | | 𝟗 𝟏𝟐 𝟒 𝟖 | | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐

∫ 𝟐 𝟒 𝟑

𝟏

𝟐 𝟒 𝟑

𝟏

𝟗 𝟏𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟑 𝟎

|∫ 𝟐 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟐 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟔 | 𝟓

∫ 𝟐 𝟒 𝟒

𝟎

| 𝟐 𝟒 𝟒

𝟎

| 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟎 𝟎

⁄𝟐 𝟏𝟖 جسييييم تحييييرن عليييييى لييييط مسييييتمم بتعجييييل /(2)م ييييال ايييييأذا كانييييت سييييرعته لييييد أصيييييبحت

:اجد م بدء الحركة وان (4)بعد مرور 𝟖𝟐

ⓐ ال ال ةال انة المسااة لالل ⓑ وان (3)بعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور

الحل /

∫ ∫𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖

𝟖𝟐 𝟏𝟖 𝟒 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎

𝟏𝟖 𝟏𝟎

|∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟑

𝟐

| | 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

𝟐

| | 𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟔 𝟐𝟎 | 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓

∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏

ⓒ وان (10)ا الم ال أعاله جد السرعة بعد مرور

𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎


372

𝟒 تمارين 𝟔

𝟒 منحن الاحة المحددة بـمسالجد / 1س , 𝟏 ومحور السنات والمستمم 𝟏


𝟒 𝟎 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟏 𝟏 𝟏, 𝟏

|∫ 𝟒 𝟎

𝟏

| |∫ 𝟒 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

1 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

1𝟎

𝟏

|

| 𝟎 ( 𝟏

𝟓 𝟏

𝟐)| |(

𝟏

𝟓 𝟏

𝟐) 𝟎 | | (

𝟐 𝟓

𝟏𝟎)| |(

𝟐 𝟓

𝟏𝟎)|

𝟕

𝟏𝟎 𝟑

𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟏𝟎 ( وحدة مساحة) 𝟏

𝟒 الدالةاحة المحددة بـمسالجد / 2س 𝟑 𝟐 ,𝟐 وعلى الفترة 𝟒 ومحور السنات 𝟑


𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟐, 𝟑 , 𝟐 همل 𝟏

|∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒)𝟐

𝟐

| |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒)𝟑

𝟐

| |0 𝟓

𝟓 𝟑 𝟒 1

𝟐

𝟐

| |0 𝟓

𝟓 𝟑 𝟒 1

𝟐

𝟑

|

|(𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖) (

𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖)| |(

𝟐𝟒𝟑

𝟓 𝟐𝟕 𝟏𝟐) (

𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖)|

|𝟔𝟒

𝟓 𝟑𝟐| |

𝟐𝟏𝟏

𝟓 𝟐𝟑| |

𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎

𝟓| |

𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓

𝟓|

| 𝟗𝟔| 𝟗𝟔

𝟓 𝟏𝟗𝟐

𝟓 ( وحدة مساحة)

𝟒 الدالةاحة المحددة بـمسالجد /3س ومحور السنات 𝟐


𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏

|∫ 𝟒 𝟐 𝟎

𝟏

| |∫ 𝟒 𝟐 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓 𝟑

𝟑1 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓 𝟑

𝟑1𝟎

𝟏

|

| 𝟎 ( 𝟏

𝟓 𝟏

𝟑)| |(

𝟏

𝟓 𝟏

𝟑) 𝟎 | |

𝟑 𝟓

𝟏𝟓| |

𝟑 𝟓

𝟏𝟓| |

𝟐

𝟏𝟓| |

𝟐

𝟏𝟓|

𝟒

𝟏𝟓 ( وحدة مساحة)

2د / 2012 وزاري


373

,𝟎*ومحور السنات وعلى الفترة 𝟑 منحنالاحة المحددة بـمسالجد /4س

𝟐+

الحل /


𝟑 𝟎 𝟑 𝟎, , 𝟐 𝟎 *𝟎,

𝟐+

𝟑 *𝟎,

𝟐+

𝟐

𝟑 *𝟎,

𝟐+

|∫ 𝟑

𝟑

𝟎

| |∫ 𝟑

𝟐

𝟑

| |0 𝟑

𝟑1𝟎

𝟑

| |0 𝟑

𝟑1 𝟑

𝟐

|

|[ 𝟑 (

𝟑)

𝟑] 0

𝟑 𝟎

𝟑1| |[

𝟑 ( 𝟐)

𝟑] [

𝟑 ( 𝟑)

𝟑]|

|0

𝟑1 0

𝟎

𝟑1| |[

(𝟑 𝟐)

𝟑] 0

𝟑1|

|0 𝟏

𝟑1 0

𝟏

𝟑1| | 𝟎 0

𝟏

𝟑1| |

𝟏

𝟑 𝟏

𝟑| |

𝟏

𝟑|

𝟐

𝟑 𝟏

𝟑 وحدة مساحة 𝟏

,𝟎*ومحور السنات وعلى الفترة 𝟏 𝟐 𝟐 منحنالاحة المحددة بـمسالجد /5س

𝟐+

الحل /


𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐 ,𝟑

𝟐

𝟒 *𝟎,

𝟐+

𝟑

𝟒 *𝟎,

𝟐+

|∫ 𝟐

𝟒

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟒

| |0 𝟐

𝟐1𝟎

𝟒

| |0 𝟐

𝟐1 𝟒

𝟐

|

| 𝟐 (

𝟒)

𝟐 𝟐 𝟎

𝟐| |

𝟐 ( 𝟐)

𝟐 𝟐 (

𝟒)

𝟐| |

( 𝟐)

𝟐 𝟎

𝟐| |

𝟐 (

𝟐)

𝟐|

|𝟏

𝟐 𝟎 | |𝟎

𝟏

𝟐| |

𝟏

𝟐| |

𝟏

𝟐|

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 وحدة مساحة 𝟏


374

𝟏 √ مساحة المحددة بالدالت الجد /6س 𝟏

𝟐 [2,5]وعلى الفترة ,


√ 𝟏 𝟏

𝟐

(( بالتربع))

⇒ 𝟏 𝟏

𝟒 𝟐

× 𝟒 ⇒ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐, 𝟓

|∫ [𝟏

𝟐 𝟏

𝟏𝟐]

𝟓

𝟐

| |[ 𝟐

𝟒 𝟏

𝟑𝟐

(𝟑𝟐)

]

𝟐

𝟓

| |[ 𝟐

𝟒 𝟐 𝟏

𝟑𝟐

𝟑]

𝟐

𝟓

|

| 𝟐𝟓

𝟒 𝟐 𝟒

𝟑𝟐

𝟑 𝟏

𝟐 𝟏 𝟑𝟐

𝟑 | |

𝟐𝟓

𝟒 𝟐(𝟐𝟐)

𝟑𝟐

𝟑 (𝟏

𝟐

𝟑)|

|𝟐𝟓

𝟒 𝟏𝟔

𝟑 𝟏

𝟑| |

𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒

𝟏𝟐| |

𝟕

𝟏𝟐|

𝟕


𝟒 المحددة بالدالت جد المساحة /7س 𝟏𝟐 𝟐 ,

𝟔𝟓 محلول صفحة الحل /


,𝟎 حث ,المحددة بالدالت احة ـــــمسالجد / 8س 𝟐 الجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟐

𝟏 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟐

|∫

𝟎

| |∫ 𝟐

|

|0 𝟐

𝟐 1

𝟎

| |0 𝟐

𝟐 1

𝟐

|

|0 𝟐

𝟐 1 0

𝟐 𝟎

𝟐 𝟎 1| |0

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 1 0

𝟐

𝟐 1|

| 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 | | 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 | | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 وحدة مساحة 𝟒


375


,𝟎* حث 𝟏 𝟐 , لدالت المحددة با المساحةجد / 9س 𝟑

𝟐+


𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑

𝟐 [𝟎,

𝟑

𝟐]

|∫ 𝟏

𝟑 𝟐

𝟎

| | 𝟎

𝟑 𝟐 |

|( 𝟑

𝟐 𝟑

𝟐) 𝟎 𝟎 | |(𝟎

𝟑

𝟐) 𝟏 | |

𝟑

𝟐 𝟏|

𝟑

𝟐 وحدة مساحة 𝟏

𝟑 الدالة المساحة المحددة بجد /10س 𝟒 𝟐 ومحور السنات 𝟑


𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟒 𝟑 𝟎

𝟏 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑

|∫ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏

𝟑

| |∫ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎

𝟏

|

|0 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐1 𝟑

𝟏

| |0 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐1 𝟏

𝟎

|

|(𝟏

𝟒 𝟒

𝟑 𝟑

𝟐) (

𝟖𝟏

𝟒 𝟑𝟔

𝟐𝟕

𝟐)| | 𝟎 (

𝟏

𝟒 𝟒

𝟑 𝟑

𝟐)|

|𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐

𝟏𝟐| |

𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖

𝟏𝟐|

𝟑𝟐

𝟏𝟐 | 𝟓

𝟏𝟐|

𝟑𝟐 𝟓

𝟏𝟐 𝟑𝟕

𝟏𝟐 𝟑

𝟏



376

𝟐 𝟑 بسرعة جسم تحرن على لط مستمم /11س أحسب 𝟑 𝟔

ⓐ 2,4 المسااة الممطوعة ا الفترة ⓑ 0 احزاحة ا الفترة, 1د / 2015وزاري /الحل

𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 0

𝟐 𝟐 𝟏 0 0 𝟏 𝟎 2,4

|∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)𝟒

𝟐

| | 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐| | 𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟖 𝟏𝟐 𝟔 | |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔

∫ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟓

𝟎

| 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓

𝟎

| 𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟔𝟓


وكانيييييت سيييييرعته بعيييييد 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 م تحيييييرن عليييييى ليييييط مسيييييتمم بتعجيييييل ليييييدره ــــيييييـجس /12س

أحسب 𝟗𝟎 وان تساوي (4)مرور

ⓐ 𝟐 السرعة عندما

ⓑ 2, المسااة لالل الفترة

ⓒ وان م بدء الحركة (10)االزاحة بعد

/الحل

∫ ∫ 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐

𝟗𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎

𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐

∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎)𝟐

𝟏

0𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 1

𝟏

𝟐

|(𝟏𝟔

𝟑 𝟐𝟒 𝟐𝟎) (

𝟐

𝟑 𝟔 𝟏𝟎)|

|𝟏𝟔

𝟑 𝟒𝟒

𝟐

𝟑 𝟏𝟔| |

𝟏𝟒

𝟑 𝟐𝟖|

𝟏𝟒 𝟖𝟒

𝟑 𝟗𝟖

𝟑

∫ 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟎

0𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 1

𝟎

𝟏𝟎

|(𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) 𝟎 |

𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎

𝟑 𝟒𝟏𝟎𝟎

𝟑


377

جيد أو 2 6 00 م بدء الحركية اصيبحت سيرعتها انة تتحرن نمطة م السكو وبعد /13س

2د / 2014وزاري . التعجل عندها بمنه م أحس تالذي بدا ولاال هاالى موضعنمطة الزم الالزم لعودة ال

الحل /

نكامل الطرفن 2 6 00

∫( 00 6 2) 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑

النقطة تتحرك من السكون

∴ 𝟎 , 𝟎

𝟎 𝟓𝟎 0 2 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎

𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑

لذا كون :تساوي صفر عند عودة النقطة الى موضعها األول عن أن األزاحة

𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 𝟎 2 𝟓𝟎 𝟐 𝟎

2 همل 𝟎 𝟎

الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول 𝟐𝟓 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 2 0

التعجل

00 2

𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐


378

ـة:الحجــوم الدورانـ

الى المسييتمرة ميي لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد ميي دورا المنطميية المحييددة بيي منحنيي الداليية .1

∫ حول محور السنات نطبك العاللة التالة 𝟐

الى المسييتمرة ميي لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد ميي دورا المنطميية المحييددة بيي منحنيي الداليية . 2

∫ حول محور الصادات نطبك العاللة التالة 𝟐


0المنطميييييية المحييييييددة بيييييي المنحنيييييي /( )م ييييييال دارت ,ومحييييييور السيييييينات , √ 4

جد حجمها ., حول محور السنات

/الحل

∫ 𝟐

∫ (√ )𝟐

𝟒

𝟎

∫ 𝟒

𝟎

0 2

21

[( 6

2) ( وحدة مكعبة) [ 0


𝟏المنحن المنطمة المحددة ب /(2)م ال 𝟒 𝟏

. جد حجمها. دارت حول محور الصادات ,

/الحل

∫ 𝟐

∫ .𝟏

/

𝟐𝟒

𝟏

∫ (𝟏

)

𝟒

𝟏

𝟒 𝟏 𝟒 ( وحدة مكعبة) 𝟐 𝟐 𝟏


2 أوجييييد الحجييييم النيييات ميييي دورا المسيييياحة المحييييددة بيييالمطع المكيييياا الييييذي معادلتييييه /( )م يييال

السن حول المحور 0 , 2 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ 𝟐

𝟎

4 2 𝟐

𝟎

6 ( وحدة مكعبة) 6 0


379

2 2 أوجيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحيييددة بيييالمطع المكييياا اليييذي معادلتيييه /(4)م يييال

حول المحور السن , 0 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟐 𝟐)𝟐

𝟓

𝟎

∫ 𝟒 𝟒𝟓

𝟎

0𝟒 𝟓

𝟓1𝟎

𝟓

0𝟒 𝟓 𝟓

𝟓 𝟎 1 ( وحدة مكعبة) 𝟐𝟓𝟎𝟎

2 4 سيييييييياحة المحييييييييددة بييييييييالمطع المكيييييييياا أوجييييييييد الحجييييييييم النييييييييات ميييييييي دورا الم /(5)م ييييييييال

حول المحور الصادي 6 , 0 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ (

𝟒)

𝟏𝟔

𝟎

0 𝟐

𝟖1𝟎

𝟏𝟔

0 𝟏𝟔 𝟐

𝟖 𝟎 1 ( وحدة مكعبة) 𝟑𝟐


ومنحنيييي الداليييية أوجييييد الحجييييم الناشيييي ميييي دورا المنطميييية المحصييييورة بيييي محييييور الصييييادات /(6)م ييييال

𝟏

, والمستمم

2 دورة كاملة حول المحور الصادي .

