24
Формулы для вычисления площадей различных треугольников .

площади треугольника

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: площади треугольника

Формулы для вычисления площадей различных треугольников

.

Page 2: площади треугольника

АА

ССВВ

DDbb

aa

Page 3: площади треугольника

ahaS 2

1

aaa

aaADBADCABC

hahСBhDBCD

hDBhCDSSS

2

1

2

1)(

2

12

1

2

1

Page 4: площади треугольника

sin2

1 abS

С B

A

ɣ

c

a D

sin2

1 ,sinh ADC катреугольни

ногопрямоуголь из но ,2

1

a

abSb

haS

ABC

aABC

b

Page 5: площади треугольника

АА

BB

CC

OO

.

)(2

1

2

1

2

12

1

окружностивписаннойрадиусr

rcbarBCrAC

rABSSSS AOCAOBBOCABC

rr

Page 6: площади треугольника

AA

BB

CC

OO R

cbaS

4

R

abc

R

abcR

CabМы

422

1S ,

2R

cCsin ;2

Csin

с

ясоотношени из найдем Csin ;sin2

1S что знаем,

ABC

ABC

RR

Page 7: площади треугольника

))()(( cpbpappS ))()(( cpbpappS

BB

CCAAbb

сс

aa

Page 8: площади треугольника

Доказательство: По теореме косинусов можно записать:

.c)bc)(abb)(aab)(ca(cb4a

12ab

cb)(a

2ab

b)(ac

2ab

cba2ab

2ab

cba2ab

2ab

cba1

2ab

cba1)cos)(1cos(1γcos1γsin

.2ab

cbacosγ

,cbacosγ2ab

cosγ2abbac

22

2222222222

22222222

222

222

222

Т.К.

,222

222

222

2

apaabcbac

bpbbacbac

cpccbacba

pcba

.c)b)(pa)(pp(pc)b)(pa)(pp(pab

2ab

2

1S.

.c)b)(pa)(p(ppab

2sinγ

p.c)b)(pa)(p(pba

4

pc)b)(pa)(p(pb4a

162p2c)2b)(2p2a)(2p(2p

b4a

1sin

22

22222

то

ч.т.д.

Page 9: площади треугольника

ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (Heronus Alexandrinus)

Герон Александрийский – греческий учёный, работавший в Александрии,(даты рождения и смерти неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ). Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. В "Метрике" даны правила и формулы для точного и приближённого расчёта различных геометрических фигур, например формула Герона для определения площади треугольника по трём сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближённого извлечения квадратных и кубических корней. В основном изложение в математических трудах Герона догматично – правила часто не выводятся, а только выясняются на примерах. Герон занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой.

Page 10: площади треугольника

a

b

c

2)(44

1cbaabS

2

cbap

2

22

a)c(b4bc4

1))(2))((2(

4

1

)2)(2(4

1)()()((

4

1

))())(()())(()((4

1

))()()(a(4

1

c2

cbab

2

cbaa

2

cba

2

cbaS

acbbcacbbc

cbcbaacbcbcbaacb

cbacbaacbacb

cbacbaacbcb

BB

CCAA

Page 11: площади треугольника

Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны

треугольника а,b,с , то запишем ее в виде:

222222 )(44

1cbabaS

CC

cc

bb

BB

aa

AA

Page 12: площади треугольника

Найти площадь треугольника со сторонами 17 20 13

77844

12561040

4

1)172013(20134

4

1 2S

222222 )(44

1cbabaS

17

20

13

, ,

Page 13: площади треугольника

Формулы медиан треугольника

AD- AD- медианамедиана..

222

222

222

222

1

222

1

222

1

cbam

bcam

acbm

c

b

a

222a

2222a

22

22a

22222

2a

2a

22

222

222

222

2a

222

a2

2

222

2a

a2c2b2

1m

)a2c(2b4

1m

c2

abm2

cba2b2

a2m

2m2b2

acba

:получаем (2) и (1) формулы яПриравнива

(2) 2ab

cbacosγ

cosγ2abbaс

:косинусов теоремепо АВС ика треугольнИз

(1) 4ab

4m4ba

ab

mb4a

cosγ

cosγabb4

acosγ

2

a2b

4

abm

:косинусов теоремепо ACD ика треугольнИз

CCАА

BB

bb

aa

cc

DD

2

а

аm

Page 14: площади треугольника

10

2

25

1

252

13510

5102

13510cos

2cos3

222

222

)()()(B

,ac

bcaB)

14

265

534

13105

44

,S

cba) R

2

26101026

2

1)10()5(2)13(2

2

1m ,a2c2b

2

1m

mADмедиану Проведем 5)

222a

222a

a

ADМедиану 5)

).окружности описанной радиус R( 4)

B. cos)3

.)2

.)1

:

13

10

ABC :

c

ABC

h

S

Найти

в

а

ктреугольниДано

3,52

7

4

14196

4

1324520

4

15131013104

4

1

51310131044

11

2

222222

)(

))()()(()()() S

рона:формуле ГеПо второй

5

7

5

5322

)2

,

; hс

Sh

,hСКвысотуПроведем

cc

c

CCCCCCCCCCCC

13D

10

B5A

hc

10

D

10

D

B

10

D

5 B

10

D

A 5 B

10

D13

A 5 B

10

D

C

13

A 5 B

10

Dhc

C

13

A 5 B

10

D

Page 15: площади треугольника

Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)

Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат.

