Upload
grin1964
View
121
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Формулы для вычисления площадей различных треугольников
.
АА
ССВВ
DDbb
aa
ahaS 2
1
aaa
aaADBADCABC
hahСBhDBCD
hDBhCDSSS
2
1
2
1)(
2
12
1
2
1
sin2
1 abS
С B
A
ɣ
c
a D
hа
sin2
1 ,sinh ADC катреугольни
ногопрямоуголь из но ,2
1
a
abSb
haS
ABC
aABC
b
АА
BB
CC
OO
.
)(2
1
2
1
2
12
1
окружностивписаннойрадиусr
rcbarBCrAC
rABSSSS AOCAOBBOCABC
rr
AA
BB
CC
OO R
cbaS
4
R
abc
R
abcR
CabМы
422
1S ,
2R
cCsin ;2
Csin
с
ясоотношени из найдем Csin ;sin2
1S что знаем,
ABC
ABC
RR
))()(( cpbpappS ))()(( cpbpappS
BB
CCAAbb
сс
aa
Доказательство: По теореме косинусов можно записать:
.c)bc)(abb)(aab)(ca(cb4a
12ab
cb)(a
2ab
b)(ac
2ab
cba2ab
2ab
cba2ab
2ab
cba1
2ab
cba1)cos)(1cos(1γcos1γsin
.2ab
cbacosγ
,cbacosγ2ab
cosγ2abbac
22
2222222222
22222222
222
222
222
Т.К.
,222
222
222
2
apaabcbac
bpbbacbac
cpccbacba
pcba
.c)b)(pa)(pp(pc)b)(pa)(pp(pab
2ab
2
1S.
.c)b)(pa)(p(ppab
2sinγ
p.c)b)(pa)(p(pba
4
pc)b)(pa)(p(pb4a
162p2c)2b)(2p2a)(2p(2p
b4a
1sin
22
22222
то
ч.т.д.
ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (Heronus Alexandrinus)
Герон Александрийский – греческий учёный, работавший в Александрии,(даты рождения и смерти неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ). Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. В "Метрике" даны правила и формулы для точного и приближённого расчёта различных геометрических фигур, например формула Герона для определения площади треугольника по трём сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближённого извлечения квадратных и кубических корней. В основном изложение в математических трудах Герона догматично – правила часто не выводятся, а только выясняются на примерах. Герон занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой.
a
b
c
2)(44
1cbaabS
2
cbap
2
22
a)c(b4bc4
1))(2))((2(
4
1
)2)(2(4
1)()()((
4
1
))())(()())(()((4
1
))()()(a(4
1
c2
cbab
2
cbaa
2
cba
2
cbaS
acbbcacbbc
cbcbaacbcbcbaacb
cbacbaacbacb
cbacbaacbcb
BB
CCAA
Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны
треугольника а,b,с , то запишем ее в виде:
222222 )(44
1cbabaS
CC
cc
bb
BB
aa
AA
Найти площадь треугольника со сторонами 17 20 13
77844
12561040
4
1)172013(20134
4
1 2S
222222 )(44
1cbabaS
17
20
13
, ,
Формулы медиан треугольника
AD- AD- медианамедиана..
222
222
222
222
1
222
1
222
1
cbam
bcam
acbm
c
b
a
222a
2222a
22
22a
22222
2a
2a
22
222
222
222
2a
222
a2
2
222
2a
a2c2b2
1m
)a2c(2b4
1m
c2
abm2
cba2b2
a2m
2m2b2
acba
:получаем (2) и (1) формулы яПриравнива
(2) 2ab
cbacosγ
cosγ2abbaс
:косинусов теоремепо АВС ика треугольнИз
(1) 4ab
4m4ba
ab
mb4a
cosγ
cosγabb4
acosγ
2
a2b
4
abm
:косинусов теоремепо ACD ика треугольнИз
CCАА
BB
bb
aa
cc
DD
2
а
аm
10
2
25
1
252
13510
5102
13510cos
2cos3
222
222
)()()(B
,ac
bcaB)
14
265
534
13105
44
,S
cba) R
2
26101026
2
1)10()5(2)13(2
2
1m ,a2c2b
2
1m
mADмедиану Проведем 5)
222a
222a
a
ADМедиану 5)
).окружности описанной радиус R( 4)
B. cos)3
.)2
.)1
:
13
10
5с
ABC :
c
ABC
h
S
Найти
в
а
ктреугольниДано
3,52
7
4
14196
4
1324520
4
15131013104
4
1
51310131044
11
2
222222
)(
))()()(()()() S
рона:формуле ГеПо второй
5
7
5
5322
)2
,
; hс
Sh
,hСКвысотуПроведем
cc
c
CCCCCCCCCCCC
13D
10
B5A
hc
10
D
10
D
B
10
D
5 B
10
D
A 5 B
10
D13
A 5 B
10
D
C
13
A 5 B
10
Dhc
C
13
A 5 B
10
D
Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)
Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат.
