15
ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1. α) Πότε μια συνάρτηση με Πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται περιοδική; β) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και η περίοδος των συναρτήσεων ημx, συνx , εφx και σφx; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Περιοδική ονομάζεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει: i) x + T A, x - T A και ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x) Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. β. Η συνάρτηση ημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π. Η συνάρτηση συνημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π. Η συνάρτηση εφαπτομένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x|συνx ≠ 0} και είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η συνάρτηση συνεφαπτομένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â-{x|ημx ≠ 0} και είναι περιοδική με περίοδο Τ= π. 2. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας τους. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η συνάρτηση ημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστημα μιας περιόδου Τ= [0,2π] είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, 2 π ]. γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 2 π , π], γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 2 3π ] γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 2 3π , 2π]. Η συνάρτηση συνημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α=Â και σε διάστημα μιας περιόδου Τ=[0,2π] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, 2 π ]. γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 2 π , π], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [π, 2 3π ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 2 3π , 2π]. 1

θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

1. α) Πότε μια συνάρτηση με Πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται περιοδική; β) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και η περίοδος των συναρτήσεων ημx, συνx , εφx και σφx;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. Περιοδική ονομάζεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:

i) x + T ∈ A, x - T ∈ A και

ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x)

Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.

β. Η συνάρτηση ημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π. Η συνάρτηση συνημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π. Η συνάρτηση εφαπτομένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x|συνx ≠ 0} και είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η συνάρτηση συνεφαπτομένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â-{x|ημx ≠ 0} και είναι περιοδική με περίοδο Τ= π.

2. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας τους.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η συνάρτηση ημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστημα μιας περιόδου Τ= [0,2π] είναι:

• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, 2

π].

• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [2

π, π],

• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 2

3π]

• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [2

3π, 2π].

Η συνάρτηση συνημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α=Â και σε διάστημα μιας περιόδου Τ=[0,2π] είναι

• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, 2

π].

• γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [2

π, π],

• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [π, 2

3π] και

• γνησίως αύξουσα στο διάστημα [2

3π, 2π].

1

Page 2: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Η συνάρτηση εφαπτομένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x | συνx ≠ 0} και σε διάστημα μιας

περιόδου Τ = ( - 2

π,

2

π) είναι γνησίως αύξουσα.

3. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx να γράψετε τις θέσεις , το είδος και τις τιμές των ακροτάτων τους ( όπου υπάρχουν).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η συνάρτηση ημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστημα μιας περιόδου Τ= [0,2π]

• για x = 2

π, παρουσιάζει μέγιστο το ημ

2

π = 1 και

• για x = 2

3π, παρουσιάζει ελάχιστο, το ημ

2

3π = -1.

Η συνάρτηση συνημίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστημα μιας περιόδου Τ=[0,2π]

• για x = 0, παρουσιάζει μέγιστο το συν0 = 1 • για x = π, παρουσιάζει ελάχιστο το συνπ = – 1 και• για x = 2π, παρουσιάζει μέγιστο το συν2π = 1

Η συνάρτηση εφαπτομένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x|συνx ≠ 0} και δεν έχει ακρότατα.

4. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx και σφx να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ημx, συνx εφx και σφx είναι:

2

Page 3: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

5. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ρ⋅ημ(ω⋅x), όπου ρ και ω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αναφέρετε τον ρόλο των παραμέτρων ρ και ω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρ⋅ημ(ω⋅x), όπου ρ, ω > 0:

• Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με -ρ

• Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με Τ =

ωπ2

6. Να δώσετε τους ορισμούς: πολυώνυμο, σταθερό πολυώνυμο, μηδενικό πολυώνυμο, ίσα πολυώνυμα και βαθμός πολυωνύμου αριθμητική τιμή πολυωνύμου και ρίζα πολυωνύμου.

3

Page 4: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. Πολυώνυμο με μεταβλητή x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής:

ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0,

όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0, α1, …, αν είναι πραγματικοί αριθμοί.

β. Σταθερό πολυώνυμο ονομάζεται κάθε πολυώνυμο της μορφής α0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί.

γ. Μηδενικό πολυώνυμο ονομάζεται το σταθερό πολυώνυμο 0.

δ. Ίσα ονομάζονται δύο πολυώνυμα αμxμ + … + α1x + α0 και βνxν + … + β1x + β0, με μ ≥ ν

όταν: α0 = β0, α1 = β1, …, αν = βν και αν+1 = αν+2 = … = αμ = 0

ε. Βαθμός πολυωνύμου ονομάζεται αριθμός k σε κάθε πολυώνυμο που παίρνει την μορφή: αkxk + αk-1xk-1 + … + α1x + α0, με αk ≠ 0

ΣΧΟΛΙΑ

• Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. • Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός.

