Проекционные операторы и многомерные числа в матричной генетике и проблеме наследуемых

биологических ансамблей («поверить алгеброй гармонию»)

С.В.Петухов, В.И.Свирин, И.В.СтепанянЛаборатория биомеханических систем, ИМАШ

СОДЕРЖАНИЕ1) Проекционные операторы в науках и матричной генетике (матричных представлениях ансамбля алфавитов молекулярно-генетической системы).2) Генетические косые проекторы при моделировании наследуемых циклических структур и процессов (генетическая биомеханика).3) «Андрогинные» матрицы и гиперкомплексные числа на базе генетических проекторов.4) «Тензоркомплексные», «тензордвойные» и другие виды «тензорчисел» как обобщения гиперкомплексных чисел.

Наше зрительное восприятие построено на проецировании внешних объектов на сетчатку глаза. Но организм един, и доклад показывает, что значение операторов проецирования для живого не исчерпывается этим и что оно фундаментально для биоинформатики вообще. В математике операции проецирования выражаются квадратными матрицами, которые называются «проекционными операторами» или «проекторами».

Следующая матрица Р является примером проектора, который осуществляет проекцию вектора [x, y, z] на плоскость [x, y, 0]:

Необходимое и достаточное условие того, что матрица Р является проектором, дается критерием: P2 = P. Многие «генетические» матрицы в этом докладе будут удовлетворять этому критерию.

Проекционные операторы широко используются в физике (включая квантовую механику с ее «проекционным постулатом» фон Неймана), химии, математике, информатике, логике. При этом практически всегда используются ортогональные проекторы, выражаемые симметрическими матрицами. Теория и приложения косых проекторов, которые выражаются несимметрическими матрицами, представлены очень слабо («белое пятно»). Но именно косые проекторы оказываются важными в связи с феноменологией системы генетического кода и служат основой нового класса моделей генетически наследуемых феноменов, включая ансамбли циклических биопроцессов.

50 лет назад произошло великое объединение живых организмов: основы молекулярной системы генетического кодирования оказались одинаковыми у всех видов организмов. Возникло новое понимание самой жизни: «Жизнь есть партнерство между генами и математикой» (Stewart I. Life's other secret: The new mathematics of the living world. 1999, New-York: Penguin).

Но какая математика является партнером генетического кода, система которого обладает помехоустойчивыми свойствами? Наши исследования этого фундаментального вопроса выявили связи помехоустойчивой молекулярно-генетической системы с известными формализмами инженерной теории помехоустойчивого кодирования, например, ортогональными системами функций Радемахера и Уолша; матрицами Адамара; проекционными операторами; гиперкомплексными числовыми системами, включая кватернионы Гамильтона.

Эти результаты представляются особо интересными в свете закона Менделя независимого наследования признаков: информация из микромира генетических молекул диктует конструкцию в макромире живых организмов, несмотря на сильные шумы и помехи, сразу по многим независимым каналам (например, цвета волос, кожи и глаз наследуются независимо друг от друга). Этот диктат осуществляется посредством неизвестных алгоритмов многоканального помехоустойчивого кодирования. Следовательно, каждый организм представляет собой алгоритмическую машину многоканального помехоустойчивого кодирования. Для познания этой генетической машины целесообразно использовать теорию помехоустойчивого кодирования, базирующуюся на матричных методах.

Все наследуемые физиологические системы организма согласованы с генетическим кодированием для передачи потомкам и несут на себе печать его особенностей («генетическая биомеханика»). Данный доклад представляет некоторые результаты по связи ансамблей элементов молекулярно-генетической системы с формализмами теории помехоустойчивого кодирования, прежде всего, с проекционными операторами. Приводятся примеры использования этих операторов при моделировании иерархий генетически наследуемых циклических процессов и спиральных структур в живых организмах.

Молекулы наследственности ДНК и РНК содержат вдоль своих нитей кодовую последовательность четырех азотистых оснований - четырех «букв» одного из генетических алфавитов: аденина А , цитозина С, гуанина G, тимина T (или родственного ему урацила U в РНК). Помехоустойчивый генетический код кодирует последовательности 20 видов аминокислот в цепевидных белках с помощью 64 триплетов - «трехбуквенных слов», представляющих собой всевозможные комбинации из этих четырех букв типа CAG, ACC,…

Система генетического кодирования базируется на наборах (алфавитах) n-плетов:- набор 41 моноплетов (A, C, G, T/U);- набор 42=16 дуплетов (AA,AC,AG,….);- набор 43=64 триплетов (AAA,AAC,ACA,…)

Каждый полный алфавит n-плетов, состоящий из 4n членов, представляется соответствующей квадратной матрицей из тензорного (или кронекеровского) семейства матриц [C U; A G](n), где (n) – тензорная (или кронекеровская) степень.

Начало тензорного семейства генетических матриц [C U; A G](n) при n = 1, 2, 3. Эти матрицы содержат полные наборы 4 моноплетов, 16 дуплетов и 64 триплетов в строгом порядке.

Подобные тензорные семейства квадратных матриц используются в теории помехоустойчивого кодирования, базирующейся на матричных методах, которые позволяют передавать фото поверхности Марса на Землю через миллионы километров сильных помех и пр. Например, для этого применяются тензорные семейства матриц Адамара:

Сосредоточимся на матрице [C U; A G](3), которая содержит 64 триплета:

Природа почему-то поделила все множество 64 триплетов на два равных – «черное» и «белое» - подмножества по 32 триплета в каждом: «триплеты с сильными корнями» и «триплеты со слабыми корнями» (существенно отличаются по кодовым свойствам их триплетов). Расположение этих черных и белых триплетов в формально построенной генетической матрице триплетов неожиданно имеет симметрический характер (число вариантов расстановки триплетов в 8*8-матрице равно 64!=1089; время жизни Вселенной - 1017 сек):

Таблица триплетов с сильными корнями (черные) и слабыми корнями (белые) для стандартного генетического кода и кода митохондрий человека и позвоночных.

