25
Дискретные структуры весна 2014 Александр Дайняк www.dainiak.com

Теорема Алона о нулях и её применения

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Теорема Алона о нулях и её применения

Дискретные структурывесна 2014

Александр Дайняк

www.dainiak.com

Page 2: Теорема Алона о нулях и её применения

Одно обобщениеделения многочленовУтверждение.

Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑚 и 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥𝑖 — произвольные ненулевые многочлены.

Тогда существуют 𝑄, 𝑅 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑚 , такие, что

𝑃 = 𝑃 ⋅ 𝑄 + 𝑅,

и deg𝑥𝑖 𝑅 < deg𝑥𝑖 𝑃.

Доказательство: во всех мономах 𝑃, куда 𝑥𝑖 входит в степени больше deg𝑥𝑖 𝑅, заменяем эту степень, выразив её через 𝑅.

По сути, это «деление столбиком», в котором мы рассматриваем 𝑃 как многочлен от 𝑥𝑖 с коэффициентами из 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑚 .

Page 3: Теорема Алона о нулях и её применения

Пример

Пусть 𝑃 ≔ 𝑥15𝑥2

8𝑥4 + 𝑥12 + 𝑥1𝑥3 и 𝑃 ≔ 𝑥1

2 + 3𝑥1. Тогда

𝑃 = 𝑥13𝑥2

8𝑥4 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= 𝑥13𝑥2

8𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥14𝑥2

8𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= 𝑥13𝑥2

8𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥12𝑥2

8𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= 𝑥13𝑥2

8𝑥4 − 3𝑥12𝑥2

8𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 + 9𝑥13𝑥2

8𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= … ⋅ 𝑃 + 9𝑥1𝑥28𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= … ⋅ 𝑃 − 27𝑥12𝑥2

8𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= … ⋅ 𝑃 − 27𝑥28𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3 =

= …𝑄

⋅ 𝑃 + 81𝑥1𝑥28𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1𝑥3

𝑅

Page 4: Теорема Алона о нулях и её применения

Теорема Алона о нулях

Теорема.Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑚 — произвольный полином,

и пусть 𝑥1𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑚

𝑡𝑚 — моном старшей степени, то есть 𝑖 𝑡𝑖 = deg𝑃.

Пусть 𝑆1, … , 𝑆𝑚 ⊆ 𝔽 — произвольные множества, такие, что 𝑆𝑖 ≥ 𝑡𝑖 + 1для всех 𝑖.

Тогда найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1, … , 𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚, что𝑃 𝑠1, … , 𝑠𝑚 ≠ 0

Page 5: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы Алона

Доказательство: индукция по deg𝑃.

Если deg 𝑃 = 1, то 𝑃 — линейная форма:

𝑃 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 𝑐0 +

𝑖

𝑐𝑖𝑥𝑖

Если, например, 𝑐1 ≠ 0, то 𝑆1 ≥ 2 и, как бы ни были фиксированы 𝑥2 ← 𝑠2, … , 𝑥𝑚 ← 𝑠𝑚, уравнение 𝑃 𝑥1, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 = 0 имеет не более одного корня.

Значит, найдётся 𝑠1 ∈ 𝑆1, для которого 𝑃 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ≠ 0.

Page 6: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы Алона

Пусть deg𝑃 > 1, и для многочленов меньшей степени утверждение теоремы выполнено.

Б.о.о. будем считать, что 𝑡1 > 0.Зафиксируем произвольное 𝑠 ∈ 𝑆1 и поделим с остатком 𝑃 на 𝑥1 − 𝑠 :

𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,

где 𝑄 ≢ 0 и deg𝑥1 𝑅 < deg𝑥1 𝑥1 − 𝑠 = 1, то есть 𝑅 не зависит от 𝑥1.

Page 7: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы Алона

𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,

где 𝑄 ≢ 0 и deg𝑥1 𝑅 < deg𝑥1(𝑥1 − 𝑠) = 1,

то есть 𝑅 не зависит от 𝑥1.

