פרק 3ב גיאומטריה אנליטית מעגל

מעודכן לשנת תשע"ג לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות

"מעגל" כתב וערך יוסי דהן –אנליטית -ב' 3חלק

0

0

30803יחידה שלישית :

א' 1חלק

חקירות פונקציה:

פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש

'ב1חלק

משוואת משיק


2חלק

אינטגרל : פונקציה קדומה ומציאת שטח

פונקציה של פולינום בלבד

א'0חלק

מטריה אנליטית: מאונך מקבילגיאו

ב'0חלק

גיאומטריה אנליטית: מעגל

4חלק

בעיות קיצון :


3חלק

בעיות מילוליות:

תנועה, קנייה ומכירה,

כתב וערך: יוסי דהן



1

1

משוואת המעגל מציאת . א

תשס"ז מועד ג' קיץ 03330מבחן בגרות :1שאלה מספר

.ABCD )10,8(Bבריבוע

9היא ACמשוואת האלכסון 21 xy

62היא BDמשוואת האלכסון xy

.Dדקוד ת חיתוך האלכסונים ואת שיעורי הקמצא את שיעורי נקוד . א

.ABCDוואת המעגל החוסם את הריבוע מצא את מש .ב

פתרון:

.Dואת שיעורי הקדקוד M מצא את שיעורי נקודת חיתוך האלכסונים )א(

.ABCDמצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע )ב(

:סופית תשובה

D)2,4( -ו M)6,6(האלכסונים חיתוך )א(

)6()6(20)ב( 22 yx

מציאת רדיוס המעגל2

R

20

)86()106(

)()(

),(),(

)6,6()10,8(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MB

משוואת המעגל

20)6()6(

)()(

20)6,6(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

4

812

2

)8(6

2

2

2

21

D

M

x

x

x

xxx

2

1012

2

)10(6

2

2

2

21

D

M

y

y

y

yyy

)2.4(D

11 ,

)10,8(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)6,6(

D D B

Dנקודה

Mנקודה

6

152

692

962

21

21

21

x

x

xx

xx

yy ACBD

)6,6(

6

6)6(2

6

62

M

y

y

x

xy

)2,4(

)6,6(

20)6(6 22 yx

A

C

B

x

M

D

y )10,8(



2

2

מועד ב' תש"ע 03830מבחן בגרות : 2שאלה מספר

)ראה ציור(. O)0,0(עובר דרך ראשית הצירים )4,2(מעגל שמרכזו

מצא את רדיוס המעגל. (1. )(א)

שוואת המעגלאת מ רשום( 2)

2שלה הוא y –ששיעור ה Aהנקודה

ברביע השני.על המעגל, ונמצאת

.Aשל הנקודה x –מצא את שיעור ה (ב)

, Bבנקודה נוספת x –המעגל חותך את ציר ה .(ג)

.(ראה ציור) Cבנקודה נוספת yואת ציר ה

? נמק BCלמיתר מקביל AOהאם המיתר

.AOBחשב את שטח המשולש (ד)

פתרון:

המעגל ( מצא את משוואת2מצא את רדיוס המעגל. ) (1) (א)

, ונמצאת ברביע השני.2שלה הוא y –ששיעור ה Aהנקודה ( ב)

.Aשל הנקודה x –מצא את שיעור ה

ברביע השני A(-2,2הנקודה )

.


R

47.420

20

)04()02(

)()(

),(),(

)4,2()0,0(

22

222

2

12

2

12

2

2211

R

dR

d

yyxxd

yxyx

MO


20)4()2(

)()(

20)4,2(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Aנקודה

)2,2(

26

2424

24

162

420)2(

204)2(

20)42()2(

2

20)4()2(

21

2

2

22

22

A

xx

xx

x

x

x

x

x

y

yx

A

B

C

x

M

o

y

)0,(x

)4,2(

)0,0(

),0( y

)2,2(

20)4(2 22 yx



3

3

Cבנקודה נוספת y, ואת ציר ה Bבנקודה נוספת x –המעגל חותך את ציר ה ( ג)

? נמק BCמקביל למיתר AOהאם המיתר ראה ציור.

לא מקביליםכן הישרים שיפועים לא זהים ל

.AOBחשב את שטח המשולש (ד)

: סופית תשובה

47.420 (1א) R (2)א 20)4(2 22 yx (ב) 2Ax

BCAO (ג) mm 4 )ד( שיפועים לא זהים לכן הישרים לא מקביליםAOBS

Bנקודה

)0,4(

40

2222

22

42

1620)2(

2016)2(

20)40()2(

0

20)4()2(

21

2

2

22

22

B

xx

xx

x

x

x

x

x

y

yx

Cנקודה

)8,0(

80

4444

44

164

420)4(

204)4(

20)4()20(

0

20)4()2(

21

2

2

22

22

C

yy

yy

y

y

y

y

y

x

yx

AOשיפוע

1

12

2

)0()2(

)0()2(

),(),(

)0,0()2,2(

2211

AO

AO

m

m

yxyx

OA

BCשיפוע

2

4

8

)4()0(

)0()8(

),(),(

)0,0()2,2(

2211

BC

BC

m

m

yxyx

CB

4

2

24

22

AOB

AOB

a

S

S

AHOBhaS

A

B

C

x

M

o

y

)0,4(

)4,2(

)0,0(

)8,0(

)2,2(

20)4(2 22 yx

A

B

x o )0,4(

)0,0(

)2,2(

2d

4d H



4

4

ח"חורף תשסמועד 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר

y –מונח על ציר ה ABCDשל המלבן Cקדקוד

x –של המלבן מונח על ציר ה Bוקדקוד

) ראה ציור (

. 10הוא Aשל קדקוד x -שיעור ה

82היא ABומשוואת הצלע xy

BCל הצלע . מצא את השיפוע שא

.Cואת שיעורי הקדקוד Bמצא את שיעורי הקדקוד ב.

משוואת המעגל. הוא קוטר במעגל מצא את ACג.

.x -נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה )ד( מצא את

פתרון:

BCשל הצלע המשוואהאת ו Bמצא את שיעורי הקדקוד (א)

BCשל הצלע מצא המשוואה

.Cואת שיעורי הקדקוד Aמצא את שיעורי הקדקוד )ב(

BCמשוואת

2

)4(0

)0,4(

)(

21

21

21

11

xy

xy

m

xxmyy

BCשיפוע

212 BCAB mm

שיפוע הופכי נגדי

Bנקודה

)0,4(

4

28

820

0

82

B

x

x

x

y

xy

Cנקודה

)2,0(

2

2)0(

0

2

21

21

C

y

y

x

xy

Aנקודה

)12,10(

12

8)10(2

10

82

C

y

y

x

xy

A

B

C x

M

Dy

)0,(x

),10( y

),0( y

A

B

C x

M

Dy

)0,4(

),10( y

),0( y



5

5

משוואת המעגל. הוא קוטר במעגל מצא את AC (ג)

.x -נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה )ד( מצא את


)א( 212 BCAB mm 2

21 xyBC

)2,0()12,10( B)0,4( )ב( CA

)5()7(50)ג( 22 yx )0,4()0,6( )ד(


R

50

)27()05(

)()(

),(),(

)7,5()2,0(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


50)7()5(

)()(

50)4,2(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

x-חיתוך עם ציר ה

50)70()5(

0

50)7()5(

22

22

x

y

yx

)0,4()0,6(

46

51

15

4950)5(

21

2

xx

x

x

x

50)7(5 22 yx

A

B

C x

M

Dy

)0,4(

)12,10(

)2,0(

)7,5(

)0,6(

A

B

C x

M

Dy

)0,4(

)12,10(

)2,0(

5

2

)10()0(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

7

2

)12()2(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)7.5(M

yx ,

)2,0(

1

),( MM yx

22 ,

)12,10(

yx

A M C

מרכז המעגל



6

6

תשס"ה מועד חורף 03330 מבחן בגרות :4שאלה מספר

( B = 090) זווית ABCבמשולש ישר זווית

)ראה ציור( x –נמצא על ציר ה Cדקוד ק

)4,5()2,1(נתון AB

.BCמצא את המשוואה של (א)

.Cמצא את שיעורי הנקודה )ב(.

. ACמצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא (ג)

נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ב' ? נמק. Bהאם הנקודה (ד)

פתרון:

.Cמצא את שיעורי הנקודה )א(

. ACמצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא ( ב)

נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ב' ? נמק. Bהאם הנקודה )ג(


142)א( xyBC (ב ))0,7(C

)4()1(10( ג) 22 yx .)כן)ד

BCמשוואת

142

4102

)5(24

2)4,5(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

.ABשיפוע

2

1

4

2

)1()5(

)2()4(

),(),(

)4,5()2,1(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

BCשיפוע

221 BCAB mm



R

10

)21()14(

)()(

),(),(

)1,4()2,1(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


10)1()4(

)()(

10)1,4(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Cנקודה

)0,7(

7

142

1420

0

142

C

x

x

x

y

xy


1010

10)14()45(

)4,5(

10)1()4(

22

22

B

yx

10)1(4 22 yx

C

A

x

M

B y

)2,1(

)4,5(

)0,7(

)1,4(

מרכז המעגל

4

2

)1()7(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

1

2

)2()0(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)1.4(M

11 ,

)0,7(

yx

),( MM yx

22 ,

)2,1(

yx

A M C



7

7

ע"אתש 2311א' קיץ מועד 30803מבחן בגרות :3שאלה מספר

ABC (090 ∢ABC= )במשולש ישר זווית

)8,10()4,2( :נתון AB

)ראה ציור( x –נמצא על ציר ה Cקדקוד ה

.BC)א(. מצא את משוואת הצלע

.C)ב(. מצא את שיעורי הנקודה

.ACאת משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא מצא . )ג(

נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ג' ? נמק. Bהאם הנקודה . )ד(

פתרון:

.Cמצא את שיעורי הנקודה )א(

. ACמצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא ( ב)

נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ב' ? נמק. Bהאם הנקודה )ג(

: ה סופיתתשוב

282. (א) xyBC )ב(.

)0,14(C

)8()2(40. )ג( 22 yx )כן)ד

BCמשוואת

282

8202

)10(28

2)8,10(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

.ABשיפוע

2

1

8

4

210

48

),(),(

)8,10()4,2(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

BCשיפוע

221 BCAB mm


יוס המעגלמציאת רד2

R

40

)42()28(

)()(

),(),(

)2,8()4,2(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


40)2()8(

)()(

40)1,4(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Cנקודה

)0,14(

14

282

2820

0

282

C

x

x

x

y

xy


4040

40)28()810(

)8,10(

40)2()8(

22

22

B

yx

8

2

)2()14(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

2

2

)4()0(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)2.8(M

11 ,

)0,14(

yx

),( MM yx

22 ,

)4,2(

yx

A M C

מרכז המעגל

40)2(8 22 yx

C

A

x

M

B y

)4,2(

)8,10(

)0,14(

)2,8(



8

8

מועד חצב / ברק תשס"ז 03330מבחן בגרות : 6שאלה מספר :6שאלה מספר

)4,1()0,9(הם : ABקצות הקטע AB

העבירו אנך לקטע . ABדרך אמצע הקטע

.ABמצא את אמצע הקטע (1) א.

