Upload
alex-dainiak
View
409
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Одно обобщениеделения многочленовУтверждение.
Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑚 и 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥𝑖 — произвольные ненулевые многочлены.
Тогда существуют 𝑄, 𝑅 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑚 , такие, что
𝑃 = 𝑃 ⋅ 𝑄 + 𝑅,
и deg𝑥𝑖 𝑅 < deg𝑥𝑖 𝑃.
Доказательство: во всех мономах 𝑃, куда 𝑥𝑖 входит в степени больше deg𝑥𝑖 𝑅, заменяем эту степень, выразив её через 𝑅.
По сути, это «деление столбиком», в котором мы рассматриваем 𝑃 как многочлен от 𝑥𝑖 с коэффициентами из 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑚 .
Пример
Пусть 𝑃 ≔ 𝑥15𝑥2
8𝑥4 + 𝑥12 + 𝑥1𝑥3 и 𝑃 ≔ 𝑥1
2 + 3𝑥1. Тогда
𝑃 = 𝑥13𝑥2
8𝑥4 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= 𝑥13𝑥2
8𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥14𝑥2
8𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= 𝑥13𝑥2
8𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥12𝑥2
8𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= 𝑥13𝑥2
8𝑥4 − 3𝑥12𝑥2
8𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 + 9𝑥13𝑥2
8𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= … ⋅ 𝑃 + 9𝑥1𝑥28𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= … ⋅ 𝑃 − 27𝑥12𝑥2
8𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= … ⋅ 𝑃 − 27𝑥28𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =
= …𝑄
⋅ 𝑃 + 81𝑥1𝑥28𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3
𝑅
Теорема Алона о нулях
Теорема.Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑚 — произвольный полином,
и пусть 𝑥1𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑚
𝑡𝑚 — моном старшей степени, то есть 𝑖 𝑡𝑖 = deg𝑃.
Пусть 𝑆1, … , 𝑆𝑚 ⊆ 𝔽 — произвольные множества, такие, что 𝑆𝑖 ≥ 𝑡𝑖 + 1для всех 𝑖.
Тогда найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1, … , 𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚, что𝑃 𝑠1, … , 𝑠𝑚 ≠ 0
Доказательство теоремы Алона
Доказательство: индукция по deg𝑃.
Если deg 𝑃 = 1, то 𝑃 — линейная форма:
𝑃 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 𝑐0 +
𝑖
𝑐𝑖𝑥𝑖
Если, например, 𝑐1 ≠ 0, то 𝑆1 ≥ 2 и, как бы ни были фиксированы 𝑥2 ← 𝑠2, … , 𝑥𝑚 ← 𝑠𝑚, уравнение 𝑃 𝑥1, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 = 0 имеет не более одного корня.
Значит, найдётся 𝑠1 ∈ 𝑆1, для которого 𝑃 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ≠ 0.
Доказательство теоремы Алона
Пусть deg𝑃 > 1, и для многочленов меньшей степени утверждение теоремы выполнено.
Б.о.о. будем считать, что 𝑡1 > 0.Зафиксируем произвольное 𝑠 ∈ 𝑆1 и поделим с остатком 𝑃 на 𝑥1 − 𝑠 :
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,
где 𝑄 ≢ 0 и deg𝑥1 𝑅 < deg𝑥1 𝑥1 − 𝑠 = 1, то есть 𝑅 не зависит от 𝑥1.
Доказательство теоремы Алона
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,
где 𝑄 ≢ 0 и deg𝑥1 𝑅 < deg𝑥1(𝑥1 − 𝑠) = 1,
то есть 𝑅 не зависит от 𝑥1.
Если найдётся набор 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚, такой, что 𝑅 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ≠ 0, то
𝑃 𝑠, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ≠ 0,что и требовалось.
Остаётся разобрать случай, когда ∀𝑠2 ∈ 𝑆2, … , ∀𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚 𝑅 𝑠2, … , 𝑠𝑚 = 0.
Доказательство теоремы Алона
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,
Т.к. в 𝑃 один из мономов степени deg𝑃 имеет вид
𝑥1𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑚
𝑡𝑚 ,
то в 𝑄 один из мономов степени deg𝑄 имеет вид
𝑥1𝑡1−1 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑚
𝑡𝑚 .
По предположению индукции, найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1 ∖ 𝑠 , 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚, для которых
𝑄 𝑠1, … , 𝑠𝑚 ≠ 0.
Для таких 𝑠1, … , 𝑠𝑚 получаем𝑃 𝑠1, … , 𝑠𝑚 = 𝑠1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 𝑠1, … , 𝑠𝑚 ≠ 0
Аддитивная комбинаторика
Аддитивная комбинаторика изучает свойства подмножеств натуральных чисел и абелевых групп при сложении.