/الحل

2 2

∫ 𝟐

∫ (𝟏

𝟐)

𝟐

𝟏

[ 𝟏

]𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 𝟏]

𝟏

𝟐 ( وحدة مكعبة)


أوجيييد حجييييم المنطميييية المحصييييورة بييي منحنيييي الداليييية 𝟏

, 2 والمسييييتمم ومحييييور

الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟏

𝟐)

𝟐

𝟏

[ 𝟏

]𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 𝟏]

𝟏



380

𝟒 تمارين 𝟕

2 أوجييييييد الحجييييييم الييييييدوران المتولييييييد ميييييي دورا المسيييييياحة المحييييييددة بييييييالمطع المكيييييياا :/(1)س

حول المحور السن 2 , والمستمم /الحل

∫ 𝟐

∫ 2 2𝟐

𝟏

∫ 𝟐

𝟏

0

1

2

[ 2

]

( وحدة مكعبة)


2 أوجييييييد الحجييييييم النييييييات ميييييي دورا المسيييييياحة المحصييييييورة بيييييي منحنيييييي الداليييييية /2س

حول المحور الصادي 4 والمستمم /الحل

0

2 2

∫ 𝟐

∫ 𝟏 𝟒

𝟏

0 𝟐

𝟐 1

𝟏

𝟒

[ 𝟖 𝟒 (𝟏

𝟐 𝟏)] [𝟒

𝟏

𝟐] 𝟒

𝟏


2 أحسييييييييب الحجييييييييم المتولييييييييد ميييييييي دورا المسيييييييياحة المحصييييييييورة بيييييييي المنحنيييييييي /3س

حول المحور الصادي 0 والمستمم

/الحل

2 2

𝟎 2 (حدود التكامل) 𝟏

∫ 𝟐

∫ ( 2)𝟐

𝟏

𝟏

∫ (𝟏 𝟐 2 4)𝟏

𝟏

0 𝟐 𝟑

𝟑 𝟓

𝟓1 𝟏

𝟏

[(𝟏 𝟐

𝟑 𝟏

𝟓) ( 𝟏

𝟐

𝟑 𝟏

𝟓)] [𝟐

𝟒

𝟑 𝟐

𝟓]

𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔

𝟏𝟓

𝟏𝟔

𝟏𝟓 ( وحدة مكعبة)


2 أحسيييييييييب الحجيييييييييم المتوليييييييييد مييييييييي دورا المسييييييييياحة المحصيييييييييورة بييييييييي المنحنييييييييي /4س

حول المحور السن 2 , 0 ا والمستمم

/لحلا

∫ 𝟐

∫ 𝟐

𝟎

0

41

2

[ 6

4 ( وحدة مكعبة) 4 [0


381

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الرابع

جد / 6س

, الفروع لكل مما أت : لفاضمرتبطة بموضوع الت

𝟐 |𝟐 |

𝟐 𝟏𝟐

𝟐 |𝟐 | 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 |𝟐 |

𝟐 𝟐

𝟐 | |

𝟐

𝟏

| | 𝟐 𝟐 | |

| 𝟐 |

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟒

𝟐


382

تكامالت كال مما أت : جد / 13س

∫ 𝟒 𝟒

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟏

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

∫ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐∫

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝟒 𝟐∫

𝟏

𝟐 𝟑 𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

𝟐(

𝟏

𝟒 𝟒 ) 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟖 𝟒 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 𝟐 𝟐

𝟓

𝟐

𝟏

𝟖 𝟒

∫ | |

∫ 𝟏

𝟐

𝟐

∫𝟐 √

𝟑

√ 𝟐𝟑

∫𝟐 ( 𝟐𝟑)

𝟏𝟑 𝟐 𝟑 ∫(

𝟏

𝟑)

( 𝟐𝟑)

𝟏𝟑 𝟔

𝟏𝟑 𝟔 √

𝟑


383

∫ 𝟑

∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟑

𝟑

∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑

∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟐 𝟑

∫ 𝟑 𝟓 𝟐 𝟑

∫ 𝟑 𝟓 𝟐 𝟏𝟑

𝟏

𝟏𝟎∫ 𝟏𝟎 𝟑 𝟓 𝟐

𝟏𝟑

𝟏

𝟏𝟎× 𝟑 𝟓 𝟐

𝟒𝟑

𝟒𝟑

𝟑

𝟒𝟎 𝟑 𝟓 𝟐

𝟒𝟑

∫𝟏

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

∫𝟏

𝟕 𝟐 ∫ 𝟕 𝟐

𝟕 𝟏

𝟏

𝟏

𝟕

∫ 𝟐𝟑 𝟑

𝟏

𝟑∫ 𝟑 𝟐𝟑 𝟑

𝟏

𝟑 𝟑


384

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الرابع

جد نات : ⁄ 1/د 96س ال وزاري

∫ 2

2 ∫

√

∫ 2 [

2

2

]

[2 2]

[2 22 2] [2

2] 4 2 2

∫ 6

∫ 2 2

∫ 2 ∫ 2

2

2

9

:جد نات ⁄ 2/د96س ال وزاري

∫

∫ 2 2 ∫ 2

2∫ 2

2(

2 2 )

2

4 2

: جد نات ⁄ 1/د97س ال وزاري

∫ √ 2

∫ 2 2

2∫2 2

2

0

2

1

*

2

+

*

2

+ *

+

2

4


385

: جد نات ⁄ 1/د97س ال وزاري

∫ 2 2

∫ 2

2 2

2∫ 2

2∫ 2 2

2

2∫ 2 2

2

2∫ 4

4 2

4(

4 4 )

4 2

4

6 4

جد نات : ⁄ 2/د97س ال وزاري

∫ 2

∫ 2 2 ∫ 2∫

2∫ 6

2

2(

6 6 )

2

2

2 6

: جد:1/د98س ال وزاري

∫ 2 2

∫ 2 2 2 22

2∫ 2 2∫ 2

2∫ 4

2(

2 2 ) 4

2(

4 4 )

2

4 2

4

2

4

4 2

4

4


386

∫إذا كا : 1/د98س ال وزاري 𝟑 𝟗

𝟒

𝟏 ؟ ما لمة

*

2

+

*

2

+ *

2

+

2

2

2

2

4

4 9

4 × ⇒ 2 2 9 2 2 9 0

2 2 0 2 2 0

2 4 2 2 0

2 همل 2

2 4 0 2 4 2

∫إذا كا : 2/د98س ال وزاري 𝟐 𝟑 𝟏𝟐

, ما لمة 𝟑 𝟐 وكا ؟

الحل/

2

∫ 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 9 2 4 2 9 6 2 0

2 9 2 4 2 9 6 2 0 2 2 0 0 ⇒

2 0 0 2 0

2 0 2 2 2

0 2


387

𝟏 : جيييييييد المسييييييياحة المحيييييييددة بمنحنييييييي الدالييييييية 2/د2000سييييييي ال وزاري ومحيييييييور 𝟐 𝟐

,𝟎* الفترة السنات وعلى

𝟐+

الحل:

2 2 0 2 0 2

2 ,

2 2

4 *𝟎,

𝟐+ ,

4 *𝟎,

𝟐+

*0,

+ , *

,

2+ فترات التكامل

||∫ 2

|| ||∫ 2

2

|| |[

2 2 ]

| |[

2 2 ]

2|

|[

2

2] [

2 0]| |[

2 ] [

2

2]|

|

2

2 0 | |

2 0

2 |

2

2 وحدة مربعة


∫ 2 2

∫ 2 ∫ [

2 2 ]

2

∫(

2 2 )

2

∫

4 22

4

2 ∫ 4

(

4 4 )

2 4


∫

9 2 4 2

∫

2 2 ∫ 2 2

2∫ 2 2 2

0

2 2

1

[

2 2 ]

[

2 ] [

2 ]

2

0

0 4

0 2


388

𝟑 : جييييد المسيييياحة المحييييددة بمنحنيييي الداليييية 1/ د2001سيييي ال وزاري ومحييييور السيييينات وعلييييى 𝟗

,𝟑 الفترة 𝟑 .

2 0 9 الحل/ 9 0 0 2 9 0

2 9

, 0, فترات التكامل ∴ 0,

|∫ 9

| |∫ 9

|

|*

2+

| |*

2+

| | 0 *

2+| |*

2+ 0 |

| 2

| |

2

|

2

40


جد لمة:: 1/د2001س ال وزاري

∫ 2 2

∫ 2 2 2 [

2 2

2

]

[2

2

2]

[2

6 20

2] [

2

0

2] [

2

62

2]

2

2 6

4 2

44

𝟒 : جد المساحة المحددة بمنحن الدالت 1/د2002س ال وزاري 𝟒 , 𝟑 𝟐.

4 الحل/ 2 2 4 2 4 0

2 4 2 0

2 4 0 2 4 2 2 همل 0

|∫ 2 4 2

2| |*

4 +

2

2

|

|[ 2

] [

2

]| |

64

2| |

96

|

96

وحدة مربعة


389

,𝟏 وعلى 𝟐 , 𝟐 : جد المساحة المحددة بمنحن الدالت 1/ د2002س ال وزاري 𝟑 .

2 الحل: 2 2 2 0 2 0

0 0, 2 0 2 0,

|∫ 2 2 2

| |∫ 2 2

2| |*

2+

2

| |*

2+

2

|

|*

4+ *

+| | 9 9 *

4+| |

4

| |

4|

|

| |

2

| |

| |

|

2

وحدة مربعة 2

∫: إذا كا 1/د2004س ال وزاري

𝟐 𝟗 𝟐

𝟒

.hاجد لمة

الحل/

∫

2 9 2

2 ∫ 2 9 2 2

2∫2 2 9

2 2

0

2

1

2 * 6 9

+ * 2 9

+ 2

2

2 9

2 2 9

2 2 9

بالتربع⇒

2 9 9 2 0 0

∫: جد لمة 1/د2006س ال وزاري

𝟓 𝟐 𝟐

𝟐

𝟏.

∫ الحل/ 2 2

2∫ 2 2 2 *

2 2

+

22

2

[

2 2 ]

2

[

2 4 ] [

2 2 ]

2

6

6 2

6


390


𝟑 𝟒 𝟐

𝟐

𝟏.

∫ 4 2

∫ 4 2 *

+

22

2

*

+

2 *

+ *

+

2

∫: إذا كا 1/د2008س ال وزاري 𝟓 , ∫ 𝟑

, وكانت جد لمة

∫

الحل/

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 2

∫: جد 2/د2008س ال وزاري 𝟐𝟐

∫ 2 2 2 ∫ 4 4 2

∫ المشتقة الدالة 4 ∫4 2 ∫

4∫ 4∫ 2 ∫

4

4

𝟐 𝟑 : جسم تحرن بسرعة 1/د2009س ال وزاري إحسب: tا أي زم 𝟗 𝟏𝟐 [.0,2الفترة ]المسااة الممطوعة لالل - 1

.𝟐 𝟏𝟖الزم الذي صبح اه التعجل - 2

2 الحل/ 2 9 0

2 4 0 0

0 0,2

0 0,2

|∫ 2 2 9

| |∫ 2 2 9

2

| | 6 2 9 0| | 6 2 9

2 |

| 6 9 0 | | 24 6 9 | |4| |2 4| 4 2 6

2 6 2

6 2 6 2 6 0


391


𝟑 𝟐

𝟖

𝟑

الحل/

∫

2 ∫

2

∫ 2 [

2

2

]

[2 2]

[2 2] [2

2] [2 2

2] [2 22

2] 6 4 2

, 𝟐 : جد المساحة المحددة ب المنحن : 2/د2009س ال وزاري ,𝟎*ا الفترة 𝟐

𝟐+.

الحل/ 2 2 2

2 0 2

2,

2 2

4 *𝟎,

𝟐+ ,

4 *𝟎,

𝟐+

||∫ 2

|| ||∫ 2

2

|| |[

2 2 ]

| |[

2 2 ]

2|

|*

2

2+ *

2 0+ *

2 + *

2

2+|

|

2

2 0 | |

2 0

2 |

2


, مساحة المحددة ب المنحن ال: جد 1/د2010س ال وزاري [.1,5ا الفترة ] 𝟏 𝟐√

الحل/

√2 √2 0 تربع الطرفن 2√

2 2 2 2 0 2 0

0

|∫ [ 2 2 ]

| |∫ 2 2

| |∫

|

|[

2 2

2

2

]

| |0 2

21

| |[

2

2]

| |0 2

21

|

|[

9

2

2] [

2

2

2]| |[

2

2

] [

24

2]|

|9

24

2| |

4 2 2

6| |

20

6|

0

وحدة مربعة


392

∫: جد لمة 1/د2010س ال وزاري 𝟐

𝟐𝟎

.

