Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

2015

Νατάσα Λύρη

Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο

Πανεπιστημίου Πατρών

14/5/2015

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου (Συνοπτική θεωρία-Ασκήσεις)

Wassily Kandinsky, Upward, 1939

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1ο

Μονοτονία – Ακρότατα Συνάρτησης 3

Όριο Συνάρτησης 3

Συνεχής Συνάρτηση 3

Παράγωγος Συνάρτησης

Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων (Αποδείξεις) 4

Κανόνες Παραγώγισης (Αποδείξεις) 5

Πίνακας Βασικών Τύπων και Κανόνων Παραγώγισης 5

Εξίσωση εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης 5


Συχνότητα – Σχετική Συχνότητα- Αθροιστικές Συχνότητες 6

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων 7

Μέτρα Θέσης 7

Μέτρα Διασποράς 9

Κανονική Κατανομή 9

Ομοιογένεια δείγματος 10


Πείραμα Τύχης- Δειγματικός Χώρος – Ενδεχόμενα 11

Πράξεις με Ενδεχόμενα –Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα 12

Εφαρμογή 2 (σχολικό βιβλίο σχολ. 143) 13

Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας 14

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων (Αποδείξεις) 14

Εφαρμογή 2 (σχολικό βιβλίο σχολ. 153) 16

Ασκήσεις (Λυμένες)


Άσκηση 1 17

Άσκηση 2 18

Άσκηση 3 19

Κεφαλαίο 2ο

Άσκηση 4 20


Άσκηση 5 23

3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Μονοτονία Συνάρτησης

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για

οποιαδήποτε σημεία με ισχύει και γνησίως φθίνουσα στο Δ,

όταν για οποιαδήποτε σημεία με ισχύει .

Ακρότατα Συνάρτησης

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει:

Τοπικό μέγιστο στο , όταν για κάθε x σε μια περιοχή του , και

Tοπικό ελάχιστο στο όταν για κάθε x σε μια περιοχή του .

Ιδιότητες Ορίων Συνάρτησης

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο x0 όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν

και όπου και πραγματικοί αριθμοί, τότε αποδεικνύεται ότι:

Συνεχής Συνάρτηση

Mια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε ισχύει

.

Παράγωγος Συνάρτησης

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των x A στα οποία η f είναι

παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε x B αντιστοιχίζεται στο

Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συμβολίζεται με f '.

Η παράγωγος της συνάρτησης f ' λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f ''.

Σχόλια

Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι x(t) τη χρονική στιγμή t, τότε η

ταχύτητά του θα είναι

υ(t)=x'(t)

Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι

η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει

α(t)=υ'(t) ή ισοδύναμα α(t)=x''(t)

4

Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων (ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ)

1. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c

Έχουμε

f(x + h) - f (x) = c - c = 0

και για h≠0

οπότε

Άρα (c)'=0.

2. Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x

Έχουμε f(x + h) - f(x) = (x + h) - x = h ,

και για h ≠ 0,

Επομένως

Άρα, (x)'=1.

3. Η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = xρ

Έστω η συνάρτηση f (x) = x2. Έχουμε

f (x + h) - f (x) = (x + h)2 - x

2 = x

2 + 2xh + h

2

- x2 = (2x + h)h,

και για h≠0,

Επομένως,

Άρα (x2)' = 2x

5

Κανόνες Παραγώγισης (ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ)

1. Η παράγωγος της συνάρτησης cf(x)

Έστω η συνάρτηση F(x) = cf(x). Έχουμε

F(x + h) - F(x) = cf (x + h) - cf (x) = c(f(x + h) - f(x)), και για h ≠ 0

Επομένως

Άρα (c · f(x))' = c · f'(x).

2. Η παράγωγος τηςσυνάρτησης f(x) + g(x).

Έστω η συναρτηση F(x) = f(x) + g(x). Έχουμε

F(x + h) - F(x) = (f(x + h) + g(x + h)) - (f(x) + g(x))

= ( f(x + h) - f(x)) + (g(x + h) - g(x)),

και για h≠0,

Επομένως

Άρα (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο Α ( της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης :

6


Ας υποθέσουμε ότι x1, x2,..., xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός

δείγματος μεγέθους v, κ ≤ ν.

Συχνότητα Στην τιμή xi αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα νi, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει

πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.

Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος,

δηλαδή:

ν1+ ν2 + ... + νκ = v

Σχετική Συχνότητα Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα fi

της τιμής xi, δηλαδή

Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

(i) 0 ≤ fi ≤ 1 για i = 1,2,..., κ αφού 0 ≤ νi ≤ ν.

(ii) f1 + f2 + ... + fκ = 1, αφού

Αθροιστικές Συχνότητες

Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες νi και fi χρησιμοποιούνται

συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες Ni και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi,

οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι

μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.

Αν οι τιμές x1, x2,..., μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική

συχνότητα της τιμής xi είναι:

Ni = ν1 + ν2 +...+ νi i = 1,2,...,κ.

ν1 = N1 , ν2 = N2 - N1 ,..., νκ = Nκ - Nκ-1

ή N1= ν1 , N2= ν2 + ν1 ,..., Nκ= ν1 + ν2 +...+ νκ=ν

Όμοια, η αθροιστική σχετική συχνότητα είναι:

Fi= f1 + f2 +...+ fi, για i = 1,2,...,κ.

f1 = F1, f2 = F2 - F1 ,..., fκ = Fκ - Fκ-1.

ή F1= f1, F2= f1 + f2 ,..., Fκ = f1 + f2 +...+ fκ=1.

7

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων

α) Ραβδόγραμμα

Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής

μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται

πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια

ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα.

Έτσι έχουμε αντίστοιχα το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το ραβδόγραμμα σχετικών

συχνοτήτων. Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους

καθορίζονται αυθαίρετα.

β) Διάγραμμα Συχνοτήτων

Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το

διάγραμμα συχνοτήτων. Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να

χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε κάθε xi (υποθέτοντας ότι x1 < x2 <...< xκ) μία

κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα.

Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων νi στον κάθετο άξονα να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες

fi, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

Ενώνοντας τα σημεία (xi, νi) ή (xi, fi) έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο

σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενική ιδέα για τη μεταβολή της

συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε.

γ) Κυκλικό Διάγραμμα

Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και

των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες.

Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,

ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες νi ή τις σχετικές

συχνότητες fi των τιμών xi της μεταβλητής.

Αν συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα

συχνοτήτων, τότε

Μέτρα Θέσης

α) Μέση Τιμή Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι t1,t2,...,tv, τότε η μέση

τιμή συμβολίζεται με και δίνεται από τη σχέση:

Σε μια κατανομή συχνοτήτων, αν x1, x2 ,..., xκ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες

v1,v2,...,vκ αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση:

8

Η παραπάνω σχέση ισοδύναμα γράφεται:

β) Διάμεσος (δ)

Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται

ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο

μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός.

Διάμεσος σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και την πολυγωνική γραμμή,

(όπως στο παρακάτω). Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, αντιστοιχεί στην τιμή x = δ της μεταβλητής Χ

(στον οριζόντιο άξονα), έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες ή ίσες του δ.

Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχνότητα Fi = 50% . Εφόσον στον κάθετο άξονα

έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες, από το σημείο Α (50% των παρατηρήσεων) φέρουμε

την και στη συνέχεια τη ΒΓ ⊥ Οx. Τότε, στο σημείο Γ αντιστοιχεί η διάμεσος δ των

παρατηρήσεων.

Τα τρίγωνα ΔΕΒ και ΔΖΗ είναι όμοια. Άρα

δ ≈ 173

Δ

Ε

Ζ Η

9

Μέτρα Διασποράς

α) Εύρος (R)

Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είναι το εύρος (R), που ορίζεται ως η διαφορά της

ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή:

Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-Μικρότερη παρατήρηση

β) Διακύμανση (s2)

Η διακύμανση ή διασπορά ορίζεται από τη σχέση

Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διακύμανση ορίζεται από τη

σχέση:

γ) Τυπική Απόκλιση (s)

Η διακύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέκτημα. Δεν

εκφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Για παράδειγμα, αν οι

παρατηρήσεις εκφράζονται σε cm, η διακύμανση εκφράζεται σε cm2. Αν όμως πάρουμε τη θετική

τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, θα έχουμε ένα μέτρο διασποράς που θα εκφράζεται με την ίδια

μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού, όπως ακριβώς είναι και όλα τα άλλα μέτρα θέσης, που

εξετάσαμε έως τώρα. Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση, συμβολίζεται με s και δίνεται

από τη σχέση:

Κανονική Κατανομή

Αξίζει να σημειωθεί ότι αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι

κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστημα

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων


iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων


iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές

αποκλίσεις, δηλαδή R ≈ 6s.

