ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ»

ΤΑΞΗ Α

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΔΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΔΥΝΑΜΕΙΣΑν α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας φυσικός μεγαλύτερος του1 ονομάζουμε νιοστή δύναμη του α (συμβολισμός αν) το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με α.

ΔΗΛΑΔΗ αν=

Συνέπειες από τον ορισμό α1=α α0=1 (α0)

α-ν= (α0 και ν φυσικός)

(-α)ν=

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ αμ.αν=αμ+ν

αμ:αν=αμ-ν (αμ)ν=αμ.ν

αν.βν=(α.β)ν

ΡΙΖΕΣΟΡΙΣΜΟΣ Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με και είναι ένας θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Για κάθε πραγματικό αριθμό x 0 ισχύει:

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 1η Αν α0 και β0 τότε: α β α β

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 2η Αν α 0 και β>0 τότε α

β

α

β

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣΤαυτότητα ονομάζεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών.

Βασικές ταυτότητες που ισχύουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (αβ)2 = α2 2αβ + β2

(αβ)3 = α3 3α2β + 3αβ2 β3

α3+β3 = (α +β )(α2-αβ+β2) α2-β2 = (α - β)(α + β) α3-β3 = (α - β)(α2+αβ+β2) α4-β4 = (α-β)(α3+α2β+αβ2+β3) αν-βν=(α-β)(αν-1+αν-2 β+αν-3 β2+….+βν-1) όπου ν είναι θετικός ακέραιος (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ

1

Εκτός απ’ αυτές υπάρχουν και άλλες χρήσιμες στα μαθηματικά τις οποίες θα πρέπει να γνωρίζετε την «τεχνική» για να αποδεικνύεται ότι ισχύουν. Υπάρχουν δύο διαφορετική τρόποι με τους οποίους μπορούμε να αποδείξουμε μια ταυτότητα.

Αρχικά η αλγεβρική παράσταση που βρίσκεται αριστερά του «=» ονομάζεται πρώτο μέλος και θα το συμβολίζουμε με Α και η αλγεβρική παράσταση που βρίσκεται δεξιά του «=» ονομάζεται δεύτερο μέλος και θα το συμβολίζουμε με Β. Έτσι κάθε ταυτότητα έχει μορφή Α = Β.Για την απόδειξη μιας ταυτότητας έχουμε δύο τρόπους:

1ος ΤΡΟΠΟΣ Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος και αναπτύσσουμε γνωστές ταυτότητες αν αυτές εμφανίζονται, μετά κάνουμε τις σημειούμενες πράξεις έως ότου φτάσουμε στο δεύτερο μέλος.

Α = ….=…..=…..=…..= Βή ξεκινάμε από το Β μέλος και καταλήγουμε όπως προηγουμένως στο Α μέλος.

Β = ….=…..=…..=…..= Α Η επιλογή του μέλους απ’ όπου θα ξεκινήσουμε εξαρτάται από εμάς, συνήθως ξεκινάμε από το μέλος που θεωρούμε περισσότερο πολύπλοκο.

2ος ΤΡΟΠΟΣΕργαζόμαστε και με τα δύο μέλη χωριστά όπου αναπτύσσουμε γνωστές ταυτότητες αν αυτές εμφανίζονται, μετά κάνουμε τις σημειούμενες πράξεις έως ότου φτάσουμε το κάθε μέλος σε κάποιες ισότητες που συγκρινόμενες μεταξύ τους είναι ίσες.

Α = ….=…..=…..=…..= ΓΒ = ….=…..=…..=…..= Γ

Άρα Α = ΒΤαυτότητες υπό συνθήκηΥπάρχουν ταυτότητες όπου δεν επαληθεύονται για όλες τις τιμές των μεταβλητών τους, αλλά μόνο για συγκεκριμένες. Τέτοιας μορφής ταυτότητες ονομάζονται «ταυτότητες υπό συνθήκη» και έχουν γενική μορφή: Αν Α = Β τότε Γ = Δ.

Για παράδειγμα μια τέτοια ταυτότητα είναι: Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ

Η απόδειξη μιας ταυτότητας υπό συνθήκη με γενική μορφή Αν Α = Β τότε Γ = Δ μπορεί να γίνει με τους παρακάτω τρόπους

Ξεκινάμε από το Γ μέλος και με ισότητες προσπαθούμε να φτάσουμε στο Δ (ή αντίστροφα) το οποίο επιτυγχάνεται μόνο αν κατά την πορεία χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση της ταυτότητας δηλαδή την ισότητα Α = Β.

