67
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

  • Upload
    -

  • View
    1.021

  • Download
    8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Το φυλλάδιο της καλοκαιρινής προετοιμασίας

Citation preview

Page 1: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Page 2: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

2

“Το χαρακτηριστικό γνώρισµα ενός πραγµατικά καλά αναθρεµµένου ανθρώπου είναι ότι συγκινείται βαθιά από τις στατιστικές .» Τζωρτζ Μπέρναρντ Σω ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είναι η επιστήµη που προσπαθεί να ερµηνεύσει φαινόµενα του πραγµατικού κόσµου που εµπεριέχουν µεταβλητότητα και αβεβαιότητα. Εφαρµόζει µεθόδους συλλογής και ανάλυσης αριθµητικών, κατά βάση, δεδοµένων και χρησιµοποιείται σε όλους τους κλάδους της επιστήµης.

Η στατιστική ονοµάζεται επαγωγική επιστήµη , γιατί µελετώντας ένα µέρος του πληθυσµού µπορεί να βγάλει συµπεράσµατα για όλο τον πληθυσµό. Ορισµός:

Βασικές έννοιες και ορισµοί Πληθυσµός είναι το σύνολο των µετρήσεων ή παρατηρήσεων που αναφέρονται σε κάποιο χαρακτηριστικό ή σε κάποια ιδιότητα των µονάδων του συνόλου που εξετάζουµε. Κάθε στοιχείο του πληθυσµού ονοµάζεται άτοµο. Το πλήθος των ατόµων ενός πληθυσµού λέγεται µέγεθος του πληθυσµού, και συµβολίζεται µε το γράµµα ν.

Παράδειγµα (1) Αν µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε την επίδοση των µαθητών της πολης του Αγρινίου στα Μαθηµατικά, τότε ο πληθυσµός είναι όλοι οι µαθητές που πηγαίνουν σχολείο στην πόλη του Αγρινίου.Κάθε µαθητής αποτελεί ένα άτοµο. Το πλήθος όλων των µαθητών είναι το µέγεθος του πληθυσµού.

∆είγµα είναι κάθε υποσύνολο δεδοµένων του πληθυσµού που έχουµε πάρει τυχαία µε κανόνες και κριτήρια που στοχεύουν στην πληρέστερη αντιπροσώπευση του πληθυσµού. (Ένα δείγµα θεωρείται αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού, αν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε µονάδα του πληθυσµού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί.) Παράδειγµα (2) Στην περίπτωση που ελέγχουµε τη διάρκεια ζωής των τηλεοράσεων, δεν θα εξετάσουµε όλες τις τηλεοράσεις της βιοµηχανίας αλλά έναν µικρό αριθµό από αυτές, τις οποίες θα θέσουµε σε λειτουργία µέχρι να χαλάσουν και θα χρονοµετρήσουµε το χρόνο ζωής τους.

Μεταβλητή (ή τυχαία µεταβλητή) είναι ένα χαρακτηριστικό του πληθυσµού, ως προς το οποίο εξετάζεται ο πληθυσµός. Συνήθως συµβολίζονται µε κεφαλαία γράµµατα Χ, Υ, Ζ... Από τη µελέτη των ατόµων ενός πληθυσµού ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους, προκύπτουν παρατηρήσεις που λέγονται στατιστικά δεδοµένα και είναι κατάλληλα για επικοινωνία, ερµηνεία και επεξεργασία

Στατιστική είναι ο κλάδος των Μαθηµατικών που έχει ως αντικείµενο:

• Το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµένων

• Τη συνοπτική και αποτελεσµατική παρουσίασή τους

• Την ανάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτων

Περιγραφική Στατιστική είναι ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται µε τη συγκέντρωση

στοιχείων, την ταξινόµησή τους, την περιγραφή και την παρουσίασή τους σε κατάλληλη µορφή,

ώστε να µπορούν να αναλυθούν και να ερµηνευθούν για την εξυπηρέτηση διαφόρων σκοπών.

Page 3: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

3

Παράδειγµα (3) Το φύλο ενός ατόµου (µε τιµές αγόρι ή κορίτσι) Ο αριθµός των παιδιών σε µια οικογένεια (µε τιµές 0, 1, 2, 3, 4...) Οι τιµές της θερµοκρασίας στην Αθήνα (µε τιµές -10,....,45) Τιµές της µεταβλητής Χ λέγονται όλες οι τιµές που µπορεί να πάρει µια µεταβλητή Χ, και συµβολίζονται µε χ1, χ2, χ3...χκ. Οι τιµές µιας µεταβλητής δεν είναι, αναγκαία, αριθµητικές τιµές. Έτσι, διακρίνονται σε:

1. Ποιοτικές µεταβλητές: είναι εκείνες των οποίων οι τιµές δεν µπορούν να µετρηθούν (δεν είναι αριθµοί) Παράδειγµα

Η κατάσταση της υγείας των κατοίκων µιας πόλης µε τιµές «πολύ καλή», «καλή», «µέτρια» και «κακή».

2. Ποσοτικές µεταβλητές: είναι εκείνες, των οποίων οι τιµές µπορούν να µετρηθούν (είναι αριθµοί) Παράδειγµα: Η βαθµολογία των µαθητών της Γ΄ τάξης στα Μαθηµατικά

Οι ποσοτικές µεταβλητές διακρίνονται σε:

• ∆ιακριτές µεταβλητές στις οποίες κάθε άτοµο του πληθυσµού µπορεί να πάρει µόνο διακεκριµένες (µεµονωµένες) τιµές.

Για παράδειγµα «ο αριθµός των παιδιών που έχει µια οικογένεια»

• Συνεχείς µεταβλητές στις οποίες κάθε άτοµο του πληθυσµού µπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή που ανήκει σε διάστηµα πραγµατικών αριθµών

Για παράδειγµα «το ύψος των µαθητών της Γ΄ τάξης».

Page 4: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

4

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ

Ορισµός

Οι πίνακες διακρίνονται σε

1. Γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν κάθε πληροφορία που µας έχει δώσει µια µεγάλη στατιστική έρευνα, είναι µεγάλου µεγέθους, περιλαµβάνουν πολλά λεπτοµερειακά στοιχεία και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών.

2. Ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους προέρχονται συνήθως από τους γενικούς πίνακες. Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά, πρέπει να περιέχει • Τον τίτλο, που γράφεται στο πάνω µέρος του πίνακα και πρέπει µε σαφήνεια να δηλώνει το περιεχόµενο του πίνακα και να είναι περιληπτικός.

• Τις επικεφαλίδες των στηλών και των γραµµών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τη µονάδα µέτρησης των δεδοµένων µας.

• Την πηγή, που γράφεται στο κάτω µέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών δεδοµένων µας. • Το κύριο σώµα , που περιέχει διαχωρισµένα µέσα στις γραµµές και στις στήλες τα στατιστικά δεδοµένα.

Συχνότητα Παρατηρήσεων Θεωρούµε τη µεταβλητή Χ µε τιµές 1 2 3 kx ,x ,x ,...,x που αφορούν τα άτοµα (στοιχεία) ενός δείγµατος µεγέθους ν,

µε κ ≤ ν. Ονοµάζουµε: • Συχνότητα (απόλυτη) της τιµής χi της µεταβλητής Χ, τον αριθµό νi, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή

χi της µεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Ισχύει: 0 ι≤ ν ≤ ν και 1 2 3 k...ν + ν + ν + + ν = ν .

• Σχετική συχνότητα της τιµής χi της µεταβλητής Χ, τον αριθµό fi που είναι ίσος µε το πηλίκο της απόλυτης συχνότητας της τιµής χi προς το µέγεθος ν του δείγµατος. ∆ηλαδή

ii

vf

v=

Ισχύει ότι i0 f 1≤ ≤ και ότι 1 2 3 kf f f ... f 1+ + + + = διότι

1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 k

v v v ...v v v v v v v v v ...v vf f f ... f 1 .... 1

v v v v v v v vκ κ κ+ + + + + +

+ + + + = = = = + + + + = = = .

• Σχετική συχνότητα επί τις 100 είναι το γινόµενο 100 fi . Συµβολίζεται µε fi % = 100⋅ f i

• Όταν έχουµε ποσοτικές µεταβλητές, εκτός των συχνοτήτων, χρησιµοποιούµε και τις αθροιστικές συχνότητες. Αθροιστική συχνότητα Νi µιας τιµής xi λέγεται το άθροισµα των συχνοτήτων νi των τιµών που είναι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή αυτή, δηλαδή:

i 1 2 iN v ..= + ν + + ν

• Όταν έχουµε ποσοτικές µεταβλητές, εκτός των σχετικών συχνοτήτων, χρησιµοποιούµε και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες. Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi µιας τιµής xi λέγεται το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων fi των τιµών που είναι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή αυτή, δηλαδή:

i 1 2 iF f f .. f= + + +

Ισχυουν οι ιδιοτητες :

i i 1 i i 1i iN N N N− −= + ν ⇔ ν = − , i i 1 i i 1i i

F F f f F F− −= + ⇔ = − , 1 1N = ν , kN = ν , i

iN

F =ν

Στατιστικοί πίνακες είναι ο τρόπος µε τον οποίο παρουσιάζουµε τα στατιστικά δεδοµένα µετά

τη συλλογή τους, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συµπερασµάτων

Page 5: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

5

Παράδειγµα (4) Από τους µαθητές µιας τάξης πήραµε 30 και τους εξετάζουµε ως προς τον χαρακτηρισµό του βαθµού τους : µέτριο (Μ) , καλά (Κ) , πολύ καλά(Π), άριστα (Α). Προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσµατα: Κ Μ Μ Κ Κ Π Κ Α Μ Κ Μ Κ Π Μ Μ Μ Π Κ Κ Α Μ Π Α Κ Κ Μ Α Π Μ Π α) Να βρεθεί το µέγεθος ν του δείγµατος . β) Να βρεθεί η συχνότητα εµφάνισης του κάθε χαρακτηρισµού. γ) Να βρεθεί η σχετική συχνότητα εµφάνισης του κάθε χαρακτηρισµού. Λύση α) Το µέγεθος του δείγµατος εκφράζεται από τους 30 µαθητές , άρα ν=30. β)Το χαρακτηρισµό (Μ) έχουν 10 µαθητές , άρα η συχνότητα εµφάνισης νi του χαρακτηρισµού (Μ) είναι ίση µε 10 , δηλαδή ν1 =10. Αντίστοιχα ο χαρακτηρισµός (Κ) έχει συχνότητα ν2=10 , ο χαρακτηρισµός (Π) έχει συχνότητα ν3 =6 και ο χαρακτηρισµός (Α) έχει συχνότητα ν4= 4 γ) Η σχετική συχνότητα εµφάνισης του χαρακτηρισµού (Μ) στο δείγµα , είναι:

11

v 10f 0.333 33,3%

v 30= = = =

Αντίστοιχα η σχετική συχνότητα του χαρακτηρισµού (Κ) είναι:

22

v 10f 0.333 33,3%

v 30= = = =

του χαρακτηρισµού (Π) είναι:

33

v 6f 0.2 20%

v 30= = = =

και του χαρακτηρισµού (Α) είναι:

44

v 4f 0.133 13.3%

v 30= = = =

Οι πληροφορίες που αφορούν τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες µπορούν να παρασταθούν σε ένα πίνακα που

λέγεται πίνακας συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Η απεικόνιση των πληροφοριών αυτών αποτελεί µια

κατανοµή συχνοτήτων ( σχετικών συχνοτήτων).

Χαρακτηρισµός Συχνότητες Σχετικές συχνότητες

if Σχετικές

συχνότητεςif %

(Μ) µέτρια 10 0,333 33,3 ο/ο

(Κ) Καλά 10 0,333 33,3 ο/ο

(Π) Πολύ καλά 6 0,2 20 ο/ο (Α) Άριστα 4 0,133 13,3 ο/ο Σύνολο 30 1 100 ο/ο

Page 6: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

6

Παράδειγµα (5) Οι εβδοµαδιαίες αποδοχές σε ευρω ενός δείγµατος µεγέθους 24, από τους εργάτες ενός εργοστασίου, είναι 200 175 160 175 180 190 170 160 160 175 190 190 180 200 170 200 190 200 160 175 190 170 160 170 Σε έναν πίνακα να παρουσιαστούν οι συχνότητες, οι σχετικές συχνότητες, οι αθροιστικές συχνότητες και οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες.

Λύση

Μισθός σε €

ix

Συχνότητες

Σχετικές συχνότητες

if

Αθροιστικές Συχνότητες

Σχετικές Αθροιστικές

Συχνότητες iF %

160 5 20,83 5 20,83

170 4 16,66 9 37.49

175 4 16,66 13 54,15

180 2 8.3 15 62.45

190 5 20,83 20 83,28

200 4 16,66 24 100.00

Σύνολο 24 100

Σηµείωση Για την κατασκευή του πίνακα που περιέχει τις αθροιστικές συχνότητες, είναι απαραίτητο οι τιµές της µεταβλητής να έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά:(160, 170, 175, 180,...) Παράδειγµα (6) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή συχνοτήτων 40 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους

Αριθµος Παιδιων ix Αριθµος οικογενειων iv

0 8 1 11 2 9 3 6 4 3 5 2 6 1 Να βρείτε το ποσοστό και το πλήθος των οικογενειών που έχουν α)πάνω από τρία παιδιά β)από 3 έως και 5 παιδιά γ)το πολύ 6 παιδιά δ) ακριβώς 2 παιδιά ε) τουλάχιστον 1 παιδί στ) λιγότερα από 3 ή περισσότερα από 5 Λύση

α)Πάνω από 3 παιδιά έχουν 3+2+1=6 οικογένειες , ποσοστό 6

0.15% 15%40

= = .

β)Από 3 έως και 5 παιδιά 6+3+2=11 οικογένειες , ποσοστό11

0.275% 27.5%40

= = .

γ)το πολύ 6 παιδιά έχουν 40 οικογένειες ,ποσοστό 40

1 100%40

= = .

δ)ακριβώς 2 παιδιά έχουν 9 οικογένειες , ποσοστό 9

0.225 22.5%40

= = .

Page 7: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

7

ε)τουλάχιστον 1 παιδί έχουν 32 οικογένειες (11+9+6+3+2+1) , ποσοστό 32

0.80 80%40

= = .

στ) λιγότερα από 3 ή περισσότερα από 5 έχουν 28+1=29οικογένειες , ποσοστό 29

0.725 72.5%40

= = .

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Τα στατιστικά δεδοµένα παρουσιάζονται και µε τη µορφή γραφικών παραστάσεων ή διαγραµµάτων. Η

χρησιµότητα των διαγραµµάτων είναι µεγάλη διότι παρέχουν πιο σαφή εικόνα ενός φαινοµένου σε σχέση µε τους πίνακες, προκαλούν την προσοχή µας, διατηρούνται σχετικά εύκολα στη µνήµη µας. Σε ένα διάγραµµα κατανοµής συχνοτήτων, στον οριζόντιο άξονα τοποθετούµε τις τιµές της µεταβλητής χι , ενώ στον κατακόρυφο άξονα τοποθετούµε τις αντίστοιχες συχνότητες. Τα κυριότερα είδη στατιστικών διαγραµµάτων είναι:

1. Ραβδόγραµµα Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας

ποιοτικής µεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες ίσου πλάτους που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα (οριζόντιο ραβδόγραµµα) ή στον κατακόρυφο άξονα (κατακόρυφο ραβδόγραµµα). Το ύψος των ορθογώνιων στηλών είναι ίσο µε τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί η ορθογώνια στήλη. Η απόσταση µεταξύ των ορθογώνιων στηλών καθορίζεται αυθόρµητα.

2. ∆ιάγραµµα συχνοτήτων Χρησιµοποιείται αντί του ραβδογράµµατος, όταν έχουµε

ποσοτική µεταβλητή. Το διάγραµµα συχνοτήτων αποτελείται από κάθετες γραµµές που υψώνεται σε κάθε χi . Τα χi έχουν τοποθετηθεί από το µικρότερο στο µεγαλύτερο, δηλαδή χ1 < χ2 < χ3 <..... <χκ που έχουν ύψος ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα.

3. Κυκλικό διάγραµµα Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται

τόσο για ποιοτικές όσο και για ποσοτικές µεταβλητές. Είναι εύχρηστο όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραµµα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς, που ο καθένας αντιστοιχεί σε τιµές χi της µεταβλητής. Το µήκος των τόξων των κυκλικών τοµέων (ή τα εµβαδά τους) είναι ανάλογα µε τις συχνότητες νi ή τις σχετικές συχνότητες fi των τιµών χi της µεταβλητής. Αν υποθέσουµε αi το µήκος του τόξου του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στην τιµή χi , τότε:

αi = ii f

v

v⋅=⋅ 00 360360

4. Εικονόγραµµα Χρησιµοποιείται, συνήθως, στη µελέτη µεγάλων δειγµάτων

Page 8: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

8

5. Σηµειόγραµµα

Εάν έχουµε λίγες παρατηρήσεις, η κατανοµή τους µπορεί να περιγραφεί µε το σηµειόγραµµα, στο οποίο οι τιµές παριστάνονται γραφικά σαν σηµεία πάνω από έναν οριζόντιο άξονα.

6. Χρονόγραµµα Το χρονόγραµµα ή χρονολογικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για την παρουσίαση της διαχρονικής εξέλιξης ενός µεγέθους (συνήθως οικονοµικού). Ο οριζόντιος άξονας χρησιµοποιείται ως άξονας χρόνου και ο κατακόρυφος ως άξονας των τιµών της εξεταζόµενης µεταβλητής. Παραδειγµα (7).Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας

iχ iv if iN iF if % iF %

1 8 0.4 2 10 3 5 0.25 15 4 18 5 10 Σύνολο 100 Λύση

1 1 8= =N v , 2 2 1 10 8 2= − = − =v N N , 33 3

3

520

0.25= ⋅ ⇔ = ⇔ = =

fv v f v v

v

22 2

20.1

20= ⇔ = =

vf f

v , 4 4 3 18 15 3= − = − =v N N , 5 1 2 3 4( ) 2= − + + + =v v v v vν

44 4

30.15

20= ⇔ = =

vf f

v , 5

5 52

0.120

= ⇔ = =v

f fv

5 20= =N v .Η συµπλήρωση των στηλών iF , if %, iF % γίνεται πλέον εύκολα.

iχ iv if iN iF if % iF %

1 8 0.4 8 0.4 40 40 2 2 0.1 10 0.5 10 50 3 5 0.25 15 0.75 25 75 4 3 0.15 18 0.90 15 90 5 2 0.1 20 1 10 100 Σύνολο 20 100

Page 9: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

9

Παράδειγµα (8) Στον παρακάτω πίνακα, δίνεται ο αριθµός των 400 υπαλλήλων ενός Υπουργείου που έχουν συγκεκριµένο χρόνο υπηρεσίας:

Έτη υπηρεσίας Αρ. υπαλλήλων 5 100 6 80 7 130 8 30 9 40 10 20

α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας, µε τις σχετικές συχνότητες. β) Να παρασταθούν µε όλους τους δυνατούς τρόπους, η κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Λύση α) Ο πίνακας µε τις σχετικές συχνότητες, γίνεται:

Έτη υπηρεσίας

ix

Αριθµός υπαλλήλων

Σχετικές συχνότητες

if

Σχετικές Αθροιστικές

Συχνότητες if %

5 100 0,25 25

6 80 0,2 20

7 130 0,325 32,5

8 30 0,075 7,5

9 40 0,10 10

10 20 0,05 5

Σύνολο 400 1 100

β) Γραφική παράσταση κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Γραφική παράσταση Γραφική παράσταση κατανοµής συχνοτήτων κατανοµής σχετικών συχνοτήτων

Page 10: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

10

Ραβδόγραµµα κατανοµής Ραβδόγραµµα κατανοµής συχνοτήτων (κατακόρυφο) σχετικών συχνοτήτων (κατακόρυφο)

Ραβδόγραµµα κατανοµής Ραβδόγραµµα κατανοµής συχνοτήτων (οριζόντιο) σχετικών συχνοτήτων (οριζόντιο)

Κυκλικό διάγραµµα Στην τιµή "5 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας:

02 360f ⋅ =25% .360° =90°.

