Embed Size (px)
Citation preview
«Решение логарифмических
неравенств»
Определение: Логарифмическими
неравенствами называют неравенства вида
где а – положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
)()( loglog xgxfaa
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С РЕШЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ:
а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание
логарифма с единицей;б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с
помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего
неравенства.Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку
логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям,
стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.
Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при
решении логарифмического неравенства так сделать не получится: при переходе от логарифмов к
выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.
При 0 < a < 1
АЛГОРИТМ
.
),()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
.
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
При а > 1
Решение:
)14()42( loglog33
xx
xx
x
x
1442
014
042
Решение:
)14()32( loglog3
1
3
1 xx
xx
x
x
1442
014
042
Решение:
16416
04162xx
хх 2
2
1 4)416(2
2
1log xx
16log2
1log4
2
1
4
2
1
16)416( loglog2
12
2
1 xx
16416 2 xx
0)4( xx 40 x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
)(log xfy a 0)( xf
by xg )(log
.1)(
;0)(
xg
xg
)(log )( xfy xg
.0)(
;1)(
;0)(
xf
xg
xg
№ Формула Условия
1
2
3
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ НЕРАВЕНСТВ
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
Суть метода рационализации для решения логарифмических неравенств (метода замены множителя) состоит в
том, что в ходе решения осуществляется переход от неравенства, содержащего
логарифмические выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной
системе рациональных неравенств).
;0)(log xfa
Немножко теории…
Рассмотрим неравенства:
;0)(log )( xfxa
число
функция
;0)(log)(log xgxfaa
0)(log)(log )()( xgxf xaxa
Для неравенств со знаками «< », «≥», «≤» – рассуждения аналогичные, поэтому ограничимся рассмотрением только данных неравенств.
.1,0 ,0)(log)(log aaxgxfaa
,0))()()(1(
тогда,0)()(то,1Если
xgxfa
xgxfa
.0))()()(1(
значит,),()(0то,10Если
xgxfa
xgxfa
.0)(
,0)(
,0))()()(1(
0)(log)(log
xg
xf
xgxfa
xgxf aaИмеем :
,)(log)(log xgxfaa
Знак «сохраняется».
;0)(log xfa
;0)(log xfa
;0)(log)(log xgxfaa
)1)(()1( xfa
;0)(log)(log xgxfaa
))()()(1( xgxfa
При решении учитываем ограничения!
)1)(()1( xfa
))()()(1( xgxfa
;0)98(log
)46(log
7,0
5
x
x
;8
9
,3
2
,088
36
х
х
х
х
x- 1 21
-+ +
x
x
8
11
]2
1;
3
2(:Ответ
;098
046
,198
0)198()17(0,
)146()15(
x
,х
x
,х
х
3
2
Решим неравенство:
.0)(log )( xfxa
.0)1)(()1)(( тогда,1)(то,1)(Если
xfxaxfxa
;0)1)(()1)(( тогда,1)(0 то,1)(0Если
xfxaxfxa
;0)(,1)(,0)(
,0)1)(()1)((
0log
xfxaxa
xfха
f(x)a(x)
Имеем:
,0)(log)(log )()( xgxf xaxa
.0))()(()1)(( тогда,0)()(то,1)(Если
xgxfxaxgxfxa
;0))()(()1)(( тогда),()(0 то,1)(0Если
xgxfxaxgxfxa
Имеем:
)(log)(log )()( xgxf xaxa
.0)(
,0)(
,1)(
,0)(
,0))()()(1)((
0)(log)(log )()(
xg
xf
xa
xa
xgxfxa
xgxf xaxa
;01log 232 xx
1log 232 xx
Ограничения:
0;x
х
х
2
,132
,032
;0)32(loglog 322
32 xx xx
.0
12
3
x
,х
,х
Решим неравенство:
;1log 232 xx
0;
;1
;2
3
,0)32()132( 2
x
х
х
xxx
0.
;1
;2
3
,0)3)(1)(22(
x
х
х
xхx
-1;0)32(loglog 32
232 xx xx
0.
;1
;2
3
,0)3)(1)(1(2
x
х
х
xхx
0.