Какие же математические секреты живой материи отражаются в этой геноматрице?

[C U; A G](3) =

Наиболее важным фактом оказывается соответствие мозаики каждого столбца нечетной меандровой функции, показанной снизу. Но такие нечетные меандровые функции хорошо известны в теории обработки сигналов под именем «функций Радемахера».

Примеры функций Радемахера:

Эти функции содержат только элементы “+1” и “-1”. Каждый из матричных столбцов представляет функцию Радемахера, если каждый черный (белый) триплет интерпретировать как элемент +1 (−1).

.

Соответствующая радемахеровская форма представления матрицы триплетов [C U; A G](3)

имеет вид числовой матрицы R8:

1 1 1 1 1 1 -1 -11 1 1 1 1 1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1

R8 = 1 1 -1 -1 1 1 1 1

1 1 -1 -1 1 1 1 1-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1

Принимая во внимание феноменологический факт уникальности урацила U (который заменяется тимином Т при переходе от РНК к ДНК, и пр.), выявляется простой U-алгоритм трансформации матрицы [C U; A G](3) в матрицу [C T; A G](3) с новой черно-белой мозаикой (триплет изменяет свой цвет при наличии в нем буквы U в нечетной позиции). Эта новая мозаика совпадает с мозаикой одной из матриц Адамара H8.

Матрицы Адамара также содержат только элементы “+1” и “-1”. Столбцы матрицы Адамара содержат полную ортогональную систему функций Уолша. Если каждую черную (белую) ячейку это символьной матрицы триплетов интерпретировать как содержащую элемент “+1” ( “-1”), то возникает матрица Адамара H8.

Матрицы Адамара – важнейший инструмент в цифровой информатике и связи. Например, помехоустойчивые коды на основе матриц Адамара использовались на космических кораблях «Маринер» и «Вояджер», что позволило получить качественные фотографии Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, несмотря на искаженность и ослабленность приходящих сигналов. Матрицы Адамара используются для создания квантовых компьютеров, которые базируются на «гейтах Адамара». Они применяются в квантовой механике в форме унитарных операторов. А теперь специальный класс матриц Адамара выявляется и изучается в связи с помехоустойчи-вым генетическим кодированием.

Главными математическими объектами доклада являются эти две (8*8)-матрицы, которые отражают феноменологические свойства молекулярно-генетических алфавитов: радемахеровская матрица R8 и матрица Адамара H8.

Какие секреты генетического кодирования и живой материи сокрыты в этих мозаичных геноматрицах? Обратимся к декомпозиции этих матриц.

Каждая из матриц R8 и H8 является суммой 8 разреженных матриц, в которых только один столбец ненулевой (все эти столбцы совпадают с функциями Радемахера и Уолша): R8=s0+s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7; H8=u0+u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7

В этих декомпозициях R8=s0+s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7 и H8=u0+u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7 каждая из 16 разреженных matrices s0, …, s7, u0, …, u7 является проекционным оператором, поскольку удовлетворяет критерию P2 = P. Тем самым, генетические матрицы R8 и H8 являются суммами косых проекторов; генетическая система сопряжена с косыми проекторами. Применим теперь эти «генетические» проекторы к моделированию генетически наследуемых ансамблей в живом.

НАСЛЕДУЕМЫЕ АНСАМБЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ ЦИКЛОВ Живой организм представляет собой огромный ансамбль взаимно согласованных циклических процессов. Даже каждый белок вовлечен в цикл «рождение-смерть», поскольку через небольшое время он распадается на составляющие его аминокислоты, а затем собирается вновь. Согласно хрономедицине и биоритмологии, различные заболевания связаны именно с нарушениями (диссинхронозом) в кооперативных ансамблях биоциклов организма.

Известно, что математические циклические группы преобразований полезны для моделирования циклических процессов. Но комбинации рассматриваемых ниже генетических проекторов как раз и порождают множество взаимо связанных циклических групп.

Например, возьмем сумму двух «генетических» проекторов s0 и s2:

Ее возведение в степень дает циклическую группу с периодом 8: (2-0.5*(s0+s2))N = (2-0.5*(s0+s2))N+8 (здесь N=1, 2, 3, …).

Итеративное действие этого матричного оператора Y = (2-0.5*(s0+s2)) на произвольный 8-мерный вектор X=[x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7] порождает циклический набор векторов X*YN=X*YN+8 с периодом 8, в котором только две координаты с соответствующими индексами 0 и 2 циклически изменяются, а все остальные координаты равны 0:

Тем самым, данная циклическая группа операторов позволяет осуществлять селективное управление (или кодирование) циклических изменений векторов в 2-мерной плоскости (x0, x2) 8-мерного векторного пространства. Другие циклические группы, которые базируются на степенях сумм других генетических проекторов, обладают аналогичными свойствами селективного управления циклическими изменениями векторов в соответствующих 2-мерных подпространствах 8-мерного пространства.

Возведение в степень различных сумм пар этих генетических проекторов дает три вида результатов, представленных в симметричных таблицах для R8 и H8 тремя цветами:

Зеленые клетки содержат пары проекторов, суммы которых при возведении в степень порождают циклические группы с периодом 8. Эти циклические группы позволяют селективный контроль циклических изменений в соответствующих 2-мерных плоскостях 8-мерного векторного пространства.

Красные клетки соответствуют парам проекторов, сумма которых при возведении в степень удваивается, напоминая дихотомическое деление соматических клеток при митозе с удвоением носителей генетической информации : (s0+s1)N = 2N-1*(s0+s1)

Желтые клетки соответствуют парам проекторов, квадрат суммы которых при возведении в степень учетверяется, ассоциируясь с учетверением половых клеток и генетической информации при мейозе:((s0+s6)2)N = 4N-1*(s0+s6)2

Вернемся к циклическим группам в зеленых клетках. Свойство селективного контроля подпространств многомерного пространства посредством циклических групп преобразований позволяет моделировать наследуемые ансамбли циклических биопроцессов, включая различные походки животных организмов, которые прежде в биомеханике движений изучались вне всякой связи с генетическим кодированием и наследованием унифицированных алгоритмов управления. Следующий слайд показывает нашу модель нормальных и аномальных походок человека, строящихся на циклическом движении ног и рук и моделируемых на основе сумм генетических проекторов (добавим, что движения тела обеспечиваются множеством пар мышц «сгибатель-разгибатель» противофазной работы).

