Работа и енергия

Работа и енергия

Физичната величина работа определя изменението на енергията – преминаването наенергията на една механична система от кинетична в потенциална и обратно, както

и преминаването на механичната енергия в топлинна и т.н… Работата е “посредник”между различните видове енергия.

Работа и енергия имат еднаква мерна единица - Джаул

Работа на сила при праволинейно движение

Работата A на постоянна по големина и посока сила при праволинейно преместване на приложната й точка от т. (1) до т. (2) на разстояние s е :

F

sFsFrFrrFA s .cos...)(. 12

12 rrr

sr

sFF cos.

Работата А е скаларна величина, която в зависимост от ъгъла може да е положителна или отрицателна. Ако силата е перпендикулярна на преместването ( = 90°), работата на тази сила е нула.

Работата се мери в Джаули [A] = J 1 J = 1 N . 1 m

1r

2r

r

F

F

F

F

0

sF

(1)

(2)

Начална точка

Крайна точка

В.Войнов

Работа на сила при криволинейно движение

dsFrdFrdFA s cos.

cos.FFиrdds s

2

1

2

1

12 .s

s

s dsFrdFA

Елементарна работа A , извършена от силата при елементарното преместване :rd

F

s

(1)

(2)

s2s1 ds

dsFA s .sF

0

Геометрична интерпретация на физичната величинаработа (определен интеграл)

Координатно представяне:

dzFdyFdxFA zyx

(1)

(2)

F

F

F

rd

0

1r

2r



Работа А12 на силата при крайно преместване на приложната и точка от положение (1) до положение (2):

F

Обща елементарна работа

1. Обща елементарна работа на няколко сили, действащи върху една частица

1F

4F

3F

2F

2. Обща елементарна работа на всички сили, действащи на всички частици от една система

iF

e равнодействащата сила, действаща на i-тата частицаiF

1

2

i

n1F

2F

nF

n

iii rdFA

1

.

с

с

ii

n

i

rdFA2

11

.

4

1

4

1

..j

jj

j rdFrdFAA

4

1jjFF

е равнодействащата на всички сили

2

1

. rdFA

Пълната работа е:

Мощност на сила

Мощност на сила: физическа величина, която характеризира скоростта за извършване на дадена работа.

dt

AN

vFdt

rdF

dt

rdF

dt

AN

.

.

Единицата за мощност в системата СИ се нарича ват – W или [ N ] = W

s

JW

1

11

Кинетична енергия на частица2

2

1vmK Кинетичната енергия на частица с маса m , движеща

се със скорост се дефинира с формулата:v

Когато върху частицата действа сила ( в общия случай ), скоростта

на частицата с течение на времето се променя. Бързината на тази промяна се определячрез производната на горното равенство по времето t .

F

n

iiFF

1

dt

A

dt

rdFvam

dt

vdvmv

dt

dmv

dt

dmmv

dt

d

dt

dK

.

2

1

2

1

2

1 222

AdK 1212 AKK След интегриране:

Нарастването на кинетичната енергия на едначастица при преместването й от положение (1)до положение (2) е равно на общата работа,извършена при това преместване, от всичкидействащи върху частицата сили.

A12 > 0K2 > K1

A12 < 0K2 < K1

A12 = 0K2 = K1

Кинетична енергия на система от частици

Кинетична енергия на система от частици е суматаот кинетичните енергии на всички частици от системата:

n

iii

n

ii vmKK

1

2

1 2

1

В общия случай на частиците от системата действат вътрешни и външни сили, коитопроменят кинетичните енергии на отделните частици и на системата като цяло.Като се диференцира горното равенство по t се получава бързината на изменение на кинетичната енергия К на системата:

dt

A

dt

AvF

dt

vdvmv

dt

dmvm

dt

d

dt

dK

n

i

in

iii

n

i

iii

n

iii

n

iii

11

11

2

1

2

.

.22

1

2

1

2

1

AdK 1212 AKK След интегриране:

Нарастването на кинетичната енергия на системи от частици е равно на работата навсички сили (вътрешни и външни), действащи на частиците от системата.

В.Войнов

Теорема на КьонигКинетичната енергия на система от частици може да се раздели на две части:

cc KmvK 2

2

1

Където:

n

iimm

1

е масата на системата ,cv е скоростта на центъра на масата, а

2

1

'2

1i

n

iic vmK

кинетична енергия на системата спрямо центъра на маса (С-система).