10

Ομοιογένεια Δείγματος

Ένα μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδων τιμών, που είτε εκφράζονται σε διαφορετικές

μονάδες μέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντικά

διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας, ο

οποίος ορίζεται από το λόγο:

Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής

μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.

Για την σύγκριση δύο ομάδων τιμών Α και Β:

Αν CVA>CVB τότε έχουμε μεγαλύτερη ομοιογένεια στις τιμές της ομάδας Β παρά της Α.

Δηλαδή μεγαλύτερος συντελεστής μεταβολής, συνεπάγεται μικρότερη ομοιογένεια.

Παρατηρήσεις

Έστω x1, x2 ,..., xvν παρατηρήσεις με μέση τιμή και τυπική απόκλιση sx.

α) Αν y1, y2,..., yv είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε καθεμιά από

τις x1, x2,..., xv μια σταθερά c, τότε:

β) Αν y1, y2,..., yv είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε σε καθεμιά από

τις x1, x2,..., xv μια σταθερά c, τότε:

11


Πείραμα Τύχης

Πείραμα τύχης, ονομάζεται ένα πείραμα για το οποίο δεν μπορούμε εκ των προτέρων να

προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις

ίδιες συνθήκες.

Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων

που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο αριθμός αυτός

εξαρτάται από πολλούς απρόβλεπτους παράγοντες.

Δειγματικός χώρος

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά

αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων

λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1,ω2,...,ωκ

είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα

είναι το σύνολο:

Ω = {ω1, ω2,...,ωκ}.

Ενδεχόμενα

Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα

στοιχεία.

Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός

ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’αυτό τα

στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Έτσι,

για παράδειγμα, το ενδεχόμενο A = {2,4,6} έχει τρεις ευνοϊκές περιπτώσεις και πραγματοποιείται,

όταν φέρουμε 2 ή 4 ή 6.

Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα

πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο

Ω. Γι’ αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.

Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο ∅ που δεν πραγματοποιείται σε καμιά

εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’ αυτό λέμε ότι το ∅ είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με N(A). Επομένως, αν Ω =

{1,2,3,4,5,6} και Α = {2,4,6} έχουμε N(A) = 3, N(Ω) = 6 και N(∅} = 0.

12

Πράξεις με Ενδεχόμενα

Ένωση

Το ενδεχόμενο A∪B, που διαβάζεται “Α

ένωση Β” ή “A ή Β” και πραγματοποιείται,

όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από

τα A, Β

Τομή

Το ενδεχόμενο A∩B, που διαβάζεται “Α τομή

Β” ή “Α και Β” και πραγματοποιείται, όταν

πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.

Συμπληρωματικό Ενδεχόμενο

Το ενδεχόμενο Α', που διαβάζεται “όχι Α” ή

“συμπληρωματικό του Α” και

πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται

το Α. Το Α' λέγεται και “αντίθετο του Α” .

Διαφορά Ενδεχομένων

Το ενδεχόμενο Α - B, που διαβάζεται

“διαφορά του B από το Α” και

πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το

Α αλλά όχι το Β.

Είναι εύκολο να δούμε ότι Α - B = Α ∩ B'.

Παρατηρήσεις

∪

∪

∅ ∅

Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα

αποτέλεσμα του πειράματος αυτού.

Στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες

στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη

γλώσσα των συνόλων.

13

Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται

Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται

Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται

Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β

Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β

Πραγματοποιείται μόνο το Α

Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β

ω Α

ω Α' (ή ω ∉ Α)

ω Α∪Β

ω Α∩Β

ω (Α∪Β)'

ω Α - Β (ή ω Α∩Β')

Α⊆Β

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται

ασυμβίβαστα, όταν Α∩Β = ∅. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται

επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως

αποκλειόμενα.

Εφαρμογή 2 (Σελ. 143)

Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να παρασταθούν με

διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται

με τις εκφράσεις:

i) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.

ii) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο

το Α ή μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις

επιφάνειες των Α και Β με εξαίρεση την τομή

τους, δηλαδή την κοινή επιφάνειά τους.

Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή

πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A - B και

B - A. Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το

(A - B) ∪ (B - A) ή ισοδύναμα το (A ∩ B') ∪

(A'∩ B).

ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται

κανένα από τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την

επιφάνεια του Ω που είναι εκτός της ένωσης

των Α και Β. Στην περίπτωση αυτή

παρατηρούμε ότι το ζητούμενο σύνολο είναι

συμπληρωματικό του A∪B, δηλαδή το

(A∪B)'.

14

Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας

Γι’ αυτό είναι εύλογο σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να ορίσουμε ως πιθανότητα του

ενδεχομένου Α τον αριθμό:

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι:

1.

2.

3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤ 1, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός

ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου.

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων (Αποδείξεις)

1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν N(A) = κ και N(B) = λ, τότε το A∪B έχει κ + λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν

ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε N(A∪B) = κ + λ = N(A) + N(B).

Επομένως:

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος και ισχύει και για περισσότερα από

δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε:

P(A∪B∪Γ) = P(A) + P(B) + P(Γ).

15

2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A' ισχύει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A ∩ A' = ∅, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον

απλό προσθετικό νόμο:

Οπότε P(A') = 1 - P(A).

3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε N(A∪B) = N(A) + N(B) - N (A ∩ B), (1)

αφού στο άθροισμα N(A) + N(B) το πλήθος των στοιχείων του A ∩ B υπολογίζεται δυο φορές.

Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε:

και επομένως

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός

νόμος .

4.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A ⊆ B έχουμε διαδοχικά:

16

5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει

P(A-B) = P(A) - P(A∩B).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή τα ενδεχόμενα A-B και A∩B είναι

ασυμβίβαστα και (A-B)∪(A∩B) = A, έχουμε:

P(A) = P(A - B) + P(A∩B).

Άρα

P(A-B) = P(A) - P(A∩B).

Εφαρμογή 2 (Σελ. 153)

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται P(A) = 0,5 , P(B) = 0,4 και

P(A∩B) = 0,2 . Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων:

i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το (A∪B)'. Επομένως

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το (A - B) ∪ (B - A). Επειδή τα ενδεχόμενα A - B και B - A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε: P((A - B)∪(B - A)) = P(A - B) + P(B - A)

17

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της . 2. Να βρεθεί το όριο . 3. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος . 4. Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 5. Να βρεθεί το . 6. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο

σημείο της Α (1, 2).

ΛΥΣΗ

1. Πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του μηδενός άρα Το πεδίο ορισμού είναι Α=IR-{-1}

2. =

3.

4.

x - -1 +

+ +

↗ Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x Δεν παρουσιάζει ακρότατα.

5.

6. Εξίσωση εφαπτομένης στο Α(1, 2)

18

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η συνάρτηση

1. Να βρεθεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος

2. Να αποδειχθεί ότι:

3. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

4. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης στο σημείο Α (1, .

ΛΥΣΗ

1. Η πρώτη παράγωγος:

Η δεύτερη παράγωγος:

2.

+

3.

x - -1 3 +

+ o - o +

↘ ↗ Μονοτονία

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για ∪

και γνησίως φθίνουσα για .

Ακρότατα

Παρουσιάζει μέγιστο για το

Και παρουσιάζει ελάχιστο για το

4. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο Α (1, είναι :

To και το .

19

Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να υπολογίσετε τα όρια:

i)

ii)

iii)

ΛΥΣΗ

i)

Παραγοντοποιώ το τριώνυμο:

Άρα

ii)

Παραγοντοποιώ τον αριθμητή

iii)

Χρησιμοποιώ την συζυγή παράσταση του παρανομαστή

20

ΑΣΚΗΣΗ 4

Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: «πλήθος ημερών

άδειας» των υπαλλήλων μιας εταιρείας υπολογιστών.

1. Nα μεταφέρετε στη κόλλα σας και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

Ημέρες Άδειας

Συχνότητα

Αθροιστική Συχνότητα

Σχετική Συχνότητα

Αθροιστική Σχετ.

Συχνότητα


%


Συχνότητα %

5 4

7 6

9 2

14 5

16 2

18 1

Σύνολο

2. Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας. 3. Να βρεθεί το ποσοστό των υπαλλήλων που πήραν το πολύ 14 ημέρες άδεια. 4. Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων που πήραν τουλάχιστον 9 ημέρες άδεια. 5. Να βρεθεί η μέση τιμή των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας. 6. Να βρεθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας. 7. Να εξετάσετε το παραπάνω δείγμα ως προς την ομοιογένεια του 8. Να βρεθεί η διάμεσος των παραπάνω τιμών

ΛΥΣΗ

1.


