50
Уравнения и системы уравнений Содержание Показательные уравнения..............................................1 Логарифмические уравнения............................................7 Иррациональные уравнения............................................14 Рациональные уравнения..............................................20 Тригонометрические уравнения........................................29 Уравнения, содержащие знак модуля...................................38 Показательные уравнения 1. Решить уравнение 7 5х +6 =49. 2. Решить уравнение ( 1 8 ) 0,5 х1 =4. 3. Решить уравнение ( 1 27 ) 0,5 х1 =9. 4. Решить уравнение 2 х = ( 1 2 ) 1х . 5. Решить уравнение 3 х = ( 1 3 ) 1+х . 6. Решить уравнение 10 х = 1 10 1х . 7. Решить уравнение 4 х =3 . 8. Решить уравнение 3 х =2 . 9. Решить уравнение 5 х+1 =15 . 1

Решение уравнений

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Уравнения (показательные, логарифмические, рациональные, тригонометрические, иррациональные, с модулями)

Citation preview

Page 1: Решение уравнений

Уравнения и системы уравнений

Содержание

Показательные уравнения........................................................................................................................1

Логарифмические уравнения...................................................................................................................7

Иррациональные уравнения..................................................................................................................14

Рациональные уравнения.......................................................................................................................20

Тригонометрические уравнения............................................................................................................29

Уравнения, содержащие знак модуля...................................................................................................38

Показательные уравнения1. Решить уравнение 75 х+6=49.

2. Решить уравнение ( 18 )

0,5х−1

=4 .

3. Решить уравнение ( 127 )

0,5х−1

=9.

4. Решить уравнение 2− х=( 1

2 )1− х

.

5. Решить уравнение 3х=( 1

3 )1+х

.

6. Решить уравнение 10−х= 1

101− х

.

7. Решить уравнение 4х=3 .

8. Решить уравнение 3х=2 .

9. Решить уравнение 5х+1=15 .

10. Решить уравнение 52 (х+1 )=3х+1

.

11. Сколько корней имеет уравнение 24 х−1=3?

1

Page 2: Решение уравнений

12. Сколько корней имеет уравнение 3x2−5 х+1=81

?

13. Сколько корней имеет уравнение 9х−3x+1=6 ?

14. Сколько корней имеет уравнение22 х+1+22 x=5 ?

15. Сколько корней имеет уравнение 4х−2x+2=7 ?

16. Сколько корней имеет уравнение 52 х−3⋅5x+15=0 ?

17. Сколько корней имеет уравнение 4х−5⋅2x+2=0 ?

18. Сколько корней имеет уравнение 23 х+5=cos3 ?

19. Сколько корней имеет уравнение 3x2−5 х+6=log2 0,7

?

20. Сколько корней имеет уравнение e3−4 x=ln 5−ln7 ?

21. Сколько корней имеет уравнение ( 3

2 )x−1

=log 23

5−log 23

6

?

22. Сколько корней имеет уравнение 51−х=cos

7π3

?

23. Решить уравнение 3√x−4=27

24. Решить уравнение 3x−4=√27

25. Решить уравнение ( 1

5 )3 x−4,5

=√125

26. Решить уравнение (√2−1 )x−√2= 1

3−2√2

27. Решите уравнение (1+√2 )5х = (√2 -1)100

28. Решите уравнение (15+10√2 )х +2(√10 +√5 )х = 3

29. Решить уравнение ( 5

6 )x−1

⋅( 45 )

x

= 8 lg 915 lg27

30. Сколько корней имеет уравнение: 3х+1 =

х+3х ?

2

Page 3: Решение уравнений

31.Сколько корней имеет уравнение: π 10-5х = tg(arcsin1)?

32. Сколько целых корней имеет уравнение 2√ х−2 = log2 (4-х) ?

33. Сколько корней имеет уравнение 52 х−1=a , где

a>0?

34. При каких значениях a уравнение 63 х−5=a имеет корни?

35. При каких значениях a уравнение 2х=a2+3a+9 имеет корни?

36. При каких значениях a уравнение 2|5 x−3|=a

имеет 2 корня?

37. Сколько корней имеет уравнение 3|x|=a

, если a>1

?

38. При каких значениях a уравнение 0,2|x|=a

имеет 2 корня?

39. Укажите все значения a , при которых уравнение 3⋅5х−5x+2=a имеет корни?

40. Сколько корней имеет уравнение: 2008 2х+1 = а при а>0 ?

41. Сколько корней имеет уравнение 5|x|−1=a , если а>0 ?

42. Сколько корней имеет уравнение 7|x−7|=a , если а¿ 7 ?

43.Сколько корней имеет уравнение 52х+2 = -а , если 0<a<5 ?44.При каких значениях а уравнение 5-х+3 = -а имеет решение ?

45. При каких значениях а уравнение 3tgx = -а не имеет решения?

46. При каких значениях а уравнение 4tg(2x+3) = a2+2a+4 имеет корни?

47. При каких значениях а уравнение 7 ¿3 х – 3х+3 = а имеет корни?

48. Решить уравнение

64

2x+3=0. 125x−7

;

49. Решить уравнение ( 4

9 )x

(278 )

x−1

=1;

50. Решить уравнение 53 x−1⋅23 x−1=3√0,1 ;

51. Решить уравнение 5x−1=10x⋅2− x⋅5x+1

;

52. Решить уравнение (2−√3 )3 x= (√3+2 )x2

;

3

Page 4: Решение уравнений

53. Решить уравнение (2−√3 )2 x−3= 1

7−4√3 .

54. Решить уравнение 53 x−7=23 x−7

;

55. Решить уравнение 52 x−1=3x−0,5

;

56. Решить уравнение 3x2− x=2x−x

2

.

57. Решить уравнение 2x+2−2x=96 ;

58. Решить уравнение 5⋅7x−1+4⋅3x+3x+1−2⋅7x=0 ;

59. Решить уравнение 4x−10⋅2x−1=24 ;

60. Решить уравнение 4x+3⋅6x−4⋅9x=0 ;

61. Решить уравнение 2x−1+2−x−1=1 ;

62. Решить уравнение (5+2√6 )x+(√3+√2 )x=12 ;

63. Решить уравнение 6x−2−( 1

6 )3−x

+36x−1

2 =246;

64. Решить уравнение 64x=2⋅27x−36x ;

65. Решить уравнение 42x+2

2 x+2x −12=0 ;

66. Решить уравнение 4x−3

x−12=3

x+ 12−22 x−1

;

67. Решить уравнение ( 2

3 )x

−( 32 )x

=−6536 .

68. Решить уравнение 5x=2 ;

69. Решить уравнение 23 x−1=3 ;

70. Решить уравнение 3x=ln 3 ;

71. Решить уравнение 2x=sin 2 .

72. Решите систему уравнений: {9x+ y=729 ¿¿¿¿

;

4

Page 5: Решение уравнений

73. Решите систему уравнений: {32 x−2 y+2⋅3x− y−3=0 ¿ ¿¿¿

;

74. Решите систему уравнений: {6x−6 y=30¿ ¿¿¿

;

75. Решите систему уравнений: {642 x+642 y=12 ¿ ¿¿¿

;

76. Решите систему уравнений: {3x−5⋅2x=4001¿ ¿¿¿

;

77. Решите систему уравнений: {3x−22 y=65 ¿ ¿¿¿

;

78. Решите систему уравнений: {2x⋅3 y=12¿ ¿¿¿

;

79. Решите систему уравнений: {5x⋅6y=150 ¿ ¿¿¿

;

80. Решите систему уравнений: {x y=64 ¿ ¿¿¿

;

81. Решите систему уравнений: { y2=4x+8 ¿ ¿¿¿

.

82. Решить уравнение 23 x−2=52 x+3

;

83. Решить уравнение 3x⋅2

3x=24 ;

84. Решить уравнение 5x⋅8

xx+1=100 ;

85. Решить уравнение 29 x+9⋅37 x+3⋅56 x=720x+3

.

86. Решить уравнение 5x+3x=8 ;

87. Решить уравнение 5x+3x=8x ;

5

Page 6: Решение уравнений

88. Решить уравнение 1x+2x=3x ;

89. Решить уравнение 1x+2x+3x+4 x=10 ;

90. Решить уравнение 2x=2−x ;

91. Решить уравнение 5x=7−2 x ;

92. Решить уравнение 3x=3

x ;

93. Решить уравнение 2|x|=1+ 1

x ;

94. Решить уравнение 0,5x−1+0 ,25x−3x=√x+4 .

95. Решить уравнение 3+5x=(0,3 )|x|;

96. Решить уравнение 3x2+2=sin 3 x ;

97. Решить уравнение (√2 )x2+1=sin x−cos x ;

98. Решить уравнение 2 x+2−x2=3x2−2 x+2

.

99. Сколько корней имеет уравнение: 3x=1+ 2

x ;

100. Сколько корней имеет уравнение: 2− x=2−|x|;

101. Сколько корней имеет уравнение: 2х=x2

;

102. Сколько корней имеет уравнение: (0,2 )|x|=2 x+1

x .

