КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ.У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного кореня з невідємного числа. Узагальнимо це поняття, визначивши поняття кореня з довільним натуральним показником, більшим від 1.Як відомо, квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно визначається поняття кореня довільного натурального степеня п з числа а.Коренем п-го степеня (n N, n > 1) з числа а називається число, п-й степінь якого дорівнює а.Запис:

- радикал;п – показник кореня;а – підкореневий вираз.

Розв язання коренів При парному п існує два корені п-го степеня з будь-якого додатного числа а. Корінь п-го степеня з числа 0 дорівнює нулю. Коренів парного степеня з відємних чисел не існує. При непарному п існує корінь п-го степеня з будь-якого числа а, і тільки один.

Властивості кореня п-го степеня (n N, m Z)1)

2)

3)

4) - основна властивість кореня

5)

6) Якщо 0 а < b, то

СТЕПЕНІ З РАЦІОНАЛЬНИМИ ПОКАЗНИКАМИ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІЗ курсу алгебри відомо, що степінь з натуральним показником обчислюється за формулою:

Розглянемо випадок, коли показник степеня є раціональним числом.

Відомо, що раціональне число можна записати у вигляді , де т Z, п N.

Степенем числа а > 0 з раціональним показником , де т Z, п N (п >1), називається

число .

Властивості степеня з раціональним показникомДля будь-яких rQ і sQ, та будь-яких a>0, b>0 правильні рівності:

aras = ar+s

При 0 < a < b:

При r > s:

Важливі значення степеня:

СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИРозглянемо степінь хп при п R і х >0.Якщо п – стале, а основа х – змінна, то у = хп є функцією аргументу х тобто f(x) = xn .

Функцію f(x) = xn, де п – стале дійсне число, а основа х – змінна, називають степеневою функцією.Властивості степеневої функції залежать від того, яким числом є показник п. Щоб встановити властивості функції користуються схемою дослідження функцій.Схема дослідження функції:

1) Дослідити область визначення функції.2) Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.3) Визначити координати точок перетину графіка з осями координат.4) Дослідити проміжки знакосталості функції.5) Визначити проміжки зростання і спадання функції.6) Дослідити функцію на екстремуми.7) Встановити характерні точки функції.8) Побудувати графік функції.

ДОСЛІДЖЕННЯ СТЕПЕНЕВОЇ ФУНКЦІЇ.1. nN, п – непарне.

Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) х = 0, у = 0. якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y < 0.(графік розміщений у І і ІІІ чвертях) Функція зростає на всій області визначення, монотонна. Точок екстремуму немає. Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). Графік: при п = 1 є пряма у = х; при п = 3; 5; 7;… є криві, симетричні відносно

початку координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.

2. nN, п – парне. Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY) х = 0, у = 0. якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y > 0.(графік розміщений у І і ІІ чвертях)

Функція зростає при х > 0 /x (0; +∞) /; спадає при х < 0 /х (- ∞ ; 0) /. Точка екстремуму: (0; 0) – точка мінімуму. Характерні точки (1; 1) і (-1; 1). Графік: при п = 2; 4; 6;… є криві, симетричні відносно осі OY і розміщені у І і ІІ

чвертях.

3. nZ, n < 0, п – непарне. Функція непарна. (графік симетричний відносно початку

координат) Точок перетину з осями немає. якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y < 0.(графік

розміщений у І і ІІІ чвертях) Функція спадає на всій області визначення, монотонна. Точок екстремуму немає. Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). Графік – це криві, симетричні відносно початку координат

і розміщені у І і ІІІ чвертях.

4. nZ, n < 0, п – парне. Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY) Точок перетину з осями немає. якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y > 0.(графік

розміщений у І і ІІ чвертях) Функція спадає при х > 0 / x (0; +∞) /; зростає при

х < 0 / х (- ∞ ; 0) /. Точок екстремуму немає. Характерні точки (1; 1) і (-1; 1). Графік – це криві, симетричні відносно осі OY і

розміщені у І і ІІ чвертях.

5.

Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) x = 0, y = 0. якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y < 0.(графік

розміщений у І і ІІІ чвертях) Функція зростає на всій області визначення,

монотонна. Точок екстремуму немає. Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). Графік – це криві, симетричні відносно початку

координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.

6.

Функція несиметрична. x = 0, y = 0. якщо x > 0, то y > 0.(графік розміщений у І чверті) Функція зростає на всій області визначення, монотонна. Точок екстремуму немає. Характерна точка (1; 1). Графік – це криві, розміщені у І чверті.

ПОКАЗНИКОВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИВикористовуючи степінь можна записати дві різні відповідності:

між значенням степеня і значенням основи ( хп ); між значенням степеня і значенням показника степеня (ах).

хп – степінь із змінною основою і сталим показником.ах – степінь із сталою основою і змінним показником.Функція, задана формулою y = ax, де а > 0, a ≠ 1, називається показниковою функцією за основою а. Є два види показникової функції за основою а:

показникова функція за основою 0 < a < 1; показникова функція за основою a > 1.

Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних функцій і на основі їх будувати графіки, але важливими є і навики "читання" графіка функції. Тому в процесі вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її графіки, а потім, "читаючи" їх, визначимо її властивості.

Побудуємо графіки функцій: , , у = 2х , у = 3х.

y=2x y=3x y=0,5x y=(2/3)x

x y x y x y x y-3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4

-2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8-2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3

-1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8-1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5

-0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,20 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0

0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,81 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7

1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,52 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4

2,5 5,7 2,5   2,5 0,2 2,5 0,43 8,0 3   3 0,1 3 0,3

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y=2x y=3x y=0,5x у=(2/3)х

Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які основні властивості має показникова функція у = ах:

1) область визначення: D(y) = (- ∞; +∞);область значень: E(y) = (0; +∞).

2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок перетину з віссю

ОХ немає.4) Проміжки знакосталості: x > 0, y > 0 (I чверть), x < 0, y > 0 (ІІ чверть).5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (- ∞; +∞);

при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (- ∞; +∞).6) Екстремумів немає.7) Характерна точка (0; 1)

Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною функцією. Графік показникової функції називається експонентою.

ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІПоказниковими називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів, а основи є сталими.Найпростішим показниковим рівнянням є:

ax = b, a > 0, b > 0, a ≠ 1aбо af(x) = b, a > 0, b > 0, a ≠ 1

Загального методу розв’язування показникових рівнянь немає.При розв’язуванні показникових рівнянь можна звести ліву і праву частини цього рівняння до степенів з однаковою основою, а потім перейти від порівняння степенів з однаковою основою до порівняння їхніх показників. Інший метод: спробувати звести показникове рівняння до квадратного рівняння, ввівши нову змінну.

Показниковими називають нерівності, в яких невідоме входить лише до показників степенів, а основи є сталими.Найпростіші показникові нерівності (a > 0, b > 0, a ≠ 1):

aх > b, ax < b, af(x) > ag(x), af(x) < ag(x)

Розвязуючи показникові нерівності виду af(x) > ag(x) або af(x) < ag(x), при переході від порівняння степенів до порівняння їхніх показників, слід пам’ятати властивості степеня з різними основами. Якщо а > 1, то при переході до порівняння показників знак нерівності залишається таким самим. Якщо 0 < a < 1, то при переході до порівняння показників потрібно знак нерівності змінити на протилежний.

ЛОГАРИФМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІНехай а – додатне число, а ≠ 1.Число у називається логарифмом числа х за основою а, якщо х = ау.Число а називається основою логарифма.Запис: y = logaxОтже y = logax рівносильне х = ау, при а > 0, а ≠ 1.Тоді – основна логарифмічна тотожність.Іншими словами, логарифм числа х за основою а – це показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержати х. Основні властивості логарифмів

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Наслідки:

4*) якщо , то

4**) якщо , то

5*) якщо а = р, то

Логарифм числа за основою 10 називається десятковим.Запис: Логарифм числа за основою е називається натуральним.Запис: Логарифм нуля і відємних чисел не існує, оскільки рівняння ах = 0 і нерівність ах < 0 при а > 0 не мають розвязків. Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою.Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають саме число.Обчислення логарифмів:

будь-яке число а > 0 має тільки один логарифм; відємні числа і нуль логарифму не мають; логарифм одиниці дорівнює нулю: ; логарифм основи дорівнює одиниці: .

ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ.Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax. Отже logax при заданому а (а > 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+.

Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а > 0, а ≠ 1).Оскільки рівності y = logax і х = ау за означенням логарифма визначають один і той самий звязок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є оберненими.А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х. Використаємо це для побудови графіка логарифмічної функції.

Спочатку побудуємо графіки в такій послідовності: у = 2х → у = х → y = logax.