Доказателство:

cc

n

iii

n

iiicc

n

ii

n

iiicci

n

iici

n

iii

Kmv

vmvmvvm

vvvvmvvmvmK

2

1

2

1

2

1

1

222

11

2

2

1

'2

1'

2

1

''22

1'

2

1

2

1

Импулсът на системата от м.т. спрямо С-системата е нула (втората сума от втория ред).

= 0

Потенциални сили

212121 cba AAA

1212

1

2

12

2

1

2

1

21 .. cb

a

a

aa

a AAArdFrdFrdFA

021211221121 bababa AAAAA

Работата на потенциална сила по произволна затворенатраектория на приложната й точка е равна на нула.

Силата е потенциална, ако работата на тази сила зависи само от началното и крайното положение наприложната й точка. Работата на потенциалната сила не зависи нито отвида на траекторията, нито от закона на движение наприложната й точка:

F

0.

L

rdF

Затворена траектория

(a)

(c)

(b)

(L)


(2)

(1)


Примери за потенциални и непотенциални сили

Потенциални сили

Гравитационна: 221 .

r

mmFG

Електростатична:r

r

r

qqFе

2

21

0

.

4

1

Сила на тежестта: gmG

Еластична сила: xkF

Непотенциални сили

Сила на триене: QFтр

Сила на съпротивление: 221 vkvkFc

Сили, възникващи при пластичнадеформция

Магнитна сила: BvqFл

Потенциална енергия

iF

1

2

i

n1F

2F

nF

Конфигурация (1)

U1 1 2

iF

i

n1F

2F

nF

Конфигурация (2)

U2

Взаимното разположение начастиците в системата сепроменя от конфигурация (1)до конфигурация (2).

Ако силите, действащи на частиците са потенциални, то работата А12 на тези сили за преминаване на системата от началната до крайната конфигурация, не зависи от това как конкретно се осъществява прехода на системата от положение (1) до положение (2). Следователно А12 може да се представи като разлика от стойностите на някаква функция на конфигурацията (на координатите) на системата U , наречена потенциална енергия на системата:

UUUUUA 122112

При малко изменение на конфигурацията, елементарната работата на потенциалните сили е:

dUA Важно!!! Дефинира се точно разлика в потенциалните енергия U на две конфигурации на стемата, а

самата потенциална енергия U се определя с точност до константа ! Във всяка конкретна задача се избира нулева конфигурация .

[ U ] = J

Връзка между сила и потенциална енергия

Работата на потенциална сила приложена върху частица, която извършва елементарнопреместване в пространството се изразява по два начина:

F

rd

dzFdyFdxFrdFA zyx

dzz

Udy

y

Udx

x

UdUA

z

UF

y

UF

x

UF

z

y

x

Връзка между сила и потенциална енергия:

UUgradez

Ue

y

Ue

x

UF zyx

zyx ez

ey

ex

е математическия векторен оператор набла

В.Войнов

Силови полета

Ако във всяка точка на дадено пространство действа определена сила, казваме, че в пространството е зададено силово поле.

Полетата биват : стационарни полето на силата на тежесттанестационарни полето на електростатическата сила

върху неподвижен заряд от странана движещ се заряд

потенциални полето на силата на тежестта,полето на електростатичната сила,полето на еластичната сила, и т.н.

непотенцални полето на силата на триене,полето на силата на съпротивление,полето на силите, възникващи припластични деформации.

хомогенни полето на силата на тежестта вблизост до земната повърхност

нехомогенни електростатичното поле, полето на еластичните сили.