103. Решить уравнение 6x−8⋅3x−9⋅2x+72=0 ;

104. Решить уравнение 4x−10⋅2x+20=(√4−x2)2+x2

;

105. Решить уравнение 3√x+1=9x ;

106. Решить уравнение 8√x−2−2=0 ,25x ;

107. Решить уравнение 2x2+2 x+5=8+4+2+. .. ;

6

Page 7: Решение уравнений

108. Решить уравнение (0 , (3 ) )5 x+1=√27 ;

109. Решить уравнение 2sin2 x−2cos2x=1 ;

110. Решить уравнение 3х√81 - 10

х√9 +3 = 0 .

111. Укажите отрицательный корень уравнения 23х+1 – 22х = 2х+1 – 1.

112. Укажите количество корней уравнения √ х2−х−6 (2х – 22х+3) = 0.

113. Сколько корней имеет уравнение (2|x|−3 ) lg x=0 ?

114. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 64x+ (a−4 )8x+4−2a=0 имеет ровно один корень?

115. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 16x−(4 a−1 ) 4 x+3a2−a=0 имеет ровно один корень?

116. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 9x−2 (3 a−2 ) 3x+5a2−4 a=0

имеет два различных решения?

117. Определите, при каких значениях параметра a уравнение

6 .25x+(1−2a )2 .5x−3a2+5 a−2=0 не имеет решений?

118. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 9x+(a2+6 ) 3x−a2+16=0 не

имеет решений?

119. Решите уравнение с параметром a относительно x 4x−(a+3 ) 2x+4 a−4=0 ;

120. Решите уравнение с параметром a относительно x

3x+1+5x−1

5x−3x=a

.

121. Решите уравнение с параметром a относительно x 6 .25x+(1−2a )2 .5x−3a2+5 a−2=0 ;

122. Решите уравнение с параметром a относительно x

5x+a⋅3x

5x+1+(a−3 )⋅3x=a

;

123. Решите уравнение с параметром a относительно x

2x+1−2⋅3x−1

9⋅2x−4⋅3x=a

;

124. Решите уравнение с параметром a относительно x

2x+32x−2

+ 2x+72x−4

= 2a4x−6⋅2x+8 .

7

Page 8: Решение уравнений

Логарифмические уравнения125. Решить уравнение log 2 ( x+8 )=log23+ log25.

126. Решить уравнение log 2 ( х+1 )=4.

127. Решить уравнение log5 (27+х )−log5 2=log5 (7 х ).

128. Решить уравнение log (5+х )−log (1−х )=log 2.

129. Решить уравнение log5,7 (−x )=1

130. Решить уравнение log 2(2x+3 )=3

131. Решить уравнение

log 12

(3 x+1)=−2

132. Решить уравнение log7 (4−x )=2

133. Решить уравнение log√2(1−x )=2

134. Решить уравнение

1log9 x

=−2

135. Решить уравнение

1log 64 x

=−3

136. Решить уравнение

2log5 x

+1=0

137. Решить уравнение 8log2x=4

138. Решить уравнение 9log3 x=27

139. Решить уравнение 2lg2 x=2

140. Решить уравнение log4 (x2 )+2=0

141. Решить уравнение log 3(2 x−1)− log3( x−4 )=2

142. Решить уравнение log 0,2( x+10)+1=log0,2(2 x−4 )

143. Решить уравнение log 3

х−12 x−1

=−1

144. Сколько корней имеет уравнение log3( x2−x−1)=2 ?

143. Сколько корней имеет уравнение lg (5 x+1)=ln 0,1?

144. Сколько корней имеет уравнение lg (2x+0,2)=−1 ?

145. Сколько корней имеет уравнение ln x2+ ln|x|=2 ?

146. Сколько корней имеет уравнение ( x+2) log 1

3

x=0?

147. Сколько корней имеет уравнение (x2−5 ) log3 (3−2 x )=0 ?

148. Сколько корней имеет уравнение x log4(1−x2)=0 ?

8

Page 9: Решение уравнений

149. Решить уравнение

√ x+1 log13

(x2−3 )=0?

150. Решить уравнение log

x2−3 x2=0,5

?

160. Решить уравнение lg2x=1?

161. Решить уравнение log3 ( x+1 )2=2

?

162. Решить уравнение log3 x−log x9=1

?

163. Решить уравнение (x2−4 x+3 ) lg ( x−1 )=0?

164. При каких значениях a уравнение lg (2 x+7 )=a имеет корни?

165. При каких значениях a уравнение ln2 x−8 ln x+a=0 имеет один корень?

166. При каких значениях a уравнение log

32 x+a log3 x+9=0 имеет один корень?

167. При каких значениях a уравнение ( x−a ) log2 x=0 имеет два корня?

168. При каких значениях a уравнение lga x=4 имеет два корня?

169. При каких значениях а уравнение a log42 x−log4 x+1=0 имеет только один корень?

170. При каких значениях а уравнение ( x−5 ) log2 a=0 имеет только один корень?

171. Решить уравнение log 1

3

(x2 +4 x+12 )=−2;

172. Решить уравнение log4 ( x+2 )=0,5 ;

173. Решить уравнение log2 log3 lg x=0 .5 ;

174. Решить уравнение log3 x+216=4 ;

175. Решить уравнение ln (1−x )4=4 ;

176. Решить уравнение 9log9 (x−4 )

=3 ;

177. Решить уравнение (x2−4 )⋅log3 ( x+1 )=0 ;

178. Решить уравнение (x2−2x−8 ) lg (2x−1 )=0 ;

179. Решить уравнение log 1

√3−√2

((x2+x ) (x2+5x+6 )−19+2√6 )=2;

9

Page 10: Решение уравнений

180. Решить уравнение log5 log0,5 (log√− x ( 2x

2−x−6 )−1,5)=0.

181. Решить уравнение log0.2 (−2−3 x )=log0.2(x2−2 ) ;

182. Решить уравнение lg ( x+2 ) (x−3 )=lg

x+2x−3 ;

183. Решить уравнение 4log0 , . 25 (2 x 2+4 x+3 )

=36log1

6

( x+2 )

.

184. Решить уравнение log2 (3−x )=3−log2 (1−x ) ;

185. Решить уравнение lg (5−3x )−lg ( x−1 )=lg (5−x )−lg (3 x−1 ) ;

186. Решить уравнение log 3 x+ log3 ( x−2 )=log3 (9−2 x ) ;

187. Решить уравнение log 1

3

( x+1 )+log 13

( x−1 ) =log 13

(7−2 x );

188. Решить уравнение 2 log3

x−3x−7

+1=log3x−3x−1 ;

189. Решить уравнение lg 10 lg ( x2+21 )−1=lg x ;

190. Решить уравнение ln2 (2x+3 )=ln2 (3 x+2 ) ;

191. Решить уравнение log0,1

10 (x2−7 x )−log0,110 9 ( x−7 )

x=0

.

192. Решить уравнение lg2x−lg x=2 ;

193. Решить уравнение

15−log2 x

+ 21+ log2 x

=1;

194. Решить уравнение lg2 (2x−1 )−lg (2x−1 ) lg x−2 lg 2x=0 ;

195. Решить уравнение .

196. Решить уравнение log2x+ log4 x+ log8 x=11 ;

197. Решить уравнение log 3 x+7 (5 x+3 )=log5 x+3 (3 x+7 ) ;

198. Решить уравнение

20 log4 x√ x+7 log16 x x3−3 log x

2

x2=0;

10

Page 11: Решение уравнений

199. Решить уравнение 3 log x4+2 log4 x4+3 log16 x4=0 ;

200. Решить уравнение log

3 x2−1x=log3 x x ;

201. Решить уравнение 25

1logx+15

=2 x2−7 ;

202. Решить уравнение log√2+1

(x2+x+√3 )=log√2−1

( 4− x2−x−√3 ).

203. Решить уравнение log 2x4+4 log 2 (− x )=8 ;

204. Решить уравнение lg (x3−1 )−0,5 lg (x2−2 x+1 )=lg13 ;

205. Решить уравнение lg2x2−lg x3=lg 10 ;

206. Решить уравнение 2 lg x2−lg2 (−x )=4 ;

207. Решить уравнение log5 ( x−8 )2=2+2 log5 ( x−2 ) ;

208. Решить уравнение log2

2 (x+1 )2+ log 12

( x+1 )7 =2;

209. Решить уравнение 4 log42 (−x )+2 log4 x

2+1=0 .

210. Решить уравнение xlog3 x−2

=27 ;

211. Решить уравнение x lg x=100

x ;

212. Решить уравнение x5−log2x−logx2

=8 ;

213. Решить уравнение x1+lg

x

2=400 ;

214. Решить уравнение xlog4 x−2

=28 (log

4x−1 )

.