Ξεκινάμε από την ισότητα Α = Β και με συνεπαγωγές προσπαθούμε να δείξουμε την ισότητα Γ = Δ. (η διαδικασία αυτή ονομάζεται ευθεία απόδειξη)

Ξεκινάμε από μια άλλη ισότητα της μορφής Μ = Ν και με συνεπαγωγές προσπαθούμε να δείξουμε την ισότητα Γ = Δ που μπορεί να επιτευχθεί μόνο αν κατά την πορεία της απόδειξης χρησιμοποιηθεί η ισότητα Α = Β.

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΠαραγοντοποίηση ή ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μια παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο.

2

Όταν δοθεί για παραγοντοποίηση μια αλγεβρική παράσταση, θα πρέπει πρώτα να «εντοπίσουμε» από την μορφή της, σε ποια από τις περιπτώσεις παραγοντοποίησης εντάσσετε. Αυτό δεν είναι πάντοτε εύκολο. Απαιτείται καλή γνώση της θεωρίας, αρκετή κρίση και προπαντός εμπειρία που αποκτάται από την λύση ασκήσεων.

Το πρώτο πράγμα που ελέγχουμε αν μας δοθεί μια αλγεβρική παράσταση είναι μήπως οι όροι της έχουν κοινό παράγοντα. Αν αυτό συμβαίνει τότε βγάζουμε κοινό παράγοντα έξω από μια παρένθεση ή αγκύλη (ανάλογα με την μορφή της αλγεβρικής παράστασης) και συνεχίζουμε………

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 6α2β -12αβ + 24β2 = 6β(α2 – 2α + 4) 3x3 – 18x = 3x(x2 – 4) = 3x(x-2)(x+2) (α+y)3 – α(α + y)2 +(α + y) = (α + y)[(α + y)2 – α(α +y) + 1] = (α

+ y)(α2 +2αy + y2 – α2 – αy +1) = (α +y)(y2 + αy + 1)

Μερικές φορές ο κοινός παράγοντας είναι «κρυφός» τότε με κατάλληλες κινήσεις μπορούμε να τον φανερώσουμε……..

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 2α(x – y) – 3β(y – x) = 2α(x – y) + 3β(x – y) = (x – y)(2α +3β) (2x + 3)(3x – 2) + 9x2 – 4 = ( 2x + 3)(3x – 2) + (3x – 2)(3x + 2) =

(3x – 2)[(2x + 3) + (3x + 2)] =(3x -2)( 2x + 3 + 3x +2) = (3x -2)(5x +5) = =5(3x-2)(x+1)

Όταν «ξεμπερδέψουμε» με τον κοινό παράγοντα, ρωτάμε : πόσους όρους έχει η παράσταση;

Αν η αλγεβρική παράσταση έχει δύο όρους προσέχουμε

Α) Μήπως αυτή μπορεί να γραφτεί ως διαφορά τετραγώνων, οπότε αναλύεται με βάση την ταυτότητα

α2 – β2 = (α –β)(α +β)προσοχή όμως το άθροισμα τετραγώνων α2 + β2 δεν αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x2 – 49 = x2 – 72 = (x -7)(x+7) δ2 – 7 = δ2 - = (δ - )(δ + ) 121α2 – 64β2 = (11α)2 – (8β)2 = (11α – 8β)(11α +8β) 9x2 – 4(x -2y)2 = (3x)2 – [2(x -2y)]2 = [3x – 2(x – 2y)][3x + 2(x -2y)] =

(3x -2x + 4y)(3x +2x – 4y) = (3x + 2y)(3x – 2y)

Β) Μήπως αυτή μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ή διαφορά κύβων, οπότε αναλύεται με βάση τις ταυτότητες:

α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ +β2)α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ +β2)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x3 – 125y3 = x3 – (5y)3 = (x – 5y)[x2 - x∙5y + ( 5y)2] = (x – 5y)(x2 – 5xy +25y2) α3 + γ6 = α3 + (γ2)3 = (α + γ2)[α2 – αγ2 + (γ2)2] = (α + γ2)(α2 – αγ2 + γ4)

Αν η αλγεβρική παράσταση έχει τρεις όρους, τότε εξετάζουμε μήπως είναι ή μπορεί να γραφτεί:

Α) ως ανάπτυγμα τετραγώνου (ταυτότητα που λέτε…..) α2 2αβ +β2 = (α β)2.

