النمذجة في التصنيع الغذائي البرمجة الخطية

الغذائي التصنيع في النمذجةالخطية البرمجة

ألفين. أحمد فرحان دالبعث جامعة

والبترولية الكيميائية الهندسة كليةالغذائية الهندسة قسم

05/03/2023 12:50 PM Dr. Farhan Alfin 13 Slides 2

تاريخية لمحةكانت • اإلنتاج، عمليات تواجه التي الموارد محدودية صعوبات إن

القرارات اتخاذ في تساعد علمية طرق عن للبحث ً أساسيا ً دافعابما المحدودة، الموارد لتلك األمثل االستخدام إلى تؤدي التي. ممكنة إجمالية تكاليف أقل أو ممكن، عائد أكبر تحقيق يضمن

العالمية • الحرب خالل بريطانيا العلماء الثانية شكلت من منفريقوالوسائل األساليب أفضل عن للبحث العلمية المجاالت كافة

ال العلمية . التوزيع اليجاد العسكرية للقوات أفضلمن • باالستفادة االقتصادية القطاعات بدأت الحرب، نهاية وبعد

االستغالل طريق عن وربحها إنتاجها زيادة في األساليب هذه . الحقل هذا استطاع الحاسوب تطور وبفضل لمواردها األفضل

المتزايدة االحتياجات مع ً ومتناسبا ً سريعا ً تطويرا يحقق أن العلميوالسياسية واالجتماعية االقتصادية المجاالت في ونوعا كَما

وغيرها.

05/03/2023 12:50 PM 3

العمليات بحوثوالطرق • األساليب مجمل إن

في تساهم التي اتخاذ الرياضيةظل القرارات محدودية فيعلم الموارد، ضمن إدراجها يمكن

اسم عليه العمليات يطلق بحوث•Operation Research .

Dr. Farhan Alfin /16 Slides


عمليات بحوث في المستخدمة الرياضية األساليبالخطية؛ • البرمجةالشبكة؛ • تدفق برمجةالصحيحة؛ • األعداد برمجةالخطية؛ • غير البرمجةالديناميكية؛ • البرمجة" معالجة• " " - أو " الستوكاستيكي العشوائي ؛Stochasticالتخمين• " المتقطعة؛ " ماركوف زمن سالسل• " المستمرة؛ " ماركوف زمن سالسلالمحاكاة.•


ريا نماذج تشكيل ضيةمراحلغايتها • وتحديد المطروحة المشكلة دراسة

يراد: ما غاية هناك تكون أن فيجب ومكوناتهاتأمين مثل إليها، أعظمي الوصول تأمين ربح أو

أصغرية تأمين كلفة بالوقت أو أعظمي توفيريجب. والجهد المسألة كما مجاهيل التي تحديد

هذه المطلوبة، لغاية للوصول قيمها إيجا|د يجبساعات أو إنتاج كميات تكون أن يمكن المجاهيل

المال من مبالغ أو اقتصادية مؤسسة في عملمعينة طرق على منقول|ة كميات أو معينة لفعاليات

. ذلك وغير


ريا نماذج تشكيل ضيةمراحلضوء • على والمخرجات المدخالت تحديد

المتاحة، القيود اإلمكانات وتحديدالشركة المفروضة فمثال المشكلة على

معين حجم من أكثر توفير تستطيع التكون قد ألسباب األولية المواد من

نظام في أو إرادتها، عن خارجةسرعتة تزيد ال أن يجب مثال ميكانيكي

. معين حد عن


ريا نماذج تشكيل ضيةمراحلفإنه • أعاله ورد ما كل تحديد بعد

عالقات باإلمكان ضمن المسألة صياغةاسم رياضية عليها نطلق بمجموعها

الرياضي " هو" النموذج النموذج وهذارياضية بصيغة للمشكلة قابلة تمثيل

أو للحل الطرق إحدى باستخدام. العمليات بحوث في المتوفرة الوسائل


قيودتكون • ال عام الترجمة بشكل سهلة الحقيقة المسألة

. الممكن من أنه فرضنا لو حتى رياضية نماذج إلىفإنه رياضي، نمو|ذج إلى نصية مسألة أي ليس ترجمة

حلول| رياضي نموذج لكل يكون أن الض|روري . مننقربها أو المسألة نبسط| أن الضروري من فإنه لذلك

أسهل تكون نفسه الوقت وفي منها، قريبة مسألة إلىرياضي، نموذج إلى أثناء للترجمة نخافظ أن على