215. Решить уравнение lg x=21−2x ;

216. Решить уравнение log4 ( x+2 )=2

x ;

217. Решить уравнение

log 13

x=3√ x;

11

Page 12: Решение уравнений

218. Решить уравнение log 2x+ log3 x+ log5 x=4−4 x ;

219. Решить уравнение log2x+ log4 x=2x ;

220. Решить уравнение log 2x+ log4 x=( 1

2 )x

.

221. Сколько корней имеет уравнение ln x=2x−1?

222. Сколько корней имеет уравнение log 2x=|x−2|?

223. Сколько корней имеет уравнение log 1

2

x=( x+2 )2

?

224. Решить уравнение 2 log2(1−13

2x+7 )=3 log2(2+13x−3 )+12

;

225. Решить уравнение 25

1logx+15

=2 x2−7 ;

226. Решить уравнение x2+x+90( log2cos

π6−0,5 log23)=0

;

227. Решить уравнение 5lg x=50−x lg 5

;

228. Решить уравнение 5log2x+2x

log25=15 ;

229. Решить уравнение 2log2

2 x+x

log2 x2

=6 ;

230. Решить уравнение 3log

23x+ x

log3 x=162 ;

231. Решить уравнение x2 log98

−xlogx 30

+xlog39

=0 ;

232. Решить уравнение log25 x−log5 x+23=(√25−x2)2+x2

;

233. Решить уравнение log26 x−log6 x+34=(√36−x2 )2+x2

;

234. Решить уравнение 9⋅3

log x2 4

−( 19 )

logx 0 .125

=0;

235. Решить уравнение log 2+√3

(x+√3 )=log2−√3(x−√3 )

;

12

Page 13: Решение уравнений

236. Решить уравнение lg ( 4x−x+2 )=x lg 40−x ;

237. Решить уравнение √4−30logx7

=4 log7(4√ 17⋅( 7x )

0 ,75);

238. Решить уравнение log x2+log2x=

12π

arcsinsin5 π6 ;

239. Решить уравнение

log(x+1 )2

8+3 log4 ( x+1 )=41 arcsin (cos11π

7 );

240. Решить уравнение (x2−x+1 )x2−1

=1 ;

241. Решить уравнение |3 x−4|2 x2+2=|3 x−4|5 x .

242. Решите систему уравнений { log3 x+ log3 y=1+ log3 2 ¿ ¿¿¿

;

243. Решите систему уравнений {log5 ( log3 x+log3 y )=0 ¿ ¿¿¿

;

244. Решите систему уравнений {x2+ y2=5 ¿ ¿¿¿

;

245. Решите систему уравнений {3x 2−2 xy=1 ¿¿¿¿¿

;

246. Решите систему уравнений {x log2 y=3 ¿¿¿¿

;

247. Решите систему уравнений {√ x+√ y=2¿ ¿¿¿

;

248. Решите систему уравнений { log3 x+ log3 y=4 ¿ ¿¿¿

;

249. Решите систему уравнений {x2− y2=2¿ ¿¿¿

;13

Page 14: Решение уравнений

250. Решите систему уравнений {log2 ( xy )−1

2log2 x

2=1 ¿ ¿¿¿;

251. Решите систему уравнений {x log23+ log2 y= y+ log2 x ¿ ¿¿¿

;

252. Решите систему уравнений {log2

2 y+ log2x⋅log2 y−2 log22x=0 ¿¿¿¿

;

253. Решите систему уравнений {x log5 y+ y

log5x=50¿ ¿¿¿

.

254. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

255. Определите, при каких значениях параметра a уравнение lg (x2+6x+8 )=lg (a−3 x ) имеет единственное решение?

256. Сколько корней имеет уравнение xlog2 x=ax при каждом значении параметра a ?

257. При каких значениях a уравнение log2( 4x−a )=x имеет ровно два решения?

258. Решите уравнение с параметром a относительно x ( x−a ) log2 x=0 ;

259. Решите уравнение с параметром a относительно x 2 ln (3−x )=ln (ax ) ;

260. Решите уравнение с параметром a относительно x 2 lg ( x+3 )=lg (ax ) ;

261. Решите уравнение с параметром a относительно x22 x−x2

= a−2

a2−1 ;

262. Решите уравнение с параметром a относительно x

log√a√2a−xa

−log1a

x=0.

Иррациональные уравнения

263. Решить уравнение√ х+2⋅√х+8=4

264. Решить уравнение √1−3 х⋅√ х+5=4

axx lg1lg2

14

Page 15: Решение уравнений

265. Решить уравнение

2

√х=√ х−3

266. Решить уравнение

3

√х=√ х−8

267. Решить уравнение

4

√х=√ х−15

268. Решить уравнение √8−5 х=√х2−16

269. Решить уравнение √ х2−36=2√х−1

270. Решить уравнение √2х2−3 х+2=х

271. Решить уравнение √2х2−3 х+2=−х

272. Решить уравнение √5 х2−4 х+3=2 х

273. Решить уравнение √5 х2−4 х+3=−2 х

274. Решить уравнение √ х2+2 х+6=3 х

275. Решить уравнение √ х+3=х+1

276. Решить уравнение √ х+1=х−1

277. Решить уравнение √ х−2=4−х

278. Решить уравнение √12−х⋅√ х+3=6

279. Сколько корней имеет уравнение √3 x−1=log2

3

34

?

280. Сколько корней имеет уравнение √ x2−5 x+4=2 ?

281. Сколько корней имеет уравнение √3− 2x−4

=cos 2 ?

282. Сколько корней имеет уравнение (x2−5 x+4 )√ x=0 ?

283. Найдите сумму корней уравнения ( x−3 )√ x2−6 x+8=0 ?

15

Page 16: Решение уравнений

284. При каких значениях a уравнение √3 x−1=a имеет корни?

285. При каких значениях a уравнение √ x2+4=a имеет один корень?

286. При каких значениях a уравнение √1−2 x=log 2

3

a имеет корни?

287. При каких значениях a уравнение 2√x−1+√3 x−3=a имеет один корень?

288. При каких значениях a уравнение √2x+7+√2 x−2=a имеет один корень?

289. При каких значениях a уравнение √ x2−10 x+25=a4 имеет два корня?

290. Решить уравнение √3 x+1=log 2

3

3;

291. Решить уравнение √5 x−1=log2 3 ;

292. Решить уравнение √ x2−1=sin 2 .

293. Решить уравнение √ x+8+3=√7−x ;

294. Решить уравнение 4√5 x−5+√1−x2=2 ;

295. Решить уравнение √ x2−2 x+√x−x2=√ x ;

296. Решить уравнение √ x−3+x=2 ;

297. Решить уравнение 4√ x+1+√x2−7 x+√3 x−4=0 ;

298. Решить уравнение √4−x2+√x+2=0 ;

299. Решить уравнение √ x2+2 x−3+√ x−x2=√3 x−3 ;

300. Решить уравнение √ x2−1+√1−x2=x2+3 x+2 ;

301. Решить уравнение √ x3+3 x2−x=x2+3 x−1 .

302. Решить уравнение x−√ x=30 ;

303. Решить уравнение √ x− 6

√x=1

;

16

Page 17: Решение уравнений

304. Решить уравнение ;

305. Решить уравнение 34√ x−1+2√x−1=5 ;

306. Решить уравнение 3√ ( x−1 )2+ 3√x−1=2 ;

307. Решить уравнение 3 x2+3 x+√x2+x=0 ;

308. Решить уравнение x2−7 x+√x2−7 x+18=24 ;

309. Решить уравнение x2+√ x2−x+9=x+3 ;

310. Решить уравнение √ x2−3 x+√ x2−3 x+5=√33−2x2+6 x .

311. Решить уравнение √ x2−5=√ x+1 ;

312. Решить уравнение √ x2+x+1=√ x2+7 x−4 ;

313. Решить уравнение √2x−3=√4 x−1 ;

314. Решить уравнение √11+x=3√−x−1 .

315. Решить уравнение (x2−4 )√x−1=0 ;

316. Решить уравнение (x2+6 x+5 )√ x2−16=0 .

317. Решить уравнение √ x−1+√ x+3=2 ;

318. Решить уравнение √2x+3−√4−x=2 ;

319. Решить уравнение √4 x+5−√14−x=2 ;

320. Решить уравнение √ x+√x+1+√ x+4=3 ;

321. Решить уравнение √1−x−√x+3+√10−x=1 ;

322. Решить уравнение 2√x+√ x−3=9−x ;

323. Решить уравнение √ x3+1+x=√27−x ;

17

Page 18: Решение уравнений

324. Решить уравнение √ x−1+x= 3

x−1 ;

325. Решить уравнение 4√17−x=3√x+√2 x−1 ;

326. Решить уравнение 4√ x−1+2 3√3 x+2=4+√3−x ;

328. Решить уравнение x+√ x+1= 3

x−1 ;

329. Решить уравнение 1+√2−x=x3− 1

x−2 .

