Η Εκτίναξη της Ελληνικής

Μαθηματικής Παιδείαςκατά την Αλεξανδρινή

Περίοδο Ν. Καστάνη

Το ιστορικό πλαίσιο της

πρώτης Αλεξανδρινής

Περιόδου• Περίπου το 320 π. Χ. ο Πτολεμαίος Α’ Λάγος, επονομαζόμενος Σωτήρας, μακεδόνας στρατηγός του Μέγα Αλέξανδρου, απέκτησε την εξουσία της Αιγύπτου και του μεγαλύτερου μέρους της Ανατολικής Μεσογείου.

• Το 311 μετέφερε την έδρα της επικράτειάς του από την Μέμφιδα στην Αλεξάνδρεια.

• Την περίοδο του Πτολεμαίου Α’ κτίστηκε :

1) ο πανύψηλος πύργος στο νησί Φάρος, μπροστά στην Αλεξάνδρεια, 2) το λιμάνι της, και 3) δημιουργήθηκε το Μουσείο με τη Βιβλιοθήκη.

Η Αλεξάνδρεια

Μουσείο-Βιβλιοθήκη

• Η ίδρυση του Μουσείου και της Βιβλιοθήκης αποτέλεσαν μια σημαντική ώθηση στην ανάπτυξη της ελληνικής παιδείας.

• Κι αυτό γιατί η καλλιέργεια των γραμμάτων, της φιλοσοφίας και της επιστήμης ήταν, τότε, υπό την αιγίδα των Πτολεμαίων.

Ευκλείδης

Η ζωή και το έργο του

Ευκλείδη• Ο Ευκλείδης έζησε γύρω στο 300 π. Χ. Ασχολήθηκε με τη μελέτη (πιθανότατα και με τη διδασκαλία) των Μαθηματικών Επιστημών.

• Τα έργα του είναι: 1) τα ΣτοιχείαΣτοιχεία, 2) τα Δεδομένα, 3) το Περί διαιρέσεων βιβλίον, 4) τα Πορίσματα, 5) για τις Κωνικές Τομές, 6) οι Τόποι προς επιφάνεια, 7) τα Ψευδάρια, 8) τα Φαινόμενα, 9) τα Οπτικά, 10) τα Κατοπτρικά, 11) Αι κατά μουσικήν στοιχειώσεις, 12) σχετικά με τη Μηχανική.

Τα παλαιότερα ευρήματα

των ΣτοιχείωνΣτοιχείων

Θεωρείται ότι είναιτης περιόδου 75-125 μ. Χ. Παρουσιάζεται τοτην πρόταση ΙΙ.5των Στοιχείων.

Νόμισμα του 404 π. Χ.

Ένα από τα παλαιότερα,

ολοκληρωμένα χειρόγραφα των

ΣτοιχείωνΣτοιχείων

Δύο από τις πρώτες εκδόσεις των Στοιχείων Στοιχείων του Ευκλείδη

1482 1570

Τα περιεχόμενα

των ΣτοιχείωνΣτοιχείων• Τα πρώτα 4 βιβλία (κεφάλαια) πραγματεύονται την

επιπεδομετρία: τα 2 πρώτα, με πολύγωνα (κυρίως τρίγωνα, παραλληλόγραμμα και τετράγωνα) και τα επόμενα 2, με τον κύκλο και τα εγγεγραμμένα σε κύκλο κανονικά πολύγωνα.

• Το 5ο με τις αναλογίες μεγεθών και το 6ο με τα όμοια σχήματα.

• Το 7ο, το 8ο και 9ο με τη θεωρητική Αριθμητική (π.χ. αναλογίες αριθμών, μέγιστος κοινός διαιρέτης), τις συνεχείς αναλογίες και με τη θεωρία αριθμών (δηλ. για τους άρτιους, περιττούς, τέλειους αριθμούς).

• Το 10ο με τα ασύμμετρα μεγέθη. • Το 11ο, 12ο και 13ο με τη στερεομετρία και τα

κανονικά στερεά.

