Μαθηματικα Α γυμνασιου

minimath.eu

Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια και ασκησεις

Periklis Perros

σελ. 2 απο 19 μαθηματικα Α γυμνασιου minimath.eu

Περιεχομενα

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ___________________________________________________________________________________________________________________________________ 3

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ___________________________________________________________________________________________________________________________ 3

ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ____________________________________________________________________________________________________________________________ 3

ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ _____________________________________________________________________________________________________________________ 3

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ____________________________________________________________________________________________________________________________ 3

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 4

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ___________________________________________________________________________________________________________________ 4

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4

Η ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 4

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 5

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 5

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ _____________________________________________________________________________________________________________________________ 6

ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ _____________________________________________________________________________________________________________________________________ 6

ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ___________________________________________________________________________________________________________________________________ 6

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ ____________________________________________________________________________________________________________________________ 6

ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ________________________________________________________________________________________________________________________________ 7

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ _________________________________________________________________________________________________________________________________ 7

ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΩΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ _____________________________________________________________________________________________________________________ 7

ΘΕΤΙΚΟΙ & ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ______________________________________________________________________________________________________________________ 8

Η ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 8

Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΩΝ AΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ________________________________________________________________________________________________________________________ 8

ΔΙΑΤΑΞΗ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΡΙΘΜΩΝ ________________________________________________________________________________________________________________________ 8

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ____________________________________________________________________________________________________________ 9

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ _________________________________________________________________________________________________________________________________ 10

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ _______________________________________________________________________________________________________________________ 11

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ ___________________________________________________________________________________________________________________________ 11

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΕΚΘΕΤΗ _________________________________________________________________________________________________________________________ 12

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ 13

ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ___________________________________________________________________________________________________________________________________ 14

ΚΛΙΜΑΚΕΣ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________ 14

ΠΟΣΟΣΤΑ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ 15

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ _____________________________________________________________________________________________________________________________ 15

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΣΟΣΤΩΝ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 15

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ _____________________________________________________________________________________________________________________ 16

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ _________________________________________________________________________________________________________________________________________ 17

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 17

ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ _______________________________________________________________________________________________________________________________________ 17

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ __________________________________________________________________________________________________________________ 18

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ __________________________________________________________________________________________________________________________________ 19

ΚΥΚΛΟΣ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 19


Φυσικοι αριθμοι

Προσθεση φυσικων αριθμων

Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους προσθεσουμε και να

βρουμε το αποτελεσμα με τον γνωστο τροπο:

9387183

+ 650349

_____________

Για την προσθεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες:

Η προσθεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο:

2724 0 2724

Αντιμεταθετικη ιδιοτητα , που σημαινει οτι με οποια σειρα και αν προσθεσουμε

θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα:

37 21 21 37 58

Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια

σειρα και αν προσθεσουμε παλι θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα:

16 4 9 16 13 29

16 4 9 20 9 29

16 4 9 29

Στρογγυλοποιηση φυσικων αριθμων

Μπορουμε να στρογγυλοποιησουμε εναν φυσικο αριθμο σε

μια συγκεκριμενη ταξη ψηφιων. Για παραδειγμα, εστω οτι

θελουμε να στρογγυλοποιησουμε τον αριθμο 9.573.842 στις

εκατονταδες:

9.573.842

Ελεγχουμε το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 4 . Επειδη 4 5

η στρογγυλοποιηση θα γινει ως εξης:

9.573.800

Για να στρογγυλοποιησουμε τον ιδιο αριθμο στις χιλιαδες:

9.573.842

Ελεγχουμε ξανα το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 8 . Επειδη

8 5 η στρογγυλοποιηση θα γνει ως εξης:

49.57 .000

Ορισμος φυσικων αριθμων

Οι φυσικοι αριθμοι ειναι ολοι οι γνωστοι μας αριθμοι:

1, 2, 3, 4, 5, ....