Пусть 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐺, где 𝐺 — абелева группа.
Обозначим 𝐴 + 𝐵 ≔ 𝑎 + 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵
Вопрос: как можно оценить 𝐴 + 𝐵 , если известны 𝐴 и 𝐵 ?
Пример простой оценки сверху:𝐴 + 𝐵 ≤ min 𝐺 , 𝐴 ⋅ 𝐵
Теорема Коши—Давенпорта
Теорема (Cauchy, Davenport).Если 𝐴, 𝐵 ⊆ ℤ𝑝, где 𝑝 — простое число, то
𝐴 + 𝐵 ≥ min 𝑝, 𝐴 + 𝐵 − 1
Доказательство:Сначала рассмотрим лёгкий случай 𝐴 + 𝐵 > 𝑝.Для любого 𝑐 ∈ ℤ𝑝 имеем
𝐴 + 𝑐 − 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 > 𝑝а значит 𝐴 ∩ 𝑐 − 𝐵 ≠ ∅, и найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что𝑎 = 𝑐 − 𝑏. Отсюда 𝑐 ∈ 𝐴 + 𝐵.
Т.к. 𝑐 брался произвольным, получаем 𝐴 + 𝐵 = ℤ𝑝.
Теорема Коши—Давенпорта
Пусть теперь 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑝.
Допустим, что 𝐴 + 𝐵 < 𝐴 + 𝐵 − 1, и придём к противоречию.
По предположению, найдётся 𝐶 ⊂ ℤ𝑝, такое, что 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 −2 и 𝐴 + 𝐵 ⊆ 𝐶.
Рассмотрим многочлен
𝑃 𝑥, 𝑦 ≔
𝑐∈𝐶
𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ𝑝 𝑥, 𝑦
Заметим, что 𝑃 𝑥, 𝑦 = 0 для любых 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵.
Теорема Коши—Давенпорта
𝑃 𝑥, 𝑦 ≔
𝑐∈𝐶
𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ𝑝 𝑥, 𝑦
Раскрыв скобки в определении 𝑃, видим, что
coef𝑥 𝐴 −1𝑦 𝐵 −1 𝑃 = 𝐴 + 𝐵 −2 !𝐴 −1 ! 𝐵 −1 !
mod 𝑝 ≠ 0
то есть моном 𝑥 𝐴 −1𝑦 𝐵 −1 в многочлене есть.
По теореме Алона, найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что 𝑃 𝑎, 𝑏 ≠ 0.
Но такого не может быть по определению 𝑃.
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Вопрос: сколько плоскостей нужно, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба?
Теорема (Алон, Фюреди).Наименьшее число плоскостей, достаточное, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба в ℝ𝑛, равно 𝑛.
Доказательство:
Б.о.о. будем считать, что у нас куб 0,1 𝑛, и что вершина, которую мы не покрываем 0,0, … , 0 .
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Куб 0,1 𝑛, не покрываем вершину 0,0, … , 0 .
𝑛 плоскостей достаточно — например, такие:
• 𝑥1 − 1 = 0
• 𝑥2 − 1 = 0
• …
• 𝑥𝑛 − 1 = 0
Сложная часть — доказать, что меньшим числом плоскостей не обойтись. Докажем это от противного…
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями, 𝑚 < 𝑛. Пусть их уравнения такие:𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0
⋮𝒂𝑚, 𝒙 − 𝑏𝑚 = 0
При этом 𝑏1, … , 𝑏𝑚 ≠ 0, т.к. ни одна из плоскостей не должна покрывать точку 0,0, … , 0 . Рассмотрим многочлен:
𝑃 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ≔
𝑗=1
𝑚
𝑏𝑗 − 𝒂𝑗 , 𝒙 −
𝑗=1
𝑚
𝑏𝑗 ⋅
𝑖=1
𝑛
1 − 𝑥𝑖
Имеем deg𝑃 = 𝑛, и
coef𝑥1⋅𝑥2⋅…⋅𝑥𝑛 𝑃 = −1 𝑛+1
𝑗=1
𝑚
𝑏𝑗 ≠ 0.
По теореме Алона, найдутся 𝛼1 ∈ 0,1 , … , 𝛼𝑛 ∈ 0,1 , для которых 𝑃 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ≠ 0.
