Рекомендуемая литература

1.Глейзер Г.И. История математики в школе. – М., 1981 – 1983.2.Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. – М.,

1986.3.Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. –

М., 1991.4.Малаховский В.С. Избранные главы истории математики. –

Калининград, 2002.5.Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической

науки. – М., 1987.6.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М., 1984.

Характеристика курса

• Интегрированный курс: история + математика (в контексте культуры)

• Реализует требования нового стандарта• Соответствует идеям гуманитаризации

образования

«Образованный человек – это то, что останется, когда он забудет

все, чему его учили: тончайший налет интеллекта и культуры».

Цикл лекций №1

Периодизация Периодизация истории математикиистории математики

«Муха сидящая на ковре, ковра не видит». Восточная мудрость

План лекции

1. Основные периоды развития математики2. Период зарождения математики3. Период математики постоянных величин4. Период математики переменных величин5. Современный период развития математики

ЛитератураСовременные основы школьного курса математики. – М.: Просвещение, 1980. - С.10-13.

1. Периодизация А.Н.Колмогорова

КОЛМОГОРОВКОЛМОГОРОВАндрей Андрей

Николаевич Николаевич академик АН СССР

1903 -1987

1. Период зарождениязарождения математики: до VII-V вв до н.э.

2. Период математики постоянныхпостоянных величинвеличин (элементарной математики): VII-V вв до н.э. – XVII в н.э.

3. Период математики переменных переменных величинвеличин: XVII – первая треть XIX вв.

4. СовременныйСовременный период развития математики: вторая треть XIX – середина ХХ вв.

КОЛМОГОРОВКОЛМОГОРОВАндрей Андрей

Николаевич Николаевич академик АН СССР

1903 -1987

1. Период зарождениязарождения математики: до VII-V вв до н.э.

2. Период математики постоянныхпостоянных величинвеличин (элементарной математики): VII-V вв до н.э. – XVII в н.э.

3. Период математики переменных переменных величинвеличин: XVII – первая треть XIX вв.

4. Период построения и изучения математических структур математических структур / Период математики переменных отношенийпеременных отношений: вторая треть XIX – середина ХХ вв.

5. Период компьютернойкомпьютерной математики: с середины ХХ в по н.в.

1. Периодизация А.Н.Колмогорова

2. Период зарождения математики

Хронология: до VII-V вв до н.э.

Общая характеристика: накопление фактического материала, связанного с потребностями хозяйственной жизни: ремесла, земледелие, торговля, налоги, военное дело и др.

Результат: формирование основных понятийпонятий

Структура математики

Математика в самом общем плане – это системасистема:-математических понятийпонятий;-математических предложенийпредложений (описывают свойства понятий) и их доказательствдоказательств;-математических методовметодов, с помощью которых решаются задачизадачи (не только математические)

Основные понятия математики

Версия происхождения чисел

Прометей, прикованный к Кавказской скале

Эсхил Эсхил V в до н.э.

«Послушайте, что «Послушайте, что смертным сделал я? смертным сделал я?

Число им изобрел!»Число им изобрел!»

Кронекер Кронекер ЛеопольдЛеопольд

1823 - 1891

«Натуральные числа «Натуральные числа создал любимый Бог, создал любимый Бог,

все другое – труд все другое – труд человека»человека»

Развитие понятия числа

Развитие понятия фигуры

Найдены некоторые классы геометрических фигур и изучены их свойства

Развитие понятия величины

Развитие математических методов

- методы решения типовых арифметических типовых арифметических задачзадач;

- алгоритмы действийалгоритмы действий над N-числами и дробями;

- методы решения уравнений 1-й и 2-й уравнений 1-й и 2-й степенистепени, задач на прогрессиипрогрессии;

- таблицытаблицы квадратов, кубов, обратных величин и др.

Развитие математических доказательств

- некоторые математические предложения известны не только в частномв частном, но и в в общем видеобщем виде (теорема Пифагора)

- доказательства отсутствуют доказательства отсутствуют - математические факты появляются

опытным путемопытным путем- часть результатов ложнаяложная- методы доказательства отсутствуют методы доказательства отсутствуют

(«Делай как делается!», «Смотри!»)(«Делай как делается!», «Смотри!»)

Контрольная работа №11.Каковы хронологические рамки и название второго периода истории математики?2.Каково основное достижение математики, характеризующее начало второго периода ее истории?3.С чьим именем связано введение в математику доказательства? Когда и где жил Фалес? Какие именно теоремы им доказаны?4. Кем и когда был развит и усовершенствован созданный Фалесом метод доказательства?5. Охарактеризуйте основные достижения пифагорейцев, поворотный пункт их математических исследований и его результат.6. Какая книга сыграла выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки? Каков ее характер? Какова роль аксиомы о параллельности?7. Охарактеризуйте достижения Архимеда и Аполлония.8. Перечислите основные достижения индийских и арабских математиков средневековья.9. Когда возрождаются математические исследования в Европе? Когда и где именно получены первые результаты, превзошедшие достижения греков и арабов?10. Каковы достижения европейских математиков XVI – начала XVII в.?

