Представление чисел в компьютере

10 класс

2013г.

Главные правила представления данных в компьютере

Правило № 1Данные (и программы) в памяти компьютера

хранятся в двоичном виде, т.е. в виде цепочек единиц и нулей.

Правило № 2Представление данных в компьютер дискретно.Правило № 3Множество представленных в памяти величин

ограничено и конечно.

Представление чисел

• В математике ряд натуральных чисел бесконечен и не ограничен.

• Любое вычислительное устройство (компьютер, калькулятор) может работать только с ограниченным множеством целых чисел.

Целые числа в компьютереПравило № 4В памяти компьютера числа хранятся в двоичной

системе счисления.Числа без знака:Число 3910 = 100111 2 в однобайтовом формате:

Число 65 53510 = 11111111 111111112 в двубайтовом формате:

Номера разрядов 7 6 5 4 3 2 1 0

Биты числа 0 0 1 0 0 1 1 1

Номера разрядов 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Биты числа 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Числа со знакомДля хранения целых чисел со знаком отводится две

ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное - 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата "знак-величина" называется прямым кодом числа.

Например, число 200210 = 111110100102 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0

Числа со знакомМаксимальное положительное число (с учетом

выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно:

А = 2n-1 - 1.Упражнение.Определить максимальное положительное число,

которое может хранится в оперативной памяти в формате целое число со знаком.

Решение. А10=215 – 1 = 3276710

Формы записи чисел целых чисел со знаком

Число 1910=100112

прямой, обратный и дополнительный код

0 0 0 1 0 0 1 1«+»

Число 12710=11111112

прямой, обратный и дополнительный код

0 1 1 1 1 1 1 1«+»

Положительное число

прямой код

обратный код

дополнительный код

имеют одинаковое представление

Формы записи чисел целых чисел со знаком

Прямой код числа -19:

1 0 0 1 0 0 1 1«-»

Прямой код числа -127:

1 1 1 1 1 1 1 1«-»

Отрицательное число

прямой код

обратный код

дополнительный код

имеют разное представление

Формы записи чисел целых чисел со знаком

Обратный код получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной

величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Число -19:Код модуля числа: 0 0010011

Обратный код числа: 1 1101100

1 1 1 0 1 1 0 0«-»

Число -127:Код модуля числа: 0 1111111

Обратный код числа: 1 0000000

1 0 0 0 0 0 0 0«-»

Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Дополн. код числа -19:

1 1 1 0 1 1 0 1«-»

Дополн. код числа -127:

1 0 0 0 0 0 0 1«-»

Арифметические действия1) А и В положительные:

Десятичная запись:

Двоичные коды:

12 Спк 0 0 0 0 1 1 0 0

7 Впк 0 0 0 0 0 1 1 1

5 Апк 0 0 0 0 0 1 0 1+

Арифметические действия2) А – положительное, В – отрицательное,

|B|>|A|

Десятичная запись:

Двоичные коды:

-7 Сдк 1 1 1 1 1 0 0 1

-12 Вдк 1 1 1 1 0 1 0 0

5 Апк 0 0 0 0 0 1 0 1

При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 10000110 + 1 = 10000111= -710

+

Арифметические действия3) А – положительное, В – отрицательное,

|B|<|A|

Десятичная запись:

Двоичные коды:

7 Спк 0 0 0 0 0 1 1 1

-5 Вдк 1 1 1 1 1 0 1 1

12 Апк 0 0 0 0 1 1 0 0

Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Перенос отбрасывается

+

Арифметические действия4) А и В отрицательные

Десятичная запись:

Двоичные коды:

-12 Сдк 1 1 1 1 0 1 0 0

-7 Вдк 1 1 1 1 1 0 0 1

-5 Адк 1 1 1 1 1 0 1 1

При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 10001011+1= 10001100= -1210

Перенос отбрасывается

+

Представление чисел в формате с плавающей запятой

•Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой.•Формат чисел с плавающей запятой базируется на

экспоненциальной форме записи.A=m*qn,m- мантисса числа;q – основание системы счисления;n- порядок числа.Мантисса отвечает условию:1/n<=|m|<1.Это означает, что мантисса должна быть правильной

дробью и иметь после запятой цифру отличную от 0.

Представление чисел в формате с плавающей запятой

•Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности) или 8 байтов (число двойной точности). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.•Диапазон изменения чисел определяется количеством

разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Представление чисел в формате с плавающей запятой

• Определим максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака - 24 разряда:

• Максимальное значение порядка числа составит 11111112 = 12710, и, следовательно, максимальное значение числа составит:

2127 = 1,7014118346046923173168730371588 × 1038 .• Максимальное значение положительной мантиссы равно:

223 - 1 » 223 = 2(10 × 2,3) » 10002,3 = 10(3 × 2,3) » 107.• Таким образом максимальное значение чисел обычной точности с

учетом возможной точности вычислений составит 1,701411 × 1038(количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

знак и порядок знак и мантисса

Представление чисел в формате с плавающей запятой

•Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности) или 8 байтов (число двойной точности). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.•Диапазон изменения чисел определяется количеством

разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Упражнения

1.Преобразуйте десятичное число 888,888 в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой.

Решение: m=0,888888

Порядок n=3

888,888=0,888888*103

2. Произвести сложение чисел

0,1*23 и 0,1*25

Решение: Произведем выравнивание порядков и сложение мантисс:0,001*25

+0,100*25

------------0,101*25

Упражнения

3. Произвести умножение чисел 0,1*23 и 0,1*25 в формате с плавающей запятой.

Решение: 0,1*0,1*2(3+5)=0,01*28=0,1*27

Система основных понятийПредставление чисел

Целые числа Вещественные числа

В математике: -десятичное представление;- множество дискретно, бесконечно, не ограничено

В компьютере: -двоичное представление;- множество дискретно, конечно, ограничено

В математике: -десятичное представление;- множество непрерывно, бесконечно, не ограничено

В компьютере: -двоичное представление;- множество дискретно, конечно, ограничено

Представление целых чисел в компьютере

Представление вещественных чисел в компьютере

Со знаком (положительные и отрицательные)

Без знака (положительные)

M x 2P

M – двоичная мантиссаP – двоичный целый порядок

Диапазон:[-2N-1,2N-1-1]

Диапазон:[0,2N]

Диапазон ограничен максимальными значениями M и P

Формат с фиксированной запятой Формат с плавающей запятой

Задание

Получите внутреннее представление чисел 157 и -157 в 8-разрядной ячейке памяти в формате со знаком.

Литература• Семакин И.Г. Информатика и ИКТ. Базовый уровень:

учебник для 10-11 классов/ И.Г.Семакин, Е.К.Хеннер. – 8-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.

• http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/predstavlenie-chisel-v-kompyutere

• http://pedsovet.su/load/14-1-0-3796• http://www.5byte.ru/11/0008.php