מצא את משוואת האנך. (2)

.ABמצא את משוואת המעגל שקוטרו ב.

את האנך , Cחותך בנקודה 4yהישר ג.

Cקבע אם נקודה (2בתת סעיף א )שאת משוואתו מצאת

נמק על ידי חישוב ABנמצאת על המעגל שקוטרו

פתרון:

( מצא את משוואת האנך.2) .AB( מצא את אמצע הקטע 1) (א)

.ABמצא את משוואת המעגל שקוטרו ( ב)

( 2את האנך , שאת משוואתו מצאת בתת סעיף א ) Cחותך בנקודה 4yהישר ( ג)

נמק על ידי חישוב ABנמצאת על המעגל שקוטרו Cקבע אם נקודה


)2,5(( 1)א M 82( 2)א xyהאנך

)ב( 20)2()5( 22 yx 2045 לא)ג(


R

20

)02()95(

)()(

),(),(

)2,5()0,9(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


20)2()5(

)()(

20)2,5(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

.ABשיפוע

2

1

8

4

91

04

),(),(

)4,1()0,9(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

האנךשיפוע

221 BCAB mm


האנךמשוואת

82

2102

)5(22

2)2,5(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Cנקודה

)4,2(

2

42

824

4

82

C

x

x

x

y

xy


2045

20)24()52(

20)2()5(

)8,10(

22

22

yx

B

לא

5

2

)1()9(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

2

2

)0()4(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)2.5( M

11 ,

)4,1(

yx

),( MM yx

22 ,

)0,9(

yx

A M B

20)2(5 22 yx

C

A M B

)4,1(

)4,2(

)0,9(

)2,5(

B

C

A



9

9

"טתשס מועד א' 30803מבחן בגרות :7שאלה מספר

10נמצאת על הישר שמשוואתו Mנקודה ה xy

)ראה ציור( 5yוגם על הישר שמשוואתו

Mמצא את השיעורים של הנקודה א.

רכז המעגל.היא מ Mנקודה ה

)5,1( הנקודה A)נמצאת על מעגל זה. ) ראה ציור

( מצא את רדיוס המעגל.1) .ב

( רשום את משוואת המעגל2)

Cבנקודה y –חותך את ציר ה 5yהישר ג.

10והישר xy חותך את ציר ה– y בנקודהD )ראה ציור (

DCMמצא את שטח המשולש

פתרון:

היא מרכז המעגל. Mהנקודה Mמצא את השיעורים של הנקודה )א(

)5,1(הנקודה A )נמצאת על מעגל זה. ) ראה ציור

מצא את רדיוס המעגל. ( 1ב)

ום את משוואת המעגלרש ( 2ב)

Mנקודה

)5,5(

5

105

5

10

M

x

x

y

xy


R

4

16

)55()15(

)()(

),(),(

)5,5()5,1(

22

222

2

12

2

12

2

2211

R

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


16)5()5(

)()(

16)5,5(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

)5,5(

16)5(5 22 yx

A

y x

M C

D

)5,1(



10

10

10והישר Cבנקודה y –חותך את ציר ה 5yהישר ( ג) xy חותך את ציר ה– y

DMC) ראה ציור( מצא את שטח המשולש Dבנקודה

DCMמצא את שטח המשולש


)5,5(( א) M 4 (1)בR (2ב )5()5(16( 22 yx )5.12 )גDCMS

Cנקודה

)5,0(

0

5

C

x

y

Dנקודה

)10,0(

10

10)0(

0

10

D

y

y

x

xy

5.122

55

2

DMCDMC

a

SS

haS

)5,5(

16)5(5 22 yx

)5,0(

)10,0(

5d

y x

M C

D

5d



11

11

מועד חורף תשס"ז 03330מבחן בגרות :8שאלה מספר

.D –ו Aת בנקודו y –חותך את ציר ה Mמעגל שמרכזו

DB ו– AC הם קטרים במעגל

) ראה ציור (

1היא : ACמשוואת 34 xy

9היא : DBמשוואת 34 xy

.M –, ו A ,Dמצא את השיעורים של הנקודות .א

מצא את משוואת המעגל. .ב

.xמקבילים לציר ה AB –ו DCהראה כי המיתרים .ג

.DMCשולש מצא את שטח המ .ד

פתרון:

.M –, ו A ,Dמצא את השיעורים של הנקודות )א(

מצא את משוואת המעגל. )ב(

Dנקודה

)9,0(

9

9)0(

0

9

34

34

D

y

y

x

xy

Aנקודה

)1,0(

1

1)0(

0

1

34

34

A

y

y

x

xy


R

25

)15()03(

)()(

),(),(

)5,3()1,0(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


25)5()3(

)()(

25)5,3(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Mנקודה

3

28

19

19

32

34

34

34

34

x

x

xx

xx

yy ACBD

)5,3(

5

1)3(

3

1

34

34

M

y

y

x

xy

C

A

D

B

y

x

)5,3(

)1,0(

)9,0(

M



12

12

.xמקבילים לציר ה AB –ו DCהראה כי המיתרים )ג(

בנוסחה של אמצע הקטע Cו B( נחשב את הנקודות 1)

)1,0()1,6(נקודות ל ( 2) BA 1יש להם אותו =y לכן למיתרAB = 0שיפוע

)9,0()9,6(נקודות ל CD 9יש להם אותו =y לכן למיתרDC = 0שיפוע

.x -מקבילים לציר הלכן המיתרים

.DMCמצא את שטח המשולש )ד(


)1,0()9,0()5,3()א( MDA )3()5(25)ב( 22 yx

)9,0()9,6( )ג( CD 0 ABDC mmמקבילים לציר ה- x )12 )דDCMS

122

46

2

DMCDMC

a

SS

haS

Dנקודה

6

)0(6

2

)0(3

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

1

)9(10

2

)9(5

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)1.6(B

11 ,

)9,0(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)5,3(

B M D

Cנקודה

6

)0(6

2

)0(3

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

9

)1(10

2

)1(5

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)9.6(C

11 ,

)1,0(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)5,3(

C M A

C

A

D

B

y

x

)5,3(

)1,0(

)9,0(

M

4d

)9,6(

)1,6(

6d

25)5(3 22 yx



13

13

.2312 קיץ תשע"ב ב' מועד 03803מבחן בגרות : 9שאלה מספר

)ברביע הראשון( Mבציור שלפניך מעגל שמרכזו

. Bבנקודה x -המעגל המשיק לציר ה

AB ו- AC , הם שני מיתרים במעגל המאונכים זה לזה

BC הוא קוטר המעגל

AB )א(. נתון כי משוואת הישר, שעליו מונח המיתר

4היא 21 xy 10ונתון גם כיBC.

. B( מצא את שיעורי הנקודה 1)

. C( מצא את שיעורי הנקודה 2)

( מצא את משוואת המעגל.3)

.AC( מצא את משוואת הישר שעליו מונח המיתר 1)ב( )

. A( מצא את שיעורי הנקודה 2)

.AMCשולש ( חשב את השטח המ3)

פתרון:

B( מצא את שיעורי הנקודה 1א)

. C( מצא את שיעורי הנקודה 2א)

x= 8יש BCלכן לאורך כל הישר xהמשיק מאונך לציר ה Bבנקודה xהמעגל משיק לציר ה .1

. 13הוא Cשל נקודה yלכן שיעור ה BC=10. אורך 2

( מצא את משוואת המעגל.0א)

.AC( מצא את משוואת הישר שעליו מונח המיתר 1)ב

Bנקודה

)0,8(

8

4

40

0

4

21

21

21

B

x

x

x

y

xy

Cנקודה

)10,8(

8

10

C

x

y


25)5()8(

)()(

255)5,8(

22

222

22

yx

Rbyax

RM

ACשיפוע

221 ACAB mm


ACמשוואת

62

10162

)8(210

2)10,8(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Mנקודה

)5,8(

8

5

C

x

y

)5,8(

C

A

B

y

x

M

5R

)0,8(

)10,8(

25)5(8 22 yx



14

14

. A( מצא את שיעורי הנקודה 2)ב

.AMC( חשב את השטח המשולש 0)ב


)8()5(25( 0)א C)0,8(( 2)א B)0,8(( 1)א 22 yx

62( 1)ב xyAC 2,4(( 2)ב(A 10( 0)בAMCS

Aנקודה

4

210

264

624

21

21

21

x

x

xx

xx

yy ACAB

)2,4(

2

6)4(2

4

62

A

y

y

x

xy

)5,8(

C

A

B

y

x

M

5R

)0,8(

)10,8(

25)5(8 22 yx

)2,4( 448

.AMCשטח המשולש

10

2

45

2

AMCS

haS



15

15

"טתשסמועד ב' קיץ 30803 מבחן בגרות :13שאלה מספר

xyמונחות על הישר M –ו Aהנקודות ) ברביע הרביעי ) ראה ציור

. 10הוא Aשל הנקודה x –שיעור ה

.Aשל הנקודה y –מצא את שיעור ה ( 1). א

מראשית הצירים . Aמצא את המרחק הנקודה (2)

.Mמצא את שיערי הנקודה , 50מראשית הצירים הוא Mמרחק הנקודה . ב

) ראה ציור ( y –ולציר ה x –משיק לציר ה Mמעגל שמרכזו . ג

.Mמצא את רדיוס המעגל שמרכזו (1)

רשום את משוואת המעגל.( 2)

.Mמהמרכז A. מצא את מרחק הנקודה ד

פתרון:

. Aשל הנקודה y –מצא את שיעור ה ( 1)א

הצירים .מראשית A( מצא את המרחק הנקודה 2א)

50מראשית הצירים הוא Mמרחק הנקודה ( ב)

.Mמצא את שיערי הנקודה

Aנקודה

)10,10(

)10(

10

A

y

x

xy

(3,3מ) Aהמרחק הנקודה

14.14200

)100()100(

)()(

),(),(

)0,0()10,10(

222

2

12

2

12

2

2211

d

d

yyxxd

yxyx

OA

Mהנקודה

222

2

12

2

12

2

)0()0()50(

)()(

50),()0,0(

xx

yyxxd

dxxMO

)5,5(

525

50

250

22

2

M

x

xx

x

)10,10(

x y

M

A

),( xx



16

16

.Mמצא את רדיוס המעגל שמרכזו y –ולציר ה x –משיק לציר ה Mמעגל שמרכזו ( 1ג)

( 5,0היא ) xהנקודה בציר ה ו x -הרדיוס אנך לציר ה תמשמעו x –המעגל משיק לציר ה

( 5,0-היא ) yהנקודה בציר ה ו y -הרדיוס אנך לציר ה משמעות y –המעגל משיק לציר ה

( רשום את משוואת המעגל.2ג)

.Mמהמרכז Aמצא את מרחק הנקודה (ד)

תשובה סופית:

14.14200( 2)א10y ( 1)א d )5,5()ב( M

)5()5(25)ג( 22 yx 50()דd


R

5

25

)05()55(

)()(

),(),(

)5,5()0,5(

22

222

2

12

2

12

2

2211

R

dR

d

yyxxd

yxyx

M


25)5()5(

)()(

25)5,5(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Mל Aהמרחק הנקודה

071.750

)105()105(

)()(

),(),(

)5,5()10,10(

222

2

12

2

12

2

2211

d

d

yyxxd

yxyx

MA

x y

M

A

25)5(5 22 yx

)5,0(

)0,5(

)5,5(

)10,10(



17

17

"טתשס 2339ברק / מועד חצב 03330מבחן בגרות :11שאלה מספר

Mמעגל שמרכזו בנקודה

,A)0,8(בנקודה x–משיק לציר ה

B)16,0(בנקודה y –וחותך את ציר ה

ראה ציור ( .)