4. Математика переменных величин

Блез Паскаль Блез Паскаль 1623-1662

Рене ДекартРене Декарт1596-1650

Пьер ФермаПьер Ферма1601-1665

Г.В. ЛейбницГ.В. Лейбниц1646-1716

Хронология: XVII – XIX вв.

Характеристика:

•заложены основы аналитической геометрии (Декарт, ФермаДекарт, Ферма);

•основы теории вероятностей (Ферма, Ферма, ПаскальПаскаль)

Основное достижение:

•введение понятия функции (ЛейбницЛейбниц)

4. Математика переменных величинПеременная величина, функция – абстракцииабстракции конкретных переменных величин и зависимостей между ними, например:•скорости, ускорения;•ускорения свободного падения;•законов движения планет вокруг Солнца и др.

4. Математика переменных величинИсследование зависимостей между величинами привело к

созданию в конце XVII в. математического анализаматематического анализа

•НьютонНьютон (задача о мгновенной скорости)•ЛейбницЛейбниц (задача о касательной к кривой)

Почти одновременно и независимо друг от друга создали основы дифференциального и интегрального исчисленийосновы дифференциального и интегрального исчислений.

Ими и их последователями развит аппарат математического анализа, позволивший решать естественно-научные проблемы.

Г.В. ЛейбницГ.В. Лейбниц1646-1716

Айзек НьютонАйзек Ньютон1643-1727

Комета ГаллеяКомета Галлея

4. Математика переменных величин

XVIII – XIXXVIII – XIX вв ввСозданы новыеновые математические дисциплины:

-уравнения в частных производных уравнения в частных производных (связь с математической физикой)-вариационное исчисление вариационное исчисление (решение экстремальных задач)-приложения комплексных чиселкомплексных чисел-дифференциальная геометрия дифференциальная геометрия -теория вероятностейтеория вероятностей-математическая статистика математическая статистика и др. Леонард ЭйлерЛеонард Эйлер

1707-1783

Обобщение

1. На этапе зарождения математики в процессе деятельности человека сформированы основные основные математические понятия математические понятия – число, величина и фигура, установлены связи между ними.

Основными методами математического исследования являлись такие эмпирические методы, как наблюдение и опыт. Доказательства Доказательства математических предложений отсутствовалиматематических предложений отсутствовали.

Обобщение2. Переход 2. Переход от периода зарождения математики к периоду

математики постоянных величин обусловлен появлением и развитием доказательствадоказательства математических предложений (Фалес, Пифагор). Метод доказательства Метод доказательства становится основным методом основным методом получения математических результатов.

• создаются первые математические теории математические теории (Евклид, Архимед, Аполлоний), в том числе и на основе аксиоматического аксиоматического метода;

• создается и распространяется индо-арабская десятичная десятичная позиционная система счисленияпозиционная система счисления;

• алгебра и тригонометрия алгебра и тригонометрия становятся самостоятельными математическими дисциплинами;

• закладываются основы символического языка математикисимволического языка математики.

Результат: Результат: создание элементарной математики

Обобщение3. ПереходПереход от периода математики постоянных величин к

периоду математики переменных величин обусловлен введением понятия переменной величины переменной величины (Декарт, XVII в.). Основным понятием математики этого периода является понятие функциифункции (Лейбниц, конец XVII в.).

Ньютоном и Лейбницем создаются основы основы дифференциального и интегрального исчисленийдифференциального и интегрального исчислений. Основным механизмом получения математических результатов становится аппарат математического анализааппарат математического анализа.

Заложены основы классических математических дисциплинклассических математических дисциплин: аналитической, проективной и дифференциальной геометрий; теории вероятностей, уравнений в частных производных, вариационного исчисления …

ОбобщениеДля развития математики в ходе первых трех периодов ее истории характерна убежденность, что она непосредственно непосредственно отражает свойства реального мираотражает свойства реального мира, лишь в несколько идеализированной форме. Не возникало сомнений, что:•существует единственная геометрия единственная геометрия – геометрия ЕвклидаЕвклида;•свойства производнойпроизводной совпадают с известными из физики свойствами скоростискорости и т.д.

Г.В. ЛейбницГ.В. Лейбниц1646-1716

Т.е. математика изучает числа, величины числа, величины (постоянные и переменные), геометрические (постоянные и переменные), геометрические фигуры.фигуры.

«Универсальная математика – логика воображения и должна изучать все, что в

области воображения поддается точному определению».

