СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: ученица 8 класса Жихарева Е.

Руководитель: учитель математики Суворов А.С.

Цель :Рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

• Задачи :

• Произвести анализ учебно – методической литературы по решению квадратных уравнений.

• Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.

• Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.

План работы

• Определение квадратного уравнения.• Виды квадратных уравнений.• Способы решения неполных квадратных

уравнений. • Способы решения полных квадратных

уравнений.

• Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Уравнение вида Уравнение вида axax22++bxbx++cc=0=0, (1), (1)где где aa, , bb,, и и сс - любые - любые действительные числа, причём действительные числа, причём а≠0, а а≠0, а х х переменная, называется переменная, называется квадратным уравнениемквадратным уравнением..

Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.) 8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)

Виды квадратных уравнений.

• Полные квадратные уравнения.

-3+7х+8х²=0;

x2 - 2x-1=0,

• Приведённое.

х² + рх+q=0

• Неприведённое.

2x2+5x+6=0

Неполные квадратные уравнения.

1. ах2 + bx = 0, где с=0 .

2. ах2 + с = 0, где b=0.

3. ax2 = 0, где b=0, c=0.

Способы решения неполных квадратных уравнений.

ax2 =0 (b=0, c=0) имеет равные между собой два корня

x1=x2=0.

Использование ФСУ, разности квадратов.

а) x2-25=0

(x-5)(x+5)=0

x1=5 x2 = -5

б) (x-2)2 -49=0

(x-2-7) (x-2+7)=0

x1=9 x2 = -5

Способы решения полных квадратных уравнений.

• Способ группировки.

x2-10x-24=0

x2- 12x+2x -24=0

(x2 +2x) +(-12x-24)=0

x(x+ 2) -12(x+2)=0

(x-12)(x+2)=0

x1=12 x2 = -2

• Совокупность простых уравнений

x-12=0 и x+2=0, равносильно данному уравнению, где х1= 12 и х2=-2 корни уравнения.

• При замене второго слагаемого суммой обращаем внимание на то, что слагаемые должны иметь делители со свободным членом.

Выделение квадрата двучлена с разложением по формуле разности квадратов.

x2 -8x-84=0

x2 -8x +16-16-84=0

(x-4)2 -100=0

(x-4-10) (x-4+10)=0

x1=14 x2= -6

Графический способ решения

квадратных уравнений.ax2+bx+c=0

ax2 = - bx-c

•Строим графики y=ax2 и y= - bx - c.

Формулы корней квадратного уравнения.

Теорема Виета.

• Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Решение квадратных уравнений по коэффициентам.

Рассмотрим следующий способ решения квадратных уравнений - метод "переброски" .

Решение уравнений приводящихся к решению квадратных уравнений.

• Введём обозначение х2=z. Подставив в уравнение *, получим квадратное уравнение: z2 +8z- 9=0.

• Решив квадратное уравнение получим z1 =-9, z2= 1.

• Для нахождения значения x возвращаемся в равенство х2=z и вместо z подставим его значения. Тогда получим уравнения

х2=z1 и х2=z2 т.е

х2= -9 и х2=1• Уравнение х2= -9 корней не имеет, а

уравнение х2=1 имеет два корня:х1=1 и х2=- 1.

Заключение.

• Вывод: приступая к решению любого квадратного уравнения, следует не спешить приступать к вычислению дискриминанта и применению формул корней квадратного уравнения, а сначала нужно проверить какой из способов решения квадратных уравнений будет рациональным и применить алгоритм.

• Рассмотренные в моей работе способы решения квадратных уравнений были апробированы всеми учениками моего класса. Замечу , что ими овладели все одноклассники кто лучше, а кто хуже, но я знаю точно, что польза от того, что мы их знаем есть, хотя бы потому что мы выигрываем во времени.

• Я считаю, что материалы, рассмотренные в моей работе, могут быть, полезны всем, кто любит математику и находится в поиске рациональных способов решения квадратных уравнений.

Спасибо за внимание!