األساسية الميزات كل على ما لمسألة التبسيط عمليةاعتباره لها يمكن كوكب، حركة دراسة عند فمثال ،

. وشكله حجمه ونهمل الفضاء في نقطة


نتائجه • وتفسير الرياضي النموذج إيجاد بعدهذه كانت إذ|ا الحقيقية المسألة طبيعة وفق

ومرضية جيدة قد النتائج نكون فإننا وفقنا ،المسألة يمثل الذي الرياضي النموذج بإيجاد

مرضية الحقيقية. النتائج تكن لم فإننا وإذا ،والتغييرات التعديالت بعض إجراء في نحاول

تبسيط عند اعتبرناها التي الفرضياتللنموذج آخر هيكل عن نبحث أن أو المسألة،

الرياضي.


الخطية Linear Programmingالبرمجةعالقات • إلى العمليات بحوث مسألة تحويل هي الخطية البرمجة

. خطية رياضية

حل - • أفضل إيجاد والمراد البرمجة مسألة في الدالة وتسمى - ) الهدف) بدالة لها بالتقليل أو ، Objective Functionبالتعظيم

الرياضية • التعابير إلى Mathematical Expressionأما تشير التيبالمقيدات فتسمى كميتها وتحدد . Constraintsالموارد


المسألة تشكيلإلى • يشير أحدها رياضية تعابير على الخطية البرمجة مسألة تحوي

المقيدات يكون والباقي الهدف عدم ضمنها من دالة محدداتأن. السلبية يمكن الخطية البرمجة مسألة في الرياضي والتعبير

شرحنا. Inequalityمتباينة أو Equationمعادلة يكون وقبلللمسألة، الرياضي للتشكيل

اإلشارات المتباينات• إحدى طرفاها تفصل رياضية تعابير هيالتالية:

من > • أصغرمن <• أكبريساوي ≥• أو من أكبريساوي ≤• أو من أصغر•≈ً تقريبا


الرياضي الشكل• : قلل أو Z=C1 X1 + C2 X2+ ….. Cn Xnعظم

•: إلى موضوعة• a11 X1 + a12 X2 + …….+ a1n Xn (?) b1

• a21 X1 + a22 X2 + …….+ a2n Xn (?) b1

• -----------------------------------

• _____________________

• am1 X1 + am2 X2 + …….+ amn Xn (?) b1

•

• X1 0• X2 0

• ---

• ----

• Xn 0


الخطية البرمجة فرضياتLinearityالخطية •Additivelyاإلضافية •القسمة • أو الضرب Multiplicity or Divisibilityقابليةحقيقية • Real Numbersأرقامالسلبية • Non-Negativeعدم


Linearityالخطية في – • سواء المتغيرات بين العالقة بأن الخطية فرضية تعني

. والشكل – خطية تكون أن يجب المقيدات أو الهدف دالة: يلي كما بيانه يمكن رياضي تعبير هو معينة لمتغيرات الخطي

• a1 x1 + a2 x2 + …….+ an xn

• : أن للمتغيرات ajحيث ثابتة قيمة وهذا xi (i=1,2, …n)هيال الخطية البرمجة لمسألة التعابير أجزاء أن ً أيضا يعني

: على تحتوي•. المتغيرات بين قسمة أو ضرب عملية•. لقوة مرفوع المتغيرات من أكثر أو واحدطبيعي • أو عادي لوغاريتم


Additivelyاإلضافية سبيل • على فإن متغير من أكثر وجد إذا أنه إلى اإلضافية تشير

صرف تم إذا وأنه ولنقل إلنتاج t1المثال إنتاج ماكينة على ساعةاألول الثاني t2و x1المنتج المنتج إلنتاج الماكينة نفس على ساعة

x2 .الوقت مجموع من Tفإن كال إلنتاج الماكينة على x1المصروف:x2و هو

T=t1 + t2

وهي • الموارد، على الدالة المقيدات كافة تشمل الخاصية هذهلتهيئة الالزم الزمن إهمال عند اإلنتاجية الناحية من مقبولة تعتبر

. فعند ً دائما صالحة تكون ال أنها إال آخر، منتج إنتاج من الماكينةأن ً صحيحا فليس بعضها مع مختلفة غازات أو سوائل عدة خلط

أو السوائل أحجام لمجموع ً مساويا الناتج المنتج حجم يكون. تركيبه في الداخلة الغازات


القسمة أو الضرب قابليةأحدهما • أثنين أمرين تعني الفرضية المقيدات هذه يخص

الهدف واآلخر .دالةكمية • مع ً وخطيا ً طرديا متناسبة الموارد من االحتياج إن

ما. مورد من الالزمة الوحدات كمية أن يعني وهذا اإلنتاجضرب xإلنتاج حاصل تساوي المنتج من كمية xقطعة في

. هذه واحدة قطعة إلنتاج المورد ذلك من الالزمة الوحداتأهملنا إذا فيما اإلنتاجية النواحي في معقولة الفرضية

التلفيات.الهدف • دالة في المبينة للمتغيرات والمخارج المداخل إن

. بتغير تتغير ال الثابتة القيم وهذه ثابتة بقيم ً طرديا متناسبة . الوحدة تكلفة تكون أن يمكن القيم هذه مثل اإلنتاج مستوى

. كانت فإذا متغير كل في الربحية أو متغير كل في الواحدةهي ما منتج من واحدة وحدة إنتاج إنتاج Aتكلفة تكلفة فإن ،

x هي الوحدات .A * xمن


حقيقية أرقاملكل • الموارد من االحتياج أو المتغيرات قيم إن

يكون أن يمكن المتغيرات هذه في واحدة وحدة . في عشرية كسور على تحتوي حقيقية ً أعدادا

تكون ال قد الفرضية هذه فإن عديدة حاالتاإلنتاج سعة أن القول نستطيع ال قد فمثال عملية،

المنتج من . 10.3هي xالمطلوبة أننا أو وحدةإلى . 2.5نحتاج ورب واحدة وحدة إلنتاج رجل

جديدة مقيدات وضع إمكانية عن يتساء|ل سائلالمتغيرات من بعض أو كل قيم تكون أن تفترض

. يحول المقيدات هذه مثل وضع صحيحة ً أرقامانسميه ما هو آخر أسلوب إلى الخطية البرمجة

Integer Programming عمليات إلى يحتاج وهذا . إضافية معقدة رياضية


السلبية عدمالمتغيرات • كافة قيم أن إلى الفرضية هذه تشير

غير تكون أن يجب الخطية البرمجة مسألة في . لكي ضرورية الفرضية وهذه موجبة أي سلبية،

. ً مثال يمكن فال وواقعية عملية المسألة تكون . كافة فإن ذلك أجل ومن سالبة بكميات اإلنتاج

مقيدات على تحتوي الخطية البرمجة مسائل. المتغيرات سلبية عدم


الخطية البرمجة مسألة أنواعالهدف • لدالة بالنسبة

تعظيم•تقليل•

للمقيدات • بالنسبةاالعتيادي • تكون: Ordinary Formالشكل أن يشترط ال الذي الشكل هو

الهدف دالة تكون أن يشترط ال ك|ما يساوي أو أصغر نوع من فيه المقيدات . تع|ظيم نوع من فيه

القانوني • بأنه : Canonical Form الشكل القانوني الشكل ويتصفدالة تكون بأن تعظيم يشترط نوع من محددات ) الهدف عدا المقيدات وكافة ) من هي السلبية يساوي عدم أو أصغر نوع

القياسي • المقيدات تكون : standard formالشكل الشكل كافة فيعلى القياسي الخطية البرمجة معادالت لمسألة الشكل. هيئة فإن وعليه

. مع|ادالت المقيدات كافة فيه اعتيادي شكل هو القياسي


الخطية البرمجة مسألة حل طرقبيانية • Graphical methodطريقةجبرية • Algebraic methodطريقةالمبسطة • Simplex methodالطريقة


البياني الحلت • ان يجب البياني الحل استخدام يمكن البرمجة كونحتى مسألة

الخطية . تحتوي • فقط متغيرين علىالقانوني • الشكل الى تحويلهاوثالث • تعظيم هدف دالة ذات افتراضية مسألة نستخدم سوف

مقيدات


الحل – فضاء البياني الحل

W

S

*

*

*

*

*

ΔϨϜϤϤϟϝϮϠΤϟξ όΑ


السلبية – عدم مقيدات البياني الحل


المرئية – المنطقة البياني الحل


المرئية – المنطقة البياني الحل


المرئية – المنطقة الباني الحل


الثابت – الربح خطوط البياني الحل


البياني الحل


الحاسوب برامج• Optimization Technology Center at Northwestern

University and Argonne National Laboratory (http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.html)