Походки человека

Походки лошади: шаг, рысь, галоп, иноходь и пр.

Но можно ли подобным образом моделировать большие ансамбли, например, из тысяч циклических процессов? Ответ: да, можно за счет расширения радемахеровской и адамаровой (8*8)-матриц R8 и H8 в (2N*2N)-матрицы на основе кронекеровского умножения: R8 [1 1; 1 1](N) , H8 [1 -1; 1 1](N) ; (N) –целая кронекеровская степень; [1 1; 1 1] и [1 -1; 1 1] – матричные представления двойного и комплексного чисел с единичными координатами. Каждая из возникающих при этом (2N*2N)-матриц представляет собой сумму 2N проекторов аналогичного столбцового типа. Возведение в степень сумм различных пар этих новых проекторов дает сколь угодно много циклических групп преобразований с аналогичными свойствами селективного контроля в 2-мерных подпространствах 2N-мерного пространства.

Живые организмы пронизаны многообраз-ными циклическими процессами (например, циклические метаморфозы бабочки), для моделирования которых результаты из области матричной генетики, включая красивые перестановочные свойства геноматриц, также могут оказаться полезными. Интересно, что куколка ничем не питается, сохраняя фикси-рованный атомарный состав,но посредством генетически определенной перестановки его элементов, куколка превращается в совершенно иной организм – бабочку, имеющую те же самые молекулы ДНК (работает иной механизм считывания).

Обнаруженный матричный подход, связанный с генетической феноменологией, дает новые возможности изучения наследуемых биологических феноменов, а также новые технологические приложения, в том числе к алгоритмам робототехники и искусственного интеллекта.

Проблема наследуемых ансамблей биологических циклов тесно связана с фундаментальными проблемами биологических часов и времени, старения и пр. Полученные в «матричной генетике» результаты позволяют выдвинуть «проекционную концепцию», которая интерпретирует живые тела как колонии проекционных операторов.

Любой организм представляет собой единое целое, а потому естественно думать, чтоне только зрительное восприятие базируется на проекторах, но что и вся биоинформатика связана с ними.

Тематика генетически наследуемой способности к координированному движению частей тела имеет отношение к проблеме врожденных знаний об окружающем пространстве и проблеме физиологических оснований геометрии. Уже давно различными исследователями выдвигались идеи о важном значении кинематической организации тела и его движений в генезисе пространственных представлений у индивидуума. В частности, эти идеи развивались Г.Гельмгольцем и И.М. Сеченовым. Они же положены А.Пуанкаре в фундамент его учения о физиологических основаниях геометрии и о происхождении у индивидуума пространственных представлений.

Согласно Пуанкаре, само понятие пространства и геометрии возникает у индивидуума на основе деятельности кинематической организации тела, т.е. в кинематической организации тела есть нечто, предшествующее понятию пространства; для существа вполне неподвижного не было бы ни пространства, ни геометрии [Пуанкаре «Ценность науки», «Наука и метод»]. “Локализовать предмет, значит просто представить себе те движения, которые нужно было бы сделать, чтобы достигнуть его», т.е. представить себе «те мускульные ощущения, которыми сопровождаются эти движения и которые не предполагают предшествования понятия пространства».

“Если бы у нас не было орудия для измерения, мы совершенно не могли бы построить пространство: но орудие у нас есть, и к нему мы относим все и пользуемся им инстинктивно; это наше собственное тело”. Пуанкаре не знал о генетическом коде, но эти мысли Пуанкаре свидетельствуют в пользу значимости структурной организации генетической системы, с которой сопряжена генетически-кодируемая кинематика тела, для физиологических оснований геометрии и врожденных представлений о пространстве. И они созвучны представляемым в докладе результатам матричной генетики. Отметим также концепцию Б.Рассела (1956) о врожденности положений проективной геометрии для индивидуума, а также работу Э. Шредингера по геометрии наследуемых пространств зрительного восприятия (см. обзор).

Понятие пространства является исходным для большинства физических теорий. Но существует содержательное учение в теоретической физике, в котором оно выступает вторичным (!) понятием, выводимом из более первичных системно-числовых понятий дискретного характера. Это – «бинарная геометрофизика» проф. Ю.С.Владимирова [кафедра теорфизики МГУ]. Данное учение вызывает ассоциации со способностью животных организмов, исходно наделенных дискретной молекулярно-генетической информацией, овладевать пространством и адекватными движениями в нем на основе этой первичной информации.

Эволюция живых организмовсвязана с потреблением

солнечной энергии, котораяпроецируется солнечными

лучами на поверхность тела (фотосинтез – преобразование

энергии солнечных лучей в химическую энергию для обеспечения активности организмов).

Этот факт может быть одной из причин фундаментальной важности проекционных

операторов для генетической системы и наследуемых структур живой материи.

О НАПРАВЛЕНИИ ВРАЩЕНИЙ В конфигурациях и функциях биологических

объектов зачастую наблюдается лево-правая асимметрия (известная проблема биологической диссиметрии). В связи с этим интересно, каковы направления вращения векторов под действием циклических групп рассмотренных операторов? Следующие таблицы дают ответ.

Здесь зеленые клетки соответствуют циклическим группам на базе сумм двух косых проекторов от геноматриц R8 и H8. Символ означает вращение против часовой стрелки, символ - по часовой. Например, повторяющиеся действие оператора (2-0.5*(s0+s2))N на произвольный 8-мерный вектор дает для векторов в (x0, x2)-плоскости против часовой стрелки. Таблицы показывают асимметрию направлений вращения: 1) левая таблица содержит только вращения против часовой стрелки; 2) правая таблица содержит отношение случаев:=5:3. Это порождает ассоциации с общей проблемой биологической диссимметрии.

