Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя школа № 457 с углублённым изучением

английского языка Выборгского района Санкт-Петербурга

Исследовательская работа

Работу выполнил Абрамов Максим, 9 БРуководитель Шумкова А. В.

Заместитель директора по НЭР

Санкт-Петербург

2014

Простые числа играют очень важную роль в математике. Я считаю, что исследований, посвященных изучению закономерности расположения простых чисел и их свойств, недостаточно. Поэтому, считаю свой исследовательский проект актуальным.

Объект исследования:

Простые числа

Предмет исследования:

Закономерность расположения простых чисел

Нахождение простых чисел через освоение метода «Решето Эратосфена»

Исследовать свойства простых чисел

Изучить материал о простых числах

Рассмотреть закономерность расположения и свойства простых чисел

Работа с научной литературой и ресурсами Интернета;

Работа с методом «Решето Эратосфена»;

Наблюдение, изучение, обобщение, сравнение и анализ.

Простое число - это натуральное число, которое имеет только два делителя (единицу и само это число).

Составное число - это натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Решето Эратосфена — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, который приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа. Понятие простого числа было введено математиками Древней Греции. В Древней Греции также установили бесконечность множества простых чисел и понимали факт единственности разложения на простые множители.

Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 2000 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до н. э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.

Рассмотрим алгоритм более подробно, разбив его на несколько частей. Итак, для поиска простых чисел методом Решета Эратосфена нужно:

Организовать список из чисел от 2 до N

В свободную переменную R записать число 2

Исключить все числа кратные R, начиная с R*2

Записать в R следующее за R незачеркнутое число

Повторять действия, описанные в двух предыдущих шагах, пока это возможно

2 3 4 5 6

7 8 9 10 11

12 13 14 15 16

17 18 19 20 21

22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

32 33 34 35 N

Теперь все незачеркнутые числа в списке — простые.

Количество простых чисел до 1000: 168

Простые числа от 2 до 100: 25 чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97)

Простые числа от 100 до 200: 21 число (101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199)

Простые числа от 200 до 300: 16 чисел (211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293)

Простые числа от 300 до 400: 16 чисел (307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397)

Простые числа от 400 до 500: 17 чисел (401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499)Простые числа от 500 до 600: 14 чисел (503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599)Простые числа от 600 до 700: 16 чисел (601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691)Простые числа от 700 до 800: 14 чисел (701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797)

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел (809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887) Простые числа от 900 до 1000: 14 чисел (907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997)

Вывод: количество простых чисел постепенно уменьшается.

Числа - палиндромы: 16 чисел (11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929).Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941,157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 -991, 337- 733, 347 –743,359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 -937, 769 – 967 (14 пар)

Существуют различные свойства простых чисел. Часть из них доказана, другая – нет, какие-то существуют в статусе предположений. Среди основных доказанных свойств выделим следующие:

Множество простых чисел бесконечно;

Среди простых делителей составного числа есть хотя бы один, квадрат которого меньше или равен данному составному числу;

Все натуральные числа можно представить в виде суммы двадцати простых слагаемых;

«Малая теорема Ферма»: если p – простое число, такое что число n на него не делится, то число np – 1 – 1 всегда делится на p.

Недоказанные свойства простых чисел:

Любое чётное число можно выразить в виде суммы двух простых чисел;

Любое большое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых нечётных чисел;

Любые большие чётные числа можно представить в виде суммы четырёх простых чётных чисел;

Любое чётное число можно представить в виде разности двух простых чисел.

Древнегреческий учёный Евклид в своей книге, являвшейся основным учебником математики на протяжении двух тысяч лет, доказал, что простых чисел бесконечное множество. Отсюда следует, что самого большого простого числа не существует, так как количество простых чисел бесконечно.

В турбинах моторов число лопаток ротора и статора надо выбирать таким образом, чтобы отношение их количества составляло простые числа.

Простые числа (которые делятся только на два других простых числа) - лежат в основе системы криптографии, известной как RSA.