Στην τιµή "6 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0

2 360f ⋅ 3=20% .360° =72°.

Στην τιµή "7 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας:

03 360f ⋅ =32, 5% .360° =117°.

Στην τιµή "8 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0

4 360f ⋅ = 7, 5% .360° =27°.

Στην τιµή "9 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0

5 360f ⋅ = 10% .360° =36°.

Στην τιµή "10 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0

6 360f ⋅ = 5% .360° =18°.

Page 11: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

11

Παραδειγµα (9) Σε κυκλικό διάγραµµα παρουσιάζονται οι προτιµήσεις των ψηφοφόρων του ∆ήµου Αγρινίου ως εξής : Η επικεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον υποψήφιο κ. Μαυρογιαλουρο είναι 5χ+2ψ για τον υποψήφιο κ. Φαφλατα είναι 2χ+2ψ και για τον τρίτο υποψήφιο κ. Καλοχαιρετα είναι χ.Αν ισχύει χ+4ψ=108ο να υπολογίσετε τα ποσοστά των τριών υποψηφίων . Λύση Έχουµε

0 0 0

0

5 2 2 2 360 8 4 360 2 90

90 2

+ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −

χ ψ χ ψ χ χ ψ χ ψ

ψ χ

Αλλά

090 20 0 0 0 0

0 0 0 0

4 108 4(90 2 ) 108 360 8 108

7 360 108 7 252 36

= −+ = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔

− = − + ⇔ − = − ⇔ =

ψ χχ ψ χ χ χ χ

χ χ χ

0 0 0 0 0 090 2 90 2 36 90 72 18= − ⇔ = − ⋅ ⇔ = − ⇔ =ψ χ ψ ψ ψ

Άρα ο υποψήφιος κ.Μαυρογιαλούρος έχει επικεντρη γωνία 0 0 05 36 2 18 216⋅ + ⋅ = .

Ο υποψήφιος κ. Φαφλατάς έχει επικεντρη γωνία 0 0 02 36 2 18 108⋅ + ⋅ = .

Ο υποψήφιος κ.Καλοχαιρέτας έχει επικεντρη γωνία 036 . Το ποσοστό του κ.Μαυρογιαλουρου είναι :

00 0

1 1 0

216216 360 0.60 60%

360= ⋅ ⇔ = = =f f

Το ποσοστό του κ. Φαφλατά είναι : 0

0 02 2 0

108108 360 0.30 30%

360= ⋅ ⇔ = = =f f

Το ποσοστό του κ. Καλοχαιρέτα είναι : 0

0 03 3 0

3636 360 0.10 10%

360= ⋅ ⇔ = = =f f

Παραδειγµα (10) Η βαθµολογία µιας οµάδας µαθητών σε ένα τεστ είναι 4,5,6,7,8.Το 80% έχει βαθµό τουλάχιστον 5 , οι µαθητές που έχουν βαθµό 4 είναι διπλάσιοι αυτών που έχουν 8, είκοσι ένας µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 6 , το 55% έχει βαθµό 6 η 7 .Να κάνετε τον πινακα κατανοµής συχνοτήτων iv , iN , if %, iF % .

Λύση

Έχουµε το 80% των µαθητών έχει βαθµό τουλάχιστον 5 άρα το 20% των µαθητών έχει βαθµό 4 οπότε 1% 20F =

1% 20=f ,οι µαθητές µε βαθµό 4 είναι διπλάσιοι αυτών που έχουν 8 άρα 1 52v v= οπότε 1 5% 2 %f f= άρα

520

% 102

= =f 5% 10=f .

2 21N = , 5% 10f =

3 4% % 55f f+ = οπότε 1 2% % 100 55 10 35+ = − − =f f άρα 2% 35=F

άρα 221 21

% 35% 21 600.35

= ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ =F ν ν νν

.Οπότε 1 120

% 60 12100

= = =fν ν

15

126

2 2= = =ν

ν και 1 1 12Ν = =ν , 2 21Ν = οπότε 2 2 1 21 12 9= Ν − = − =ν ν

4 24 6 18= − =ν οπότε 3 1 2 4 5( ) 60 (12 9 18 6) 15= − + + + = − + + + =ν ν ν ν ν ν .

Page 12: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

12

ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν έχουµε διακριτή µεταβλητή και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι µεγάλο, αλλά πολύ περισσότερο αν

έχουµε συνεχή µεταβλητή που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή στο διάστηµα ορισµού της, ταξινοµούµε τα δεδοµένα σε µικρό πλήθος οµάδων που ονοµάζονται κλάσεις, έτσι ώστε κάθε τιµή να ανήκει σε µια µόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων ονοµάζονται όρια των κλάσεων. Συνήθως χρησιµοποιούµε την περίπτωση που µια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της αλλά όχι το άνω. ∆ηλαδή, είναι της µορφής [ , ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όµοιες, οπότε µπορούν να αντιπροσωπευθούν από τις κεντρικές τιµές των κλάσεων (δηλαδή τα κέντρα κάθε κλάσης). Αν έχουµε την κλάση [ακ-1, ακ), τότε η κεντρική της τιµή είναι:

χκ = 2

1 kk aa +−

Αν έχουµε την κλάση [ακ-1, ακ), τότε η διαφορά: c = ακ – ακ-1 (ανώτερο όριο – κατώτερο όριο) ονοµάζεται πλάτος της κλάσης Μέθοδος οµαδοποίησης παρατηρήσεων Για την οµαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: 1) Βρίσκουµε τον αριθµό κ των κλάσεων που θα χρησιµοποιήσουµε. Για την επιλογή του κατάλληλου αριθµού µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο παρακάτω πίνακας. Μέγεθος δείγµατος ν

Αριθµός κλάσεων κ

<20

5

20-50

6

50-100

7

100-200

8

200-400

9

400-700

10

700-1000

11

> 1000 12

2) Προσδιορίζουµε το πλάτος των κλάσεων χρησιµοποιώντας τον τύποc =k

R, όπου R είναι το εύρος του δείγµατος,

δηλαδή η διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από τη µεγαλύτερη του συνολικού δείγµατος. Σηµειώνουµε ότι αν ο αριθµός c που προκύπτει από τη διαίρεση δεν είναι ακέραιος, τότε στρογγυλοποιούµε πάντα προς τα πάνω. 3) Κατασκευάζουµε τις κλάσεις. Ξεκινάµε από τη µικρότερη παρατήρηση ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη µικρότερη παρατήρηση και προσθέτοντας κάθε φορά τον αριθµό c δηµιουργούµε τις κ κλάσεις. 4) Κάνουµε τη διαλογή των παρατηρήσεων. Ονοµάζουµε νi τη συχνότητα της κλάσης i, Xi την κεντρική τιµή της κάθε κλάσης και νi το πλήθος των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση ί.

Page 13: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

13

Παράδειγµα (11) Ζυγίστηκαν 30 αθλητές και τα βάρη τους (σε kg) που προέκυψαν ήταν:

55

70

69

73

72

59

54

71

67

62

60

54

63

52

80

73

74

70

63

64

65

58

53

45

56

50

48

57

60

62

Να οµαδοποιηθούν οι παραπάνω παρατηρήσεις. i) Πόσες κλάσεις θα χρησιµοποιηθούν; ii) Ποιο είναι το πλάτος κάθε κλάσης; iii) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων µε στήλες για τη συχνότητα, την αθροιστική συχνότητα, τη σχετική

συχνότητα επί τοις εκατό, την αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατό και την κεντρική τιµή κάθε κλάσης.

iv) Ποιο ποσοστό των αθλητών έχει βάρος µικρότερο από 63 kg και ποιο µεγαλύτερο ή ίσο από 63 kg; v) Ο προπονητής της οµάδας, βλέποντας τα αποτελέσµατα της µέτρησης, συµπέρανε ότι το 43,33 % των

αθλητών είναι «υπέρβαροι». Πόσοι σε πλήθος είναι οι υπέρβαροι αθλητές; Λύση i) To πλήθος των παρατηρήσεων είναι 30, οπότε θα τις χωρίσουµε σε κ = 6 κλάσεις. ίί) Η µεγαλύτερη παρατήρηση είναι η 80 και η µικρότερη η 45, οπότε το πλάτος της κάθε κλάσης είναι ίσο µε

Rc ,

k

80 45 355 83 6

6 6

−= = = = ≈

iii) Ο ζητούµενος πίνακας είναι: Κλάσεις

[ , )

Κεντρικές τιµές

X i

Συχνότητα νi

Αθροιστική συχνότητα

Νi

Σχετική συχνότητα

Αθροιστική σχετική

συχνότητα

Fi%

45-51

48

3

3

10

10

51-57

54

6

9

20

30

57-63

60

8

17

26,67

56,67

63-69

66

5

22

16,67

73,34

69-75

72

7

29

23,33

96,67

75-81

78

1

30

3,33

100

Σύνολο

30

-

100

ίν) Παρατηρώντας τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων προκύπτει ότι το 56,67% των αθλητών έχει βάρος µικρότερο από 63 kg και το 43,33% µεγαλύτερο ή ίσο από 63kg. ν) Παρατηρούµε ότι το 43,33% αντιστοιχεί στις τρεις τελευταίες κλάσεις. Άρα το πλήθος των υπέρβαρων αθλητών είναι ίσο µε 5+ 7 + 1=13.

Page 14: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

14

Παραδειγµα ( 12 ) ∆ίνεται ο επόµενος πίνακας των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων της µεταβλητής χ .Μηνιαία αµοιβή υπαλλήλων µιας επιχείρησης σε ευρώ Αµοιβή υπαλλήλων Συχνότητα 1000-1100 7 1100-1200 10 1200-1300 11 1300-1400 14 1400-1500 16 1500-1600 6 1600-1700 3 1700-1800 1 Σύνολο 68

i) Ποια είναι τα όρια της τρίτης κλάσης ; ii) Ποια είναι η κεντρική τιµή της έκτης κλάσης iii) Ποια είναι η συχνότητα της πέµπτης κλάσης ; iv) Ποια είναι η σχετική συχνότητα 4%f της τέταρτης κλάσης ;

v) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν τουλάχιστον 1400 ευρώ ; vi) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν από 1150 ευρώ έως 1450 ευρώ ; vii) πόσοι υπάλληλοι παίρνουν το πολύ 1600 ευρώ αλλά τουλάχιστον 1200 ευρώ;

Λύση i)Τα όρια της τρίτης κλάσης είναι : κάτω όριο 1200 ευρώ .Άνω όριο 1300 ευρώ.

ii) Η κεντρική τιµή της έκτης κλάσης είναι1500 1600

15502

+= ευρώ.

iii) Η συχνότητα της πέµπτης κλάσης είναι 5 16v = .

iv) Η σχετική συχνότητα 44

14% 100 100 21%

68= ⋅ = ⋅ =

vf

v.

v) Τουλάχιστον 1400 ευρώ παίρνουν 16+6+3+1=26 υπάλληλοι vi) Από 1150 ευρώ έως και 1450 ευρώ παίρνουν 5+11+14+8=38 υπάλληλοι vii) Τουλάχιστον 1200 ευρώ και το πολύ 1600 ευρώ παίρνουν 11+14+16+6=47 υπαλληλοι. Σχόλια στη θεωρία 1. Το πλήθος των κλάσεων ορίζεται συνήθως από τον κάθε ερευνητή. Επειδή όµως το πλήθος των κλάσεων είναι ανάλογο του µεγέθους του δείγµατος, χρησιµοποιούµε ως οδηγό τον πίνακα που αναφέραµε. 2. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρµογές οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος (ισοπλατείς κλάσεις), εκτός από τις περιπτώσεις που επιβάλλεται από τα δεδοµένα να έχουν άνισο πλάτος. 3. Καµία παρατήρηση δεν µπορεί να µείνει έξω από κάποια κλάση. Η µεγαλύτερη τιµή του δείγµατος θα πρέπει να ανήκει οπωσδήποτε στην τελευταία κλάση. 4. Οι κεντρικές τιµές διαφέρουν µεταξύ τους στις κλάσεις που έχουν το ίδιο πλάτος και στο πλάτος των κλάσεων. Κάθε παρατήρηση που συµπίπτει µε το άνω άκρο µιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αµέσως επόµενη κλάση.Ιστόγραµµα συχνοτήτων

Η γραφική απεικόνιση ενός πίνακα συχνοτήτων µε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, γίνεται µε το ιστόγραµµα συχνοτήτων. Στον οριζόντιο άξονα ενός ορθογωνίου συστήµατος σηµειώνουµε, µε κατάλληλη κλίµακα, τα όρια των κλάσεων. Κατόπιν δηµιουργούµε διαδοχικά ορθογώνια, τα οποία έχουν βάση ίση µε το πλάτος των κλάσεων c και ύψος τέτοιο ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου να ισούται µε τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Έτσι, το ύψος κάθε ορθογωνίου πρέπει να είναι

Page 15: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

15

αντιστρόφως ανάλογο του πλάτους της κλάσης. Στην περίπτωση που έχουµε ισοπλατείς κλάσεις, το ύψος των ορθογωνίων είναι ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα της κάθε κλάσης. Με παρόµοιο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων. Οµοίως, επίσης, κατασκευάζεται το ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, ενώνοντας τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Κλάσεις ίσου πλάτους Στις κλάσεις ίσου πλάτους συνήθως θεωρούµε το πλάτος c ως µονάδα µέτρησης. Αποτέλεσµα αυτού, είναι το ύψος των ορθογωνίων στο ιστόγραµµα να είναι ίδιο µε τη συχνότητα της κλάσης και το εµβαδόν του ορθογωνίου. Αν θεωρήσουµε άλλη µονάδα µέτρησης του χαρακτηριστικού που βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα, τότε το ύψος των ορθογωνίων είναι διαφορετικό από τη συχνότητα.

Πολύγωνο συχνοτήτων Αν θεωρήσουµε δυο επιπλέον κλάσεις µε συχνότητα µηδέν, µια στην αρχή και µια στο τέλος, και ενώσουµε τα

µέσα των πάνω βάσεων των ορθογωνίων, τότε σχηµατίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων.

Με παρόµοιο τρόπο κατασκευάζεται και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, θεωρώντας στον κάθετο άξονα τις σχετικές συχνότητες. Για το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ενώνουµε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων στα αντίστοιχα ιστογράµµατα. To εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των συχνοτήτων, δηλαδή είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Ανάλογα, το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων, δηλαδή ίσο µε 1 (ή ίσο µε 100 αν πρόκειται για σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό). Το εµβαδόν του χωριού που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων) είναι ίσο µε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το ιστόγραµµα των συχνοτήτων ( ή των σχετικών συχνοτήτων).

Page 16: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

16

Παράδειγµα (13) Από τους µαθητές ενός σχολειου πήραµε δείγµα µεγέθους 150 και τους µελετήσαµε ως προς το βάρος τους .Τα αποτελέσµατα της µελέτης αυτής φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Βάρος σε

kgr [ )50,55 [ )55,60 [ )60,65 [ )65,70 [ )70,75 [ )75,80

Αριθµός µαθητών

15 24 30 45 27 9

α)Να γίνει πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. β)Να κατασκευαστεί το πολύγωνο των συχνοτήτων και των σχετικών συχνοτήτων. γ)Να κατασκευαστεί το πολύγωνο των αθροιστικών και των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων.

Λύση α) Ο πίνακας συµπληρωµένος µε τις σχετικές συχνότητες fi , τις αθροιστικές συχνότητες και τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες γίνεται: Βάρος σε

kgr Αριθµός µαθητών

νi

Σχετικές συχνότητες

f i

Αθροιστικές συχνότητες

Ni

Αθροιστική σχετική συχνότητα

Fi

[ )50,55

15 0.1

15

0.1

[ )55,60

24

0.16

39

0.26

[ )60,65 30

0.2

69

0.46

[ )65,70

45

0.3

114

0.76

[ )70,75

27

0.18 141

0.94

[ )75,80

9

0.6

150

1

Σύνολο

150

1

β) Για να κατασκευάσουµε το πολύγωνο συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων), κατασκευάζουµε πρώτα το αντίστοιχο ιστόγραµµα

Page 17: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

17

γ) Το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων και των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων κατασκευάζεται από τα αντίστοιχα ιστογράµµατα

Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων

Πολύγωνο αθροιστικών

συχνοτήτων

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών

συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

Page 18: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

18

Παραδειγµα (14 ) ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων της µεταβλητής χ. Κλάσεις Κεντρικές τιµές iχ Συχνότητα iv Σχετική συχνότητα

if Αθροιστική σχετική συχνότητα iF %

1-5 20 5-9 50 9-13 85 13-17 95 17-21 2 Σύνολο 1

Να συµπληρωθεί ο πίνακας Λύση

Κεντρικές τιµές 1 5 6

32 2

+= = ,

5 9 147

2 2

+= = ,

9 13 2211

2 2

+= = ,

13 17 3015

2 2

+= = ,

17 21 3819

2 2

+= =

1 1 120

% 100 0.20100

= ⋅ ⇔ = =F F F οπότε 1 1f F= .

2 2 250

% 100 0.50100

= ⋅ ⇔ = =F F F οπότε 1 2 2 20.50 0.50 0.20 0.30+ = ⇔ = − ⇔ =f f f f

3 3 385

% 100 0.85100

= ⋅ ⇔ = =F F F οπότε 1 2 3 30.85 0.85 (0.20 0.30) 0.35+ + = ⇔ = − + =f f f f

Οµοίως βρίσκουµε 4 0.1f = και 5 0.05f =

5 55

240

0.05= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

v ff v v v

v v

44 4 4 4 440 0.1 4= ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ =

vf v f v v v

v οµοίως βρίσκουµε και τις υπόλοιπες .

Παραδειγµα (15) Οι χρόνοι τους οποίους έκαναν µια οµάδα φοιτητών για να λύσουν µια άσκηση είναι από 10 έως 20 sec χωρισµένοι σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους . Ισχύουν

i) Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγµατος των φοιτητών µε µεταβλητή το χρόνο λύσης της άσκησης έχει εµβαδό 40.

ii) Το ύψου του ορθογωνίου στο διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην κλάση µε κεντρική τιµή το 19 είναι 0.1

iii) Η γωνία του κυκλικού τοµέα στο κυκλικό διάγραµµα που αντιστοιχεί στην κλάση[ )14,16 είναι 72ο .

iv) Οι φοιτητές που έκαναν από 16 έως 18 sec είναι διπλάσιοι από τους φοιτητές που έκαναν χρόνο από 10 έως 12 sec

v) Εικοσιτεσσερεις φοιτητές έκαναν χρόνο κάτω από 16 sec . τότε να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων iv , iN , if , , if %, iF % .

Λύση Το εύρος του δείγµατος είναι 20 10 10= − =R

Το πλάτος κάθε κλάσης είναι 10

25

= .