• LINDO (http://www.lindo.com)للطالب •

• General Algebraic Modeling System , GAMS (http://www.gams.com)

• AMPL (http://www.ampl.com)

http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.html



http://www.lindo.com/

http://www.gams.com/

http://www.ampl.com/


منتج Product Developmentتطوير• ProductVision (http://www.asdsoftware.com).• TechWizard (http://www.owlsoft.com)• DevEX (http://www.selerant.com).

http://www.asdsoftware.com/

http://www.owlsoft.com/

http://www.owlsoft.com/

http://www.selerant.com/


أمثلةأمثلة Reddy and Das (1993)استخدم • في الخطية البرمجة

. التابع تقليل هي الهدف دالة البطاطا رقائق جودةφ =M + O + Ln C

، Mحيث • الرطوبة محتوى الزيت، Oنسبة محتوى هو Cنسبة. واألزرق واألصفر األحمر اللون قيم مجموع


المقيدات•

M =192.42−0.426807 θ−0.795 T +9.958 bO =54.98+0.21156 θ+0.398 T− 4.904 b

Ln C =1.1619+0.00463 θ+0.0178 T −0.1546 b

و Tحيث • الحرارة و bدرجة البطاطا، قطع القلي θسماكة زمن

بين • تكون أن يجب المثلى الزيت حرارة درجة أن 146و 145وجدبين القلي وزمن .222و 220م ثانية


ª Ɣ²ƅ§¹ÃƊ %¾ƔśƔƈƅŕŗƅ§¶ ƈţ %¾ƔƔƅÃƗ §¶ ƈţ ³ ¿±ŸŬƅ§

ŕƔÃŰƅ§ª Ɣ² Ï Ð Ö Ï Ö

Á· Ƃƅ§ª Ɣ² ÐÑ Ñ Ï Ó

³ ƈŮƅ§̄ŕŗŷª Ɣ² Õ Ô Ï Õ

şśƊƈƅ§Max 15% Min 5%


مثاليستخدم • غذائي لبن مكونات نسبة حدد

المتخمر| الخض لبن من يتألف الحمية لمر|ضى . أن يجب الدسم منخفض الطبيعي واليوغورت

بروتين األقل على الناتج اللبن % 4يحتوياألكثر :1وعلى أن% علما دسم

بروتين • من المتخمر الخض لبن % 3.3يتكونيعطي% 0.88ودسم واليوغورت 40و حرير|ة

بروتين الدسم و 1.55ودسم% 5.25منخفض.63يعطي حريرة


مثال•: الميلو إلنتاج التالية المكونات تمزجكربوهيدرات ) • مجفف % - 32دسم% - 38حليب

الكيلو%( 24بروتين س 120وسعر لكربوهيدرات ) • الكاكاو % 15دسم% - 55مسحوق

الكيلو%( 19وبروتين س 250سعر لكربوهيدرات ) • أبيض وبروتين% 0دسم% - 100سكر

الكيلو%( 0 س 40سعر لعن ) • يقل ال بروتين الميلو مزيح على للحصول وذلك

عن% 20 يزيد ال تزيد% 25ودسم ال وكربوهيدرات%( 60عن


مراجعالجليل، • عبد المنصوري، و لطيف الحكيم، رجب البرمجة 1986عبد إلى مدخل ،

. الشام مطبعة .الخطية،دباس، • محمد العمليات )2002الحميد، بحوث كلية( 1، حلب، جامعة منشورات ،

. الحاسبات هندسة قسم وااللكترونية، الكهربائية الهندسة• Sharma, S. K., Mulvaney, S. J., and Rizvi, S. S. H., 2000, Food

Process Engineering, Theory and Laboratory Experiments, John Wiley.• Valentas, R. J., Rotstein, E. and Singh, R. P., 1997, Handbook of Food

engineering Practice, CRC.• Valencia, M. E. Troncoso, R., And Higuera, I., 1988, Linear

Programming Formulation and Biological Evaluation Of Chickpea-Based Infant Foods, Cereal Chem., 65(2):101-104.

• http://www.tutorialsandhelp.com/• www.chemeng.mcmaster.ca

http://www.tutorialsandhelp.com/

http://www.tutorialsandhelp.com/

http://www.chemeng.mcmaster.ca/

Education

النمذجة في التصنيع الغذائي البرمجة الخطية