330. Решить уравнение √ x+2=x ;

331. Решить уравнение √ x−13=√x+8−3 ;

332. Решить уравнение √4 x+8−√3x−2=2 ;

333. Решить уравнение √−x2+x+30=−2x−10 ;

334. Решить уравнение ;

335. Решить уравнение √5−x+√ x+8=5 ;

336. Решить уравнение √ x=√7 x+2−√5−x ;

337. Решить уравнение √11−x2−√2+x2=√3−x2

338. Решить уравнение ( x−3 ) ( x+1 )+3 ( x−3 ) √ x+1

x−3=28

;

339. Решить уравнение √ x2−1+√x2+x−2=4√ x2−2 x+1 ;

340. Решить уравнение √ 4 x−1x

=8 x2−2 x−3x .

341. Решить уравнение √ x2−6 x+9+√x2+2x+1=5 x−1 ;

342. Решить уравнение √ x2−4 x+4+√x2+4 x+4=4 .

343. Решить уравнение 3√2−x+ 3√ x=−1 ;

18

Page 19: Решение уравнений

344. Решить уравнение 3√2+x+ 3√2−x=1 ;

345. Решить уравнение 3√ x−1+ 3√ x+1=x 3√2 ;

346. Решить уравнение 3√ x+7−3√x−2=3 ;

347. Решить уравнение .

348. Решить уравнение √ x+√x+16=3 ;

349. Решить уравнение √ x+√x+9=3−x2;

350. Решить уравнение √1−x2=cos x+3 ;

351. Решить уравнение √2x−x2=x4+1 ;

352. Решить уравнение √ x+√x+4=2−x2;

353. Решить уравнение √ x+√x+9=2 ;

354. Решить уравнение √−2−x+√ x+4=x2+6 x+11 .

355. Решить уравнение √2x2+8 x+7−√2x2−8 x+7=2x ;

356. Решить уравнение √ x2+5 x+2−√ x2+x+1=4 x+1 ;

357. Решить уравнение √2x2+3x+5+√2 x2−3 x+5=3x ;

358. Решить уравнение √ x2+6 x+2−√ x2+x+1=5 x+1 ;

359. Решить уравнение

1√2 x+3+√ x+1

+ 2√x+1x+2

=1.

360. Решить уравнение √3 x2−2 x+15+√3x2−2 x+8=7 ;

361. Решить уравнение √ x2−3 x+√ x2−3 x+5=√33−2x2+6 x ;

362. Решить уравнение √ x+5+2√x+4−√x+8−4√ x+4=√ x+4 ;

363. Решить уравнение √ x+2√ x−1+√ x−2√x−1=x−1 ;

364. Решить уравнение √ x+8+2√x+7+√x+1−√x+7=4 ;

19

Page 20: Решение уравнений

365. Решить уравнение √ x+√x+7+2√ x2+7 x=35−2x ;

366. Решить уравнение √2x+3+√x+1=3 x+2√2 x2+5 x+3−16 ;

369. Решить уравнение √ x−1+√ x+3+2√( x−1 ) ( x+3 )=4−2x .

370. Решите систему уравнений {√x2+4 xy−3 y2=x+1¿ ¿¿¿

;

371. Решите систему уравнений {x−2 y+1=0 ¿ ¿¿¿

;

372. Решите систему уравнений {√ x− y+5=3¿ ¿¿¿

;

373. Решите систему уравнений {1√x +1

√ y=3

2¿¿¿¿

;

374. Решите систему уравнений {√2 x−1y+2

+√ y+22 x−1

=2¿ ¿¿¿;

375. Решите систему уравнений {x− y=13¿ ¿¿¿

.

376. Решите систему уравнений

3√ x=13x+2

3 ;

377. Решите систему уравнений

3√ x=16x2+ 5

6 ;

378. Решите систему уравнений

4√2x−1=14x2+ 3

4 .

379. Решите уравнение с параметром a относительно x √ x−3=a ;

380. Решите уравнение с параметром a относительно x √a−x2=x−1 ;

381. Решите уравнение с параметром a относительно x ( x−a ) √x−1=0 ;

20

Page 21: Решение уравнений

382. Решите уравнение с параметром a относительно x √2x+2−a=x ;

383. Решите уравнение с параметром a относительно x ( x−a ) √x+a=0 ;

384. Решите уравнение с параметром a относительно x .

Рациональные уравнения385. При каких значениях a уравнение ax=ax имеет один корень?

386. При каких значениях a решением уравнения

xa= xa является любое действительное число?

387. При каких значениях a решением уравнения

x

a2+2a+4= x

a2+2a+4 является любое действительное число?

388. При каких значениях a уравнение (a2−3a−4 ) x=a2−4 a−5 не имеет корней?

389. При каких значениях a система уравнений {2 x−3 y=5 ¿ ¿¿¿

имеет единственное решение?

390. При каких значениях a система уравнений {x−2 y=1 ¿ ¿¿¿

имеет единственное решение?

391. При каких значениях a система уравнений {2 x−3 y=1 ¿¿¿¿

не имеет решений?

392. Решить уравнение x2−2 (√3+1 ) x+4 √3=0 ;

393. Решить уравнение x2−x lg 20+ lg2=0 ;

394. Решить уравнение x2+x log2

23−log2 3=0

;

395. Решить уравнение x2−(2sin 1+cos 1 ) x+sin 2=0 .

396. Решить уравнение относительно x x2+(2−a ) x+a−3=0 ;

397. Решить уравнение относительно x x2+( 4−2a ) x+a2−4 a+3=0 .

398. При каких значениях a уравнение имеет два корня x2+a−3=0 ;

21

Page 22: Решение уравнений

399. При каких значениях a уравнение имеет два корня x2+ax−3=0 ;

400. При каких значениях a уравнение имеет два корня x2+ax+1=0 ;

401. При каких значениях a уравнение имеет два корня ax2+x−3=0 ;

402. При каких значениях a уравнение имеет два корня √a−1x2+ax+√a−1=0 ?

403. При каких значениях a система уравнений {x2+ y2=1 ¿ ¿¿¿

имеет единственное решение?

404. При каких значениях a система уравнений {x2+2 x+ y2−4 y=4 ¿ ¿¿¿

имеет два решения?

405. Решить уравнение ( 5 x−2

2 x2 )2

+ 2−5 x2 x2

=0;

406. Решить уравнение

x2+1x2−1

+6⋅x2−1x2+1

−5=0;

407. Решить уравнение

x2+3 x+2x2+3 x+1

+ x2+3 x+6x2+3 x+3

=4;

408. Решить уравнение

16( x+6 )(x−1)

−20( x+2)( x+3)

=1;

409. Решить уравнение

x+1x−1

+ x−2x+2

+ x−3x+3

+ x+4x−4

=4.

410. При каких значениях a уравнение

x−ax2+3 x+2

=0 имеет корни?

411. При каких значениях a уравнение

x2−a2

x2+3 x−4=0

имеет два корня?

412. При каких значениях a уравнение

( x−4 ) ( x−a )x2+(2−2a ) x−2a+1

=0 имеет один корень?

413. Решить систему уравнений {1x +1

y=5 ¿ ¿¿¿

;

22

Page 23: Решение уравнений

414. Решить систему уравнений {x+ yx− y

+x− yx+ y

=136

¿¿¿¿;

415. Решить систему уравнений {x+2 y+3y−1

=0 ¿ ¿¿¿.

416. Решить уравнение (x2+2 x )2−( x+1 )2=55 ;

417. Решить уравнение (2 x2+3 x−2 ) (5−6 x−4 x2 )=−5 (2 x2+3 x+2 ) ;

418. Решить уравнение x (x−1 ) ( x+1 ) ( x+2 )=24 ;

419. Решить уравнение ( 4 x2−1 ) ( x−1 ) ( x−2 )=10 ;

420. Решить уравнение 2(x+ 1

x )+1=( x2+1

x2 ).

421. Решить уравнение 4 x4−8 x3+3 x2−8x+4=0 ;

422. Решить уравнение 6 x4+25 x3+12 x2−25 x+6=0 ;

423. Решить уравнение x5+2 x4+3 x3+3 x2+2 x+1=0 ;

424. Решить уравнение 15 x5+34 x4+15 x3−15x2−34 x−15=0 ;

425. Решить уравнение x4=11 x−6

6 x−11 ;

426. Решить уравнение x4−5 x3+10 x+4=0 ;

427. Решить уравнение x4−2 x3−11 x2+12x+36=0 .

428. Решить уравнение x2+( x

x−1 )2

=8;

429. Решить уравнение x2+( x

x+1 )2

=3;

430. Решить уравнение x2+25 x2

(5+2 x )2=74

49 ;

23

Page 24: Решение уравнений

431. Решить уравнение ( xx+1 )

2

+( xx−1 )

2

=90.

432. Решить уравнение

x2−10 x+15x2−6 x+15

= 3 xx2−8 x+15 ;

433. Решить уравнение

24 x

2x2−3 x+4=12 x

x2+x+2+5

;

434. Решить уравнение

x2+4x

+ xx2+3 x+4

=−112 ;

435. Решить уравнение

x3+2x

(x2−x+2 )2=3

4.