Συχνότητα

Αθροιστική Συχνότητα



Συχνότητα


%


Συχνότητα %

5 4 4 0,2 0,2 20 20

7 6 10 0,3 0,5 30 50

9 2 12 0,1 0,6 10 60

14 5 17 0,25 0,85 25 85

16 2 19 0,1 0,95 10 95

18 1 20 0,05 1 5 100

Σύνολο 20 1 100

ΟΔΗΓΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Αθροιστική Συχνότητα :

Ν1=ν1

Ν2=ν1+ν2

21

Ν3=ν1+ν2+ν3 κ.ο.κ.

Το τελευταίο είναι πάντα ίσο με το μέγεθος του δείγματος ν.

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Σχετική Συχνότητα :

Με τη βοήθεια του τύπου

Το σύνολο των ισούται πάντα με 1

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

F1=f1

F2=f1+f2

F3=f1+f2+f3 κ.ο.κ.

Το τελευταίο είναι πάντα ίσο με 1.

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Σχετική Συχνότητα %:

Με τη βοήθεια του τύπου

100

Το σύνολο των ισούται πάντα με 100

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

F1%=f1%

F2%=f1%+f2%

F3%=f1%+f2%+f3% κ.ο.κ.

Το τελευταίο είναι πάντα ίσο με 100.

2. To πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας είναι :

ν=20

3. Να βρεθεί το ποσοστό των υπαλλήλων που πήραν το πολύ 14 ημέρες άδεια. (το πολύ : από την πρώτη τιμή μέχρι την τιμή 14) 1ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης :

0,2+0,3+0,1+0,25=0,85 2ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης % :

20+30+10+25=85% 3ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης % :

4. Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων που πήραν τουλάχιστον 9 ημέρες άδεια. (τουλάχιστον: από την τιμή 9 μέχρι την τελευταία τιμή ) 1ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης :

22

=2+5+2+1=10 5. Να βρεθεί η μέση τιμή των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας.

Πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα με την στήλη


Συχνότητα

……….

5 4 ……….. 20

7 6 ………… 42

9 2 …………. 18

14 5 …………. 70

16 2 …….. 32

18 1 ………… 18

Σύνολο 20 200

Η μέση τιμή δίνεται από τον τύπο

6. Να βρεθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας Πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα με τις στήλες:


Συχνότητα

……….

5 4 ……….. -5 25 100

7 6 ………… -3 9 54

9 2 …………. -1 1 2

14 5 …………. 4 16 80

16 2 …….. 6 36 72

18 1 ………… 8 64 64

Σύνολο 20 372

Η διακύμανση δίνεται από την σχέση

Η τυπική απόκλιση είναι 7. Να εξετάσετε το παραπάνω δείγμα ως προς την ομοιογένεια του

άρα δεν είναι ομοιογενές.

23

8. Να βρεθεί η διάμεσος των παραπάνω τιμών Η διάμεσος δ μας δείχνει ότι οι μισές παρατηρήσεις του δείγματος είναι μικρότερες από αυτές και οι άλλες μισές μεγαλύτερες. Επίσης να θυμηθούμε τον ορισμό: Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός. Σε αυτή την άσκηση το μέγεθος του δείγματος είναι ν=20 άρα η διάμεσος είναι ίση με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις είναι η και Ποιες τιμές λοιπόν αντιστοιχούν στη και ; Θα τις εντοπίσουμε από την στήλη των Συχνοτήτων


Συχνότητα

5 4

7 6

9 2

14 5

16 2

18 1

Σύνολο 20

Βλέπουμε ότι έχουμε 4( ) τιμές: και 6( ) τιμές: . Σύνολο 4+6=10, άρα η και η θα είναι η επόμενη τιμή το 9.

Η διάμεσος είναι

ΑΣΚΗΣΗ 5

Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με P(A)=

, P(B)=

και P(A∩B)=

. Να

βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: 1. Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α ,Β 2. Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β 3. Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α 4. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 5. Nα πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β 6. Να μην πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β

24

ΛΥΣΗ

1. Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α ,Β

∪

2. Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β

3. Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α

4. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β

∪ ∪

5. Nα πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β 1ος τρόπος ∪

2ος τρόπος

∪

∪

6. Να μην πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β

∪ ∪

Education

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου