∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΙ Εισαγωγή στη Λογική

Μωυσής Α Μπουντουρίδης

Μάθημα 2ου Εξαμήνου

Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών

Επικοινωνία mboudourupatrasgr

Φεβρουάριος 2014

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Περιεχόμενα Ενότητας Εισαγωγής στη Λογική

Προτάσεις και Πίνακες Αληθείας

Ασκήσεις

Μέθοδοι Αποδείξεων

Ασκήσεις

Λογική Αποδείξεων

Ασκήσεις

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ασκήσεις

Επαγωγή

Ασκήσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Προτάσεις και Πίνακες Αληθείας

Τι εννοούμε ως lsquolsquoπρότασηrsquorsquoΟνομάζουμε πρόταση οποιαδήποτε εκπεφρασμένη (καιγραμματικά σωστή) δήλωση που μπορεί να είναι είτεαληθής ή ψευδής αλλά όχι και τα δυο

Παραδείγματα1 Ο ποταμός Πηνειός περνά από την Βέροια (Ψευδής)2 2+ 2 = 4 (Αληθής)3 2+ 3 = 7 (Ψευδής)4 Το 4 είναι ένας θετικός αριθμός και το 3 αρνητικός αριθμός (Ψευδής)5 Αν ένα σύνολο έχει n στοιχεία τότε περιέχει 2n υποσύνολα (Αληθής)6 Υπάρχουν άπειρα πολλά n για τα οποία το 2n + n είναι πρώτος

αριθμός (Αγνωστο αν ισχύει ή όχι)7 Κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα

δυο πρώτων αριθμών (Εικασία του Goldbach)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αλλα παραδείγματα1 x+ y = y+ x για κάθε x y isin R (Αληθής)2 2n = n2 για κάποια n isin N (Αληθής)3 ∆εν είναι αληθές ότι το 3 είναι άρτιος αριθμός ή ότι το 7 είναι πρώτος

αριθμός (Σύνθετη)4 Αν ο κόσμος είναι επίπεδος τότε 2+ 2 = 4 (Παράδοξη)5 xminus y = yminus x (Ασαφής)6 A2 = 0 συνεπάγεται ότι A = 0 για όλα τα A (Ασαφής)

Σύνθετες προτάσεις παραγόμενες από τη σύνδεση απλώνΣυμβολισμοί λογικών συνδέσμων

not lsquolsquoμηrsquorsquo ή lsquolsquoόχιrsquorsquo ή άρνηση

and lsquolsquoκαιrsquorsquo

or lsquolsquoήrsquorsquo (συμπεριλαμβανομένου του lsquolsquoκαιrsquorsquo )

minusrarr lsquolsquoσυνεπάγεταιrsquorsquo ή lsquolsquoαν καιrsquorsquo ή ικανή συνθήκη

larrrarr lsquolsquoαν και μόνον ανrsquorsquo ή ικανή και αναγκαία συνθήκη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αντιστοίχιση Λογικών Συνδέσμων μεΣυνολοθεωρητικούς Τελεστές

Παρατήρηση∆οθέντων δυο συνόλων A και B οι συνοθεωρητικοίτελεστές της ένωσης τομής και συμπληρώματοςσχετίζονται με τους λογικούς συνδέσμους orand και not ωςεξής

A cup B = x (x ανήκει στο A) or (x ανήκει στο B)A cap B = x (x ανήκει στο A) and (x ανήκει στο B)Ac = x not(x ανήκει στο A)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακες Αληθείας

Τιμές αληθείας μιας πρότασης1 Αληθής

0 Ψευδής

p notp0 1

1 0

p q pand q por q p minusrarr q plArrrArr q0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοιoplus lsquolsquoή διαζευκτικάrsquorsquo (lsquolsquoήrsquorsquo χωρίς το lsquolsquoκαιrsquorsquo ) ή lsquolsquoXORrsquorsquo

| lsquolsquoάρνηση του καιrsquorsquo ή lsquolsquoNANDrsquorsquo ή σύνδεσμος τουSheffer

Πίνακας αληθείας των oplus και |

p q poplus q p|q0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Προτάσεις και Πίνακες Αληθείας

Τι εννοούμε ως lsquolsquoπρότασηrsquorsquoΟνομάζουμε πρόταση οποιαδήποτε εκπεφρασμένη (καιγραμματικά σωστή) δήλωση που μπορεί να είναι είτεαληθής ή ψευδής αλλά όχι και τα δυο

Παραδείγματα1 Ο ποταμός Πηνειός περνά από την Βέροια (Ψευδής)2 2+ 2 = 4 (Αληθής)3 2+ 3 = 7 (Ψευδής)4 Το 4 είναι ένας θετικός αριθμός και το 3 αρνητικός αριθμός (Ψευδής)5 Αν ένα σύνολο έχει n στοιχεία τότε περιέχει 2n υποσύνολα (Αληθής)6 Υπάρχουν άπειρα πολλά n για τα οποία το 2n + n είναι πρώτος

αριθμός (Αγνωστο αν ισχύει ή όχι)7 Κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα

δυο πρώτων αριθμών (Εικασία του Goldbach)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αλλα παραδείγματα1 x+ y = y+ x για κάθε x y isin R (Αληθής)2 2n = n2 για κάποια n isin N (Αληθής)3 ∆εν είναι αληθές ότι το 3 είναι άρτιος αριθμός ή ότι το 7 είναι πρώτος

αριθμός (Σύνθετη)4 Αν ο κόσμος είναι επίπεδος τότε 2+ 2 = 4 (Παράδοξη)5 xminus y = yminus x (Ασαφής)6 A2 = 0 συνεπάγεται ότι A = 0 για όλα τα A (Ασαφής)

Σύνθετες προτάσεις παραγόμενες από τη σύνδεση απλώνΣυμβολισμοί λογικών συνδέσμων

not lsquolsquoμηrsquorsquo ή lsquolsquoόχιrsquorsquo ή άρνηση

and lsquolsquoκαιrsquorsquo

or lsquolsquoήrsquorsquo (συμπεριλαμβανομένου του lsquolsquoκαιrsquorsquo )

minusrarr lsquolsquoσυνεπάγεταιrsquorsquo ή lsquolsquoαν καιrsquorsquo ή ικανή συνθήκη

larrrarr lsquolsquoαν και μόνον ανrsquorsquo ή ικανή και αναγκαία συνθήκη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αντιστοίχιση Λογικών Συνδέσμων μεΣυνολοθεωρητικούς Τελεστές

Παρατήρηση∆οθέντων δυο συνόλων A και B οι συνοθεωρητικοίτελεστές της ένωσης τομής και συμπληρώματοςσχετίζονται με τους λογικούς συνδέσμους orand και not ωςεξής

A cup B = x (x ανήκει στο A) or (x ανήκει στο B)A cap B = x (x ανήκει στο A) and (x ανήκει στο B)Ac = x not(x ανήκει στο A)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακες Αληθείας

Τιμές αληθείας μιας πρότασης1 Αληθής

0 Ψευδής

p notp0 1

1 0

p q pand q por q p minusrarr q plArrrArr q0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοιoplus lsquolsquoή διαζευκτικάrsquorsquo (lsquolsquoήrsquorsquo χωρίς το lsquolsquoκαιrsquorsquo ) ή lsquolsquoXORrsquorsquo

| lsquolsquoάρνηση του καιrsquorsquo ή lsquolsquoNANDrsquorsquo ή σύνδεσμος τουSheffer

Πίνακας αληθείας των oplus και |

p q poplus q p|q0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αλλα παραδείγματα1 x+ y = y+ x για κάθε x y isin R (Αληθής)2 2n = n2 για κάποια n isin N (Αληθής)3 ∆εν είναι αληθές ότι το 3 είναι άρτιος αριθμός ή ότι το 7 είναι πρώτος

αριθμός (Σύνθετη)4 Αν ο κόσμος είναι επίπεδος τότε 2+ 2 = 4 (Παράδοξη)5 xminus y = yminus x (Ασαφής)6 A2 = 0 συνεπάγεται ότι A = 0 για όλα τα A (Ασαφής)

Σύνθετες προτάσεις παραγόμενες από τη σύνδεση απλώνΣυμβολισμοί λογικών συνδέσμων

not lsquolsquoμηrsquorsquo ή lsquolsquoόχιrsquorsquo ή άρνηση

and lsquolsquoκαιrsquorsquo

or lsquolsquoήrsquorsquo (συμπεριλαμβανομένου του lsquolsquoκαιrsquorsquo )

minusrarr lsquolsquoσυνεπάγεταιrsquorsquo ή lsquolsquoαν καιrsquorsquo ή ικανή συνθήκη

larrrarr lsquolsquoαν και μόνον ανrsquorsquo ή ικανή και αναγκαία συνθήκη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αντιστοίχιση Λογικών Συνδέσμων μεΣυνολοθεωρητικούς Τελεστές

Παρατήρηση∆οθέντων δυο συνόλων A και B οι συνοθεωρητικοίτελεστές της ένωσης τομής και συμπληρώματοςσχετίζονται με τους λογικούς συνδέσμους orand και not ωςεξής

A cup B = x (x ανήκει στο A) or (x ανήκει στο B)A cap B = x (x ανήκει στο A) and (x ανήκει στο B)Ac = x not(x ανήκει στο A)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακες Αληθείας

Τιμές αληθείας μιας πρότασης1 Αληθής

0 Ψευδής

p notp0 1

1 0

p q pand q por q p minusrarr q plArrrArr q0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοιoplus lsquolsquoή διαζευκτικάrsquorsquo (lsquolsquoήrsquorsquo χωρίς το lsquolsquoκαιrsquorsquo ) ή lsquolsquoXORrsquorsquo

| lsquolsquoάρνηση του καιrsquorsquo ή lsquolsquoNANDrsquorsquo ή σύνδεσμος τουSheffer

Πίνακας αληθείας των oplus και |

p q poplus q p|q0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αντιστοίχιση Λογικών Συνδέσμων μεΣυνολοθεωρητικούς Τελεστές

Παρατήρηση∆οθέντων δυο συνόλων A και B οι συνοθεωρητικοίτελεστές της ένωσης τομής και συμπληρώματοςσχετίζονται με τους λογικούς συνδέσμους orand και not ωςεξής

A cup B = x (x ανήκει στο A) or (x ανήκει στο B)A cap B = x (x ανήκει στο A) and (x ανήκει στο B)Ac = x not(x ανήκει στο A)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακες Αληθείας

Τιμές αληθείας μιας πρότασης1 Αληθής

0 Ψευδής

p notp0 1

1 0

p q pand q por q p minusrarr q plArrrArr q0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοιoplus lsquolsquoή διαζευκτικάrsquorsquo (lsquolsquoήrsquorsquo χωρίς το lsquolsquoκαιrsquorsquo ) ή lsquolsquoXORrsquorsquo

| lsquolsquoάρνηση του καιrsquorsquo ή lsquolsquoNANDrsquorsquo ή σύνδεσμος τουSheffer

Πίνακας αληθείας των oplus και |

p q poplus q p|q0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακες Αληθείας

Τιμές αληθείας μιας πρότασης1 Αληθής

0 Ψευδής

p notp0 1

1 0

p q pand q por q p minusrarr q plArrrArr q0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοιoplus lsquolsquoή διαζευκτικάrsquorsquo (lsquolsquoήrsquorsquo χωρίς το lsquolsquoκαιrsquorsquo ) ή lsquolsquoXORrsquorsquo

| lsquolsquoάρνηση του καιrsquorsquo ή lsquolsquoNANDrsquorsquo ή σύνδεσμος τουSheffer

Πίνακας αληθείας των oplus και |

p q poplus q p|q0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοιoplus lsquolsquoή διαζευκτικάrsquorsquo (lsquolsquoήrsquorsquo χωρίς το lsquolsquoκαιrsquorsquo ) ή lsquolsquoXORrsquorsquo

| lsquolsquoάρνηση του καιrsquorsquo ή lsquolsquoNANDrsquorsquo ή σύνδεσμος τουSheffer

Πίνακας αληθείας των oplus και |

p q poplus q p|q0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p and q) or not(p minusrarr q)

p q pand q p minusrarr q not(p minusrarr q) (pand q)ornot(p minusrarr q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 1

´Ενα άλλο παράδειγμαΟ πίνακας αλήθειας της πρότασης (p minusrarr q) and [(q and notr) minusrarr (p or r)] = PΘέτοντας Q = (q and notr) minusrarr (p or r) έχουμε P = (p minusrarr q) andQ

p q r notr p minusrarr q qandnotr (p minusrarr q)and (qandnotr) por r Q P0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ταυτολογία και Αντίφαση

Ορισμοί 1

´Εστω P μια σύνθετη πρόταση

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία ότανείναι αληθής για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρουςαπλών προτάσεων που περιλαμβάνει η PΜε άλλα λόγια μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία

αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον

πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1

Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν καιμόνον αν η notP είναι ταυτολογία

Με άλλα λόγια η P είναι αντίφαση όταν είναι ψευδής

για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνει δηλαδή αν και μόνον αν

η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας

περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα ταυτολογίαςΗ πρόταση [p and (p minusrarr q)] minusrarr q είναι ταυτολογία διότι

p q p minusrarr q pand (p minusrarr q) [pand (p minusrarr q)] minusrarr q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασηςΗ πρόταση p and notp είναι προφανώς αντίφαση διότι

p notp pandnotp0 1 01 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Ισοδυναμία

Ορισμός 2

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι οι Pκαι Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε PlArrrArr Qαν και μόνο αν η σχέση Plarrrarr Q είναι μια ταυτολογία

Με άλλα λόγια PlArrrArr Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές

σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές

αληθείας για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών

προτάσεων που περιλαμβάνουν

´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίαςΟι προτάσεις not(p or q) και notp and notq είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας DeMorgan) διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά)

p q por q not(por q) notpandnotq notq notp0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Συνεπαγωγή

Ορισμός 3

´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις Λέμε ότι η Pσυνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =rArr Q ανκαι μόνο αν η πρόταση P minusrarr Q είναι μια ταυτολογία

ΠαρατήρησηΓια να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =rArr Qαρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακααληθείας στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναιψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής´Εστω οι προτάσεις A = (p minusrarr q) and (r minusrarr s) καιB = (p or r) minusrarr (q or s) Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογικήσυνεπαγωγή A =rArr B

Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τιςπεριπτώσεις που η B είναι ψευδής δηλαδή αρκεί μόνο ναυποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς και ναδείξουμε στη συνέχεια ότι η P = A minusrarr B είναι ταυτολογία

p q r s p minusrarr q r minusrarr s A P B qor s por r0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτωπροτάσεις

1 poplus q (poplus q)oplus r (poplus p)oplus p2 (p minusrarr q) minusrarr [(p or notq) minusrarr (p or q)]3 [(p or q) and r] minusrarr (p and notq)4 [(plarrrarr q) or (p minusrarr r)] minusrarr (notq and p)5 not((p or q) minusrarr r)

2 ∆είξτε ότι1 poplus qlArrrArr not(plarrrarr q)2 p|qlArrrArr not(p and q)3 notplArrrArr p|p4 p or qlArrrArr (p|p)|(qIq)5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer βρείτε

τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τιςp or qp minusrarr q και poplus q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτωπροτάσεων

1 [p minusrarr (q minusrarr r)]lArrrArr [(p minusrarr q) minusrarr (p minusrarr r)]2 [poplus (q minusrarr r)]lArrrArr [(poplus q) minusrarr (poplus r)]3 [(p minusrarr q) minusrarr r]lArrrArr [p minusrarr (q minusrarr r)]4 [(plarrrarr q)larrrarr r]lArrrArr [plarrrarr (qlarrrarr r)]5 (poplus q)oplus r lArrrArr poplus (qoplus r)6 (q minusrarr p)lArrrArr (p and q)7 (p and notq) =rArr (p minusrarr q)

4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 Αν A =rArr B και B =rArr C τότε A =rArr C2 Αν PlArrrArr QQ =rArr R και RlArrrArr S τότε P =rArr S3 Αν P =rArr QQ =rArr R και R =rArr P τότε PlArrrArr Q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδοι Αποδείξεων

Αποδεικτικές μέθοδοι11 Αμεση απόδειξη

2 Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις

3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή

4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοποναπαγωγή)

5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή

6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή

7 Κατασκευαστική απόδειξη

8 Μη κατασκευαστική απόδειξη

1Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία την απόδειξημε επαγωγή

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αμεση Απόδειξη

Η συνεπαγωγή P =rArr Q αποδεικνύεται απευθείας ωςεξής

υποθέτοντας ότι (lsquolsquoανrsquorsquo ) η P είναι αληθής

αποδεικνύεται ότι (lsquolsquoτότεrsquorsquo ) και η Q είναι αληθής

Παράδειγμα Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός

Αμεση απόδειξη ´Εστω n isin N άρτιος Αυτό σημαίνει ότι n = 2k για κάποιο

k isin N Αρα n2 = 4k2 = 2(2k2) δηλαδή n2 άρτιος

Παράδειγμαsumni=1 i = 1

2n(n+ 1)

Αμεση απόδειξη ´Εστω x = sumni=1 i δηλαδή x = 1+ 2+ 3+ + n Λόγω

αντιμεταθετικότητας x = n+ (nminus 1) + (nminus 2) + + 1 Προσθέτοντας τα δυοτελευταία αθροίσματα παίρνουμε 2x = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + +(n+ 1) = n(n+ 1) και άρα x = 1

2n(n+ 1)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Απόδειξη κατά Περιπτώσεις

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταικατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούνξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις

(P1 =rArr Q) and (P2 =rArr Q) and middot middot middot and (Pn =rArr Q)

Παράδειγμα Για κάθε n isin N το n3 + n είναι άρτιος

Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω n isin Nάρτιος δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N οπότε n3 + n =8k3 + 2k = 2(4k3 + k) που είναι άρτιος

Περίπτωση (ii) ´Εστω n isin N περιττός δηλαδή n = 2k+1 για

κάποιο k isin N οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k+ 1) + (2k+ 1) =2(4k3 + 6k2 + 4k+ 1) που είναι πάλι άρτιος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα Για κάθε x y isin R |x+ y| le |x|+ |y|Απόδειξη κατά περιπτώσεις Περίπτωση (i) ´Εστω x y ge 0οπότε x+ y ge 0 και άρα |x+ y| = x+ y = |x|+ |y|Περίπτωση (ii) ´Εστω x ge 0 και y lt0 οπότεx+ y ltx+ 0 = |x| le |x|+ |y| και minus(x+ y) = minusx+ (minusy) lt0+ (minusy) = |y| le |x|+ |y| Καθόσον όμως είτε |x+ y| = x+ y ή|x+ y| = minus(x+ y) έπεται το ζητούμενο

Περίπτωση (iii) ´Οταν x lt0 και y ge 0 όπως στην Περί-πτωση (ii)

Περίπτωση (iv) ´Οταν x y le 0 τότε x+ y lt0 και άρα|x+ y| = minus(x+ y) = minusx+ (minusy) = |x|+ |y|

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνοναποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)συνεπαγωγή

notQ =rArr not(P1 and P2 and middot middot middot and Pn)

Παράδειγμα Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο τότε τουλάχιστονένας από τους αριθμούς είναι άρτιος

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή ´Εστω nm isin N τέτοιοι ώστε nmάρτιος Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί τότε και nm θα ήτανπεριττός κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης

Παράδειγμα Αν για n gt0 το 4n minus 1 είναι πρώτος αριθμός τότε το n είναιπεριττός αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο

δηλαδή n = 2k για κάποιο k isin N Τότε 4n minus 1 = 42k minus 1 = (4k minus 1)(4k + 1)που σημαίνει ότι το 4n minus 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος δηλαδήκαταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση

Η συνεπαγωγή P1 and P2 and middot middot middot and Pn =rArr Q αποδεικνύεταιέμμεσα με αντίφαση (ή με lsquolsquoεις άτοπον απαγωγήrsquorsquo ) ανκαι μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή

(P1 and P2 and middot middot middot and Pn) and notQ =rArr αντίφαση

Παράδειγμα Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (ΘεώρημαΕυκλείδη)

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο έναπεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών οι p1 p2 pn Θεωρούμε τοναριθμό q = p1p2 middot middot middot pn + 1 ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τουςπρώτους οπότε είναι πρώτος αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους πουείναι μια αντίφαση

Παράδειγμα Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναιάρρητος αριθμός

´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση ´Εστω x isin Q y isin Q Ας υποθέσουμε ότιxminus y isin Q Θέτοντας x = pq xminus y =

rs για κάποιους p q r s isin N q 6= 0 s 6= 0

βρίσκουμε ότι y = pq minusrs =

psminusqrqs δηλαδή y isin Q που είναι μια αντίφαση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται αδιάφορα αληθήςσυνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν ηπροκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθήςή ψευδής πρόταση)

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x2 + 1 lt0 τότε x ge 4

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενη

πρόταση lsquolsquox2 + 1 lt0rsquorsquo είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΑρα το συμπέρασμα lsquolsquox ge 4rsquorsquo της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα τουπεριορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης lsquolsquox ge 4rsquorsquo )

Παράδειγμα Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος τότε 3 lt2

Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς η προκείμενηπρόταση lsquolsquoτο 4 είναι πρώτος αριθμόςrsquorsquo είναι ψευδής Αρα το συμπέρασμαlsquolsquo3 lt2rsquorsquo της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το lsquolsquo3 lt2rsquorsquo είναι ψευδέςως πρόταση)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή P =rArr Q λέγεται τετριμμένα αληθήςσυνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από τοαν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής)

Παράδειγμα Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια τότε 52 = 25

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquo52 = 25rsquorsquo είναι αληθής πρόταση ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενηςπρότασης lsquolsquoαν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροιαrsquorsquo που φυσικά δενισχύει

Παράδειγμα ´Εστω x isin R Αν x gt0 τότε x2 + 2 gt0

Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής Προφανώς το συμπέρασμα

lsquolsquox2 + 2 gt0rsquorsquo είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης lsquolsquox gt0rsquorsquo

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική(constructive proof) όταν αποδεικνύεται σε αυτήν ηύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρουςτης πρότασης

Παράδειγμα Αν x y isin R είναι τέτοια ώστε x lty τότε υπάρχει z isin R τέτοιοώστε x ltz lty

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς ένα τέτοιο z είναι το z = x+y2

Παράδειγμα Υπάρχουν m n isin N τέτοια ώστε 2m+ 3n = 12

Κατασκευαστική απόδειξη Προφανώς τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τηζητούμενη σχέση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μη Κατασκευαστική Απόδειξη

Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεταιχωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένουπου ικανοποιεί τους όρους της πρότασης

Παράδειγμα Αν f [01]rarr [01] είναι συνεχής τότε υπάρχει κάποιοx isin [01] τέτοιο ώστε f(x) = xΜη κατασκευαστική απόδειξη Το επονομαζόμενο Θεώρημα ΣταθερούΣημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x τουοποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετησυνεχή συνάρτηση

Παράδειγμα Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a b τέτοιοι ώστε το ab να είναιρητό

Μη κατασκευαστική απόδειξηΘεωρούμε τον αριθμόradic2

radic2 Αν ο αριθμός

αυτός είναι ρητός διαλέγουμε a = b =radic2 ενώ διαφορετικά παίρνουμε

a =radic2

radic2 b =

radic2 οπότε στην δεύτερη περίπτωση ab = (

radic2)(radic

2timesradic

2) =

(radic2)2 = 2 Επομένως αποδεικνύεται η πρόταση χωρίς να βρούμε ποιο

ακριβώς είναι το ab

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σεπεριπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις

1 Αν n isin Z περιττός τότε και n2 + 3n+ 5 περιττός2 Αν m n isin Z και m|n τότε m2|n2 (lsquolsquo|rsquorsquo σημαίνει

lsquolsquoδιαιρείrsquorsquo )3 Αν m n r s isin Z και m|n και r|s τότε mr|ns4 Αν x y isin R και x2 + 5y = y2 + 5x τότε x = y ήx+ y = 5

5 Αν n isin Z τότε n2 + 3n+ 4 άρτιο6 Αν n isin Z και n|n2 τότε n isin minus101

2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ήαπευθείας αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτωπροτάσεις

1 Αν m n isin Z και m2(n2 minus 2n) περιττός τότε m και nπεριττοί

2 Αν x isin R και x2 + 5x lt0 τότε x lt03 Αν m n isin Z και mnm+ n άρτιοι τότε m και n άρτιοι4 Αν n isin Z και 3 - n2 τότε 3 - n (lsquolsquo-rsquorsquo σημαίνει lsquolsquoδεν

διαιρείrsquorsquo )

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

2 5 Αν m n isin Z και m2(n+ 3) άρτιος τότε m άρτιος ή nπεριττός

6 Αν x isin R και x5 + 7x3 + 5x ge x4 + x2 + 8 τότε x ge 07 Αν n isin Z και n3 minus 1 άρτιος τότε n περιττός8 Αν n isin Z περιττός τότε 8|(n2 minus 1)9 Για κάθε a b isin Z ισχύει ότι (a+ b)3 equiv a3 + b3

(mod 3)10 ´Εστω a b isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεa3 equiv b3 (mod n)

11 ´Εστω a b c isin Z και n isin N Αν a equiv b (mod n) τότεca equiv cb (mod n)

12 Αν n isin N και 2n minus 1 πρώτος τότε και n πρώτος3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω

προτάσεις

13radic2 άρρητος

2 Αν a b isin Z τότε a2 minus 4bminus 3 6= 03 Αν a b c isin Z και a2 + b2 = c2 τότε a ή b άρτιο4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a b τέτοιοι ώστε

18a+ 6b = 15 Για κάθε x isin [π2 π] sin xminus cos x ge 1

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ήόχι

1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 3

2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιωνδιαιρείται με 4

3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείταιμε 5

5 Αν x y isin R τότε |xy| = |x| middot |y|6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που

έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδικήμορφή)

7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοίπου δεν είναι πρώτοι

8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορααληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείςσυνεπαγωγές

1 Αν x ge 0 τότε (1+ x)n ge 1+ nx2 Αν xn = 0 τότε x = 03 Αν n άρτιος τότε xn ge 0

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Λογική Αποδείξεων´Οπως είδαμε πιο πριν η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγήςαπορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία κάτι πουελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγήςβασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα

Στη λογική ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειράπροτάσεων

Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς έναέγκυρο επιχείρημα όταν οι προτάσεις του επιχειρήματοςχωρίζονται σε δυο μέρη

πρώτα παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οιπροκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι αμέσωςμετάακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ήσυμπέρασμα)

Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρουεπιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rulesof inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα τηςλογικής συνεπαγωγής H1 andH2 and middot middot middot andHn =rArr C δηλαδήτο επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1H2 middot middot middot Hnκαταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C είναι

γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σεδιαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειράγραφής των υποθέσεων)προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος τωνυποθέσωνκαι παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στηντελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολοlsquolsquothere4rsquorsquo (που σημαίνει lsquolsquoεπομένωςrsquorsquo ) δηλαδή

H1

H2

Hnthere4 C

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)

1 Προσθήκη p =rArr (p or q)

p

there4 p or q

2 Απλοποίηση (p and q) =rArr p

p and q

there4 p

3 Τοποθέτηση (modus ponens) [p and (p minusrarr q)] =rArr q

pp minusrarr q

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 ∆ιάψευση (modus tollens) [(p minusrarr q) and notq] =rArr notp

p minusrarr qnot q

there4 not p

5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός [(p or q) and notp] =rArr q

p or qnot p

there4 q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 Υποθετικός συλλογισμός

[(p minusrarr q) and (q minusrarr r)] =rArr (p minusrarr r)

p minusrarr qq minusrarr r

there4 p minusrarr r

7 Σύζευξη [(p) and (q)] =rArr (p and q)

pq

there4 p and q

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής

Παράδειγμα [(p minusrarr q) and (q minusrarr r) and notr] =rArr notp

p minusrarr qq minusrarr rnot r

there4 not p

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 p minusrarr q υπόθεση2 q minusrarr r υπόθεση3 p minusrarr r υποθετικός συλλογισμός4 notr υπόθεση5 there4 notp διάψευση (modus tollens)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα [(p minusrarr (q minusrarr r)) and (p or nots) and q] =rArr (s minusrarr r)

p minusrarr (q minusrarr r)p or notsq

there4 s minusrarr rΑπόδειξη Αιτιολόγηση

1 p minusrarr (q minusrarr r) υπόθεση2 p or nots υπόθεση3 q υπόθεση4 nots or p αντιμεταθετικότητα5 s minusrarr p συνεπαγωγή (implication)6 s minusrarr (q minusrarr r) υποθετικός συλλογισμός7 (s and q) minusrarr r κανόνας εξαγωγής (exportation)8 q minusrarr [s minusrarr (q and s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών9 s minusrarr (q and s) τοποθέτηση (modus ponens)10 s minusrarr (s and q) αντιμεταθετικότητα11 s minusrarr r υποθετικός συλλογισμός

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 4

´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα

Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C απότις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδαπροτάσεων P1P2 PnC οι οποίες είναι τέτοιεςώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε

μια υπόθεση ήμια ταυτολογία ήένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών τηςαλυσίδας που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτούκανόνα συναγωγής (inference)

´Ενα επιχείρημα (δηλαδή μια σειρά προτάσεων)λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy) όταν δενπληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη

´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής lsquolsquoαν Hτότε Crsquorsquo Για το λόγο αυτό η τυπική απόδειξη τουC από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη τουθεωρήματος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοίκανόνες που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούνσε τυπικές αποδείξεις είναι κανόνες βασισμένοι σελογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφήςH1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q Επομένως όλοι οι κανόνεςσυναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις Αν οιπροτάσεις H1 andH2 and middot middot middot andHm έχουν ήδη εμφανισθείμέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κιαν η συνεπαγωγή H1 andH2 and middot middot middot andHm =rArr Q είναιαληθής τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθείστην προτασιακή αλυσίδα αυτή

Μερικές φορές οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνεςσυναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (validinferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξειςλέγονται έγκυρες αποδείξεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Κανόνες Αντικατάστασης

∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης ονομάζουμε(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση πουυπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση

Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας ταυτολογίας αν μια μεταβλητήοπουδήποτε εμφανίζεται αντικατασταθεί από την ίδια(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση τότε προκύπτει πάλιμια ταυτολογία

∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P η οποία περιέχειτην (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q αν η Qαντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρότασητότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναιλογικά ισοδύναμη με την P

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα not[(r and s) or (t minusrarr u)]lArrrArr [not(r and s) and not(t minusrarr u)]Αντικαθιστώντας την t minusrarr u με την q παίρνουμεnot[(r and s) or q]lArrrArr [not(r and s) and notq] όπου αντικαθιστώντας την r and sμε την p καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgannot(p or q)lArrrArr notp and notq

Παράδειγμα [(r minusrarr s) and [(r minusrarr s) minusrarr (nott or u)]] =rArr (nott or u)Αντικαθιστώντας την r minusrarr s με την p και την nott or u με την qπαίρνουμε [p and (p minusrarr q)] =rArr q που είναι μια ταυτολογία

Παράδειγμα

´Εστω P = [(p minusrarr q) minusrarr r] Επειδή ισχύει η λογικήισοδυναμία p minusrarr qlArrrArr notp or q έπεται ότι PlArrrArr Q όπουQ = [(notp or q) minusrarr r]

Παράδειγμα

´Εστω P = [p minusrarr (p or q)] (ταυτολογία) Επειδή ισχύει ηλογική ισοδυναμία notnotplArrrArr p έπεται από τηναντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερηεμφάνιση της p ότι PlArrrArr Q όπου Q = [p minusrarr (notnotp or q)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα (p minusrarr q) and (p or q)lArrrArr (notp or q) and (notnotp or q)Απόδειξη =rArr

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (p minusrarr q) and (p or q) υπόθεση2 p minusrarr q απλούστευση3 notp or q κανόνας 10α4 p or q υπόθεση5 notnot(p or q) κανόνας 16 notnotp or notnotq κανόνας De Morgan (2 φορές)7 notnotp or q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης8 (notp or q) and (notnotp or q) σύζευξη 4 και 7

Απόδειξη lArr=

Απόδειξη Αιτιολόγηση1 (notp or q) and (notnotp or q) υπόθεση2 notp or q απλούστευση3 p minusrarr q κανόνας 10α4 notnotp or q απλούστευση5 notnotp or notnotq δεύτερος κανόνας αντικατάστασης6 notnot(p or q) κανόνας De Morgan (2 φορές)7 p or q κανόνας 18 (p minusrarr q) and (p or q) σύζευξη 3 και 7

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συχνά Συναντώμενες ΠλάνεςΕπιβεβαίωση συμπεράσματος

[(p minusrarr q) and q] 6=rArr p

Αρνηση υπόθεσης

[(p minusrarr q) and notp] 6=rArr notq

Κυκλική αιτιολόγηση ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτιπου θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθέςΠχ για την απόδειξη της πρότασης lsquolsquon2 άρτιο =rArr n άρτιοrsquorsquo αν

κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι lsquolsquon2 άρτιο =rArr n2 = 2kγια κάποιο ακέραιο krsquorsquo οπότε lsquolsquon = 2l για κάποιο ακέραιο lrsquorsquo ηαπόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις1 (p or q) and slArrrArr (q or p) and s2 s minusrarr (not(p or q))lArrrArr [s minusrarr [(notp) and (notq)]]3 (p minusrarr q) or (nots minusrarr t)lArrrArr [p minusrarr (s or t)]4 [t and (s or p)]lArrrArr [t and (p or s)]

2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι ηπρόταση (p minusrarr s) or (nots minusrarr t) λογικά ισοδύναμη

1 (notp or s) or (s or t)2 [(notp or s) or s] or t3 [notp or (s or s)] or t4 (notp or s) or t5 notp or (s or t)6 p minusrarr (s or t)

3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογικήισοδυναμία της πρότασης [(a and p) or p] minusrarr p με τιςπαρακάτω

1 not[(a and p) or p] or p2 [not(a and p) and notp] or p3 [(nota or notp) and notp] or p

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 4 p or [(nota or notp) and notp]5 [p or (nota or notp)] and (p or notp)6 [(nota or notp) or p] and 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)7 (nota or notp) or p8 nota or (notp or p)9 nota or t10 t

4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης(αντικαθιστώντας την q με την p minusrarr q) δείξτε ότι ηπαρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες

1 notq minusrarr (q minusrarr p)2 [p and (p minusrarr q)] minusrarr q3 p or notp4 (p or q)larrrarr [(notq) minusrarr p]

5 ´Εστω P η πρόταση [p and (q or r)] or not[p or (q or r)]Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q or r με q and rπροκύπτει η πρόταση Plowast = [p and (q and r)] or not[p or (q and r)]Επειδή q and r =rArr q or r θα μπορούσε κανείς ναυποθέσει ότι είτε P =rArr Plowast ή Plowast =rArr P ∆είξτε ότι καιτα δυο είναι λάθος

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

6 1 ∆είξτε ότι αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχειμια τυπική απόδειξη της C από την A τότε υπάρχειμια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις

2 ∆είξτε ότι αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της Cαπό την B τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικήςσυνεπαγωγής B minusrarr C χωρίς καθόλου υποθέσεις

7 1 ∆είξτε ότι οι p or q και p and q είναι λογικά ισοδύναμεςμε προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οισύνδεσμοι not και minusrarr

2 ∆είξτε ότι οι p or q και p minusrarr q είναι λογικάισοδύναμες με προτάσεις στις οποίες υπεισέρχονταιμόνο οι σύνδεσμοι not και minusrarr

3 Είναι η p minusrarr q λογικά ισοδύναμη με μια πρότασηστην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι and καιor Εξηγείστε

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτωσυνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής αποδεικνύοντάςτην ή ότι είναι ψευδής επιδεικνύοντας τηνκατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας

1 Αν (q and r) minusrarr p και q minusrarr notr τότε ισχύει η p2 Αν q or notr και not(r minusrarr q) minusrarr notp τότε ισχύει η p3 Αν p minusrarr (q or r) q minusrarr s και r minusrarr notp τότε ισχύει ηp minusrarr s

9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω1 Αν A minusrarr P και A and notB τότε P and notB2 Αν H and notR και (H andN) minusrarr R τότε notN

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα

Ορισμοί 5

´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο PROP το σύνολο όλων των δυνατών(λογικών) προτάσεων και p Urarr PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ήσυνάρτηση) Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο(universedomain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p

Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα ηοποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία τουβασικού της συνόλου η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία τουβασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα pΓενικώς ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερημεταβλητή (free variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένημεταβλητή (bound variable) όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές

Το σύνολο Tp = x isin U p(x) αληθής δηλαδή το σύνολο τωνστοιχείων του βασικού συνόλου για τα οποία το p ικανοποιείταιονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 timesU2 times middot middot middot timesUnτο p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (nndashplace predicate)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ορισμοί 6

´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολοU

Με την έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)p(x) είναι αληθές για κάθε (δηλαδή για όλα τα)x isin U Με άλλα λόγια lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo αν και μόνον ανTp = U Επιπλέον η έκφραση lsquolsquoforallx p(x)rsquorsquo ονομάζεταιολικός ποσοδείκτης (universal quantifier)Με την έκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo εννοούμε μια πρότασηπου είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναιαληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχειτουλάχιστον ένα) x isin U Με άλλα λόγιαlsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo αν και μόνον αν Tp 6= empty Επιπλέον ηέκφραση lsquolsquoexistx p(x)rsquorsquo ονομάζεται υπαρξιακόςποσοδείκτης (existential quantifier)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω στο βασικό σύνολο N τοκατηγόρημα p(m n) = lsquolsquom ltnrsquorsquoγια m n isin N

1 Στην έκφραση p(m n) και οι δυο μεταβλητές m nείναι ελεύθερες δηλαδή για κάποια m n έχουμεm ltn (οπότε p αληθής) ενώ για άλλα m gtn (οπότεp ψευδής)

2 Στην έκφραση existm p(m n) η μεταβλητή m είναιδεσμευμένη αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη∆ηλαδή για κάποια n υπάρχουν m τέτοια ώστεm ltn οπότε p αληθής (πχ όταν n = 1 το m = 0)ενώ για κάποια άλλα n δεν υπάρχουν τέτοια mοπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (πχ ότανn = 0 κανένα m isin N δεν επαληθεύει την m lt0)

3 Στην έκφραση forallm p(m n) η p είναι πάντα ψευδήςαφού για όλες τις τιμές της δεσμευμένηςμεταβλητής m υπάρχουν τιμές της ελεύθερηςμεταβλητής n που διαψεύδουν την m ltn

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2μεταβλητές παίρνουμε 8 περιπτώσειςforallm forallnforalln forallmexistm existn existn existm forallm existn existn forallmforalln existm existm foralln

Στις forallm foralln p(m n) και foralln forallm p(m n) (που όπως θαδούμε πιο κάτω είναι λογικά ισοδύναμες με τηνforall(m n) p(m n)) η p είναι πάντοτε ψευδής (όπωςστην (3))Στις existm existn p(m n) και existn existm p(m n) (που είναιλογικά ισοδύναμες με την exist(m n) p(m n)) η p είναιάλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1))Στην foralln existm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην existm foralln p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδήςΣτην forallm existn p(m n) η p είναι πάντοτε αληθής(συγκεκριμένα για n = m+ 1)Στην existn forallm p(m n) η p είναι πάντοτε ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Παράδειγμα ´Εστω p(m n) = lsquolsquon gt2mrsquorsquoγια m n isin N Θααναλύσουμε τις δυο εκφράσεις

forallm existn [n gt2m](= forallm [existn [n gt2m]]) και

existn forallm [n gt2m](= existn [forallm [n gt2m]])στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m n είναι δεσμευμένες