Επειδή το πολύγωνο συχνοτήτων έχει εµβαδό 40 τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι ν=40. Οι κλάσεις είναι [ ) [ ) [ ) [ ) [ )10,12 , 12,14 , 14,16 , 16,18 , 18,20

Page 19: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

19

έχουµε: 55 5 5 50.1 0.1 0.1 40 0.1 4= ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ =f

νν ν ν ν

ν

0 03 33 3 0

3

40 7272 360 72 360 72

40 3608

⋅= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

⇔ =

οο ο ον ν

α νν

ν

έχουµε : 4 12=ν ν , 3 1 2 324 24Ν = ⇔ + + =ν ν ν . Ακόµη

1 2 3 4 5 4 5 4 5

4 4

40 24 40 40 24

40 24 4 12

+ + + + = ⇔ + + = ⇔ = − − ⇔

= − − ⇔ =

ν ν ν ν ν ν ν ν ν

ν ν

οπότε 41 1

126

2 2= = ⇔ =ν

ν ν .Ακόµη 2 1 324 24 6 8 10= − − = − − =ν ν ν .

Κλάσης

ix iv iΝ if if % iF %

[ )10,12 11 6 6 0.15 15 15

[ )12,14 13 10 16 0.25 25 40

[ )14,16 15 8 24 0.20 20 60

[ )16,18 17 12 36 0.30 30 90

[ )18,20 19 4 40 0.10 10

40 1 100

Παράδειγµα (16) ∆ίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων της ιδιας µεταβλητής που αναφέρεται στους βαθµούς 50 φοιτητών στο µάθηµα της Ανάλυσης και από το οποίο λείπουν κάποια ορθογώνια.

i) Να συµπληρωθούν τα ορθογώνια των ιστογραµµάτων. ii) Να κατασκευαστεί το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων iii) πόσοι φοιτητές πέρασαν το µάθηµα (βάση το 5);

Λύση

Page 20: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

20

i)Από τα ιστογράµµατα έχουµε : 1 3 45, 20, 5= = =v v v , 1% 10%=F , 2% 30%=F , 5% 100%=F ,

11 1

% 100.10

100 100= = = =

Ff F

22

% 300.30

100 100= = =

FF

1 11

1

550

0.10= ⇔ = ⇔ = =

v vf v v

v f , 1 2 2 2 2 1 2 0.30 0.10 0.20+ = ⇔ = − ⇔ = − =f f F f F f f

22 2 2 2 2 1 2 250( ) 50(0.30 0.10) 10= ⇔ = ⋅ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

vf v v f v F F v v

v

33 3

200.40

50= ⇔ = =

vf f

v

οπότε 3 1 2 2 0.10 0.20 0.40 0.70= + + = + + =F f f f άρα 3% 0.70 100 70%= ⋅ =F

44 4

50.10

50= ⇔ = =

vf f

v

4 3 4 0.70 0.10 0.80= + = + =F F f 4 4% 100 0.80 100 80%= ⋅ = ⋅ =F F

5 1 2 3 4( ) 50 (5 10 20 5) 10= − + + + = − + + + =v v v v v v

55 5

100.20

50= ⇔ = =

vf f

v οπότε 5 4 5 0.80 0.20 1= + = + =F F f

άρα 5% 100%=F . ii)

iii)Το µάθηµα το πέρασαν 10 +5+10=25 φοιτητές

Page 21: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

21

Παραδειγµα (17) ∆ίνεται το παρακάτω ιστόγραµµα αθρ. σχετικών συχνοτήτων Να υπολογισθεί

i) H σχετική συχνότητα της κλάσης [ )162,168 όταν το 25% των παρατηρήσεων έχει τιµή µικρότερη

από 168.

ii) Η σχετική συχνότητα της κλάσης [ )168,174 όταν το 35% των παρατηρήσεων έχει τιµή µέχρι και

170, Λύση

1 1 0.05= =f F

2 0.25=F οπότε 2 1 2 2 2 1 2 20.25 0.05 0.20= + ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =F f f f F f f f

Τα σηµεία Α(168,0.25) και Β(170,0.35) ορίζουν ευθεία πολυγώνου συχνοτήτων που διέρχεται από το (174, 3F ) .

Έστω = +y ax β η ευθεία τότε έχουµε : 0.25 168

0.35 170

= ⋅ +

= ⋅ +

a

a

ββ

Λύνω το σύστηµα οπού και έχω: 0.05

8.15

=

= −

a

β

Η ευθεία είναι 0.05 8.15= −y x διέρχεται και από το (174, 3F )

οπότε 3 30.05 174 8.15 0.55= ⋅ − ⇔ =F F

οπότε 3 1 2 3 3 30.55 (0.05 0.20) 0.30= + + ⇔ = − + ⇔ =F f f f f f

Γενικά, για την καλύτερη κατανόηση των στατιστικών δεδοµένων, χρησιµοποιούµε: • Για ποιοτικές µεταβλητές

1. Ραβδογράµµατα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας 2. Κυκλικά διαγράµµατα 3. Σηµειογράµµατα

• Για ποσοτικές µεταβλητές 1. ∆ιαγράµµατα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας

Page 22: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

22

2. Πολύγωνα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας

3. Κυκλικά διαγράµµατα 4. Χρονογράµµατα 5. Σηµειογράµµατα 6. Ιστογράµµατα και πολύγωνα συχνοτήτων

απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας ή αθροιστικής συχνότητας ή αθροιστικής σχετικής συχνότητας

Παραδειγµα (18) Στο παρακάτω κυκλικό διάγραµµα φαίνεται το ποσοστό των µαθητών που έρχεται στο σχολείο µε το συγκεκριµένο µεταφορικό µέσο. Αν το δείγµα αφορά 720 µαθητές, να βρεθεί:

i. Αν το χαρακτηριστικό που µελετάµε αποτελεί ποιοτική ή ποσοτική µεταβλητή ii. Οι συχνότητες εµφάνισης του κάθε µεταφορικού µέσου

Λύση

i. Ο τρόπος µεταβίβασης στο σχολείο αποτελεί ποιοτική µεταβλητή ii. Είναι γνωστό ότι οι συχνότητες vi και οι σχετικές συχνότητες fi

συνδέονται µε τη σχέση 100%= ⋅ii

vf

v, όπου ν το πλήθος των

στοιχείων του δείγµατος. Με αυτοκίνητο µετακινούνται ν1 µαθητές, για τους οποίους ισχύει

1 11 1

25100% 720 180

100 100= ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ =

v ff v v

v µαθητές.

Με µοτοσυκλέτα µετακινούνται ν2 µαθητές, για τους οποίους ισχύει

2 22 2

15100% 720 108

100 100= ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ =

v ff v v

v µαθητές.

Με ποδήλατο µετακινούνται ν3 µαθητές, για τους οποίους ισχύει

3 33 3

30100% 720 216

100 100= ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ =

v ff v v

v µαθητές.

Πεζοί µετακινούνται ν4 µαθητές, για τους οποίους ισχύει: 4 1 2 3= − − −v v v v v =720-180-108-216=216 µαθητές.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ερωτήσεις τύπου «Σωστού –Λάθους» 1. Το χρώµα των µατιών είναι ποιοτική µεταβλητή 2. Ο αριθµός των µαθητών της Α΄ τάξης του 1ου Λυκείου αγρινιου είναι ποσοτική συνεχής µεταβλητή 3. Η χρονική διάρκεια ενός τηλεφωνήµατος είναι ποσοτική διακριτή µεταβλητή 4. Αν επιθυµούµε να µετρήσουµε το βάρος των µαθητών της Γ΄ τάξης ενός Λυκείου, τότε ο πληθυσµός είναι όλοι οι

µαθητές του Λυκείου 5. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουµε έναν πληθυσµό λέγονται µεταβλητές 6. Οι ποιοτικές µεταβλητές διακρίνονται σε συνεχείς και διακριτές 7. Η µη αντιπροσωπευτικότητα του δείγµατος είναι ένα µειονέκτηµα της συλλογής των δεδοµένων µε απογραφή 8. Αν εξετάσουµε 2.400.000 άτοµα θα πάρουµε καλύτερες και πιο ακριβείς πληροφορίες από το να εξετάσουµε

50.000 άτοµα 9. Οι στατιστικοί πίνακες διακρίνονται σε γενικούς και ειδικούς 10. Η σχετική συχνότητα παίρνει τιµές από 0 ως 1 11. Η συχνότητα είναι πάντα µικρότερη του 100

30% 25%

15%

30%

αυτοκινητο πεζοι

ποδήλατο

µοτοσικλέτα

Page 23: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

23

12. Το άθροισµα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi% ισούται µε 100 13. Αν γνωρίζουµε την νκ και την Νκ+1 , µπορούµε να υπολογίσουµε την αθροιστική συχνότητα Νκ 14. Η αθροιστική συχνότητα Νκ είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από τη συχνότητα νκ 15. Για τις ποιοτικές µεταβλητές, χρησιµοποιείται το ραβδόγραµµα 16. Το διάγραµµα συχνοτήτων χρησιµοποιείται για τις ποιοτικές µεταβλητές 17. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση ποιοτικών αλλά και ποσοτικών δεδοµένων,

όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες. 18. Το άθροισµα όλων των συχνοτήτων µιας κατανοµής είναι ίσο µε 1, δηλ ν1 + ν2 + ν3 + ... + νκ = 1 19. Η συχνότητα της τιµής χi µιας µεταβλητής Χ, είναι αρνητικός αριθµός. 20. Οι αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi µιας κατανοµής, χρησιµοποιούνται στην

περίπτωση των ποιοτικών µεταβλητών. 21. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi µιας κατανοµής, εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι

µικρότερες ή ίσες της τιµής χi

22. Οι τιµές κάθε οµάδας µπορούν να αντιπροσωπευθούν από το κέντρο της οµάδας. 23. Οι οµάδες ενός δείγµατος έχουν όλες το ίδιο πλάτος. 24. Το ιστόγραµµα συχνοτήτων χρησιµοποιείται µόνο στην περίπτωση των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Από τις παρακάτω µεταβλητές διακριτή ποσοτική είναι:

• Η χρονική διάρκεια ενός τηλεφωνήµατος. • Ο αριθµός τερµάτων που σηµείωσε η ΑΕΚ το έτος 2013. • Η οικονοµική κατάσταση της χώρας. • Η ταχύτητα µε την όποία κινείται ένα αυτοκίνητο. • Τίποτα από τα προηγούµενα.

2. Από τις παρακάτω µεταβλητές ποιοτική µεταβλητή είναι: • Το ύψος των ανθρώπων. • Ο µισθός των δηµοσίων υπαλλήλων. • Ο βαθµός στο εθνικό απολυτήριο. • Η επιλογή ενός ραδιοφωνικού σταθµού. • Τίποτα από τα προηγούµενα.

3. Μειονέκτηµα της απογραφής είναι: • Κακή επιλογή δείγµατος. • Όχι σωστός καθορισµός του µεγέθους του δείγµατος. • Κακή εκπαίδευση των απογραφέων. • Το µεγαλο πληθος των στοιχειων προς εξεταση.

4. Για να βρούµε πόσοι είναι οι φίλαθλοι του ΟΣΦΠ στην Ελλάδα, αποφασίσαµε να πάρουµε ένα δείγµα 1000 ατόµων. Ποιος είναι, κατά τη γνώµη σας. Ο καλύτερος από τους παρακάτω τρόπους για να πάρουµε το δείγµα; Είναι προτιµότερο να πάρουµε:

• Κατοίκους της Θεσσαλονίκης. • Μόνο άνδρες. • Μόνο γυναίκες. • Κατοίκους του Πειραιά. • Τίποτα από τα προηγούµενα.

5. Οι συνεχείς ποσοτικές µεταβλητές µπορούν να πάρουν: • Μόνο ακέραιες τιµές. • Κάθε τιµή ενός διαστήµατος πραγµατικών τιµών. • Μόνο κλασµατικές τιµές.

Page 24: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

24

• Μόνο τιµές µικρότερες του 100. • Τίποτα από τα προηγούµενα

6. Το βαρος 20 µαθητων είναι: • Ποιοτική µεταβλητή • Ποσοτική συνεχής µεταβλητή • Ποσοτική διακριτή µεταβλητή • Τίποτα από τα προηγούµενα

7. Με τη δειγµατοληψία εξετάζουµε: • Όλον τον πληθυσµό • Ένα υποσύνολο του πληθυσµού • Πάντοτε 100 άτοµα • Τίποτα από τα προηγούµενα

8. Μια διακριτή ποσοτική µεταβλητή δεν µπορεί να πάρει την τιµή • 1 • 2 • , 1 3α < α <

9. Αν η σχετική συχνότητα if 0.4= και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 200, τότε η συχνότητα νi ισούται µε

• 0,5 • 5 • 10 • 80 • Τίποτα από τα προηγούµενα

10. Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων είναι ίσο µε

• 0 • 100 • 1 • Το άθροισµα των απόλυτων συχνοτήτων

11. Αν f είναι η σχετική συχνότητα ν το µέγεθος του δείγµατος και Fk η αθροιστική σχετική συχνότητα µιας τιµής χκ

, τότε: • Fk = f1 + f2 + f3 + … + fv • Fk+1 = Fk + fk+1 • Fk = f1 + (k-1)fk

• Fk = v

1 (f1 + f2 + f3 + … + fv)

12. Αν Fk%=50% και Fk+1 = 65% , τότε η fk+1% ισούται µε

• 5% • 10% • 15% • 50% • Τίποτα από τα προηγούµενα

13. Αν fi % = 30%, τότε το αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα, είναι:

Page 25: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

25

• 72% • 90% • 60% • 108% • Τίποτα από τα προηγούµενα

14. Οι αθροιστικές συχνότητες των τιµών µιας µεταβλητής Χ είναι: Ν1 = 10, Ν2 = 40, Ν3 = 100 και Ν4 = 120. Η σχετική συχνότητα f3% της τιµής χ3 είναι: • 40% • 50% • 25% • 66,6% • Τίποτα από τα προηγούµενα.

Ασκησεις Ανάπτυξης

1. Ένα Γυµνάσιο έχει 200 µαθητές, 90 αγόρια και 110 κορίτσια.

Ρωτήσαµε τα αγόρια: α) ποιο είναι το βάρος τους β) τι χρώµα µάτια έχουν. Ρωτήσαµε τα κορίτσια: γ)πόσες φορές πήγαν στον κινηµατογράφο τους 5 προηγούµενους µήνες, δ) σε ποιο από τα µαθήµατα Μαθηµατικά και Φυσική είχαν µεγαλύτερο βαθµό στο προηγούµενο τρίµηνο. Τέλος, ζητήσαµε από όλα τα παιδιά να µας πουν: ε)την ηµεροµηνία γέννησής τους (χωρίς το έτος). Α. Σε κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις να αναφέρετε: τον πληθυσµό, το µέγεθος του πληθυσµού, τη µεταβλητή, το είδος της µεταβλητής .

Β. Σε ποιες από τις µεταβλητές των α), β), γ), δ) και ε) µπορούµε να θεωρήσουµε το δείγµα των µαθητών του Γυµνασίου αντιπροσωπευτικό για το σύνολο του πληθυσµού της Ελλάδας;

2. Τι έχετε να παρατηρήσετε για τα παρακάτω επιλεγόµενα δείγµατα; • Για να βρούµε το κατά κεφαλή εισόδηµα των Ελλήνων, πηγαίνουµε σε ένα ιδιωτικό κολέγιο και ρωτάµε τους µαθητές για το εισόδηµα των γονιών τους. • Για να βρούµε το ποσοστό των Ελλήνων που χρησιµοποιουν το διαδικτυο, ρωταµε ανθρωπους µε ηλικια ανω των 80 ετων. • Για να βρούµε το ποσοστό τωνχορτοφαγων στην Ελλάδα, πηγαίνουµε στην κεντρικη κρεαταγορα και ρωτάµε τους κατοίκους της πόλης. • Για να βρούµε το ποσοστό των Ελλήνων που έχουν ταξιδέψει µε πλοιο, πηγαίνουµε στο λιµανι και ρωτάµε τους εκεί παρευρισκόµενους.

3. Για να βρούµε ποια αθλητικα περιοδικα έχουν τη µεγαλύτερη κυκλοφορία αποφασίσαµε να πάρουµε δείγµα 10.000 ατόµων που αγοράζουν περιδικα σε µηνιαια βαση. Ποιος είναι κατά τη γνώµη σας ο καλύτερος από τους παρακάτω τρόπους για να επιλέξουµε το δείγµα; • Επιλέγουµε δείγµα µε άνδρες αποκλειστικά • Επιλέγουµε δείγµα µε γυναίκες αποκλειστικά • Επιλέγουµε δείγµα µόνο από την Αθήνα • Επιλέγουµε δείγµα από όλη τη χώρα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

4. Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε ποιος είναι ο πληθυσµός και ποια η µεταβλητή ή οι µεταβλητές. Κατόπιν να διακρίνετε ποιες από τις µεταβλητές είναι ποσοτικές, ποιες ποιοτικές, και από τις ποσοτικές ποιες είναι διακριτές και ποιες συνεχείς • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε πόσοι Έλληνες είναι οπαδοί του Παναιτωλικου • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια γεννήθηκαν στο Παλιαο Φαληρο τη δεκαετία του 1990 • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε πόσοι Έλληνες µπασκετµπολίστες αγωνίζονται στο εξωτερικό • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε τις επιδόσεις των αθλητών του στίβου στους ολυµπιακούς αγώνες της Αθήνας

5. Εξετάζουµε τους κατοίκους µιας πόλης ως προς τις µεταβλητές

Page 26: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

26

• Φυλο • Οικογενειακή κατάσταση • Ύψος • Εισόδηµα • Επάγγελµα • Μεταφορικό µέσο που χρησιµοποιούν στις µετακινήσεις τους • Αριθµό συγγενών Σε ποια κατηγορία µεταβλητών ανήκει κάθε µια από αυτές;

6. Έγινε µια δειγµατοληπτική έρευνα για τον αριθµό των µαθητών που βρίσκονται σε κάθε τµήµα Λυκείων της Αιτωλοακαρνανίας. Βρήκαµε ότι ο αριθµός των µαθητών σε δέκα τµήµατα διαφόρων Λυκείων ήταν: 18, 32, 31, 36, 30, 23, 11, 16, 24, 33. Να βρείτε • Ποιος είναι ο πληθυσµός. • Ποιες είναι οι µονάδες. • Ποιο είναι το δείγµα. • Ποια είναι η µεταβλητή και ποιες οι τιµές της.

7. Τα αποτελέσµατα των εκλογών σε ένα εκλογικό τµήµα δίνονται από τον παρακάτω ελλιπή πίνακα: Κόµµα χι Συχνότητα vi Σχετική συχνότητα fi

Α 0,15 Β 150 0,30 Γ 0,35 ∆

Σύνολο

I.Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τµήµα αυτό. II.Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόµµα σε αυτό το εκλογικό τµήµα.

III.Να σχεδιάσετε το ραβδόγραµµα των σχετικών συχνοτήτων. 8. Τα 16 τµήµατα ενός σχολείου έχουν τους εξής µαθητές: 28 30 27 29 31 27 31 29 31 29 30 28 29 28 27 29

Να κατασκευάσετε τον πίνακα των σχετικών συχνοτήτων και των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 9. Ένας µαθητής ξοδεύει το εβδοµαδιαίο χαρτζιλίκι του ως εξής:

Για φαγητό το 20%, για διασκέδαση το 25%, για σχολικά είδη το 10%, για εισιτήρια το 18%, για αποταµίευση το 10% και για διάφορες άλλες ανάγκες τα υπόλοιπα.