الحل/

∫ 2 2 2

2

∫ 2

2

∫ 2 [

2 2 ]

2

2

[

2

2] [

2 0 0] [

2

2] [

2 ]

2

2

2 (

2) وحدة مربعة

احولى ته: منحن مشتم1/د2010س ال وزاري 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 ( جد معادلة المنحن.1,2مر بالنمطة )

الحل/ 2

بتكامل الطرفن

∫2

∫

2

2

∫2 2 2 2 2

2

2

وبما ان 2, المنحن تحقق معادلته

2 2

2 2 2 0

2

2 معادلة المنحن

∫: إذا كيييييييييييييييييا 2/د2010سييييييييييييييييي ال وزاري 𝟐 , ∫ 𝟔𝟐

𝟏

𝟑

𝟏جيييييييييييييييييد لمييييييييييييييييية:

∫ 𝟒 𝟑

𝟏

الحل/

∫ 4 ∫ ∫ ∫ 4

6 2 *

2+

4 2 2 4 2 4 6 20


393

𝟐 𝟑 : جسم تحرن على لط مستمم بحث سرعته 2/د2010س ال وزاري جد المسااة 𝟕 𝟒

باحمتار.( وان م بدء الحركة, م جد التعجل عندها علما أ المسااة تماس 4الت مطعها الجسم بعد مض )

الحل/

2 4 0

∫ 2 4 2 2 40 64 2 2 0 24

التعجل ف أي لحظة 4 6

4 6 4 4 24 4 2 2

,𝟏 : لتك 1/د2012س ال وزاري ∫, جد لمة تمربة للتكامل 𝟐 𝟐 حث 𝟑 𝟑

𝟏إذا

[ إلى اترت جز ت منتظمت .1,3لسمت الفترة ]

2 2 الحل/ 4 4 0 0 ,

2

طول الفترة

الفترة

[a,b]

8 2 8 2 1 [1,2]

18 8 18 8 1 [2,3]

26 10

∫ 0 26

2

[ .1,3-ومحور السنات ا الفترة ] 𝟑 𝟏 بالمنحن المحددة : جد المساحة1/د2012س ال وزاري

, 0 0 الحل/

| ∫

| |∫

| 0

41

|

4|

|00 2

41| |0

2

4 01| | 4| |4| 4 4 وحدة مساحة


394

𝟐 : جيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحصيييورة بييي المنحنييي 1/د2012سييي ال وزاري 𝟏

,𝟐 والمستمم حول المحور الصادي. 𝟏

الحل/

∫ 2 ∫ 0 2

2 1

2

[(4

2 2) (

2 )]

2

* 2 2 (

2)+ (0

2)

2 وحدة مكعبة

2 √ ت ميييييي دورا المسيييييياحة المحييييييددة بييييييالمنحنجييييييد الحجييييييم النييييييا :2/د2012سيييييي ال وزاري

حول المحور السن , 2 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ ( 2)𝟐𝟐

𝟏

∫ 𝟓 𝟒𝟐

𝟏

𝟓 𝟎

𝟓 𝟓 𝟓 ( وحدة مكعبة) 𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎

⁄𝟐 𝟏𝟖 جسيييم تحيييرن عليييى ليييط مسيييتمم بتعجيييل :3/د2012سييي ال وزاري ايييأذا كانيييت سيييرعته ليييد

:اجد م بدء الحركة ساعات (4)بعد مرور 𝟖𝟐 أصبحت

ⓐ المسااة الت لطعها لالل الساعة ال انة

ⓑ ساعات (3)بعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور

الحل /

∫ ∫𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖

𝟖𝟐 𝟏𝟖 𝟒 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎

𝟏𝟖 𝟏𝟎

|∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟐

𝟏

| | 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

𝟏

| | 𝟑𝟔 𝟐𝟎 𝟗 𝟏𝟎 | 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕

∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏


395

∫لمة تمربة للتكامل احت مستلدما تجز ة واحدة امط : جد :3/د2012س ال وزاري 4 2

4 الحل/ 0

طول الفترة

الفترة [a,b]

-20 -20 -4 -4 5 [-3,2]

-20 -20

∫ 20 20

2 20

2 20

∫ جد :1/د2013س ال وزاري 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙

𝝅

𝟒 𝟎

/الحل

∫𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙

𝝅𝟒

𝟎

∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝝅𝟒

𝟎

0𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

𝟐1𝟎

𝝅𝟒

𝒕𝒂𝒏𝟐 (

𝝅𝟒)

𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟎

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐

∫ أثبت أن :3/د2014س ال وزاري |𝟑 𝟔| 𝟑𝟎𝟒

𝟐

/الحل

|𝟑 𝟔| {𝟑 𝟔 , 𝟐

𝟑 𝟔 , < 𝟐

,𝟐 مستمرة على الفترة الدالة : ح 𝟐 وذلن حنها مستمرة عند 𝟒

𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 معرفة 𝟎

𝟐

{ 𝟐

𝟑 𝟔 𝟎 𝟏

𝟐

𝟔 𝟑 𝟎 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟐 𝟐 موجودة 𝟎 𝟐

∫ |𝟑 𝟔|𝟒

𝟐

∫ 𝟑 𝟔 𝟐

𝟐

∫ 𝟑 𝟔 𝟒

𝟐

[ 𝟑

𝟐 𝟐 𝟔 ]

𝟐

𝟐

[𝟑

𝟐 𝟐 𝟔 ]

𝟐

𝟒

𝟔 𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟔 𝟏𝟐

𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎


396

𝟒 𝟐 √∫ : جد 3/د2014س ال وزاري

/الحل

∫√ 𝟐 𝟒 ∫√ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐

∫ : جد 1/د2015س ال وزاري 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

/الحل

∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐

𝟑

𝟏

𝟐0 4𝑥 𝟏

1

𝟐[ 4𝑥

𝑥]

𝟗[ 2𝟓

] 𝟏 4

𝟓

0

𝟑 جيييييد مسييييياحة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنييييي الدالييييية :2/د2015سييييي ال وزاري ومحيييييور 𝟗

,𝟑 السنات وعلى الفترة 𝟑

الحل /

:1/ د2001س ال وزاري 𝟖𝟓 محلول ا الصفحة

⁄𝟐 𝟏𝟎 جسيييم تحيييرن عليييى ليييط مسيييتمم بتعجيييل :2/د2015سييي ال وزاري انييية مييي بيييدء 2وبعيييد

, أحسب : 𝟐𝟒 الحركة أصبحت السرعة

ⓐ الممطوعة ا ال انة اللامسة .المسااة

ⓑ وان ((4 بعد الجسم بعد مض . الحل /

∫ ∫𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒

𝟏𝟎 𝟒

|∫ 𝟏𝟎 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟔 | 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗

∫ 𝟏𝟎 𝟒 𝟒

𝟎

𝟓 𝟐 𝟒 𝟒

𝟎

𝟖𝟎 𝟏𝟔 𝟎 𝟗𝟔


397

∫جد تكامل : :3/د2015س ال وزاري

√ 2

الحل /

∫ 6

√ 2 ∫ 2 2

(عند الضرب تجمع األسس )

∫ 2 2

2

9

2

9

2

𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∫ جد كال من التكامالت األتة : :3/د2015س ال وزاري 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝒅𝒙 2 ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙

الحل /

∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝒅𝒙 ∫ 𝑠𝑖𝑛22𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 ∫𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥

4𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐

2 ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝑥 𝒙𝟐 𝑥

𝑥 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝑥 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄

∫ تكاملجد الممة التمربة لل :1/د2016س ال وزاري 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓

𝟑𝛔بأستلدام التجز ة 𝟑, 𝟒, 𝟓

,𝟑 الفترات /الحل 𝟒 , 𝟒, 𝟓

𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟒 𝟎 𝟑, الدالة متزادة 𝟓

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏 𝟒 𝟑𝟎 𝟏 𝟑 𝟏𝟔 1 [3,4]

𝟐 𝟏 𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟐 𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟐 𝟓 𝟒𝟖 𝟐 𝟒 𝟑𝟎 1 [4,5]

, ∑ 𝟏𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟔 , , ∑ 𝟑𝟎 𝟒𝟖 𝟕𝟖

∫ (𝟐 𝟐 𝟐) 𝟓

𝟑

, ,

𝟐 𝟒𝟔 𝟕𝟖

𝟐 𝟏𝟐𝟒

𝟐 𝟔𝟐


398

أس لة إضااة حول التكامل

/ جد كال م التكامالت اآلتة:1س

𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝐱𝐝𝐱

𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟕𝐱 𝐝𝐱

𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝐝𝐱

𝟔 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱

𝟓 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝐱 𝐬𝐞𝐜𝟒𝐱 𝐝𝐱

𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝒔𝒊𝒏𝟒𝐱𝐝𝐱

𝟗 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱

𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱

𝟏𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 (𝒙

𝟑)𝒅𝒙

𝟏𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟓 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱

𝟏𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱

𝟏𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒 𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟖 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 (𝟑𝟐) 𝒅𝒙

𝟏𝟕 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙𝒅𝒙

𝟏𝟔 ∫√𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙

𝟐𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟗 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐𝟒 ∫ 𝟑

𝟒 𝟐𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓𝒙𝒅𝒙

𝟐𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙𝒅𝒙

𝟐𝟕 ∫ 𝟏

√ 𝟏

𝟒

𝟎

𝟐𝟔 ∫𝟏

√ 𝟏 √ 𝟐𝟓 ∫

𝟖 𝟑

𝟐

𝟑𝟎 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏𝟑

𝟗

𝟎

𝟐𝟗 ∫|𝟐 𝟒|

𝟑

𝟑

𝟐𝟖 ∫𝟑 | |

𝟏

𝟐

𝟑𝟑 ∫ 𝟐

𝟐𝟐

𝟔

𝟎

𝟑𝟐 ∫

𝟐

𝟒

𝟑𝟏 ∫

𝟐

𝟒

𝟎


399

Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة / 2س

, } حث 𝟓 𝟖 , 𝟎 , 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔}

𝟑 لييتك / 3س ,𝟏 ولييتك 𝟐 𝟓 𝟑 , اأوجييد المجمييوع احسييفل 𝟒 والمجمييوع

, احعلى

∫أوجد لمة التكامل / 4س 𝟑 𝟐 𝟖 𝟒

𝟐𝛔بأستلدام التجز ة 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

(3,1)ومر بالنمطة جد معادلة المنحن الذي مله / 5س

, حييث أذا علمييت أ المشييتمة ال انيية لداليية عنييد أي نمطيية تسيياوي / 6س جييد معادليية هييذا

(1-,1)ونمطة نهاة صغرى محلة عند (0,1)المنحن أذا كا متلن نمطة أنمالب

أوجييد 𝟐 𝟏𝟎𝟎 انيية ميي بييدء الحركيية اصييبحت سييرعتها tتتحييرن نمطيية ميي السييكو وبعييد / 7س

الزم الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه م أحسب التعجل عندها

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

400

التفاضلة المعادالت /الفصل الخامس

المعادلة التفاضلة

أكثر للدالة المجهولة ف المعادلة ) أي للمتغر التابع ف المعادلة ( ه المعادلة الت تحتوي على مشتمة واحدة أو

ودالرة ( )ه عاللة بن متغرن ) المتغرر اوول متغرر مقرتمل ولركن االعتادةالمعادلة التفاضلة : مالحظة

مثال ( )بالنقبة للمتغر ( )وبعض مشتمات الدالة ( )غر معروفة ولتكن مثال

𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 (𝟒) 𝟎

( )عتمد فمط على المتغر ( )الن المتغر اعتاده كلها معادالت تفاضلة

. وه أكبر لوة )اس( مرفوعة له اعلى مشتمة ف المعادلة التفاضلة درجة المعادلة التفاضلة :

. وه رتبة أعلى مشتمة موجودة ف المعادلة التفاضلة المعادلة التفاضلة : رتبة

من الرتبة االولى والدرجة االولى

𝟓 𝟎

من الرتبة الثانة والدرجة االولى

𝟐 𝟕 𝟑

من الرتبة الثالثة والدرجة الثانة

( )𝟐 𝟏

من الرتبة الرابعة والدرجة الخامقة

( (𝟒))𝟓 ( )𝟕 𝟕

𝟑( ) ❺ من الرتبة الثالثة والدرجة الثانة ( )𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

: أزالة الجذور أو االقس الكقرة مثالعند اجاد درجة المعادلة التفاضلة ورتبتها جب :مالحظة

❻ ( )𝟑 √𝟓 ( )𝟐𝟑

(بالتكعب)⇒ ( )𝟗 𝟓 ( )

𝟐نةالثا ةلثالثا والدرجة من الرتبة

االعتادةحل المعادلة التفاضلة حرررل المعادلرررة التفاضرررلة االعتادرررة هرررو ارررة عاللرررة برررن متغررررات المعادلرررة التفاضرررلة بحررر أن هرررذ العاللرررة

. تحمك المعادلة التفاضلة ❸معرفة على فترة معنة ❷خالة من المشتمة ❶


𝟐 ن العاللة بن ا /(1)مثال للمعادلة التفاضلة حال 𝟑 𝟐

𝟐 /الحل 𝟑 𝟐 𝟑

(𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟑

العاللة المعطاة ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ∴


401

الحل الخاص والحل العام للمعادلة التفاضلة

اوي لرتبرة ــــرـمق االختاررةام وي معادلة تفاضلة هرو الحرل الرذي شرتمل علرى عردد مرن الثوابرت ـــــــأن الحل الع

هرو ثابرت )واحرد اختراريكانت المعادلة من الرتبة اوولرى وجرب أن كرون حلهرا مشرتمال علرى ثابرت فإذا ,المعادلة

أمرا اذا كانرت المعادلرة مرن الرتبرة ,اوولرى الذي ظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحدة لمعادالت الرتبرة( التكامل

معادلرة الرتبرة الثانرة خطروت تكامرل عنرد حرل وجرراءنظرا (ثابت تكامل)ان كون حلها مشتمال على الثانة وجب

وهكذا بالنقبة للمعادالت الت لها رتبة أعلى .

