Δηθόλεο ηάμεο θαη ράνπο ζε δηεξεύλεζε ηδηνηήησλ πνδηθνύ

ηξηγώλνπ, κέζσ δπλακηθνύ Γεσκεηξηθνύ εξγαιείνπ.

Θεκαηηθή Δλόηεηα 3ε Πξαθηηθέο θαη θαηλνηνκίεο ζηελ εθπαίδεπζε θαη ζηελ

έξεπλα

Γιάννηρ Π. Πλαηάπορ Μαζεκαηηθόο, Καπεηάλ Κξόκπα 37, 24200 ΜΔΣΣΗΝΗ,

plataros@gmail.com

Abstract: The investigation of simple mathematical statements in a traditional

way, in many cases, it is practically impossible. There are now accessible

educational math software tools to rapidly explore mathematical statements that

can not be performed in the traditional way of working. At the same time, shifts

the focus on the discovery of mathematical knowledge in a playful way.

Πεπίλητη: Η έξεπλα ησλ απιώλ καζεκαηηθώλ θαηαζηάζεσλ κε παξαδνζηαθό

ηξόπν, ζε πνιιέο πεξηπηώζεηο, είλαη πξαθηηθά αδύλαηε. Υπάξρνπλ πιένλ

πξνζηηά εθπαηδεπηηθά εξγαιεία ινγηζκηθνύ καζεκαηηθώλ γηα ηελ ηαρεία

δηεξεύλεζε καζεκαηηθώλ θαηαζηάζεσλ, πνπ δελ κπνξνύλ λα

πξαγκαηνπνηεζνύλ κε ηνλ παξαδνζηαθό ηξόπν εξγαζίαο. Τελ ίδηα ζηηγκή,

κεηαηνπίδεηαη ην ελδηαθέξνλ ζηελ αλαθάιπςε ηεο καζεκαηηθήο γλώζεο, κε

παηγληώδε ηξόπν.

Διζαγυγή: Τν πνδηθό ηξίγσλν,

νξίδεηαη σο εμήο: Έρσ έλα

δεδνκέλν ηξίγσλν θαη έλα ζεκείν

ηνπ επηπέδνπ ηνπ, ην Ο. Από ην Ο,

θέξσ ηηο θαζέηνπο ζηνπο θνξείο

ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη

ζεσξώ ηνπο ηξεηο πόδεο ησλ

θαζέησλ νη νπνίνη νξίδνπλ έλα

ηξίγσλν Α΄Β΄Γ΄ (ην ζθνύξν) πνπ

θαιείηαη «πνδηθό ηξίγσλν». Μηα

γλσζηή εηδηθή πεξίπησζε πνδηθνύ

ηξηγώλνπ είλαη ην «νξζηθό

ηξίγσλν» πνπ νξίδεηαη από ηνπο

Σχ. 1

πόδεο ησλ πςώλ παληόο ηξηγώλνπ, όπνπ ηόηε ην «ζεκείν ηνπ επηπέδνπ» είλαη ην

νξζόθεληξν, ελώ θαη όια ηα ραξαθηεξηζηηθά ζεκεία ηνπ ηξηγώλνπ έρνπλ ηα

αληίζηνηρα πνδηθά ηνπο ηξίγσλα κε ελδηαθέξνπζεο ηδηόηεηεο.

Ο ρεηξηζκόο ηνπ δπλακηθνύ Γεσκεηξηθνύ εξγαιείνπ, εδώ ηνπ Sketchpad, είλαη

γηα λα αλαθαιύπηεη ηηο δπλακηθέο ηδηόηεηεο ηνπ ζρήκαηνο, πην ζπγθεθξηκέλα

ηνπο γεσκεηξηθνύο ηόπνπο. Καζώο ν θαηαζθεπαζηήο ηνπ ζρήκαηνο «παίδεη»

πεηξακαηηδόκελνο κε ηελ θίλεζε, αλαθαιύπηεη ακέζσο ηελ πξώηε πξνθαλή

ηδηόηεηα ηνπ ζρήκαηνο:

1. Καζώο ην Ο θηλείηαη νπνπδήπνηε ζην επίπεδν, ην πνδηθό Α΄Β΄Γ΄ θηλείηαη

έηζη ώζηε νη θνξπθέο ηνπ λα επξίζθνληαη πάληα ζηνπο θνξείο ησλ πιεπξώλ

ηνπ αξρηθνύ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. (Σρ. 1) Η ηδηόηεηα απηή είλαη ζην γλσζηηθό

πεδίν ηνπ πξνθαλνύο,

αξθεί λα

ζπλεηδεηνπνηεζεί ε ίδηα ε

θαηαζθεπή.