;1
;2
3
,0)3()1( 2
x
х
х
xx
2
3
).3;0()0;1()1;2
3(:Ответ
-1
- +х
-
х
3
-1 0
;1
,2
1
x
х
;112
,012
,012
24
x
хx
х
;112
2log
4
12
x
xx
Ограничения:
Решим неравенство:
;1
,2
1
,2
1
x
х
x
;0)12(12
2112
4
xx
xx
;112
2log
4
12
x
xx
;012
14222
24
x
xxx
-1
;012
341
24
x
xxx
;0)12(log12
2log 12
4
12
xx
xxx
.х
,х
,х
;х
,х
,х
функцииНули
-х
3
1
1
3
1
1
:)2
2
11)
.интервалов методом Решаем
2
2
2
1 1
);3[:Ответ
- +х
-
х
2
1-13 1 3
+ +-
;1
,2
1
;012
341
24
x
х
x
xxx
17
1log)526(log
:онеравенств Решить
6
49
1 xx
.5
,5
26
x
х
Ограничения (ОДЗ) :
;16
,06
,0526
x
x
х
;5
,6
,5
26
x
x
х
;17log)526(log 167 2 xx
;17
1log)526(log 6
49
1 xx
;01)6(log
1
2
)526(log
7
7
x
x
;,1)7log()526(log2
167 xx
;0)6(log2
)6(log)526(log
;0)6(log2
)6(log2)526(log
7
277
7
77
x
xx
x
xx
)6(log2 7 x
,0)6(log2
)6(log)526(log
7
277
x
xx
,016
)6(526 2
x
xx
,05
1236526 2
x
xxx
,05
1072
x
xx
,05
)5)(2(
x
xx
7-1>0
x+- +
x
.5
26;55;2:Ответ
5
26
2 5
5
ОДЗ
.5
,5
26
,05
)5)(2(
x
х
x
xx
;11log 22 x
x
.1
,1
,0
,011 222
x
x
х
xxx
.;12
1;01;0-:Ответ
14
6log 2250
x
x,
.2
,2
,0
,6
,0) 4
6 ()125,0(
22
x
x
х
x
xхx
.6;22;02;0-3;-:Ответ
;3
1
,0
,093log23log3 33
x
х
xx
0927log27
1log 33 xx
;3
1
,0
,013log3
x
хx
;3
1
,0
,03313
x
х
xx
.;13
10;:Ответ
;33
log3
log 5
4
5
x
x
x
xxx
;4
,5
;3
,0
,33
log3 5
x
x
x
хx
xx
;4
,5
;3
,0
,053
15
x
x
x
х
xx
xx
.;33;-1-5;-4-:Ответ
.3
log43
log43
log
то03
Т.к.
55
4
5 x
x
x
x
x
x
,х
х
xxx
;7
1log1
1
7log 8
2
8
x
x
x
xxx
;1
7log1
1
7log2 88
x
x
x
xxx
;011
7log 8
x
xx
;7
,8
;7
,1
,01
1587
2
x
x
x
х
x
хxx
.;75;-3-8;-7-:Ответ
;03612
log2
4
6 xx
xx
;0
,16
,06
,06
log2
6
х
х
хх
хх
;06
log22
6
х
xx
;06
log22
6 х
xx
;0
,5
,6
,0)16
)(16(2
х
х
хх
хх
;0
,5
,6
,0)6
6)(5(
2
х
х
хх
ххх
.6;52;0.3;0-:Ответ x
+
x
2 5
5
-3
++
6
6
--
0
;03612
log2
4
6 xx
xx
;06
log22
6
х
xx
;0,5,6
,0)16
)(16
)(5(22
ххх
х
х
х
хх
;0
,5
,6
,0)6(
)6)(5(2
2
х
х
х
х
ххх
D<0, .062 хх
Для тех, кто боится «модулей» - Для тех, кто боится «модулей» - 2 способ2 способ::
x
-
x
2 5
5
-3
++ --
0 6
6
;0
,5
,6
,0)6
6)(
6
6)(5(
22
х
х
хх
хх
х
ххх
.6;52;0.3;0-:Ответ
На память…
Выражение (множитель) в неравенстве(правая часть неравенства равна нулю!)
На что меняем
gf aa loglog (помните, что f >0, g >0,a >0, a1)
)()1( gfa
1log fa(помните, что f >0, ,a >0, a1)
)()1( afa
falog (помните, что f >0, a >0 ,a1)
)1()1( fa
Примечание: a – функция от х или число, f и g – функции от х.