. Mשל הנקודה x –מצא את שיעור ה (1א. )

.Mשל הנקודה y –מצא את שיעור ה ( 2)

את המעגל .מצא את משוו ב.

C)10,2(המעגל שאת משוואתו מצאת בסעיף ב, עובר דרך הנקודה ג.

.AMCחשב את שטח המשולש

פתרון:

. Mשל הנקודה x -מצא את שיעור ה ( 1א. ) x –מאונך לציר ה AMמשמעות הישר x –המעגל משיק לציר ה

)8,( הואו Mשל נקודה x –זהה לשיעור ה Aשל נקודה xלכן שיעור ה yM

.Mשל הנקודה y –מצא את שיעור ה (2)

מצא את משוואת המעגל . .(ב)

MA מרחק

.

22

222

2

12

2

12

2

2211

)(

)0()88(

)()(

),(),(

),8()0,8(

M

M

MA

M

yd

yd

yyxxd

d

yxyx

yMA

MB מרחק

.

22

222

2

12

2

12

2

2211

)16(64

)16()08(

)()(

),(),(

),8()16,0(

M

M

MB

M

yd

yd

yyxxd

d

yxyx

yMB

.

)10,8(

10

32032

2563264

)25632(64

)16(64

22

22

22

M

y

y

yyy

yyy

yy

dd MBMA

Rמציאת 2

.10010

)(

22

222

R

ydR M


100)10()8(

)()(

100)6,8(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

B

C M

A

x

y



18

18

C( - 2, 13המעגל שאת משוואתו מצאת בסעיף ב' עובר דרך הנקודה ) .(ג)

.AMCאת שטח המשולש חשב


)8()10(100)ב(. 10y( 2)א 8x( 1)א 22 yx .)50)גAMCS

502

1010

22

AMC

AMC

a

S

ACAMS

haS

)0,8(

x

y

M

A

100)10(8 22 yx

)16,0( B

C

)10,2()10,8(

10R

10R



19

19

תשס"ז 2337נובמבר מועד 03330מבחן בגרות :12שאלה מספר

.5רדיוסו ו Mשמרכזו נתון מעגל

A)0,3() בנקודה x –המעגל משיק לציר ה

)ראה ציור( C –ו B)1,0( בנקודות y –וחותך את ציר ה

מצא את משוואת המעגל. א.

.BCחשב את אורך הקטע ב.

הוא קוטר על המעגל CD –היא נקודה על המעגל כך ש D ג.

.Dמצא את שיעורי נקודה

.ABDחשב את שטח המשולש ד.

פתרון:

מצא את משוואת המעגל.)א(.

x –מאונך לציר ה AMמשמעות הישר x –המעגל משיק לציר ה

)3,( והוא Mשל נקודה x –זהה לשיעור ה Aשל נקודה xלכן שיעור ה yM

לכן נקודה 5אורך הרדיוס

.BC. חשב את אורך הקטע (ב)

Mשל הנקודה y –שיעור ה

.

)5,3(

5

25

)0()33(5

),(),(

5),3()0,3(

)()(

2

222

2211

2

12

2

12

2

M

y

y

y

yxyx

RyMA

yyxxd

d MB


25)5()3(

)()(

25)5,3(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Cנקודה

)9,0(

154

954

45

16)5(

25)5()9(

25)5()30(

0

25)5()3(

2

1

2

2

22

22

C

y

y

y

y

y

y

x

yx

BCמרחק

819 BCd

)0,3(

x

y

M

A

C

B

)1,0( D

5R



20

20

.Dהוא קוטר על המעגל מצא את שיעורי נקודה CD –היא נקודה על המעגל כך ש D)ג( .

.ABD)ד(. חשב את שטח המשולש


)3()5(25 )א( 22 yx )9,0()ב(C 8BCd 3ABDS )ד( D)1,6( )ג(

32

16

22

ABD

ABD

a

S

AHBDS

haS

25)5(3 22 yx

)0,3(

x

y

M

A

)9,0( C

B

)1,0( D

5R

)5,3(

)1,6(

Dנקודה

6

06

2

03

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

1

910

2

95

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)1.6(D

11 ,

)9,0(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)5,3(

D M C

25)5(3 22 yx

)0,3(

x

y

M

A

)9,0( C

B

)1,0( D

5R

)5,3(



21

21

ב. נתונה משוואת המעגל

2339 "טתשסמרץ עד מו 30303מבחן בגרות :1שאלה מספר

)5()5(169מעגל שמשוואתו נתון 22 yx ,

. C -ו Aבנקודות x –המעגל חותך את ציר ה

) ראה ציור(. D –ו Bבנקודות y –ואת ציר ה

. A ,B C , Dמצא את שיעורי הנקודות (א)

ADBCהקווים מקבילים (1)הראה כי (ב)

DCAB המרחקים (2)

פתרון:

. A ,B C , Dמצא את שיעורי הנקודות (א)

ADBCהראה כי קווים מקבילים (1ב)

B,Dנקודות

)17,0()7,0(

7512

17512

512

1445

25169)5(

169)5()50(

0

169)5()5(

2

1

2

22

22

DB

y

y

y

y

y

y

x

yx

C,Aנקודות

)0,17()0,7(

7512

17512

512

1445

25169)5(

169)50()5(

0

169)5()5(

2

1

2

22

22

AC

x

x

x

x

x

x

y

yx

.DAשיפוע

1

17

17

170

017

),(),(

)17,0()0,17(

12

12

2211

AD

AD

m

m

xx

yym

yxyx

DA

.BCשיפוע

1

7

7

07

70

),(),(

)0,7()7,0(

12

12

2211

BC

BC

m

m

xx

yym

yxyx

CB

169)5(5 22 yx

x

y

A

C

B

D

)0,17(

)17,0(

)0,7(

)7,0(

B

A C

D

x

y



22

22

DCABהמרחקים הראה כי (2ב)


)0,17()7,0()0,7()17,0( )א( DCBA

1. (1)ב ADBC mm (2ב )338 DCAB md

B -ל Aהמרחק

38.18

338

)07()170(

)()(

),(),(

)7,0()0,17(

222

2

12

2

12

2

2211

AB

AB

d

d

d

yyxxd

yxyx

BA

C - ל Dהמרחק

38.18

338

)170()07(

)()(

),(),(

)0,7()17,0(

222

2

12

2

12

2

2211

DC

DC

d

d

d

yyxxd

yxyx

CD

169)5(5 22 yx

x

y

A

C

B

D

)0,17(

)17,0(

)0,7(

)7,0(



23

23

מועד ב' תשס"ז 03330מבחן בגרות :2שאלה מספר

)4()3(25נתון המעגל 22 yx שמרכזוM.

O -ו A ,Bהמעגל חותך את הצירים בנקודות

()ראה ציור

.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות א.

.ABOמצא את שטח המשולש (1) ב.

. x –קוטר המעגל במאונך לציר ה (2)

()ראה ציור Cחותך את המעגל בנקודה

.ABCOמצא את שטח המרובע

פתרון:

.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות (א)

.ABOמצא את שטח המשולש (1ב)

Aנקודה

)0,0()6,0(

033

633

33

93

1625)3(

25)3()40(

0

25)3()4(

2

1

2

22

22

A

y

y

y

y

y

y

x

yx

Bנקודה

)0,0()0,8(

844

044

44

164

925)4(

25)30()4(

0

25)3()4(

2

1

2

22

22

B

x

x

x

x

x

x

y

yx

242

86

22

ABOABO

a

SS

AOBOhaS

25)3(4 22 yx

x

y

A

C

B

M

O

25)3(4 22 yx

x

y

A

C

B

M

O

)6,0(

)0,8(



24

24

Cחותך את המעגל בנקודה . x –קוטר המעגל במאונך לציר ה (2)

.ABCOמצא את שטח המרובע )ראה ציור (

נחבר את שני המשולשים

ABO שמצאנו בסעיף הקודם

BCOעם המשולש

.ABCOובע את המר ונקבל

נמצא את מרכז המעגל ממשוואת המעגל א.

x= 4ה Cמשמעות בנקודה xב. הקוטר מאונך לציר ה


)6,0()0,8( )א( BA 24( 1)בABOS 32( 2)בABCOS


5)3,4(

25)3()4( 22

RM

yx

Cנקודה

)8,0()2,0(

835

235

35

253

025)3(

25)3()44(

4

25)3()4(

2

1

2

22

22

C

y

y

y

y

y

y

x

yx

82

28

2

BCOBCO

a SSha

S

328240 ABOBCOABC SSS

25)3(4 22 yx

x

y

A

C

B

M

O

)6,0(

)0,8(

25)3(4 22 yx

x

y

A

C

B

M

O

)6,0(

)0,8(

)2,4(

)3,4(

2d



25

25

2339"ט תשסאוקטובר מועד 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר

היא מרכז המעגל Mהנקודה

)2()4(20שמשוואתו 22 yx

שהיא ראשית הצירים , Oהמעגל עובר דרך נקודה

) ראה ציור ( . Bבנקודה y –ואת ציר ה Aבנקודה x –וחותך את ציר ה

B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות א.

.ABמצא את משוואת הישר ב.

? נמק הוא קוטר המעגל ABהאם הקטע ג.

.BMOמשטח המשולש ABOמצא פי כמה גדול שטח המשולש ד.