Потенциална енергия на хомогенно силово поле

mghdzGdzGzdGAUU

2

1

2

1

2

1

12 cos21

Полагаме: UUиU 201

Следователно: mghU

Важно !!! Стойостта на потенциалната енергия се пресмята условно в зависимост от къде се мери h (избор на нулева конфигурация).

z

h

0

gmG

m

(2)Крайна точка


(1)

Потенциална енергия на силата на тежестта

mghU

(a) (b)

z

0

h

x

ld

xd

zd

G

2

1

1221a

ldGAUU

Полагаме отново: UUиU 201

Потенциална енергия на силата на тежестта - продължение


(1)

(2)Крайна точка

G

ld

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

aa

aaa

mghGhdzGGdz

zdGxdGzdxdG

(1’)(c)

За изменението на U няма значение по коя траектория

ще се премести тялото отт. (1) до т.(2)

Потенциална енергия в поле на централни сили 1. Потенциална енергия на гравитационната сила

При задачи, в които телата могат да се отдалечават на безкрайноголеми разстояния, обикновено, това полжение се приема за нулеваконфигурация на системата или 0U

r

Mm

zMm

z

dzMm

dzz

MmdzFzdFArUU

rr

rr

G

r

Gr

12

2,

Следователно : r

MmrU

Потенциалната енергия на тяло, лежащо на земната повърхност е :

R

MmRU

m

M

z

GF

r

R

Земя

Потенциална енергия в поле на централни сили 2. Потенциална енергия на електростатичната сила

Нулевата конфигурация обикновено отговаря набезкрайно отдаличените заряди 0U

210

02

02

0

21

11

4

1

444

1

cos

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

rr

Qq

r

Qq

r

drQqdr

r

Qq

drFdlFldFrUrU

r

r

r

r

r

r

r

r

e

r

r

e

r

r

e

Ако се положи r1 = r и r2 = , за потенциалната енергия насистемата от два заряда Q и q , намиращи се на разстояние r ,се получава израза:

r

QqrU

04

Q

eF

rdНачална

точка

(2)

(1)


ld

2r

1r

rq

Полярна координатна система

В.Войнов

Потенциална енергия на елестичната сила

Нулева конфигурация е неразтегната пружина или U(0) = 0 .

Работата на еластичната сила за удължанане (или скъсяване) на пружината с отива за нарастване на потенциалната й енергия.

xxx 0

dxFxdFxUUxx

00

0

2

00 2

1kxxdxkdxkx

xx

Или в крайна сметка потенциалната енергия на деформираната пружина е:

2

2

1kxxU

0xe x

0xe

F

x

елF x

0 xe

F

x

елFx Като се отчете, че kxxkFел

Потенциални сили и техните потенциални енергии

Потенциална сили

Гравитационна: 221 .

r

mmFG


r

r

qqFе

2

21

0

.

4

1

Сила на тежестта: gmG

Еластична сила: xkF

Потенциална енергия

Гравитационна: r

mmUG

21 .


qqU е

21

0

.

4

1

Сила на тежестта: mghU

Еластична сила:2

2

1xkF

Механична енергия

Нарастването на кинетичната енергия на система от n частиципри малко преместване на системата е:

n

iiAdK

1

На всяка частица от системата действат потенциални и непотенциални сили,следователно общата елементарна работа при преместването на i-тата частица е:

НПСi

ПСii AAA

ПСiA

НПСiA

Елементарна работа на потенциалните сили

Елементарна работа на непотенциалните сили

НПСn

i

НПСi

n

i

ПСi AdUAAdK

11

dUAn

i

ПСi

1

AAn

i

НПСi

1

НПСAdEUKddUdK )(

EUK JE

Пълната механична енергия (механичната енергия) Е е равна на сумата от кинетичната K и потенциална U енергия на системата.

Закон за запазване на пълната механична енергия

НПСAdE Нарастването на механичната енргия на една система е равно насумата от работиете на всички непотенциални сили действащи на системата.

За затворена система силите са само вътрешни : НПСinAdE

Работата на силите на триене и съпротивление е винаги отрицателна или механичната енергия на затворена системапри наличие на непотенциални сили винаги намалява – превръща се в топлина. Процесът се нарича дисипация (разсейване) на енергия, а силите и системите – дисипативни.

constUKE

Затворена механична система, в която не действат дисипативни сили се наричат консервативни ( )За такива системи механичната енергия не се изменя с времето или е в сила Законът за запазване на механичната енергия:

0НПСA

constmghmvUKE 2

2

1Например за затворената система Земя – тяло с маса m :

Закон за запазване на маханчната енергия - продължение

Законът за запазване на механичната енергия е в сила и за отворени консервативни системи.

Една механична система е консервативна, ако работата на всички непотенциални сили (вътрешни и външни) е равна на нула, а всички външни сили са стационарни(не се изменят с времето).