Найдем площадь треугольника по II формуле Герона..

Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула.

14814446)(180)(2AC

4042)(184)(2BC

806)2(0)(4AB

22

22

22

321284

116384

4

1

1128961292804

1)14840480(404804

4

1 2

S66

-2-200

44

1818y

xx

Page 16: площади треугольника

Если предположить, что х1=у1=0, то получится еще более простая формула:

Вывод этой последней формулы приводится ниже .

Применим эту формулу к нашему примеру. 4-0 2-0 4 2 S = ½ = ½ = ½ (48+ 16)= 32. -2-6 18-6 -8 12

Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты:

А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3)

1312

131221

у-у у-у

хх- ххS

)( 33 ухс

)( 22 ухВ

) ;( 11 ухА

);0('' 3уС

);('' 2уOВ

);0('' 1уА

)( 12 уу

)( 12 хх )( 13 хх

)0;(' 1хА )0;(' 3хс )0;(' 2хВ

XX

YY

))(()(2

112131312 yyxxyyxxS

23322

1yxyxS

Page 17: площади треугольника

Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС с вершинами А (х1; у1), В( х2; у2), С( х3; у3).

Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β

А' B' = cx= c cos α= x2-x1 (1)

A’’B’’= cy= c sin α = y2-y1

А' C' = bx= b cos B= x3-x1 (2)

A’’C’’= by= b sin B = y3-y1

Прямоугольная система координат на плоскости:

Пусть ф = угол САВ; очевидно ф = β – αПо известной формуле тригонометрии получаем:

S= ½ bc sin ф = ½ bc sin (β – α) = ½ bc(sin β cos α- cosβ sinα ) = ½(by cx- bx cy) (3)Отсюда в силу (1) (2) имеем:

S= ½ [(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4)Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус.

Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде:

S= +/- ½ [(x2-x1) (y3-y1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4’)Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме:

х2-х1 х3-х1

S= ½ у2-у1 у3-у1

Page 18: площади треугольника

0202

010121

у-у

у

хх

уххS

abS2

1

haaS 2

1

sin2

1 abS

))()(( cpbpappS 222222 )(4

4

1cbabaS

rcbaS )(21

R

cbaS

4

Восемь формул для нахождения

площадей различных треугольников.

Page 19: площади треугольника

с

С

α β

Ɣ

А В

ав

)sin(2

sinsin

))(180sin(2

sinsin

sin2

sinsinsin

sin

sin

sin

sin

2

1sin

2

1

sin

sin ,

sin

sin следует

sinsinsin

)(180

:ствоДоказатель

(1) sin2

sinsin

222

2

cccccabS

cbcacba

Из

β)(α

βαcS

β)(α

βαcS

sin2

sinsin2

Page 20: площади треугольника

α β

Ɣ

А

С

В

а

с

в

.)(2

.)(2)(sinsin2

sinsin

:получим (1),формулу в Подставляя

).(sinsinsin

cos

sin

cos sinsin

sincoscossin)sin( Т.к.

:ствоДоказатель

2

22

ctgctg

cS

ctgctg

c

ctgctg

cS

ctgctg

.)(2

2

ctgctg

cS

Page 21: площади треугольника

.sinsinsin2sinsin 2sin22

1

sin2

1

формулу в Подставим .sin2 ,sin2 получим

2sinsinsin

Из

:ствоДоказатель

2

RRRS

abS

RbRa

Rcba

.sinsinsin2 2 RS

AA

BB

CC

OO

Page 22: площади треугольника

sin2

sinsin2

aS

sin

sinsin

2

1sin

sin

sin

2

1 ;sin

2

1формулу в Подставим

sin

sin имеем

sinsinsin Из

:ствоДоказатель

2

aaaSabS

A

ab

cba

С

α β

Ɣ

А В

ав

Page 23: площади треугольника

Oa

Ob

Oc

β

a

Ɣ b

c

α

Вневписанная окружность- это окружность, касающаяся одной

стороны треугольника и продолжения двух других сторон.

Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей.

трполуперимеp

йокружностеыхвневписаннрадиусыrrr

rrrrS

cprbpraprS

cba

cba

cba

,,

)()()(

сr

br

аr

Page 24: площади треугольника

Интернет-ресурсы

• Сайт http://www.webmath.ru• Вычисление площади треугольника • Формула площади треугольника, онлайн

сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7-ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.