For R8:s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7

s0 - s1 - s2 -s3 -s4 - s5 - s6 -s7 -

For H8:u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7

u0 - u1 - u2 - u3 - u4 - u5 - u6 - u7 -

ПРИНЦИП ЗАПРЕТА В ЭВОЛЮЦИИ ДИАЛЕКТОВ ГЕНЕТИЧЕСКОГО КОДА И ПРОЕКТОРЫ Поиск принципов запрета в природных системах является одной из важных задач математического естествознания (примером является принцип запрета Паули в квантовой механике).

В матричной генетикеучет косых проекторовпозволил сформулировать феноменологический принцип запрета во множестве всех известных науке 19 диалектов генетического кода (исходные данные оних даны на сайте СШАhttp://www.ncbi.nlm.nih.gov/Taxonomy/Utils/wprintgc.cgi:

Речь идет о том, что в некоторых диалектах имеются небольшие отклонения от основной схемы разделения множества триплетов по признаку сильных и слабых корней, а потому черно-белая мозаика в геноматрице [C U; A G](3) 64 триплетов в 6 из 19 диалектах немного изменяется. Числовые матрицы, возникающие при замене триплетов с сильными и слабыми корнями на «+1» и «-1», называются «±1-представлениями» диалектов генетического кода. Выявлено правило, что «±1-представления» геноматрицы [C U; A G](3) 64 триплетов у всех 19 диалектов являются суммами косых проекторов. Принцип запрета: эволюции запрещено изменять кодовые значения триплетов так, чтобы их разделение на триплеты с сильными и слабыми корнями вело к нарушению названного правила о сумме косых проекторов [Петухов, 2013].

The Standard Code: CCC Pro

CCU Pro

CUC Leu

CUU Leu

UCC Ser

UCU Ser

UUC Phe

UUU Phe

CCA Pro

CCG Pro

CUA Leu

CUG Leu

UCA Ser

UCG Ser

UUA Leu

UUG Leu

CAC His

CAU His

CGC Arg

CGU Arg

UAC Tyr

UAU Tyr

UGC Cys

UGU Cys

CAA Gln

CAG Gln

CGA Arg

CGG Arg

UAA Stop

UAG Stop

UGA Stop

UGG trp

ACC Thr

ACU Thr

AUC Ile

AUU Ile

GCC Ala

GCU Ala

GUC Val

GUU Val

ACA Thr

ACG Thr

AUA Ile

AUG Met

GCA Ala

GCG Ala

GUA Val

GUG Val

AAC Asn

AAU Asn

AGC Ser

AGU Ser

GAC Asp

GAU Asp

GGC Gly

GGU Gly

AAA Lys

AAG Lys

AGA Arg

AGG Arg

GAA Glu

GAG Glu

GGA Gly

GGG Gly

Thraustochytrium Mitochondrial Code:

CCC Pro

CCU Pro

CUC Leu

CUU Leu

UCC Ser

UCU Ser

UUC Phe

UUU Phe

CCA Pro

CCG Pro

CUA Leu

CUG Leu

UCA Ser

UCG Ser

UUA Stop

UUG Leu

CAC His

CAU His

CGC Arg

CGU Arg

UAC Tyr

UAU Tyr

UGC Cys

UGU Cys

CAA Gln

CAG Gln

CGA Arg

CGG Arg

UAA Stop

UAG Stop

UGA Stop

UGG trp

ACC Thr

ACU Thr

AUC Ile

AUU Ile

GCC Ala

GCU Ala

GUC Val

GUU Val

ACA Thr

ACG Thr

AUA Ile

AUG Met

GCA Ala

GCG Ala

GUA Val

GUG Val

AAC Asn

AAU Asn

AGC Ser

AGU Ser

GAC Asp

GAU Asp

GGC Gly

GGU Gly

AAA Lys

AAG Lys

AGA Arg

AGG Arg

GAA Glu

GAG Glu

GGA Gly

GGG Gly

О СВЯЗИ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ С КОСЫМИ ПРОЕКТОРАМИ Какая из четырех представленных матриц является проектором (пустые клетки содержат нули)?

Любая квадратная матрица, все ячейки главной диагонали которой заполнены «+1», является суммой косых проекторов. Соответственно, гиперкомплексные числа, имеющее матричную форму представления и единичное значение вещественной части, являются суммой косых проекторов (главные диагонали их матриц заполнены «+1»). Это подчеркивает фундаментальность понятия проекторов, более глубинного, чем понятие гиперкомплексных чисел с матричной формой представления (однако, существуют гиперкомплексные числа, не имеющие матричных представлений, а потому не сводимые к косым проекторам).

Для геноматрицы 16 дуплетов (состоящей из сильных и слабых корней триплетов) возникают (4х4)-матрицы с их радемахеровским и адамаровым представлениями, которые тоже являются суммами косых столбцовых проекторов:

АНДРОГИННЫЕ МАТРИЦЫ И ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА НА БАЗЕ ГЕНЕТИЧЕСКИХ ПРОЕКТОРОВ Согласно Платону, люди изначально были андрогинами – объединениями мужского и женского. Боги наказали их, разъединив, но половинки всю жизнь ищут друг друга. Задолго до Платона в Древнем Китае мужское и женское начала считались главными действующими лицами, причем сам мир был создан ими. Духовные учения Востока (Бхагават-гита, Веды и др.) утверждают, что душа при сотворении состояла из мужского и женского начал, отражая двойственную природу самого творца.

В этой связи интересно, что попарное суммирование генетических проекторов с четными и нечетными индексами порождает представителей более многомерных гиперкомплексных чисел. И это имеет многоступенчатый восходящий характер.

Примеры «андрогинности»: последовательное объединение одновидовых гистонов Н3-Н4 и Н2А-Н2В в

димеры, тетрамеры и октамеры (из http://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/bv.fcgi?rid=mboc4.)