Если найдётся набор 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚, такой, что 𝑅 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ≠ 0, то

𝑃 𝑠, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ≠ 0,что и требовалось.

Остаётся разобрать случай, когда ∀𝑠2 ∈ 𝑆2, … , ∀𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚 𝑅 𝑠2, … , 𝑠𝑚 = 0.

Page 8: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы Алона

𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,

Т.к. в 𝑃 один из мономов степени deg𝑃 имеет вид

𝑥1𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑚

𝑡𝑚 ,

то в 𝑄 один из мономов степени deg𝑄 имеет вид

𝑥1𝑡1−1 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑚

𝑡𝑚 .

По предположению индукции, найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1 ∖ 𝑠 , 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠𝑚 ∈ 𝑆𝑚, для которых

𝑄 𝑠1, … , 𝑠𝑚 ≠ 0.

Для таких 𝑠1, … , 𝑠𝑚 получаем𝑃 𝑠1, … , 𝑠𝑚 = 𝑠1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 𝑠1, … , 𝑠𝑚 ≠ 0

Page 9: Теорема Алона о нулях и её применения

Аддитивная комбинаторика

Аддитивная комбинаторика изучает свойства подмножеств натуральных чисел и абелевых групп при сложении.

Пусть 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐺, где 𝐺 — абелева группа.

Обозначим 𝐴 + 𝐵 ≔ 𝑎 + 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵

Вопрос: как можно оценить 𝐴 + 𝐵 , если известны 𝐴 и 𝐵 ?

Пример простой оценки сверху:𝐴 + 𝐵 ≤ min 𝐺 , 𝐴 ⋅ 𝐵

Page 10: Теорема Алона о нулях и её применения

Теорема Коши—Давенпорта

Теорема (Cauchy, Davenport).Если 𝐴, 𝐵 ⊆ ℤ𝑝, где 𝑝 — простое число, то

𝐴 + 𝐵 ≥ min 𝑝, 𝐴 + 𝐵 − 1

Доказательство:Сначала рассмотрим лёгкий случай 𝐴 + 𝐵 > 𝑝.Для любого 𝑐 ∈ ℤ𝑝 имеем

𝐴 + 𝑐 − 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 > 𝑝а значит 𝐴 ∩ 𝑐 − 𝐵 ≠ ∅, и найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что𝑎 = 𝑐 − 𝑏. Отсюда 𝑐 ∈ 𝐴 + 𝐵.

Т.к. 𝑐 брался произвольным, получаем 𝐴 + 𝐵 = ℤ𝑝.

Page 11: Теорема Алона о нулях и её применения

Теорема Коши—Давенпорта

Пусть теперь 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑝.

Допустим, что 𝐴 + 𝐵 < 𝐴 + 𝐵 − 1, и придём к противоречию.

По предположению, найдётся 𝐶 ⊂ ℤ𝑝, такое, что 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 −2 и 𝐴 + 𝐵 ⊆ 𝐶.

Рассмотрим многочлен

𝑃 𝑥, 𝑦 ≔

𝑐∈𝐶

𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ𝑝 𝑥, 𝑦

Заметим, что 𝑃 𝑥, 𝑦 = 0 для любых 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵.

Page 12: Теорема Алона о нулях и её применения

Теорема Коши—Давенпорта

𝑃 𝑥, 𝑦 ≔

𝑐∈𝐶

𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ𝑝 𝑥, 𝑦

Раскрыв скобки в определении 𝑃, видим, что

coef𝑥 𝐴 −1𝑦 𝐵 −1 𝑃 = 𝐴 + 𝐵 −2 !𝐴 −1 ! 𝐵 −1 !

mod 𝑝 ≠ 0

то есть моном 𝑥 𝐴 −1𝑦 𝐵 −1 в многочлене есть.

По теореме Алона, найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что 𝑃 𝑎, 𝑏 ≠ 0.

