Аталян АлександраАнтоненко Анна

10 «Б» класс

Проектная работаПроектная работа

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама «Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа; он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет природа; он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет

времена, пространства, силы, температуры»времена, пространства, силы, температуры»

М.Фурье.М.Фурье.

Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величин и их функций

Л.ЭйлерОпределение: Функцией называют такую Функцией называют такую

зависимость переменной у от зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.единственное значение переменной у.

f

1. Область определения функции.2. Четность и нечетность, периодичность функции.3. Производная функции. Область определения функции.4. Стационарные точки.5. Монотонность функции.6. Точки экстремума и экстремумы функции.7. Точки пересечения графика функции с осями координат.8. Построение графика функции.

f

Определение:

Областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной х, при которой эта формула имеет смысл. D(у), D(f).

х - независимая переменная (аргумент).(аргумент). у - зависимая переменная (значение(значение функции)функции)

xy

f

D(f)=[a;b]D(f)=[a;b]f(x)

1. Если у=Р(х), где Р(х)-целый многочлен, а также для функций у=ех, у=cosx, y=sinx D(у)=R. Функция определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел.

2. Если у=f(x)/g(x), то D(у)=R, кроме тех значений при которых g(х)≠0.

3.3. Если у=Если у=√√h(x),h(x), тото DD(у) все значения, при которых (у) все значения, при которых выполняется условие выполняется условие hh(х)(х)≥≥0.Функция определена 0.Функция определена и непрерывна на множестве неотрицательных и непрерывна на множестве неотрицательных чисел.чисел.

4.4. Если функция у=Если функция у=loglogaaxx, то , то DD(у)(у)=R=R++. Функция . Функция определенна и непрерывна на множестве определенна и непрерывна на множестве положительных чисел при аположительных чисел при а>>0, а≠1.0, а≠1.

f

Четность и нечетность Четность и нечетность функциифункции

1.1.Четность функции.Четность функции.

Функция f называется четной, если для любого х из её области определения

f(-x)f(-x) == f(x).f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

f

Четность и нечетность Четность и нечетность функциифункции

2. 2. Нечетность функции.Нечетность функции. Функция называется нечетной, если для

любого х из её области определения f(-x)f(-x) == -- f(x).f(x). График нечетной функции симметричен

относительно начала координат.

f

Примеры ни четных, ни Примеры ни четных, ни нечетных функцийнечетных функций

Функция у=х нечетная, так как график этой функции симметричен относительно начала координат

Функции у=f(х), у=10 х, у=lg x ни четные, ни нечетные, так какграфики этих функций не симметричны

f

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функцию Функцию ff называют называют периодической с периодом Т≠0, если для любого х периодической с периодом Т≠0, если для любого х из области определения значения этой функции в из области определения значения этой функции в точках х, х-Т, х+Т равны, то естьточках х, х-Т, х+Т равны, то есть

ff(х+Т)=(х+Т)=ff(х)=(х)=ff(х-Т)(х-Т)

f(bf(b11)=f(b)=f(b22)=f(b)=f(b33))

f

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

f

F(x)=tg x

T=π

T=2π

Таблица производных элементарных функций

(C) '=O;(C-постоянная)

(sinx) '=cosx

(kx+b) '=k (cosx)' =-sinx

(x) '=1 (tgx) '=1/cos2x

(xn) ' =nxn-1 (ctgx) '=-1/sin2x

(x2) '=2x; (ex)' =ex

(x3) '=3x2 (ax) '=axlna;(a›0;a≠1)

(1/x) '=-1/x2(x≠0) (lnx) '=1/x;(x›0)

(√x) '=1/2√x;(x›0) (logax)' =(lna)/х; x›0;а›0,а≠1

f

Определение:

Чтобы найти стационарные точки, нужно решить уравнение f ‘(х)=0.

ВнутренниеВнутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю, называются стационарными точками этой функции.

Х0 - стационарная точка Стационарные точки х0 и х1

•

х0х1х0

х

у

• • •х

f

Исследование функции на Исследование функции на монотонностьмонотонность

Достаточный признак возрастания функцииДостаточный признак возрастания функции

▪ Если f ‘(х)>0 в каждой точке некоторого интервала, то функция f возрастает на этом интервале.

Достаточный признак убывания функцииДостаточный признак убывания функции

▪ Если f ‘(х)<0 в каждой точке некоторого интервала, то функция f убывает на этом

интервале. Знаки функции f '(x)

возрастает возрастает возрастаетубывает

f

Возрастание функцииx1<x2 и f(x1)<f(x2)Для всех x1, x2 из D(f)

Убывание функцииx1<x2 и f(x1)>f(x2)Для всех x1, x2 из D(f)

Стационарная точка

Стационарные точки

ии

функциифункции

•

f

Признак максимума функцииПризнак максимума функции

Если функция f непрерывна в точке х0, а f ‘(x)>0 на интервале(а;х0) и f ‘(x)<0 на интервале (х0;b), то точка х0 является точкой максимума функции.

Если в точке хЕсли в точке х00 производная меняет знак с производная меняет знак с плюса на минус, то хплюса на минус, то х00 есть точка максимума. есть точка максимума.

max

min

max

Производная не существует

Точка перегиба

f(x)

f

Признак минимума функцииПризнак минимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, а f ‘(x)<0 на

интервале (а;х0) и f ‘ (x) >0 на интервале (х0;b), то точка х0 является точкой минимума функции.

Если в точке хЕсли в точке х00 производная меняет знак с минуса на плюс, производная меняет знак с минуса на плюс, то хто х00 есть точка минимума. есть точка минимума.

max min

Точки максимума и минимума – точки экстремумаТочки максимума и минимума – точки экстремума

f

Экстремумы функции это значения функции в Экстремумы функции это значения функции в точках максимума и минимуматочках максимума и минимума

max

min

max

min

Производная не существует

Точка перегиба

У(b)у(g)

у(c)

уу(b), y(g), y(c) – (b), y(g), y(c) – экстремумы функцииэкстремумы функции

f

Точки пересечения с Точки пересечения с осями координатосями координат

Точки пересечения с ось Х:(х;0),(х;0), т.е.т.е.f(x)=0f(x)=0.Значения аргумента, при которых функция

обращается в нуль, называют нулями функции.

Точки пересечения с осью У: (0;у), т.е. х=0(0;у), т.е. х=0

x1, x2, x3, x4 - абсциссы точек пересечения с осью Х

А(0;у) - точка пересечения с осью У

f

• • • •x1 x2x3 x4

•A

Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты,

и не одна практика от этого выигрывает,

сами науки развиваются под её влиянием.

П.Л. Чебышев.П.Л. Чебышев.

f

Л и т е р а т у р аЛ и т е р а т у р а

•Алгебра: учебник для 9 кл. / А.Г.Мордкович /•Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11

кл. в двух частях /А.Г.Мордкович/•Алгебра в таблицах.11

класс./Т.Г.Роева,Н.Ф.Хроленко/•Алгебра в таблицах /Е.П.Нелин/

•Энциклопедический словарь юного математика/А.П.Савин/