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ РАСШИРЕНИЯ НА БАЗЕ ПРОЕКТОРОВ ГЕНОМАТРИЦ АДАМАРА

Возьмем геноматрицу Адамара Н4, состоящую из четырех проекторов h0, h1, h2, h3 и рассмотрим сумму генетических проекторов с четными индексами h0+h2:

Эта сумма разлагается на сумму двух матриц e0 и e2, набор которых замкнут относительно умножения и определяет таблицу умножения комплексных чисел.Разреженная (4х4)-матрица h0+h2 - представление комплексного числа с единичными координатами (оператор плоскости (х0, х2) в 4-мерном пространстве).

Рассмотрим подмножество (4*4)-матриц CL=a0*e0+a2*e2. Оно не содержит обычной единичной матрицы, но зато содержит ее замену е0, которая выступает в роли единицы для этого подмножества. В этом подмножестве обратная матрица CL

-1 определяется через CL-1*CL =CL*CL

-1 = e0. СL – полноценное (4х4)-представление комплексных чисел. Напомним, что обычно матричное представление комплексного числа имеет вид (2х2)-матрицы:

Аналогично вторая пара проекторов h1+h3 разлагается на сумму двух матриц е1 и е3, также определяющих таблицу умножения комплексных чисел. Тем самым, сумма проекторов h1+h3 оказывается (4х4)-матричным представлением комплексного числа с единичными координатами. CR – (4x4)-матричное представление комплексного числа. CR

-1 – обратное число.

Сумма (4х4)-матричных представлений двух комплексных чисел с единичными координатами CL и CR (т.е. сумма четырех проекторов h0+h1+h2+h3) дает матрицу Н4. Но эта Н4 в то же время является суммой четырех разреженных матриц q0, q1, q2, q3, набор которых замкнут относительно умножения и определяет таблицу умножения кватернионов Гамильтона (q0 – единичная матрица):

Теперь обратимся к (8х8)-геноматрице Адамара Н8, которая связана с (4х4)-геноматрицей АдамараН4 через тензорное (или кронекеровское) умножение справа на комплексное число с единичными координатами H4 [1 -1; 1 1] = H8 :

Матрица Н8 состоит из 8 столбцовых проекторов, которые образуют андрогинные (или комплементарные) пары и четверки. Выделим эти пары одинаковым цветом.

Сумма двух проекторов, ненулевые столбцы которых отмечены одинаковым цветом, дает (8х8)-матричное представление комплексного числа с единичными координатами, поскольку раскладывается на сумму двух базисных матриц, определяющих таблицу умножения комплексных чисел. Сумма двух таких комплексных чисел (т.е. четырех проекторов, например, желтого и зеленого цветов) дает матричное представление кватерниона Гамильтона с единичными координатами. Сумма двух таких кватернионов (т.е. всех 8 проекторов) оказывается бикватернионом Гамильтона с единичными координатами.

Расширяя выражение H4[1 -1; 1 1](N) за счет возведения второго сомножителя в тензорную степень (N), мы получаем матрицы порядка (16х16), (32х32),…, (2Nx2N), каждая из которых является суммой столбцовых проекторов. При этом среди них имеется:- 2N-1 пар андрогинных проекторов, сумма которых является комплексным числом с единичными координатами,- среди этих представлений комплексных чисел имеются андрогинные, сумма которых представляет собой кватернион Гамильтона с единичными координатами (2N-2 кватернионов); - суммы этих кватернионов дают бикватернионы Гамильтона с единичными координатами (2N-3 бикватернионов) и т.д. («Генетическое Дерево»).

О СПЕКТРАЛЬНОМ (СЕКВЕНТНОМ) АНАЛИЗЕ Существует бесконечно много видов спектрального анализа, поскольку существует бесконечно много видов ортогональных систем функций. Для разных процессов адекватными являются разные виды спектрального анализа. Обнаружение связи генетических алфавитов с небольшим подсемейством матриц Адамара и их ортогональными системами функций Уолша важно дополнительно потому, что выводит на новые средства спектрального анализа наследуемых физиологических процессов. Речь идет об использовании геноматриц Адамара на основе теории секвентного (спектрального) анализа Х.Хармута, имеющего обширные применения в технике дискретной информатики и связи в силу его уникальных свойств.

Геносеквентный анализ на базе геноматриц Адамара и генопроекторов представ-ляется нам особо перспективным дляспектрального анализа наследуемых физиологических процессов.

Четыре книги Хармута о секвентном анализе были изданы на русском языке в 80-х гг.:

Лирическое отступление.

Кажется, что природа любит конструкции на основе проекторов, чему свидетельства: 1) электромагнитные вектора представляют собой сумму их проекций в форме электрического и магнитного векторов; 2) явление двойного лучепреломления в кристаллах и биологических тканях; 3) проекторы в квантовой механике от фон Неймана до Пенроуза, 4) проекторы в нашем зрении при проецировании на сетчатку глаза, и пр.5) поляризационное зрение у животных.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ И ДРЕВНЕКИТАЙСКАЯ «КНИГА ПЕРЕМЕН» («ИЦЗИН»)

В области молекулярной генетики Нобелевский лауреат Ф.Жакоб, известный проф. Г.Стент (1965) и некоторые другие авторы уже отмечали ряд параллелизмов между молекулярно-генетической системой и символьной системой древнекитайской «Книги (циклических) Перемен», написанной несколько тысяч лет назад. Эта книга оказала сильное влияние на многие стороны жизни общества не только в Китае, но и во многих других странах.

Государственный флаг Южной Кореи с символамитриплетов из «Книги Перемен»:

Внизу: древние рисунки по«Книге Перемен» и ее связях сживыми организмами и мирозданием.

Циклические и иные структуры, которые возникают в матричной генетике, имеют много новых аналогий с системой «Книги Перемен», китайскими круговыми календарями, системой знаков Зодиака и паттернами восточной медицины. Другими словами, здесь мы получаем новые материалы к проблеме связи времен и цивилизаций.