פתרון:

B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(

ABמצא את משוואת הישר ( ב)

קוטר המעגל? נמק הוא ABהאם הקטע ( ג)

Bנקודה

)0,0()8,0(

044

844

44

164

420)4(

20)4()20(

0

20)4()2(

2

1

2

22

22

B

y

y

y

y

y

y

x

yx

Aנקודה

)0,0()0,4(

022

422

22

42

1620)2(

20)40()2(

0

20)4()2(

2

1

2

22

22

A

x

x

x

x

x

x

y

yx

ABשיפוע

2

4

8

)0()4(

)8()0(

),(),(

)0,4()8,0(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

AB

ABמשוואת

82

)4(20

2)0,4(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy


20)4,2(

20)4()2( 22

RM

yx

ABמשוואת

44

8)2(24

)4,2(

82

M

xy

קוטר כן

M

20)4(2 22 yx

x

y

A

B

O

B

O

M

A

y

x



26

26

.BMOמשטח המשולש ABO( מצא פי כמה גדול שטח המשולש ד)

:תשובה סופית

)0,4()8,0( (א) BA )82 )ב xy )הוכחה( כן )ג(

.BMOמשטח המשולש 2 פי גדול ( ABOשטח המשולש 2 פי )ד(

ABOשטח המשולש

162

84

2

ABOABO

a

SS

haS

BMOשטח המשולש

82

44

2

BMOBMO

a

SS

haS

28

16

BMO

ABO

S

SP

M

20)4(2 22 yx

x

y

A

B

O

8,0

0,4

4,2

M

20)4(2 22 yx

x

y

A

B

O

8,0

0,4

4,2



27

27

תשס"ו 2336מועד מרץ 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר

)6()8(17חותך את המעגל שמשוואתו 4y הישר 22 yx

) ראה ציור ( B –ו Aבשתי הנקודות

.B –ו Aשל הנקודות x –מצא את שיעורי ה .א

x –את על ציר הנמצ Cנקודה .ב

Cמצא את שיערי הנקודה BC = ACכך שמתקיים

.ABCחשב את שטח המשולש .ג

פתרון:

.B –ו Aשל הנקודות x –מצא את שיעורי ה (א)

x –נמצאת על ציר ה Cנקודה (ב)

BC = ACכך שמתקיים

Cמצא את שיערי הנקודה

ABצריכה להיות באמצע הנקודות Cודה נק

כדי ליצור משולש שווה שוקיים

C)0,6(לכן נקודה

.ABCחשב את שטח המשולש (ג)


)4,5()4,7()א( BA )0,6()ב(C )4)גABCS

BAנקודות

)4,7()4,5(

561

761

61

16

1617)6(

17)84()6(

4

17)8()6(

2

1

2

22

22

BA

x

x

x

x

x

x

y

yx

42

42

2

ABCABC

a

SS

haS

M

17)8(6 22 yx

x

y

4y

A B

4,5

M

17)8(6 22 yx

x

y

4y

A B

4,7

4,6

0,6 C



28

28

חורף תש"עמועד 03830מבחן בגרות : 3מספר שאלה

)3()6(45נתון מעגל שמשוואתו 22 yx .

.O)0,0(המעגל עובר דרך ראשית הצירים

) ראה ציור( .B -ו Aתך את הצירים גם בנקודות וחו

.B -ו A. מצא את השיעורים של הנקודות (א)

.AB – קוטרמעבירים אנך ל O. דרך (ב)

.Cהאנך חותך את המעגל בנקודה

.OCמצא את משוואת הישר (1)

.Cמצא את השיעורים של הנקודה ( 2)

.OCBמצא את שטח המשולש (0)

פתרון:

.Bו Aמצא את השיעורים של הנקודות (א)

.C. האנך חותך את המעגל בנקודה AB –עבירים אנך ל מ O( דרך 1ב)

.OCמצא את משוואת הישר

Aנקודה

)0,0()12,0(

066

1266

66

366

945)6(

45)6()30(

0

45)6()3(

2

1

2

22

22

A

y

y

y

y

y

y

x

yx

Bנקודה

)0,0()0,6(

033

633

33

93

3645)3(

45)60()3(

0

45)6()3(

2

1

2

22

22

B

x

x

x

x

x

x

y

yx

ABשיפוע

2

6

12

)0()6(

)12()0(

),(),(

)0,6()12,0(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

OCשיפוע

212 OCAB mm


OCמשוואת

xy

xy

m

xxmyy

21

21

21

11

)0(0

)0,0(

)(

0,0

M

45)6(3 22 yx

x

y

O B

A

C

12,0

0,6

0,0

M

45)6(3 22 yx

x

y

O B

A

C



29

29

.C( מצא את השיעורים של הנקודה 2)

.OCB( מצא את שטח המשולש 0)


)12,0()0,6()א( BA ( 1)בxyOC 21 (2)ג

)8.4,6.9(C4.14( 0)בOCBS

Cנקודה

06.9

)1225.1(

01225.1

4536625.096

45)6()3(

45)6()3(

2

2

22

2

212

21

22

xx

xx

xx

xxxx

xx

xy

yx

C

Cנקודה

)8.4,6.9(

8.46.9

6.9

21

21

C

y

x

xy

4.142

8.46

2

OBCOBC

a

SS

haS

12,0

0,6

0,0

M

45)6(3 22 yx

x

y

O B

A

C 8.4,6.9



30

30

מועד ב' תשס"ה 03330 מבחן בגרות :6מספר שאלה

)2()4(20מעגל 22 yx

כמתואר בציור. ,A ,B ,Cחותך את הצירים בנקודות

BC –ומאונך ל Aישר העובר דרך

.Dחותך את המעגל בנקודה נוספת

,A ,B ,Cמצא את השיעורים של הנקודות .א

.ADמצא את המשוואה של ב.

BC –העבירו ישר המקביל ל Dדרך נקודה ג.

מצא את משוואת הישר המקביל.

פתרון:

,A ,B ,Cמצא את השיעורים של הנקודות (א)

.Dחותך את המעגל בנקודה נוספת BC –ומאונך ל Aישר העובר דרך (ב)

.ADמצא את המשוואה של

ABנקודות

20)4()20(

0

20)4()2(

22

22

y

x

yx

)8,0()0,0(

044

844

44

164

420)4(

2,1

1

2,1

2

BA

y

y

y

y

y

ACנקודות

20)40()2(

0

20)4()2(

22

22

x

y

yx

)0,4()0,0(

022

422

22

42

1620)2(

2

1

2,1

2

CA

x

x

x

x

x

משיקשיפוע

212 ADBC mm


ADמשוואת

xy

xy

m

xxmyy

21

21

21

11

)0(0

)0,0(

)(

BCשיפוע

2

4

8

)0()4(

)8()0(

),(),(

)0,4()0,8(

12

12

2211

BC

BC

m

m

xx

yym

yxyx

CB

M

20)4(2 22 yx

x

y

D

B

A

C

8,0

0,4

0,0

M

20)4(2 22 yx

x

y

D

B

A

C



31

31

BC –העבירו ישר המקביל ל Dדרך נקודה (ג)

D( מצא את נקודה 1ג)

מצא את משוואת הישר המקביל.( 2ג)


)0,0()8,0()0,4()א( CBA )ב( xyAD 21 )162)ג xyהמקביל

.

Dנקודה

4.6

)825.1(

0825.1

02016425.044

20)45.0()2(

5.0

20)4()2(

2

22

22

22

Dx

xx

xx

xxxx

xx

xy

yx

Dנקודה

)2.3,4.6(

2.3

)4.6(5.0

4.6

5.0

D

y

y

x

xy

D

BCהמקביל ל משוואת

162

2.38.122

)4.6(22.3

2)2.3,4.6(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

2.3,4.6

8,0

0,4

0,0

M

20)4(2 22 yx

x

y

D

B

A

C



32

32

"טתשס חורףמועד 03330מבחן בגרות : 7מספר שאלה

)10(25 ה שלו היא משוואהש נתון מעגל 22 yx

) ראה ציור (היא מרכז המעגל Mהנקודה

B –ו Aת המעגל בשתי נקודות חותך א 4yהישר

(B מימין ל– A)

B –ו Aהנקודות מצא את שיעורי . א

העבירו קוטר במעגל . Bדרך הנקודה .ב

) ראה ציור ( Cהקוטר חותך את המעגל בנקודה

.Cמצא את שיעורי הנקודה (1)

ראשית הציריםOCMA (O – )מצא את שטח המרובע (2)

:פתרון

. Bו Aהנקודות מצא את שיעורי (א)

) ראה ציור ( Cהעבירו קוטר במעגל . הקוטר חותך את המעגל בנקודה Bדרך הנקודה (ב)

.C( מצא את שיעורי הנקודה 1)

ABנקודות

)4,13()4,7(

7103

13103

103

910

1625)10(

25)4()10(

4

25)10(

2

22

22

BA

x

x

x

x

x

x

y

yx


5)0,10(

25)10( 22

RM

yx

Cנקודה

7

1320

2

1310

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

4

40

2

40

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)4.7(C

)4,13( ),( 22 yx )0,10(

C M B

M

25)(10 22 yx

x

y

B

A

C

O

M

25)(10 22 yx

x

y

B

A

C

O

4,7

4,7 4,13

0,10



33

33

ראשית הציריםOCMA (O – )( מצא את שטח המרובע 2) OAMומשולש OCMמשולשים : משולש השטח מורכב משני


)4,13()4,7()א( A B 4,7(( 1)ב( C 40( 2)בOCMAS

OCMשטח משולש

202

410

2

OCMOCM

a

SS

haS

OAMשטח משולש

202

410

2

OAMOAM

a

SS

haS

OCMAשטח המרובע

402020

OCMA

OAMOCMOCMA

S

SSS

M

25)(10 22 yx

x

y

B

A

C

O

4,7

4,7 4,13

0,10



34

34

"טתשס חורףמועד 30803 מבחן בגרות :8שאלה מספר

)5()5(169תו נתון מעגל שמשווא 22 yx' ומרכזוM.

( )ראה ציור D –ו Cבנקודות x –המעגל חותך את ציר ה

.D –ו Cמצא את שיעורי הנקודות א.

( )ראה ציור ABCDבמעגל חסום מלבן ב.

.B –ו Aדקודים מצא את הק

.AMDחשב את היקף המשולש ג.