436. Решить уравнение (x2+2 x )2−( x+2 ) ( 2x2−x )=6 (2 x−1 )2 ;

437. Решить уравнение 3 ( x+2 )2+2 (x2−2x+4 )2=5 (x3+8 ) ;

438. Решить уравнение 2( x−1x+2 )

2

−( x+1x−2 )

2

= x2−1x2−4 ;

439. Решить уравнение 2 x+1+ 4 x4

2 x+1=5 x2

.

440. Найдите целые решения уравнения x2−11 y2+11=10xy ;

441. Найдите целые решения уравнения x2−3xy+2 y2=3 ;

442. Найдите целые решения уравнения x2−2xy−3 y2=5 .

443. Решите систему уравнений {( x− y ) xy=30 ¿ ¿¿¿

;

444. Решите систему уравнений {x2+ y2+2xy=9 ¿ ¿¿¿

;

445. Решите систему уравнений {x2+xy+ y2=75 ¿ ¿¿¿

;

446. Решите систему уравнений {x3− y3=26 ¿ ¿¿¿

;

24

Page 25: Решение уравнений

447. Решите систему уравнений {x4+6 x2 y2+ y4=24 ¿ ¿¿¿

;

446. Решите систему уравнений {x3 y3=−8 ¿ ¿¿¿

;

447. Решите систему уравнений ;

448. Решите систему уравнений {x3− y3=65 ¿¿¿¿

;

449. Решите систему уравнений {x2−3 xy+6 x−1=0 ¿ ¿¿¿

;

450. Решите систему уравнений {3 x2+2 xy−9x−4 y+6=0 ¿ ¿¿¿

;

451. Решите систему уравнений {x2+ y2+x+ y=18 ¿ ¿¿¿

;

452. Решите систему уравнений {2 x2+ y2+x−2 y=1¿ ¿¿¿

;

453. Решите систему уравнений {x+2 y+3y−1

=0 ¿ ¿¿¿;

454. Решите систему уравнений {x2+3 xy=18¿ ¿¿¿

;

455. Решите систему уравнений {8 x−3 y=1 ¿ ¿¿¿

;

456. Решите систему уравнений {x+ y=7 ¿ ¿¿¿

.

457. Найдите целые решения уравнения x2−11 y2+11=10xy ;

458. Найдите целые решения уравнения x2−3xy+2 y2=3 ;

25

Page 26: Решение уравнений

459. Найдите целые решения уравнения x2−2xy−3 y2=5 .

460. Решить уравнение ( x2+2 x

x )4

−16=0;

461. Решить уравнение

x2−10 x+15x2−6 x+15

= 3 xx2−8 x+15 ;

462. Решить уравнение ( 8+x2

x2−8 )6

=( 6 x8−x2 )

6

;

463. Решить уравнение

2 x

4 x2+3 x+8+ 3 x

4 x2−6 x+8=1

6 ;

464. Решить уравнение ( 5 x−2

2 x2 )2

+ 2−5 x2 x2

=0;

465. Решить уравнение

1x−8

+ 1x−6

+ 1x+6

+ 1x+8

=0;

466. Решить уравнение

x2+1x2−1

+6x2−1x2+1

−5=0;

467. Решить уравнение

11−x

− 11+x

= 4 x

1+ x2;

468. Решить уравнение

x2−1( x−1 )2

+ x3−8

( x−2 )2=x

;

469. Решить уравнение

13

x2+x−21+ 1

2 x+7= 6

x2−9 ;

470. Решить уравнение

x2+3 x+2x2+3 x+1

+ x2+3 x+6x2+3 x+3

=4;

471. Решить уравнение

2x−1x+1

+ 3x−1x+2

= x−7x−1

+4;

472. Решить уравнение

1

x2+ 1

( x−2 )2=10

9 ;

473. Решить уравнение

6 x4+6x2

+ 5 x2+5x

=38;

26

Page 27: Решение уравнений

474. Решить уравнение 7( x+ 1

x )=9+2(x2+1

x2 );

475. Решить уравнение

16( x+6 )(x−1)

−20( x+2)( x+3)

=1;

476. Решить уравнение

x2+x+1x2−x+1

=79⋅x+1x−1 ;

477. Решить уравнение

24 x

2x2−3 x+4=12 x

x2+x+2+5

;

478. Решить уравнение

x+1x−1

+ x−2x+2

+ x−3x+3

+ x+4x−4

=4;

479. Решить уравнение

( x+1)5

x5+1=81

11 ;

480. Решить уравнение

x2+4 x+4x+4

−2x+6x+2

= x2+x+1x+1

−2x+9x+3 ;

481. Решить уравнение

12

x2+2x− 3

x2+2 x−2=1

.

482. Решить уравнение

3x2−12 x+11( x−1 )(x−2)( x−3 )

= 1x−1

+ 2x−2

+ 3x−3 ;

483. Решить уравнение

x2+2x+2x+1

+ x2+8 x+20x+4

= x2+4 x+6x+2

+ x2+6 x+12x+3 ;

484. Решить уравнение

2x−14

− 5x−13

= 2x−9

− 5x−11 ;

485. Решить уравнение

4

2x3+3x2−8 x−12− 1

x2−4− 4

2x2+7 x+6− 1

2 x+3=0

;

486. Решить уравнение

5

x2−2 x−3+21

x2+2x−3= 9

x2−4 x+3−35

x2+4 x+3 ;

487. Решить уравнение

12x+3

+21

2 x3+3 x2−2x−3= 3

x2−1+ 1

2 x2+5 x+3 ;

488. При каких значениях a сумма корней уравнения 4 x2+(2−a−a2) x+a2−3=0 равна

нулю?

27

Page 28: Решение уравнений

489. При каких значениях a произведение корней уравнения (a−2 ) x2+3 x=a3−2a2 равна

нулю?

490. При каких значениях a все корни уравнения ax2−2a2 x+3a2−2a=0 положительны?

491. При каких значениях a только один корень уравнения x2−2x (a+1 )+6 a−3=0 больше 2?

491. При каких значениях a корни уравнения x2−2 (a−1 ) x+2a+1=0 имеют разные знаки, и

оба по абсолютной величине меньше 4?

492. При каких значениях a корни уравнения (a+2 ) x2−2 (3−a ) x+4 a=0 удовлетворяют

условиям x1<−1 , x2>4 ?

493. Найти значение a , для которых уравнение x2−2(a−1 )⋅x+2(a+1 )=0 имеет два

положительных корня.

494. Найти значение b , при котором корни уравнения x2−3x+2b+3=0 удовлетворяют

условию 5 x1+3 x2=23 .

495. Найти значение c , при котором разность корней уравнения 25 x2−25x+с−2=0 равна 0,2.

496. Найти все значения параметра a , при которых уравнение (а+1 )x2+2ax+2=0 имеет два различных корня.

497. При каком значении k , корни уравнения x2−2(k−2 )x+k=0 будут равными?

498. При каком a уравнение ax2+2ax+x=1 не имеет решений?

499. При каких значениях параметра m квадратный трехчлен

y=(−2m−1 )x2+(−2m−2) x+2m−1 имеет корни разных знаков и положительный корень меньше модуля отрицательного? В ответ записать наибольшее целое отрицательное решение m .

500. При каких значениях параметра m квадратный трехчлен y=(−2m−2) x2+(−m−1 )x+2 положителен при всех значениях x ? В ответ записать наименьшее целое решение m .

501. При каком значении k для корней уравнения (k+1 )x2+4 x+k+3=0 выполняется соотношение 1:4?

502. При каких значениях a и b трехчлен 16 x2+144 x+a+b представляет собой полный

квадрат, если известно, что b−a=−7 ?

503. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x3−3x2−9 x=a имеет два

корня?

28

Page 29: Решение уравнений

504. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение (x2−2x−3 ) (x2−6 x+5 )=a имеет один корень?

505. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x3+x=a (x3−x ) имеет ровно

один корень?

506. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение (x2−2x−3 ) (x2−6 x+5 )=a имеет решения?

507. Выясните, при каких значениях параметра b система { y=( x−b )2¿ ¿¿¿

имеет единственное решение?

508. Найти все значения параметра a , при которых система {x2+ y2=2 (1+a ) ¿ ¿¿¿

имеет два решения?

509. При каких значениях параметра а все решения уравнения

a−1x+6

= 2 x+7

(x+2 )2−x−22

положительны?