Το συνολο των φυσικων αριθμων συμβολιζεται ως

{1,2,3,4,5,6,.....}

Μπορουμε να διαταξουμε ολους τους φυσικους πανω σε μια

ευθεια γραμμη:

Αρα αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε να

αποφασισουμε αν ειναι ισοι η αν ο ενας ειναι μικροτερος απο

τον αλλον. Για παραδειγμα:

45 45

28 18

71 81

450 45

532 523

0 12

8 0

8746 8761

199 190

Αφαιρεση φυσικων αριθμων

Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους αφαιρεσουμε (τον

μικροτερο απο τον μεγαλυτερο) και να βρουμε τη διαφορα τους με τον γνωστο τροπο:

9387183

650349

_____________

Για την προσθεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες:

Η αφαιρεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο:

243 0 243

Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια

σειρα και αν αφαιρεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα:

16 9 4 16 5 21

16 9 4 25 4 21

16 9 4 21

91 51 18 91 51 18 40 18 22


Πολλαπλασιασμος φυσικων αριθμων

Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους

πολλαπλασιασουμε και να βρουμε το αποτελεσμα (γινομενο) με

τον γνωστο τροπο:

938204

915

_____________

Για τον πολλαπλασιασμο φυσικων ισχυουν οι παρακατω

ιδιοτητες:

Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με το 0 ισουται παντα με 0:

2724 0 0

Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με 1 ισουται παντα με τον

ιδιο τον αριθμο:

364 1 364

Αντιμεταθετικη ιδιοτητα:

6 9 9 6 54

Προσεταιριστικη ιδιοτητα:

3 4 2 3 8 24

3 4 2 12 2 24

3 4 2 24

Οταν πολλαπλασιαζουμε εναν αριθμο με 10, 100, 1000 κλπ

τοτε τα ψηφια του αριθμου μενουν ιδια μονο που στο

τελος προσθετουμε τα αντιστοιχα μηδενικα:

573 10 5730

935 100 93500

56 1000 56000

Επιμεριστικη ιδιοτητα

Η επιμεριστικη ιδιοτητα ειναι απο τις σημαντικοτερες ιδιοτητες των αριθμων. Ας την

καταλαβουμε με μερικα παραδειγματα:

4 2 5 4 7 28

4 2 5 4 2 4 5 8 20 28

6 10 3 6 7 42

6 10 3 6 10 6 3 60 18 42

12 102 12 100 2 12 100 12 2 1200 24 1224

34 99 34 100 1 34 100 34 1 3400 34 3366

Δυναμεις

Ο τροπος ορισμου της δυναμης φαινεται στα παρακατω παραδειγματα:

2 3

7 479

2 3

9 352

1 2

3 4

2 3

2 3

2 3

4 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 8 2

3 3 3 9 3

4 4

10 10 10 100 10

10 10

Η σειρα των πραξεων

Οταν θελουμε να βρουμε την τιμη μιας αλγεβρικης παραστασης πρεπει να

ακολουθησουμε την παρακατω σειρα των πραξεων:

Ως παραδειγμα, υπολογιστε τις παρακατω παραστασεις:

4 2

32

2

2 2

2 5 4 3 2

5 4 2 1

6 4

6 4

παρενθεσεις δυναμεις πολλαπλασιασμοι

& διαιρεσεις προσθεσεις &

αφαιρεσεις


Διαίρεση φυσικών

Ευκλείδεια διαίρεση

Η διαίρεση δύο φυσικών ονομάζεται και Ευκλείδια διαίρεση. Αν μας δωθούν δύο φυσικοί αριθμοί, π.χ. το 14 και το 3, ειναι χρησιμο να ξερουμε

πόσες φορές χωράει ο ένας στον άλλον. Μπορουμε λοιπον να γράψουμε « το 3 χωράει 4 φορές στο 14 και περισσεύουν 2 » :

14 3 4 2

Διαιρετέος (Δ) = διαιρέτης (δ) πηλίκο (π) + υπόλοιπο (υ)

Σε μια ευκλειδεια διαιρεση το υπόλοιπο μπορεί να είναι και 0. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε το 45 με το 5: 45 5 9 0 . Τότε λέμε ότι το 5

δαιρεί (ακριβώς) το 45 και εχουμε τελεια διαιρεση.