פתרון:

.Dו Cהנקודות א( מצא את שיעורי)

.B –ו A) ראה ציור (מצא את הקדקודים ABCDבמעגל חסום מלבן (ב)

.AMD)ג( חשב את היקף המשולש


)0,7()0,17( )א( CD )10,17()10,7( )ב( AB (ג) 36P

CDנקודות

)0,17()0,7(

17512

7512

512

1445

25169)5(

169)50()5(

0

169)5()5(

2

1

2

22

22

CD

x

x

x

x

x

x

y

yx


13)5,5(

169)5()5( 22

RM

yx

36131310

AMD

AMD

P

AMDMADP

Bנקודה

17

710

2

75

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

10

010

2

05

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)10.17(B

)0,7( ),( 22 yx )5,5(

B M D Aנקודה

7

1710

2

175

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

10

010

2

05

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)10.7(A

)0,17( ),( 22 yx )5,5(

A M C

M

169)5(5 22 yx

x

y

B

A

C D

0,7

5,5

0,17

10,7

M

x

y

B

A

C D

0,7

5,5

0,17

10,17

13R



35

35

מועד חצב/ ברק תש"ע 03330מבחן בגרות : 9מספר שאלה

חסום במעגל ABCDבציור שלפניך הריבוע

שמשוואתו 222)5(2 Ryx

.D)1,0( הם Dנתון : שיעורי הקדקוד

2Rחשב את . (א)

.Bשיעורי הקדקוד מצא את )ב(.

.ACמצא את משוואת הישר . )ג(

.BDCחשב את שטח המשולש )ד(

פתרון:

2R ( חשב את .א)

.B)ב( מצא את שיעורי הקדקוד

.ACג( מצא את משוואת הישר )

2R

20)51()20(

20

)51()20(

)1,0(

)5()2(

22

2

222

222

R

R

D

Ryx


20)5,2(

20)5()2( 22

RM

yx

DBשיפוע

2

4

8

)0()4(

)1()9(

),(),(

)9,4()1,0(

12

12

2211

DB

DB

m

m

xx

yym

yxyx

BD

ACשיפוע

212 ACDB mm


ACמשוואת

6

51

)2(5

)5,2(

)(

21

21

21

21

11

xY

xy

xy

m

xxmyy

M

x

y B

A

C

D 1,0

Bנקודה

4

04

2

02

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

9

110

2

15

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)9.4(B

)1,0( ),( 22 yx )5,2(

B M D

M

x

y B

A

C

D 1,0

9,4

5,2

20)5(2 22 yx



36

36

.BDCחשב את שטח המשולש )ד(


202 (א) R 6 )ג( B)9,4( )ב( 21 xyAC

20BDCS )ד(

202

20202

2

BDCBDC

a

SS

haS

M

x

y B

A

C

D 1,0

9,4

5,2

20)5(2 22 yx



37

37

"טתשסחד חורף מיומועד 30303מבחן בגרות : 13מספר שאלה

)3()2(50חסום במעגל שמשוואתו ABCמשולש 22 yx ,

12היא ABמשוואת הישר xy (ראה ציור).

.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות א.

),(, הנקודה ב. yOD היא אמצע הצלעAC (ראה ציור).

.Cנקודה של ה x –ה מצא את שיעור (1)

Cשל הנקודה y –ה מצא את שיעור (2)

.2 –אם ידוע כי שיעור זה גדול מ


)9,4()3,2(א. BA (.1ב )4Cx (2ב .)3Cy

פתרון:

.Bו Aמצא את שיעורי הנקודות א.

),(ה הנקוד .(1ב) yOD היא אמצע הצלעAC

.Cשל הנקודה x –מצא את שיעורי ה

ABנקודות

24

10

3010

52

)40)(5(4100)10(

040105

5014496

50)12()3(

50)212()3(

12

50)2()3(

2,1

2,1

2

22

22

22

22

BA xx

x

x

xx

xxxx

xx

xx

xy

yx

ABנקודות

)3,2(

31)2(2

)9,4(

91)4(2

24

12

B

y

A

y

xx

xy

BA

50)2(3 22 yx

D

x

y

B

A

C

50)2(3 22 yx

D

x

y

B

A

C

9,4

3,2

Cנקודה

4

40

2

40

2

2

2

21

C

M

x

x

x

xxx

).4( yC

)9,4( ),( 22 yx ),0( y

C D A

B

A

C

D

x

y



38

38

.2 –אם ידוע כי שיעור זה גדול מ Cשל הנקודה y –מצא את שיעורי ה (2ב)


)9,4()3,2(א. BA (1ב )4Cx (2ב .)3Cy

Cנקודה

)3,4(

321

121

21

12

4950)2(

50)2()34(

4

50)2()3(

2

1

2

22

22

C

y

y

y

y

y

y

x

yx

50)2(3 22 yx

D

x

y

B

A

C

9,4

3,2



39

39

2312מועד חורף 03830מבחן בגרות :11מספר שאלה

)1()5(50נתון מעגל שמשוואתו 22 yx ומרכזו בנקודהM.

A, B הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- x .)ראה ציור(

.A ,B ,Mמצא את שיעורי הנקודות ( 1א. )

מעגל בהוא קוטר BD –ו ACכל אחד מהקטעים ( 2)

. D -ו Cמצא את שיעורי הנקודות

.ADCבמשולש ACמצא את משוואת התיכון לצלע (1ב. )

DMאת נקודת החיתוך של המשך התיכון E –סמן ב ( 2)

.AEB. מצא את שטח המשולש y –עם ציר ה

ן:פתרו

.A ,B ,M( מצא את שיעורי הנקודות 1א)

. D -ו Cהוא קוטר המעגל מצא את שיעורי הנקודות BD –ו ACכל אחד מהקטעים ( 2א)


50)5,1(

50)5()1( 22

RM

yx

ABנקודות

)0,4()0,6(

415

615

15

251

2550)1(

50)50()1(

0

50)5()1(

2

1

2

22

22

BA

x

x

x

x

x

x

y

yx

M

50)5(1 22 yx

x

y

B

A

C D

0,6

5,1

0,4

M

50)5(1 22 yx

x

y

B

A

C D

Dנקודה

6

42

2

41

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

10

010

2

05

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)10.6(D

21 ,

)0,4(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)5,1(

D M B

Cנקודה

4

62

2

61

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

10

010

2

05

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)10.4(C

11 ,

)0,6(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)5,1(

C M A



40

40

.ADCבמשולש AC( מצא את משוואת התיכון לצלע 1ב)

DMהוא הישר ACהתיכון לצלע

. y –עם ציר ה DMאת נקודת החיתוך של המשך התיכון E –סמן ב ( 2ב)

.AEBמצא את שטח המשולש


)5,1()0,6()0,4(( 1)א BAM 10.6(( 2)א(D )10.4(C

41( 1)ב xyDM 20( 2)בAEBS

התיכוןשיפוע

1

5

5

61

105

),(),(

)5,1()10,6(

12

12

2211

DM

DM

m

m

xx

yym

yxyx

MD

DMמשוואת

41

511

)1(15

1)5,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

E נקודה

)04(

44)0(1

0

41

E

y

x

xy

20

2

410

2

AEBAEB

a

SS

haS

0,6

5,1

0,4

M

50)5(1 22 yx

x

y

B

A

C D

0,6

5,1

0,4

M

50)5(1 22 yx

x

y

B

A

C D

E 4,0



41

41

תשע"א 2311גנוז מועד 03330מבחן בגרות :12שאלה מספר

.Mנמצאת על מעגל שמרכזו K)2,8(הנקודה

222ומשוואתו היא )()2( aayx

.aמצא את הערך של ( 1א. )

רשום את משוואת המעגל.( 2)

.Mרשום את השיעורים של נקודה (0)

רק בנקודה אחת . x –הראה כי המעגל חותך את ציר ה ב.

(2במעגל , שאת משוואתו רשמת בתת סעיף )א ABCDחסמו ריבוע ג.

)ראה ציור ( Mנקודה אלכסוני הריבוע מקבילים לצירים , ונפגשים ב

B,C,Dמצא את נקודות ( 1)

.ABCD( מצא את שטח הריבוע 2)

פתרון:

.aמצא את הערך של ( 1א)

רשום את משוואת המעגל.( 2א)

.Mרשום את השיעורים של נקודה (0א)

רק בנקודה אחת . x –הראה כי המעגל חותך את ציר ה )ב(.

בנקודה אחת x –חותך את ציר ה

)0,2(

2

02

0)2(

100100)2(

100)100()2(

0

100)10()2(

2

2

22

22

A

x

x

x

x

x

y

yx

M

100)10(2 22 yx

x

y

B

A

C

D

K

aפרמטר

10

404

4436

)2()28(

)2,8(

)()2(

22

222

222

a

a

aaa

aa

k

aayx


100)102()28(

10

)()2(

22

222

a

aayx

Mנקודה

)10,2(

100)102()28( 22

M



42

42

B,C,Dמצא את נקודות (1)ג

.ABCDמצא את שטח הריבוע ( 2ג)

4נחשב שטח משולש אחד ונכפיל ב

: תשובה סופית

)2()10(100 (.2א) 10a (.1)א 22 yx (0א.) )10,2(M

)10,12()20,2()10,8( (.1ג) A)0,2( (.ב) DCB (ג.) 200ABCDS

B,C,Dנקודות

האלכסונים מקבילים לצירים

)10,8)(10,8102(

)20,2)(201010,2(

)10,12)(10,12210(

10)10,2(

D

C

B

RM

502

1010

22

BMC

BMC

a

S

MCBMS

haS

2004504 BMCABCD SS

M

100)10(2 22 yx

x

y

B

A

C

D

10,8 10,2

0,2

10,12

20,2



43

43

2337תשס"ז פברואר מועד 03330מבחן בגרות :10שאלה מספר

)6(100המעגל 22 yx

,B –ו Aבנקודות x –חותך את ציר ה

)ראה ציור(. Eבחלקו החיובי בנקודה y –ואת ציר ה

. E , B , Aא. מצא את שיעורי הנקודות

x –העבירו ישר , המקביל לציר ה Eמהנקודה

.Dוחותך את המעגל בנקודה נוספת

,Cעד נקודה EDהאריכו את הישר Dמהנקודה

. DC3 =ED –כך ש

.C –ו Dב. חשב את שיעורי הנקודות

. ABCDחשב את שטח הטרפז ג.