1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μιααυθαίρετη τιμή επειδή τότε η existn [n gt2m] αληθεύειγια τουλάχιστον κάποια n (πχ για n = 2m + 1)έπεται ότι η forallm existn [n gt2m] είναι αληθής

2 Παρόμοια έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σεμια αυθαίρετη τιμή επειδή τότε η forallm [n gt2m] δενισχύει για όλα τα n η existn forallm [n gt2m] είναι ψευδής

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Σύνθετα Κατηγορήματα και ΣύνθετεςΚατηγορηματικές Προτάσεις

Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής

Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω τωνλογικών συνδέσμων notorandminusrarrlarrrarr παράγει τασύνθετα κατηγορήματα

´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερεςμεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματικήπρόταση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ ΣυνθέτωνΚατηγορηματικών Προτάσεων

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο N

1 forallm existn [2n = m]2 existn forallm [2m = n]3 forallm existn [2m = n]4 existn forallm [2n = m]5 forallm foralln [not[2n = m]]

2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτωπροτάσεων ως προς το βασικό σύνολο R

1 forallx existy [xy = 1]2 existy forallx [xy = 1]3 existx existy [xy = 1]4 forallx forally [(x+ y)2 = x2 + y2]5 forallx existy [(x+ y)2 = x2 + y2]6 existy forallx [(x+ y)2 = x2 + y2]7 existx existy [(x+ y = 4) and (2xminus y = 2)]8 existx existy [x2 + y2 + 1 = 2xy]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένεςμεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων

1 forallx existz [sin(x+ y) = cos(zminus y)]2 existx [xy = xz minusrarr z]3 existx existz [x2 + z2 = y]

4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το exist όπουτο existx p(x) διαβάζεται ως lsquolsquoυπάρχει μοναδικό xτέτοιο ώστε να ισχύει η p(x)rsquorsquoΣτη σύνθετη αυτήπρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές ότανη p(x) είναι αληθής για ακριβώς μια τιμή του xστο βασικό σύνολο ενώ αλλιώς η p(x) είναιψευδής Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τονσυμβολισμό της λογικής

1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x+ y = yγια όλα τα y isin R

2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση3 Αν f A minusrarr B τότε για κάθε a isin A υπάρχει

ακριβώς ένα b isin B τέτοιο ώστε f(a) = b4 Αν η f A minusrarr B είναι απεικόνιση έναndashπροςndashένα

τότε για κάθε b isin B υπάρχει ακριβώς ένα a isin Aτέτοιο ώστε f(a) = b

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 ´Εστω A = 0246810 και το βασικό σύνολο NΒρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή

1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιωνπου είναι μικρότεροι του 12

2 A = 0246 3 A = n isin N 2n lt244 A = n isin N forallm [(2m = n) minusrarr (m lt6)5 A = n isin N forallm [(2m = n) and (m lt6)6 A = n isin N existm [(2m = n) minusrarr (m lt6)7 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)8 A = n isin N existm [(2m = n) and (m lt6)9 A = n isin N n άρτιος και n2 le 10010 foralln [(n isin A) minusrarr (n le 10)]11 (3 isin A) minusrarr (3 lt10)12 (12 isin A) minusrarr (12 lt10)13 (8 isin A) minusrarr (8 lt10)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Επαγωγή

Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύει η P(n) τότε ισχύεικαι η P(n+ 1) δηλαδή αποδεικνύουμε στοU ότι

foralln [P(n) =rArr P(n+ 1)]

Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασικήπερίπτωση ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεταιεπαγωγικό βήμα Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμαονομάζεται επαγωγική υπόθεση

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

1+ 2+ middot middot middot+ n = 1

2n(n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 1 = 121(1+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

1+ 2+ middot middot middot+ n = 12n(n+ 1) για κάποιο θετικό ακέραιο n

Προσθέτοντας το n+ 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλοςτης επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε 1+ 2+ middot middot middot+ n+(n+1) = 1

2n(n+1) + (n+1) = 1

2(n+1)(n+2) και άρα η

πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγήςΓια κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

12 + 22 + middot middot middot+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού 11 = 1 = 161(1+ 1)(2+ 1)

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η

12 + 22 + middot middot middot+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) για κάποιο θετικό

ακέραιο n Προσθέτοντας το (n+ 1)2 στο δεξιό και τοαριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης παίρνουμε

12 + 22 + middot middot middot+ n2 + (n+ 1)2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2

= 16(n+1)(2n2 + n+6n+6) = 1

6(n+1)[2n(n+2) +3(n+2)]

= 16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) και άρα η πρόταση ισχύει

για κάθε θετικό ακέραιο n

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγήςΑν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών στις οποίες n(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο τότε

f(n) = 12n(n+ 1) + 1

Αρχικό βήμα Ισχύει αφού f(1) = 2 = 121(1+ 1) + 1

Επαγωγικό βήμα Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 12n(n+ 1) + 1 για n ge 2

ευθείες και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία την s έτσι ώστε να έχουμε n+ 1ευθείες πάνω στο επίπεδο για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε τομέγιστο πλήθος περιοχών που αυτές διαιρούν το επίπεδο ´Εστω ότι ηευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες όπου φυσικά k le nΙσχυρισμός Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο τότεσχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k+ 1 περιοχές του επιπέδου

Απόδειξη του ισχυρισμού ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με

την διαδοχική σειρά t1 t2 tk και έστω ότι οι k ευθείες t1 t2 tkδιαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον

(των f(k)) περιοχές kminus 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες

s tj και tj+1 για j = 12 kminus 1 μια περιοχή που περιβάλλεται από τις

δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες sκαι tk δηλαδή συνολικά σχηματίζονται τότε kminus 2+ 1+ 1 = k+ 1 περιοχές

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συνέχεια της επαγωγής Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις ο

ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n+ 1) = f(k) + k+ 1 le f(n) + n+ 1 όπου η

ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες

Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών σε

οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 Επιπλέον από

το επαγωγικό βήμα f(n) = 12n(n+ 1) + 1 οπότε παίρνουμε

f(n+ 1) = f(n) + n+ 1 = 12n(n+ 1) + 1+ n+ 1 = 1

2(n+ 1)(n+ 2) + 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a1 = 1an+1 = 3an + 1 για n ge 1

Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της an και αποδείξτεεπαγωγικά την ισχύ του