2. Καζώο ην Γ θηλείηαη

νπνπδήπνηε ζην επίπεδν,

ην Γ΄ κέλεη ζηαζεξό, ελώ

ηα Α΄ θαη Β΄ θηλνύληαη επί

δύν θύθισλ πνπ δηέξρνληαη

από ην Ο θαη ην Γ΄. (Σρ.2)

Δδώ θαίλεηαη απαξρή

αλαθάιπςεο πξόηαζεο

(ηζρπξή εηθαζία) θαη ε

νπνία ζέιεη απόδεημε.

Πξάγκαηη· ηζρύεη όηη ΟΓ΄

ΑΒ, ΟΒ΄ ΑΓ θαη ΟΑ΄ΒΓ εθ θαηαζθεπήο ηνπ ζρήκαηνο θαη αθνύ ηα

Β΄ , Γ΄ βιέπνπλ ην ΟΑ κε νξζή γσλία, ηα Ο,Α, Β΄, Γ΄ είλαη νκνθπθιηθά θαη

ην θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη ζην κέζνλ Μ ηνπ ΟΑ.

3. Οκνίσο ε δηθαηνιόγεζε γηα ηνλ κεγαιύηεξν θύθιν πνπ έρεη θέληξν ην

κέζνλ Ν ηνπ ΟΒ.

4. ΜΝ=//2

AB θαη ΜΑ=

2

AB θαη ΑΝ κεζνθάζεηνο ηνπ ΟΒ, είλαη θάπνηεο

άιιεο παξαηεξήζεηο πνπ κπνξνύλ λα εμαρζνύλ ακέζσο από ην ζρήκα.

5. Όηαλ ην Γ γίλεηαη ζεκείν ησλ θύθισλ, ηόηε αξρηθό θαη πνδηθό ηξίγσλν

απνθηνύλ θνηλό θνξέα (άκεζε εμήγεζε από ηελ θαηαζθεπή)

Σχ. 2

6. Όηαλ ην ΑΒ θηλείηαη παξαιιήισο πξνο ηνλ εαπηό ηνπ δηαηεξώληαο

ζηαζεξό ην κέγεζόο ηνπ, ηα Α΄, Β΄ θαίλνληαη λα θηλνύληαη επί θύθινπ

ελώ ην Γ΄ επί επζείαο θάζεηεο ζηελ ΑΒ από ην Ο. Δίκαζηε δειαδή πξν

κηαο παξαηεξήζεσο, πνπ επάγεη ζε αλαθάιπςε κηαο πξόηαζεο θαη ε

νπνία ρξεηάδεηαη αηηηνιόγεζε-απόδεημε. Πξάγκαηη, ε ΟΓ είλαη ε

δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ, αθνύ

ην Α΄ βιέπεη ηελ ΟΓ ππό

νξζή γσλία (εθ θαηαζθεπήο)

Δπίζεο ε ΑΒ, θηλείηαη

ζπλερώο θάζεηα ζηελ

ζηαζεξή δηεύζπλζε ΟΑ΄

(Σρήκα 3)

7. Καζώο ην αξρηθό ηξίγσλν

θηλείηαη νπνπδήπνηε ζην

επίπεδν παξάιιεια κε ηνλ

εαπηό ηνπ, νη θνξπθέο ηνπ

πνδηθνύ θηλνύληαη επί ηξηώλ

επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από

ην Ο θαη είλαη θάζεηεο ζηηο

πιεπξέο ηνπ αξρηθνύ.

Η παξαηήξεζε όηη νη θάζεηεο

ζηηο πιεπξέο ηνπ αξρηθνύ από

ην ζηαζεξό ζεκείν Ο ζπληζηνύλ

ζηαζεξέο δηεπζύλζεηο αξθεί γηα

ηελ αηηηνιόγεζε. (Σρήκα 4)

8. Καζώο ην ΑΒ θηλείηαη επί ηνπ

θνξέα ηνπ, (ζρήκα 5) ρσξίο

αλαγθαζηηθά λα έρεη θαη

ζηαζεξό κήθνο, θαη ην Γ

ζηαζεξό, ηόηε ηα Α΄ θαη Β΄

θηλνύληαη επί θύθινπ κε

δηάκεηξν ην ζηαζεξό ηκήκα

ΟΓ. Η εμήγεζε ηεθκαίξεηαη κε

ηελ παξαηήξεζε, όηη ηα Α΄ θαη

Β΄ βιέπνπλ ην ΟΓ ππό νξζή

γσλία, εθ θαηαζθεπήο.

Δλδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ε κε δηαγξαθή νιόθιεξνπ ηνπ θύθινπ από ην

Σχ. 3

Σχ. 4

Σχ. 5

Α΄ θαζώο απηό ηείλεη ζην Ο όηαλ ην Β ηείλεη ζην άπεηξν ηεο απόζηαζεο

εθαηέξσζελ ηνπ θνξέα ηνπ ΑΒ. Δκπιέθεηαη ν παξαηεξεηήο δειαδή, κε

απεηξνζηηθέο δηαδηθαζίεο από

γεσκεηξηθή νδό, θάηη πνπ

παξαηεξείηαη ζπρλά ζε δηεξεπλεηηθέο

δηεξγαζίεο κε ηα δπλακηθά

ινγηζκηθά.