α)Να βρείτε τι ποσοστό των χρηµάτων του ξοδεύει για τις άλλες ανάγκες

β)Να κάνετε ένα κυκλικό διάγραµµα που να παριστάνει τις παραπάνω πληροφορίες

10. Σε µια πόλη µετρήσαµε τη µεγαλύτερη ηµερήσια θερµοκρασία επί 30 συνεχείς ηµέρες και βρήκαµε (σε βαθµούς Κελσίου) 23 24 24 24 22 19 19 20 22 24 23 25 20 20 22 21 21 24 23 24 20 21 25 22 21 19 19 21 21 20 I. Να κατασκευάσετε τον πίνακα:

• Συχνοτήτων • Αθροιστικών συχνοτήτων

II. Πόσες ηµέρες η θερµοκρασία ήταν: • Μικρότερη από 210 C. • Μεγαλύτερη από 220 C. • Τουλάχιστον 220 C.

Page 27: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

27

11. Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 50 οικογενειών ως προς τις ξένες χώρες που έχουν επισκεφτεί, να βρεθεί ο αριθµός και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν:

I. Ταξιδέψει τουλάχιστον σε µια ξένη χώρα II. Ταξιδέψει σε περισσότερες από 3 χώρες

III. Ταξιδέψει από 3 ως 5 χώρες IV. Ταξιδέψει το πολύ σε 6 χώρες V. Ταξιδέψει ακριβώς σε 6 χώρες

Αριθµός ξένων χωρών

xi Αριθµός οικογενειών νi

0 5 1 10 2 15 3 8 4 7 5 3 6 2

12. ∆ίνεται ο πίνακας :

χι vi Ni f i%

1 λ 2 3λ 3 2 4+λ 4 2 2−λ λ 40

Σύνολο Να βρεθεί η τιµή του ∈λ ℤ και στην συνέχεια να συµπληρωθεί ο πίνακας. 13.Τρια δείγµατα τα έχουµε οµαδοποιήσει σε κλάσεις ισου πλάτους όπως φαίνεται στους παρακάτω πίνακες:

14.Ρίξαµε ένα ζάρι 30 φορές και φέραµε τα αποτελέσµατα του παρακάτω πίνακα

Ένδειξη ζαριού Αριθµός εµφανίσεων 1 8 2 4 3 7 4 5 5 3 6 3

Σύνολο

κλάσεις xi

[ ), 3

[ ),

[ ), 11

[ ),

Σύνολο

κλάσεις xi

[ )2 ,

[ ),

[ ),

[ ), 18

Σύνολο

κλάσεις xi

[ ), 4

[ ),

[ ),

[ ), 14

Σύνολο

Page 28: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

28

i.Να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις σχετικές συχνότητες f i% της κάθε ένδειξης, τις αθροιστικές Νi και τις

αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi% της κάθε ένδειξης ii.Να βρείτε το πλήθος των ενδείξεων που είναι α) µικρότερες του 4

β) µεγαλύτερες ή ίσες του 5 iii.Να βρείτε το ποσοστό των ενδείξεων που είναι από 3 µέχρι 5

15.Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή συχνοτήτων για τη µεταβλητή Χ: «Απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο» των µαθητών της Α λυκείου σε ένα σχολείο.

Απασχόληση χi Συχνότητα νi Υπολογιστές 6 Αθλητισµός 6 Μουσική 11 Τηλεόραση 9

Κινηµατογράφος 3 Εκδροµές 2 ∆ιάβασµα 3

16.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τη σχετική συχνότητα fi% µε την οποία οι µαθητές µιας τάξης κάνουν απουσίες κάθε µήνα:

Αριθµός απουσιών

0 1 2 3 4 5

Σχετικές συχνότητες

f i%

10 20 30 15 12,5 12,5

i.Να βρείτε πόσα από τα 80 παιδιά της τάξης κάνουν το κάθε είδος απουσίας. ii.Να κατασκευάσετε ένα οριζόντιο ραβδόγραµµα συχνοτήτων.

iii.Να κατασκευάσετε ένα κατακόρυφο ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων fi%. 17.Η µεταβλητή Χ παίρνει τις τιµές χ1=2, χ2=5 και χ3=7, µε αθροιστικές συχνότητες Ν1=11, Ν2=19 και Ν3=25

I.Κατασκευάστε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων II.Ποιο ποσοστό αντιστοιχεί στην τιµή χ3;

18.Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η προτίµηση 500 µαθητών ενός Λυκείου στις αγαπηµνες τους οµαδες

µπασκετ. Το 30% των µαθητών είναι οπαδοί του Ολυµπιακού. Η γωνία του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στους

οπαδούς του ΠΑΟ είναι 900. Οι οπαδοί του Πανιωνιου είναι τα 3

2των οπαδών της ΑΕΚ και διπλάσιοι από τους

οπαδούς του Παναιτωλικου και από αυτούς που υποστηρίζουν κάποια άλλη οµάδα. Να µετατρέψετε το κυκλικό διάγραµµα σε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων.

19.Το διπλανό ραβδόγραµµα δίνει το ποσοστό τηλεθέασης 200 ατόµων, οι οποίοι παρακολουθούν περισσότερο ένα από τα κανάλια Α, Β, Γ και ∆.

α) Να βρεθεί το πλήθος των παραπάνω τηλεθεατών οι οποίοι παρακολουθούν το κανάλι ∆. β) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων

( ix , iν , if , iN , %if , %iF )

γ) Να µετατραπεί το ραβδόγραµµα σε κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων.

α)Να βρεθεί το πλήθος των µαθητών. β)Να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις στήλες Νi , fi , f i% και Fi%. γ) Ποιο ποσοστό των µαθητών i) Ασχολείται µε τη µουσική ii)Ασχολείται µε την τηλεόραση και τον κινηµατογράφο. iii)∆εν ασχολείται µε το διάβασµα.

Page 29: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

29

20.Στο παρακατω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων φαίνεται η βαθµολογία µιας τάξης σε ένα διαγώνισµα

i)Να βρείτε πόσους µαθητές έχει η τάξη ii)Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων iii)Να σχεδιάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων

21.Η µεταβλητή Χ παίρνει τις τιµές χ1=2, χ2=5 και χ3=7, µε αθροιστικές συχνότητες Ν1=11, Ν2=19 και Ν3=25.

I.Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων II.Ποιο ποσοστό αντιστοιχεί στην τιµή χ3;

22.Ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων δηµιουργήθηκε από τα αποτελέσµατα της ρίψης ενός ζαριού 40 φορες.Να βρείτε την τιµή του λ και στην συνέχεια να συµπληρώσετε τον πινακα.

Ζάρια xi Συχνότητα vi Νi 1 5 2 2λ+1 3 7 4 25 5 λ 6 2 4+λ

Άθροισµα 23.∆ίνεται ο παρακάτω ελλιπής πίνακας για τις τιµές µιας ποσοτικής µεταβλητής. Να συµπληρώσετε τις τιµές που λείπουν

ix iν if iN iF

2 2 4 0.3 6 Σύνολο 20

Page 30: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

30

24.Ρωτήθηκαν ν άτοµα σχετικά µε ποιο από τα τρία δηµόσια πρόσωπα Α, Β και Γ είναι πιο δηµοφιλές και τα αποτελέσµατα δόθηκαν περιέργως στον παρακάτω πίνακα.

ix iν %iF

Α

Β 75 80

Γ 30

Να βρεθεί το πλήθος ν των ερωτηθέντων ατόµων. 25.Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας.

ix iν if iN %if %iF

1 5 2 3 0.40

Σύνολο 20 26.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το προσωπικό µιας επιχείρησης ανάλογα µε τα χρόνια υπηρεσίας :

Χρόνια Υπηρεσίας

[ )1,5 [ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20,25 [ )25,30 [ )30,35

Υπάλληλοι 10 15 20 12 8 5 2

i) Να βρείτε την κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων, ii)Να παραστήσετε µε ιστόγραµµα την κατανοµή των συχνοτήτων και των σχετικών συχνοτήτων. iii)Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων.

27.Εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν ως προς µία ποσοτική µεταβλητή Χ και οµαδοποιούµε τις παρατηρήσεις του δείγµατος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

∆ίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες 3F και 5F είναι οι ρίζες της εξίσωσης :

25 8 3 , ,− + ∈ ∈x x xκ κℝ ℝ α) Να αποδείξετε κ=1 και λ=10.

Page 31: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

31

β)Να αποδείξετε ότι 1 2 3 4% 10, % 30, % 20, % 30= = = =f f f f και 5% 10=f .

γ)Αν το 25% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες του 16 και το 25% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες ή ισες του 24 , τότε να αποδείξετε ότι α=10 και c =4. Να συµπληρώσετε τον πίνακα. δ)Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ισες του 22 είναι 800, τότε να υπολογίσετε το µέγεθος των δείγµατος .

Page 32: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

32

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΣΑ

( ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ,∆ΙΑΜΕΣΟΣ,∆ΙΑΣΠΟΡΑ,ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ,ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Στη Στατιστική, εκτός από τους στατιστικούς πίνακες και τα διαγράµµατα, υπάρχουν και τα στατιστικά

περιγραφικά µέσα, µε τα οποία µπορούµε να περιγράψουµε µε συντοµία µια κατανοµή συχνοτήτων Με τον όρο στατιστικό περιγραφικό µέτρο εννοούµε τον αριθµό που συνοψίζει βασικά χαρακτηριστικά των παρατηρήσεων του συνόλου των δεδοµένων που εξετάζουµε. Σκοπός των στατιστικών µέτρων είναι η αντικατάσταση µιας µεγάλης µάζας αριθµητικών δεδοµένων από ένα ή δυο αριθµούς, που από κοινού µεταφέρουν το µεγαλύτερο ποσοστό της βασικής πληροφορίας που περιέχεται στα δεδοµένα. Τα στατιστικά περιγραφικά µέτρα, χωρίζονται σε δυο κατηγορίες:

• Μέτρα θέσης • Μέτρα διασποράς ή µέτρα µεταβλητότητας

Μέτρα θέσης Τα στατιστικά µέτρα θέσης δίνουν πληροφορίες για τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο

άξονα και για το µέγεθος των τιµών των δεδοµένων. Στατιστικά µέτρα θέσης είναι τα ακόλουθα:

1. Μέση τιµή x Η µέση τιµή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το πιο σηµαντικό και συχνά χρησιµοποιούµενο στην πράξη στατιστικό µέτρο.

Ορίζεται ως το άθροισµα των τιµών χ1, χ2, ....χν που παίρνει µια µεταβλητή χ, προς το πλήθος των τιµών της

∑∑

=

= ==+++

ν

ν

ννν 1

121 1...

ii

ii

tt

tttx

Η µέση τιµή ορίζεται µόνο σε ποσοτικές µεταβλητές. Αν όµως, η µεταβλητή παρουσιάζει τιµές χ1, χ2, ....χκ µε αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, ....νκ τότε, για να υπολογίσουµε εύκολα την µέση τιµή, δηµιουργούµε µια νέα στήλη στην οποία υπολογίζουµε τα χiνi και κατόπιν το άθροισµα τους . Έτσι, η µέση τιµή της µεταβλητής δίνεται από τον τύπο:

∑∑

∑=

=

= ==+++

+++=

κ

κ

κ

κ

κκ ννν

ν

νννννν

1

1

1

21

2211 1

...

...

iii

ii

iii

xx

xxxx

Η παραπάνω σχέση ισοδύναµα γράφεται:

όπου if οι σχετικές συχνότητες.

1 1

ii i i

i i

x x x fκ κν

ν= =

= =∑ ∑

Page 33: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

33

Παράδειγµα (19) Σε δέκα αγώνες σε ένα πρωτάθληµα ποδοσφαίρου, σηµειώθηκαν τα παρακάτω τέρµατα: 3, 1, 3, 2, 5, 6, 3, 5, 1, 3. Η µέση επίτευξη γκολ ανά αγώνα είναι:

x−

= 2.310

32

10

3153652313==

+++++++++

Παράδειγµα (22)

ii)Να βρεθεί η µέση τιµή των παρατηρήσεων που αντιστοιχούν στον παρακάτω πίνακα: Παρατηρήσεις

χi Συχνότητες νi

1 6 2 7 3 2 4 8 5 13

Σύνολο 36

Λύση Στον πίνακα δηµιουργούµε την στήλη των χiνi και ο πίνακας γίνεται: Παρατηρήσεις χi Συχνότητες νi χiνi

1 6 6 2 7 14 3 2 6 4 8 32 5 13 65

Σύνολο 36 123

Η µέση τιµή είναι : 1 1 2 2

1 2 3 4 5

....... 1233, 41

36

+ + += = =

+ + + +

x x xx κ κν ν ν

ν ν ν ν ν

Παραδειγµα ( 20) Ένας ιδιοκτήτης ενοικιάζει 4 διαµερίσµατα µε µέσο ενοίκιο 500 ευρώ τον µήνα. i) Ενοικιάζει και ένα πέµπτο διαµέρισµα στην τιµή των 300 ευρώ .Ποιο είναι το µέσο ενοίκιο τώρα ; ii) Αν επιθυµούσε το µέσο ενοίκιο να γίνει 480 ευρώ, πόσο έπρεπε να είναι ενοίκιο στο πέµπτο διαµέρισµα; Λύση

i)4 500 1 300 2000 300

4604 1 5

⋅ + ⋅ += = =

+x Ευρώ

ii)Έστω ω το ενοίκιο του πέµπτου διαµερίσµατος τότε: 4 500 1

' 480 ... 4004 1

⋅ + ⋅= = ⇔ ⇔ =

+x

ωω ευρώ .

Page 34: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

34

Παραδειγµα ( 21 ) Ένας αγρότης απασχολεί εργάτες για τρεις διαφορετικές εργασίες Συγκεκριµένα απασχολεί 10 εργάτες για το µάζεµα της ελιάς 15 εργάτες για σκάψιµο και κλάδεµα και 30 εργάτες για φόρτωµα καρπού. Πληρώνει κατά µέσο ορό 30 ευρώ την ηµέρα τον κάθε εργάτη. Να βρεθεί πόσο πληρώνει για την κάθε εργασία ηµερησίως αν από το µάζεµα της ελιάς κοστολογείται το ίδιο µε το σκάψιµο αλλά ακριβότερο κατά 6 ευρώ από το φόρτωµα Λύση Έστω χ: το ηµεροµίσθιο για το µάζεµα της ελιάς y: το ηµεροµίσθιο για το σκάψιµο z : το ηµεροµίσθιο για το φόρτωµα οπότε χ = y και χ = z+6

10 15 30( 6) 10 15 30( 6)30 30 ... 33.27

10 15 30 10 15 30

=+ + − + + −= ⇔ = ⇔ =

+ + + +

x yx y x x x xχ

άρα χ = y = 33.27 και z = 33.27-6 = 27.27 ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα (έµφαση) στις τιµές 1 2, ,..,x x xν ενός συνόλου δεδοµένων, τότε αντί του αριθµητικού µέσου χρησιµοποιούµε τον σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο (weighted mean). Εάν σε κάθε τιµή 1 2, ,..,x x xν δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές

στάθµισης (βαρύτητας) 1 2, ,..,w w wν , τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από τον τύπο:

=

==+++

+++=

ν

ii

ν

iii

ν

νν

w

wx

www

wxwxwxx

1

1

21

2211

...

...

. Για παράδειγµα, µε το νέο σύστηµα, για την εισαγωγή ενός µαθητή στην τριτοβάθµια εκπαίδευση θα συνυπολογίζονται ο βαθµός 1x του απολυτηρίου του Ενιαίου Λυκείου µε συντελεστή (βάρος) 1 7=w ,5, ο βαθµός 2x

στο τεστ δεξιοτήτων µε συντελεστή 2 1=w , ο βαθµός 3x στο 1ο βασικό µάθηµα µε συντελεστή 3 1=w και ο βαθµός

4x στο 2ο βασικό µάθηµα µε συντελεστή 4 0,5=w . Εάν ένας µαθητής πάρει τους βαθµούς 1 16,5=x , 2 18=x , 3 17=x

και 4 16,6=x , τότε ο σταθµικός µέσος της επίδοσης του θα είναι:

7,16

10

167

5,0115,7

5,06,161171185,75,16==

+++×+×+×+×

=x.

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΕ ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ Αν έχουµε οµαδοποιηµένες κατά κλάσεις παρατηρήσεις, βρίσκουµε την κεντρική τιµή κάθε κλάσης, δηλαδή το

µέσο κάθε διαστήµατος, και την πολλαπλασιάζουµε µε τη συχνότητα της κλάσης. Στη συνέχεια, υπολογίζουµε το άθροισµά τους και το διαιρούµε µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Όπως και στην προηγούµενη περίπτωση, για να βρεθεί εύκολα η µέση τιµή δηµιουργούνται δυο νέες στήλες , µια µε τα κέντρα ix των κλάσεων και µια µε τα γινόµενα i ix ν⋅ .Στην συνεχεία υπολογίζεται το άθροισµα των ⋅i ix ν .

Παράδειγµα (22)

Τα κέρδη (σε χιλιάδες ευρώ) 50 καταστηµάτων την προηγούµενη 10ετία ήταν: 51 53 57 56 54 56 55 53 54 50 60 61 63 63 62 67 66 67 65 67 71 73 76 74 75 79 78 81 81 83 88 86 85 94 95 95 96 93 92 95 100 107 106 109 105 112 113 113 112 119 Θέλουµε να υπολογίσουµε το µέσο κέρδος των καταστηµάτων ∆ηµιουργούµε 7 κλάσεις, όπου το πλάτος κάθε κλάσης είναι c = 10.

Page 35: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

35

Ο πίνακας συχνοτήτων είναι: ∆ιάστηµα κερδών

Κεντρική τιµή xi Συχνότητα vi ii vx ⋅

50-60 55 10 550 60-70 65 10 650 70-80 75 7 525 80-90 85 6 510 90-100 95 7 665 100-110 105 5 525 110-120 115 5 575 Σύνολο 50 4000

Άρα η µέση τιµή είναι: 1 1 2 2 ...... 550 650 525 510 665 525 575 400080

50 50

⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + += = = =v vv x v x v x

xv

Παρατήρηση

• Αν δεν κάνουµε οµαδοποίηση των παρατηρήσεων, τότε βρίσκουµε µέση τιµή ελαφρώς διαφορετική από αυτή που προσδιορίσαµε µε την οµαδοποίηση. Φυσικά, η δεύτερη είναι πιο ακριβής αλλά αρκετά δύσκολη και χρονοβόρα στον υπολογισµό της. Αυτή είναι η αιτία που προτιµούµε την οµαδοποίηση. Χάνουµε λίγο ως προς την ακρίβεια, αλλά κερδίζουµε χρόνο. • Στην οµαδοποίηση των παρατηρήσεων δεχόµαστε ότι αυτές είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στις κλάσεις και ότι οι τιµές της µεταβλητής σε κάθε κλάση αντιπροσωπεύονται από την αντίστοιχη κεντρική τιµή xi. • Αν έχουµε πληροφορίες ότι οι παρατηρήσεις δεν είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες σε κάθε κλάση, τότε δεν µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση τιµή κάνοντας χρήση των κεντρικών τιµών κάθε κλάσης. Η αιτία είναι ότι θα προσδιορίσουµε µέση τιµή αρκετά διαφορετική από την πραγµατική.

Παράδειγµα (23) Θεωρούµε ένα δείγµα ν παρατηρήσεων µιας συνεχούς ποσοτικής µεταβλητής x , τις οποίες οµαδοποιούµε σε 4 ισοπλατεις κλάσεις όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Κλάσεις Κεντρική τιµή

ix Σχετική συχνότητα if

[ )50, 0,1

[ ), 65

[ ),

[ ),

Η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια από την σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης . Η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι 74=x . α)Να συµπληρώσετε τον πίνακα. β) Να υπολογίσετε την µέση τιµή των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες του 80.