“Книга Перемен” оперирует с бинарными символами Инь и Ян и включает четыре базисные диграммы: Старый Ян , Старая Инь , Молодой Ян , Молодая Инь . В этой символьной системе существует известная таблица 64 гексаграмм в порядке Фу-Си : 111

CHYAN

110

TUI

101

LI

100

CHEN

011

HSUN

010

KAN

001

KEN

000

KUN

111

CHYAN

111111

111110

111101

111100

111011

111010

111001

111000

110

TUI

110111

110110

110101

110100

110011

110010

110001

110000

101

LI

101111

101110

101101

101100

101011

101010

101001

101000

100

CHEN

100111

100110

100101

100100

100011

100010

100001

100000

011

HSUN

011111

011110

011101

011100

011011

011010

011001

011000

010

KAN

010111

010110

010101

010100

010011

010010

010001

010000

001

KEN

001111

001110

001101

001100

001011

001010

001001

001000

000

KUN

000111

000110

000101

000100

000011

000010

000001

000000

Древние китайцы утверждали, что система «Книги Перемен» является универсальным архетипом природы, универсальной классификационной системой. Они ничего не знали про генетический код, но генетический код оказывается сконструированным в соответствии с «Книгой Перемен».

Комплексные плоскости в многомерных пространствах и моделирование наследуе-мых циклических и спиральных структур Вернемся к обнаруженным - на базе генетических проекторов - (2N*2N)-матрич-ным операторам, содержащим операторы множества комплексных плоскостей в 2N-мерных пространствах. Известно, что возведение в целые степени комплексного числа z=cos450+i*sin450 как оператора комплексной плоскости задает циклическую группу преобразований с периодом 8: zN=zN+8

С этим фактом связаны описанные выше модели наследуемых иерархий циклических процессов с периодом 8.

Итеративное возведение комплексного числа общего вида в целые степени zN = (a+b*i)N задает преобразование по спиральной траектории. В случае множества комплексных плоскостей в 2N-мерных пространствах, преобразования в которых задаются найденными нами(2N*2N)-матричными операторами,это позволяет моделировать – на основе генетических проекторов -иерархии наследуемых спиральных структур, каждаяиз которых формируется в своем подпространствемногомерного пространства.

Наследуемые спиральные конструкции

и процессы в живых организмах.Спиральное устройство биологических тел

пронизывает всю живую материю на самых разных уровнях и ветвях биологической эволюции. Например, в теле человека генетически наследуемые из поколения в поколение спиральные конструкции представлены в сердце, сосудах, костях, нервах, органе слуха (улитка уха), клеточной организации эмбриона (зиготы) и пр. Структура сухожилий и связок выглядит в виде спиралей, которые в свою очередь состоят из коллагена, который имеет строение тройной спирали.

Еще В. Гете рассматривал спирали, присутствующие в

конфигурациях растений и животных, как символ жизни и как линии жизни. Спиральные волны в сердце являются причиной аритмий. Cпиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов, cпирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, спирали используются пауками в их инстинктивном строении паутины.

Во всем мире вкладываютсямиллиарды долларов в развитие нанороботов инаноматериалов, сопряженныхс созданием компьютеров на спиральных молекулах ДНК.

Спиральные принципы движения используются множеством бактерий, которые перемещаются в окружающей среде при помощи длинных жгутиков, завитых спиралями и вращающихся с высокой скоростью в разных режимах, обеспечивая не только прямолинейное движение, но и кувырки и повороты. Этот патент живой природы в настоящее время переносится в технику для создания движителей медицинских микророботов, запускаемых в тело пациента. Так, швейцарские ученые построили «спиральные плавающие микророботы» на основе искусственных бактериальных жгутиков микрометровых размеров в форме свитых в спирали плоских ленточек, которые позволяют микророботу, сделанному из магнитных материалов, перемещаться в заданном направлении по заданию человека под управлением магнитного поля.

В связи со спиральными биоконфигурациями все потоки жидкостей в организме – крови, лимфы, мочи – имеют спиральный характер (зарегистрированное открытие академика С.Н.Багаева). Учет биоспиральности позволяет разрабатывать новые инженерные устройства и решения.

Например, академик С.Н. Багаев с сотрудниками разработал и запатентовал «Сосудистую канюлю» с рабочей частью в виде спирали по аналогии с винтовым строением мышечной оболочки артерий; это обеспечивает «создание физиологичного винтового потока крови при искусственном кровообращении, который максимально приближается к естественному, обеспечивается эффективное преодоление сосудистого сопротивления и оптимальные условия для микрогемоциркуляции и транскапиллярного обмена» (Патент РФ 2002135566/14 от 2002 г.). Другой пример – искусственное сердце на основе открытия винтового движения крови, запатентованное академиком В.И. Шумаковым и проф. В.Н. Захаровым.

СПИРАЛИ СЕРДЦА

“Концепция спиральной структуры сердца: новый этап в лечении сердечной недостаточности” – статья директора Института сердечно-сосудистой хирургии им.Амосова академика Г.В.Кнышова, 2005 г. (http://health-ua.com/articles/1103.html): «Сердечная недостаточность (СН), при которой сердечный выброс не соответствует потребно-стям организма, - бич современной кардиологии… Все ранее практиковавшиеся подходы к проблеме СН имели существенный недостаток – не учитывались особенности анатомии сердца...

Винтообразное строение миокарда определено закруткой сердечной мышцы, которая с развитием организма постепенно увеличивается, формируя мощные витки у верхушки сердца и в области желудочков, витки послабее – для предсердий. Принцип спирального закручивания повторяется на всех уровнях макро- и микроструктуры сердца. Сердце образуется одной мышцей, закрученной в спираль, которая увеличивает частоту витков в области верхушки сердца, тем самым создавая градиент силы сокращения сердца: максимальная сила создается в области верхушки сердца, минимальная – в области предсердий и основания сердца. Кроме обеспечения достаточной силы сокращения, эта закрутка преследует цель подчинить все отделы сердца определенной последовательности сокращения.