Но такого не может быть по определению 𝑃.

Page 13: Теорема Алона о нулях и её применения

Покрытие вершин куба гиперплоскостями

Вопрос: сколько плоскостей нужно, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба?

Теорема (Алон, Фюреди).Наименьшее число плоскостей, достаточное, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба в ℝ𝑛, равно 𝑛.

Доказательство:

Б.о.о. будем считать, что у нас куб 0,1 𝑛, и что вершина, которую мы не покрываем 0,0, … , 0 .

Page 14: Теорема Алона о нулях и её применения

Покрытие вершин куба гиперплоскостями

Куб 0,1 𝑛, не покрываем вершину 0,0, … , 0 .

𝑛 плоскостей достаточно — например, такие:

• 𝑥1 − 1 = 0

• 𝑥2 − 1 = 0

• …

• 𝑥𝑛 − 1 = 0

Сложная часть — доказать, что меньшим числом плоскостей не обойтись. Докажем это от противного…

Page 15: Теорема Алона о нулях и её применения

Покрытие вершин куба гиперплоскостями

Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями, 𝑚 < 𝑛. Пусть их уравнения такие:𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0

⋮𝒂𝑚, 𝒙 − 𝑏𝑚 = 0

При этом 𝑏1, … , 𝑏𝑚 ≠ 0, т.к. ни одна из плоскостей не должна покрывать точку 0,0, … , 0 . Рассмотрим многочлен:

𝑃 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ≔

𝑗=1

𝑚

𝑏𝑗 − 𝒂𝑗 , 𝒙 −

𝑗=1

𝑚

𝑏𝑗 ⋅

𝑖=1

𝑛

1 − 𝑥𝑖

Имеем deg𝑃 = 𝑛, и

coef𝑥1⋅𝑥2⋅…⋅𝑥𝑛 𝑃 = −1 𝑛+1

𝑗=1

𝑚

𝑏𝑗 ≠ 0.

По теореме Алона, найдутся 𝛼1 ∈ 0,1 , … , 𝛼𝑛 ∈ 0,1 , для которых 𝑃 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ≠ 0.

Page 16: Теорема Алона о нулях и её применения

Покрытие вершин куба гиперплоскостями

Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями:

𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0⋮

𝒂𝑚, 𝒙 − 𝑏𝑚 = 0

По теореме Алона, найдётся точка из 0,1 𝑛, на которой многочлен

𝑃 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ≔ 𝑗=1𝑚 𝑏𝑗 − 𝒂𝑗 , 𝒙 − 𝑗=1

𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1𝑛 1 − 𝑥𝑖

не равен нулю. Но это невозможно:

• 𝑃 0,… , 0 = 𝑗=1𝑚 𝑏𝑗 − 𝑗=1

𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1𝑛 1 = 0

• Для любой точки 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ∈ 0,1 𝑛 ∖ 0,… , 0 имеем

𝑃 𝛼1, … , 𝛼𝑛 = 𝑗=1𝑚 0 − 𝑗=1

𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 0 = 0

Page 17: Теорема Алона о нулях и её применения

Регулярные подграфы в регулярных графах

Общая постановка многих задач в теории графов: в данном графе с известными свойствами выделить подграф с требуемыми свойствами.

Например:

• В заданном графе найти максимальную клику

• В заданном несвязном графе найти компоненту связности с максимальным числом вершин.

• …

Page 18: Теорема Алона о нулях и её применения

Регулярные подграфы в регулярных графах

Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует 𝑘 − 1 -регулярный подграф?

Известно следующее:

• Это так для 𝑘 ≤ 3 — простое упражнение.

• Это так для 𝑘 = 4 — и это трудная теорема (В.А. Ташкинов ’1984)

• Это в общем случае не верно для 𝑘 ≥ 6

Page 19: Теорема Алона о нулях и её применения

Регулярные подграфы в регулярных графах

Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует𝑘′-регулярный подграф (𝑘′ < 𝑘)?