Найдем площадь треугольника по II формуле Герона..
Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула.
14814446)(180)(2AC
4042)(184)(2BC
806)2(0)(4AB
22
22
22
321284
116384
4
1
1128961292804
1)14840480(404804
4
1 2
S66
-2-200
44
1818y
xx
Если предположить, что х1=у1=0, то получится еще более простая формула:
Вывод этой последней формулы приводится ниже .
Применим эту формулу к нашему примеру. 4-0 2-0 4 2 S = ½ = ½ = ½ (48+ 16)= 32. -2-6 18-6 -8 12
Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты:
А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3)
1312
131221
у-у у-у
хх- ххS
)( 33 ухс
)( 22 ухВ
) ;( 11 ухА
);0('' 3уС
);('' 2уOВ
);0('' 1уА
)( 12 уу
)( 12 хх )( 13 хх
)0;(' 1хА )0;(' 3хс )0;(' 2хВ
XX
YY
))(()(2
112131312 yyxxyyxxS
23322
1yxyxS
Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС с вершинами А (х1; у1), В( х2; у2), С( х3; у3).
Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β
А' B' = cx= c cos α= x2-x1 (1)
A’’B’’= cy= c sin α = y2-y1
А' C' = bx= b cos B= x3-x1 (2)
A’’C’’= by= b sin B = y3-y1
Прямоугольная система координат на плоскости:
Пусть ф = угол САВ; очевидно ф = β – αПо известной формуле тригонометрии получаем:
S= ½ bc sin ф = ½ bc sin (β – α) = ½ bc(sin β cos α- cosβ sinα ) = ½(by cx- bx cy) (3)Отсюда в силу (1) (2) имеем:
S= ½ [(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4)Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус.
Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде:
S= +/- ½ [(x2-x1) (y3-y1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4’)Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме:
х2-х1 х3-х1
S= ½ у2-у1 у3-у1
0202
010121
у-у
у
хх
уххS
abS2
1
haaS 2
1
sin2
1 abS
))()(( cpbpappS 222222 )(4
4
1cbabaS
rcbaS )(21
R
cbaS
4
Восемь формул для нахождения
площадей различных треугольников.
с
С
α β
Ɣ
А В
ав
)sin(2
sinsin
))(180sin(2
sinsin
sin2
sinsinsin
sin
sin
sin
sin
2
1sin
2
1
sin
sin ,
sin
sin следует
sinsinsin
)(180
:ствоДоказатель
(1) sin2
sinsin
222
2
cccccabS
cbcacba
Из
β)(α
βαcS
β)(α
βαcS
sin2
sinsin2
α β
Ɣ
А
С
В
а
с
в
.)(2
.)(2)(sinsin2
sinsin
:получим (1),формулу в Подставляя
).(sinsinsin
cos
sin
cos sinsin
sincoscossin)sin( Т.к.
:ствоДоказатель
2
22
ctgctg
cS
ctgctg
c
ctgctg
cS
ctgctg
.)(2
2
ctgctg
cS
.sinsinsin2sinsin 2sin22
1
sin2
1
формулу в Подставим .sin2 ,sin2 получим
2sinsinsin
Из
:ствоДоказатель
2
RRRS
abS
RbRa
Rcba
.sinsinsin2 2 RS
AA
BB
CC
OO
sin2
sinsin2
aS
sin
sinsin
2
1sin
sin
sin
2
1 ;sin
2
1формулу в Подставим
sin
sin имеем
sinsinsin Из
:ствоДоказатель
2
aaaSabS
A
ab
cba
С
α β
Ɣ
А В
ав
Oa
Ob
Oc
β
a
Ɣ b
c
α
Вневписанная окружность- это окружность, касающаяся одной
стороны треугольника и продолжения двух других сторон.
Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей.
трполуперимеp
йокружностеыхвневписаннрадиусыrrr
rrrrS
cprbpraprS
cba
cba
cba
,,
)()()(
сr
br
аr
Интернет-ресурсы
• Сайт http://www.webmath.ru• Вычисление площади треугольника • Формула площади треугольника, онлайн
сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7-ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.