Page 36: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

36

Λύση α)Αν c το πλάτος των κλάσεων τότε ο πίνακας παίρνει την µορφή : Κλάσεις Κεντρική τιµή

ix Σχετική συχνότητα if

[ )50,50+ c 0,1

[ )50 ,50 2+ +c c 65

[ )50 2 ,50 3+ +c c

[ )50 3 ,50 4+ +c c

Θα ισχύει η σχέση (50 ) (50 2 )

65 ... 102

+ + += ⇔ ⇔ =

c cc .Ο πίνακας παίρνει την µορφή :

Κλάσεις Κεντρική τιµή

ix Σχετική συχνότητα if

[ )50,60 55 0,1

[ )60,70 65

[ )70,80 75

[ )80,90 85

Από υπόθεση θα ισχύει 4 32=f f και

1 2 3 4 2 3 3 2 31 0,1 2 1 3 0,9+ + + = ⇔ + + + = ⇔ + =f f f f f f f f f (1) Όµως

1 1 2 2 3 3 4 4 2 3 4 2 3 3

2 3 3 2 3

74 55 0,1 65 75 85 74 5,5 65 75 85(2 )

74 5,5 65 75 170 68,5 65 245 (2)

= + + + ⇔ = ⋅ + + + ⇔ = + + + ⇔

− = + + ⇔ = +

x x f x f x f x f f f f f f f

f f f f f

Λύνουµε το σύστηµα των(1) και (2) και προκύπτει: 2 30.3, 0.2= =f f άρα 4 0.4=f . Ο πίνακας παίρνει την µορφή Κλάσεις Κεντρική τιµή

ix Σχετική συχνότητα if

[ )50,60 55 0,1

[ )60,70 65 0,3

[ )70,80 75 0,2

[ )80,90 85 0,4

1 α) Η ζητούµενη µέση τιµή είναι :

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( ) 200' ..

( ) 3

= ⇔ =+ + + + + + + +

= = = = = =+ + + + + + + +

i i ii

f vfx v x v x v x vf x vf x vf x f x f x f x f x f x f

xv v v vf vf vf f f f f f f

νν

ν νν

2. ∆ιάµεσος δ

∆ιάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως:

• Η µεσαία παρατήρηση, όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός • Το ηµιάθροισµα των δυο µεσαίων παρατηρήσεων, όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός

Page 37: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

37

Παράδειγµα (24) Αν θέλουµε να βρούµε τη διάµεσο των αριθµών (οι οποίοι έχουν ήδη διαταχθεί σε αύξουσα σειρά)

1 1 3 5 7 8 8 9 9 τότε αυτή θα ισούται µε τη µεσαία παρατήρηση (δηλαδή την 5η), γιατί το πλήθος των δεδοµένων είναι περιττός αριθµός (ν=9). Άρα δ = 7 Αν θέλουµε να βρούµε τη διάµεσο των παρατηρήσεων: 200 300 500 500 500 700 1.000 1.000 1.000 40.000 τότε αυτή θα ισούται µε το ηµιάθροισµα των δυο µεσαίων παρατηρήσεων (δηλαδή της 5ης και της 6ης

παρατήρησης), γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός (ν=10). Άρα 500 700

6002

+= =δ .

Παραδειγµα (28 ) Οκτώ διαδοχικοί περιττοί αριθµοί έχουν µέση τιµή 20.Να βρεθούν οι αριθµοί και η διάµεσος τους Λύση Έστω 2 1,2 3,2 5,2 7,2 9,2 11,2 13,2 15+ + + + + + + +κ κ κ κ κ κ κ κ οι ζητούµενοι αριθµοί τότε : 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 13 2 15

208

16 64 160 6

+ + + + + + + + + + + + + + += ⇔

+ = ⇔ =

κ κ κ κ κ κ κ κ

κ κ

Άρα οι αριθµοί είναι : 13,15,17,19,21,23,25,27.Η διάµεσος δ είναι 19 21 40

202 2

+= = =δ .

Παρατήρηση Η διάµεσος δ είναι η τιµή που χωρίζει το δείγµα έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερες ή ίσες από το δ, και το 50% των παρατηρήσεων να είναι µεγαλύτερες ή ίσες από το δ. ∆ιάµεσος σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα

Για να υπολογίσουµε τη διάµεσο σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, δηµιουργούµε το ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων ή αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και τις αντίστοιχες πολυγωνικές γραµµές. Σύµφωνα µε την προηγούµενη παρατήρηση, η διάµεσος θα είναι η τιµή δ της µεταβλητής Χ στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να έχουν τιµές µικρότερες ή ίσες του δ. Η διάµεσος δ έχει αθροιστική συχνότητα 0,5 και σχετική αθροιστική συχνότητα 50%. Από το σηµείο Α (50%) φέρνουµε την ΑΒ//Οχ και από το σηµείο Β τη ΒΓ//Οψ. Ο αριθµός που αντιστοιχεί στο Γ είναι η διάµεσος δ.Παράδειγµα (25) Να βρεθεί η διάµεσος των παρατηρήσεων για τις οµαδοποιηµένες τιµές της µεταβλητής χ, που φαίνονται στον πίνακα: Οµάδες Συχνότητες νi

[ )10,20 2

[ )20,30 8

[ )30,40 10

[ )40,50 12

[ )50,60 8

Σύνολο 40

Page 38: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

38

Λύση Συµπληρώνουµε τον πίνακα µε τις σχετικές συχνότητες και τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες : Οµάδες Συχνότητες νi Σχετικές συχνότητες

f i

Σχετικές αθροιστικές συχνότητες fi%

[ )10,20 2 0.05 0.05

[ )20,30 8 0.2 0.25

[ )30,40 10 0.25 0.5

[ )40,50 12 0.3 0.8

[ )50,60 8 0.2 1

Σύνολο 40 1

Σύγκριση παραµέτρων θέσης

Μέση τιµή Πλεονεκτήµατα Μειονεκτήµατα

• Ο υπολογισµός της είναι εύκολα κατανοητός

• Ο υπολογισµός της δεν είναι δύσκολος • Χρησιµοποιούνται τα µεγέθη όλων των

τιµών • ∆εν χρειάζεται γραφικό προσδιορισµό • Είναι πολύ χρήσιµη σε περαιτέρω

ανάλυση

• Επηρεάζεται από ακραίες τιµές, µεγάλες ή µικρές

• Μπορεί να µην αντιστοιχεί σε συγκεκριµένη τιµή της µεταβλητής (πχ 2,76 παιδιά)

∆ιάµεσος

Πλεονεκτήµατα Μειονεκτήµατα • Ο υπολογισµός της είναι εύκολα

κατανοητός • Ο υπολογισµός της είναι απλός • Μπορεί να υπολογιστεί και από ελλιπή

στοιχεία • ∆εν επηρεάζεται από ακραίες τιµές

• ∆εν χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές της µεταβλητής

• Μπορεί να χρειάζεται γραφικό προσδιορισµό

• ∆εν χρησιµοποιείται για περαιτέρω µαθηµατική ανάλυση

Η διάµεσος είναι: δ=40

Page 39: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

39

ΜΕΤΡΑ ∆ΙΑΣΠΟΡΑΣ Τα µέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιµών µιας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα θέσης, και συνήθως

γύρω από τη µέση τιµή. Τα σπουδαιότερα µέτρα διασποράς είναι: • Το εύρος • Η διακύµανση • Η τυπική απόκλιση

1. Εύρος

Εύρος ή κύµανση ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη. Εάν έχουµε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, το εύρος ισούται µε τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης

Παράδειγµα (26) Για τις τιµές : 2,7,4,8,3,0,2,7,6,9,5 να βρεθεί το εύρος τους . Λύση Η µικρότερη από τις τιµές είναι το 0 και η µεγαλύτερη το 9 , άρα το εύρος είναι ίσο µε 9-0=9

Παρατήρηση

• Το εύρος σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα µπορεί να διαφέρει λίγο από το εύρος των δεδοµένων πριν αυτά οµαδοποιηθούν. • Το εύρος είναι απλό µέτρο και δεν θεωρείται αξιόπιστο, γιατί βασίζεται µόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις

2. ∆ιακύµανση

Εστω 1 2,..,,t t tν οι παρατηρησεις µιας µεταβλητης Χ .Τοτε διακυµανση ή διασπορα 2s των τιµων 1 2,..,,t t tν οριζουµε

τον µεσο ορο των τετραγωνων των διαφορων των 1 2,..,,t t tν από την µεση τιµη. ∆ηλαδη

2 2 2

1 22 2

1

...1

( )

− − −

=

− + − + + −

= = −∑ ii

t x t x t x

s t xv

κ ν

ν

Θα πχρησιµοποιουµε τον παραπανω τυπο όταν η µεση τιµη ριναι καεραιος αριθµος διαφορετικα Αν οι τιµές x1, x2, x3…xv έχουν αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, ν3...νν τότε η µέση απόλυτη απόκλιση της µεταβλητής, γίνεται:

2 2 2

1 1 2 22 2

1

...1

( )v v

ii

v x x v x x v x xs t x

v

ν

ν

− − −

=

⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − = = −∑

Ο παραπανω τύπος αποδεικνύεται ότι µπορεί να πάρει την ισοδύναµη µορφή

−= ∑∑

=

i

ν

ii

t

s1

2

122 1

η οποία διευκολύνει σηµαντικά τους υπολογισµούς κυρίως όταν η µέση τιµή x δεν είναι ακέραιος αριθµός.

Page 40: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

40

Όταν έχουµε πίνακα συχνοτήτων ή οµαδοποιηµένα δεδοµένα, η διακύµανση ορίζεται από τη σχέση:

∑=

−=κ

iii νxx

νs

1

22 )(1

ή την ισοδύναµη µορφή:

.1

1

2

122

−= ∑∑

=

i

κ

iii

ii v

vx

vxv

s

όπου κxxx ,...,, 21 οι τιµές της µεταβλητής (ή τα κέντρα των κλάσεων) µε αντίστοιχες συχνότητες κννν ,...,, 21 .

4. Τυπική απόκλιση Ως τυπική απόκλιση ορίζουµε το τετράγωνο της διακύµανσης

2 2 2

2 1 2( ) ( ) ... ( )− + − + + −= =

x x x x x xs s ν

ν

Ενώ στην περίπτωση που οι τιµές x1, x2, x3…xv έχουν συχνότητες ν1, ν2, ν3...νν, τότε

2 2 2

2 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )− + − + + −=

x x x x x xs κ κν ν ν

ν

Χρήσιµες σχέσεις

.1

1

2

122

−= ∑∑

=

i

κ

iii

ii v

vx

vxv

s = ( )

2

2

221 1

i i i ii i

x xx x

κ κ

ν ν

ν ν= =

− = −

∑ ∑( )2

2 2s x x⇔ = −

2 2 2

1 1 2 22

... v vv x x v x x v x xs

v

− − − ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − = =

2 2 2

1 1 2 22 2 2

1 1

.. ( ) ( )

− − −

= =

⋅ − ⋅ − ⋅ − + + + = − ⇔ = −∑ ∑

v v

i i i ii i

v x x v x x v x xf x x s f x x

v v v

ν ν

Page 41: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

41

Αξίζει να σηµειωθεί ότι αν η καµπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

),( sxsx +−

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

)2,2( sxsx +−

iii) το 99,7% περίπου των παρατη-ρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

)3,3( sxsx +−

iv) το εύρος ισούται περίπου µε έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή sR 6≈ .

Παράδειγµα (27) Για τους βαθµούς στο µάθηµα Β: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 έχουµε

10=−

bx , οπότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

47

28

7

94101497

1310121011101010910810710 22222222

==++++++

=−+−+−+−+−+−+−

=bsΟπότε

24 ==bs

Για τους βαθµούς στο µάθηµα C : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 έχουµε

10=−

cx , οπότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

167

112

7

361640416367

1610141012101010810610410 22222222

==++++++

=−+−+−+−+−+−+−

=csΟπότε

416 ==cs

Παρατηρούµε ότι οι βαθµοί στο µάθηµα C παρουσιάζουν µεγαλύτερη τυπική απόκλιση, πράγµα που αντικατοπτρίζει το µεγαλύτερο άπλωµα των τιµών γύρω από τη µέση τιµή. Πρέπει να τονίσουµε ότι σηµαντικότερο µέγεθος είναι η τυπική απόκλιση. Η διακύµανση χρησιµοποιείται βοηθητικά.

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

s s

Page 42: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

42

Παράδειγµα (28)

∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων των οµαδοποιηµένων τιµών µιας µεταβλητής : Κλάσεις [ )10,20 [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70

Συχνότητες νi

8 2 1 9 6 4

α)Να βρεθεί η µέση τιµή x των τιµών. β)Να βρεθεί η διακύµανση και η τυπική απόκλιση των τιµών. Λύση Για να βρούµε την µέση τιµή , την διακύµανση και την τυπική απόκλιση των τιµών, θα ενισχύσουµε τον πίνακα συχνοτήτων µε τα στοιχεία:

κέντρο χi των κλάσεων,2 2, , ( ) , ( )i i ix X x X x X xν ν⋅ − − −

Κλάσεις Συχνότητες

νi

Κέντρα xi

i ix ν⋅ X x− 2( )X x− 2( )i X xν −

[ )10,20 8 15 120 25 625 5000

[ )20,30 2 25 50 15 225 450

[ )30,40 1 35 35 5 25 25

[ )40,50 9 45 405 5 25 225

[ )50,60 6 55 330 15 225 1350

[ )60,70 4 65 260 25 625 2500

Σύνολο 30 1200 9550

α)Η µέση τιµή είναι : 1 1 2 2 6 6....... 120040

30

+ + += = =

x x xx

ν ν νν

β)Η διακύµανση s2 είναι ίση µε:

2 2 22 1 1 2 2 6 6( ) ( ) ... ( ) 9550

318,3330

− + − + + −= = =

x x x x x xs

ν ν νν

και η τυπική απόκλιση s είναι ίση µε : 2 318,33 17,84= =s s ≃

Συντελεστής Μεταβλητότητας CV Όταν γνωρίζουµε µόνο τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση δυο διαφορετικών δειγµάτων, τότε χρειαζόµαστε ένα µέτρο µεταβλητότητας για να µπορούµε να συγκρίνουµε τα δυο δείγµατα. Ορίζουµε συντελεστή µεταβλητότητας το πηλίκο

CV= (τυπική απόκλιση) / (µέση τιµή) = −

s

x

ή CV = −

s

x

100%

Ο CV χρησιµοποιείται, εποµένως, σαν ένα µέτρο σύγκρισης της διασποράς των τιµών ενός δείγµατος γύρω από τις µέσες τιµές τους, στην περίπτωση που είτε οι µέσες τιµές διαφέρουν σηµαντικά µεταξύ τους είτε οι τιµές του δείγµατος έχουν διαφορετικές µονάδες µέτρησης (ο CV είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες µετρήσεις).

Page 43: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

43

Γενικά: όταν ο συντελεστής µεταβλητότητας είναι κάτω από 10%, τότε ο πληθυσµός του δείγµατος θεωρείται οµοιογενής, δηλαδή παρουσιάζει µικρή διασπορά τιµών. Σχολια 1. Αν οι µεταβλητές Χ και Υ συνδέονται µε τη γραµµική σχέση Υ = α + βΧ, όπου α και β πραγµατικοί

αριθµοί,και , yχ αντιστοιχα η µεση τιµη των Χ και Y τοτε ισχυει = +y ax β οσο για τις διακυµάνσεις 2

xs , 2

ys των Χ και Υ αντιστοίχως, αποδεικνύεται ότι συνδέονται µε τη σχέση 2 2= ⋅x ys sβ και οι τυπικές

αποκλίσεις µε τη σχέση = ⋅y xs sβ .

2. Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές, όταν ο συντελεστής µεταβολής CV δεν ξεπερνά το 10%. 3. Ο συντελεστής µεταβολής CV δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η µέση τιµή είναι κοντά στο µηδέν. Παρατηρήσεις 1. Οι δείκτες κεντρικής τάσης, µέση τιµή, διάµεσος δεν είναι τελείως άσχετες µεταξύ τους αλλά βρίσκονται σε στενή αλληλεξάρτηση. Η σχέση αυτή καθορίζεται αναλόγως µε τη µορφή της κατανοµής. Αν η κατανοµή είναι συµµετρική (σχήµα α) οι τρεις δείκτες συµπίπτουν. Αν η καµπύλη έχει τη µορφή του διαγράµµατος (β) παρουσιάζει ουρά προς τα δεξιά, ή είναι ασύµµετρη αριστερά, τότε η µέση τιµή αποµακρύνεται από το κέντρο της κατανοµής µε κατεύθυνση την ουρά της κατανοµής. Τέλος, αν η καµπύλη έχει τη µορφή του δια-γράµµατος (γ) παρουσιάζει ουρά προς τα αριστερά ή είναι ασύµµετρη δεξιά, τότε η µέση τιµή αποµακρύνεται από το κέντρο της κατανοµής µε κατεύθυνση την ουρά της κατανοµής. Συµπερασµατικά, η κατανοµή είναι ασύµµετρη προς τα δεξιά, αν η µέση τιµή είναι µικρότερη από τη διάµεσο, ενώ είναι ασύµµετρη αριστερά, αν η µέση τιµή είναι µεγαλύτερη από τη διάµεσο. 2. Από τους δείκτες,διάµεσος δ και µέση τιµή x που περιγράψαµε παραπάνω ο καθένας τους δίνει διαφορετικές πληροφορίες. Έτσι αν ο ερευνητής θέλει να αναφέρει την κεντρικότερη τιµή της κατανοµής θα πρέπει να πάρει τη διάµεσο δ, ενώ αν θέλει να αναφέρει το σηµείο ισορροπίας της κατανοµής καταλληλότερος είναι ο δείκτης της µέσης τιµής χ . Επειδή λοιπόν οι δυο αυτοί οµοειδείς δείκτες καταδεικνύουν την εικόνα της κεντρικής τάσης των τιµών µιας οµάδας δεδοµένων, υπολογίζονται από τον ερευνητή και οι τρεις και αναλόγως χρησιµοποιείται ο δείκτης που αποδίδει πιο πιστά τα δεδοµένα. Για παράδειγµα, έστω ότι η βαθµολογία δύο µαθητών στα 14 µαθήµατα της τάξης τους έδωσε τους εξής κεντρικούς δείκτες: Μάθηµα Μαθητής Α Μαθητής Β

Μέση τιµή x 15 15

∆ιάµεσος δ 15 13

Page 44: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

44

Επειδή οι µαθητές Α και Β έχουν τον ίδιο µέσο όρο βαθµολογίας δεν σηµαίνει ότι έχουν και την ίδια µαθησιακή απόδοση. Για το µαθητή Β, όπως φαίνεται η κατανοµή είναι ασύµµετρη και η µέση επίδοση του εκφράζεται καλύτερα από τη διάµεσο δ = 13.