9. Σρήκα 6 : Καζώο ην ζεκείν Β ηνπ

αξρηθνύ ηξηγώλνπ θηλείηαη ειεπζέξσο

ζην επίπεδν, γηα ηα κέζα Μ,Ν,Ξ ησλ

´ô, Α΄Γ΄, ´ô αληηζηνίρσο, έρνπκε

ηελ εηθόλα: Τα κελ Μ,Ξ λα θηλνύληαη

επί θύθισλ ην δε Ν, λα δηαγξάθεη

ζεκεία ελόο δαθηπιίνπ. Ο δαθηύιηνο

θαίλεηαη λα νξίδεηαη από δύν

νκόθεληξνπο θύθινπο εθ ησλ

νπνίσλ ν κελ εμσηεξηθόο

θαίλεηαη λα εθάπηεηαη

εμσηεξηθώο ησλ δύν ν δε

εζσηεξηθόο, λα εθάπηεηαη ησλ

δύν, ζηνλ κελ έλα κεγαιύηεξν

εζσηεξηθώο θαη ζηνλ

κηθξόηεξν εμσηεξηθώο. Τν

δπλακηθό ινγηζκηθό

εξγαδόκελν αόθλσο, θέξλεη

κηαλ άιιε πξόηαζε ζηελ

επηθάλεηα, ρξίδνπζα βεβαίσο

πξώηα ζαθνύο δηαηππώζεσο θαη

θαηόπηλ απνδείμεσο. Οη όπνηεο

εηθαζίεο ζα γίλνπλ κε

επαλαιεπηηθό πεηξακαηηζκό.

Πξάγκαηη, εάλ πεξηνξίζνπκε ηελ

ειεύζεξε θίλεζε ηνπ Β ζην

επίπεδν θαη βάινπκε ην Β λα

θηλείηαη ζε θύθιν (ζρήκα 7) ηόηε

βιέπνπκε κηα άγλσζηε θακπύιε λα

δηαγξάθεηαη κεηαμύ ησλ δύν θύθισλ θαη κάιηζηα κε έλαλ ζπγθεθξηκέλν

ηξόπν: Καζώο πιεζηάδεη ηνλ κηθξό θύθιν, εθηειεί απόηνκα έλα βξόρν

Σχ. 7

Σχ. 8

Σχ. 6

ζην κεγαιύηεξν κέξνο ηνπ θύθινπ θαη έλαλ άιιν βξόρν ζηνλ κεγαιύηεξν

θύθιν. Δπνκέλσο νη δύν θύθινη πνπ νξίδνπλ ηνλ δαθηύιην θαίλεηαη όηη

είλαη νη πεξηβάιινπζεο ηεο νηθνγέλεηαο απηώλ ησλ άγλσζησλ θακππιώλ.

Όηαλ ν θύθινο πνπ δηαγξάθεη ην Β δελ πεξηβάιιεη ην ΑΒΓ (ζρήκα 8)

ηόηε νη θύθινη δηαγξάθνληαη

κεξηθώο, όκσο ε άγλσζηε θακπύιε

δηαγξάθεηαη πιήξσο.

10. Αλ ην Ο ην βάινπκε λα δηαγξάςεη

θύθιν, ηόηε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ

ηνπ πνδηθνύ ηξηγώλνπ, θαίλνληαη

λα δηαγξάθνπλ ηξεηο ειιείςεηο. (Σρ.

9)

11. Δάλ επηρεηξήζνπκε λα θηλήζνπκε

ην ΒΓ παξάιιεια πξνο ηνλ εαπηό

ηνπ επί θύθινπ δηαηεξώληαο

ζηαζεξό ην κέγεζόο ηνπ, ηόηε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ πνδηθνύ

ηξίγσλνπ δηαγξάθνπλ ηξεηο άγλσζηεο θακπύιεο. (Σρ.10)