510. Решите уравнение относительно x

x−ax−1

=0;

511. Решите уравнение относительно x

2ax−1

=1;

512. Решите уравнение относительно x

x−3m

x2−9−2m+3x+3

=m−5x−3 ;

513. Решите уравнение относительно x

(a+3) x−aax−7

=0;

514. Решите уравнение относительно x

ax3a−x

=2;

515. Решите уравнение относительно x

xb+1

+ 2 xx−2

= 3b−4( b+1)( x−2 ) ;

516. Решите уравнение относительно x

(a2−4 )x−a−2(a+1 )x−4

=0;

29

Page 30: Решение уравнений

517. Решите уравнение относительно x

1x−2a

= 2ax−1 ;

518. Решите уравнение относительно x

mxm−x

=1;

519. Решите уравнение относительно x

ax−4a−x

=1;

520. Решите уравнение относительно x

3mx−5(m−1 )( x+3 )

+ 3m−11m−1

=2 x+7x+3 ;

521. Решите уравнение относительно x a=1a+ a−1a( x−1) ; 13.

x−ax2−4 x+3

=0;

522. Решите уравнение относительно x

2mx+5x−10

=0;

523. Решите уравнение относительно x

mx−3x−1

=0;

524. Решите уравнение относительно x

1+x1−x

=ac ;

525. Решите уравнение относительно x

a( x−2 )x−a

=0.

Тригонометрические уравнения

526. Решите уравнение sin x=sin

π3 .

527. Решите уравнение sin 2 x=1

2 .

528. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения

sin x2

=−√3.

529. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения sin x=√3

2 .

30

Page 31: Решение уравнений

530. Решите уравнение cos x=−1

2 .

531. Решите уравнение sin x=−1

2 .

532. Решите уравнение cos x=−2

3 .

533. Сколько корней на промежутке [ 0 ;π ] имеет уравнение cos

x3=0

?

534. Сколько корней на промежутке [ 0 ;π ] имеет уравнение sin 3 x=0 ?

535. Найдите сумму корней уравнения 2sin2 x+sin x−1=0 , принадлежащих промежутку [ 0 ;π ].

536. При каких значениях a уравнение sin x=a на промежутке [ 0; π ) имеет два корня?

537. При каких значениях a уравнение sin 3 x=a на промежутке [ 0 ;π ] имеет четыре корня?

538. При каких значениях a уравнение cos

x3=a

на промежутке [ 0 ;π ] имеет корни?

539. При каких значениях a уравнение cos2 x−(a+1 )cos x+a=0 на промежутке [ 0 ;π ] имеет два корня?

540. При каких, из указанных ниже значениях a , уравнение sin x cos x=a на промежутке [ 0 ;π ] имеет два корня?

541. При каких значениях a уравнение sin2 x=a2 на промежутке [ 0 ;2π ] имеет четыре корня?

542. При каких значениях a уравнение ctgx=a на промежутке [0 ; π2 ]

имеет корни?

543. При каких значениях a уравнение tg 2x=a на промежутке [0 ; π2 ]

имеет один корень?

544. Решить уравнение tg( x3 + π

6 )=−1;

545. Решить уравнение cos (π ( x−6 ) )=0 ;

546. Решить уравнение cos (π (x+ 1

2 ))=−√32 .

31

Page 32: Решение уравнений

547. Решить уравнение cos2 x−4 cos x−5=0 ;

548. Решить уравнение cos2 x+sin x+1=0 ;

549. Решить уравнение sin 3 x=cos6 x .

550. Решить уравнение 5 sin 3 x=4 cos3 x ;

551. Решить уравнение sin2 x+sin x cos x=2 cos2x ;

552. Решить уравнение 3 sin2 x−3sin 2 x−5 cos2 x=2 ;

553. Решить уравнение 3 sin2 x

4−sin

x2=cos2 x

4 ;

554. Решить уравнение 5 cos2 x+sin 2 x=0 .

555. Решить уравнение cos6 x cos 4 x=sin 6 x sin 4 x ;

556. Решить уравнение 2 sin ( x+π ) sin(3x−3 π

2 )−2cos (3 x+ π2 )cos (x−6π )=1.

557. Решить уравнение sin 3 x=sin 2 x ;

558. Решить уравнение cos 4 x=sin 5 x ;

559. Решить уравнение sin 5 x−sin x=cos3 x .

560. Решить уравнение sin 3 x+cos3 x=1 ;

561. Решить уравнение sinx3−√3 cos

x3=2

;

562. Решить уравнение 2 sin x+3 cos x=√13

2 .

563. Решить уравнение 2 (sin x−cos x )=2−sin xcos x ;

564. Решить уравнение sinx2+cos

x2−sin x=1

.

565. Решить уравнение 8 sin 2 xcos2 x cos4 x=1 ;

566. Решить уравнение cos

x4

cosx2

cos x=−18 ;

32

Page 33: Решение уравнений

567. Решить уравнение 1+sin 3 x=(cos

x2−sin

x2 )

2

;

568. Решить уравнение 7 tgx+cos2 x+3 sin 2x=1 .

569. Решить уравнение cos2 x+cos23 x−sin22x−sin24 x=0 ;

570. Решить уравнение cos4 πx−sin4 πx=1

2 ;

571. Решить уравнение cos4 x

2+sin4 x

2=3

4 ;

572. Решить уравнение cos6 x+sin6 x=3 sin2 x ;

573. Решить уравнение cos3 x sin x+sin3 x cos x=1 .

574. Решить уравнение

cos2 x+cos x−2sin x

=0;

575. Решить уравнение

cos3 x cos2 x+sin3 x sin 2x+1−sin2 x1−sin x

=0.

576. Решить уравнение (cos

πx2

−1) lg (100−x2)=0;

577. Решить уравнение (cos x cos3 x+sin x sin 3 x ) √9−x2=0 ;

578. Решить уравнение ln (sin 2 x )=ln (cos2 x ) ;

579. Решить уравнение sin 0,8 x=(√4−x2)2+ x2−3 ;

580. Решить уравнение √1+cos 4 x=sin 4 x ;

581. Решить уравнение 2 sin2 x+2log2sin x

=1 ;

582. Решить уравнение (16cos2 x−8 )( 2cos2 x−10lgcos x−1 )=0 .

583. При каких значениях x числа sin 2 x ; 2 cos2 x и -4 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

33

Page 34: Решение уравнений

584. Укажите все значения x , при которых числа 1−sin 4 x ; sin 6 x и 1+sin 4 x , рассмотренные в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

585. Решить уравнение sinx2

cos2 x=1;

586. Решить уравнение sin 2 x+sin3 x=2 ;

587. Решить уравнение cos3 x=3|x|;

588. Решить уравнение 2 cos25 x=5x+5−x;

589. Решить уравнение 3sin x=4−cos2 (x2−3 x ) ;

590. Решить уравнение cos2 (sin x )=1+lg2 ( 4 x2−2x+1 ) ;

591. Решить уравнение sin x=|x|;

592. Решить уравнение 2 sin(x+ π4 )=tgx+ctgx

;

593. Решить уравнение 4 x2−6 x+3=

3−sin8πx

4 .

594. Решить уравнение 2 arccos x=1 ;

595. Решить уравнение 3 arcsin2 x=arcsin x ;

596. Решить уравнение arccos (cos x )=x ;

597. Решить уравнение arcsin (sin x )=x+4 π ;

598. Решить уравнение arccos (cos2 x )=2 x+ π

2 ;

599. Решить уравнение arcsin (x2−2 x+2 )= πx

2 ;

600. Решить уравнение

arcsin ( x+1 )=3+√x2+6 x+5.

601. Решить систему уравнений {sin x sin y=1

4¿ ¿¿¿

; 34

Page 35: Решение уравнений

602. Решить систему уравнений {sin2 x+sin y=1¿ ¿¿¿

;

603. Решить систему уравнений {cos x sin y=1

√2¿ ¿¿¿

.

604. При каких значениях a уравнение cos2 x+4 sin x=a имеет решения?

605. Укажите все значения a , при которых уравнение 6 sin3 x=a−15 cos x не имеет корней?

606. Определите, при каких значениях параметра a уравнение

sin2 x+(a+2 ) sin x+3a+1=0 не имеет решений?607. При каких значениях a уравнение arcsin x=a имеет решения?

608. При каких значениях a уравнение arccos2 x=a имеет решения?