Παράδειγµα (29)

∆υο δείγµατα παρουσιάζουν µέση τιµή 5X = και 8X ′ = και τυπικές αποκλίσεις 120s = και 120s′ = . Ποιο δείγµα παρουσιάζει την µεγαλύτερη οµοιογένεια;

Λύση Για το 1ο δείγµα , ο συντελεστής µεταβλητότητας είναι ίσος µε:

CV120

100% 24%5

s

X= = ⋅ =

ενώ για το 2ο δείγµα, είναι ίσος µε :

CV΄150

100% 18.75%8

s

X

′= = ⋅ =

Επειδή CV΄<CV,το 2ο δείγµα παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια. Παράδειγµα (30) Σε µια έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης για το χρόνο που χρειάζονται να πάνε από το σπίτι στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι το 16% περίπου των µαθητών χρειάζεται λιγότερο από 6 λεπτά , ενώ το 2,5% περίπου χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά .Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου είναι κατά προσέγγιση κανονική. α.Να βρεθεί ο µέσος χρόνος διαδροµής των µαθητών καθώς και η τυπική απόκλιση του χρόνου. β.Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές . γ.Αν οι µαθητές της πολης είναι 3500 , πόσοι µαθητές χρειάζονται χρόνο από 6 έως 10 λεπτά; δ.Μια µέρα , λογω έργων στον κεντρικό δρόµο της πολης , κάθε µαθητής καθυστέρησε κατά 3 λεπτά .Να βρεθεί πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής CV. Λύση α.Ειναι γνωστό ότι το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα : ),( sxsx +− Επειδή το 16% των µαθητών χρειάζεται χρόνο λιγότερο από 6 λεπτά είναι : 6(1)x s− = Επίσης το 95 % των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα )2,2( sxsx +− αφού το 2.5% χρειάζεται χρόνο

περισσότερο από 12 λεπτά θα ισχύει: 2 12(2)x s+ = Λύνοντας το σύστηµα των (1) , (2)

2 12

6

x s

x s

+ =

− = βρίσκουµε ότι s=2 και 8x =

β. Είναι : CV2

100 100 25%8

s

X= = ⋅ =

Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές . γ.Επειδη :

8 2 6x s− = − = και 8 2 10x s+ = + = οι µαθητές που χρειάζονται χρόνο από 6 έως 10 λεπτά είναι περίπου το 68% του συνόλου των µαθητών ∆ηλαδή:

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

s s

Page 45: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

45

68

3500 2380100

= µαθητές .

δ.Αν 1 2, ,.....,y y yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουµε σε κάθε µια από τις

1 2, ,....., νχ χ χ την σταθερά 3 τότε :

3 8 3 11y x= + = + = και 2x yS S= =

Άρα ο νέος συντελεστής µεταβολής είναι : CV΄2

100 18.18%11

s

X

′= = ⋅

′≃

δηλαδή ο συντελεστής µειώθηκε κατά 25 – 18,18=6,82% περίπου . Παράδειγµα (31) Μια εταιρεία πετρελαιοειδών αύξησε την τιµή του λίτρου της βενζίνης , που πληρώνουν οι καταναλωτές της κατά την διάρκεια των 10 τελευταίων ηµερών .Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η τιµή του λίτρου της βενζίνης σε ευρώ καθώς και ο αριθµός των αγοραστών Τιµή σε ευρώ 0.68-0.70 0.70-0.72 0.72-0.74 0.74-0.76 0.76-0.78 Καταναλωτές 41 65 72 51 28 Να βρεθούν α) το ποσοστό των καταναλωτών που πληρώνουν το λίτρο βενζίνης λιγότερο από 0.74 ευρώ β) την µέση τιµή της βενζίνης γ) την διάµεσο τιµή δ.Το ποσοστό των καταναλωτών που πληρώνουν την βενζίνη πάνω από 0.77 ευρώ Λύση Από τον παραπάνω πίνακα , προκύπτει ο πίνακας συχνοτήτων Κλάσης Κέντρο κλάσης

iν %if %iF

[ )0.68,0.70 0.69 41 16 16

[ )0.70,0.72 0.71 65 25 41

[ )0.72,0.74 0.73 72 28 69

[ )0.74,0.76 0.75 51 20 89

[ ]0.76,0.78 0.77 28 11 100

Σύνολο 257 α.Απο τον πίνακα συχνοτήτων και συγκεκριµένα από την σχετική αθροιστική συχνότητα , έχουµε ότι το ποσοστό των καταναλωτών µε τιµή µικρότερη των 0.74 ευρώ είναι 69%. β.Η µέση τιµή είναι :

41 0.69 65 0.71 72 0.73 51 0.75 28 0.77 186.810.73

257 257

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =x ≃

γ. Κατασκευάζουµε το διπλανό ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων .Απο τα τρίγωνα Α∆Ε και ΑΒΓ , αν ∆Ε=x , έχουµε:

928 0.18 0.006

0.02 28

∆Ε Α∆= ⇔ = ⇔ = ⇔

ΒΓ ΑΒx

x x ≃

Άρα η διάµεσος είναι : δ=0.72 + 0.006 = 0.726 δ. Πάνω από 0.77 ευρώ , το ποσοστό των

Page 46: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

46

καταναλωτών είναι :50

11 5,5%100

⋅ =

αφού το πλάτος της κλάσης είναι 0.02 και θέλουµε από 0.762 εως 0.780. Παράδειγµα (32) Σε ένα δείγµα µεγέθους 20 µιας µεταβλητής Χ έχουµε :

100it =∑ και 2 1000it =∑

Έστω δείγµα του ιδίου µεγέθους µιας µεταβλητής Y , που συνδέεσαι µε το Χ µε την σχέση 2 5Y X= + .Να υπολογιστεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση κάθε µεταβλητής . Λύση

Έχουµε : 100

520 20

= = =∑ it

x

Είναι:

2

12 2

1

1 1 100001000

20 20 20

1 5001000 500 25

20 20

=

=

= − = − =

− = =

∑∑

ii

x ii

t

S t

ν

ν

ν

Οπότε 5xS =

Επειδή 2 5= +Y X . έχουµε :

2 5 10 5 15= + = + =y x

Για την τυπική απόκλιση 2 2 5 10= = ⋅ =y xS S

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΜΠΕ∆ΩΣΗ 1. ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών της µεταβλητής Χ.

i xi vi i ix v⋅

1 210 2 20 60 3 4 4 40 6

Σύνολο 100 20 Να συµπληρώσετε τον πίνακα και να βρείτε τη µέση τιµή των xi

Λύση Είναι 2 2 2 260 20 60 3x v v v⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =

Επίσης 1 2 3 4 120 3 4 6 20v v v v v+ + + = ⇔ + + + = 1 113 60 20 13v v⇔ + = ⇔ = − 1 7v⇔ =

Όµως 1 1 1 1 1

210210 7 210 30

7x v x x x⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ =

∆ίνεται ακόµα ότι 1 2 3 4 3100 30 20 40 100x x x x x+ + + = ⇔ + + + =

3 3 390 100 100 90 10x x x⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

Εποµένως, ο πίνακας γίνεται:

Αν = +Y aX β , τότε :

= +y xα β και

=y xS Sα

Page 47: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

47

i xi vi i ix v⋅

1 30 7 210 2 20 3 60 3 10 4 40 4 40 6 240

Σύνολο 100 20 550

Η µέση τιµή είναι 1 1 2 2 3 3 4 4 210 60 40 240

20

x v x v x v x vX

v

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + += = =

=550

27,520

=

2. Οι επιδόσεις 50 υποψηφίων για την εγγραφή τους σε µια ιδιωτική σχολή ήταν: 6, 7, 8, 9, 5, 1, 4, 7, 3, 9, 2, 5, 3, 8, 6, 7, 7, 6, 8, 1 3, 0, 1, 4, 9, 0, 9, 7, 8, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 6, 4, 3 2, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 9, 2 I.Κατασκευάστε τον πίνακα µε vi, Ni, fi%, Fi%

II. Πόσοι µαθητές έγραψαν α) το πολύ 5; β) κάτω από 5; γ) τουλάχιστον5;

III. Υπολογίστε τις παραµέτρους θέσης IV.Η σχολή αποφάσισε να πάρει το 36% των υποψηφίων. Τι βαθµό πρέπει να έχει γράψει κάποιος για να

περάσει; Λύση

I. Ο πίνακας κατασκευάζεται κατά τα γνωστά Βαθµός xi

Συχνότητα vi

Αθροιστική Συχνότητα Ni

Σχετική Συχνότητα fi%

Σχετ. Αθροιστ. Συχνότητα Fi%

0 2 2 4 4 1 4 6 8 12 2 4 10 8 20 3 5 15 10 30 4 5 20 10 40 5 5 25 10 50 6 7 32 14 64 7 7 39 14 78 8 6 45 12 90 9 5 50 10 100

Άθροισµα 50 100

II. Η έκφραση «το πολύ 5» σηµαίνει «από 0 ως 5 µαθητές». Επειδή χ6=5 και Ν6=25, η απάντηση είναι 25 µαθητές «Κάτω από 5» σηµαίνει «από 0 ως και 4». Επειδή χ5=5 και Ν5=20, η απάντηση είναι 20 µαθητές «Τουλάχιστον 5» σηµαίνει «5 και παραπάνω». Επειδή

6 7 8 9 10 5 7 7 6 5 30,v v v v v+ + + + = + + + + = , η απάντηση είναι 30 µαθητές

III. Για τη µέση τιµή έχουµε: x−

= v

xvxvxv vv ⋅++⋅+⋅ ......2211

=0 4 8 15 20 25 42 49 48 45 256

5,1250 50

+ + + + + + + + += =

Από τον πίνακα προκύπτει ότι υπάρχουν 2 επικρατούσες τιµές, το 6 και το 7 (έχουν τη µεγαλύτερη συχνότητα)

Page 48: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

48

Για τη διάµεσο έχουµε 25 26

2

+=

η η

δ παρατήρηση, δηλαδή 5 6

5,52

+= =δ

IV. Προφανώς, η σχολή θα δεχθεί τους µαθητές µε τις καλύτερες επιδόσεις. Το 10% έγραψε 9, το 12% έγραψε 8 και το 14% έγραψε 7.

V. Έτσι, το 10+12+14=36% έγραψε 7 και περισσότερο, οπότε για να εγγραφεί κάποιος στη σχολή πρέπει να έχει βαθµό τουλάχιστον 7.

3. Να αποδειχθεί ότι η µέση τιµή των τιµών χ1, χ2, …χκ µιας µεταβλητής χ, µε συχνότητες ν1, ν2,… νκ και

σχετικές συχνότητες f1, f2,… fκ αντίστοιχα, είναι ίση µε το άθροισµα των γινοµένων των τιµών της µεταβλητής επί τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες Ο παρακάτω πίνακας δίνει τη σχετική συχνότητα f i% των τιµών xi µιας µεταβλητής Χ µε µέση τιµή 5,06.

xi 2 4 6 8 f i% 15 22

α)Να συµπληρωθεί ο πίνακας β)Να βρεθεί το εύρος των τιµών χι Λύση

Αν χ1, χ2, …χκ οι τιµές της µεταβλητής χ, ν1, ν2,… νκ οι συχνότητες και f1, f2,… fκ

Οι σχετικές συχνότητές τους, τότε είναι: 1 1 2 2

1 2 3 4 5

.......+ + +=

+ + + +

x x xX κ κν ν ν

ν ν ν ν ν =

1 1 2 2 1 21 2

..........

+ + += + + + k

k

vx x x v vx x x

v v vκ κν ν ν

ν= 1 1 2 2 ...+ + + k kx f x f x f

Εποµένως, η µέση τιµή είναι ίση µε το άθροισµα των γινοµένων των τιµών της µεταβλητής επί τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες.

Α)Έστω χ,y οι ζητούµενες σχετικές συχνότητες. Τότε ισχύει 0,15 0,22 1 1 0,15 0,22 0,63+ + + = ⇔ + = − − ⇔ + =x y x y x y (1)

Επιπλέον, για τη µέση τιµή θα ισχύει 1 1 2 2 ... k kX x f x f x f= + + +

2 0,15 4 6 0,22 8 5,06 0,3 4 1,32 8X x y x y⇔ = ⋅ + + ⋅ + ⇔ = + + +

4 8 5,06 0,3 1,32 4 8 3,44 2 0,86x y x y x y⇔ + = − − ⇔ + = ⇔ + = (2) Οι (1), (2) δίνουν το σύστηµα:

0,63 0,63

2 0,86 2 0,86

+ = − − = − ⇔

+ = + =

x y x y

x y x y και µε πρόσθεση κατά µέλη, έχουµε:

0,63 0,4

0,23 0,23

+ = = ⇔

= =

x y x

y y

Εποµένως, ο πίνακας γίνεται xi 2 4 6 8

f i% 15 40 22 23 Β)Το εύρος των τιµών είναι 8 2 6R = − = 4. Μια οµάδα µπάσκετ διαθέτει 9 παίκτες µε µέσο ύψος 1,90m.

i. Για να «ψηλώσει» την οµάδα ο προπονητής πήρε έναν ακόµα παίκτη µε ύψος 2,10m. Ποιο είναι τώρα το µέσο ύψος της οµάδας;

ii. Αν ήθελε να ψηλώσει την οµάδα στα 1,93m, πόσο ύψος έπρεπε να είχε ο παίκτης που πήρε; iii. Αν ο προπονητής διατηρούσε σε 9 τον αριθµό των παικτών και έδιωχνε δυο παίκτες µε ύψος 1,85m ενώ

έπαιρνε δυο παίκτες µε ύψη 2m και 2,08m αντίστοιχα, ποιο θα γινόταν τότε το µέσο ύψος της οµάδας;

Λύση

Page 49: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

49

i. Επειδή µε τους 9 παίκτες η οµάδα έχει µέσο ύψος 1,90m, θα είναι 1,90X m=

1 2 91 2 9

....1,90 ... 17,1

9

x x xx x x

+ + +⇔ = ⇔ + + + = (1)

Όταν προστεθεί ένας ακόµα παίκτης µε ύψος 2,10m το µέσο ύψος της οµάδας θα γίνει

1 2 9.... 2,10 17,1 2,10 19,21,92

9 1 10 10

+ + + + += = = =

+

x x xX

ii. Για να ψηλώσει η οµάδα στα 1,93m, θα έπρεπε ο νέος παίκτης να έχει ύψος χ τέτοιο ώστε η νέα µέση τιµή να

γίνει 1,93=x m . Έτσι, έχουµε

1 2 9.... 17,11,93 19,3 17,1

9 1 10

+ + + + += ⇔ = ⇔ = +

+

x x x x xX x 19,3 17,1 2,2x x⇔ = − ⇔ =

∆ηλαδή, ο νέος παίκτης θα έπρεπε να είχε ύψος 2,20m iii. Όταν φύγουν 2 παίκτες µε ύψος 1,85m και έρθουν δυο νέοι παίκτες µε ύψος 2m και 2,08m αντίστοιχα, τότε οι

παίκτες θα παραµείνουν 9 και το άθροισµα των υψών τους θα είναι ίσο µε

1 2 9.... 2 1,85 2 2,08 17,1 3,7 4,08+ + + − ⋅ + + = − +x x x =17,48

Τότε, το µέσο ύψος της οµάδας, γίνεται 17,48

1,949

= =X m

5. Ποια παράµετρος θέσης περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιµές της µεταβλητής, µε ιστόγραµµα συχνοτήτων

καθένα από τα παρακάτω ιστογράµµατα;

Λύση α) Στο ιστόγραµµα (I), η διάµεσος περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιµές της µεταβλητής , αφού η κατανοµή παρουσιάζει ακραίες τιµές , χωρίς να υπάρχει επιπλέον µια µόνο τιµή που να επικρατεί απόλυτα . β) Στο ιστόγραµµα (I I), η µέση τιµή περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιµές της µεταβλητής, µιας και παρουσιάζεται µια συγκέντρωση των τιµών γύρω από την µεσαία τιµή.

Page 50: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

50

6. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την κατανοµή των ηλικιών των 100 κατοίκων µιας µικρής κοινότητας

Ηλικία [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) Συχνότητα 14 18 …. ….. 10 8 4 7

Αν η µέση ηλικία των κατοίκων είναι 33 χρόνια, να βρείτε: i. Τις συχνότητες που έχουν σβηστεί ii. Την τυπική απόκλιση των ηλικιών

Λύση

i. Έστω α, β οι συχνότητες που δεν ξέρουµε. Τότε Ηλικία

(κέντρο κλάσης) 5 15 25 35 45 55 65 75

Συχνότητα 14 18 α β 10 8 4 7 • Το άθροισµα των συχνοτήτων είναι: 14+18+α+β+10+8+4+7=100, οπότε α+β=39 (1) • Η µέση τιµή των ηλικιών είναι

1 1 2 2 ......⋅ + ⋅ + ⋅= k kx v x v x v

Xv

14 5 18 15 25 35 10 45 8 55 4 65 7 7533

100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⇔ =

α β

3300 2015 25 35 25 35 1285 5 7 257⇔ = + + ⇔ + = ⇔ + =a aβ β α β (2) Από το σύστηµα των (1) και (2), βρίσκουµέ ότια=8 και β=31

ii. Έχουµε, τώρα, τον πίνακα:

Ηλικία xi

5 15 25 35 45 55 65 75

Συχνότητα 14 18 8 31 10 8 4 7

Η διακύµανση είναι s2 = v

xxvxxvxxv vv

22

22

2

11 ...

−⋅++

−⋅+

−⋅

−−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2 14 33 5 18 33 15 13 33 25 .... 4 33 65 7 33 75

100s

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − + ⋅ −= =

14 784 18 324 13 64 26 4 10 144 8 484 4 1024 7 1764

100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

39448

100=394,48

Η τυπική απόκλιση είναι 2 394,48 19,9s s= = ≃ χρόνια

7.Ένα σύνολο τιµών 1,1,2,5,5,5,χ,y,7 έχει διάµεσο 4 και µέση τιµή 11

3.Να προσδιορίσετε τους χ και y όταν χ

και y ακέραιοι αριθµοί . Λύση

Η µέση τιµή είναι: 11 1 1 2 5 5 5 7

... 73 9

yy

χχ

+ + + + + + + += ⇔ ⇔ + = (1)

Η διάµεσος είναι 4 .Επειδή έχουµε 9 τιµές η διάµεσος θα ισούται µε την πέµπτη σε µέγεθος παρατήρηση οπότε 4= =y δ 4 7 3+ = ⇔ =χ χ άρα έχουµε

1,1,2,3,4,5,5,5,7

Page 51: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

51

8.Η µέση τιµή δείγµατος µε κανονική καµπύλη συχνοτήτων είναι 30 και το γινόµενο διακύµανσης µέσης τιµής ισούται µε 480. Να βρείτε το ποσοστό των τιµών του δείγµατος που βρίσκεται στο διάστηµα (18,34) Λύση

Έχουµε 2 2 2480480 16 4

30⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =s s s sχ

Το διάστηµα ( 18,34) είναι το ( 3 , )x s x s− + . Άρα σε αυτό περιέχονται 2.35 + 13.5 + 68 = 83.85% των τιµών του δείγµατος . 9. Η µέση απόδοση των αµοιβαίων κεφαλαίων είναι 35 % µε τυπική απόκλιση 5 % . Έστω ότι έχουµε περίπου κανονική κατανοµή να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το ποσοστό των αµοιβαίων κεφαλαίων που εχουν ετησία απόδοση: α) κάτω από 20 % β) το πολύ 35 % γ) πάνω από 45% δ) από 25 % έως 50 %

α)Κάτω από 20 % απόδοση έχουν τα αµοιβαία σε ποσοστό 0.15%. β)Το πολύ 35% απόδοση έχουν τα αµοιβαία

σε ποσοστό 50% γιατί 35%=x . γ)Πάνω από 45 % απόδοση έχουν τα αµοιβαία που βρίσκονται στα διαστήµατα

[ ) [ )45,50 , 50, ,+∞ .Άρα το ποσοστό είναι

2.35+0.15=2.5%. δ)Από 25% έως 50% το ποσοστό είναι 13.5+68+13.5+2.35=97.35%

99,7% 95% 68%

s s

18 22 26 30 34 38 42

99,7% 95% 68%

s s

0.15%

2.35%

13.5%

34% 34%

13.5%

2.35%

0.15%

20 25 30 35 40 45 50

Page 52: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

52

10.Στα σχολεία του Αγρινίου υπηρετούν συνολικά 120 εκπαιδευτικοί .Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα . Χρόνια υπηρεσίας Συχνότητα νi 0-5 12 5-10 15 10-15 18 15-20 30 20-25 18 25-30 15 30-35 12 Η κατανοµή των εκπαιδευτικών σε κάθε κλάση είναι οµοιόµορφη. α) πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 έτη υπηρεσίας β)Να υπολογίσετε την µέση τιµή , την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής γ) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθουν µέσα στα επόµενα 12.5 έτη. δ) Αν δεχτούµε ότι η κατανοµή συχνοτήτων είναι κανονική η περίπου κανονική να υπολογίσετε πόσοι εκπαιδευτικοί θα πάρουν σύνταξη τα επόµενα 8.7 έτη Λύση α)30+18+15+1`2=75

β)2.5 12 7.5 15 12.5 18 17.5 30 22.5 18 27.5 15 32.5 12

17.5120

χ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= = έτη

γ)τυπική απόκλιση 2 2 2 2 2 2 2(2.5 17.5) 12 (7.5 17.5) 15 (12.5 17.5) 18 (17.5 17.5) 30 (22.517.5) 18 (27.5 17.5) 15 (32.5 17.5)12

120

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅= =s

93008.8

120=s ≃ .