Σε κάθε ευκλείδια διαίρεση το υπόλοιπο είναι παντα μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και (αυστηρα) μικρότερο από το διαιρέτη:

0 υπόλοιπο διαιρέτης

Ως παραδειγμα, συμπληρωστε τις παρακατω ευκλειδειες διαιρεσεις:

24 4

17 4

50 4

39 4

Παραδειγματα:

Γραψτε την ευκλειδεια διαιρεση των παρακατω αριθμων:

12 , 7 35 , 9 5 , 10 8 , 6 7, 3 63 , 4

20 , 20 15 , 1 0 , 14 7 , 0 44 , 8

Προτασεις σωστου – λαθους:

Αν διαιρεσουμε οποιονδηποτε αριθμο με το 6, τα δυνατα υπολοιπα ειναι 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Αν διαιρεσουμε οποιονδηποτε αριθμο με το 3, τα δυνατα υπολοιπα ειναι 0, 1, 2.

Το υπολοιπο ειναι δυνατον να ειναι ισο με το διαιρετη.

Καθε αριθμος διαιρειται ακριβως με τον εαυτο του.

Καθε αριθμος διαιρειται ακριβως με το 1.

Ο διαιρετεος μπορει να ειναι 0.

Ο διαιρετης μπορει να ειναι 0.

Το πηλικο μπορει να ειναι 0.

Η ισοτητα 24 = 28 + 8 ειναι ευκλειδεια διαιρεση.

Για να χτιστει ενα τουβλινο κοτετσι χρειαζονται 120 τουβλα. Ενας κατασκευαστης παρηγγειλε 5

παλετες των 49 τουβλων η καθε μια. Ποσα κοτετσια μπορει να φτιαξει και ποσα τουβλα θα του

περισσεψουν;


Πολλαπλάσια και διαιρέτες

Καθε φυσικος αριθμος εχει πολλαπλασια και διαιρέτες. Για παραδειγμα, οι διαιρετες του 15 ειναι οι αριθμοι 1, 3, 5, 15. Τα πολλαπλασια του 15

ειναι οι αριθμοι 15, 30, 45, 60, 75, ...

Καθε αριθμος εχει σιγουρα ως διαιρετες το 1 και τον εαυτο του.

Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι απειρα ενω οι διαιρετες πεπερασμενοι.


Διαλεξτε τρεις φυσικους αριθμους απο 30 μεχρι 50 και καταγραψτε ολους τους διαιρετες τους και τα πρωτα 3 πολλαπλασια τους.

Βρειτε 10 αριθμους μεγαλυτερους του 1 που οι μονοι διαιρετες τους ειναι το 1 και ο εαυτος τους.

Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 16.

Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 40.

Βρειτε τον μεγαλυτερο απο τους κοινους διαιρετες των 16 και 40, δηλαδη τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) των αριθμων.

Βρειτε το μικροτερο απο τα κοινα πολλαπλασια των 16, 40, δηλαδη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών.

Υπολογισμός ΕΚΠ και ΜΚΔ

Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και 5940. Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω

βήματα:

1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:

3 2 2

2 3 1 1

1800 2 3 5

5940 2 3 5 11

2. Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι 2, 3 και 5) και τους υψώνουμε στη

μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται:

2 21800,5940 2 3 5 180

3. Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην

οποία εμφανίζονται:

3 3 21800,5940 2 3 5 11 59400

Άρτιοι και περιττοί

Άρτιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που

διαιρούνται ακριβώς με το 2:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, .... κλπ

Περιττοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που

δεν διαιρούνται ακριβώς με το 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, .... κλπ

Πρώτοι και σύνθετοι

Αν ένας φυσικός αριθμός έχει ως μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του, τότε λέγεται πρώτος

αριθμός. Όλοι οι φυσικοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι.

Πρωτοι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ....

Συνθετοι: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, ....

Καθε σύνθετος μπορεί να γραφτεί με μοναδικο τροπο σαν γινόμενο πρώτων:

230 2 3 5 49 7 7 7

792 ? 4200 ?


Δεκαδικοι αριθμοι

Κριτήρια διαιρετότητας

Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 τότε διαιρείται με το 10, αν ένας αριθμός τελειώνει σε 00 τότε διαιρείται με το 100, κ.ο.κ.

Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0, 2, 4, 6 ή 8 τότε διαιρείται με το 2.

Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 ή 5 τότε διαιρείται με το 5.

Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 3 ή με το 9 τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 3 ή με το 9 αντίστοιχα.

Αν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 25, τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 4 ή

το 25 αντίστοιχα.

Εξεταστε αν οι παρακατω αριθμοι διαιρουνται με το 10, το 2, το 3, το 4, το 5, το 9 και το 25:

10 2 3 4 5 9 25

654357

3785110

19349

101010

111111112

42746025

901816

Τα κλασματα ως δεκαδικοι αριθμοι

Καθε δεκαδικος ισουται με με ενα κλασμα. Αντιστροφα, καθε κλασμα ισουται με εναν δεκαδικο.

Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε δεκαδικους αριθμους χρησιμοποιωντας την ευκλειδεια διαιρεση:

35

8

25

8

4

7

203

99

25069

9000

6,25

2


Θετικοι & αρνητικοι αριθμοι

Διαταξη

Τοποθετηστε το σωστο σημα “ < ” , “ > ” , “ = “

3 2

99 100

1 0

0 4

10 11

3 38

2,65 2,56

9 12

11 11

3 3

7 5

4 3

3 4

5 2

2 5

3 3

2 2

9 5

6 6

Τοποθετηστε σε φθινουσα σειρα τους

παρακατω αριθμους:

0, 3, 9 , 4, 3, 10, 8, 5 , 7

Αν x , να βρειτε ποσοι και ποιοι αριθμοι

ικανοποιουν τις παρακατω σχεσεις:

4 1 2 4

1 2 5 0

x x

x x

Η σειρά των πράξεων

1. Παρενθέσεις (από τις εσωτερικές προς τις εξωτερικές)

2. Απολυτες τιμες

3. Δυνάμεις

4. Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις

5. Προσθέσεις & αφαιρέσεις

παρενθεσεις

(απο μεσα προς τα εξω)

απολυτες τιμες δυναμεις πολλαπλασιασμοι &

διαιρεσεις προσθεσεις &

αφαιρεσεις

Βασικες πραξεις μεταξυ αριθμων

Καντε τις παρακατω πραξεις:

8,4317 1000 0,007645 10000000

86400 257

10000 10000

35 1000

7 100000

16 10000

8 1000

7400000000

2000000

1,2 0,7

15,82 2,3

0,004 9,21

6 0,75 345

0,003 0,5 5

456 9 67 2

9 456 2 67

89 89

3 3

1 014 14 1

14 3435

9987 9987

30 564

1 564

1

0 1523 4368 127 01523

Η ευθεια των aκεραιων αριθμων


Πραξεις μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων

Καντε τις παρακατω πραξεις:

3

3

13 4

13 4

13 4

13 4

2 3 10 4 9 99

4 ( 2) ( 3) ( 6) ( 5) ( 8)

2 3 10 ( 5) ( 1) ( 2) 1 ( 4)

15 6 112

12 4 6

7

4 2 3 1 ( 5) ( 2) 1

5 ( 1) 6 1 3 2 6 7

3 2 5 6

10 3 1 2

19

2 20 3

3 3 2 1

4 5 10 2


Επιμεριστικη ιδιοτητα

3 4 3 16 5 27 5 3

2,55 12 6,45 12 5 156 5 155

6 610 3

7 7

5 53 13

8 8

10,4 0,3 10,4 1,7


Βασικες ιδιοτητες των δυναμεων

1 2 3 5

12347 938 1 3 2

9

83 59 50

83 59 5

4 5 7 8

3 5 6

13

6 6 2 2 13

3 2 14

4 5 6

73 4 8

3 4 5

32

4

10 10 10 2

100 1 513 2 2

10

2 ( 10) 23899

2 ( 10) 238

10 10 100 10 10 10

2 1000 10 100 10 50 10

12 5 5 4 7

7

5 5 10

5 10 10

8 27 2 9

2 9 9 2

6 4

6

54

18

?2 2 2

?2 2 2

4

3 7 3 7

(10 5) 10 5

Δυναμεις με αρνητικη βαση

1 4 7 10 82 735

44 177 109

7

3 2

4

6 73

4 5

5 4 3

5 4 3

562

3 6 3

47

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 ( 1)

10( 10) ( 10)