12. Αλ κε ηελ ινγηθή ηνπ αληίζηξνθνπ

πξνβιήκαηνο ελόο γεσκεηξηθνύ

ηόπνπ θαηαζθεπάζνπκε ηνπο δύν

θύθινπο ηνπ Σρ.2, θαη βάινπκε λα

θηλνύληαη επ΄ απηώλ ηα Α΄ θαη Β΄

νξίδνληαο ην Γ σο ηνκή ησλ

δηεπζύλζεσλ ΑΒ΄ θαη Α΄Β, ηόηε αλ

απαηηήζνπκε από ην ινγηζκηθό ηελ

ζρεδίαζε ηνπ ίρλνπο ηνπ Γ,

παίξλνπκε ηελ εηθόλα ηνπ Σρ.11

Φαίλεηαη κηα εηθόλα ζαλ έλα

πεδίν ηεο Φπζηθήο, όπνπ ππάξρεη κηα άπεηξε νηθνγέλεηα θακππιώλ πνπ

θαιύπηνπλ ην επίπεδν θαη δελ

ηέκλνληαη πέξαλ ησλ Α, Β. Καη

ζηελ Φπζηθή ε εηθόλα ελόο πεδίνπ,

νξίδεηαη από γξακκέο πνπ δελ

ηέκλνληαη θαη έρνπλ κηα ηδηόηεηα

γεσκεηξηθνύ ηόπνπ. Αλ γλσξίδακε

εθ ησλ πξνηέξσλ εμ αξρήο κηα

ηέηνηα δηαδξνκή, ηόηε αλ ην Γ

αθνινπζνύζε κία απ΄ απηέο, ηα Α΄

θαη Β΄ ζα δηέγξαθαλ θύθινπο, κε ζρέζε ηαρπηήησλ όζε έρνπκε νξίζεη

Σχ. 9

Σχ. 10

Σχ. 11

ζην ινγηζκηθό. Η κεηαπήδεζε ζε γεηηνληθή ηξνρηά δελ κπνξεί λα

θαηαγξάςεη αηζζεηή αζπλέρεηα ζηελ θίλεζε, θαζώο θαη ε γεηηνληθή

ηξνρηά, νζνδήπνηε θνληά έρεη πξνθύςεη από κηα θνληηλή θίλεζε. Έηζη ε

ρανηηθή θίλεζε ηνπ Γ νπνπδήπνηε ζην επίπεδν κε νπνηαδήπνηε ηξνρηά,

δηαγξάθεη κηα –θαηλόκελε- ζπλερή ηξνρηά γηα ηα Α΄, Β΄.

Διδικά και Γενικά Σςμπεπάζμαηα: α) Τν ινγηζκηθό πξνζθέξεη αμεπέξαζηε

αθξίβεηα ζρεδηαζηηθή. Σηελ πξαγκαηηθόηεηα, ιόγσ δπλαηόηεηαο δπλακηθήο

θίλεζεο, απηό πνπ ζπλήζσο θαίλεηαη λα ηζρύεη «κε ην κάηη» θαη λα νδεγεί ζε κηα

πξώηε εηθαζία, κπνξεί λα εμεηαζηεί κε ηξνπνπνίεζε ηνπ ζρήκαηνο κε κηα

θίλεζε θαη λα εηδσζεί θαη από άιιε νπηηθή ζρεδηαζηηθή. Έηζη, ε όπνηα

ιαλζαζκέλε εηθαζία, ζηακαηά ελ ησ γελλάζζαη. Η δπλαηόηεηα κέηξεζεο όισλ

ησλ κεγεζώλ ιόγσλ, ζπλαξηήζεσλ, γσληώλ θηι επίζεο ζηακαηά ακέζσο

ιαλζαζκέλεο εηθαζίεο ή –επί ην δεκηνπξγηθόηεξνλ - δεκηνπξγεί εδξαίεο εηθαζίεο,

ππνζέζεηο, ζρεδόλ βεβαηόηεηεο, νπόηε απνκέλεη ε απόδεημε. Παξαιιήισο

ζρεδηάδεη όπνηα ζπλάξηεζε ηνπ ηεζεί πνπ αθνξά γεσκεηξηθά κεγέζε (κήθε

εκβαδά, ιόγνπο, κέηξα γσληώλ, ζπλαξηήζεη νπνηνπδήπνηε ελ ησ κεηαβάιιεζζαη

κεγέζνπο θαη έρνπκε άκεζε παξάιιειε ζρεδίαζε ηεο ζπλάξηεζεο απ΄όπνπ

εμάγνπκε γεσκεηξηθά ζπκπεξάζκαηα . Γίλεηαη δειαδή κηα άκεζε ζύλδεζε ηεο

Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο κε ηελ Αλάιπζε. Δπίζεο ε δπλαηόηεηα δηεξεύλεζεο

(εηδηθέο πεξηπηώζεηο, νξηαθέο πεξηπηώζεηο, νξηαθέο ζέζεηο, εθθπιηζκόο

ζρήκαηνο θ.ν.θ) είλαη αμεπέξαζηε.