Винтообразное строение миокарда определено закруткой сердечной мышцы, которая с развитием организма постепенно увеличивается, формируя мощные витки у верхушки сердца и в области желудочков, витки послабее – для предсердий. Принцип спирального закручивания повторяется на всех уровнях макро- и микроструктуры сердца. Сердце образуется одной мышцей, закрученной в спираль, которая увеличивает частоту витков в области верхушки сердца, тем самым создавая градиент силы сокращения сердца: максимальная сила создается в области верхушки сердца, минимальная – в области предсердий и основания сердца. Кроме обеспечения достаточной силы сокращения, эта закрутка преследует цель подчинить все отделы сердца определенной последовательности сокращения.

Мировые чемпионаты по искусственным мышцам. В США созданы искусственные мышцы из углеродных нанотрубок, свитых в спирали. Несмотря на то, что размер этих нанотрубок в 10 тысяч раз меньше толщины человеческого волоса, они способны поднимать вес, в 100 000 раз превосходящий их собственный, а это означает силу примерно в 85 раз превышающую максимальные возможности натуральных мышц соответствующего размера. Сокращение за 0,025 секунды.

Спирали в живой материи имеют существенные отличия от спиралей в неживой природе: 1) они генетически наследуются по цепи поколений и связаны со структурами молекулярно-генетической системы, пронизанной спиралями и суперспиралями на разных уровнях ее организации – от молекул ДНК до хромосом; 2) характеристики биологических спиралей связаны с числами Фибоначчи на разных уровнях и ветвях биологической эволюции, что отражено в известных биоматематических «законах филлотаксиса (листорасположения)», которым во всем мире посвящены тысячи публикаций

ФИЛЛОТАКСИС: СПИРАЛИ + ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Спиральная организация в живых организмах имеет генетически наследуемый характер и каким-то образом связана с помехоустойчивым генетическим кодированием. Что позволяет найденная в матричной генетике связь комплекс-ных чисел с суммами генетических проекторов и плоскостями 2N-мерного пространства?

Она позволяет развивать моделигенетически наследуемых тел с многомерными биоинфор-мационными пространствами,у которых отдельные внутренние подпространства могут селективно управляться или кодироваться. Рисунок показывает пример организма (ели), который содержит множество филлотаксисных шишек в своем составе. Каждая из них может интерпретироваться как подпространство многомерного конфигурационного пространства этого дерева. Наш подход на базе генетических проекторов и их сумм позволяет моделировать такой ансамбль филлотаксисных паттернов, каждый из которых реализуется в своем собственном подпространстве с индивидуальной скоростью и фазовым сдвигом развития.

Пример моделирования нами трех филлотаксисных спиральных паттернов, каждый из которых принадлежит индивидуальному 2-мерному подпространству общего многомерного внутреннего пространства организма.

Сердце как двойная спираль и золотое сечение в его функциональных характеристиках (статья академика АМН Кнышова http://www.esus.ru/php/content.php?id=1333 ).

ДВОЙНЫЕ ЧИСЛА И ИХ РАСШИРЕНИЯ

НА БАЗЕ ПРОЕКТОРОВ ГЕНОМАТРИЦ РАДЕМАХЕРА

Возьмем геноматрицу Радемахера R4, состоящую из четырех проекторов c0, c1, c2, c3, и рассмотрим сумму проекторов с четными индексами c0+c2. Эта сумма раскладывается на сумму двух матриц e0 и e2, набор которых замкнут относительно умножения и определяет таблицу умножения комплексных чисел.

Разреженная (4х4)-матрица с0+с2 - представление двойного числа с единичными координатами.

Аналогично сумма проекторов с нечетными индексами c1+c3 раскладывается на сумму двух матриц e1 и e3, набор которых замкнут относительно умножения и также определяет таблицу умножения двойных чисел.

Разреженная (4х4)-матрица с1+с3 - представление двойного числа с единичными координатами.На основе полученных базисных матриц легко строится общий вид (4х4)-матричных представлений двойных чисел, образующих алгебру с делителями нуля.

Сумма этих (4х4)-матричных представлений двух двойных чисел с единичными координатами (т.е. сумма четырех проекторов c0+c1+c2+c3) дает матрицу R4. Но эта R4 в то же время является суммой четырех разреженных матриц r0, r1, r2, r3, набор которых замкнут относительно умножения и определяет таблицу умножения сплит-кватернионов Кокла (q0 – единичная матрица):

Теперь обратимся к (8х8)-геноматрице Радемахера R8, которая связана с (4х4)-геноматрицей Радемахера R4 через тензорное умножение справа на двойное число с единичными координатами R4

[1 1; 1 1] = R8 :

Матрица R8 состоит из 8 столбцовых проекторов, которые образуют андрогинные (или комплементарные) пары и четверки. Выделим эти пары одинаковым цветом.

Сумма двух проекторов, ненулевые столбцы которых отмечены одинаковым цветом, дает (8х8)-матричное представление двойного числа с единичными координатами, поскольку раскладывается на сумму двух базисных матриц, определяющих таблицу умножения двойных чисел. Сумма двух таких двойных чисел (т.е. четырех проекторов, например, желтого и зеленого цветов) дает матричное представление сплит-кватерниона Кокла с единичными координатами. Сумма двух таких сплит-кватернионов (т.е. всех 8 проекторов) оказывается бисплит-кватернионом Кокла с единичными координатами.

Расширяя выражение R4[1 1; 1 1](N) за счет возведения второго сомножителя в тензорную степень (N), мы получаем матрицы порядка (16х16), (32х32),…, (2Nx2N), каждая из которых является суммой столбцовых проекторов. При этом среди них имеется:- 2N-1 пар андрогинных проекторов, сумма которых является двойным числом с единичными координатами,- среди этих представлений двойных чисел имеются андрогинные, сумма которых представляет собой сплит-кватернион Кокла с единичными координатами (2N-2 кватернионов); - суммы этих сплит-кватернионов дают бисплит-кватернионы Кокла с единичными координатами (2N-3 бикватернионов) и т.д.