Известно, например, что для любых нечётных 𝑘 и 𝑘′ ответ на вопрос положительный.

Если ослабить условие «строгой» регулярности и рассматривать «почти регулярные» графы (у которых степени вершин близки, но необязательно равны) — тоже можно доказать кое-что интересное…

Page 20: Теорема Алона о нулях и её применения

Регулярные подграфы в регулярных графах

Теорема (Алон, Фридланд, Калаи).Пусть 𝑝 — простое число. Пусть 𝐺 = 𝑉, 𝐸 — мультиграф(без петель), удовлетворяющий условиям

• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1,

• 1

𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2.

Тогда в 𝐺 есть 𝑝-регулярный подграф.

Page 21: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы А—Ф—К

• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, и 1

𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2

Для каждого 𝑣 ∈ 𝑉 и 𝑒 ∈ 𝐸 положим

𝟙𝑣,𝑒 ≔ 1, если 𝑣 и 𝑒 инцидентны0, иначе

Каждому 𝑒 ∈ 𝐸 сопоставим переменную 𝑥𝑒.

Рассмотрим многочлен от переменных 𝑥𝑒 𝑒∈𝐸 с коэффициентами в ℤ𝑝:

𝑃 ≔

𝑣∈𝑉

1 −

𝑒∈𝐸

𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒

𝑝−1

𝑒∈𝐸

1 − 𝑥𝑒

Page 22: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы А—Ф—К

• 1

𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2

𝑃 ≔

𝑣∈𝑉

1 −

𝑒∈𝐸

𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒

𝑝−1

𝑄

𝑒∈𝐸

1 − 𝑥𝑒

Из условия, 2 ⋅ 𝐸 = 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 ⋅ 𝑉 , отсюда deg𝑄 ≤ 𝑝 − 1 ⋅ 𝑉 < 𝐸 .

Следовательно, deg𝑃 = 𝐸 .

При этом, coef 𝑒∈𝐸 𝑥𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0.

Page 23: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы А—Ф—К

𝑃 ≔

𝑣∈𝑉

1 −

𝑒∈𝐸

𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒

𝑝−1

𝑒∈𝐸

1 − 𝑥𝑒

deg 𝑃 = 𝐸 и coef 𝑒∈𝐸 𝑥𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0.

Значит, по теореме Алона, найдётся набор значений 𝜶 = 𝛼𝑒 𝑒∈𝐸 ∈ 0,1 𝐸 , такой, что 𝑃 𝜶 ≠ 0.

При этом для любого 𝑣 ∈ 𝑉 имеем

𝑒∈𝐸

𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒 =𝑝0

иначе, по м. т. Ферма, получилось бы 𝑒∈𝐸 𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒𝑝−1

=𝑝1 ⇒ 𝑃 𝜶 = 0 (в ℤ𝑝).

Page 24: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы А—Ф—К

• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1

• 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙𝑣,𝑒𝑥𝑒𝑝−1

− 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥𝑒

Нашли 𝜶 ∈ 0,1 𝐸 , т. ч. 𝑃 𝜶 ≠ 0, и ∀𝑣 ∈ 𝑉

𝑒∈𝐸

𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒 =𝑝0

Кроме того, видно, что 𝜶 ≠ 𝟎. Взяв те рёбра 𝐺, для которых 𝛼𝑒 = 1, и все вершины 𝐺, получим непустой остовный подграф 𝐺′.

В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины 𝑣 равна 𝑒∈𝐸 𝟙𝑣,𝑒𝛼𝑒 =𝑝0, а значит, эта

степень равна нулю или 𝑝.

Page 25: Теорема Алона о нулях и её применения

Доказательство теоремы А—Ф—К

По набору 𝜶 построили непустой остовный подграф 𝐺′.

В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины равна нулю или 𝑝.

Выбросив из 𝐺′ вершины нулевой степени, получим искомый 𝑝-регулярный подграф.