β) Η ίδηα ε ύπαξμε ηνπ ινγηζκηθνύ θαη ε ίδηα ε ρξήζε ηνπ, αλαπόθεπθηα επάγεη

ηελ αλάγθε πεηξακαηηζκνύ θαη δηεξεύλεζεο πξάγκα πνπ λαη κελ αξραηόζελ

ππάξρεη ζηα Μαζεκαηηθά, όκσο «επηκειώο απνθξύπηεηαη» αθνύ ζρεηηθέο

αλαθνξέο, ζπλεζέζηαηα δελ ζπλαληώληαη ζηα βηβιία Μαζεκαηηθώλ (εγρεηξίδηα,

ζπγγξάκκαηα, Ιζηνξηθά ηεο Δπηζηήκεο) νύηε θαλ σο ζπαξάγκαηα. Πηζαλόλ –γηα

λα δηαθηλδπλεύζνπκε θαη κηα εμήγεζε- ε εμηδαληθεπκέλε δηάλνηα, πξόηππν, δελ

δέρεηαη ηελ «ηπραία αλαθάιπςε» ηνπ εξγαζηεξίνπ όπσο ζπλήζσο γίλεηαη ζηηο

Φπζηθέο Πεηξακαηηθέο Δπηζηήκεο1. Σε θάζε πεξίπησζε όκσο απηό δελ κπνξεί λα

ζπλερίδεηαη, αθνύ όιεο νη δηδαθηηθέο ησλ αληηθεηκέλσλ παληόο ηνπ επηζηεηνύ,

νκηινύλ γηα «επαλαλαθάιπςε γλώζεο» πξάγκα πνπ ηα εηδηθώο ζρεδηαζκέλα γηα

δηδαθηηθνύο ζθνπνύο (θαη όρη κόλν) ινγηζκηθά πξνζθέξνπλ πινπζίσο, ελώ ε

1 Εάν βάλλει κάποιοσ ςτην Google τισ λζξεισ «τυχαίεσ ανακαλφψεισ» θα βρει αναφορζσ και

δεκάδεσ άρθρα για επίςησ δεκάδεσ εφευρζςεισ Ιατρικήσ, Χημείασ, Φαρμακευτικήσ, Φυςικήσ, Αςτρονομίασ, όχι όμωσ και Μαθηματικϊν! Κατά ζνα οριςμό τησ ανακάλυψησ, « Ανακάλυψη είναι ζνα τυχαίο γεγονόσ που ςυναντά ζνα προετοιμαςμζνο μυαλό.» Albert von Szent-Gyorgyi, 1893-1986, Οφγγροσ φυςιολόγοσ. Αυτό βεβαίωσ, ιςχφει για όλουσ τουσ ερευνητζσ, όλων των επιςτημϊν.

ινγηθή ηνπ εζηζκνύ ζηελ δηεξεύλεζε, γελίθεπζε, εμέηαζε νκνεηδώλ

πεξηπηώζεσλ, εηδηθόηεξσλ πεξηπηώζεσλ , γεληθά ν πεηξακαηηζκόο κε ηελ

παξαηήξεζε, πξνθαλώο θαη αλαπηύζζνπλ ηελ θξηηηθή ζθέςε, αθνύ όιεο απηέο

νη δξαζηεξηόηεηεο εμ νξηζκνύ ζπληζηνύλ ηελ ίδηα ηελ –από όινπο επθηαία-

θξηηηθή ζθέςε. Κάηη ηέηνην, ζε έλα ηδαληθό εθπαηδεπηηθό ζύζηεκα, ζα έπξεπε

λα καο θάλεη λα κεηαβνύκε από ηελ απαγόξεπζε αληηγξαθήο από ηα ζθνλάθηα

ζηηο εμεηάζεηο, ζηελ απαγόξεπζε ηεο αληηγξαθήο θαη «από κλήκεο»2 όπσο είλαη

ην λπλ δεζπόδνλ κνληέιν εμεηάζεσλ θαη λα νδεύζεη ζηαζεξά ζηηο αξρέο ηεο

θξηηηθήο ζθέςεο (ι.ρ. εμεηάζεηο «κε αλνηρηά βηβιία») θαη αλάινγα ζέκαηα.

γ) Καζώο πξνρσξνύκε ζε πην πεξίπινθεο θηλήζεηο, νη εκθαληδόκελνη

γεσκεηξηθνί ηόπνη, από ην επίπεδν ηεο επζείαο θαη ηνπ θύθινπ, πεγαίλνπλ ζηελ

έιιεηςε θαη θαηόπηλ ζε κε «επώλπκεο» θακπύιεο, πξάγκα πνπ δείρλεη άιιε κηα

θνξά, από άιιε νπηηθή, ηα πεξηνξηζκέλα όξηα ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο θαη

ηελ αλαγθαία λνκνηειεηαθή εμέιημή ηεο κε ηελ Αλαιπηηθή Γεσκεηξία, όπνπ από

ηελ ηάμε ησλ πεπεξαζκέλσλ θακππιώλ κειέηεο (επζεία, θύθινο, θσληθέο ηνκέο)

κεηαβαίλνπκε ζηνλ πξαγκαηηθό θόζκν ηεο Γεσκεηξίαο, δει. ησλ απείξσλ εηδώλ

θακππιώλ.