لمعادلةأحد حلول ا أثبت ان /(2)مثال

𝟎

/الحل

(𝟏

) (𝟏) 𝟏

( )

.لمعادلة التفاضلة أعال ول احل أحد ه( )العاللة المعطاة ∴


𝟐 بن /(3)مثال 𝟐لمعادلة ل حال ( )ح 𝟎

/الحل

𝟐 𝟐 𝟐(

) 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎

𝟐 )العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال (

𝟑 هل /(4)مثال التفاضلة لمعادلةحال ل 𝟐 𝟐

𝟐 ؟ 𝟔

/الحل

𝟑 𝟐

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟔

𝟑 )العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال (𝟐


402


( 𝟐) 𝟑 ن ا برهن /(5)مثال لمعادلة التفاضلةحال ل هو ( 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟎

/الحل

𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟑 (𝟐 )(𝟐) 𝟐 (𝟐 )(𝟐) 𝟔 (𝟐 ) 𝟒 (𝟐 )

𝟔 (𝟐 )(𝟐) 𝟒 (𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 )

𝟒 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 4[𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )]

𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 )

( 𝟐) 𝟑 العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟐) 𝟐


𝟐 هل ان /(6)مثال 𝟑 𝟐 ؟هو حال للمعادلة التفاضلة 𝟑 ( )𝟐 𝟑 𝟓

/الحل

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) (𝟐 ) 𝟔 𝟔 ( 𝟐 )

( ) ( )𝟐 𝟑 𝟑 ( ) ( )𝟐 𝟑 𝟑 5

𝟐 )العاللة المعطاة ∴ 𝟑 𝟐 حل للمعادلة التفاضلة أعال لقت (𝟑


هو حال للمعادلة التفاضلة 𝟑 𝟐 بن ان /(7)مثال 𝟔 𝟎

/الحل

𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑

𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑 [𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ] 6[ 𝟐 𝟑 ]

𝟔 𝟐 𝟔 𝟑 6 𝟐 𝟔 𝟑

ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟑 𝟐 )العاللة المعطاة ∴


403

(𝟓 تمارين(𝟏

بن رتبة ودرجة كل من المعادالت التفاضلة التالة : /1 س

من الرتبة االولى والدرجة االولى ( 𝟐 𝟐) 𝟑

𝟎

والدرجة االولىمن الرتبة الثانة 𝟐

𝟐

𝟓 𝟕

( ) ن الرتبة الثالثة والدرجة الثالثةم𝟑 𝟐 𝟖 𝟑

) من الرتبة الثالثة والدرجة الثانة 𝟑

𝟑)

𝟐

𝟐(

)𝟓

𝟑 𝟎

لمعادلةحل ل هو برهن ان /2 س 𝟎

/الحل

𝟎

ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( )العاللة المعطاة ∴

( 𝟑) 𝟖 برهن ان العاللة /3 س ه حل للمعادلة ( 𝟑) 𝟔 𝟐

𝟐 𝟗 𝟎

/الحل

𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )

𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟔 (𝟑 )(𝟑) 𝟐𝟒 (𝟑 ) 𝟏𝟖 (𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟐𝟒 (𝟑 )(𝟑) 𝟏𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟗 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟗[𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )]

𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟎

( 𝟑) 𝟖 العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟑) 𝟔


404

حال للمعادلة 𝟐 هل ان /4 س 𝟑 ؟

/الحل

𝟐 𝟏 𝟎

𝟑 𝟎 𝟑(𝟏) ( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟓

حل للمعادلة التفاضلة أعال لقت (𝟐 )العاللة المعطاة ∴

حال للمعادلة هل /5 س 𝟐 (𝟏 𝟐)

/الحل

𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐

𝟐 (𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐

حل للمعادلة التفاضلة أعال ( )العاللة المعطاة ∴

𝟐 𝟐 هل /6 س 𝟐 𝟑 حال للمعادلة 𝟏 𝟐

/الحل

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 ( 𝟐)⇒ 𝟐

𝟐

( ) ( )( )

(

𝟐 )

𝟒 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐)

𝟐(𝟏)

𝟐

𝟐

𝟑 𝟑 ( 𝟐

) 𝟐

𝟐 𝟐 )العاللة المعطاة ∴ 𝟐 حل للمعادلة التفاضلة أعال (𝟏


405

؟ حال للمعادلة 𝟓 هل /7 س 𝟐 𝟐𝟓 𝟎

/الحل

𝟓 𝟓 𝟓 𝟐𝟓 𝟓

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟎

حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟓 )العاللة المعطاة ∴


حال للمعادلة هو ان بن /8 س ( )ح 𝟎

/الحل

𝟎

حل للمعادلة التفاضلة أعال ( )العاللة المعطاة ∴


| | بن ان /9 س 𝟐 هو حال للمعادلة , 𝟒 𝟐 𝟐

/الحل

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐

𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐 )العاللة المعطاة ∴ حل للمعادلة التفاضلة أعال (

******************************************************************

هل ان : 1س 𝟏

𝟑 حال للمعادلة التفاضلة ( )ح 𝟐 𝟐

𝟐حال للمعادلة التفاضلة 𝟓 هل ان : 2س ( 𝟓 ) 𝟎


406

طرق حل المعادالت التفاضلة من الرتبة اوولى والدرجة اوولى

اوو : المعادالت الت تنفصل متغراتها

فررر طرررر ( )مرررع ( )ن المعرررادالت نقرررتطع أن نعرررزل كرررل الحررردود التررر تحتررروي علرررى فررر هرررذا النرررو مررر

( ) ( ) فرررر الطررررر اوخررررر فنحصررررل علررررى ( )مررررع ( )والحرررردود الترررر تحترررروي علررررى

ثابت التكامل ( )ح مثل ( ) ∫ ( ) ∫ثم نكامل الطرفان فنحصل على .

𝟓 𝟐 حل المعادلة /(1)مثال

/الحل

𝟐 𝟓 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙

∫ ∫ 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙 𝟐 𝟓

حل المعادلة /( )مثال 𝟏

/الحل

𝟏 𝟏( )𝒅𝒙

∫ ∫ 𝟏( )𝒅𝒙

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

√ 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟏 (حث 𝟐

𝒚ح 𝟐 حل المعادلة /(3)مثال (𝟐𝒏 𝟏)𝝅

𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝒚 𝟎)

/الحل

𝟐 ( 𝟐 )⇒

𝟐

∫ 𝟐 ∫


407


حل المعادلة أوجد /(4)مثال 𝒙عندما 𝟎 √ 𝟐 𝒚 𝟗

/الحل

√ 𝟎

( )

𝟏𝟐 ( )

𝟏𝟐

( )𝟏𝟐

( ) 𝟏𝟐

∫( ) 𝟏𝟐 ∫

( )𝟏𝟐

(𝟏𝟐) 𝟐

𝟐 𝟐√

𝟐

𝟐

𝒙نعوض 𝟐 𝒚 𝟗 فنتج :

𝟐√𝟗 (𝟐)𝟐

𝟐 𝟔 𝟐 𝟒

𝟐√ 𝟐

𝟐 𝟒

( 𝟐)⇒ √

𝟐

𝟒 ( تربع الطرفن) 𝟐

( 𝟐

𝟒 𝟐)

𝟐

( حل المعادلة)


حل المعادلة /(5)مثال

𝒙 عندما 𝟐 𝟎 𝒚 𝟎

/الحل

𝟐 ( 𝟐 ) ( )

( )⇒

( ) ( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 )

∫( ) ∫( 𝟐 ) ∫( 𝟏)( ) 𝟏

𝟐∫(𝟐)( 𝟐 )

𝟏

𝟐 𝟐

𝒙نعوض 𝟎 𝒚 𝟎 فنتج :

𝟎 𝟏

𝟐 𝟎 𝟏

𝟏

𝟐

𝟑

𝟐

∴ 𝟏

𝟐 𝟐

𝟑

𝟐

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐 ( 𝟐 𝟑) 𝟐

𝟐

( 𝟐 𝟑) (نأخذ للطرفن)⇒ |

𝟐

𝟐 𝟑| |

𝟐

𝟐 𝟑|


408


(𝟏 )جد الحل العام للمعادلة التفاضلة : /(6)مثال

𝟐

/الحل

( 𝟏)

𝟐 ( 𝟏) 𝟐

𝟐

( 𝟏)

𝟐

( 𝟏)

∫

𝟐 ∫

( 𝟏) | | 𝟐 ( 𝟏) | | ( 𝟏)𝟐

| | ( 𝟏)𝟐 | |

( 𝟏)𝟐

(نأخذ للطرفن)⇒

| |

( 𝟏)𝟐

| | ( 𝟏)𝟐 𝟏 ( 𝟏)𝟐 ( 𝟏

(حث

******************************************************************

(𝟓 تمارين(𝟐

ة فصل المتغرات :مة بطرالتفاضلة اوتحل المعادالت /1 س

( ) 𝟑

𝟑 ( 𝟑 ) ( )

𝟑 (

)𝟏

( 𝟐 )

( )( 𝟐 ) ∫ ∫ 𝟐 𝟐

𝟐


( )

𝟑 𝟏 𝟐

𝟑

(𝟑 )

(𝟑 ) ( 𝟏)∫

(𝟑 ) ∫

|𝟑 | 𝟐

𝟐 |𝟑 𝟐 |

(𝟏)𝟐

𝟐 (𝟏)

𝟏

𝟐

𝟎 𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 |𝟑 |

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

( 𝟏)⇒ |𝟑 |

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐

𝟑 (𝟏𝟐 𝟐

𝟐 ) 𝟑 (𝟏𝟐 𝟐

𝟐 ) 𝟑 𝟏𝟐( 𝟏

𝟐)


409

( )

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏) ( 𝟏) ∫

( 𝟏) ∫( 𝟏)

( 𝟏) 𝟐

𝟐

(نأخذ للطرفن)⇒ 𝟏

( 𝟐

𝟐 )

( 𝟐

𝟐 )

𝟏

( ) ( 𝟐 𝟒 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑

( 𝟐 𝟒 𝟏)

𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐 𝟒 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟑)

∫( 𝟐 𝟒 𝟏) ∫( 𝟐 𝟐 𝟑) 𝟑

𝟑 𝟐 𝟐

𝟑

𝟑 𝟐 𝟑

( ) 𝟒√(𝟏 𝟐)𝟑

𝟒(𝟏 𝟐)

𝟑𝟐 𝟒(𝟏 𝟐)

𝟑𝟐

(𝟏 𝟐)𝟑𝟐

𝟒 ( ) (𝟏 𝟐) 𝟑𝟐 𝟒

∫( ) (𝟏 𝟐) 𝟑𝟐 ∫𝟒

𝟏

𝟐∫𝟐( ) (𝟏 𝟐)

𝟑𝟐 ∫𝟒

𝟏

𝟐 (𝟏 𝟐)

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟒 𝟏

√𝟏 𝟐 𝟒

وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏 د𝟐 𝟎 𝟑 ( )

𝟑 ∫ ∫ 𝟑 𝟒

𝟒

𝟒

𝟒

𝟒 𝟒 𝟒 √𝟒 𝟒 𝟒

√𝟒 𝟏𝟒 ( 𝟏 ( حث 𝟒


410

( ) 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏

𝟐

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑

( 𝟑)⇒

𝟑 𝟐 ∫ 𝟑 𝟐∫

𝟐

𝟐 𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

(𝟏𝟐)𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒

𝟏

𝟐 𝟒 𝟖 𝟐

𝟏

𝟒 𝟖 √

𝟏

𝟒 𝟖

ة :العام للمعادالت التفاضلة اوتجد الحل /2س

( )

𝟐 𝟏 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐 𝟐)

(𝟏 𝟐 𝟐)

∫

(𝟏 𝟐 𝟐) ∫

𝟏

𝟒∫( 𝟒)

(𝟏 𝟐 𝟐) ∫

𝟏

𝟒𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒄| (𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏𝟒𝒍𝒏 𝒍𝒏|𝒄𝒙|

(نأخذ للطرفن)⇒ (𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏𝟒 𝒄𝒙

(𝟏 𝟐 𝟐)𝟏𝟒

𝟏

𝒄𝒙

𝟏

𝟏 𝟐 𝟐√𝟒

𝒄𝒙 𝟏 𝟐 𝟐√𝟒

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

𝒄𝒙

𝟏

(𝒄𝒙)𝟒

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

(𝒄𝒙)𝟒 𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐𝒄𝟒𝒙𝟒 √

𝟏

𝟐

𝟏

𝒄𝟏𝒙𝟒 (𝒄𝟏 𝟐𝒄𝟒 حث )

1د/ 2015وزاري

( )

𝟎

( ) ( )

(

) (

) ∫(

) ∫(

) | | | |

| | | | | | 𝒆𝒄


411

( ) 𝟐 𝟎

𝟐 ( 𝟐 )⇒

𝟐 ∫

𝟐 ∫

∫ 𝟐 ∫ 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 (𝟐𝒄 𝒄𝟏 ثح )

( ) 𝟐 𝟑

∫ 𝟐 ∫ 𝟑 ∫( 𝟐 𝟏) ∫(𝟏 𝟐 )

∫ 𝟐 ∫ ∫ ∫ 𝟐

𝟑

𝟑

( )

𝟐 𝟐

( 𝟐 𝟐 ) ∫

𝟐 ∫ 𝟐 ∫ 𝟐

𝟏

𝟐∫(𝟏 𝟐 )

𝟏

𝟐 (

𝟏

𝟐 𝟐 )

𝟏

𝟐 𝟏

𝟒 𝟐

( )

𝟑 𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏 د𝟏

∫(𝟑 𝟐 ) ∫ 𝟑 𝟑

𝟑 𝟑

( ) 𝟐 𝟎

𝟐

( )( 𝟐 )

𝟐 ∫ 𝟐 ∫

𝟏

𝟐 𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄𝟏 حث )

نوفر المشتمة 𝟏

𝟐


412

/ أثبت أن كال من :خارجي قؤال

(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆𝒙 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙

��(𝟏 𝒙) هو حل للمعادلة التفاضلة ��𝒙 𝒚 𝟎

(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆𝒙 �� 𝟐𝒆𝒙 �� 𝟐𝒆𝒙

��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 𝟐𝒆𝒙(𝟏 𝒙 ) 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒙𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝟎 𝒙

𝒚 )العاللة المعطاة ∴ 𝟐𝒆 𝒙��(𝟏 𝒙) حل للمعادلة التفاضلة ( ��𝒙 𝒚 𝟎

(𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 �� 𝟑 �� 𝟎

��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 (𝟎)(𝟏 𝒙 ) 𝟑 𝟑𝒙 𝟎

𝒚 )العاللة المعطاة ∴ حل للمعادلة التفاضلة ( 𝟑𝒙��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 𝟎

(𝒄) 𝒚 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 �� 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 �� 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙

��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 (𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙)(𝟏 𝒙 ) (𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 ) (𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 )

𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 𝑨𝒙𝒆𝒙 𝑩𝒙𝒆 𝒙 𝑨𝒙𝒆𝒙 𝑩𝒙𝒆 𝒙 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝟎

𝒚 )العاللة المعطاة ∴ 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆 التفاضلة حل للمعادلة ( 𝒙��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 𝟎


413

ثانا : المعادلة التفاضلة المتجانقة

*بتها بالشكل نقتطع كتا ه المعادلة الت

(

𝟒 )فمثال المعادلرة + ( 𝟒)

مكرن 𝟑

كتابتها على الصورة

𝟏 (

) ( بقسمة طرف المعادلة على 𝟒 ) 𝟒

بن أي المعادالت التالة متجانقة ؟ مثال /

𝟑 𝟑

𝟑 𝟐

( 𝟑 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟑

𝟑 𝟑𝟑

𝟑 𝟐 𝟑

𝟏

𝟑 ( )

المعادلة متجانقة ∴

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎

( 𝟐 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟐 (

)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (

)

(

)𝟐

𝟐 𝟎

𝟐(

)

(

)𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐

𝟐 ( )

المعادلة متجانقة ∴

𝟐

𝟑

[

(

) ] المعادلة غر متجانسة النه المكن كتابتها بالشكل


414

طرمة حل المعادلة التفاضلة المتجانقة

لحل المعادلة التفاضلة المتجانقة نتبع الخطوات التالة :

*نكتب المعادلة بالصورة ❶

(

*ثم نعوض عن كل + (

( )دالة الى ( )ح [ ]أو +

*فنحصل على ( )بالنقبة الى [ ]نشتك ❷

+

*فنحصل على ❷و ❶نربط بن الخطوتن ❸

( )

( ) +

*بعد فصل المتغرات نحصل على ❹

( )

+

*نكامل الطرفن فنحصل على الحل العام وأخرا نعوض عن ❺

+

حل المعادلة التفاضلة /(1)مثال 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐

/الحل

𝟑 𝟐 𝟐

𝟐 ( 𝟐 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟑 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟑 ( )𝟐 𝟏

𝟐 ( )

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟏

∫

𝟏

∫

𝟐

𝟐 𝟏 ∴ | | 𝟐 𝟏 | |

| | ( 𝟐 𝟏) (نأخذ للطرفن)

⇒ ( 𝟐 𝟏)

∵

(

𝟐

𝟐 𝟏) (

𝟐 𝟐

𝟐)

( 𝟐 𝟐

𝟐)

𝒙

𝟑

𝟐 𝟐( )


415

حل المعادلة التفاضلة /(2)مثال

/الحل

سمنق البسط والمقام على 𝟎 ) )

𝟏 𝟏

𝟏

𝟏 (

( وضعنا

∵


𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏 ( 𝟏)

𝟏

𝟏 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

∫

𝟏

∫

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏 ∴

∫𝟏

𝟏

𝟐∫( 𝟐)

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 | | | |

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 | | |

𝟏

√𝟐 𝟐 𝟏| | |

𝟏

√𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

( تربع الطرفن)⇒ 𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐

∵

𝟐 (

) (

)𝟐

𝟏 𝟏

𝟐 𝟐 ( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (

𝟏

𝟐 (حث


416


( 𝟑)حل المعادلة التفاضلة /(3)مثال

/الحل

𝟑 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟑

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑 (

( وضعنا

∵


𝟏

𝟑

𝟏

𝟑

𝟏 𝟑 𝟐

𝟑

𝟐 𝟐 𝟏

𝟑

( 𝟏)𝟐

𝟑 ∫

(𝟑 )

( 𝟏)𝟐 ∫

∫

( 𝟑)

( 𝟏)𝟐 ∫

∫ [( 𝟏) 𝟐]

( 𝟏)𝟐 ∫

∫

( 𝟏)

( 𝟏)𝟐 ∫

𝟐

( 𝟏)𝟐 ∫

( 𝟏)∫

𝟏 (𝟐)∫( 𝟏) 𝟐 ∫

| 𝟏| (𝟐)( 𝟏) 𝟏

𝟏 | | | 𝟏|

𝟐

( 𝟏) | |

∵

| | |

𝟏|

𝟐 𝟏

| | |

𝟏|

𝟐

( ) | (

𝟏)|

𝟐

| |

𝟐


417


𝟐 𝟐لة ـــام للمعادلة التفاضـــــجد الحل الع /(4)مثال

𝟐 𝟐

/الحل

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐( 𝟐 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐𝟐 𝟐

𝟐

𝟏 ( )𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐 (

( وضعنا

∵


𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

𝟐

( 𝟏)𝟐

𝟐 ∫

𝟐

( 𝟏)𝟐 ∫

∫ 𝟐( 𝟏) 𝟐 ∫

𝟐( 𝟏) 𝟏

𝟏 | |

𝟐

𝟏 | | (

( نضع

𝟐 𝟏

| | 𝟐

( ) | |

𝟐

| |

𝟐

| |

𝟐

| |


418

𝟐 حل المعادلة التفاضلة /محلولمثال 𝟐 𝟐 𝟎

/الحل

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 قاموالم على ) ( نقسم البسط

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

( )𝟐 𝟏

𝟐 ( )

𝟐 𝟏

𝟐 (

( وضعنا

∵


𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

( 𝟐 𝟏)

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

∫

𝟐

𝟐 𝟏 ∫

∴ 𝟐 𝟏 | | | |

𝟐 𝟏 | | | | ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ( 𝟐 𝟏) |𝟏

|

( 𝟐 𝟏) 𝟏

𝟏

( 𝟐 𝟏)

𝟏

( 𝟐

𝟐 𝟏)

𝟏

( 𝟐 𝟐

𝟐)

𝟏

( 𝟐 𝟐

)

𝟐 𝟐


419

(𝟓 تمارين(𝟑

: التفاضلة اوتةالمعادالت كال من حل


(𝟏)

(

( وضعنا

∵


∫

∫

∫ ∫

| | | | ( )

(𝟐) ( 𝟐 ) 𝟐 𝟎

𝟐 ( 𝟐)

𝟐

𝟐 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟏

(

)𝟐

𝟐 (

( وضعنا

∵

( نعوض المعادلة ف المعادلة )

∴

𝟐

𝟐

𝟐

∫ 𝟐 ∫

𝟏

𝟏 | | | |

𝟏

( 𝟏)⇒ | |

𝟏

( ) | |

| |

𝟏 ( 𝟏 (حث


420

(𝟑) ( 𝟐 ) (𝟐 𝟑 ) 𝟎

(𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 )

𝟐

𝟐 𝟑 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟐

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 (

)

𝟐 𝟑( )

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑 (

( وضعنا

∵


∴

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐

𝟐 𝟑

(𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)

𝟐 𝟑 ∫

(𝟐 𝟑 )

(𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) ∫

(

𝟏

𝟐)∫𝟐(𝟐 𝟑 )

(𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) ∫

𝟏

𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | |

𝟏

𝟐 |𝟑

𝟐

𝟐 𝟒

𝟏| | |

(𝟒)

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 لمقاموا على ) ( نقسم البسط

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟏 ( )𝟐

𝟐 ( )

𝟏 𝟐

𝟐 (

( وضعنا

∵


∴

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟐

(𝟏 𝟐)

∫

𝟐

(𝟏 𝟐) ∫

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | | | |

(𝟏 𝟐) | | (𝟏 𝟐

𝟐)

(𝟏 𝟐

𝟐)

𝟐

𝟐 𝟐


421

(𝟓) ( 𝟐 𝟐) 𝟎

( 𝟐 𝟐)

𝟐 𝟐

( نقسم البسط والمقام على )

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟏 ( )𝟐

( )

𝟏 𝟐

(

( وضعنا

∵


𝟏 𝟐

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

(𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏

𝟒∫( 𝟒)

(𝟏 𝟐 𝟐) ∫

𝟏

𝟒 |𝟏 𝟐 𝟐| | |

|𝟏 𝟐 𝟐|( 𝟏𝟒) | | | (𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏𝟒|

∴

(𝟏 𝟐 𝟐)𝟏𝟒

(𝟏 𝟐( )𝟐

)

𝟏𝟒

(𝟏 𝟐 𝟐

𝟐)

𝟏𝟒



422

(𝟔) 𝟐 ( 𝟑 𝟑)

𝟐

𝟑 𝟑 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟐 𝟑

𝟑

𝟑 𝟑

𝟑

( )

𝟏 ( )𝟑

𝟏 𝟑 (

( وضعنا

∵


𝟏 𝟑

𝟏 𝟑

𝟒

𝟏 𝟑

𝟒

𝟏 𝟑

(𝟏 𝟑)

𝟒

∫(

𝟏

𝟒 𝟑

𝟒) ∫

∫

∫( 𝟒

𝟏

)

| | 𝟑

𝟑 | | | |

𝟏

𝟑 𝟑 | |

( 𝟏)⇒ | |

𝟏

𝟑 𝟑 | |

| | 𝟏

𝟑 ( )𝟑 |

| (حث 𝟏 ) 𝟏



423

(𝟕) (

)

(

( وضعنا

∵


∫

∫

( )

∫

∫

| | | | | | | | | |

∴

******************************************************************

𝟒) حل المعادلة التفاضلة التالة : 1س ) 𝟑

حل المعادلة التفاضلة التالة أوجد : 2س (𝟏 𝟐) 𝟐

𝟐 √ ) لمعادلة التفاضلة التالة أوجد الحل العام ل : 3س 𝟐)

𝟐 )حل المعادلة التفاضلة التالة : 4س 𝟐) 𝟒

حل المعادلة التفاضلة التالة : 5س

(

)


424

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الخامس

�� حل المعادلة التفاضلة اوتة : / 14س 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚

𝒙 𝒚

𝝅

𝟒 𝒙 𝟏

/الحل

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚

𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚𝒅𝒙 ] ( 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚)

𝒅𝒚

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒅𝒙

𝒙 ∫

𝒅𝒚

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 ∫

𝒅𝒙

𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 ∫𝒅𝒙

𝒙 𝒍𝒏|𝒙| 𝒄 ( 𝒚

𝝅

𝟒 𝒙 (نعوض 𝟏

𝝅

𝟒𝒍𝒏|𝟏| 𝒄 𝟏 𝟎 𝟏

∴ 𝒍𝒏|𝒙| 𝟏

حل المعادلة التفاضلة اوتة : / 15س𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 ح أن𝒚

𝝅

𝟐𝒙 عندما 𝟎

/الحل

𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒙 ] ( 𝒕𝒂𝒏 𝒚 )

𝒅𝒚

𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝒅𝒚

(𝒔𝒊𝒏 𝒚𝒄𝒐𝒔 𝒚

) ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙

∫𝒄𝒐𝒔 𝒚

𝒔𝒊𝒏 𝒚𝒅𝒚 ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝟐

𝒙𝟐

𝟐 𝒄

𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙𝟐 𝒄 ( 𝒚 𝝅

𝟐 𝒙 (نعوض 𝟎

𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝝅

𝟐| 𝟎 𝒄 𝒍𝒏 𝟏 𝒄 𝟎

∴ 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙𝟐(نأخذ للطرفن)⇒ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒆 𝒙

𝟐


425


𝒙 �� حل المعادلة التفاضلة / 16س 𝒚 𝒙 ح أن𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 /الحل

𝒙 𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒚 𝒙 ( 𝒙 )

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒚 𝒙

𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒚

𝒙 𝟏

𝟏 (

( وضعنا

∵


𝟏

𝟏

] ( 𝒙) 𝒅𝒗 𝒅𝒙

𝒙

∫ 𝒅𝒗 ∫𝒅𝒙

𝒙 | | 𝐜

| | 𝐜

𝒚نعوض 𝟏 𝒙 𝒄 وجاد لمة الثابت 𝟏

𝟏

𝟏 |𝟏| 𝐜 𝟏 𝟎 𝐜 𝟏

∴

| | 𝟏


426

𝒙𝟐) اوتة حل المعادلة التفاضلة / 17س 𝟑𝒚𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟎

/الحل

(𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚

𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝟑𝒚 𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐

( نقسم البسط والمقام على ) 𝟐𝒙𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝒙𝟐

𝒙𝟐 𝟑

𝒚𝟐

𝒙𝟐

𝟐𝒙𝒚𝒙𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝟏 𝟑 (

𝒚𝒙)

𝟐

𝟐 (𝒚𝒙

)

𝟏 𝟑𝒗𝟐

(

( وضعنا

𝟐𝒗

∵


𝟏 𝟑𝒗𝟐

𝟐𝒗

𝟏 𝟑𝒗𝟐

𝟐𝒗 𝒗

𝟏 𝟑𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟐

𝟐𝒗

𝒗𝟐 𝟏

𝟐𝒗

𝟐𝒗

𝒗𝟐 𝟏

∫

𝟐𝒗

𝒗𝟐 𝟏

∫

𝒗𝟐 | |𝟏 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒄 (𝒗𝟐 𝟏 ) 𝒙 𝒄 (𝒗𝟐 𝟏)

𝒙 𝒄 (𝒚𝟐

𝒙𝟐 𝟏) 𝒙 𝒄 (

𝒚𝟐 𝒙𝟐

𝒙𝟐)


427

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الخامس

2/د 2012قؤال وزاري

حل المعادلة التفاضلة

𝟐 عندما 𝟐 ح (𝟏 )(𝟏 )