5. Современный период1) Создание неевклидовой геометрии 1) Создание неевклидовой геометрии (начало XIX в)Результаты:•основные неопределяемые геометрические понятия неопределяемые геометрические понятия не обязательно точка, прямая, плоскость, а любые объектылюбые объекты•аксиомааксиома не истина, не требующая доказательства в силу очевидности, а некоторая гипотезанекоторая гипотеза, иногда не совпадающая с опытом•аксиоматический метод – ведущий методаксиоматический метод – ведущий метод познания не только в математике, но и в других науках и в других науках

К.Ф. ГауссК.Ф. Гаусс1777-1855

Н.И. ЛобачевскийН.И. Лобачевский1792-1856

Я. БольяиЯ. Больяи1802-1860

5. Современный периодРазвитие идей неевклидовой геометрииРазвитие идей неевклидовой геометрииРезультаты исследований Г. Римана:неограниченное многообразие геометрических неограниченное многообразие геометрических пространствпространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами вычисления расстояний и т.п.Понятие пространства Понятие пространства становится не только геометрическим, но метаматематическимметаматематическим:описаны пространства с комплексными комплексными координатамикоординатами, пространства, элементами которых являются прямые, окружности, сферыпрямые, окружности, сферы и даже функции функции и последовательности. последовательности.

→ новая ветвь новая ветвь математики – функциональный функциональный анализ анализ

Г. РиманГ. Риман1826-1866

5. Современный периодСвязь математики с реальным миромСвязь математики с реальным миромВозникло сомнение, что полученные абстрактные математические построения отражают реальный мир.Сомнения были развеяны: связи их с реальным миром обнаруживались.•При создании в начале XX в. теории теории относительностиотносительности были использованы геометрические идеи, разработанные Риманом.•Геометрия Лобачевского нашла свое подтверждение вне земного пространствавне земного пространства.•В квантовой механике квантовой механике используют бесконечномерные пространства и линейные операторы в них.

А. ЭйнштейнА. Эйнштейн1879-1955

5. Современный период2) Качественные изменения в алгебре 2) Качественные изменения в алгебре (начало XIX в)

• в качестве объектов алгебраических операций выступают не только числа, но и векторы, матрицы, логические векторы, матрицы, логические высказываниявысказывания и т.д.

• осознается роль таких алгебраических алгебраических структур структур как группы, кольца, поля, группы, кольца, поля, решеткирешетки и т.д.

Понятие группы возникло в 30-е годы ХХ в. в работах Э. Галуа из решения конкретной задачи о разрешимости задачи о разрешимости уравнений в радикалахуравнений в радикалах

5. Современный периодСоздание теории группСоздание теории групп• Основные результаты получил в 16-18 лет, но

они не были признаны Парижской АН.• Республиканец, член общества «Друзья

народа», выступал против королевского режима.

• Дважды приговорен к тюремному заключению.

• Убит на дуэли в 20 лет. Перед трагической гибелью в «письме другу» изложил основные результаты своих размышлений.

• Разобрал и опубликовал Лувииль (1846), распространение идей с 1870 г.

Эварист ГалуаЭварист Галуа1811-1832

5. Современный периодВлияние теории групп на математикуВлияние теории групп на математикуВ конце XIX в. идеи теории групп начали применяться в геометриигеометрии.«Эрлангенская программа» «Эрлангенская программа» Ф. Клейна(1872 г., доклад при вступлении в должность профессора в 23 года).

Геометрия – наука, изучающая свойства фигур, не Геометрия – наука, изучающая свойства фигур, не изменяющиеся при преобразованиях той или иной изменяющиеся при преобразованиях той или иной

группыгруппы

Выбирая в качестве инварианта различные группы геометрических преобразований (перемещений, подобия, аффинную, проективную…), можно получить различные геометрии.

Феликс КлейнФеликс Клейн1849-1925

5. Современный период3) Качественные изменения в математическом анализе3) Качественные изменения в математическом анализе

Критический пересмотр основных понятий пересмотр основных понятий математического анализа:

• «арифметизация» «арифметизация» понятия действительного числадействительного числа, т.е. сведение его к понятию натуральногонатурального числа (вторая половина XIX в.);

• применение комплексных чисел → создание теории теории функций комплексного переменногофункций комплексного переменного;

• введение корректных определений понятий предела предела функции, непрерывности, производной, интегралафункции, непрерывности, производной, интеграла;

• уточнение понятий длины, площади, объемадлины, площади, объема, расширение области их применения.

Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе № 2

Тема: Теория множеств, аксиоматизация, современная концепция математики

ЛитератураСовременные основы школьного курса математики. – М.: Просвещение, 1980. - С.17-18.

Контрольная работа №21. Охарактеризуйте сущность аксиоматического метода.2. Охарактеризуйте процесс появления точечных множеств.3. Перечислите вопросы математики, к которым может быть

приложима теория множеств.4. Охарактеризуйте новый взгляд на предмет математики.5. Охарактеризуйте основные положения «Оснований

геометрии» Д. Гильберта.6. Охарактеризуйте концепцию математики А.Н. Колмогорова.7. Кем является Николя Бурбаки? Охарактеризуйте «Элементы

математики» Бурбаки.8. Охарактеризуйте изменения в теории вероятностей, которые

произвел А.Н. Колмогоров.