δ) Οη εηθόλεο ράνπο (θίλεζε νπνπδήπνηε ζην επίπεδν) επάγνπλ ηάμε (θίλεζε ζε

ζπγθεθξηκέλε θπθιηθή ηξνρηά) Αληηζηξόθσο, θίλεζε ζε ζπγθεθξηκέλε ηάμε –

ηξνρηά, κπνξεί λα δεκηνπξγήζεη θαηλόκελν ράνο, αθνύ ε ζπλέρεηα ηεο θίλεζεο

ζηνπο θύθινπο κε ζηαζεξή ζρέζε ηαρπηήησλ θαίλεηαη λα δεκηνπξγεί κηα θάιπςε

ηνπ επηπέδνπ κε κηα νηθνγέλεηα θακππιώλ (εηθαζία)

ε) Γεκηνπξγείηαη ε αίζζεζε, όηη ρσξίο ην ζπγθεθξηκέλν ινγηζκηθό είλαη πάξα

πνιύ δύζθνιε ε αλαθάιπςε πξνηάζεσλ (εδώ ζην νξζηθό) Σηελ πξαγκαηηθόηεηα,

θαίλεηαη ε εληύπσζε λα είλαη αθόκα πην ζηελή. Η δξαζηεξηόηεηα

πεηξακαηηζκνύ κε θίλεζε θαη «κεραληθέο κεζόδνπο» ρξνλνινγείηαη ηνπιάρηζηνλ

από ηελ επνρή ηνπ Αξρηκήδνπο3, ελώ θαηά ηελ Αλαγέλλεζε θαη κεηά όπνπ νη

κεγάινη Μαζεκαηηθνί ήηαλ ζπλήζσο ζε Βαζηιηθέο Απιέο είραλ ηελ δπλαηόηεηα

2 Φαξαθηεξηζηηθή απηή ε θξάζε –ζέζε ηνπ Παλεπηζηεκηαθνύ θαζεγεηή ηνπ Παλ. Ισαλλίλσλ

Γηώξγνπ Μαπξνγηώξγνπ ζε άξζξν ηνπ ππό ηνλ ηίηιν «Δάν και όηαν οι «ειδικοί» ηος

Υποςπγείος Παιδείαρ ανηιγπάθοςν!» ζηην εκπαιδεςηική πύλη Αλθαβήηα. 3Δπιζηολή Απσιμήδοςρ «Έθοδορ ππορ Δπαηοζθένην»( 83.17-28) Ὁξῶλ δέ ζε, θαζάπεξ ιέγσ, ζπνπδαῖνλ

θαὶ θηινζνθίαο πξνεζηῶηα ἀμηνιόγσο θαὶ ηὴλ ἐλ ηνῖο καζήκαζηλ θαηὰ ηὸ ὑπνπίπηνλ ζεσξίαλ ηεηηκεθόηα

ἐδνθίκαζα γξάςαη ζνη θαὶ εἰο ηὸ αὐηὸ βηβιίνλ ἐμνξίζαη ηξόπνπ ηηλὸο ἰδηόηεηα, θαζ’ ὅλ ζνη παξερόκελνλ

ἔζηαη ιακβάλεηλ ἀθνξκὰοεἰοηὸ δύλαζζαί ηηλα ηῶλ ἐλ ηνῖοκαζήκαζη θευπεῖν διὰ ηῶν μησανικῶν. Τνῦην δὲ

πέπεηζκαη σπήζιμον εἶναι οὐδὲν ἧζζον καὶ εἰρ ηὴν ἀπόδειξιν αὐηῶν ηῶν θευπημάηυν. Καὶ γάπ ηινα

ηῶν ππόηεπόν μοι θανένηυν μησανικῶρ ὕζηεπον γευμεηπικῶρ ἀπεδείσθη διὰ ηὸ συπὶρ ἀποδείξευρ

εἶναι ηὴν διὰ ηούηος ηοῦ ηπόπος θευπίαν.

ηεο κεραληθήο ζρεδηαζηηθήο ζε ακκνδόρνπο θηι γηα «ηζρπξέο εηθαζίεο». Δθεί

μαλαξρίδεη ε αλαθάιπςε «επώλπκσλ θακππιώλ» όπνπ δίπια ζηα νλόκαηα

Αξρηκήδνπο (ειιεηθνεηδνύο) Απνιισλίνπ (θσληθώλ ηνκώλ) Ιππεία ηνπ Ηιείνπ

(ηεηξαγσλίδνπζα) , Γηνθιένπο (θηζζνεηδήο) θακπύιε ηνπ Δπδόμνπ, θηι .