Ορισμοί και αξιώματα στο πρώτο βιβλίο των ΣτοιχείωνΣτοιχείων

Συνολικά 23 ορισμοί

Η δομή του 1ου και του 2ου βιβλίου των ΣτοιχείωνΣτοιχείων

Η πρόταση Ι.32 των

ΣτοιχείωνΣτοιχείων

Η πρόταση Ι.35

Η πρόταση Ι.37

Η πρόταση Ι.41

Η πρόταση Ι.47

Η πρόταση ΙΙ.5

Η πρόταση ΙΙ.14

Τετραγωνισμόςευθυγράμμου σχήματος

Τετραγωνισμός του

Τριγώνου

?

Το τρίτο και τέταρτο βιβλίο των ΣτοιχείωνΣτοιχείων

• Στο ΙΙΙ βιβλίο εξετάζονται κάποιες ιδιότητες των χορδών, των εγγεγραμμένων γωνιών, των τομών και των εφαπτόμενων κύκλων.

• Στο IV βιβλίο περιλαμβάνονται 16 προτάσεις για κανονικά πολύγωνα, με σημαντικότερες την IV.11 για το κανονικό πεντάγωνο και την IV.16 για το κανονικό δεκαπεντάγωνο.

Αν ΑΒ διάμετρος,τότε α+φ=1└ καιβ+φ=1└, οπότε α=β.

Ενδεικτικές προτάσεις

Κατασκευάζεται ισοσκελές τρίγωνο με τις γωνίες της βάσης διπλάσιες από τη γωνία της κορυφής, το οποίο εγγράφεται σε κύκλο [σύμφωνα με την πρόταση IV.2].

Οι διχοτόμοι των γωνιών D και C, τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Β και Ε. Το ΑΕDCB είναι το κανονικό πεντάγωνο.

Η πρόταση IV.11

Εγγράφεται στον κύκλο ένα κανονικό πεντάγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Τότε, από τη διαφορά

προκύπτει η πλευρά του κανονικού δεκαπενταγώνου.

Η πρόταση IV.16

Το πέμπτο και έκτο

βιβλίο των ΣτοιχείωνΣτοιχείων

• Στο V βιβλίο εισάγονται και αναπτύσσονται κάποιες τεχνικές συσχέτισης των λόγωνλόγων και των αναλογιώναναλογιών μεγεθών (π.χ. γραμμών ή παραλληλογράμμων).

• Και στο VI βιβλίο εφαρμόζονται αυτές οι τεχνικές σε συσχετίσεις γεωμετρικών μεγεθών (π.χ. παρ/μων).

Ενδεικτικές προτάσεις

Δηλ. αν α:β::γ:δ και ε:ζ::γ:δ, τότε α:β::ε:ζ

Σύμφωνα με τη γεωμετρική κατασκευή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, η ΒΔ είναι μέση ανάλογοςτων ευθειών ΑΒ και ΒΓ, που σημαίνει ότι ΑΒ:ΒΔ::ΒΔ:ΒΓ

Δηλ.ΑΒ:ΓΔ::Ε:Ζ ::ΑΗ:ΓΘ (ΑΒ,ΑΗ)=(ΓΔ,ΓΘ)

• Στα βιβλία VII, VIII, IX αναπτύσσεται μια Θεωρητική Αριθμητική, δηλ. ένα είδος σημερινής Θεωρίας Αριθμών.

• Περιλαμβάνουν: τις αναλογίες αριθμών, τους πρώτους αριθμούς, το μέγιστο κοινό διαιρέτη, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, τις συνεχείς αναλογίες, τους “σχηματοποιημένους” αριθμούς, οι πρώτοι παράγοντες των αριθμών, οι άρτιοι, οι περιττοί και οι τέλειοι αριθμοί.

• Στο X βιβλίο εξετάζονται τα άρρητα μεγέθη.• Και τα βιβλία XI, XII, XIII πραγματεύονται τα

γεωμετρικά στερεά, με προσανατολισμό και έμφαση τα κανονικά στερεά.

Άλλα έργα του

Ευκλείδη: Τα ΔεδομέναΔεδομένα • Πρόκειται για μια σειρά

94 προβλημάτων επιπεδομετρίας, που αντιστοιχούν στα πρώτα 6 βιβλία των Στοιχείων.