פתרון

. E , B , Aא. מצא את שיעורי הנקודות

.Dוחותך את המעגל בנקודה נוספת x –העבירו ישר , המקביל לציר ה Eמהנקודה

. DC3 =ED –, כך ש Cעד נקודה EDהאריכו את הישר Dמהנקודה

.C –ו Dב. חשב את שיעורי הנקודות

. ABCDג. חשב את שטח הטרפז


)0,4()0,16()8,0( )א( EBA )8,12()8,16( )ב( CD )96)גABCDS

ABנקודות

)0,16()0,4(

4610

16610

610

100)6(

100)0()6(

0

100)6(

2

1

2,1

2

22

22

BA

x

x

x

x

x

y

yx

Eנקודות

)8,0(

8

8

864

36100

100)60(

0

100)6(

2

1

2,1

2

22

22

E

x

x

x

y

y

x

yx

Dנקודות

)8,0()8,12(

012

66

6366

10064)6(

100)8()6(

8

100)6(

21

2,1

2

22

22

ED

xx

x

x

x

x

y

yx

ABCDשטח הטרפז

962

8)420(

2

)(

ABCD

ABCD

S

hbaS

Cנקודה

DC3 =ED

)8,16(

4

312

12

C

x

x

x



44

44

נובמבר תשע"במועד 30303מבחן בגרות :14שאלה מספר

)2(25נתון מעגל שמשוואתו 22 yx

,כמתואר בציור.B –ו Aבנקודות x –המעגל חותך את ציר ה

.B - ו A)א(. מצא את שיעורי הנקודות

נמצאת על המעגל ברביע הראשון. E)ב(. נקודה

.20הוא ABEשטח המשולש

.Eשל הנקודה y –( מצא את שיעור ה 1)

.Eשל הנקודה x –( מצא את שיעור ה 2)

והוא חותך y –העבירו ישר המקביל לציר ה E)ג(. מהנקודה

נמק. F.מצא את שיעורי הנקודה Fאת המעגל בנקודה


)0,7()0,3()א( AB 4 (.1)בEy 4,5((. 2)ב(E .)4,5()ג( F



45

45

משיק למעגל . ה

מעלות 93ישר המשיק למעגל יוצר עם הרדיוס זווית של :משפטים במעגל

תשע"א חורףמועד 30803מבחן בגרות :1מספר שאלה

)1()3(25היא מרכז המעגל Mהנקודה 22 yx

.7yהיא נקודת החיתוך של הישר Aהנקודה

עם המעגל )ראה ציור(

נמצאת ברביע הראשון Aידוע שהנקודה

.Aמצא את השעורים של הנקודה .(א)

.MAמצא את שיפוע הישר .(ב)

.Aמצא את משוואת המשיק בנקודה .(ג)

y= 7העבירו אנך לישר Mדרך הנקודה .(ד)

.AMBמצא את שטח המשולש Bהאנך חותך את הישר בנקודה

פתרון:

A ההשיעורים של הנקודמצא את (א)

.MAמצא את השיפוע (ב)

Aנקודה

25)37()1(

7

25)3()1(

22

22

x

y

yx

)7,4()7,2(

413

213

13

91

1625)1(

2,1

1

2,1

2

A

x

x

x

x

x

MAשיפוע

3

4

12

37

),(),(

)7,2()3,1(

12

12

2211

MA

MA

m

m

xx

yym

yxyx

AM


5)3,1(

25)3()1( 22

RM

yx

M

7y

253122 yx

x

y

A

7,2

3,1 M

7y

x

y

A



46

46

.Aמצא את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה (ג)

Bהאנך חותך את הישר בנקודה y= 7העבירו אנך לישר Mדרך הנקודה (ד)

.AMBמצא את שטח המשולש


)ב( A)7,2()א( 3

4MAm )ג(

2

18

4

3 xy )6)דAMBS

משיקשיפוע

43

34 MAמשיק mm


משיקמשוואת

21

43

21

43

43

43

11

8

71

)2(7

)7,2(

)(

xy

xy

xy

m

xxmyy

62

34

2

AMBAMB SS

ABMBS

7,2

3,1 M

7y

x

y

A B

Bנקודה

7,1B

שיפוע הופכי נגדי 7,1



47

47

.2312 קיץ תשע"ב א' מועד 30803מבחן בגרות :2מספר שאלה

.Mבציור שלפניך מעגל שמרכזו בנקודה

C ו– D הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה– y.

xyהמעגל משיק לישר A)3,6( ה נתון כי בנקוד21

.AMמצא את משוואת הישר שעליו מונח הרדיוס )א(

y= 7נמצא על הישר Mנתון כי מרכז המעגל )ב(

מצא את משוואת המעגל.

DCמצא את אורך הקטע ( 1)ג( )

CDMמצא את שטח המשולש (2)

פתרון:

.AMא את משוואת הישר שעליו מונח הרדיוס )א( מצ

מצא את משוואת המעגל. y= 7נמצא על הישר Mנתון כי מרכז המעגל )ב(

AMשיפוע

221 AMמשיק mm


ACמשוואת

152

3122

)6(23

2)3,6(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Mנקודה

)7,4(

4

82

1527

7

152

M

x

x

x

y

xy


20)7()4(

)()(

20)7,4(

22

222

2

yx

Rbyax

RM


R

20

)37()64(

)()(

),(),(

)7,4()3,6(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA

M

3,6

x

A

y

C

D



48

48

DCמצא את אורך הקטע ( 1)ג

CDM( מצא את שטח המשולש 2)ג


152)א( xyAC)4()7(20)ב( 22 yx

8CDMS( 2)ג 4DCd (1)ג

CDת נקודו

20)7()40(

0

20)7()4(

22

22

x

x

yx

)0,5()0,9(

572

972

72

47

1620)7(

2

1

2,1

2

DC

x

x

x

x

x

CDאורך הקטע

4

)0,5()0,9(

DCd

DC

82

44

2

CDMCDM

a

SS

haS

M

3,6

x

A

y

C

D

7,4 0,9

0,5



49

49

תש"ע 2313פברואר מועד 03330 מבחן בגרות :0מספר שאלה

10022נתון המעגל yx

ברביע השני, , הנמצאת Aהמשיק למעגל בנקודה

. Bבנקודה x –חותך את ציר ה

O- )ראשית הצירים )ראה ציור

.6הוא Aשל נקודה y -שיעור ה

.Aשל נקודה x –( מצא את שיעור ה )א

( מצא את משוואת המשיק.)ב

.AOBחשב את היקף המשולש )ג(

פתרון:

.Aשל נקודה x –)א( מצא את שיעור ה

מצא את משוואת המשיק. ( ב)

Aנקודה

)6,8(

8

8

864

36100

100)6(

6

100

2

1

2

22

22

A

x

x

x

x

x

y

yx

שיפוע משיק

34

43 OAמשיק mm


OAשיפוע

4

3

8

6

)0()8(

)0()6(

),(),(

)6,8()0,0(

12

12

2211

AO

AO

m

m

xx

yym

yxyx

AO

o

6,x

x

A

y

B

0,0

o

6,8

x

A

y

B

0,0



50

50

.AOBחשב את היקף המשולש ( ג)


)ב( 8Ax)א( 32

34 16 xyמשיק

30AOBP )ג(

Bנקודה

)0,5.12(

5.12

16

160

0

16

32

34

32

34

32

34

B

x

x

x

y

xy

ABמרחק

5.7

)60()85.12(

)()(

),(),(

)0,5.12()6,8(

222

2

12

2

12

2

2211

d

d

yyxxd

yxyx

BA

AOBהיקף המשולש

30

5.75.1210

00

AOB

AOB

AOB

P

P

ABBAP

o

6,8

x

A

y

B

0,0 0,5.12



51

51

ע"א.תש 2311ב קיץ מועד 03330בגרות מבחן :4מספר שאלה

)7(222רטוט שלפניך נתון מעגל שמשוואתו סב Ryx (M – )מרכז המעגל

.x –הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה B –ו Aהנקודות

נמצאת על המעגל ברביע הראשון. Cהנקודה

. יחידות10הוא ABנתון כי אורך הקטע

.R א. מצא את

.B –ו Aב. מצא את שיעורי הנקודות

1 ג. נתון כי הישר 34 xy משיק למעגל בנקודהC.

. C( מצא את שיעורי נקודה 1)

y –העבירו ישר המקביל לציר ה C( דרך הנקודה 2)

.CDB. מצא את שטח המשולש Dוחותך את המעגל בנקודה

פתרון:

. ורשום את משוואת המעגלRמצא את רדיוס המעגל )א(

ס"מ, 10 -, שהוא קוטר המעגל, שווה לABנתון כי אורך הקטע

:10הוא חצי מהקוטר לכן רדיוס המעגל 2 5

2ומכאן שמשוואת המעגל היא 2( 7) 25x y .

.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )ב(

ABנקודות

25)0()7(

0

25)7(

22

22

x

y

yx

)0,12()0,2(

1275

275

75

257

25)7(

2,1

2,1

2,1

2

BA

x

x

x

x

x


5)0,7(

25)7( 22

RM

yx

2227 Ryx

x

y

B

A

M

C

2227 Ryx

x

y

B

A

M

C

0,2 0,12

0,7



52

52

1( נתון כי הישר )ג34 xy משיק למעגל בנקודהC.

.M –ו C( מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות 1)

. C( מצא את שיעורי נקודה 2)

y –העבירו ישר המקביל לציר ה C( דרך הנקודה 2)

.CDB. מצא את שטח המשולש Dוחותך את המעגל בנקודה


)5R ,25)7 א() 22 yx )0,2()0,12( )ב( BA

27CDBS )ד( (2)ג C)3,3(( 1)ג

CMשיפוע

43

34 CMמשיק mm


MCמשוואת

41

43

43

43

11

5

)7(0

)0,7(

)(

xy

xy

m

xxmyy

272

69

2

CDBCDB

a

SS

haS

Cנקודה

3

26

15

15

121

41

34

43

41

34

41

43

x

x

xx

xx

yy CMמשיק

)3,3(

3

1)3(

3

1

34

34

C

y

y

x

xy

0,2 0,12

0,7

2227 Ryx

x

y

B

A

M

C

D

3,3

3,3

.Dנקודה

25)73(

3

25)7(

22

22

y

x

yx

)3,3()3,3(

3

9

1625

2,1

2

DC

x

y

y



53

53

תשס"ה 2333מועד נובמבר 03330מבחן בגרות :3מספר שאלה

)4()7(20נתון המעגל 22 yx

B –ו Aהנקודות בשתי y –המעגל חותך את ציר ה

) ראה ציור (

.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות א.

xyהישר 21 משיק למעגל הנתון בנקודהC.

Cמצא את השיעורים של נקודה ההשקה ב.

.x –ומקביל לציר ה Cנקודה המצא את משוואת הישר העובר דרך ג.

פתרון:

.B –ו Aרי הנקודות מצא את שיעו (א)

xyהישר (ב)21 משיק למעגל הנתון בנקודהC.

Cמצא את השיעורים של נקודה ההשקה

ABנקודות

20)7()40(

0

20)7()4(

22

22

y

x

yx

)5,0()9,0(

972

572

72

47

1620)7(

2,1

2,1

2,1

2

BA

y

y

y

y

y


20)7,4(

20)7()4( 22

RM

yx

CMשיפוע

221 CMמשיק mm

נגדי שיפוע הופכי

MCמשוואת

152

782

)4(27

2)7,4(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

207422 yx

x

y

A

B

C

Cנקודה

6

215

215

152

21

21

21

x

x

xx

xx

yy CMמשיק

)3,6(

3

)6(

6

21

21

C

y

y

x

xy

M

207422 yx

x

y

A

B

C

9,0 7,4

5,0

M



54

54

.x –ומקביל לציר ה Cמצא את משוואת הישר העובר דרך נקודה (ג)


)9,0()5,0()א( BA )3,6()ב(C )3)גy

ישרמשוואת

3

)6(03

0)3,6(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

207422 yx

x

y

A

B

C

9,0 7,4

5,0

M

3,6



55

55

"טתשס קיץ א'מועד 30303מבחן בגרות :6מספר שאלה

היא מרכז המעגל Mנקודה

)3()4(25שמשוואתו 22 yx.