3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x2 – 6x + 9 = x2 - 2∙x∙3 + 32 = (x – 3)2

4x4 + 12x2y + 9y2 = (2x2)2 + 2∙2x2∙3y + (3y)2 = (2x2 + 3y)2

B) ως τριώνυμο β΄ βαθμού: x2 + (α + β)x + αβ = (x + α)(x + β) οπότε στην περίπτωση αυτή ψάχνουμε να βρούμε δύο αριθμούς με γινόμενο αβ και άθροισμα α + β με την τεχνική που παρουσιάσαμε

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Γ) Αν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω εξετάζουμε μήπως διασπώντας κάποιον όρο οι σχηματιζόμενοι τέσσερεις όροι παραγοντοποιούνται με ομαδοποίηση…..

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜA x2 + 3xy +2y2 = x2 + xy + 2xy + 2y2 = x(x +y) +2y(x + y) = (x +y)(x +2y)

Δ) Αν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω εξετάζουμε μήπως προσθέτοντας και αφαιρώντας κατάλληλο όρο δημιουργείται ανάπτυγμα τετραγώνου ή γενικά παράσταση που μπορεί να παραγοντοποιηθεί….

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α4 + 11α2 +36 = α4 +11α2 +36 – α2 + α2 = α4 + 12α2 + 36 – α2 =

(α2 + 6)2 – α2 = (α2 +6 – α)(α2 + 6 +α) x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2y2 – 4x2y2 = (x2 + 2y2)2 – (2xy)2 =

(x2 + 2y2 -2xy)(x2 + 2y2 + 2xy)

E) Aν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω εξετάζουμε μήπως αν τοποθετήσουμε δύο από τους τρείς όρους σε παρένθεση προκύπτει κοινός παράγοντας από τους δύο όρους που έχουν προκύψει.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2β – 1)(β – 3γ) – β +3γ = (2β -1)(β -3γ) – (β -3γ) = (β -3γ)[(2β -1) -1] =

(β -3γ)( 2β -1 – 1) = (β -3γ)( 2β -2) = 2(β -3γ)(β -1)

Αν η αλγεβρική παράσταση έχει τέσσερεις όρους τότε κάνουμε ομαδοποίηση όρων.Α) Αρχικά εξετάζουμε τους όρους ανά δύο και προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 6x2 – 4αx -9βx + 6αβ = (6x2 – 4αx) – (9βx - 6αβ) =

=2x(3x – 2α) – 3β(3x – 2α) = (3x – 2α)(2x – 3β)

Β) Αν δεν συμβαίνει αυτό εξετάζουμε τους όρους παίρνοντας τους τρείς με έναν ή έναν με τρείς εξετάζοντας αν οι τρεις όροι αποτελούν ανάπτυγμα ταυτότητας.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α2 – β2 + γ2 -2αγ = (α2 -2αγ + γ2) – β2 = (α –γ)2 – β2 = (α – γ + β)(α –γ – β) 9α2 – x2 +6x – 9 = 9α2 – (x2 – 6x + 9) = (3α)2 – ( x – 3)2 =

=[3α + (x – 3)][3α – (x – 3)] = (3α + x – 3)(3α – x + 3)

4

Αν η αλγεβρική παράσταση έχει πέντε ή έξι όρους τότε εργαζόμαστε ανάλογα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x2 + y2 +2x -2y -2xy = (x2 – 2xy + y2) + (2x – 2y) =

=(x –y)2 +2(x – y) = (x –y)(x – y +2) α2 + β2 – γ2 – δ2 – 2αβ + 2γδ = (α2 – 2αβ + β2) – (γ2 – 2γδ + δ2) =

=(α – β)2 – (γ – δ)2 = [(α – β) – (γ – δ)][(α – β ) + (γ – δ)] = = (α – β – γ + δ)(α – β + γ – δ)

Σε μερικές περιπτώσεις είναι αναγκαίο να κάνουμε πράξεις και στην συνέχεια παραγοντοποίηση

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (α + β)3 – (α3 + β3) = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 – α3 – β3 =

=3α2β + 3αβ2 = 3αβ(α + β) α(α + 1) – β(β + 1) = α2 + α – β2 – β = α2 – β2 + (α – β) =

=(α + β)(α – β) + (α – β) = (α – β)(α + β + 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90ο και γ = 2β. Να αποδείξετε ότι αν = 5β2αν – 2, όπου ν φυσικός αριθμός με ν 2.

