ιαγώ νισμα υσ ικήςεπ ιμέλεια: Γρηγόρης Δρακόπουλος, Φ υσικός

Διαγώνισμα στη Μηχανική Στερεού – Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής

1. Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R = 1,5 m και r = 0,5 m αντίστοιχα. Οι δύο δίσκοι είναι κολλημένοι μεταξύ τους και μπορούν να περιστρέφονται ως ένα σώμα γύρω από τον κοινό τους άξονα χωρίς τριβές. Στα αυλάκια των δύο δίσκων έχουμε τυλίξει αβαρή μη εκτατά νήματα που στο τέλος τους καταλήγουν σε δύο σώματα με μάζες m1 και m2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα των σωμάτων αφήνεται ελεύθερο και διαπιστώνουμε ότι ισορροπεί. Ο λόγος των δύο μαζών m1/m2

είναι: (Δίνεται g)

α. 2

β. 3

γ. 4/3

δ. 3/4

(5 μονάδες)

2. Λεπτός τροχός ακτίνας R και μάζας m αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος γωνίας κλίσης φ. Αν ο τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει οι τιμές του συντελεστή στατικής τριβής μ μεταξύ του τροχού και του κεκλιμένου επιπέδου πρέπει να είναι:

α.

1

β.

γ.

δ.

(5 μονάδες)

3. Ο δίσκος του διπλανού σχήματος ακτίνας R περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ’ αυτόν. Κάποια στιγμή ασκούμε στην περιφέρεια του δίσκου ταυτόχρονα δύο δυνάμεις F1

και F2 με F2 > F1. Στα σχήματα που ακολουθούν να κυκλώσετε τη σωστή περίπτωση για τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας ω και της γωνιακής επιτάχυνσης αγων.

(5 μονάδες)

4. Ο Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις που ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα:

α. Να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος.

β. Να είναι άξονας συμμετρίας.

γ. Να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.

δ. Να ικανοποιεί όλα τα παραπάνω.

(5 μονάδες)

2

5. Ο λεπτός τροχός του σχήματος ακτίνας R και μάζας m, με τη μάζα του είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στην περιφέρειά δέχεται τη επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F, οπότε αρχίζει να κυλάει ο τροχός χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Τα μέτρα της στατικής τριβής Τσ και της δύναμης F συνδέονται με τη σχέση:

α.

β.

γ.

δ.

(5 μονάδες)

1. Στα παραπάνω σχήματα ομογενής δίσκος ακτίνας R περιστρέφεται αρχικά όπως φαίνεται στο σχήμα (Α), με την επίδραση δύναμης F που εφάπτεται στην περιφέρειά του με αποτέλεσμα η γωνιακή του ταχύτητα να μεταβάλλεται όπως δείχνει το διάγραμμα. Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε το ίδιο προσθέτοντας όμως πάνω στο δίσκο μία μικρή (σημειακή) μάζα, όπως φαίνεται στο σχήμα (Β).

Αν Ιδ είναι ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του και Im η ροπή αδράνειας της μικρής μάζας, ισχύει:

α.

β.

γ.

δ.

3

F

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

(2 μονάδες)

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(7 μονάδες)

2. Ομογενής ράβδος ΑΓ του σχήματος μάζας m και μήκους L μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σ’ αυτήν. Η ράβδος αφήνεται αρχικά από την κατακόρυφη θέση όπως φαίνεται στο σχήμα οπότε αρχίζει να περιστρέφεται διαγράφοντας γωνία φ με την αρχική της θέση.

α. Η ράβδος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αγων.

β. Η γωνιακή επιτάχυνση αγων της ράβδου μηδενίζεται τη στιγμή που η γωνία φ = 900.

γ. Η ράβδος αποκτά μέγιστη γωνιακή επιτάχυνση όταν βρίσκεται στην αρχική της θέση δηλαδή φ = 00 και όταν φ = 1800.

δ. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγων γίνεται μέγιστο όταν φ = 900.

4

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον

άξονα περιστροφής της δίνεται από τη σχέση και g = 10 m/s2.

(2 μονάδες)

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(7 μονάδες)

2. Λεπτός τροχός ποδηλάτου μάζας m και ακτίνας R με τη μάζα του ομοιόμορφα κατανεμημένη στην περιφέρειά του και ένα κουτί της ίδιας μάζας αφήνονται ταυτόχρονα να κινηθούν χωρίς αρχική ταχύτητα από το ίδιο ύψος h κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. Ο τροχός κυλά χωρίς

5

να ολισθαίνει, ενώ η φύση της επιφάνειας του κουτιού τον βοηθάει να ολισθαίνει χωρίς τριβές.

Στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου φτάνει πιο γρήγορα

i. Ο τροχός του ποδηλάτου ή

ii. Το κουτί

(2 μονάδες)

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(6 μονάδες)

6

Ομογενής κύλινδρος ακτίνας R = 0,2 m και μάζας m = 4 kg ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30ο

όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα με διεύθυνση παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο ενώ το άλλο άκρο του είναι δεμένο ακλόνητα από σταθερό σημείο.

α. Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος και τη δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το κεκλιμένο επίπεδο.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(8 μονάδες)

7

β. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου χωρίς να ολισθαίνει. Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(8 μονάδες)

8

γ. Τη στιγμή που ο κύλινδρος έχει εκτελέσει Ν = 150/π περιστροφές, να βρείτε την κατακόρυφη μετατόπιση του κυλίνδρου και μέτρο της ταχύτητας του πιο μακρινού σημείου του κυλίνδρου από το κεκλιμένο επίπεδο.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(9 μονάδες)

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του ότι

δίνεται από τη σχέση , ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

9

Ένα ποτήρι που περιέχει ποσότητα πορτοκαλάδας έχει συνολική μάζα m1

= 1 kg και βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Η μια άκρη λεπτού αβαρούς και μη εκτατού νήματος δένεται στο ποτήρι και αφού περάσει μέσα από το αυλάκι τροχαλίας μάζας M = 2,4 kg και ακτίνας R = 0,1 m καταλήγει να κρέμεται από την άλλη άκρη του μικρό σώμα μάζας m2 = 2 kg. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί ακίνητο.

α. Να υπολογίσετε την τιμή του συντελεστή στατικής τριβής που παρουσιάζει το ποτήρι με το οριζόντιο επίπεδο και τη δύναμη που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα περιστροφής της.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(7 μονάδες)

10

β. Με ένα καλαμάκι πίνουμε απότομα ποσότητα πορτοκαλάδας μέχρι να μειωθεί κατά 20 % η μάζα τους οπότε τη χρονική στιγμή t = 0 διαπιστώνουμε ότι το ποτήρι αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης παραμένει ίδιος με τον συντελεστή στατικής τριβής. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(6 μονάδες)

11

γ. Τα μέτρα των τάσεων του νήματος.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(4 μονάδες)

δ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας της μάζας m2 και το ποσό θερμότητας που έχει παραχθεί λόγω τριβής μέχρι τη στιγμή που η τροχαλία ολοκληρώνει 10/π περιστροφές.

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

12

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

(8 μονάδες)

Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της ότι

δίνεται από τη σχέση , ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2,

ενώ οι τριβές ανάμεσα στην τροχαλία και τον άξονα περιστροφής της θεωρούνται αμελητέες.

Χρονική διάρκεια διαγωνίσματος : 3 ώρες, καλή επιτυχία

13