)8,6(בנקודה A . מעבירים משיק למעגל

Bבנקודה y –ציר ה המשיק חותך את

()ראה ציור

AMמצא את משוואת הישר א.

מצא את משוואת המשיק. ב.

.ABMחשב את שטח המשולש ג.

פתרון:

AMמצא את משוואת הישר (א)

מצא את משוואת המשיק. (ב)


5)4,3(

25)4()3( 22

RM

yx

משיקשיפוע

43

34 MAמשיק mm


MAאת משוו

xy

xy

xy

m

xxmyy

34

34

34

34

11

88

)6(8

)8,6(

)(

MAשיפוע

3

4

3

4

)3()6(

)4()8(

),(),(

)8,6()4,3(

12

12

2211

MA

MA

m

m

xx

yym

yxyx

AM

המשיקמשוואת

5.12

85.4

)6(8

)8,6(

)(

34

43

43

43

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

8,6

M

254322 yx

x y

A

B



56

56

.ABMחשב את שטח המשולש (ג)


xy )א( 34 )ב(

21

43 12 xy )75.18 )גABMS

Bנקודה

)5.12,0(

5.12

5.12)0(

0

5.12

34

34

B

y

y

x

xy

ABמרחק

5.7

)85.12()60(

)()(

)5.12,0()8,6(

222

2

12

2

12

2

d

d

yyxxd

BA

75.182

55.7

2

ABMABM

a

SS

haS

8,6

M

254322 yx

x y

A

B 5.12,0

4,3

5

5.7



57

57

.2311 ע"אתש א' קיץ מועד 30803מבחן בגרות . 7מספר שאלה

)3(169המעגל 22 yx חותך את החלק

.Aבנקודה y –החיובי של ציר ה

B ו– C הן נקודות על המעגל כך ש– BC

)ראה ציור(. x –מקביל לציר ה

)8,12(נתון כי C

.B –ו Aא(. מצא את שיעורי הנקודות (

.BC)ב(. חשב את אורך הקטע

.ABC)ג(. חשב את שטח המשולש

.Aד(. מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה )

פתרון:

.B –ו Aמצא את הנקודות ( )א

.BC( חשב את אורך הקטע )ב

.ABCחשב את שטח המשולש )ג(

Aנקודה

169)3()0(

0

169)3(

22

22

y

x

yx

)0,13()0,10(

10313

16313

313

1693

169)3(

2,1

1

2,1

2

A

y

y

y

y

y

Bנקודה

169)38(

8

169)3(

22

22

x

y

yx

)8,12()8,12(

12

12

12

144

25169

2

1

2,1

2

CB

x

x

x

x

x

BCמרחק

24

)88()1212(

)()(

),(),(

)8,12()8,12(

222

2

12

2

12

2

2211

d

d

yyxxd

yxyx

BC

2162

1824

2

ABCABC

a

SS

haS

8,12

169322 yx

x

y

A

B

M

C

8,12

169322 yx

x

y

A

B

M

C 8,12

10,0

24

18



58

58

.Aמצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה )ד(

m= 0וע משמעות השיפ Aמשיק לנקודה

:ה סופיתתשוב

)8,12()10,0()א( AB )24)בBCd

10y)ד( 216ABCS)ג(

A -משיק ל משוואת

10

)0(010

0)10,0(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

8,12

169322 yx

x

y

A

B

M

C 8,12

10,0

24

18



59

59

2313ע "תשנובמבר מועד 03330מבחן בגרות 8מספר שאלה

עגל יוצאים הנמצאת מחוץ למ F מנקודה

.M שני משיקים למעגל שמרכזו

7 היא: A)7,0(משוואת המשיק בנקודה 31 xy

)1,8(ומשוואת המשיק בנקודה B 253היא: xy )ראה ציור(

.Fמצא את שיעורי נקודה )א(

.MBואת השיפוע של MAמצא את השיפוע של ( 1)ב()

.Mמצא את שיעורי הנקודה ( 2)

.AMFח המשולש חשב את שט (1)ג()

.AMBFחשב את שטח הדלתון ( 2)

פתרון:

.Fמצא את שיעורי נקודה )א(

.MBואת השיפוע של MAמצא את השיפוע של ( 1)ב

.Mמצא את שיעורי הנקודה ( 2ב)

MAשיפוע

331 AMFA mm


MBשיפוע

313 AMFB mm


MAמשוואת

73

)0(37

3)7,0(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

MBמשוואת

32

31

32

31

31

31

11

1

12

)8(1

)1,8(

)(

xy

xy

xy

m

xxmyy

Fנקודה

12

322

7253

7253

32

31

31

x

x

xx

xx

yy AFBF

)11,12(

11

25)12(3

12

253

F

y

y

x

xy

Mנקודה

2

52

173

173

31

32

32

31

32

31

x

x

xx

xx

yy MBMA

)1,2(

1

7)2(3

2

73

M

y

y

x

xy

1,8

x

y

A

B

M

F

7,0



60

60

.AMFחשב את שטח המשולש (1)ג

.AMBFחשב את שטח הדלתון ( 2ג)

הדלתון מורכב משני המשולשים לכן שטח הדלתון הוא:


3Am( 1)ב F)11,12()א(31Bm M)1,2(( 2)ב

80AMBFS( 2)ג 40AMFS (1)ג

AFמרחק

160

)711()012(

)()(

),(),(

)11,12()7,0(

222

2

12

2

12

2

2211

d

d

yyxxd

yxyx

FA

AMמרחק

40

)71()02(

)()(

),(),(

)1,2()7,0(

222

2

12

2

12

2

2211

d

d

yyxxd

yxyx

MA

.AMFשטח המשולש

40

2

40160

2

AMF

AMF

a

S

S

haS

.AMBFשטח הדלתון

804040

AMBF

BMFAMFAMBF

S

SSS

1,8

x

y

A

B

M

F

7,0

11,12

1,2

1,8

x

y

A

B

M

F

7,0

11,12

1,2



61

61

. 2011מועד חצב/ ברק תשע"א 03830מבחן בגרות :9שאלה מספר

8הישר 34 xy חותך את ציר ה– x בנקודהA ואת ציר ה– y בנקודהB .

הוא קוטר המעגל. ABהקטע

מרכז המעגל.ואת שעורי הנקודה של B –ו Aהנקודות את שיעורי מצא( 1)א(. )

( מצא את משוואת המעגל.2)

)ב(. הראה שהמעגל עובר דרך ראשית הצירים.

)ג(. מצא את משוואת הישר המשיק למעגל בראשית הצירים.

.

פתרון:

( מצא את שיעורי מרכז המעגל1)א

מצא את משוואת המעגל. ( 2א)

Aנקודה

)0,6(

8

80

0

8

34

34

34

A

x

x

y

xy

Bנקודה

)8,0(

8

8)0(

0

8

34

34

B

y

y

x

xy


R

25

)84()03(

)()(

),(),(

)4,3()8,0(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MB


25)4()3(

)()(

25)4,3(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Mנקודה

3

2

06

2

21

M

M

M

x

x

xxx

4

2

80

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)4.3(M

)0,6( ),( MM yx )8,0(

C M A

0,0

x

y

A

B

M



62

62

הראה שהמעגל עובר דרך ראשית הצירים. )ב(

מצא את משוואת הישר המשיק למעגל בראשית הצירים. )ג(

: תשובות

)4,3()8,0()0,6(( 1)א BAM 3()4(25 (2)א( 22 yx

)30()40(25)ב( 22 )ג(xy43


2525

25)40()30(

)0,0(

25)4()3(

22

22

yx

MOשיפוע

3

4

3

4

)3()0(

)4()0(

),(),(

)0,0()4,3(

12

12

2211

MA

MA

m

m

xx

yym

yxyx

OM

משיק משוואת

xy

xy

m

xxmyy

43

43

43

11

)0(0

)0,0(

)(

משיקשיפוע

43

34 MAמשיק mm


0,0

x

y

A

B

M

8,0

0,6

254322 xx

4,3



63

63

.2312 פברואר מועד 03330מבחן בגרות :13מספר שאלה

ABCDבציור שלפניך מתואר ריבוע

,x –מקבילות לציר ה DC -ו ABשבו הצלעות

. y – מקבילה לציר ה AD, והצלע y –מונחת על ציר ה BCהצלע

. - 2הוא A של הנקודה y –, ושיעור ה 6האורך של צלע הריבוע הוא

.D -ו A ,B ,Cמצא את שיעורי הנקודות (1)א( )

היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע , Mהנקודה ( 2)

.Mמצא את שיעורי הנקודה

מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע. )ב(

.NC, מצא את משוואת הישר Cמשיק למעגל בנקודה NCהישר ( 1) )ג(

.ND, מצא את משוואת הישר Dמשיק למעגל בנקודה NDהישר ( 2)

. CNDמצא את שטח המשולש )ד(

פתרון:

.D -ו A ,B ,C( מצא את שיעורי הנקודות 1)א והצלעות מקבילות לצירים 6אורך צלע הריבוע הוא

6לכן BA xx 2 ואילו נתון BA yy

)2,6()2,0()4,6()4,0(הנקודות הם: CDBA

.Mהיא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע ,מצא את שיעורי הנקודה Mהנקודה ( 2א)

ע.מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבו )ב(


R

18

)41()03(

)()(

),(),(

)1,3()4,0(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MC


18)1()3(

)()(

18)1,3(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Mנקודה

3

2

)6()0(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

1

2

)2()4(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)1.3(M

11 ,

)2,6(

yx

),( MM yx

22 ,

)4,0(

yx

C M A

6

2,6

x

y

C

B

M

D

A

6

6

6 2,0

4,0 4,6

1,3

N



64

64

.NC, מצא את משוואת הישר Cמשיק למעגל בנקודה NCהישר ( 1)ג

.ND, מצא את משוואת הישר Dמשיק למעגל בנקודה NDהישר ( 2ג)

. CNDמצא את שטח המשולש )ד(

שובה סופית: ת

)4,6(,)4,0(,)2,0()2,6(( 1)א ABCD M)1,3(( 2)א

)3()1(18)ב( 22 yx 41( 1)ג xyNC101( 2)ג xyND

9CNDS)ד(

MCשיפוע

1

3

3

30

14

),(),(

)4,0()1,3(

12

12

2211

MC

MC

m

m

xx

yym

yxyx

CM

NCמשיקמשוואת

41

)0(14

1)4,0(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

NCמשיקשיפוע

11 MCמשיק mm


MDשיפוע

1

3

3

36

14

),(),(

)4,6()1,3(

12

12

2211

MD

MD

m

m

xx

yym

yxyx

DM

NDמשיקמשוואת

101

461

)6(14

1)4,6(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

NDמשיקוע שיפ

11 MDמשיק mm


9

2

36

2

CND

CND

a

S

S

haS

Nנקודה

3

62

10411

41101

x

x

xx

xx

yy NCND

)7,3(

7

4)3(1

3

41

N

y

y

x

xy

N

6

2,6

x

y

C

B

M

D

A

6

6

6 2,0

4,0 4,6

1,3

N

6

2,6

x

y

C

B

M

D

A

6

6

6 2,0

4,0 4,6

1,3

7,3



65

65

2311מועד נובמבר 03330מבחן בגרות :11מספר שאלה

שצלעותיו מקבילות לצירים. ABCDבציור שלפניך מלבן

נתון כי.