/الحل

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏) ( 𝟏) ∫

( 𝟏) ∫( 𝟏)

( 𝟏) 𝟐

𝟐

𝒚نعوض 𝟐 𝒙 𝒄 وجاد لمة الثابت 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟒

∴ ( 𝟏) 𝟐

𝟐 𝟒


أحد حلول المعادلة أثبت ان

𝟎

/الحل

(𝟏

) (𝟏)

𝟏

(𝟏 )

المعادلة التفاضلة أعال ه أحد حلول ( )العاللة المعطاة ∴


428


جد الحل العام للمعادلة التفاضلة

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐طالبس والمقام على ) ( نقسم

𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟏

𝟐

𝟏 (

( وضعنا

∵


𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟏

𝟏

( 𝟏)

∫(

𝟏

) ∫

∫

∫(𝟏

𝟏

)

| | | | ( 𝟏)⇒ | | | |

| |

|

| (حث 𝟏 ) 𝟏

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

429

الفصل السادس

/SPACE GEOMETRY الهندسة الفضائة

:مراجعة

لكل مستقمن متقاطعن وجد مستو وحد حتوهما. -1

حتوهما.لكل مستقمن متوازن وجد مستو وحد -2

)إذا علم مستقم ونقطة ال تنتم إله فوجد مستقم وحد مر من تلك النقطة ووازي عبارة التوازي -3

.المستقم المعلوم(

ف المستوى الواحد المستقم العمودي على أحد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر. -4

ودا على اآلخر.المستقم العمودي على أحد مستون متوازن كون عم -5

) تنتم ف المستوى الواحد مكن رسم مستقم واحد فقط عمودي على مستقم معلوم من نقطة معلومة -6

.للمستقم أو ال تنتم إله(

إذا توازى مستقمان فالمستوي الذي حوي احدهما ونقطة من اآلخر فأنه حتوهما. -7

عمودا على اآلخر.المستوى العمودي على أحد مستقمن متوازن كون -8

ف المستوى الواحد المستقمان العمودان على مستقم واحد متوازان. -9

إذا توازى مستقمان فالمستوي الذي حوي احدهما وازي اآلخر. - 11

المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما. - 11

مستو كون عمودا على جمع المستقمات المرسومة من أثره ضمن المستوي.المستقم العمودي على - 12

إذا كان كل من مستقمن متقاطعن وازان مستوي معلوم فأن مستوهما وازي المستوي المعلوم. - 13

إذا وازى ضلعا زاوة ضلع زاوة أخرى تساوت الزاوتان وتوازى مستوهما. - 14

ن منتصف ضلع مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه بالقاس.قطعة المستقم الواصلة ب - 15

العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقن على القاعدة نصفها. - 16

فالمستقم المرسوم من أة نقطة من نقااط المساتوي موازاا للمساتقم المعلاوم مستوي إذا وازى مستقم - 17

كون محتوى ف ذلك المستوي.

مان العمودان على مستو واحد متوازان.المستق - 18

المستقمان الموازان لمستقم ثالث ف الفراغ متوازان. - 19

كون الشكل الرباع متوازي أضالع إذا توازى كل ضلعن متقابلن فه. - 21

كون الشكل الرباع متوازي أضالع إذا توازى وتساوى ضلعن متقابلن فه. - 21

ضالع أحدى زوااه قائمة.المستطل هو متوازي أ - 22

مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة. - 23

تطابق المثلثان بضلعن وزاوة محددة بهما. - 24

العمود النازل من نقطة معلومة على مستو هو أقصر مسافة بن النقطة المعلومة والمستوي. - 25

مبرهنة األعمدة الثالثة ونتجتها. - 26


431

الزوجة والمستوات المتعامدة الزاوة

مشتركة. (Edge)اتحاد نصف مستون لهما حافة الزاوة الزوجة:

.)حرف الزاوة الزوجة(وتسمى الحافة المشتركة بـ

كما ف الشكل:)وجه الزاوة الزوجة( وسمى كل من نصف المستون بـ

هو حرف الزاوة الزوجة حث

(X) و(Y) هما وجهاها

– – وعبر عن الزاوة الزوجة بالتعبر:

وقد عبر عنها بحرف الزاوة الزوجة أن لم كن مشتركا مع زاوة أخرى.

مثال:

الزاوة الزوجة:

– –

– –

– –

مشترك ف أكثر من زاوة زوجة. ف هذا المثال ألن الحرف وال مكن أن تكتب الزاوة الزوجة بشكل

عندما تكون أربع نقاط لست ف مستو واحد :مالحظة

أو A – – Dنكتب الزاوة الزوجة

و (DBC)الزاوة الزوجة بن المستون

(ABC:كما ف الشكل )


431

وتقاس الزاوة الزوجة كاآلت:

على الحرف ف والعمود ف العمود Dونرسم من على الحافة المشتركة Dنأخذ نقطة

الزاوة العائدة وتسمى الزاوة فكون قاس الزاوة الزوجة بن المستون هو قاس الزاوة

للزاوة الزوجة, كما ف الشكل:

– – بعبارة أخرى لدنا الزاوة الزوجة

ولدنا

– – أو ه الزاوة العائدة للزاوة الزوجة ∢

ه الزاوة الت ضلعاها عمودان على حرف الزاوة الزوجة من :الزاوة المستوة العائدة للزاوة الزوجة

نقطة تنتم إله وكل منهما ف أحد وجه الزاوة الزوجة.

ه اتحاد شعاعن عمودن على حرف الزاوة الزوجة من نقطة تنتم إله وكل منهما ف أحد وجه أو:

الزاوة الزوجة.

جة مكن استنتاج اآلت:ومن تعرف الزاوتن العائدة والزو

قاس زاوة عائدة لزاوة زوجة ثابت. -1

قاس الزاوة الزوجة ساوي قاس الزاوة العائدة لها وبالعكس. -2

إذا كانت الزاوة الزوجة قائمة فأن المستون متعامدان وبالعكس.

°𝟗𝟎 – – أي : أذا كان قاس

فأن


432

: (3/ د5201)وزاري و (2/ د2013( و )وزاري 1/ د2011(: )وزاري 7مبرهنة )

العمودي على مستقم التقاطع كون عمودا على المستوي اآلخر.وإذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم ف احدهما

أي أنه:

إذا كان:

في

فأن

D , ف نقطة المعطات:

المطلوب إثباته:

البرهان:

ف المستوى الواحد مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستقم فه من نقطة معلومة() نرسم ف

)معطى(

)تعرف الزاوة العائدة( – – عائدة للزاوة الزوجة ∢

)قاس الزاوة الزوجة ساوي قاس الزاوة العائدة لها وبالعكس( 𝟗𝟎 ∢

فأن المستقمن متعامدان وبالعكس( 𝟗𝟎)إذا كان قاس الزاوة بن مستقمن

)المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما(

)و. هـ. م(

:(2/ د5201)وزاري و (3/ د2013(: )وزاري 7نتجة مبرهنة )

على المستوى اآلخر كون محتوى فه.إذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم من نقطة ف احدهما عمودا

المعطات:


لكنالبرهان:

ان لم كن

وعمودي على نرسم

نقطة معلومة()ف المستوى الواحد وجد مستقم وحد عمودي على مستقم فه من


433

)معطى(

( ) إذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم ف احدهما العمودي على مستقم التقاطع كون 7)مبرهنة

عمودا على المستوى اآلخر(

)معطى( ولكن

)وجد مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من

تنتم إله( نقطة تنتم أو ال

)و. هـ. م(

: (1/ د6201)وزاري و (1/ د2011(: )وزاري 8مبرهنة )

كل مستو مار بمستقم عمودي على مستو آخر كون عمودا على ذلك المستوي

عمودي على اآلخر.تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم أو :

, المعطات:

: المطلوب إثباته

)تقاطع المستوان بخط مستقم( لكن البرهان:

)مستقم التقاطع حتوي على النقاط المشتركة(

)ف المستوى الواحد وجد مستقم وحد عمودي على مستقم فه من نقطة معلومة( نرسم ف

) معطى(

على جمع المستقمات المحتوى ف )المستقم العمودي على مستوى كون عمودا

المستوي والمارة من أثره(

)معطى(

)تعرف الزاوة العائدة( عائدة للزاوة الزوجة ∢

°𝟗𝟎 ∢ ألن

– – قاس الزاوة الزوجة قاس الزاوة العائدة اوي ــــة ســـــ)قاس الزاوة الزوج 𝟗𝟎°

لها وبالعكس(

( فأن المستون متعامدان وبالعكس ° 90إذا كان قاس الزاوة الزوجة )

)و. هـ. م(

⇒ 𝑦 𝑥

𝑨𝑩 𝒙 : أي أنه

𝑨𝑩 𝒚


434

(:1/ د2014(: )وزاري 9مبرهنة )

وحد عموديمستو معلوم وجد من مستقم غر عمودي على مستو

. على المستوى المعلوم

غر عمودي على : أي أنه

وعمودي على فوجد مستوي وحد حتوي

غر عمودي على المعطات:

وعمودي على إجاد مستو وحد حتوي المطلوب إثباته:

البرهان:

إله()وجد مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة ال تنتم نرسم من نقطة

متقاطعان

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستو وحد حوهما(حوهما وجد مستو وحد مثل

)تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم عمودي على اآلخر( (8رهنة ب)م

ولبرهنة الوحدانة:

وعمودي على ( مستوي آخر حوي Zلكن )

)بالبرهان(

(7)نتجة مبرهنة

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستو وحد حوهما( )و. هـ. م(

(:3/ د2012(: )وزاري 9نتجة مبرهنة )

على مستو ثالث فأن مستقم على المستوى إذا كان كل من مستون متقاطعن عمودا تقاطعهما كون عمودا

الثالث.

المعطات:


عمودا على إن لم كن البرهان:

(9)مبرهنة وعمودي على لما وجد أكثر من مستوي حوي

)و. هـ. م(


435

(:1مثال )

ABC ∆ف

∢ 𝟑𝟎°

𝟏𝟎 𝟓

– جد قاس الزاوة الزوجة –

المعطات:

∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓

– إجاد قاس الزاوة الزوجة المطلوب إثباته: –

البرهان:

نرسم ف المستوى )ف المستوى الواحد وجد مستقم وحد عمودي على آخر ف نقطة من نقطة معلومة(

)معطى(

)مبرهنة األعمدة الثالثة(

عائدة للزاوة الزوجة ∢ (ة)تعرف الزاوة العائد

على جمع المستقمات المحتواة ف المستوى ـــ)المس تقم العمودي على مستوي كون عمودا والمارة من أثره(

∆ DBE قائم الزاوة فB

: Eالقائم الزاوة ف BEA ∆ف

𝟑𝟎

⇒

𝟏

𝟐

𝟏𝟎 ⇒ 𝟓

:Bالقائم الزاوة ف DBE ∆ف

∢ 𝟓

𝟓 𝟏

°𝟒𝟓 ∢ قاس

– قاس الزاوة الزوجة – قاس الزاوة الزوجة هو قاس الزاوة العائدة لها وبالعكس( ) 𝟒𝟓°

)و. هـ. م(


436

(:2مثال )

مثلثا ولكن ABCلكن

برهن أن:

المعطات:


البرهان:

)معطى(

على مستقم عمودي على اآلخر( ( )تعامد المستوان إذا احتوى احدهما8)مبرهنة

)معطى(

( )إذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم ف احدهما والعمودي على مستقم التقاطع 7)مبرهنة

كون عمودا على اآلخر(

)معطى(

)نتجة مبرهنة االعمدة الثالثة(

)و. هـ. م(


437

(2/ د 2012(: )وزاري 3مثال )

, مستوان متعامدان

على الترتب C, Dف وقطعان عمودان على

برهن أن:

المعطات:

على الترتب. C, Dف وقطعان عمودن على ( , إن


البرهان:

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستوا وحدا حوهما( مستوي المستقمن المتقاطعن لكن

)معطى(

العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما()المستقم

)معطى(

)تعامد المستوان إذا احتوى احدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)معطى(

)ألنه محتوى ف كل منهما( ولما كان

أن مستقم تقاطعهما كون عمودا )إذا كان كل من مستون متقاطعن عمودا على مستو ثالث ف

على المستوي الثالث(

)و. هـ. م(


438

تمارين

(1/ د 2013)وزاري برهن أن مستوي الزاوة العائدة لزاوة زوجة كون عمودا على حرفها. / 1س

– – الزاوة الزوجة المعطات:

زاوة مستوة عائدة لها. CDEوالزاوة


البرهان:

)معطى( – – زاوة عائدة للزاوة الزوجة CDEالزاوة

)من تعرف الزاوة العائدة لزاوة زوجة(

عمودن على حرف الزاوة الزوجة من نقطة تنتم شعاعن)ه الزاوة الناتجة من اتحاد

وجه الزاوة الزوجة( دمنهما ف اح إله وكل

المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما()

)و. هـ. م(

(3د2014/وزاري )

إذا وازى مستقم مستوا وكان عمودا على مستو آخر فأن المستون متعامدان. هبرهن أن / 2س

المعطات:


البرهان:

فأن قطع أن لم كن

)معطى(

احد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر()المستقم العمودي على

يقطع ولكن هذا خالف المعطات

)تقاطع المستوان بخط مستقم( ولكن

)عبارة التوازي: وجد مستقم وحد وازي مستقم معلوم من نقطة ال , ولتكن لتكن

تنتم إله(

)معطى(

للمستقم فالمستقم المرسوم من أة نقطة من نقط المستوي موازا )إذا وازى مستقم مستوا المعلوم كون محتوى فه(

)المستوي العمود على احد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر( )كل مستو مار بمستقم أو)تعامد المستوان إذا احتوى احدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

عمودي على مستو كون عمودي على المستو اآلخر( )و. هـ. م(


439

( 2د/ 2014)وزاري برهن أن المستوي العمودي على احد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر / 3س .أضا

المعطات: المطلوب إثباته:

البرهان:

لكن

ولتكن

بحث نرسم معلوم من نقطة ال تنتم إله()مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستقم

(ى )معط

تقم التقاطع كون ــــوم ف احدهما والعمودي على مســـ)إذا تعامد مستوان فالمستقم المرس عمودا على اآلخر(

)معطى( ولكن

كون عمودا على اآلخر()المستقم العمودي على احد مستون متوازن )تعامد المستوان إذا احتوى احدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)و. هـ. م(

و أربع نقاط لست ف مستو واحد بحث A, B, C, D / 4س ∢فإذا كانت

– عائدة للزاوة الزوجة – . برهن

أربع نقاط مختلفة لست ف مستو واحد A, B, C, Dالمعطات:

– عائدة للزاوة الزوجة ∢ –


البرهان:

– عائدة للزاوة الزوجة ∢ – )معطى(

)الزاوة العائدة ه الزاوة الناتجة من اتحاد شعاعن عمودن على حرف الزاوة الزوجة

من نقطة تنتم إله وكل منهما ف أحد وجه الزاوة الزوجة(

)معطى( ABCف المثلث

على القاعدة نصفها()العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقن

فهما: DECو DEBالمثلثان

)قوائم( 𝟐 ∢ 𝟏 ∢

)ضلع مشترك(

CE = BE )بالبرهان(

تطابق المثلثان بضلعن وزاوة محددة بهما.