8.80.503 50,3%

17.5= = = =

sCV

x

γ)Συνταξιοδοτούνται στα 35 έτη υπηρεσίας .Άρα θα συνταξιοδοτηθουν οι έχοντες 22.5 έτη και πάνω δηλαδή . 9+15+12=36 εκπαιδευτικοί δ) Αν δεχτούµε ότι η κατανοµή συχνοτήτων είναι κανονική τότε τα τελευταία 8.7 έτη θα πάρουν σύνταξη από 35-8.7=26.3 έτη υπηρεσίας και πάνω.( Το ποσοστό αυτό είναι 16% άρα θα πάρει σύνταξη το 16 % των εκπαιδευτικών δηλαδή 120 16% 19⋅ = εκπαιδευτικοί.

99,7% 95% 68%

s s

18 22 8.70 17.5 26.3 38 42

Page 53: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

53

11.Σε δείγµα µε κανονική καµπύλη συχνοτήτων το 81.5% των τιµών βρίσκονται στο διάστηµα (17,29) οπου τα

άκρα του διαστήµατος είναι κάποιες από τις τιµές 3 , 2 , ,...− − −x s x s x s .Να βρείτε σε κάθε περίπτωση το συντελεστή µεταβολής του δείγµατος . Λύση Το 81,5% των τιµών βρίσκεται στα διαστήµατα

( ( )2 ,x s x s− + ( ), 2x s x s− +

έχουµε 2 17x s− = και 29x s+ =

λύνω το σύστηµα και βρίσκω 25x = και 4s = άρα 4

0.16 16%21

sCV

x= = = =

12.Οι µαθητές της Γ λυκείου του τεχνικού λυκείου Καβάλας ξόδεψαν σε µια µέρα κατά µέσο ορό 500 ευρώ αγοράζοντας διαφορά τρόφιµα από το κυλικείο του σχολείου .

i) Αν ο συντελεστής µεταβολής είναι 25 % να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση.

ii) Αν ισχύει 2

1

2921.875ii

ν

χ=

=∑ να υπολογίσετε το πλήθος των µαθητών.

Έχουµε 25% 0.25CV = =

0.25 125500

s sCV s

x= ⇔ = ⇔ =

2

2 2 2 21 2921.875 2921.875 2921.875( ) 125 500 15625 250000 11

265625== − ⇔ = − ⇔ + = ⇔ = ⇔ =∑ iis x

ν

χ

ν νν ν ν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α. Ερωτήσεις τύπου «Σωστού –Λάθους» 1.Τα µέτρα θέσης µας πληροφορούν πόσο οι τιµές ενός δείγµατος εκτείνονται γύρω από την κεντρική τιµή τους. 2.Ο αριθµητικός µέσος δεν επηρεάζεται από ακραίες τιµές 3.Η διάµεσος δεν επηρεάζεται από ακραίες τιµές 4.Η διάµεσος επηρεάζεται σηµαντικά από την επικρατούσα τιµή 5.Σε δείγµα µε ν=25 τιµές, η διάµεσος ισούται µε την χ13 , αν τοποθετήσουµε τις τιµές του δείγµατος σε αύξουσα

σειρά. 6.Για να υπολογίσουµε τη διάµεσο σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα χρησιµοποιούµε το ιστόγραµµα συχνοτήτων. 7.Το εύρος R είναι αξιόπιστο µέτρο διασποράς 8.Αν ο συντελεστής µεταβολής είναι µικρότερος του 10%, τότε το δείγµα είναι οµοιογενές

9.Αν σε δείγµα χ1, χ2, ....χν προσθέσουµε σε κάθε τιµή την ποσότητα κ, τότε η νέα µέση τιµή είναι kx+−

ενώ η τυπική απόκλιση µένει αναλλοίωτη

10.Στην εύρεση της διαµέσου, όταν έχουµε κλάσεις, δεν χρειαζόµαστε την κεντρική τιµή της κλάσης

11.Αν σε δείγµα ισχύει 1 2 vx x ... x= = = τότε 0=−

x

12.Σε δείγµα 1 2 vx ,x ,...,x ισχύει 1 2 vx x ..... x 0x x x− − − − + − + + − =

13.Η µέση τιµή είναι και τιµή της µεταβλητής 14.Η µέση τιµή µπορεί να είναι και αρνητικός αριθµός. 15.Η µέση τιµή είναι µοναδική για κάθε δείγµα 16.Η µέση τιµή δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα

Page 54: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

54

17.Η διακύµανση είναι αρνητικός αριθµός 18.Αν οι τιµές µιας µεταβλητής χ εκφράζονται σε cm, τότε σε cm εκφράζεται και η διακύµανση των τιµών 19.Ο συντελεστής µεταβολής εκφράζει την οµοιογένεια του δείγµατος 20.Ο συντελεστής µεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες µέτρησης

Β. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στις παρατηρήσεις 5, 6, 8, 9, 10 η διάµεσος είναι:

• 5 • 6 • 8 • 10 • καµία από τις προηγούµενες

2. Μέτρο θέσης είναι: • εύρος • διάµεσος • συντελεστής µεταβολής • τίποτα από τα προηγούµενα

3. ∆ίνεται ο εξής πίνακας συχνοτήτων:

xi 0 1 2 3 vi 25 30 25 20

Η µέση τιµή είναι

• 3,04 • 1,4 • 6,6 • 0,7 • κανένα από τα προηγούµενα

4. Στον προηγούµενο πίνακα, η διάµεσος είναι: • 1,5 • 7,5 • 1 • 3 • καµία από τις προηγούµενες

5. Η τυπική απόκλιση εκφράζεται σε σχέση µε τη διακύµανση s2, µε τον τύπο

• s

• 1

s

• 1

s

• 2s 6. ∆εν είναι παράµετρος διασποράς

• το εύρος • η διάµεσος • η διακύµανση • η τυπική απόκλιση

Page 55: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

55

7. Το µειονέκτηµα της διακύµανσης είναι ότι • οι µονάδες της είναι τα τετράγωνα των µονάδων της αντίστοιχης µεταβλητής. • χρησιµοποιούµε τις απόλυτες τιµές. • χρησιµοποιούµε κλάσµα. • χρησιµοποιούµε τις ακραίες τιµές και όχι τις υπόλοιπες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (Μεση τιµη – διαµεσος ) 1.Να βρειτε την µεση τιµη των παρατηρησεων -8,-2,0,1,9 2.Να βρειτε την µεση τιµη των παρατηρησεων στους παρακατω πινακες :

ix iν

-1 10 0 10 1 25 2 5 3.Να βρειτε την διαµεσο στα δειγµατα που παρουσιαζονται στους παρακατω πινακες:

ix iν

1 7 2 8 3 5 4.Να βρειτε την διαµεσο στα δειγµατα που παρουσιαζονται στους παρακατω πινακες: άκλ σεις

if %

[ )0,4 40

[ )4,8 20

[ )8,12 40

5.Οι απουσίες των µαθητών ενός µικρού επαρχιακού Γυµνασίου κατά τον µήνα Ιανουάριο ήταν:

2, 1, 0, 6, 7, 8, 9, 0, 0, 0, 5, 6, 7, 4, 5, 3, 2, 7, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 0 α. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων

β. Πόσοι µαθητές είχαν: το πολύ 4 απουσίες; 3 εώς 6 απουσίες;

Κλασεις if %

[ )5,15 20

[ )15,25 25

[ )25,35 10

[ )35,45 25

[ )45,55 20

ix if

-2 0,1 -1 0,3 0 0,4 1 0,2

ix if %

3 20 4 30 5 10 6 40

ix iF

0 10 1 30 3 75 4 100

ix iν

-1 8 2 2 3 10

άκλ σεις if %

[ )2,8 10

[ )8,14 20

[ )14,20 40

[ )20,26 30

Page 56: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

56

τουλάχιστον 2 απουσίες; γ. Ποιο ποσοστό των µαθητών: δεν απουσίασε καθόλου; είχε 5 απουσίες; είχε τουλάχιστον 2 απουσίες; δ. Υπολογίστε τη µέση τιµή και τη διάµεσο.

6.Μια ποσοτική µεταβλητή παίρνει τις τιµές χ1, χ2, χ3, χ4, χ5 µε χ1 < χ2 < χ3 < χ4 < χ5.

xi vi f i% Ni Fi% x1 x2 100 150 x3 67,5 x4 10 x5 400 α)Συµπληρώστε τον πίνακα. β)Ποια είναι η διάµεσος;

7.Να υπολογίσετε την τιµή του α, ώστε η µέση τιµή για τον πρώτο πίνακα να είναι 2,5 και για τον δεύτερο να είναι 10,5

xi vi 1 5 2 α 3 4 4 7

8.Ένας µετεωρολόγος µετράει κάθε 3 ώρες τη θερµοκρασία σε µια περιοχή. Οι µετρήσεις (σε °C) :κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου είναι: -1 – 4 –5 0 2 4 3 0 -2

Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παραπάνω παρατηρήσεων. 9.Για τον έλεγχο της κατανάλωσης καυσίµου (ίδιου τύπου) δυο αυτοκινήτων Α και Β, µετρήθηκε η κατανάλωσή τους σε έξι διαδροµές για το Α και σε 5 για το Β. Η κατανάλωση (σε λίτρα ανά 100 χιλιόµετρα) ήταν για το Α: 9, 6, 7, 9, 9, 8 ενώ για το Β: 8, 10, 7, 8 και 12.

a) Να µετρήσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των µετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Α. b) Να µετρήσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των µετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Β. c) Αν ένας πωλητής ήθελε να χρησιµοποιήσει τα παραπάνω δεδοµένα για να πείσει έναν υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Α και όχι το Β, ποιο µέτρο θέσης (µέση τιµή ή διάµεσο) θα χρησιµοποιούσε;

10.Εξετάσαµε 50 µαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαµε ότι: • 5 µαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, • 15 µαθητές έχουν διαβάσει 1 βιβλίο, • 25 µαθητές έχουν διαβάσει 2 βιβλία, και • 5 µαθητές έχουν διαβάσει 3 βιβλία. Α. Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων. Β. Να βρείτε τη µέση τιµή. Γ. Να κάνετε πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων. ∆. Πόσοι µαθητές έχουν διαβάσει το πολύ δύο βιβλία;

11.Ρωτήσαµε 25 καταστήµατα πόσους υπαλλήλους απασχολούν και πήραµε τις εξής απαντήσεις: 9 από αυτά απασχολούν 1 υπάλληλο 8 από αυτά απασχολούν 2 υπαλλήλους 7 απασχολούν 3 υπαλλήλους και 1 απασχολεί 4 υπαλλήλους a) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων για τη µεταβλητή «πλήθος υπαλλήλων καταστήµατος»

xi vi α 8 10 7 11 11 12 12

Page 57: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

57

a) Ποια είναι η διάµεσος; b) Πόσους υπαλλήλους απασχολούν συνολικά τα καταστήµατα; c) Υπολογίστε τη µέση τιµή. Πώς θα γίνει η µέση τιµή αν ανοίξουν 5 νέα καταστήµατα µε 4 υπαλλήλους το

καθένα; . 12.Το µέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών µιας οµάδας είναι 205cm.

α)Για να ψηλώσει την οµάδα, ο προπονητής πήρε έναν ακόµα παίκτη ύψους 216cm. Ποιο είναι το νέο µέσο ύψος της οµάδας; β)Αν ο προπονητής ήθελε να φτάσει το µέσο ύψος της οµάδας στα 208cm, τι ύψος θα έπρεπε να έχει ο νέος παίκτης;

13.Σε µια τάξη 20 µαθητών οι βαθµοί των 5 µαθητών στα Μαθηµατικά έχουν µέση τιµή 18, οι βαθµοί των 12 µαθητών έχουν µέση τιµή 15 και οι βαθµοί των υπολοίπων µαθητών έχουν µέση τιµή 12. Ποια είναι η µέση τιµή των βαθµών στα Μαθηµατικά των 20 µαθητών της τάξης; 14.Για τον προσδιορισµό του βαθµού ενός µαθητή σε κάθε µάθηµα συνυπολογίζονται οι βαθµοί των δύο τετραµήνων µε συντελεστή βαρύτητας 1 ο καθένας και ο βαθµός των γραπτών εξετάσεων µε συντελεστή βαρύτητας 2. Ένας µαθητής έχει στα Μαθηµατικά βαθµό 13 στο πρώτο τετράµηνο και 15 στο δεύτερο τετράµηνο. Ποιο βαθµό πρέπει να πάρει στις γραπτές εξετάσεις Μαθηµατικά για να είναι ο τελικός βαθµός του στο µάθηµα αυτό 15; 15.Μια επιχείρηση χωρίζεται σε τέσσερα τµήµατα. Σε κάθε τµήµα οι µισθοί είναι ίδιοι. Στο τµήµα Α εργάζονται 12 υπάλληλοι µε µισθό 600€, στο Β 7 υπάλληλοι µε µισθό 750€, στο τµήµα Γ 4 υπάλληλοι µε µισθό 900€ και στο τµήµα ∆ εργάζονται 2 υπάλληλοι µε µισθό 1.200€

I.Πόσα χρήµατα παίρνουν συνολικά όλοι οι υπάλληλοι της επιχείρησης κάθε µήνα; II.Ποιος είναι ο µέσος µισθός των υπαλλήλων;

III.Ποιος είναι ο µέσος µηνιαίος µισθός των υπαλλήλων των τµηµάτων Γ και ∆; 16..Ένας πατέρας έχει µαζί µε τον γιο του µέσο όρο ηλικίας 20 έτη.

α) Να βρείτε τον µέσο όρο της ηλικίας τους µετά από 3 χρόνια, β) Η κόρη της οικογένειας είναι τρία χρόνια µικρότερη από τον γιο και η µέση ηλικία πατέρα, γιου και κόρης είναι 14 έτη. Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών και του πατέρα.

17.Η µέση τιµή 8 αριθµών είναι ίση µε 5. Οι έξι από αυτούς είναι: 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 7. Να βρείτε τους άλλους δυο αν είναι γνωστό ότι ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου 18.∆ίνεται το ιστόγραµµα και το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων που αναφέρεται στα ύψη 40 αθλητών ενός συλλόγου κλασσικού αθλητισµού.

Να βρεθεί και να παρασταθεί γραφικά η διάµεσος

Page 58: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

58

19.Η µέση τιµή 15 παρατηρήσεων βρέθηκε ίση µε 30. Στη συνέχεια διαπιστώθηκε ότι: • τρεις παρατηρήσεις είχαν υπερεκτιµηθεί κατά 8 µονάδες η καθεµία, • δύο παρατηρήσεις είχαν υπερεκτιµηθεί κατά 1 µονάδα η καθεµία, • οκτώ παρατηρήσεις είχαν υποεκτιµηθεί κατά 2 µονάδες η καθεµία. Να βρεθεί η σωστή µέση τιµή.

20.Μια εταιρεία απασχολεί 20 εργαζόµενους εκ των οποίων οι 10 εργάζονται στο τµήµα Α και οι 10 στο τµήµα Β. Η µέση τιµή των µηνιαίων µισθών του τµήµατος Α είναι 720 Ευρώ και ο µεγαλύτερος µισθός του τµήµατος είναι 900 ευρώ. Οι µισθοί των εργαζοµένων στο τµήµα Β είναι: 950, 900, 1060, 980, 920, 945, 975, 930, 900, 940. Να βρείτε :

α) Το άθροισµα των µηνιαίων µισθών του τµήµατος A

β) Τη µέση τιµή, το εύρος των µισθών του τµήµατος Β.

γ) Τη µέση τιµή και τη διάµεσο των µισθών όλων των εργαζοµένων στην επιχείρηση.

21.Σε µια τράπεζα εργάζονται 40 άτοµα µε µέση ηλικία 38,5 χρόνια. Αν η µέση ηλικία των ανδρών είναι 40 χρόνια και των γυναικών 36 χρόνια, τότε:

α) Να βρεθεί το πλήθος των ανδρών και το πλήθος των γυναικών, β) Αν φύγουν 5 άνδρες µε µέση ηλικία 40 χρόνια και έρθουν 5 γυναίκες µε µέση ηλικία 34 χρόνια, ποια θα είναι η µέση ηλικία των εργαζόµενων στην νέα σύνθεση;

(Τυπικη αποκλιση-διακυµανση–ευρος-συντελεστης µεταβολης) 22.Να βρείτε το εύρος , την διακύµανση και την τυπική απόκλιση στα δείγµατα που παρουσιάζονται στους παρακάτω πίνακες :

ix iν

5 4 6 5 7 10 8 1 23.Να βρείτε την τυπική απόκλιση στο δείγµα που παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα

∆ίνεται: .1

1

2

122

−= ∑∑

=

i

κ

iii

ii v

vx

vxv

s

Κλάσεις iν

[ )1,3 6

[ )3,5 8

[ )5,7 4

[ )7,9 2

Κλάσεις if %

[ )5,15 20

[ )15,25 25

[ )25,35 10

[ )35,45 25

[ )45,55 20

Κλάσεις if %

[ )0,0.5 5

[ )0.5,1 25

[ )1,1.5 20

Page 59: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

59

24.Οι βαθµοί των 11 µαθητών µιας τάξης ενός σχολειου σε ένα µάθηµα είναι: 12, 12, 9, 15, 12, 16, 17, 7, 19, 18, 17

Για τα δεδοµένα αυτά: • Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων • Να βρείτε τη µέση τιµή. • Να βρείτε τη διάµεσο. • Να βρείτε τη διακύµανση.

25.∆ίνεται ο πίνακας:

Μεταβλητή xi Συχνότητα vi

Σχετική συχνότητα fi

f i% Αθροιστική συχνότητα Ni

1 10 2 35 3

Σύνολο 50 1 100

I.Να συµπληρωθεί ο πίνακας. II.Να υπολογιστεί η µέση τιµή και η διάµεσός του

III.Να βρείτε τη διακύµανσή του

26.Έστω 1 2, ,.....x x xν οι τιµές µιας µεταβλητής χ, µε µέση τιµή X και τυπική απόκλιση Xs . Αν 1, 2,....y y yν είναι οι

τιµές που προκύπτουν αν προσθέσουµε σε κάθε µια από τις 1 2, ,.....x x xν µια σταθερά c, να δείξετε ότι

= +y x c και x ys s= .