5

2.Αν α ≠ 0 και μ, ν είναι ακέραιοι, τότε να αποδείξετε ότι:

3. Να γράψετε ως μια δύναμη την παράσταση: Κ = (– 0,25)15[(–2)3]13

4. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = 551 και β = 2121 – 4 60 - 2119

5. Αν ν είναι ακέραιος θετικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = (–1)ν+3(–1)ν+1–3(–1)3ν+1.

6.Να αποδείξετε ότι:

7.Αν x = , να αποδείξετε ότι:

8. Αν α + β + γ = 1, α2 + β2 + γ2 = 2 και α3 + β3 + γ3 = 3 ,να υπολογίσετε το γινόμενο αβγ

9. Αν α + β = 1, να αποδείξετε ότι: α3 + β3 + 3αβ = 1

10

11.

12.

2. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Εξίσωση 1ου βαθμού ονομάζεται κάθε ισότητα που έχει ή μπορεί να πάρει την μορφή αx = β Για την επίλυση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης ακολουθούμε τα παρακάτω:

6

απαλείφουμε τους παρανομαστές (αν υπάρχουν )κάνουμε τους σημειούμενους πολλαπλασιασμούςαπαλείφουμε τις παρενθέσειςχωρίζουμε τους γνωστούς όρους από τους άγνωστουςκάνουμε αναγωγή όμοιων όρων διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου , απλοποιούμε και υπολογίζουμε την

τιμή του.

Κάθε πρωτοβάθμια εξίσωση της μορφής αx = β έχει μοναδική λύση την x= όταν α0 . Αν α=0 τότε

έχουμε τις μορφές 0x=β (β0) που είναι αδύνατη εξίσωση και 0x=0 που είναι αόριστη εξίσωση.

Εξίσωση 2ου βαθμού ονομάζεται κάθε εξίσωση που ο άγνωστος όρος της εμφανίζεται με μεγαλύτερη δύναμη την δεύτερη. Για την επίλυση μιας εξίσωσης 2ου βαθμού ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος της εξίσωσης Αναλύουμε το 1ο μέλος σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και το φέρνουμε στην μορφή αβ=0.Λύνουμε τις εξισώσεις α=0, β=0Οι λύσεις των παραπάνω εξισώσεων αποτελούν και λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Εναλλακτικά οι λύσεις της εξίσωσης αx2+βx+γ = 0 (α 0, α, β, γ Â) δίνονται και από την σχέση :

x= όπου Δ=β2-4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ1. Η διακρίνουσα Δ καθορίζει το είδος και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης αx2+βx+γ=0 συνεπώς Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει 2 ρίζες άνισεςΑν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει 1 ρίζα διπλή (ή δύο ρίζες ίσες)Αν Δ<0 τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών .Αν Δ=0 τότε το 1ο μέλος της εξίσωσης είναι ανάπτυγμα τετραγώνου..

2. Η χρησιμοποίηση του τύπου x= είναι δυνατή μόνο όταν ο τύπος της δευτεροβάθμιας

εξίσωσης είναι στην μορφή αx2+βx+γ=0.

3. Κάθε εξίσωση 2ου βαθμού που μπορεί να πάρει τις μορφές x2 = α ή (x + β)2 = α με α αρνητικό αριθμό , δεν έχει λύση συνεπώς είναι αδύνατη.

Κλασματική ονομάζεται η εξίσωση που ο άγνωστος της περιέχεται και στον παρονομαστή .

Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία :Παραγοντοποιούμε όλους τους παρονομαστές (αν αυτό γίνεται) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών Θέτουμε τον περιορισμό : Ε.Κ.Π. 0 και βρίσκουμε για ποιες τιμές του αγνώστου δεν έχουν έννοια τα κλάσματα που περιέχονται στην εξίσωση. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. και απλοποιούμε αυτό με τους παρονομαστές . Εκτελούμε τις πράξεις που προκύπτουν και προκύπτει εξίσωση πρώτου ή δευτέρου βαθμού που αντιμετωπίζεται όπως παραπάνω. Απορρίπτουμε , τέλος από τις ρίζες εκείνες που αντιτίθεται στους περιορισμούς που αρχικά έχουμε θέσει.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί η εξίσωση (2x – 3)3 + (7–5x)3 = (4–3x)3

7

2. Να λυθεί η εξίσωση: (x3 + 3x2 + 3x)(x3 + 3x2 + 3x +2) +1 = 0

3.Να λυθεί η εξίσωση x -2 – 4x -1 + 3 = 0

4. Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση x(5α +3) + 5 = 10(x + 1) + 3 είναι αδύνατη.

5. Να λυθεί η εξίσωση x2+( )x+ = 0

6. Δίνονται οι εξισώσεις: (1) (λ–2)x = λ2–4 (2) λ2x(x+1) –2(2x–1) = λ(λx2+1) (3) λ2x(x+1) –2(2x+1) = λ(λx2+1) Να αποδείξετε ότι: α) Αν η (1) αληθεύει για κάθε x (ταυτότητα), τότε το ίδιο συμβαίνει και για την (2) β) Αν η (3) είναι αδύνατη, τότε η (1) είναι ταυτότητα.

7. Δίνεται η εξίσωση x2–2x–2(αβ–1) = 0. Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α + β , τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1

8. Να βρείτε τους ακέραιους x ώστε να ισχύει:

=

9.Να λυθεί η εξίσωση:

10 Nα λυθεί η εξίσωση λ(λx +3) = λ3 + 2λx – 2

11. Nα προσδιορίσετε τους ακεραίους που είναι λύσεις του συστήματος εξίσωσης – ανίσωσης

x2 – 5x = 14,

12.

Nα λύσετε το σύστημα

3. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Προβλήματα που επιλύονται με εξισώσεις

ΣΧΟΛΙΑ Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με την βοήθεια των εξισώσεων ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:

Διαβάζουμε με προσοχή το πρόβλημα για να καταλάβουμε τι μας δίνει και τι μας ζητάει. Συμβολίζουμε με x αυτό που μας ζητάει Με την βοήθεια της μεταβλητής x συμβολίζουμε και τα άλλα μεγέθη του προβλήματος. Σχηματίζουμε μία εξίσωση (που έχει τον x ως άγνωστο) που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος.

8

Λύνουμε την εξίσωση Ελέγχουμε αν η λύση ανταποκρίνεται στο πρόβλημα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1. Στην λαϊκή του Χαλανδρίου ο κύριος Γιάννης πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!! Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’ όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’ όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!! Στο τέλος αγόρασα και εγώ το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά ο Γιάννης.

2 Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι μεγαλύτερο από το δεκαπλάσιο του αριθμού κατά 75. Να βρεθεί ο αριθμός.

3Αν στο ενός αριθμού x προσθέσουμε το του αριθμού αυτού προκύπτει αριθμός

μικρότερος κατά 1255 του αριθμού x. Να βρεθεί ο αριθμός x.

4 Δύο παιδιά συζητούν για αλγεβρικά προβλήματα. Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς x και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν μειώσω τον x κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται. Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη: Αν αυξήσεις τον αριθμό x κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 20, τότε πάλι το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται; Η Μαρία καταλήγει: Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες. Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε ο Γιάννης;

5. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το μισό της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το 1/8 της ζωής του.Πόσα χρόνια έζησε;

4. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Θεωρία αριθμών

ΟΡΙΣΜΟΙ Άρτιος ονομάζεται κάθε ακέραιος που είναι πολλαπλάσιο του 2. Έχει τη μορφή 2κ όπου κZ Περιττός ονομάζεται κάθε ακέραιος που δεν είναι άρτιος. Έχει την μορφή 2κ+1 (ή 2κ-1) όπου κZ

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω α, β δύο ακέραιοι με β 0. Θα λέμε ότι ο β διαιρεί τον α όταν η διαίρεση του α με τον β είναι τέλεια.ΙΣΧΥΕΙ α = πολ∙β (πολλαπλάσιο του β) υπάρχει κZ τέτοιο ώστε α = κ∙β

9

ΟΝΟΜΑΣΙΕΣο β ονομάζεται διαιρέτης του α ή παράγοντας του.ο α ονομάζεται πολλαπλάσιο του β

1. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός 78 – 1 είναι πολλαπλάσιος του 6.