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями:
𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0⋮
𝒂𝑚, 𝒙 − 𝑏𝑚 = 0
По теореме Алона, найдётся точка из 0,1 𝑛, на которой многочлен
𝑃 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ≔ 𝑗=1𝑚 𝑏𝑗 − 𝒂𝑗 , 𝒙 − 𝑗=1
𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1𝑛 1 − 𝑥𝑖
не равен нулю. Но это невозможно:
• 𝑃 0,… , 0 = 𝑗=1𝑚 𝑏𝑗 − 𝑗=1
𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1𝑛 1 = 0
• Для любой точки 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ∈ 0,1 𝑛 ∖ 0,… , 0 имеем
𝑃 𝛼1, … , 𝛼𝑛 = 𝑗=1𝑚 0 − 𝑗=1
𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 0 = 0
Регулярные подграфы в регулярных графах
Общая постановка многих задач в теории графов: в данном графе с известными свойствами выделить подграф с требуемыми свойствами.
Например:
• В заданном графе найти максимальную клику
• В заданном несвязном графе найти компоненту связности с максимальным числом вершин.
• …
Регулярные подграфы в регулярных графах
Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует 𝑘 − 1 -регулярный подграф?
Известно следующее:
• Это так для 𝑘 ≤ 3 — простое упражнение.
• Это так для 𝑘 = 4 — и это трудная теорема (В.А. Ташкинов ’1984)
• Это в общем случае не верно для 𝑘 ≥ 6
Регулярные подграфы в регулярных графах
Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует𝑘′-регулярный подграф (𝑘′ < 𝑘)?
Известно, например, что для любых нечётных 𝑘 и 𝑘′ ответ на вопрос положительный.
Если ослабить условие «строгой» регулярности и рассматривать «почти регулярные» графы (у которых степени вершин близки, но необязательно равны) — тоже можно доказать кое-что интересное…
Регулярные подграфы в регулярных графах
Теорема (Алон, Фридланд, Калаи).Пусть 𝑝 — простое число. Пусть 𝐺 = 𝑉, 𝐸 — мультиграф(без петель), удовлетворяющий условиям
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1,
• 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2.
Тогда в 𝐺 есть 𝑝-регулярный подграф.
Доказательство теоремы А—Ф—К
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, и 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2
Для каждого 𝑣 ∈ 𝑉 и 𝑒 ∈ 𝐸 положим
𝟙𝑣,𝑒 ≔ 1, если 𝑣 и 𝑒 инцидентны0, иначе
Каждому 𝑒 ∈ 𝐸 сопоставим переменную 𝑥𝑒.
Рассмотрим многочлен от переменных 𝑥𝑒 𝑒∈𝐸 с коэффициентами в ℤ𝑝:
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒
𝑝−1
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥𝑒
Доказательство теоремы А—Ф—К
• 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒
𝑝−1
𝑄
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥𝑒
Из условия, 2 ⋅ 𝐸 = 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 ⋅ 𝑉 , отсюда deg𝑄 ≤ 𝑝 − 1 ⋅ 𝑉 < 𝐸 .
Следовательно, deg𝑃 = 𝐸 .
При этом, coef 𝑒∈𝐸 𝑥𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0.
Доказательство теоремы А—Ф—К
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒
𝑝−1
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥𝑒
deg 𝑃 = 𝐸 и coef 𝑒∈𝐸 𝑥𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0.
Значит, по теореме Алона, найдётся набор значений 𝜶 = 𝛼𝑒 𝑒∈𝐸 ∈ 0,1 𝐸 , такой, что 𝑃 𝜶 ≠ 0.
При этом для любого 𝑣 ∈ 𝑉 имеем
𝑒∈𝐸
𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒 =𝑝0
иначе, по м. т. Ферма, получилось бы 𝑒∈𝐸 𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒𝑝−1
=𝑝1 ⇒ 𝑃 𝜶 = 0 (в ℤ𝑝).
Доказательство теоремы А—Ф—К
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1
• 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒𝑝−1
− 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥𝑒
Нашли 𝜶 ∈ 0,1 𝐸 , т. ч. 𝑃 𝜶 ≠ 0, и ∀𝑣 ∈ 𝑉
𝑒∈𝐸
𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒 =𝑝0
Кроме того, видно, что 𝜶 ≠ 𝟎. Взяв те рёбра 𝐺, для которых 𝛼𝑒 = 1, и все вершины 𝐺, получим непустой остовный подграф 𝐺′.
В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины 𝑣 равна 𝑒∈𝐸 𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒 =𝑝0, а значит, эта
степень равна нулю или 𝑝.
Доказательство теоремы А—Ф—К
По набору 𝜶 построили непустой остовный подграф 𝐺′.
В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины равна нулю или 𝑝.
Выбросив из 𝐺′ вершины нулевой степени, получим искомый 𝑝-регулярный подграф.