10

4 ( 9)2

( 4) 9

24 8 10

12 ( 4) ( 5)

( 10)( 10) ( 10) ( 2)

( 10)


Δυναμεις με αρνητικο εκθετη

32

12 9 2 6 1

28 6 9 10 18 15

3

5 34

5 4 3

23

53 3

6 69

23

24 2211

30

3 2

2 2 2 2 2

1010 10 ( 10) ( 10) 10 10

10

24 108

12 ( 4) 5

( 10)

( 235) (235)

2 10 4 109 10

3 10

6 10 7 104 10

700 10


Εξισωσεις

3 9

2 10

6 1,2

5 2

84

2

7 14

5 10

9 3

6 2

5

x

x

x

x

x

x

2 64

5 11

100 1240

9 0

0 7

9 81

3 3

35 7

x

x

x

x

x

x

x

x

5 9

10 20

3 2 8

2 1 5

2 1 9

0,8 1 9

5 5 6 80

5 2 7 8

1 3

3 2

2 43

18 7,6

1 5

4 6

1 1 3

3 6 4

9 10 2 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x x x x x


Αναλογα ποσα

Δυο μεταβαλλομενα ποσα ,x y λεγονται αναλογα αν το κλασμα τους ειναι σταθερο: y

ax , οπου a καποιος αριθμος (συντελεστης αναλογιας).

Για παραδειγμα, τα χρηματα που θα πληρωσουμε για εμφιαλωμενο νερο ειναι αναλογα με τον αριθμο των μπουκαλιων που θα αγορασουμε. Αν

αγορασουμε 1 μπουκαλι νερο θα πληρωσουμε 1 €, για 2 μπουκαλια θα πληρωσουμε 2 €, για 3 μπουκαλια 3 € κ.ο.κ.

Δωστε τρια παραδειγματα αναλογων ποσων.

Στον παρακατω πινακα φαινεται το βαρος ενος ανθρωπου ως προς την ηλικια του. Ειναι τα ποσα αναλογα;

ηλικια (ετη)

x

1 2 3 4 5 10

βαρος (kg)

y

10 15 19 25 34 40

Ενας καρπουζοπαραγωγος πουλαει καρπουζια προς 0,5 € / kg. Αν x ειναι η ποσοτητα που πουλησε σε κιλα και y το κερδος του σε ευρω,

γραψτε τη σχεση μεταξυ του x και του y και στη συνεχεια συμπληρωστε τον παρακατω πινακα:

ποσοτητα που

πουλησε (kg) x

5 10 20 30 40 55

κερδος (€) y 7,5 13 19

Απο τα 100 kg σταφυλια βγαινουν 60 kg κρασι. Ενας αμπελουργος θελει να γεμισει 10 βαρελια των 30 kg το καθενα με κρασι. Ποσα kg σταφυλια

πρεπει να χρησιμοποιησει;

Το θαλασσινο νερο περιεχει αλατι σε ποσοστο 3 %. Ποσα kg θαλλασσινο νερο πρεπει να εξατμιστουν για να παρουμε 50 kg αλατι;

Κλιμακες

Η κλιμακα ειναι μια αναλογια μεταξυ αποστασεων. Για παραδειγμα, αν ενας χαρτης εχει κλιμακα 1:1000 αυτο σημαινει οτι 1 cm στο χαρτη αντιστοιχει σε

1000 cm στην πραγματικοτητα.

Για να λυσουμε προβληματα με κλιμακες σχηματιζουμε καταλληλη ισοτητα κλασματων.


Με βαση τον διπλανο χαρτη υπολογιστε την πραγματικη αποσταση που αντιστοιχει στο

κοκκινο ευθυγραμμο τμημα:

Ένα πεζοπόρος βλεπει στον οριζοντα το ορος Βόρας. Ως καλος γεωγραφος γνωριζει οτι το βουνο εχει υψος περίπου 2500 m. Στο σακιδιο του

διαθετει μια μετροταινια. Αν κρατήσει το χέρι του 20 cm από τα μάτια του και μετρήσει το εικονικό ύψος του βουνού θα το βρεί 5 cm.

Βρειτε την κλιμακα υπο την οποια βλεπει τις αποστασεις.