2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y που επαληθεύουν την ισότητα: x2 + y2 – 2x + 4y +5 = 0

3 Αν οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι ,να αποδείξετε ότι ο ακέραιος είναι πολλαπλάσιο του 34.

4.

5. Aν με ν! συμβολίζουμε το γινόμενο: 123…ν, τότε:

1) Να βρείτε σε ποιό ψηφίο τελειώνει ο αριθμός α = 1! + 2! + 3!+ 4! + 5! +....+ 2011!

2) Είναι ο , ακέραιος; Να δικαιολογήσετε την απαντησή σας 6. Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς x, y, z με x + y + z = 0, να αποδείξετε ότι η παράσταση

είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.

5. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Προβλήματα πρακτικής αριθμητικής

1. Μία βρύση Α γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) μία δεξαμενή σε τρεις ώρες. Μία δεύτερη βρύση Β γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή σε τέσσερις ώρες. Μία τρίτη τέλος βρύση Γ αδειάζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή (όταν βέβαια είναι γεμάτη) σε έξι ώρες. Ένας αυτόματος μηχανισμός ανοίγει με τυχαία σειρά και τις τρεις βρύσες με τον εξής τρόπο: ανοίγει μία βρύση, μετά από δύο ώρες ανοίγει μία άλλη και τέλος μετά από μία ώρα ανοίγει και την άλλη βρύση. Ένας άλλος μηχανισμός μετρά το χρόνο που χρειάζεται να γεμίσει η δεξαμενή και ξεκινά τη λειτουργία του μόλις πέσει νερό μέσα στη

10

δεξαμενή. Ποια είναι εκείνη η σειρά με την οποία αν ανοίξει τις βρύσες ο μηχανισμός, o αριθμός των ωρών που θα χρειαστούν (για να γεμίσει η δεξαμενή) να είναι ακέραιος αριθμός; Ποιος είναι σε κάθε περίπτωση αυτός ο ακέραιος αριθμός;

2. Η Α΄ τάξη ενός Λυκείου έχει 5 τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον 20 μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε 10 ευρώ. Έτσι δώσαμε 1090 ευρώ. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών.

6. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

1.Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: α2 –αβ + β2 , πότε ισχύει το ίσον;

2. . i) Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: α2 + β2 2αβ (ΒΑΣΙΚΗ)

ii) Aν x, y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι:

ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΡΩΣΙΑΣ 1995

3.. i) Για κάθε x > 0 να αποδείξετε ότι x + (ΒΑΣΙΚΗ)

ii) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι x + (ΒΑΣΙΚΗ)

4.i) Aν α, β είναι ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

ii) Aν α, β είναι ετερόσημοι πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

5. Για κάθε x, y , ω να αποδείξετε ότι x2 + y2 + ω2 xy +xω + yω (ΒΑΣΙΚΗ)

6. Για κάθε α, β , να αποδείξετε ότι α4 + β4 + 1 α2 + β2 + α2β2 (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την προηγούμενη ανισότητα)

7. Για κάθε x, y να αποδείξετε ότι: i) x2 – xy + y2 0 (ΒΑΣΙΚΗ)

ii) x2 + xy + y2 0 (ΒΑΣΙΚΗ)

8. Aν α, β, γ > 0 και αβγ = 1, να αποδείξετε ότι α + β + γ + αβ + βγ + γα 6.

(ΥΠΟΔΕΙΞΗ: χρησιμοποιήστε την βασική ανισότητα για κάθε x > 0)

9.Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει:

[Ανισότητα Αριθμητικού – Γεωμετρικού - Αρμονικού μέσου (ΑM – GM –HM)] ΒΑΣΙΚΗ

10 Aν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός, να αποδείξετε ότι:

11. Aν α, β, γ > 0 να αποδείξετε ότι: (α + β)(β + γ)(γ + α) 8αβγ

11

(ΥΠΟΔΕΙΞΗ: χρησιμοποιήστε την βασική ανισότητα ΑΜ - GM )

12.Aν α, β, γ > 0 να αποδείξετε ότι:

(ΥΠΟΔΕΙΞΗ: χρησιμοποιήστε την βασική ανισότητα ΑΜ - GM )

7. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος.

Χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου.“ Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθ. τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του, και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθ. τμήματος, τότε το σημείο αυτό ανήκει στην μεσοκάθετο του ευθ. τμήματος

2. Δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 180ο Δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 90ο.Δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφή, όταν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μιας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης γωνίας. Οι κατακορυφή γωνίες είναι ίσες.

3. Αν δύο παράλληλες ευθείες (ε1) και (ε2) τέμνονται από μια τρίτη ευθεία (η) σε δύο σημεία Α και Β σχηματίζονται τα παρακάτω είδη γωνιών:

Οι γωνίες και που ονομάζονται

«εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται

«εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται

«εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι παραπληρωματικές.

4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι 2 ορθές. Δηλαδή

=180ο

5. Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου και η απόσταση των δύο αυτών βάσεων ονομάζεται ύψος του τραπεζίου.

Ισοσκελές τραπέζιο ονομάζεται το τραπέζιο που οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες.

6. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται παραλληλόγραμμο, όταν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες Οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου είναι: 1 Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 2 Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3 Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. 4 Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.

12

7. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ορθογώνιο όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ρόμβος όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται τετράγωνο όταν έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες.

8. Το εμβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της

βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Δηλαδή Ε= β.υ

Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου

των καθέτων πλευρών του. Δηλαδή Ε= β.γ

9. Το εμβαδό Ε του παραλληλογράμμου είναι Ε=β.υ όπου β είναι η βάση του και υ το ύψος του παραλληλογράμμου.

10. Το εμβαδό του τραπεζίου είναι: Ε=

όπου Β και β είναι η μεγάλη και η μικρή του βάση και υ το ύψος του τραπεζίου.

11. TO ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι ίσο

με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του . Δηλαδή α2=β2+γ2

Το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος Όταν σ’ ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών , τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.Δηλαδή αν α > β, α > γ και α2=β2+γ2 τότε Α=90ο

12. Μια γωνία ονομάζεται επίκεντρη ,όταν η κορυφή της είναι στο κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της είναι ακτίνες του κύκλου.

Στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους ισχύουν οι ιδιότητες ΄Ισες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους. ΄Ισα τόξα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες επίκεντρες χορδές τους.

13. Μια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη όταν η κορυφή της είναι πάνω σ’ ένα κύκλο και οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου.

Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο.

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες

Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες εγγεγραμμένες γωνίες τους είναι ίσες.

13

14. Ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ:ρ η ακτίνα του κύκλου μέσα στο οποίο συνήθως σχεδιάζουμε κανονικό πολύγωνο δ η διάμετρος του προηγούμενου κύκλου.ν ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνουλ η πλευρά ενός κανονικού πολυγώνουα το απόστημα (η κάθετη από το κέντρο του κύκλου στο μέσο της πλευράς) ενός κανονικού πολυγώνου.ω η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνουφ η γωνία ενός κανονικού πολυγώνουΕ το εμβαδό ενός κανονικού πολυγώνου

Τ η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ω = φ = 180ο-ω δ = 2ρ

λ = 2ρημ ή λ = δημ

α = ρσυν Ε = νλα

Τα = νλ ή Τα = ν2ρημ ή Τα = νδημ

15. ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ-ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Γ = 2πρ και Γ = πδ S = και S = αρ

όπου Γ το μήκος ή η περίμετρος του κύκλου με ακτίνα ρ S το μήκος ενός τόξου μο ή α rad σε κύκλο με ακτίνα ρ

16. ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ - ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

Ε=πρ2 Ετ = Ετ = Sρ

17. ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝΌταν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς αυτές.

18. Το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της.

Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και Ε μέσο της ΑΓ τότε ΔΕ = //

19. Η ευθεία που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μια πλευρά του, διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και ΔΕ // ΒΓ τότε Ε μέσο της ΑΓ.