ومن التطابق نتج:

)و. هـ. م(

تقاطع المستوان بخط مستقم


441

(1د / 2015)وزاري

وازى كل من مستقمن متقاطعن مستوا معلوم وكانا عمودن على مستون متقاطعن إذاأنه برهن / 5س

.فأن مستقم تقاطع المستون المتقاطعن كون عمودا على المستوى المعلوم

المعطات:

يوازيان


البرهان:

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستوي وحد حتوهما( مستوي المستقمن المتقاطعن لكن

)معطى(

معلوما فإن مستوهما وازي المستوي المعلوم()إذا كان كل من مستقمن متقاطعن وازان مستوا

ولكن

)تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)معطى(

مستو ثالث فأن مستقم تقاطعهما كون عمودا مستون متقاطعن عمودا على من ) إذا كان كل

على المستوي الثالث(

)المستقم العمودي على احد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر(

)و. هـ. م(

)معطى(


441

دائرة قطرها / 6س عمودي نقطة تنتم للدائرة برهن أن D, توهاــــعمودي على مس

على

المعطات:

قطر ف دائرة و مستوي الدائرة.

D .نقطة تنتم للدائرة


البرهان:

زاوة محطة ∢

)الزاوة المحطة المقابلة لنصف دائرة قائمة( 𝟗𝟎° ∢

)إذا كانت الزاوة بن مستقمن قائمة فأن المستقمن متعامدن(

)معطى(عمودي على مستوي الدائرة

)مبرهنة االعمدة الثالثة(

اصبح لدنا: )بالبرهان(

من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما()المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن

ولكن

)تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)و. هـ. م(


442

االسقاط العمودي على مستو

المرسوم من تلك النقطة على المستوي.هو أثر العمود مسقط نقطة على مستو: -1

مجموعة من نقاط ف الفراغ فأن مسقطهما هو مجموعة كل اثار Lلتكن مسقط مجموعة نقط على مستوي: -2

على المستوي. هاالعمدة المرسومة من نقاط

المحددة بأثري العمودن المرسومن هو قطعة المستقممسقط قطعة مستقم غر عمودة على مستو معلوم: -3

من نهات القطعة على المستوي المعلوم.

لكن غر عمودي على

ولكن هو على Aمسقط

هو على Bمسقط

مسقط هو على

إذا كان مالحظة: فأن

: هو المستقم غر العمودي على المستوي وقاطع له.المستقم المائل على مستو -4

ه الزاوة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي.زاوة المل: -5

ف مائال على لكن

ولكن ف

حث على مسقط

مسقط نفسها حث كذلك

مسقط على

𝛉 𝟗𝟎° 𝟎أي أن

𝜽 𝟎 𝟗𝟎°

جب تمام زاوة المل. طول المائل طول مسقط قطعة مستقم على مستو = طول المسقط: -6

فعندما تكون ومسقطه 𝜽وزاوة ملة مائال على 𝛉 فأن

مستو معلوم هو قاس الزاوة المستوة العائدة للزاوة على مستو زاوة مل : مسقط مستوي مائل على -7

الزوجة بنهما.

جب تمام زاوة المل مساحة المنطقة المائلة مساحة مسقط منطقة مائلة على مستو معلوم =

𝛉 قاس زاوة المل 𝜽مساحة المسقط و مساحة المنطقة المائلة و


443

(:2/ د 2013(: )وزاري 4مثال )

إذا وازى أحد ضلع زاوة قائمة مستوا معلوما فأن مسقط ضلعهما على المستوي متعامدان.

B قائمة ف ∢ المعطات:

هو مسقط على

هو مسقط على

'A'B' ┴ B'C المطلوب إثباته:

البرهان:

مسقط

مسقط

)مسقط قطعة مستقم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودن

طرف القطعة المستقمة(المرسومن على المستوي من

)المستقمان العمودان على مستو واحد متوازان(

نعن بالمستقمن المتوازن

نعن بالمستقمن المتوازن

لكن )معطى(

)تقاطع المستوان بخط مستقم(

تقمات الناتجة من تقاطع هذا ــــ)إذا وازى مستقم مستوا معلوما فأنه وازي جمع المس

المستقم(المستوي والمستوات الت تحوي

كذلك )المستقم العمودي على مستوي كون عمودا على جمع المستقمات المرسومة من أثره

ضمن ذلك المستوي(

( ف المستوي الواحد: المستقم العمودي على أحد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر )

لكن معطى( 𝟗𝟎 ∢ ) ألن

)المستوي العمودي على أحد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر(

على جمع المستقمات المرسومة من أثره )المستقم العمودي على مستوي كون عمودا

ضمن ذلك المستوي(.

م(. )و. هـــ

( حتوهما لكل مستقمن متوازن وجد مستو وحد)

يحتويهما

)معطى(


444

(: 5مثال )

مثلث, فإذا كان °𝟔𝟎قاسها والمستوي والزاوة الزوجة بن مستوي المثلث

ثاام جااد مساااحة مسااقط علااى مسااقط المثلااث جااد 𝟏𝟎 𝟏𝟑

ABC ∆على .

المعطات:

°𝟔𝟎 – – قاس

𝟏𝟑 𝟏𝟎

على إجاد مسقطالمطلوب إثباته: على وإجاد مساحة مسقط

البرهان:

)مكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة( ف نرسم

مسقط

مسقط

مسقط نفسه على

على مسقط

نرسم ف )ف المستوى الواحد مكن رسم مستقم عمود على آخر من نقطة معلومة( ف

)معطى( وبما أن

)العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقن على القاعدة نصفها( 𝟓

)نتجة مبرهنة االعمدة الثالثة(

للزاوة الزوجة عائدة ∢ )تعرف الزاوة العائدة(

°𝟔𝟎 لكن قاس الزاوة الزوجة )معطى(

𝟏𝟔𝟗√ : القائم ف ف 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐

𝟔𝟎 : القائم ف ف

⇒

𝟏

𝟐

𝟏𝟐 ⇒ 𝟔

𝟏

𝟐 𝟏𝟎 𝟔 BCDمساحة المثلث = 𝟐 𝟑𝟎

)و. هـ .م(

)مسقط قطعة مستقم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودن

من طرف القطعة المستقمة( المرسومن على المستوي


445

تمارين

المعلوم قطه على المستويـــاوي طول مســـــلوم ستو معــتقم الموازي لمســبرهن أن طول قطعة المس / 1س

( 1 / د 2016و 1 / د 2014و 1/ د 2011)وزاري ووازه.

المعطات:

مسقط على


أوال :

ثانا :

البرهان:

مسقط )معطى( على

ومن ـ)مسقط قطعة مستقم على مستو هو القطعة المحددة بأثري العمودن المرس عمودان على

من طرف القطعة على المستوي(

)المستقمان العمودان على مستو واحد متوازان(

)لكل مستقمن متوازن وجد مستو وحد حتوهما( نعن بالمستقمن المتوازن

)معطى(

)مستقم تقاطع مستون وازي كل مستقم محتوى ف احدهما ووازي اآلخر(

)إذا وازى مستقم مستوا معلوما فأنه وازي جمع المستقمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي أو

مع المستوات الت تحوي هذا المستقم(

(1)و. هـ . م( )

)ألن كل ضلعن متقابلن فه متوازن(متوازي أضالع الشكل

) كل ضلعن متقابلن فه متساون بالطول(خواص متوازي األضالع

(2)و. هـ . م( )


446

توان متوازان بمستقم فأن مله على احدهما ساوي مل اآلخر عله.ـــبرهن أنه إذا قطع مس / 2س

(3/ د 2015)وزاري و (2/ د 2012)وزاري

المعطات:

{ }

{ }


على مل على مل

البرهان:

( مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة ) نرسم

)معطى(

)المستقم العمودي على أحد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر( ف نقطة

على مسقط

على مسقط وكذلك

على ه زاوة مل 𝟏∢

على ه زاوة مل 𝟐∢

( متوازانخطأ تقاطع مستون متوازن بمستو ثالث )

( مستوهما ىقاسهما وتواز ىإذا وازى ضلعا زاوة ضلع زاوة أخرى تساو ) 𝟐 ∢ 𝟏∢

على مل على مل

)و. هـ . م(

)مسقط قطعة مستقم غر عمودة على مستو معلوم هو قطعة المستقم

المحددة بأثري العمودن المرسومن من طرف القطعة على المستوي(

زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ها الزاواة المحاددة )

( يالمستوذلك بالمائل ومسقطه على


447

ن على أن للمستقمات المتوازة المائلة على مستو المل نفسه.هبر / 3س

(3/ د 2013( )وزاري 3/ د 2011) وزاري

المعطات:

وكل منهما مائل على


على قاس زاوة مل = على قاس زاوة مل

البرهان:

ف لكن

ف لكن و

على مسقط

على مسقط

على ه زاوة مل ∢ 1

على ه زاوة مل ∢ 2

( معطى )

( المستقمان العمودان على مستو متوازان )

( قاسهما وتوازي مستوهما ىضلعا زاوة ضلع زاوة أخرى تساو إذا وازى ) 𝟒 ∢ 𝟑∢

تقمات ــــع المسـتوي كون عمودا على جمــتقم العمودي على مســالمس ) 𝟗𝟎° 𝟔∢ 𝟓∢

المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي (

∢ 𝟏 °𝟏𝟖𝟎مجموع قاسات زواا المثلث ) 𝟐 ∢ )

على زاوة مل قاس على مل زاوةقاس

)و. هـ. م(

( مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

مسااقط قطعااة مسااتقم غاار عمودااة علااى مسااتو معلااوم هااو قطعااة المسااتقم )

( من من طرف القطعة على المستويالمحددة بأثري العمودن المرسو

الزاوة المحددة زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ه )

( بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم


448

برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان ف الطول من نقطة ال تنتم إلى مستو معلوم فإن أطولهما زاوة / 4س

على المستوي أصغر من زاوة مل اآلخر عله. همل

المعطات:


زاوة مل زاوة مل على على

البرهان:

لكن ( مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو من نقطة ال تنتم إله )

على مسقط

على مسقط

𝛉𝟏 ∢ على ه زاوة مل

𝛉𝟐 ∢ على ه زاوة مل

( معطى )

𝟏

𝟏

)خواص التراجح(

نتج: وبضرب طرف المتراجحة بـ

𝜽𝟏 𝜽𝟐 ( الطرفن ألن دالة رفع بو )دالة متزادة

𝛉𝟏 𝜽𝟐


)و. هـ. م(

عمودااة علااى مسااتو معلااوم هااو قطعااة المسااتقم مسااقط قطعااة مسااتقم غاار )

( من من طرف القطعة على المستويالمحددة بأثري العمودن المرسو

ددة زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ه الزاوة المح )

( المستوي ذلك بالمائل ومسقطه على


449

برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما إلى مستو فأصغرهما مال هو األطول. / 5س

المعطات:

مائالن على



البرهان:

لكن ( مكن رسم مستقم عمودي على مستو من نقطة ال تنتم إله )

مسقط على

وكذلك مسقط على

𝛉𝟏

ه زاوة مل ∢ على

𝛉𝟐

ه زاوة مل ∢ على

∢ 𝛉𝟏 ∢ 𝜽𝟐

للطرفن: وبأخذ دالة الـ

𝛉𝟏 𝛉

𝟐

ADبقسمة طرف المتراجحة على و

𝟏

𝟏

: وبقلب التراجح نتج

( خواص التراجح )

)و. هـ . م(

مسقط قطعة مستقم غار عموداة علاى مساتو معلاوم هاو قطعاة المساتقم )

( القطعة على المستويمن من طرف المحددة بأثري العمودن المرسو

زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ه الزاوة المحددة )

( بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم


451

برهن على أنه زاوة المل بن المستقم ومسقطه على مستو أصغر من الزاوة المحصورة بن المستقم / 6س

(3/ د2012)وزاري من موقعه ضمن ذلك المستوي.مرسوم نفسه وأي مستقم آخر

المعطات:

, مائل على مسقط على

∢ , محددة بـ و

محددة بـ ∢ و


∢ ∢

البرهان:

نرسم )مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتم إله(

ونرسم مستوي معلوم من نقطة ال تنتم إله( )مكن رسم مستقم وحد عمودي على

𝜽𝟐 ∢ 𝜽𝟏 ∢ لتكن

مسقط )معطى( على

AC AD )العمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بن النقطة المعلومة والمستوي(