Βοηθηστε τον πεζοπορο να βρει ποσο περιπου απεχει απο τους προποδες του βουνου.


Ποσοστα

Ορισμος ποσοστων

Το ποσοστό επί τοις εκατό (%) είναι ένα κλάσμα με

παρονομαστή το 100.

Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ποσοστό επί

τοις εκατό, αλλα και αντιστροφα, καθε δεκαδικο αριθμο

μπορουμε να τον μετατρεψουμε σε κλασμα:

1 1 50 5050%

2 2 50 100

9 0,8181 1000,8181... 81,81%

11 100

0,2 0,2 100 200,2 20%

1 1 100 100

Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα και δεκαδικους σε

ποσοστα επι τοις εκατο ( % ):

0,73125

0,0945

0,0001

2,1

1

2

5

7

20

3

20

348

500

585

800

Προβληματα με ποσοστα

Το εισητηριο του λεωφορειου κοστιζε 0,4 € το 2010 και η τιμη του διπλασιαστηκε

μεσα σε 4 χρονια. Βρειτε την ποσοστιαια αυξηση στην τιμη του εισητηριου.

Σε ενα κυλικειο η τυροπιτα κοστιζει 1,2 € και ενα μπουκαλι νερο 0,5 €. Την

επομενη χρονια η τιμη της τυροπιτας εχει μειωθει κατα 25 % και το μπουκαλι

νερο κοστιζει 0,6 €.

Ποια θα ειναι η νεα τιμη της τυροπιτας;

Ποιο ειναι το ποσοστο αυξησης του ενος μπουκαλιου νερου;

Η μηνιαια καρτα απεριοριστων διαδρομων κοστιζει 22 € και η τιμη της

προκειται να αυξηθει κατα 75 %. Ενα εισητηριο μιας διαδρομης κοστιζει 0,7 € και

η τιμη του προκειται να αυξηθει κατα 50 %.

Καποιος εργαζομενος παιρνει το λεωφορειο για να παει και να γυρισει απο τη

δουλεια του καθε μερα, για 20 φορες το μηνα.

Ποια θα ειναι η νεα τιμη της καρτας και ποια η νεα τιμη του

εισητηριου;

Τι συμφερει τον εργαζομενο, η καρτα ή τα εισητηρια;


Αντιστροφως αναλογα ποσα

Δυο μεταβαλλομενα ποσα ,x y λεγονται αντιστροφως αναλογα αν το γινομενο τους ειναι σταθερο: y x a οπου a καποιος σταθερος αριθμος.

Ενας αγροτης θελει να γεμισει μια δεξαμενη χωρητικοτητας 150 lt με νερο χρησιμοποιωντας διαφορες παροχες. Αν αυξησει την παροχη του

νερου τοτε ο χρονος που χρειαζεται για να γεμισει η δεξαμενη μειωνεται. Βοηθηστε τον αγροτη να συμπληρωσει τον παρακατω πινακα:

ροη νερου (lt / h)

x

5 10 30 45

χρονος γεμισματος

(h)

y

30 10 8 3

Σε ενα αγροκτημα τοποθετησαν ντοματες σε 50 καφασια που το καθενα ειχε βαρος 12 kg.

Ποσα kg ηταν η συνολικη παραγωγη;

Αν χρησιμοποιουσαν καφασια των 20 kg, ποσα θα χρειαζοντουσαν;

Αν το καθε καφασι των 12 kg στοιχιζει 0,28 € και το καθε καφασι των 20 kg στοιχιζει 0,46 €, ποιος τροπος συσκευασιας συμφερει

περισσοτερο;

Το πετρελαιο που υπαρχει σε μια πολυκατοικια επαρκει για 30 μερες οταν η καταναλωση ειναι 80 lt / μερα. Οταν η θερμοκρασια πεφτει, η

καταναλωση αυξανεται κατα 20 %. Για ποσες μερες επαρκει τωρα το πετρελαιο;


Γεωμετρια

Στοιχεια τριγωνου

Ειδη τριγωνου


Παραλληλες ευθειες και σχεσεις γωνιων


Παραλληλογραμμα

Κυκλος

Education

Μαθηματικα Α γυμνασιου