14

20. Αν η ΑΜ είναι διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, τότε

ΑΒ=

21. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗΌταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στην μια είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης.

δηλαδή ισχύει:

Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε μέρη ανάλογα.

δηλαδή ισχύει: αν ΚΛ//ΒΓ τότε

Κάθε ευθεία που χωρίζει δύο πλευρές ενός τριγώνου σε μέρη ανάλογα, είναι παράλληλη προς την Τρίτη πλευρά του.

δηλαδή ισχύει: αν τότε ΚΛ//ΒΓ

22. ΟΜΟΙΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑΔύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Το λόγο των αντίστοιχων πλευρών δύο όμοιων πολυγώνων τον λέμε λόγο ομοιότητας.

Δύο ίσα σχήματα είναι και όμοια, ενώ δύο όμοια σχήματα δεν είναι κατ’ ανάγκη ίσα. Δύο ίσα σχήματα έχουν λόγο ομοιότητας 1.

Δύο κανονικά πολύγωνα, που έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο της ομοιότητάς τους.

23. ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑΔύο τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες; και τις πλευρές τους ανάλογες.

24. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία

προς μία. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν δύο πλευρές του ενός τριγώνου

είναι ανάλογες προς δύο πλευρές του άλλου και οι περιεχόμενες γωνίες τους είναι ίσες.

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Στο διπλανό τεταρτοκύκλιο να υπολογίσετε την ακτίνα του μικρού ημικυκλίου με κέντρο Ο2 , αν είναι γνωστό ότι το ημικύκλιο με κέντρο Ο1 έχει διάμετρο 2

Βρείτε την απόσταση του Ο από την ευθεία που ορίζουν τα Ο1 και Ο2.

Υπολογίστε κατά προσέγγιση το εμβαδό του χωρίου με γκρι χρώμα. Δίνεται: εφ53° = 1,33

2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ (ΑΒ = ΑΓ) και γωνία Α = 20ο. Πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΔΒΓ = 60ο και πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΕΓΒ = 50ο. Να βρεθεί η γωνία ΕΔΒ

3. Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών από 1 έως 12 στο παρακάτω σχήμα.

Από αμερικάνικο διαγωνισμό

4. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και Β = 2Γ. Να αποδείξετε ότι: β2 = γ(γ + α) από γερμανικό διαγωνισμό

5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ του ΑΒ, η προβολή Δ του Μ στην ΑΓ και το μέσο Ν του ΜΔ . Να αποδειχθεί ότι οι ΒΔ , ΓΝ τέμνονται κάθετα !

6. Να υπολογίσετε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, για το οποίο είναι γωνία Α = 105ο , γωνία Β = 45ο και η περίμετρός του είναι .

7. Έστω α και β τα μέτρα των βάσεων ενός ισοσκελούς τραπεζίου και δ το μέτρο κάθε διαγώνιου του. Αν ισχύει (α + β)² – 2δ(α + β + 1) + 2δ² + 1 = 0, να βρείτε το εμβαδόν του.

8. Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ τέτοιο ώστε: ΑΒ = ΑΕ = ΓΔ = 1 και ΒΓ + ΔΕ = 1. Οι γωνίες Β και Ε είναι ορθές. Να βρείτε το εμβαδόν του.

16

9. Δίνονται οι κύκλοι (Ο, R), (Κ, ρ) και (Λ, ρ) του παρακάτω σχήματος. Αν οι κοινές τους εφαπτόμενες τέμνονται στα Α και Β, να δείξετε ότι ΚΛ // ΑΒ

10. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ=2ΑΒ και Β=2Γ να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην Α

11. Δίνεται το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ (αστέρι). Να αποδείξετε ότι:

12. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο. Αν Β΄ είναι το αντιδιαμετρικό του Β, ΟΔ κάθετη στην ΒΓ και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι:

α. Το τετράπλευρο ΑΗΓΒ΄ είναι παραλληλόγραμμο. β. 2ΟΔ = ΑΗ

13. Να υπολογιστεί η τιμή του α στο παρακάτω σχήμα. Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ ύψος του. (α) Αν υπάρχουν σημεία Ε και Ζ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν και , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (β) Αν υπάρχουν σημεία Ε και Ζ στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ προς το μέρος του Α, αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν και , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

15.

17

16.

17.

18.

18