609. При каких значениях a уравнение arcsin2 x−arcsin x=a не имеет решений?610. Определите, при каких значениях параметра a уравнение

2 (a2+1 ) cos2 x+4a2 cos x+1=0 не имеет решений?611. Определите, при каких значениях параметра a уравнение

(a2+1 ) sin2 x+2a2 sin x+0 .5=0 имеет хотя бы одно решение?612. Решить уравнение cos x=1 ;

613. Решить уравнение cosx

4cosx

2cos x=1

8 ;

614. Решить уравнение sin x=−1 ;

615. Решить уравнение sin 2 x=sin x ;

616. Решить уравнение cos x=0 ;

617. Решить уравнение cos20 x=−cos5 x ;

618. Решить уравнение tgx=0 ;

619. Решить уравнение cos (2 x−7 π

2 )=sin (4 x+3 π );

620. Решить уравнение ctgx=−1 ;

621. Решить уравнение cos 4 x=sin 2 x ;

622. Решить уравнение sin x=√3

2 ;

623. Решить уравнение sin 8 x+cos2 x=0 ;35

Page 36: Решение уравнений

624. Решить уравнение cos x=−1

2 ;

625. Решить уравнение sin( π9 +x)+sin( 5 π

9−x)=√3

2 ;

626. Решить уравнение sin 3 x=−1

2 ;

627. Решить уравнение cos (x+ π6 )−sin( π6 −x)=sin(x+ π4 )

;

628. Решить уравнение ctg( x2 + π

3 )=1√3 ;

629. Решить уравнение sin x+sin 5x=2 cos2x ;

630. Решить уравнение sin (π ( x−2 ) )=0 ;

631. Решить уравнение cos5 x−cos 2x+cos x=0 ;

632. Решить уравнение cos (π ( x+3 ) )=1 ;

633. Решить уравнение sin x−sin 2 x+sin 3x−sin 4 x=0 ;

634. Решить уравнение cos6 x cos5 x+sin 6 x sin 5 x=−1 ;

635. Решить уравнение cos5 x−sin 5 x=sin 7 x−cos 7 x ;

636. Решить уравнение sin (2 x+3 π ) sin(3 x+ 3π

2 )−sin 3 xcos 2x=−1;

637. Решить уравнение cos2 x+cos23 x−sin22x−sin24 x=0 ;

638. Решить уравнение sin(5x−3 π

2 )cos (2 x+4 π )−sin (5 x+π ) sin 2x=0;

639. Решить уравнение 2 sin2 2 x=(cos x+sin x )2 ;

640. Решить уравнение cos2 x−4 cos x+3=0 ;

641. Решить уравнение (cos3 x+sin 3 x )2=1+cos 2x ;

642. Решить уравнение cos2 x=sin x−1 ;

643. Решить уравнение cos23 x+cos2 4 x+cos25 x=3

2 ;

36

Page 37: Решение уравнений

644. Решить уравнение sin x−1=2cos 2x ;

645. Решить уравнение sin x−cos x=1 ;

646. Решить уравнение sin 2 x=cos 4 x ;

647. Решить уравнение √3sin x+cos x=√2 ;

648. Решить уравнение 4 cos2 x

2+cos2x=1

;

649. Решить уравнение sin 5 x+cos3 x=√3 sin3 x+√3 cos5 x ;

650. Решить уравнение sinx

3−cos

x3=0

;

651. Решить уравнение cos4 x+sin4 x=5

8 ;

652. Решить уравнение 2 sin 2x+3 cos2 x=0 ;

653. Решить уравнение cos6 x+sin6 x=2cos 4 x ;

654. Решить уравнение sin2 x−2sin x cos x=0 ;

655. Решить уравнение sin x+cos x+sin xcos x=1 ;

656. Решить уравнение sin2 x

2−2sin

x2

cosx

2=3 cos2x

2 ;

657. Решить уравнение 2 (sin x−cos x )+3sin 2x=2 ;

658. Решить уравнение 6 sin x cos x−8 cos2 x=0 ;

659. Решить уравнение tg7 x=tgx ;

660. Решить уравнение 4 sin25 x−2 .5sin 10 x=6 cos25 x ;

661. Решить уравнение tg 8x=−tg2 x ;

662. Решить уравнение 2 sin2 x+sin xcos x+cos2 x=2 ;

663. Решить уравнение sin2 x+√2 cos(2x− π

4 )=1;

664. Решить уравнение 1−cos x=2 sin

x2 ;

37

Page 38: Решение уравнений

665. Решить уравнение cos3 x sin x−sin3 xcos x=1

4 ;

666. Решить уравнение 1+cos x=2sin (x2

−3π2) ;

667. Решить уравнение sin x sin3 x=−1 ;

668. Решить уравнение 8 sin x cos xcos 2x=−1 ;

669. Решить уравнение cos2 x+sin 3 x=−2 ;

670. Решить уравнение

2cos x−√31−sin x

=0;

671. Решить уравнение 4cos2x= 1−6√5

1−12√5+( 1−36√5 )( 1−36√5+18√5 )

;

672. Решить уравнение

cos3 x cos2 x+sin3 x sin 2x1−sin x

=0;

673. Решить уравнение (cos

πx2

−1) log5 ( 100−x2)=0;

674. Решить уравнение

1−cos x

sinx

2

=−2

;

675. Решить уравнение ( 1

cos2 x−1)√25−x2=0

;

676. Решить уравнение log3 (sin 2x )=log3 (−sin x ) ;

677. Решить уравнение (ctgx−3√3 tg2 x )√4−x2=0 ;

678. Решить уравнение lg (sin 2 x )=lg (−cos x ) ;

679. Решить уравнение (2 cos2 x−sin x−2 )√9−x2=0 ;

680. Решить уравнение 2 cos2x−5log5cos x

=1 ;

681. Решить уравнение (cos x cos3 x−sin x sin3 x ) √3 x−x2=0 ;

682. Решить уравнение sin2 x+ 3

87

log7sin x= 1

16 ;

38

Page 39: Решение уравнений

683. Решить уравнение ctg πx log2( 1−x2)=0 ;

684. Решить уравнение ;

685. Решить уравнение log3(2x−x2 ) (9sin x−3 )=0 ;

686. Решить уравнение √1−cos 2x=sin 2 x ;

687. Решить уравнение (16cos2 x−8 )√−x2+7 x−10=0 ;

688. Решить уравнение tg 3x sin 6 x+cos6 x−cos12 x=0 ;

689. Решить уравнение (5−x2)−1

2 (cos (π⋅3x)+1 )=0 ;

690. Решить уравнение ctg 2x cos x+sin x=cos x ;

691. Решить уравнение cos2 ( x sin x )=1+ log52√ x2+x+1 ;

692. Решить уравнение 7 tgx+cos2 x+3 sin 2x=1 ;

693. Решить уравнение cos x=x2+1 ;

694. Решить уравнение √2 (1+cos x )=ctg x

2 ;

695. Решить уравнение sinπx2

=x2−2x+2;

696. Решить уравнение 144sin x=(√5−2√6+√5+2√6 )2;

697. Решить уравнение 5sin x=6−cos2 4 x

5 ;

698. Решить уравнение 2 cos2 x

2+x6

=2x+2− x

.

699. Решить уравнение 4 arccos2 x=1 ;

700. Решить уравнение 4 arctg

3 x−1x+3

=π;

701. Решить уравнение 4 arcsin2 x=3 ;

702. Решить уравнение 9 arccos2 2 x−3 π arccos2 x=2 π2;

39

Page 40: Решение уравнений

703. Решить уравнение 27 arccos3 x=arccos x ;

704. Решить уравнение

arcsin ( x−1 )=2+√ x2−x−2;

705. Решить уравнение arcsin (sin x )=x−2π ;

706. Решить уравнение

arccos (−0 .5 x )=2+(x2−x−2 )8;

707. Решить уравнение arccos (cos x )=x−3π

2 ;

708. Решить уравнение arcsin (x2−2 x+2 )= πx

2 ;

709. Решить уравнение log 0. 5 π arccos (2x+1 )=1 ;

710. Решить уравнение arccos (6 x−x2−10 )=πx

3 .

Уравнения, содержащие знак модуля

711. Сколько корней имеет уравнение |x−2|=|x+4|?

712. Сколько корней имеет уравнение |3 x−2|=|x+4|?

713. Сколько корней имеет уравнение |2 x+3|=x ?

714. Сколько корней имеет уравнение |3 x−4|+|2x+5|=0 ?

715. Какой из указанных ниже промежутков содержит все корни уравнения

|2 x+3|+|x−4|=3 x−1 ?

716. Какой из указанных ниже промежутков содержит все корни уравнения

|3 x−1|+|x+4|=|4 x+3|?

717. Найдите сумму корней уравнения |log2 x−1|=2

.

718. Сколько целых корней имеет уравнение |x2−3 x|=3 x−x2

?

719. Сколько целых корней имеет уравнение |1x−1|=1

x−1

?

40

Page 41: Решение уравнений

720. Сколько корней имеет уравнение lg2x=2|lg x|?

721. Сколько корней имеет уравнение ln2 x−7|ln x|+1=0?

722. Сколько корней имеет уравнение log 1

2

2 x−|log2 x|−3=0?

723. Найдите сумму целых корней уравнения |log3 x+2|+|log3 x+1|=1

.

724. Какой из указанных ниже промежутков не содержит корней уравнения

|log3 x−1|+|x2−16|=log3 x− x2+15?

725. Какой из указанных ниже промежутков не содержит корней уравнения

|2x−1|+|4 x−2|=|4x+2x−3|?

726. При каких значениях a уравнение |x2−4 x+7|=a имеет два корня?

727. При каких значениях a уравнение |x2−2x−1|=a имеет два корня?

728. Сколько корней имеет уравнение |x2+2 x|=a при всех значениях a , удовлетворяющих

условию 0<a<1 ?

729. Сколько корней на промежутке [ 0 ;2π ] имеет уравнение |sin x|=a при всех значениях a ,

удовлетворяющих условию 0<a<1 ?