στ. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου για x = ρ ονομάζεται ο πραγματικός αριθμός P(ρ) = ανρν + αν-1ρν-1 + … + α1ρ + α0 που προκύπτει αν σε ένα πολυώνυμο P(x) = ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0 αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ. ζ. Ρίζα ενός πολυωνύμου P(x) ονομάζεται ο αριθμός ρ όταν P(ρ) = 0

7. Να γραφτεί η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο δ(x)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) ≠ 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).

το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται

4

Page 5: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Δ(x) = δ(x)·π(x)

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x).

8. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή που πολυωνύμου για x = ρ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x - ρ γράφεται.

P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)

Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθμού, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ.

Έτσι έχουμε: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ

Αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε: P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ

Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή που πολυωνύμου για x = ρ .

9. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΕΥΘΥ

Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε ισχύει: P(x) = (x - ρ)π(x)

Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε

5

Page 6: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) ⇒ P(ρ) = 0⋅π(ρ) ⇒ P(ρ) = 0

δηλαδή το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ

Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x) τότε ισχύει Ρ(ρ) = 0.

Είναι: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ (1)

για x = ρ παίρνουμε

P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ ⇒

0 = 0⋅π(ρ) + υ ⇒ υ = 0

Και η (1) σχέση γράφεται: P(x) = (x - ρ)π(x) που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).

10.Τι ονομάζεται πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

αvxν + αv-1xν-1 + … + α1x + α0 = 0, αv ≠ 0

11. Τι ονομάζεται ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου

P(x) = αvxν + αv-1xν-1 + … + α1x + α0,

δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0.

12. Ποια ισοδυναμία χρησιμοποιούμε για την επίλυση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης Ρ(x) = 0

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία:

P1(x)·P2(x)…Pk(x) = 0 ⇔ (P1(x) = 0 ή P2(x) = 0 ή … Pk(x) = 0)

Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και

6

Page 7: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού.

13. Nα αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ≠0 είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου της αο. (θεώρημα των ακεραίων ριζών)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν o ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε

αvρν + αv-1ρν-1 + … + α1ρ + α0 = 0 ⇔

α0 = – αvρν – αv-1ρν-1 – … – α1ρ ⇔

α0 = ρ(–αvρν-1 – αv-1ρν-2 – … – α1)

Επειδή οι ρ, α1, α2, …, αν είναι ακέραιοι έπεται ότι και o – αvρν-1 – αv-1ρν-2 – … – α1 είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α0.

14. Πότε μια συνάρτηση ονομάζεται ακολουθία.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ακολουθία λέγεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο N∗ των θετικών ακεραίων.

ΣΧΟΛΙΑ

• Μια ακολουθία συμβολίζεται με το γράμμα α και η τιμή της στο ν με αν και διαβάζεται «α με δείκτη ν».

• Οι τιμές α1, α2, α3 κτλ. λέγονται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κτλ. της ακολουθίας.

• Ο αν λέγεται νιοστός ή γενικός όρος της ακολουθίας. Μια ακολουθία ορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τον νιοστό όρο της.

• Αφού το πεδίο ορισμού μιας ακολουθίας είναι το N∗ η γραφική της

παράσταση αποτελείται από σημεία με τετμημένες θετικούς ακέραιους αριθμούς.• Μια ακολουθία ορίζεται αν γνωρίζουμε έναν αναδρομικό τύπο της (δηλαδή

μια σχέση που να προσδιορίζει την σύνδεση δύο ή περισσότερων διαδοχικών όρων της ) και όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους

15. Να δώσετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου και να αποδείξετε τον τύπο που υπολογίζει τον νιοστό της όρο, αν είναι γνωστοί ο πρώτος της όρος και η διαφορά της.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με την πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Δηλαδή : αν+1 = αν +ω για κάθε ν∈N*

7

Page 8: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Όπου ο αριθμός ω= αν+1 - αν ονομάζεται διαφορά της προόδου.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε τις παρακάτω ισότητες:

Προσθέτοντας κατά μέλη της ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής βρίσκουμε αν = α1 + (ν-1)ω

16. Να αποδείξετε ότι: οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει 2β=α+γ. Πώς ονομάζεται ο αριθμός β;

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε:

α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ⇔

ω+β=γω+α=β

γ=ω+βω+α=β

⇔ β +β + ω = α + ω + γ ⇔ 2β = α + γ

ΣΧΟΛΙΟ

Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ

17. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου δίνεται από τις

σχέσεις α) Sν= ⋅2

ν(α1+αν) β) Sν = ⋅

2

ν[2α1+(ν-1)ω]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

α) Έχουμε: Sν = α1 + (α1 + ω) + (α1 + 2ω) + … + (αν – 2ω) + (αν – ω) + αν

8

Page 9: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

και Sν = αν + (αν – ω) + (αν – 2ω) + … + (α1 + 2ω) + (α1 + ω) + α1

και προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες προκύπτει:

2⋅ Sν = (α1 + αν) + (α1 + αν) + … +(α1 + αν) + (α1 + αν) ⇒

2⋅ Sν = ν⋅ (α1 + αν) ⇒ Sν= ⋅2

ν(α1+αν)

β) Eπειδή ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι: αν = α1 + (ν –1)ω, τότε το παραπάνω άθροισμα γράφεται:

Sν = 2

ν⋅(α1+αν) =

2

ν⋅[α1+ α1 + (ν–1)ω ] =

2

ν⋅[2α1 + (ν–1)ω ] άρα Sν = ⋅

2

ν[2α1+(ν-1)ω]

18. Να δώσετε τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου και να αποδείξετε τον τύπο που υπολογίζει τον νιοστό της όρο, αν είναι γνωστοί ο πρώτος της όρος και ο λόγος της.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικού αριθμό.

Δηλαδή : αν+1 = αν λ⋅ για κάθε ν∈N* και α1 ≠ 0

Ο αριθμός λ = ν

αα 1

ονομάζεται λόγος της προόδου.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε τις παρακάτω ισότητες:

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε αν = α1 ⋅λν-1

19. Να αποδείξετε ότι: τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β 2 = α⋅γ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

9

Page 10: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε:

α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ⇔

λ⋅β=γλ⋅α=β

γ=λ⋅βλ⋅α=β

⇔ β⋅β⋅λ = α ⋅λ⋅ γ ⇔ β2 = α⋅γ

ΣΧΟΛΙΟ

Ο θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ

20. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με λόγο λ ≠1 είναι

Sν=α11

1

−λ−λ⋅

ν

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω Sν = α1 + α1λ + α1λ2 + … + α1λν -1 (1)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με τον λόγο λ και έχουμε:

λ⋅ Sν = α1 λ + α1λ2 + α1λ3 + … + α1λν (2)

αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

λ⋅ Sν – Sν

= α1λν – α1 ⇒ (λ – 1)⋅ Sν = α1 (λν – 1) ⇒ Sν = α1

1

1

−λ−λ⋅

ν για λ ≠ 1

ΣΧΟΛΙΟ

Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ = 1, τότε το άθροισμα των όρων της είναι Sv = ν · α1 αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με α1.

21. Nα δώσετε τον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης με βάση ένα θετικό αριθμό α, να αναφέρετε το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της και να γράψετε το είδος της μονοτονίας της για τις διάφορες τιμές του θετικού αριθμού α.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Έστω α > 0 με α ≠ 1. Ονομάζουμε εκθετική συνάρτηση με βάση α την συνάρτηση f(x) = αx.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν α = 1, τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f(x) = 1x = 1.

Για την εκθετική συνάρτηση f(x) = αx έχουμε ότι:

10

Page 11: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Αν α > 1

• Έχει πεδίο ορισμού Α = Â.• Έχει σύνολο τιμών f(Α) = (0, +∞)• Είναι γνησίως αύξουσα στο Ρ δηλαδή ισχύει η

συνεπαγωγή Αν x1 < x2 τότε 21 xx α<α

Η γραφική της παράσταση είναι:

Αν 0 < α < 1

• Έχει πεδίο ορισμού Α = Â.• Έχει σύνολο τιμών f(Α) = (0, +∞)• Είναι γνησίως φθίνουσα στο Ρ δηλαδή

ισχύει η συνεπαγωγή Αν x1 < x2 τότε 21 xx α>α

Η γραφική της παράσταση είναι:

η οποία τέμνει τον άξονα yy΄ στο σημείο (0, 1) και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα Οx΄

η οποία τέμνει τον άξονα yy΄ στο σημείο (0, 1) και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Οx.

22.Να διατυπώσετε τον νόμο της εκθετικής μεταβολής. Τι ονομάζεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού μιας ραδιενεργής ουσίας;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής εκφράζεται από μια εκθετική συνάρτηση Q(t) με τύπο:

Q(t) = Qo∙ ect

Όπου Qo είναι η αρχική τιμή του Q ( για t = 0)

Και c μια σταθερά για την οποία: Αν c > 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.Αν c < 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα

23. Έστω α > 0 , α ≠ 1 και θ >0. Να δώσετε τον ορισμό του λογαρίθμου θ με βάση τον πραγματικό αριθμό α.; Ποια είδη λογαρίθμων γνωρίζετε και πως συμβολίζονται;

11

Page 12: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ >0 , τότε η εξίσωση αx = θ έχει μοναδική λύση. Την μοναδική αυτή λύση την συμβολίζουμε με logαθ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ με βάση α.