)2,1()1,9( AC .

.Mהוא קוטר של המעגל שמרכזו בנקודה ABצלע המלבן

) ראה ציור( F –ו Eבנקודות DCהמעגל חותך את הצלע

.Hבנקודה y -העבירו משיק למעגל החותך את ציר ה Fדרך נקודה

.D –ו Bמצא את שיעורי הנקודות (1)א( )

מצא את משוואת המעגל. (2)

.Fו Eצא את שיעורי הנקודות מ (1) )ב(.

. Fמצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה (2)

.EFH. מצא את שטח המשולש )ג(

פתרון:

.D –ו B( מצא את שיעורי הנקודות 1א)

)2,9()1,1(הנקודות הם : DB

מצא את משוואת המעגל. (2א)


R

25

)22()94(

)()(

),(),(

)2,4()2,9(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MB


25)2()4(

)()(

25)2,4(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

Mנקודה

4

2

91

2

21

M

M

M

x

x

xxx

2

2

22

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)2.4(M

11 ,

)2,1(

yx

),( MM yx

22 ,

)2,9(

yx

B M A

x

y

C

M

D F 1,9

2,1

E

H

A B



66

66

.Fו Eורי הנקודות ( מצא את שיע1ב

. Fמצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה (2)ב

.EFHמצא את שטח המשולש . (ג)


)1,1()2,9()א( BD 4()2(25( 2)א( 22 yx

)1,0()1,8(( 1)ב FE ( 2)ב32

34 11 xy )ג(

3242EFHS

EFנקודות

25)21()4(

1

25)2()4(

22

22

x

x

yx

)1,8()1,0(

044

844

44

164

925)4(

2,1

1

2,1

2

FE

x

x

x

x

x

MFשיפוע

4

3

4

3

)4()8(

)2()1(

),(),(

)1,8()2,4(

43

12

12

2211

MF

MF

m

m

xx

yym

yxyx

FM

HFמשיקמשוואת

32

34

32

34

34

34

11

11

110

)8(1

)1,8(

)(

xy

xy

xy

m

xxmyy

HFמשיקשיפוע

34

43 MFמשיק mm


Fנקודה

)11,0(

11

11)0(

0

11

32

32

32

34

22

34

F

y

y

x

xy

32

32

42

2

810

2

EFH

EFH

a

S

S

haS

)1,9(

)2,1( )2,9(

)1,1(

)2,4(

25)2()4,( 22 yx

)1,8( )1,0(

)11,0(32

x

y

C

M

D F

E

H

A B

8

3

210



67

67

2311קיץ גנוז מועד 03830מבחן בגרות :12מספר שאלה

. x=3נמצא על הישר Mנתון מעגל שמרכזו

xyהישר 43 )משיק למעגל בראשית הצירים )ראה ציור

. MOמצא את השיפוע של ( 1א. )

.MOמצא את המשוואה של ( 2)

.Mים של הנקודה מצא את השיעור (0)

מצא את משוואת המעגל. ב.

) ראה ציור(. C –ו Bחותך את המעגל בשתי נקודות x= 3הישר ג.

. BCמצא את האורך של הקטע ( 1)

.OBCמצא את שטח המשולש (2)

פתרון:

.MO( מצא את השיפוע של 1א)

.MOשל ( מצא את המשוואה2א)

.M( מצא את השיעורים של הנקודה 0א)

מצא את משוואת המעגל. . (ב)

MOמשוואת

xy

xy

m

xxmyy

34

34

34

11

)0(0

)0,0(

)(

MOמשיק שיפוע

34

43 MOמשיק mm


Mנקודה

)4,3(

4

)3(

3

34

34

M

y

y

x

xy


R

25

)04()03(

)()(

),(),(

)4,3()0,0(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MO


25)4()3(

)()(

25)4,3(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

3x x

y

M

o

25)4()3,( 22 yx

3x x

y

M

o

)4,3(

B

C

C

B



68

68

) ראה ציור(. C –ו Bחותך את המעגל בשתי נקודות x= 0הישר .(ג)

.BC( מצא את האורך של הקטע 1ג)

.OBCמצא את שטח המשולש (2ג)


(.1)א3

11MOm (2א.) xy

3

11 (0א.) )4,3( M

)3()4(25 (.ב) 22 yx 10( 1)גBCd (2ג.) 15OBCS

BCנקודות

25)4()33(

3

25)4()3(

22

22

y

x

yx

)9,3()1,3(

145

945

45

254

25)4(

2,1

2,1

2,1

2

CB

y

y

y

y

y

BCמרחק

10

)19()33(

)()(

),(),(

)9,3()1,3(

222

2

12

2

12

2

2211

BCd

d

yyxxd

yxyx

CB

152

310

2

OBCOBC

a

SS

haS

25)4()3,( 22 yx

3x x

y

M

o

)4,3(

C

B



69

69

תש"ע . 2313א' קיץ מועד 03830מבחן בגרות :10שאלה מספר

)ראה ציור( ABהיא אמצע הקטע M)3.4(הנקודה

.6הוא Bשל הנקודה x –שיעור ה

.Aשל הנקודה xמצא את שיעור ה ( 1) .(א)

x yנמצאת על הישר שמשוואתו Aהנקודה (2) 2

.Aשל y –מצא את שיעור ה

.Bשל y –מצא את שיעור ה ( 0)

שמצאת את שיעוריהן , עובר מעגל. B –ו A. דרך הנקודות ב

הוא קוטר במעגל זה ) ראה ציור (. ABהקטע

מצא את משוואת המעגל.

x y. הראה כי הישר שמשוואתו ג 2 את המעגל רק חותך

בנקודה אחת ) כלומר הישר משיק למעגל(

Bחותך את המעגל בנקודה 6x. הישר ד

.ACמצא את משוואת הישר Cובנקודה נוספת

פתרון:

.6הוא Bשל הנקודה x –)ראה ציור( שיעור ה ABהיא אמצע הקטע M( 4, 0הנקודה )

.Aשל הנקודה xור ה מצא את שיע (1א)

x yנמצאת על הישר שמשוואתו A( הנקודה 2)א 2 מצא את שיעור ה– y שלA.

.Bשל y –( מצא את שיעור ה 0)

Aנקודה

)4,2(

4)2(2

2

2

A

y

x

xy

Aנקודה

2

68

2

64

2

1

1

1

21

x

x

x

xxxM

).2( yA

11 , yx

MM yx ,

)3,4(

22 ,

),6(

yx

y

B M A

Bנקודה

2

46

2

43

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)2.6(B

11 ,

)4,2(

yx

MM yx ,

)3,4(

22 ,

),6(

yx

y

B M A

)3,4(

x

M

o

B

A

),6( y

y



70

70

הוא קוטר במעגל זה ABהקטע שמצאת את שיעוריהן עובר מעגל. B –ו Aדרך הנקודות . ב

ה ציור (.מצא את משוואת המעגל.) רא

x yהראה כי הישר שמשוואתו . ג 2 חותך את המעגל רק בנקודה אחת

) כלומר הישר משיק למעגל(

.ACמצא את משוואת הישר Cובנקודה נוספת Bעגל בנקודה חותך את המ x= 6הישר . ד


)4,2()2,6( (א) BA (ב) 5)3(4 22 yx (ג) 4,6(4 (ד) הוכחה( ACyC

רדיוס המעגלמציאת 2

R

5

)43()24(

)()(

),(),(

)3,4()4,2(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MB


5)3()4(

)()(

5)3,4(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

חותך את המעגל בנקודה אחת

2

10

020

52

2054400)20(

020205

5)9124()168(

5)32()4(

2

5)3()4(

2,1

2

222

22

22

x

x

x

xx

xxxx

xx

xy

yx

Cנקודה

)4,6(

24

431

231

31

113

5)3(4

5)3()46(

6

5)3()4(

21

2

22

22

C

yy

y

y

y

y

y

y

x

yx

ACמשוואת

4

)4,6()4,2(

y

CA

)3,4(

x

M

o

B

A

)2,6(

y )4,2(

5)3()4,( 22 yx

C )4,6(



71

71

תשע"ב 2312חצב/ברק אוגוסט 30803מבחן בגרות :14מספר שאלה

)3,6(. דרך הנקודה Mבציור שלפניך נתון מעגל שמרכזו A

92שעל המעגל העבירו משיק למעגל , שמשוואתו xy

.AM)א( מצא את משוואת הישר

שלה. y –שווה לערך ה Mשל הנקודה x –)ב( נתון כי ערך ה


. מצא את רדיוס המעגל.1)ג(

. מצא את משוואת המעגל. 2

פתרון

.AM)א( מצא את משוואת הישר

שלה. y –שווה לערך ה Mשל הנקודה x –)ב( נתון כי ערך ה


ת המעגל. מצא את משווא .(2)ג ( מצא את רדיוס המעגל.1)ג


6)א( 21 xyAM

)4,4()ב( M 552( 1)ג RR

)4()4(5( 2)ג 22 yx

MAמשוואת

6

33

)6(3

)3,6(

)(

21

21

21

21

11

xy

xy

xy

mA

xxmyy

MAהרדיוס שיפוע

212 MAמשיק mm


Mנקודה

)4,4(

4

61

6

6

21

21

21

M

x

x

xx

xy

xy


R

5

)34()64(

)()(

),(),(

)4,4()3,6(

22

222

2

12

2

12

2

2211

dR

d

yyxxd

yxyx

MA


5)4()4(

)()(

5)4,4(

22

222

2

yx

Rbyax

RM

)3,6(

x

M

A

y

Education

פרק 3ב גיאומטריה אנליטית מעגל