εκθαλίδνληαη θαη νη λεώηεξεο ησλ Μπεξλνύιη (κηλίζθνο) παξαβνιή ηνπ

Νεύησλνο, ηξίαηλα ηνπ Νεύησλνο θαη άιιεο σλ νπθ έζηηλ αξηζκόο. Γεγνλόο

είλαη, όηη εθηόο από θάπνηεο απιέο πξνηάζεηο πνπ κπνξνύλ λα αλαθαιπθζνύλ

δηα γπκλνύ νθζαικνύ (θαη κάιινλ έρνπλ ήδε αλαθαιπθζεί όιεο) νη ππόινηπεο

απαηηνύλ ηζρπξά εξγαιεία θαη πιένλ ηα εξγαιεία ηα έρνπλ θαη νη εξεπλεηέο θαη

νη δάζθαινη ησλ Μαζεκαηηώλ θαη νη καζεηέο. Μάιηζηα, ηα εξγαιεία απηά, είλαη

ζρεδόλ ην ίδην πξνζηηά ζε όινπο αθόκα θαη ηα κε ειεπζέξαο δηαλνκήο.

(Λνγηζκηθά Mathematica, MathDad, MAPL, θ.ά.)

ζη) Γλσξίδνπκε, όηη ηα δπλακηθά Γεσκεηξηθά ινγηζκηθά θπθινθνξνύλ επξύηαηα,

δηδάζθνληαη ζηελ επηκόξθσζε Β΄ επηπέδνπ, πιελ ε εηζαγσγή ηνπο ζηελ

εθπαηδεπηηθή πξάμε είλαη ππνηππώδεο. Τα νθέιε σζηόζν δελ είλαη γλσζηά,

θαζώο νη πξσηόγλσξεο βησκαηηθέο θαηαγξαθέο δελ κπνξνύλ λα κεηαθεξζνύλ

πάληα ζην ραξηί παξαζηαηηθά θαη πεηζηηθά. Η επί πνιιά ρξόληα άζθεζε θαη

ελάζθεζε ησλ εθπαηδεπηηθώλ ησλ Μαζεκαηηθώλ κε ζπγθεθξηκέλε πξαθηηθή ζε

ζπγθεθξηκέλν πεξηβάιινλ (Παλειιήληεο , θξνληηζηεξηαθή δηδαζθαιία)

δεκηνπξγνύλ εδξαίεο δύζθνια κεηαβαιιόκελεο αληηιήςεηο γηα ην ηη είλαη ηα

καζεκαηηθά θαη πώο δηδάζθνληαη. Γελ είλαη όκσο έηζη, θαζώο έλα ηεξάζηην

θνκκάηη ηνπο, ε καζεκαηηθή αλαθάιπςε, δελ αηηηνινγείηαη επαξθώο ή αθήλεηαη

λα ελλνεζεί όηη κόλν ηδηνθπίεο κπνξνύλ λα αζρνιεζνύλ κε απηήλ. Η ζύγρξνλε

όκσο δηδαθηηθή, απαηηεί δηαδηθαζίεο επαλαλαθάιπςεο ηεο γλώζεο ε νπνία

γίλεηαη κέζσ παξαηεξήζεσλ, πεηξακάησλ («άγλσζηε ιέμε» ζηα Μαζεκαηηθά,

σζηόζν θαζεκεξηλή έλλνηα γηα ηνπο εξεπλεηέο ησλ καζεκαηηθώλ) εηθαζηώλ,

ππνζέζεσλ, απνξξίςεσλ κε αληηπαξάδεηγκα, ηξνπνπνηήζεσλ, αλαζθεπώλ θαη

απνδείμεσλ. Η ζηεξενηππηθή δνκή «πξόηαζε-απόδεημε» , «άζθεζε-ιύζε»

επαλαιακβάλεηαη ζρεδόλ ζε όια ηα καζεκαηηθά εγρεηξίδηα θαη ζπγγξάκκαηα,

έηζη ώζηε ε καγεία ηεο καζεκαηηθήο αλαθάιπςεο (όρη ηεο απόδεημεο) λα ηείλεη

λα κεδελίδεηαη αθνύ πξόζβαζε ζε απηήλ, θαίλεηαη λα έρνπλ κόλν «νη

πξνηθηζκέλνη» θαη όρη νη θνηλνί ζλεηνί. Η «αληηθεηκεληθή» αιήζεηα, ίζσο είλαη

θνληά ζε κηα ηέηνηα εθηίκεζε, όκσο ζίγνπξα δελ είλαη θαη ε αιήζεηα. Όια ηα

εξγαιεία ηνπ αλζξώπνπ ζε νιόθιεξν ηνλ ηνκέα ηνπ επηζηεηνύ, είλαη

πξνεθηάζεηο ησλ αηζζήζεώλ ηνπ (όξαζε , αθνή απηηθόηεηα, γεύζε, όζθξεζε)