«ТЕНЗОРКОМПЛЕКСНЫЕ», «ТЕНЗОРДВОЙНЫЕ» И ДРУГИЕ ВИДЫ «ТЕНЗОРЧИСЕЛ» КАК ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

На предыдущих слайдах мы рассматривали возникновение гиперкомплексных чисел с единичными координатами на базе сумм генетических проекторов. Сейчас обратимся к матричным представлениям, прежде всего, комплексных и двойных чисел с неединичными координатами.

Вернемся к (4х4)-геноматрице Адамара Н4, при рассмотрении двух пар андрогинных проекторов которой были получены (4х4)-представления двух комплексных чисел СL и CR:

Все привыкли, что в случае двух комплексных чисел их сумма дает новое комплексное число, а их произведение коммутативно. Но сумма этих (4х4)-представлений двух комплексных чисел, принадлежащих разным плоскостям 4-мерного пространства, не равно новому комплексному числу, а их произведение не коммутативно: CL*CR ≠ CR*CL .

Рассмотрим сумму этих двух комплексных чисел V = СL+CR, представленных в 4-мерном пространстве. В правой части запись этой суммы напоминает запись комплексного числа z = [1 0; 0 1]*a + [0 1; -1 0]*b со следующими отличиями:1) выражение для V включает тензорное умножение вместо обычного умножения;2) множителями при базисных элементах в V являются квадратные матрицы М и Р вместо вещественных чисел а и b;3) порядок сомножителей в V существенен, поскольку тензорное произведение не коммутативно.

Матрицы вида V можно складывать, вычитать, умножать (в смысле обычного умножения, при этом умножение не коммутативно), получая в итоге матрицы вида [1 0; 0 1]S + [0 1; -1 0]G, где S и G – (2x2)-матрицы.

Ненулевые матрицы V имеют обратные матрицы:

Это позволяет определить на этом множестве матриц операцию деления как умножения на обратное число.

Тем самым, данное множество (4х4)-матриц предстает как числовая система, вероятно, новая для математического естествознания (?). Автор (Петухов) не придумал ничего лучшего, как назвать эти числа «тензоркомплексными», учитывая тензорное умножение в их конструкции.

Перечисленные алгебраические свойства тензоркомплексных чисел совпадают со свойствами кватернионов Гамильтона, образующих алгебраическое тело. Теорема Фробениуса (1877 г.), выведенная для гиперкомплексных чисел с вещественными множителям при базисных элементах на тензоркомплексные числа не распространяется.

Обобщение тензоркомплексных чисел (а также «тензоркватернионов» и пр.) на случай (2Nx2N)-матриц в настоящее время разрабатывается.

«ТЕНЗОРДВОЙНЫЕ ЧИСЛА»

Вернемся к (4х4)-геноматрице Радемахера R4, при рассмотрении двух пар андрогинных проекторов которой были получены (4х4)-представления двух двойных чисел DL и DR:

Рассмотрим сумму этих двух двойных чисел D = DL+DR в 4-мерном пространстве.

Запись этой суммы двух двойных чисел D=DL+DR в правой части напоминает классическую запись двойного числа [1 0; 0 1]*a + [0 1; 1 0]*b со следующими отличиями:1) выражение для D включает тензорное умножение вместо обычного умножения;2) множителями при базисных элементах в D являются квадратные матрицы М и K вместо вещественных чисел а и b;3) порядок сомножителей в D существенен, поскольку тензорное произведение не коммутативно.

Матрицы D можно складывать, вычитать, умножать (не коммутативное умножение), получая в итоге матрицывида [1 0; 0 1]S + [0 1; 1 0]G, где S и G – (2x2)-матрицы. Эта числовая система имеет делители нуля (при a=b или с=-d детерминант матрицы D равен 0).

Пример делителей нуля и выражение для обратного числа:

Данное множество (4х4)-матриц предстает как числовая система. Соответствующие числа условно названы тензордвойными.

Обобщение тензордвойных чисел и их расширений на случай (2Nx2N)-матриц в настоящее время изучается. Различные типы описываемых многомерных чисел можно объединить под кратким названием «тензорчисла». Тензорчисла обобщают гиперкомплексные числа за счет внесения следующих изменений в запись последних 1*x0+i1*x1+…+in*xn :1) вещественные множители х0, х1,… при базисных элементах заменяются на множители в виде квадратных матриц;2) обычное умножение заменяется на тензорное. Гиперкомплексные числа являются предельным, вырожденным случаем тензорчисел.

Возникновение тензорчисел в исследованиях генетической информатики интересно потому, что, как давно известно, разные природные системы могут иметь свои собственные алгебры и геометрии (см. книгу: Клайн М. «Математика. Потеря определенности», М., Мир, 1984). В биоинформатике и живой материи много такого, для моделирования и понимания чего тензорчисла могут оказать полезными. Возможно, что многие трудности математической биологии и теорфизики связаны с использованием неадекватных числовых систем.

Каково будущее тензорчисел в математическом естествознании? От попадания в мусорную корзину до создания обобщенных теорий поля, новых законов сохранения, обобщения положений современной науки и пр.

«Углубленное изучение природы является наиболее плодотворным источником математических открытий» (Ж. Фурье, 1878 г.)

С основами «матричной генетики» и «генетической биомеханики» можно познакомиться, например, по 4 книгам С.В.Петухова и по сайтуhttp://petoukhov.com/ :

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проекционные операторы являются одним из наиболее важных инструментов и понятий для изучения системы генетического кодирования и генетически наследуемых биологических структур, а также для использования патентов живой природы в науке и технике. Значимость проекторов, представляющих собой квадратные матрицы, дополнительно оправдывает правомерность матричного подхода к познанию генетической системы. Живое вещество есть алгебраическая сущность в его информационных основах. Обнаружены новые (?) для математического естествознания системы многомерных чисел.