27.Εστω 1 2, ,...,x x xν οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε µεταβλητή Χ,που έχουν µέση τιµή 8 και τυπική απόκλιση 4.

Να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων 1 2, ,...,y y yν που προκύπτουν από τις

1 2, ,...,x x xν , όταν:

α) προσθέσουµε σε κάθε παρατήρηση το 4. β) αφαιρέσουµε από κάθε παρατήρηση το 9. γ) πολλαπλασιάσουµε κάθε παρατήρηση µε το -6. δ) αυξήσουµε κάθε παρατήρηση κατά 5%. ε) αυξησουµε κάθε παρατήρηση κατά 30% και µετά αφαιρέσουµε το 4. 28.Εστω η ευθεία : 3 1y xε = − + και τα σηµεία της 1 2, ,.., νΕ Ε Ε µε τετµηµένες 1 2, ,...,x x xν που έχουν µέση τιµή -

15 και τυπική απόκλιση 6.Να βρείτε το συντελεστή µεταβολής των τεταγµένων των σηµείων 1 2, ,.., νΕ Ε Ε .

29.Εστω 1 2, ,...,x x xν οι παρατηρησεις ενός δειγµατος που εχουν µεση τιµη 4 και διακυµανση 2 .Να βρειτε ποσο

πρεπει να αυξησουµε κάθε παρατηρηση τουλαχιστον,ώστε το δειγµα να είναι οµοιγενες . 30.Ο αριθµός των παιδιών σε ένα δείγµα ν οικογενειών µιας πόλης δίνεται από τον παρακάτω πίνακα .

Αριθµός παιδιών

χi

Πλήθος οικογενειών νi

0 3 1 ν2

2 ν3

3 3 4 4

Page 60: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

60

Αν είναι γνωστή η µέση τιµή 2=x και η τυπική απόκλιση 3 5

5=s του δείγµατος, να βρείτε :

α) Τις συχνότητες ν2 και ν3 β) Τη µικρότερη τιµή του c>0, ώστε το δείγµα yi=xi+c, i=1,2,….ν, να είναι οµοιογενές.

31.Η µέση τιµή µιας κανονικής κατανοµής είναι 10 και η τυπική απόκλιση είναι 2.Ποιο ποσοστό των παρατηρήσεων ένιαι: Α) κάτω από 8 β) πάνω από 14 γ) το πολύ 10 δ) τουλάχιστον 4 ε) από 4 µέχρι 12. 32.Η µέση τιµή µιας κανονικής κατανοµής είναι 12 και η τυπική απόκλιση 2.Αν το πλήθος των παρατηρήσεων ανάµεσα στο 12 και 14 είναι 136 να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος καθως και το ευρος του δειγµατος . 33.Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει βίδες των οποίων η κατανοµή του µήκους τους είναι περίπου κανονική κατανοµή. Υποθέτουµε ότι το 97,5% περίπου των βιδών έχουν µήκος περισσότερο από 4,6 cm, ενώ το εύρος τους ισούται περίπου µε 1,2 cm. α)Nα βρεθεί το µέσο µήκος των βιδών και η τυπική τους απόκλιση. β)Αν µία ορισµένη µέρα το εργοστάσιο κατασκευάζει 20.000 βίδες, να βρεθεί πόσες βίδες έχουν µήκος από 4,8 cm έως 5,4 cm και να εξετασθεί αν τo δείγµα εκείνη την ηµέρα είναι οµοιογενές. δ)Αν µετά από αρκετό η µηχανή που παράγει τις βίδες δίνει 0,3% από αυτές να έχουν µήκος περισσότερο από 5,6 cm, να εξεταστεί αν υπάρχει βλάβη στην µηχανή. 34.∆ίνονται τα παρακάτω δείγµατα αριθµών:

Α 1 3 4 5 7 Β 3 9 12 15 21 Γ 6 8 9 10 12

α)Υπολογίστε για το καθένα τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση

β)Οι αριθµοί του δείγµατος Α, πολλαπλασιασµένοι επί 3, δίνουν εκείνους του δείγµατος Β. Τι σχέση παρατηρείτε ότι έχουν οι µέσες τιµές και οι τυπικές αποκλίσεις τους; γ)Αν στους αριθµούς του δείγµατος Α προστεθεί το 5, δίνουν τους αριθµούς του δείγµατος Γ. Συγκρίνετε τις µέσες τιµές και τις τυπικές αποκλίσεις τους

35.Το παρακάτω ιστόγραµµα δείχνει το βάρος των ζωών που εκτρέφονται σε ένα αγρόκτηµα

α)Να βρείτε ποσά ζώα υπάρχουν στο αγρόκτηµα

β)Να βρείτε ποσά ζώα ζυγίζουν πάνω από 440 κιλά και ποσα

κάτω από 430 κιλά

γ)Να βρείτε την µέση τιµή των ζωών .

δ) Ο κτηνοτρόφος αγόρασε τρία ακόµα ζώα µε

βάρος 416,422 και 426 κιλά αντίστοιχα. Να σχεδιάσετε το νέο ιστόγραµµα συχνοτήτων και να εκτιµήσετε την µέση τιµή

Page 61: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

61

36.Από τις 24 οικογένειες µιας πολυκατοικίας οι 5 δεν έχουν παιδιά, οι 12 έχουν από 1 παιδί, οι 6 έχουν από 2 παιδιά και 1 έχει 3 παιδιά.Να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών. 37.Οι ηλικίες 25 δευτεροετών φοιτητών ενός πανεπιστηµιακου τµηµατος είναι:

21 21 21 19 18 20 19 21 21 20 18 19 18 19 21 21 21 19 20 19 21 20 21 21 21 Να υπολογίσετε: I.Tο µέσο όρο ηλικίας τους

II.Tην τυπική απόκλιση III.Tο συντελεστή µεταβλητότητας. Είναι οµοιογενής ο πληθυσµός;

38.Να υπολογίσετε τη διακύµανση και την τυπική απόκλιση για καθένα από τα παρακάτω σύνολα δεδοµένων. 10 15 20 25 30 110 115 120 125 130

Τι παρατηρείτε; Ποιοι είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές µεταβλητότητας; 39.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την κατανοµή δείγµατος 50 κινηµατογραφικών ταινιών ως προς την διάρκεια τους (σε Λεπτά). Να βρείτε:

∆ιάρκεια (Λεπτά)

Συχνότητα

[60,75) 2

[75,90] 8

[90,105) 15

[105,120) 11

[120,135) 10

[135,150) 4

α) Τη µέση τιµή. β) Την τυπική απόκλιση. γ) Το συντελεστή µεταβλητότητας,

40.Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθµό των παρουσιών 40 µαθητών σε διάφορες πολιτιστικές εκδηλώσεις, κατά τη διάρκεια µιας χρονιάς:

Πολιτιστικές εκδηλώσεις

Αριθµός παρουσιών

[0, 2) 8 [2, 4) 12 [4, 6) 10 [6, 8) 6 [8, 10) 4

1. Να βρεθούν a. Η µέση τιµή b. Η τυπική απόκλιση c. Η διακύµανση

2. Να γίνει το ιστόγραµµα συχνοτήτων . 3.Να γίνει το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και να βρεθεί η διάµεσος.

Page 62: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

62

41.Μια µεταβλητή παίρνει τις τιµές :

5, 3, 3ω, 3, 2ω, 3, 3ω, ω µε ω>0 α) Αν η µέση τιµή τους είναι 4=x , να αποδείξετε ότι ω=2. β) Για ω=2 να βρείτε : i) Το εύρος των τιµών. ii) Την τυπική απόκλιση.

42.Μια µεταβλητή παίρνει τις θετικές τιµές χ+ω, χ+3ω, χ+5ω, χ+7ω, χ+9ω, µε ω>0. Να βρείτε

i.Τη µέση τιµή ii.Την τυπική απόκλιση.

iii.Το συντελεστή µεταβλητότητας, αν x=ω. 43.Για τα δεδοµένα του πίνακα γνωρίζουµε ότι η διάµεσος είναι δ=3,5.

xi vi ii vx ⋅

1 5 2 7 3 13 4 18 5

Άθροισµα • Συµπληρώστε τον πίνακα. • Υπολογίστε την µέση τιµή.

44. i) Οι ηλικίες των εργαζοµένων σε µια εταιρεία έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους , όπως εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων

α) Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες %if , 1,2,3,4=i .

β) Αν η διάµεσος της κατανοµής των ηλικιών είναι δ=50 χρόνια , να αποδείξετε ότι το πλάτος της κλάσης είναι c=10.

Ηλικίες σε χρόνια

ix iν %if iN %iF i ixν

[ )25, x

[ ), x+20

[ ), 2x

[ ), 2 6x x−

ΣΥΝΟΛΟ ν=50 100 100

Page 63: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

63

γ) Να συµπληρωθεί ο πίνακας και να υπολογίσετε την µέση τιµή x των ηλικιών.

δ) Πόσοι εργαζόµενοι , των οποίων οι ηλικίες ανήκουν στην πρώτη κλάση πρέπει να προσληφθούν έτσι ώστε η νέα µέση τιµή να είναι 40 χρόνια.

45.Ποια είναι η διακύµανση των παρατηρήσεων x, x + 2 , x + 7;

Ποια είναι η τυπική απόκλιση; 46.∆ίνονται τα δύο σύνολα παρατηρήσεων:

A: 2 3 500 997 998 1000 B: 497 498 500 502 503 1000 α) Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο για καθένα από τα δύο σύνολα παρατηρήσεων. β) Να βρείτε αµέσως (χωρίς πράξεις) ποιο απ' τα δύο σύνολα δεδοµένων παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διασπορά.

47.

Βαθµός Συχνότητα

12 8

14 10

16 7

17 4

18 2

Ο παραπάνω πίνακας δείχνει τους βαθµούς 31 αποφοίτων ενός Λυκείου το 2010 στα Μαθηµατικά. α) Να βρείτε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και την τυπική απόκλιση. β) Αν η βαθµολογία όλων των µαθητών στα Μαθηµατικά αυξανόταν κατά 2 µονάδες πόση θα γινόταν τότε η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση;

48.Στο µάθηµα της Χηµείας 25 φοιτητές πήραν βαθµούς 7,8,9 και 10 σύµφωνα µε τον πίνακα που ακολουθεί ,µε

µέση βαθµολογία 8.4x = α)Να βρεθούν οι α και β β)Να βρεθούν : i)η διάµεσος δ

ii)η διακύµανση 2s

Πόσο είναι το τόξο α4 του αντιστοίχου κυκλικού διαγράµµατος ; δ)Να γίνει το διάγραµµα συχνοτήτων.

49.Η µέση τιµή των αριθµών 3, 1, 7, 2, 1,1, 7,x, y είναι 4, όπου οι x και y είναι θετικοί µονοψήφιοι ακέραιοι.

ί) Να αποδείξετε ότι χ +y = 14.

ii) Αν η τυπική απόκλιση είναι 76

3, να βρεθούν τα χ και y ,αν χ < y.

50.∆ίνεται η κατανοµή συχνοτήτων

xi vi 1 5 α 20 3 15 β 30

Σύνολο 70

ix %if

7 α 8 28 9 32 10 β

Page 64: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

64

Αν η µέση τιµή είναι 3=−

x και ο συντελεστής µεταβολής είναι 3

1=CV , να βρείτε:

• Τις τιµές των ακεραίων αριθµών α και β • Τη διάµεσο .

51.Θεωρούµε δείγµα µεγέθους 10. Αν η µέση τιµη των παρατηρήσεων χi είναι 8 και 10

2

1

1000ii

x=

=∑ τότε να βρείτε:

α) τη διακύµανση β) την τυπική απόκλιση

52.∆ινεται ο πινακας συχνοτητων α) Να βρειτε τις τιµες των α,β,γ. β) Να βρειτε την µεση τιµη του δειγµατος . 53.Η αυτοκινητοβιοµηχανία «Auto-Μπάρµπα-Μήτσος» κατασκευάζει τέσσερα µοντέλα (Α,Β,Γ,∆) επαγγελµατικών αυτοκίνητων σε ποσοστά 10%,20%,30% και 40% µε αντίστοιχο κόστος 14,12,10,8(χιλιαδες ευρώ), ανά µοντέλο. Α) να βρείτε το µέσο κόστος καθώς και την τυπική απόκλιση του δείγµατος. Β) Αν αυξηθεί το κόστος κατά 10% να βρεθεί η µεταβολή της τυπικής απόκλισης του δείγµατος . Γ)Αν αυξηθεί το κόστος κάθε µοντέλου κατά α χιλιάδες ευρώ ώστε το αντίστοιχο δείγµα που θα προκύψει να είναι οµοιογενές ,Να βρείτε την µικρότερη τιµή του α. 54.Σε µια κανονική ή περίπου κανονική κατανοµή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιµή µεγαλύτερη του 20. Το 81,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα (16,22) µε άκρα του διαστήµατος χαρακτηριστικές τιµές της κανονικής κατανοµής 3sx ± , 2sx ± , sx ± , x .

α. Να δείξετε ότι x =20 και s = 2. β. Να βρείτε το α∈Ν*, αν είναι γνωστό ότι στο διάστηµα

( )sαx , sαx ⋅+⋅− ανήκει το 95% περίπου των παρατηρήσεων.

γ. Αν R είναι το εύρος της κατανοµής, να βρείτε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης ( ) 9sx4xx2

Rf(x) 2 ++−= .

55.Οι µηνιαίοι µισθοί των υπαλλήλων µιας Αµερικανικής εταιρείας έχουν µέση τιµή xA = 1.000 δολάρια και τυπική

απόκλιση sA= 125 δολάρια. Οι µισθοί των υπαλλήλων µιας Ευρωπαϊκής εταιρείας έχουν µέση τιµή x

E = 800 ευρώ

και τυπική απόκλιση sE = 90 ευρώ.

α) Να βρείτε ποια από τις δύο εταιρείες έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια µισθών. β) Η Αµερικανική εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει το µηνιαίο µισθό κάθε υπαλλήλου κατά 250 δολάρια. Επίσης η Ευρωπαϊκή εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει το µηνιαίο µισθό κάθε υπαλλήλου κατά 20%. Να βρείτε τη νέα µέση τιµή και τη νέα τυπική απόκλιση των µηνιαίων µισθών και για τις δύο εταιρείες. γ) Ποια από τις δύο εταιρείες έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια των µηνιαίων µισθών µετά τις αυξήσεις;

xi vi 11 2 10 50− +β γ

3 2 2−α β

4 2 6−γ α

Συνολο 15

Page 65: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

65

56.Α. Η διακύµανση ορίζεται από τη σχέση

⋅ ⋅ ⋅

∑∑

κ

i iκ

12 2i ι

1

x v1

s = x ν -v v

2

.

Να αποδείξετε ότι ⋅∑κ

2 2 2i i

1

s = x f - x .

Β. Σε ένα λύκειο υπάρχουν δύο τµήµατα ενισχυτικής Α και Β στην Α’ Λυκείου στα µαθηµατικά µε 10 καi 5 µαθητές αντίστοιχα. Ο µέσος όρος των βαθµών στο τµήµα A είναι 9 και ο µέσος όρος των βα8µών και στα δύο τµήµατα είναι 10. α) Να βρείτε το µέσο όρο των βαθµών στο τµήµα Β. β) Αν φύγουν δύο µαθητές από το τµήµα Α µε βαθµό 11 και ο ένας πάει στο τµήµα Β, να βρείτε τους νέους µέσους όρους των βαθµών των τµηµάτων.

γ) Αν για τα τµήµατα Α, Β ισχύουν αντίστοιχα ⋅∑10

2i i

i=1

x f = 85 και ⋅∑10

2i i

i=1

x f = 148 να βρείτε ποιο από τα δύο τµήµατα

έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια βαθµών. 57.Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους. Το µέγεθος του

δείγµατος είναι ν = 80 και η µέση τιµή είναι x=2,6 xi

νi

1 1 2

2 µ

3 λ

4 2 5

Σύνολο ν = 8 0

α) Να αποδείξετε ότι µ = 33 και λ = 10. β) Να υπολογίσετε τη διάµεσο του δείγµατος. γ) Να υπολογίσετε τη διακύµανση του δείγµατος. Για τον υπολογισµό της διακύµανσης του δείγµατος µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τον τύπο:

−= ∑∑

=

=k

1i

2k

1iii

i2

i2

ν

νx

νxν

1s

Page 66: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

66

ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ

Παρατηρήσεις : 1 2, ,....,t t tν

:

1 2 ....t t tx ν

ν+ + +

=

1i

i

tx

ν

ν==∑

Τιµές : 1 2, ,...., kx x x :

1 1 2 2 ....x x xx κ κν ν ν

ν+ + +

=

1

k

i ii

xx

ν

ν==∑

Σχετικές συχνότητες

: 1 2, ,...., kf f f :

1

k

i ii

x x f=

=∑

Σταθµικός µέσος : 1 2, ,....,t t tν :

1 1 2 2

1 2

....

....

x w x w x wx

w w wν ν

ν

+ + +=

+ + +

1

1

i ii

ii

x wx

w

ν

ν=

=

=∑

∑ 1 2, ,....,x x xν : Τιμές

1 2, ,....,w w wν : Συντελεστές Στάθμισης Τυπική απόκλιση 2ss =

Παρατηρήσεις : 1 2, ,....,t t tν τότε η

διακύμανση 2s είναι :

22 2 2

2 1 2 1

( )( ) ( ) ... ( )

v

iv i

t xt x t x t x

sv v

=

−− + − + + −

= =∑

∑=

−=ν

ii xt

νs

1

22 )(1

−= ∑∑

=

i

ν

ii

t

s1

2

122 1

Οταν έχουµε πίνακα συχνοτήτων η οµαδοποιηµένα δεδοµένα τότε :

∑=

−=κ

iii νxx

νs

1

22 )(1

.1

1

2

122

−= ∑∑

=

i

κ

iii

ii v

vx

vxv

s

Συντελεστής µεταβολής

s

CVx

=

Page 67: Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

67

Αξίζει να σηµειωθεί ότι αν η καµπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

),( sxsx +−

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

)2,2( sxsx +−

iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

)3,3( sxsx +−

iv) το εύρος ισούται περίπου µε έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή sR 6≈ .

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

s s

ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ

Εστω 1 2, ,......x x xν οι παρατηρησεις ενος δειγµατος µε µεση τιµη x , διαµεσο xδ ,τυπικη αποκλιση xS και συντελεστη

µεταβολης xCV .Αν πολλαπλασιασουµε καθεµια απο τις παραπανω παρατηρησεις µε τον µη µηδενικο αριθµο α και στην

συνεχεια προσθεσουµε τον σταθερο αριθµο β , προκυπτουν οι παρατηρησεσεις , 1,2,3,....= + =i iy ax iβ ν . Ο παρακατω

πινακας µας πληροφορει για την µεση τιµη y , διαµεσο yδ , τυπικη αποκλιση yS και συντελεστη µεταβολης yCV . των

τιµων , 1,2,3,....iy i ν= ως συναρτηση των x , xδ , xS , xCV .

ΜΕΤΡΑ ix

= +i iy ax β

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ x = +y ax β

ΔΙΑΜΕΣΟΣ xδ y xaδ δ β= +

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ xS y xS a S=

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ

ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ xCV = =+

y xy

S a SCV

y ax β