ABوبالقسمة على

)خواص التراجح(

𝜽𝟏 𝜽𝟐

𝜽𝟏 𝜽𝟐

∢ ∢

)و. هـ. م(


451

المجسمات

سبق للطالب دراسة المجسمات ف المرحلة المتوسطة ونلخص فما ل قوانن الحجوم والمساحات الجانبة

أن الحدث عن حجم مجسم نقصد به حجم المنطقة ف الفراغ )الفضاء( الواقعة والكلة لبعض المجسمات علما

داخل المجسم كما ف الجدول:

Right Prismالموشور )المنشور القائم ( – 1

الرسم

الحجم

Volume االرتفاع× مساحة القاعدة

المساحة الجانبة

Lateral Area االرتفاع× مجموع مساحات األوجه الجانبة = محط القاعدة

المساحة الكلة

Total Area المساحة الجانبة + مساحة القاعدتن

Parallel pipedمتوازي السطوح المستطلة ) متوازي المستطالت ( – 2

الرسم

الحجم

Volume


Lateral Area 𝟐


Total Area 𝟐 𝟐


452

Cubeالمكعب –3

الرسم

الحجم

Volume 𝟑


Lateral Area 𝟒 𝟐


Total Area 𝟔 𝟐

Right Circular Cylinderاألسطوانة الدائرة القائمة –4

الرسم

الحجم

Volume 𝟐


Lateral Area 𝟐


Total Area 𝟐 𝟐 𝟐


453

Pyramidالهرم –5

الرسم

األرتفاع الجانب

الحجم

Volume 𝟏

𝟑


Lateral Area 𝟏

𝟐( محيط القاعدة) ( طول األرتفاع الجانبي)


Total Area مساحة القاعدة المساحة الجانبية

Right Circular Coneالمخروط الدائري القائم –6

الرسم

الحجم

Volume 𝟏

𝟑 𝟐


Lateral Area


Total Area 𝟐

∶ مساحة القاعدة 𝒃

األرتفاع ∶ 𝒉


454

Sphereالكرة –7

الرسم

الحجم

Volume

𝟒

𝟑 𝟑


Total Area

دوائر عظمة 4= مساحة مساحة مسطح الكرة

𝟐

مالحظة:

ذو الوجوه األربعة المنتظم: هرم ثالث قائم منتظم أوجهه االربعة مثلثات متساوة األضالع ومتطابقة. - 1

إذا قطع المخروط الدائري بمستوي مار من أحد مولداته فأن المقطع مثلث وكون المثلث ف المخروط الدائري - 2

القائم متساوي الساقن.


455

تمارين

𝟐 𝟕𝟐𝟒إذا كانت المساحة الكلة لمتوازي المستطالت / 1س 𝟐 𝟏𝟑𝟐ومساحة قاعدته ومساحة

𝟐 𝟏𝟏𝟎احد أوجهه الجانبة جد ابعاده وحجمه.

متوازي مستطالت ABCD – EFGHالمعطات:

𝟐 𝟕𝟐𝟒مساحته الكلة

𝟐 𝟏𝟏𝟎 ومساحة الوجه الجانب CBFG

𝟐 𝟏𝟑𝟐 ومساحة القاعدة EFGH

المطلوب إثباته: ABCD – EFGHإجاد أبعاد متوازي المستطالت - 1 ABCD – EFGHإجاد حجم متوازي المستطالت - 2

المساحة الجانبة لمتوازي المستطالت لتكن البرهان: الكلة لهالمساحة

حجمه ارتفاعه عرض قاعدته طول قاعدة متوازي المستطالت ولكن

𝟕𝟐𝟒 – 𝟐 𝟏𝟑𝟐 𝟕𝟐𝟒 – 𝟐𝟔𝟒 𝟒𝟔𝟎 𝟐

– 𝟒𝟔𝟎 مساحة الوجهن المتقابلن 𝟐 𝟏𝟏𝟎

𝟐𝟒𝟎 𝟐

𝟐 𝟏𝟐𝟎 مساحة الوجه

𝟏𝟑𝟐 ⇒ 𝟏𝟑𝟐

معادلة 𝟏

𝟏𝟐𝟎 ⇒ 𝟏𝟐𝟎

معادلة 𝟐

𝟏𝟏𝟎 ⇒ 𝟏𝟑𝟐

𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟏𝟎 ⇒ 𝟏𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟑𝟐 𝟏𝟐𝟎

𝟐 𝟏𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟏𝟎 𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎

𝟑 𝟏𝟑𝟐𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟐 الحجم


456

أوجد ارتفاعها ونصف 𝟑 𝟐𝟎𝟎𝟎وحجمها 𝟐 𝟒𝟎𝟎اسطوانة دائرة قائمة مساحتها الجانبة / 2س

(2د / 2015و )وزاري (2د / 2014)وزاري قطر قاعدتها.

المعطات:

𝟐 𝟒𝟎𝟎 مساحتها الجانبة اسطوانة دائرة قائمة

𝟑 𝟐𝟎𝟎𝟎وحجمها


إجاد ارتفاع االسطوانة الدائرة القائمة. - 1

االسطوانة الدائرة القائمة. إجاد نصف قطر - 2

البرهان:

, وحجمها , وارتفاعها لكن طول نصف قطر االسطوانة الدائرة القائمة

ومساحتها الجانبة

االرتفاع× المساحة الجانبة = محط القاعدة

𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐 ( تقسيم 𝟐)⇒ 𝟐𝟎𝟎 𝟏

𝟐 االرتفاع × حجم االسطوانة = مساحة القاعدة

𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟐 ( تقسيم )⇒ 𝟐 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟐

(:1( على معادلة )2وبقسمة معادلة )

𝟐

𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎 ⇒ 𝟏𝟎

( نتج:1ف معادلة ) وبتعوض قمة

𝟏𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⇒ 𝟐𝟎

)و. هـ. م(


457

هو Lبرهن على أن حجم ذو الوجوه االربعة المنتظم والذي طول حرفه / 3س√𝟏𝟐

𝟏𝟐 وحدة مكعبة. 𝟑

(3/ د 2014)وزاري و (1/ د 2012)وزاري

.Lذو الوجوه االربعة المنتظم وطول حرفه A – DBCالمعطات:

وحدة مكعبة المطلوب إثباته: √𝟏𝟐

𝟏𝟐 = الحجم 𝟑

البرهان: ذو الوجوه االربعة المنتظم هو هرم ثالث قائم منتظم أوجهه

االربعة مثلثات متساوة االضالع ومتطابقة.

مثلث متساوي االضالع. BCDالقاعدة

)العمود النازل من رأس مثلث متساوي على القاعدة فنصفها BCD ∆نرسم االعمدة المنصفة من رؤوس الساقن على القاعدة نصفها(

°𝟔𝟎 قاس كل زاوة من زواا المثلث المتساوي االضالع

∢ 𝟑𝟎°

لكن ارتفاع ذو الوجوه االربعة المنتظم

∆ BEF 𝟑𝟎 قائم الزاوة ف

√𝟑

𝟐

𝟏𝟐

⇒

√𝟑

∆ AEB قائم الزاوة فE المستقم العمودي على مستو كون عمودا على جمع المستقمات المرسومة من( أثره ضمن ذلك المستوي(

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑 ⇒ 𝟐 𝟐

𝟐

𝟑 ⇒ 𝟐

𝟐

𝟑 𝟐 ⇒

√𝟐

√𝟑

حجم الهرم = 𝟏

𝟑 االرتفاع× مساحة القاعدة

𝟏

𝟑 *

√𝟑

𝟒 𝟐+ (

𝟏

𝟏𝟐) (√𝟑 𝟐) (

√𝟐

√𝟑 )

√𝟐

𝟏𝟐 𝟑

)و. هـ. م(

: مالحظة

حيث 𝒍 هو طول الحرف للهرم

√𝟑

𝟒𝑳𝟐 لهرما مساحة مثلث متساوي األضالع مساحة قاعدة


458

, cm 8مخروط دائري قائم مر برأسه مستو فقطع قاعدته بقطعة مستقم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار / 4س

𝟐 𝟏𝟎𝟐فإذا كانت مساحة المقطع أحسب: 𝟏𝟓 وارتفاع المخروط

مساحته الكلة.③مساحته الجانبة. ②حجمه. ①

(1د / 2015)وزاري المعطات:

, فإذا كانت cm 8مخروط دائري قائم مر برأسه مستو فقطع قاعدته بقطعة مستقم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار

𝟐 𝟏𝟎𝟐مساحة المقطع 𝟏𝟓 وارتفاع المخروط


حساب حجم المخروط. - 1

حساب مساحته الجانبة. - 2

حساب مساحته الكلة. - 3

البرهان:

, مثل الحجم V , ومثل االرتفاع , ومثل طول نصف قطر قاعدة المخروط لكن

L.A المساحة الجانبة = ,L =AB ومثل االرتفاع الجانب ,T.A =.المساحة الكلة

على جمع المستقمات لعمودي على مستوالمستقم ا ) Dالقائم الزاوة ف ADEف المثلث ي كون عمودا

(المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي

𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟖 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟔𝟒 𝟐𝟖𝟗 ⇒ √𝟐𝟖𝟗 𝟏𝟕

, مستوي القاعدةعمودي على )ألنه بعد بن نقطة ومستقم(

( مبرهنة االعمدة الثالثة )

𝟏𝟐 مساحة المثلث𝟏

𝟐 𝟏𝟕 𝟏𝟎𝟐

𝟏

𝟐

)العمود النازل من مركز دائرة على وتر فها نصفه( BE = ECولكن

E: 𝟐القائم الزاوة ف DEBف المثلث 𝟐 𝟐

𝟐 𝟑𝟔 𝟔𝟒 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 𝟏𝟎

D: 𝟐القائم الزاوة ف ADBف المثلث 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟐𝟓 ⇒ 𝟓√𝟏𝟑

حجم المخروط = 𝟏

𝟑 االرتفاع× مساحة القاعدة

(1و. هـ. م ) 𝟏

𝟑 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟓 𝟓𝟎𝟎 𝟑

المساحة الجانبة للمخروط = 𝟏

𝟐 نبااالرتفاع الج× محط القاعدة

(2و. هـ. م ) 𝟏

𝟐 𝟐 𝟏𝟎 (𝟓√𝟏𝟑) 𝟓𝟎√𝟏𝟑 𝟐

المساحة الكلة للمخروط = المساحة الجانبة + مساحة القاعدة

𝟏𝟑√) 𝟓𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟑√𝟓𝟎 (3و. هـ. م ) 𝟐) 𝟐


459

. مكن رسم كرة خارج ذو االوجه االربعة المنتظم هإذا علمت أن / 5س

برهن أن نصف قطر الكرة =

(1/ د2011)وزاري االرتفاع

المعطات:

خارج ذو االوجه االربعة Cرسمت الكرة الت مركزها

D – EFGالمنتظم


نصف قطر الكرة = 𝟑

𝟒 رتفاعاال

البرهان:

.ذو االوجه االربعة المنتظم هو هرم ثالث قائم منتظم, أوجهه االربعة مثلثات متساوة االضالع ومتطابقة

وطول نصف ه ــــــوحجم اع الهرم ـــــوارتف احة القاعدةــــــلتكن مس

قطر الكره

الحجم لتساوي القاعدة واالرتفاع وه:بإلى أربعة اهرامات متساوة D – EFGقسم الهرم الكبر Cمركز الكرة

C – DEF و C – GDE و C – FGD و C – EFG وارتفاع كل منها –

– حجم ذي الوجوه االربعة 𝟒 حجم الهرم

𝟒

𝟏

𝟑 𝟒 (

𝟏

𝟑 )

)وبالقسمة على 𝟏

𝟑 نحصل على: (

𝟒 –

𝟒 – 𝟒

𝟒 𝟒 –

𝟒 𝟑 ⇒ 𝟑

𝟒

)و. هـ. م(


461

حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل السادس


𝟑 𝟏𝟖𝟎إذا كانت المساحة الكلة لمتوازي المستطالت / 1س 𝟑 𝟒𝟖ومساحة قاعدته ومساحة

𝟑 𝟐𝟒احد أوجهه الجانبة جد ابعاده وحجمه.

متوازي مستطالت ABCD – EFGHالمعطات:

𝟑 𝟏𝟖𝟎مساحته الكلة

𝟑 𝟐𝟒 ومساحة الوجه الجانب CBFG

𝟑 𝟒𝟖 ومساحة القاعدة EFGH

المطلوب إثباته: ABCD – EFGHإجاد أبعاد متوازي المستطالت - 1 ABCD – EFGHإجاد حجم متوازي المستطالت - 3

المساحة الجانبة لمتوازي المستطالت لتكن البرهان: له المساحة الكلة

حجمه ارتفاعه عرض قاعدته طول قاعدة متوازي المستطالت ولكن

𝟏𝟖𝟎 – 𝟐 𝟒𝟖 𝟏𝟖𝟎 – 𝟗𝟔 𝟖𝟒 𝟐

– 𝟖𝟒 مساحة الوجهن المتقابلن 𝟐 𝟐𝟒

𝟑𝟔 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 مساحة الوجه

𝟒𝟖 ⇒ 𝟒𝟖

معادلة 𝟏

𝟏𝟕 ⇒ 𝟏𝟖

معادلة 𝟐

𝟐𝟒 ⇒ 𝟒𝟖

𝟏𝟖

𝟐𝟒 ⇒ 𝟐𝟒 𝟐 𝟒𝟖 𝟏𝟖

𝟐 𝟒𝟖 𝟏𝟖

𝟐𝟒 𝟑𝟔

𝟔 𝟖 𝟑

𝟑 𝟏𝟒𝟒 𝟑 𝟖 𝟔 الحجم

Education

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي 2017 الأستاذ علي حميد