θαη θάπνησλ λνεηηθώλ ιεηηνπξγηώλ ηνπ (κλήκε, ηαμηλόκεζε, αλαδήηεζε,

δηεξεύλεζε, ηαρύηεηα ππνινγηζκώλ θ. ά. ) Οη Η/Υ έθαλαλ ηελ επαλάζηαζή ηνπο

θαη ν επαλαθαζνξηζκόο ηνπ λνήκαηνο ησλ Μαζεκαηηθώλ (ηη είλαη καζεκαηηθά ,

γηαηί ηα δηδάζθνπκε, πνία δηδάζθνπκε πνία δελ δηδάζθνπκε, πώο ηα δηδάζθνπκε)

ηίζεηαη θάζε κέξα ζε αλαζεώξεζε θαη επαλαθαζνξηζκό θαη κάιηζηα κε κεγάιε

ηαρύηεηα. Απηό ζπλήζσο γίλεηαη αληηιεπηό βησκαηηθά όηαλ θπιινκέηξεη

θάπνηνο παιαηά δηδαθηηθά εγρεηξίδηα Μαζεκαηηθώλ θαη αλαξσηηέηαη ην ηη θαη ην

γηαηί ηνπ παιηνύ Αλαιπηηθνύ πξνγξάκκαηνο ζπνπδώλ πνπ ζεκαηνδνηνύζε ην

θάζε εγρεηξίδην. Καηαζέηνπκε επίζεο ηελ εκπεηξία καο γηα επηθσλήκαηα

ζαπκαζκνύ πνπ πξνθαινύζε ε εκθάληζε γηα πξώηε θνξά «κε έλα θιηθ» ελόο

γ.η. ζηνπο παιηνύο Μαζεκαηηθνύο πνπ είραλ ηελ Λπθεηαθή εκπεηξία δηδαζθαιίαο

σο καζεηέο (θαη βέβαηα ηελ δπζθνιία) ησλ γ.η.

Η ρξήζε απηώλ ησλ εξγαιείσλ ζηελ ηάμε, ζα πξέπεη λα γίλεη κηα απηνλόεηε

δηαδηθαζία ζε όια ηα ζρνιεία θαη ε αλάδεημε ησλ δηδαθηηθώλ πιενλεθηεκάησλ

ηνπο είλαη ν κηθξόο ζηόρνο ηεο παξνύζαο εξγαζίαο.

Βιβλιογπαθικέρ - Γιαδικηςακέρ αναθοπέρ:

1) http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/gGallery/problems/Pedal.html

Ιζηνζειίδα ηνπ θαζεγεηή ηνπ Παλ. Κξήηεο Πάξε Πάκθηινπ

2) http://mathworld.wolfram.com/PedalTriangle.html από ηνλ ηζηόηνπν

Wolfrarm Mathworld

3) http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Matteson.September/p

edal/pedal.html από ην Παλεπηζηήκην ηεο Georgia

4) Πιαηάξνο Ισάλλεο «Ο κπςθόρ πειπαμαηικόρ σαπακηήπαρ ηηρ Γεωμεηπίαρ

και η διδακηική ηος αξιοποίηζη με σπήζη ηων γεωμεηπικών λογιζμικών»

Πξαθηηθά 1νπ

Δθπαηδεπηηθνύ Σπλέδξηνπ έληαμεο θαη ρξήζεο ησλ ΤΠΔ

ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία. Παλεπηζηήκην Θεζζαιίαο Βόινο 24-

26/4/2009

5) Πιαηάξνο Ισάλλεο «Μια Γεωμεηπική εθαπμογή Μεγίζηος κι Ελάσιζηος με

σπόνο, μέζω Δςναμικού Λογιζμικού, ωρ Διδακηική Ππόηαζη» Πξαθηηθά

2νπ

Σπλέδξηνπ Ηκαζίαο γηα ηηο ΤΠΔ Νάνπζα-Βέξνηα 23-24-25 Απξηιίνπ

2010

6) Πιαηάξνο Ισάλλεο «Η ολιζηική διδαζκαλία ηων απλών γεωμεηπικών

ηόπων, ζηα πιαίζηα ζύγρξνλσλ παηδαγσγηθώλ ζεσξήζεσλ.» Πξαθηηθά

25νπ

Σπλεδξίνπ ΔΜΔ ζηνλ Βόιν.

7) Πιαηάξνο Ισάλλεο «Η διδακηική αξιοποίηζη ηος λογιζμικού Sketchpad

ζηην διδαζκαλία ηων Γεωμεηπικών Απεικονίζεων ζηο επίπεδο.» 27ν

Σπλέδξην ΔΜΔ Φαιθίδνο,19-21 Ννεκβξίνπ 2010