В най-общ вид законът за запазване на енергията гласи, че механичната енергия на консервативна система не се изменя с времето.

constUKE

Механично равновесие

При механично равновесие частиците на системата са в покой и кинетичната енергия на такава система е нула, т.е. системата има само потенциална енергия. От състояние на механично равновесие системата може да се изведе само чрез въздействие на външни сили.

При нарушаване на равновесието възникват сили, които се стремят да върнат системата в равновесното й

положение. В състояние на устойчиво равновесие потенциалната енергия

на системата има минимум.

УСТОЙЧИВО РАВНОВЕСИЕ

При нарушаването му възникват сили, които се стремят да отдалечат системата от равновесното й положение. В състояние на неустойчиво равновесие

потенциалната енергия на системата има максимум.

НЕУСТОЙЧИВО РАВНОВЕСИЕ

F

rF F

rF

В.Войнов

Потенциални криви

На графиката е показана потенциалната енергия на частица, движеща се в потенциално силово поле, като функция на една координата - х.

Потенциална крива : xUU

xUxKE

Механична енергия

Области (ab) и (cd) –потенциални бариериОбласт (bc) – потенциална яма

В точки е и g – неустойчиво равновесиеВ точка f – устойчиво равновесие

В точките a, b, c и d – смяна на посоката на движение

ОБЛАСТИІ – разрешенаІІ – забранена

ІІІ – разрешенаІV – забраненаV - разрешена

Удар между две тела

С1

С2

1v

2v

Линия на удараЦентрален удар – С1 и С2 лежат на

линията на удара.

Фази на удара 1. Кинетичната енергия на телатапреминава в потенциална енергияна деформацията.2. Потенциалната енергия наеластичната деформация преминавав кинетична енергия на телата.

Гранични случаи – 1. Абсолютно нееластичен удар2. Абсолютно еластичен удар

Прав (челен) - скоростите и в началотона удара са насочени усподеднона линията на удара.

1v

2v

Абсолютно елестичен прав централен удар на две сфери, едната от които е неподвижна

ПРЕДИ УДАРА

1v

m1 m2

x

СЛЕД УДАРА

1u

2u

m1 m2

x

Анализ: В сила са както законът за запазване на импулса, така и законът за запазване напълната механична енергия, защото ситемата е затворена и дисипативни сили няма.

221111 umumvm

222

211

211 2

1

2

1

2

1umumvm

Откъдето:1

21

211 v

mm

mmu

121

12

2v

mm

mu

Частни случаи : 1) m1 = m2 = m - u1 = 0, u2 = v1

2) m2 >> m1 u1= - v1 , u2 = 0

Кос централен удар на две еластични сфери

Ако няма сили на триене по време на удара : 2211 vuиvu

Нормалните компоненти се изменят както при прав централен удар: nn v

mm

mmu 1

21

211

nn v

mm

mu 1

21

12

2

n

1v

2v

2v

1v

nv1

nv2

m1

m2


n

m1 m2

1u

2u

1u

nu1

2u

nu2

СЛЕД УДАРА

Частен случай: m1 << m2, u2 = v2 = 0 :(удар на тяло в стена)

nn vuиvu 1111

Абсолютно нееластичен централен удар

1v

m1 m2

x

2v


u

m1+ m2

x

СЛЕД УДАРА

Анализ : Системата е затворена и е в сила законът за запазване на импулса. Законът за запазване на енергията не е в сила защото силите при пластична деформацияса дисипативни.

ummvmvm

)( 212211 или21

2211

mm

vmvmu

При този удар се губи механична енергия !

Тест

1. Дефиниция на елементарна работа 2. Работа при преместване от положение (1) в (2)

3. Кога работата на силата е > 0 ? 4. Кога работата е < 0 ?

5. Графично представяне на работата, когато Fs = const

6. Графично представяне на работата,когато Fs не е const.

7. Кога работата е равна на нула? 8. Мощност - дефиниция

9. Мерна единица за работа. 10. Мерна единица за мощност.

11. Консервативни сили - дефиниция 12. Неконсервативни сили - дефиниция

13. Кои закони за запазване са в силапри еластичен удар ?

14. Кои закони за запазване са в силапри нееластичен удар ?

Education

Работа и енергия