Δηλαδή ισχύει:

Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ >0 τότε αx = θ ⇔ x = logαθ ⇔ θlogαα = θ

Είδη λογαρίθμων

• Δεκαδικοί λογάριθμοι, έχουν βάση το 10 και συμβολίζονται με logθ• Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι, έχουν βάση τον αριθμό e και συμβολίζονται με lnθ• Λογάριθμοι με βάση α > 0 και α ≠ 1 και διαφορετικό με των αριθμών 10 και e

24. Αν α > 0 και α ≠ 1 αποδείξετε ότι logα1 = 0 και logαα = 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω: logα1 = x ⇔ α x = 1 ⇔ α x = α ο ⇔ x = 0

Επομένως είναι logα1 = 0

Έστω: logαα = y ⇔ α y = α ⇔ α y = α 1 ⇔ y = 1

Επομένως είναι logαα = 1

ΣΧΟΛΙΟ

Για τους φυσικούς λογάριθμους ισχύουν:• ex = θ ⇔ x = lnθ ⇔ lnθe = θ• ln1 = 0 • lne = 1

25. Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ1, θ2 > 0 να αποδείξετε ότι: logα(θ1∙θ2) = logαθ1 + logαθ2

12

Page 13: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι είναι: logαθ1 = x και logαθ2 = y, τότε ισοδύναμα έχουμε

=θ=θ

α

α

ylog

xlog

2

1 ⇔

θ=αθ=α

2y

1x

και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε:

αx1·αx

2 = θ1θ2 ⇔ αx1+x

2 = θ1θ2 ⇔ logα(θ1θ2) = x1 + x2 ⇔ logα(θ1θ2) = logαθ1 + logαθ2

26. Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ1, θ2, > 0 να αποδείξετε ότι: logα2

1

θ

θ

= logαθ1 - logαθ2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι είναι: logαθ1 = x και logαθ2 = y, τότε ισοδύναμα έχουμε:

=θ=θ

α

α

ylog

xlog

2

1 ⇔

θ=αθ=α

2y

1x

και διαιρώντας κατά μέλη έχουμε:

αx1 : αx

2 = θ1: θ2 ⇔ αx1

- x2 = θ1 : θ2 ⇔ logα(θ1:θ2) = x1 - x2 ⇔ logα

2

1

θθ

= logαθ1 - logαθ2

27.Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ > 0 και κ ∈ Á να αποδείξετε ότι: logαθκ = κ∙logαθ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν ονομάσουμε : logαθ = x έχουμε ισοδύναμα:

logαθ = x ⇔ αx = θ ⇔ αkx = θk ⇔ k⋅x = logαθk ⇔ logαθk = k·logαθ

28. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ > 0 ισχύει: logα

ν θ = ν

1⋅ logαθ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή για κάθε θ > 0 ισχύει ν θ

= νθ1

, έχουμε:

logαν θ = logα νθ

1

= ν1

⋅ logαθ

ΣΧΟΛΙΟ

13

Page 14: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων.

Αν α, β > 0, με α, β ≠ 1 τότε για κάθε θ > 0 ισχύει: logβθ = βθ

α

α

log

log

Ειδικά για την μετατροπή ενός λογαρίθμου σε φυσικό ισχύει: logβθ = βθ

ln

ln

29. Έστω α > 0, α ≠ 1, τι ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση τον αριθμό α; Να αναφέρετε το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της και να γράψετε το είδος της μονοτονίας της για τις διάφορες τιμές του θετικού αριθμού α.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Έστω α > 0, α ≠ 1 Η συνάρτηση f : (0, +∞)→ Â με f(x) = logαx ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α.

Αν α > 1 τότε η συνάρτηση f(x) = logαx έχει:• Πεδίο ορισμού Α = (0, +∞)• Σύνολο τιμών f(A) = • Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή αν x1 < x2

τότε logαx1 < logαx2

• Έχει γραφική παράσταση

Αν 0 < α <1 τότε η συνάρτηση f(x) = logαx έχει:• Πεδίο ορισμού Α = (0, +∞)• Σύνολο τιμών f(A) = • Είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή αν x1 < x2

τότε logαx1 < logαx2

• Έχει γραφική παράσταση

Που τέμνει τον xx΄ στο σημείο Α(1, 0) και έχει ασύμπτωτη τον ημιάξονα Οy΄

Που τέμνει τον xx΄ στο σημείο Α(1, 0) και έχει ασύμπτωτη τον ημιάξονα Οy

ΣΧΟΛΙΑ• Ισχύει η ισοδυναμία: logαx1 = logαx2 ⇔ x1 = x2

• Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = logαx και y = αx είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Οy΄

ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣMcD Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών

14

Page 15: θεωρητικα θεματα αλγεβρας β΄ λυκειου

15