730. Решить уравнение |2 x+1|=−5 ;

731. Решить уравнение |3 x−1|=5 ;

732. Решить уравнение |x2+2|=4 ;

733. Решить уравнение 0,4|6−112−3 x2|+3=4 ;

734. Решить уравнение 5|x−1|=7 ;

735. Решить уравнение |log2 (2x+1 )|=3 ;

736. Решить уравнение |lg (2 x−1 )|=1 ;

737. Решить уравнение ln|2 x+1|=1 ;

41

Page 42: Решение уравнений

738. Решить уравнение

log 14

| x+1x−1

|=−1;

739. Решить уравнение log 2 (x+1 )2−log 0,5√x2+2x+1=6 ;

740. Решить уравнение √1−cos2 3 x=1

2 ;

741. Решить уравнение |cos

πx4

|=2−1√2 ,−4≤x≤2.

742. Решить уравнение |4+5 x|=|1−3 x|;

743. Решить уравнение |4−3x|=|5+2 x|;

744. Решить уравнение |x2−2x−3|=|x2+x−4|;

745. Решить уравнение |x4−3 x3|=5|x5|;

746. Решить уравнение |sin x|=|sin 3 x|;

747. Решить уравнение ;

748. Решить уравнение

|2+ log 15

x|=|1−log 15

x|;

749. Решить уравнение |log2 x|=|log2 8 x|

;

750. Решить уравнение ;

751. Решить уравнение 4|x+2|=8|5 x−1|

;

752. Решить уравнение |x2−4 x−5|+|1−x2|=0 ;

753. Решить уравнение |2x−21− x−1|+|log2 x−1|=0 ;

754. Решить уравнение |x2−4 x+3|+|1−2x−1|=0 ;

755. Решить уравнение

|log2(x2−3 x )−2|+|log1

3

(2x+4 )+1|=0;

42

Page 43: Решение уравнений

756. Решить уравнение |3x+1−3|+|sin x|=0 ;

757. Решить уравнение |7x+2−2⋅7x+1−5|+|9x−1+3x+1−2|=0 .

758. Решить уравнение |x2+7 x+12|=x2+7 x+12 ;

759. Решить уравнение |x2−1|=x2−1 ;

760. Решить уравнение |1x−1|=1

x−1

;

761. Решить уравнение |8 x2−2x 4|=2 x2 ( x2−4 ) ;

762. Решить уравнение |2x+2x+1−3x−3x+1|=3x+3x+1−2x−2x+1

;

763. Решить уравнение 93 x−0.5=3|6 x−1|

;

767. Решить уравнение | x

2−4 x+3x2+7 x+10

|=− x2−4 x+3x2+7 x+10 ;

768. Решить уравнение |sin x−cos x|=cos x−sin x ;

769. Решить уравнение |sin (2x−π 4)−1

2|=1

2−sin (2 x−π 4) .

770. Решить уравнение x2−2|x|−8=0 ;

771. Решить уравнение x2−6|x|+8=0 ;

772. Решить уравнение x2−2x=3|x−1|−1 ;

773. Решить уравнение x2−6 x=4|3−x|−9 ;

774. Решить уравнение log 1

4

2 x−|log2 x|+1=0;

775. Решить уравнение lg 1

4

2 x−3|log2 x|+5=0;

776. Решить уравнение lg2x+ lg|x|=3 ;

777. Решить уравнение 2 cos2x=|cos x|;

43

Page 44: Решение уравнений

778. Решить уравнение sin2 x=|sin x|;

779. Решить уравнение 5|x|+5−|x|=2 ;

780. Решить уравнение (√2−√3 )|x|+(√2+√3 )|x|=1 ;

781. Решить уравнение

3|2 x−1|−2

=|2x−1|;

782. Решить уравнение

4|x+1|−2

=|x+1|.

783. Решить уравнение |2 x+1|+|3 x+7|=5x+8 ;

784. Решить уравнение |x2−3 x+2|+|x2−5 x|=2x+2 ;

785. Решить уравнение |x3−3 x2|+|x3−9 x|=9x−3x2

;

786. Решить уравнение |x2−1|+2|x|=x2+2 x−1 ;

787. Решить уравнение |23 x−1−4|+|3⋅23 x−1−1|=23 x−1−5 ;

788. Решить уравнение |√ x+2−1|+|√x−3−2|=√x+2+√x−3−3 ;

789. Решить уравнение |sin 3 x|+|cos 3x|=√2sin (3 x+ π4 )

.

790. Решить уравнение |6−7 x|+|x−2|=|8−8 x|;

791. Решить уравнение |x2−3 x|+|x2+2 x|=5|x|

792. Решить уравнение |x2−9|+|x+3|=|x2+ x−6|;

793. Решить уравнение |3x−2|+|2x−3|=|3x+2x−5|;

794. Решить уравнение |3x−1|+|2x−5|=|3x+2x−6|;

795. Решить уравнение |log2 x−3|+|log3 x−2|=|log2x+ log3 x−5|

.

796. Решить уравнение |3 x−5|+|3 x−7|=2 ; 44

Page 45: Решение уравнений

797. Решить уравнение |x−1|+|x−2|=1 ;

798. Решить уравнение |x2−3 x−4|+|x2−3 x|=4 ;

799. Решить уравнение

|2+ log 13

x|=3−|1−log13

x|;

800. Решить уравнение |log3 (2x−1 )−2|+|log3 (2 x−1 )−3|=1 ;

801. Решить уравнение |3x−1|+|3x−3|=2 ;

802. Решить уравнение |√2 x−7−2|+|√2x−7−4|=2 ;

803. Решить уравнение |cos x−1

3|+|cos x−1

2|=1

6 ;

804. Решить уравнение √4 x2+4 x+1+√4 x2−4 x+1=2 .

805. Решить уравнение |x−8|=x2−x−8 ;

806. Решить уравнение |x+1|−|x−2|=5x+4 ;

807. Решить уравнение

|x2−4 x+3|x−1

=1;

808. Решить уравнение √ x2−3+|x−1|=x ;

809. Решить уравнение |x−10|log2 ( x−3 )=2 ( x−10 ) ;

810. Решить уравнение

|log13

x−1|−|log9 x−2|=1;

811. Решить уравнение 2|x+2|−|2x+1−1|=2x+1+1 ;

812. Решить уравнение |cos x|=−sin x .;

813. Решить уравнение

4

|x2+5 x|=

|x+1|5x+x2

;

814. Решить уравнение |lg x|+ lg|x|=0 ;

45

Page 46: Решение уравнений

815. Решить уравнение ;

816. Решить уравнение |log√2

x−2|−|log2 x−2|=2;

817. Решить уравнение ;

818. Решить уравнение (x2+2 )cos x=3 x|cos x|;

819. Решить уравнение

|x2−4 x+3|x−2.5

=2;

820. Решить уравнение |sin x|=sin x+2 cos x ;

821. Решить уравнение √|x|=x ;

822. Решить уравнение √3|cos x|=sin x ;

823. Решить уравнение

|x2−4 x|+3

x2+|x−5|=1

;

824. Решить уравнение

2x−1|x+1|

+|3 x−1|x+2

=4;

825. Решить уравнение |x|x2−2 x=1 ;

826. Решить уравнение √2 log8 (−x )=log8|x|;

827. Решить уравнение |x−10|log2 ( x−3 )=2 ( x−10 ) ;

828. Решить уравнение |sin x+cos x|=cos x−sin x ;

829. Решить уравнение sin|x|=|cos x|.

830. Решите систему уравнений {2 x+ y=7 ¿ ¿¿¿

;

831. Решите систему уравнений {log|x|(2−log2 y )=1¿ ¿¿¿

;

46

Page 47: Решение уравнений

832. Решите систему уравнений .

833. При каких значениях параметра a уравнение a (2|x|−3 )=a2 имеет два корня?

834. При каких значениях параметра a уравнение 3−|x|=|a| имеет решения?

835. При каких значениях параметра a уравнение a2 (4−|x|−3 )+a=0 имеет решения?

836. При каких значениях параметра a уравнение имеет решения?

837. Для всех значений параметра a определить число корней в уравнении x2−2|x|=a .

838. При каких значениях a парабола y=x2−2 x+|a−3| и прямая y=−3x имеют две общие

точки?

839. При каких значениях параметра a система уравнений {5|x|+ y=1 ¿ ¿¿¿

имеет единственное решение?

840. При каких значениях параметра a система уравнений {x2+ y2=1 ¿ ¿¿¿

имеет три решения?

841. При каких значениях параметра a система уравнений {3|x|+ y=2¿ ¿¿¿

имеет единственное решение?

842. При каких значениях параметра a система уравнений {x+ y=a¿ ¿¿¿

не имеет решений?

843. При каких значениях параметра a система уравнений {x2+ y2=2 ¿ ¿¿¿

имеет хотя бы одно решение?

xxx aa 3312322

47

Page 48: Решение уравнений

48