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Εύρεση της ακολουθίας Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ge 1 μπορούμε ναυπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι ναφτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της

an = 3anminus1 + 1 = 3(3anminus2 + 1) + 1

= 32anminus2 + 31 + 30 = 32(3anminus3 + 1) + 31 + 30

= 33anminus3 + 32 + 31 + 30 = 33(3anminus4 + 1) + 32 + 31 + 30

= 3kanminusk +kminus1sumi=0

3i

οπότε για nminus k = 1 παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1)

an = 3nminus1 +

nminus2sumi=0

3i =nminus1sumi=0

3i =1minus 3n

1minus 3=

1

2(3n minus 1)

Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας Τώρα θα δείξουμε

επαγωγικά ότι για κάθε n ge 1 an = 12(3n minus 1) Παρατηρούμε ότι το αρχικό

βήμα για n = 1 ισχύει αφού a1 = 12(3minus 1) = 1 Αν ισχύει ο τύπος αυτός

για κάποιο n gt1 τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι

an+1 = 3an + 1 = 32(3n minus 1) + 1 = 1

2(3n+1 minus 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Συμβολισμοί

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με [n] το(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ωςn δηλαδή [n] = 123 nΓια κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με |X| το πλήθος τωνστοιχείων του X

Για κάθε σύνολο X συμβολίζουμε με 2X το σύνολο(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X

Θεώρημα 7

Για κάθε θετικό ακέραιο n το πλήθος όλων τωνυποσυνόλων του [n] είναι 2n δηλαδή |2[n]| = 2n

Επαγωγική απόδειξη Επειδή για n = 1 το σύνολο [1] = 1 έχει μόνο

δυο υποσύνολα το empty και το 1 ισχύει το αρχικό βήμα Στη συνέχεια

υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n για κάποιο n ge 2 και θα δείξουμε την αντίστοιχη

σχέση για n+ 1 Για το σκοπό αυτό ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του

[n+ 1] σε δυο κλάσεις

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που δεν περιέχουν τοστοιχείο n+ 1 και

την κλάση των υποσυνόλων του [n+ 1] που περιέχουν το στοιχείοn+ 1

Προφανώς όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα

υποσύνολα του [n] και άρα από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των

υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n Από την άλλη μεριά κάθε

υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n+ 1 μαζί με τα στοιχεία

οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και άρα το πλήθος των υποσυνόλων

της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n Επομένως συνολικά και για

τις δυο κλάσεις |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1 που αποδεικνύει το θεώρημα

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Μέθοδος της Ισχυρούς ΕπαγωγήςΓια να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0)P(n0 + 1)P(n0 + 2) για κάποιο n0 isin N δηλαδή για νααποδείξουμε ότι lsquolsquoforalln P(n)rsquorsquo στο βασικό σύνολοU = n isin N n ge n0 προχωρούμε σε 2 βήματα

Πρώτο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0)∆εύτερο Βήμα Αποδεικνύουμε ότι δοθέντος οποιου-

δήποτε n ge n0 αν ισχύουν οι P(n0)P(n0 +1) P(nminus 1)P(n) τότε ισχύει και η P(n+ 1)δηλαδή αποδεικνύουμε στο U ότι

foralln [P(n0) and P(n0 + 1) and middot middot middot and P(n) =rArr P(n+ 1)]

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι η ακολουθία an ορίζεται αναδρομικά ως εξής

a0 = 0

an+1 =nsumi=0

ai + n+ 1 για n ge 1

∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει an = 2n minus 1

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Καθώς a0 = 0 ισχύει το αρχικό βήμα Ας

υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k minus 1 για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι

μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N Τότε η αναδρομική σχέση που

ορίζει την an συνεπάγεται ότι an+1 = (20 minus 1) + (21 minus 1) + middot middot middot+ (2n minus 1)

+n+ 1 =sumni=0 2i =

sumnminus1i=0

2i + 2n = 1minus2n1minus2

+ 2n = 2n minus 1+ 2n = 2n+1 minus 1 που

ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής´Εστω ότι f N minusrarr N μια συνάρτηση τέτοια ώστεf(n+m) = f(n) + f(m) για κάθε nm isin N ∆είξτε ότι υπάρχειμια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn για κάθε n isin N

Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή Επειδή για m = 0 κι οποιοδήποτε n έχουμε

f(n) = f(n+ 0) = f(n) + f(0) = 0 έπεται ότι f(0) = 0 = c0 δηλαδή ισχύει το

αρχικό βήμα Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck για κάθε θετικό ακέραιο kπου είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n isin N ´Ετσι μεταξύ άλλων ως

ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος παίρνουμε f(1) = c και

f(n) = cn Επομένως βρίσκουμε ότι f(n+ 1) = f(n) + f(1) = cn+ c = c(n+ 1)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

Ασκήσεις

1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d Αποδείξτε ότι τοq(n) =sumnk=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d+ 1τέτοιο ώστε q(0) = 0

2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι γιααθροίσματα για κάθε θετικό ακέραιο n

1sumnk=1 k3 =

(sumnk=1 k

)2

2 2(sumnk=1 k

)4=sumnk=1 k5 +

sumnk=1 k7

3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες για κάθεθετικό ακέραιο n

1 του n3 + 11n με το 62 του 8n minus 14n+ 27 με το 7

4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέοςμε το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίωντου είναι διαιρετέο με το 3

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

5 Για τις παρακάτω ακολουθίες που ορίζονταιαναδρομικά βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τουςκι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά

1 a0 = 1an+1 = 10an minus 3 για n ge 12 a0 = 1an+1 = 2

sumni=0 ai για n ge 1

6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2 για n ge 1Αποδείξτε ότι an = 2 middot 3n minus 1 για όλα τα n ge 1

7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 13(2 middot 4n + 1) για όλα τα n ge 1

8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an minus 1 για n ge 1

Αποδείξτε ότι an = 19(8 middot10n+1) για όλα τα n ge 1

9 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n ge 8 ισχύει ηανισότητα 3n gtn4

10 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ηανισότητα n gt nn

3n (όπου n = 1 middot 2 middot middot middot n)

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική

11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Nτέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n gtN ναισχύει η ανισότητα n lt nn

(25)n

12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 =radican + 7 για n ge 1

Αποδείξτε ότι 3 ltan lt4 για όλα τα n ge 1

13 ´Εστω a0 = 0a1 = 1 και an+2 = 6an+1 minus 9an γιαn ge 0 Αποδείξτε ότι an = n middot3nminus1 για όλα τα n ge 0

14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an για n ge 0Αποδείξτε ότι an le 3n για όλα τα n ge 0

15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2n για n ge 1 Αποδείξτεότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια μετα τελευταία n ψηφία του an+1

16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμόςμεγαλύτερος του 2 τότε το n μπορεί να γραφεί ωςγινόμενο πρώτων αριθμών

Μωυσής Α Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εισαγωγή στη Λογική