• Στα προβλήματα αυτά, συνάγονται κάποια γεωμετρικού χαρακτηριστικά ή κάποιες γεωμετρικές σχέσεις, από ορισμένα γεωμετρικά δεδομένα.

Παράδειγμα

Τα Οπτικά • Τα Οπτικά Οπτικά πραγματεύονται κάποιες γεωμετρικές ιδιότητες των οπτικών φαινομένων.

• Π.χ. “Οι τροχοί των τροχοφόρων φαίνονται άλλοτε ως κυκλικοί και άλλοτε ως μακρόστενοι”.

Τα ΨευδάριαΤα Ψευδάρια Πρόκειται για

μεθόδους διαπίστωσης εσφαλμένων γεωμετρικών προτάσεων.

Π.χ. κάθε τρίγωνο είναι ισοσκελές

Περί διαιρέσεων

βιβλίον• Στο μεγαλύτερο μέρος του,

το έργο αυτό, έχει χαθεί. Σώζεται μόνο ένα μικρό μέρος του στα αραβικά.

• Πραγματεύεται τα προβλήματα διαίρεσης ενός ευθυγράμμου σχήματος σε δύο μέρη, με δοσμένο λόγο, με μια ευθεία που έχει δοσμένο προσανατολισμό ή διέρχεται από δοσμένο σημείο.

Τα Χαρακτηριστικ

ά της

Μαθηματικής Παιδείας

του Ευκλείδη• Αναδείχθηκε και καθιερώθηκε η μαθηματική θεωρία μαθηματική θεωρία

ως ένας νέος τρόπος σκέψης. Συμφώνα μ’ αυτόν: η αντιμετώπιση ενός μαθηματικού ζητήματος γίνεται με μια συνεκτική σύνθεσης επιμέρους μαθηματικών γνώσεων (προτάσεων).

• Παρουσιάστηκε και εδραιώθηκε η αξιωματική αξιωματική μέθοδος μέθοδος ως υπόβαθρο μιας μαθηματικής θεωρίας. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή: η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης γίνεται με βάση κάποιους ισχυρισμούς (αξιώματα) και κάποιους ορισμούς, που χρησιμοποιούνται, στη συνέχεια, για να προκύψουν συμπερασματικά (μ’ άλλα λόγια, παραγωγικά ή απαγωγικά) οι επιμέρους προτάσεις της μαθηματικής θεωρίας.

• Οι συμπερασματικοίσυμπερασματικοί (ή παραγωγικοί ή απαγωγικοί) συλλογισμοίσυλλογισμοί αποτελούσαν τις αποδεικτικές διαδικασίες των μαθηματικών προτάσεων της μαθηματικής θεωρίας. Και οι αποδείξειςαποδείξεις αποτέλεσαν, με το έργο του Ευκλείδη, την πεμπτουσίαπεμπτουσία όλης της μετέπειτα μαθηματικής σκέψης.

• Από εννοιολογική άποψη, δόθηκε μια σημαντική ώθηση στις αφηρημένες έννοιες αφηρημένες έννοιες και γενικότερα στην αφηρημένη εννοιολογική σκέψηςαφηρημένη εννοιολογική σκέψης. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι αφηρημένες μαθηματικές έννοιες, που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης, ήταν εμπειρικές εμπειρικές εξιδανικεύσειςεξιδανικεύσεις [κι όχι τυποκρατικές ή δομικές αφαιρέσεις, τύπου Χίλμπερτ].

• Η εισαγωγή των γεωμετρικών κατασκευώνγεωμετρικών κατασκευών, ως ως διαδικασίες εξασφάλισης και αποδοχής των διαδικασίες εξασφάλισης και αποδοχής των γεωμετρικών χειρισμώνγεωμετρικών χειρισμών, δημιούργησε ένα πολύ χαρακτηριστικό πλαίσιο νομιμοποίησης των γεωμετρικών διαδικασιών, που επηρέασε σημαντικά τη μετέπειτα γεωμετρική σκέψη.